MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM { Parte Idiem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mdm/MDM_1415_Parte_I.pdf · Figura 5: Catena cinematica di Stephenson e meccanismi da essa

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Universita degli Studi di Bologna

Scuola di Ingegneria e Architettura

Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA

Sede di Forlı

MECCANICA E DINAMICADELLE MACCHINE LM

– Parte I –

prof. Alessandro [email protected]

http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola

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http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola

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Indice

0 Richiami di Cinematica 5

0.1 Macchina, Meccanismo, Membro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2 Gradi di liberta e Coppie cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.3 Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Articolato . . . . . . . . . . . . . 8

0.4 Gradi di liberta di un meccanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.5 Cinematica del corpo rigido nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5.1 Posizione e velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5.3 Accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.5.4 Teorema di Kennedy-Aronhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5.5 Traiettoria e centro di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5.6 Profili coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.5.7 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.6 Analisi cinematica di sistemi articolati piani . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.6.1 Esempio: il quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.6.1.1 Analisi di posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.6.1.2 Analisi di velocita e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . 17

Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 Sistemi Articolati 20

1.1 Analisi cinematica con approccio modulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Approccio modulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.3 Gruppi di Assur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.4 Gruppi di Assur a tre membri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.5 La Diade (RRR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.6 Il gruppo RRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.1.7 Il gruppo RPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1.8 Il gruppo PPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.1.9 Il gruppo RPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Sintesi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Il quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

2 INDICE

1.2.2 Sintesi cinematica di un QA manovella–bilanciere . . . . . . . . . . 30

1.2.3 Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere . . . . . . . . . . 35

1.2.4 Generazione di Movimenti–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.2.4.1 Segmento di biella per due posizioni . . . . . . . . . . . . 36

1.2.4.2 Segmento di biella per tre posizioni . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.5 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2.6 Tracciamento delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.6.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.6.2 Traiettoria a partire dalle polari . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2.6.3 Formula di Eulero–Savary . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2.6.4 La circonferenza dei flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.6.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.6.6 Impiego di atlanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2.6.7 Teorema di Roberts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2.6.8 Guide rettilinee esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.6.9 Guide rettilineee approssimate . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.6.10 Meccanismi per moto traslatorio . . . . . . . . . . . . . . 47

1.2.7 Generazione di Traiettorie–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.2.7.1 Tre posizioni imposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.2.8 Sintesi cinematica mediante metodi analitici . . . . . . . . . . . . . 50

1.2.8.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.2.8.2 La diade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.2.8.3 Sintesi di un QA per la generazione di movimenti . . . . . 56

1.2.8.4 Sintesi di un QA per la generazione di traiettorie in tempistabiliti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.2.8.5 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni . . . . . . 63

1.2.8.6 Tecnica del loop chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2.8.7 Order synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


2 Meccanismi con Camme 69

2.1 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.1 Meccanismi con camme piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.2 Meccanismi con camme spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.1.3 Accoppiamenti di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.4 Accoppiamenti di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1 Meccanismi cinematicamente equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4 Sintesi cinematica con metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

INDICE 3

2.5 Sintesi cinematica con metodi analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.1 Camma con punteria a coltello centrata . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.1.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.1.2 Raggio di curvatura e angolo di pressione . . . . . . . . . 79

2.5.1.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.5.2 Camma con punteria centrata a rotella . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5.2.1 Profilo primitivo e profilo camma . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5.2.2 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


2.5.3 Camma con punteria a piattello centrata . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.3.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.3.2 Dimensionamento del piattello . . . . . . . . . . . . . . . 88



2.5.4 Meccanismo camma-bilanciere con rotella . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.4.1 Profilo primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.4.2 Angolo di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.5.4.3 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



2.6 Fenomeno del sottotaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.6.1 Convenzione sui segni dei raggi di curvatura . . . . . . . . . . . . . 97

2.7 Sintesi analitica con il metodo dell’inviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.7.1 Inviluppo di una famiglia di curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.7.1.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.7.1.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.7.1.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.7.2 Determinazione delle coordinate del profilo camma . . . . . . . . . 102

2.7.2.1 Camma con punteria a piattello centrata . . . . . . . . . . 102

2.7.2.2 Camma con punteria centrata a rotella . . . . . . . . . . . 104

2.8 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


3 Ruote Dentate 109

3.1 Raggio primitivo e raggio base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Passo base, passo e modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.4 Proporzionamento della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.1 Dentiera normalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.2 Ruote normali e ruote corrette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 INDICE

3.5 Taglio delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5.1 Macchine dentatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.6 Segmento d’azione e arco d’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.7 Fattore di ricoprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.8 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.8.1 Calcolo del numero minimo di denti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.8.2 Interferenza tra pignone e dentiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.9 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.9.1 Funzione evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.9.2 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.9.3 Misura Wildhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.10 Correzione della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.10.1 Dentatura normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.10.2 Dentatura corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.10.3 Interasse di riferimento e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.10.4 Correzione e interasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.10.4.1 Correzione senza variazione di interasse . . . . . . . . . . 134

3.10.4.2 Correzione con variazione di interasse . . . . . . . . . . . . 137


Capitolo 0

Richiami di Cinematica

0.1 Macchina, Meccanismo, Membro

Una macchina e un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sottol’azione di forza opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale. In sostanza,una macchina ha il compito di trasformare una energia di un certo tipo, in essa entrante,in energia da essa uscente, in generale di tipo di verso: ad esempio di trasformare energiameccanica in altre forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici o generatrici),oppure di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (comenelle macchine motrici), oppure anche di trasformare energia meccanica in energia mec-canica, variandone i fattori (come avviene ad esempio nei riduttori di velocita).Si puo dunque dire che una macchina ha la duplice finzione di trasmettere movimento edi trasmettere azioni (forze e/o coppie).

Un determinato sistema meccanico viene denominato meccanismo, anziche macchina,quando lo si considera dal punto di vista del movimento, piu che da quello delle azioni ingioco e della trasformazione o trasmissione di energia. Pertanto, la nozione di meccani-smo non e connessa a quella di lavoro, a differenza della nozione di macchina che e perdefinizione sede di un flusso di energia.

Gli organi che compongono una macchina o un meccanismo si dicono membri. Unmembro puo essere costituito, per ragioni costruttive, da piu pezzi resi solidali tra loro,purche si comportino come un sol pezzo dal punto di vista funzionale.

0.2 Gradi di liberta e Coppie cinematiche

Come noto, se consideriamo un corpo rigido nello spazio, la sua postura puo essere indi-viduata attraverso tre variabili di posizione e tre variabili d’orientamento. Diciamo allorache il corpo rigido possiede sei gradi di liberta (gdl), pari al numero di variabili indipen-denti (tre di posizione e tre di orientamento) necessarie a definirne la postura rispetto adun riferimento fisso.

Due membri a contatto tra loro si toccano su due porzioni della loro superficie, ciascunadenominata elemento cinematico. L’insieme di sue elementi cinematici a contatto tra lorocostituisce una coppia cinematica (o giunto).

Presi due corpi rigidi A e B in movimento uno rispetto all’altro, si dice che B e

5

6 CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA

vincolato ad A se e collegato ad esso mediante una coppia cinematica (o giunto) che neimpedisca alcuni movimenti relativi consentendone altri. In questo caso, solo l variabilidi configurazione sono libere, le altre v essendo fissate (vale ovviamente l + v = 6): l e vsono rispettivamente il numero di gdl e di vincolo della coppia cinematica.

Le seguenti figure mostrano schemi di soluzioni adottate per realizzare coppie cinema-tiche ad un gdl: la coppia rotoidale (Figura 1), la coppia prismatica (Figura 2), la coppiaelicoidale (Figura 3). Tutte e tre sono costituite da elementi cinematici rigidi che vengonoa contatto tra loro tra superfici non nulle, ossia da elementi cinematici combacianti. Lecoppie rigide e combacianti sono dette coppie elementari.

Figura 1: Coppia rotoidale

Figura 2: Coppia prismatica

Figura 3: Coppia elicoidale

Oltre alle coppie elementari, esistono le coppie superiori che possono essere rigide manon combacianti, o combacianti ma non rigide come, rispettivamente, nel meccanismo a

0.2. GRADI DI LIBERTA E COPPIE CINEMATICHE 7

Movimenti permessi Descrizione della

coppia Gradi di libertà

Categoria della coppia

Denominazione della coppia rotazioni traslazioni moti

elicoidali

uno C1 R (elementare) P (elementare) E (elementare)

uno

uno

uno

Rotoidale Prismatica Elicoidale

due C2

RT C (elementare) CS R

due uno uno uno

uno uno

uno

Cilindrica

tre C3

S (elementare) SA SL PP (elementare)

tre due due uno

uno

due

uno

Sferica Piano su piano

quattro C4 SC SE CC

tre tre due

uno

due uno

cinque C5 S5 tre due

Tabella 1: Coppie cinematiche

camma (coppia tra i membri 1 e 2) e nella trasmissione a cinghia (coppie tra i membri 1e 2 e tra i membri 2 e 3) della Figura 4.

Figura 4: Meccanismi con coppie superiori

Le coppie cinematiche piu comuni sono elencate nella Tabella 1, in cui sono indicatele possibilita di movimento permesse da ciascuna coppia. Tutte le coppie elencate sonorigide. Le uniche coppie elementari sono le R, P, E, C, S, PP .


0.3 Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Arti-

colato

In un meccanismo esiste sempre un membro fisso, a cui si da il nome di telaio. Se nessunodei membri di un dispositivo meccanico sia a priori da considerare fisso, si da al dispositivoil nome di catena cinematica. Un catena cinematica diviene un meccanismo quando un suomembro funge da telaio. Da una catena cinematica si possono ottenere tanti meccanismiquanti sono i membri ma di norma non tutti i meccanismi sono strutturalmente diversi fraloro. La diversita va infatti valutata sulla base del numero e del tipo di elementi cinematicidi ciascun membro, in relazione alla posizione che questo occupa nel meccanismo (vediFigura 5).

Figura 5: Catena cinematica di Stephenson e meccanismi da essa ottenibili

Un meccanismo in cui sono presenti solo coppie elementari si dice sistema articola-to. Tipici esempi di sistemi articolati sono il manovellismo di spinta (Figura 6a) ed ilquadrilatero articolato (Figura 6b).

Figura 6: Sistemi articolati

0.4. GRADI DI LIBERTA DI UN MECCANISMO 9

0.4 Gradi di liberta di un meccanismo

Si consideri un meccanismo costituito da m membri (di cui uno, il telaio, fisso) e c coppiecinematiche. Se i membri non fossero vincolati l’uno all’altro, il numero di gdl, ossia ilnumero di variabili di posizione e orientamento da poter fissare liberamente in modo dadeterminare la configurazione complessiva, sarebbe 6(m− 1). Poiche ogni giunto eliminavi gdl, i gdl del meccanismo risultano invece:

l = 6 (m− 1)−c∑i=1

vi = 6 (m− 1)− 5C1 − 4C2 − 3C3 − 2C4 − C5 (1)

Evidentemente, l e anche il numero di variabili di configurazione da attuare, mediantemotori o altri meccanismi. La (1) e nota come formula di Grubler.

Per meccanismi piani, occorre ricordare che i membri posseggono solo tre gdl: due ditraslazione paralleli al piano del moto ed uno di rotazione ortogonale ad esso. La formuladi Grubler diventa percio:

l = 3 (m− 1)−c∑i=1

vi = 3 (m− 1)− 2C1 − C2 (2)

!  MECCANISMO PIANO

!  MECCANISMO SPAZIALE

1 23( 1) 2l m C C= − − −

1 2 3 4 56( 1) 5 4 3 2l m C C C C C= − − − − − −

Figura 7: Calcolo dei gradi di liberta di un meccanismo


0.5 Cinematica del corpo rigido nel piano

0.5.1 Posizione e velocita

La posizione di un corpo rigido (CR) nel piano puo essere definita tramite la posizionedi un punto A e l’orientamento θ di un suo segmento AB (vedi Figura 8a). Infatti, laposizione di un altro generico punto B del corpo risulta essere:

B = xB + i yB = xA + i yA + |AB| eiθ (3)

Derivando la (3) si ottiene la velocita del punto B (Figura 8b):

vB = vA + i θ|AB| eiθ = vA + θ|AB| ei(θ+π2 ) (4)

Si e cioe ottenuto il Teorema di Rivals per le velocita dei punti di un CR:

vB = vA + vBA = vA + ω ∧ (B − A) ω = θk (5)

(a) (b)

Figura 8: Corpo rigido nel piano: posizione e velocita

0.5.2 Centro di istantanea rotazione

Il centro di istantanea rotazione di un CR e quel particolare punto C del corpo per cuivale:

vC = vA + ω ∧ (C − A) = 0 (6)

Pre-moltiplicando vettorialmente la (6) per il vettore ω, si ottiene la posizione di C:

ω ∧ vC = ω ∧ (vA + ω ∧ (C − A)) = 0

(C − A) =ω ∧ vAω2

Il punto C ha istantaneamente velocita nulla. In altre parole, l’atto di moto del CR ein definitiva un atto di moto rotatorio attorno ad un particolare punto, il centro C (chepuo anche non fare parte fisicamente del CR), ed e caratterizzato dal vettore velocitaangolare ω, che ne definisce il moto d’insieme.

0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO 11

Poiche la velocita di un punto qualunqe del CR e diretta ortogonalmente alla congiun-gente il punto in questione con C (vedi Figura 9a), ne consegue che il centro di istantanearotazione si trova sulla congiungente le normali alle direzioni delle velocita di due puntiqualunque del CR (Figura 9b). In altre parole si e ottenuto il:

Teorema di Chasles: Il centro di istantanea rotazione di un CR in motopiano si trova sulla intersezione delle normali alle traiettorie dei punti delcorpo stesso.

Se la velocita angolare ω del CR e nulla ed esiste un punto A del corpo la cui velocitae diversa da zero, allora siamo di fronte ad un atto di moto traslatorio e tutti i punti delCR hanno velocita pari a vA. Si puo intendere che la rotazione del CR avviene attornoad un punto improprio (cioe all’∞) della normale alla direzione del moto.

(a) (b)

Figura 9: Centro di istantanea rotazione

Il luogo delle posizioni occupate nel corso del moto dal centro di istantanea rotazionenel riferimento fisso si indica come polare fissa, mentre il luogo delle posizioni occupatenel riferimento locale (mobile) e la polare mobile.

Il movimento del CR provoca il puro rotolamento della polare mobile sulla polare fissa:le due polari risultano tangenti tra loro nei successivi punti di contatto, ossia nei centridi istantanea rotazione dell’istante considerato.

0.5.3 Accelerazioni

Derivando la (4) si ottiene l’accelerazione del punto B (Figura 10):

aB = aA + i θ|AB| eiθ − θ2|AB| eiθ = aA + θ|AB| ei(θ+π2 ) − θ2|AB| eiθ (7)

cioe, in altri termini, il Teorema di Rivals per le accelerazioni dei punti di un CR:

aB = aA + aBA = aA + ˙ω ∧ (B − A) + ω ∧ ω ∧ (B − A) =

= aA + ˙ω ∧ (B − A)− ω2(B − A) = aA + aBAt + aBAn

(8)


Figura 10: Corpo rigido nel piano: accelerazioni

0.5.4 Teorema di Kennedy-Aronhold

Dati tre CR i, j e k, i tre centri di istantanea rotazione Cij, Cik e Cjk sono tra loroallineati (Figura 11).

Figura 11: Teorema di Kennedy-Aronhold

Valogono inoltre le seguenti relazioni:

v(ij)Cij

= v(ik)Cij

− v(jk)Cij

= 0

ωik ∧ (Cij − Cik) = ωjk ∧ (Cij − Cjk)(9)

Il teorema ha interessanti applicazioni. Infatti e molto utile per determinare le velocita dipunti e membri di meccanismi. Si veda, ad esempio, il quadrilatero articolato di Figura 12.

0.5.5 Traiettoria e centro di curvatura

E possibile determinare la velocita di un punto P di un CR anche attraverso la conoscenzadel raggio di curvatura della sua traiettoria. Infatti, indicato con Q il centro di curvaturadella traiettoria di P , la velocita di P puo esprimersi anche come (Figura 13):

vP = Ω ∧ (P −Q)


Figura 12: Applicazione del teroema di Kennedy-Aronhold

dove il vettore Ω e la velocita angolare del raggio vettore (P −Q).Poiche il medesimo punto P appartiene al CR animato da velocita angolare ω e avente Ccome centro di istantanea rotazione, risulta:

vP = Ω ∧ (P −Q) = ω ∧ (P − C)

Trattandosi di moto piano, i due vettori Ω e ω sono tra loro paralleli e quindi dovrannoesserlo pure i vettori (P −Q) e (P − C). Se ne conclude che:

Un punto P , il centro di curvatura Q della sua traiettoria, ed il centro diistantanea rotazione C del CR a cui P appartiene, sono sempre allineati.

Figura 13: Esempio

0.5.6 Profili coniugati

Quando un CR (2) e a contatto con un altro CR (1) (si supponga quest’ultimo fisso,ma nulla cambia se entrambi i corpi sono mobili) ed ha rispetto ad esso nel punto M dicontatto un moto relativo di strisciamento (non urto, ne distacco), i profili a contatto inM costituiscono nel piano del moto una coppia di profili coniugati s1 ed s2 (Figura 14).Poiche siamo in presenza di strisciamento, la velocita relativa tra i corpi in M deve avere


la direzione della tangente comune ai due profili. Se ne deduce che il centro di istantanearotazione relativo C12 deve trovarsi sulla normale alla v

(21)M passante perM . Si puo quindi

affermare che:

Il centro di istantanea rotazione relativo si trova sempre sulla normale comune ai profiliconiugati.

D’altra parte, nel punto di contatto M la velocita relativa tra i profili si puo valutaremediante:

v(21)M = v

(2)M − v

(1)M

v(21)M = ω2 ∧ (M − C23)− ω1 ∧ (M − C13) =

ω2 ∧ [(M − C12) + (C12 − C23)]− ω1 ∧ [(M − C12) + (C12 − C13)] =

ω2 ∧ (M − C12) + ω2 ∧ (C12 − C23)− ω1 ∧ (M − C12)− ω1 ∧ (C12 − C13) =

ω2 ∧ (M − C12)− ω1 ∧ (M − C12) = ω21 ∧ (M − C12)

(10)

da cui, ancora una volta, risulta che il centro relativo C12 si trova sulla normale comuneai due profili (tangente alla direzione della velocita relativa v

(21)M ).

Figura 14: Profili coniugati

Si puo inoltre aggiungere che, poiche la normale ai profili deve contenere anche i lorocentri di curvatura Q1 e Q2, rispettivamente di s1 ed s2, sulla normale medesima sitroveranno: il punto di contatto M tra i profili s1 ed s2, i loro centri di curvatura Q1 eQ2, ed il centro di istantanea rotazione relativo C12.

La Figura 14 mostra anche le polari del moto: σ1 e quella fissa; σ2 e la mobile. Comenoto (vedi §0.5.2), esse sono tangenti nel centro di istantanea rotazione C12 e sulla normalealle polari in C12 si trovano i loro centri di curvatura, rispettivamente O1 e O2.

Definito il moto relativo tra i corpi (2) e (1), cioe date le polari del moto, sono infinitele coppie di profili coniugati s2 e s1. Infatti, se s2 e un qualsiasi profilo rigido solidale conil corpo mobile (2) ed s1 e l’inviluppo delle successive posizioni assunte da s2 durante ilmoto di (2), allora i due profili s1 ed s2 sono coniugati.


0.5.7 Esempio

Nel meccanismo a tre membri binari di Figura 15 i membri 1 e 2 sono accoppiati medianteuna coppia superiore e si toccano nel punto M . I profili che delimitano tali membri sonoconiugati, hanno cioe inM tangente t comune e la velocita relativa (di strisciamento) tra imembri 1 e 2 inM e diretta lungo tale tangente t. Percio il centro di istantanea rotazioneC12 giace sulla normale ai profili inM . D’altra parte, per il teorema di Kennedy-Aronhold,C12 e allineato con i centri (assoluti) C13 e C23: pertanto e immediato individuarlo.Inoltre, applicando la (9), si ottiene la (11), che consente ad esempio di determinare illegame tra le velocita angolari dei due corpi.

v(21)C12

= v(2)C12

− v(1)C12

= 0

ω2 ∧ (C12 − C23) = ω1 ∧ (C12 − C13)(11)

Figura 15: Esempio


0.6 Analisi cinematica di sistemi articolati piani

Il problema consiste nell’individuare la posizione di un generico membro del meccanismorispetto ad un sistema di riferimento solidale al telaio. Mediante successive derivazionirispetto al tempo si ottengono velocita ed accelerazione.

0.6.1 Esempio: il quadrilatero articolato

0.6.1.1 Analisi di posizione

!

Figura 16: Chiusura della catena cinematica

Equazione di chiusura:

AB+BC+CD+DA = 0 (12)

a cosα + b cos β + c cos γ = d

a sinα + b sin β + c sin γ = 0(13)

La (12) puo essere proiettata nell due direzioni x e y fornendo le due (13) nelle variabili delmoto α, β e γ. La differenza tra il numero delle variabili e il numero delle equazioni fornisceil numero di gradi di liberta del meccanismo, ossia il numero di variabili indipendenti.

Se tra le variabili del moto si assume come variabile indipendente l’angolo α (il mecca-nismo possiede un solo grado di liberta), le proiezioni dell’equazione di chiusura risultanoessere nelle incognite β e γ. Una delle due (ad esempio β) puo essere facilmente eliminata(quadrando e sommando membro a membro le due (13)), giungendo alla (14) nell’unicaincognita γ.

b2 = (−a cosα− c cos γ + d)2 + (−a sinα− c sin γ)2

b2 − a2 − c2 − d2 + 2ad cosα = cos γ (2ac cosα− 2cd) + 2ac sinα sin γ

A(α) = B(α) cos γ + C(α) sin γ (14)

La (14) ha due soluzioni per γ: γ1 e γ2 (a cui corrispondono rispettivamente le soluzioniβ1 e β2 per l’angolo β). Tali soluzioni stanno ad indicare che esistono due possibiliconfigurazioni del quadrilatero (Figura 17b).

L’analisi di posizione si puo risolvere con “riga e compasso”. Nel caso del quadrilateroarticolato le due configurazioni si trovano come intersezione di due circonferenze di centriB e D e raggi b e c, rispettivamente (Figura 17b).

0.6. ANALISI CINEMATICA DI SISTEMI ARTICOLATI PIANI 17

!(a) !(b)

Figura 17: Le due configurazioni del quadrilatero articolato

0.6.1.2 Analisi di velocita e accelerazione

Derivando rispetto al tempo le (13) si ottiene:

aα sinα + bβ sin β + cγ sin γ = 0

aα cosα + bβ cos β + cγ cos γ = 0(15)

Le (15) possono essere poste in forma matriciale, ottenendo:[b sin β c sin γb cos β c cos γ

]βγ

= −aα

sinαcosα

(16)

ossia, in forma compatta:[A] s = −α h(α) (17)

in cui la matrice [A] e detta Jacobiano.La soluzione del problema di velocita si ottiene dalla:

s = −α [A]−1 h(α) = α k(α) (18)

in cui il vettore k(α) =sα

e il vettore dei coefficienti di velocita.

Per le accelerazioni, e sufficiente derivare le (17) per ottenere:

s = − [A]−1(

˙[A] s+ α h(α)+ αh(α)

)(19)

o, facendo riferimento alla (18):

s = α k(α)+ α2

∂k(α)

∂α

= α k(α)+ α2 k′(α) (20)

in cui il vettore k′(α) e il vettore dei coefficienti di accelerazione.

Dalle (18) e (19) si vede che i problemi di velocita e di accelerazione, al contrario diquello di posizione, sono problemi lineari.


Le analisi di velocita e di accelerazione risultano indeterminate se lo Jacobiano [A] non einvertibile, ossia se il suo determinante e nullo. Si parla di posizioni singolari.

Il quadrilatero in esame si trova in posizione singolare se il punto C e allineato con Be D (vedi Figura 18). Infatti, si ha:

det[A] = det

[b sin β c sin γb cos β c cos γ

]= bc sin β cos γ − bc cos β sin γ = sin(β − γ) = 0

cioe lo Jacobiano ha determinante nullo quando β = γ.

!

Figura 18: Quadrilatero in posizione singolare

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 19

Riferimenti Bibliografici

[Dou88] Samuel Doughty. Mechanics of machines. Wiley New York, 1988.

[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicataalle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Patroneditore S.r.l., Bologna, 2005.

[Pau79] B Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall, 1979.

Capitolo 1

Sistemi Articolati

1.1 Analisi cinematica con approccio modulare

1.1.1 Premessa

Figura 1.1: Sistema articolato

a cosα + b cos(α+ β) + c2 cos(α + β + γ2) ++ d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)x

a sinα + b sin(α + β) + c2 sin(α + β + γ2) ++ d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α+ β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)y

c3 cos(α+ β + γ2 + γ3) + d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F −G)x

c3 sin(α + β + γ2 + γ3) + d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F −G)y

20

1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE 21

1.1.2 Approccio modulare

L’approccio modulare ha lo scopo di determinare equazioni di chiusura disaccoppiate edi risolvere, in passi successivi, sottoinsiemi di equazioni contenenti un numero ridotto divariabili.Spesso il disaccoppiamento e ottenuto a posteriori. Secondo l’approccio modulare l’idea einvece quella di considerare il problema in modo da ottenere a priori sottoinsiemi (moduli)di equazioni contenenti poche incognite ciascuno.

La k−esima equazione scalare di chiusura e nella forma:

fk(ψ1, . . . , ψn) = 0, k = 1, . . . , n− l

dove ψi e la i−esima variabile del moto (i = 1, . . . , n).Indicando con l il numero di gradi di liberta del meccanismo e con qj la j−esima variabileindipendente (j = 1, . . . , l), la k−esima equazione di chiusura puo scriversi:

fk(ψ1, . . . , ψn−l, q1, . . . , ql) = 0

dove, in generale, le incognite (le variabili indipendenti ψi) compaiono in tutte le n − lequazioni. Seguendo l’approccio modulare, invece, si puo arrivare addirittura ad un siste-ma di equazioni in echelon form (a gradinata), in cui nella prima equazione compare unasola incognita, nella seconda compare una sola incognita in piu e cosı via:

f1(ψ1, q1, . . . , ql) = 0f2(ψ1, ψ2, q1, . . . , ql) = 0f3(ψ1, ψ2, ψ3, q1, . . . , ql) = 0. . .fn−l(ψ1, . . . , ψn−l, q1, . . . , ql) = 0

1.1.3 Gruppi di Assur

Figura 1.2: Catene cinematiche a mobilita nulla: solo due sono gruppi di Assur (AKC:Assur Kinematic Chain)

22 CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI

1.1.4 Gruppi di Assur a tre membri

(a) (b)

Figura 1.3: Gruppi di Assur a tre membri: a) RRR; b) RRP

(a) (b)

Figura 1.4: Gruppi di Assur a tre membri: a) RPR; b) PPR

Figura 1.5: Gruppi di Assur a tre membri: RPP


1.1.5 La Diade (RRR)

P1

r1

P3

P2

r2

λ(P2-P1)

µk (P2-P1)

Figura 1.6: Schema per la soluzione del gruppo RRR (Diade)

Equazioni di chiusura:(P3 − P1)

2 = r12

(P3 − P2)2 = r2

2

Posto:(P3 − P1) = λ(P2 − P1) + µ k ∧ (P2 − P1)

(P3 − P2) = (P3 − P1)− (P2 − P1)

la seconda equazione di chiusura fornisce:

r22 = (P3 − P2)

2 = (P3 − P1)2 + (P2 − P1)

2 − 2(P3 − P1)(P2 − P1) =

r12 + (P2 − P1)

2 − 2[λ(P2 − P1) + µ k ∧ (P2 − P1)](P2 − P1) =

r12 + (P2 − P1)

2 − 2λ(P2 − P1)2

cioe un’equazione nell’unica incognita scalare λ:

λ =1

2

[1 +

r12 − r2

2

(P2 − P1)2

]Introducendo l’espressione di λ nella prima equazione di chiusura si ottiene:

(P3 − P1)2 = λ2(P2 − P1)

2 + µ2(P2 − P1)2 = r21

cioe un’equazione di secondo grado nell’incognita µ:

µ2 =

[r21

(P2 − P1)2 − λ2

]Si hanno tre casi:

µ2 > 0 2 soluzioni reali distinteµ2 = 0 2 soluzioni reali coincidentiµ2 < 0 2 soluzioni complesse (la diade non e assemblabile).


1.1.6 Il gruppo RRP

!


1.1.7 Il gruppo RPR

!


1.1.8 Il gruppo PPR

!


1.1.9 Il gruppo RPP

!


1.2 Sintesi cinematica

1.2.1 Il quadrilatero articolato

Regola di Grashof

I quadrilateri articolati vengono classificati secondo la Regola di Grashof.Siano a il lato piu corto, b il lato piu lungo, c e d le aste intermedie.a+ b < c+ d quadrilateri di Grashofa+ b > c+ d quadrilateri non di Grashofa+ b = c+ d caso limite.

Con riferimento alla Figura 1.7, sono di Grashof il primo, il secondo e il quarto. Nonsono di Grashof il terzo, il quinto ed il sesto. Il caso limite e rappresentato in Figura 1.8.

!

Figura 1.7: Il quadrilatero articolato.

1.2. SINTESI CINEMATICA 29

!

Figura 1.8: Parallelogramma articolato (a); antiparallelogramma articolato (b);quadrilatero isoscele (c).

Traiettorie di punti di biella aventi forma qualunque possono ottenersi mediante pen-talateri azionando opportunamente le aste adiacenti al telaio (Figura 1.9a). I pentalaterihanno due gradi di liberta. Infatti tutti i sistemi articolati piani con 1 solo grado di libertahanno un numero di membri pari. Se si ha la necessita di ricondursi al caso di un solo gdl,si devono vincolare in qualche modo le aste adiacenti al telaio (Figura 1.9b e Figura 1.9c).

!

Figura 1.9: Il pentalatero articolato.


1.2.2 Sintesi cinematica di un QA manovella–bilanciere

Si debba sintetizzare un quadrilatero articolato per la trasformazione di un moto rotatoriocontinuo in un moto rotatorio alterno. Il quadrilatero dovra percio avere una manovellaed un bilanciere.

Iniziamo col richiamare la definizione di punti morti del bilanciere facendo riferimentoalla Figura 1.10. Si tratta delle posizioni estreme del bilanciere. Esse si verificano quandoil membro opposto al bilanciere (la manovella) si trova allineato con la biella (il membroopposto al telaio). Dette AB la lunghezza di biella, O1A il raggio di manovella e O3Bla lunghezza del bilanciere, i punti morti si determinano graficamente (vedi Figura 1)intersecando la circonferenza di centro O3 e raggio O3B con le circonferenze di centro O1

e raggi (AB + O1A) e (AB − O1A). I due punti morti cosı trovati sono rispettivamenteB′ e B′′.

Figura 1.10: Punti morti del bilanciere

Si debba progettare il quadrilatero in modo tale tale che il bilanciere (membro cedente)compia oscillazioni di ampiezza β assegnata e, nello stesso tempo, con tempi di andatae ritorno prestabiliti. In altre parole, se la manovella ruota a velocita angolare costante,essa deve compiere angoli prefissati durante le due corse del bilanciere.

Con riferimento alla Figura 1.11, notiamo che, indicati con Ω la velocita angolare(costante) di manovella, con ϕa e ϕr gli angoli corrispondenti ai tempi di andata e ritornodel bilanciere, si ha:

Ω =2π

ta + trϕa = Ω ta = 2π

tata + tr

ϕr = Ω tr = 2πtr

ta + tr

Definito θ l’angolo differenza tra π e l’angolo di andata ϕa, il quadrilatero che rispondealle esigenze specificate si ottiene seguendo il procedimento seguente (vedi Figura 1.12):


Figura 1.11: Parametri della sintesi

1. Dal punto O3 si tracci un raggio di lunghezza arbitraria O3B′.

2. Da O3 si tracci un secondo raggio formante con O3B′ l’angolo β e si prenda su di

esso un punto B′′ tale che O3B′ = O3B

′′.

3. Da B′ si tracci una retta qualunque.

4. Da B′′ si tracci una retta formante con quella uscente da B′ l’angolo θ.

5. Le due rette si incontrano nel centro O1 di manovella.

Figura 1.12: Sintesi del QA: procedimento


Posto:O1A = r, raggio di manovellaAB = l, lunghezza di bielladeve essere O1B

′ = l + r e O1B′′ = l − rda cui si ricava il raggio di manovella r = (O1B

′ −O1B′′)/2.

In Figura 1.13 e rappresentato il quadrilatero cosı ottenuto.

Figura 1.13: Quadrilatero sintetizzato

Come e ovvio, il problema ammette infinite soluzioni. Infatti la lunghezza del raggioO3B

′ e stata scelta con arbitrio, come anche la retta uscente da B′. Dal momento chetutti i punti O1 che soddisfano il problema vedono il segmento B′B′′ sotto lo stesso angoloθ, significa che devono appartenere alle due circonferenze passanti per B′ e B′′ ed aventicentro sulla bisettrice dell’angolo β (da parti opposte rispetto al segmento B′B′′) e raggioR pari a (vedi Figura 1.14):

R = O3B′sin

β

2sin θ

= OB′

Non tutti i punti giacenti sulle due circonferenze menzionate sono posizioni ammissibiliper il centro di rotazione di manovella. Si puo infatti dimostrare che per permettere ilmoto senza rompere i vincoli, il punto O1 deve mantenersi esterno all’angolo di vertice O3

e apertura β.

Vista la suddetta limitazione, ne consegue un valore limite per l’angolo θ. Infatti alvariare di θ varia il raggio R (ad esempio per valori di θ < π/2 un aumento di θ implicauna diminuzione di R). Di conseguenza si modificano i campi ammissibili per il puntoO1. Non esistono piu zone ammissibili per O1 quando θ raggiunge il valore limite (vediFigura 1.15):

θlim =π

2+β

2


Figura 1.14: Luoghi delle possibili posizioni del punto O1

L’esistenza di un valore limite per l’angolo θ introduce una limitazione per quantoriguarda il rapporto tra gli angoli descritti dalla manovella in corrispondenza delle duecorse del bilanciere:

ϕa = π − θ

ϕr = π + θ

π + θ

π − θ<π + θlimπ − θlim

=3π + β

π − β

ed anche:ϕrϕa

=trta<

3π + β

π − β

Ad esempio se β = π/2 si ha (per l’evidente intercambiabilita tra ta e tr):1

7<trta< 7.

In ogni caso la soluzione non e ancora unica. Il problema risulta definito (naturalmenteentro i limiti fra i quali la soluzione e possibile) se, ad esempio, si fissa il valore del rapportoO1O3/O3B

′.

Talvolta e conveniente definire il problema cercando di ottimizzare il valore dell’angolodi trasmissione (l’angolo compreso tra bilanciere e biella).


Figura 1.15: Valore limite dell’angolo θ


1.2.3 Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere

Si consideri il seguente problema di sintesi: determinare un quadrilatero che per unarotazione assegnata θ21, di un membro collegato al telaio, abbia una rotazione assegnataφ21, dell’altro membro collegato al telaio.

La soluzione di questo problema e la seguente (Figura 1.16):

1. si scelgono arbitrariamente i punti fissi C0,D0 e la posizioneD0B1 di uno dei membri;

2. facendo ruotare D0B1 di un angolo φ21 attorno a D0 si determina la posizione D0B2;

3. si determina l’asse v del segmento B1B2;

4. sull’asse v si sceglie ad arbitrio un punto P12 (P12 e il polo delle rotazioni e devestare su tale asse come si vede dalla Figura 1.16);

5. si congiunge P12 con B1 determinando l’asse u;

6. si misura l’angolo δ/2 fra u e v;

7. si congiunge P12 con C0 determinando l’asse z;

8. si riporta δ/2 su z determinando l’asse x;

9. a partire da C0 si traccia l’asse y tale che esso formi con z l’angolo noto θ21/2;

10. l’intersezione di x e y definisce il punto A1.

Il quadrilatero richiesto e C0A1B1D0 che, per costruzione, rispetta tutte le relazionigeometriche del polo delle rotazioni P12 definite dalla Figura 1.16.

Figura 1.16: Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere


1.2.4 Generazione di Movimenti–Sintesi grafica

1.2.4.1 Segmento di biella per due posizioni

e sufficiente far ruotare il piano contenente il segmento AB attorno al puntoO (individuatointersecando gli assi dei segmenti A1A2 e B1B2) di un angolo pari a quello compreso trale due posizioni che il segmento deve assumere (Figura 1.17).

Figura 1.17: Segmento per due posizioni

Se tale soluzione non fosse conveniente si puo ricorrere ad un quadrilatero articolato conl’unica condizione che i centri delle aste adiacenti al telaio cadano sugli assi dei segmentiA1A2 e B1B2 (Figura 1.18a). Ci sono infinite soluzioni che si riducono a quattro se peresempio si fissano le lunghezze delle aste adiacenti al telaio. La soluzione e unica se sistabilisce su quale dei due semipiani devono stare i centri O1 e O3.

Se non ha interesse che gli estremi delle aste adiacenti al telaio cadano nei punti A eB, si possono fissare gli angoli ϕA e ϕB, oltre che i centri O1 e O3 (vedi Figura 1.18b).

(a) (b)

Figura 1.18: Segmento di biella per due posizioni


1.2.4.2 Segmento di biella per tre posizioni

Il quadrilatero articolato con il centro O1 sull’intersezione degli assi dei segmenti A1A2,A2A3 ed il centro O3 sull’intersezione degli assi B1B2, B2B3 risolve il problema (vediFigura 1.19).

Figura 1.19: Segmento di biella per tre posizioni

1.2.5 Osservazione

Una osservazione finale che riguarda tutti i metodi di sintesi di tipo diretto, quali quellivisti in precedenza od altri analoghi: le equazioni di sintesi determinano, se esiste, unmeccanismo (o piu di uno) le cui dimensioni sono compatibili con le specifiche di sintesi:cosı il meccanismo di Figura 1.18 e tale che esso puo esistere sia nella prima posizione chenella seconda posizione, ma nulla garantisce a priori che possa effettivamente passare, concontinuita (ossia rispettando le equazioni di chiusura) dalla prima alla seconda.

La sintesi garantisce cioe la compatibilita con le posizioni (e velocita e accelerazioni)imposte dalle specifiche, non con le posizioni ad esse intermedie: questa va verificata consuccessive analisi di posizione (o, se e possibile, di mobilita).


1.2.6 Tracciamento delle traiettorie

1.2.6.1 Generalita

(a)

(b)

Figura 1.20: Inseguimento di traiettorie

Di notevole interesse applicativo risultano esse-re le traiettorie dei punti di biella (dette anchecurve di biella). Infatti, queste traiettorie as-sumono forme molto diversificate che possonoessere utilizzate per la soluzione di molti pro-blemi progettuali. Di solito la soluzione e pos-sibile solo in via approssimata. In questi casisi tollera che la curva effettiva sia contenuta inuna banda definita attorno alla traiettoria teo-rica (Figura 1.20a). In altri casi si impone che latraiettoria passi per un numero limitato di pun-ti senza curarsi dell’andamento negli intervallitra i punti stessi (Figura 1.20b).

Si prenda in esame qualche caso in cui abbiaimportanza la realizzazione di una traiettoriadi un punto di biella di forma prestabilita. Il primo esempio e quello di Figura 1.21a incui una gru da porto ha il gancio che deve compiere una traiettoria rettilinea orizzontale.Un altro esempio e quello del trascinatore per pellicole fotografiche di Figura 1.21b in cuil’estremo di biella deve compiere la traiettoria tratteggiata.

(a) (b)

Figura 1.21: Sintesi di traiettorie rettilinee: a) gru da porto; b) trascinatore di pellicole

In Figura 1.22 l’asta 6 del sistema articolato deve realizzare una sosta in corrispondenzadi una certa fase della rotazione completa del movente (la manovella 1). L’obiettivo vieneraggiunto se, durante la medesima fase, il punto D (solidale alla biella 2 del quadrilateroarticolato O1ABO3) percorre una traiettoria circolare di centro E.


Figura 1.22: Sistema articolato: l’asta 6 possiede un moto rotatorio alterno con sosta

1.2.6.2 Traiettoria a partire dalle polari

Per tracciare la traiettoria di un punto di un membro di un meccanismo, conviene fareriferimento alle primitive del moto. Queste due curve, rotolando tra loro, definisconocompletamente il moto di un corpo rigido nel piano. Se si considera il moto assoluto di unmembro, alle primitive si da il nome di polari (polare fissa e polare mobile). Ricordandoche le primitive sono i luoghi dei centri di istantanea rotazione, si considera la Figura 1.23ain cui C0i e C1i siano punti corrispondenti sulle due polari, ossia punti che vengono traloro a contatto durante il rotolamento delle polari. Vediamo come, nota la forma dellepolari, si possa trovare la traiettoria di un punto P appartenente al piano mobile.e sufficiente individuare la posizione di P rispetto alla polare mobile facendo riferimentoal punto C1i mediante le due coordinate ρi (distanza C1iP ) e φi (angolo che il raggio ρiforma con la normale in C1i alla polare mobile). Con gli stessi valori di ρi e φi si individuail punto Pi a partire dal punto C0i.

Si noti che la normale condotta da un punto Pi alla traiettoria di P passa per il centrodi istantanea rotazione C0i. Quindi con la costruzione sopra descritta possono trovarsinon solo i punti Pi ma anche le tangenti alla traiettoria nei punti stessi (Figura 1.23b).

(a) (b)

Figura 1.23: Tracciamento della traiettoria a partire dalle polari


1.2.6.3 Formula di Eulero–Savary

A volte e necessario conoscere il raggio di curvatura della traiettoria in corrispondenza deisingoli punti Pi. Esso puo essere determinato qualora si conoscano i raggi di curvaturadelle polari in corrispondenza dei vari punti Ci. Vale infatti la formula di Eulero-Savary:

1

R0

− 1

R1

=

(1

CQ− 1

CP

)cosφ (1.1)

dove Q e il centro di curvatura della traiettoria di P , R0 ed R1 sono i raggi di curvaturadelle polari in corrispondenza di un generico punto C.Per il significato dell’angolo φ si faccia riferimento alla Figura 1.24.

Figura 1.24: Formula di Eulero–Savary

Una volta scelto come positivouno dei due semipiani limitati dal-la tangente comune alle due polariin C, i segmenti CO0, CO1, CP eCQ devono essere considerati po-sitivi se i punti O0, O1, P e Q ca-dono nel piano positivo. Il cosφ esempre positivo. Figura 1.24.

Applicazione La formula diEulero–Savary puo essere utilizza-ta anche senza conoscere le pola-ri, purche sia noto il punto C. Siconsideri ad esempio il quadrila-tero articolato di Figura 1.25 e sivoglia trovare il centro di curva-tura di un punto P della biella.Applicando la formula ai punti Ae B dei quali si conosce la traiet-toria, si perviene ad un sistema didue equazioni nelle due incognite(1/R0 − 1/R1) e φA.

1

R0

− 1

R1

=

(1

CO1

− 1

CA

)cosφA

1

R0

− 1

R1

=

(1

CO3

− 1

CB

)cos(φA±α)

Ricavate le due incognite, ba-sta sostituirle nella seguente pertrovare l’unica incognita CQ.

1

R0

− 1

R1

=

(1

CQ− 1

CP

)cos(φA ± γ)


O 3

O 1

A

BP

C

γ

α

Figura 1.25: Applicazione della formula di Eulero–Savary

1.2.6.4 La circonferenza dei flessi

Per lo studio delle proprieta delle traiettorie di punti presenta notevole interesse anche lacirconferenza dei flessi. Si consideri ancora la (1.1). Se esistono punti del piano mobile per

C

P

F1

0

Figura 1.26: Circonferenza dei flessi

i quali, in una determinata posizione, la traiettoria ha curvatura nulla (raggio di curvaturainfinito), indicati tali punti con F , si ha:

1

R1

− 1

R0

=1

CFcosφ (1.2)

Il luogo dei punti F e pertanto una circonferenza passante per C, con centro sulla normalealle polari nel punto di contatto e con diametro pari a D:

1

D=

1

R1

− 1

R0


Poiche i punti F giacenti su questa circonferenza sono punti di flesso delle proprietraiettorie, alla circonferenza si da il nome di circonferenza dei flessi. Il suo tracciamentonon e sempre banale. A tal fine si puo osservare che applicando la (1.1) a due punti P edF allineati sulla stessa retta passante per C, si ha:

1

CQ− 1

CP= − 1

CF(1.3)

la (1.3) noti P e Q permette di trovare F e, al contrario, se sono noti P ed F permettedi trovare Q. La Eq. (1.3) per un impiego piu comodo puo essere scritta in altra forma.Infatti, posto: p = PC, q = PQ, f = PF , si ottiene:

p2 = qf (1.4)

1.2.6.5 Esempi

Esempio no.1 Una circonferenza di raggio R1 e centro O1 rotola su una retta (Figu-ra 1.27a). Come risulta ovvio, circonferenza e retta sono rispettivamente la polare mobileσ1 e la polare fissa σ0. La circonferenza dei flessi passa, oltre che per C, anche per il puntoO1. Il risultato e ovvio poiche O1 ha traiettoria rettilinea.

C

O1

1

0 (a)

O 3

O 1

A BP

C

Q

F

FA

FB

(b)

Figura 1.27: Circonferenza dei flessi: esempio 1

Esempio no.2 Come esempio di applicazione della (1.4) si consideri il quadrilateroarticolato di Figura 1.27b in cui si vuole trovare il centro di curvatura del punto P dellabiella. Si scrive la (1.4) per i punti A e B trovando cosı i punti FA e FB. Si traccia lacirconferenza dei flessi (e quella passante per FA, FB e C). Il centro Q di curvatura dellatraiettoria di P si trova scrivendo la (1.4) per il punto P .


Esempio no.3 Si riconsideri il problema della gru da porto citato in precedenza (Figu-ra 1.21a) facendo ora riferimento alla Figura 1.28. Note le posizioni dei punti A0, A, Be la direzione dell’asta B0B, si deve trovare la posizione del centro B0 affinche P abbiatraiettoria orizzontale. Il problema puo essere risolto nel seguente modo:


1. Si trova il punto C (centro di istantanea rotazione assoluto della biella).

2. Si applica la (1.4) al punto A trovando cosı FA.

3. Da C si manda la verticale e su di essa si fissa un punto P qualunque.

4. Si traccia la circonferenza passante per C, FA e P .

5. Si determina il punto FB intersecando tale circonferenza con la retta passante perC ed B.

6. Infine, applicando la (1.4) a B si trova il punto incognito B0.

Esempio no.4 Un altro caso in cui la traiettoria debba essere pressoche rettilinea e rap-presentato in Figura 1.29 in cui il punto all’estremita inferiore della biella del quadrilateroarticolato viene fatto cadere sulla circonferenza dei flessi.

1.2.6.6 Impiego di atlanti

Per traiettorie pressoche rettilinee, ma soprattutto per traiettorie di altra forma, e con-veniente fare uso di atlanti che forniscono direttamente, per un gran numero di casi, la



traiettoria di un punto di biella.

In questi atlanti vengono riportate in modo sistematico le traiettorie dei punti di bielladi quadrilateri in cui le lunghezze delle aste sono rapportate alla lunghezza della manovella.I quadrilateri sono rappresentati tutti nella posizione in cui la manovella A0A e allineatacon A0B0 (Figura 1.30). Per ogni quadrilatero vengono tracciate le traiettorie di unaserie di punti distribuiti regolarmente sul piano di biella. Le lunghezze della aste vengonovariate in modo sistematico.

Sull’atlante di Hrones-Nelson (uno dei piu famosi) sono riportate piu di 7000 curve dibiella. Alcuni esempi sono rappresentati nelle Figure 1.31a e 1.31b.

!

Figura 1.30: Impiego di atlanti

Dopo che il quadrilatero e stato scelto sulla scorta dell’atlante, potra essere opportunocontrollare la posizione del centro di curvatura della traiettoria in qualche configurazioneparticolare; un tale controllo e possibile con l’ausilio della circonferenza dei flessi.


(a) (b)

Figura 1.31: Curve di biella: a) quadrilatero manovella–bilanciere; b) quadrilatero adoppio bilanciere

1.2.6.7 Teorema di Roberts

Figura 1.32: Teorema di Roberts

Una volta determinate le proporzio-ni di un quadrilatero che permetta direalizzare una data traiettoria di biel-la, e sempre possibile trovare altri duequadrilateri che diano la stessa tra-iettoria. Cio permette di scegliere ilmeglio proporzionato tra i quadrilate-ri ugualmente idonei alla soluzione delproblema considerato.

La costruzione che permette di tro-vare i tre quadrilateri equivalenti e il-lustrata in Figura 1.32. Sia O1ABO3 ilquadrilatero originario e P il punto dibiella di cui si considera la traiettoria.

1. Si tracciano i parallelogrammiO1MPA e O3NPB.

2. Si tracciano i triangoli MQP ePRN simili al triangolo APB.

3. Si traccia il parallelogrammaPQO7,8R.

Si osservi che anche O1O7,8O3 e similea APB. I quadrilateri equivalenti sono1, 2, 3, 4 (con biella 2), 4, 5, 6, 7 (conbiella 6) e 4, 8, 9, 10 (con biella 9).


1.2.6.8 Guide rettilinee esatte

(a) (b)

Figura 1.33: Guide rettilineee esatte: a) Kempe; b) Peaucellier

Figura 1.34: Guide rettilinee esatte di Hart

1.2.6.9 Guide rettilineee approssimate

(a) (b)

Figura 1.35: Guide rettilineee approssimate: a) meccanismo di Watt; b) guida diChebyshev


Figura 1.36: Guide rettilinea (approssimata) di Robets

1.2.6.10 Meccanismi per moto traslatorio

Figura 1.37: Meccanismi per moto traslatorio: a) Tecnigrafo; b) Parallelogrammaarticolato


1.2.7 Generazione di Traiettorie–Sintesi grafica

1.2.7.1 Tre posizioni imposte

Il problema consiste nel progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di biellapassi per tre punti assegnati. Le posizioni degli assi fissi O1 e O3 (Figura 1.38) sonoarbitrarie. Arbitrarie sono anche la lunghezza di manovella e la distanza tra A e P . Conl’aumentare del numero di posizioni assegnate, limitazioni saranno imposte al numero diparametri che e possibile scegliere in modo arbitrario. Il problema si risolve nel seguentemodo:

1. Si sceglie la posizione degli assi fissi O1 e O3.

2. Si sceglie la lunghezza di manovella e si traccia la traiettoria del punto A.

3. Si sceglie un punto A1 corrispondente alla prima posizione di P , ovvero P1.

4. Risulta cosı fissata la distanza AP . Di conseguenza possiamo determinare le posi-zioni A2 e A3 corrispondenti rispettivamente a P2 e P3.

5. A, P e B sono tutti punti della biella e percio la loro mutua distanza non varia.Quindi, determinata la posizione di B1, il problema e risolto.

Figura 1.38: Traiettoria di un punto di biella per tre punti

La posizione di B1 (cioe la posizione di B corrispondente a P1) si puo trovare medianteinversione cinematica mantenendo fissa la biella nella posizione iniziale.Nel meccanismo di Figura 1.38, nel passaggio da P1 a P2, la biella ruota rispetto allamanovella dell’angolo α21 = α2 − α1 in senso antiorario. Percio, operando l’inversione ci-nematica (Figura 1.39), la manovella ruota rispetto alla biella dello stesso angolo (α2−α1)ma in senso orario. Il centro O1 si sposta cosı nella posizione O′

1. Il centro O3 si vienea trovare nella posizione O′

3 individuata dall’intersezione dell’arco di centro O′1 e raggio

O1O3 e dell’arco di centro P1 e raggio P2O3 (misurato in Figura 1.38).La posizione O′′

3 si trova, analogamente, intersecando l’arco di centro O′′1 (trovato ruotan-

do la manovella dell’angolo α31 = α3 − α1) e raggio O1O3 con l’arco di centro P1 e raggio


P3O3.La posizione B1 e il centro dell’arco passante per O3, O

′3 e O′′

3 . Per trovarla bastaintersecare gli assi dei segmenti O3O

′3 e O′

3O′′3 .


Disegnato il meccanismo nelle tre posizioni (Figura 1.40a) se ne controlla l’aspetto e,se il risultato non dovesse essere soddisfacente, la procedura puo essere ripetuta con sceltedifferenti da quelle iniziali.

Occorre fare una annotazione importante a riguardo dei metodi grafici: imprecisionianche lievi nella costruzione grafica, possono dare luogo ad errori notevoli. Nel caso inesame, ad esempio, piccole imprecisioni nelle direzioni degli assi dei segmenti O3O

′3 e O

′3O

′′3

possono portare ad errori anche notevoli nella determinaizone del punto B1. Si pensi inparticolare a quello che potrebbe accadere se i segmenti O3O

′3 e O′

3O′′3 risultassero quasi

paralleli.



1.2.8 Sintesi cinematica mediante metodi analitici

Molte tecniche matematiche sono state utilizzate per risolvere problemi di sintesi cine-matica. Tra esse, metodi algebrici, metodi matriciali, numeri complessi. Per i sistemiarticolati piani, la tecnica basata sui numeri complessi e la piu semplice e versatile.

1.2.8.1 Premessa

Ogni meccanismo piano puo essere rappresentato mediante una catena cinematica checonsiste in uno o piu loop di coppie di membri asta-corsoio (vedi Figura 1.41). Ad esempio,il manovellismo di spinta non centrato di Figura 1.42a puo essere rappresentato come inFigura 1.42b a patto che le aste 2, 3 e 4 siano bloccate ai rispettivi corsoi e che le aste 1e 4 siano solidali al telaio.

!

Figura 1.41: Generica catena cinematica

(a) (b)

Figura 1.42: Manovellismo di spinta eccentrico (a) e sua catena cinematica equivalente(b)

Nella k-esima coppia asta–corsoio, la posizione del pivot del corsoio rispetto al pivotdell’asta puo essere definita mediante il vettore complesso Zk, come rappresentato inFigura 1.43. Nella posizione iniziale sia:


Figura 1.43: Rappresentazione con vettori complessi della coppa asta-corsoio

Zk = Zk eiθ1 Zk = Zk (cos θ1 + i sin θ1)

dove Zk e la distanza tra i due pivot nella posizione di partenza e θ1 e l’angolo misuratotra il vettore Zk nella posizione di partenza e l’asse reale di un sistema di riferimento chetrasla con il pivot dell’asta (rotazioni positive se antiorarie).

Se non varia la distanza tra i due pivot nel passare dalla posizione di partenza ad unagenerica posizione j, si ha (vedi Figura 1.43):

Zk′ = Zk e

iθj = Zk ei(θ1+φj) = Zk e

iθ1 eiφj

con φj = θi − θ1, ovvero:Zk

′ = Zk eiθ1eiφj = Zk e

iφj

Il termine eiφjviene chiamato operatore rotazionale poiche esprime una rotazione pura

del vettore Zk.

Se invece si ha anche una variazione della distanza tra i due pivot, definita mediante

il rapporto: ρj =Zk

′

Zk, si ha:

Zk′ = Zk

′ eiθj = Zk ρj eiθ1eiφj = Zk ρj e

iφj


1.2.8.2 La diade

La grande maggioranza di sistemi articolati piani puo essere pensata come combinazionedi coppie di vettori chiamate DIADI. Per esempio, il quadrilatero articolato di Figura 1.44puo essere ritenuto combinazione di due diadi: la parte sinistra rappresentata mediantela coppia di vettori W e Z e la parte destra dai vettori W∗ e Z∗.

!

Figura 1.44: Quadrilatero articolato (unione di due diadi)

I vettori che rappresentano la biella AB ed il telaio A0B0 possono essere facilmentedeterminati mediante le seguenti relazioni vettoriali:

AB = Z− Z∗ A0B0 = W +AB−W∗ (1.5)

Si consideri ora solo una delle due diadi che formano il quadrilatero di Figura 1.44,ad esempio quella di sinistra, e con questa si voglia collocare un punto P del piano indeterminate posizioni. Detta Pj la posizione j-esima del punto P , se si misurano lerotazioni dei vettori a partire dalla posizione iniziale P1 (positive quelle antiorarie), conriferimento alla Figura 1.45, si ha:βi rotazione di W nel passaggio di P dalla posizione iniziale P1 alla posizione Pjαj rotazione di Z nel passaggio di P dalla posizione iniziale P1 alla posizione Pj

Definendo inoltre le posizioni P1 e Pj tramite i vettori complessi R1 e Rj (rispetto adun arbitrario sistema di riferimento complesso (x, iy) con origine in O), deve aversi (perla chiusura del poligono A0AP1OPjAjA0):

W eiβj + Z eiαj −Rj +R1 − Z−W = 0 (1.6)

La (1.6) si puo anche scrivere nel modo seguente:

W (eiβj − 1) + Z (eiαj − 1) = δj (1.7)


Figura 1.45: Schema per l’equazione di chiusura della diade

con:

δj = Rj −R1 (1.8)

La (1.7), esprimendo la chiusura dell’anello A0AP1PjAjA0, non e altro che la sommavettoriale effettuata seguendo l’anello che contiene la prima e la j-esima posizione.La (1.7) e considerata in standard form se sono noti gli angoli αj o βj e se il vettore δj enoto, ovvero le posizioni P1 e Pj sono note (sono noti i vettori R1 ed Rj).Tale situazione e comune quando si devono raggiungere gli usuali obiettivi della sintesicinematica: generazione di movimenti, generazione di traiettorie, generazione di funzioni.

La diade: Numero di posizioni prescritte e numero di scelte arbitrarie

Dal momento che il numero di parametri (le due componenti di ogni vettore) che descrivo-no il meccanismo nella sua posizione iniziale e finito, il numero di posizioni (o movimenti)che puo essere imposto in un problema di sintesi sara finito.


Tabella 1.1: Numerosita delle soluzioni per la diadeNumero di Numero di Numero di Numero diposizioni equazioni incognite soluzioni

j = 2, 3, . . . , n scalari (e) scalari (i) (∞i−e)2 2 5 (W,Z, β2) ∞3

3 4 6 (precedenti +β3) ∞2

4 6 7 (precedenti +β4) ∞1

5 8 8 (precedenti +β5) finito

Si pensi, per fissare le idee, alla generazione di movimenti con una diade (ma nullacambia se si devono generare traiettorie in tempi prestabiliti). Nella Figura 1.45, sarannoassegnati i vettori δj e le rotazioni del secondo membro mobile della diade, cioe gli angoliαj. Se il numero di posizioni prescritte e pari a due (j = 2), l’equazione vettoriale (1.7)diventa:

W (eiβ2 − 1) + Z (eiα2 − 1) = δj

dove le incognite sono 5 (le due componentiWx eWy del vettore W, le due componenti Zxe Zy del vettore Z e l’angolo β2). Si hanno quindi due equazioni scalari che contengonocinque incognite scalari. Se tre delle cinque incognite vengono fissate arbitrariamente,le equazioni possono essere risolte nelle restanti due incognite. Poiche in generale c’eun infinito numero di scelte per ognuna delle tre variabili libere, il numero di possibilisoluzioni per un problema di sintesi di questo tipo e ∞3.

Se il numero di posizioni prescritte aumenta di uno, il numero di equazioni scalariaumenta di due (le equazioni vettoriali aumentano di uno), ma si ha una sola incognitain piu. Percio si avra un numero di soluzioni pari a ∞2. La situazione e riassunta inTabella 1.1. Ogni volta che si aggiunge una posizione, si aggiungono due equazioni scalaried il numero di incognite scalari aumenta di uno. Se il numero di posizioni prescritto ecinque, non si hanno variabili che e possibile scegliere in modo arbitrario. Percio cinquee il massimo numero di posizioni possibile per la soluzione di un problema di generazionedi movimento mediante diade.

Analizziamo nel dettaglio i vari casi.

Generazione di movimento – due posizioni (j = 2).

Sono prescritti i valori di δ2 e α2. Si ha un’unica equazione vettoriale:

W (eiβ2 − 1) + Z (eiα2 − 1) = δ2 (1.9)

Se, ad esempio, si scelgono ad arbitrio il vettore Z e l’angolo β2, la soluzione per W e laseguente:

W =δ2 − Z (eiα2 − 1)

eiβ2 − 1(1.10)

La (1.10) rappresenta un sistema di due equazioni scalari che e lineare nelle due incogniteWx e Wy.


Generazione di movimento – tre posizioni (j = 2, 3).

Sono prescritti i valori di δ2, δ3 e α2, α3. Il sistema di equazioni e il seguente:

W(eiβ2 − 1) + Z(eiα2 − 1) = δ2

W(eiβ3 − 1) + Z(eiα3 − 1) = δ3(1.11)

Le due (1.11) corrispondono a quattro equazioni scalari. Se vengono scelti ad arbitrio ivalori di β2 e β3, il sistema e lineare nelle incognite W e Z. Percio, scelti ad arbitrio β2e β3, anche questo problema e lineare. La soluzione puo essere trovata mediante la regoladi Cramer :

W =

∣∣∣∣δ2 eiα2 − 1δ3 eiα3 − 1

∣∣∣∣∣∣∣∣eiβ2 − 1 eiα2 − 1eiβ3 − 1 eiα3 − 1

∣∣∣∣Generazione di movimento – quattro posizioni (j = 2, 3, 4).

Le equazioni vettoriali sono tre:

W(eiβ2 − 1) + Z(eiα2 − 1) = δ2

W(eiβ3 − 1) + Z(eiα3 − 1) = δ3

W(eiβ4 − 1) + Z(eiα4 − 1) = δ4

(1.12)

E concessa una sola scelta arbitraria; in particolare potra essere scelto uno tra i setteparametri scalari: coordinate di W e Z, angoli β2, β3, e β4. Questa volta, anche se sisceglie arbitrariamente uno degli angoli βj, il sistema (1.12) contiene espressioni trascen-denti negli altri due angoli β.Si puo quindi concludere che tre e il massimo numero di posizioni che si possa prescrivereper avere ancora un problema di tipo lineare.

Generazione di movimento – cinque posizioni (j = 2, 3, 4, 5).

Il sistema di equazioni vettoriali (1.13) risulta non lineare nelle incognite W, Z e βj(j = 2, 3, 4, 5) e non sono ammesse scelte arbitrarie.

W(eiβ2 − 1) + Z(eiα2 − 1) = δ2

W(eiβ3 − 1) + Z(eiα3 − 1) = δ3

W(eiβ4 − 1) + Z(eiα4 − 1) = δ4

W(eiβ5 − 1) + Z(eiα5 − 1) = δ5

(1.13)


1.2.8.3 Sintesi di un QA per la generazione di movimenti (3 posizioni)

!Figura 1.46: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di movimenti

Come gia accennato, il quadrilatero articolato puo essere pensato come combinazionedi due diadi (vedi Figura 1.44). Gli angoli di cui ruotano i membri della diade di sinistrasono al solito indicati con βj e αj. Per distinguerli da quelli della diade di destra, siintroduce la notazione di Figura 1.46) con cui la (1.7) diventa, per il lato sinistro

W(eiϕj − 1

)+ Z

(eiγj − 1

)= δj (1.14)

e, analogamente, per il lato destro

W∗ (eiψj − 1)+ Z∗ (eiγj − 1

)= δj (1.15)

dove, se le posizioni assegnate sono tre, j = 2, 3.

Per la generazione di movimenti, i vettori δ2, δ3 e gli angoli γ2, γ3 sono assegnati.

Conviene scegliere come parametri arbitrari, gli angoli ϕj per il lato sinistro e gli angoliψj per il lato destro, in modo che il problema sia lineare nelle incognite W, Z e W∗, Z∗.

Per individuare biella e telaio del quadrilatero articolato, si utilizzano le seguenti:

AB = Z− Z∗ A0B0 = W +AB−W∗

Una volta trovata la soluzione, occorre verificare che il quadrilatero sia concretamentein grado di risolvere il problema. In particolare occorre verificare che, per raggiungerecon continuita le posizioni imposte, non si debba smontare e rimontare il quadrilatero inun’altra configurazione.


Figura 1.47: Dati Esempio 1

Esempio no.1 Siano assegnate le tre posizio-ni che deve assumere il segmento di biella di unquadrilatero articolato (Figura 1.47):

R1 = 1.55− 0.9iR2 = 1.75 + 0.3iR3 = 0.80 + 1.6i

Si puo pervenire facilmente alla soluzionemediante metodo grafico (vedi §1.2.4.2). Infat-ti, pensando di collocare gli assi delle coppierotoidali di biella in corrispondenza degli estre-mi del segmento AB, e sufficiente intersecaregli assi dei segmenti A1A2 e A2A3 per trovareA0, mentre B0 si individua intersecando gli assidei segmenti B1B2 e B2B3 (vedi Figura 1.48a).Il quadrilatero che si ottiene e rappresentato inFigura 1.48b nelle tre posizioni corrispondentia quelle assegnate per il segmento.

Si puo poi impiegare la (1.7) per verificare lasoluzione ottenuta con il metodo grafico. Fis-sato un sistema di riferimento complesso (x, iy)con l’origine in A0, note le coordinate dei pun-ti A1, A2 e A3 (vedi Figura 1.49a), dai vettoricomplessi: R1, R2 e R3, si ricavano i corrispon-denti vettori (vedi Figura 1.49b):

δ2 = R2 −R1 = 0.2 + 1.2i δ3 = R3 −R1 = −0.75 + 2.5i

Inoltre, noti gli angoli ϵ della biella rispetto all’asse x, si ricavano le rotazioni di biellanel passaggio dalla posizione di partenza alla seconda e terza posizione:

γ2 = ϵ2 − ϵ1 = 138 − 293 = −155 = 205 γ3 = ϵ3 − ϵ1 = 348 − 293 = 55

Dalla Figura 1.49 si misurano gli angoli θk e σk (k = 1, 2, 3). Si possono cosı valutarele differenze:

ϕ2 = θ2 − θ1 = 9 − 330 = −231 = 39 ϕ3 = θ3 − θ1 = 64 − 330 = −226 = 94

ψ2 = σ2−σ1 = 156−235 = −79 = 281 ψ3 = σ3−σ1 = 135−235 = −100 = 260

.

Si scrive la (1.7) per il lato sinistro del quadrilatero (j = 2, 3):

W(eiϕ2 − 1

)+ Z

(eiγ2 − 1

)= δ2W

(eiϕ3 − 1

)+ Z

(eiγ3 − 1

)= δ3

e per il lato destro:

W∗ (eiψ2 − 1)+ Z∗ (eiγ2 − 1

)= δ2W

∗ (eiψ3 − 1)+ Z∗ (eiγ3 − 1

)= δ3

da cui, introducendo i vettori δ e gli angoli misurati, si ricavano, per il lato sinistro:


W = 1.54− 0.89i =Weiθ1 = 1.78 ei330

Z = 0.004− 0.018i = 0 ei284

e per il lato destro:

W∗ = −1.14− 1.65i = W ∗ eiσ1 = 2 ei235

Z∗ = −0.31 + 0.73i = 0.79 ei113.

I risultati ottenuti confermano il risultato ottenuto graficamente. In particolare, aven-do collocato gli assi delle coppie rotoidali di biella in corrispondenza degli estremi delsegmento da collocare nelle tre posizioni del piano, risulta che il modulo del vettore Z epraticamente nullo.

(a) (b)

Figura 1.48: Esempio 1: procedimento grafico

(a) (b)

Figura 1.49: Esempio 1: verifica del procedimento grafico


Come detto in precedenza, una volta trovata la soluzione, occorre verificare che ilquadrilatero sia in grado di raggiungere con continuita le posizioni imposte senza dovercambiare configurazione.Nel caso in esame, se il membro movente e l’asta di sinistra adiacente al telaio, la con-figurazione relativa alla prima posizione del segmento AB e diversa dalla configurazionerelativa alle altre due posizioni (vedi Figura 1.50a). Pertanto, per passare dalla primaalla seconda (e poi alla terza) occorre prima ruotare l’asta A0A1 in senso orario fino afar giungere il quadrilatero in posizione singolare, far assumere al quadrilatero l’altraconfigurazione (ad esempio impiegando un riscontro elastico, e poi ruotare il moventein senso orario fino a far occupare al segmento AB le due posizioni A2B2 e A3B3 (vediFigura 1.50b).

(a) (b)

Figura 1.50: Esempio 1: verifica delle configurazioni


Esempio no.2 Si debba progettare un quadrilatero articolato per trasferire delle scatoledal nastro convogliatore 1 al nastro 2 (Figura 1.51).

I dati sono i seguenti:δ2 = −6 + 11i γ2 = 22 δ3 = −17 + 13i γ3 = 68

Scelti ad arbitrio,per il lato sinistro: ϕ2 = 90 ϕ3 = 198

e per il lato destro: ψ2 = 40 ψ3 = 73

Risulta:W = 5.77 ei4.78

W∗ = 18.38 e−i2.1

Z = 15.02 e−i13.36

Z∗ = 6.12 ei103.42

!

Figura 1.51: Esempio 2

Figura 1.52: Esempio 2: soluzione


1.2.8.4 Sintesi di un QA per la generazione di traiettorie in tempi stabiliti(3 punti di precisione)

Si faccia riferimento alla Figura 1.53.

Per il lato sinistro si puo scrivere:

W(eiϕj − 1

)+ Z

(eiγj − 1

)= δj

e, analogamente, per il lato destro

W∗ (eiψj − 1)+ Z∗ (eiγj − 1

)= δj

dove, se le posizioni assegnate sono tre, j assume i valori 2 e 3.

I vettori δ2 e δ3 sono assegnati, mentre questa volta, al contrario di quanto avvieneper la generazione di movimenti, sono assegnati gli angoli ϕ2 e ϕ3.

Per il lato sinistro, scelti ad arbitrio γ2 e γ3 (in modo che il problema sia lineare) sideterminano le incognite W e Z.

Naturalmente, per il lato destro gli angoli γ2 e γ3 sono ancora gli stessi scelti per illato sinistro. Una volta scelti ad arbitrio gli angoli ψ2 e ψ3, sara possibile determinare ivettori W∗ e Z∗.

Si possono infine determinare: AB = Z− Z∗ e A0B0 = W +AB−W∗

!Figura 1.53: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di traiettorie


Esempio no.3 Si debba progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di bielladescriva una traiettoria di forma ellittica passante per tre punti di precisione in tempiassegnati (Figura 1.54).

I dati sono i seguenti:R1 = 2− 0.75i R2 = 0.6− 1.51i R3 = 1− 3.05iϕ2 = 126 ϕ3 = 252

da cui risulta:δ2 = −1.4− 0.76i δ3 = −1.0− 2.3i

Scelti ad arbitrio,per il lato sinistro: γ2 = −6 γ3 = 37

e per il lato destro: ψ2 = 33 ψ3 = 37 (gli angoli γ sono gli stessi del lato sinistro)

Risulta:W = 1.00 ei53.78

W∗ = 2.99 ei108.38

Z = 1.90 ei105.86

Z∗ = 2.00 ei185.40

Figura 1.54: Esempio 3: soluzione


1.2.8.5 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni (3 valori)

Si faccia ora riferimento alla Figura 1.55. Per la generazione di funzioni, occorre correlarele rotazioni prescritte del membro input con quelle dell’output. In altre parole e assegnatoil legame tra gli angoli ϕj e ψj. Si noti che in questo caso la posizione di biella non hainteresse.

Figura 1.55: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di funzioni

Deve valere la chiusura dell’anello B0B1A1A0AjBjB0, cioe deve aversi:

W(eiϕj − 1

)+AB

(eiγj − 1

)−W∗ (eiψj − 1

)= 0 (1.16)

La (1.16) e l’equazione per i problemi di generazione di funzioni. La (1.16) non enella forma standard (vedi (1.7)) percio si devono rivedere i discorsi fatti a proposito diposizioni prescritte e numero di scelte arbitrarie.

Se n e il numero di posizioni assegnate, si riescono a scrivere n− 1 equazioni vettorialicome la (1.16), il che equivale ad avere 2(n− 1) equazioni scalari. Il numero di incognitescalari e 6 + n − 1 (i vettori W,AB,W∗ e gli angoli γj (j = 2, 3, . . . , n)). Il numero discelte arbitrarie sara pertanto pari alla differenza tra il numero di incognite ed il numerodi equazioni, cioe: 6 + n− 1− 2(n− 1) = 7− n. Ne risulta che sette e il massimo numerodi posizioni che e possibile assegnare per generare funzioni mediante un quadrilateroarticolato. La Tabella 1.2 riassume la situazione.

Si supponga ora di scegliere arbitrariamente due delle sette incognite scalari originarie,ad esempio W∗ (o, in alternativa, W). Ponendo le quantita note a secondo membro della(1.16) si ha:

W(eiϕj − 1

)+AB

(eiγj − 1

)= W∗ (eiψj − 1

)= δj (1.17)

La (1.17) e nella forma standard e la Tabella 1.2 diventa equivalente alla Tabella 1.1.

La scelta arbitraria di W∗ fissa la scala del quadrilatero ed il suo orientamento, manon incide sulla funzione che lega le rotazioni ϕj e ψj. Una volta ottenuto il quadrilatero,tutto il meccanismo puo essere scalato ed orientato in qualunque maniera senza modifi-care tale relazione. Questo non succede per i generatori di movimento o di traiettoria,


Tabella 1.2: Numerosita delle soluzioniNumero di Numero di Numero di Numero diposizioni equazioni incognite soluzioni

j = 2, 3, . . . , n scalari e = 2(n− 1) scalari i = 6 + n− 1 (∞i−e)2 2 7 (W,W∗,Z, γ2) ∞5

3 4 8 (precedenti +γ3) ∞4




7 12 12 (precedenti +γ7) finito

nei quali la modifica della lunghezza di un’asta fa cambiare anche il movimento o la tra-iettoria generati. Poiche la funzione ψj = f(ϕj) non dipende dalla scelta di W∗, non hasenso includere quest’ultimo vettore tra le incognite del problema. Una volta ricondotto ilproblema alla forma standard ((1.17)), e necessario sintetizzare una sola diade (quella for-mata dai vettori W e AB) a differenza di quanto accade per la generazione di movimentie di traiettorie dove occorre individuarne due (W, Z e W∗, Z∗).

Procedimento Nel caso in cui n = 3 (tre valori della funzione) si procede nel seguentemodo:

W(eiϕ2 − 1

)+AB

(eiγ2 − 1

)−W∗ (eiψ2 − 1

)= 0

W(eiϕ3 − 1

)+AB

(eiγ3 − 1

)−W∗ (eiψ3 − 1

)= 0

I dati assegnati sono gli angoli: ϕ2 ϕ3 ψ2 ψ3. Scelto ad arbitrio W∗ risultano notiδ2 e δ3 e il problema si presenta nella forma standard:

W(eiϕ2 − 1

)+AB

(eiγ2 − 1

)= δ2 W

(eiϕ3 − 1

)+AB

(eiγ3 − 1

)= δ3

Scelti ad arbitrio gli angoli γ2 e γ3 il problema e lineare nelle incognite W e AB.


Esempio no.4 Si debba progettare un meccanismo per movimentare schienale e pog-giapiedi della poltrona di Figura 1.56.

Dati del Primo quadrilatero:

ϕ2 = 50 ψ2 = 22.5 ϕ3 = 75 ψ3 = 45

Scelte arbitrarie:

γ2 = 7 γ3 = 12 W∗ = B0B = 1 ei270

Dati del Secondo quadrilatero:

ϕ2 = 40 ψ2 = 22.5 ϕ3 = 70 ψ3 = 45

Scelte arbitrarie:

γ2 = 8 γ3 = 13 W∗ = A′0A

′ = 1 ei145

Risultati Primo quadrilatero:

W = A0A = 0.45 ei169.47

AB = 4.33 ei323.48

Risultati Secondo quadrilatero:

W = B′0B

′ = 0.68 ei91.90

B′A′ = 2.37 ei232.44

! !

Figura 1.56: Esempio 4


1.2.8.6 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni: Tecnica del loopchiuso

Si consideri il quadrilatero articolato di Figura 1.57 e si scriva l’equazione di chiusura; siottiene:

Z2 + Z3 − Z4 + Z1 = 0 (1.18)

Per la generazione di funzioni, solo le relazioni tra gli angoli hanno interesse, percioe possibile scalare il meccanismo ed orientarlo in modo qualunque senza modificare talirelazioni. Si puo allora assumere Z1 = −1, cioe il telaio di lunghezza unitaria, diretto edorientato come l’asse reale del sistema di riferimento. La (1.18) si modifica e diventa:

Z2 + Z3 − Z4 − 1 = 0 (1.19)

Nella j-esima posizione assunta dal quadrilatero si ha:

Z2 eiϕj + Z3 e

iγj − Z4 eiψj − 1 = 0 (1.20)

La (1.20) e una equazione non omogenea, lineare nelle incognite Z2, Z3, Z4 a coefficienticomplessi.

Se sono tre i valori assegnati alla funzione, si ha:

Z2 + Z3 − Z4 = 1Z2 e

iϕ2 + Z3 eiγ2 − Z4 e

iψ2 = 1Z2 e

iϕ3 + Z3 eiγ3 − Z4 e

iψ3 = 1

I dati sono gli angoli ϕ2 ϕ3 ψ2 ψ3.

Le incognite sono i vettori Z2, Z3, Z4 e gli angoli γ2 e γ3.

Si hanno percio 6 equazioni scalari e 8 incognite scalari e, come ci si attendeva (vediTabella 1.1), le soluzioni sono ∞2 . Scelti ad arbitrio gli angoli γ2 e γ3, restano 3 equazionivettoriali nelle tre incognite vettoriali Z2, Z3, Z4.

Figura 1.57: Tecnica del loop chiuso


1.2.8.7 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni: Order synthesis

In molte situazioni l’obiettivo della sintesi cinematica riguarda non solo le posizioni maanche velocita ed accelerazioni. Si parla di order synthesis. Tale obiettivo puo essereraggiunto impiegando il metodo del loop chiuso visto al paragrafo precedente. e sufficientederivare una e due volte rispetto al tempo la (1.18)). Con riferimento alla Figura 1.58, siottiene:

Per la posizione:Z2 + Z3 − Z4 = −Z1

Z2 eiθ2 + Z3 e

iθ3 − Z4 eiθ4 = −Z1 e

iθ1

Per la velocita:

Z2 ω2 i eiθ2 + Z3 ω3 i e

iθ3 − Z4 ω4 i eiθ4 = 0

Z2 ω2 + Z3 ω3 − Z4 ω4 = 0

Per l’accelerazione:

Z2 (ω2 i − ω22) e

iθ2 + Z3 (ω3 i− ω23) e

iθ3 − Z4 (ω4 i− ω24) e

iθ4 = 0

Z2 (ω2 i − ω22) + Z3 (ω3 i− ω2

3) − Z4 (ω4 i− ω24) = 0

Essendo naturalmente: ω =dθ

dt, ω =

dω

dt=d2θ

dt2.

Se, al solito, si considerano tre posizioni (che e ancora il massimo numero per ottenereun problema lineare nelle tre incognite Z2, Z3, Z4), una volta assunto Z1 = −1, si ottieneun sistema di tre equazioni vettoriali:

Z2 + Z3 − Z4 = 1

Z2 ω2 + Z3 ω3 − Z4 ω4 = 0

Z2 (ω2 i − ω22) + Z3 (ω3 i− ω2

3) − Z4 (ω4 i− ω24) = 0

che, note le velocita angolari ω2, ω3, ω4 e le accelerazioni angolari ω2, ω3 e ω4, fornisce letre incognite vettoriali Z2, Z3, Z4.

Figura 1.58: Order synthesis



[Dou88] Samuel Doughty. Mechanics of machines. Wiley New York, 1988.

[ESK84] Arthur G Erdman, George N Sandor, and Sridhar Kota. Mechanism design:analysis and synthesis. Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1984.


[Gal86] Carlo U Galletti. A note on modular approaches to planar linkage kinematicanalysis. Mechanism and Machine Theory, 21(5):385–391, 1986.

[Pau79] B Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall, 1979.

Capitolo 2

Meccanismi con Camme

2.1 Classificazione

2.1.1 Meccanismi con camme piane

!Figura 2.1: Camme Piane: a)b)c)d)e) Cedente traslante (Punteria); f) Cedente rotante(Bilanciere); a)b)c)d) Punteria centrata; e) Punteria eccentrica; a) Punteria a coltello;b)e)f) Cedente con rotella; c) Punteria a piattello; d) Punteria sferica

69

70 CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME

2.1.2 Meccanismi con camme spaziali

!

Figura 2.2: Camme Spaziali

2.1. CLASSIFICAZIONE 71

2.1.3 Accoppiamenti di forza

!

!

Figura 2.3: Accoppiamenti di forza


2.1.4 Accoppiamenti di forma

! !

Figura 2.4: Accoppiamenti di forma

! !

!


2.1. CLASSIFICAZIONE 73

!

! !



2.2 Nomenclatura

!


• Trace Point (Punto di riferimento): Punto teorico sul cedente; corrisponde alpunto sul tagliente di una punteria a coltello. Nel caso di punteria a rotella coincidecon il centro della rotella. Nel caso di punteria a piattello e l’intersezione dellasuperficie del piattello con la parallela all’asse della punteria passante per il centrodella camma. La sua traiettoria e il profilo primitivo.

• Pitch Curve (Profilo Primitivo): traiettoria del punto di riferimento nel motodel cedente rispetto alla camma.

• Cam Profile (Profilo della camma): profilo della camma a contatto con ilcedente. Per la punteria a coltello, il profilo della camma coincide con il profiloprimitivo.

• Base Circle (Cerchio di Base): la piu piccola circonferenza, con centro nell’assedi rotazione della camma, tangente al profilo camma.

• Pressure Angle (Angolo di Pressione ): angolo tra la normale al profiloprimitivo e la direzione del moto del cedente.

2.3. ANALISI CINEMATICA 75

2.3 Analisi cinematica

Problema: nota la forma della camma e il tipo di meccanismo, determinare posizione,velocita ed accelerazione del cedente.

E un problema che si presenta raramente poiche cio che si conosce e proprio la leggedi moto del cedente ed e in base a questa che si determina la forma della camma. Vedia-mo comunque come sia possibile risolverlo individuando sistemi articolati equivalenti dalpunto di vista cinematico ai meccanismi a camma.

2.3.1 Meccanismi cinematicamente equivalenti

Prendiamo in esame il meccanismo a camma con punteria a rotella rappresentato inFigura 2.8. E facile vedere che nell’intorno di una qualunque configurazione esso e ci-nematicamente equivalente ad un manovellismo di spinta avente per telaio il telaio delmeccanismo a camma, per corsoio la punteria e la cui biella ha gli assi delle coppie ro-toidali in corrispondenza dei centri di curvatura dei profili di camma e rotella. Infatti ladistanza O2O3 resta invariata per uno spostamento infinitesimo del meccanismo.

Per l’analisi cinematica si puo allora procedere con i metodi noti per i sistemi artico-lati piani. Ovviamente occorre conoscere le posizioni del centro di curvatura del profilocamma.

!

Figura 2.8: Camma con punteria a rotella centrata e sistema articolato equivalente

Per il meccanismo a camma e bilanciere rappresentato in Figura 2.9, il meccanismocinematicamente equivalente e un quadrilatero articolato avente per telaio il telaio delmeccanismo a camma, con biella avente gli assi delle coppie rotoidali in corrispondenzadei centri di curvatura dei profili di camma e rotella e aste incernierate in corrispondenzadegli assi di camma e bilanciere.


Analogo ragionamento puo essere impiegato per determinare il meccanismo cinemati-camente equivalente ad un meccanismo a camma con piattello (vedi Figura 2.10).

!

Figura 2.9: Meccanismo camma-bilanciere e sistema articolato equivalente

!

Figura 2.10: Camma con punteria a piattello eccentrica e sistema articolato equivalente

2.4. SINTESI CINEMATICA CON METODO GRAFICO 77

2.4 Sintesi cinematica: tracciamento del profilo cam-

ma con metodo grafico

Problema: assegnata la legge di moto si deve disegnare la camma atta ad imporre alcedente tale legge di moto.

In generale, stabilita la funzione da generare s = s(θ), e necessario determinare i profiliconiugati dei due membri a contatto nella coppia superiore. Solitamente la forma di unodei due profili e nota (profilo circolare, rettilineo,. . . ). La determinazione dell’altro profiloavviene con il metodo dell’inviluppo.

Si considera il moto relativo al membro di cui si vuol determinare il profilo, facendoassumere al membro di cui e noto il profilo le posizioni definite dagli accoppiamenti e dallafunzione s = s(θ) che si vuol realizzare.In altre parole si opera una inversione cinematica assegnando ad ogni membro una velocitaangolare uguale e contraria a quella del membro con profilo da determinare (la camma).L’inviluppo delle successive posizioni assunte dal membro con profilo noto costituisce ilprofilo coniugato che si vuole determinare.

!Figura 2.11: Camma con punteria a rotella centrata: sintesi cinematica grafica


!(a)

!(b)

Figura 2.12: a) Camma con punteria a rotella eccentrica: sintesi cinematica grafica; b)Camma con punteria a piattello centrata: sintesi cinematica grafica

2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI 79

2.5 Sintesi cinematica con metodi analitici

2.5.1 Camma con punteria a coltello centrata

2.5.1.1 Profilo camma

Per la punteria a coltello, il profilo camma coincide con il profilo primitivo. Possiamoquindi fare riferimento a quest’ultimo. Per un generico angolo di rotazione camma pari aθ, la distanza radiale del punto di riferimento dal centro di rotazione della camma e (vediFigura 2.13):

OC = R = R0 + s(θ)

Il profilo della camma e definito, in coordinate polari, dal raggio OC e dall’angolo θ.

!Figura 2.13: Camma con punteria a coltello: determinazione del profilo camma

2.5.1.2 Raggio di curvatura e angolo di pressione

Il centro di curvatura K del profilo primitivo si trova ovviamente sulla normale al profilonel punto di contatto (vedi Figura 2.14).

Per trovare il raggio di curvatura del profilo CK = ρ0, fissiamo un sistema di riferimentocartesiano complesso (x− jy) con origine nel punto O ed asse reale x coincidente con ladirezione di riferimento θ = 0, e studiamo il moto del punto C.Tale moto, che istante per istante e approssimabile ad un moto circolare su un arco dicentro K e raggio CK, e composto dal moto relativo al telaio e dal moto di trascinamento.Nel moto relativo al telaio C si muove lungo il raggio OC. Nel moto di trascinamento Csi muove lungo un arco di centro O e raggio R = R0 + s(θ).


a

b

x

y

AC

Ro

OK

Figura 2.14: Camma con punteria a coltello centrata

Il vettore (C −O) puo essere scritto come:

(C −O) = R ejϑ

Definiamo i due seguenti versori ortogonali:

a = ejϑ

b = ej(ϑ+π2 ) = j ejϑ = j a

valgono ovviamente le:da

dt= j Ω ejϑ = Ω b

db

dt= − Ω ejϑ = −Ω a

Si ha inoltre:

dR

dt=dR

dϑ

dϑ

dt= s′ Ω

d2R

dt2=d s′

dtΩ + s′

dΩ

dt=d s′

dϑ

dϑ

dtΩ + s′Ω = s′′Ω2 + s′Ω

(2.1)

Essendo dunque:(C −O) = R a (2.2)

la derivata prima, rispetto al tempo, del vettore (C −O) si puo scrivere come:

d(C −O)

dt=dR

dta+ R Ω b (2.3)

mentre la derivata seconda e:

d2(C −O)

dt2=d2R

dt2a+

dR

dtΩ b+

dR

dtΩ b+R Ω b−R Ω2 a

ovvero:d2(C −O)

dt2=d2R

dt2a+ 2

dR

dtΩ b+R Ω b−R Ω2 a (2.4)


Tenendo conto della prima delle (2.1), la (2.3) diventa:

d(C −O)

dt= s′Ω a+ R Ω b = vr + vt = va (2.5)

Nella (2.5) il primo termine a secondo membro e la velocita relativa vr, mentre ilsecondo termine e la componente di trascinamento vt. La velocita assoluta va, ossia lasomma vettoriale dei due termini, e perpendicolare a CK, (vedi Figura 2.15b).

Il modulo della velocita assoluta e poi:

va =

∣∣∣∣d(C −O)

dt

∣∣∣∣ = √vr2 + vt2 =

√(dR

dt

)2

+R2Ω2 = Ω√s′2 +R2 (2.6)

Essendo la velocita assoluta perpendicolare a CK (Figura 2.15), si puo ricavare sempli-cemente l’angolo di pressione. Risulta infatti:

tanα =vrvt

=s′ Ω

R Ω=

s′

R0 + s(2.7)

!(a) !(b)

Figura 2.15: Camma con punteria a coltello centrata

Nell’ipotesi in cui la velocita angolare della camma sia costante, l’accelerazione delpunto C diventa (sostituendo le (2.1) nella (2.4)):

d2(C −O)

dt2= s′′Ω2 a+ 2 s′ Ω2 b−R Ω2 a = ar + ac + at = aa (2.8)

Nella (2.8) il primo termine a secondo membro e l’accelerazione relativa ar, il secondotermine e la componente di Coriolis ac, mentre il terzo ed ultimo e la componente ditrascinamento at (vedi Figura 2.15b).

Come noto, il raggio di curvatura e pari al rapporto tra il quadrato del modulo dellavelocita assoluta ((2.6)) e la componente normale della accelerazione assoluta ((2.8)). Ilmodulo dell’accelerazione assoluta in direzione della normale CK, cioe la aan , vale (vediFigura 2.15):

aan =

(d2(C −O)

dt2

)n

=(−s′′Ω2 +R Ω2

)cosα +

(2 s′ Ω2

)sinα


e tenendo conto che: sinα =vr∣∣∣∣d(C −O)

dt

∣∣∣∣ e cosα =vt∣∣∣∣d(C −O)

dt

∣∣∣∣ , il raggio di curvatura

risulta essere pari a:

ρ0 =v2aaan

=Ω3(s′2 +R2)

32

(−s′′Ω2 +R Ω2)RΩ + (2 s′ Ω2) s′Ω=

(s′2 +R2)32

−s′′R + 2 s′2 +R2

In conclusione e:

ρ0 =

[(R0 + s)2 + s′2

] 32

(R0 + s)2 − (R0 + s) s′′ + 2s′2

2.5.1.3 Traiettoria del centro fresa

Il problema della determinazione della traiettoria del centro fresa si riduce ad un casoparticolare del meccanismo a camma con punteria a rotella, si rimanda, quindi, allarelativa trattazione (vedi §2.5.2.3).


2.5.2 Camma con punteria centrata a rotella

2.5.2.1 Profilo primitivo e profilo camma

Nel caso di punteria a rotella centrata il profilo camma differisce dal profilo primitivo.Con riferimento alla Figura 2.16, indicato con K il centro di curvatura del profilo camma,osserviamo che il meccanismo cinematicamente equivalente e un manovellismo di spintacentrato in cui OK e la manovella, CK la biella e C il corsoio. Osserviamo inoltre che talemeccanismo equivalente e comune anche al meccanismo a camma con punteria a coltello.Pertanto K e, come ovvio, anche centro di curvatura del profilo primitivo.

Indicato con P il punto di tangenza tra rotella e profilo della camma, osserviamo che,in generale, P non si trova sul segmento OC per cui e errato ottenere il profilo dellacamma detraendo in senso radiale il raggio Rr della rotella dalla quantita:

OC = Rb + r + s(θ) = R0 + s(θ)

che rappresenta il profilo primitivo.

!Figura 2.16: Camma con punteria centrata a rotella: determinazione del profilo camma

Profilo internoApplicando il teorema di Carnot al triangolo CPO (Figura 2.16), si ha:

PO =

√Rr

2 + (R0 + s)2 − 2Rr(R0 + s) cosα

Inoltre, posto: β = φ− θper il teorema dei seni sullo stesso triangolo risulta:

PO sin β = CP sinα


da cui si ricava:

β = arcsin

(Rr

POsinα

)Il profilo camma e allora espresso dalle coordinate polari:

PO

φ = θ + arcsin

(Rr

POsinα

)Profilo esterno

Esiste naturalmente anche il profilo esterno. Tale profilo viene impiegato nel caso dicamma a disco con scanalatura (contatto di forma). Per determinarlo facciamo riferimentoalla Figura 2.17.Applicando il teorema di Carnot al triangolo CPO, si ha:

PO =

√Rr

2 + (R0 + s)2 + 2Rr(R0 + s) cos(α)

Inoltre, posto: β = θ − φproiettando OP e OC sulla normale a OC passante per il punto P , risulta:

PO sin β = CP sinα

da cui si ricava:

β = arcsin

(Rr

POsinα

)Il profilo esterno della camma e allora espresso dalle coordinate polari:

PO

φ = θ − arcsin

(Rr

POsinα

)

!

Figura 2.17: Camma con punteria centrata a rotella: profilo camma esterno


2.5.2.2 Raggio di curvatura

Come osservato in precedenza, per questo meccanismo il profilo camma differisce dalprofilo primitivo (vedi Figura 2.18).

Per determinare il raggio di curvatura della camma e sufficiente osservare che il puntodi contatto P tra camma e rotella si trova sulla congiungente C e K ad una distanza dalcentro della rotella pari a CP = Rr. Il raggio di curvatura del profilo camma e dunque:ρ = PK = CK − CP ovvero: ρ = ρ0 −Rr.In definitiva il raggio di curvatura vale:

ρ =

[(R0 + s)2 + s′2

] 32

(R0 + s)2 − (R0 + s)s′′ + 2s′2−Rr (2.9)

dove: R0 = Rb +Rr.

Si osservi che R0 e il raggio base della corrispondente camma con punteria a coltello,mentre Rb il raggio base della camma con punteria centrata a rotella.

!Figura 2.18: Camma con punteria centrata a rotella: raggio di curvatura del profilocamma



Come e ovvio, se il raggio della fresa Rf coincide con il raggio del rullo Rr, la traiettoriadel centro fresa coincide con il profilo primitivo.In caso contrario il centro fresa si trova sulla normale al profilo della camma e dista dalpunto C una quantita pari a: CF = Rf −Rr.

!

Figura 2.19: Camma con punteria centrata a rotella: traiettoria del centro fresa

Applicando il teorema di Carnot al triangolo FCO (Figura 2.19), si ha:

OF =

√(CF )2 + (CO)2 + 2(CF )(CO) cosα

Inoltre, posto: γf = θ − φfproiettando OF e OC sulla normale a OC passante per il punto F , risulta:

CF sinα = OF sin γf

da cui si ricava:

γf = arcsin

(CF

OFsinα

)La traiettoria del centro fresa e quindi espressa dalle coordinate polari:

OF

φf = θ − arcsin

(CF

OFsinα

)Queste espressioni sono valide anche per il caso di punteria a coltello dove naturalmente,

essendo Rr = 0, si ha CF = Rf .


2.5.3 Camma con punteria a piattello centrata


Effettuata l’inversione cinematica, in una posizione generica la distanza tra l’asse O dellacamma e il punto di riferimento C (C e l’intersezione tra la superficie del piattello e laparallela al moto della punteria passante per O) vale:

OC = Rb + s(θ)

Il punto di contatto P in generale non coincide con il punto di riferimento.

!

Figura 2.20: Camma con punteria a piattello centrata: determinazione del profilo camma

Dal triangolo OCP risulta (Figura 2.20):

OP =√OC2 + CP 2

Inoltre, possiamo osservare che la distanza CP e la medesima che si ha tra il centro dellacamma O ed il centro di istantanea rotazione tra camma e punteria. Pertanto il segmentoCP rappresenta la velocita della punteria a meno della velocita angolare della camma (eil coefficiente di velocita della punteria), ovvero:

CP =s

Ω=

Ωs′

Ω= s′

Inoltre si ha:

tan γ =CP

OC=

s′

Rb + s(θ)

e, posto: φ = θ + γil profilo camma risulta espresso dalle coordinate polari:

OP =

√[Rb + s(θ)]2 + s′2

φ = θ + arctan

[s′

Rb + s(θ)

]


2.5.3.2 Dimensionamento del piattello

Il piattello deve risultare lungo almeno una quantita pari a:

(CP )max − (CP )min = (s′)max − (s′)min


Dal triangolo OC ′F (Figura 2.21) risulta:

OF =

√(OC ′)2 + (C ′F )2

dove:C ′F = CP = s′

eOC ′ = Rb +Rf + s(θ)

Inoltre si ha:

tan γf =C ′F

OC ′ =s′

Rb +Rf + s(θ)

Infine, posto: φf = θ + γfle coordinate del centro fresa sono:

OF =

√[Rb +Rf + s(θ)]2 + s′2

φf = θ + arctan

[s′

Rb +Rf + s(θ)

]

!Figura 2.21: Camma con punteria a piattello centrata: traiettoria del centro fresa



Con riferimento alla Figura 2.22, per calcolare il raggio di curvatura del profilo camma ρ,si puo scrivere la seguente equazione vettoriale:

OK+KP+PC+CO = 0

che puo essere proiettata lungo le direzioni della normale e della tangente al profilo in P .Posto uguale a γk l’angolo PKO, si ha:

OC = PK +OK cos(π − γk) = PK −OK cos γk

CP = OK sin(π − γk) = OK sin γk

Derivando la seconda rispetto a θ risulta:

d(CP )

dθ=d(s′)

dθ= s′′ = OK cos γk

che, sostituita nella prima equazione, fornisce il raggio di curvatura del profilo:

ρ = PK = OC +OK cos γk = OC + s′′

!

Figura 2.22: Camma con punteria a piattello centrata: determinazione del raggio dicurvatura


2.5.4 Meccanismo camma-bilanciere con rotella

2.5.4.1 Profilo primitivo

La posizione iniziale del cedente e quella tratteggiata in Figura 2.23, in cui la rotella siappoggia al cerchio di base di raggio Rb all’inizio del tratto di salita ed il cedente formacon il telaio O1O2 l’angolo β0.

Ovviamente in questo caso la s(θ) rappresenta le rotazioni del cedente; si ha che l’angoloche il bilanciere forma con il telaio e dato da:

β(θ) = β0 + s(θ)

β0

N

MK

O2

C

ϕC

αK

d

ββ+γ b

O2O1

ω

γ

γ

θ

α

G

L

αC

Figura 2.23: Meccanismo camma-bilanciere

Per determinare il profilo primitivo si ponga: O1O2 = d e O2C = b. Dal triangoloO1GC risulta:

O1C =√CG2 +O1G2

αC = arctan

[CG

O1G

]dove:

CG = b sin β

O1G = d− b cos β


Le coordinate polari del profilo primitivo sono:

O1C =

√(b sin β)2 + (d− b cos β)2

φC = θ + αC = θ + arctan

[b sin β

d− b cos β

]

2.5.4.2 Angolo di pressione

L’angolo di pressione e per definizione l’angolo compreso tra la direzione della velocitadi un punto del cedente e la normale al profilo primitivo. Facendo riferimento alla Figu-ra 2.23, indicato con α l’angolo di pressione, lo stesso resta individuato tra la normale alsegmento O2C ed il segmento KC (diretto lungo la normale ai profili di camma e rotella).L’angolo di pressione e quindi determinato dalla:

α =π

2− β − γ =

π

2− [β0 + s(θ)]− γ

Per trovarlo serve dunque determinare l’angolo γ.Si puo osservare che il punto L di Figura 2.23 e il centro di istantanea rotazione nel motorelativo camma-bilanciere, pertanto risulta:

ω O1L =ds

dtO2L

da cui si ha:O1L

O2L=

1

ω

ds

dθ

dθ

dt=

ds

dθ= s′

Per la similitudine dei triangoli O2NL e O1ML risulta anche:

O1L

O2L=O1M

O2N= s′

Sia γ l’angolo formato dal segmento CK con il segmento O1O2. Osservando che:

O1M = b sin(β + γ)− d sin γ

O2N = b sin(β + γ)

si ha: b sin(β + γ)− d sin γ = b sin(β + γ)s′, che dopo alcuni passaggi 1 fornisce:

tan γ =b sin β(1− s′)

d− b cos β(1− s′)

1 espandendo sin(β + γ) e dividendo per cos γ, si ottiene:

b sinβ + b cosβ tan γ − d tan γ = (b sinβ + b cosβ tan γ) s′

in cui si puo raccogliere tan γ:

tan γ (b cosβ − d− s′b cosβ) + b sinβ − s′b sinβ = 0



Dal triangolo O1HP (Figura 2.24) risultano le seguenti:

O1P =√PH2 +O1H2

αP = arctg

[PH

O1H

]Essendo:

PH = b sin β −Rr sin γ

O1H = d− b cos β −Rr cos γ

β0

K

O2

C

P ϕP

dβ

b

O2O1

ω

γ

γ

θ

HαP

γ

P'

H'

Figura 2.24: Meccanismo camma-bilanciere: determinazione del profilo camma

Le coordinate polari del profilo camma interno sono date da:

O1P =

√(b sin β −Rr sin γ)

2 + (d− b cos β −Rr cos γ)2

φP = θ + αP = θ + arctan

[b sin β −Rr sin γ

d− b cos β −Rr cos γ

]Per il profilo camma esterno risulta invece:

O1P′ =

√(b sin β +Rr sin γ)

2 + (d− b cos β +Rr cos γ)2

φP ′ = θ + αP ′ = θ + arctan

[b sin β +Rr sin γ

d− b cos β +Rr cos γ

]



Dal triangolo O1JF (Figura 2.25) risulta:

O1F =√O1J2 + JF 2

φf = θ + arctg

[O1J

JF

]dove:

O1J = b sin β + (Rf −Rr) sin γ

JF = d− b cos β + (Rf −Rr) cos γ

β0

F

O2

d

βb

O2O1

ω

γ

γ

θ

ϕF

γ

Rf

Rr

J

C

Figura 2.25: Meccanismo camma-bilanciere: traiettoria centro fresa

Pertanto le coordinate polari del centro fresa per tagliare il profilo interno sono:

O1F =

√[b sin β + (Rf −Rr) sin γ]

2 + [d− b cos β + (Rf −Rr) cos γ]2

φf = θ + arctan

[b sin β + (Rf −Rr) sin γ

d− b cos β + (Rf −Rr) cos γ

]Analogamente si ricavano le coordinate polari del centro fresa per tagliare il profilo

esterno

O1F′ =

√[b sin β − (Rf −Rr) sin γ]

2 + [d− b cos β − (Rf −Rr) cos γ]2

φF ′ = θ + arctan

[b sin β − (Rf −Rr) sin γ

d− b cos β − (Rf −Rr) cos γ

]



β0

K

O2

C

αK

d

ββ+γ b

O2O1

ω

γ

γ

θ

α

Figura 2.26: Meccanismo camma-bilanciere con rotella: raggio di curvatura del profilocamma

Con riferimento alla Figura 2.26, per calcolare il raggio di curvatura del profilo primitivoρ0, si puo scrivere la seguente equazione vettoriale:

O1K+KC+CO2 +O2O1 = 0 (2.10)

Proiettando la (2.10) secondo la direzione del telaio e della sua normale si ottiene:

O1K cosαK + ρ0 cos γ + b cos β − d = 0

O1K sinαK + ρ0 sin γ − b sin β = 0(2.11)

Derivando la seconda delle (2.11) rispetto all’angolo camma θ, si ha:

O1KdαKdθ

cosαK + ρ0dγ

dθcos γ − b

dβ

dθcos β = 0

essendo: 1

dαKdθ

= −1

dβ

dθ=ds

dθ= s′

1 Dal momento che K e il centro di curvatura, se il segmento O1O2 ruota dell’angolo infinitesimo dθ,il segmento O1K resta fisso e, pertanto, l’angolo αK diminuisce della quantita dθ. In definitiva si ha:

dαK

dθ=

(αK − dθ)− αK

dθ= −1


risulta:O1K cosαK = ρ0γ

′ cos γ − bs′ cos β

che sostituita nella prima delle (2.11) fornisce:

ρ0 =d− b cos β − ρ0γ

′ cos γ + bs′ cos β

cos γ

ed infine: 3

ρ0 =d− b cos(β0 + s)(1− s′)

cos γ(1 + γ′)

Il raggio di curvatura del profilo camma interno vale:

ρ = ρ0 −Rr

3 I valori di γ′ e di cos γ da inserire nella formula per il calcolo del raggio di curvatura del profilo siricavano in base alle seguenti:

tan γ =b sinβ(1− s′)

d− b cosβ(1− s′)=

D

Cγ = arctan[tan γ] = arctan

(D

C

)

γ′ =d

dθ

[arctan

(D

C

)]=

1

1 +(DC

)2 D′C −DC ′

C2=

D′C −DC ′

C2 +D2

1

cos2γ= 1 + tan2 γ = 1 +

(D

C

)2

cos γ =C√

C2 +D2


2.6 Fenomeno del sottotaglio

Se il raggio di curvatura del profilo primitivo e minore, in valore assoluto, del raggio dellarotella, si verifica il cosiddetto sottotaglio, cioe, pensando di impiegare per la costruzionedel profilo camma una fresa di diametro uguale a quello della rotella, una parte delcontorno della camma viene distrutto durante il taglio. Condizione affinch non si verifichisottotaglio e dunque:

|ρ0| > Rr (2.12)

Ricordando l’espressione del raggio di curvatura del profilo primitivo nel caso di cammacon punteria centrata a rotella ((2.9)):

ρ0 =

[(R0 + s)2 + s′2

] 32

(R0 + s)2 − (R0 + s)s′′ + 2s′2

con: R0 = Rb +Rr.

Si osserva, come del resto e abbastanza intuitivo, che a parita di altre circostanze(legge di moto, raggio rotella), il pericolo di sottotaglio e tanto maggiore quanto minoree il raggio base della camma.

In Figura 2.27 e mostrato il caso in cui, a parita di raggio di curvatura del profiloprimitivo si aumenta il raggio del rullo (di conseguenza diminuisce il raggio base). Nel caso(c) il profilo camma che darebbe luogo al profilo primitivo desiderato dovrebbe presentareun cappio. Come e ovvio, durante il taglio con una fresa avente diametro pari a quellodel rullo, tale cappio viene distrutto; ne risulta che la camma cosı realizzata non e atta agenerare la legge di moto desiderata.

!

Figura 2.27: Fenomeno del sottotaglio

2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO 97

2.6.1 Convenzione sui segni dei raggi di curvatura

Il raggio di curvatura ρ0 del profilo primitivo e positivo se il centro O della camma si trovadalla stessa parte del centro di curvatura K. In altre parole ρ0 e positivo se il profilo econvesso rispetto al centro della camma O. Il raggio di curvatura ρ del profilo cammae positivo se il materiale si trova dalla stessa parte del centro di curvatura K. In altreparole ρ e positivo se il profilo e concavo rispetto al centro di curvatura K.

ρ0

ρ

ρ0

ρρ0

ρ

ρ0

ρ

O

O

K

KK

K

Figura 2.28: Fenomeno del sottotaglio

Dimostriamo ora la (2.12). Con riferimento alla Figura 2.28 abbiamo:

Profilo interno:

ρ = ρ0 −Rr

Profilo esterno:

ρ = −(ρ0 +Rr)

Condizione affinch non si verifichi sottotaglio e che la somma delle curvature di cammae rotella (o fresa) sia positiva, cioe:

1

ρ+

1

Rr

> 0 (2.13)

Per il profilo interno si ha:

1

ρ0 −Rr

+1

Rr

> 01

ρ0 −Rr

+1

Rr

=Rr + ρ0 −Rr

(ρ0 −Rr)Rr

=ρ0

(ρ0 −Rr)Rr

> 0

ρ0(ρ0 −Rr)

> 0


Se ρ0 e positivo deve risultare:ρ0 > 0

ρ0 > Rr

(2.14)

Se ρ0 e negativo deve risultare:ρ0 < 0

ρ0 < Rr

(2.15)

La (2.15) e sempre verificata.

Per il profilo esterno si ha:

1

−(ρ0 +Rr)+

1

Rr

> 01

−(ρ0 +Rr)+

1

Rr

=Rr − ρ0 −Rr

−(ρ0 +Rr)Rr

=−ρ0

−(ρ0 +Rr)Rr

> 0

ρ0(ρ0 +Rr)

> 0

Se ρ0 e positivo deve risultare:ρ0 > 0

ρ0 > −Rr

(2.16)

La (2.16) e sempre verificata. Se ρ0 e negativo deve risultare:

ρ0 < 0

ρ0 < −Rr

(2.17)

Dalla (2.14) e dalla (2.17) risulta in conclusione che deve valere la (2.12).Possiamo anche osservare che quando ρ0 < 0 (il profilo primitivo e concavo) non si hannomai problemi per il profilo interno (vedi (2.15)); e il profilo esterno che puo essere soggettoa sottotaglio.Al contrario, quando ρ0 > 0 (il profilo primitivo e convesso), e il profilo esterno che nonha problemi di sottotaglio (vedi (2.16)), mentre il profilo interno puo esserne affetto.

Se si vuole ragionare in termini di profilo camma, dovendo valere la (2.13) deve essere:

1

ρ+

1

Rr

=ρ+Rr

ρRr

> 0ρ+Rr

ρ> 0

Se ρ e positivo deve risultare:ρ > 0

ρ > −Rr

che e sempre verificata.

Se ρ e negativo deve risultare:ρ < 0

ρ < −Rr

Possiamo concludere che il sottotaglio puo verificarsi quando il profilo camma e concavo(il materiale non sta dalla parte del centro di curvatura K).

Infine, per quanto riguarda il taglio con una fresa avente raggio Rf diverso da quellodella rotella, deve valere ancora la (2.13) in cui si sostituisce Rf a Rr:

1

ρ+

1

Rf

> 0

2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO 99

ovvero:1

ρ+

1

Rf

=ρ+Rf

ρRf

> 0ρ+Rf

ρ> 0

Se ρ e positivo deve risultare:ρ > 0

ρ > −Rf

che e sempre verificata.

Se ρ e negativo deve risultare:ρ < 0

ρ < −Rf

Possiamo concludere che anche in questo caso il sottotaglio puo verificarsi quando ilprofilo camma e concavo (il materiale non sta dalla parte del centro di curvatura K).

Inoltre, qualora risulti Rf ≤ Rr, e non si abbia sottotaglio nei confronti del rullo, nonsi hanno problemi nemmeno durante il taglio con la fresa.Se, al contrario, e Rf ≥ Rr, e si ha sottotaglio nei confronti del rullo, a maggior ragionesi incontrano problemi nel taglio con la fresa.


2.7 Sintesi del profilo camma con il metodo analitico

dell’inviluppo

2.7.1 Inviluppo di una famiglia di curve

Sia Sγc una famiglia di curve su un piano (x, y) dipendenti dal parametro c. Una curvaγ e detta curva inviluppo della famiglia di curve S se:

• per ogni punto della curva γ e possibile trovare una curva γc della famiglia che siatangente a γ nel punto;

• per ogni curva γc della famiglia e possibile trovare un punto di γ nel quale la curvaγc sia tangente a γ;

• nessuna curva della famiglia ha un segmento in comune con la curva γ.

Teorema 1 Siano le curve γc della famiglia S descritte dall’equazione F (x, y, c) = 0, conF continua e continuamente differenziabile per tutti i suoi argomenti in un intorno delpunto (x0, y0, c0). Se nel punto (x0, y0, c0) sono soddisfatte le seguenti condizioni:

F (x0, y0, c0) = 0

∂F

∂c(x0, y0, c0) = 0

∣∣∣∣∣∣∣∂F

∂x

∂F

∂y∂2F

∂c∂x

∂2F

∂c∂y

∣∣∣∣∣∣∣ = 0∂2F

∂c2= 0

Allora in un intorno del punto (x0, y0) e per valori di c appartenenti ad un intorno dic0, esiste un inviluppo della famiglia di curve F (x, y, c) = 0.

L’equazione dell’inviluppo e ottenibile dalle due seguenti equazioni:

F (x, y, c) = 0

∂F

∂c(x, y, c) = 0

esprimendo x e y come funzioni del parametro c oppure esprimendo c come funzione delledue variabili x, y e introducendo c nell’equazione:

F (x, y, c(x, y)) = 0

2.7.1.1 Esempio 1

Si consideri la famiglia di rette espressa dall’equazione: y − cx− 4

c= 0.

La derivata rispetto al parametro c e:∂F

∂c= −x+ 4

c2= 0.

Ricavando c dalla seconda equazione e introducendolo nella prima si ha: y2 = 16x, ov-vero l’equazione di una parabola simmetrica rispetto all’asse x e passante per l’origine(Figura 2.29).

2.7. SINTESI ANALITICA CON IL METODO DELL’INVILUPPO 101

!

Figura 2.29: Inviluppo di curve: esempio no. 1

2.7.1.2 Esempio 2

Si consideri la famiglia di curve espressa dall’equazione:

[x2 + (y − c)2]2 − b2[x2 − (y − c)2] = 0

rappresentata in Figura 2.30.


∂c= (y − c)[2x2 + 2(y − c)2 + b2] = 0.

Una soluzione e y = c, che introdotta nella prima equazione fornisce: x2(x2 − b2) = 0 cheha tre soluzioni: x = b, x = −b e x = 0.

Le prime due sono curve inviluppo della famiglia, mentre non lo e la terza in quantoconsiste nei punti di nodo delle curve della famiglia. Nessuna altra curva inviluppo siottiene per la soluzione y = c.

!



2.7.1.3 Esempio 3

Si consideri la famiglia di ellissi di equazione:(yca

)2

+( xbc

)2

− 1 = 0, rappresentata in

Figura 2.31 (a = b = 1, c = −1 . . . 1).


∂c= 2c

(ya

)+

2

c3

(xb

)= 0, che ha le seguenti

soluzioni per il parametro c: c = ±√yxab

ybc = ±

√−yxabyb

.

Introducendo queste nella prima equazione si ottiene l’equazione delle curve inviluppo

della famiglia di ellissi: yx = ±ab2, ossia l’equazione di un asteroide (due iperboli).

!


2.7.2 Determinazione delle coordinate del profilo camma

Una volta nota la legge di moto s = s(θ), le coordinate del profilo camma si possonoottenere applicando la teoria dell’inviluppo.

Per meccanismi con cedente a rotella si otterranno due curve inviluppo: una interna eduna esterna. Quella interna sara impiegata per le camme a disco, entrambe per le cammea solco (con scanalatura).

2.7.2.1 Camma con punteria a piattello centrata

Con riferimento alla Figura 2.32, la distanza radiale del punto di riferimento dal centrodi rotazione della camma e:

R = Rb + s(θ)

Applicato il metodo della inversione cinematica, in corrispondenza del generico valoreθi dell’angolo di rotazione della camma, il punto di riferimento va ad occupare la posizionePi = (R, θi) = (xi, yi).

2.7. SINTESI ANALITICA CON IL METODO DELL’INVILUPPO 103

Il coefficiente angolare mi della retta yi = mix + bi passante per il punto Pi e la suaintersezione bi con l’asse y sono, rispettivamente:

mi = tan(π2+ θi

)= − cot (θi) bi =

R

sin θi

Pertanto l’equazione della famiglia di rette che rappresentano tutte le posizioni occupatedal piattello e data da:

y = mx+ b = −x ctgθ + R

sin θ=

−x cos θ +R

sin θ

La funzione F (x, y, θ) e quindi:

F (x, y, θ) = y −mx− b = y sin θ + x cos θ −R = 0

che derivata rispetto a θ si ottiene:

∂F

∂θ= y cos θ − x sin θ − ds

dθ= 0

Risolvendo il sistema costituito dalle due equazioni precedenti si ottengono le coordinatedel profilo camma:

x = R cos θ − ds

dθsin θ

y = R sin θ +ds

dθcos θ

!

Figura 2.32: Camma con punteria a piattello centrata: metodo dell’inviluppo


2.7.2.2 Camma con punteria centrata a rotella

Con riferimento alla Figura 2.33, la distanza radiale del punto di riferimento dal centrodi rotazione della camma e:

R = Rb + r + s(θ)

Applicato il metodo dell’inversione cinematica, in corrispondenza del generico valoreθi dell’angolo di rotazione della camma, l’asse della rotella va ad occupare la posizionePi = (R, θi). L’equazione della circonferenza di raggio pari a quello della rotella e centroin Pi e, in coordinate cartesiane, la seguente:

(x−R cos θi)2 + (y −R sin θi)

2 = r2

Pertanto l’equazione della famiglia di curve che rappresentano tutte le posizioni occupatedalla rotella e:

F (x, y, θ) = (x−R cos θ)2 + (y −R sin θ)2 − r2 = 0

Derivando rispetto a θ si ottiene:

∂F

∂θ= 2(R sin θ − ds

dθcos θ)(x−R cos θ)− 2(R cos θ +

ds

dθsin θ)(y −R sin θ) = 0

Risolvendo il sistema costituito dalle due equazioni precedenti si ottengono le coordinatedel profilo camma 3:

x =R3 cos θ +RK2 cos θ ± r

√M

R2 +K2y =

−xdsdθ

cos θ + xR sin θ +ds

dθR

ds

dθsin θ +R cos θ

!

Figura 2.33: Camma con punteria centrata a rotella: metodo dell’inviluppo

3 K = ds/dθ M = R4 cos2 θ + 2R3K sin θ cos θ +R2K2 + 2RK3 sin θ cos θ +K4 sin2 θ

2.8. ESEMPIO 105

2.8 Esempio

Consideriamo una camma con punteria centrata a rotella. In Figura 2.34 e rappresentatala legge di moto s(θ) della punteria (in mm). E di tipo cicloidale e presenta un tratto disalita (di alzata pari a 40 mm) e due di discesa (di alzata 30 e 10 mm); tra due trattiattivi e presente una sosta.Le soste sono corrispondenti alle fasi angolari della camma: 20 − 50; 170 − 190;230 − 360.

0 50 100 150 200 250 300 3500

10

20

30

40

50

Legg

e al

zata

[mm

]

Angolo camma [deg]

Figura 2.34: Legge di alzata s(θ)

L’espressione della legge cicloidale e la seguente:

s(θ) = Hi

[(θ − θi)

βi− 1

2πsin

(2π(θ − θi)

βi

)]dove per l’i-esimo tratto Hi e l’alzata (positiva se di salita), θi e l’angolo di partenza e βi el’angolo di “durata”. I coefficienti di velocita e accelerazione hanno dunque l’espressioneseguente:

s′(θ) =ds

dθ=Hi

βi

[1− cos

(2π(θ − θi)

βi

)]s′′(θ) =

d2s

dθ2=

2πHi

βi2 sin

(2π(θ − θi)

βi

)La Figura 2.35 riporta l’andamento di un tratto generico in termini di alzata s e

di coefficienti di velocita s′ e accelerazione s′′. La Figura 2.36 riporta gli andamenti deicoefficienti di velocita, s′(θ), e di accelerazione, s′′(θ) per la legge di moto della Figura 2.34.Una volta operata la sintesi della camma, la Figura 2.37a rappresenta la camma che siottiene con i valori di raggio base e raggio rotella pari rispettivamente a: Rb = 70 mm eRr = 5 mm.


s(e)s’(e)s’’(e)

Figura 2.35: Legge cicloidale

0 50 100 150 200 250 300 350−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Coe

ffici

ente

vel

ocita

’ [m

/rad]

Angolo camma [deg]0 50 100 150 200 250 300 350

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2C

oeffi

cien

te a

ccel

eraz

ione

[m/ra

d2 ]

Angolo camma [deg]

Figura 2.36: Coefficienti di velocita e accelerazione per la legge di Figura 2.34

−100 −50 0 50 100

−100

−50

0

50

100

Profilo primitivoProfilo internoProfilo esterno

(a)

−60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

A

B


(b)

Figura 2.37: Profili ottenuti con: a) Rb = 70 mm; b) Rb = 30 mm (in entrambi i casiRr = 5 mm

2.8. ESEMPIO 107

Vediamo cosa succede al diminuire del raggio base, passando ad esempio a Rb = 30mm (il raggio rotella e ancora pari a Rr = 5 mm). Il risultato e riportato in Figura 2.37be si vede che si verifica sottotaglio nelle zona contraddistinte con A e B (vedi ancheingrandimenti di Figura 2.38).

In Figura 2.39a e riportato l’andamento del raggio di curvatura ρ0 del profilo primitivo(in valore assoluto). Come si puo notare dall’ingrandimento di Figura 2.39b, esso scendeal di sotto del valore limite rappresentato dal raggio del rullo Rr in corrispondenza di duezone, confermando la presenza di sottotaglio.

65.9 65.95 66 66.05 66.1 66.15 66.2 66.25 66.322.8

22.85

22.9

22.95

23

23.05

23.1

23.15

23.2


(a)

25 30 35 40 45 50 55−20

−15

−10

−5

0

5

10


(b)

Figura 2.38: Ingrandimenti delle zone A e B di Figura 2.37b

0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

l 0 [mm

] (va

lore

ass

olut

o)

Angolo camma [deg]

|l0|Rr

(a)0 5 10 15 20 25 30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

l 0 [mm

] (va

lore

ass

olut

o)

Angolo camma [deg]

|l0|Rr

(b)

Figura 2.39: Verifica del sottotaglio: |ρ0| deve risultare superiore a Rr



[Che82] Fan Yu Chen. Mechanics and design of cam mechanisms. Pergamon Pr, 1982.


[FMM09] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di meccanica applica-ta alle macchine - Seconda parte - Elementi di meccanica degli azionamenti.Patron editore S.r.l., Bologna, 2009.

[Nor09] Robert L Norton. Cam design and manufacturing handbook. Industrial PressInc., 2009.

Capitolo 3

Ruote Dentate

3.1 Raggio primitivo e raggio base

O

LL'γ

ρ

γHH'

R

Figura 3.1: Dente in due posizioni corrispondenti ad una rotazione γ della ruota

LL′ = ργ

HH ′ = Rγ

HH ′

LL′

=R

ρ=

1

cosα

109

110 CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE

3.2 Rapporto di trasmissione

Il rapporto di trasmissione e costante e dipende dal rapporto tra i raggi base delle ruote.

O1

O2

K2L'2 L2

K1M

L1L'1

M'

γ2

γ1

ρ2

ρ1

Figura 3.2: Rapporto di trasmissione

K1M =K1L1 K2M =

K2L2

K1M ′ =K1L

′1 K2M ′ =

K2L

′2

MM ′ =L1L

′1 = ρ1γ1 MM ′ =

L2L

′2 = ρ2γ2

Rapporto di trasmissione:

τ =Ω2

Ω1

=ρ1ρ2

3.3. PASSO BASE, PASSO E MODULO 111

3.3 Passo base, passo e modulo

O1

O2

K2L'2 L2

K1M

L1L'1

M'

ρ2

ρ1

θ2

θ1

Figura 3.3: Due denti contigui: passo base

L1L

′1 =

L2L

′2 ρ1θ1 = ρ2θ2

2π

Z1

ρ1 =2π

Z2

ρ2

Passo base:

pb =2πρ

Z


H'2 H2H1H'1

O1

O2

K2

K1

θ2

θ1

ρ2

ρ1

Figura 3.4: Due denti contigui: passo (sulla primitiva)

H1H

′1 =

H2H

′2 R1θ1 = R2θ2

2π

Z1

R1 =2π

Z2

R2

Passo p e modulo m:

p =2πR

Z=

2R

Zπ = m π

3.4. PROPORZIONAMENTO DELLA DENTATURA 113

3.4 Proporzionamento della dentatura

Il dente e proporzionato (vedi Figura 3.5) suddividendo la sua altezza tra la sporgenza oaddendum (differenza tra il raggio della circonferenza di testa e il raggio primitivo) e larientranza o dedendum (differenza tra il raggio primitivo e il raggio della circonferenza dipiede).Indicata con h l’altezza del dente, essa e sempre pari a: h = 2.25 m.

Figura 3.5: Proporzionamento della dentatura

3.4.1 Dentiera normalizzata

Per definire il proporzionamento della dentatura si puo fare riferimento alla cosiddettadentiera normalizzata (rappresentata in Figura 3.6) in cui l’altezzza del dente vale 2.5 med e ripartita in parti uguali rispetto alla linea di riferimento.Il modulo ed il passo della dentiera normalizzata vengono indicati rispettivamente con m0

e p0.

p0 = πm0

= =

h =

2.5

m0

== linea di riferimento

Figura 3.6: Dentiera normalizzata


3.4.2 Ruote normali e ruote corrette

Il dente segue il proporzionamento normale se (vedi Figura 3.7):

• addendum= m

• dedendum= 1.25 m

Figura 3.7: Proporzionamento normale

!(a)

!(b)

Figura 3.8: Dentatura: a) normale; b) corretta

3.4. PROPORZIONAMENTO DELLA DENTATURA 115

La dentatura normale si puo pensare come ottenuta per inviluppo nel rotolamentodella primitiva di taglio della ruota da generare sulla linea di riferimento della dentieranormalizzata (Figura 3.8a).

Il dente di una dentatura corretta (o modificata) ha sempre altezza apri a h = 2.25 m,ma questa e differentemente ripartita tra addendum e dedendum rispetto a quanto avvieneper il dente di una dentatura normale.

Nella generazione di una dentatura corretta la primitiva di taglio della ruota da gene-rare risulta spostata dalla linea di riferimento della dentiera normalizzata di una quantitapari allo spostamento di profilo v (vedi Figura 3.8b).


3.5 Taglio delle ruote dentate

Le ruote dentate vengono comunemente realizzate mediante lavorazione alla macchinautensile per asportazione di truciolo. Sono meno frequenti gli esempi di ruote dentatecostruite tramite:

• Fusione

• Stampaggio

• Estrusione

La macchina utensile (macchina dentatrice) che esegue il taglio dei denti di normagenera i profili per inviluppo, nel moto di mutuo rotolamento delle due superfici primitivedi taglio. Esistono anche procedimenti diversi: fresatura con frese modulari (vedi Figu-ra 3.9a) che ha pero scarso interesse industriale; taglio di denti di ruote dentate interneper brocciatura (vedi Figura 3.9b), impiegato in casi particolari.

II taglio delle ruote per inviluppo puo essere facilmente compreso se si immagina chela ruota da dentare sia costituita da materiale modellabile, mentre la ruota generatrice emolto dura (e costruita in acciaio da utensili). Facendo muovere le due ruote una rispettoall’altra, garantendo il puro rotolamento tra le rispettive primitive, la ruota generatricemodella per inviluppo i denti della ruota da dentare (vedi Figura 3.10)

(a) (b)

Figura 3.9: Taglio di ruota dentata con: a) fresa modulare; b) broccia

!(a) !(b)

Figura 3.10: Generazione della dentatura per inviluppo

3.5. TAGLIO DELLE RUOTE DENTATE 117

3.5.1 Macchine dentatrici

Le macchine dentatrici possono essere suddivise in due grandi categorie:

• le dentatrici-stozzatrici, in cui l’utensile ha un moto di taglio traslatorio alterno,impiegano come utensile una dentiera (Figura 3.11a e Figura 3.11b), oppure unaruota dentata (coltello Fellows); quest’ultimo il solo utensile in grado di generareper inviluppo ruote dentate interne (Figura 3.11c e Figura 3.11d).

• le dentatrici a creatore, in cui l’utensile ha moto di taglio rotatorio continuo, impie-gano come utensile una fresa-vite (o creatore), i cui filetti in una sezione eseguitacon un piano assiale, sono assimilabili ai denti di una dentiera (Figura 3.12).

!(a) !(b)

! (c)!

(d)

Figura 3.11: Dentatrici stozzatrici

! !

Figura 3.12: Dentatrici a creatore


3.6 Segmento d’azione e arco d’azione

N2

N1B1

O1

O2

R2

R1

CA1

K1

K2

A2B2

!

Figura 3.13: Segmento e arco d’azione

N

O

R

C

KL'

ρ

BLϕϕ

Figura 3.14: Segmento e arco d’azione (fase di recesso)

CN =LL′ = ρφ

CB = Rφ

CB = Rφ = R

CN

ρ=

CN

cosα

3.6. SEGMENTO D’AZIONE E ARCO D’AZIONE 119

N2

N1B1

O1

O2

R2

R1

CA1

K1

K2R2 + e2

R1 + e1

Figura 3.15: Calcolo del segmento di azione


!Figura 3.16: Segmento di azione nell’ingranamento rocchetto-dentiera

!

Figura 3.17: Segmento di azione per un ingranaggio interno

3.7. FATTORE DI RICOPRIMENTO 121

3.7 Fattore di ricoprimento

ε =

AB

p=

N1N2

p cosα

Nel caso di ingranamento tra due ruote uguali non corrette, risulta:

ε =

√Z2 sin2 α + 4 + 4Z − Z sinα

π cosα(3.1)

!

Figura 3.18: Fattore di ricoprimento

!(a) !(b)

Figura 3.19: Fattore di ricoprimento: a) in funzione di α; b) in funzione di Z


3.8 Interferenza

!

Figura 3.20: Interferenza nell’ingranamento di due ruote

Con riferimento alla Figura 3.20:

• Ad un dato istante, i due profili sono a contatto in un punto situato sulla linead’azione.

• Con il procedere dell’ingranamento, il punto di contatto si sposta per arrivare alpunto particolare K1.

• Se l’ingranamento proseguisse oltreK1, chiediamoci quale sarebbe la curva coniugataal profilo P2

• Nel punto N della linea d’azione il centro di curvatura di P2 e il punto K2 in cui lalinea d’azione risulta tangente alla circonferenza base di P2.

• Il profilo coniugato a P2 deve avere il suo centro di curvatura in K1. Denominatotale profilo con P ′

1, esso ha una curvatura diretta nello stesso senso di P2: si trattadel ramo fittizio di P1 il quale ovviamente non puo essere il fianco di un dente dellaruota 1 atto ad ingranare con il dente della ruota 2 delimitato dal profilo P2.

• D’altra parte, il primo punto di P1 (punto Q1) si trova all’interno del profilo P2. Inaltre parole P2 taglia il ramo reale di evolvente P1 (nel punto S), dando luogo alfenomeno noto come interferenza.

3.8. INTERFERENZA 123

La condizione di non interferenza e piu critica al crescere del numero di denti della ruota(vedi Figura 3.21a) e al diminuire del numero di denti del pignone (vedi Figura 3.21b).

N2

O1

O2

R2

R1

C

K1

K2

R2 + e2 lim

e2 lim

!(a)

N2

B1

O1

O2

R2

R1

CA1

K1

K2

O'1

R2 + e2 lim

e2 lim

!(b)Figura 3.21: Condizione di non interferenza: a) al crescere del numero di denti della ruota;b) al diminuire del numero di denti del pignone


3.8.1 Calcolo del numero minimo di denti

N2

B1

O1

O2

R2

R1

CA1

K1

K2

R2 + e2

!

Figura 3.22: Calcolo del numero minimo di denti per evitare interferenza

Per evitare interferenza deve essere:

CN1 < CK1 CN2 < CK2 (3.2)

Se R1 < R2, risulta:CK1 < CK2 CN2 < CN1

pertanto la prima delle (3.2) implica la seconda. In altri termini, la piu gravosa tra ledue disuguaglianze (3.2) e la prima, la quale impone un valore massimo dell’addendum e,quindi, una condizione sul numero di denti minimo. Infatti, e:

e = m =2R

Z

Per calcolare il numero minimo di denti, ci poniamo in condizione limite (CN1 = CK1)e consideriamo il triangolo O2CK1 (vedi Figura 3.22). Risulta:

(R2 + e2lim)2 = R2

2 +R21sin

2α + 2R2R1sin2α

e ≤ emax = −R2 +√R2

2 +R1 (R1 + 2R2) sin2α


2R1

Z1

= e ≤ emax =2R1

Z1min

= −R2 +√R2

2 +R1 (R1 + 2R2) sin2α

Z1 ≥ Z1min =2R1

−R2 +√R2

2 +R1 (R1 + 2R2) sin2α

In conclusione, posto il rapporto di ingranamento τ :

τ = ±Z1

Z2

= ±R1

R2

(τ e positivo per dentature esterne e negativo se una delle due ruote ha dentatutra interna),il numero di denti minimo vale:

Zmin =2 τ

−1 +√

1 + τ(2 + τ) sin2 α(3.3)

!α=20°

τ=z1/z2 - ½ - ¼ 0 ¼ ½ 1 zmin 23 20 17 16 15 13

Figura 3.23: Numero minimo di denti per evitare interferenza

!(a) !(b)

Figura 3.24: Numero di denti minimo: a) in funzione di α; b) in funzione di τ


3.8.2 Interferenza tra pignone e dentiera

Il numero di denti minimo per un pignone che debba ingranare con una dentiera (o perun pignone che debba essere tagliato da un utensile dentiera) si puo ricavare dalla (3.3)facendo tendere a zero il rapporto di ingranamento τ .

In alternativa, facendo riferimento alla Figura 3.25, dal momento che deve essere:

CN1 ≤ CK1

e si ha:

CN1 =e0

sinα0

CK1 = R1 sinα0 =m0Z1

2sinα0

risulta:e0

sinα0

≤ m0Z1

2sinα0

ed infine:

Z1 ≥ Z1min =2

sin2 α0

e0m0

vale a dire:

Zmin =2

sin2 α0

(3.4)

Per un angolo di pressione pari a 20 la (3.4) porta a Zmin = 17.

linea di riferimento

K1

N1

C

R1

O1

e0

Figura 3.25: Interferenza tra pignone e dentiera: calcolo del numero minimo di denti


La Figura 3.26 mostra la forma della dentatura di un pignone tagliato da un uten-sile dentiera al diminuire del numero di denti. La Figura 3.27 mostra un particolaredell’interferenza nel taglio di un pignone con 8 denti.

(a) (b)

(c)

Figura 3.26: Forma del dente di un pignone tagliato con un utensile dentiera (dentaturanormale, m0 = 2 mm, α0 = 20) al diminuire del numero di denti : a) Z = 20; b) Z = 14;c) Z = 8

!

Figura 3.27: Interferenza nel taglio di un pignone con 8 denti


3.9 Spessore della dentatura

3.9.1 Funzione evolvente

O

WQ

β ρ

αM

KM

M

rM

Figura 3.28: Funzione evolvente

β = tanαM − αM = inv αM

3.9.2 Spessore della dentatura

O

ρinv αM

M

RrM

δ

sMs

inv α

Figura 3.29: Spessore della dentatura

3.9. SPESSORE DELLA DENTATURA 129

3.9.3 Misura Wildhaber

!Figura 3.30: Misura Wildhaber

WK = (k − 1)pb + Sb

WK = m0 cosα0

[(k − 1) π +

S

m0

+ Z invα0

]

(a) !(b)

Figura 3.31: Misura Wildhaber: a) su ruota a denti dritti; b) su ruota a denti elicoidali


3.10 Correzione della dentatura

3.10.1 Dentatura normale

!

Figura 3.32: Dentatura normale

La dentatura normale si puo pensare come ottenuta per inviluppo nel rotolamentodella primitiva di taglio della ruota da generare sulla linea di riferimento della dentieranormalizzata (Figura 3.32). Vale quanto segue.

Sulla primitiva di taglio:

Spessore = Vano =p

2=πm0

2Spessore + Vano = p = π m0

Addendum = Modulo = m0

Dedendum = 1.25 m0

Altezza del dente = 2.25 m0

Raggio primitivo di taglio R =m0Z

2

3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA 131

3.10.2 Dentatura corretta

!

Figura 3.33: Dentatura corretta

Nella generazione di una dentatura corretta la primitiva di taglio della ruota da gene-rare risulta spostata dalla linea di riferimento della dentiera normalizzata di una quantitapari allo spostamento di profilo v (vedi Figura 3.33). Vale quanto segue.

Sulla primitiva di taglio:

Spessore = Vano

Spessore + Vano = p = π m0

Addendum = Modulo = m0 + v

Dedendum = 1.25 m0 − v

Altezza del dente = 2.25 m0

Raggio primitivo di taglio R =m0Z

2

Convenzione:

La correzione si intende positiva, e lo spostamento di profilo v e positivo, se lalinea di riferimento della dentiera generatrice e esterna alla primitiva di tagliodella ruota (in Figura 3.33 e v > 0)

Definizione:

Si definisce coefficiente di spostamento x il rapporto tra lo spostamento diprofilo v ed il modulo m0:

x =v

m0


3.10.3 Interasse di riferimento e di lavoro

L’interasse di riferimento a e la somma dei raggi primitivi di taglio:

a = R1 +R2 = m0Z1 + Z2

2(3.5)

L’interasse di lavoro a′ e la somma dei raggi primitivi di lavoro:

a′ = R′1 +R′

2 = m′Z1 + Z2

2(3.6)

in cui m′ e il modulo di lavoro.

Se si desidera un regolare funzionamento con interasse di lavoro pari a quellodi riferimento (a′ = a) deve risultare:

S1 + S2 = π m0 (3.7)

con S1 e S2 spessori del dente misurati sulla primitiva di taglio.

Infatti, per un regolare funzionamento (in assenza di giochi o interferenze), lo spessoredi un dente di una delle due ruote deve coincidere con quello del vano di un dente dell’altraruota (e viceversa), cioe (indicando con l’apice le quantita riferite alle primitive di lavoro):

S ′1 = V ′

2 S ′2 = V ′

1

Inoltre, essendo: S ′ + V ′ = p′ = π m′, risulta:

S ′1 + V ′

1 = S ′1 + S ′

2 = π m′

Se l’interasse di lavoro coincide con quello di riferimento (le primitive di lavoro coinci-dono con quelle di taglio e a′ = a = R1 + R2), per avere un funzionamento regolare deveessere:

S ′1 + S ′

2 = S1 + S2 = S1 + V1 = p0 = π m0

Si e pertanto dimostrato che la (3.7) vale se e solo se a′ = a.Al contrario, se l’interasse di lavoro a′ e diverso da quello di riferimento a risulta:

S1 + S2 = π m0

Osserviamo inoltre che:S1+V1 = π m0 e sempre vera, mentre S1+S2 = π m0 (cioe la (3.7)) e vera solo se a′ = a.


3.10.4 Correzione e interasse

Nel caso di dentatura normale (non corretta) sulla primitiva di taglio si ha (vedi§3.10.1):

Spessore = V ano =p

2=πm0

2

Pertanto, considerate due ruote 1 e 2 risulta:

S1 = V1 =πm0

2S2 = V2 =

πm0

2

e, di conseguenza:S1 + S2 = πm0

In conclusione:

per un regolare ingranamento tra due ruote normali l’interasse di lavoro devecoincidere con quello di riferimento (a′ = a).

Viceversa, nel caso di dentatura corretta sulla primitiva di taglio si ha (vedi §3.10.2):

Spessore = V ano

Possono quindi verificarsi due casi:

• Correzione senza variazione di interasse: l’interasse di lavoro viene fatto coinciderecon quello di riferimento

• Correzione con variazione di interasse: l’interasse di lavoro non coincide con quellodi riferimento

In generale, nel caso di correzione della dentatura possiamo distinguere due situazioni:

• la correzione viene effettuata in vista delle esigenze di funzionamento della coppiadi ruote dentate:

– migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di flessione

– migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di pressione

– permettere il montaggio con interasse prestabilito

– evitare linterferenza in condizioni di lavoro

• la correzione viene effettuata per evitare interferenza nel taglio di almeno una delledue ruote dell’ingranaggio.


3.10.4.1 Correzione senza variazione di interasse

!

Figura 3.34: Correzione senza variazione di interasse

Come appena visto, in questo caso le primitive di taglio coincidono con quelle di lavoro(funzionamento) e la situazione e quella rappresentata in Figura 3.34.

Si vuole ora dimostrare che quando a′ = a, per assicurare un regolare funzio-namento (in assenza di giochi o interferenze) la somma degli spostamenti diprofilo delle due ruote ingrananti deve essere nulla.

A tal proposito si consideri la Figura 3.35 in cui si e apportata una correzione positiva alpignone 1 (la piu piccola tra le due ruote) e una uguale correzione in valore assoluto, manegativa, alla ruota 2. E evidente che lo spessore del dente del pignone sulla primitiva ditaglio vale:

S1 =CA = CB

D’altra parte per la ruota vale:

S2 =CD = CE

Con l’ausilio della Figura 3.36 e facile convincersi che:

S1 =π m0

2+ 2 v1 tanα0 = m0

(π2

+ 2 x1 tanα0

)S2 =

π m0

2− 2 |v2| tanα0 = m0

(π2

+ 2 x2 tanα0

)Per cui risulta:

S1 + S2 = m0 [π + 2 tanα0 (x1 + x2)]

da cui si vede chiaramente che vale la (3.7) (condizione necessaria per avere un regolareingranamento quando a′ = a) se e solo se:

x1 + x2 = 0


Figura 3.35: Correzione senza variazione di interasse (v1 = −v2, v1 > 0)

!

Figura 3.36: Spessore del dente di pignone e ruota sulla primitiva di taglio

Figura 3.37: Correzione di un ingranaggio in cui a′ = a e la correzione positiva e attribuitaal pignone


La Figura 3.37 riporta una sintesi dei dati di correzione per un ingranaggio in cuia′ = a e la correzione positiva e attribuita al pignone. In Figura 3.38 e mostrato il casoparticolare in cui v1 = −v2 = 0.5 m0.

Figura 3.38: Variazione della forma del dente a seguito di correzione (v1 = −v2 = 0.5 m0)

La Figura 3.39 mostra come attribuire la correzione positiva al pignone, allontaniquest’ultimo dalla condizione di interferenza con la ruota. Infatti, la figura riporta ruotae pignone nella condizione limite di interferenza (in cui la circonferenza di testa della ruotapassa per il puntioo K1 e si vede che apportare una correzione negativa alla ruota (ugualein valore assoluto a quella del positiva del pignone) comporta una diminuzione del raggiodi testa della ruota con conseguente allontanamento dalla condizione di interferenza.

Re2

Re2’’

Re2’

Figura 3.39: Una correzione negativa sulla ruota allontana dalla condizione di interferenza


3.10.4.2 Correzione con variazione di interasse

Figura 3.40: Correzione con variazione di interasse

La Figura 3.40 mostra l’ingranamento tra un pignone e una ruota in cui ad entrambie apportata una correzione positiva. L’ingranaggio e montato con un interasse a pari aquello di riferimento a maggiorato della somma v1 + v2 dei due spostamenti di profilo.Dalla figura emerge come in tali condizioni venga a crearsi un gioco tra le dentature dipignone e ruota, in contrasto con la condizione di regolare funzionamento su cui ci si ebasati fino ad ora (vedi §3.10.3).In altre parole, non si puo montare l’ingranaggio con un interasse a′ = a in quanto risultaa′ < a. In particolare, e:

a′ < a = R1 +R2 + v1 + v2 = a+m0(x1 + x2)

ossia: la variazione di interasse a seguito di correzione e sempre minore della somma deglispostamenti di profilo:

a′ − a < v1 + v2 = m0(x1 + x2)

Vediamo quindi come mettere correttamente in relazione a′, a e la somma x1 + x2.Sfruttando ancora la Figura 3.36, sulle primitive di taglio valgono ancora le seguenti:

S1 = m0

(π2

+ 2 x1 tanα0

)S2 = m0

(π2

+ 2 x2 tanα0

)(3.8)


Sulle primitive di lavoro, invece, gli spessori del dente di pignone e ruota valgonorispettivamente:

S1′ = R1

′[S1

R1

+ 2(invα0 − invα′)

]S2

′ = R2′[S2

R2

+ 2(invα0 − invα′)

](3.9)

che, sommati, danno il passo di lavoro 1:

S1′ + S2

′ = S1′ + V1

′ = π m′ = π m0cosα0

cosα′ (3.10)

D’altra parte, sommando i due spessori dati dalle (3.9) si ottiene:

S1′ + S2

′ =cosα0

cosα′ [S1 + 2 R1(invα0 − invα′) + S2 + 2 R2(invα0 − invα′)]

ossia:S1

′ + S2′ =

cosα0

cosα′ [S1 + S2 +m0(Z1 + Z2)(invα0 − invα′)]

che, inserite le (3.8), fornisce:

S1′ + S2

′ =cosα0

cosα′m0 [π + 2 tanα0(x1 + x2) + (Z1 + Z2)(invα0 − invα′)] (3.11)

Dal confronto tra la (3.10) e la (3.11), risulta che deve essere:

2 tanα0(x1 + x2) + (Z1 + Z2)(invα0 − invα′) = 0 (3.12)

In conlusione, si e ottenuta la:

invα′ = invα0 + 2 tanα0x1 + x2Z1 + Z2

(3.13)

che unitamente alla:a′ = a

cosα0

cosα′ (3.14)

consentono di affrontare il problema diretto e quello inverso, ossia:

• Problema diretto: noti i numeri di denti Z1 e Z2, il modulo e l’angolo di pressionedella dentiera generatrice m0 e α0, la somma dei coefficienti di spostamento x1+x2,occorre determinare l’interasse di lavoro a′ e l’angolo di pressione di lavoro α′

• Problema inverso: noti i numeri di denti Z1 e Z2, il modulo e l’angolo di pressionedella dentiera generatrice m0 e α0 e assegnato l’interasse di lavoro a′, occorre trovarela somma dei coefficienti di spostamento x1 + x2 e l’angolo di pressione di lavoro α′

1

ρ = R cosα0 = R′ cosα′ R′ = Rcosα0

cosα′ m′ =2R′

Z=

2R

Z

cosα0

cosα′ = m0cosα0

cosα′

Ruote Dentate

139

Correzione di dentatura per evitare interferenza

In condizioni di riferimento

02

0

0

02lim

sin

2

sin

2

αα==≥

m

eZZ rif

020lim

sin

2

α== ZZ rif 2

sin 02

0

0

0 αZ

m

e =

Se si effettua uno spostamento di profilo

002lim

sin

2

m

eZZ

α=≥

2

sin 02

0

αZ

m

e ≤

Ruote Dentate

140

Se lo spostamento di profilo è pari a v = x m0, si ha (v = e0 - e):

2

sin 02

0

0

00

0

0

αZ

m

e

m

e

m

e

m

v −≥−=

0

002

00

20

20

0 2

sin)(

2

sin

2

sin

Z

ZZZZ

ZZ

m

v −=−=−≥ ααα

0

0

0 Z

ZZx

m

v −≥=

0

101 Z

ZZx

−≥

0

202 Z

ZZx

−≥

0

21021

)(2

Z

ZZZxx

+−≥+

Si hanno due casi:

1) 021 2ZZZ ≥+ 021 =+ xx 21 xx −=

021 ≠+ xx

2) 021 2ZZZ <+ 021 ≠+ xx 0)( 21 >+ xx

Ruote Dentate

141

Esempio

Ruote Dentate

142

Modifica della forma dei denti a seguito di correzione

Nota: in tabella x indica lo spostamento di profilo (non il coefficiente di spostamento).

Una correzione positiva:

• allontana dalla condizione di interferenza • migliora la resistenza a flessione al piede • riduce le pressioni di contatto (aumenta la curvatura

del profilo al piede) • il dente ha forma più appuntita

Ruote Dentate

143

Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI

Ruote Dentate

144

I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani

Ruote Dentate

145

Ruote Dentate

146

Ruote Dentate

147

(a) elica destra, (b) elica sinistra.

Ruote Dentate

148

Ruote dentate CONICHE

Ruote Dentate

149

Ruote Dentate

150

Ruote Dentate

151

Ruote Dentate Coniche a Denti curvi

Ruote Dentate

152

Trasmissione del moto tra assi SGHEMBI con Ruote Dentate

Ruote Dentate

153

Ingranaggio Vite senza fine – Ruota elicoidale

Z

i=τ

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 139



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MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM { Parte Idiem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mdm/MDM_1415_Parte_I.pdf · Figura 5: Catena cinematica di Stephenson e meccanismi da essa