PROGRAMMA del CORSO ly - Dipartimento di Ingegneria ...diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mam_II/Diapo_MAM_01.pdf · Catena Cinematica di STEPHENSON e meccanismi da essa derivati

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LM (C.I. MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM)

PROGRAMMA del CORSOPROGRAMMA del CORSO§§ TEORIA dei MECCANISMITEORIA dei MECCANISMI

–– Richiami di composizione dei Richiami di composizione dei meccanismimeccanismi

–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I sistemi articolati piani I sistemi articolati piani

(analisi e sintesi) (analisi e sintesi) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)

–– Meccanismi con camme Meccanismi con camme (analisi e sintesi)(analisi e sintesi)

–– Ruote dentate Ruote dentate (geometria, correzione)(geometria, correzione)

§§ TRIBOLOGIATRIBOLOGIA–– Forze di contatto tra solidiForze di contatto tra solidi–– Coppie cinematiche lubrificateCoppie cinematiche lubrificate

§§ A.G. Erdman, G.N. A.G. Erdman, G.N. SandorSandor, S. Kota, , S. Kota, Mechanism Design: Analysis and Mechanism Design: Analysis and SynthesisSynthesis..

§§ R.L. Norton, R.L. Norton, Cam Design and Cam Design and Manufacturing HandbookManufacturing Handbook..

§§ F.L. F.L. LitvinLitvin, A. Fuentes, , A. Fuentes, Gear Gear Geometry and Applied TheoryGeometry and Applied Theory..

§§ A.S. A.S. ZeriZeri, , Fluid Film Lubrication: Fluid Film Lubrication: Theory and DesignTheory and Design..

§§ E. Funaioli, A. Maggiore, U. E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Meneghetti, Lezioni di Meccanica Lezioni di Meccanica applicata alle macchineapplicata alle macchine..

§§ DispenseDispense integrative redatte dal integrative redatte dal docente.docente.

Intern

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MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LM


–– Richiami di Richiami di composizione dei meccanismicomposizione dei meccanismi–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I sistemi articolati piani I sistemi articolati piani


–– Meccanismi con camme (analisi e sintesi)Meccanismi con camme (analisi e sintesi)–– Ruote dentate Ruote dentate

(geometria, correzione)(geometria, correzione)


Intern

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CATENA CINEMATICA CATENA CINEMATICA –– MECCANISMOMECCANISMO

Catena Catena CinematicaCinematica didiSTEPHENSONSTEPHENSON

e e meccanismimeccanismi dada essaessaderivatiderivati

§§ MEMBROMEMBRO–– uno o piuno o piùù pezzi che si comportano pezzi che si comportano

come un sol pezzo dal punto di vista come un sol pezzo dal punto di vista funzionale.funzionale.

§§ CATENA CINEMATICACATENA CINEMATICA–– insieme di membri accoppiati insieme di membri accoppiati

cinematicamente tra loro in cui cinematicamente tra loro in cui nessuno nessuno èè da considerarsi a priori da considerarsi a priori fisso.fisso.

§§ MECCANISMOMECCANISMO–– catena cinematica in cui un membro catena cinematica in cui un membro

èè fisso (TELAIO).fisso (TELAIO).

§§ COPPIA CINEMATICACOPPIA CINEMATICA–– insieme di due ELEMENTI insieme di due ELEMENTI

CINEMATICI (porzioni della CINEMATICI (porzioni della superficie dei membri in cui avviene superficie dei membri in cui avviene il contatto) a contatto tra loro.il contatto) a contatto tra loro.Int

ernal

Use O

nly


COPPIE CINEMATICHECOPPIE CINEMATICHE

§§ ROTOIDALEROTOIDALE

§§ PRISMATICAPRISMATICA

§§ ELICOIDALEELICOIDALE

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§§ CILINDRICA (C)CILINDRICA (C)

§§ PIANO SU PIANO (Pp)PIANO SU PIANO (Pp)

§§ SFERICA (S)SFERICA (S)


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COPPIE ELEMENTARI e SUPERIORICOPPIE ELEMENTARI e SUPERIORI§§ COPPIA ELEMENTARECOPPIA ELEMENTARE

–– RIGIDARIGIDA–– COMBACIANTECOMBACIANTE

§§ COPPIA SUPERIORECOPPIA SUPERIORE–– COMBACIANTE NON RIGIDACOMBACIANTE NON RIGIDA

–– RIGIDA NON COMBACIANTERIGIDA NON COMBACIANTE

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MECCANISMI MECCANISMI –– SISTEMI ARTICOLATI SISTEMI ARTICOLATI

R

RP

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PROFILI CONIUGATIPROFILI CONIUGATI

§§ ÈÈ ovvio che nelle ovvio che nelle coppie elementari coppie elementari il solo moto il solo moto possibile fra gli possibile fra gli elementi cinematici elementi cinematici èè quello di quello di strisciamento.strisciamento.

§§àà moto relativo di puro moto relativo di puro rotolamentorotolamento

§§ ma giace sulla tangente ma giace sulla tangente ttàà un moto relativo di un moto relativo di strisciamentostrisciamento (non (non

èè esclusa la sovrapposizione di un moto esclusa la sovrapposizione di un moto di rotolamento)di rotolamento)

§§ ed ha componente non nulla ed ha componente non nulla sulla normale sulla normale nnàà i pi profili a contatto in M stanno per rofili a contatto in M stanno per

distaccarsidistaccarsi o per o per compenetrarsi compenetrarsi (perdendo la loro caratteristica di profili (perdendo la loro caratteristica di profili coniugati)coniugati)

( 21) 0MV =ur

( 21) 0MV ≠ur

( 21) 0MV ≠ur

§§ Nel punto di contatto M i Nel punto di contatto M i due profili hanno tangente due profili hanno tangente comune.comune.

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duetreS5C5cinque

unouno

due

tretredue

SCSECC

C4quattro

unouno

due

treduedueuno

S (elementare)SASLPP (elementare)

C3tre

uno

unouno

dueunounouno

RTC (elementare)CSR

C2due

unouno

unoR (elementare)P (elementare)E (elementare)

C1uno

moti elicoidalitraslazionirotazioniDenominazione

della coppiaCategoria

della coppiaGradi di libertà

Movimenti permessi


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GRADI GRADI didi LIBERTALIBERTA’’ didi un MECCANISMOun MECCANISMO§§ MECCANISMO MECCANISMO PIANOPIANO

§§ MECCANISMO MECCANISMO SPAZIALESPAZIALE

1 23( 1) 2l m C C= − − −

1 2 3 4 56( 1) 5 4 3 2l m C C C C C= − − − − − −Intern

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–– Richiami di composizione dei meccanismiRichiami di composizione dei meccanismi–– Richiami di Richiami di cinematicacinematica–– I sistemi articolati piani I sistemi articolati piani





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CINEMATICACINEMATICA§§ ANALISI cinematicaANALISI cinematica

–– fornisce gli strumenti per la fornisce gli strumenti per la determinazione di POSIZIONI, determinazione di POSIZIONI, VELOCITVELOCITÀÀ, e ACCELERAZIONI., e ACCELERAZIONI.

§§ SINTESI cinematicaSINTESI cinematica–– individua metodi per ideare individua metodi per ideare

meccanismi capaci di realizzare meccanismi capaci di realizzare determinate prestazioni:determinate prestazioni:

•• generazione di generazione di MOVIMENTIMOVIMENTI(un membro compie spostamenti (un membro compie spostamenti attraverso un numero finito di attraverso un numero finito di posizioni)posizioni)

•• generazione di generazione di TRAIETTORIETRAIETTORIE(un punto di un membro attraversa un (un punto di un membro attraversa un numero finito di posizioni)numero finito di posizioni)

•• generazione di generazione di FUNZIONIFUNZIONI(realizzare un legame tra il moto di (realizzare un legame tra il moto di due membri che soddisfi una funzione due membri che soddisfi una funzione prefissata)prefissata)Int

ernal

Use O

nly


RICHIAMI di CINEMATICARICHIAMI di CINEMATICA§§ Cinematica del CORPO RIGIDOCinematica del CORPO RIGIDO

–– Teorema di RivalsTeorema di Rivals–– Centro di istantanea rotazione (CI)Centro di istantanea rotazione (CI)–– Centro di curvaturaCentro di curvatura–– Teorema di allineamento dei CITeorema di allineamento dei CI

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MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LS


–– Richiami di composizione dei meccanismiRichiami di composizione dei meccanismi–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I I sistemi articolati pianisistemi articolati piani

((analisianalisi e sintesi) e sintesi) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)




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Equazioni di Equazioni di CHIUSURACHIUSURA

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Approccio Approccio MODULAREMODULARE

§§ Gruppi di ASSURGruppi di ASSUR

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Approccio Approccio MODULAREMODULARE

§§ Gruppi di ASSURGruppi di ASSUR

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GruppiGruppi didi AssurAssur

§§ RRRRRR§§ RRPRRP§§ RPRRPR

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GruppiGruppi didi AssurAssur

§§ PPRPPR§§ RPPRPP§§ PPPPPP

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IL PROGRAMMA IL PROGRAMMA ““ARTICARTIC””§§ Esegue Esegue

ll’’ANALISI ANALISI cinematica di cinematica di sistemi sistemi ARTICOLATI ARTICOLATI PIANIPIANI

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IL PROGRAMMA IL PROGRAMMA ““ARTICARTIC””

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IL PROGRAMMA IL PROGRAMMA ““ARTICARTIC””§§ Per Sistemi Per Sistemi

Operativi fino a Operativi fino a Windows XPWindows XP

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IL PROGRAMMA IL PROGRAMMA ““ARTICARTIC””

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IL PROGRAMMA IL PROGRAMMA ““ARTICARTIC””§§ Per Sistemi OperativiPer Sistemi Operativi

““Windows VistaWindows Vista””o o ““Windows 7Windows 7””

§§ Scaricare il programma Scaricare il programma DOSBoxDOSBox dal sito:dal sito:http://http://www.dosbox.com/www.dosbox.com/e iInstallarlo.e iInstallarlo.

§§ Copiare ARTIC.exe ed Copiare ARTIC.exe ed eventuali file *.dat in una eventuali file *.dat in una cartella, ad esempio:cartella, ad esempio:C:C:\\temptemp

§§ Lanciare DOSBoxLanciare DOSBox§§ Nella riga di comando di Nella riga di comando di

DOSBox digitare:DOSBox digitare:

mount mount CC C:C:\\temptempC:C:

§§ Lanciare ARTICLanciare ARTIC

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http://www.dosbox.com/

http://www.dosbox.com/


““ARTICARTIC”” –– IstruzioniIstruzioni

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““ARTICARTIC”” –– IstruzioniIstruzioni

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““ARTICARTIC”” –– EsempioEsempio

P2

P3P4 P1

y

x

θ0

θ'50 10

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““ARTICARTIC”” –– EsempioEsempio

1

23

4

5

67 8

50200

150

250

150

180120

30

100

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(analisi e (analisi e sintesisintesi) ) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)




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SINTESI CinematicaSINTESI Cinematica§§ Generazione di Generazione di

MOVIMENTIMOVIMENTI(un membro compie (un membro compie spostamenti attraverso un spostamenti attraverso un numero finito di posizioni)numero finito di posizioni)

§§ Generazione di Generazione di TRAIETTORIETRAIETTORIE(un punto di un membro (un punto di un membro attraversa un numero attraversa un numero finito di posizioni)finito di posizioni)

§§ Generazione di Generazione di FUNZIONIFUNZIONI(realizzare un legame tra (realizzare un legame tra il moto di due membri che il moto di due membri che soddisfi una funzione soddisfi una funzione prefissata)prefissata)

§§ Metodi Metodi GRAFICIGRAFICI§§ Metodi Metodi ANALITICIANALITICIInt

ernal

Use O

nly


IL QUADRILATERO ARTICOLATO (RRRR)IL QUADRILATERO ARTICOLATO (RRRR)§§ Regola di GrashofRegola di Grashof

aa il lato piil lato piùù corto, corto, bb il lato piil lato piùù lungo, lungo, cc e e dd le aste intermedie.le aste intermedie.–– a + b < c + d a + b < c + d quadrilateri di Grashof (G)quadrilateri di Grashof (G)–– a + b > c + da + b > c + d quadrilateri non di Grashofquadrilateri non di Grashof–– a + b = c + da + b = c + d caso limitecaso limite

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Quadrilateri di GRASHOFQuadrilateri di GRASHOF

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Quadrilateri NON di GRASHOFQuadrilateri NON di GRASHOF

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CASO LIMITECASO LIMITE

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SINTESI Q.A. MANOVELLA SINTESI Q.A. MANOVELLA –– BILANCIEREBILANCIERE§§ Trasformare un moto rotatorio continuo in un moto Trasformare un moto rotatorio continuo in un moto

rotatorio alterno rotatorio alterno àà generazione di FUNZIONEgenerazione di FUNZIONE

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SINTESI Q.A. MANOVELLA SINTESI Q.A. MANOVELLA –– BILANCIERE BILANCIERE

§§ Punti MORTI del BilancierePunti MORTI del Bilanciere

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SINTESI Q.A. MANOVELLA SINTESI Q.A. MANOVELLA –– BILANCIEREBILANCIERE

§§ Si debba progettare un Q.A. tale che il bilanciere Si debba progettare un Q.A. tale che il bilanciere (membro cedente) compia oscillazioni di ampiezza (membro cedente) compia oscillazioni di ampiezza ββassegnata con tempi di andata e ritorno prestabiliti.assegnata con tempi di andata e ritorno prestabiliti.

§§ Se la manovella ruota a velocitSe la manovella ruota a velocitàà angolare costante, essa angolare costante, essa deve compiere angoli prefissati durante le due corse del deve compiere angoli prefissati durante le due corse del bilanciere.bilanciere.

§§ DATI:DATI:angolo angolo ββangolo angolo θθ = = ππ –– φφaa

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§§ ProcedimentoProcedimento

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Dal momento che tutti i punti O1 Dal momento che tutti i punti O1 che soddisfano il problema che soddisfano il problema vedono il segmento Bvedono il segmento B’’BB’’’’ sotto lo sotto lo stesso angolo stesso angolo θθ, significa che , significa che devono appartenere alle due devono appartenere alle due circonferenze passanti per Bcirconferenze passanti per B’’ e e BB’’’’ ed aventi centro sulla ed aventi centro sulla bisettrice dellbisettrice dell’’angolo angolo ββ (da parti (da parti opposte rispetto al segmento opposte rispetto al segmento BB’’BB’’’’) e raggio R pari a:) e raggio R pari a:

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B*

§§ r = raggio di r = raggio di manovellamanovella§§ l = lunghezza di l = lunghezza di biellabiella

§§ Casi 2 e 3Casi 2 e 3OO11BB’’ = l + r= l + rOO11BB’’’’ = l = l –– r r OO11BB’’ = max distanza O= max distanza O11B*B*OO11BB’’’’ = min distanza O= min distanza O11B*B*

§§ Casi 1 e 4Casi 1 e 4OO11BB’’ = l = l –– rrOO11BB’’’’ = l + r = l + r OO11BB’’ = min distanza O= min distanza O11B*B*OO11BB’’’’ = max distanza O= max distanza O11B* B*

O1

O1

1122

33 44Intern

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B*

§§ Casi 2 e 3Casi 2 e 3OO11BB’’ = (O= (O11B*)B*)maxmax

OO11BB’’’’ = (O= (O11B*)B*)minmin

O1

O1

1122

33 44

§§ Caso 3Caso 3OO11B*B* = O= O11OO33 + O+ O33B* =B* == O= O11OO33 + O+ O33BB’’ >> OO11BB’’ = = (O(O11B*)B*)maxmax

OO11B* > (OB* > (O11B*)B*)maxmax àà ASSURDO!ASSURDO!

§§ Caso 1Caso 1OO11OO33 = O= O11B* + B*OB* + B*O33 = O= O11B* + BB* + B’’OO33

OO11OO33 < O< O11BB’’ + B+ B’’OO33

OO11B* < OB* < O11BB’’ = (O= (O11B*)B*)minmin àà ASSURDO!ASSURDO!

§§ Caso 2Caso 2OO11OO33 = O= O11B* + B*OB* + B*O33 = O= O11B* + BB* + B’’’’OO33

OO11OO33 < O< O11BB’’’’ + B+ B’’’’OO33

OO11B* < OB* < O11BB’’’’ = (O= (O11B*)B*)minmin àà ASSURDO!ASSURDO!

§§ Caso 4Caso 4OO11B*B* = O= O11OO33 + O+ O33B* =B* == O= O11OO33 + O+ O33BB’’’’ >> OO11BB’’’’ = = (O(O11B*)B*)maxmax

OO11B* > (OB* > (O11B*)B*)maxmax àà ASSURDO!ASSURDO!

O3

§§ Casi 1 e 4Casi 1 e 4OO11BB’’ = (O= (O11B*)B*)minmin

OO11BB’’’’ = (O= (O11B*)B*)maxmax

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§§ LL’’esistenza di un valore limite per lesistenza di un valore limite per l’’angolo angolo θθ introduce introduce una limitazione per quanto riguarda il rapporto tra gli una limitazione per quanto riguarda il rapporto tra gli angoli descritti dalla manovella in corrispondenza delle angoli descritti dalla manovella in corrispondenza delle due corse del bilanciere:due corse del bilanciere:

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§§ EE’’ evidente che la soluzione non evidente che la soluzione non èè unica.unica.Il problema risulta definito se, ad esempio, lo Il problema risulta definito se, ad esempio, lo èè il rapporto:il rapporto:

§§ Talvolta Talvolta èè conveniente definire il problema cercando di ottimizzare conveniente definire il problema cercando di ottimizzare (minimizzare) il valore dell(minimizzare) il valore dell’’angolo di trasmissioneangolo di trasmissione(l(l’’angolo acuto compreso tra bilanciere e biella).angolo acuto compreso tra bilanciere e biella).

'3

31

BOOO

F

S

µθ

vFvSvS ==× θcosrrµθ sincos

FFS ==

v

F

Sµ θ

v

↑⇒↓⇒↓ Sµµ sinIntern

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Sintesi di un meccanismo per gen. di MOVIMENTISintesi di un meccanismo per gen. di MOVIMENTI

§§ PROBLEMA:PROBLEMA:–– Fare occupare ad un segmento DUEFare occupare ad un segmento DUE posizioni posizioni àà generazione di MOVIMENTIgenerazione di MOVIMENTI

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§§ ProcedimentoProcedimento–– traccio ltraccio l’’asse di A1 A2asse di A1 A2–– traccio ltraccio l’’asse di B1 B2asse di B1 B2–– individuo lindividuo l’’intersezione Ointersezione O

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§§ Soluzione:Soluzione:–– Meccanismo a due Meccanismo a due

membri e una coppia Rmembri e una coppia R

§§ Se la soluzione non mi Se la soluzione non mi soddisfa soddisfa àà posso posso ricorrere ad un QAricorrere ad un QAInt

ernal

Use O

nly


§§ PROBLEMA:PROBLEMA:–– Fare occupare ad Fare occupare ad

un segmento di un segmento di BIELLA di un QA BIELLA di un QA DUEDUE posizioniposizioniInt

ernal

Use O

nly


§§ Soluzione 1:Soluzione 1:–– Quadrilatero articolato Quadrilatero articolato

con coppie di biella in con coppie di biella in A e BA e B

§§ èè sufficiente che i sufficiente che i centri Ocentri O11 e Oe O33 cadano cadano sugli assi dei segmenti sugli assi dei segmenti AA11AA22 e Be B11BB22

§§ il raggio OAil raggio OA11 spazza lspazza l’’angolo angolo γγ/2, cos/2, cosìì come il raggio come il raggio OBOB11

àà il segmento AB ruota di il segmento AB ruota di γγIntern

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§§ Soluzione 2:Soluzione 2:–– Quadrilatero articolato in Quadrilatero articolato in

cui AB cui AB èè un generico un generico segmento di biellasegmento di biella

§§ possiamo fissare possiamo fissare i centri Oi centri O11 e Oe O33 e e gli angoli gli angoli spazzati dalle spazzati dalle aste lateraliaste laterali

§§ anche in questo caso il anche in questo caso il raggio OAraggio OA11 spazza lspazza l’’angolo angolo γγ/2, cos/2, cosìì come il raggio come il raggio OBOB11

àà il segmento AB ruota di il segmento AB ruota di γγIntern

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§§ Soluzione 2:Soluzione 2:–– Quadrilatero articolato in Quadrilatero articolato in

cui AB cui AB èè un generico un generico segmento di biellasegmento di biella

§§ possiamo fissare possiamo fissare i centri Oi centri O11 e Oe O33 e e gli angoli gli angoli spazzati dalle spazzati dalle aste lateraliaste laterali

Intern

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§§ PROBLEMA:PROBLEMA:–– Fare occupare ad un segmento Fare occupare ad un segmento

di BIELLA di un Quadrilatero di BIELLA di un Quadrilatero Articolato TREArticolato TRE posizioniposizioni

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Segmento di biella per TRE posizioni.

Soluzione:

Quadrilatero articolato con coppie di biella in A e B

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Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIE§§ Generazione di Generazione di TRAIETTORIETRAIETTORIEàà un punto di un membro attraversa un un punto di un membro attraversa un numero finito di posizioninumero finito di posizioni

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Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIE§§ Generazione di Generazione di TRAIETTORIETRAIETTORIEàà punti di BIELLA di un Quadrilatero Articolatopunti di BIELLA di un Quadrilatero Articolato

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Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIE§§ Generazione di TRAIETTORIE di punti di Generazione di TRAIETTORIE di punti di

BIELLA di un Quadrilatero ArticolatoBIELLA di un Quadrilatero Articolatoàà uso di ATLANTIuso di ATLANTI

§§ LL’’atlante di Hronesatlante di Hrones--Nelson Nelson (uno dei pi(uno dei piùù famosi) riporta pifamosi) riporta piùùdi 7000 curve di biella. di 7000 curve di biella. Int

ernal

Use O

nly


Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIE§§ Generazione di TRAIETTORIE di punti di Generazione di TRAIETTORIE di punti di

BIELLA di un Quadrilatero ArticolatoBIELLA di un Quadrilatero Articolatoàà ESEMPIESEMPI

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIE§§ Per tracciare la traiettoria di un punto di un membro di un Per tracciare la traiettoria di un punto di un membro di un

meccanismo si può fare riferimento alle primitive del moto.meccanismo si può fare riferimento alle primitive del moto.§§ Le polari, rotolando tra loro, definiscono completamente il motoLe polari, rotolando tra loro, definiscono completamente il moto di di

un corpo rigido nel piano.un corpo rigido nel piano.§§ Se si considera il moto assoluto di un membro, alle primitive siSe si considera il moto assoluto di un membro, alle primitive si ddàà

il nome di il nome di polaripolari (polare fissa e polare mobile). (polare fissa e polare mobile).

§§ Le primitive sono i luoghi dei centri Le primitive sono i luoghi dei centri di istantanea rotazione.di istantanea rotazione.

§§ In figura CIn figura C0i0i e Ce C1i1i siano punti siano punti corrispondenticorrispondenti sulle due polarisulle due polariàà sonosono punti che vengono tra loro punti che vengono tra loro a contatto durante il rotolamento a contatto durante il rotolamento delle polari.delle polari.

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIE§§ Nota la forma delle polari: come trovare la traiettoria di Nota la forma delle polari: come trovare la traiettoria di

un punto un punto PP appartenente al piano mobile?appartenente al piano mobile?

§§ EE’’ sufficiente individuare la sufficiente individuare la posizione di P rispetto alla polare posizione di P rispetto alla polare mobile facendo riferimento al punto mobile facendo riferimento al punto CC1i1i mediante le due coordinate mediante le due coordinate ρρii(distanza C(distanza C1i1i P) e P) e ϕϕii (angolo che il (angolo che il raggio raggio ρρii forma con la normale in forma con la normale in CC1i1i alla polare mobile). alla polare mobile).

§§ Con gli stessi valori di Con gli stessi valori di ρρii e e ϕϕii si si individua il punto Pindividua il punto Pii a partire dal a partire dal punto Cpunto C0i0i..

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIE§§ Si ricorda che la normale condotta da un punto PSi ricorda che la normale condotta da un punto Pii alla alla

traiettoria di P passa per il centro di istantanea traiettoria di P passa per il centro di istantanea rotazione Crotazione C0i0i..

§§ Quindi, con il metodo Quindi, con il metodo descritto si possono trovare descritto si possono trovare non solo i punti Pnon solo i punti Pii ma anche ma anche le le tangenti alla traiettoriatangenti alla traiettorianei punti stessi. nei punti stessi.

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIEFormula di Formula di EULEROEULERO--SAVARYSAVARY

§§ A volte A volte èè necessario conoscere il necessario conoscere il raggio di curvaturaraggio di curvatura della traiettoria della traiettoria in corrispondenza dei singoli punti Pin corrispondenza dei singoli punti Pii..

§§ Il Il raggio di curvaturaraggio di curvatura può essere può essere determinato qualora si conoscano i determinato qualora si conoscano i raggi di curvatura delle polari in raggi di curvatura delle polari in corrispondenza dei vari punti Ccorrispondenza dei vari punti Cii. .

Intern

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIEFormula di Formula di EULEROEULERO--SAVARY: ESEMPIOSAVARY: ESEMPIO

§§ La formula di EuleroLa formula di Eulero--Savary Savary può essere utilizzata anche può essere utilizzata anche senza conoscere le polari, senza conoscere le polari, purchpurchéé sia noto il punto C. sia noto il punto C.

O 3

O 1

A

BP

C

γ

α

Intern

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIELa La CIRCONFERENZACIRCONFERENZA dei dei FLESSIFLESSI

§§ Per lo studio delle Per lo studio delle proprietproprietàà delle traiettorie di delle traiettorie di punti presenta notevole punti presenta notevole interesse anche la interesse anche la circonferenza dei flessicirconferenza dei flessi..

§§ Se esistono punti del piano Se esistono punti del piano mobile per i quali, in una mobile per i quali, in una determinata posizione, la determinata posizione, la traiettoria ha curvatura traiettoria ha curvatura nulla (raggio di curvatura nulla (raggio di curvatura infinito), indicati tali punti infinito), indicati tali punti con F, si ha: con F, si ha:

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§§ PoichPoichéé i punti F giacenti su i punti F giacenti su questa circonferenza sono questa circonferenza sono punti di flesso delle proprie punti di flesso delle proprie traiettorie, alla circonferenza traiettorie, alla circonferenza si dsi dàà il nome di il nome di circonferenza dei flessicirconferenza dei flessi..

ϕcosDCF =

Intern

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§§ La formula può essere scritta La formula può essere scritta in altra forma. Infatti, posto:in altra forma. Infatti, posto:–– pp = PC= PC–– qq = PQ= PQ–– ff = PF= PF

§§ si ha:si ha: Intern

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Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIELa La CIRCONFERENZACIRCONFERENZA dei dei FLESSI: APPLICAZIONEFLESSI: APPLICAZIONE

O 3

O 1

ABP

C

Q

F

FA

FBIntern

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Only



Intern

al Use

Only



Intern

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Only


Studio di TRAIETTORIEStudio di TRAIETTORIELa La CIRCONFERENZACIRCONFERENZA dei dei FLESSI: EsercizioFLESSI: Esercizio

C

O1

σ1

σ0

Intern

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§§ Centro di curvatura Centro di curvatura delldell’’EVOLVENTEEVOLVENTE

O

C = Q

P

R0

σ 0

σ 1

0Intern

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§§ La catena cinematica del La catena cinematica del giunto di Oldhamgiunto di Oldham

Intern

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Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIETeorema di Teorema di ROBERTSROBERTS

§§ Parallelogrammi:Parallelogrammi:–– OO11 M P AM P A–– OO33 N P BN P B

§§ Triangoli simili a APB:Triangoli simili a APB:–– MQPMQP–– PRNPRN

§§ Parallelogramma:Parallelogramma:–– P Q OP Q O7,87,8 RR

§§ Quadrilateri equivalenti:Quadrilateri equivalenti:–– 1 2 3 41 2 3 4 (biella 2)(biella 2)–– 4 5 6 74 5 6 7 (biella 6)(biella 6)–– 4 8 9 104 8 9 10 (biella 9)(biella 9)Int

ernal

Use O

nly


Generazione di TRAIETTORIEGenerazione di TRAIETTORIE

Guide RETTILINEE ESATTEGuide RETTILINEE ESATTE

Intern

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Guide RETTILINEE APPROSSIMATEGuide RETTILINEE APPROSSIMATE

Intern

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Meccanismi per MOTO TRASLATORIOMeccanismi per MOTO TRASLATORIO

§§ Le traiettorie di tutti i punti di un membro sono identicheLe traiettorie di tutti i punti di un membro sono identicheIntern

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Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.§§ Progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di biella Progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di biella passi passi

per per tre punti assegnatitre punti assegnati..–– Le posizioni degli assi fissi O1 e O3 sono arbitrarie. Le posizioni degli assi fissi O1 e O3 sono arbitrarie. –– Arbitrarie sono anche la lunghezza di manovella e la distanza trArbitrarie sono anche la lunghezza di manovella e la distanza tra A e P.a A e P.

§§ Con lCon l’’aumentare aumentare del numero di del numero di posizioni posizioni assegnate, assegnate, limitazioni limitazioni saranno imposte saranno imposte al numero di al numero di parametri che parametri che èèpossibile possibile scegliere in scegliere in modo arbitrario.modo arbitrario. O1

O3Intern

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O1O3

Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.§§ ProcedimentoProcedimento

–– Scelgo O1 e O3Scelgo O1 e O3–– Scelgo APScelgo AP–– Inversione CinematicaInversione Cinematica

P1 O3 = P1 O3P1 O3 = P1 O3P2 O3 = P1 O3P2 O3 = P1 O3’’P3 O3 = P1 O3P3 O3 = P1 O3’’’’Int

ernal

Use O

nly


Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.Generazione di TRAIETTORIE con un Q.A.§§ ProcedimentoProcedimento

–– Scelgo O1 e O3Scelgo O1 e O3–– Scelgo APScelgo AP–– Inversione CinematicaInversione Cinematica

P1 O3 = P1 O3P1 O3 = P1 O3P2 O3 = P1 O3P2 O3 = P1 O3’’P3 O3 = P1 O3P3 O3 = P1 O3’’’’Int

ernal

Use O

nly




(analisi e (analisi e sintesisintesi) ) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)




Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Molte tecniche matematiche sono state utilizzate per Molte tecniche matematiche sono state utilizzate per

risolvere problemi di sintesi cinematica.risolvere problemi di sintesi cinematica.§§ Per i sistemi articolati piani, la tecnica basata sui numeri Per i sistemi articolati piani, la tecnica basata sui numeri

complessi complessi èè la pila piùù semplice e versatile.semplice e versatile.§§ Esempio: Manovellismo di spinta eccentricoEsempio: Manovellismo di spinta eccentrico

–– (a) schema del meccanismo(a) schema del meccanismo–– (b) catena cinematica equivalente(b) catena cinematica equivalente

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Caso GENERALECaso GENERALE

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Caso GENERALECaso GENERALE

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ La DIADELa DIADE

–– La grande maggioranza di sistemi articolati piani può essere La grande maggioranza di sistemi articolati piani può essere pensata come combinazione di coppie di vettori chiamate pensata come combinazione di coppie di vettori chiamate DIADIDIADI. .

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ La DIADE: Equazione in La DIADE: Equazione in FORMA STANDARDFORMA STANDARD

–– generazione di MOVIMENTIgenerazione di MOVIMENTI–– generazione di TRAIETTORIE in TEMPI assegnati generazione di TRAIETTORIE in TEMPI assegnati

1RRδ −= jj

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ La DIADE:La DIADE:

–– Numero di posizioni prescritte e numero di scelte arbitrarieNumero di posizioni prescritte e numero di scelte arbitrarie

1RRδ −= jj

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Sintesi di un Sintesi di un quadrilatero articolatoquadrilatero articolato

(combinazione di due DIADI)(combinazione di due DIADI)

jii jj ee δZW =−+− )1()1( αβ

jii jj ee δZW =−+− )1(*)1(* * αβ

§§ La diade di sx occupa le posizioni Pj seguendo La diade di sx occupa le posizioni Pj seguendo una certa traiettoria. Idem per quella di dx.una certa traiettoria. Idem per quella di dx.

§§ Fino a quando le diadi restano indip. le due Fino a quando le diadi restano indip. le due traiettorie possono essere distinte (dipendono traiettorie possono essere distinte (dipendono dalle leggi di moto fornite ai motori).dalle leggi di moto fornite ai motori).

§§ Quando passo al QA si ha un solo GDL (un Quando passo al QA si ha un solo GDL (un solo motore) e la traiettoria solo motore) e la traiettoria èè unica.unica.Int

ernal

Use O

nly


SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di

MOVIMENTI MOVIMENTI e generazione di e generazione di TRAIETTORIETRAIETTORIE in in TEMPITEMPI assegnatiassegnatiàà notazionenotazione

jii

jii

jj

jj

ee

ee

δZW

δZW

=−+−

=−+−

)1(*)1(*

)1()1(γψ

γφ

jii

jii

jj

jj

ee

ee

δZW

δZW

=−+−

=−+−

)1(*)1(*

)1()1(* αβ

αβ

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Sintesi di un quadrilatero articolato per la Sintesi di un quadrilatero articolato per la

generazione di generazione di MOVIMENTIMOVIMENTI (3 posizioni)(3 posizioni)

–– DATI:DATI:

–– INCOGNITE:INCOGNITE:

jii

jii

jj

jj

ee

ee

δZW

δZW

=−+−

=−+−

)1(*)1(*

)1()1(γψ

γφ

jj γδ

jj ψφ** ZZWW

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ ESERCIZIO 1:ESERCIZIO 1:

Sintesi di un Sintesi di un quadrilatero quadrilatero articolato per la articolato per la generazione di generazione di MOVIMENTIMOVIMENTI(3 posizioni)(3 posizioni)

Intern

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§§ Sintesi Sintesi GRAFICAGRAFICA

Intern

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O1

Intern

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O3O1

Intern

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O1 O3 O1 O3

Intern

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RR11 =1.55 =1.55 –– 0.9 i0.9 iRR22 =1.75 + 0.3 i=1.75 + 0.3 iRR33 =0.80 + 1.6 i=0.80 + 1.6 i

θθ11 = 330= 330°° σσ11 = 235= 235°° εε11 = 293= 293°°θθ22 = 9= 9°° σσ22 = 156= 156°° εε22 = 138= 138°°θθ33 = 64= 64°° σσ33 = 135= 135°° εε33 = 348= 348°°

O1 O3

R1

R2

R3

§§ Verifica Verifica ANALITICAANALITICA

Intern

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RR11 =1.55 =1.55 –– 0.9 i0.9 iRR22 =1.75 + 0.3 i=1.75 + 0.3 iRR33 =0.80 + 1.6 i=0.80 + 1.6 i

θθ11 = 330= 330°° σσ11 = 235= 235°° εε11 = 293= 293°°θθ22 = 9= 9°° σσ22 = 156= 156°° εε22 = 138= 138°°θθ33 = 64= 64°° σσ33 = 135= 135°° εε33 = 348= 348°°

δδ22 = R= R2 2 –– RR11 = 0.2 + 1.2 i= 0.2 + 1.2 iδδ33 = R= R3 3 –– RR11 = = ––0.75 + 2.5 i0.75 + 2.5 i

γγ22 = = εε22 –– εε11 = 138 = 138 –– 293 = 293 = --155 = 205155 = 205°°γγ33 = = εε33 –– εε11 = 348 = 348 –– 293 = 55293 = 55°°

φφ22 = = θθ22 –– θθ11 = 9 = 9 –– 330 = 330 = --321 = 39321 = 39°°φφ33 = = θθ33 –– θθ11 = 64 = 64 –– 330 = 330 = --266 = 94266 = 94°°

ψψ22 = = σσ22 –– σσ11 = 156 = 156 –– 235 = 281235 = 281°°ψψ33 = = σσ33 –– σσ11 = 135 = 135 –– 235 = 235 = --100 = 260100 = 260°°

R1

R2

R3

δ2

δ3

Intern

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RR11 ==1.55 1.55 –– 0.9 i0.9 iRR22 =1.75 + 0.3 i=1.75 + 0.3 iRR33 =0.80 + 1.6 i=0.80 + 1.6 i

θθ11 = = 330330°° σσ11 = = 235235°° εε11 = = 293293°°θθ22 = 9= 9°° σσ22 = 156= 156°° εε22 = 138= 138°°θθ33 = 64= 64°° σσ33 = 135= 135°° εε33 = 348= 348°°

WW = 1.54 = 1.54 –– 0.89 i0.89 i ||WW| = 1.78 ; | = 1.78 ; an(an(WW) = 330) = 330°°ZZ = 0.004 = 0.004 –– 0.018 i0.018 i ||ZZ| = 0 ; an(| = 0 ; an(ZZ) = 284) = 284°°

W*W* = = --1.14 1.14 –– 1.65 i1.65 i ||W*W*| = 2 ; | = 2 ; an(an(W*W*) = 235) = 235°°Z*Z* = = --0.31 + 0.73 i 0.31 + 0.73 i ||Z*Z*| = 0.79 ; an(| = 0.79 ; an(Z*Z*) = ) = 113113°°

R1

R2

R3

WW*

Z*Intern

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§§ VERIFICAVERIFICAdelle CONFIGURAZIONIdelle CONFIGURAZIONI

O1 O3

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O1 O3 O1 O3

Intern

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Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ ESERCIZIO 2ESERCIZIO 2: : Sintesi di un quadrilatero articolato per la Sintesi di un quadrilatero articolato per la

generazione di generazione di MOVIMENTIMOVIMENTI (3 posizioni)(3 posizioni)

Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI

Intern

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generazione di generazione di TRAIETTORIE in TEMPI STABILITITRAIETTORIE in TEMPI STABILITI(3 posizioni)(3 posizioni)

–– DATI:DATI:

–– INCOGNITE:INCOGNITE:

jii

jii

jj

jj

ee

ee

δZW

δZW

=−+−

=−+−

)1(*)1(*

)1()1(γψ

γφ

jj φδ

jj γψ** ZZWW

Intern

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generazione di generazione di TRAIETTORIE in TEMPI STABILITITRAIETTORIE in TEMPI STABILITI (3 posizioni)(3 posizioni)

Intern

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generazione di generazione di FUNZIONIFUNZIONI

0)1(*)1()1( =−−−+− jjj iii eee ψγφ WABW Intern

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SINTESI Cinematica: metodi ANALITICISINTESI Cinematica: metodi ANALITICI§§ Numero di valori discreti della funzione e numero di Numero di valori discreti della funzione e numero di

scelte arbitrariescelte arbitrarie

0)1(*)1()1( =−−−+− jjj iii eee ψγφ WABW Intern

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generazione di generazione di FUNZIONIFUNZIONI (3 valori)(3 valori)

Intern

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generazione di generazione di FUNZIONIFUNZIONI::–– metodo delmetodo del LOOP CHIUSOLOOP CHIUSO

Z2' Z2

Z1

Z3'

Z3

Z4

Z4'

φj

γj

ψj

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generazione di generazione di FUNZIONIFUNZIONI: : velocitvelocitàà e e accelerazioniaccelerazioni

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–– Richiami di composizione dei meccanismiRichiami di composizione dei meccanismi–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I I sistemi articolatisistemi articolati piani piani

(analisi e sintesi) (analisi e sintesi) e e spazialispaziali (cenni di (cenni di analisianalisi))




Intern

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Sistemi articolati SPAZIALI: analisi cinematicaSistemi articolati SPAZIALI: analisi cinematica

Intern

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§§ Il giunto di CARDANO (Hooke joint)Il giunto di CARDANO (Hooke joint)

Intern

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π1π3

π1π3

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ϕ1

ϕ3ϕ1

ϕ3

π1π3

α

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§§ Doppio Doppio giuntogiunto ϕ1

ϕ3ϕ1

ϕ3

π1π3

α

Intern

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§§ Doppio giunto Doppio giunto OMOCINETICOOMOCINETICO

Intern

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Intern

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Intern

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Intern

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Intern

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Intern

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Only



Intern

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Intern

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Intern

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Only



SlSljj ßß SlSlii ßß SkSkjj SkSkjjSlSlii

SlSljj

Intern

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Only



SlSljj ßß SlSlii ßß SkSkjj SkSkjjSlSliiSlSljj

SkSkjj

SlSlii

[ ] [ ][ ]jk

ijlk

il PMP =

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SlSljj ßß SlSlii ßß SkSkjj SkSkjjSlSliiSlSljj

[ ] [ ][ ]il

jil

jl PGP =

Intern

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SlSljj ßß SlSlii ßß SkSkjj

SkSkjjSlSliiSlSljj

[ ] [ ][ ][ ]jk

ijlk

jil

jl PMGP =

Intern

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§§ In presenza di un In presenza di un anello chiusoanello chiuso si può operare una si può operare una trasformazione di coordinate che, partendo da un trasformazione di coordinate che, partendo da un sistema di riferimento iniziale sistema di riferimento iniziale -- ad esempio quello ad esempio quello solidale con il telaio solidale con il telaio -- ritorni ad esso attraverso i vari ritorni ad esso attraverso i vari sistemi di riferimento locali solidali con i diversi membri. sistemi di riferimento locali solidali con i diversi membri.

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§§ Si ottengono 12 equazioni, generalmente non lineari, Si ottengono 12 equazioni, generalmente non lineari, nelle variabili del moto. nelle variabili del moto.

§§ Delle 12 equazioni il numero di equazioni indipendenti Delle 12 equazioni il numero di equazioni indipendenti èèpari al numero delle variabili (parametri del moto) meno il pari al numero delle variabili (parametri del moto) meno il numero dei gradi di libertnumero dei gradi di libertàà delldell’’anello considerato. anello considerato.

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]ijiijn

jin

ijnn

jiijjiiji PGMGMGMGMP 111,,133,222,11 .... == −

[ ]I

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§§ Se il meccanismo presenta una Se il meccanismo presenta una catena apertacatena aperta -- come come accade, ad esempio, nei manipolatori per robot accade, ad esempio, nei manipolatori per robot -- per per effettuare l'analisi di posizione occorre conoscere la effettuare l'analisi di posizione occorre conoscere la posizione del membro terminale della catena, ossia del posizione del membro terminale della catena, ossia del sistema di riferimento ad esso collegato. sistema di riferimento ad esso collegato.

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§§ Sistema di 12 equazioni, di cui solo alcune indipendenti, Sistema di 12 equazioni, di cui solo alcune indipendenti, che permettono di risolvere l'analisi di posizione che permettono di risolvere l'analisi di posizione inversainversa(determinare le variabili del moto da attuare).(determinare le variabili del moto da attuare).

§§ NOTA NOTA –– il problema il problema direttodiretto èè banale e di scarso interesse.banale e di scarso interesse.

[ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]BMGGMGM ijnn

jin

jiijjiij =−− ,1133,222,1 ....

[ ]

=

100034333231

24232221

14131211

ββββββββββββ

B

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§§ Coppia SFERICACoppia SFERICA

§§ Coppia PIANO su PIANOCoppia PIANO su PIANO

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§§ Applicazione al Applicazione al giunto di CARDANOgiunto di CARDANO

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§§ Variabili geometriche:Variabili geometriche:

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§§ Variabili del moto (le coppie sono rotoidali)Variabili del moto (le coppie sono rotoidali)

ss11 = s= s22 = s= s33 = s= s44 = 0= 0

ΦΦ4141 ΦΦ1212 ΦΦ2323 ΦΦ3434

Intern

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§§ Matrici di Matrici di trasformazionetrasformazione

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§§ 11§§ 22§§ 33§§ 44§§ 55§§ 66§§ 77§§ 88§§ 99

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ]IGMGMGMGM ijijijijijijijij =434323212141

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§§ Dalle equazioni del sistema si ricavano, dopo alcuni Dalle equazioni del sistema si ricavano, dopo alcuni passaggi, 3 equazioni indipendenti nelle 4 variabilipassaggi, 3 equazioni indipendenti nelle 4 variabiliΦΦ4141 ΦΦ1212 ΦΦ2323 ΦΦ3434

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ]IGMGMGMGM ijijijijijijijij =434323212141

000

432

321

143

=+=+=−

TCTCCTTTCTS

α

α

411 tanφ=T 122 tanφ=T 233 tanφ=T 344 tanφ=T

αCTT =41

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411 tanφ=T

344 tanφ=T

αCTT =41

αα cos=C

x4x4ii==x4x4jj

z4z4jj=z3=z3ii

z4z4ii=z1=z1jj

αϕϕ costantan 13 =x3x3ii=x3=x3jj

x1x1ii==x1x1jjϕ3

ϕ1

334

141 23

φπφ

φπφ

+=

−=

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§§ Applicazione al Applicazione al manipolatore PUMAmanipolatore PUMA

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§§ GdLGdL6x(5 6x(5 –– 1) 1) –– 5x3 5x3 –– 3x1 = 63x1 = 66x(7 6x(7 –– 1) 1) –– 5x6 = 65x6 = 6

Intern

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Sistemi articolati SPAZIALI: analisi cinematicaSistemi articolati SPAZIALI: analisi cinematica§§ Dalle 12 Dalle 12

equazioni del equazioni del sistema si sistema si possono possono estrarre 6 estrarre 6 equazioni equazioni indipendenti indipendenti nelle incognitenelle incogniteΦΦ0101 ΦΦ1212 ΦΦ2323ΦΦ3434 ΦΦ4545 ΦΦ5656

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PROGRAMMA del CORSO ly - Dipartimento di Ingegneria ...diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mam_II/Diapo_MAM_01.pdf · Catena Cinematica di STEPHENSON e meccanismi da essa derivati