Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale A.A. 2007-2008 ...people.roma2.infn.it/~dedivitiis/MQ1/compiti.pdf · Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale A.A. 2007-2008 Prova

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Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale

A.A. 2007-2008

Prova scritta del 07-02-08

Esercizio 1

Una particella di spin 1/2 e descritta dall’hamiltoniano:

H = ~! (1 + cos(↵) �x

+ sen(↵) �y

)

dove �x

,�y

sono le matrici di Pauli.

All’istante t = 0 la misura della terza componente dello spin della particella e pari ad~/2.

– Calcolare la probabilita di ottenere lo stesso risultato ripetendo la misura al tempo t.

– Calcolare il valore medio dell’operatore sz

= ~2�z sullo stato della particella al tempo

t.

Esercizio 2

Un oscillatore armonico si trova all’istante iniziale nello stato quantistico descritto dallafunzione d’onda

(x, t = 0) = Nx3e�m!x

2

2~

dove N e la costante di normalizzazione.

– Calcolare in funzione del tempo i valori medi dell’energia potenziale e dell’energiacinetica.

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Esercizio 1

Una particella di massa m si muove su un segmento unidimensionale che si estende da�L/2 ad L/2 ed il suo stato quantistico e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda

(x, t = 0) =1

N(�1(x) + 2�2(x))

dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e alprimo stato eccitato, ed N e l’opportuna costante di normalizzazione.

– Calcolare in funzione del tempo la probabilita P (0 x L/2, t) di trovare la particellaa destra dell’origine.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2, soggetta ad un potenziale armonico tridimensionale eisotropo, si trova ad un certo istante nello stato quantistico

|nx

, ny

, nz

i |si = |0, 0, 1i |1/2ix

.

dove

H|nx

, ny

, nz

i = ~!(nx

+ ny

+ nz

+ 3/2),

Sx

|1/2ix

= ~/2 |1/2ix

.

– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale e totale

Lx

, Ly

, Lz

, L2

Jx

, Jy

, Jz

, J2 ~J = ~L+ ~S.

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Esercizio 1


(x, t = 0) =1

N(�1(x) + 2�2(x))

dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e alprimo stato eccitato, ed N e l’opportuna costante di normalizzazione.

– Calcolare in funzione del tempo la probabilita P (0 x L/2, t) di trovare la particellaa destra dell’origine.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 si trova ad un certo istante nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:

(~r) |si = f(r)z |1/2iz

.

dove

Sz

|1/2iz

= ~/2 |1/2iz

.

– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale e totale

Lx

, Ly

, Lz

, L2

Jx

, Jy

, Jz

, J2 ~J = ~L+ ~S.

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Esercizio 1

Un rotatore quantistico e descritto dall’hamiltoniano:

H0 =1

2I(L2

x

+ L2y

) +1

2Iz

L2z

dove I, Iz

sono costanti reali e positive.

– Determinare l’e↵etto della perturbazione

V = ↵L2x

sugli autovalori dell’hamiltoniano al primo ordine in ↵ e relativamente alla rappresentazionel = 1 del momento angolare.

– Calcolare l’indeterminazione �Lx

sugli autostati di H0 + V stimati all’ordine zero.

Esercizio 2

Due particelle identiche di spin s sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono con un campo magnetico diretto lungo l’asse z

H =1

2m(p2(1) + p2(2))� gB

z

(S(1)z

+ S(2)z

) x 2 [0, L]

– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano nei casi s = 0 e s = 1/2,mettendo in evidenza le simmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni. Calcolareesplicitamente i primi due livelli energetici considerando gB~ < 1

2m (⇡~/L)2.

Esercizio 3

Considerare l’elemento di matrice dell’operatore f(r)cos(✓) tra due autostatidell’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno:

hnlm| f(r)cos(✓) |n000i– Indicare come tale elemento di matrice trasforma sotto parita.

– Determinare i valori di n, l,m, n0 per i quali esso e sicuramente uguale a zero.

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Esercizio 1


H0 =1

2I(L2

x

+ L2y

) +1

2Iz

L2z

dove I, Iz



V = ↵L2x

sugli autovalori dell’hamiltoniano al primo ordine in ↵ e relativamente alla rappresentazionel = 1 del momento angolare.

Esercizio 2

Due particelle identiche di spin s sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono con un campo magnetico diretto lungo l’asse z

H =1

2m(p2(1) + p2(2))� gB

z

(S(1)z

+ S(2)z

) x 2 [0, L]

– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano nei casi s = 0 e s = 1/2,mettendo in evidenza le simmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni. Calcolareesplicitamente i primi due livelli energetici in entrambe i casi, s = 0 e s = 1/2, considerandogB~ < 1

2m (⇡~/L)2.

Esercizio 3

Considerare l’elemento di matrice dell’operatore f(r)cos(✓) tra due autostatidell’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno:

hnlm| f(r)cos(✓) |n000i– Indicare come tale elemento di matrice trasforma sotto parita.

– Determinare i valori di n, l,m, n0 per i quali esso e sicuramente uguale a zero.

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Esercizio 1

Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova all’istante iniziale nello statoin cui una misura dell’energia da con certezza un valore E 3/2~!. Nella misura il valoredell’energia fondamentale si verifica con una probabilita doppia rispetto a quello dell’energiadel primo livello eccitato. In questo stato inoltre la densita di probabilita (x)⇤ (x) e unafunzione simmetrica rispetto al centro delle oscillazioni x = 0.

– Calcolare il valor medio dell’energia.

– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p in funzione del tempo.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z

H = �~µ · ~B ~µ = g~S

e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico | i tale che il valor medio dello spinrisulti:

h |Sx

| i = h |Sy

| i, h |Sz

| i = 0.

– Calcolare l’indeterminazione �Sx

della componente x dello spin in funzione deltempo.

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Esercizio 1

Una particella di massa m e spin 1/2 e vincolata a muoversi all’interno di una scatolatridimensionale simmetrica in presenza di un campo magnetico costante diretto lungol’asse z:

0 x L 0 y L 0 z L

H = ~p·~p2m � gBs

z

.

– Calcolare i livelli energetici del sistema con le relative degenerazioni

– Calcolare il valor medio dell’operatore O = ~s · ~r sullo stato fondamentale del sistemaed individuare le proprieta di simmetria dell’operatore sotto trasformazioni di rotazione dellecoordinate e di parita.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 non interagenti si trovano ad un certo istante nello statoquantistico in cui le misure simultanee della componente x dello spin della prima particella

s(1)x

e della componente z dello spin della seconda particella s(2)z

danno con certezza ilrisultato ~/2:

| i = | i(1) ⌦ | i(2)| i(1) = |1/2i

x

s(1)x

|1/2ix

= ~/2 |1/2ix

| i(2) = |1/2iz

s(2)z

|1/2iz

= ~/2 |1/2iz

– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita di una misura delle

osservabili s(1)z

e ~s(1) · ~s(2).

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Esercizio 1

Un sistema quantistico di spin 1/2 si trova all’istante iniziale t = 0 nello stato nel qualeuna misura della terza componente dello spin risulta pari ad ~/2.L’hamiltoniano del sistema e definito tramite l’azione sugli autostati di s

z

:

H|+i = E|�iH|�i = E|+i

– Calcolare l’operatore di evoluzione U(t) ed evolvere lo stato del sistema al tempo t.

– Calcolare la probabilita di ottenere ~/2 facendo una misura di sz

al tempo t.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 e massa m e sottoposta all’azione di un potenziale armonicoe di un campo magnetico secondo l’hamiltoniano:

H = H0 + �V =p2

2m+

1

2m!2x2(1 + ��

z

)� gBz

~2

�z

dove �z

e la terza matrice di Pauli e 0 < � < 1.

– Considerare l’e↵etto della perturbazione �V sui livelli energetici dell’hamiltoniano Ho

al prim’ordine in �.

– Confrontare con il risultato esatto.

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Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia darebbe con certezza un valore E 3/2~!.Su questo stato i valori medi dell’hamiltoniano, dell’impulso e della posizione sono tali che:

hHi = 3

4~!

hpi = �m!hxihxi > 0.

– Calcolare per quali tempi risulta nullo il valor medio della posizione.

– Calcolare la probabilita di trovare la particella in x � 0 al tempo t.

Esercizio 2

Una particella di massa m e vincolata sul segmento �L/2 x L/2 e si trova nellostato descritto dalla funzione d’onda:

(x) = N(|x|L

� 1

2)2

– Calcolare la costante di normalizzazione N .

– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p su tale stato.

Esercizio 3

Un sistema quantistico e’ descritto dalla funzione d’onda (q, t).

– Si dimostri che se il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato stazionario (q, t = 0) =

n

(q) con

H n

(q) = En

n

(q)

allora il valore medio di qualunque osservabile non dipende dal tempo.

– Si dimostri anche che nel caso in cui il sistema si trovi al tempo iniziale in unasovrapposizione di stati stazionari:

(q, t = 0) =X

n

cn

n

(q)

allora solo i valori medi degli osservabili che commutano con l’Hamiltoniano sono indipen-denti dal tempo.

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Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale dott. G.M. de Divitiis

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Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia e sicuramente 5/2~!.Su questo stato il valore medio dell’hamiltoniano e pari a 2~! e la parita risulta definita.

– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore

A =1

2(xp+ px)

sapendo che il risultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile.

Esercizio 2

Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova nello statodescritto dalla funzione d’onda:

(x) = Nx2(1� x

L)

– Calcolare la costante di normalizzazione N e il valore medio dell’energia.

– Calcolare l’evoluzione temporale della funzione d’onda e le probabilita di misurareun’energia pari ad E

n

. (per gli integrali si puo usareRxnei↵x = (�i)n d

n

d↵

n

Rei↵x)

Esercizio 3

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Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’energia e sicuramente 5/2~!.Su questo stato il valore medio dell’hamiltoniano e pari a 2~! e la parita risulta definita.


A =1

2(xp+ px)

sapendo che il risultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile.

Esercizio 2

Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova nello statodescritto dalla funzione d’onda:

(x) = Nx2(1� x

L)

– Calcolare la costante di normalizzazione N e il valore medio dell’energia.

– Calcolare l’evoluzione temporale della funzione d’onda e le probabilita di misurareun’energia pari ad E

n

.

Esercizio 3

Si consideri il potenziale definito come dalla figura seguente. Si discutano in modoqualitativo le proprieta’ dello spettro al variare dell’energia.

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Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott-ssa G.M. de Divitiis

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Esercizio 1

Una particella di spin 1/2 e massam e vincolata su un segmento 0 x L ed interagiscecon un campo magnetico costante:

H =p2

2m� µBS

x

La particella si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato tale che la misuradell’osservabile S

z

da con certezza il risultato ~/2 e le misure dell’energia danno con certezzaun risultato minore di 9 1

2m (⇡~L

)2, con valore medio pari a hHi = 5/2 12m (⇡~

L

)2.

– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema al tempo iniziale.

– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati dell’impulso e la probabilitache la terza componente dello spin risulti pari ad ~/2.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano H:

H = ~! �(1)z

�(2)z

dove �(i) sono le matrici di Pauli per la particella i. Al tempo iniziale t = 0 le misure

simultanee degli osservabili S(1)x

, S(2)z

danno con certezza il risultato ~/2.– Calcolare gli autovalori e gli autostati di H.

– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati di una misura del quadratodel momento di spin totale.

Esercizio 3

Dato l’hamiltoniano imperturbato H

H = ~!

0

@1 0 00 0 10 1 0

1

A ,

– calcolare al prim’ordine della teoria delle perturbazioni le correzioni agli autovaloried agli autovettori indotte dalla perturbazione V :

V = �

0

@1 i

p2 0

�ip2 0 0

0 0 2

1

A .

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Esercizio 1

Lo stato di una particella in una dimensione e descritto ad un certo istante dalla funzioned’onda:

(x) = Ae�↵|x|

dove ↵ 2 Re,> 0.

– Calcolare la costante di normalizzazione A della funzione d’onda.

– Calcolare l’indeterminazione �x della posizione della particella.

– Calcolare la probabilita che x sia maggiore di hxi+�x.

Esercizio 2

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova nello statoquantistico

(x) = A( 0(x) + ei↵ 1(x))

dove ↵ 2 Re, e 0(x), 1(x) sono le autofunzioni dello stato fondamentale e del primo statoeccitato.

– Calcolare in funzione del tempo t il valore medio hxi della posizione el’indeterminazione �x.

Esercizio 3

Lo stato di un elettrone in un atomo di idrogeno e descritto ad un certo istante dallacombinazione:

= (

r3

4Y 01 |+i+

r1

4Y 11 |�i) f(r).

dove |±i sono gli autostati della terza componente dello spin Sz

|±i = ±~2 |±i, Y m

l

le ar-moniche sferiche ed f(r) una funzione radiale.

– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di L2, Lz

, S2, Sz

, J2, Jz

dove ~J = ~L+ ~S.

– Verificare il principio d’indeterminazione

�Lx

�Ly

� ~2|hL

z

i|.

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Esercizio 1

Lo stato di una particella in 3 dimensioni e descritto ad un certo istante dalla funzioned’onda:

(~r) = (x+ y + 2z) f(r).

– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di L2 ed Lz

su questo stato.

– Calcolare il valor medio di ~x.

Esercizio 2


H =E

~2~S(1) · ~S(2)

dove S(i) e l’operatore di spin per la particella i.

Al tempo iniziale t = 0 le misure simultanee degli osservabili S(1)z

, S(2)z

danno rispettivamentei risultati +~/2, e �~/2.

– Calcolare al tempo t la probabilita che i risultati delle misure di S(1)z

, S(2)z

siano glistessi del tempo iniziale.

Esercizio 3

Un sistema a due stati e descritto al tempo t = 0 dallo spinore

✓10

◆, ed evolve nel

tempo secondo l’hamiltoniano H:

H =

✓E �� E

◆.

– Calcolare l’operatore di evoluzione temporale.

– Calcolare la probabilita che al tempo t il sistema si trovi nello stato

✓01

◆.

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Esercizio 1

Lo stato di una particella vincolata su un segmento monodimensionale 0 x Le descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda:

(x) = A(2 sin(kx) + 3 sin(2kx))

dove k = ⇡/L.

– Calcolare la costante di normalizzazione A della funzione d’onda.

– Calcolare l’evoluzione della funzione d’onda al generico tempo t.

– Calcolare il valor medio dell’energia e l’espressione della densita di corrente in funzionedel tempo.

Esercizio 2


H =E

~2~S(1) · ~S(2)

dove S(i) e l’operatore di spin per la particella i.


, S(2)z

danno rispettivamentei risultati �~/2, e +~/2.

– Calcolare al tempo t le probabilita dei possibili risultati delle misure di S(1)z

.

Esercizio 3

Lo stato di un elettrone in un atomo di idrogeno e descritto ad un certo istante dallafunzione d’onda

(~r) = sin(✓) sin(�) f(r).

– Calcolare le probabilita dei possibili risultati delle misure di Lz

.

– Calcolare il valor medio di L2 e Ly

.

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Esercizio 1

Una particella di spin 1/2 e in uno stato tale che le misure simultanee degli operatoriL2, L

x

, Sz

danno con certezza rispettivamente i risultati 2~2, ~, ~/2.Su questo stato:

– calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di J2.

– calcolare il valor medio dell’operatore ~B · ~L con ~B = (Bx

, By

, Bz

).

Esercizio 2


H =1

4~!1(�

(1)z

+ �(2)z

)2 +1

4~!2(�

(1)+ �(2)

� + �(1)� �(2)

+ )

dove �(i) sono le matrici di Pauli per la particella i, e �(i)± = �(i)

x

± i�(i)y

.

– Calcolare gli autovalori e gli autostati di H.

– Dato l’operatore V :

V =1

2~!(�(1)

x

+ �(2)x

)

calcolare al prim’ordine della teoria delle perturbazioni gli autovalori dell’hamiltonianoperturbato H + V .

– Indicare cosa cambierebbe se le particelle fossero identiche.

Esercizio 3

Determinare le regole di selezione negli elementi di matrice del generico operatore Vtra autostati dell’atomo di idrogeno sapendo che [L

z

, V ] = 0.

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Esercizio 1

Una particella si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descritto dallafunzione d’onda:

hr,#,'| (t = 0)i = (r,#,'; t = 0) = N f(r) sen(#) sen(').

L’evoluzione temporale e dettata dall’hamiltoniano:

H = !Lz

.

– Calcolare al generico tempo t il prodotto di indeterminazione

�Lx

�Ly

.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato in cui il risultatodi una misura dello spin lungo l’asse z e con probabilita 1/3 uguale a ~/2:

P (Sz

= ~/2) = 1/3.

Su questo stato inoltre i valori medi delle altre due componenti dello spin sono:

hSx

i = 0, hSy

i > 0.

La particella e sottoposta ad un campo magnetico costante diretto lungo la direzione x:

H = �g~S · ~B

– Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore Sz

.

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Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova in uno statotale che una misura dell’osservabile a+a e sicuramente 2. Su questo stato il valore mediodell’operatore a+a e uguale a 3/2 e la parita e positiva.

– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’energia potenziale sapendo che ilrisultato al tempo iniziale t = 0 e il massimo possibile. (Eseguire il calcolo come integralenello spazio delle coordinate e nel formalismo degli operatori di innalzamento e abbassa-mento).

Esercizio 2

Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova in uno stato

in cui il valore medio dell’energia e pari a 3~2⇡

2

2mL

2 . Su questo stato i risultati delle misure di

energia sarebbero con certezza 4~2⇡

2

2mL

2 .

– Calcolare la probabilita di trovare la particella in x � L/2 come funzione del tempo,sapendo che la probabilita e minima a t = 0.

Esercizio 3

Si consideri un sistema descritto da una Hamiltoniana H a tre stati:

H =

0

@H1 0 00 H2 00 0 H3

1

A

e due operatori, f e g tali che:

f =

0

@f1 0 00 f2 00 0 f3

1

A g =

0

@0 g 0g 0 00 0 0

1

A .

Lo stato del sistema e inizialmente al tempo t = t0

| (t0)i = a|1i+ b|2i+ c|3icon H|ii = H

i

|ii e i = 1, 2, 3.

– Si trovino gli autovalori e gli autovettori di g e li si ordini in senso crescente g1 < g2 <g3.

– Se al tempo t1 > t0 una misura di f da come risultato f2, si discuta qual e la probabilitache ad un tempo ancora successivo t2 > t1 una nuova misura di f dia come risultatouno dei tre autovalori f

i

.

– Se al tempo t1 > t0 una misura di f da come risultato f1, si discuta qual e la proba-bilita che ad un tempo ancora successivo t2 > t1 una misura di g dia come risultatol’autovalore intermedio g2.

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Esercizio 1

Una particella di massa m e vincolata sul segmento 0 x L e si trova al tempo t = 0

in uno stato in cui il valore medio dell’energia e pari a ~2⇡

2

mL

2 . Per questo stato la densita di

corrente risulta nulla, e i valori delle misure di energia sarebbero con certezza 2~2⇡

2

mL

2 .

– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’osservabile

O = sen(⇡x

L).

Esercizio 2

Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano:

H =!

~L+L�,

dove L+, L� sono gli operatori a scala del momento angolare.

Al tempo t = 0 le misure simultanee degli osservabili L2, Lx

danno rispettivamente irisultati 2~2, ~.

– Calcolare il valor medio dell’operatore Lx

in funzione del tempo t.

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Esercizio 1

Una particella di massa m e vincolata su una superficie in due dimensioni:

0 x L 0 y L,

e si trova ad un certo tempo nello stato descritto dalla funzione d’onda:

(x, y) = Nxy (L� x) (L� y)

dove N = 30/L5.

– Calcolare la quantita

h |xH| i � h |x| ih |H| idove H e l’operatore hamiltoniano. Confrontare il valore hHi con il valore dei livelli dienergia del sistema, ed indicare se lo stato evolve nel tempo.

– Dire se l’operatore O = xH e hermitiano e calcolare il commutatore [x,H].

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 interagiscono secondo l’hamiltoniano:

H =~S · ~S2I

,

dove ~S = ~S(1) + ~S(2) e lo spin totale del sistema.

Il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato in cui le misure simultanee degli osservabili

S(1)z

e S(2)x

danno con certezza il valore ~/2.– Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore

O = S(2)x

.

–


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Esercizio 1

Una particella di massa m e spin 1/2 vincolata in una dimensione e soggetta ad unpotenziale armonico di frequenza ! e ad un campo magnetico tale che l’hamiltoniano delsistema risulti:

H =p2

2m+

1

2m!2x2 � ⌦S

z

.

La particella si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda:

N

|+i+

r2m!

~ x|�i!

e�m!

2~ x

2

,

dove |±i sono gli autostati della terza componente dello spin Sz

|±i = ±~/2|±i.– Calcolare la costante di normalizzazione N .


O = xSx

,

dove Sx

e la prima componente dello spin.

Esercizio 2


H = !⇣S(1)z

� S(2)z

⌘

.

Il sistema si trova al tempo t = 0 in uno stato di spin totale 1 con terza componentezero.

– Calcolare la probabilita di trovare al tempo t il sistema nello stato di tripletto.

– Calcolare il valor medio dell’operatore

O = S(1)+ S(2)

� + S(1)� S(2)

+

in funzione del tempo t, e il commutatore [O, H].

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Esercizio 1

Un elettrone in un atomo di idrogeno si trova nello stato

| i = ↵ |n=2, l=1,m=0,+i+ � |n=2, l=1,m=1,�idove |n, l,m,±i sono gli autostati dell’hamiltoniana e ↵ e � sono due coe�cienti complessi,tali che |↵|2 + |�|2 = 1.

– Indicare quali sono i possibili risultati delle misure degli osservabili

L2, Lz

, S2, Sz

, J2, Jz

dove ~J = ~L+ ~S

su questo stato e calcolare le rispettive probabilita.

– Calcolare il valor medio dell’operatore

e2

2m2c21

r3~S · ~L

su questo stato.

Esercizio 2


H =4!

~~S(1) · ~S(2)

.

–(FAM) Calcolare il valor medio dell’operatore

V = ↵S(1)z

+ �S(2)z

in funzione del tempo t considerando che al tempo t = 0 la misura delle terze componenti

dello spin delle particelle ha dato il risultato S(1)z

=+ ~/2, S(2)z

=� ~/2.– Calcolare l’e↵etto della perturbazione �V

V = ↵S(1)z

+ �S(2)z

sugli autovalori di H al prim’ordine in �.

Esercizio 3

Si discuta brevemente il principio di esclusione di Pauli e si dimostri che due elettroniidentici nello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno devono trovarsi necessariamente inuno stato di singoletto per le componenti dello spin.

–

Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale, dott.ssa G.M. de Divitiis

A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato quantistico

| i = ↵|ni+ �|n+ 1idove |ni sono gli autostati dell’operatore hamiltoniano.

– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:

f(r) cos# |+i,dove |±i sono gli autostati dell’operatore S

z

: Sz

|±i = ±~/2 |±i.L’evoluzione temporale del sistema e dettata dall’hamiltoniano:

H =!

~ J2,

dove ~J = ~L+ ~S.

– Calcolare al generico tempo t il valore medio dell’operatore O = Lz

.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Due oscillatori armonici unidimensionali non interagenti di massa m(1) ed m(2) e diuguale frequenza ! si trovano al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico definito dalleseguenti proprieta:

1) una misura dell’energia del primo oscillatore da con certezza il risultato E(1) = 1/2~!,2) una misura dell’energia del secondo oscillatore puo dare, con uguale probabilita, i

due risultati E(2) = 1/2~!, 3/2~!,3) il valor medio dell’impulso totale p = p(1) + p(2) e nullo, mentre il valor medio della

posizione x = x(1) + x(2) e positivo.

– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’operatore � = x(1) � x(2).

– Indicare i livelli energetici del sistema e le rispettive degenerazioni.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato che e una generica sovrapposizionedello stato |10i di spin totale s = 1 e terza componente zero, e dello stato |00i di spin totales = 0

~S =~2(~�(1) + ~�(2)),

S2|s,mi = ~2s(s+ 1)|s,mi,Sz

|s,mi = ~m|s,mi.

–In questo stato calcolare il valor medio del momento magnetico ~µ(1) = µ~�(1) dellaprima particella.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda

(x, t = 0) = N(1 +p2⇠) e�⇠

2/2

dove ⇠ =p

m!

~ x, ed N e la costante di normalizzazione.

– Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’operatore posizione.

Esercizio 2

Un sistema a due stati si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato | (0)i in cui il valormedio della matrice di Pauli �

z

e pari ad 1:

h (0)|�z

| (0)i = 1.

L’hamiltoniana H del sistema agisce sugli autostati di �z

nel seguente modo:

H|±i = E|±i+ ~!|⌥i,dove �

z

|±i = ±|±i.– Calcolare in funzione del tempo t le probabilita dei possibili risultati di una misura

dell’osservabile �y

.

Esercizio 3

Una particella di massa m e vincolata nel segmento x 2 [�L/2, L/2].

– Indicare per quali valori dei coe�cienti ↵,� l’operatore

O = ↵xp+ � px

rappresenta un’osservabile fisica, e discutere se essa sia una grandezza fisica conservata.

– Considerare lo stato quantistico descritto dalla funzione d’onda

(x) = N#(x+ L/4)#(L/4� x)

ed indicare quali coe�cienti dello sviluppo in autofunzioni dell’hamiltoniana sono diversi dazero.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato quantistico descritto dalla funzione d’onda

(x, t = 0) =1

Nx2e�

m!x

2

2~ .

– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’impulso e dell’energia cinetica.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato in cui una misuradello spin in direzione x risulta con certezza pari a ~/2.

L’interazione della particella con un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z e descrittadall’operatore hamiltoniano

H = �~µ · ~B,

dove il momento magnetico ~µ = g~S e proporzionale allo spin.

– Calcolare al generico tempo t la probabilita che una misura dello spin in direzione xdia come risultato ~/2.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Una particella di spin 1/2 si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico descrittodalla funzione d’onda:

(|+i+ (1 + cos#) |�i ) f(r),

dove|±i sono gli autostati dell’operatore Sz

: Sz

|±i = ±~/2 |±i.L’evoluzione temporale del sistema e dettata dall’hamiltoniano:

H =!

~ (L2x

+ L2y

).

– Calcolare al generico tempo t il valore medio dell’operatoreO = J+ J� dove ~J = ~L+~S.

Esercizio 2

Due particelle identiche di spin 1/2 e di massa m in una dimensione sono soggette adun potenziale di oscillatore armonico di frequenza !:

H = H(1) +H(2) dove H(i) =p2(i)2m

+1

2m!2x2

(i)

Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano mettendo in evidenza lesimmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni.

Considerare lo stato piu generale che descriva la situazione in cui le due particelle sianol’una nello stato fondamentale e l’altra nel primo stato eccitato, e abbiano terze componentidi spin opposte.

– Calcolare il valore medio dell’operatore O = x2(1) S(1)z su tale stato.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Una particella di massa m e vincolata a muoversi sull’asse x nel segmento x 2 [0, L] e sitrova al tempo iniziale t = 0 in uno stato quantistico per cui una misura di energia darebbe

con certezza un risultato 2~2⇡

2

mL

2 e hHi = 3~2⇡

2

2mL

2 .

– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema.


Esercizio 2

Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano

H = !Lx

ed e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda (normalizzata)

(r,#,') = f(r) cos(#).

– Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di Lz

in funzione deltempo.

–


A.A. 2010-2011


Esercizio 1

Una particella di massa m e vincolata a muoversi sull’asse x nel segmento x 2 [0, L] e sitrova al tempo iniziale t = 0 in uno stato quantistico per cui una misura di energia darebbe

con certezza un risultato 2~2⇡

2

mL

2 e hHi = 3~2⇡

2

2mL

2 .

– Determinare per quanto possibile lo stato del sistema.


Esercizio 2

Lo stato di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano

H = !Lz

ed e descritto al tempo t = 0 dalla funzione d’onda (normalizzata)

(r,#,') = f(r) sin(#) cos(').

– Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura di Lx

in funzione deltempo.

–

MECCANICA QUANTISTICA

I Compito di Esonero - 2 Novembre 2011

Esercizio I.1

Una particella di spin 1/2 e descritta dall’Hamiltoniano

H = E0 + !(3Sx

� 4Sz

)

con E0 e ! costanti positive, Si

= ~�i

/2, i = x, y, z.

Calcolare l’operatore di evoluzione temporale.

Calcolare in funzione del tempo t il valor medio dell’operatore Sx

nello stato | (t)i nelquale una misura di S

y

al tempo iniziale (t = 0) risulta pari a �~/2.

Esercizio I.2

Una particella di massa m in una dimensione e soggetta al potenziale

V (x) = 0 per x < 0 V (x) = V1 per a > x > 0 V (x) = V2 per x > a .

con V1 > V2 > 0.

Calcolare i coe�cienti di riflessione e trasmissione per un’onda piana di energia E :V2 < E < V1 incidente da �1 in funzione di p = ~k e di a.

Esercizio I.3

Una particella di massa m in una buca infinita (0 < x < L) si trova al tempo t = 0 inuno stato in cui < x > (t = 0) = L/2 e P (E = E1, t = 0) = 1/3, P (E > E2, t = 0) = 0,dove E1 indica l’energia dello stato fondamentale.

Calcolare in funzione di t i valori medi di x, p, x2, p2 e verificare la relazione di indeter-minazione.

sinA sinB =1

2[cos(A�B)� cos(A+B)]

cosA cosB =1

2[cos(A�B) + cos(A+B)]

sinA cosB =1

2[sin(A�B) + sin(A+B)]

In

=

Z⇡

0d⇠⇠ cos(n⇠) = [(�)n � 1]/n2

Jn

=

Z⇡

0d⇠⇠2 cos(n⇠) = 2⇡(�)n/n2

–


Prova Scritta - 22 giugno 2012

Esercizio 1


H = !(Sx

+ Sy

)

con ! costante positiva e Si

= ~�i

/2. Determinare autostati ed autovalori di H e calco-lare l’operatore di evoluzione temporale. Al tempo t = 0 la misura di S

x

fornisce +~/2determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S

y

.

Esercizio 2

Un fascio di particelle di energia E provenienti da x = �1 incide su un potenziale dellaforma

V (x) = V0[�L�(x) + ✓(x)]

con L e V0 costanti positive. Determinare il coe�ciente di riflessione in funzione di E.

Esercizio 3

Un atomo di idrogeno si trova inizialmente (t = 0) nello stato descritto da

hr,#,'| , t = 0i = N [3i 100 � 4 210]|+iDeterminare la costante di normalizzazione N e calcolare in funzione di t le probabilita dellemisure del momento angolare totale.

Esercizio 4

L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale viene perturbatodall’aggiunta dell’operatore

H1 = �eE(x+ y)

Discutere l’e↵etto della perturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitatoal prim’ordine non nullo.

–


Prova Scritta - 27 Gennaio 2012

Esercizio 1

Una particella in una buca infinita di larghezza L si trova nello stato iniziale descrittoda

hx| , t = 0i = N [3 1(x) + 4i 3(x)]

Determinare la costante di normalizzazione N e calcolare in funzione di t le probabilita dellemisure di energia ed il prodotto di indeterminazione.

Si ricorda che n

(x) =p2/L sin(n⇡x/L).

Esercizio 2

Usando la formula di Bohr-Sommerfeld, stimare gli autovalori dell’energia di una bucadi potenziale simmetrica

V (x) = 0 per |x| > 2a

V (x) =1

2(x2 � a2) per 2a > |x| > a

V (x) = �1

2a2 per a > |x| > 0

Discutere qualitativamente lo spettro e la densita dei livelli di energia sempre in approssi-mazione WKB.

Esercizio 3

Un rotatore anisotropo immerso in un campo magnetico ~B = (4B0, 3B0, 0) e descrittoda

H =L2x

+ L2y

2I+

L2z

2Iz

� µ

5~~B · ~L

Determinare autostati ed autovalori di H incluse le eventuali degenerazioni.

Determinare in funzione di t la probabilita di permanenza nello stato in cui per t = 0misure simultanee di L2 ed L

z

forniscano i valori 2~2 e +~.

Esercizio 4

Usando come funzione d’onda di prova

(r, ✓,�) = N↵

e�↵r

fissare N↵

e stimare l’energia dello stato fondamentale di un atomo idrogenoide. Confrontarecon il risultato esatto.

–



Esercizio 1


H = !(7Sx

� 24Sy

)


= ~�i


x

fornisce +~/2,determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S

x

, Sy

e Sz

.

Esercizio 2

Un fascio di particelle di massa m ed energia E provenienti da x = �1 incide su unpotenziale della forma

V (x) = V0[✓(x� a) + a�(x)]

con V0 ed a costanti positive.Determinare i coe�cienti di riflessione e trasmissione in funzione di E.

Esercizio 3

Al tempo t = 0, un atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da

| i = N(| 100i+ 2| 210i)⌦ |+iDeterminare la costante di normalizzazione N . Calcolare il valor medio di r e le probabilitadelle misure del momento angolare totale J2 in funzione di t.

Esercizio 4


H1 = �(ypx

+ µxpy

)

con � e costanti reali, per cui � << ! mentre µ 2 [�1, 1] . Discutere l’e↵etto dellaperturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitato al prim’ordine non nullo.

–



Esercizio 1


H = !(7Sx

� 24Sy

)


= ~�i


x

fornisce +~/2,determinare in funzione di t le probabilita delle misure di S

x

, Sy

e Sz

.

Esercizio 2

Un fascio di particelle di massa m ed energia E provenienti da x = �1 incide su unpotenziale della forma

V (x) = V0[✓(x) + a�(x� a)]

con V0 ed a costanti positive.Determinare i coe�cienti di riflessione e trasmissione in funzione di E.

Esercizio 3

Al tempo t = 0, un atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da

| i = N(| 100i+ 2| 210i)⌦ |+iDeterminare la costante di normalizzazione N . Calcolare il valor medio di r e le probabilitadelle misure del momento angolare totale J2 in funzione di t.

Esercizio 4


H1 = �(ypx

+ µxpy

)

con � e costanti reali, per cui � << ! mentre µ 2 [�1, 1] . Discutere l’e↵etto dellaperturbazione sullo stato fondamentale e sul primo livello eccitato al prim’ordine non nullo.

–


Prova Scritta - 10 settembre 2012

Esercizio 1

Un rotatore rigido, governato dall’Hamiltoniano

H =L2x

+ L2y

+ 2L2z

2I

si trova al tempo iniziale nello stato con L2 = 2~2 e Lx

massimo. Determinare il valor mediodi L

y

in funzione di t.

Esercizio 2

Un sistema di due fermioni identici di spin 1/2 descritto dall’Hamiltoniana

H =1

2m|~p1|2 + 1

2m|~p2|2 +

2|~x1 � ~x2|2

Separando il moto del centro di massa dal moto relativo, determinare autovalori ed autostatidi H

rel

= H �HCM

incluse le eventuali degenerazioni.

Se al tempo t = 0 la misura di Hrel

fornisce con certezza Erel

= 3~!/2 (con ! =p2/m), determinare i possibili risultati delle misure dello spin totale ~S = ~S1 + ~S2 in

funzione di t.

Esercizio 3

Un atomo di idrogeno si trova nel primo livello eccitato. Le misure di Lz

fornisconocon certezza L

z

= 0, mentre le misure di L2 forniscono L2 = 0 con probabilita 2/3. Il valormedio di p

z

e nullo, mentre < z >= ` (costante positiva). Calcolare in funzione di t i valorimedi di p

z

, z e r.

Esercizio 4

Una particella di massa m si trova in una buca infinita di larghezza L. Al tempo t = 0,viene accesa la perturbazione

V (x) = �(2x� L) sin(!t)

Determinare in funzione di t la probabilita di permanenza nello stato fondamentale all’ordinepiu basso (non triviale) in �.

–


II Compito di Esonero - 30 Novembre 2011

Esercizio I.1

Un oscillatore armonico si trova nello stato iniziale

| , t = 0i = C(|�i+ |� �i)con | ± �i stati coerenti normalizzati e � costante reale positiva.

Determinare la costante di normalizzazione C.

Determinare in funzione di t i valori medi degli operatori H ed x nello stato | , ti.

Esercizio I.2

Una particella di massa m in una dimensione e soggetta al potenziale

V (x) = 0 per x < �2a , V (x) =1

2m!2x(2a+ x) per � 2a < x < 0

V (x) =1

2m!2x(2a� x) per 0 < x < 2a , V (x) = 0 per 2a < x

con a,! costanti positive.

Discutere qualitativamente lo spettro dell’operatore Hamiltoniano.

Determinare gli autovalori dell’energia degli stati legati in approssimazione WKB, us-ando la formula di Bohr-Sommerfeld e stimare il numero di livelli.

Esercizio I.3

Usando il nucleo integrale di evoluzione o altrimenti, determinare per t > 0 la funzioned’onda di una particella di massa m in una buca infinita di larghezza L per cui a t = 0 unamisura di x dia con certezza L/2 e quindi

(x, t = 0) = hx| , 0i = A�(x� L

2)

dove A e una costante arbitraria.

Discutere il problema nella descrizione di Feynman tramite integrale sui cammini.

–


IV Compito di Esonero - 25 Gennaio 2012

Esercizio IV.1 Due particelle identiche di spin 1 sono governate dall’Hamiltoniano

H0 =S21

2I+

S22

2I+ �~S1 · ~S2

discutere lo spettro di H0 incluse le eventuali degenerazioni. Calcolare l’e↵etto di un campo

magnetico esterno ~B = (B0, B0, 0) per cui

HB

= �µ

~~B · (~S1 + ~S2)

sugli stati accessibili al sistema.

Esercizio IVV.2

Discutere l’e↵etto dell’interazione spin-orbita

VLS

=�

r2~L · ~S

sui primi due livelli di un atomo idrogenoide.

Esercizio IV.3 Un oscillatore armonico tridimensionale si trova nello stato fondamen-tale. Al tempo t = 0 viene accesa la perturbazione

�V = �[1� e��t]z

Calcolare all’ordine piu basso in � la probabilita di permanenza nello stato fondamentale.

–


IV Compito di Esonero - 25 Gennaio 2012

Esercizio IV.1

Due particelle identiche di spin 1 sono governate dall’Hamiltoniano

H0 =S21

2I+

S22

2I+ �~S1 · ~S2

determinare lo spettro di H0 e discutere le eventuali degenerazioni in funzione di I e �.Calcolare le correzioni ai livelli di energia prodotte da un campo magnetico esterno ~B =(B0, B0, 0) per cui H = H0 +H

B

con

HB

= �µ

~~B · (~S1 + ~S2)

Esercizio IV.2

Determinare all’ordine piu basso in �Z

⇡ Zq2e

/m2e

c2 l’e↵etto dell’interazione spin-orbita

VLS

=�Z

r3~L · ~S

sui primi due livelli di un atomo idrogenoide, dove ~L ed ~S indicano rispettivamente il mo-mento angolare orbitale e lo spin dell’elettrone.

Esercizio IV.3

Un oscillatore armonico tridimensionale si trova nello stato fondamentale. Al tempot = 0 viene accesa la perturbazione

�V = �[1� e��t]pz

dove pz

indica la componente z dell’impulso. Determinare le regole di selezione per glielementi di matrice di p

z

. Calcolare all’ordine piu basso in � la probabilita di permanenzanello stato fondamentale.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Una particella di massa m in una buca infinita (0 < x < L) si trova al tempo t = 0 inuno stato quantistico descritto dalla funzione d’onda

(x) = Nsen(⇡x

L)⇣1 + i cos(

⇡x

L)⌘

– Calcolare la costante di normalizzazione N e i possibili risultati di una misuradell’energia con le rispettive probabilita.

– Calcolare in funzione del tempo la probabilita‘ di trovare la particella in x < L/2.

Esercizio 2

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 nello stato

(x) = Nx2 e�m!

2~ x

2

– Calcolare in funzione del tempo l’incertezza �x(t) delle misure di posizione.

Esercizio 3

Un sistema a due stati e governato dall’Hamiltoniano H:

H|+i = E0|+i+ E|�iH|�i = E0|�i+ E|+i

dove E0, E sono costanti reali, e |±i sono gli autostati di �z

: �z

|±i = ±|±i.

– Determinare autovalori e autovettori dell’Hamiltoniano.

– Calcolare in funzione del tempo la probabilita che una misura dell’osservabile O =1 + �

y

dia come risultato il valore +2, se al tempo iniziale t = 0 una misura di �z

ha datoil risultato -1.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Al tempo t = 0, un elettrone nell’atomo di idrogeno si trova nello stato descritto da

| i = N (|100i ⌦ |+i+ |211i ⌦ |�i)dove |n, l,mi ⌦ |±i sono gli autostati dell’Hamiltonian.o

– Calcolare il valor medio della distanza r dal nucleo e le probabilita delle misure delmomento angolare totale J2 in funzione del tempo.

Esercizio 2

L’Hamiltoniano H0 di un oscillatore armonico bi-dimensionale e isotropo di massa m efrequenza ! viene perturbato dall’aggiunta dell’operatore V :

H = H0 + �V

V = ~!(ax

a†y

+ a†x

ay

)

con ai

operatore di abbassamento ai

|ni

i = pni

|ni

� 1i relativo alla direzione i = x, y.

– Discutere l’e↵etto della perturbazione al prim’ordine sui primi due livelli energetici esui rispettivi autostati.

Esercizio 3

– Si dimostri che due particelle identiche sono descritte da una funzione d’onda o com-pletamente simmetrica o completamente antisimmetrica.

Si consideri l’operatore F che rappresenta una quantita pseudoscalare, cioe unagrandezza che cambia segno sotto trasformazioni di parita; si pensi al prodotto scalaretra un vettore e uno pseudovettore.La proprieta di essere una grandezza pseudoscalare si traduce nella richiesta

FP = �PF,

dove P e l’operatore di parita.– Si dimostri che gli unici elementi di matrice non nulli per l’operatore F sono quelli checonnettono stati pari con stati dispari, e stati dispari con stati pari:

hp|F |di, hd|F |pidove

P |pi = +|piP |di = �|di.

–


A.A. 2012-2013

Prova scritta dell’ 11-02-13

Esercizio 1

Un rotatore rigido, governato dall’Hamiltoniano

H =L2 + ↵L2

x

2I, ↵ 2 <

si trova al tempo t = 0 nello stato con L2 = 2~2 e Lz

= 1.

– Determinare il valor medio dell’operatore L+L� in funzione di t.

Esercizio 2

L’Hamiltoniano H0 di una particella di massa m e spin 1/2 e perturbato dall’aggiuntadi un potenziale V

H = H0 + �V

H0 =p2

2m+

1

2m!2x2 + !S

z

V = 2⌦x

x0Sx

, x0 =

r~

2m!

– Discutere l’e↵etto della perturbazione al prim’ordine sui primi due livelli energetici esui rispettivi autostati.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova, all’istante iniziale t = 0,in uno stato tale che le misure dell’energia danno con certezza un risultato E

i

32 ~! con

valore medio hHi = 3/4 ~!. Il valore medio dell’osservabile impulso e massimo possibile.

– Calcolare i valori medi della posizione e dell’impulso al generico tempo t.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 si trovano ad un certo istante t = 0 in uno stato in cui le

misure simultanee della terza componente dei loro spin S(1)z

e S(2)z

danno con certezza ilrisultato ~

2 .

Il sistema evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano

H = ~!(1 + �(1)x

)

– Calcolare al generico tempo t la probabilita che il sistema si trovi nello stato disingoletto S2(tot) = 0, e nei tre stati di tripletto.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Una particella di massa m e libera di muoversi su un’area x 2 [0, L], y 2 [0, L] e si trova,all’istante iniziale t = 0, nello stato con funzione d’onda

(x, y) = sen(⇡x

L)h↵ cos(

⇡x

L)sen(

⇡y

L) + � sen(3

⇡y

L)i,

dove ↵ e � sono generici coe�cienti complessi.

– Determinare autofunzioni e autovalori dell’hamiltoniano indicando le eventualidegenerazioni.

– Calcolare i possibili valori del risultati di una misura dell’energia e le rispettiveprobabilita.

– Calcolare in funzione del tempo il valor medio dell’operatore

O(x, y) = #(x

L� 1

2)�(

y

L� 1

2)

dove # e la funzione gradino (pari ad 1 se l’argomento e positivo, nulla altrove) e � e la deltadi Dirac.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 si trovano all’istante t = 0 nello stato di singoletto di spintotale.

Il sistema evolve nel tempo secondo l’hamiltoniano

H = !(↵S(1)z

+ �S(2)z

)

– Calcolare al generico tempo t la probabilita che il sistema si trovi nello stato disingoletto S2(tot) = 0, e nei tre stati di tripletto.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Un elettrone in un atomo di idrogeno si trova nello stato

= R21(↵Y10|+i+ �Y00|�i)dove ↵ e � sono generici coe�cienti complessi.

– Determinare le probabilita dei possibili risultati delle misure delle osservabili L2, J2,Sz

.

– Calcolare la probabilita di trovare l’elettrone ad una distanza r dal nucleo inferiore alraggio di Bohr.

Esercizio 2

Due particelle identiche di spin nullo sono soggette ad un potenziale armonico

H = H(1) +H(2)

H(i) =p2i

2m+

1

2m!2x2

i

.

– Determinare gli autovalori, gli autostati e le rispettive degenerazioni dei livelli ener-getici del sistema.

– Calcolare l’e↵etto della perturbazione:

V = V0 x0�(x(1) � x(2))

sui primi due livelli energetici.

–


A.A. 2012-2013


Esercizio 1

Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ! si trova all’istante iniziale nello statoiniziale

| (t = 0)i = N(1 +i

2a†)|0i

dove |0i rappresenta lo stato fondamentale del sistema.

–Determinare la costante di normalizzazione N ed indicare i possibili valori di unamisura dell’energia e le loro probabilita.

– Calcolare in funzione del tempo i valori di aspettazione degli operatori posizione eimpulso.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un campo magnetico ~B diretto lungo l’asse z

H = �~µ · ~B ~µ = g~S

e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato quantistico | i tale che il valor medio dello spinrisulti:

h |Sx

| i = 0, h |Sy

| i > 0, h |Sz

| i = 0.

– Determinare in funzione di t le probabilita delle misure di Sx

, Sy

ed Sz

.

–

Meccanica Quantistica 1

A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Un sistema quantistico a due stati e governato dall’hamiltoniana

H = ~! (b1 �1 + b3 �3), con b1, b3 reali

gli autovettori sono

1 =2p5

✓1

1/2

◆

2 =2p5

✓1/2�1

◆

e l’autovalore maggiore vale 5!.

1) Si spieghi perche b1, b3 devono essere reali

2) Si determini H, ovvero i coe�cienti b1 e b3.

3) Si determini lo stato del sistema 0 = (t = 0) al tempo iniziale t = 0, sapendo chein questo stato i valori medi di �1 e �2 sono nulli, e quello di �3 positivo:

0 = (t = 0) : h�1i = h�2i = 0

h�3i > 0

4) Si scriva l’evoluzione temporale dello stato del sistema (t) e si calcoli il valore mediodi �3 al generico tempo t.

5) Si verifichi che

d

dth�3i = i

~ h [H,�3] i

6) Si calcoli esplicitamente l’operatoreH2 e si dimostri che il suo valore medio non dipendedal tempo.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Un sistema quantistico a due stati e governato dall’Hamiltoniana

H = ~! (3 I+ b�1), con b reale

e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato

(t = 0) =

✓10

◆.

Il primo istante successivo in cui il sistema si trova con probabilita 1 in questo stesso statoe pari a t = ⇡

5! .

1) Determinare il coe�ciente b dell’Hamiltoniana.

2) Calcolare il valore medio di �2 al generico tempo t.

3) Calcolare al tempo t⇤ = ⇡

10! le probabilita dei possibili risultati di una misura di �3.

4) Se al tempo t⇤ = ⇡

10! una misura di �3 ha dato come risultato 1, calcolare le probabilitadei possibili risultati di una misura di �3 al tempo t⇤⇤ = 3 ⇡

10! .

5) Mostrare che il valore medio di �1 non dipende dal tempo.

I =✓1 00 1

◆�1 =

✓0 11 0

◆�2 =

✓0 �ii 0

◆�3 =

✓1 00 �1

◆

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Una particella di momento angolare orbitale l = 2 e spin s = 1/2 si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato tale che le misure della terza componente del momento angolaretotale J

z

= Lz

+ Sz

e del momento angolare di spin Sz

danno con certezza rispettivamentei risultati 3/2~ e 1/2~.

Data l’Hamiltoniana

H =!

~ J2

si calcoli:

– lo stato | (t)i al generico tempo t,

– il valor medio dell’operatore O = J2 + ~Lz

in funzione del tempo.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato di momento angolare di spin totale

j = 0, dove ~J = ~S(1) + ~S(2).

– Si calcolino le probabilita di una misura di S(1)z

.

– Si calcolino le probabilita di una misura di S(1)x

.

– Si dia un argomento per spiegare i risultati precedenti.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Si consideri un oscillatore armonico bidimensionale isotropo di massa m e frequenza !in presenza della perturbazione V

H = H0 + �V

V = �x2y2.

– Si calcolino le correzioni al prim’ordine in � sui livelli energetici con n = nx

+ ny

= 2indicando le relative autofunzioni dell’hamiltoniana imperturbata.

Esercizio 2

Si consideri una particella di massa m vincolata in una buca quadrata

x 2 [0, L] y 2 [0, L],

e si consideri la presenza della perturbazione V sul sistema

H = H0 + �V

V = �1

2m(p2

x

� p2y

).

– Si calcolino le correzioni al prim’ordine in � del livello fondamentale e del primo livelloeccitato.

– Si dimostri che le autofunzioni non cambiano.

– (facoltativo) Si confronti il risultato perturbativo con il risultato esatto.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Si consideri l’hamiltoniana di due particelle identiche di spin 1/2 e di momento angolareorbitale 1:

H = a (~L(1) + ~L(2))2 + b (L(1)z

+ L(2)z

)

– Si calcolino i livelli energetici e la loro degenerazione.

– Si calcoli esattamente la variazione delle energie dovuta alla aggiunta del termine

W = c (S(1)z

+ S(2)z

)

con c << a, b.

Esercizio 2

Se il sistema e nello stato fondamentale al tempo t = 0, si trovi almeno un esempio diperturbazione che dipende dal tempo come

V (t) / sin(!t)

che permetta al sistema di transire nel livello energetico piu alto di H0 = H +W e si calcolila generica probabilita di transizione al tempo t.

Nota: lo svolgimento di questa parte annulla e sostituisce gli esoneri precedenti.

Esercizio 1 (recupero)

Si consideri l’hamiltoniana di un particella di spin 1 e momento angolare 1

H = a (~L · ~S)2

– Si calcoli lo spettro energetico.

– Si calcoli l’e↵etto della perturbazione:

V = a (Lx

+ Sx

),

sul secondo livello energetico e sull’eventuale sua degenerazione.

Esercizio 2 (recupero)

Si consideri un potenziale unidimensionale che scende da un valore positivo U a zero adx = 0 e che presenta una barriera infinita a x = L:

V (x) =

(U #(�x) x < L,

1 x = L.

– Si calcolino gli stati stazionari del sistema nei due casi di energia maggiore o minoredi U e le relative correnti di probabilita nelle zone accessibili al sistema.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione !. Lo stato del sistema altempo iniziale t = 0 e descritto dalla funzione d’onda

(x) = N x2 e�m!x

2/2~

dove N e la costante di normalizzazione.

1) Determinare lo stato al generico tempo t.

2) Calcolare il valor medio dell’operatore O = (xp+ px) in funzione del tempo.

Esercizio 2


H =E

~2 S+ S�

dove S± = S(1)± + S(2)

± , e S(i) e l’operatore di spin per la particella i-esima.


, S(2)z

danno rispettivamentei risultati +~/2, e �~/2.

– Calcolare al tempo t il valore di aspettazione dell’osservabile S(1)z

S(2)z

.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1


H = ~! (I+ �1),

e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato in cui misure delle componenti dell’osservabile~� risulterebbero pari ad 1 con probabilita

(P (�1 = +1) = P (�2 = +1) = 1

2 (1 +1p2)

P (�3 = +1) = 12

– Calcolare il valore medio di �2 al generico tempo t.

Esercizio 2

Si consideri l’hamiltoniana di un particella di momento angolare j = 1

H =E

~2 J2z

e si i calcoli l’e↵etto della perturbazione:

V =�

~2 J2x

sugli autovalori e sugli autovettori dell’hamiltoniana al prim’ordine della teoria delle pertur-bazioni.

Si confronti il risultato perturbativo con il risultato esatto.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1


H = ~! �1

e si trova al tempo iniziale t = 0 nello stato

| (0)i = 1p2|+i+ ip

2|�i

dove |±i sono gli autovettori di �3 (�3|±i = (±1)|±i).Si consideri l’osservabile A avente autovalori a1 ed a2 corrispondenti agli autovettori

|a1i |a2i:(

|a1i = 1p2(|+i+ |�i)

|a2i = 1p2(|+i � |�i)

– Calcolare la probabilita dei possibili risultati di una misura di A al generico tempo t.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 si trovano in uno stato tale che le misure simultanee degli

osservabili S(1)z

, S(2)z

danno rispettivamente i risultati +~/2, e �~/2.– Calcolare su questo stato il valore di aspettazione dell’osservabile O:

O = (~S(1) · n)(~S(2) · n)� (~S(1) · ~S(2))

essendo n il versore della generica direzione ~n.

–


A.A. 2013-2014


Esercizio 1

Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione ! in una dimensione. Ilsistema si trova al tempo iniziale t = 0 in uno stato nel quale la funzione d’onda e realea meno di un fattore di fase costante, la parita e definita e una misura dell’energia da concertezza un risultato minore di E < 3~! con valore medio pari a hEi = ~!.

– Calcolare il prodotto di indeterminazione �x�p in funzione del tempo.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 e momento angolare orbitale l = 1 si trova al tempo inizialet = 0 in uno stato tale che le misure del momento angolare totale J2 e della sua terzacomponente J

z

danno con certezza rispettivamente i risultati 3/4 ~2e 1/2 ~.L’evoluzione temporale del sistema e governata dall’Hamiltoniana

H = E1L2

2~2 + (E2 � E1)(L

z

+ 2Sz

)

~ .

– Determinare i possibili valori e le rispettive probabilita di una misura di J2 e Jz

algenerico tempo t.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1

L’operatore hamiltoniano di un sistema a due stati e rappresentato dalla matrice

H =

✓0 EE 0

◆

Al tempo iniziale t = 0 il sistema si trova nello stato

| i = N

✓12 i

◆

1) Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura dell’osservabile O = �y

e�y

al generico tempo t.

Esercizio 2

Si consideri un oscillatore armonico di massa m e pulsazione !. Lo stato del sistema altempo iniziale t = 0 e descritto dalla funzione d’onda:

(x) = N(⇠ + z⇠2) e�⇠

2/2

dove ⇠ = xpm!/~ e z e un numero complesso di modulo 1.

1) Calcolare le probabilita dei possibili risultati di una misura dell’energia, e determinarelo stato al generico tempo t.

2) Determinare l’incertezza dell’osservabile O = |1ih0|+ |0ih1| in funzione del tempo.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1

Due particelle identiche di spin 1 interagiscono secondo l’hamiltoniana

H =!

~~S(1) · ~S(2)

e si trovano al tempo iniziale t = 0 nello stato sul quale una misura dell’osservabile S(1)z

S(2)z

da con certezza il valore �~2.

1) Calcolare gli autovalori e gli autovettori dell’hamiltoniana.

2) Calcolare al generico tempo t la probabilita che entrambe le particelle abbiano la terza

componente dello spin uguale a zero: S(1)z

= S(2)z

= 0.

Esercizio 2

Considerare l’oscillatore armonico in 3 dimensioni

H =p2x

+ p2y

+ p2z

2m+

1

2m!2(x2 + y2 + z2)

e trovare autovettori, autovalori e relative degenerazioni osservando che l’hamiltoniana eseparabile nelle tre direzioni spaziali.

Si calcoli l’e↵etto della perturbazione:

V = �µ

~~L · ~B, con ~B = (0, 0, B) e L

z

= xpy

� ypx

sui primi due livelli di energia al prim’ordine della teoria delle perturbazioni, esprimendoil momento angolare in coordinate cartesiane e utilizzando il formalismo di Dirac degli

operatori di innalzamento e abbassamento (xk

=q

~2m!

(ak

+ a†k

), pk

= . . . ).

Si confronti il risultato perturbativo degli autovalori e della parte angolare delle auto-funzioni con il risultato esatto, considerando che [L2, H] = 0.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1


H0 =L2

2I+

L2z

2Iz

dove I, Iz



V = !(Lx

+1

~ (Lx

Ly

+ Ly

Lx

)

sugli autovalori e gli autovettori dell’hamiltoniano al primo ordine in ! e relativamente allarappresentazione l = 1 del momento angolare.

Esercizio 2

Due particelle identiche di spin 1/2 sono vincolate a muoversi sull’asse x nel segmentox 2 [0, L] ed interagiscono per accoppiamento spin-spin:

H =1

2m(p2(1) + p2(2)) +

!

~~S(1) · ~S(2) x(1), x(2) 2 [0, L]

– Determinare gli autovalori e gli autostati dell’hamiltoniano mettendo in evidenza lesimmetrie per scambio e le eventuali degenerazioni.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1

Una particella di spin 1/2 e soggetta ad un potenziale armonico:

H =p2

2m+

1

2m!2x2

ed e descritta al tempo iniziale t = 0 dallo stato:

| (t = 0)i = 1p2(|0,+i + |1,�i)

dove |n,±i indicano gli autovettori dell’hamiltoniana e della terza componente dello spin:

H |n,±i = En

|n,±iSz

|n,±i = ±~2|n,±i

– Calcolate l’indeterminazione della posizione �x al generico tempo t.

– Calcolate la probabilita dei possibili risultati di una misura di Sy

at tempo t.

Esercizio 2

Due particelle di spin 1/2 interagiscono tra loro secondo l’hamiltoniana:

H0 =!

~~S(1) · ~S(2)

– Calcolare l’e↵etto della perturbazione

V = �!Sz(2)

sugli autovalori e sugli autovettori di H0 al prim’ordine in � della teoria delle perturbazioni.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1


(x, t = 0) = ↵�1(x) + ��2(x)

dove �1 e �2 sono le autofunzioni dell’hamiltoniano relative allo stato fondamentale e al primostato eccitato, ed ↵,� sono due generici coe�cienti complessi opportunamente normalizzati.

– Calcolare in funzione del tempo il valor medio hOi dell’osservabileO = L �(x� x0)

ed indicare per quali valori di x0 diversi dagli estremi (x0 6= ±L/2) il valor medio nondipende dal tempo.

– Calcolare in funzione del tempo la densita di corrente J(t) e verificare l’equazione dicontinuita:

d

dthOi =

ZL/2

�L/2dx O d

dt⇢(t) = �

ZL/2

�L/2dx O d

dxJ(t)

Esercizio 2

L’Hamiltoniano imperturbato H0 di un sistema a tre stati e rappresentato dalla matrice

H0 = ~⌦

0

@1 0 00 0 10 1 0

1

A

– Calcolare l’e↵etto della perturbazione

V = ~!p2

0

@0 0 10 0 01 0 0

1

A

sugli autovalori e sugli autovettori di H0 al prim’ordine in ! della teoria delle perturbazioni.

–


A.A. 2014-2015


Esercizio 1

Un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza ! si trova al tempoiniziale t = 0 in uno stato descritto dalla funzione d’onda

hx| (t = 0)i = (x, t = 0) = N(1 + ⇠) e�⇠

2/2

dove ⇠ =p

m!

~ x, ed N e la costante di normalizzazione.

– Verificare il teorema di Ehrenfest su questo stato:

dhpidt

= �m!2hxi

dove hpi, hxi sono valori di aspettazione al tempo t:

hpi ⌘ h (t)| p | (t)ihxi ⌘ h (t)|x | (t)i.

Esercizio 2

Una particella di spin 1/2 si trova ad un certo istante nello stato quantistico

f(r) sin ✓ sin'| 1/2 idove

Sz

| 1/2 i = ~/2 | 1/2 i.

– Calcolare quali sono i possibili risultati e le relative probabilita delle misure dei mo-menti angolari orbitale, di spin e totale:

Lx

, Lz

, L2,

Sx

, S2,

Jz

, J2 ~J = ~L+ ~S.

Documents

Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale A.A. 2007-2008 ...people.roma2.infn.it/~dedivitiis/MQ1/compiti.pdf · Meccanica Quantistica 1 - prof. L. Biferale A.A. 2007-2008 Prova