MECHANIKA 2

Wykład Nr 10

MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny, osi lub bieguna:

2mkgIJednostką jest

Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów materialnych względem tej płaszczyzny, osi lub bieguna.

Moment bezwładności układu punktów

2

1i

n

iirmI

Moment bezwładności układu ciągłego

Momentem bezwładności układu ciągłego (linii, powierzchni lub bryły materialnej) względem przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy całkę

rozciągniętą na całą masę układu.

Promień bezwładności

Po przekształceniu wzoru

otrzymamy wzór na promień bezwładności

Masa zredukowana na odległość r

Masę mred, którą należy skupić w odległości r od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, aby jej moment bezwładności był równy I, nazywamy masą zredukowaną na daną odległość r.

czyli

Geometryczny moment bezwładności

Geometryczny moment bezwładności I (dla ciał jednorodnych) jest ilorazem masowego momentu bezwładności przez gęstość:

Moment bezwładności linii materialnej

Po podstawieniu do równania

Otrzymamy wzór na moment bezwładności linii materialnej

Masy elementarnej w postaci:

Gdzie: l – jest gęstością liniową linii materialnej, kg/m

Geometryczny moment bezwładności linii materialnej

PrzykładWyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc.

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy

Moment bezwładności względem osi centralnej Cxc.

l

ml

Moment powierzchni materialnej

Po podstawieniu do wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej

Gdzie: s – jest gęstością powierzchni materialnej, kg/m2

Geometryczny moment powierzchni materialnej

Jednostka JS – m4

Moment bryły materialnej

Po podstawieniu do wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej

Gdzie: s – jest gęstością bryły materialnej, kg/m3

Moment bezwładności względem płaszczyzny

W układzie współrzędnych dany jest układ punktów materialnych o masach . Współrzędne masy oznaczymy . Momenty bezwładności względem płaszczyzn układu współrzędnych określają wzory:

zyx ,,

nmmm ,,, 21

im iii zyx ,,

Moment bezwładności względem osi

Moment bezwładności względem bieguna

Związki pomiędzy momentamiSuma momentów bezwładności względem dwóch płaszczyzn wzajemnie prostopadłych jest równa momentowi bezwładności względem osi pokrywającej się z krawędzią przecięcia się tych płaszczyzn.

Momenty bezwładności względem płaszczyzn można wyrazić przez momenty osiowe:

Biegunowy moment bezwładności można wyrazić przez momenty osiowe

Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy osiowych momentów bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

Związki pomiędzy momentami

Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić przez momenty względem płaszczyzn

Moment biegunowy jest sumą momentów względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez dany biegun.

PRZYKŁAD 1Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego.

r

dr

R

Elementarne pole dA pierścienia o grubości d jest równe

Po pominięciu (d)2 - wielkości małej wyższego rzędu

Po podstawieniu otrzymamy:

Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r powinna przybierać wartości od 0 do R:

Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego względem jego środka wynosi:

lub

PRZYKŁAD 2

Obliczyć geometryczny moment bezwładności prostokąta o wym. b i h względem osi x.

Lp. Przekrój Moment bezwładności

Wskaźnik wytrzymałości

Względem środka (osiowy)

1.

2.

Względem osi zaznaczonej na rysunku

3.

4.

5.

322

44

0

DRJ

440 32

dDJ

162

33

0

DRW

D

dDW

44

0 16

644

44 DRJ

44

64dDJ

12

3bhJ

6

2bhW

D

dDW

44

32

324

33 DRW

MOMENTY DEWIACJI

Momentem dewiacji punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy iloczyn masy punktu przez odległości od danych płaszczyzn:

Momenty zboczenia mogą być dodatnie, ujemne i, w szczególności, równe zeru.

MOMENTY DEWIACJI

Momentem dewiacji układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy sumę momentów dewiacji poszczególnych punktów materialnych względem tych płaszczyzn.

Dla układu ciągłego

rozciągnięta, na całą masę.

MOMENTY DEWIACJI

W przestrzennym układzie współrzędnych układ punktów materialnych ma trzy momenty dewiacji:

W płaskim układzie współrzędnych układ materialny ma jeden moment dewiacji

Geometryczny moment dewiacji jest równy ilorazowi masowego momentu dewiacji przez gęstość bryły.

GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI

Transformacja równoległa momentów bezwładności

Weźmy pod uwagę układ punktów materialnych i dwie równoległe osie l, s.

Moment bezwładności względem osi l

a względem osi s

Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność ir ir

a

Po podstawieniu otrzymujemy

czyli

Założymy, że oś s przechodzi przez środek ciężkości układu materialnego, wtedy moment statyczny , jest równy zero i wzór przybiera postać:

0 ii xm

Transformacja równoległa momentów bezwładności

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi.

Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek, że moment bezwładności względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości układu jest najmniejszym ze wszystkich momentów względem prostych do niej równoległych.

2ma

Transformacja równoległa momentów bezwładności

PRZYKŁAD

Geometryczny moment bezwładności prostokąta względem poziomej osi x wynosi

Obliczyć moment bezwładności względem podstawy.

x

Przykład 1Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.

R o z w i ą z a n i e:Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła

Stosując wzór Steinera, mamy

Wyznaczymy moment dewiacji względem układu współrzędnych z początkiem umieszczony w środku ciężkości S.zyx ,,

Transformacja równoległa momentów dewiacji

Współrzędne dowolnej masy w układzie będą równe

im

zyx ,,

sii xxx

sii yyy

sii zzz

Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np. płaszczyzn i ) będzie równy

zy xz

Transformacja równoległa momentów dewiacji

Ale

Po zapisaniu analogicznych związków na i otrzymamy:yzD zxD

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

Dane: oraz i nmmm ,,, 21 zyx III ,,xyD yzD zxD

Należy wyznaczyć moment bezwładności względem osi l .

Odległość ri masy mi od osi l określona jest równaniem

ixi,yi,zi)

lub

Rzut promienia na oś l jest równy i

Uwzględniając, że

gdzie

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

dochodzimy do równania

Grupując względem cosinusów otrzymamy

Po podstawieniu do

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

Mnożymy powyższe równanie przez mi, a otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając, że

oraz

otrzymujemy ostatecznie

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności

W szczególności dla układu płaskiego uwzględniając, że powyższe równanie przyjmuje postać: 90

Transformacja obrotowa osiowych momentów bezwładności