MECHANIKA 2

Wykład Nr 14

Teoria uderzenia

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami,

nazywamy punktem nieswobodnym.

Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach rucha dodatkowych sił – reakcji więzów.

(1)

Równanie ruchu przyjmie postać

Równania ruchu:

Po przekształceniu otrzymujemy:

Ruch punktu po gładkiej równi pochyłej

Rys. 7Równania ruchu:

gdzie:

Po podstawieniu:

Ruch wahadła matematycznego

Przy małych wychyleniach wahadła sin = wówczas

więc równanie ruchu przybiera postać:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego.Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego prostego ma postać:

Zatem dla wahadła:

Równanie ruchu ma postać:

0max tWarunek początkowy: dla

Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość:

Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v:

Ponieważ to

Załóżmy, że dla t = 0, wówczas:0

Rys. 2

Zderzenie proste środkowe

Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu.

Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przez środki masy tych ciał.

W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy:

a)        - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształcaniu się obu ciał,

Okresy zderzenia

b)       - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas.

Pęd zderzających się mas

Pęd przed po zderzeniu jest taki sam

Rys. 2

c – wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu.

Stąd

Energia kinetycznaW wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez

Uwzględniając wzór otrzymamy

(23)

(23a)

Pęd układu w drugim okresie zderzenia

Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że obowiązuje nadal zasada zachowania pędu badanego układu, czyli że

(24)

Prędkości oraz zależeć będą od tego, czy strata energii

kinetycznej została:

1w 2w

Zderzenie sprężyste i plastyczne

a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale sprężystych),

b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie plastycznych),

c) pochłonięta częściowo (zderzenie ciał rzeczywistych).

Współczynnik zderzenia

przy czym oczywiście

Wartości graniczne współczynnika odpowiadają: k

1k

0k

dla ciała idealnie sprężystego,

dla ciała idealnie plastycznego.

(25)

Prędkości po zderzeniuUwzględniając równania (24) i (25) otrzymamy po podstawieniu i

przekształceniu

(26)

Dla zderzenia ciał idealnie sprężystych 1k

(27)

Dla zderzenia ciał idealnie plastycznych 0k

(28)

Rzeczywista strata energii kinetycznejRzeczywista strata energii kinetycznej wynosi

Po podstawieniu wartości oraz ze wzoru (26) otrzymamy1w 2w

Charakterystyczne przypadki:

Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana prędkości pomiędzy obiema masami.

1. (ciało doskonale sprężyste). 1k21 mm

Ze wzorów (27) otrzymamy:

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

2. , (nieruchoma ściana), .02 2m 1k

Ze wzorów (27) otrzymamy:

Masa m1 odbija się z tą samą prędkością.

3. , (nieruchoma ściana), (ciało rzeczywiste). 02 2m 0kWykorzystując wzory (26) napiszemy:

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób wyznaczania współczynnika

zderzenia k. Jak wiadomo bowiem z kinematyki, ciało spadające z

wysokości H na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia

prędkość . Po odbiciu wznosi się na wysokość h, czyli przy

końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość .

Ponieważ (pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko

moduł), zatem

gH21

gh2w1

11 –w k

Masa m2 odbije się z prędkością zmniejszoną o k .

k =

Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego środkowego (rys. 3). Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

Rys. 3

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości, ewentualnych

obrotów mas (przyjęto je jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych

wartości składowych stycznych oraz (przyjmując idealnie gładkie

powierzchnie styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe

normalne.

t1 t2

oraz

Do oceny zmian składowych normalnych wykorzystamy wzory (26),

wprowadzając jedynie odpowiednie wskaźniki n, składowe zaś styczne

pozostaną bez zmiany, czyli:

Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę

Do wyznaczenia reakcji przegrody na działanie strumienia, padającego pod kątem (rys. 4), wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru

R

Załóżmy, że dane są ponadto

przekrój strumienia A, gęstość ρ

(niezmienna w czasie) oraz

średnia prędkość strumienia v.

Rys. 4

W czasie dt wystąpi przemieszczenie przekroju ab w położenie a'b' (rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych strugach z położeń ef w e'f' oraz z położeń cd w c'd' (rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i styczne do przegrody.

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę

Rys. 4

Zgodnie więc z zasadą pędu i impulsu (19) napiszemy rzutując

wektory pędów pulsu na oś , prostopadłą do przegrody x

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę

Oddziaływanie strumienia padającego na przegrodę

Gdyż wektory pędów tych strug są styczne do przegrody, zatem

Stąd ostatecznie otrzymujemy reakcję przegrody w kierunku osi x

oraz