Mechanika - kinematika

Hlavniacute body

bull Uacutevod do mechaniky kinematika hmotneacuteho bodu

bull Pohyb přiacutemočaryacute

bull rovnoměrnyacute

bull rovnoměrně zrychlenyacute

bull Pohyb křivočaryacute Pohyb po kružnici

bull rovnoměrnyacute

bull rovnoměrně zrychlenyacute

bull Pohyb v prostoru Vrhy

Uacutevod do mechaniky

bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou

bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a

bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c

bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech

bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin

bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry

Kinematika I

Poloha

bull hmotneacuteho bodu M je

určena polohovyacutem

vektorem

bull Okamžitaacute rychlost v = drdt

např vx = dxdt

Maacute směr tečnyacute k draacuteze

v daneacutem okamžiku

mzyxr )(

d srd

Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne

změna polohoveacuteho vektoruRychlost

t

r

dt

dr

vv

t

r

dt

dr

vv

t (s)

r s

(m)

t (s)

To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou

stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu

bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost

bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

t

sv 1ms

dt

rdv

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Hlavniacute body

bull Uacutevod do mechaniky kinematika hmotneacuteho bodu

bull Pohyb přiacutemočaryacute

bull rovnoměrnyacute

bull rovnoměrně zrychlenyacute

bull Pohyb křivočaryacute Pohyb po kružnici

bull rovnoměrnyacute

bull rovnoměrně zrychlenyacute

bull Pohyb v prostoru Vrhy

Uacutevod do mechaniky

bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou

bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a

bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c

bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech

bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin

bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry

Kinematika I

Poloha

bull hmotneacuteho bodu M je

určena polohovyacutem

vektorem

bull Okamžitaacute rychlost v = drdt

např vx = dxdt

Maacute směr tečnyacute k draacuteze

v daneacutem okamžiku

mzyxr )(

d srd

Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne

změna polohoveacuteho vektoruRychlost

t

r

dt

dr

vv

t

r

dt

dr

vv

t (s)

r s

(m)

t (s)

To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou

stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu

bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost

bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

t

sv 1ms

dt

rdv

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Uacutevod do mechaniky

bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou

bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a

bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c

bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech

bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin

bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry

Kinematika I

Poloha

bull hmotneacuteho bodu M je

určena polohovyacutem

vektorem

bull Okamžitaacute rychlost v = drdt

např vx = dxdt

Maacute směr tečnyacute k draacuteze

v daneacutem okamžiku

mzyxr )(

d srd

Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne

změna polohoveacuteho vektoruRychlost

t

r

dt

dr

vv

t

r

dt

dr

vv

t (s)

r s

(m)

t (s)

To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou

stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu

bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost

bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

t

sv 1ms

dt

rdv

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Kinematika I

Poloha

bull hmotneacuteho bodu M je

určena polohovyacutem

vektorem

bull Okamžitaacute rychlost v = drdt

např vx = dxdt

Maacute směr tečnyacute k draacuteze

v daneacutem okamžiku

mzyxr )(

d srd

Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne

změna polohoveacuteho vektoruRychlost

t

r

dt

dr

vv

t

r

dt

dr

vv

t (s)

r s

(m)

t (s)

To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou

stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu

bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost

bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

t

sv 1ms

dt

rdv

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

t

r

dt

dr

vv

t

r

dt

dr

vv

t (s)

r s

(m)

t (s)

To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou

stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu

bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost

bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)

čascelkovyacute

draacutehacelkovaacute

t

sv 1ms

dt

rdv

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

(ax = d2xdt2)

bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo

bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem

pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)

Budiž potom

2

2

2

msdt

rd

dt

vda

a

0

vv

r

vn

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd 2

000

00

nt aa

Zrychleniacute

velikost směr

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)

Definice radiaacutenu

dn anR

v

ds

dv

dt

ds

ds

dv

dt

dva

0

2

0200

dRds

dnd

00

Směr daacutevaacute normaacutela

velikost daacutevaacute uacutehel

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute

bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např

x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se

ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a

Zůstaacutevaacute však orientace (+-)

Pohyb rovnoměrnyacute

přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =

0

v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t

kde x0 = x(t=0) je

integračniacute konstanta -

počaacutetečniacute podmiacutenky

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute

a = at = konst

a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta

x(t) = x0 + v0 t + a t22

Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0

s0

s =s0 + v0t + 12at2

s

t

-Rychlost roste s časem lineaacuterně

-Draacuteha roste s časem kvadraticky

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute

bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0

bull Je-li v gt 0 znamenaacute

a gt 0 pohyb zrychlenyacute

a lt 0 pohyb zpomalenyacute

bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace

a gt 0 pohyb zpomalenyacute

a lt 0 pohyb zrychlenyacute

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb křivočaryacute

bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit

bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute

Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute

bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny

bull ds = r d

bull v = dsdt = r ddt = r

bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )

bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb

bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute

bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0

r

0

sad

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull s(t) = s0 + r t

bull 0 nebo s0 jsou

integračniacute

konstanty opět daneacute

počaacutetečniacutemi

podmiacutenkami

= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r

r

0

ad

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute

Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute

Souřadnice hmotneacuteho bodu B

x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)

y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)

0 se zde nazyacutevaacute

počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)

r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda

Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute

bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po

kružnici

bull Hmotnyacute bod se pohybuje s

konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem

zrychleniacutem

= d dt = d2dt2 = konst [s-2]

at = dvdt= r = konst

bull Po integraci

bull (t) = 0 + t

bull (t) = 0 + 0 t + t22

Srovnej s

x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici

bull = d dt = konst

bull at = dvdt= r = konst

bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času

bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r

bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t

bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o

pohyb zpomalenyacute

bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb po kružnici - obecně

bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet

různou polohu v prostoru je nutneacute pro

obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů

bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely

ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel

vidět jako pravotočivyacute

(proti směru hodinovyacutech ručiček)

bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace

uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute

ra

rv

t

t

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Přiacuteklady

1 Centrifuga

2 φ = -025t2+10t +10

3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na

obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m

staaa nt 1 0

staaa nt 1 0

pro R = 2m

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Pohyb v prostoru

bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech

bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně

bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Vrhy

bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme

bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute

velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)

bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)

bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)

bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na

speciaacutelniacute přiacutepady

bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu

převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)

bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z

bull vz(t) = vz0 ndash g t

bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22

bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0

b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0

Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g

horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g

Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice

z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0

tn = 2vz0g = 2tm

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Vrh vodorovnyacute

bull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 0)

bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se

jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute

bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0

bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t

Vrh je ukončen dopadem tělesa

t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu

z

x

z0

x0

v0

v0

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky

bull a = (0 0 -g)

bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)

bull v0 = (vx0 0 vz0)

bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny

bull vx0 = v0 cos()

bull vz0 = v0 sin()

bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod

elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou

z

x

z0

v0

v0x

v0x

v0z

bull Uveacutest přiacuteklady

bull Uveacutest přiacuteklady