1

Mechanika és szilárdságtan (Mecanica şi rezistenţa materialelor)

Egyetemi jegyzet

Dr. Szilágyi József

2

Tartalomjegyzék

1. Fejezet 3 1. Fogalomtár-terminológia 3 2. Fejezet 4 2. 1. Bevezetés 4 2. 2. Statikai alapfogalmak 4 2.3 Az anyagi pont statikája 6 2.3.1 Közös hatásvonalú erők 6 2.3.1 Tetszőleges számú erő 7 2.3.3 Síkbeli erők 8 2.4 Síkbeli erőrendszerek redukálása grafikus eljárásokkal 11 2.5 Erőnyomatékok és redukálásuk 12 2.5.1 Erő nyomatéka pontra nézve 12 2.5.2 Az erő nyomatékának pontra nézve való analitikus

meghatározása 13

2.5.3 Erő nyomatéka tengelyhez viszonyítva 14 Gyakorlatok 15 3. Fejezet 21 3.1 Tömeggeometria 21 3.2 Egy adott test súlyközéppontjának meghatározása 23 3.3 A súlyközéppont tulajdonságai 24 3.4 A sűrűség (térfogati, felületi és lineáris) 24 Gyakorlatok 25 4. Fejezet 27 4.1 Az anyagi pont kinematikája 27 4.2 Az anyagi pont sebessége és mozgása 28 4.3 A gyorsulás és a sebesség összetevői 29 Gyakorlatok 31 5. Fejezet 32 5.1 Bevezetés 32 5.2 A merev test haladó mozgása 32 5.3 A merev test forgó mozgása egy rögzített tengely körül 33 5.4 A merev test forgóhaladó mozgása 35 5.5 A szilárd merev test síkpárhuzamos mozgása 37 5.6 A merev test forgómozgása egy rögzített pont körül 40 5.7 A szilárd merev test általános mozgása 43 6. Fejezet 45 6.1 A mechanikai munka 46 6.2 Mechanikai teljesítmény 47 6.3 Mozgási energia 48 6.3.1 Anyagi pont mozgási energiája 48 6.3.1 Egyenes vonalú mozgást végző szilárd merev test mozgási

energiája 48

6.3.1 Forgómozgás végző szilárd merev test mozgási energiája 49 6.4 Helyzeti energia 49 6.5 Mechanikai energia 50

6.6 Impulzus 50 6.6.1 6.6. 1. Az anyagi pont impulzusa 50 6.6.2 Szilárd merev test impulzusa 51

3

Gyakorlatok 51 7. Fejezet 55 7.1 Bevezetés 55 7.2 Igénybevételek 56 7.2.1 A rúd 56 7.2.2 Az igénybevétel 56 7.2.3 Az igénybevétel fajtái 57 7.2.3.1 7.2.3. Normáligénybevétel 58 7.2.3.2 Nyíróigénybevétel 58 7.2.3.3 Csavaróigénybevétel 58 7.2.3.4 Hajlítóigénybevétel 58 7.3 Az egyszerű Hooke törvény 59 7.3.1 A keresztirányú méretváltozás 59 7.3.2 A keresztmetszet síkjába eső belső erők 60 7.4. A húzás és a nyomás 61 7.4.1 A feszültség és az alakváltozás számítása 61 7.4.2 A húzott rúd méretezése és ellenőrzése 63 Gyakorlatok 64 7.5 Nyírás 65 Gyakorlatok 67 7.6 A hajlítás 69 7.6.1 Hajlított rúd méretezése 72 Gyakorlatok 73 7.7 A csavarás 76 7.7.1 Rudak csavarása 76 7.7.2 A csavart rúd méretezése 77 Gyakorlatok 78 7.8 A kihajlás 79 7.8.1 A hosszú, nyomott rudak központos terhelése 79 7.8.2 A központosan terhelt hosszú rudak méretezése 82 7.8.3 A hosszú rudak nyomása és hajlítása 82 Gyakorlatok 85 8. Fejezet 87 8.2 Fizikai mennyiségek és mértékegységek 88 8.2.1 A görög ábécé betűi 88 8.2.3 Átszámítási táblázatok 89 Szakirodalom 93

4

1. Fejezet Fogalomtár-terminológia

A. Statika

1. Anyag: Környezetünkben szilárd testként, folyadékként és gázként érzékelhetjük. Napjainkban egyre többet hallhatunk az anyag negyedik halmazállapotáról, a plazmáról.

2.Anyagi pont: a véges kiterjedéssel rendelkező szilárd testet gondolatban felosztjuk három, egymásra merőleges síkkal. Így, egy olyan síklapokkal határolt részhez jutunk, amely fizikai szempontból az eredeti testtel azonos tulajdonságú. Ha a lapok élhossza elégé kisméretű, anyagi pontról beszélünk. Az anyagi pontot tehát a környezetéhez képest elhanyagolhatóan kis kiterjedés és véges anyagmennyiség jellemez.

3.Tér: szoros összefüggésben áll az anyaggal. A teret anyag tölti ki, így egyik meghatározásában az anyag a tér hordozója. A mechanikában a tér igen bonyolult fogalma helyett egy egyszerűsített, matematikai eszközökkel jól leírható modelljével dolgozunk. Általában valamelyik vonatkoztatási rendszert vesszük alapul. Leggyakrabban a Descartes-féle vonatkoztatási rendszert használjuk.

4.Az idő: a környezetünkben lezajló jelenségek kapcsán alakul ki tudatunkban. Ebben a megfogalmazásban látható, hogy az idő is szorosan összefügg az anyaggal. Általában azt mondjuk, hogy a folyamatok időben mennek végbe.

B. Kinematika 5.Helyzetvektor. Az anyagi pont, a tér és idő segítségével követhetjük a mechanikai mozgásokat.

A mozgás során az anyagi pont más és más helyzetbe kerül. A Descartes-féle koordináta rendszerben az anyagi pont pillanatnyi helyzetét a helyzetvektora adja meg.

6.Sebesség: a mozgás jellemzésére szolgál. A helyzetváltozást mennyiségileg és irány szerint jellemző vektor. Az idő függvényében írható fel.

7.Gyorsulás. Lényeges mozgásjellemző fogalom, amely a gyorsulásváltozást írja le. A gyorsulás ugyancsak az idő függvénye, azaz a sebesség idő szerinti deriváltja.

8.Nyugalom. A mozgás egyik érdekes, különleges esete a mechanikában. Egy test akkor van nyugalomban, ha az elemzett időtartam alatt a sebessége mindvégig 0 marad.

C. Dinamika 9.Tehetetlenség. Minden test megőrzi egyenes vonal egyenletes mozgását, vagy nyugalmi

állapotát, amíg egy ráható erő állapotának megváltoztatására nem kényszeríti. A testek azon tulajdonságát, hogy külső erők hiányában megőrzik sebességüket, tehetetlenségnek nevezzük.

10. Erő: a dinamika az erőt úgy határozza meg, mint egy adott testre való hatást, nem véve figyelembe azt, hogy a hatás honnan ered.

D. Szilárdságtan 11. Szilárd test: a vizsgált testet fizikailag homogénnek tekintjük, azaz bárhonnan veszünk is

mintát, az fizikailag, vegyileg és mechanikailag ugyanazokat a tulajdonságokat mutatja. 12. Izotróp anyag: az anyag szilárdságtani tulajdonságai függetlenek az iránytól

5

2. Fejezet Statika 2. 1. Bevezetés

A statika olyan testek tanulmányozásával foglalkozik, amelyek nyugvó állapotban találhatók, és nem szenvednek alakváltozást a rájuk ható erők miatt.

Statikában a test alatt egyetlen anyagi pontot, vagy mértani alakzatba foglalt egymással összefüggő, anyagi pontokból álló merev testet értünk.

Ha a test anyagi pontok, vagy merev testek rendszeréből áll, amelyek kapcsolatban állanak egymással, szerkezetről beszélünk.

A fentiek szellemében a mechanika külön tárgyalja az anyagi pont, a merev test és a szerkezetek statikáját.

2. 2. Statikai alapfogalmak A statika a nyugalomban lévő testek tanulmányozásával foglalkozik, ezért célszerű a test

valamelyik jellemző pontját a koordinátarendszer origójához kötni. Anyagi pont esetében ez éppen maga a pont, merev testek esetében a test súlypontja, szerkezeteknél pedig a feladat által meghatározott valamelyik pont.

Statika esetében a tanulmányozott test nyugalomban található, nem változtatja a helyzetét, éppen ezért az időnek nincs semmi szerepe a tanulmányozásban, tehát a statikában az idővel, mint fogalommal nem foglalkozunk.

A statika alapfeladata a nyugalom feltételének a meghatározása. Célja megtalálni azokat az összefüggéseket, amelyeknek fenn kell állni ahhoz, hogy a test a rá ható erők hatására nyugalomban maradhasson.

Összegezve az elmondottakat, a statikában két fontos fogalommal dolgozunk: ez egyik a tér, a másik az erő.

Az erőt a mindennapi életből legkönnyebben az izomerő segítségével képzelhetjük el. Az erőnek lehet dinamikus jellege, ami a test elmozdításához és mozgásba tartásához szükséges, és lehet statikus jellege, ami ahhoz szükséges, hogy egy test megőrizhesse nyugalmi állapotát.

A statikában a vizsgált testre más testek kölcsönhatását, azaz a ható erőket elsődlegesnek tekinthetjük, éppen ezért az erőt alapfogalomként kezeljük.

Az erő vektoriális fizikai mennyiség, és mint ilyent a nagysága, iránya és irányítása határozza meg.

Az erő mindig a testhez kapcsolódik, ezért a működés helye mindig a test valamelyik (általában az érintkezési) pontjával esik, egybe. Éppen ezért az erőt, mit fizikai mennyiséget helyhez kötött vektornak tekintjük. Ez a megjegyzés azért lényeges, mert a matematikai vektoroknak nincs támadáspontjuk, csak nagyságuk, irányuk és irányításuk, tehát önmagukkal párhuzamosan eltolhatók. Az erőt a vektora és a támadáspontja együttesen határozza meg. Azt az egyenest, amelyen az erő hat, hatásvonalnak nevezik.

A statikában általában csak a vizsgált testet ábrázoljuk, és a ráható többi test helyett csupán a hatásuknak megfelelő erőket tüntetjük fel.

Az erő megadásakor célszerű az irányt külön e egységnyi hosszúságú, úgynevezett egységvektor segítségével kijelölni.

Az egységvektor bevezetésével az erő vektora a következőképen írható fel:

6

eFF ⋅= (2.1)

Ha az erő támadáspontját tekintjük, akkor a természetben előforduló erőket a következőképpen

csoportosíthatjuk: koncentrált erő, vonalmenti erő, felületmenti erő , térfogati erő , közös ponton támadó erő , szétszórt erő , párhuzamos erők , belső erők és külső erők.

2.1 ábra: erők osztályozása támadáspontjuk szerint Forrásanyag: [ 3, 28 oldal]

Koncentrált erő a testek pontszerű érintkezésénél lép fel. A valóságban nem létezik pontszerű

érintkezés, és kiterjedés nélküli test, ezért a koncentrált erő fogalma csak megközelítő modellt jelent. Használata mégis ajánlott, mert a közelítés a legtöbb esetben jó eredményt hoz. Az eredmény annál jobb, minél kisebb, az érintkezési felület.

A valóságos testek érintkezése mindig egy adott felület mentén történik. Ha az érintkezési felület egyik irányban kis kiterjedésű, akkor egyenes, vagy vonal mentén ható erőkről beszélünk.

A természetben leggyakrabban előforduló súlyerő a test minden pontjára hat. Az ilyen erőket térfogati, vagy tömegerőknek nevezzük.

Ha az erők támadáspontja mellett az irányt is figyelembe vesszük, akkor megkülönböztetünk közös ponton támadó különböző irányú erőket. Ez az eset akkor jelentkezik, ha a tanulmányozott anyagi pontra egyidejűleg több test hat. Általános esetben az erők különböző pontokban hatnak a testre. Különleges esetben az erők iránya párhuzamos lehet, ekkor párhuzamos erőrendszerről beszélünk. Ha az erők iránya különböző, szétszórt erőrendszerről beszélünk. Ha az összes erő egy egyenesben hat,

7

közös hatásvonalú erőrendszerrel állunk szemben. Síkbeli erőrendszerről akkor beszélünk, ha az erők mind egy síkban hatnak.

A legtöbb esetben azonban tetszőlegesek az erők, és ez esetben az erőrendszer a térbeli erőrendszer nevet viseli.

Valamely test tanulmányozásakor az idegen testek hatását külső erőknek nevezzük. A test mértani viszonyait feltüntető, úgynevezett szerkezetábrán az áttekinthetőség kedvéért nem

szokás az erőket léptékhelyesen berajzolni, ezt külön végezzük el Ha a test egyszer egy, máskor egy másik erőrendszer hatására marad nyugalomban, akkor a

nyugalom szempontjából a két erőrendszer egyenértékű.

2.3. Anyagi pont statikája A tanulmányozás kiindulópontjaként tételezzük fel, hogy az anyagi pont nyugalomban található,

és csak ezt követően hatnak rá az erők. Ha az anyagi pontra egyidőben az ,, 21 FF ,..., iF ,..., nF n erő hat, akkor Newton I tőrvénye

értelmében a nyugalom feltétele:

01

==∑ FFn

i

(2.2) Amennyiben a fenti feltétel nem teljesedik be, az anyagi pont nem maradhat nyugalomban. Ilyen

esetben az erők együttes hatása Newton törvénye értelmében megegyezik az eF vektorú erővel, amelyet eredő erőnek nevezünk. Mivel az eredő erőnek ugyanaz a hatása a pontra, mint az egyes erőkből felépülő rendszernek, ezért azt mondjuk, hogy az eredő eF erő egyenértékű az iF összetevőkből álló erőrendszerrel, illetve az erőrendszert helyettesíti az eredő.

Eredő alatt a vizsgált erőrendszerrel egyenértékű, legegyszerűbb erőrendszert értjük, azaz a

statikában egyetlen eF erőt. A statika egyik alapvető kérdése, hogyan lehet egy nem erőegyensúlyi rendszert kiegyensúlyozni

egyetlen eF erővel. Matematikailag:

0=+ eFF (2.3)

Innen:

FFe −=

(2.4) A fentiekből kitűnik, hogy a kiegyensúlyozó erő az eF erővel ellentétesen megegyezik, tehát

csak előjelben különbözik, támadáspontja ugyancsak az anyagi pont. Két erőrendszer kiegyensúlyozza egymást, ha eredőjük ellentétesen azonos, tehát csak előjelben

különböznek. 2.3.1. Közös hatásvonalú erők Ha egy adott anyagi pontra ható erők mind egy egyenesbe esnek, akkor közös hatásvonalú,

közös ponton támadó erőrendszerről beszélünk. A következő eseteket különböztetjük meg:

8

a. Egyetlen erő Ha egyetlen F hat az anyagi pontra, akkor nem lehet egyensúly, ugyanis:

(2.5)

Az eredő erő ez esetben maga az F erő. A kiegyensúlyozó erő:

FFe −=

(2.6) b. Két erő A két erő hatására létezhet nyugalmi állapot. Ennek feltétele:

021 =+FF (2.7)

Ezt az összefüggést még a következő képen fejezhetjük ki:

21 FF −= (2.8)

A fenti felírásmódból észrevehető, hogy ha két erő egyensúlyáról beszélünk, akkor a két erő

egymással ellentetten egyenlő, tehát csak előjelben különböznek egymástól. Két, közös ponton támadó erő akkor van egyensúlyban, ha közös a hatásvonaluk, nagyságuk

azonos, de ellentétes irányításúak. Ha két erőre nem teljesül az egyensúly feltétele, azaz:

021 ≠=+ FFF , (2.9)

akkor az erőrendszer egyenértékű ezzel az F erővel, amelyet eredő erőnek nevezünk. Két erőből álló rendszert az eredő meghatározásával visszavezethetjük egy erőre. A

kiegyensúlyozást a következő képen végezhetjük:

( )21 FFFFe +−=−= (2.10)

2.3.2. Tetszőleges számú erő Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erő hat, akkor az egyensúlynak a következő feltétele:

01

==∑ FFn

i

(2.11) A fenti képlet szerint, ha az erővektorokat egymás után léptékhelyesen felmérjük, akkor a kezdő

és a végpont egybeesik. A vektorábra záródása azt jelenti, hogy az erők egyensúlyban vannak.

0≠F

9

Ha az erők összege

01

≠=∑ FFn

i

(2.12) akkor a képlet az eredő nagyságát mutatja. Az eredőt szerkesztéssel úgy határozhatjuk meg, hogy egy egyenesen felmérjük az

erővektorokat. A kezdő és végpontot összekötő vektor az eredő vektor. Az erők sorrendje az összeadásnál vagy szerkesztésnél közömbös.

A rendszer kiegyensúlyozása a következő képlet segítségével történik:

01

==∑ e

n

ix FF

(2.13) 2.3.3. Síkbeli erők Síkbeli erőkről abban az esetben beszélünk, ha az összes, közös ponton támadó erő hatásvonala

ugyanabban a síkban fekszik. a. Két erő Két erő hatására az anyagi pont csak akkor maradhat nyugalomban, ha közös hatásvonalúak, és

teljesül a:

021 =+ FF (2.14)

feltétel. Ha a két erő nem esik egy egyenesbe, akkor helyettesíthető egyetlen erővel, amelyet

eredő erőnek nevezünk, és amelynek támadáspontja ugyanaz az anyagi pont. Meghatározására a következő képlet használatos:

FFF =+ 21 Szerkesztéssel az erővektorokat kétféle képen összegezhetjük: 1. Sokszög (poligon) módszer. A szerkesztés ebben az esetben a következő képen történik: Léptékhelyesen lerajzoljuk az első

vektort. A vektor végpontjára (támadópontjára) ugyancsak léptékhelyesen megszerkesszük a következő erővektort. Ha összekötjük az első vektor kezdőpontját a második vektor végpontjával, megkapjuk az eredővektort.

Megjegyzés: A fenti módszer bármely számú erőrendszerre alkalmazható, a leírt szabály figyelembe vételével. A módszer elvét kér erővektor esetében a következő ábra szemlélteti:

10

2.2 ábra: két erő összegezése a sokszög módszerrel

2. Paralelogramma módszer A módszer elve a következő: a két erővektort léptékhelyesen, önmagukkal párhuzamosan

elcsúsztatva közös kezdőpontba hozzuk. Ezután, a két vektor végpontjából a másik vektor irányával párhuzamosakat szerkesztünk. A két vektor közös kezdőpontját összekötve a két párhuzamos metszéspontjával, megkapjuk az eredő erőt.

Megjegyzés: A módszer kiterjeszthető több erőre is, úgy, hogy az első kettő eredőjével és a harmadik erővel megismételjük a szerkesztést, az új eredővel a negyedik erőt párosítjuk, stb., az utolsó erővel megkapjuk végül a rendszer eredőjét.

A módszer elvét két erő esetében a következő ábrán szemléltetjük: .

2.3 ábra: két erő összegezése a paralelogramma módszerrel

c. Három erő Három erő egyensúlyát a fent említett két eljárás keretében megtárgyaltuk. Három erő hatására az anyagi pont akkor marad nyugalomban, ha teljesedik a következő feltétel:

0321 =++ FFF (2.16)

Szerkesztés szempontjából ezzel egyenértékű az, hogy a három erő vektora folytonos nyílfolyammal záródó vektorháromszöget alkosson, a következő ábra szerint:

2.4 ábra: három erő összegezése a sokszög módszerrel

Forrásanyag: [ 3, 40 oldal]

11

Az erők felmérésének sorrendje ez esetben is közömbös. A mennyiben az: 0321 =++ FFF összefüggés nem áll fenn, akkor a három erő nincs

egyensúlyban, a vektorháromszög nem záródik. Ebben az esetben a három erő összege éppen az F eredő erő vektorát adja:

FFFF =++ 321

(2.17) A vektorsokszög két erő összegezésének alapján állítható elő, úgy, hogy 21 FésF megadja 12F ,

ehhez hozzáadva az3F -at megkapjuk az F

eredő erőt:

321312 FFFFFF ++=+=

(2.18) Grafikusan az eredő erő megszerkesztését a következő képen végezzük:

2.5.ábra: az eredő erő megszerkesztése

Az eredő erő meghatározása után az eredeti erőrendszert visszavezettük egyetlen erő esetére (eredő erő),

Ennek megfelelően az egyensúlyozó erő :

FFe −= (2.19)

d. Tetszőleges számú erő Tetszőleges számú erő esetében az egyensúly feltétele a következő:

01

==∑ FFn

i

(2.20) ami azt jelenti, hogy a vektorösszeg zérus kell legyen. A következő ábrán bemutatjuk öt erő összegezésének a végrehajtását:

12

2.6 ábra: több erő összegezése

Forrásanyag: [ 3, 42 oldal]

2.4 Síkbeli erőrendszerek redukálása grafikus eljárásokkal Az erőrendszerek grafikus redukálását gyakran használják a technikában. A módszer előnye a

gyorsasága, a pontosságát azonban lényegesen befolyásolja a szerkesztések méretpontossága. Tekintsük a következő ábrát, amely az F1, F2, F3 és F4 erőkből álló síkbeli erőrendszert ábrázol

(2.7. ábra)

13

2.7 ábra: síkbeli erőrendszer redukálása kötélsokszöggel (a. ábra) illetve erősokszöggel (b. ábra) Forrásanyag: [ 8, 120 oldal]

Felvesszük az kF léptéket az erők berajzolásához, és a kl léptéket, az erők tartóegyeneseinek

megszerkesztését. Az erő- illetve kötélsokszög megszerkesztésének a következők a lépései: Egy adott, tetszőlegesen választott A1 pontból megkezdjük az erősokszög szerkesztését (2.6.b.

ábra) A választott pontba felrajzoljuk az F1 erőt, méretazonosan és párhuzamosan az eredeti erővel. Az F1 erő végpontjába, amit A2 ponttal jelöltünk, ugyanúgy megrajzoljuk az F2 erőt, és így folytatjuk tovább, amíg mind a négy erőt felvesszük. Az utolsó, tehát az F4 erő végpontját A5 –el jelöljük Az A1A5 vektor nagyságban megegyezik a síkbeli erőrendszer R eredőjével, tartóegyenese pedig párhuzamos az eredő tartóegyenesével

Az eredő tartóegyenese helyzetének meghatározására egy új szerkesztést használunk. A szerkesztés a kötélsokszög nevet viseli. A szerkesztés céljából az erősokszög síkjában felveszünk egy tetszőleges, pólusnak nevezett O pontot. A pontot összekötjük az erősokszög A1, A2, …,A5 pontjaival. Az OA1 szakaszt 0-val, Az OA2-öt 1-el, OA3-t 2-vel. OA4-et 3- al, míg az OA5- öt 4 –el jelöltük az ábránkon. Az a. ábrán felveszünk egy tetszőleges M pontot, Innen párhuzamost húzunk az 1-el, amíg metszi az F1 erőt, vagy tartóegyenesét. A metszéspontot B1-el jelöljük. Ebből a pontból új párhuzamost húzunk a 2- vel, míg metszi az F2 erőt, vagy tartóegyenesét, ez lesz a B2 pont. A folyamatot tovább folytatjuk, az utolsó szakasz a B4N lesz. Meghosszabbítjuk az MB1 és B4N szakaszokat, a metszéspontjukat P-vel jelöljük. A P pontot keresztül párhuzamost húzva az A1A5-el, megkapjuk az eredő erő tartóegyenesét, amire felmérve az A1A5 szakasz méretét, megkapjuk az eredő erő nagyságát. Az MB1B2B3B4N sokszöget kötélsokszögnek nevezzük.

.

2.5 Erőnyomatékok és redukálásuk

2.5.1 Erő nyomatéka pontra nézve Az erő nyomatékát a pontra nézve két okból vezették be a mechanikába, éspedig: - egy erőt amely egy szilárd merev testre hat, nem lehet csak a tengely szerinti vetületei alapján

meghatározni, ugyanis az erő egy csúszóvektor. -a nyomaték az erő azon kapacitása, hogy képes forgatni a testet egy tengely körül, amelyik

áthalad a test egy adott pontján. A fenti meghatározás értelmében egy erőt meghatároz a tengelyek szerinti vetületei és az

origóhoz viszonyított forgató nyomatéka. Értelmezés szerint, egy erő nyomatéka egy ponthoz (amit pólusnak nevezünk) viszonyítva

egyenlő az erő és a ponttól való távolság vektoriális szorzatával. Az erőnek a távolságát a ponttól helyzetvektornak nevezzük. Tekintsük a következő ábrát, ahol az F erő nyomatékát számítjuk az Oxyz koordinátarendszer

origójához képest.

14

2.8 ábra: erő nyomatéka ponthoz viszonyítva Forrásanyag: [ 8, 79 oldal]

A nyomaték meghatározására a következő képlet használatos:

( ) FrFM o ×= (2.21)

Egy erő nyomatékának egy ponthoz viszonyítva a következő jellemzői vannak: a. A nyomaték egy, az O ponthoz kötött vektor, iránya merőleges az erő, és a

helyzetvektora alkotott síkra. b. Irányítása az amelyben az erő, a helyzetvektora és a nyomaték egy tetraédert alkotnak.

Meghatározása a jobb kéz szabállyal történik c. A nyomatékvektor modulusa egyenlő az erő, és az O pontból az erő tartóegyenesére

húzott merőleges méretének a szorzatával, azaz:

( ) dFFrFM o =×= αsin (2.22)

A nyomaték mértékegysége: a newton-méter (N.m) Az erő nyomatéka egy pontra nézve a következő négy tulajdonsággal rendelkezik: 1. A nyomaték értéke zérus, ha az erő hatásvonala áthalad a póluson 2. Az erő nyomatéka a pontra nézve nem váltakozik, ha az erő elcsúszik a saját hatásvonalán A kettes tulajdonságból két következtetést vonhatunk le: - Egy erő nyomatéka egy pontra nézve ugyanaz, függetlenül attól, hogy az illető erő egy

kötött, vagy csúszóvektor - A nyomaték meghatározására adott meghatározást úgy módosíthatjuk, hogy az r

helyzetvektor nem feltétlenül az erő támadáspontjának kell a helyzetvektora legyen, hanem az erő hatásvonalán bármely tetszőleges pontnak.

3. Egy erő nyomatéka az erő hatásvonalával párhuzamosan elhelyezkedő pontokhoz képest, ugyanakkora irány, irányítás és modulus szempontjából, és csak a támadási pont szerint különbözik.

4. Egy erő nyomatéka egy adott ponthoz képest megváltozik, ha megváltozik az adott pont helyzete.

15

2.5.2 Az erő nyomatékának pontra nézve való analitikus meghatározása Tekintsük az előbbi ábra (2.8 ábra) szerinti F erőt, amely az A pontban hat, helyzetvektora pedig

az O ponthoz képest: r Az F erőnek a tengelyek szerinti vetületei: ( az A pont koordinátái: xA , yA , zA , )

kFjFiFF zyx ++= (2.23)

Analóg módon felírhatjuk az r helyzetvektor vetületeit is:

kzjyixr AAA ++= (2.24)

Az Mo nyomatékot még a következő képen írhatjuk fel:

(2.25)

(2.26)

(2.27)

Ha az erő, és a pólus az xOy síkban találhatók, a nyomatékvektor iránya az Oz tengely, és értéke:

( ) ( )xAyAo FyFxFM −= ,

(2.28) és egyetlen összetevője van:

== oy MM xAyA FyFx −

(2.29)

2.5.3 Erő nyomatéka tengelyhez viszonyítva Egy erő nyomatéka egy adott ∆ tengelyhez viszonyítva, egyenlő az erő egy tetszőleges, a ∆

egyeneshez tartozó pontjához viszonyított nyomatékának az egyenesre eső vetületével. Az erő nyomatékát a 2.9 ábra segítségével tanulmányozzuk

xAyAz

zAxAy

yAzAx

FzFyM

FzFyM

FzFyM

−=

−=

−=

16

2.9 ábra: erő nyomatéka tengelyhez viszonyítva Forrásanyag: [ 8, 83 oldal]

( ) ( ) ( )FruFMuFMprFM ×=== ∆∆ 00 )(

(2.30)

Az erő nyomatéka egy adott tengelyhez viszonyítva a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a. A nyomaték zérus, ha az erő tartóegyenese és a tengely egy síkba esnek A tulajdonságot azzal indokoljuk, hogy a vegyes szorzat három esetben zérus: - az erő tartóegyenese párhuzamos a tengellyel - az erő tartóegyenese metszi a tengelyt - az erő tartóegyenese egybeesik a tengellyel b. A nyomaték nem változik, ha az O pont elmozdul a tengelyen c. A nyomaték változatlan marad, ha az erő elcsúszik a saját tartóegyenesén. A gyakorlatban az erő nyomatékát a ∆ tengelyre nézve a következő képen számítjuk ki. - Általában az erő támadáspontjából egy merőleges síkot bocsátunk a ∆ tengelyre - levetítjük az erőt erre a síkra - Legyen az o pont a sík és a ∆ egyenes metszéspontja. Kiszámítjuk az erő nyomatékát az O

pontra nézve. - Meghatározzuk a kiszámított nyomaték irányítását. Ha a forgatás irányítása megegyezik az

óramutatók járásával akkora a nyomaték negatív, ha az óramutatók járásával ellentétes a forgatás, a nyomaték pozitív előjelű.

17

Gyakorlatok 1. Téglalap alakú testre az alábbi ábrán feltüntetett három erő hat. Az erők az Ox, Oy

illetve az Oz tengely mentén hatnak. Milyen legegyszerűbb erővel helyettesíthető az erőrendszer, és milyen lesz az iránya?

Adottak: F1 = 20 N F2 = 40 N F3 = 50 N

2.10 ábra: az erőrendszer

Megoldás: A legegyszerűbb erő egyetlen erő lesz, amelynek hatásvonala áthalad az origón. Figyelembe véve, hogy az erők hatásvonala egymásra merőleges, az eredő erő nagyságának a

kiszámítására a következő képletet használhatjuk:

F = 23

22

21 FFF ++ = 50 40 20 222 ++ = 67 N

Az eredő erő irányának a kiszámítására a következő képleteket használjuk:

cos α1 = F1 / F = 20 / 67 = 0,30 α1 = 1,26 rad cos α2 = F2 / F = 40 / 67 = 0,60 α2 = 0,92 rad cos α3 = F3/F = 50 / 67 = 0,75 α3 = 0,72 rad

2. Egy szerkezetre az alábbi ábra szerint megrajzolt erők hatnak. Az erők, illetve a megadott távolságok függvényében határozzuk meg a támaszokban fellépő reakciók nagyságát!

18

2.11 ábra: a szerkezetre ható erőrendszer

A feladat adatai a következők: F1 = 100 N, α1 = 30o , F2 = 200 N, α2 = 45o. F3 = 100 N, AB = BC = CD = DE = 1 m. Megoldás

Az első lépésben felírjuk az egyensúly általános feltételeit:

Σ Fix = 0

Σ Fiy = 0

Σ MA = 0

Σ ME = 0 A számítások megkönnyítése végett, előszőr kiszámítjuk az erők vízszintes, és függőleges összetevőit, a következő képpen: (az eredményeket táblázatba foglaljuk össze)

Az F1 erő szétbontása a következő képen történik:

Fix N Fiy N F1 86,0625 -50 F2 0 -200 F3 - 70,7106 - 70,7106

19

2.12 ábra: az F1 erő szétbontása

cos α1 = F1x / F1

Innen: F1x = F1 . cos α1 = 100 x cos 30o = 100 x √ 3 / 2 = 86,6025 N

F1y = - F1 . sin α1 = -100 x 1 / 2 = -50 N

Az F2 -öt elemezve azonnal észleljük, hogy: F2x = 0

F2y = F2 = -200 N

Az Az F2 erőt a következő ábra segítségével bontjuk alkotóira

2.13 ábra: az F2 erő szétbontása

Az első erő szétbontásánál használt algoritmust követve kapjuk:

F2x = -F2 .x cos α3 = 100 x cos 45o = 100 x √ 2 / 2 = - 70,7106 N F2y = - F2 x sin α3 = -100 x sin 45o = 100 x √ 2 / 2 = - 70,7106 N

A következő lépésben rátérünk az egyensúlyi feltételek egyenkénti megoldására:

Σ Fix = 0

20

RAV + F1X + F3X = 0 , innen:

RAV =- F1X - F3X = -86,0625 + 50 = -30, 0625 N

Az eredményül kapott negatív érték azt jelenti, hogy ábránkon a vízszintes irányban felvett reakció

irányítása rossz, tehát meg kell cserélni!

Tehát: RAV =-30, 0625 N

Σ Fiy = 0

Felírva az egyensúlyi egyenletet:

RAf - F1y –F2 – F3y + FEf = 0, majd az értékeket behelyettesítve kapjuk: RAf - 50 – 200 – 70,7106 + REf = 0, innen:

RAf + REf = 320,7107 N

Ezt az részleteredményt felhasználjuk a továbbiakban a végeredmény helyességének

ellenőrzéséhez.

Σ MA = 0

Felírjuk az A pontra a nyomatékképletet:

-F1Y x AB – F2Y x AC–F3Y x AD + REf x AE = 0 innen: REf = (F1Y x AB + F2Y x AC + F3Y x AD) / AE, tehát:

: REf = ( 50 x ¼ + 200 x ½ + 70,7106 x ¾ ) / 1 = 165, 5395

REf = 165, 5395

Felírva a E pontra is a nyomatékképletet:

Σ ME = 0

A képletet kifejlesztve kapjuk:

F3Y x ED + F2Y x EC + F1Y x EB – RAf x EA = 0, innen

RAf = (F3Y x ED + F2Y x EC + F1Y x EB) / EA

RAf = (70,7106 x ¼ + 200 x ½ + 50 x ¾ ) / 1 = 155,1776 N

RAf = 155,1776 N

Ellenőrzés:

21

VAf + VEf = 165, 5395 + 155,1776 N = 320,7171 N

Az eltérés : 0,0064 N, tehát számításaink helyesek.

3. Határozzuk meg az alábbi ábrán vázolt kéttámaszú tartó támasztóerőit szerkesztéssel!

2.14 ábra: párhuzamos erőkkel terhelt kéttámaszú tartó Forrásanyag: [ 3, 95 oldal]

Adottak: F1 = 1500 N F2 = 1000 N F3 = 2000 N F4 = 2400 N F5 = 2100 N

Erőmérték: az ábrán Hosszmérték: az ábrán Megoldás:

Az ábra szerint a támasztásokon függőleges erők ébrednek. Első lépésben helyezzük az FA-t az F1 elé, az FB-t pedig F3-után. Ha szerkesztésünk helyes, akkor az FA kezdőpontját kijelölő k pont az FB végpontját kijelölő v

ponttal egybe kell essék, ugyanis csak ebben az esetben záródik a vektorsokszög. Ez az egybeeső k és v pont még hiányzik. A kötélsokszögből megszerkeszthetők az F 1, F 2 és F 3 erőkkel érintkező oldalak. Ezt úgy

érjük el, hogy a vektorábrában megrajzoljuk a sugarakat. Az α ponton átmenő, és az F A –t megelőző, valamint a β ponton átmenő, és az F B –t követő, oldal hiányzik. Észrevehetjük azonban, hogy ezek az első, és utolsó kötéloldalak, amelyek egyensúly esetén egybe kell, hogy essenek.

22

Így tehát az α és β összekötő egyenese jelöli ki a keresett z záróoldalt a kötélsokszögben. Ezzel párhuzamost húzva megkapjuk a keresett k és v pontokat, melyek kijelölik az F A és F B

erővektorokat.

3. Fejezet

3.1 Tömeggeometria Minden anyagi részecske, amely a Föld felszínén, vagy attól egy bizonyos távolságra

tartózkodik, a Föld gravitációs erőterének van alávetve. Ez a gravitációs erőtér a vonzóerőn keresztül materializálódik:

gmG ⋅= (3.1)

amelyet gravitációs erőnek, vagy egyszerűen súlynak nevezünk. Észrevehető, hogy ez az erő a tömeg, és a gravitációs gyorsulás függvénye. A gravitációs

gyorsulás értéke attól függ, hogy az anyagi részecske a Föld milyen pontján található, így az egyenlítőnél g = 9,781 m/s2 ,a sarkokon: g = 9,831 m/s2 , Bukarestben: g = 9,806 m/s2, stb. Az irányt illetően, a gravitációs gyorsulás iránya a Föld középpontja fele mutat.

Tekintsük a következő: A1, A2, A3,...,An anyagi pontokból álló rendszert szétszórva a Föld egy aránylag leszűkített övezetében. Az anyagi pontok tömege: m1, m2, m3,...,mn.

3.1 ábra: az anyagi pontra ható erőrendszer

Forrásanyag: [9, 80 oldal]

Esetünkben azt mondhatjuk, hogy ezek az erők gyakorlatilag párhuzamosak egymással. Az erők

eredője az anyagi rendszer súlya nevet viseli., és kiszámítására a következő képlet használható:

23

∑=

=n

iiGG

1

(3.2)

A párhuzamos erőrendszer támadási pontját az anyagi pontrendszer súlyközéppontjának

nevezzük. A súlyközéppont helyzetét adott koordinátarendszerhez képest a helyzetvektora adja meg,

amely a következő képlet segítségével határozható meg:

∑

∑

=

=

⋅=

n

ii

n

iii

c

G

Gr

r

1

1

(3.3) A súlypont koordinátáit egy Descartes.-féle koordináta rendszerben a következő képen

határozzuk meg:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

⋅=

⋅=

⋅=

n

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

c

G

Gzz

G

Gyy

G

Gxx

1

1

1

1

1

1 ;;

(3.4)

Meghatározás szerint az anyagi pontrendszer tömegeinek az összege adja a pontrendszer tömegét:

∑=

=n

iimM

1

(3.5) Ha az előbbi egyenletekben a Gi =mi gi helyettesítést végezzük, és figyelembe vesszük, hogy a

Föld egy adott pontjára a gravitációs gyorsulás értéke állandó, a következő kifejezésekhez jutunk:

gMmgGn

ii ⋅== ∑

=1

(3.6) Az előbbivel hasonló módon, a többi kifejezés is a következő képen fog módosulni:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅=

⋅

⋅⋅=

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

c

m

mr

gm

gmr

r

1

1

1

1

(3.7)

24

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

⋅=

⋅=

⋅=

n

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

c

m

zmz

m

ymy

m

xmx

1

1

1

1

1

1 ;;

(3.8)

3.1 Egy adott test súlyközéppontjának a meghatározása Tekintsük a következő, S testet, amely egy szilárd merev test, homogén és nem deformálható:

4. 2 ábra: szilárd merev homogén test súlyközéppontjának meghatározása Forrásanyag: [9, 82 oldal]

Tekintsük a testből egy ∆V i nagyon kis térfogatú részecskét, amelynek tömege ∆mi

tömegközéppontja Ci és helyzetvektora ri. Az Oxyz koordinátarendszerhez viszonyítva. Tegyük fel, hogy az anyagi rendszer n számú ∆mi részecskéből épül fel.

A súlyközéppont mértani helyének a meghatározására a következő kifejezés használatos:

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

c

m

mrr

1

1

(3.9)

Amennyivel nagyobb az elemzésbe vett ∆mi anyagi pontok száma, annál pontosabb a súlyközéppont helyének a meghatározása.

A pontos helyet úgy határozzuk meg, hogy az előbbi képletben n-et végtelen nagynak tekintjük, és határértéket számolunk, azaz:

25

∫∫=

dm

dmrrc

(3.10) Az előbbi képlet figyelembe vételével, a súlyközéppont koordinátái a következő képen alakulnak

∫∫

∫∫

∫∫ ===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx ccc ;;

(3.11)

3.2. A súlyközéppont tulajdonságai A súlyközéppont a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. A súlyközéppont helyzete nem függ a rendszer helyzetétől a koordinátarendszerhez képest

2. A súlyközéppont helyzete nem változik, ha a rendszert alkotó anyagi pontok összességének a tömege ugyanolyan arányban növekszik vagy csökken

3. A súlyközéppont konvex felületek esetében mindig a felület belsejében található

4. Ha egy rendszer összes anyagi pontja egy egyenesen található, akkor a rendszer súlyközéppontja is ugyanazon az egyenesen található

5. Ha egy rendszer összes anyagi pontja egy síkban található, akkor a rendszer súlyközéppontja is ugyanabban a síkban található

6. Ha az anyagi pontokból álló rendszernek létezik egy szimmetria pontja, egyenese vagy síkja, akkor a rendszer súlyközéppontja ezen a szimmetria egyenesen illetve síkon található, vagy azonos a szimmetria ponttal.

7. Ha egy rendszer p számú (S1), (S2), (S3),..., (Sp) alrendszerből tevődik össze, M1, M2,

M3,..., Mp, és ismertek a C1, C2, C3,..., Cp súlyközéppontjaik, akkor a rendszer súlyközéppontjának a helyét a következő képlet segítségével határozhatjuk meg:

p

cpcc

c MMM

rMrMrMr p

+++

+++=

…

…

21

21 21

(3.12) 8. Ha egy anyagi pontból álló rendszer olyan felépítésű, hogy az (S) rendszer lényegében

egy (S1) rendszerből áll, amelyikből hiányzik az (S2) rendszer, és ha ismert a két rendszer M1 és M2

tömege, illetve a két, C1, C2, súlyközéppontja, akkor a rendszer súlyközéppontjának a meghatározását a következő képlet segítségével végezhetjük:

21

21 21

MM

rMrMr ccc −

−=

(3.13)

3.3 A sűrűség (térfogati, felületi és lineáris)

26

A ∆mi / ∆V i arányt a ∆V i térfogat közepes sűrűségének nevezik, és a határt, amely felé tart ez az érték, abban az esetben, ha a ∆V i értéke tart a zéró fele, térfogati, vagy volumetrikus sűrűségnek.

dv

dm

v

m

i

i

vv

i

=∆∆

=→∆ 0

limρ

(3.14)

Azokat a testeket esetében, amelyeknél az egyik méret , -a vastagság- elhanyagolható a másik két mérethez képest, lemezeknek nevezzük. Az ilyen testek esetében felületi sűrűségről beszélünk, amelyet a következő képlet segítségével határozunk meg:

dS

dm

S

m

i

i

ss

i

=∆∆=

→∆ 0limρ

(3.15) Abban az esetben ha az elemzett tárgy egy rúd, vagy szál, azaz a keresztmetszetének a méretei

elhanyagolhatóak, lineáris, vagy vonalszerű sűrűségről beszélünk, és a következő képletet alkalmazzuk:

dl

dm

l

m

i

i

vl

i

=∆∆=

→∆ 0limρ

3.16) Egy test össztömegét a következő képlet segítségével határozzuk meg:

∫= dmM

3.17

Gyakorlat.

1. Az alábbi ábra szerinti homogén lemezt felfüggesztjük az A pontban, és hagyjuk, míg a gravitációs erő hatására egyensúlyi állapotba kerül. Határozzuk meg a φ szöget, amelyet az AB átmérő zár be a vízszinttel A lemez méreteit a következő ábrán szemléltettük.

27

3.3 ábra: az A pontban felfüggesztett homogén lemez Forrásanyag: [9, 109 oldal]

Megoldás Egyensúlyi állapotban a lemez C(xc, yc) súlyközéppontja azon a függőleges egyenesen található,

amely tartalmazza az A felfüggesztési pontot.. Ennek a pontnak a koordinátáit az xAy koordinátarendszerhez viszonyítva, a következő képen határozzuk meg:

x c = (x2S2 - x1S1 + x3S3) / S2 - S1 + S3)

x c = (y2S2 - y1S1 + y3S3) / S2 - S1 + S3)

Az ábrából észrevehető, hogy:

tg φ = x c / x c = (x2S2 - x1S1 + x3S3) / (y2S2 - y1S1 + y3S3)

A következő lépésben meghatározzuk S1, S2 és S3 értékét. Az ábrán látható síkidomot szétbontjuk 3 egyszerű mértani idomra. Az első idom egy r = 5 cm sugarú félkör, amely lényegében hiányzik az idomból, a képletben ezért

szerepel negatív értékkel. A második idom egy fél kör melynek sugara rk = 9 cm, A harmadik idom egy a = 4cm oldalú négyzet. A fenti kiegészítésekkel:

S1 = π. r2 / 2 = π. 52 / 2 = 25 π / 2 cm2

S2 = π rk

2 / 2 = π 92 = 81 π / 2 cm2

S3 = a2 = 42 = 16 cm2

A három idom súlyközéppontjainak koordinátái:

x1 = x2 = 5 cm, x3 = 12 cm

y1 = 20 / 3 π cm , y2 = 36 / 3 π cm , y3. = -2 cm

Elvégezve a behelyettesítéseket, kapjuk:

tg φ = x c / x c = (5 x 81 π / 2 - 5 x 25 π / 2 + 12 x 16) / (36 / 3 π x 81 π / 2 - 20 / 3 π x 25 π / 2 - -2 x 16) = 1,704553 Innen adódik:

φ = 59o 38/ 17//

28

4. Fejezet B. Kinematika

4.1 Az anyagi pont kinematikája Az előadás keretében az anyagi pont mozgását tanulmányozzuk, anélkül, hogy figyelembe

vennénk a mozgást előidéző erőrendszereket. Azon pontok mértani helyét, amelyeket egymásután elfoglal az anyagi pont a mozgása során,

pályának nevezzük. A mozgás tanulmányozása végett felveszünk egy M anyagi pontot, és egy rögzített Oxyz

koordináta rendszert, amelyben tanulmányozzuk az anyagi pont mozgását. Az anyagi pont a (C) görbe alakú pályán mozog. Az anyagi pont helyzetét bármely t időpontban meghatározza az x, y és z koordinátája.

4.1 ábra: az anyagi pont mozgása Forrásanyag: [9, 193 oldal]

29

Az M anyagi pont mozgásának ismeretéhez szükséges a mozgás paraméteres egyenleteinek az

ismerete. Ezek az egyenletek a következők:

x = x(t), y = y(t) és z = z(t) (4.1)

Amennyiben a mozgás síkban történik, az egyenletek:

x = x(t) és y = y(t) (4.2)

Amennyiben a mozgás síkjában felvesszük az O pontból és az O∆ egyenesből álló poláris rendszert a következő ábra szerint,

4.2 ábra: az anyagi pont mozgása poláris rendszerben Forrásanyag: [9, 194 oldal]

akkor a következő paraméteres egyenletekkel jellemezhetjük az anyagi pont mozgását:

r = r(t) és φ= φ(t) (4.3)

4.2 Az anyagi pont sebessége és mozgása a háromdimenziós térben Tekintsünk egy M anyagi pontot, amely a háromdimenziós térben mozog, egy görbe (C) pályán.

A mozgást a rögzített Oxyz koordináta rendszerhez hasonlítjuk. Tekintsük az anyagi pont M, illetve M1 helyzetét a (C) pályán. A két helyzetnek megfelelő időpont a t, illetve a t + ∆t időpontok. A ∆t idő

30

véges, de nagyon kis időt jelent. Legyen r és rrr ∆+= az M illetve M1 pontok helyzetvektorai. A ∆r az r helyzetvektor változása a ∆t időnek megfelelően.

Az anyagi pont sebességét a következő képlet segítségével határozhatjuk meg:

t

rvm ∆

∆=

(4.4) Ez a sebesség az M pont t időpontjának megfelelő középsebesség. Figyelembe véve, hogy az M pont mozgása a (C) pályán ismert, felírhatjuk:

s = s(t) (4.5)

A pillanatnyi sebességet a következő képlet segítségével számítjuk ki:

sv ɺ= (4.5)

A gyorsulást illetően felírhatjuk:

t

vam ∆

∆=

(4.6) A gyorsulást felírhatjuk a következő képen is:

rva ɺɺɺ == (4.7)

4.3 A gyorsulás és a sebesség összetevői A következő ábra egy anyagi pontot szemléltet, amelyik egy görbe alakú pályán (C) mozog. A

pont helyzetét az Oxyz rögzített koordináta rendszerhez képest az r helyzetvektor mutatja.

31

4.3. ábra: a gyorsulás és sebesség összetevői Forrásanyag: [9, 197 oldal]

A koordinátarendszer egységvektorai i, j és k. Az anyagi pont mozgását az Oxyz koordináta rendszerhez viszonyítva az:

x = x(t), y = y(t) és z = z(t) (4.8)

egyenletek adják. Figyelembe véve, hogy:

zkyjxir ++= (4.9)

32

A következő egyenleteket írhatjuk fel:

zkyjxir ɺɺɺ ++= (4.10)

Tehát a sebesség komponenseire a következő összefüggések érvényesek:

zvyvxv zyx ɺɺɺ === ;; (4.11)

Hasonlóképpen a gyorsulásra is felírhatjuk a következő összefüggéseket:

zkyjxia ɺɺɺɺɺɺ ++= (4.12)

Ez az összefüggés még felírható a következő formában is:

zyx akajaia ++=

(4.13) Tehát a gyorsulás összetevőire a következő összefüggéseket írhatjuk fel:

xa x ɺɺ= ; yay ɺɺ= ; zaz ɺɺ= Tehát ismerve a mozgás paraméteres egyenleteit, ha ezeket deriváljuk az idő szerint, akkor az

elsőrendű derivált a sebesség, míg a másodrendű derivált a gyorsulás egyenleteit adja. A pillanatnyi sebesség, illetve a pillanatnyi gyorsulás abszolút értékeit a következő képen

határozzuk meg:

222 zyxv ɺɺɺ ++=

(4.14) 222 zyxa ɺɺɺɺɺɺ ++=

(4.15) A szögek, amelyeket a sebesség, illetve a gyorsulás képez a koordinátarendszer tengelyeivel, a

következők:

cos α1 = vx /v cos β 1 = vy /v cos γ 1 = vz /v (4.16)

Gyakorlatok

1. Két út derékszögben metszi egymást az O pontban. Ugyanabban az időben a két úthoz tartozó A és B pontokból két személygépkocsi tart az útkereszteződés fele. A két jármű mozgása egyenletesen gyorsuló. Határozzuk meg azt az időpontot, amikor a két jármű közti távolság a minimális lesz.

33

4.4 ábra: a feladat grafikus ábrázolása

OA = x0 ; OB = y0

Megoldás Az A pontból kiinduló jármű mozgását leíró egyenlet:

x = x0 - (1/2) a1 t2

A B pontból kiinduló jármű mozgását leíró egyenlet:

y = y0 - (1/2) a2 t2

Az A’ és B’ pont közötti távolság:

A’B’ = 222 dyx =+

Ahol :

d2 = x2 + y2 = ( x20 + y2

0 ) - (x0a1

+ y 0a2)

t2 + (1/4) (a12 +a2

2) t4 innen:

d = t)a (a )4

1( t)ay a(x - ) y x( 42

22

12

201020 0

2 ++++

A minimális távolságot úgy kapjuk meg, hogy az elsőrendű deriváltat egyenlővé tesszük zéróval:

d(d) / dt = 0 = -2t(x0a1 +y0a2) + (a12 +a1

2) 2

4t t)a (a )

4

1( t)ay a(x - ) y x( 42

22

12

201020 0

2 ++++

Az A’B’ minimális szakasz megtételéhez szükséges időt a következő képen határozzuk meg:

(a1

2 +a22) t2 = 2(x0a1

+ y 0a2)

Innen kifejezzük a t időt:

t =)(

)ay a2(x

22

21

2010

aa ++

34

A t időnek megfelelő minimális távolság:

d = y0a1 - x

0a2 / ( a12 +a2

2 )

5. Fejezet

A szilárd merev test kinematikája 5.1 Bevezetés Az előadás során a szilárd, merev test mozgását fogjuk tanulmányozni az idő függvényében,

anélkül azonban, hogy figyelembe vegyük a mozgást előidéző erőrendszert. A merev szilárd test általános, vagy sajátos mozgást végezhet. Lényegében kétfajta egyszerű

mozgás létezik. Ezek a következők: -haladómozgás -forgómozgás egy rögzített tengely körül. A fenti két mozgás kombinációja eredményezi a

következő mozgástípusokat - forgóhaladó mozgás (csavarmozgás) -síkpárhuzamos mozgás -forgómozgás egy rögzített pont körül -általános mozgás

5.2 A merev test haladó mozgása Egy test haladó mozgást végez, ha a test egy adott szakasza a mozgás időtartama alatt

párhuzamos marad önmagával. Ha a mozgás iránya egy egyenes, egyenes vonalú haladó mozgásról beszélünk. Ha a mozgás iránya nem egyenes, görbe vonalú haladó mozgással állunk szemben. A következő ábrán egy merev test ( C ) görbe vonalú haladó mozgását szemléltetjük.

35

5.1 ábra: a merev test görbe vonalú mozgása Forrásanyag: [9, 223 oldal]

A test mozgását, egy rögzített O1x1y1z1 koordináta rendszerben tanulmányozzuk. A test

tömegében egy O pontot választunk, amit mozgó összehasonlítású pólusnak nevezünk. Ezen a ponton keresztül meghúzzuk az új Oxyz koordináta rendszert, amelynek tengelyei a mozgás bármely pillanatában párhuzamosak maradnak az eredeti O1x1y1z1 koordináta rendszer tengelyeivel.

A sebesség tanulmányozása céljából, a testben felveszünk egy tetszőleges M pontot. A helyzetvektorokat illetően felírhatjuk:

rrr += 101 (5.1)

Figyelembe véve: 0101 ; vrvr == ɺɺ és 0=rɺ , következik:

0vv =

(5.2) A fenti összefüggés azt mutatja, hogy a mozgásban lévő szilárd, merev test bármely pontjának

sebessége azonos. A gyorsulás meghatározásához a következő képen járunk el:

0;; 101 === rarar ɺɺɺɺɺɺ

(5.3) Innen kapjuk: 0aa = , tehát a mozgásban lévő merev test , bármely pontjának a gyorsulása

ugyanaz.

36

5.3 A merev test forgó mozgása egy rögzített tengely körül Egy szilárd merev test abban az esetben végez forgómozgást egy rögzített tengely körül, ha az

egész forgás időtartama alatt két pontja rögzített marad a térben. A fenti megfogalmazásból értelemszerűen adódik, hogy létezik, a két rögzített pont által meghatározott egyenes, ( ∆ ), amelynek az összes pontja rögzített marad a forgás ideje alatt.

A következő ábrán bemutatunk egy szilárd merev testet (C), amelyik forgómozgást végez egy rögzített tengely körül (∆).

5.2 ábra: merev test forgómozgása egy rögzített tengely körül Forrásanyag: [9, 229 oldal]

A szilárd test forgómozgását bármely pillanatban meghatározza a t idő, a forgási irány a tengely

körül és a szögsebesség. Ezt a három tényezőt egyértelműen meghatározza az ω forgási vektor, amelynek:

-a támadási pontját bárhol felvehetjük a (∆) forgási tengelyen. Az ilyen vektort csúszóvektornak nevezzük.

-a tartóegyenese maga a (∆) forgási tengely.

37

-a forgási irányítása olyan, hogy a külső megfigyelő, aki lábával az origóban, fejével az ω vektor végpontjában található, a forgás jobbról balra történik

Bármely pillanatban felírhatjuk: ( )tωω = . Az ω szögsebesség elsőrendű deriváltja az ε szöggyorsulás.. A két vektor irányítása azonos, ha a rendszer gyorsul, és ellentétes irányítású, ha lassul. Tehát felírhatjuk:

ωωε ɺ

==dt

d

(5.4) A sebesség meghatározásához választunk egy rögzített (∆) forgási tengelyt, és r-el jelöljük az M

pont helyzetvektorát. Berajzoljuk a t időpontnak megfelelő ω szögsebességet. A vektoriális összefüggés a következő:

rv ×= ω

(5.5) Azonban:

v = ω R (5.6)

az r×ω vektoriális szorzat felírható matematikailag:

Rrr ωαωω ==× sin

(5.7) Könnyen bebizonyítható, hogy bármely pontnak, amelynek a (∆) forgási tengellyel párhuzamos

egyenesen helyezkedik el, ugyanaz a forgási sebessége. A gyorsulás meghatározásához a következő kifejezésekből indulunk ki:

rvr ×=== ωεω ɺɺ ; (5.8)

A műveletek elvégzése után kapjuk:

( )rra ××+×= ωωε (5.9)

vagy:

( )rrra 2)( ωωε ×+×= (5.10)

Akárcsak a sebesség esetében, a gyorsulásra is felírhatjuk, hogy bármely pont gyorsulása, a melyik a forgástengellyel párhuzamos egyenesen helyezkedik el, ugyanaz.

5.4 A merev test forgóhaladó mozgása Egy szilárd merev test forgóhaladó mozgást végez, ha a mozgása egy rögzített (∆) egyenes menti

egyenes vonalú haladó, és ugyanazon (∆) tengely menti forgó mozgásból tevődik össze. Ezt másképen úgy is fogalmazhatjuk, hogy a a mozgás időtartama alatt a test két pontja mindig a (∆) egyenesen marad.

A mozgást a következő ábra segítségével tanulmányozzuk:

38

5.3 ábra: merev test forgóhaladó mozgása Forrásanyag: [9, 232 oldal]

Tekintsünk a (C) merev test egy tetszőleges O pontját, amely a (∆) tengelyen található. A test a

(∆) tengely körül forgóhaladó mozgást végez. Az O1 pont az O1x1y1z1 koordináta rendszer origója. Legyen a Ψ szög a (∆) tengelyt tartalmazó rögzített ( π1 ), és a mozgó, a (∆) tengelyt ugyancsak tartalmazó ( π ) síkok által meghatározott szög.

39

Ha egy adott, t időpontban ismert az O1 O = s távolság és a Ψ szög értéke, akkor a t időpontra egyértelműen meghatározható a merev test helyzete

Legyen vt a forgóhaladó mozgás sebességének haladó, illetve ω a forgó mozgás vr sebesség összetevője.

Az M pont sebességét úgy kapjuk meg, hogy a két sebességet összegezzük.

1rvr ×= ω (5.11)

Tehát:

ttr vrvvv +×=+= ω

(5.12) A továbbiakban kifejezzük az M pont sebességét a rögzített O1x1y1z1 koordináta rendszerhez

képest:

111111111 111

111

111

111 tztytxzyxzyx vkvjvi

zyx

kji

vkvjvi +++=++ ωωω

(5.13) A műveletek elvégzése után kapjuk: vx1 = ωy1 z1 – ωz1 y1 + vtx1

(5.14) vy1 = ωz1 x1 – ωz1 z1 + vty1

(5.15) vz1 = ωx1 y1 – ωy1 x1 + vtz1

(5.17)

A gyorsulás esetében is két összetevőről beszélünk: a haladó mozgás gyorsulásáról at, és a forgó

mozgás gyorsulásáról ar.

( ) 12

11 rrrar ωωωε −+×=

(5.18) tehát:

( ) ttr arrraaa +−+×=+= 12

11 ωωωε

(5.19) Ebben az esetben is kifejezzük az M pont gyorsulását a rögzített O1x1y1z1 koordináta

rendszerhez képest:

( )

( ) ( )111111

111111111

1111111112

111

111

111

111

111

tztytxzyx

zyxzyxzyx

akajaizkyjxikji

zyx

zyx

kji

akajai

+++++−++

+++=++

ωωωω

ωωωεεε

40

(5,20) A műveletek elvégzése után kapjuk:

ax1 = ε y1 z1 - ε x1y1 + ωx1(ωx1 x1 + ωy1 y1 + ωz1 z1) - ω2 x1 + aix1

(5.21)

ay1 = ε z1 x1 - ε x1z1 + ωy1(ωx1 x1 + ωy1 y1 + ωz1 z1) – ω2 y1 + aiy1 (5.22)

az1 = ε x1 y1 - ε y1x1 + ωz1(ωx1 x1 + ωy1 y1 + ωz1 z1) - ω2 z1 + aiz1

(5.23)

5.5 A szilárd merev test síkpárhuzamos mozgása Egy szilárd rest abban az esetben végez síkpárhuzamos mozgást, ha a mozgása egész időtartama

alatt három, nem egy egyenesbe eső pontja egy rögzített síkban marad. A következő ábrán bemutatunk egy (P) lemezt, amelyik síkpárhuzamos mozgást végez a (π)

rögzített síkban.

5.4 ábra: szilárd merev test síkpárhuzamos mozgása

Forrásanyag: [9, 241 oldal]

41

A t időpontban (abban a helyzetben, amelyikben az ábra mutatja) ismert: - A lemez egy adott A pontjának vA sebessége, ami egyben a mozgó koordináta rendszer

origó pontja is. - Az A pont körüli forgómozgás ω szögsebessége Célkitűzésünk az, hogy az adott t időpontban, határozzuk meg a (P) lemezhez tartozó bármely B

pont vB sebességét. E célból két koordináta rendszert választunk: a rögzített (π) síkhoz tartozó O1x1y1-et, és az Axy-

t, amely a (P) mozgásban lévő lemezhez van kötve. Az ábrát elemezve, felírhatjuk:

rAB += ρρ (5.24)

Figyelembe véve, hogy:

rrvv AABB ×=== ωρρ ɺɺɺ ;; , (5. 25)

kapjuk:

rvv AB ×+= ω , (5.26)

A fenti képlet megadja a (P) lemez bármely tetszőleges pontjának a sebességét, a vA és ω

függvényében, az adott t időpontban. Áthelyezve a B pontot a pillanatnyi I forgásközéppontba, amelynek a pillanatnyi sebessége zéró,

kapjuk:

10 rvA ×+= ω (5.27)

A fenti kifejezést megszorozzuk vektoriálisan az ω szögsebességgel. Figyelembe véve, hogy a szögsebesség és a helyzetvektor egymásra merőlegesek, kapjuk

21 ωω Av

r×

=

(5.28) Figyelembe véve hogy rAB += ρρ , Kapjuk:

2ωωρρ A

AI

v×+=

(5.29) Kivonva rvv AB ×+= ω kifejezésből a 10 rvA ×+= ω kifejezés, megkapjuk kapjuk a B pont

pillanatnyi sebességét:

2rvB ×= ω (5.30)

A test gyorsulását a következő ábra segítségével tanulmányozzuk:

42

5.5 ábra: a test gyorsulása

Forrásanyag: [9, 245 oldal]

A fenti ábrán bemutattunk egy (P) lemezt, amelyik síkpárhuzamos mozgást végez. Egy adott t

időpontban, (amelyben a lemez helyzetét ábrázoltuk), ismertek: -A lemez egy adott A pontjának aA gyorsulása, ami egyben a mozgó koordinátarendszer origó

pontja is. - Az A pont körüli forgómozgás ω szögsebessége, és az ennek megfelelő ε szöggyorsulás. Célkitűzésünk az, hogy meghatározzuk a mozgás bármely pillanatában a lemezhez tartozó

akármelyik B pontjának vB gyorsulását. És ugyanakkor megkeressük a lemez azon egyetlen J pontját, amelyre az adott t pontban a gyorsulás zérus értékű. Ez a kitűntetett pont a pillanatnyi gyorsulási pont, vagy a gyorsulási pólus nevet viseli.

Ebből a célból felvesszük a rögzített () síkhoz tartozó O1x1y1 koordináta rendszert, és a lemezhez kötött, tehát mozgó Axy koordináta rendszert.

A gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja, az alábbiak szerint:

43

rravav AABB ×==== ωεω ɺɺɺɺ ;;;

(5.31) A fentiek figyelembe vételével kapjuk:

rraa AB2ωε −×+=

(5.32) Áthelyezve B pontot a J pontba, amelynek a gyorsulása 0, kapjuk:

12

10 rraA ωε −×+= (5.33)

A fenti kifejezést beszorozzuk vektoriálisan az ε szöggyorsulással, és figyelembe véve, hogy: ε és r egymásra merőleges vektorok, kapjuk:

24

2

1 εωωε

++×

= AA aar

(5.33) azaz:

24

2

εω

ωερρ

+

+×+= AA

AJ

aa

(5.33) A fenti két egyenlet bármelyike meghatározza a gyorsulások pillanatnyi központjának pontos

helyét. A mozgó koordinátarendszer A origójának, az ω szögsebesség, illetve az ε szöggyorsulás függvényében.

Kivonva az rraa AB2ωε −×+= kifejezésből az 1

210 rraA ωε −×+= kifejezést, megkapjuk

a B pont pillanatnyi gyorsulásának a képletét:

22

2 rraB ωε −×= (5.34)

5.6. A merev test forgómozgása egy rögzített pont körül A következő ábrán bemutatunk egy (C) szilárd merev testet, amelyik forgómozgást végez egy

rögzített O1 pont körül.

44

5.6. ábra: forgómozgást mozgást végző szilárd merev test Forrásanyag: [9, 256 oldal]

Bármely test pontos, egyértelmű meghatározása a térben három, nem egy egyenesbe eső pontja segítségével történik, esetünkben az O1, A és B pontja segítségével.

Esetünkben a következő egyenleteket írhatjuk fel:

állandóC ==++ 11A2

1A2

1A2 z y x

(5.35)

állandóC ==++ 21B2

1B2

1B2 z y x

(5.36)

állandóC ==++ 32

1B 1A 2

1B1A2

1B1A ) z - z ( ) y - y ( ) x - x ( (5.37)

A test sebességét a következő ábra segítségével tanulmányozzuk:

45

5.7 ábra: a forgómozgást végző szilárd merev test

Forrásanyag: [9, 259 oldal]

A szilárd merev testhez tartozó M pont, amelynek helyzetvektora r az O1 rögzített ponthoz

képest, a következő sebességgel rendelkezik:

rv ×= ω

(5.38) Azonban:

( ) ϕϕω ɺ==

dt

td

(5.39) A v sebesség skaláris összetevői az Oxyz mozgó koordináta rendszerhez képest a következők:

vx = ωy z – ωz y

(5.40) vy = ωz x – ωx z

(5.41) vz = ωx y – ωy x

(5.42)

46

Az M pontot a pillanatnyi (∆) forgástengelyre helyezve, a sebesség zéróvá válik, és a sebesség skaláris összetevőinek képletéből a következő kifejezést kapjuk:

zyx

z

y

x

ωωω==

(5.43) A gyorsulás meghatározására a következő ábrát használjuk:

5.8 ábra: a gyorsulás meghatározása Forrásanyag: [9, 262 oldal]

47

A gyorsulás kifejezésére a következő képlet használatos:

ωε ɺ= (5.44)

A fentiek figyelembe vételével:

) r x ( x r x a ωωε +=

(5.45)

Ezt a kifejezést még a következő alakban is felírhatjuk:

r2 - ) r ( r a ωωωε +×=

(5.45)

5.7 A szilárd merev test általános mozgása A következő ábrán bemutatunk egy általános mozgást végző szilárd merev testet

48

5.9 ábra: általános mozgást végző merev test

Forrásanyag: [9, 269 oldal]

A mozgás tanulmányozása céljából meghatározunk három, nem egy egyenesen található A, B és

C pontot, és egy rögzített O1x1y1z1 koordináta rendszert. A három pont között a következő összefüggés létezik:

állandóC ==++ 12

1A 1B 2

1A1B2

1A1B ) z - z ( ) y - y ( ) x - x ( (5.46)

állandóC ==++ 22

1B 1C 2

1B1C2

1B1C ) z - z ( ) y - y ( ) x - x ( (5.46)

állandóC ==++ 32

1C 1A 2

1C1A2

1C1A ) z - z ( ) y - y ( ) x - x (

(5.47) A mozgás általános képletei ebben az esetben:

x10 = x10(t), y10 = y10(t), z10 = z10(t), φ10 = φ 10(t), θ10 = θ10 és ψ10 = ψ 10

(5.48) A sebesség meghatározásához tekintsük a következő ábrát:

5.10 ábra: a sebesség meghatározása Forrásanyag: [9, 272 oldal]

49

Az ábrán egy szilárd merev test általános mozgást végez a rögzített O1x1y1z1 koordináta

rendszerben, illetve a mozgó Oxyz koordináta rendszerben A test általános mozgásának a sebességét a:

rvv ×+= ω0

(5.49) képlet adja. A gyorsulások kiszámításához tekintsük a következő ábrát:

5.11 ábra: a gyorsulás meghatározása Forrásanyag: [9, 291 oldal]

50

Az ábrán egy szilárd merev test általános mozgást végez a rögzített O1x1y1z1 koordináta

rendszerben, illetve a mozgó Oxyz koordináta rendszerben Felírhatjuk a következő összefüggéseket:

r x r , ,a v ,a v 00 ωεω ==== ɺɺɺɺ (5.50)

A fentiek figyelembe vételével felírhatjuk az általános mozgás gyorsulásának képletét:

) r x ( x r x a a 0 ωωε ++=

(5.51)

6. Fejezet C. Dinamika

6.1 A mechanikai munka Tekintsünk egy M anyagi pontot, amely egy (Γ) görbe vonalú pályán mozog az F váltakozó erő

hatása alatt. Egy adott t időpontban, az anyagi pont az M1 pontban található. A koordinátarendszer O origójához képest a pont helyzetvektora r.

6.1 ábra: anyagi pont mozgása az F erő hatására

Forrásanyag: [9, 294 oldal]

51

A t + dt időpontban az anyagi pontot az M2 helyzetben találjuk, helyzetvektora pedig r + dr lesz. Meghatározás szerint elemi mechanikai munkának nevezzük az F erő és a dr elmozdulás skaláris

szorzatát, azaz:

)rdF cos( dsF = rd F = dL ⋅⋅⋅⋅ (6.1)

Ha az erőt kifejtjük az egységvektorok segítségével:

zyx Fk Fj Fi F ++= (6.2)

dzk dy j dx i rd ++= , (6.3)

Akkor a mechanikai munka képlete a következő lesz:

dL = Fx dx + Fy dy + Fz dz (6.4)

Figyelembe véve, hogy a mechanikai munka képletében szerepel az erő, és az r helyzetvektor által bezárt szög, cos( rdF ⋅ ), a következő észrevételeket tehetjük:

1. A mechanikai munka egy skaláris mennyiség, mértékegysége a SI-ben a Joule (J). 2. Értékét pozitívnak tekintjük, ha az erő és az r helyzetvektor által bezárt szög 0 és 90o

között található 3. Értéke negatív, ha ugyanaz a szög 90o – 180o között van. 4. 0, ha a bezárt szög 90o –os. 5. Ha a dr több kis elemi elmozdulásból áll, felírhatjuk:

n21 rd rd rd rd +…++=

(6.5)

Ezzel a megjegyzéssel:

n21 rdF rdF rdF rdF dL +…++== (6.6)

6. Amennyiben az elmozdulást több erő eredményezi, a következő esettel állunk szemben:

n21 F F F F +…++=

(6.7) rdF rdF rF rdF dL n21 ⋅+…+⋅+⋅=⋅= d

(6.8)

6.2 Mechanikai teljesítmény A mechanikai teljesítmény az a skaláris mennyiség, amely egy fizikai rendszernek, egységnyi

idő alatt átadott energiamennyiséget jellemez.

52

ω⋅=Θ⋅=

⋅=⋅==

Mdt

dMP

vFdt

rdF

dt

dLP

(6.9) A mechanikai teljesítmény bármely energiát termelő berendezés, illetve gép jellemzője. Mértékegysége a SI-ben a W, 1W = 1 J / s A mindennapi gyakorlatban használatos a Lóerő

(Le) is 1 KW = 1,36 Le Ha egy gépnek ismert az n fordulatszáma fordulat / s –ben, és az M forgási nyomatéka, akkor a

teljesítmény meghatározására a következő képletet használhatjuk:

Mn

P30

⋅= π

(6.10)

6.3 Mozgási energia 6.3.1. Anyagi pont Tekintsük a következő ábra szerinti M anyagi pontot, amelyre az F erő hat. Az erő hatására az

anyagi pont a (Γ) görbe vonalú pályán mozog, egy adott t időpontban a sebessége v

6.2 ábra: az anyagi pont mozgása Forrásanyag: [9, 303 oldal]

Az anyagi pont mozgási energiáját az 2

m.v E

2

= képlettel határozhatjuk meg.

Ha a rendszerünk több anyagi pontból tevődik össze, a képlet a következő képen alakul:

53

(6.12)

6.3.2. Egyenes vonalú mozgást végző szilárd merev test

2c

2c

2m vM

2

1 dm v

2

1 v

2

1 E === ∫∫ dm

(6.13)

A képletben az ∫ = Mdm a szilárd merev test össztömegét adja

6.3.3. Forgómozgást végző szilárd merev test A jelenséget a következő ábra segítségével tanulmányozzuk:

6.3 ábra: forgómozgást végző szilárd merev test (tengely)

Forrásanyag: [9, 304 oldal]

∫∫ == dm l 2

dm l 2

1 E 2

222

m

ωω

(6.14)

A képletben az ω a forgást végző test szögsebessége, az l pedig az elemzett pont távolsága a forgástengelytől.

∑=

=n

iii vmE

1

2

2

1

54

6.4 Helyzeti energia Egyes anyagi rendszerek képesek mechanikai munka előállításra, tehát energiával rendelkeznek,

pusztán a térben elfoglalt helyüknek köszönhetően. Ilyenek például egy összepréselt rugó, egy adott magasságban található test, stb.

Az ilyen rendszerek energiáját helyzeti energiának nevezzük. A helyzeti energia kiszámítása végett az adott helyzetben a test helyzeti energiáját 0-nak

nyilvánítjuk, és kiszámítjuk azt a mechanikai munkát, ami ahhoz szükséges, hogy a testet egy másik helyzetbe vigyük. Az így eredményül kapott mechanikai munka értéke a test új helyzetének megfelelő helyzeti energia.

Eh = -L

(6.15) A fenti képletet a következő képen fejezhetjük ki:

Eh = - ∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dx ) (6.16)

Egy G súlyú test helyzeti energiáját, amelyik h magasságban található, a következő képlet segítségével határozhatjuk meg:

Eh = -L = Gh = mgh

(6.17)

6.5. Mechanikai energia Mechanikai energiának nevezzük egy rendszer helyzeti és mozgási energiájának az összegét.

Emech = Eh +Em (6.18)

Ha egy rendszer nem veszít energiát, akkor ezt a rendszert konzervatív rendszenek nevezzük Ilyen rendszerek esetében előfordulhat, hogy a helyzeti energia átalakul mozgási energiává és

fordítva, mialatt a rendszer mechanikai energiája állandó marad. 6.6. Impulzus 6.6. 1. Az anyagi pont impulzusa Tekintsünk egy M anyagi pontot, amely egy (Γ) görbe vonalú pályán mozog az F váltakozó erő

hatása alatt. Egy adott t időpontban, az anyagi pont az M1 pontban található. A koordinátarendszer O origójához képest a pont helyzetvektora r.

55

6.4 ábra: görbe pályán mozgó anyagi pont Forrásanyag: [9, 309 oldal]

Meghatározás szerint a

v m p ⋅= képlettel meghatározott p vektort az anyagi pont impulzusának nevezzük. Az impulzus mértékegysége a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI): (kg.m / s) Az ábra szerint felbontva az impulzust a három tengely szerinti összetevőre, kapjuk:

px = m . vx = m . x (6.19)

py = m . vy = m . y (6.20)

pz = m . vz = m . z (6.20)

6.6.2. Szilárd merev test impulzusa Szilárd merev test H impulzusának a meghatározására a következő számítási képlete használjuk:

( ) ( ) CC vMrMdt

ddmr

dt

ddmvH ⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫

(6.21) Gyakorlatok

56

1. Határozzuk meg egy repülőgép sebességét km/ h-ban, ha tudjuk, hogy egy adott szélességi körön, állandó sebességgel repülve, a szélességi kör bármelyik pontját 12 órakor metszi. Számításainkban nem vesszük figyelembe a légkör sűrűségének változásait a magassággal

Megoldás: A repülőgép gyakorlatilag egy időben mozog a Nappal a szélességi körön, ezért a sebessége

egyenletes kell legyen, kelet-nyugat irányban, és a szögsebessége egyenlő kell hogy legyen a Föld forgási szögsebességével.

A feladat megoldásához a következő jelöléseket végezzük:

R- a Föld sugara; R = 6370 km λ a szélességi fok

h – a repülőgép repülési magassága. (állandó) v- a repülőgép sebessége (ugyancsak állandó)

r- a repülőgép repülési sugara

v = ω r = ω ( R + h) cos λ

ω = 2π / 24 = 0,2618 rad /h

Figyelembe véve, hogy a repülőgép repülési magassága lényegesebben kisebb a Föld sugarától, ettől az értéktől eltekinthetünk, tehát:

v = 0,2618x 6370 x cos λ = 1667 x cos λ

Attól függően, hogy a repülőgép melyik szélességi fokon repül, kapjuk:

Az egyenlítőn, ahol a λ értéke zéró,

v = 1667 km / h

Bukarest fölött, ahol λ = 45°

v = 1178 km / h

2. Egy légballon v0 kezdeti sebességgel szál fel a Föld felszínéről, függőleges irányban,

a = c – bx gyorsulással, ahol x a légballon magassága egy adott időpontban. Határozzuk meg: a- a maximális magasságot, amelyet elérhet a léghajó b- a maximális sebességet az emelkedés időtartama alatt Megoldás: Tudjuk, hogy:

v = dx / dt, a = dv / dt = c – bx

Elvégezve az integrálást, és figyelembe véve, hogy:

x = 0 –ra, v = v0,

57

kapjuk:

(bx2 / 2) –cx + (v2 / 2) – (v2 0/ 2) = 0

v = 0 –ra kapjuk:

Hmax = ( c2 + c2 + v0

2 b ) / b

a = 0 –ra kapjuk: vmax = ( v0

2 b + c2) / b

3. Tanulmányozzuk egy test egyenes vonalú mozgását egy ellenálló közegben. A közeg által

kifejtett ellenálló erő: F = kmvn Megoldás: A mozgás egyenletét az mx = - kmvn képlet adja. m-el egyszerűsítve, és felírva a gyorsulás képletét, kapjuk:

dv / dt = - kvn

Integrálás céljából a változókat szétválasztjuk a következők szerint:

k dt = -v-n dv ha n ≠ 1, az integrálás után kapjuk:

kt = (-v1-n / 1-n) + C1

A kezdeti feltételekkel, azaz: t = 0, x = 0, v = v0, a test sebességének a következő képlete lesz:

v1-n = v01-n + (n – 1) kt

a. ha n < v = 0 a t = v0

1-n / (n – 1) k értékre b. ha n > 1 mint egy v = 0 ha t → ∞.

A test mozgási egyenlete a következő képen is felírható:

v ( dv / dt) = -k vn

vagy ezt tovább fejlesztve:

58

v1-n dv = -kdx

Integrálás után kapjuk:

v2-n = v02-n + (n – 2) kx

Észrevehető, hogyha: - n < 2, v = 0, az x = v0

2-n / (n – 2) k értékre - n > 2, v = 0, ha x → ∞

Kiküszöbölve a sebességet a két egyenletből, kapjuk:

x = 1 / (n – 2) k v01-n + (n – 1) kt )(n-2) / (n-1) - v0

2-n

A fenti kifejezést elemezve, a következő következtetéseket vonhatjuk le:

a. ha n > 2, a mozgás a végtelenig folytatódik b. ha 1 < n < 2, v→ 0 ha t → ∞ és x → v0

2-n /(2 – n)k c. ha n < 1, a mozgás leáll az x = v0

2-n /(2 – n)k és t = v01-n / ( 1 – n ) k helyzetben.

4. Tanulmányozzuk egy lövedék mozgását légüres térben, figyelembe véve a Föld gömb alakját. A v0 kezdeti sebesség α szöget zár be a vízszintessel.

Megoldás:

Felírjuk a következő mozgás egyenleteket:

m (d2x / dt2 ) = -m g cosφ

d2x / dt2 = - g x / √x2 + y2

m (d2y / dt2 ) = -m g sinφ

d2y / dt2 = - g y / √x2 + y2

Figyelembe véve, hogy az x értéke nagyon kicsi y-hoz képest, a következő egyszerűsítéseket

végezhetjük:

d2x / dt2 = - g x / y

d2y / dt2 = - g

Gyakorlatilag y ≈ R és nagyon nagy az értéke, ennek figyelembevételével a következő egyenleteket

kapjuk:

d2x / dt2 = 0, és d2y / dt2 = - g

59

7. Fejezet Szilárdságtan 7.1. Bevezetés A szilárdságtan olyan nyugvó testek mechanikája, amelyek alakváltozást szenvednek külső erők

hatására. A szilárdságtan azt kutatja, hogy valamely szilárd testben a terhelő külső erőrendszer hatására

milyen belső erők ébrednek, és milyen alakváltozások jönnek létre. Ebből a célból a szilárdságtan felhasználja a statika eredményeit, a külső erők kiszámítására.

Tantárgyunk keretében a szilárd testet mindig homogén kontniuumnak tekintjük, ami azt jelenti, hogy bárhonnan is veszünk mintát, azonos fizikai tulajdonságú anyagot találunk, azaz a test homogén. Ugyanakkor az anyag folytonosan oszlik meg a térfogaton belül, tehát kontinuum.

Feltételezésünk szerint az anyag izotróp, azaz a fizikai tulajdonságai függetlenek az iránytól. A valóságos testek a legtöbbszőr ennek nem tesznek eleget, ugyanis sok anyag kristályos, és a kristály szerkezet egyik jellemzője az anizotróp tulajdonság.

A legegyszerűbb mérési eljárás az úgynevezett húzó vizsgálat. Ennek során henger vagy hasáb alakú próbatestet készítenek, az elemzendő anyagból, és ezt terhelő berendezésben húzó erőnek teszik ki folyamatosan. Mérik a test nyúlását az erő növekedésével. Az alakváltozás függvényében elkészítik a húzó diagrammot.

A diagramm az F = f (λ) függvénykapcsolat szerint készül, ahol F a húzóerő nagysága, míg λ az erőnek megfelelő alakváltozás.

A műszaki gyakorlatban általánosan használt acélanyagokra a következő húzódiagramot nyerjük:

60

7.1. ábra: húzódiagramma Forrásanyag: [2, 4 oldal]

Az első szakasz az A pontig egyenesnek tekinthető. Ezen a szakaszon a megnyúlás túl kicsi a

próba hosszához viszonyítva. Itten a terhelés és a nyúlás között a kapcsolat lineáris, ezért az A pontot arányossági határnak nevezzük. Az A pontig a szakaszon bárhol megszüntetjük a terhelést, a próbatest visszanyeri eredeti alakját. Megismételve a terhelést, újra a diagramm szerint következik be a nyúlás. Azt mondjuk, hogy ezen a szakaszon az anyag rugalmas.

A második jellegzetes szakasz az F pontban kezdődik és közelítőleg egy vízszintes rész jellemzi. Ez azt jelenti, hogy itt a nyúlás lényegesebben nagyobb, mint az első szakaszon, úgy tűnik, mintha folyna az anyag. Éppen ezért az F pontot folyási határnak nevezzük. Ha ezen a szakaszon szüntetjük meg a terhelést, a próba már nem nyeri vissza az eredeti alakját, azaz maradóan deformálódott. Ekkor azt mondjuk, hogy az anyag képlékeny, hiszen nagyjából állandó terhelés alatt változik a hossza.

A harmadik szakasz a görbe emelkedő ága az M pontig. Ezen a szakaszon éri el a terhelés a szélső értékét. A jellemzője az, hogy a további nyúláshoz már növekvő erő szükséges, ami azt jelenti, hogy a képlékeny szakasszal ellentétben az anyag keményedő tulajdonságot mutat.

Az M pontig a próbatest minden része egyenlően részt vesz az alakváltozásban, azaz egyenletesen nyúlik.

A negyedik szakaszra az jellemző, hogy a próbatest egy adott részén elvékonyodik, az elgyengült rész nagy nyúlást szenved, csökkenő erő hatására is, majd a T pontban bekövetkezik a szakadás.

61

7.2. Igénybevételek

7.2.1. A rúd A szerkezetek általában igen változatos elemekből, alkatrészekből épülnek fel. A leggyakrabban

használt a prizmatikus rúdnak, vagy csak egyszerűen rúdnak nevezett szerkezeti elem. A rudakra az jellemző, hogy egyik méretük (hosszúságuk) lényegesebben nagyobb, mint a másik

kettő. Egyenes rudat úgy kapunk, hogy egy síkidomot önmagával párhuzamosan úgy mozgatunk el,

hogy súlypontja állandóan az idom súlypontjára merőleges egyenes maradjon. Görbe rúd esetén a mozgatott síkidom súlypontja sík- vagy térgörbét ír le. Az egyenes, vagy görbe vonalat, amelyen a síkidom súlypontja végighalad, a rúd súlypontjának, tengelyvonalának, vagy középvonalának nevezzük.

A mozgatott síkidom a tengely keresztmetszete. Ha a síkidom méretei a mozgatás alatt nem változnak, állandó keresztmetszetű rúdról beszélünk, ellenkező esetben váltakozó keresztmetszetű rúddal állunk szembe.

A szilárdságtan egyik fő célkitűzése, a terhelt rudak méretének a kiszámítása.

7.2.2. Az igénybevétel A következő ábrán látható rudat általános térbeli erőrendszer terheli. Ez koncentrált, és megoszló

és megoszló erőkből, valamint erőpárokból állhat. A rajzon a reakcióerőket is feltűntettük, mert az igénybevételek vizsgálatakor nem teszünk különbséget az aktív és passzív erőhatások között. Kikötésünk: a vizsgált rúdra ható erőrendszer egyensúlyban van.

7.2. ábra: általános térbeli erőrendszerrel terhelt rúd Forrásanyag: [6,21 oldal]

A kikötés szellemében bármely P kezdőpontú koordináta rendszerben teljesülnie kell a

következő feltételeknek:

F = Σ Fi = 0 (7.1)

62

Mp = Σ Mj + Σ (ri x Fi ) =0 (7.2)

Az F és Mp vektorokból álló úgynevezett vektorkettős az egész rúd terhelésének a tetszőleges P

pontba redukált vektorkettőse. Az igénybevétel fogalmát mindig egy adott keresztmetszethez kötjük.

7.2.3. Az igénybevételek fajtái Az igénybevételt jelentő vektorkettős önmagában keveset árul el arról, egy bizonyos rúdrészre

milyen hatást gyakorol. Éppen ezért, úgy az eredőerőt, mint a nyomatékot felbontjuk két összetevőre:

F = N + V (7.3)

M = Mt + Mh (7.4)

7.3. ábra: erő és nyomaték felbontása összetevőire

Forrásanyag: [6, 23 oldal]

Az így kapott négy komponenst külön-külön vizsgálva jól érzékelhetjük ezeknek a keresztmetszetre gyakorolt hatását.

63

7.2.3. 1. Normáligénybevétel Az előbbi ábra szerint az N erőkomponens arra törekszik, hogy a két rúdrészt a normális

irányban egymástól eltávolítsa, széthúzza. Az ilyen igénybevételt húzó igénybevételnek, vagy röviden húzásnak nevezzük. Ha az erő értelmét megfordítjuk, nyomó igénybevétellel, nyomással állunk szembe. Közös nevük: normális igénybevétel, és N a normálerő.

7.2.3.2. Nyíróigénybevétel A keresztmetszet síkjába eső, V-vel jelölt erőkomponensnek az a törekvése, hogy a két rúdrészt

a keresztmetszet mentén egymáshoz képest elcsúsztassa, ezért ezt az erőt csúsztatóerőnek nevezik. Általában esetében használatosabb a nyíróerő elnevezés.

Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a keresztmetszet igénybevétele a nyírás. A nyíróerőt V-vel jelöljük, a szakirodalomban még szokásos a T, illetve R jelölés használata is.

7.2.3.3. Csavaróigénybevétel Az Mt nyomatékkomponens a keresztmetszetet a tengely körül elforgatni készül. A rugalmas

egyenes rúd elcsavarodik, ezért ezt az erőpárt csavaróerőpárnak, nyomatékát csavaróerőnyomatéknak nevezzük. A t index a torziós nyomaték elnevezésre utal.

7.2.4.4 Hajlítóigénybevétel Az Mh nyomatékkomponens a keresztmetszet síkját annak egy egyenese körül elfordítani

törekszik. Ez a hatás meggörbíti, hajlítja a rudat. Ezért az Mh nyomatékot hajlítónyomatéknak nevezzük. Az ilyen esetekben a keresztmetszet igénybevétele hajlítás. Amennyiben az N, V, Mt illetve Mh közül csak egy nem zéró, akkor egyszerű, vagy tiszta

igénybevételről beszélünk. Ellenkező esetben az igénybevétel összetett.

7.3. Az egyszerű Hooke-törvény A műszaki tapasztalat szerint az arányossági határon belül az erő, és a hozzá tartozó nyúlás

viszonya állandó, amit a húzódiagramm egyenes szakasza jellemez. Az egyenes iránytangense:

állandóF =λ

(7.5) Mivel a próbatest l0 és A0 (hosszúsága illetve keresztmetszete) is állandó, a segítségükkel

számított fajlagos értékek aránya is állandó:

állandó

l

A

F

==εσ

λ0

0

(7.6) Az állandó értékét a szilárdságtanban E-vel jelöljük, és rugalmassági modulusnak nevezzük. A:

εσ = E, illetve σ = ε E

(7.7)

64

alakban kapott törvényt arányossági törvénynek, vagy egyszerű Hooke-törvénynek nevezzük.

Figyelembe véve, hogy az ε dimenzió nélküli, az E mértékegysége megegyezik a feszültség mértékegységével. A gyakorlatban általában Gpa-ban adják meg.

Értékét a :

λ⋅⋅

=0

0lF E

A

(7.8)

képlet segítségével határozzuk meg.

A σ = ε E alakban felírt egyszerű Hooke-törvényt a szilárdságtan alaptörvényének nevezik.

7.3.1. A keresztirányú méretváltozás A húzott rúd nemcsak az erő irányában nyúlik meg, hanem keresztirányú méretei is változást

szenvednek. Lényeges tényező azonban, hogy a keresztmetszet alakja változatlan marad. Azaz a teljes hasonlóság elve szerint kisebb lesz.

A műszaki kísérletek tanúsága szerint az arányossági határ alatt a kereszt- és hosszirányú fajlagos hosszváltozások aránya állandó, azaz:

εε k = ν = állandó

(7.9) Az εk a keresztirányú méretváltozást jelenti. Esetünkben ez lényegében rövidülést jelent, értékét

a

εk = - ε ν (7.10)

képlet segítségével határozzuk meg.

A ν-t Poisson tényezőnek nevezik, értéke 0,25...0,4 között váltakozik, de pontosabb adatok hiányában 0,3-al szoktak számolni (acélok esetében).

7.3.2. A keresztmetszet síkjába eső belső erők: nyíróerők A rúdirányú húzó- és nyomóigénybevétel a test belsejében olyan belső erőket ébreszt, amelyek

merőlegesek a keresztmetszet síkjára. A nyíróigénybevételt jellemző nyíróerő arra törekszik, hogy a keresztmetszet mentén az anyagi

összefüggést megszűntetve, a két rúdrészt egymáshoz képest elcsúsztassa, elnyírja. A nyírási művelet azonban csak az olló élek behatolásának pillanatában felel meg a tiszta nyírás

követelményének, mert később, amikor az olló élei az anyagba már behatoltak, mindig van hajlítás is az M = Vk erőpár hatására

65

7.4. ábra: a nyírás fázisai: a- a két kés érintkezik a munkadarabbal, b- a darab vágása

befejeződött, c- a két kés behatol az anyagba Forrásanyag: [6,79 oldal]

A keresztmetszet síkjában ébredő belső erő fajlagos értékét τ-val jelölik, és csúsztató, vagy

nyírófeszültségnek nevezik.

A gyakorlatban a σ = A

F mintájára τk =

A

V képlettel határozzák meg.

Tételezzük fel, hogy a vizsgált rúd anyaga –húzóigénybevétel esetén- a Hooke -törvényének megfelelően viselkedik. Analóg módon az is feltételezhető, hogy a τ feszültség, és a γ szögváltozás között is lineáris lesz a kapcsolat. γ az a szög, amivel az anyag elhajlik, elfordul a vágóélek hatására.

Ezt a σ = ε E mintájára τ = G γ alakban fejezik ki. Ezt az összefüggést a nyírásra vonatkozó Hooke-törvénynek nevezzük.

A nyírásra jellemző, és az arányosságot kifejező G = γτ

a csúsztató rugalmassági modulus. Ezt,

az anyagjellemző értéket célszerű Gpa-ban megadni. 7.4. A húzás és a nyomás 7.4.1. A feszültség és az alakváltozás számítása Tekintsük a következő ábrán szemléltetett állandó keresztmetszetű rudat, amelyet F erő terhel:

66

7.5. ábra: F erővel terhelt állandó keresztmetszetű rúd

Forrásanyag: [6,90 oldal]

A probléma a húzóerők működtetési helyének a megtalálása, ha azt akarjuk, hogy a rúd K

keresztmetszetében az σ feszültségek megoszlása egyenletes legyen.

A feladat megoldása céljából, a rudat a K keresztmetszete mentén gondolatban kettévágjuk, és vizsgáljuk az erők megoszlását.

A térbeli párhuzamos erőrendszer egyensúlyát az Oxyz koordináta rendszerben a következő három egyensúlyi egyenlet fejezi ki:

1. ∑ Xi = 0 ∫A

σ d A – F = 0

(7.11)

2. ∑ Miy = 0 ∫A

zσ d A = 0

(7.12)

3. ∑ Miz = 0 ∫A

yσ d A = 0

(7.13)

Esetünkben feltételezzük, hogy az F erő a koordinátarendszer középpontján megy át, tehát a

tengelyekre számított nyomatéka zérus. A dA felületelemen ható belsőerő nagysága σ d

67

A feltételezésünk szerint a σ feszültség a keresztmetszet bármely pontján állandó, tehát

kiemelhető az integráljel elé:

σ = A

F

(7.14) A másik két egyenletben végigosztva σ-val, kapjuk

∫A

z d A = 0

(7.15)

∫A

y d A = 0

(7.16) A fenti két kifejezés a teljes keresztmetszet statikai nyomatékát jelenti. az y, illetve a z

tengelyekre. A kifejezés abban az esetben zérus, ha a tengely átmegy a keresztmetszet súlypontján.

Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogyha azt akarjuk, hogy a húzott rúd keresztmetszeteinek feszültségeloszlása legyen egyenletes, akkor a húzóerők hatásvonalának át kell mennie a keresztmetszet súlypontján.

Az ilyen húzást centrikus, vagy központos húzásnak nevezzük. A húzott rúd megnyúlásának meghatározása a Hooke-törvény segítségével történik. Ha az egységnyi hosszúságú rúd megnyúlása ε, akkor az l hosszúságú rúdé:

λ = ε l (7.17)

A Hooke-törvény szerint: ε = E

σ , σ = A

F . Ennek figyelembevételével:

λ = AE

Fl , illetve λ =E

lσ .

(7.18)

Ezek a kifejezések kimondottan csak az arányossági határon belül érvényesek. Mivel a nyomóerők a húzóerőktől csak értelemben különböznek, egyezményesen a húzóerőket

pozitív, a nyomóerőket negatív előjellel látjuk el. 7.4.2. A húzott rúd méretezése és ellenőrzése Tekintsük az A keresztmetszetű prizmatikus rudat. A kérdés: mekkora húzó- illetve

nyomóerővel szabad azt megterhelni. A feladat megoldása érdekében a rúdban ébredő feszültség hatására egy megengedhetőnek vélt értéket állapítunk meg, ezt megengedhető feszültségnek nevezzük,

68

és σmeg –el jelöljük. Ha ismerjük a σmeg értéket, akkor meghatározhatjuk a megengedett terhelést is a következő képlet segítségével:

Fmeg = σmeg A

(7.19) A feladat nehézsége éppen a σmeg értékének a helyes meghatározásában rejlik. A megengedett

feszültség az anyag σB szakítószilárdságának, sőt a σF folyási határának a tört része.

σmeg = B

B

n

σ

(7.20)

σmeg = F

F

n

σ

(7.21) Az nB és az nF az úgynevezett biztonsági tényezők. Helyes megválasztásuk nagymértékben a

tervezőmérnök ítélőképességétől és tapasztalatától függ. Szívős anyagok esetében a megengedett feszültséget a folyáshatárhoz szokás viszonyítani,

vagyis az nF tényezőt adják meg. Rideg anyagok esetében mivel ezek törését nem előzi meg jelentős alakváltozás, a megengedett

feszültséget a szakító- illetve a törőszilárdság törtrészében szokás megadni, vagyis az nB tényezővel számolunk.

Ha az anyag homogén, mint amilyen például a szerkezeti acél, akkor nB = 1,7 ott ahol az anyag minősége változó, például öntöttvas esetében: nB =4...8, fára: nB =4...10 és terméskőre: nB = 10...20.

A megengedhető feszültségek és biztonsági tényezők nagyságát számos esetben szabványok vagy hatósági előírások szablyák meg.

A megengedett terhelés meghatározását, vagy az adott terhelés hatására ébredő igénybevétel

meghatározását a szerkezet elemi ellenőrzésének nevezzük.

Ezzel szemben a szilárdságtanban méretezésről beszélünk akkor, ha a terhelő erők ismeretében a szerkezeti elem szükséges méreteit kell meghatároznunk. Erre a következő képlet használatos:

A szüks = meg

F

σ

(7.22) A fenti összefüggés csak a keresztmetszet nagyságát adja meg, de semmit sem mond a

keresztmetszet alakjáról. Ezt a tervezőmérnök szabadon választhatja meg, és a keresztmetszetet olyannak veheti fel, amilyen a rúd rendeltetésének a legjobban megfelel.

Gyakorlatok 1. Határozzuk meg az F = 135 kN húzóerővel terhelt rúd keresztmetszetének területét, ha αmeg = 120 Mpa.

69

Megoldás: A szükséges keresztmetszet meghatározása:

Aszüks = F / αmeg = 135 . 103 / 120 . 106 = 1,125 . 10-3 m2 = 1125 mm2. A fenti eredmény szerint a rúd keresztmetszetének legalább 1125 mm2-nek kell lennie.

Szerkezeti okokból kifolyólag a téglalap keresztmetszetű rúd egyik oldalának hosszúsága 80 mm lehet. A téglalap keresztmetszetét az Aszüks = a . b képlettel határozzuk meg. Az előbbi feltevésből: a = 80 mm, tehát:

b = Aszüks / a = 1125 / 80 = 14,0625 mm. A rudakat szabványosított méretre gyártják, a fent méretezett rúd a szabványokban nem létezik,

a hozzá legközelebb álló rúd mérete 80 x 15 mm. Ennek a rúdnak a keresztmetszete: A = 80 . 15 = 1200 mm2 > Aszüks Az új értékkel meghatározzuk, hogy a nagyobb keresztmetszetű rúdban mekkora feszültség

ébred:

α = F / A = 135 . 103 / 1,2 . 10-3 = 112,5 MPa. Ez az érték kisebb, mint a megengedett feszültség, tehát használhatjuk a számításaink során

meghatározott rudat. Abban az esetben, ha kör keresztmetszetű rudat akarunk használni, akkor az átmérőt a következő

képlet segítségével határozhatjuk meg:

Aszüks = π d2 / 4. Innen d = 37,85 mm. A szabványokban az ehhez legközelebb álló rúd átmérője d = 38 mm. Az ennek megfelelő

keresztmetszet nagysága: A = 1134 mm2. Ezzel az értékkel meghatározzuk a rúdban ébredő feszültséget: α = F / A = 135 . 103 / 1,134 . 10-3 = 119 MPa, ami ugyancsak kisebb érték a megengedett

feszültségnél. Tervezéskor, miután meghatároztuk a keresztmetszet végleges méreteit, minden esetben

ellenőrizni kell a rúdban ébredő feszültséget. A kiszámított feszültséget összehasonlítva a megengedett feszültséggel, kitűnik az anyagkihasználás aránya. A kiszámított feszültség értéke minél közelebb van a Megengedett feszültség értékéhez (de csak kisebb vagy egyenlő lehet azzal), annál jobb az anyagkihasználás.

A fentiek szellemében észrevehető, hogy esetünkben ajánlottabb a kör keresztmetszet a téglalap keresztmetszetnél az anyagkihasználás szempontjából.

2. A 200 x 25 mm méretű, derékszögű négyszög keresztmetszetű l = 5 méter hosszú acélrudat

F = 500 kN erő húzza. A rúd anyagára E = 210 GPa, az arányossági határ pedig σt =180 Mpa. Ellenőrizzük a rudat szilárdsági szempontból, majd határozzuk meg, hogy mennyire csökken a keresztmetszet eredeti a és b mérete, ha ν = 0,3

Megoldás A rúdban ébredő feszültséget a σ = F / A képlettel határozzuk meg, azaz:

70

σ = 500 x 103 / 200 x 25 x 10-6 = 100 Mpa.

A számítás azt mutatja, hogy a keletkezett feszültség az arányossági határon belül található, tehát alkalmazhatjuk a Hooke-törvényt. A rúd megnyúlásának értéke:

λ = F l / A E = 500 x 103 x 5 / 5 x 10-5 x 210 x 109 = 2,38 10-3 m = 2,38 mm

A fajlagos nyúlás:

ε = σ / E = 100 106 / 210x109 = 0,4762 ‰

A keresztirányú fajlagos méterváltozás az εk = ν ε, így a méretcsökkenés aεk illetve bεk

a1 = a(1- ν ε) = 200 (1-0,3 0,462x10-3 ) = 199,9714 mm

b1 = b (1- ν ε) =24, 9964 mm

A megváltozott keresztmetszet területe: A1 = a1 b1 =4998,57 mm2

Az ennek megfelelő feszültség valódi értéke:

σV = F / A1 = 500x103 / 4998,57x10-6 = 100,0286 Mpa

Észrevehető, hogy a valódi feszültség alig tér el az eredeti keresztmetszet alapján számított σ = 100 MPa. értéktől.

7.5. A nyírás A nyírás fogalma a szilárdságtanban teljes egészében megfelel annak, amit a mindennapi életben

is nyírásnak nevezünk. Amint a szilárdságtan bevezetőjében mondottuk, a gyakorlatban a tiszta nyírás nemigen valósítható meg, ugyanis óhatatlanul megjelenik a hajlítás is, mint igénybevétel.

Ha a nyíráskor jelentkező hajlítónyomaték kicsi, akkor azt a gyakorlatban figyelmen kívül hagyhatjuk.

Tekintsük a következő ábrát:

7.6. ábra: a nyírás

Forrásanyag: [6, 518 oldal]

71

Az ábra szerint tiszta nyírást feltételezve, az RI és RII erő a rúd két részét a nyírás síkja mentén el

akarja csúsztatni egymáshoz képest. A nyírt keresztmetszetben τ feszültségek jelentkeznek. Nem ismerjük, hogy ezek a feszültségek a keresztmetszet mentén miként váltakoznak, azonban a nyíróerők irányában eső összetevőik átlagos értékét meghatározhatjuk.

E célból felírjuk a vizsgált rúd I részére ható erők egyensúlyát. A tárgyalt rúdszakaszt a következő ábra szemlélteti:

7.7. ábra: a nyírás síkjában jelentkező feszültségek

Forrásanyag: [6, 518 oldal]

Ha a tárgyalt keresztmetszetet A-val jelöljük, akkor az y irányú erők egyensúlyát a következő

kifejezés adja:

∑ Fi = RI – A τ

(7.23)

A nyíróerőt V-vel is szokás jelölni, és ezzel a megjegyzéssel a nyírófeszültség értéke:

τ =A

Rt = A

V

(7.24)

A tiszta nyírásközelítő feltételezése alapján megoldhatók a szegecsek, csapok, kivágó szerszámok és átlapolt szegecsek szilárdsági számításai.

72

Gyakorlatok Számítsuk ki a következő ábrán látható szélesacélt összekapcsoló, hegesztett kötésben támadó

nyírófeszültséget, ha: s = 12 mm, l = 2000 mm, T = 250 kN.

7.8 ábra: Hegesztett széles acél igénybevétele nyírásra Forrásanyag: [2, 101 oldal]

Megoldás: Észrevehető, hogy a legnagyobb nyírófeszültségek a téglalap alakú: t – t keresztmetszetben

ébrednek. A keresztmetszet névleges szélessége a = 0,7, s = 0,7 . 12 = 8,4 mm. A hasznos varrathossz:

lh = l – 2h = 200 – 2 x 8,4 = 183,2 mm.

A nyírófeszültség nagysága:

τ = T / A = T / 2(l – 2a)a tehát:

τ = 250.000 / 2(200 – 2 x 8,4) x 8,4 = 81,2 MPa Tehát a maximális nyírófeszültség:

τ = 81,2 MPa

73

2. A következő ábra szerint hegesztett kötés 60 x 60 x 10 mm szelvényű szögacélt (egyenlőszárú L-acél) kapcsol össze egy saroklemezzel. Határozzuk meg a szénacél tényleges l1, és l2 hosszúságait, azzal a feltétellel, hogy a hegesztett kötés is felvehesse a szögacél megengedett terhelését.

7.9 ábra: hegesztett szögacél Forrásanyag: [2, 117 oldal]

Adottak:

- a szögacél keresztmetszeti felülete: A = 1110 mm2.

- a szögacél szelvényszélessége: b = 60 mm.

- a szögacélszelvény súlypontja és szelvényoldala közötti távolság: e = 18,5 mm

- a szögacél anyagának megengedett húzófeszültsége: σa = 140 MPa (N / mm2) - a hegesztett varrat megengedett nyírófeszültsége: τ = 91 MPa (N / mm2) - a szögacél falvastagsága: g = 10 mm.

Megoldás: A szögacél megengedett húzó igénybevétele:

Na = σa A = 140 x 1110 = 155.400 = 155,4 kN. A szögacél maximum ezzel a húzóerővel terhelhető. Számításaink egyszerűsítése végett

feltételezzük, hogy ez a húzóerő a szelvény súlypontjában hat. Ezt a húzóerőt kell átvegye a két hegesztési varrat. A két varratot terhelő T1 és T2 nyíróerőt úgy állapítjuk meg, hogy az Na erőt a varratok mentén ható két párhuzamos erőre bontjuk fel.

T1 = Na(b-e) / b = 155.400 x 41,5 / 60 = 107.485 N

T2 = Na e / b = 155.400 x 18,5 / 60 = 47.915 N

74

A hegesztett varrat vastagságának a kiszámításához a szögacél g falvastagságából indulunk ki, tehát:

a = (√ 2 / 2 ) .g = 0,7 x 10 = 7 mm. Ezzel a két varrat hasznos hosszúsága a következő képen alakul:

lh1 = T1 / a x τah = 107.845 / 7 x 91 = 169 mm lh2 = T2 / a x τah = 47.915 / 7 x 91 = 75 mm

A fenti értékekkel a varratok tényleges vastagsága a következő képen alakul:

l1= lh1 +2a = 169 + 2 x 7 = 183 mm l= lh2 +2a = 75 + 2 x 7 = 89 mm

7.6. A hajlítás Igen sok szerkezeti elem, gépalkatrész, stb. hajlítóigénybevételnek van kitéve. A hajlítókísérletek eredményei szerint a rúd tengelye a terhelés hatására általában meggörbül. A

meggörbült tengelyt általában rugalmas vonalnak nevezik. A rugalmas jelző egyben azt is jelenti, hogy a terhelés megszűnte után a rúd visszanyeri eredeti alakját. A következő ábrán egy így meggörbült rudat szemléltetünk.

7.10. ábra: hajlításra igénybevett rúd a- hajlítás előtt b- hajlítás után

Forrásanyag: [6, 130 oldal]

75

Azt észleljük, hogy a megjelölt sík keresztmetszetek a rúdnak a terhelés alatt bekövetkezett

meggörbülése ellenére is síkok, és a rugalmas vonalra merőlegesek maradnak. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a síkok egymáshoz képest elfordulnak.

Éppen ezért a rudat az alakváltozás egyszerű szemléltetése végett a rudat igen kicsiny, dA keresztmetszetű és a rúdtengellyel párhuzamos szálakból állónak tekintjük.

A rúdnak szálakra bontásával megállapíthatjuk, hogy két keresztmetszeti sík egymáshoz viszonyított elfordulása együtt jár a rúdtengellyel párhuzamos szálak hosszúságának a megváltoztatásával. Azt tapasztaljuk, hogy a rúd felső szálai meghosszabbodnak, míg az alsó szálai megrövidülnek. A szálak, és a keresztmetszet síkja által bezárt derékszög az alakváltozás alkalmával nem változik meg.

A hajlított rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges lehet. Elemzéseink megkönnyítése végett azonban kikötjük, hogy a keresztmetszetnek legalább egy szimmetriatengelye legyen. Ezt a síkot a terhelés síkjának nevezzük.

7.11. ábra: a hajlításra igénybevett rúd

a- a rúd keresztmetszete b- a dx hosszúságú rúd hajlítás előtt

c- ugyanaz a rúd a hajlítás után Forrásanyag: [6, 131 oldal]

A rúd dx hosszúságú elemét vizsgáljuk, a következő kikötésekkel:

1. A rúdelemet a külső erők tiszta hajlításra terhelik 2. A keresztmetszetek az alakváltozás során is síkok, és a rúd tengelyére merőlegesek

maradnak.

76

3. A hosszváltozások arányosak a feszültségekkel, tehát az anyagra a Hooke-törvény érvényes

4. Az anyag a húzó és a nyomóigénybevétellel szemben egyformán viselkedik 5. a rúd saját súlyát elhanyagoljuk, ugyanis ellenkező esetben a tiszta hajlítás feltétele nem

teljesülne. A számításokhoz felvett koordináta rendszer kezdőpontja a vizsgált keresztmetszet súlypontja,

és tengelye a rúd hossztengelyével esik egybe. Míg az y és z tengely a keresztmetszet síkjában található. megállapodásunk szerint a az y tengely a keresztmetszet szimmetriatengelye, és így a hajlítóerőpár síkja az x-y sík.

Az ábrán vonalkázással kiemelt dA keresztmetszetű elemi szál jobb oldali végét σdA nagyságú erő terheli. A vizsgált rúdelemen a külső erőkkel a belső erők tartanak egyensúlyt. Mivel a keresztmetszeten csak σ feszültségek ébrednek, a σdA belső erők x irányú párhuzamos erőrendszert alkotnak. A belső erőknek nincsen y és z irányú összetevőjük, és nincsen x tengely körüli forgató hatásuk. Éppen ezért a térbeli erők egyensúlyát kifejező hat egyensúlyi egyenlet közül csak háromnak van jelentősége.

1. ∑ Xi = 0 ∫A

σ d A = 0

(7.25)

2. ∑ Miy = 0 ∫

A

zσ d A = 0

(7.26)

3. ∑ Miz = 0 M - ∫A

yσ d A = 0

(7.27)

Ha a meggörbült súlyponti tengely görbületi sugarát ρ-val, a rúdelem két véglapjának szögét pedig dφ-vel jelöljük, akkor az y helyen a dx hosszúságú elemi szál megváltozott hossza: (ρ + y) dφ. Ebben az esetben a fajlagos nyúlás:

dx

dx -d y) (

ϕρε +=

(7.28)

Hooke-törvényének értelmében ez az érték E

σ - vel egyenlő.

A behelyettesítés és rendezés után kapjuk:

ρ (dx

dϕ ) + y (dx

dϕ ) – 1 = E

σ

(7.29)

A itten szereplő dx

dϕ = θ a keresztmetszetek fajlagos szögelfordulását jelenti, amely az egész

keresztmetszetre állandó, ugyanis azt feltételezzük, hogy a keresztmetszetek síklapként fordulnak el. Ha a fenti egyenletet dA-val beszorozzuk, és integráljuk az egyenletet a következő kifejezést

kapjuk:

ρ (dx

dϕ ) ∫dA + y (dx

dϕ ) ∫dA – ∫dA = E

σ∫dA

(7.30)

77

Észrevehető, hogy az első és a harmadik integrál a keresztmetszet területét adja. A második

integrál, mint a keresztmetszet tengelyre számított nyomatéka zérus értékű. A jobb oldali integrál ugyancsak zérus, ( a jobb oldali első egyensúlyi egyenlet szerint) A fenti megjegyzéssel az egyenletünk a következő képen alakul:

ρA(dx

dϕ ) –A = 0

(7.31)

Ebből az egyenletből kapjuk:

ρ1 =

dx

dϕ

(7.32) E a képletet görbületi képletnek nevezzük. Átírva a képletet: ρ dφ = dx formában, azt az eredményt kapjuk, hogy a súlyponti szál

hosszúsága az alakváltozás során nem változott meg. tehát benne feszültség nem ébredt, ezért a súlyponti szálat semleges, vagy neutrális szálnak nevezzük.

7.6.1. Hajlított rúd méretezése A hajlítás általában nyírással párosul. Az ily módon igénybe vett rúdban σ és τ feszültségek

ébrednek. Jelen fejezetben nem foglalkozunk az összetett igénybevételekkel, ezért csak hajlításra méretezőnk, és a nyírásra ellenőrzünk.

A méretezés elve ugyanaz, mint a húzott rúd esetében, a rúdban ébredő legnagyobb σ feszültségnek nem szabad túllépnie a megengedhetőnek ítélt σmeg határt. A hajlított rúd keresztmetszetében a legnagyobb feszültség a szélső szálakban ébred, és értéke:

σ = K

M

(7.33) ahol K a keresztmetszet területe. Ha a keresztmetszet végig állandó, akkor a rúdban a legnagyobb σmax feszültség annak a

keresztmetszetnek a szélső részében ébred, amelyet a legnagyobb hajlítónyomaték terhel, azaz:

σmax =K

M max

(7.34) Ha a rúd keresztmetszete adott, és így a K ismert, akkor a rúd ellenőrzésére a fenti képlet

használatos. A rúd megfelel, ha:

σmax ≤ σmeg (7.35)

78

Tervezéskor, a keresztmetszet méreteinek a megállapítására egyedül a :

Kszüks = meg

M

σmax

(7.36) képlet használatos.

Gyakorlatok:

1. Tervezzük meg a következő szerinti állandó terhelésű rúd keresztmetszetét, ha a rúd anyaga és a megengedett feszültségek: σmeg = 120 MPa, τmeg = 60 MPa ( folytacél esetében)

7.12 ábra: állandó terhelésű rúd Forrásanyag: [6, 184 oldal]

79

Megoldás: A reakcióerők: A = 20 kN, és B = 80 kN. A nyíróerők ábrája alapján a hajlítónyomatéknak két helyen van szélsőértéke:

a. az x1 = 1,33 m helyen, ahol M1 = 13,33 kN.m b. a B reakcióerő függőlegesében, ahol M2 = -30,00 kN.m

A legnagyobb nyíróerő a B pontban jelentkezik, ahol Vmax = 45 kN A tervezés alapja a

σmax = Mmax / K ≤ σmeg

Folytacél rúd:

A folytacél a húzásra és a nyomásra is egyformán viselkedik, ezért az abszolút értékre legnagyobb hajlítónyomaték a mértékadó, azaz:

Mmax = M2 = 30,00 kN.m

A keresztmetszeti tényező szükséges nagysága:

Kszüks = Mmax / σmeg = 30 x 103 / 120 x 106 = 250 cm3

A megfelelő keresztmetszetet a hengerelt acélszelvények táblázatából választjuk ki. A számunkra megfelelő szelvény az I 220-as, amely a következő képen néz ki:

7.13 ábra: az I 2200-as hengerelt acélszelvény keresztmetszete Forrásanyag: [6, 185 oldal]

80

Ellenőrzés nyírásra: Vmax = 45 kN A nyíróerőt csaknem a teljes gerinc hordja. A gerinc területe:

Ag = 0,81( 22 – 2 x 1,22) = 15, 85 cm3 Ezzel:

τmax = 45 x 103 / 15, 84 x 10-4 MPa

τmax< τmeg, ebből következik, hogy méretezésünk helyes.

2. Az alábbi ábrán látható, a = 40 mm oldalú, négyzetacélból készült kéttámaszú konzolos tartó esetében határozzuk meg, mekkora koncentrált erővel terhelhető a konzol vége, ha a tartó támaszköze

l = 1,2 m, konzoljának hossza l / 3 = 0,4 m, anyagának megengedett hajlítófeszültsége pedig σmeg,h = 120 MPa.

7.14 ábra: kéttámaszú konzoltartó

Megoldás: A tartó keresztmetszeti tényezője:

Wz = a3 / 6 = 64.000 / 6 = 10. 666,7 mm3

81

A megengedett hajlítónyomaték:

Mmeg,h = Wz x σmeg h = 10.666,7 x 120 = 1,28 .106 N.mm = 1280 N.m

A következő lépésben meghatározzuk a tartót terhelő legnagyobb hajlítónyomaték értékét a konzolra ható P erő Függvényében. A legnagyobb hajlítónyomaték a 2 támasznál levő keresztmetszetben hat:

Mmax = P x l / 3 = 400 P N.mm.

Az Mmax ≤ Mmeg h szilárdsági követelmény alapján teljesülnie kell a :

400 P ≤ 1.280.000 feltételnek.

Tehát:

Pmax = 1.280.000 / 400 = 3.200 N 7.7. A csavarás 7.7.1. Rudak csavarása A rúd valamely keresztmetszete akkor van csavarásnak kitéve, ha a keresztmetszet egyik oldalán

levő erőrendszer eredője egyetlen olyan erőpár, amely a rúd tengelye körül forgat.

7.15. ábra: csavarás Forrásanyag: [6, 229 oldal]

82

A csavarónyomaték hatására a rúd keresztmetszetei egymáshoz képest a rúd hossztengelye körül

elfordulnak.

Vizsgáljuk meg a következő ábrán szemléltetett rúddarab egyensúlyát:

7.16. ábra: a csavart rúd keresztmetszete

Forrásanyag: [6, 229 oldal]

A rúddarab hossza dx. Ennek a baloldali keresztmetszete az Mt nyomatékú erőpár, jobb oldali lapját pedig olyan megoszló erőrendszer terheli, amelynek eredő nyomatéka pontosan az Mt-vel egyenlő. A keresztmetszet síkjában ébredő csúszófeszültségek mindenütt merőlegesek a sugárra, vagyis a keresztmetszet koncentrikus köreit érintik.

A ρ sugárral jellemzett dA felületelemen ébredő τdA nyomatéka az x tengelyre ρτdA. Az egész keresztmetszetre integrálva, az egyensúlyi egyenlet:

M t = ∫A

ρτd A

(7.37) Ha a felületelemet dρ vastagságú körgyűrűnek válasszuk, vagyis dA = 2π ρdρ, akkor:

M t = 2π ∫A

ρ2τdρ

(7.38) 7.7.2. A csavart rúd méretezése A méretezés elve szerint a rúdban ébredő legnagyobb feszültség nem lehet nagyobb a

megengedettnél, azaz:

83

τmax ≤ τmeg (7.39)

Ez a feltétel:

M t / Kt ≤ τmeg vagy: Mt ≤ Kt τmeg (7.40)

alakban is írható. Ezekkel az összefüggésekkel az előre felvett méreteket ellenőrizzük, ha pedig

a keresztmetszet méretét akarjuk meghatározni, akkor a :

Kt ≥ meg

tM

τ

(7.41) képlet használatos.

(A képletben Kt a rúd keresztmetszeti tényezője csavarásra). Ezt kiszámítva a tömör, kör keresztmetszetű rúdra a következő átmérőt kapjuk

D = 16 π

tK

(7.42) Cső esetén a külső vagy belső átmérő, vagy azok D /d arányának a megadása is szükséges.

Gyakorlatok

1. A percenként n = 120 fordulattal járó tengelynek P =120 kW teljesítményt kell átvinnie. Határozzuk meg a tengely D átmérőjét, ha anyagára: τmeg = 20 MPa.

Megoldás A tengelyt csavaró Mt nyomatékot a teljesítmény és a szögsebesség hányadosa adja meg.

Esetünkben a tengely forgásának szögsebessége:

ω = (2π / 60) x n = 12,56 rad / s

Ezzel az értékkel:

M t = P / ω = 150 x 103 / 12,56 = 11,94 MPa

Kszüks = Mt / τmeg = 11,94 x 103 / 20 x 106 = 0,597 x 10-3 m2 = D2 π /4

Innen kifejezzük a D értékét:

Dszüks = 16x ,597 x 10-3 / 2π = 0,1448 m ≈ 145 mm

84

Dszüks = 145 mm

2. Méretezzünk egy kör keresztmetszetű hajtótengelyt. A méretezést végezzük el a szilárdsági és

a merevségi követelmény alapján is. Adottak:

- tengely anyaga: OL 50. - átszármaztatandó teljesítmény: 36,8 kW - a tengely fordulatszáma: n = 400 ford. / perc - a hajtó és hajtott tengely közötti távolság: l = 1,2 m - a tengely anyagának megengedett nyírófeszültsége: τmeg cs = 40 MPa - a tengely megengedett fajlagos elfordulási szöge: Θmeg = 0,25 fok / m - a nyíró rugalmassági modulus: G = 8 x 104 MPa

Megoldás: Első lépésben meghatározzuk a csavarónyomaték értékét:

Mcs = 9.550 n

P= 9.550 x 36,8 / 400 = 878,6 N.m = 878.600 N.mm.

A tengely szükséges átmérője: (a szilárdsági követelmény alapján)

mmM

dat

t 2,484014,3

878600161633 =

××=⋅=

τπ

A tengely szükséges átmérője (merevségi követelmény alapján:

mmGO

lMd

a

mt 2,7114,325,010000814,3

1801000878600323244 =

×××××××=⋅=

π

ugyanis: lm = 1 m = 1000 mm, és Θmeg = 0,25 fok / m = 0,25 x 3,14 / 180 rad / m Észrevehető, hogy a szilárdsági, illetve a merevségi követelmény szerint végzett méretezés alapján

kapott tengelyméret nem azonos. A tengely megválasztásakor természetesen azt az eredményt vesszük alapul, amelyik mindkét

elvárást kielégíti, tehát esetünkben: d = 71, 2 mm.

7.8. A kihajlás 7.8.1. A hosszú, nyomott rudak központos terhelése

85

Ha a keresztmetszeti méreteihez képest hosszú, egyenes rudat súlyponti tengelyében fokozódó erővel nyomásra terhelünk, akkor a rúd az eddig tárgyalt szilárdsági esetektől eltérően fog viselkedni.

Amíg az erő kisebb, mint az Ft kritikus törőerő, a rúd megrövidül, de egyenes marad, hasonlóképpen a rövid, nyomott rudakhoz.

Az ilyen rúd egyensúlya stabilis. Ezt a következőképpen ellenőrizzük le: a rudat középen, tengelyére merőleges irányban megterheljük egy nem túl nagy erővel. Az erő hatására a rúd tengelye meggörbül, de ha ezt az oldalirányú erőt megszüntetjük, a rúd ismét egyenes lesz.

Ha a rudat pontosan az Ft terheli, és megismételjük e fentebb leírt ellenőrzést, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rúd az oldalirányú erő megszüntetése után megmarad meggörbült állapotában: ekkor egyensúlya közömbös.

Ha a rúd nyomóterhelése Ft-nél nagyobb, akkor a rúd egy egész kis oldalirányú erő hatására meggörbül, kihajlása fokozódik, és végül eltörik. Ebben az esetben a rúd egyensúlya labilis.

A fenti gondolatmenet csak tökéletesen egyenes tengelyű rudakra érvényes, és csak abban az esetben, ha az erő pontosan a keresztmetszetek súlypontjában hat.

A stabilitás kérdését matematikai módszerekkel vizsgáljuk. Feltételezzük, hogy az elemzett rúd ideálisan homogén anyagból készült, súlyponti tengelye terheletlen állapotban egyenes, és a terhelőerő a végkeresztmetszetek súlypontjában hat.

Az alábbiakban a rudat az egyik legfontosabb alkalmazásának, az oszlopnak megfelelő helyzetben rajzoltuk meg. az ábra a rudat kihajolt állapotban tünteti fel, a kritikus Ft erő hatására.

A kihajlás abban az irányban fog bekövetkezni, amelyik irányban a rúd ellenállása, hajlító merevsége a legkisebb.

7.17. ábra: kihajolt rúd

Forrásanyag: [6, 301 oldal]

A rúd ilyen jellegű vizsgálatát legelőszőr Euler végezte el, ezért az eljárást Euler vizsgálatának nevezik.

E vizsgálat feltételezi, hogy az Ft erő a rúdban:

σt = p

tF

σ

(7.43)

86

feszültséget ébreszt, vagyis a kihajlás az arányossági határ átlépése előtt következik be. A kihajolt rúd nyomáson kívül hajlítást is szenved, ha tehát a rúd kihajolt alakja egyensúlyi alak,

akkor a rúd meggörbült rugalmas szálainak y(x) egyenlete a hajlított rúd rugalmas szálának differenciálegyenletét kielégíti.

A tetszőleges x helyen a hajlítónyomaték Ft y, így a rugalmas szál differenciálegyenlete:

y E I

F -

E I

M -

dx

y d

22

t2

2

==

(7.44) Az egyenletben I 2 a rúd állandó keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatékát jelenti.

Az:

α2 = E I

F

2

t

(7.45) jelölést bevezetve, az:

yɺɺ + α2 y (7.46)

másodrendű differenciálegyenletet kapjuk, amelynek megoldása:

y(x) = B sin(αx) + C cos(αx) (7.47)

A B és C állandók értéke a rúd megfogását jellemző adatoktól, az úgynevezett

peremfeltételektől függ. Ha mindkét megfogás csukló, akkor egyrészt az x = 0 helyen y = 0, és ebből észlelhető, hogy C = 0, és marad:

y(x) = B sin(αx)

(7.48) A rúd kihajlott alakja ez esetben szinuszvonal. Másrészt, az x = l esetben is y = 0, így:

B sin(αl) = 0 (7.49)

A fenti képletet elemezve, két eset lehetséges: 1. B = 0 eset nem érdekes, mert ez azt jelenti, hogy minden keresztmetszet helyén y = 0,

azaz a rúd egyenes alakja egyensúlyi alak, és ez magától értetődő tény. 2. Fontos a másik eset, amikor B ≠ 0, vagyis sin(αl) = 0. Ez akkor következik be, ha αl =

nπ . A lehetséges végtelen sok megoldás közül az n = 1 esetnek van gyakorlati jelentősége. Ekkor:

87

E I

F

2

t

22 =

=l

πα

(7.50) és így:

E IF 2

2

t ×

=l

π

(7.51) A kihajlást okozó Ft kritikus erő vagy törőerő értéke pontosan meghatározott, és ha a rudat ez a

kritikus erő terheli, akkor az

y(x) = B sin(αx) (7.52)

egyenletnek a B minden értéke mellett megoldása lesz a differenciálegyenletnek. Ez azt is

jelenti, ha a rudat az Ft kritikus erő pontosan centrikusan terheli, akkor a rúdnak végtelen sok egyensúlyi állapota van: a rúd közömbös egyensúlyi állapotban található.

Ez azt jelenti, hogy a kritikus terheléskor a rúd a legkisebb külső hatásnak enged, egyenes alakjából kihajlik, szinuszgörbe alakot vesz fel, és a külső hatás megszűnte után nem kapja vissza egyenes alakját, hanem szinuszgörbe vonalra görbült alakjában maradva hordja az Ft terhet.

Összefoglalva a fenti gondolatmenetet, a következő következtetéseket vonhatjuk le: a. ha F < Ft, akkor a rúd stabilis b. ha F = Ft, a rúd közömbös, és c. ha F > Ft, a rúd labilis egyensúlyi helyzetben található.

Meg kell jegyezni azonban, hogy a fenti elemzés csak egyenes, homogén, és súlyponti tengelyében terhelt rudak esetében áll fent.

A valóságos rudak viselkedése ettől eltérő: a rúd a kritikus terheléskor kihajlik, a kihajlás fokozatosan növekszik, végül eltörik.

Ezért a kritikus Ft erőt törőerőnek is szokás nevezni. A törőerő nagysága a rúd végeinek megfogásaitól függ. Általában négy esetet különböztetünk meg ( 7.18 ábra)

88

7.18 ábra: A rúd kihajlásának négy esete Forrásanyag: [6, 303 oldal]

Ha a rúd kihajolt állapotában a kihajlási hosszúságot (az inflexiós pontok közti távolságot) l0- val

jelölve, a törőerő:

Ft= (π / l0 )2 . I2 E

(7.53)

képletében: - az I. esetben: l0 = l - a II. esetben: l0 = 2l - a III esetben: l0 = 0,7l - a IV. esetben: l0 = l / 2

A III. Esetben kihajláskor a rúd felső, csuklós végére a vezeték vízszintes irányú, H erőt fejt ki. A H és Ft eredőjének hatásvonala a D inflexiós ponton megy át, ahol a hajlítónyomaték értéke 0.

Az ábrán észrevehető, hogy ebben az esetben a H nagysága a kihajlás mértékétől függ. A IV. Esetben a rúdvégre a vezeték M0 nyomatékot fejt ki. Az M0 és Ft eredője, amely átmegy a D1

és D2 inflexiós pontokon, az ábrán pontozva van berajzolva.

7.8.2. A központosan terhelt hosszú, nyomott rudak méretezése Ha egy szerkezet egyik hosszú, nyomott rúdjának terhelése az előzőekben meghatározott törőerő

értékét eléri, akkor a rúd elveszti stabilitását, ami az egész szerkezet tönkremenését eredményezheti. A fentiek miatt nagy jelentősége van az n biztonsági tényezőnek. A kihajlásra terhelt rúdban

megengedhető σk a nyomófeszültség a σt törőfeszültségnek csak egy hányadát érheti el.

σk = n

tσ

(7.54)

89

Ha előírás vagy szabály másként nem intézkedik, akkor gépgyártásban a kihajlásra terhelt

géprészek biztonsági tényezője: - kisebb gépekre: n = 8...10 -nagyobb gépekre: n =6...8 -lassú járású gépek alkatrészeire: n = 3 Tartószerkezetekre: - szerkezeti acélra: n = 1,7...3,5 - öntöttvasra: n = 6 - fára: n = 4...5 Méretezéskor rendszerint adott a kérdéses rúd l hossza, anyaga valamint a várható F

nyomóterhelése. Meg kell határozni a rúd keresztmetszetének méreteit, úgy hogy az megfeleljen az adott biztonságra.

A tervezői gyakorlatban rendszerint előre felveszik a rúd keresztmetszetét, majd kihajlásra ellenőrzik a rudat. Ha a választott keresztmetszetű rúd nem felel meg, akkor módisítják a keresztmetszetet, és új ellenőrzést végeznek.

7.8.3. A hosszú rudak nyomása és hajlítása Az egyik végén befogott karcsú, állandó keresztmetszetű rudat az F rúdirányú erő a súlyponti

tengelytől p távolságra terheli. A rúd másik vége szabadon kitérhet. A befogástól x távolságra található x keresztmetszetet nemcsak az F nyomóerő, hanem az M(x) = Fy hajlítónyomaték is terheli.

7.18. ábra: egyik végén befogott, karcsú, állandó keresztmetszetű rúd terhelése

Forrásanyag: [6, 310 oldal]

Ennek megfelelően a rugalmas szál differenciálegyenlete:

90

( ) E I

F -

E I

M - y tx ==ɺɺ

(7.55)

Bevezetve az: E I

F t2 =α jelölést, egyenletünk a következő képen módosul:

0 y y 2 =+αɺɺ (7.56)

alakú lesz. Az általános megoldás:

y(x) = B sin(αx) + C cos(αx), (7.57)

az első rendű derivált pedig:

yɺɺ (x) = B α cos(αx) – C α sin(αx), (7.58)

ahol B és C integrálási állandók. Értéküket a peremfeltételekből határozzuk meg. Az x = 0 helyen y’ = 0, azaz B α cos 0 – C α sin0 = 0. innen B = o, továbbá az x = 0 helyen

y = f + p, tehát C cos 0 = f + p, vagyis C = f + p, tehát:

C cos (αl) = (f + p) cos (αl) = p, és ebből: (7.59)

l

lpf

αα

cos

cos1−=

(7.60) Behelyettesítve a fent kapott értéket:

( ) l

lpy x α

αcos

cos1−=

(7.61) y, és vele f értéke végtelen naggyá válik, ha cos (αl) = 0, ez pedig mindig bekövetkezik, ha:

αl = 2

πk k = 1,2,3,...

(7.62)

91

Bármilyen kicsiny p esetében is számíthatunk a kihajlás bekövetkezésére. Határesetként a

központos terhelésre vonatkozó eredményt is megkapjuk. Gyakorlatilag fontos k = 1 esetben :

αl = 2

π, azaz

2

π=IE

Fl

(7.63) A rúdon végtelen nagy kihajlást okozó F erő

2

2

4 I

IEFt ⋅= π

(7.64) A törőerő pontosan megegyezik a súlypontban nyomásra terhelt hosszú, egyenes rúd

törőerejével. A rúd igénybevétele nyomás és hajlítás. A rúdban ébredő legnagyobb nyomófeszültség:

lK

F

A

F

K

M

A

F p

ασ

cosmax

max ⋅+=+=

(7.65)

Nyilvánvaló, hogy a fenti összefüggéssel kiszámított σmax nem lehet nagyobb, mint a rúd anyagára megengedett σmeg. Ez azonban még önmagában nem elég, azt is ellenőrizni kell, hogy a kihajlással szembeni biztonság elegendő-e.

Kihajláskor a törőfeszültség és a biztonsági tényező hányadosa jelenti a megengedett feszültséget:

nt

k

σσ =

(7.66) A hajlításra megengedett σmeg feszültség rendszerint megegyezik a húzásra megengedett

feszültséggel.

Gyakorlatok 1. Tervezzünk F = 30 kN terhelésre l = 4 m hosszú faoszlopot. Az előírt biztonság: n = 5. A

választott faanyagra: E = 10 Gpa. Megoldás A keresztmetszet méreteit úgy kell megválasztani, hogy az oszlop csak

Ft = nF = 150 kN nyomóterhelésre törjön el.

Kiindulópontként feltételezzük, hogy az oszlop annyira karcsú lesz, hogy az Euler képlettel számolhatunk. Így a törőerő értéke:

92

Ft= (π / l )2 x I2 E

és innen:

I2 = Imin = Iszüks = Ft l2 / π2 E = 15 x 104 x 42 x 108 / π2 x 1010 = 2432 cm4

Négyzet keresztmetszetet alkalmazva a = 13 cm élhosszúság adódik

I = Imin = a4 / 12 = 134 / 12 = 2380 cm4 .

i = √I / A = a / √ 12 = 3,75 cm

Az oszlopban adódó nyomófeszültség:

σ= 30 x 103 / 0,132 = 1,77 Mpa

A keresztmetszet méretének kerekítése miatt Imin valamivel kisebb lesz az Iszüks-nél, így n1 is kisebb lesz n-nél. A biztonsági tényező a másodrendű nyomaték arányában csökken:

n1 = n I / Iszüks = 5 x 2380 / 2432 = 4,89

Ekkora eltérés a mérnöki tervezésekben még megengedhető.

2. Két darab, egyenként l = 4,5 m hosszú acéloszlopot készítünk, és végeiket csuklósan fogjuk össze. Z egyik oszlop 95 mm átmérőjű, kör keresztmetszetű tömör rúd, a másik keresztmetszete körgyűrű, D1 = 216 mm külső, és D2 = 194 mm belső átmérővel.

A két oszlop keresztmetszetének területe majdnem egyenlő. Határozzuk meg az oszlopok terhelhetőségét, ha a biztonság n = 3,5-szörös.

Megoldás I. eset: Tömör keresztmetszetű oszlop

D = 95 mm, A = D2 π / 4 = 70,88 cm2 , I = D4 π / 64 = 399,8 cm4

i = √I / A =D / 4 = 2,375 cm

A karcsúság: λ = l / i = 450 / 2,375 = 189,5 Acélra: λe = 105 < λ = 185,9

σtv = (1441 / λ)2 = 57, 8 Mpa

Ezzel:

Ft = σt A = 410 kN

Így a terhelhetőség:

Fmeg = F1 / n = 410 / 3,5 = 117 kN.

93

II eset: Körgyűrű keresztmetszet

A keresztmetszet területe: A = (D1

2-D22)

π / 4 = 70, 84 cm2.

Az ennek megfelelő nyomaték: I = 3732 cm4

Ezekkel az értékekkel:

i = √I / A = 7,258 cm

A karcsúság: λ = l / i = 450 / 7,258 = 62 Figyelembe véve, hogy: λ < λe, a törőfeszültség kiszámítására a következő összefüggést

használhatjuk:

σt = 308 – 1,14 λ = 237,3 Mpa

A törőerő Ft

Ft = A σt = 1682 kN.

Ezzel az értékkel a terhelhetőség:

Fmeg = 481 kN.

Észrevehetjük, hogy ez az érték megközelítőleg négyszer akkora, mint a tömör keresztmetszetű oszlopra megengedhető terhelés.

A fenti feladat tanulsága szerint sokkalta előnyösebb az üreges keresztmetszet (tehát csövek)

alkalmazása a tömör keresztmetszetnél (rudak, oszlopok), ugyanis a fenti esetben is ugyanakkora keresztmetszet esetében megközelítőleg négyszer nagyobb megterhelést viselnek el.

.

8. Fejezet 8.1. A nemzetközi mértékegység rendszer A SI, mértékegység rendszer egy logikusan felépített, nemzetközileg megvitatott, és ugyanakkor

elfogadott rendszer. A rendszer fontosabb jellemzői a következők: - koherens, rendszer leszármazott mennyiségeinek mértékegységét az alapmennyiségek

mértékegységeinek számszerű tényezők nélküli hatványszorzata fejezi ki. - abszolút, mert nem függ a Föld viszonyaitól, alapegységei a világegyetem bármely pontján

változatlanok maradnak. - Egységes és átfogó, ami azt jelenti, hogy az alapegységeivel egyaránt kifejezhető a mechanika,

villamosság, hőtan, gépészet, stb. összes mértékegysége. A SI legfontosabb célkitűzése az, hogy országhatáron belül és kívül az egy szakmában dolgozó

szakemberek jól megértsék egymást.

94

Ennek érdekében be kell tartanunk a SI mértékrendszer használati szabályzatát, amelyik a következő pontokat tartalmazza: A SI mértékegységeit a következő képen csoportosíthatjuk:

a. A SI alapegységei ( a mechanika és szilárdságtanban a hét alapegységből a méter, kilogramm, másodperc és kelvin fordul elő)

b. A SI kiegészítő egységek, ( a síkszög mértékegysége a radián, a térszögé a szteradián) c. A leszármazott SI egységek. . 2. Egyes, eddig használt egységek, bár nem tartoznak a SI egységek közé, továbbra is korlátozás

nélkül használatosak. Ilyenek a liter, óra, perc, tonna, Celsius-fok, stb. Ezekkel kapcsolatban a SI prefixumok nem használhatók. A SI prefixumok a következők: 8.1 számú táblázat.

3. A SI-n kívüli törvényes mennyiségek egy csoportja csak meghatározott szakterületen használható. Ilyenek például területnél a hektár ( 1 ha = 10.000 m2 ), nyomásnál a bar ( 1 bar = 105 Pa = 1kp / cm2 ), stb.

4. 1980 január 1- től nem használatosak a technikai mértékrendszer egységei (ilyenek a kilopond, atmoszféra, lóerő, stb.).

5. Nagyon fontos a SI prefixumok helyes alkalmazása. 6. A mértékegység után csak a mondat végén teszünk pontot

8.1 táblázat 8.2 Fizikai mennyiségek és mértékegységek 8.2.1. A görög ábécé betűi

α alfa alfa N ν niu nü

β beta béta Ξ ξ csi kszi

γ gamma gamma O ο omicron omikron

δ delta delta Π π pi pi

A prefixum

Jele A decimális szorzó (10k)

tera- T 1012= 1 000 000 000 000 giga- G 109= 1 000 000 000 mega- M 106= 1 000 000 kilo- K 103= 1 000

hekto- h 102= 100 deka- da 101= 10 deci- d 10-1= 0,1 centi- c 10-2= 0,01 mili- m 10-3= 0,001

mikro- µ 10-6= 0,000 001 nano- n 10-9= 0, 000 000 001 piko- p 10-12= 0, 000 000 000 001 femto- f 10-15= 0, 000 000 000 000 001

atto a 10-18= 0, 000 000 000 000 000 001

95

ε epsilon epszilon P ρ ro ró

ζ dzeta dzéta Σ σ sigma szigma

η eta éta Τ τ tau tau

θ theta théta Υ υ ipsilon üpszilon

ι iota ióta Φ φ fi fi

κ kappa kapa Χ χ hi khi

λ lambda lambda Ψ ψ psi psi

µ miu mü Ω ω omega ómega

8.2 táblázat 8.2.3. Átszámítási táblázatok Hosszúság (-méter, m) 1 in (inch: hüvelyk) = 0,0254 m 1 ft (foot: láb) = 0,3048 m 1 yd (yard) = 0,9144 m 1 fur (furlong) = 201,168 m 1 mile (mérföld) = 1609,344 m 1 sm (sea-mile: tengeri mérföld)= 1852 m Régi hosszúság mértékek 1 bécsi hüvelyk = 0,02634 m 1 bécsi láb = 0,3161 m 1 rőf = 0,777 m 1 bécsi öl = 1,8966 m 1 osztrák mérföld = 7585,93 m 1 magyar mérföld = 353,6 m 1 vég (vászon) = 23,3267 m 1 marok (lómérték) = 0,10536 m Terület (- négyzetméter, m2)

96

1 a (ár) = 100 m2 1 ha (hektár) = 10 000 m2 1 in2 (square inch) = 0,6452* 10-3 m2 1 ft2 (square foot) = 0,0929 m2 1 yd2(square yard) = 0,8361 m2 1 acre (angol hold) = 0,703 kat. 1 hold = 4046,856 m2 1 rood = 0,1012 ha = 10116 m2

Régi területmértékek

1 négyzetöl = 3,596 m2 1 négyzetláb = 0,0999 m2 1 négyzethüvelyk = 693,79 mm2 = 693,79*10-6 m2

1 magyar hold = 1200 öl2 = 0,4316 ha 1 katasztrális hold = 1600 öl2 = 0,5755 ha 1 osztrák négytzetmérföld = 57,55 km2 1 magyar négyzetmérföld = 69,78 km2

Köbtartalom ( köbméter, m3) 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l (liter)

1 hl (hektoliter) = 100l = 100*10-3 m3 1 in3(cubic inch) = 0,0161 l = 16,4*10-6 m3 1 ft3(cubic font) = 28,3168 l = 28,3168*10-3 m3 1 yd3 (cubic yard) = 764,5549 l = 764,5549*10-3m3 UK Units (Egyesült Királyság egységei) US Units (Egyesült Államok egységei) 1 UK pt (pint) = 0,5682 l = 568,2*10-6 m3 1 UK gal (gallon) = 4,5461 l = 4,5461*10-3 m3 1 US gal (gallon) = 3,7854 l = 3,7854*10-3 m3 1 UK bushel = 36,3687 l = 36,3687*10-3 m3 1 BRT (Brutto-Register-Tonne) = 2,832 m3

Régi köbmértékek 1 bécsi köböl = 6,821 m3 1 bécsi köbláb = 0,0316 m3 1 bécsi köbhüvelyk = 18,274*10-6 m3 1 meszely = 0,353 l = 353,6*10-6 m3 1 bécsi icce = 2 meszely = 702,2*10-6 m3 1 bécsi pint = 2 bécsi icce = 1,4144*10-3 m3 1 magyar icce = 0,848 l = 848*10-6m3 1 bécsi akó = 80 bécsi icce = 56,576*10-3 m3 1 magyar akó = 64 magyar icce = 54,272*10-3 m3 1 gönci hordó = 136-140 l 1 puttony = 28-30 l

97

Sebesség (m/s) 1 m/s = 3,6 km/h = 2,2369 mile/h 1 km/h = 0,2777 m/s 1 mile (mérföld)/óra = 1,6093 km/h = 0,4470 m/s 1 kn (knot, csomó) =1sm(tengerimérföld)/h

= 1852 m/h = 0,5144 m/s 1 foot/s = 0,3048 m/s Tömeg (kg) 1 kg = 100 dkg = 1000 g 1 t (tonna9 = 1 Mg = 1000 kg 1 ton =1tdw(ton-deadweight,hajóknál) = 1016 kg 1 shtn (short ton) = 907,2 kg 1 dwt (hundredweight) = 50,8023 kg 1 Kt (metrikus karat) = 0,2 g 1 Pfund = 0,5 g 1 ztr (Zetner) = 50 kg 1 pound (lb) = 0,4536 kg 1 ounce (oz) = 28,3495 kg Régi tömegmértékek 1 bécsi lat = 17,502 g 1 bécsi font = 32 lat = 0,560 kg 1 bécsi mázsa = 100 font = 56,006 kg 1 vámfont = 0,5 kg 1 vámmázsa = 50 kg Gyorsulás (m/s2) 1 Gal = 1 cm/ s2 1 ft/s2 = 0,3048 m/ s2 – nehézségi gyorsulás: gn= 9,80665 m/ s2 = 32,17405 ft/ s2

Erő (N)

1 N (Newton) = 1 kgm/s2 = 1 Ws/m =1 J/m 1 dyn = 1 gcm/ s2 = 10-5 N 1 p (pond) = 9,80665*10-3 N 1 kp = 9,80665 N 1 N = 0,101972 kp 1 Mp = 9806,65 N 1 lbf (pound-force) = 4,44822 N

98

1 tonf (ton-force) = 2240 lbf = 9,9640 kN 1 pdl (poundal) = 0,13826 N Nyomás (N/ m2) 1 Pa (Pascal) = 1N/m2 = 1 kg(ms2) = 1 J/m3 = 10-5bar 1 Mpa = 1 N/mm2 = 10 bar 1 bar = 0,1 N/mm2 = 105 Pa 1 at = 1 kp/cm2 = 0,980665 bar = 98066,5 Pa 1 atm = 760 Tor = 1,01325 bar = 101325 Pa 1 Torr = 1 mmHg = 1,333224 mbar = 133,3224 Pa 1 lbf/in2 (pound-force per square inch) = 6,8948 kPa1 inch

of mercuri =3,38639 kPa Munka, energia, nyomaték (Nm, J ) 1 Nm = 1 J (Joule) = 1Ws = 107 erg 1 kpm = 9,80665 Nm 1 atm = 101,325 Nm 1 kWó = 1,3596 Leó = 3,6 MJ 1 Leó = 0,7355 kWó = 2,6478 MJ 1hph(horsepowerhour) = 0,7457 kWó = 1,0139 Leó = 2,6845 MJ 1 kcal = 4,1868 kJ 1 ft.pdl (foot poundal) = 4,2971*10-3 kpm = 42,1401*10-3 Nm 1 ft.lbt (foot pound force) = 0,13826kpm = 1,3582 Nm 1 Btu (Britisch thermal unit) = 0,2520kcal = 1,055 1 kJ 1 ev (elektronvolt) = 16021917 10-18 V

Szakirodalom

99

1. Falk, Sigur, 1972, Műszaki mechanika, I-II-III kötet, Műszaki Könyvkiadó Budapest 2. Huszár István, 1980, Szilárdságtan, Gödöllői Agrártudományi Egyetem, Egyetemi jegyzet 3. Huszár István, 1981, Statika, Gödöllői Agrártudományi Egyetem, Egyetemi jegyzet 4. Kaifás Ferencz, Szabó Béla, Müller Zoltán, 1982, Mechanika példatár, Gödöllői

Agrártudományi Egyetem, Egyetemi jegyzet 5. Kaifás Ferenc, 1983, Kinematika, Gödöllői Agrártudományi Egyetem, Egyetemi jegyzet 6. Muttnyánszky Ádám, 1981, Szilárdságtan, Műszaki Könyvkiadó Budapest 7. Olariu Virgil, Sima Petre, Achiriloaie Valeriu, 1983, Mecanică Tehnică, Editura Tehnică,

Bucureşti 8. Popovici Mircea-Mihail, 1981, Mecanică tehnică pentru muncitori, Editura Tehnică,

Bucureşti 9. Ripianu Alexandru, Popescu Paul, Bălan Barbu - 1982 , Mecanică tehnică, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 10. Szilágyi József, Miklós Csaba, 2002, Dicţionar tehnic român-maghiar, Editura Status,

Miercurea-Ciuc

Cuprins

1 Terminologie 9

100

2 Statică 11 2.1 Întroducere 11 2.2. Noţiuni de bază 11 2.3 Statica punctului material 14

2.3.1 Forţe cu suporturi comune 14 2.3.2 Forţe planare 16

2.4 Reducerea sistemelor de forţe planare prin metode grafice 20 2.5 Momente, reducerea momentelor 21

2.5.1 Momentul forţei în raport cu un punct 21 2.5.2 Determinarea analitică a momentului forţei în raport cu un punct 23 2.5.3 Momentul forţei în raport cu o axă 23

Aplicaţii 25 3 Geometria maselor 31

3.1 Determinarea centrului de greutate a unui corp oarecare 33 3.2 Proprietăţile centrului de greutate 34 3.2 Densitatea (volumetricţ, superficială şi liniară) 35

Aplicaţii 35 4 Cinematica 38

4.1 Cinematica punctului material 38 4.2 Viteza şi mişcarea punctului material în spaţiul tridimensional 39 4.3 Componenţii vitezei şi acceleraţiei 40

Aplicaţii 42 5 Cinematica solidului rigid 44

5.1 Introducere 44 5.2 Mişcarea de translaţie a solidului rigid 44 5.3 Mişcarea de rotaţie a solidului rigid în jurul unui ax fix 46 5.4 Mişcarea de rototranslaţie a solidului rigid 48 5.5 Mişcarea de plan paralelă a solidului rigid 50 5.6 Mişcarea de rotaţie a solidului rigid în jurul unui punct fix 53 5.7 Mişcarea generală a solidului rigid 56

6 Dinamica 59 6.1 Lucrul mecanic 59 6.2 Puterea mecanică 60 6.3 Energia cinetică 61

6.3.1 Energia cinetică a punctului material 61 6.3.2 Energia cinetică a corpului în mişcare de translaţie 62 6.3.3 Energia cinetică a corpului în mişcare de rotaţie 62

6.4 Energia potenţială 62 6.5 Energia mecanică 63 6.6 Impulsul 63

6.6.1 Impulsul punctului material 63 6.6.2 Impulsul solidului rigid 64

Aplicaţii 65 7. Rezistenţa materialelor 68

7.1 Întroducere 68 7.2 Solicitări 70

7.2.1 Bara dreaptă 70 7.2.2 Solicitările 70 7.2.3 Tipuri de solicitări 71

7.3 Legea lui Hooke 73

101

7.3.1 Deformarea transversală 73 7.3.2 Forţe de tăiere 73

7.4 Tragerea şi compresiunea 75 7.4.1 Calculul tensiunilor şi deformaţiilor 75 7.4.2 Calculul şi controlul barei trase 77

Aplicaţii 78 7.5 Tăierea 80

Aplicaţii 82 7.6 Îndoirea 84

7.6.1 Calculul barei îndoite 88 Aplicaţii 88

7.7 Răsucirea 91 7.7.1 Răsucirea barelor 91

Aplicaţii 93 7.8 Flambarea 95

Aplicaţii 100 8 Măsuri şi unităţi fizice 103

8.1 Sistemil internaţional de măsuri 103 8.2 Măsuri şi unităţi fizice 105

8.2.1 Alfabetul grecesc 105 8.2.3 Tabele 105 Bibliografie 108

Rezumat

Prezentul curs universitar este destinat studenţilor anului II, secţia ingineri alimentari, şi ingineri de protecţia mediului de la Universitatea Sapientia EMTE Miercurea-Ciuc.

Cursul este în conformitate cu programa analitică a disciplinei de Mecanică şi rezistenţa materialelor, predată în semestrul întâi, în 14 cursuri a câte 2 ore.

Cursul conţine următoarele capitole:

102

1. Statica punctului material, statica solidului rigid 2. Momente, reducerea momentelor 3. Geometria maselor 4. Cinematica punctului material, cinematica solidului rigid 5. Ecuaţiile mişcării 6. Mişcarea rectilinie 7. Mişcarea de rotaţie 8. Mişcarea plan paralelă 9. Mişcarea de rototranslaţie 10. Dinamica, lucrul mecanic, energia mecanică, cinetică şi potenţială, impulsul 11. Rezistenţa materialelor, noţiuni de bază 12. Tragerea, îndoirea 13. Răsucirea, flambajul 14. Aplicaţii de calcul

Autor: Şef lucrări dr. ing. Szilágyi József