Ing. Milan Pta

t

MECHANIKA TEKUTINSbrka pk|ad

2005Vvdavatelstv vur

pBol,n.UVA

Tato skripta jsou uena pro cvien a seminie z pedmtu Mechanika tekutin, je jev rozdlnm rozsahu pednen v souasn dob studentm tetho ronku bakalaskho amagisterskho studia na strojn fakuk vur a dopluj svm obsahem pednkov skripta,,Noika, J.: Mechanika tekutin.. vydan na vUT v Praze.

Ltkaobsaen v tomto skriptu je lennl do 8 kapitol, kter jsou rozdleny s ohledemna progftlm jednotlivch cvien. Skripta dopluje ploha s tabulkami a diagramy, je jsoupotebn k vpotu jednotliqch pklad. Clem skripta je snaha o maximln eliminacippadnch nejasnost vzniklch pi een jednotliqch pklad. Ztohoto dvodu jsoupklady v tchto skriptech een a proto je soust kd kapitoly strun pehled teorie, vekterm jsou vysvtleny vechny vrtahy nezbytn pro vpoet pslunch pklad. Autorpedpokld, e toto uspodrn dovol studentm snze pochopit probranou ltku, usnadnjim ppravu na jednotliv cvien a umon snadn sloen zkouky.

Autor si tmto dovoluje podkovat pan Ing.. Blance Viradiov, CSc. a panu doc. [ng.Josefu Adamcovi, CSc. za cenn rady a za laskav svolen navaat na jejich skriptaMechanika tekutin, Sbrka pklad.

V Praze v jnu 2004

Autor

OBSAH

Pedmluva

obst

Pehled nejdrleitjch symbol a znak

l. vod do mechaniky tekutin, kladn vlastnosti tekutin

2. Hydrostick tlak

3. Hydrostatick tlakov sly3.l Hydrostatick tlakov sla na rovinnou stnu3.2 Hydrostatielc tlakov sla na zakivenou stnu3.3 Plovan

4. Relativn rovnovha tekrrtin

5. Jednoroznrrn proudn5. l Stacionrrn jednorozrrrrn proud ideln tekutiny5.2 Vtok zndob5.} Stacionnr proudn vazk tekutiny5.4 Nestacionrn proudn5.5 Relativn pohyb tekutin

6. Dynamick uinky proudu tekutiny

7. Laminrrn a turbulentn proudn

8. Rovinn potencirln proudn

Plohy

Literatura

J

4

5

7

t2

t8182327

30

393946526068

74

84

94

103

118

pBru,po NerorBrrcH sylleor n zNapraaAbcddh

DD,,ezFgGhh,HHiikM

ly

kKILmrilMnop

P"Pt

P"Po

P.P,PorRRessy

(m)(m.s-')(m')(m)(m.s-t)(m)(m)(m)(mo)(J.k')(N) .(m.s-')(N)(m)(m)(m)(kg.m.s-2)(m')(1)(1)(mo)(m)(m.s-')(m)(m)(kg)(kg.s-t)(N m)(min ' ' )(m)(Pa)(Pa)(Pa)(Pa)(Pa)(Pa)(Pa)(w)(rt .s-t)

vzdlenostzrychlenplocha, pruezka, hloubkaabsolutn rychlostprumrhydraulick prurnrprmrdevian moment plochy k osm x a y

ztracenenergieslagravitan zrychlenthahloubka(vka)rtov kahloubka (rka)hybnostn tokpolomr setrvanostipevod manomeukonstanta manometrumoment setrvanosti uvaovan plochy k ose ystedn drsnost stnyintenzita hmotovch sil (vnj zrychlen)dlka, vzdlenostdlka. vzdlenosthmotnosthmotnostn tokinoment'otkyomoen obvodtlakabsolutn tlakbarometrick tlakcelkov tlaktlak okolstatick tlakztrto tlakvkonobjemoq tok, prutokpolomrpolomrReynoldsovo slo (kritrium)vzdlenoststatich moment plochy vledem k ose yas

.\

m)m)1)m)m3)

s)

tTuvV

d

Bt

qpK

)"pvpCt)

T

V:

("c)

(r'..-t)

( )(K-t)(1)(Pa.s)(1)(1)(1)(1)(rt.s-t)(kg.m-')(s-t)(s)(1)(1)

teplotatermodynamick teplotauniv rychlost, obvodov rychlostrelativn rychlostobjemobjemo tok

hel' souinitpl kontrakcehel, souinitel objemov roztanostiexpanzn souiniteldynamiok viskozitahel, ryehlostn souinitelCoriolisv souinitelsouinitel tecichfrtvtoko souinitelkinematick viskozitahustotahlov rychlostashelZtrtov souinitel

Zde neuveden symbo|y aozna,en jsou vysvtleny v textu.

6

t. voo Do MECHANIKY TEKUTIN. zrtnoN vrasTNoSTITEKUTIN

Mechanika tekutin je nauka o rovnovze a makroskopickm pohybu tekutin a o jejichpsoben na tlesa do n ponoen i j obtkan.

Tekutiny jsou ltky' jejich mikroskopick stice se i za inku nepatmch silvzjemn vi sob pohybuj- tekou, proud'

I kdy mikrosticov pohled na strukturu tekutin umouje vysvtlit vtinu jejichfyziklnch vlastnost, popis makroskopickho pohybu - proudn - je ztohoto hlediskaobtin a nepraktick. Proto mechanika tekutin popisuje chovin ltek makroskopickmiveliinami, kter alternativn definuje pomoc modelu zvanho kontinuum. Kontinuum jemodel ltky, v nm definici makroskopickho stavu extrapolujeme do libovoln malchrozmr subsystmu' co umouje v mechanice kontinua vyut k odvozovn jejch zkoninfinitezimlnho potu.

Stav tekutiny nim uruj tyto stavov veliiny:1) Tlak p (Pa\

kde dF, (N) j" elementrn normlov sla psobc na elementrn ploku2) Hustota (mrn hmotnost) p (kg .m_")

p=l imnu-"+=!!,u ' - " LV dV 'kde m (kg) je hmotnost ltky a V (m' ) je objem, v nm je ltka obsaena.

Pevrcenou hodnotou hustoty je mrn objem v (m,'kg,) v = 1 .p

3) Termodynamick teplota r (K)Kelvin (K) - jednotka a souasn rozmr je definovana jako 273,16' st termodynamickteploty trojnho bodu vody.

1K= 1 , - ^' _

116 ,TrH,o

Teplota t ("c) je urena v Celsiov teplotn stupnici. Celsiv stupe je stejn velk jakokelvin, nula stupnice vak |e v teplot tn vodnho ledu pi tlaku 1,01325.105 Pa, ie 1e273,15 K. Odtud plyne vztah:

t =T - 273 ,15 .

Z|adn ff zikln vlastnosti tekutin

a) Teplotn objemov roztanost. Projevuje se jako zmna objemu ltky s teplotou. Jecharakterizovna souinitelem izobarick teplotn objemov roanosti p (K,)

B=1f9ll =1f91) --1(9L)' V\aT)o v\07) , p\aT) ,b) Rozpnavost. Ukazuje zmnu tlaku s teplotou, pi zachovn konstantnho objemtl.

Je charakterizovna souinitelem rozpnavosti 7 .l(-)'

n , _1ap )I - plar ),

dA (m2) .

c) Stlaitelnost. Charakterizuje zmnu objemu tekutiny v zvislosti na tlaku. Mrustlaitelnosti popisujeme souinitelem stlaitelnosti (izotermick i izoentropick) (Pa, ) ,

g - -Jf+l - -1fgl =l(ee) ;i =r,sI Vlap), v lap), p lap),Pewcen hodnota souinitele stlaitelnosti se na4v modul objemov prunosti tekutinyE (Pa).

E '=6 , - ' ; i = f ' s 'V mnohch ppadech je hodn vliv stlaitelnosti popsat rychlost zvuku.

d) Rychlost zvrrku a (m's-') je rychlost en elementm tlakov vlny v pslunltce zpsobujc zmnu hustoty.

e = /f9q)1(aPl,

V plynech je en zvrrku dj izoentropick popsan Poissonovm zkonem

P V* = + = konst. Rychlost zvuku pak vyjdme' p K

17^ \e= ll9l l = l"L.

l(apl. ll pV kapalinch se rychlost zvuku vyjaduje modulem objemov prunosti

E=pa2->"=^lE. ul P

Stlaitelnost kapin je ve srovnn se stlaitelnost plyn mal (i kdy vt ne u ltekpevnch), proto se pi mench tlakoch zmnch vliv stlaitelnosti kapalin zanedbv akapaliny se pokldaj za nestlaitetn.

V idelnch plynech F = y =: *K- ' proto lze sestavit jednoduchou stavovou rovnici273,15idelnho plynu P V = m r T, kde r (J kg, K_') je mrn plynov konstanta.

e) Viskozita tekutin (vazkost) je schopnost penet prostednictvm vnitnho tenten napt t (Pa). V newtonskch tekutinch pIat mezi tenm naptm a rychlostsmykov deformace tzv. Newtonv zkon

,=ry*,oy

kde koeficient mmo sti r7 ( P a.s ) se nazv dynamick viskozita.Pouvme rovn kinematickou viskozitu v (m2 s-1) , je je definovina

v=Tp

f) Povrchov napt o (N m-. ). Je zpsobeno pitalivmi silami-psobcmi mezimolekulami kapalin. Tyto sly se sna zmenit voln povrch kapaliny. Je-li voln povrchkapaliny zakiven, pak se pi vydutm (konvexnm) povrchu tlak v kapalin zvt, pfivypuklm (konkvnm) povrchu zmen. Taklze vysvtlit kapilrrn elevaci a depresi.

g) Tlak nasycench P Pp (Pa). Je to hodnota tlaku par, pi nm nastv rovnovhamezi potem molekul opoutjcch kapalinu a vracejcch se zpt. U jednoslokovch kapalinzvis pouze na teplot, roste s teplotou. im.1e tlak nasycench par kapaliny pi dan teplotvy, tm je kapalina tkavj. Tlak nad hladinou kapaliny mus byt vy, ne je t|ak

nasycench par' jinak dochzi k prudkmu odpen (varu). Klesne-li tlak uvnit kapaliny podhodnotu tlaku nasycench par, dochaz ke vzniku kavitace.

Jeliko se tena me asto setkat sjednotkami. kter nejsou soust soustavy SI, jev ploze 1 pepoet tchto jednotek do soustavy SI' Ltkov konstanty nktech dleitchltek jsou pak uvedeny v pil'oze 2,

Pklad 1.1Na obrazku 1.l je schma zaizeni, kter sepotliv pro cejchovn manometru. Picejchovn se tlak manometru porovnvs etalonem, tj' s pesnm laboratornmpstrojem. Zaizeni sestv s hydraulickhovlce zaplnnho olejem, v nm je umstndobe utsnn pst o prumru d = 0,02m. Pstse posouv roubem se stoupnm S = 2,5 mm .

Poten objem oleje % = 500 cn3. Urete,kolik otek roubu n je zapoteb, aby tlakstoupl o p = 300 lar . Souinitel stlaitelnosti

oleje = 4,89' 10-1a Pa-1. Pi vpotupedpokldejte absolutn tuh vlec, kter jezcela naplnn olejem.

1V

Obr. l . l

6= |V|= 6 pVo -) | lv|= 7,335.10_6 m3

4|VI-+ tt =-4 = 9,3.srd'

Vo p

ltvl= rt+

Pklad 1.2Pi hydraulick zkouce tsnosti potrub (obr. 1.2)prumru d=0,5m a dlky L=3km byl namenpoten tlak vody Po = 6,5 MPa . Po urit dobpoklesl tlak na P., = 5,8 MPa. Stanor,te objem vodyAV unikl netsnostmi pi zanebn deforrnacepotrub. Modul objemov prunosti vodyE = 2,1.10s Pa .

V ,d ' L .4

kde Vo= Obr. 1.211EVo

v|=!l r E

fu-Po

VolP ' , - Po l = 0,196 m3.

Pklad 1.3Stanovte kinematickou a dynamickou viskozitu vody pi teplot = 36oC. Hustota vody

P = 1000 kg m-' . Pi vpotu pouijte vztah z pilohy 2.

1,775.10-6 =7 .101.10-7 m2s-1 .1+0,0337t+0,000221t2

4=vP=7,101 .10-a Pa . s

Pklad 1.4Stanovte souinitel dynamick a kinematick viskozity vzduchu pi teplot t =23"C a tlakuP =1,013 bar .Pi vpotu pouijte vz1ahzp|ohy 2.

1+9T I T

rt:ry(T)-*,. i-, tae To =27315 K, r l)=1,72.10-5 Pa's , c =126 K.1+a \ l 'o

T-+ 4 =1,836.10-5 Pa.s.

Stavov rovnice iderrlnho plynu: L = rT +p

,=L=1,54.1 .0-5 m2s-1 .p

Pklad 1.5Pro vzduch odvote vrazpro..a) izotermick objemov modul prunosti, je-li rovnice izotermick zmny pl p = konst.b) izoentropick objemo modul prunosti, je-li rovnice izoentropick zmny

-P- = konst., kde r =1,4 .p*

Vypotejte jejich hodnotu pro tlak P = 1 bar .

e=+=1,192kgm-,.

E =P(#),

a) P = konst -) tn p - ln p = ln konst. -)pEr=P=1.105 Pa.

b) ! -=konst . + tnp-rc lnp=lnkonst . +, P K

Er=KP=1,4 .105 Pa .

Pklad 1.6Vypotte rychlost en zvuku:a) v ist vod, je-li modul objemov prunosti E = 2,1'109 Pa ,b) ve vzduchu pi teplot t = 25"C, za pedpokladu, e se jedn o izoentropickou zmnu.

ExiE!;

oppopp

ap _.-popp

i - -T ,s

op op _npp

uP _*u, =pp

0-)

a) a-

b) Q =

=1449,14 ns- ' .

f^=, l*L , je l i ko L=rT - ) g=,[*r t=346,12ms-1

t tp p

10

Pklad l.7Stanovte korekci na teplotu k, rtuovho barometru(obr. 1.3), jestlie byla odetena dlka rtuovhosloupce h =750 mm, pi teplot t =23"C. Jak jerelativn chyba e, jestlie se korekce neprovede?Stedn hodnota souinitele teplotn objemovroztanosti rtuti f =1,815.10_4 K_1 a souiniteldlkov roztanosti a =1,84'10_5 K4 .

h,(* p at)= h(1+ a at).

l n \

h, =hl l - P -o

f t l=nh-x. t t\ .' \ , 1+PAt ) ' ' '

kt =1,624.10-o Kt .

Po = h,.133,g22# -) Po = 9961 7,96 Pa ,

Obr. 1.3

. '100 = 0 ,37 %o.

Pklad 1.8Stanor,te kapilrm elevaci h vody v kapile prumrud =3 mm (obr. l.4a). Teplota vody t =24oC.Hodnota povrchovho napt o je na diagramemv ploze 2. Pedpokldejte, e povrch kapilry jeist' tj. 0 =0" .

trd2 4ocos?i rocosua= . Pgn -+ n- -4 pgd )

o =7,225.10-2 Nm-1 + h = 9,82 mm .

Pklad 1.9Stanovte pro rtu hodnotu povrchovho napt ov kapilre prumru d = 4 mm , je-li kapilrrn depreseh =2,94 mm a hustota rtuti p = 13550 kgm-t(obr.1.4b). Pedpokldejte, e povrch kapilary jeist, tj. 0 = 140" .

* r{2ndcosoo:?pg(-r , ) .

4

o=-P9dh=0.510Nm. .4cos0

1 l

Obr. 1.4

2. HYDROSTATICKY TLAK

Statika tekutin se zabyv rovnovhou silpsobcch na tekutinu a tlesa do n ponoen.Hlavnm znakem rovnovihy vzhledem k uritmuprostoru je, e se v nm makroskopick sticetekutiny vui sob navzjem nepohybuj.Rozliujeme rovnovhu absolutn, kdy je tekutinav klidu vledem k tzv. absolutnmu prostoru, zakter povaujeme piblin prostor spojens zemskm powchem), a rovnovihu relativn, pi nje tekutina v klidu vi stnm nrdoby konajcunaiv pohyb pedepsanch vlastnost vzhledemk absolutnmu prostoru.

Rozloeni tlaku v tekutin Obr.2. l

M.li se tekutina nachzet v rovnovze, mus b;it v rovnovrze sly a silov dvojce nani psobc. Na objem tekutiny V (m" ) uzaven v kontroln ploe,{ psob sly hmotnostn

e trul a tlakov r' trul. Smykov sly se zde neprojevuj, nebo jsou podle Newtonova

zil

Rozloen tlaku v tekutin za psoben zenrsk te

Sloky intenzity silovho pole jsou K, = K, =0 , K, _ _ g. Z Eulerovy rovnice vychzi

dp = _ p g dy. Hladinov plochy jsou tedy v tomto ppad vodorovn roviny. Zavdimedh _ _ dy. Absolutn tlak v uritm bod proto vypoteme zevztahu

p=p"+'!egdh=p,+pgh,0

kde p" je absolutn tlak na hladin a h svisle men hloubka pod touto hladinou.

Kapalinov manometry

U-trubice (obr.2.2)

Rozdl tlaku tekutiny okapaliny o hustot p"

AP__?-Pz__P ,9h

hustot p zpsob chylku Ah

ndobky do

Bh

P

Pklad 2.lK ndri naplnn vodou je pipojen rtuo manometr(obr. 2.5). Urete tlak nad hladinou P", znitme-li kyht =0,15 m, h, =0,25 m a hustoty A = 13595 kg .m-" ,

Pz =1000 k9 . m-3 . Barometrick tlak Po =98 kPa

V rovin prochazejc rozflranim vody a rtuti je v obouramenech U.trubice stejn tlakp" + pzg (n., + nr)= pn * p$ hzp" = pa + p$ hz - pzg @, * hr)=127407,7 Pa

PHad2.2V uzaven svisl vlcov ndri se nachaz wstva vody ov'ce h., =0,2 rn a wstva oleje o vce hz =1,2 n. Tlakvody u dna je men piezometrickou trubic. Petlak nadhladinou v ndri je Po = 0,01 MPa (obr.2.6).

Jak je hustota oleje, nachu-Ii se hladina vodyv piezometrick trubici ve uce h = 2,2 m ? Barometrick

tlak po =101,325 kPa, P, =1000 kg . m-3.

P, + Pn + P,g h + Poq hz = Po + P,g h

Po = 817,2 kg - m-3

t\

h2

Pklad 2.3Urete rozdI hladin h lihu a rtuti v U-trubici dle obr. 2.7, nalljeme-li do jednoho ramene lh. Neuvaujeme vliv povrchovho napt.Vka sloupce lihu h :20O mm, Pl = 8O0 kg .m-, ,

Pug = 13550 kg .m-t .

Tlak v rovin, kter procha rczhranm rtuti a lihu mus byt v obouramenech shodn.Pnsg@,-n)=Pr th th = 188,2 mm

Pklad 2.4V ndobch dle obr. 2.8 se nachn vzduch otlacch Pl a Pz. Tlak v prvn ndob mU-trubice naplnn lihem o hustot

Pl = 800 kg 'm-'. Rozdl hladin v n je

h" = 500 nm. Druh U-trubice m rozdltlak mezi ndobami. Je naplnna vodou ohustot P, :1000 kg . ffi-" , rozd| hladinh, =1200 mm. Tlak ve druh ndob jemen tet U.trubic, kter je naplnna rtut

Obr .2 .5

Obr. ?.6

Obr.2.7

t4

Obr.2.8

o hustot Png = 13500 kg'm.'. Stanovte hodnotu absolutnch tlak vndobch h a Pz.Urete rozdi| hladin h. v posledn U.trubici, je-li barometrick tlak P t = 98 kPa .

p, =101924 kPa , pz =90152 kPa , h, = 59,3 mm

Pklad 2.5Jak je tlak pa v plynojemu na obrzku 2.9, je-likjeho men pouita U-trubice naplnn rtut ohustot Pug = 13546 kg .m_', a vodou, kter senachz nad hladinou rtuti ve stedn sti a mhustotu P, = 1000 kg . m_3 . Zntme rozd|y hladinrtuti h, = 100 mm , h2 = 200 mm a barometricktlak po = 101,325 kPa .

Tlak v rovin x-x ve stedn sti meme vyjditjako

P" + Pns g h, - P, I hr = Po - Png g ht

p" = pn + p, g h., - pns g (h,, + hr)=62440,1 Pa

Pklad 2.6Urete tlak plynu p v ndob dle obr. 2.10, je-li

k men pouit manometr, resp. mikromanometrnaplnn dvma nemscmi se kapalinami: vodouo hustot Pr = 998 kg . m_, a toluenem o hustot

Pz = 866 kg . m_' . Jsou drny prumry trubiced=5mm a ndobky D=50mm a odchy l kaod rovnovn polohy h = 100 mm ,

Je-li v obou ndobkch stejn mnostv toluenu,pak vzdlenost rovnovnch poloh hladin odnuly stupnice je /. Odchylky hladin toluenu odrovnovin polohy zpsoben rozdlem tlak jsouLl .

Al 'D' = 7r

7T d2 -+ al = h( !\'44(D/

p + g pr( + h - LI)= pn t g pr(Lt

P _ Po =29 h(p. _ p,)+ 29 p, l =

+l -h)+29p. ,h

zon{e,-,,1, (*)'l} =2rr Pa

Pklad2.7Uvaujte, e v mikromanometru z pkladu 2.6 je toluen pouze v pravm rameni, obr' 2.l lJak velk vchylka hladiny h bude nyn odpovdat petlaku 277 Pa?

Its

Obr.2. l0

15

V tomto ppad nebudou hladiny v ndobkch pirovnovn poloze, tj. pi stejnch tlacch nad obmahladinami P = Po, ve stejn vce.

T lakvrov in X_X:Px = Po+ AQI = Po+ pzgQ + Ah) ,

h=l ?_Pz .pz

Pi rozdlnch tlacch, nap. je-li v levm rameni tlakP > Pa, se hladiny v ndobkch posunou o Al arozhrankapin v trubici oh.

Tlak v rovin Y _Y :Pv = P+ 9 P.Q _ t - h)= P, + 9 PzQ + h + l - h),

f a z l rp - po = g hl(p,, - pr)* #(p,, + p) l,h = o,o1 87 m.

L ' - r l

Pklad 2.8K men tlakov diference mezi dvma ndobaminaplnnmi kapalinou s hustotou p,, by| uit kapinomanometr obr. 2.12. Hustota kapaliny v manometru jep,.Urete rozdi| tlak pro ten manometru h.

Pro rozdly tlak mezi oznaenmi body plat vztry:fu -Pz=-P$(h-hr )pz - ps = -pzg(hz - h, )ps -pq=-p$(hs -ho) .Ztchto t rovnic vyplvPr - Pt = p$(hn - h,) + ( ? - pr)g(h, - hr)

Pt - Pa = p$L+ (A - pr)gh.

im je men rozdi| hustot, tm je vt tenmanometru fl.

PikJad2.9Ze ten manometru h naplnnho kapalinou o hustotp. vypoitejte vku vody L v ponomm zvonu naobrazku2.l3.

Zanedbtme-li hydrostatick tlak vzduchu ve spojovachadici, je tlak v bod 1 a 2 stejn.

Plat Po + Pzq(H _ L) = Pa + P$h

L=H-P 'h .pz

Obr. 2.11

Obr.2.I2

-$z

16

Obr.2.13

Pklad 2.10Ke dvma pruezm sklonnho potrubnaplnnho vodou, obr. 2.I4, jepipojena U-trubice naplnn rtut. Jakvelk bude rozdl hladin h, je.li potrubuzaveno. Vzdlenost odbru l=2m,hel sklonu potrub d, =30o,vzdlenost hom hladiny rtuti oddrho odbru hz=0,5 m. Pvodnhadiky jsou naplnny vodou.Prg = 13546 kg .m-'

pz - r . . .=pg l s ina=9810Pa .Tlak v rovin prochazejc spodn hladinouv U-trubici: Obr.2.l4

pz -h-gp l s inah+g pQ s ina +hr )+g pngh = pz+g p(hr+h) , h=

Pklad 2.11Spojen pisty zaiizen na obr. 2.l5 se ustlv nakreslen poloze. Urete vku h, je-lidn pomr Dld =2 a H =2 m .

-r!2 -\2pgHT=pg(H-h): : - ,

44

=0 m.glPrn - P)

h=H[,'-9)' l =\5m.L (D/l

Pk|ad2.I2Ti psty o plochch Al = 5 m2 , Az = 2,5 m2 ,Ag=1,5m2 jsou zat ieny s i lami F l=2.104 N,

F , = 4 .104 N , Fs = 5 .103 N, v i z obr . 2 .16 .Urete peven prvnho pstu h, a druhhopstu h,. Hustota kapaliny je p = 900 kg'm-3 .

t r t rF "p - ! - 2 - - ' 1 +oq'

A2 A i ' n 1 = ; ;+ POnz

F2 F1

h, = lzA =\36 m .pg

F2 Fs

h, = A' A" =1,43s m .-pg

Obr .2 . l5

t7

Obr.2.16

3. HYDRoSTATICK TLAKoV sry

3.1 Hydrostatick tlakov sla na rovinnou stnu

Pi vpofu tlakov sly pedpokldme, pokud nen uvedeno jinak, e ponoen plochyjsou pod volnou hladinou, tj. na volnou hladinu i na vnj strany konstrukce tles a ndobpsob ze vech stran atmosfrick tlak po. Namahn stn a tles tlakovou silou jezpsobeno fidpolne petlakem, rovnm hydrostatickmu tlaku tekutiny v ndob.

Vsledn sla F, kerou psob tekutina na rovinnou stnu, nebo jej st o ploe ' jerovna

F = pt.A = p.g.h,.A (ru),kde p,W.,-,) je petlak v titi T plochy A(,,),p(kg.m_,) je hustota tekutiny, h, (,)je hloubka titplochy pod hladinou, viz obr. 3.1.

JeJi ndoba vzaven a nad hladinou je petlak P,, P*petlak v titi plochy je

Pt = Pp + P.Q.ht , (p')Obr .3 .1

Sla F je kolm na stnu a jej psobit C lei nie ne tit plochy r . Souadnicepsobit tlakov sly' tj. tzv. tlakovho centra, stanovme zevztahi:

q

y" =D, kde

t, = llx,an je.moment setrvanosti uvaovan plochy k ose y, tj. prusenice stny

A

s hladinou nulovho petlaku,s, = JJxd

= Xt.A je statick moment uvaovan plochy k ose y,A

D,y = I!,v.aa je devian moment uvaovan plochy k osm X a y .

A

Je.li plocha A soumrn k ose prochrzejc titm plochy r, piem uvaovan osa jekolm k ose y, pak psobit sly F |ei na tto ose symetrie.

Je-li lt moment setrvanosti vztaen k ose ptochnejc titm T plochy arovnobn s osou y ,meme pomoc Steinerovy vty pepotat

lv=Ax| +t,=A(,r *i,)'kde =^[]Jn jepolomr setrvanosti plochy . Po dosazen

dostaneme Xc=Xt*+=x,+L . Psobitsly F 1etedypodtitmplochy r veX,'A ' X,

i zvzdlenosti x = -- . Psobit sly |e v titi zatovacho objemu.

X

Psob.li tekutina na stnu z obou stran, uvaujeme nejprve kadou stranu samostatna pak oba inky vektorov seteme.

18

th"F ,=P9hz r , " "b=2497

kN

F = Ft - Fz =7492 kN

Psobit sly vypotrme z podmnky rovnovhy momentk pat stny.

Fx=F,! l ,_ -F,1-!r- -) x=6,60m' 3 s ina '3 s ina

Pklad 3.1Vypotejte velikost a psobit v'sledn sly, kter psobna ikmou stnu oddlujc dv vodn ndre (obr. 3.2). Levndr je naplnna do vky hl=12m, prav do vkyhz =6 ?, stna m ku b = 10 n a se dnem ndr svrhel a = 45o . Hustota vody p = 1000 kg 'm-" .

Pklad eme superpozic. Potrme nejprve inek kapaliny zth ,

F., == pO h,, .-r- b = 9989 kNz s tna

Pklad 3.2.Sla, kterou psob voda na svislou obdlnkovou stnu,je penena na 4 vodorovn nosnky (obr. 3'3). Ureterozmstn nosnk, aby jejich namahrn byla stejn.Zntme P = 1000 kg'm-, , h =7 m, ka b =3 m,ho =1m '

+ = +.1.0.g (r' - ht),4 4 2 ' , v \1 l

A, = ;p.g.(h,+

no).(tr, - ho) = ] n o b'

- h3),

!{n' - ni)+ n3= 3,6055 m,

obdobn hz = 5,0 m a h, = 6,083 m.

h r b

h o o

obdobn Xz=4,341m, Xs=5,560m a X4=6,551m.

Obr .3 .2

lev strany a pak zprav.

/ Psn,'/ A z

/ orPsn/ so ?9h3

P

h r=

Obr .3 .3

Pozommu teni jist neuniklo, e poloha tit zatovacich obrazc nezvis na ce '

t9

Pklad 3.3Stanovte minimln tihu zvai G potebnou k uzaven kruhovho otvoru o prumrud=0,2m klapkou, je.li vka hladiny vody nad osou otvoru h=0,37'' ramena pkb=125 mm a l=20o mm (obr.3.4). Thu prk a tenv loisku zanedbejte. P =1000 kg.m-3

- d 2F=hpgT=92,5N.

4

l, Ax,2 + l, l.X c = - = - = - = X r a : - = h r j , ( ,' S , Ax ,

- ' I Ax ,

L, = =1, = o!,0 -L = 9: . = o.oog33 m.Ax, 64 rd'h 16h

F(b+ e)=Gt -+ n=+F=61,6N.

Pklad 3.4Jak velkou silou psob voda na pehradn hz,kter m tvar rovnoramennho trojuhelnka o rnceH =150 m a ce koruny hrne B =100 m(obr. 3.5). Udejte psobit vslednice.p = 1000 kg.m-t

=L . n:1 gn.3 ' 2

Obr.3.4

Obr. 3.5

F = Pr o = #:= 3,68.1 06 kN .

,,={= #==75m.

Pklad 3.5Jak mus bt minimln vka vody H, aby se klapkarovnomrn tloutky neotevela (obr. 3.6). Hmotnost klapky jem = 9000 kg, sklon a = 45". tola vzavitan obdlnkovouklapkou je tvercov o rozmrech a x a = (3 ,3)m2. otonbod klapky je ve ce c = al4 nade dnem toly. Hustotavody je p = 1000 kg m-t .

x1r_- ->mg .acotga; ad lesina - 4

x r=hr

l ,eA.x, sina

, 1a4t _ : -' t

12 ' s in3 a '

Dosazenm H >_

gnakde

1 = - d .

4

Obr .3 .6

xt^ ?.

A = ---:-,

SnaH

gnd

m.cos a.gn a *=\5m.a' .p

20

Pklad 3.6Urete maximln vyku h hladiny vody nad otonmepem trojhelnkov ocelov zaklopky ndreorozmrech a=1m, b=1m a t louce z=200mm(obr. 3.,I). Stna svr s vodorovnou rovinou hela = 60o. Hustota vody je p ='1000 kg m-', hustotaocele po = 7850 kg m-' .

C, Ma = Gcos a1l3b .

) " ,Obr. 3.7

F.

)x l .

)

=r

na

ra)

, , F _

. srn

'ta

slnr

M

.b . t

slh,

kde

1-3

b2 .

, , G ,

t.l h

t-....-

6(

g.

M

.g

I

= r l

p-!

b3

Po

MF

F=

c-

G-

(3h + br

)a n,, po dosazen

Pklad 3.7Stanovte vslednou slu F psobc na polovinu vrat plavebnkomory . Jsou dany hloubky h', =20 m, h,=Sm, ka komoryb=12m' hel a =20o. Stanovte i slu S, kteroujsouvrataksobpitlaovana a reakce v hornm a dolnm epu vrat (obr. 3.8).

Ve styn ploe obou polovin vrat vznik sla S kolm na stynouplochu. Na ep psob reakce R. Pod inkem tchto sil jsou vratav rovnovze, a tedy mus sly F ' S a R procheet jednm bodem.

, = l(r? .z.cos a - b.",i, ")

= 0,352 m .

1bF, = o

g,;* h? = 12527000 N

1br, = Zrg r;*h3

=782960 N

F = Ft - Fz =11,74 MNF=Rs ina+Ssrna0=Rcosa-Scosa - ) R=SF =2Sstna -> S = 17.17 MN

Obr .3 .8

Sla F psob v polovin ky vrat ve smru normly, sla Sje kolm nastynou plochu.

Pklad 3'8Urete velikost a psobit vsledn tlakov sly psobcna ikmou stnu ndre, kter je naplnna dvmarozdlnmi nemscmi se kapalinami (obr. 3.9). h', =1Tl,

hz=1 ,6m, ka s t ny b=1m' sk l on s t ny d=60o ,pr = 8oo kg.m-" , p2 =1ooo kg.m-3 . Obr.3.9

2 l

Pklad eme superpozic, , ,

F=Ft+Fr+F,

1 bh"z _bh, ,h , 1 g9=33531N, = rA9

-r i ro+ 49 Ar" *

rP, sn.-Momentov podmnka(momenty potrny k pruseku hladiny l se ikmou stnou)

2. h" 2 ,; f , l , \ * , , I 1 1 l - | 1 1

Fx=F. : :*Fr " . 2 +Fr" - - - -3 - '' s lnd - s lna - s lnaPoloha psobit rnsledn sly na stn je tedy vzdlena odpruseku s hladinou o hodnotux =2,03 m.

Pklad 3.9otivy vzvr o rozmrech bx a:1,5x2m vzavkvok zndre (obr.3.12). Vzdlenostdoln hrany vzvru od voln hladiny je h = 3,5 m. Pedpokldejme tsnost uzvru.Vypotejte vzdlenost X osy ep od spodn hranyuzvru, aby jet nedolo k peklopen klapky a sluF navzvr,

Npovda: t,, ={.12

Vsledky: x=0,68mF = 80932,5 N.

Obr. 3.10Pklad 3.10Urete tlakovou slu F a jej psobit na eln ploe vlcovndte o prumru D =2,3 m, kter je naplnna do qfky

h =2,5 rn vodou o hustot P = 1000 kg m_" (obr. 3.11)'

Npovda: lyr =r.Da64

Vsledek: F=55023,5N.he =1'595 m '

Pklad 3.l1Urete slu, kterou psob voda na stnu pehradru zdi dlkyL=150m a vce vody h=80m' jeJ i spodn st stnysklonna k vodorovn rovin pod hlem 600, horn st stnyje svisl, piem pechod mezi svislou a sklonnou st je

h =30 m pod hladinou vody. Hustota vody

P = 1000 kg m-" a tlak okol po =98 kPa (obr.3.12).

Vsledn sla na doln st zdi F,,= 3,938.109 N.

Vsledn sla na horn st zdi F, = 659.100 N.

Obr . 3 .11

22

Obr .3 .12

3.2 Hydrostatick tlakov sla na zakivenou stnu

Vslednou slu F na zakivenou stnu' symetrickou podle svisl osy, stanovme bu tzv.

A) slokovou metodou, neboB) metodou nrhradnch ploch (rovin).

Ad A) vslednou tlakovou slu stanovme jako vektorov souet vodorovn a svisl tlakovsly na zakivenou plochu. F = ,F; *

p, .

Vodorovn sloka sly na zakivenou plochu Fr = tdF,A

je rovna tlakov sle na kolm prumt zakivenplochy do roviny kolm ke smru sloky. Psobitsloky F, j" v titi zatovaciho objemu. (Jedn sevlastn o vpoet sly na svislou rovinnou stnu!)

Svisl sloka tlakov slv

F, = Pg lnan, = pg IdVy = PgVv - je rovna tze

kapaliny nachnejc v prostoru nad zakivenou stnou,shora omezenm hladinou, podle potebyprodlouenou, po stranch omezenm pltmvvoenm svislmi pmkami nad obry.",npdorysnho prumtu zakiven stny. Psobitsloky F, je v titi tohoto zatovacho objemu. Je.livknut objem naplnn kapalinou, smuje svislsloka dol. Nen-li vyplnn kapalinou, smujevzhru. hel ,.yslednice tlakoqch sil s vodorovnourovinou je din vztahem

F..tgq=i.Vslednice tlakovch si l F procha

rx

prusekem jejch sloek F,, Fy,

Pm uren vslednice tlakov sly na zakivenouplochu nen obecn mon, nebo nen znm pedemjej smr. Pi symetrickch zakivench plochcha soumrnm zatieni, nap. vi svisl ose' jeqslednice rovna svisl sloce tlakov sly.V nktech ppadech zakivench ploch se mestt, e najedn sti zakiven plochy psob slokaopanm smyslem nena dal sti zakiven plochy.V takovm ppad je nutno zakivenou plochurozdlit na vhodn sti a uvovat je samostatn.Vsledky pak vektorov seteme.

= ps lnan,A

=NtdV-=pgV,A

23

Ad B) Metoda nrhradnch rovin je za|oena ttaoddlen kapaliny nachzejici se uvnit

zakiven stny od ostatn kapaliny v ndob.Vsledn sla je pak rovna vektorovmu soutu slyFn, kterou psob kapina na nihradn rovinu, athy kapiny G , nachzejic se uvnit zaKivenstny. Uzavr-|i nrhradn rovina prostor, v nmnen kapalina, musme uvaovat thu kapalinys opanm znamnkem.

Pklad 3.l2Urete vslednou slu, l;terou psob kapiny navalcov hradc tleso o prumru D =5 m a ceb =1,2 m (obr. 3.13). Vlec zadruje zlevakapinu do ky hl=D=$m a ryrava dovyky hz =2,1m. Kapalina z|evai zptaYaje voda

P = 1000 kg m-". Stanovte utrel, kte svrvsledn sla s vodorovnm smrem.

F, = Fn - F,z = ).e.o.ni.n - ) o ni.o

==121192,7 N.

1 r.D2F, = F,, + F,z =, .p,g.b

+ p.g.b.s1, kde

s,=xR2 # :(?-n")? sinp==3,913 m -) Fv ='161635,4 N

F= F! + Ff =202023,9 N .

Pklad 3.13Urete velikost vsledn sly a hel, pod ktempsob na segmentov stavidlo propusti kyb = 5 m, jeho polomr je r = 6,5 m (obr. 3.14).osa stavidla |e v urovni spodn h*y,p=1000 kgm-' , h loubka vody H=9m. Otvormqku h=4m.

F ,=pgHbh=1765,8kN

tgp =7.P = 53o08,6' .

Obr .3 . l3

Obr .3 .14

F, = Nbl(,.X)k-rcos ,-(#-)n,-"")l =s58,r2kNF

tge=J-+g=17"33'28 ' .rx

24

F_ r! +ff =1852,1kN .

Pklad 3.14Stanovte rysledn siloq inek na stavidlo zatopenz obou stran vodou (obr. 3.15). Stanovte hel, kterqsledn sla svr s vodorovnm smrem. h,, = 6 m ,h r :4m, R=2m, b=5m, p=1000 kg .m- t .

F, = Fn- Fr,

F, = Fr1- Fyz

r, =leo o(n,,' - hr')=490,s kNF, = eg(h.,- hr)Ro = 196,2 kN

Fr2 + Fr2 = 528,3 kN

Obr. 3.15

F_

tga :Z = O,O -+ a = 21o48'

Pklad 3.l5Vypotejte velikost a smr vsledn sly, kterou psobvodn hladiny na stavidlo ve tvaru poloviny vlcov plochy(obr . 3 .16) . r =3 m, h , =2r , h , =r , p=1000 kg.m-"

1 t ^ ^ \F, = F, l_ F ,z: ,pg bw _ h, . )

3F, = * pg r 'b =794,6 kNzF, = Fy- FyzVelikost svisl sloky sly odpovd svisle rafovan ploe.

tt' f2F,=?pgb=416,1kN' 4

F_

tga

F,' + Fr2 = 896,9 kN

F,,=t=0,524 + a =27o38'

Obr .3 .16

Pklad 3.16Stanovte vsledn siloq inek vody na potrubnko lenoopo lomru R=2,5m aprmru d=1m zapedpokladu, e potrub je uzaveno, tzn., e se vodanepohybuje (obr. 3.17). Absolutn tlak v pruezu jePn =300 kPa, Po =100 kPa. Zvo|te nhradnrovinu ve vstupnm a vstupnm pruezu kolena.

F',, = F, = (Po _ += 157079,6 N .,4

Fr, = bo - po + ,4lR)+ =fiG3415 N .4

25

Obr. 3.17

,dz zrrRG=N=30256,5N.

F = ,lp: + Ff =214510,7 N .

Fr=Fr , -G-146085N.

Ftgp=!-+e=41"41'37 ' .

rx

Pffklad 3.17Voda psob na tvrwrlcov vko. Polomr R = 500 mm ,dlka b=2m ' osa ' zn vychtz polomr, je vhloubceh = 1m pod hladinou (obr. 3.l8). Vypotejte rv"slednou

slu ajej psobit, zaktujte jej hel, P:1000 kg'm-" .

F, =7357,5 N

Fy = 5957,6 N

F =9467,1N

a =39"

Pklad 3.l8V ikm stn ndoby je kruhov otvoro kte je zakytuzaviracm prvkem ve tvaru rotanho paraboloidu (obr. 3.19).Tit otvoru je v hloubce h =2,5 m, prumr otvorud = 300 mm, ka paraboloidu y = 250 mm, ttel mezi stnoua hladinou a = 60o. Pouijte metodu nrhradn roviny. Vypotejteslu na nrhradn rovinu, thu kapaliny v oddlen sti a vslednouslu na plochu rotanho paraboloidu, P = 1000 kg ' m-3 .

Fr=1733,6 NG = 86,68 NF = 1691,6 N

Pk]ad 3.19Urete slu potebnou k nadzvednut tlzvru ve tvarukuliky o prumru D =240 mm a hmotrrostim=1kg, kter zakdyv ofuor ve dn n&e oprumru d =80 mm (obr. 3.20). Vka hladinyv ndob h =2 |Tt, P = 1000 kg.m_, .

F = 37,59 N.

Obr .3 .18

Obr .3 .19

26

Obr.3.20

3.3 Plovn

Archimdv zkon a stabilita plovoucch tles

Tlak na ponoenou plochu me b potan takjako tlak na zakivenou plochu. Vsledn sla se skldz vodorovnch sloek Fxt, Fxp a svislch sloek F,. aF,,. Vodorovn sly F,t d F," se vzjemn ru. Svislsloka F,, ie rovna tze tekutiny ,abcfe,, nad hompolovinou plochy. Sla F,. smuje dol, sla Fvzvzhru. Vsledn sla psob na plochu smuje vzhru(vztlak) a je F, = Fyz _ F,., coje tha tekutiny vytlaentlesem. K tomuto poznatku dospl prvn Archimdes(r.287 - 2|2 p.n.l.) a vyslovil zkon: tleso libovolnhotvaru ponoen do nepohybujc se tekutiny jenadlehovino silou Zvanou vzt|ak, rovnajc Se tzekapaliny tlesem vlaen. v^Iak prochzi titmvylaenho objemu.

tr+

F, = P9V (N)

U plovoucch tles je valak v rovnovi2e s thou tlesa (G = F,). Psobitm thy G jeu plovoucho tlesa tit r , psobitm vlaku F, je tit vy'tlaenho objemu C(stedisko, centrum vztlaku). Body T a C |ei na te svislici. Tleso plave v rovnovzestabiln (stl), kdy se po vychlen (kdy ji tit r a stedisko C nelenate svislici)vrac do pvodn polohy.Podmnkou je, aby prusek plavebn osy |tp|ts nositelkou vlaku, tzn. metacentrum M. leelo nadtitm T . Je-li tit plovoucho tlesa vysokopoloeno (nad metacentrem M), pak tleso plavev labiln (vratk) rovnovze. o indiferentn (voln)rovnovze hovome tehdy, kdy plovouc tleso povychlen ze sv polohy ztstv v nov poloze.Vzdlenost metacentra od tit lodi Se nazvmetacentrick vka. Lo s pli maloumetacentrickou vkou je mlo stabiln, velikmetacentrick vka zaviuje tkou ovladatelnost lodi.Nrkladn lod mvaj metacentrickou vku 0,4 a0,7m, osobn parnky 0,2 a 0,5 m.

Podle vslednice F = F, _ G , kter psob na tleso ponoen v kapalin, mohou tedy nastatobecn ti ppady:G , F, - tha tlesa je vt nevzt|akov sla, take vslednice psob ve smru svislm dol

a tleso kles ke dnu,G = F, . tha tlesa je v rovnovze se vlakovou silou, vslednice je nulov a tleso setrv

v libovoln poloze - vzn se'G . F, - vlastn tha tlesa je men ne vzt|akov sla, take slednice psob svisle nahoru

a tleso se vzn k hladin.

27

Pklad 3.20V ndob je nalita voda na n benzin o hustot

A =700 kg m-" , zrovet je tam devnkrychle o hran a=4cm a hustot

P = 800 kg m-,. Urete, jak velk st krychlebude ponoena ve vod (obr. 3.2I).

Tha:G=pgV=pg23

Vztlak:F , =Fr*Fr= prga ' (a -x )+ pzgd2 X

1a = a'(P', - P) = o,o1 33 m .

A- Pz

Pklad 3.2lNa hladin vody plave kruhov polovlec opolomru r. Nech o je osa vilcov plochy, rtit tlesa, c tit vytlaenho objemu vody,a ka ponoen sti a L dlka vlce. Uretemetacentrickou vku h, (obr. 3.22).

h,=f,_s,

s=Cf=OC-OT

t=|u' , D=AL,

Obr.3.21

Obr.3.22

Obr.3.23

Q=1188,8N

. La3 ( a' +r) 4rn = - - l - 1 3 -"m PAL [tzn 3" ) 3r '

Piklad3.22obdlnkov vko, zaformovan do slvrenskpskov formy se odlv litinou o hustot

P =7000 kg m_'. Tloutka stny t =2O mm ,ka je stejn jako vka 0=600 mm. Vkalicho otvoru h = 150 mm, prttmr d = 40 mm.Hmotnost horn sti formy je m = 350 kg .Urete potebn zatient Q horn sti formy, abyse horn st hydrostatickm tlakem nenadzdvihla.Dlkakytu L=0,75 m (obr.3.23).

Q=F-G,( o d2 \

F = pg hl aL-+ l= 4622,3 N : G = m.g = 3433,5- ( 4 )

28

N.

Pklad 3.23Vtokov otvor ve dn ndre o prumrud=5cm je vzaven ocelovou kulikou ohmotnost i m=0,3kg a polomru R=4cm.Vka vody v ndri h=30cm (obr. 3.24).Urete slu d, kter je potebn k nadzdvienikuliky.

F, = F + G = pg (V., -Vr)+ m g, kde

-A2v ,="Y h=5.9g0 .10-a m3'4

Vr=|nR3 -V =Z,Sg1 .1O-o m3, kde'3

v = rr'( a-:l = 8,970.10-o m3 ,\3 i

v = R - {R'z - r 'z =8,776.10-3 m .

F" =6,18N.

Pik|ad3.24Na pontonu o rozmrech LxB=60x10m aponoru H =1,5 m je umstn jeb o nosnosti 5 smaximlnm dosahem vlonku A=15 m(obr. 3.25). Urete hel naklonn pontonu, jestlieje tit systmu vzdleno 3,5 m od psobitvlaku.

F , = pgV = 8 ,829 .106 N .

Ihr=*-e=2,055r f l , kde

U

Obr.3.24

Obr.3.25

l=+L8,, D=BLH, o=CT.

Z momentov rovnovhy

m g A = F, h, s incp -) e:2o19' .

29

4. RELATI\TNI ROVNOVAHA TEKUTIN

o relativn rovnovze tekutin hovome tehdy, jestlie je tekutina v klidu vledem kestnrm ndoby, kter se pohybuje vzhledem k absolutnmu prostoru. V takovm ppadmohou psobit na kadou stici tekutiny krom gravitanho zrychlen g jet zrychlen odunivho pohybu a,. Pi een relativn rovnovthy tekutin si pevedeme dynamickou lohu

na statickou pomoc d'Alembertova principu. Vyjdeme zpedstavy, e ndoba stoj azavedeme doplkov zrychlen, kter je co do velikosti a smru stejn jako univ zrych|en,ale m opan smysl.

= _,.

K=+i.

Na tekutinu pak psob sledn relativn zrychlen R'w, , , K y , K ,)a*e vektorovm soutem

zrychlen gravitanho a doplkovho.

Relativn rovnovha nastane pouze tehdy, jestlie v kadm bod zachovv univzryclien svou velikost a smr vzhledem kprostoru ndoby, tj. m-li relativn rychlenpotencil tJ(,, y , z) . znm,eJi potencil U , meme stanovit sloky zrychlen z rovnic:

Kr=

Prustek tlaku v tekutin urme z Eulerow rovnice hydrostatiky

au . K.. =A. K- :au0x' ' 0y 0z

dp = p(K,dx + Krdy + Kdz)= pKcost// 67 = pdlJ .

Hladinov (ekvipotencirln) plochy jsou plochy prochazejc msty se stejnm tlakem,resp. potencilem. Jsou kolm na smr relativnho zrychlen. Jeliko plat:

P=konst . + dP =0,

potom z Eulerovy rovnice hydrostatiky dostvrme obecnou rovnici hladinovch plochv diferencirlnm tvaru:

K,dx + Krdy + K,dz =0.

Relativn rovnovha nastarre v tchto pfipadech:

A. pi posuvnm pmoarm rovnomrn zrychlenm pohybu ndoby. Hladinov plochyjsou roviny kolm k vektoru relativnho zrych|eni, ktery m stejnou velikost i smrv celm prostoru ndoby.

B. pi rotanm pohybu kolem svisl osy. Hladinov plochy jsou shodn rotan paraboloidyjejich osy se otouj s osou rotace ndoby. Pi rotaci ndoby kolem ikm, nebovodorovn osy se relativn zrychlen v uritm mst mn s asem, a proto relativnrovnovha nenastane.

V pfipad oteven ndoby a pohybu, kdy kapina petk pes horn okraj ndoby, prochrzvoln hladina mstem, kde kapina zaa|apetkat.

30

Pklad 4.lVozk zce|a zap|nn tekutinou (viz obr. 4.l) sepohybuje pohybem rovnomrn zrychlenm. V bodA je hladina spojena s atmosfrou. Vozk mrozmry b=1m, c=5rTI . Jak velk mus buniv zrychlen au, aby se tlak vbod B rovnaltlaku atmo sfrickmu. Pedpokld ejte, e dn v o dazvoziku nevytee.

A

b

",,,

K'

B

o) o) o) (o\ \ \ \

D\ \ \ \ \ \ \ \ \ \

c.abtQa= -= -

gc-+ a = g! :1,g6 ms-t

c

[:o,,un.s_'

Obr .4 . lPk|ad 4.2eleznini c isternanaobrzku 4.2mrozmry D=2m, L=1Om a h=O,2m. Cisterna,kter Se pohybuje pmoe ve vodorovn rovin rychlost v = 54 km.ha , zastavirovnomrn zpodnm pohybem na drue s = 150 n. V ndri je pepravovna nafta ohustot P = 800 kg"m_'. Vypotejte petlaky v bodech A a B na dn cisterny.

v = 54 km .ha = 15 m.s-1

s=1af t - ) a-2

tga =9 = 0,0765.g

o^ = eo(o . h -It tor)= 12TGS,o Pa .

Pklad 4.3Benzinov ndr letadla na obrzku 4.3 je do jedntetiny naplnna benzinem. Urete zrychlen vevodorovnm smru, pi nm dojde k peruendodvky benzinu z ndre.

n" = na(o * n * lt to")= 18765,6 Pa .

=_, , tga=gla ,Objem kapaliny

V =c.! .zn=b2c-10",32

2, x 2X= -D . tQa=' "*

b 3 '

Obr.4.2

s=gf tga.

3-+ ?= -Q .2 '

Obr.4.3

Pklad 4'4Vozknaobr izku 4.4mtvarhranolusdlkou L =3m akou b=1m. objemjerozd lenpeprkou na dv sti naplnn vodou do vek hl =1m a h, =1,75 m .Yozk se pohybuje

pmoe ve vodorovn rovin s konstantnm zrychlenim a, = 3,5 m.s-2 .

31

A. Urete vslednou slu psobc na pepku.!_ a x,t x2g , i _ - _= -7 -6 -= -'e*

s 1?t 11r23 23

1F', =

2N(h,, _ X', b =2029 N .

1r ,=rub,+x,f b=18240N.

1a,X . = - - L .' 3g

, r=19y, F -F t -Fz=-16211N.' 69

B. Urete univ zrychlen, pi kterm bude slednnulov.

h., - X,, = h, + x, h, - h., = -(:+llgaz ' \ . 6 3 )g

2(h. - h,)

"=_=9 =-0 ,5g .

Pklad 4.5Po naklonn rovin s hlem a = 20" sjd ndobanaplnn kapalinou, obrrzek 4.5' Urete hel sklonuhladiny vzhledem k vodorovn zk|adn B ' pohybuje-lise vozk:a) konstantnm zrychlenm a, = 9 n.s-2.b) psobenm vlastn te bez odporu.

=1,257 + F =51o30'

Obr.4.4

sla psobc na peprku vozku

Obr.4.5

a) tgB = a.cos dg-as ina

b) Ndoba se bude pohybovat zrychlenm d, = 9 sin a .

osinacosa sinacosai jp- =--------;-=t9a.

g-gsn-a cos-a

Pklad 4.6Ndoba na obrazku 4.6 se pohybuje svisle vzhruzrychlenm E, = 9. Stanovte petlak /p psobc na dno.

dy=-dh .0

p(g + a)lanH

Pe

lo,=-Pt

AP= Pn - Pt =2PgH .

32

Obr.4.6

Pklad 4.7Ndoba s uzkm hrdlem, znzomn na obrzku 4.7 sepohybuje vzhru po naklonn rovin. Rozmry ndobyjsou L =2 m a H =0,5 m, hel naklonn rovinya =20o a univ zrychleni u =9 m.s_2. Vypotejtetlak v bod A na dn.

dp= pKcospdh

Pe = p(a + g sina).L + p g H cosa = 29316 Pa .

Pklad 4.8Dv vlcov ndoby o prumru d = 0,5 m a hmotnostiffin =5 kg jsou zaveny na nehmotn kladce. Prav jenaplnna vodou do ve hl =0,2 m, |ev je naplnnarovn vodou do ve hz = 0,4 m (viz obr. 4.8).Stanovte:a) Jak velk jsou sly na dna ndob za pedpokladu

rovnomrn zrychlenho pohybu. Ten a odporvzduchu zanedbejte.

b) Petlaky u dna ndob.

Hmotnost vody v ndobch:*r!2 -r l2

f f i t = ph.,+ = 39,3 kg, f f i2 = phr-- =78,5 kg .' 4 1 ' ' 4 ' , !

Pohybov rovnice soustavy:(r, * r,)(g + a) = (r, * m,)(g - a).

Univ zrychlen:

a=9 f f i z - f f i t = 3,01ms-22m, + m1+ m2

Sly na dno:F, =(g + a!t, = 503,6 N, F, =(g - a)m, = 533,7 N.

Petlaky u dna: P, = p(g + a)dy = p(g + a)h1=2565 Pa,

P, = I p@ - a)dv : p(g - a)h2 =2718 Pa ,

Pklad 4.9Palivov ndr rakety umstn v ose se skld zv|cov sti, polokulovho dna apolokulovho vka (viz obr.4.9) Dlka ndre L=9m, prmr D=1m a hustota paliva

P=82okg.m_". Raketa se pohybuje vertikln s univm zrychlenm a,:4g, pipsoben gravitanho zrychlen 9.V nejvym mst (bod ) je petlak Po=60kPa.Vypotejte slu na polokulov dno ndre.

Obr.4.8

hr

Obr.4.7

3 3

eme pomoc metody nrhradn roviny.

Sla na nrhradn rovinu :F r=Fr+F,

Sla od petlaku :- / i2

F, = P,. = 47123,89 N.

Sla od hydrostatickho tlaku :,D2Fu = p(Q + a)H a-

F, = psg( ,-?)+= 268413 N.-\ z) 4

Sla na dno :Fo=Fu*G '

, ' 14 ^ ' .G = p(a - ;;"|;) =10526,2 N .

,, = +[0, . p(a +n{. - ?)]. p(a + d+1"(?)" = 32606e,2 N

a+o

0

Fe= fo+ Fn* 0

Obr.4.9

Pklad 4.10Vypotejte slu psobc na polokulov vko ndre popsanv pkladu 4.9 Jak je prustek tto sly, bude-li raketa mimoposuvnho pohybu rotovat kolem podln osy ndre hlovourychlost o = 4x s_1 (viz obr. 4.10).

Sla na nhradn rovinu

F, = Fp * F, = e,+ p(g - dZ+ =|- nf .')2=l P, + p(a + g ): l+ =78702,6 N .L "

- 2) 4

=10526,24 N .

Sla na vko bez rotaceFv = Fu -G - 68176,36 N.

Prustek s|y F, je dan thou kapaliny v zatovacm tlese

R

G = p(a.r):1"(?)"

Obr .4 .10

AFv = )* p(a + il = e1(?),

" = 6356,29 N.

34

Pklad 4.11Vlcov ndoba na obrizku 4.11, o rozmrech D =750 mm aH = 400 mm je zcela naplnna vodou. Hrdlo ndoby je tnka umstn v ose' kolem kter se ndoba ot konstantnmiotkami n = 800 min_1. Vypotejte vslednou slu psobcna dno ndoby.

Sla na dno ndoby

c) Pi otrkch n, st vody vee.

h, =L =Z5O mm.,2

2nn0 ) - -

60= 83,78 s-1.

Pklad 4.12oteven vlcov ndoba na obrazku 4.I2 m rozmryD=300mm a H=500mm. Byla naplnna vodou do vykyh = 300 mm a uvedena do rotace kolem svisl osy.

Urete:a) Poet otek ry, pti kterch se voln hladina vody dotkne

homho okraje ndoby.b) Poet otek n2, pii ktech se voln hladina vody dotkne dna

ndoby.c) Vku hladiny h,, na kter se ustl voln hladina po zastaven

otek n,.

Obr. 4.l l

Obr.4.I230at"

a) |,t = J]L

= 199.36 min-1

302(H - h)+g

35

Pklad 4.13Vlcovou ndobu na obrzku 4.l3 o prumru D =0,4 m a

ce H =0,4 m,kerje za klidu zcela naplnna vodou,zakqvvko s otvorem o prumru d = Dl2.

Urete:a) slu na dno ndoby.b) slu na vko ndoby, jestlie ndoba bude rotovat kolem

svisl osy konstantnmi otkami n =240 min4 .

al'D'(r) -16.29 '29

al 'D'

29 4.2g

d

H

sh '=

h-

nD2 ( Lr - h,* 1n) =a) o=P9 o (., 2 )

rD' ( . . a'D' af D'\- ^ r t - l H - - J - - l =

4 ( 32g '169 )nD2 (

H *rrDr)= ggg.g2 N.=Pg a (.' 3zg )

( D\'

b) Fv = Pe+ :h- pg{n'. or+.}n'== pg+e!_-,?,?: )= pgft? .,=,,=,,o, = 446,49 N .4 l. 16g 329 16.169 ) ' - 4 16.16 g

Obr .4 . l3

Pklad 4.14Jakmi otkami rotuje trubice se temi rImeny s pomremprumru Dld =2, jestlie se hladina ve vnjm ramenibhem rotace zvedla o h =100 mm vztrledem ke stavu zaklidu. R = 1 50 mm . viz obr. 4.14.

objem, je ubude ve stedn trubici, pibude v krajnchramenech.nD2 ^rd2 , h-z_n _> v -_ -

4 ' 4 2

Y+h=al'R'

2gen

n - uu

at = 109.2 min-11t

I

IIID

s

a =11,4 s-'

36

Obr.4. l4

Pklad 4.15Vlcov ndoba na obrazku 4.l5 o prumru D =0,35 ma vce H=0,5m je zak'ryta vkem sotvorem oprumru d =o,2 m. Vka vody v ndob za klidu jeh=0,45 m. Urete maximln otky ndoby kolemsvisl osy, pi ktech se voda nevylije.

objem vzduchu v ndob za klidu se rovn objemurotanho paraboloidu za rotace:

C D =16gD,H _h) =24,51s-1 -) n =243,08 min_1

t

Vka paraboloidu: |6 m ,

Pklad 4.16Jak velk jsou otky trubice na obriLku 4.16, je-lih=0,2maR=0,1m.

, afR' 1 ,-h=*=" + a=)Jzgn=19,8s-129 r '

?nn =

uu at = 189 min-1

7r

Pklad 4.17Urete slu na dno ndoby na obrzku 4.l7 o prumruD = 0,3 m naplnn vodou do vky h:0,2 m,kterrotujeotkami n = 500 min-1 kolem svisl osy. Hrdlo le v oserotace aje velmi mal.

F =Gt*Gr= pgVt+ pgVz .

v.=h,

8,7N.

1 trD2

24

,'(?\'\2)29

v2

1+-

2

) ','(P'

\2 , ,29

Obr .4 . l5

n

Obr.4. l6

f t nQ ) = -

30= 52,36 s-'

37

Obr.4.I7

Pklad 4.18Ndoba o ce b=0,2m na obrizku 4.18 je pipojena kvodorovnmu ramenu dlky L=0,4m a rotuje kolem svislosy hlovou rychlost al = 5 s-. Vypotejte vku lh.

on_a ' (L+b) ' _a 'L ' _r 'b , r , , r29 , ,

= ,nQL+b)=o'255m'

Obr .4 .18Pffklad 4.19Vrlcov ndoba na obrzku 4.l9 o prumruD = 0,5 m je v klidu naplnna do tetiny kapalinouo hustot P = 800 kg.m_". Nadoba rotuje kolemvodorovn osy otkami n =2000 min-1. Ureteroz|oen tlaku na ele a velikost psobc sly. Tlakvzduchu v ndob se rovn tlaku okol.

Obr .4 .19

V tomto ppad nenastane relativn rovnovha, protoe vnj relativn zrychlen K nempotenciil. Pouze zanedbme-li gravitan zrychlen vzhledem k odstedivmu ,,, ,, g ,budou hladinov plochy kolm k odstedivmu zrychLen a budou mt tvar souoschvlcovch ploch P = konst.Voln hladina bude mt prumrvr -1vr3

V* -objemkapaliny,

V" -objemndoby.

+=o#o=,,_(*)',,0=-FTRozloen tlaku na eleP r

Ioo= ela'rar + p-po=2r'(r '-r:)Po ts

Jedn se o rovnici paraboly viz obr. 4.|9a.

Sla na elo:

F = o(:,,:, ."R2 _!,n, -1#",:)' ( 2 2 2 2 a )

Obr .4 . l9a

- p7tc,)2 1,*, -zR'r + r: ) = *(#)' I,*,

- ri ), =

= -(#)' I {^'[' - (*)']]' = 1 i e62,3 N

38

5. JEDNoRoZMRN PRotID

5. 1 Stacionmjednorozmrn proudn ideln tekutiny

Proudn tekutin je mono rozdlit podle nkolika hledisek.Podle zvislosti na ase rozdlujeme proudn na stacionrn (ustlen), kdy stav a

rychlost tekutiny se v libovolnm mst s asem nemn, a nestacionrn, jestlie stav arychlost tekutiny se v libovolnm mst s asem mn.

Dle uspodan proudu vprostoru dlme proudn na proudn jednorozmm,dvourozmrn neboli rovinn a trozmrn neboli prostorov. Skuten proudn je obecnprostorov jev, ale v nkterch ppadech je meme pro een zjednoduit.

Z hlediska fuziklnch vlastnost tekutiny dlme proudn na proudn skuten(reln) tekutiny, je se lyznauje stlaitelnost a viskozitou, a proudn ideln tekutiny,kter j e nestlaiteln a bez vnitnho ten.

Integrln tvary zakladnch rovnic pro jednorozmm stacionrn proudn nevazknestlaiteln tekutiny

1) Rovnice kontinuityRovnice kontinuity je v podstat vyjdenm obecn platnho fyziklnho zkona zachovnihmotnosti. Ten k, e v kadm pruezu jedn ate proudov trubice mus b;it hmotnostntok protekl za jednotku asu stejn:

= p,A.v,t = PzAzVz = konst',

kg.'_,) r,-otnostn tok - hmotnost tekutinyprotekl za jednotku asu,

p lkg.m-t ) hustota tekutiny,A (r') p*f"z proudu tekutiny,n (.."-t) .ychtost tekutiny.

Pedpokldme, e rychlost je v proudovm vlknu konstantn po celm pruezu .

Je-li tekutina nestlaiteln, tj. kapalina, je hustota konstantn, sta uvaovat objem kapalinyprotekl za jednotku asu, tud se rovnice zjednodu nazntm tvar:

Q=V =Atv t=Azvz=kons t .I ^ - r \

Q (m".s J objemov' tok'

2) Bernoulliova rovnicevyplyv z vty o zmn hybnosti nebo ze zkona o zachovin energie za pedpokladu, emezi zvo|enmi pruezy - viz nsledujc obrizek - nen tekutin dodvrna nebo odebrnaenergie. Pi stacionrnm proudn nevazk tekutiny se souet polohov, tlakov a kinetickenergie proudovho vlkna nemn. Peme-li rovnici pro stici nestlaiteln tekutiny ojednotkov hmotnosti, dostvime v^ah:

9h. + -+ = 9hz * *t

= no,,,.,

39

h (m)polohov vka,p (Pa) statick tlak,p (kg.m-' ) hustota tekutiny,u (t..-') ry.tttost tekutiny.

DlmeJi rovnici thom zrychlenm 9, pakkad len rovnice pedstawje energii vztaenouna jednotkovou thu kapaliny a m rozmr dlky.

n (r)plpg @)v'l2g (m)

.D .v?^"2h., t L+* = h, + E + 2 - konst.,' pg29 'pg29

polohov v'ka,tlakov vka,

rychlostrr vka.

Souet polohov, tlakov a rychlostn vky je konstantn pro vechny pruezy.

Pklad 5.1Venturiho vodomr m objemov tok vody o nazk|a vyek hladin v piezometrickch trubicch. Jakbude objemov tok vody Q, znme-li rozdl hladinv piezometrickch trubicch L, _ L, = L = a,8 m aprumry dl =0,14 rfi , dz =0,1m (viz obr. 5.1).

Bernoulliova rovnice:

,Pz,v lT - . r - .p2

V tA t =V rA r .

Petlaky rnen piezometrickmi trubicemi:Po dosazen a prav:

Pt = P.9.Lt,

.D,V?9f , t+i*Z=9hz

Rovnice kontinuity:

Vz = 4,606 ms- -) e = vz.+= 0,03618 m3s-,

Pklad 5.2V potrub (viz. obr. 5.2) jsou v pruezu A., b.to hodnoty: tlak

F. =0,4 MPa ' rychlost V,, =2,5 fiS_., prunnr potrubdl=2m. Jak je tlak v pruezu A,, vnm je prumrdz=1,8 m? Svisl vzdlenost obou pruezi je H =60 m.Jak je objemoq tok vody potrubm?

.D,v? .Dnv?qn ,+ ' '+ ' =Qh^+' '+ ' -p 2

e z p 2 '

Q = vl4 = VzAz:7,854 n3s-1 -+ Vz = 3,09 rn s_l .( ^ , ) z \

pz = pl 9H + Pt *\ -+ I = 986e62 pa.' ( - P 2 2)

Obr .5 . l

Pz = P.9.Lz.

40

Obr.5.2

Pklad 5.3K vodorovnmu potrub Jsl20, kde je petlak vody0,3 MPa, je pipojen ntrubek s ouptkem Js60 a knmu ntrubek Js30. Urete teoretickou qitokovourychlost v2 a t|ak p', v ntrubku Js60. Voda vytk dotlaku okol Pd = 0,1 MPa .

Dosazenm do Bernoulliho rovnice dostanema Vz =24,54 ms_1

Rovnice kontinuity: V,,A, =V,A, + Vl =6,14 ns.1.

Bernoulliho rovnice l-2 :

Obr .5 .3

VoAo =VrA2 -) Vo =0,0625V2

P,= 382353 Pa.

Bernoulliho rovnice 0-2 :

eho + +.+ = ehz .7.+ ,

eh.+3.+=ehz*P.* -+p2Petlak v mst 1 je po =0,282 MPa .

Pklad 5.4Do zav|aovacho kanlu vytk voda z potrub, jeho konec mtvar dle obrazku 5.4, o objemovm toku Q = 0,015 m,s_', dlkaL = 0,6 m, prumrY dl = 100 mm , dz = 80 mm .Urete potebn petlak v mst 1.(P, =0,1MPa).

Qh" + '*!7 = Qh^ * z * . oo,-p 2

v I p 2 '

th =0 gh, = gL .

nV , =:2 ,98 f i S_1 ,.4 , v t=vz*=, ,n , r r - '

( p- v', - 4l = o.1o8s Mpa.o,=rl;+sL+-z z )

Potebn petlak in po = 8,5 kPa .

Obr .5 .4

Pklad 5.5V cirkulanm aerodynamickm tunelu s otevenm micm prostorem (obr. 5.5) je rychlostproudu vzduchu v micm prostoru urovina nepmo menm statickho tlaku v mst 1ped kontrakc proudu vzduchu.Stanovte rychlost proudu vzduchu v micm prostoru, znime.|i prumr rozen stidr = 0,35 m , prumr micho prostoru dz = 0,2 ? . Hustota vzduchu P = 1,286 kg.m-, .

Js'120

4 l

U.manometr je naplnn vodou (P,,o =1000 kg.m-,),rozdi| hladin h = 35 mm . T|ak v micm prostoru jestejn velk jako tlak v mstrosti Po = 0,1 MPa.

9h,+-+=9hz

h - Po = Pnrogh '

vz =24,45 ms-1.

A2

A1 '

,Pz .v jpz , V , t = V 2

Pfiklad 5.6Stanovte mnostv vody (p, = 1000 kg.m-")protkajc sklonnm potrubm o prumrudl =0,2 n. K Venturiho vodomru je pipojena U-trubice naplnn rtut. Rozdl hladin h =25,4 mm .Minimaln prumr dz =80 mm .Png = 13595 kg .m-' .

Bernoulliova rovnice:

z,+ P1 *t=2.+ P2 * '3 .' prg 29 ' p,g 29

U-trubice:

h+ p,9(4 -x) = pztgLp,kr-x-h)+ prnhl .

Obr.5.6

n =,,,.

= O,O1276n3s-1 .

Pklad 5.7Zndre vytk Q = 200 m"hod-. vody svisl;m potrubmkonstanfirho prumru d =75 mm o dlce t =1m. Pedpokldejme,e rychlost vody v ndri a viskozita jsou zanedbateln (viz obr. 5.7).Stanovte vku hladiny H, tlak ve vsfupnm prezu do potrub p' anakreslete prubh polohov, tlakov a rychlostrr vyky.

u+h-- Po *!,n0.pg pg 29 '

Obr.5.5

42

Obr.5.7

, = 4?^ =12.57 ms-1nd'

H = Y:= B.o5 m2g

U +la=! I Pt *v2pg pg 29

fu-pn=-pg l =_9,B1kpa

Pklad 5.8Znfue v1'tk Q = 200 m3hod4 vody svislm konvergentnmpotrubm o prumru dz =75 mm , d|ce l =1m a hlu = 10o.Zanedbejte rychlost kapaliny v ndri i ztrty pi proudn. Stanovtevku hladiny H ' tlak ve vstupu do potrub p,, a nakreslete prubhenergetickch vek. Porovnejte qsledky s pedchozm pkladem.

V, = 2 = 12,57 n s-1 .7Tq;

H = = 8.05 m.2g

t+L*t=ln*pg 29 pg 29'

d,=dr+21 Ql,

h - Po = 6,85.104 Pa

Pklad 5.9Z ndoby vk voda svislm divergentnm potrubm, jehovstupn prumr dl =15 mm, vstupni d, =20 mm ' dlkaI =1m a vka hladiny H =2 m (obr. 5.9). Zanedbejte rychlostvody v ndri i jej viskozitu. Stanovte mnostv vytkajc vody Q ,tlak ve vstupnm prezu do potrub p., a nakreslete prubhenergetickch vek.

Obr .5 .8

#

fu _-l_

TE. =, . -E= 79'

Obr .5 .9

-+ Vz=6 ,27 rnS-1

43

PoPg

t+lL*t=ln*.pg 29 pg 29'

- Po =r,rl,-(*)']='ou.o ""-- 110,63 kPa

Q =0,00197m3s- -1,97 l.s.1

=1,778v2

h - Pa = -5,22.104 Pa - podtlak

Pklad 5.10Vjak vce H mus bt hladina vrozlehlndri, aby voda na konci vodorovnho potrubopatenho konfuzorem dle obr. 5.10 vytkala

rychlost Vz=6 ms-1 pi zanedbanffit.Urete tlak vpotrub p.', jeJi dl=0,1m adz = a,a8 m . Nakreslete prubh polohovtlakov a rychlostn vky. Pa = o,1 MPa .

u +ly=h-*'3pg pg 29

H =1,835 m

Pklad 5.11Ke stn rozlehl nre je pipojenovodorovn potrub promnnho pruezu.Prumry jednotlivch sek jsoud, , =0,1m , dz =0,24 m, ds =0,12 m .Vka hladiny H =3 m. Urete objemovtok vody, tlak v pnmm a druhm sekupotrub, pi zanedbini zttLt'. Nakresleteprubh energetickch vek.

Pt

Pt

Obr .5 .10

44

Obr .5 .1 l

u +!z=!z*'3pg pg 29

v, = jzgH =7,67 m s-t .

Q=V. ,4 . , =VzAz=VsAg

vt = 11,04 m s-1, vz = 1,92 m s-1

*"t2Q=Vs

=0 ,0867n3s -1 .

H+!p_- P. *y7=l.*pg pg 29 pg 29

P - Pt = -0,31 51.104 Pa

Pz - Pt = 2,759.104 Pa

podtlak,

petlak.

Pklad 5.12Z ndoby na obrzku 5.|2 vk nsoskou voda.Jsou dny vky h, =1m, h,' =1m, prumrnsosky d =12 mm. Rychlost vody vnriob arty zanedbejte.Stanor,te teoretick mnostv vytkajc vody atlak v nejvym mst nsosky p.. Nakresleter oz|oen energetickch ek.

n^ + lv = !-p- *v'' pgpg29

)h r= ! - ) V=4 , 43 f i S - 1 ,' 29

Q = '4.'

v = 5,0L 10-a m3s-1 ^ , 0,501 /. s-1 .4

P , -h .*P , t , 'pg pg 29

h_po=_pg(h ,+hr ) ,

Obr .5 .12

? - Pn = -19620 Pa podtlak.

45

5.2 Vtok z ndob

Pi proudn reln tekutiny je skuten v;itokov rychlost tekutiny nsledkemhydraulickch odporu men ne hodnota teoretick rychlosti vypoten pro ideln tekutinu.Cst energie se vyna|o na pekonan ztrt zpttsobench vazkost. Protoe je pi vytokutekutiny otvorem ve stn ndoby nebo krtkm ntrubkem styk se stnou mal' bude idisipace energie ma|, proto lze povaovat tekutinu za nevazkou a takto zskan teoreticksledky opravit ruznmi koreknmi souiniteli'Zavdime tedy rychlostn souinite| q jako pomr skuten a teoretick vtokov rychlosti

,r=L=-Lvt ^l2gh

Teoretickou vytokovou rychlost udv znLn Torricelliho vzorec

v, =.{2gh

Jeliko dochazi ke kontrakci proudu,je skuten pruezproudu , men ne pruez otvoru v ndob A, proto budeskuten objemoq tok tekutiny o rorm men neteoretick mnostv Qt = AJ2gh (vizobtzek).Pomr skutenho prezu proudu A, a pruezu otvoruv ndob nazvme souinitelem kontrakce

o =L.A

Skuten objemov tok tekutiny otvorem pak vypoteme zrovnice

Q =v.A = evt.d A = de Av, = p AJ2gh = F Qt,kde vtokov souinite| p je pomr skutenho a teoretickhoobjemovho toku vytokovm otvorem

p=dQ=g=.g' q A.lzgh

Pi vpotech musme uvit, zda\i je otvor ve stn tzv. ma|, a tedy meme potats rychlost konstanfir rovnou rychlosti v titi otvoru, nebo velk a je teba uvaovatnelinern rozloeni rychlosti po otvoru. Pro klasifikaci otvoru - velk, resp. mal - mme namysli pomr jeho vky k poloze pod hladinou, nikoli ku otvoru. JeJi tento pomr b|zkjedn, pracujeme s ofuorem jako s velkm. Zvlrtnm ppadem velkho otvoru je pepad.

Rozliujeme stacionirn proudn, tj. ppady, kdy tlakov spd a vka hladiny senemn s asem, od ppad, pi nich se tlak v ndob nebo vka hladiny s asem mn -vyprazdovan ndob. V poslednm ppad budeme uvaovat mal zmny vtokov rychlosti,a proto |ze zanedbat setrvan sly. Takov proudn budeme ttazvatkvazistacionrm.U nich budeme pedpokldat, e za as dt vytee z noby elementrm objemdV =?VtaAoh,o*dt, je mus byt roven bku kapaliny v ndob dV =_A,,oo,,dh.Naprav stran je znamnko minus, protoe hladina s rostoucm asem kles, dh < o. Srovninmobou qraz dostaneme diferenciln rovnici, kterou, znrmeJi pruez ndoby a zvislost tlakuv ndob na ase, meme integrovat.

Hodnoty nktech koreknch souinitel jsou uvedeny v ploze 3.

46

Pklad 5.13Ndoba o prumru D =1,5 mve dn o prumru d = 0,05 ma) do poloviny pvodn qky,b) cel.Vokov souinitel F = 0,62 ,

un.(n.1\\

'21. tn2 /

, = - 3P':( n - "FZ)= 191,97 s .Pd ' r l 2g\ u t z1

, --E:Ji =65s s.pd'^l2g

v1+'2g

,+.{zghat =_on

a) meze pro e (0, r)

b)mezepro e (o, t ) a ne(u,o)

Pklad 5.14Na obrrzku je naznaena ndoba, ve kter se pvodemvody udruje hladina ve stl l"i.Urete teoretickou vytokovou rychlost V, "yky

namanometrech h,, h2 a hloubku Y , Ze kter by bylomon teoreticky pisvat vodu pi zadanch hodnotchPr=A,1MPa, H,=0,9m, Hr=1,3m, H =1,8m,d,, =0,15 m , d, = 0,05 m, d = 0,068 m.

v = EgH = 5,g4 ms-1.Obr. 5.14

n. = H,_! = O,73 m ,kdedosadme rychlost v,' vypotanou z rovnice kontinui.2g

hz = -Hz = -0,576 m, kde rychlost v, opt lypotme z rovnice kontinuity.

Y = hz = -0,576 m , ptotoe v nejum mst je podtlak a jeho velikost pepotan navodn sloupecje h,.

Pklad 5.15Do sklenn lahve je zasunuta utsnn trubice, kterou je pivdndovnit vzduch. V st trubice nachzejici se v hloubce h je tlakroven tlaku barometrickmu p,. Yytk-li z lahve kapalina, nastavse nad hladinou automaticky podtlak tak velk, e v'.itok je stacionrnpokud hladina nepoklesne pod st trubice. Toto zatzen se nazvMariottova ndoba.Stanovte, za kolik sekund vee z Mariottovy ndoby otvorem o prumru d :10 mm objemV =5dm,,jestl ie p=O,82 a H =1OO mm. Jakvelkje podtlaknadhladinouvndob?

je naplnna vodou do vye h =1m avyprazdtuje se otvorem(obr. 5.13). Stanovte as, zajakdlouho se ndoba vyprzdn,

Obr .5 .13

h

H

Obr .5 .15

47

Jeliko je tlak na hladinov ploe prochrzejc stm trubice roven tlaku okoln atmosfery, lzepro poet nrradit Mariottovu ndobu otevenou ndobou s hladinou ve vce H.

*rl2Q = Fft Jzon = 9.10_5 ??..s_', , == 55,6 s .Uvnit ndoby je podtlak P = _pgh .

Pklad 5.1K men prutoku vody byl postaven dokonalpepad s obdlnkovm pruezem o ce b = 0,6 m(viz obr. 5.16). Maximln vka hladiny nadpepadovou hranou je h=0,4m. Vtokovsouinitel pepadu p = 0,62 .Stanovte prutok vody.

,Q =iobh"!2gh =0,2779 rnt.s-' Obr. 5.16

Pklad 5.l7Urete skuten objemov tok a skutenou rychlost kapalinyvytkajc otvorem ve dn ndre s rozmry a=0,03rfi,b=0,02m, piem strana a lei u bon stny (take nenmon dokonal kontrakce) a je-li vka hladiny nad otvoremkonstantn h=4m (viz obr. 5.17). Pro otvor s dokonaloukontrakc je rychlostn souinite| Q = 0,97 , vytokov souinitel

Fo = 0,62 (plat pro Re > 3.10').

Vledem k nedokonal kontrakci urme v'tokov' souinitel zevztahu:

Obr.5.17celkov dlka hran, na ktech nedochz ke kontrakci\

celkov obvod vytokovho otvoru )'kruhov otvor rc =0.'128tvercov otvor rc =0,152malobdlnky rc=0,143velk obdlnky rc =0,157 .

F =0,6492

a = a"( ' t+ *

kde r pro

o

Y = rp,,l2gh = 8,58 ms-'.q = p.A.v, = 3,451.10-3m3s-t .

Pklad 5.18Urete, za jakou dobu se doshne vye hladinY 4 = 0,94 m po ppad, kdy do prndnndre (obr. 5.l8) pitk voda o Q, =2,5.10-3m3s-, kter souasn vy1kotvorem ve dno prumru do = 0,025 m .Prtez ndoby Ar = 0,58 m2 avytokov souinite| p = 0,62.

48

Nejprve provedemestav plat:

Q, = pA,,t2gt1

kontrolu, zda hladina me dosihnout

-) h, =1,309 m.Uren doby k dosaen vky h.:Dobu, za kterou doshneme vky hladiny h,, ' urmezpodmnky, e v libovolnm okamiku zpsob tozd|pitkanho a odtkanho mnostv zl"en hladin o dh .dV, - dvo = Qp.dr - FA"Jrgh dr = At.dh, odkud

dr=A ldh

Qp - F Ao.,!2ghVyjdme-li prutok pomoc ustlen hladiny h,,p|ati:

, +L--_ substituc a po prav dostvme t = 627 ,1 s .

i ," lh, -^lh

Obr .5 .18

A1_

/rA"J29

Pklad 5.19Ndr je rozdlena vertiklnmi pepakami na ti sti.Stanovte ku H1, H2 a H3, protk-li Q=23 dm3.s-.vody kuelovm konvergentnm ntrubkem o hlua =13" a prumru d,, =0,1m, dle kuexovmdivergentnm ntrubkem o prumru dz=0,12ma hlu

f =10o a vlcovm ntrubkem o prumru ds = 0,08 m.Proudn je ustlen, take hladiny jsou stle ve stejnqi. Pomry Lld =3. Hodno vokovch souinitelntrubk jso:u /4 = 0,94 , F2 = 0,7o , p, = 0,82.

- or!2 - -r]2 - *2Q = Fl^l2gu.

= p,^l2gH,

= p',lgll,

Odkud Hl = 0,495 Tl , Hz = 0,430 rn , Hg = 1,587 m

Pklad 5.20Urete dobu, za kterou se vyrovnaj hladiny ve dvouvIcovch ndrch, byl-li poten rczdi| hladinH = 4 m. Pruezy ndr jsou Al =1O m, ,Az = 6 m2 .Nde jsou spojeny ktkm ntrubkem oprumru d =0,2 m. Vokov souinitel p _ 0,82.

dV = _A1dn = A,dh,' piem

Obr .5 .19

Obr.5.20

Io,0

-r!2dV = p,lzgn dt,zavedeme-li h _ h1 h, a dh = dhl _dh' dostaneme:

pedepsanou qku. Pro ustlen

A,,.A, oldh

4+L! h

Pklad 5.21Ndoba kuelovho tvaru dle obrazku 5.2I je opatenantrubkem. Prumry D, =1,2 m, Dz =0,6 m. Ve dnndoby je mal otvor o prumru d =0,02 m. Urete dobu rvyprazdnn cel ndoby, jsou-li poten vka hladinyH =6 m, qka hl=1,2m, rnfiokov souinite| p =0,82.Urete as T1, za kte se lryprtuldn pouze ntrubekkonstantnho prumru Q.

, dt = _ -L,p,_(?- a! . ou,- p^lzgi d. Jn.

o(n)=o,, pro h .(H ,1'1-h.,),) . -D^D(h)=or+ff ih pro h .(H-h, ,o).

Po prav a integraci r = 3021,91 s,r t=512 ,62s .

Obr .5 .21

Piklad,5.22Voda vytk z ndre ntnrbkem o prumrud =130 mm (obr. 5.22). Aby nekolsal vytok tmtootvorem, je u ndre pepad o konstantn ce h

b =0,72 m bez bon kontrakce. Vytokov otvor je podpepadovou hranou v hloubce H =2,8 m. Urete ptok Hvody do ndre Q (objemov tok) a qitok Qo otvorem,jestlie hladina v ni je nad pepadovou hranou vevyi h = 120 mm . Vtokov souinitel ntrubku jep. = 0,96 a pepadu p2 = 0,64 .Jak je nejvt ptok Q, pi nm voda nepetk pepadem? Obr.5.22

-42Qo = Pl ft Jzou + h)

= 0,096447 n3. s- .

)Q = Q + jr,bh^l2gh =0,15301 1 m3.s_.

*{2Q'., = p.,lzgn =O,O94444 mx.s-,.

Pklad 5.23Regulan pepad kanizan st dle obrizku 5.23 mrozmry.. bl:1,4rfi, bz=1,2m,hz =0,6 m. Vka h, Piprutoku vody je hl =0,32 m ' p = 0,65.Napite rovnici pro zmnu prutoku Q v zvislosti na ce h tdQ =r(an)1a vy'potejtevsledn prutok vody.

50

Joo = A r(r,' !{nan . o,*1nor)

po integraci v naznaench mezch dostaneme

Q = 2 ,10 m3. s - .

Pklad 5.24Stanovte objemov tok vody Q, ktery protee trojhelnkovmpepadem na obrzku 5.24. Vka hladiny (men v dostatenvzdlenosti ped pepadem) h=0,5m. ka, v ni vodaprotk pepadem, b =0,24 m. Vokov souinite| 1t =Q,6 .

Q = lrvdA = o"!"pgy b(, - I)0, ,o \ n )

kde y je obecn vzdlenost od hladiny, uvujeme promnnouku v zvislosti na vce hladinv.

Q = 0,0626 ,nt .s- t .

Pklad 5.25Zhrano|ovit ndoby na obrazku 5.25,ktermprtez A =1m2 ,vytk voda svislou trbinou o ce = 0,01 m . Zakolik sekundpoklesne hladina z Ho=1m na Hl:0,5m, je-|i vytokovsouinitel p=0,58.

V;itokov rychlost se mn s hloubkou podle paraboly jako upepadu.

)-Adh=lpbhJ2ghdt3 ' , ,

/ \, 3A 11 1 lf = - . " - - : r : - - : l=48 . 4S .

pb^l2g IJH' ,lH, )

Obr .5 .23

Obr.5.24

Obr.5.25

5t

5.3 Stacionrn proudn vazk tekutiny

Pi proudn reln (vazk) tekutiny nastv nkolik odlinost od proudn.ideln tekutiny.

1) Dochz k t^r. ztttm, tzn.' e st mechanick energie tekutiny se mn v nevyuitelnouenergii (nrfty) z hlediska proudn a to v teplo. Tato dissipovan - rozptlen - energiezmenuj e mechanickou energii (polohovou, tlakovou, kinetickou) tekutiny.Rozliujem e ztrty tec a mstn.

2) Rychlost v pruezu proudov trubice je rcz|oena nerovnomrn. Na stn b;v rychlostrovna nule.Rozloen rychlosti charakterizuje tzv. rychlostn profil. V rovnici kontinuitya v Bernoulliho rovnici budeme potat se stedn rychlost podle objemu:

kde Q je objemovy tok, pruez trubice a V, je mstn rychlost v uritm bod prezu.

3)va?ktekutina se me pohybovat dvma kvalitativn odlinmi ppady proudn:a) laminrm pi malch Reynoldsovch slech,b) turbulentn pi velkch Reynoldsovch slech.

Reynoldsovo slo charakterizuje proudn vazk tekutiny. Experimentln bylo zjitno, ereim proudn vazk tekutiny zvis nejen na stedn rychlosti V, ale i na charakteristickmrozmru proudu tekutiny (u potrub kruhovho pruezu je to prumr d), dynamick viskozittekutiny 7 a hustot p. Z tchto parametru bylo sestaveno podobnostn kriterium, kter senazvReynoldsovo slo ve tvaru:

R"=rdP _ rdryv

Reynoldsovo slo pedstavuje v podstat pomr sil setrvanch a tecch (vazkch). Pihodnotch Re < 2300 pro potrub kruhovho pruezu je proudn laminrrn. Je to ppad, kdysetrvan sly jsou mal, nebo naopak tec sly velk. JeJi pi proudn potrubmReynoldsovo slo vt ne jeho kritick hodnota Re* = 2300, bude proudn prakticky vdyturbulentrr. Laminrn proudn se me zachovat pi hodnotch Re > Ren jen pi omezenvzniku poruch v proudu tekutiny.

Rychlostn profil - pi laminrrnm proudn tekutin potrubm kruhovho pruezu je rychlostnprofil rotanm paraboloidem. Maximln rychlost v ose proudu je rovna dvojnsobku stednrychlosti podle objemu. Pi turbulentnm proudn je rychlostn profil dan logaritmickoukivkou, kter je plo - plnj. Maximln rychlost je rovna asi 5l4 rychlosti stedn.

Kinetick energie tekutiny proudc s nerovnomrnm roz|oerumrychlosti po pruezu je tedyvt ne kinetick energie stejnho mnostv tekutiny proudcho konstantn rychlost pocelm pruezu. Dosazujeme.li do Bernoulliovy rormice stedn rychlost podle objemu, musmepi pesnjch vpotech nsobit rychlostn vku koreknm Coriolisovm souinitelem r,kten bude tm vt, m vce se odchyluje tvar rychlostnho profilu od obdlnka, tj. odrychlostrrho profilu skonstantn rychlost. Pi laminrrnm proudn bude K=2, uturbulentnho proudn se uvauje zpravid|a r = 1 (pesnji l,03 a |,It).

' =|=*y',0o,

52

Rovnice kontinuity

Pro stacionrrn proudn vazk nestlaiteln tekutiny je formln stejn jako pro idelnnestlaiteln tekutiny:

Q=V. ,A ,=VzAz=kons t . ,kde v, a y2 jsou stedn rychlosti v pruezech A,, a 4.

Bernoulliova rovnice

Pro stacionrrn proudni vazk nestlaiteln tekutiny je Bernoulliova rovnice rozena okorekn souinitel K u kinetick energie a o len pedstal.ujc dissipovanou energii

e, = 9h., (resp. e, = (|,,",v. e, = Pf_. kde ( je tz-l. ztttovsouinitel).

9h,, + \ * *.+ = 9h, + L * *r* * "n-, .p z - p -2Vydlenm uveden Bernoulliovy rovnice thoqm zrychlenm g dostvme Bernoulliovurovnici v tzv. geodetickm (kovm) tvaru, vynsobenim p ve tvaru tlakovm.

h ' ,+ Pt **, != ho + P ' **. '3 +h- . - .' pg ' 29 " pg ' 29 " z ' - z '

,v?v?P9\ + Pl t Klv n = Pghz + Pz * Kz o * Pzr2.

Ztrty tec potme z Weisbachova vzorce

e- = ) "L v2

' d 2 '

kde )" (_):" souinitel tecch ztrt, L (') j" dlka potrub, a (,)je prumr potrub.

Teci nrtumeme rovn lyjdit pomoc artovho souinitele ( = lL '-d

Souinitel tecch nrt 2 je obecn zvisl na druhu proudn (podle Re ) a pomm(relativn) drsnosti kf d ,nebo relativn hladkosti df k ,kde x (,)je stedn drsnost stny.

U laminrnho proudn se souinitel ten d odvodit analyicky a zvis porlze naReynoldsov sle. V potrub kruhovho pruezu

^64t L = - -

Re'

U turbulentnho proudn v hydraulicky hladk trubce je souinitel tecch ztrt )' zvisl takpouze na Reynoldsov sle. V roce 1913 odvodil Blasius pro turbulentn proudn vah:

pro Re . Re* = 2300.

platny v rozmez 3000 < Re < 8' 104

53

Nebo podle P.K. Konakova

7 = (1,8log Re_1,5)-, , platn; v rozmez 3000 < Re < 3.106

Pi turbulentnm proudn v drsnm potrub pro pln vyvinut turbulentn proudn zvsisouiniteltecch Ztrt )" pouze na drsnosti stn potrub a nikoliv na Reynoldsov sle:

Pro potrub nekruhovho pruezu a turbulentn proudn vypoteme ztracenou energii zevru

rt)"=(2 log i +1,14)-2,

K

^L v2e '= tLdoT '

Bernoulliova rovnice 1-2

ght +Pl + 0 = ghz * Pn ** * gn,, kdeppz

pro Re > 5oo.#

kde )' je souinitel tecch zttt stejn jako pro proudn potrubm

kruhovho pruezu a d, je hydraulick prumr:

dn=4.prez proudu tekutiny

omoen obvod_ 4.4

o

Reynoldsovo slo v tomto ppad vypoteme ze vrtahu Re =Vd,

v

Ztrty mstn qpoteme tak, e hodnoty ztttoch souinitel ( nalezneme v nkteruebnici nebo pruce uveden v seznamu literatury. Pi zmn pruezu bv zptavid|aztrto souinitel ( vz1aen na rychlost za mstn ztttou. Pi laminrnm proudn jeztrto souinitel funkc Reynoldsova sla (s rostouc hodnotou Re kles), pi turbulentnmproudn se ztrto souinitel mn s hodnotou Re jen nepatrn' pro Re > 105 se rtovsouinitel povauje za konstantn.

Pffklad 5.26Vodn jeb pln cisterny o objemu V =30 m3 . Jenapjen vodou pitkajc zrozlehl ndre potrubmo prumru d =250 mm a dlce L = 300 m. Hladinavody je ve vi l = 30 m nad kolejemi, vytokov otvorje ve vi hz =3,6 m. Souinitel tecch ztrt )' = 0,03,zttto souinitel kadho kolena je (r =0,25, potrubje zakiveno dle obrizku. V potrub jsou umstna dvouptka, kad se frtovym souinitelem s=1,2,Napite Bernoulliovu rovnici pro relnou kapalinu mezioznaenmi body t a 2, vypotejte ztrtovou vku h,,okovou rychlost va potebn as r k naplnn jedn cisterny. obt. 5.26

n, =t(,**u,r *, ,)

54

E 1,+5 r +2es= 3,57 ms-t

as potebn k naplnn jedn cisternyVV

r = -= - ---- ^ =171.2 SA zrd'

4

Pk|a 5.27Vodorovnm potrubm promnnho pruezuvytk voda zntdre. Hladina vody vndri senachz ve vce H =3 /n. Prumry a dlkyjednotlivch sek potrub d., =100 mm,dz =240 mm , dz =120 mm , L. , =10 m ,Lz = 50 m, Ls = 20 m . Ztrtov souinitel navstupu do potrub (,=0,5, nihlho zeni(, =0,35, pro nihl rozen pouijte Bordv vzorec. obr,5.27aVypotejte objemoq tok vody potrubm, nakreslete prubh polohov,tlakov, rychlostn aztttov vyky. Kinematick viskozita v = 10-6 m2s-1 ,

Bernoulliova rovnice mezi volnou hladinou a mstem voku

9H + Pz+0 = 0 *Pn *5 *,, , * z l- , i *(v. _v,),

* l .b *,- * l^ b.- p p '2 t ' 2 ' ' zd t2 ' 2 ' ' u2d22 ' " 'T - 'oqT '

Vytokov rychlost- hr)

Z rovnice kontinuity dosadme za dv nezninn rychlosti v.,

prav dostaneme vztahpro qstupn rychlost

vg= 2gH

h, =25,75 m

, v2 apo

,*(s,.,,I.,)[f) +(r+r"?Protoe zatim neznme rychlost vjednotlivch stech potrub, nememe stanovitReynoldsovo slo potebn pro uren souinitele tecch nrt )". Pouijeme proto iteranmetodu. Zvo|me )' a vypoteme piblin hodnoty rychlost a Re a zkontrolujeme )' .Jestlie je rozdI velk, opakujeme vpoet s nov'mi hodnotami 2.

Zvolme L = L = 4 =0,03. Pak meme vypotatvs =1,954 ms-1Re. = 234493

4 = 0,0150

kde Re - 'dv

vt = 2,814 m s-1 vz = 0,489 m s-1Re1 = 281391 Rer=117246

L =0,0145 L =0,0172,

a ,. = (,g log Re - 1,S)-t .

) )

Cel vpoet zopakujeme s novmi hodnotami 2Vs =2,485 ns-1Re. = 298229La =0,0143

v, =3,579 ms-lRe. = 357875 = 0,0139

Vz =0,621ns_1

Re, =149114

L = 0,0164 .

Zopakujeme-li vpoet s tmito hodnotami dostaneme hodnotu stupn rychlostivs =2,519 ms- t .

Jeliko se tato rychlost li od pedchoz asi jen o 1,4%o, nebudeme ji qpoet opakovat.- 2

Q = V" ,o Y3 - 0,0285 n3s_1-4

Pro zjednoduen je na obrizku 5.27b v prubhu tlakov vky podl potrub naznaen pouzepetlak.

Obr.5.27b

Pklad 5.28Z uzaven ndoby vytk Q = 0,148 n3s- vody(kinematick viskozita y =1,01'1g_0'z'-t) potrubm oprumru d :120 mm a dlkch L, = 4 m, L, =0,8 m, hLs =1,8 m . Ztttov souinitel na vstupu (, =0,5,

tto souinitel kolena (n =a,25. Tlak okol

Po = 0,1 MPa . Vka hladiny v zsobn ndri je

h=4,8 m. Rychlost klesrn hladiny zanedbejte. Stanovtesouinitel tecch ztrt ), v potrub a tlak p nad hladinouv ndob (viz obr.5.28). Obr.5.28

, = 4? =13,1f f iS_1 , Re=g=54781, x=(1,8 logRe_1,5)-2 =O,O1O7,nd' v

,* + gh + O = b + vLz -+ - ,+ - ^ 4#bt *,srt'P =182527,3 Pa.

56

Pklad 5.29trbinou mezikruhovho pruezu (obr. 5.29) protk

Q = 0,1 8 m3 hod. vody o hustot P = 1000 kg m_' a

dynamick viskozit T =6.10{Pa.s. Mstn ztrtuvstupem a vliv drsnosti pi vpotu zanedbejte. Prumrhdele d = 0,1m, ka trbiny je S = 2,5 mm , dlkaL = 0,2n . stanovte potebn tlakovy rozd| mezi vstupema vstupem.

f ld+2s)2 -nd2= , Q , =0.0621 ms- t

z(d + s)s

4a(d + s)s

4Q

= 2s = 5 mm, Rg - ' 'd ' =t)

Obr .5 .29

= 517 ,6. Re* = 1 100 .

V _

. 4Av a -, r o

v'dn'P

fld + zs)- nd

Pro laminrn proudn ve trbin p|ativztah:

B= ). = 0,185

D = ot * s" L ,, o =16,24 Pa2 2s2

Pklad 5.30Z ndoby s velmi rozlehlou hladinou vytk nsoskouvoda. Znme vky h, =1,5 m , h, =1,5 m , prumr

d =100 mm, dlky L. =2,5 m , Lz = 4 m. Ztttosouinitel vstupem je , = 0,5 ' Mstn rta v kolenbude s ohledem na velk polomr zaKiven zanedbateln.Souinitel tecch tt )'=0,03. Stanovte mnostvprotkajc vody a podtlak v kolen, vme-li, e vodnproud se v kolen zil tak, e souinitel kontrakce bude

o = yA= 0,95. Nakreslete prubh polohoch,

tlakovch, rychlostnch a nrtoch vek.

Bernoulliova rovnice 0-2 :n . D^ v ' - v ' ^L . - rL rv 'ghr+rs+O-O+'o* _ *( " _+)- t

- z -p p '2 ' " 2 d 2 '

2gh,

\ \ | ,

1+,-^+=2.921ns_. .

57

Obr.5.30

d 2Q =v " | =22.94 dm3s-1.

4Bernoulliova rovnice 0-l :

o +&+ o = 9h,, + L.!: * c,,! * ),L!p p 2a2 ' r r2 ' ' "d2l - . v ' (1 ? " l - ' \ lh- Po = -plsh. TIA + {, + ^ i ))=

24772,5 Pa

Pftlad 5.31Z roz|ehl ndre s hladinou ve ce H = 5 m vytkvodapotrubmoprumru 4 =0,3m adlce L=20m nakonci opatenm difuzorem dz = 0,36 m , a = 10" .Potrub je hydraulicky hladk, ztrtov souinitel na vstupuje E, =0,5. Hustota vody je p =1000 kg m-t ,kinematick viskozta vody v =1Oa m2s-1 (obr. 5.3l).Tec nrty v difuzoru zanedbejte.Stanovte souinitel tecch zttt )" na rovnm sekua objemo tok potrubm Q .

Nrsleduje kontrola sprvnosti vo|by )':

Re=vt:!'' =2184144 t Re* -+v

Vpoet opakujeme s nom )" tak3. desetinnm mst.

Obr .5 .3 lBernoulliova rovnice mezi volnou hladinou a mstem qitoku

9H+Pl-+0=0 *Pz*v3 *r v *^ Lv? (v"_v^|,

p ;**9,*nl i*Tgna.

Dosadme-| i zav ,=, , ,+,zst rva jnmneznmv,a2.Vo lme )"=O,O3azupravenl2

Bernoulliovy rovnice zskime V,, =7,28 m s-1 .

). = (,8 tog Re- 1,5)-2 =0,01 01 81 .

dlouho, a se dv po sob jdouc ,t neli

Q=vr +=1,031m3sr2 = 0,00915, vt =14,59 ff i s-1 ,

Pklad 5.32Nisoskou na obrizku 5.32 protk voda. Vky jsouh,, =1m, hz =2 m a h. = 3 m, celkov d|ka potrubL=15m. Dlka \=5m (d|ka od potku potrubk mstu 1), prumr potrub d =20 mm , ztrtov souinitelna vstupu , =0,9, v kadm kolen (x =0,25 (v mst 1je ztrta 2.r), ztrto souinitel ve ventilu j a (,ent = 3,5 .Souinitel tecch zri )'=0,03. Jin ztrty neuvaujte,tlak okol Po = 98 kPa . Obr.5.32

58

Vypotejte objemov tok vody Q a absolutn tlak v bod 1.

Q = 4 ,483.10{ m3s-1 .

P' = 58488,4 Pa.

Pklad 5.33Ndoba s rozlehlou hladinou (obr. 5.33) je naplnna vodoudo vye H . Zndoby vytk objemoq tok Q = 0,03 n3s-1potrubm o prumru d =120 mm adlkch L, =1,5 m aLz =1,2 m .y mst 1 m tlak trubice, kter ukazuje vkuh . Ztrtov souinitel na vstupu do potrub (, = O,45 a vkolen (x =1,3. Souinitel tecch ztrt )" =0,018. Tlakokol po =98 kPa.Vypotejte absolutn tlak v mst 1, v'ku vody v trubici h,rychlost v potrub v, vku hladiny H, tlakovou zhtu vpotrubi Ap,.

Pt =103734 Pa + h = 0,585 m.v = 2,65 ?? s_1 .H =1,131m .AP, =7581,5 Pa.

Pklad 5.34Mazut o hustot P = 920 kg m_' a dynamick viskozit 4 = O,1Pa.s protk mezikrumvnitnm prumru d =60 mm a vnjm prumruD =166 mm (obr. 5.34). Rozvinut dlka potrubL = 300 t7?. Hmotnostn tok m = 62000 kg'hod_1 .

Pro laminirn proudn ve trbin pouijte vah

( - " ) ' Obr.5.34

1+rc2 *1-* 'lnrc

Urete: hydraulick prumr potrub, souinitel tecch rt atlakovou teci rtJ.

dn =106 mm.). = 0,0973 .P, =125424 Pa.

,64n= -Re

.kde *=!'D

Obr .5 .33

59

5.4 Nestacionrn proudn

V pedchrzejcch odstavcch jsme se zabva|i ustlenm, stacionrnm proudnm,ker se vyznauje tim, e se provozn podmnky nemn s asem. Pi zatku nebb peruenprovozu' pop. pi zmnch provomch podmnek, dochz k neustlenmu, nestacionirnmuproudn. Jde pedevm o zrnny rychlosti proudn s asem, kter vyvolaj zmnu tlaku.Rychlost a tlak tedy v libovolnm bod proudovho vlikna zvisnejen na souadnicch, ale ina ase.

Nestacionim proudn v potrub lze eit dvojm zpsobem. Jsou-li zmny rychlosti atm i tlaku mal, nemus se projevit stlaitelnost tekutiny. Takov nestacionrn proudnnestlaiteln tekutiny se e pomoc rozen Bernoulliovy rovnice. Prakticky se vak pizmnch tlaku projev stlaitelnost tekutiny, nap. pi rychlm uzaven ouptka. Takovnestacionrn proudn se nfivhydraulick (vodni) rn.

Rovnice kontinuity

Pro nestlaiteln tekutiny plat pro uri asov okamik rovnice kontinuity, kter mstejn tvar jako pro proudn stacionirn. Prutok potrubm se vak s asem mn.

VtAt =vzAz =Q(t) + konst.

Rovnice kontinuity lze pst i pro zrychlen:

Pro stlaiteln tekutiny plat obecnj tvar rovnice kontinuity:

p,4vt = pzAzvz. !#

Ads,

v pibv posledn len pedstavujc zmnu hmotnosti tekutiny nachnejici se v objemuomezenm uvovanmi pruezy I a 2 v uvaovanm asovm intervalu. Pi stacionrnmproudnje derivace hustoty podle asu rovna nule a pslun len rovnice tud odpad.

Pohybov rovnice

Pi nestacionrnm proudn je nutno st energie vynaloit na urychlen tekutinya Bemoulliova rovnice bude rozena o setrvanou energii' vyjadujc pnci vynaloenouzrychlujcmi silami. Uvujeme-li nestacionrm proudn nestlaiteln vazk iekutiny zapsoben pouze zemsk t ie,tzn. P=konst . , K,=K,=O, K,=-9, pak pohybovourovnici v diferencilnm tvaru zapeme takto:

-0 .

Integrac mezi pruezy 1 - 2 proudov trubice dostvme integrln tvar pohybov rovnice

sdh+T.r(+).#ds+de.

=,,,*f;**,gh r+P t ** ,p60

v3 trOv

Z . l *c t s+ez1-2 '

Lokln zrychlen (zpodni)tekutiny *,,uoznaovno a, .d tNemn-li se pruez potrub je at konstantn a po integraci dostaneme setrvanou energiirovnou a,.L, kde L je dlka potrub mezi uvaovanmi pruezy I a2. Mn-li se pruezpotrub zavdime tzv. redukovanou dlku potrub

L,= 1,,,o,=4,,1!E.' o, , l ' lA

vztaenoa na pruez l. Setrvanou energii pak peme vetvaru a,..Lr, Po pklad uveden na obrzku je redukovandlka rovna

A,L, = L, +: lLz .I I A "

Nestacionrn pohyb me b vynucen, nap. u pstovho erpadla, kdy je danpohyb kapaliny pohybem pstu, jeho okamitou rychlost a zrychleni zprvidlaznm, nebosi je meme urit z kinematiky klikovho mechanismu.

Nestacionrn pohyb me byt t voln, lako je tomu nap' u kmitan sloupcekapaliny ve spojitch ndobch nebo trubicch, rozbh iroudu pr1 vytoku z ndob apechodn stav prutoku potrubm pi zmnch oteven armatury upo. V tomto ppadbyvaj rychlo st a zry ch|eni hledanmi veliinami.

Vtina tchto loh vede na linern diferenciln rovnice druhho du, kter emeza pomoci zjednoduujcch pedpoklad, nap. zanedbme ztrty nebo bereme souiniteltecch rt konstantn, jeho velikost odhadneme podle stacionirnho ppadu.

Pklad 5.35Z roz|eh| zsobn ndre je sacm potrubm o prumru d, = 45 mm mm nasvna vodashustotou P=1000 kgm_' pstem, kter: se nachzi ve vlci o prumru d,=60mm(obr. 5.35). Vka hladiny nad osou pstu je h =1O m, d|ka sacho potrub L = 4 m,polomr kliky r = 250 mm , poet otek fl = 60 min4, souet vech ztrtoch souinitel( = 3 (tj. vetn tecch nrt), tlak okol Pn = O,1 MPa . Urete minimln tIak p2 ve vlci'kte nastv pi takov poloze kliky, kdy al. = 0.

Obr .5 .35

6 l

X r(1_cosra.t) , V rosinalt , ax fc02 cosalt ,

Po dosazen podmnky vypoteme:

pz = Nh + po - FLna =127913 Pa.

Pklad 5.36Ve sklonnm potrub se pohybuje pst rovnomrnzrychlenm pohybem se zrychlenm = 1ms_2 a nasvdo potrub vodu zroz|eh| ndte. Stanovte vjak'r,ce h'", dojde k odtren sloupce kapiny od pstu,

jestlie hustota P = 1000 kg m-,, tlak nasycench par

Pp =20 kPa. Na zatktt dje pi = 0 s je h =0 m a

rychlost pstu V=0ms-l. hel sklonu potruba =20o, ponoen st m dlku l =2 m. Hydraulickzttty zanedbejte. Barometrick tlak Pe = 98,1 kPa .

gh * ? *+ = ? -+ - ++ a.L*, kde

Po :h_^..+Po *Y|*g( ,* h ' " ,

) .16.pg " 'n ' pg ' 2g ' g( ' s ina) ' '

hrrr =6,02 m .

2m60

= 6,28 s-'

odtren sloupce tekutiny nastane pi tlaku rovnm tlaku nasycench Pa Po.

Obr.5.36

h,, , =!asina 2

V=Ot ,

Pklad 5.37V potrub konstantnho prezu se pohybuje pst smrem doprava od sv poten polohy Pkonstantnm zrychlenm a=1,5ms-2. Stanovte za kolik sekund a v jak vzdlenosti X,",pestane kapalina sledovat pohyb pstu (odtren nastane,klesneJi tlak na ele pstu na velikost tlaku nasycench parPp). Na potku dje x = 0 je rychlost v __0 a potrub o

dlce L=7 m je zaplnno kapalinou. Hustota kapaliny

P = 1000 kg m-" , rozd| mezi tlakem okol a tlakemnasycench par 4 =80 kPa. Prumr potrubd = 50 mm , vzdlenost osy psfu od hladiny rozlehlasobn ndre je h=5m, souet souinitel vechmstnch ztrt = 3, souinitel tec ztty )' =0,025 .

62

Obr.5.37

9h,+P '* !=Qh,+Pz++ar t+ v? t '+Xnax V22

p2p2. -X , , , )* :- ,h2-h1- h , p , ,F p ) - p rF - p , )= 4 , v = a . t ,

1^Xr" , =;" ' '

Po dosazen a prav dostaneme bikvadratickou rovnici ve tvaru:E ro ,o , , , , , , xL , , z ,P4d

r- + ,(z+;+i)r ' - (=:-_gh_aL)=9,

odkud f =1.403s a Xrr , =1,477 m.

Pklad 5.38U pstovho erpadla je pohyb pstu vyvozovn zvaimpes kladku. Pst se pohybuje z poten polohy 1 pohybemrovnomrn zrychlenm. Vlivem ten na kladce a pstu ostny je zrychlen pstu 10 x men ne gravitan zrychlen.Urete as a vzdlenost, kdy voda pestane sledovat pst, je-li tlak nasycench Pat Pp =20 kPa (viz obr' 5.38).Dle je dino: d =60 mm , D =80 mm , L =5 m,L.=0,4 m, h =1,5 m, L=0,04' L '=o,o3, , =O,5,( , =0,3 , ( r =0,1 , pn =98 kPa.

L,ea = L.# + L - L1 * X,", = t,(#- 1). L+ x,,,.

'o =#t, Xma, =1#f

Obr .5 .38

?=gn*2"**,oLno *(s, *,,!)y:*( ,- *(, + , L_L.+x,",\uf,p : , , , 'p ,2 r D)2-1t ' ' -5k,2 d )z

Z r ovnice kontinuity vyplv:

v.D2 = r r.d' + d.D2 = oo.d'd2

+ O=O^- - - -= ."D '

Po dosazen a vyeen bikvadratick rovnice dostaneme:

t = 4,41s , x =8,76 m .

Pklad 5.39K rozlehl ndri s hladinou vody ve vce h = 1,5 m jepipojeno vodorovn potrub o dlce L = 4 m. odvotezvislost mezi okamitou rychlost y() na koncipotrub a asem f pi samovolnm oku vody ponrhlm oteven zrklopky umstn na konci potrub.

63

Obr.5.39

Stanovte, za kolik sekund bude qitokov rychlost rovna rychlosti pi stacionrnm v;itoku.Celkov ztrtov souinitel (zrnujc mstn i tec ztrty) " =1,8.

Pro stacionrn ppad voku v =

pro nestacionrm ppad m pohybov rovniceoteven po prav war

rozlehlou hladinou a mstem nahlho

v e (0, u()) ,

mezl

' v2G)n*(^)+dv(t) r .gn=-z dt

Po dosazen za gh z (*) dostaneme diferenciiln rovnici:

,r+ (")=+(+ (,,.Tt.

Po separaci promnnch a integraci v mezch e (0, z),!dt:ft,,5,

dostaneme po integraci: ,= L

hv+v(t) .(1+ ( , )v v -v( t)

Dosadme.li za u(f) = |/ , je vidt, e T + @. Pro praktick poty posta uvaovaty() = 0,99 y, co po dosazen dv vsledek:

r=6,22s, kde v =3,242??s- '

Pklad 5.40Za ko|ik sekund se vyprzdn svisl trubka o prumru d = 0,02 m a d|ce L = 4 m naplnnvodou a na hornm konci oteven, je-li spodn konec nhle oteven. Uvaujeme konstantnsouinitel tecch ztrt )' = 0,03 (viz obr. 5.40).

o, *Pt*t =Pn*!i-* t!t*9!, I . 1- p 2 p 2 d2 dt I gLx ^v 'x xdv- = r vL 2gdL LgdtZavedeme.li a dosadme do rovnice bezrozmrn soadnice:

Xo=T' ,=-L. r =L. dostaneme:' ^lzgt J2Llg'

upravmeadosadme r= ^Ll L -d

^L , d ro4 = /v ,4Q- + ry-:,qo t

64

Obr.5.40

tj. zvislost relativn rychlosti nabezrozmrnm ase., v dx 1 _ d(x/L) ldr t- := - = - -7. jdt dt jgL zd(t / ^ IL/ g) 2 dr

Porovninm s pedchazejc rolmic po Q dostaneme

Potom 67 = --!-9-1-(*p) '

Po in tes rac i r=Lh1+*q2rc 1- re

1dn 1._ d,=_t9|rcr '

resp.

)1- ,l = ] ln(cosh rct) .

K -

Dobu vyprrzdnn dostaneme pro 7 = Q;_2

lnboshrcr)-n --)2

t=r .JL/g =1,361s.

Rovnice kontinuity:f , ' r 2a " I V "

V ,=V , l - l = - ! - +' ' l d , ) d

+ 'ld,

= 1'k!- * -l-p,p.i 2 ! '1+ rcrp 1- *e '

-) a=1"::r-1r=lrnh*r,K e t * ' +1 K

-

-'lo, =?'lgh*rdr,i K

+ T =1- I nPosn rcr1 .

Pklad 5.4lStanovte zvislost qitokov rychlosti na poloze }rladiny adobu' za kterou se vyprzdn ndoba o prumru dz = 0,2 m apoten vce hladiny H =3 m , vytk-li tekutina otvorem

o prumru d.=1l3d,. Zanedbejte viskozitu tekutiny, alesetrvan sly uvaujte (viz obr. 5.41).

Pohybov rovnice:

n+lz*t= P, * '3 *1 d' , h.pg 29 pg 29 gdt

1-+ r =-argcosh"*2/2 -1,5075K

Pr 1,,Obr.5.41

cosh rc - "r '/2

dhV " = - - .' d t

dr, _dv, dh _ _dr, n. =dt dhdt dh ' ;#=-#p,uo"

Zav edeme bezrozmrn parametry :h, l= H, a

= ++ ) d, = 0 a dosadme do pohybov rovnice'JzgH

. v . l= ._ - 1 _ _

, ) -u 2 -

;#h.+(,i -,3)+h=o

65

,#+ (1- B)p, * f tt = o + obyejn diferenciln rovnice 1. du pto Q2

Pro okrajov podmnky 4 =1, Q =O je een (p-

V naem pffpad je 0 = 3 , tud ,p = J6i1

Pi.tomto pomru prumru se tedy mn rychlost s vkou sloupce tekutiny podle elipsy.Dobu vyprrzdnn urme pomoc rovnice kontinuity:

dh v^V " = - - a - - ! - 7' d ta Jp

2

#h-ry,-')

v2

,lpv2

r - : = -

,l2gHdhH

--1,

d t H ' ' Y .

dr7dt '

kde jsme dosadili bezrozrrm as r = #7

Dosadme za g do zvislosti v'.tokov rychlosti na vce sloupce kapaliny a dostaneme(pro B = 3;'

l3 dq E r--Ti =J3^1ry -rt ' + ,o,

= _1,t_!l-- 2]J;7.

Zavedeme substituci X =1-27 aintegrujeme:I t . , . _ , l ? 1r -1r = l, arcsin (l - Zn) = -l arcsin ( - Zr) * : l,l z 1 , , ZL Z )

pro?=O + arcs in(1)=+ + r=L.2 2 'Dob4 za kterou se vyprrzdn ndoba je tedy:

I=;

t =,^l! = ,23 sv9

Pk|ad 5.42V U-trubici konstantnho prumru d se vlivem laminim tecZtrty pohybuje sloupec kapaliny tlumenm kmitavm pohybem'Urete prumr trubice d , je.li dlka sloupce

. kapaliny

L=0,25 m akinematickviskozita v =1,02.10-6m2s-1, tuk, abydolo prv ke laitickmu tlumen a stanovte vlastn frekvencinetlumench kmit 2.

Rovnici kmitavho pohybu lze zapsatve tvaru:rl2 r, rltt- f r . r ^ " I , r t 2 ,. t l 2

| o ; ; - : c ! = Q .lJt Ul

IGitick tlumen nastane, jestlie = d) .

66

Obr.5.42

Pohybov rovnice:

dv.zgy - iL-e,=0.

D- v ' y +pL ***!L*",,nr*;+V=-9J p 2 dt

Za|arrinrntec ztrtudosadme: l=! -64, .Re vd '

take ", =T*t = k,, , kde k., =T.dv

P|ati v = _ a } = _ , proto meme pohybovou rovnici pepsat do tvaru:ot

L+k,+2gy=o l! -+ . . k . .2ay*tv+fv=o.

+ p=jZgt t=8,86s-116v_+ , = _An,2, =L

L{) '=29

L

d-

d2s

S=So cosd) t ,

t =1 =?o =2,fo

= 1,357 mm .

- - .

+ S=So + Y=0 ,

Svisl vzdlenost hladin v U-trubici h = s(cosa + cos B\

Pohybov rovnice: gh *+ =t -#,d , , , dS,=A(so-sJ=-

dt +

* 9(cosa + cos p)s = 0,/ '

dt2

=0

dvdt

pro

kde {)2 = t"* a + cos B).

Pklad 5.43U-trubice na obr. 5.43 m konstantn prumr a ramena sklonna pod uhly a = 45o a f = 60" .DlkasloupcetekutinyvU-trubici je l=40cm apoten vchylkahladinyvase =0sje so. Stanovte dobu kmitu a frekvenci kmitn sloupce tekutiny v U-trubici, jestliezanedbme viskozitu.

Obr.5.43

g(cosa+cosB)= 1,83 s

67

f = 0,548 s-t

5.5 Relativn pohyb tekutin

Pohyb tekutiny vzhledem k souadnicovmu systmu spojenmu s pohybujc sendobou nebo potrubm oznaujeme jako relativn. Pitom ndoba nebo potrub se pohybujeabsolutnm pohybem vzhledem k souadnicovmu syst