Mechanika tuhých telies. Návody na cvičenia.pdf

MECHANIKA TUHÝCH TELIES Návody na cvičenia

NAĎ Milan

LABAŠOVÁ Eva

2008

© Ing. Milan Naď, CSc., Ing. Eva Labašová, PhD.

Recenzenti : Prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc.

Doc. Ing. Milan Michalíček, CSc.

Jazyková korektúra : Mgr. Valéria Krahulcová Schválila Vedecká rada Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptá dňa 14. februára 2007 pre všetky študijné programy Materiálovotechnologickej fakulty STU v Trnave

ISBN 978-80-8096-050-6 EAN 9788080960506

3

Ú v o d

Skriptá „Mechanika tuhých telies – Návody na cvičenia“ sú určené predovšetkým

študentom Materiálovotechnologickej fakulty STU so sídlom v Trnave. Hlavným cieľom

skrípt je poskytnúť študentom prehľadnú, zrozumiteľnú a efektívnu študijnú pomôcku pri

štúdiu predmetu Mechanika tuhých telies.

Po obsahovej stránke vychádzajú skriptá z prednášok a cvičení predmetu mechanika

tuhých telies, ktoré sú realizované na Katedre aplikovanej mechaniky MTF pre všetky

bakalárske študijné programy akreditované na MTF STU v Trnave.

Náplňou skrípt sú vzorové príklady z oblasti statiky, kinematiky a dynamiky tuhých telies.

V rámci príkladov z dynamiky je zahrnutá aj časť príkladov týkajúcich sa lineárneho kmitania

sústav s jedným stupňom voľnosti. Príklady sú koncipované tak, aby pri ich riešení študent

pochopil základné zákonitosti mechaniky a zároveň spôsob a pravidlá riešenia konkrétnych

problémov mechaniky tuhých telies. Súčasťou skrípt sú okrem riešených príkladov aj

neriešené príklady slúžiace na samoštúdium, pre ktoré sú uvedené výsledky.

Prvú kapitolu – Statika vypracovala Ing. Eva Labašová, PhD. Na vypracovaní druhej

kapitoly – Kinematika sa rovnakým dielom podieľali Ing. Eva Labašová, PhD. a Ing Milan

Naď, CSc. Tretiu kapitolu – Dynamika vypracoval Ing. Milan Naď, CSc.

Prianím autorov je, aby toto skriptum prispelo k interdisciplinárnemu chápaniu všetkých

častí mechaniky vo vzťahu k výrobným technológiám, informatike, materiálovým vedám,

priemyslenému inžinierstvu ako aj k environmentalistike.

Autori si považujú za milú povinnosť poďakovať doc. Ing. Jozefovi Mudrikovi, CSc.

garantovi predmetu Mechanika tuhých telies, za jeho veľmi cenné pripomienky a morálnu

podporu pri spracovávaní skrípt.

Autori

4

1 STATIKA

1.1 SILA A JEJ ÚČINKY NA HMOTNÝ OBJEKT

Sila F je vektorová veličina, ktorá je definovaná veľkosťou, smerom a orientáciou. Vektor sily môže byť vyjadrený ako sila pôsobiaca v rovine alebo priestore. Silu v rovine (obr. 1.1) rozkladáme do dvoch vektorových zložiek Fx a Fy, t.j. potom platí

jiFFF yxyx FF +=+= , (1.1)

kde Fx , Fy sú veľkosti zložiek sily F v smere súradnicových osí x, y. Zložky sily Fx a Fy sú navzájom na seba kolmé. Tieto zložky môžu byť v smere kladných, resp. záporných poloosí x alebo y a ich veľkosti (môžu byť aj nulové) sú všeobecne určené vzťahmi sinαcosα FFFF yx == , (1.2)

kde α je smerový uhol, ktorý zviera nositeľka sily - nF s kladným smerom osi x.

Veľkosť sily je určená pomocou Pytagorovej vety

22yx FFF += . (1.3)

Základnou jednotkou sily je jeden newton [N]. Sila ako vektorová veličina je viazaná k svojej nositeľke nF. Pôsobisko sily možno ľubovoľne posunúť po nositeľke sily a účinok na objekt sa nezmení. Sila vzhľadom na všetky body na svojej nositeľke má posuvný účinok.

Obr. 1.1 Obr. 1.2

Silu v priestore (obr. 1.2) rozkladáme do troch navzájom kolmých zložiek Fx, Fy a Fz

kjiFFFF zyxzyx FFF ++=++= , (1.4)

,cos,cos,cos γ=β=α= FFFFFF zyx (1.5) pričom α , β , γ sú smerové uhly nositeľky sily k príslušným súradnicovým osiam x, y, z. Veľkosť sily je určená zo vzťahu

222zyx FFFF ++= . (1.6)

Kosínusy smerových uhlov sú určené zo vzťahov (1.5)

Fy

x

y

Fx i

j

z

k

Fz

α β

γ

F

0

nF

Fy

x

α

nF

y

Fx

F

i

j

5

FFFzyx F

cos ,F

cos ,F

cos =γ=β=α , (1.7)

pričom platí

1coscoscos 222 =γ+β+α . Ak na objekt pôsobia dve a viacej síl, zložky ich výslednej sily (výslednice R) sú získané vektorovým súčtom príslušných zložiek daných síl

jiRRR yxyx RR +=+= , (1.8)

niFRFRn

iyiy

n

ixix ,.....,2,1 , ,

11=== ∑∑

==

. (1.9)

Okrem posuvného účinku má sila aj otáčavý účinok, ktorý vzniká vzhľadom na ľubovoľný bod v rovine alebo v priestore, ktorý neleží na nositeľke sily. Mierou otáčavého účinku je moment sily. Moment sily je vektorová veličina.

Moment sily M vzhľadom na bod A je vyjadrený vektorovým súčinom

FrM ×= , (1.10)

kde r je polohový vektor pôsobiska sily F vzhľadom na bod A (obr. 1.3a). Veľkosť momentu sily vzhľadom na bod A vyjadrená ako veľkosť vektorového súčinu (1.10), t.j. platí

FdrFM =ϕ= sin , (1.11)

kde ϕ - uhol, ktorý zvierajú smery nositeliek vektorov r a F vychádzajúcich z jedného bodu, d - kolmá vzdialenosť bodu A od nositeľky sily nF .

Základnou jednotkou momentu sily je jeden newtonmeter [Nm]. Moment sily vzhľadom na bod je viazaný vektor, t.j. k rôznym bodom má tá istá sila iný otáčavý účinok. Moment sily je kolmý na rovinu ρ vytvorenú vektormi r, F. Vektory v poradí r, F, M tvoria pravotočivý systém (obr. 1.3b). Prakticky možno vektor určiť pomocou pravidla pravej ruky.

Na riešenie rovinných úloh v statike je zavedená dohoda, že moment sily má kladné znamienko (+), ak otáča objektom proti zmyslu otáčania hodinových ručičiek a naopak má záporné znamienko (−), ak otáča objektom v zmysle otáčania hodinových ručičiek (obr. 1.3c).

Obr. 1.3a Obr. 1.3b Obr. 1.3c

Moment sily vzhľadom na os telesa

Moment sily F vzhľadom na os o je kolmý priemet momentu MB do smeru osi o. MB je moment sily F vzhľadom na ľubovoľný bod B ležiaci na osi o (obr. 1.4). Moment Mo vyjadruje otáčavý účinok sily vzhľadom na danú os a je definovaný vzťahom

A d

F

M

M = − Fd

A d

F

M

M = + Fd

F

r M r

F M nF

ϕ

. d

A ρ

6

eeeFreeMM oo M=⋅×=⋅= ])[()( B , FrM ×=B , (1.12)

kde e je jednotkový vektor v smere osi o. Na základe definície momentu je moment sily vzhľadom na os nulový, ak nositeľka sily nF je s osou o rovnobežná alebo rôznobežná. Moment sily vzhľadom na os je vektor viazaný k danej osi, čiže má vždy smer osi o.

Obr. 1.4 Obr. 1.5

Moment silovej dvojice

Silovú dvojicu tvoria dve rovnobežné, opačne orientované sily rovnakej veľkosti F, ktoré ležia na rovnobežných nositeľkách (obr. 1.5). Kolmá vzdialenosť nositeliek je d, nazýva sa tak rameno silovej dvojice. Výslednica takto definovaných síl sa rovná nule, t.j. posuvný účinok je nulový. Otáčavý účinok takejto dvojice síl je určený momentom silovej dvojice. Moment silovej dvojice je voľný vektor, t.j. má rovnaký otáčavý účinok vzhľadom na ľubovoľný bod v priestore a jeho veľkosť je daná vzťahom:

M = Fd. (1.14)

Vektor momentu silovej dvojice je kolmý na rovinu určenú nositeľkami síl a jeho orientácia je daná pravidlom pravej ruky.

Varignonova veta (momentová veta)

Moment M0 výslednice R sústavy síl (obr. 1.6a) so spoločným pôsobiskom (bod A) vzhľadom na bod 0 sa rovná súčtu momentov jednotlivých síl vzhľadom na ten istý bod 0. Taktiež platí, že moment sily F vzhľadom na bod 0 sa rovná súčtu momentov jednotlivých zložiek tejto sily v smere súradnicových osí vzhľadom na ten istý bod 0 (obr. 1.6b).

r

F MB

nF

.

o

B

e

Mo d

M

M

F1

F2

| F2 | = | F1 | = F F2 = − F1

7

Obr. 1.6a Obr. 1.6b

Príklad 1.1 Určte veľkosť a smerový uhol nositeľky výslednej sily pôsobiacej na konzolu podľa obrázka. Dané: F1 = 100 N, F2 = 300 N, α = 20°, β = 30°

Do bodu A na konzole je zvolený začiatok súradnicového systému. Výslednica síl F1 a F2 má pôsobisko taktiež v bode A. Veľkosti zložiek výslednice sú získané zo vzťahov (1.9)

N6,22530cos.30020sin.100cossin

N97,24330sin.30020cos.100sincos

21

21

−=+=β−α==

=+=β+α==

∑∑

oo

oo

FFFR

FFFR

yiy

xix

Veľkosť výslednice:

( ) N29,3326,22597,243 2222 =−+=+= yx RRR .

r 0 F1

F2

Fi

A

∑∑==

=×=×=n

ii

n

ii

110 ; FRFrRrM

r 0 Fx

F

A

Fy

Fz

zyx FrFrFrFrM ×+×+×=×=0

α

β

F1

F2

A x

y

F1x

F1y

F2x

F2y

Poznámka: Pri použití znaku∑ xiF budeme mať na mysli vždy∑=

n

ixiF

1, ak by sa v ďalšom

texte suma nevzťahovala na všetky sily, bude to pri znaku uvedené.

α

β

F1

F2

A

8

Smerový uhol výslednice αR určíme podľa vzťahu (1.7)

.76,42

,7342,029,33297,243cos

o=α

===α

R

xR R

R

Funkcia kosínus má kladné hodnoty v prvom a štvrtom kvadrante, preto je potrebné určiť aj funkciu sínus

.76,426789,029,332

6,225sin o−=α⇒−=−

==α Ry

R RR

Funkcia sínus má záporné hodnoty v treťom a vo štvrtom kvadrante. Smerový uhol nositeľky nR výslednice potom leží vo štvrtom kvadrante a jeho veľkosť je

ooo 243177642360 ,, =−=α′R .

Výslednicu ako vektor možno zapísať:

- v tvare mnohočlena: jijiR 6,22597,243 −=+= xx RR ,

- v tvare vektora: )6,225;97,243();( −== yx RRR . Príklad 1.2 1. Vertikálna sila F pôsobí na koniec nástrčkového kľúča. Vypočítajte veľkosť momentu

sily vzhľadom na bod 0 (obr.A). 2. Vypočítajte veľkosť momentu, ak na kľúč pôsobí horizontálna sila (obr.B). 3. Vypočítajte veľkosť momentu, ak sila pôsobí kolmo na os kľúča (obr.C). Dané: F = 100 N, α = 60° , l = 0,18 m

Obr. A

Obr. B

Obr. C

1. Kolmú vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 vyjadríme z obr. A

m09,060cos18,0cos ==α= old . Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 (1.11) je Nm 909,0.1000 === FdM .

Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí v smere hodinových ručičiek, čiže je záporný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme

kkjjiFrM 100.60cos18,0.cos)()sincos(0o−=α−=−×α+α=×= FlFll ,

kM 90 −= .

2. Kolmú vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 vyjadríme z obr. B d = l sinα = 0,18.sin 60° = 0,156 m.

R

Rx

Ry

Rα′

Α

nR

y

x αR

nF

α

F

0

y

d

. M0

x

α nF

α

F n

0

y

d.

M0 x

nFα

F

0

y

d

.M0

xα

F

0

l

9

Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 je

M0 = Fd=100.0,156 = 15,6 Nm.

Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí proti smeru hodinových ručičiek, čiže je kladný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme

kkijiFrM 100.60sin18,0.sin.)()sincos(0o+=α+=−×α+α=×= FlFll ,

kM 6,150 += .

3. Kolmá vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 sa rovná dĺžke l (obr. C). Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 je M0 = Fd=100 . 0,18 = 18 Nm. Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí v smere hodinových ručičiek, čiže je záporný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme )cossin()sincos(0 jijiFrM α−α×α+α=×= FFll , kkkkM )5,13()5,4())(sin)(sin()cos)(cos(0 −+−=−αα+α−α= FlFl , kM 180 −= .

Príklad 1.3 Na stĺp pôsobí v lane AM sila F podľa obrázka. 1. Určte polohový vektor pôsobiska danej sily. 2. Zapíšte silu v tvare mnohočlena v karteziánskom

súradnicovom systéme. 3. Určte moment danej sily vzhľadom na začiatok

súradnicového systému.

Dané: F = 1,2 kN; α = 30°; l = 1 m; h = 4,5 m; b = 1,5 m

Obr.A

Obr.B

1. Polohový vektor rA pôsobiska sily F vzhľadom na bod 0 (začiatok súradnicového

systému) predstavuje telesovú uhlopriečku hranola s výškou h. Strany podstavy sú

y

x 0

z

A

M

α

h

l

F rA

rAz

rAx

rAy

H

N

K

x

y

0

z

A

M

α

h

l

F rA

H

nF

rAx

b

β

N K

L

B

C D

Fx

Fz

Fy Fxz

γ

V technických aplikáciách bude veľkosť momentu sily určovaná podľa vzťahu (1.11) a jehoorientácia bude určovaná podľa pravidla pravej ruky.

y

0

z

A . α

hl F

b

H

x

M

10

vyjadrené na základe dĺžky ramena HA a uhla α, ktorý zviera rameno s kolmým priemetom na os x v rovine rovnobežnej s rovinou xy (obr. A).

kjir )()()( 000 zzyyxx AAAA −+−+−= ,

0000 === zyx ,

kjikjir 5,05,4866,0)sin()cos( ++=α++α= lhlA .

2. Nositeľka sily nF leží na telesovej uhlopriečke hranola ABCDKLMN s výškou h (obr. B). Z daných rozmerov vypočítame strany jeho podstavy.

m. 5,0sinADKN m, 634,0cosMN =α===α−= llb

Na určenie veľkosti zložiek sily Fy a jej kolmého priemetu do roviny xz (Fxz) je potrebné vyjadriť uhol β, ktorý je vyjadrený z pravouhlého trojuholníka AKM

.,,arctg

,,,

,,MNKNKMtg

o17101790

179054

634050 2222

==β

=+

=+

==βhh

Potom: β=β= sin,cos FFFF xzy . Na vyjadrenie zložiek sily Fx, Fz potrebujeme vypočítať uhol, ktorý zviera priemet sily

Fxz s kladným smerom osi x (resp. so smerom osi z). V obrázku (obr.B) je tento uhol zakótovaný ako uhol γ v pravouhlom trojuholníku KLM

o27,38789,0634,0

5,0

MN

KN

LK

LMtg =γ⇒====γ

Veľkosti zložiek sily Fx, Fz sú vyjadrené pomocou vzťahov

γ=γ= sin,cos xzzxzx FFFF .

Zápis sily v tvare mnohočlena je y zxF F F= − −F i j k . Po dosadení predchádzajúcich vzťahov získame

.13,018,1166,0,8,273sin)0,171sin(0,171cos2,18,273cos)0,171,2sin1(

,sin)sin(coscos)sin(

kjiFkjiF

kjiF

−−=−−=

γβ−β−γβ=ooooo F

FFF

3. Moment sily vzhľadom na začiatok súradnicového systému je možné vypočítať priamo z definície pre moment sily vzhľadom na bod s využitím predchádzajúcich výsledkov

kjikji

FrM )()()( xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx FrFrFrFrFrFrFFFrrr −+−+−==×= ,

kjikji

M 769,1196,0005,00,13-1,18-0,1660,54,50,866 −+== .

11

Veľkosť momentu je kNm779,1222 =++= zyx MMMM . Príklad 1.4 1. Vypočítajte momenty sily F vzhľadom na jednotlivé súradnicové osi. 2. Vypočítajte momenty sily Q vzhľadom na jednotlivé súradnicové osi.

Obr. A

Obr. B

1. Výpočet momentu sily F vzhľadom na os x (obr. A). Najskôr je vypočítaný moment sily F vzhľadom na ľubovoľný bod ležiaci na osi x – napr. bod 0

jkikjiFrM bFcFFcbaF +−=×++=×= )(0 . Moment vzhľadom na os x je vyjadrený vzťahom 0iijkiiMM =⋅+−=⋅= ])[()( 0 bFcFx .

Nositeľka sily nF je rovnobežná s osou x, preto sila nemá otáčavý účinok vzhľadom na os x. Bod 0 sa nachádza na osiach x, y a z. Moment sily F vzhľadom na bod 0 je použitý na výpočet momentu sily aj k zvyšným dvom súradnicovým osiam. Pre vektor momentu sily v smere osi y platí

jjjjjkjjMM yy MbFbFcF ==⋅+−=⋅= ])[()( 0 .

Veľkosť momentu sily vzhľadom na os možno vypočítať ako súčin veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeľky sily k danej osi. Orientácia momentu je určená pomocou pravidla pravej ruky.

Nositeľka sily nF a os z sú navzájom mimobežné. Veľkosť momentu sily F vzhľadom na os z podľa predchádzajúcej definície je Mz = cF. Pri pohľade z kladného smeru osi z sila F otáča okolo osi z v smere hodinových ručičiek, takže moment bude záporný. Moment sily F vzhľadom na os z je potom vypočítaný zo vzťahu

kkkkjkkkMM zz McFbFcF =−=⋅+−=⋅= ])[()( 0 .

2. Sila Q (obr. B) nemá otáčavý účinok vzhľadom na os x (nQ a os x sú navzájom rôznobežné) a nemá otáčavý účinok ani vzhľadom na os y (nQ a os y sú navzájom rovnobežné). Nositeľka sily nQ je mimobežná iba s osou z. Kolmá vzdialenosť mimobežiek je a.

kM aQz += . Moment sily Q vzhľadom na os z je potom vypočítaný pomocou (1.12), t.j.

kkkkkkjjikkQrM aQaQQcaQz +=⋅=⋅×+=⋅×= ])[(]))[((])[(

F

z

y

0 x

a b

c rF

i j

k

nF F

z

y

0

Q

x a

b

c

y

0

Q

x a b

c rQ

z

i j

k

nQ

12

Príklad 1.5 Na páku nástrčkového kľúča pôsobia na oboch stranách dve rovnako veľké sily F. Vypočítajtevýsledné momenty síl vzhľadom na os skrutky (bod A) a vzhľadom na os kolesa (bod B).Úlohu riešte ako rovinnú. Dané: a = 0,4 m; b = 0,15 m; F = 200 N

Obr. A

Obr. B

Posuvný účinok oboch síl sa navzájom ruší F + (−F) = 0. Veľkosť momentu od oboch síl vzhľadom na os skrutky (bod A) je vypočítaný ako súčet momentov každej zo síl vzhľadom na bod A Nm)( 1602 == aFM A Úlohu možno riešiť aj vyjadrením veľkosti momentu silovej dvojice (sily tvoria silovú dvojicu) Nm)( 1602 == FaM A . Moment silovej dvojice je kladný, pretože sily otáčajú proti smeru hodinových ručičiek. Moment od oboch síl vzhľadom na os kolesa (bod B)

MB = (a + b)F + (a − b)F = 2aF = 160 Nm.

Z uvedeného je zrejmé, že moment silovej dvojice je rovnaký vzhľadom na ľubovoľný bod telesa. Z tohto dôvodu sa v technických aplikáciách silová dvojica často označuje len smerom otáčania a je daná veľkosťou momentu (obrázok vpravo). Príklad 1.6 Na oceľovú platňu pôsobí v bode A sila F. Vypočítajte moment sily vzhľadom na body B a C. Dané: a = 0,2 m; b = 0,5 m; c = 0,6 m; F = 300 N; α = 20°

Obr.A

Obr. B

a b

c

α F A

B

C Fy

Fx

+x

y

nF d

.

rAB

rAC

a b

c

α F

A

B

C

B

b

a a

AM

Bb

a a F

A F

13

Keďže nie je známa kolmá vzdialenosť d bodu B od nositeľky sily nF, úloha bude riešená pomocou Varignonovej vety. V súlade so zvoleným súradnicovým systémom (obr. B) pre veľkosť momentu sily F vzhľadom na bod B platí

α−α+=−+= sincosB aFcFaFcFM yx ,

Nm 6,14820sin.300.2,020cos.300.6,0B +=−+= ooM .

Vektor momentu je kolmý na danú rovinu: B = + 148,6 M k . Výpočet momentu sily F vzhľadom na bod B pomocou determinantu

kkkji

FrM 614800 ,)cossin(

sincosABB +=α+α−=

αα−−=×= cFaF

FFca .

Podobne je určený moment sily vzhľadom na bod C. Bod C sa nachádza na nositeľke zložky sily Fx. Zložka sily Fx nemá preto otáčavý účinok vzhľadom na bod C. Otáčavý účinok vzniká len od zložky sily Fy. Veľkosť momentu sily F vzhľadom na bod C je vyjadrená nasledovne:

Nm 8,7120sin300).5,02,0(sin)()(C −=+−=α+−=+−= oFbaFbaM y .

Vektor momentu je taktiež kolmý na danú rovinu: C = 71,8−M k . Výpočet momentu sily F vzhľadom na bod C pomocou determinantu

kkkji

FrM 871000 ,]sin)([

sincos)(ACC −=α+−=

αα+−=×= Fba

FFba .

Príklad 1.7

Na mačku žeriava pôsobia sily v lanách. Vypočítajte veľkosť sily v lane 2 tak, aby výslednica R = (Rx, Ry) oboch síl mala len vertikálnuzložku. Zároveň vypočítajte veľkosť výslednej sily. Dané: N1 = 600 N; α = 15°; β = 45° Výsledok: N2 = 819,62 N; orientácia pre N2 Rx = 0 N Ry = 734,85 N; orientácia pre Ry ( )

Príklad 1.8

Vypočítajte moment M0 od sily F vzhľadom na bod 0: 1. pomocou vektorového súčinu pre moment, 2. pomocou vzťahu pre veľkosť vektorového súčinu, 3. použitím Varignonovej vety.

Dané: F = 600 N; α = 40°; l = 2 m; h= 4m Výsledok: M0 = −2609,85 k [Nm]

0

h

l

α

F

α

β

N2 N1

14

Príklad 1.9

Štyri kolíky priemeru 1 mm sú upevnené k doske podľa obrázka. Okolo kolíkov prechádzajú dve laná ťahané silami o veľkosti F1 = F2 = F a Q1 = Q2 = Q. Dané: a = 2 mm, b = 4 mm, c = d = 5 mm, 2r = 1 mm, F = 20 N, Q = 35 N Vypočítajte: 1. veľkosť momentu síl Q1, Q2 vzhľadom na bod D, 2. veľkosť momentu síl Q1, Q2 vzhľadom na bod E, 3. veľkosť momentu síl F1, F2 vzhľadom na bod D, 4. výsledný otáčavý účinok všetkých síl na dosku MV.

Výsledok: 1. MD = − 140 N.mm; MD = − 140k 3. MD = + 140 N.mm; MD = + 140k 2. ME = − 140 N.mm; ME = − 140k 4. MV = 0

Príklad 1.10

Tuhá rámová konštrukcia je zaťažená silami F1, F2. Nositeľkasily nF1 zviera so súradnicovými osami x, y, z uhly α, β, γ. Vypočítajte: 1. moment od sily F1 vzhľadom na body O, A, 2. moment od sily F2 vzhľadom na body O, A, 3. výsledný moment od oboch síl vzhľadom na bod O. Dané: h = 1 m, l = 0,3 m, d = 0,5 m, F1 = 400 N, F2 = 300 N, α = 70°, β = 30°, γ = 25° Výsledok: 1. MO = 535,7i − 177,2j −32,9k; MA = 173,2i −177,2j +103,9k 2. MO = 150i + 90k; MA = 150i + 90k 3. MV = 685,7i − 177,2j + 57,1k

1.2 STATICKÁ EKVIVALENCIA SILOVÝCH SÚSTAV

Množina síl pôsobiacich na ten istý objekt tvorí silovú sústavu. Každú silovú sústavu Fi, ni ÷= 1 možno všeobecne nahradiť ekvivalentnou silou R - výslednicou pôsobiacou v bode 0

a ekvivalentným momentom M0 - výsledným momentom vzhľadom na bod 0. Všeobecne má silová sústava

• posuvný účinok i∑= FR , (1.15) • otáčavý účinok ∑∑ ×== iii FrMM 00 . (1.16)

Dve silové sústavy sú ekvivalentné, ak ich možno nahradiť vzhľadom na ten istý bod rovnakou výslednou silou a rovnakým výsledným momentom. Rovnice (1.15) a (1.16) teda definujú základné nahradenie ľubovoľnej silovej sústavy vo vektorovom tvare. Skalárny tvar týchto rovníc

• tri zložkové (resp. silové) rovnice: ∑ ∑ α== iiixx FFR cos

∑ ∑ β== iiiyy FFR cos (1.17)

∑ ∑ γ== iiizz FFR cos

α

. . .

O

A

β γ

F2

F1

l l d

h

d

x

nF1

z

y

E

d

c

y

x c b b

a

a

a 0≡D

Q1 F1

F2 Q2

15

• tri momentové rovnice silovej sústavy ∑ ∑ −== )( iyiiziixx FzFyMM

∑ ∑ −== )( iziixiiyy FxFzMM (1.18)

∑ ∑ −== )( ixiiyiizz FyFxMM TYPY SILOVÝCH SÚSTAV Tabuľka 1.1

Typ silovej sústavy Nositeľky síl pôsobiace na objekt Základné nahradenie Všeobecná priestorová silová sústava (VPSS)

* ľubovoľne usporiadané v priestore* mimobežky

∑∑∑

=

=

=

izz

iyy

ixx

FR

FRFR

∑∑∑

=

=

=

izz

iyy

ixx

MM

MMMM

Všeobecná rovinná silová sústava (VRSS)

* ľubovoľne usporiadané v rovine * rôznobežky

∑∑∑

==

==

00 iz

iyyixx

MMM

FRFR

Rovnobežná priestoro-vá silová sústava (RPSS)

* rovnobežne usporiadané v priestore * rovnobežky s rovnakým sklonom

k súradnicovým osiam x, y, z

(nositeľky rovnobežné napr. s y) ∑= iFR ∑= ixx MM

∑= izz MM

Rovnobežná rovinná silová sústava (RRSS)

* rovnobežne usporiadané v rovine * rovnobežky s rovnakým sklonom

k súradnicovým osiam x, y

∑= iFR ∑= 00 iMM

Centrálna priestorová silová sústava (CPSS)

* rozložené v priestore prechádzajúce jedným bodom

* výslednica prechádza spoločným priesečníkom nositeliek síl ∑

∑∑

=

=

=

izz

iyy

ixx

FR

FRFR

Centrálna rovinná silová sústava (CRSS)

* rozložené v rovine prechádzajúce jedným bodom

* výslednica prechádza spoločným priesečníkom nositeliek síl

∑∑

=

=

iyy

ixx

FRFR

Priamková silová sústava (PSS)

* všetky sily ležia na jednej priamke ∑= iFR

Príklad 1.11 V otvoroch B, C, D oceľového držiaka sú uchytené laná 1, 2, 3 s veľkosťami osových síl N1, N2, N3. Nahraďte laná v bodoch B, C, D lanami v bodoch A, E tak, aby sily pôsobiace v nich (N4, N5) mali rovnaký účinok na držiak. Dané: N1 = 3 kN; N2 = 2 kN, N3 = 5 kN, α = 30°; γ = 45°; a = 0,1 m; b = 0,2 m; c = 0,25 m

+x

y

Obr. A

c

a

a a

b

B C D

E

α N1

N2

A

N3

0

a b

B C D

E

A αR

R

0 M0

16

Obr. B Sily v lanách N1, N2, N3 tvoria všeobecnú rovinnú silovú sústavu. Najskôr pre danú sústavu síl je vykonané základné nahradenie - tvorené výslednicu R pôsobiacou v bode 0 a výsledným momentom vzhľadom na bod 0 M0 (obr. A). V súlade so zvoleným súradnicovým systémom sú zložky výslednice a veľkosť momentu vypočítané z rovníc

.)2(sincos)(

,cos

,sin

321100

31

21

∑∑∑

−−−α+α+−==

+α==

+α−==

bNNaccNNbaMM

NNFR

NNFR

i

iyy

ixx

Odkiaľ po dosadení: Nm4,1504N;7598N;500 0 −=== MRR yx .

Veľkosť výslednice: N,4761422 =+= yx RRR

a jej smer je definovaný uhlom: °===α 2,864,7614

500arccosarccosRRx

R .

Výsledný moment v zvolenom súradnicovom systéme má záporné znamienko. To znamená, že zmysel otáčania je v smere hodinových ručičiek. Z troch rovníc, ktoré možno zostaviť pre nahradenie pôvodnej silovej sústavy novou sústavou,

,coscos β+γ−=== ∑ 45500 NNFR ixx

,cossin)(,

,sinsin

β−γ+−==−=

β+γ===

∑∑

4500

45

41504

7598

cNNbaMM

NNFR

i

iyy

sú vypočítané tri parametre (veľkosti síl N4, N5 a uhol β, obr. B), t.j. po úprave a dosadení získame: °=β== 4259853546645912 54 ,;N,;N, NN .

Pri osových silách N4, N5 sme dostali kladné znamienko, to znamená, že zvolená orientácia síl v lanách je správna.

c

a

aa

b

B C D

E

A

β

N4

N5

γ 0

c

a

aa

b

B C D

E

α N1

N2 A

N3

β

N4

N5

γ 0

17

Príklad 1.12 Pre zaťaženie rámu podľa obrázka nájdite základné nahradenie. Dané: F1 = 500 N; F2 = 800 N, F3 = 600 N, M = 100 Nm, α = 30°; β = 60°; h1 = 0,8 m; h2 = 0,2 m; l1 = 0,5 m; l2 = 0,2 m; b1 = 0,4 m; b2 = 0,3 m.

Daná silová sústava reprezentuje všeobecnú priestorovú silovú sústavu - VPSS, ktorú možno nahradiť výslednou silou a výsledným momentom k zvolenému bodu. Za vzťažný bod je zvolený začiatok súradnicového systému - bod 0. Podľa tabuľky 1.1 môžno pre VPSS písať podmienky základného nahradenia, t.j. veľkosti zložiek výslednice sú

.N550cossin

,N433cos

,N4,280sin

31

1

32

∑∑∑

=β+α==

−=α−==

−=β+−==

FFFR

FFR

FFFR

izz

iyy

ixx

Vektor výslednice R a jej veľkosť sú

kjiR 5504334,280 +−−=

N1,754)550()433()4,280( 222222 =+−+−=++= zyx RRRR .

Smer nositeľky výslednice vzhľadom na kladný smer súradnicových osí x, y a z je vyjadrený pomocou smerových kosínusov, resp. smerových uhlov

372,01,7544,280cos −=

−==α

RRx

R ⇒ αR = 111,8,

574,01,754

433cos −=−

==βR

RyR ⇒ βR = 125°,

729,01,754

550cos ===γRRz

R ⇒ γR = 43,2°.

Výsledný moment pôsobiaci v bode 0 je určený ako súčet momentov od jednotlivých síl vzhľadom na súradnicové osi

Nm9,96cos)(sincos)( 12111321 =α+−α+β++−== ∑ FllFhFhhMMM ixx ,

Nm3,232)sincos(2

sin 132

113 −=α−β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++β−== ∑ FFbblFMM iyy ,

α

F2

M

x

y

z

b1

l2

h1

h2

h2

l1 b1

b2

0

F1

. zy

F3 . x

z

β

18

Nm2,42cos2

sin)()( 12

1321221 =α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−β+−+== ∑ FbbFhhFhhMM izz .

Vektor výsledného momentu a jeho veľkosť

Nm.21,255)2,42()3,232()9,96(

,2,423,2329,96222222

0

0

=+−+=++=

+−=

zyx MMMM

kjiM

Príklad 1.13 Nájdite veľkosť ekvivalentnej sily a polohu jej nositeľky, ktorou možno nahradiť zaťaženie pôsobiace na daný nosník. Dané: F = 1500 N; q = 100 N.m-1; l = 2 m

Obr. A Obr. B

Spojito rozložené zaťaženie je v statike nahrádzané výslednicou, ktorej smer a orientácia sú zhodné so smerom spojito rozloženého zaťaženia. Pôsobisko výslednice je v ťažisku plochy spojito rozloženého zaťaženia a veľkosť výslednice sa rovná veľkosti plochy spojito rozloženého zaťaženia. V technickej praxi sa nahrádza spojité zaťaženie po úsekoch známymi geometrickými tvarmi. Spojité zaťaženie je v riešenom prípade rozdelené na zaťaženie obdĺžnikového tvaru a zaťaženie trojuholníkového tvaru (obr. A). Veľkosť výsledníc spojito rozložených zaťažení a vzdialenosti ich nositeliek vzhľadom na bod A sú (obr. B)

.m66,4

32N100

2

m,32

N200

22

11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +===

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +===

llxql

Q

llxqlQ

Q

Q

(a)

Sily F, Q1 a Q2 tvoria rovnobežnú rovinnú silovú sústavu, pre ktorú možno napísať dve rovnice základného nahradenia v zvolenom súradnicovom systéme

.:

,:

2Q21Q1RAA

21

xQxQRxMM

QQFRFR

i

i

−−=−=

−−−=−=

∑∑ (b)

Po úprave z rovníc (b) vyplýva

.m,,....

N,

QQR 590

18006641003200

18001002001500

2211

21

=+

=+

=

=++=++=

RxQxQ

x

QQFR

x y

+

F

xQ1

Q1 Q2

xQ2

R

xR

A

q

F

l l/2

Q1 Q2

l/2

l/3 2l/3

q

F

l l l

19

Príklad 1.14

Sila F pôsobí na profil v bode A. Nahraďte túto silu ekvivalentnou silou a momentom v bode C.

Dané: a = 40 mm; b = 96 mm; c = 48 mm; F = 1300 N

Výsledok: Rx = 347,4 N ( ); Ry = 1252,7 N ( ); MC = 16,757 Nm (É)

Príklad 1.15

Určte výslednicu R danej silovej sústavy a výšku h nad bodom B, v ktorej leží nositeľka výslednice.

Dané:

l = 600 mm; F1 = 250 N; F2 = 300 N; F3 = 650 N

Výsledok: R= 100 N; h = 0,9 m

Príklad 1.16

Určte výsledný moment silovej sústavy pôsobiacej na pevnú konštrukciu podľa obrázka vzhľadom na bod 0. Prierezy a hmotnosti jednotlivých častí konštrukcie možno zanedbať.

Dané: a = 0,3 m; b = 0,4 m; l = 0,6 m; r = 0,25 m; F1 = 600 N; F2 = 350 N; q = 45 N/m; α = 45°

Výsledok: M0 = − 129,82 i – 82,2 j + 35,67 k F1

F2 q

r

l

a

b α

z x

y

0

F1

F2

F3 l

l

l

B

a

c

b

b

A

C

B

F

20

1.3 ŤAŽISKO HMOTNÝCH OBJEKTOV Ťažisko hmotného objektu je možné chápať ako stredisko rovnobežných gravitačných síl viazaných k jeho jednotlivým elementom. Do tohto bodu – strediska je sústredená hmotnosť celého telesa, pričom posuvný a otáčavý účinok sa vzhľadom na okolie nezmení.

Obr. 1.7 Obr. 1.8

Pre posuvný účinok platí ( )∫G

GG d= (1.19)

a pre otáčavý účinok platí ( )∫ ××G

GrGr d=T , (1.20)

kde G = mg je tiažová sila pôsobiaca v ťažisku telesa, g je tiažové zrýchlenie. Ťažisko je teda bod, ktorého polohový vektor, resp. jeho súradnice sú vyjadrené v tvare

∫

∫=

)(

)(T

d

d

m

m

m

mr

r , resp. ∫

∫

∫

∫

∫

∫===

)(

)(T

)(

)(T

)(

)(T

d

d

,d

d

,d

d

m

m

m

m

m

m

m

mz

zm

my

ym

mx

x . (1.21)

Ťažisko osovo-symetrických telies leží na osi symetrie. Ťažisko stredovo-symetrických telies leží v strede symetrie. Pre homogénne spojité telesá je elementárna hmotnosť vyjadrená v tvare dm = ρdV, pre homogénne plošné útvary konštantnej hrúbky - h: dV = hdS, pre jednorozmerné homogénne útvary konštantného prierezu - S: dV = Sdl, kde ρ je hustota, V je objem príslušného telesa, S je plocha príslušného útvaru, l je dĺžka príslušného útvaru. Podľa tvaru objektu, ktorého poloha ťažiska je hľadaná, sa vzťahy (1.21) upravia. Polohový vektor ťažiska diskrétnej sústavy hmotných útvarov, resp. jeho súradnice majú tvar

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

m

m

1

1T

rr , resp.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= === n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

m

mzz

m

myy

m

mxx

1

1T

1

1T

1

1T ,, , (1.22)

G

G1

Gi

Gn

0 x

y

z

ri rn

r1

rT

z

dG r

rT x

y

0 m

dm

m

G

21

kde n je počet hmotných útvarov, ktoré tvoria danú sústavu.

Pappus-Guldinove vety Pappus-Guldinove vety slúžia na výpočet veľkosti povrchu, resp. objemu rotačne symetrického telesa. 1.veta: Plochu povrchu vytvoreného rotáciou tvoriacej krivky dĺžky l okolo pevnej osi rotácie ležiacej v rovine krivky (obr. 1.9) možno vypočítať zo vzťahu lxS Τα= , (1.23) kde xT je vzdialenosť ťažiska rotujúcej krivky dĺžky l od pevnej osi, α je veľkosť uhla (v radiánoch) rotácie krivky okolo danej osi. Veľkosť súčinu Τ α x je dráha, ktorú vykonalo ťažisko krivky pri rotácii okolo osi rotácie.

Obr. 1.9

2.veta: Objem rotačne symetrického telesa vzniknutý rotáciou plochy S okolo pevnej osi ležiacej v jej rovine (obr. 1.10) a jeho veľkosť je možné vypočítať zo vzťahu SxV Τα= , (1.24) kde xT je vzdialenosť ťažiska rotujúcej plochy S od pevnej osi, α je veľkosť uhla (v radiánoch) rotácie plochy okolo danej osi. Veľkosť súčinu Ταx je dráha, ktorú vykonalo pri rotácii ťažisko plochy.

Obr. 1.10

xT y

l

x 0

l

x 0

α y

S

y

xT

x

S T

0

y

xT

x

S

0

V

α

22

Príklad 1.17 Vypočítajte súradnice ťažiska: 1. kruhového oblúka (obr. A) 2. kruhového výseku (obr. B). Dané: R; α1; α2

Obr. A

Obr. B

Obidva geometrické útvary - kruhový oblúk aj kruhový výsek je možné vo všeobecnosti považovať za spojité útvary, ktoré sú definované v rovine. Z toho vyplýva, že poloha ťažísk oboch útvarov je definovaná dvoma súradnicami xT a yT. Súradnica zT je nulová. Na výpočet ťažísk sú vybraté príslušné elementy dl (obr. A), resp. dS (obr. B).

Kruhový oblúk Kruhový výsek Vzťahy na výpočet súradníc ťažiska:

∫

∫=

)(

)(

l

lT

dl

xdl

x ; ∫

∫=

)(

)(

l

lT

dl

ydl

y ,

kde pre oblúk platí

,sin,cos ϕ=ϕ= RyRx

.ϕ= Rddl

Vzťahy na výpočet súradníc ťažiska:

∫

∫=

)(

)(

S

ST

dS

xdS

x ; ∫

∫=

)(

)(

S

ST

dS

ydS

y ,

kde pre výsek platí

,sin32,cos

32

ϕ=ϕ= RyRx

.2

2ϕ= dRdS

Súradnice tažiska oblúka

12

12

2sinsincos

2

1

2

1

α−αα−α

=ϕ

ϕϕ=

∫∫

α

α

α

α RRd

dRxT ,

12

21

2coscossin

2

1

2

1

α−αα−α

=ϕ

ϕϕ=

∫∫

α

α

α

α RRd

dRyT .

Súradnice tažiska výseku

12

12

2

232

32

2

1

2

2

1

2

α−αα−α

=ϕ

ϕϕ=

∫

∫α

α

α

α sinsincosR

d

dRx

R

R

T ,

12

21

2

232

32

2

1

2

2

1

2

α−αα−α

=ϕ

ϕϕ=

∫

∫α

α

α

α coscossinR

d

dRy

R

R

T .

Uvedené vzťahy majú všeobecnú platnosť. Sú použiteľné na výpočet súradníc ťažísk ľubovoľného kruhového oblúka (kruhového výseku) s polomerom R, vzhľadom na stred

R

xT

y

α1 α2

dϕ

dl l

ϕ

x

yT T

R

x

y

α1 α2

dl

ϕ

dS dϕ

T

xT

yT

23

oblúka (výseku). Uhly α1 a α2 sú orientované uhly od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek. Uhol α1 reprezentuje uhol, pri ktorom oblúk (výsek) začína a α2 je uhol, pri ktorom oblúk (výsek) končí. Príklad 1.18 Pre rovinný plošný útvar vypočítajte statické momenty k osiam x, y a polohu ťažiska. Dané: a = 30 mm; b = 90 mm; R= 30 mm; r = 20 mm

Rovinný plošný útvar je vytvorený sčítaním plôch obdĺžnika, trojuholníka, polkruhu a odčítaním plochy kruhu. V zvolenom súradnicovom systéme sú vypočítané veľkosti jednotlivých plôch a súradnice ich ťažiska, výsledky sú uvedené v tabuľke 1.

Tabuľka 1.1

Č. plochy Si [mm2] xTi [mm] yTi [mm] Uxi [mm3]* Uyi[mm3]**

1 90.60 = 5400 30 45 243 000,00 162 000

2 (60.30)/2 = 900 20 - 10 -9 000,00 18 000

3 π 30 2 /2 = 1413,7 30 102,7 145 186,99 42 411

4 π 20 2 = - 1256,64 30 90 -113097,60 -37 699,2

Σ = 6457,06 266 089,39 184711,8

* Uxi – statický moment i-tej plochy k osi x: Uxi = yTi Si.

** Uyi – statický moment i-tej plochy k osi y: Uyi = xTi Si.

Statické momenty daného rovinného plošného útvaru k osiam x, y sú:

.mm8,184711U

,mm39,266089U3

3

==

==

∑∑

yiy

xix

U

U

Súradnice ťažiska celého plošného útvaru sú určené zo vzťahov (1.22) pre dvojrozmerné teleso, t.j.

[mm].2,4106,645739,266089

[mm],6,2806,6457

8,184711

T

T

===

===

∑∑∑∑

i

xi

i

yi

S

Uy

S

Ux

2R x

y

0 a

r

b

− a/3

2R/3

R

x

y

b/2 T1

0

+

T2

0x

y

y3

0

R

x

y

T3

x

y

b

0

T4

R = + −

24

Pri výpočte súradníc ťažiska polkruhu (plocha 3) je potrebné využiť vzťahy (1.21) upravené pre dvojrozmerné telesá (obr. A).

Obr. A

ϕ=ϕ=ϕ=

sinρcosρ

ρρdd

yx

dS

( )

( )

( )

( )

.34

2

ddρsinρ

d

d

,0

2R

ddρcosρ

dS

xdS

20 0

2

T

20

R

0

2

T

π=

π

ϕϕ

==

=π

ϕϕ

==

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

π

π

RRS

Sy

y

x

R

S

S

S

S

Príklad 1.19 Vypočítajte polohu ťažiska objemového útvaru. Dané: l =60 mm; h = 25 mm; R = 15 mm; r = 8 mm; t1 = 10 mm; t2 = 8 mm

Objemový priestorový útvar je vytvorený z konečného počtu jednoduchých objemových útvarov a je vytvorený sčítaním objemov dvoch kvádrov + , objemu polovice valca , a odčítaním objemu valca . V zvolenom súradnicovom systéme sú vypočítané veľkosti jednotlivých objemov a súradnice ich ťažísk, ktoré sú uvedené v tabuľke 1.

ρ

x

y

R dS

dρ

ϕ

dϕ

0

t1

h

2R z

x

y

t1

h

z x

y R

t1

h

r

z x

y

l

t1 t2

x

z

y

2R

l

t1 t2

h

R r

z

x

y

25

Tabuľka 1.2

P.č. Vi [mm3]

xTi [mm]

yTi [mm]

zTi [mm]

1 =π− 12tr −2010,62 =2

1t 5 =h 25 =− R −15

2 =π 12

21 tR 3534,29 =2

1t 5 =+ π34Rh 31,36 =− R −15

3 =12Rht 7500,0 =21t 5 =2

h 12,5 =− R −15

4 =22Rlt 14400,0 =+ 21lt 40 =2

2t 4 =− R −15

∑ == iVV 23423,67

Výpočet súradníc ťažiska vzhľadom na zvolený súradnicový systém:

• smer osi x: 52,264321

44332211

4

1 =+++

+++==

∑=

VVVVVxVxVxVx

V

Vxx i

ii

T mm,

• smer osi y: 1894321

44332211

4

1 ,=+++

+++==

∑=

VVVVVyVyVyVy

V

Vyy i

ii

T mm,

• smer osi z: 0,154321

44332211

4

1 −=+++

+++==

∑=

VVVVVzVzVzVz

V

Vzz i

ii

T mm.

Príklad 1.20 Vypočítajte objem a celkový povrch trojrozmerného telesa pomocou Pappus-Guldinových viet. Dané: a =20 mm; b = 30 mm; c = 35 mm; d = 40 mm; h = 40 mm

Pre určenie veľkosti objemu daného telesa je potrebné poznať veľkosť plochy, ktorá rotuje okolo osi y a x-ovú súradnicu jej ťažiska. Veľkosť plochy lichobežníka je vypočítaná zo vzťahu

2mm1400402

40302

=+

=+

= hdbS

a pre x-ovú súradnicu ťažiska platí

∑

∑=i

iTiT S

Sxx . (a)

ba

y

0 x

c d

h S

xT T

b a

y

0

z x

c d

h

26

Danú plochu vytvoríme z troch plôch, od obdĺžnika odpočítame dva pravouhlé trojuholníky. Pre prehľadnosť údaje potrebné do vzťahu (a) udáva tabuľka 1.3.

Tabuľka 1.3

Č. pl. xTi [mm] Si [mm2] xTi Si [mm3]

2acda −++ (d + c − a)h

1 47,5 2 200

104 500

3aca −+ 2

)( hac− 2

25 − 300 − 7 500

nba 32++

2nh

3 66,66 − 500

− 33 330

xT = 45,45 mm Σ 1 400 63 670

Objem telesa vzniknutý rotáciou danej plochy je

3400063140048452 mm.,. =π= α= Τ SxV .

Na určenie veľkosti povrchu daného telesa potrebujeme poznať veľkosť krivky, ktorá rotuje okolo osi y a x-ovú súradnicu jej ťažiska.

Tabuľka 1.4

P.č. xTi [mm] li [mm] xTili [mm2]

2aca −+ 22 )( ach −+

1 27,5 42,72

1174,8

2dc + d

2 55 40

2 200

2nba ++ 22 nh +

3 62,5 47,17

2 948,13

2ba + b

ba

y

0 x

c d

h

S

xT T

1

3

2

4

n = c+ d − a − b 4

35 30 1 050

Σ 159,89 7372,93

Pre x-ovú súradnicu ťažiska krivky platí (viď. tabuľka 1.4): mm,1146==∑

∑i

iTiT l

lxx .

Povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou danej krivky je 2891592 mm46323,.46,11. =π= α= Τ lxS .

b a

y

0 x

c d

h

S

xT

T

1

2

3

n = c+ d − a − b

n

27

Príklad 1.21 Vypočítajte polohu ťažiska podložky konštantnejhrúbky vzhľadom na zvolený súradnicový systém.

Dané: r = 2 mm, R = 8 mm, l = 5 mm, d1 = 4 mm, d2 = 3 mm, h1 = 5 mm, h2 = 12 mm Výsledok: xT = 18 mm; yT = 8,34 mm.

Príklad 1.22

1. Vypočítajte veľkosť povrchu plášťa S útvaru, ktorý vznikol rotáciou danej krivky okolo osi y o uhol α.

2. Vypočítajte objem V a hmotnosť m útvaru, ktorý vznikol rotáciou danej plochy okolo osi y o uhol α. Pri riešení aplikujte Pappus-Guldinove vety.

Dané: r = 30 mm; h1 = 70 mm; α = 270°; h2 = 80 mm; ρ = 7850 kg.m-3 Výsledok: 1. xT = 40,74 mm; ∑li = 362,56 mm; S = 695,76 cm2 2. xT = 33,08 mm; ∑Si = 64,07 mm2; V = 0,998 dm3; m = 7,84 kg.

x

y

r r

r

h1

h2

α

l l R

2R

d2

h1

h1

R

h2

d1 d2

2r 2r

x

y

28

ŤAŽISKÁ VYBRANÝCH LINEÁRNYCH, PLOŠNÝCH A OBJEMOVÝCH

ÚTVAROV Tabuľka 1.5

Útvar Geometrický tvar xT yT l / S / V

štvrťkružnica rπ2 r2

π

polkružnica

0 rπ

2 rπ

výsek z kružnice

ααsinr 0 rα2

trojuholníková plocha

b32 h3

1 bh21

štvrťkruhová plocha

rπ34 2

4 rπ

polkruhová plocha

0

rπ3

4

22 rπ

štvrťelipsová plocha

aπ34 ab4

π

polelipsová plocha

0 bπ3

4 ab2

π

kruhový výsek

αα

3sin2r 0 2rα

polguľa

r83 0 3

32 rπ

kužeľ

hr 2

31 π

ihlan

h41 0

abh31

0 T T yT

0 xT

r r

0

r T

xT

b

T

xT

0

h h

a

0

xT

r

α α 0

xT

r

Τ

0 T yT

0 xT a

T b

a

TyT

xT b

h

0

α α 0

xT

r

Τ

0

T T yT

0 xT

r r

29

1.4 ROVNOVÁHA HMOTNÝCH OBJEKTOV

Hmotný objekt v rovine alebo v priestore môže byť: voľný - nezviazaný s inými objektmi, viazaný - zviazaný s inými objektmi prostredníctvom väzieb.

Stupne voľnosti hmotného objektu - počet nezávislých parametrov jednoznačne definujúcich polohu objektu. Zároveň vyjadrujú počet jeho možných nezávislých pohybov (posunutí, otočení).

Väzby - konštrukčné prvky viažuce objekt na základný rám (vonkajšie väzby) alebo na iné objekty (vnútorné väzby), ktoré s ním vytvárajú sústavu objektov. Väzby zabraňujú niektorým pohybom objektu - znižujú jeho pohyblivosť. V smeroch, v ktorých väzby obmedzujú pohyb objektu, vznikajú väzbové reakcie. Väzbové reakcie sú sily, ktoré sú vypočítané z rovníc rovnováhy silových sústav pôsobiacich na hmotný objekt.

Nahrádzanie väzieb viazaných hmotných objektov väzbovými reakciami nazývame metódou uvoľnenia. Na uvoľnený hmotný objekt pôsobí sústava síl, ktorú reprezentujú zaťažujúce sily a príslušné väzbové reakcie.

Väzbovú závislosť viazaného objektu n vypočítame zo vzťahu:

n = nv − no, (1.25)

6,...2,1,1

== ∑=

jjrnn

jjo ,

kde n je počet stupňov voľnosti viazaného hmotného objektu, nv - počet stupňov voľnosti voľného hmotného objektu, no - počet stupňov voľnosti odobratých väzbami (vnútornými alebo vonkajšími), j - počet stupňov voľnosti, ktoré odoberá príslušná väzba, rj - počet väzieb odoberajúcich j stupňov voľnosti.

Pri riešení môžu nastať prípady:

n = 0 - úloha je staticky určitá a tvarovo určitá Statická určitosť - jednoznačné matematické riešenie - je možné zostaviť presne toľko rovníc rovnováhy, koľko je neznámych väzbových reakcií. Tvarová určitosť - pohyblivosť objektu - pre n = 0 objekt je nepohyblivý, väzbami sú odobraté všetky stupne voľnosti pohybu objektu.

n > 0 - úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá Statická preurčenosť - je možné zostaviť viacej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií. Tvarová neurčitosť - objekt sa môže pohybovať.

n < 0 - úloha je staticky neurčitá a tvarovo preurčená Statická neurčitosť - je možné zostaviť menej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií. Tieto úlohy sa nedajú metódami statiky riešiť. Dajú sa riešiť pridaním deformačných podmienok k podmienkam rovnováhy. Tvarová preurčenosť - objekt sa nemôže pohybovať - väzby odoberajú viacej stupňov voľnosti, ako je potrebné.

30

POČET STUPŇOV VOĽNOSTI VOĽNÝCH HMOTNÝCH OBJEKTOV A ZODPOVEDAJÚCA SILOVÁ SÚSTAVA PÔSOBIACA NA OBJEKT Tabuľka 1.6

Hmotný objekt nv

Možné pohyby n Silová sústava Rovnice rovnováhy

bod v rovine 2

2 posunutia

∑=

=

−=2

1

2

jjo

o

jrn

nn

centrálna rovinná

silová sústava

(CRSS) ∑∑

==

00

iy

ix

FF

bod v priestore 3

3 posunutia

∑=

=

−=3

1

3

jjo

o

jrn

nn centrálna priestorová

silová sústava

(CPSS) ∑∑∑

=

==

0

00

iz

iy

ix

F

FF

teleso v rovine 3

2 posunutia 1 otočenie

∑=

=

−=3

1

3

jjo

o

jrn

nn všeobecná rovinná

silová sústava

(VRSS) ∑∑∑

=

==

0

00

0i

iy

ix

M

FF

teleso v priestore 6

3 posunutia 3 otočenia

∑=

=

−=6

1

6

jjo

o

jrn

nn všeobecná priestorová

silová sústava

(VPSS)

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

iz

iy

ix

F

F

F

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

iz

iy

ix

M

M

M

x

y

z

x

y

x

y

z

x

y

31

NIEKTORÉ DRUHY ROVINNÝCH VÄZIEB A ICH NAHRADENIE

VÄZBOVÝMI REAKCIAMI Tabuľka 1.7

Druh väzby Zobrazenie väzby Uvoľnenie telesa

Počet odobratých stupňov voľnosti

Neznáme väzbové reakcie

lano, prút

j = 1 N

sila pôsobí iba v smere osi lana, prúta

voľné opretie dotyková väzba (hladký povrch)

j = 1 N

sila má smer normály ku kontaktnému povrchu

voľné opretie dotyková väzba (drsný povrch)

šmyková j = 1 N, T = fN

f - faktor šmykového trenia

valivá j = 2 N , T

posuvná väzba krátka objímka (hladký povrch)

j = 1 N

N - sila v smere normály ku kontaktnému povrchu

posuvný rovinný rotačný

kĺb

j = 1 N


rovinný rotačný kĺb

j = 2 Rx, Ry

náhrada dvoma zložkami - napr. Rx, Ry

posuvná väzba kulisa

(hladký povrch)

j = 2 N, M

N - normálová sila, M - moment zabraňujúci otáčaniu v rovine väzby

votknutie pevné spojenie

j = 3 Rx, Ry, M

Rx - axiálna sila Ry - priečna silu

M - moment zabraňujúci otáčaniu v rovine väzby

zvar schematickáznačka

schematická značka


T

R

N

normála

kulisa


normála

krátka objímka


α

N

α

lano, prút

Ndotyčnica

normála

dotyčnica

normála

Ry

Rx

R

N

Rx

Ry

M

normála

N

normála

N

M

32

NIEKTORÉ DRUHY PRIESTOROVÝCH VÄZIEB A ICH NAHRADENIE VÄZBOVÝMI REAKCIAMI Tabuľka 1.8

Druh väzby Zobrazenie väzby Uvoľnenie telesa

Počet odobratých stupňov voľnosti

Neznáme väzbové reakcie

voľné opretie dotyková väzba (hladký povrch)

j = 1 N


valec alebo koleso s bočnou väzbou

(koleso-koľajnica)

j = 2 N, P

N - sila v smere normály ku kontaktnému povrchu

P - bočná reakcia kolmá na rovinu kolesa

radiálne ložisko (tzv. krátke

vedenie)

j = 2 Ry , Rz

väzba zabraňuje pohybu v rovine kolmej na os

náhrada dvoma zložkami - napr. Ry, Rz

22yy RRR +=

priestorový sférický kĺb

3 Rx , Ry , Rz

náhrada tromi zložkami - napr. Rx, Ry, Rz

radiálno-axiálne naklápacie ložisko

3 Rx , Ry , Rz

náhrada tromi zložkami - napr. Rx, Ry, Rz

votknutie (pevné spojenie)

6 Rx , Ry , Rz , Mx , My , Mz

Rx - axiálna sila Ry , Rz - priečne radiálne sily

Mx , My , Mz - momenty zabraňujúce rotácii okolo

súradnicových osí

x

Ry

Rz

y z

x


y

x

y

z

x

Rx

Ry

Rz

x

y

z x

y

z N

x

y

z

x

y

z N

P

x

y

z

x

y

zRx

Ry

Rz

M x

My

Mz

Rx

Ry

Rz

y

z x

33

Príklad 1.23 Objímka hmotnosti m je vedená po šikmej dokonale hladkej tyči. V rovnovážnej polohe je objímka držaná lanom vedeným okolo dokonale hladkého kolíka v bode A. Vypočítajte silu v lane a reakciu od tyče vzhľadom na objímku. Dané: m = 2 kg; α = 30°; β =45 °

Obr. A

Rozmery objímky sú zanedbané. Na základe toho môže byť objímka nahradená hmotným bodom A (obr. A). Na objímku pôsobí tiažová sila, ktorej veľkosť je

G = mg = 2 kg . 9,81 m.s-2 = 19,62 N.

Rozbor väzieb, v ktorých je objímka uložená - lano odoberá objímke 1 stupeň voľnosti pohybu a medzi objímkou a tyčou je väzba odoberajúca taktiež 1 stupeň voľnosti pohybu. Podľa vzťahu (1.25) je určená statická určitosť

0)0.30.22.1(23

1=++−=−=−= ∑

=jjvov jrnnnn ,

t.j. úloha je staticky aj tvarovo určitá.

Vzhľadom na silové účinky možno konštatovať, že na objímku pôsobí v bode A centrálna rovinná silová sústava. Metódou uvoľnenia sú väzby odstránené a nahradené príslušnými väzbovými reakciami. Väzbové reakcie sú sily, ktorých veľkosť hľadáme. Orientácia neznámych väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Rovnice rovnováhy pre CRSS (obr. A)

.0coscos:0

,0sinsin:0

21

2

=−α−β+=

=β−α=

∑∑

GRNNF

NRF

iy

ix

Keďže medzi kolíkom a lanom je dokonale hladká väzba, pre veľkosti síl v lane platí: N1 = N2.

N.,sin

sin

N,,

tgsincos

5257

67401

2

21

=α

β=

=

αβ

−β+==

NR

GNN

α

G

A ≡ 0

α

β

R

N1

N2

x

y

m A

α

β

34

Vzhľadom na kladné znamienka vo výsledkoch vyplýva, že orientácia väzbových reakcií bola zvolená správne. Príklad 1.24 Doska trojuholníkového tvaru je zavesená pomocou troch lán na háku podľa obrázka. Tiažová sila dosky pôsobí v bode 0. Vypočítajte sily v lanách. Dané: G = 3,6 kN; a = 0,8 m; b = 1,6 m; c = 2,4 m

Obr. A

Obr. B

Pomocou metódy uvoľňovania sú účinky lán nahradené väzbovými reakciami, ktorých nositeľky sú totožné s osami lán, pričom orientácie síl - väzbových reakcií sú ľubovoľne zvolené. Nositeľky všetkých síl (N1, N2, N3, G) sa pretínajú v bode D (obr. A), čiže tvoria centrálnu priestorovú silovú sústavu. Každú silu rozložíme do príslušných zložiek v smere osí x, y, z. Potrebné uhly sú vyjadrené z geometrie (obr. B)

cb

=γtg ,69,33arctgγ °==⇒cb

c

22 aaαtg += ,24,25aaarctgα

22°=

+=⇒

c

N1x

N1z N1xz

. β

G

x

z

a

a

a b

D

0

N1 N2

N3

N3y

N3x

γ

N1x

N1y

N1z .

α

y

x

y D

0

N2

z

N2y

N2x N2z

G

x A

y

z

a

a

a b

B

C

D

c

0

N1 N2

N3

G

x

A

y

z

a

a

a b

B

C

D

c

0

35

aa

=βtg .451 arctgβ °==⇒

Sily v lanách sú vypočítame z rovníc rovnováhy.

,0:0

,0:0

,0:0

21

321

321

∑∑∑

=+−=

=−+++=

=−++=

zziz

yyiy

xxxix

NNF

GyNNNF

NNNF

.0sinβ)sinα(sinβ)sinα(:

,0γcosαcosαcos:,0sinγβcos)sinα(βcos)sinα(:

21

321

321

=+−=−++

=−+

NNzGNNNy

NNNx

(c)(b)(a)

Riešením sústavy rovníc (a, b ,c) dostaneme

N1 = N2 = 1326,65 N; N3 = 1442,22 N.

Vzhľadom na kladné znamienka vo výsledkoch vyplýva, že orientácia síl v lanách bola zvolená správne. Laná sú namáhané ťahom. Príklad 1.25 Tuhá konštrukcia je upevnená k základovému rámu pomocou rovinného rotačného kĺbu (bod A) a posuvného rovinného rotačného kĺbu (bod B). Konštrukcia je zaťažená rovnomerným spojitým zaťažením q, sústredenou silou F a momentovým účinkom M. Posúďte statickú určitosť daného objektu a vypočítajte väzbové reakcie v bodoch A a B. Dané: F = 10 kN; α = 30°; h = 3 m; l1 = 1 m; l2 = 2,5 m; M = 20 kNm; q = 5 kNm-1

Obr. A Obr. B Rovinný rotačný kĺb v bode A odoberá rámu 2 stupne voľnosti pohybu, posuvný rovinný rotačný kĺb v bode B odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu (obr. A). Statická určitosť pre dané teleso v rovine je

0)0.31.21.1(333

1=++−=−=−= ∑

=jjov jrnnn .

Úloha je staticky a tvarovo určitá. Metódou uvoľnenia sú odstránené väzby a zároveň sú nahradené príslušnými väzbovými reakciami (obr. B). Orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Na uvoľnené teleso pôsobí všeobecná rovinná silová sústava, pre ktorú je možné zostaviť tri rovnice rovnováhy.

M

A

B

q F

h

l1 l2

α −1°

−2°

M

q F

h

l1 l2

α

Fx

Fy

Q

B

Ax

Ay

xQ

x

y ⊕

M

A

B

q F

h

l1 l2

α

36

V súlade so zvoleným súradnicovým systémom je zaťažujúca sústredená sila rozložená na zložky Fx a Fy, pre ktoré platí α= cosFFx , α= sinFFy . (a) Spojité zaťaženie nahrádzame sústredenou silou, ktorej pôsobisko je v ťažisku plochy spojitého zaťaženia a veľkosť sily sa rovná veľkosti plochy spojitého zaťaženia

22

Ql

x = , 2.lqQ = . (b)

Rovnice rovnováhy sú

.:

,:

,:

A∑∑∑

=+−+−=

=−−=

=−+=

00

00

00

212 MQlFhFhBM

QFAF

BFAF

lyxi

yyiy

xxix

(c)

Po úprave rovníc (c) a dosadení zadaných hodnôt a vzťahov (a), (b) získavame

kN.12,3

kN,5,17

kN,54,5122

−=−=

=+=

=+−+−

=

xx

yy

xyl

FBA

QFAh

hFlFQMB

(d)

Kladné znamienko vo výsledkoch znamená, že voľba orientácie reakcie bola správna. Záporné znamienko vo výsledku znamená, že orientácia sily bola zvolená nesprávne a reakcia v skutočnosti pôsobí opačne (prípad reakcie Ax). Veľkosť výslednej reakcie A podľa (1.3) je:

( ) kN7817517123 2222 ,,,AAA yx =+−=+= .

Smerový uhol αA nositeľky výslednej reakcie A na základe skutočnej orientácie zložiek Ax, Ay v zvolenom súradnicovom systéme leží v druhom kvadrante:

°=⇒−=−

== 37100α1807817123αcos AA ,,

,,

AAx .

Príklad 1.26 Votknutý zakrivený nosník je zaťažený podľa obrázka. Posúďte statickú určitosť daného objektu a vypočítajte väzbové reakcie vo votknutí (bod A).

Dané: F = 500 N; α = 45°; h = 3 m; r = 1 m; M = 100 Nm; q = 200 Nm-1

Obr. A Obr. B

M

A

q

F

h r

α

r

M

A

q

F

h r

α

r

−3 x

y ⊕

M q

F

2h/3

r

α

r h/3 Q

Ax

Ay MA

Fx

Fy α

37

Votknutie v rovine odoberá objektu 3 stupne voľnosti pohybu (obr. A). Väzbová závislosť pre teleso v rovine je daná nasledovne:

0)1.30.20.1(333

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky určitá. Nosník uvoľníme tak, že votknutie odstránime a nahradíme ho príslušnými väzbovými reakciami (orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne). Na nosník pôsobí všeobecná rovinná silová sústava. V súlade so zvoleným súradnicovým systémom je zaťažujúca sústredená sila rozložená na zložky Fx a Fy, pre ktoré platí: α= cosFFx , α= sinFFy . (a)

Spojité zaťaženie nahrádzame sústredenou silou 2

qhQ = . (b)

Rovnice rovnováhy potom sú

.0)cos()sin(:0

,0:0

,0:0

32

A∑∑∑

=−α+−α++−=

=−=

=+−−=

hQrrFrhFMMM

FAF

QFAF

yxAi

yyiy

xxix

(c)

Dosadením vzťahov (a), (b) a zadaných hodnôt do rovníc (c) sú väzbové reakcie Nm1,7MN;6,353N;6,53 A −=+=−= yx AA . Väzbová reakcia Ax v skutočnosti pôsobí opačne. Veľkosť výslednej reakcie v bode A

N6,357)6,353()6,53( 2222 =+−=+= yx AAA .

Smerový uhol αA nositeľky výslednej reakcie A na základe skutočnej orientácie zložiek Ax, Ay v zvolenom súradnicovom systéme leží v prvom kvadrante

o62981506357653 ,,

,,cos =α⇒−=

−==α A

xA A

A.

Príklad 1.27 Bremeno hmotnosti m je pomocou lana vedeného cez dokonale hladkú kladku, prichyteného k tuhému nosníku v bode C. Nosník je zaťažený silou F a uložený vo väzbách v bodoch A a B. (väzba A - posuvný rovinný rotačný kĺb, väzba B - štíhla tyč - prút). Posúďte statickú určitosť daného nosníka a vypočítajte väzbové reakcie.

Dané: F = 3 500 N; α = 50°; l1 = 0,4 m; l2 = 0,6 m; l3 = 0,9 m; m = 70 kg

A B

F

l1 l2

α

l3

C

α

α α m

A B

F

α

α

α

α

C RA RB

N

N N

G

N

m

x

y ⊕

l1 l2 l3

38

Posuvný rovinný rotačný kĺb (bod A) a tyč (bod B) odoberajú po jednom stupni voľnosti pohybu. V osi lana (v bode C) pôsobí vzhľadom na hladkú kladku sila, ktorej veľkosť je rovnaká ako tiažová sila pôsobiaca na bremeno (N = G = mg = 686,7 N). Statická určitosť pre teleso v rovine je daná nasledovne

1)0.30.22.1(333

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Z výsledku vyplýva, že úloha je staticky preurčená. Silová sústava, ktorá pôsobí na tuhý nosník, je rovnobežná rovinná silová sústava, pre ktorú platia dve rovnice rovnováhy. Vzhľadom na typ silovej sústavy je teleso v rovnováhe. Z toho vyplýva, že dve silové rovnice rovnováhy vzhľadom na typ silovej sústavy možno zapísať len pomocou jednej rovnice rovnováhy.

0,αcosαcosαcosαcos:0

0,αsinαsinαsinαsin:0

BA

BA

=++−=

=++−=

∑∑

RNFRF

RNFRF

yi

xi

0.:0 BA =++−+=

⇓

∑ RNFRFi (a)

Momentová rovnica rovnováhy vzhľadom na bod B:

0αcosαcosαcos)l(l:0 32A21B =+++−=∑ NlFlRM . (b)

Riešením sústavy dvoch rovníc (a, b) s dvoma neznámymi získame veľkosti reakcií N27,59N;2718,03 BA +=+= RR . Výpočtom boli získané kladné znamienka pri väzbových reakciách, čo znamená, že ich orientácia bola zvolená správne. Tyč v bode B je namáhaná tlakom. Príklad 1.28 Lomený hriadeľ je pripevnený k rámu radiálnym ložiskom (B), radiálno-axiálnym ložiskom (A) a prútom (C) ležiacim v osi rovnobežnej s osou x. V bode D je na hriadeľ pripevnená doska s rozmermi h×h×d. Os hriadeľa prechádza stredom dosky. Vypočítajte veľkosti väzbových reakcií, ak je hriadeľ zaťažený danou sústavou síl. Tiaž hriadeľa a dosky neuvažujte. Dané: F1 = 15 kN; F2 = 13 kN; Q1 = Q2 = Q = 10 kN; α = 20°; β = 30°; γ = 70°, a = 0,5 m; c = 0,25m; d = 0,1m; h = 0,4m; l = 1,2 m; α, β, γ sú smerové uhly nositeľky sily F2 so súradnicovými osami x, y, z

Obr.A

D

C Ax

h

a

c

d

h

a

z

y

xγ

β

α

F2F1

Q1

Q2

l

DAy

Az

Bx

By

Dm

B

C

A h

a

c

d

h

a z

y

x

γ

β

αF2

F1

Q1

Q2

l

D

39

Radiálne ložisko (B) odoberá dva stupne voľnosti pohybu, radiálno-axiálne (A) tri stupne voľnosti a prút (bod C) jeden stupeň voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v priestore

0)1.31.21.1(666

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky aj tvarovo určitá. Po uvoľnení sú účinky väzieb nahradené zodpovedajúcimi väzbovými reakciami (obr. A). Rovnice rovnováhy pre všeobecnú priestorovú silovú sústavu pôsobiacu na uvoľnený objekt v zvolenom súradnicovom systéme 0αcos:0 2 =+++=∑ CABFF xxix , (a)

0cos:0 12 =+−+β=∑ yyiy AFBFF , (b)

0)(cos:0 122 =−++γ=∑ QQAFF ziz , (c)

0A)()(:0 1 =++−−++−=∑ hQclFaclcBM yyix , (d)

0.)()(γcos:0 2 =+++−+++−=∑ hQAclCaclcBaFM xxiy , (e)

0-βcos:0 2122 =+=∑ CFaFM hhiz . (f)

Sily Q1 a Q2 tvoria silovú dvojicu. Posuvný účinok je nulový a otáčavý možno vyjadriť nasledovným momentom silovej dvojice jiM hQhQ +=Q .

Veľkosť momentu sa rovná súčinu veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeliek

222 QhhhQM Q =+= .

Riešením rovnice (f): C = −13,146 kN. Riešením rovnice (c): Az = −4,446 kN. Riešením rovníc (b, d): Ay = +14,429 kN; By = −10,687 kN. Riešením rovníc (a, e): Ax = +8,733 kN; Bx = −7,803 kN. Záporné znamienka vo výsledkoch znamenajú nesprávne zvolenú orientáciu väzbových reakcií, v skutočnosti reakcie so zápornými znamienkami pôsobia opačne, ako boli zvolené.

40

Príklad 1.29 Dva nosníky profilu I sú zvarené a uchytené pomocou troch lán. Vypočítajte veľkosť uhlu γ a vzdialenosť d, v ktorej pôsobí sila F, aby bola konštrukcia v rovnovážnej polohe a všetky tri laná sa nachádzali v rovinách rovnobežných s rovinou y-z a mali rovnaký sklon γ od zvislej osi. Nosníky AB, OC majú hmotnosť m1, m2. Ťažisko nosníka OC je vo vzdialenosti h od osi y. Dané: l1 = 1200 mm; l2 = 800 mm; l3 = 1 400 mm; h = 725 mm; m1 = 72 kg; m2 = 50 kg; F = 200 N.

Laná odoberajú po jednom stupni voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v priestore je

3)3.1(366

1=−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá. Znamená to, že ak chceme, aby objekt bol v rovnováhe, musia byť z rovníc rovnováhy určené veľkosti niektorých prídavných parametrov. V tomto prípade je to vzdialenosť d nositeľky sily F od osi y a uhol γ sklon lán od zvislej osi. Laná sú odstránené a nahradené zodpovedajúcimi väzbovými rekciami. Na objekt pôsobí všeobecná priestorová silová sústava, pre ktorú je možné zostaviť 6 rovníc rovnováhy. Veľkosti tiažových síl pôsobiacich v ťažiskách jednotlivých nosníkov

N.5,490N,32,706

22

11

====

gmGgmG

V súlade so zvoleným súradnicovým systémom sú zložky jednotlivých síl v lanách

.sinγ,sinγ,sinγ

,cosγ,cosγ,cosγ

CCBBAA

CCBBAA

NNNNNN

NNNNNN

zzz

yyy

===

=== (a)

Zostavíme sústavu rovnovážnych rovníc v zvolenom súradnicovom systéme

00:0 ==∑ xiF , (b)

0:0 21CBA =−−++=∑ GGNNNF yyyyi , (c)

0:0 CBA =−++=∑ FNNNF zzzzi , (d)

0:0 C32 =+−=∑ yxi NlhGM , (e)

0:0 A1B2 =−+−=∑ dFNlNlM zzyi , (f)

0:0 A1yB2 =−=∑ yzi NlNlM . (g)

x

y

z

O

l1 F d

l3

h

l2

G1

G2

γ

NA

NB

NC

x

y

z l1 l2

γl3

A B

C

F d

0

41

Vzhľadom na to, že v smere osi x nepôsobí žiadna sila, je získaná sústava piatich rovníc s piatimi neznámymi: NA, NB, NC, d, γ. Do rovníc (c) až (g) dosadíme vzťahy (a). Rovnicu (c) vynásobíme výrazom −sin γ a rovnicu (d) vynásobíme výrazom cos γ a obe rovnice sčítame:

⇒⊕⎭⎬⎫

=++=α−−−++

,0]cosγF-sinγsinγsinγ[,0)sin](cosγcosγcosγ[

CBA

21CBA

NNNGGNNN

.9,49γtgγ

,cossinγ)(0cosγsinγsinγ

21

2121o=⇒=

γ=+⇒=−+

+GGF

FGGFGG

Z rovnice (e) ⇒ N.52,257cosγ

N254cosγ CCCC ==⇒== y

yN

NNN

Z rovnice (g) ⇒ 2

1AB l

lNN = , po dosadení do rovnice (d) vyplýva

.N2,382)(

21

2CsinγA =

+

−=

ll

lNN

F

Dosadením NA spätne do predchádzajúceho vzťahu dostaneme

N.3,573B =N

Nakoniec z rovnice (f) vyjadríme vzťah na výpočet vzdialenosti d pre nositeľku sily F.

0sinγsinγ 2B1A =−

=F

lNlNd .

To znamená, že nositeľka sily F musí pôsobiť v smere osi z, aby bol objekt v rovnováhe a laná zostali v rovine y-z. Príklad 1.30

Objímka hmotnosti m sa môže pohybovať po hladkej tyči. V danej polohe je v rovnovážnej polohe udržiavaná bremenom hmotnosti m1, ktoré je zavesené na lane vedenom cez hladkú kladku. Vypočítajte výšku h, v ktorej je objímka v rovnováhe.

Dané: m = 20 kg, m1 = 25 kg, a = 1,5 m. Výsledok: h = 2 m

Príklad 1.31

Bremeno hmotnosti m je zavesené na nehmotnom lane, ktoré je uchytené vo vrchole V. Vo vrchole sú spojené tri tuhé prúty rovnakého prierezu a zanedbateľnej hmotnosti. Vypočítajte veľkosť síl, ktorými sú jednotlivé prúty namáhané. Dané: m = 25 kg; l = 1 m; d = 1,5 m; h = 1,8 m

Výsledok: prút 3 je namáhaný na ťah N3 = 319,26 N, prúty 1,2 sú namáhané na tlak N1 = N2 = 122,83 N

x

y

z

0

h

l

l

A

B

C

V

md

m

m1

h

a

42

Príklad 1.32

Nosník je uložený a zaťažený podľa obrázka. Posúďtejeho statickú určitosť a vypočítajte väzbové reakcie vo väzbách A, B. Dané: F = 300 N; M = 50 Nm; α = 30°; β = 40°; l = 0,5 m; R = 0,2 m; q1 = 90 N.m-1; q2 = 140 N.m-1

Výsledok: n = 0; Αx = 109,291 N ( ) Αy= 271,878 N ( ) ; B = 234,162 N ( )

Príklad 1.33

Nosník zaťažený tiažovou silou G, spojitým zaťažením q a dvojicou síl F a pomocou lana (bod A) a posuvnéhorovinného rotačného kĺbu (B) je pripojený k základovému rámu. Posúďte statickú určitosť a vypočítajte väzbové reakcie. Dané: F = 100 N; G = 710 N; l = 1,5 m; q = 120 Nm-1

Výsledok: n = 1, na rám pôsobí rovinná rovnobežná silová sústava ⇒ úloha je staticky určitá; RA (↑) = + 510 N; RB (↑) = + 560 N

Príklad 1.34

Rámová konštrukcia je votknutá v bode A a zaťažená podľa obrázka. Hmotnosť konštrukcie je m = 150 kg. Vypočítajte reakcie vo votknutí. Dané: F1 = 650 N; F2 = 500 N; q =120 Nm-1; M = 500 Nm l1 = 0,6 m; l2 = 0,3 m; l3 = 0,9 m; h1 = 0,4 m; h2 = 0,7 m; h3 = 1,3 m; h4 = 0,6 m; α = 50°; β = 45°Výsledok: xT = 0,102 m; Ax = 28,26 N ( ); Ay = 851,48 N ( ); MA = 558,77 Nm (É)

F1

l1 l2

l3 F2

q

β

α h1 h2

h4

h3

A ≡ 0 x

y

M

A B

q

l l l l

F F

G

M

A

B q1

h

l

r

β

F α

r

q2

43

Príklad 1.35 Lomený nosník (AD) spolu s päťstenom tvoria tuhé teleso uložené vo väzbách v bodoch A (priestorový kĺb), B (krátke radiálne ložisko), C (nehmotný prút) a zaťažený podľa obrázka. Vypočítajte väzbové reakcie. Hmotnosť telesa zanedbajte. Uhol α je uhol, ktorý zviera nositeľka sily F1 s kolmým priemetom do vodorovnej roviny. Uhol β je uhol, ktorý zviera daný priemet s osou x. Dané: F1 = 4 kN; F2 = 3 kN; q1 = 0,5 kNm-1; Q = 2,5 kN; l1 = a = 0,4 m; l2 = 0,6 m; l3 = 0,3 m; l4 = 0,5 m; l5 = 0,8 m; α = 35°; β = 60°

Výsledok: Ax = 0,545 kN ( ) Ay = 0,346 kN ( ) Az = 2,155 kN ( ) By = 5,22 kN ( ) Bz = 6,45 kN ( ) C = 1,56 kN ( )

Príklad 1.36

Hriadeľ je uložený v radiálnom (A) a radiálno-axiálnom ložisku (B). V rovnováhe je udržiavaný silou (N) pôsobiacou v lane 1, ktoré je rovnobežné s osou z. Vypočítajte veľkosť síl v lanách, ak pre veľkosti síl pôsobiacich v lane 2 platí: T2 = 0,77T1. Určte taktiež veľkosti väzbových reakcií. Dané: G1 = 1 kN; G2 = 1,5 kN; α = 40°; T2 = 0,8 kN; l1 = 0,45 m; l2 = 0,5 m; l3 = 0,4 m; r1 = 0,4 m; r2 = 0,6 m

Výsledok:

N = 0,36 kN; Ay= 1,02 kN ( ); Az = 0,057 kN ( ); Bx = 0 kN; By= 5,17 kN ( ); Bz = 0,931 kN ( ).

1.5 ROVNOVÁHA ROVINNÝCH SÚSTAV TELIES

Sústava telies je množina telies (objektov, členov), ktoré sú vzájomne spojené väzbami. Väzby medzi telesami sú tzv. vnútorné väzby. Niektoré z telies sústavy sa väzbami viažu na základový rám (vonkajšie väzby). Väzby v rovinnej sústave telies môžu odoberať 1 až 3 stupne voľnosti. Statická určitosť rovinnej sústavy telies je určená zo vzťahu

∑=

−−=3

1)1(3

jjjrtn , (1.26)

kde t je počet telies sústavy vrátane základového rámu, j - počet stupňov voľnosti, ktoré odoberá príslušná väzba, rj - počet väzieb odoberajúcich j stupňov voľnosti pohybu.

Q

Q

F2

A B

.

β α

F1

C

.

l1

.

a

l2 l3

a

l4

l5

q1

x

y

z

AB x

y

z l2 l3 l1

r1 r2

N

T1

T2

α

G1 G2

44

Pri riešení môžu nastať prípady:

n = 0 - úloha je staticky a tvarovo určitá Statická určitosť - jednoznačné matematické riešenie. Tvarová určitosť - sústava telies je nepohyblivá. Nepohyblivé mechanické sústavy sú označované ako rámové konštrukcie.

n > 0 - úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá Statická preurčenosť - znamená, že z rovníc rovnováhy je možné okrem vnútorných

a vonkajších väzbových reakcií určiť aj niektorý prídavný parameter z vonkajšieho zaťaženia alebo niektorý rozmer danej sústavy.

Tvarová neurčitosť - sústava telies je pohyblivá. Pohyblivé sústavy sú označované pojmom mechanizmus. Mechanizmy obsahujú

pohyblivé časti a sú navrhnuté na prenos a transformáciu vstupných síl alebo momentov na výstupné sily alebo momenty.

n < 0 - úloha je staticky neurčitá a tvarovo preurčená Tak ako pri hmotnom objekte tieto úlohy v statike nevieme riešiť. Vieme zostaviť menej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií.

Pri statickom riešení sústav telies je aplikovaná metóda uvoľňovania, t.j. všetky väzby (vonkajšie aj vnútorné) nahrádzame väzbovými reakciami. Pri uvoľňovaní vnútorných väzieb je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie.

Základnou úlohou statického riešenia sústav telies je určenie veľkosti a orientácie väzbových reakcií. Na ich výpočet je potrebné zostaviť príslušné rovnice rovnováhy, pričom ich počet závisí od počtu telies tvoriacich danú sústavu telies a počtu uzlov (bodov), v ktorých sú telesá navzájom spojené. Počet rovníc rovnováhy, ktoré je možné pre danú sústavu telies zostaviť

mtp 23 +′= , (1.27)

kde p je počet rovníc rovnováhy , t′ - počet telies bez základového rámu 1−=′ tt , m - počet vnútorných väzieb, 3 - počet rovníc rovnováhy pre všeobecnú rovinnú silovú sústavu, ktorá pôsobí na

teleso v rovine, 2 - počet rovníc rovnováhy pre centrálnu rovinnú silovú sústavu, ktorá pôsobí na uzol

(bod), v ktorom sú telesá vzájomne spojené.

45

Príklad 1.37 Nosná rámová konštrukcia vytvorená z dvoch telies , je pripevnená k základovému rámu vo vodorovných rovinách. Zaťažená je spojitým bremenom q pôsobiacim na teleso a momentom M pôsobiacim na teleso . Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich.

Dané: q = 240 Nm-1; M = 30 Nm; l1 = 1,25 m; l2 = 0,85 m; h = 1,0 m

Sústava telies sa skladá z troch telies vrátane rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu

v bode A (vonkajšia väzba) - votknutie - odoberá v rovine 3 stupne voľnosti pohybu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode C (vonkajšia väzba) - posuvný rovinný rotačný kĺb - odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu. Telesá a sú navzájom spojené v bode B (vnútorná väzba) - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu. Statickú určitosť sústavy posúdime podľa vzťahu (1.26)

0)1.31.21.1()13.(3)1(33

1=++−−=−−= ∑

=jjjrtn .

Úloha je staticky určitá, to znamená, že ide o nepohyblivú sústavu telies. Metódou uvoľňovania sú telesá a uvoľnené. Pri vonkajších väzbách sú orientácie väzbových reakcií v jednotlivých telesách zvolené ľubovoľne. Pri vnútorných väzbách v prvom telese, ktoré uvoľňujeme, volíme orientáciu reakcií ľubovoľne, pri susednom telese je pri orientácii reakcií potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Z matematického hľadiska podľa správnosti by označenie vnútorných reakcií malo byť odlíšené, pretože ide síce o vektory rovnakej veľkosti, ale opačného smeru. Označenie reakcií je možné odlíšiť indexmi. Prvý index je index telesa, ktoré na uvoľnené teleso pôsobí. Druhý index je index telesa, ktoré je uvoľňované. Napr. Bx23 predstavuje pôsobenie telesa na teleso . V zvolenom súradnicovom systéme podľa vzťahu (1.27) možno zostaviť nasledovný počet rovníc rovnováhy: 81.22.323 =+=+′= mtp .

Rovnovážne rovnice pre teleso

,)(:

,:

,:

A 020

00

00

321322121

32

32

=−++−=

=−+=

=+=

∑∑∑

hBlBllQMM

QBAF

BAF

xyA

yyyi

xxxi

(c)

(b)(a)

kde Q je veľkosť výslednice spojitého zaťaženia pôsobiaceho na teleso a jej hodnota je

)( 21 llqQ += .

A

B C

h

l2

h

l1

q

M

x

y +

Ax

Bx

Q

h

l2

h

l1

Ay

By

MA

(Bx32)

(By32)

By32

By23

Bx23 Bx32

B C

h

l2

BxBy

(By23) (Bx23)

M

46


.0:0

,0:0

,0:0

2B

32

23

=+=

=+−=

=−=

∑∑∑

MlCM

CBF

BF

yyi

xxi

(f)(e)(d)

Rovnovážne rovnice pre bod B

.0:0

,0:0

23322332

23322332

yyyyyyi

xxxxxxi

BBBBBF

BBBBBF

==⇒=−=

==⇒=−=

∑∑

(h)(g)

V prípade, že vnútorné reakcie v bode B nie sú odlíšené príslušnými indexmi, rovnice (g), (h) nie je potrebné zostaviť. Výsledné hodnoty reakcií v bodoch A, B sú

2222yxyx BBBAAA +=+= , .

Rovnice (a) až (h) predstavujú sústavu ôsmich lineárnych algebrických rovníc s ôsmimi neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare.

.

)(A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

00

00

0

0101000000101000

0000000110000000010000000021000001001000001001

2121

23

23

32

32

2

1

M

llQQ

CBBBBMAA

l

lh

y

x

y

x

y

x

(i)

Riešením sústavy (podmienka riešenia - determinant sústavy D ≠ 0) dostaneme vektor neznámych a jeho transponovaný vektor je:

[ ] Nm)(N;,,,,,T 2935293502935032573295390 −−−=x .

Orientácia reakcií so zápornými znamienkami je v skutočnosti opačná, ako bolo predpokladané. Príklad 1.38 Pre konštrukciu zaťaženú podľa obrázka zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich. Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Dané: F1 = 3 kN; F2 = 3 kN; M = 0,6 kNm; l1 = 0,5 m; l2 = 0,2 m; h = 0,25 m

A

B C

h

l2

h

l1

M

D E

l2 l1

F1 F2 F1 F2

Ey Ex

Dy

Dx

M

Cy

DxDy

Cx

A

Bx By Cx

Ey

Ex

Cy

x y

+

47

Väzby v bodoch B, C, D, E predstavujú spojenie telies rovinnými rotačnými kĺbmi - každá väzba odoberá 2 stupne voľnosti pohybu. Väzba v bode A je tzv. posuvný rovinný rotačný kĺb, ktorý odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu. Vonkajšie väzby sa nachádzajú v bodoch A, B. Statická určitosť sústavy je posúdená podľa vzťahu (1.26)

0)0.34.21.1()14.(3)1(33

1=++−−=−−= ∑

=jjjrtn .

Úloha je staticky aj tvarovo určitá. To znamená, že ide o nepohyblivú rovinnú sústavu telies. Pri uvoľňovaní pri vnútorných reakciách musí byť dodržaný princíp akcie a reakcie, pričom tieto reakcie nebudú odlišované indexmi - zníži sa počet rovnovážnych rovníc. Pre každé uvoľnené teleso sú potom zostavené iba 3 rovnice rovnováhy. Rovnovážne rovnice pre teleso

.)(:

,:

,:

B 020

00

00

211 =+++−=

=+−=

=+−−=

∑∑∑

hEllElCM

ECBF

ECBF

xyy

yyyyi

xxxxi

(c)(b)(a)


.:

,:

,:

020

00

00

=−+=

=−=

=++−=

∑∑∑

hAMhDM

DCF

CDAF

xC

yyyi

xxxi

(f)(e)(d)


.02:0

,0:0

,0:0

12212

21

=−+−=

=−−−=

=−−=

∑∑∑

lFlFlDM

FFEDF

EDF

yE

yyyi

xxxi

(i)(h)(g)

Rovnice (a) až (i) predstavujú sústavu deviatich lineárnych algebrických rovníc s deviatimi neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare Ax = b, t.j. platí

.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−

+−−

−−

2112

21

2

211

0

00000

002000000101000000

010100000000200000010010000001101002000000

100001010010000101

lFlFFF

M

EEDDA

CCBB

l

hh

llhl

y

x

y

x

y

x

y

x

(k)

Riešením sústavy rovníc je získaný vektor neznámych

[ ] )N(,,,,,,,,T 2582252522254112528136411 −−−−−=x .

Orientácia reakcií so zápornými znamienkami je v skutočnosti opačná, ako bolo predpokladané. Výsledné hodnoty reakcií v bodoch B, C, D, E sú

48

N.,;N,

N,,;N,

5226325

98138812

2222

2222

=+==+=

=+==+=

yxyx

yxyx

EEEDDD

CCCBBB

Príklad 1.39 Rovinný kľukový mechanizmus schematicky znázornený na obrázku je zaťažený silou F. Vypočítajte, aký moment musí pôsobiť na člen , aby bol mechanizmus v danej polohe v rovnováhe. Vypočítajte aj veľkosť reakcií vo väzbách danej sústavy. Dané: F = 500 N; α = 45°; h = 0,5 m; r = 1,4 m; l = 2,5 m; l1 = 1,0 m

Sústava telies sa skladá zo štyroch telies vrátane rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode A (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu). Teleso sa pripája k základovému rámu v bode C (vonkajšia väzba - kulisa - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu). Telesá a sa spájajú navzájom v bode B (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb). Telesá a sa spájajú navzájom v bode C (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb). Statická určitosť sústavy je posúdená podľa vzťahu (1.26)

1)4.2()14.(3)1(33

1=−−=−−= ∑

=jjjrtn .

Úloha je jedenkrát staticky preurčená a tvarovo neurčitá, čiže ide o pohyblivú sústavu telies, tzv. mechanizmus. Z toho dôvodu je potrebné určiť jeden parameter z vonkajšieho zaťaženia (moment M pôsobiaci na člen ), ktorý uvádza danú sústavu telies do rovnováhy. Metódou uvoľňovania sú telesá , a uvoľnené. Orientáciu väzbových reakcií volíme ľubovoľne a pre vnútorné väzby je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Rovnovážne rovnice pre teleso

.sincos:

,:

,:

A 00

00

00

=α−α+=

=+−=

=+=

∑∑∑

rBrBMM

BAF

BAF

xy

yyyi

xxxi

(c)(b)(a)


.0)sinβcosβ(cosβsinβ:0

,0:0

,0:0

121

B =+−−=

=−−−=

=+−=

∑∑∑

llFlClCM

CFBF

CBF

yx

yyyi

xxxi

(f)(e)(d)

M

α

r

By

Bx

Ax

Ay

Cy

F

β

l

.

l1

Cx

β

By Bx

S

Cyr

Cy Cx

MC

x y

+

M F

α

r l

l/2 .

l1

h A

B

C

α

49


.0:0

,0:0

,0:0

=−=

=−=

==

∑∑∑

C

yryyi

xxi

MM

CCF

CF

(i)(h)(g)

Využitím substitučnej metódy pri riešení rovníc sú vypočítané hodnoty väzbových reakcií N41,398N;59,101;0 −=−====== yryyyCxxx CCBAMCBA .

Všetky zložky reakcií, ktoré majú záporné znamienko, majú v skutočnosti opačnú orientáciu. Na udržanie mechanizmu v rovnovážnej polohe bola z rovníc rovnováhy vypočítaná aj veľkosť momentu pôsobiaceho na teleso , t.j. Nm57,100=M . Príklad 1.40 Rovinný mechanizmus zdvíhacieho zariadenia, znázornený na obrázku je zaťažený silovou dvojicou M. Vypočítajte veľkosť sily F pôsobiacej na člen , aby bol mechanizmus v danej polohe v rovnováhe. Posúďte statickú určitosť sústavy a vypočítajte veľkosti reakcií vo väzbách danej sústavy telies. Dané: M = 50 Nm; r = 0,3 m; α = 30°; l1 = 1,4 m; l2 = 2,8 m ; R = 0,5 m; h1 = 1,8 m; h2 = 1,6 m; h3 = 0,4 m; h4 = 0,25 m;

Sústava telies sa skladá z piatich telies vrátene rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode A (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Teleso

sa pripája k základovému rámu v bode H (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Teleso sa pripája k základovému rámu v bodoch C a D (hladké dotykové väzby - každá odoberá 1 stupeň voľnosti). Telesá a sa spájajú v bode B (vnútorná väzba - hladká dotyková väzba - odoberá 1 stupeň voľnosti). Telesá a sa spájajú navzájom v bode E (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Telesá a sa spájajú navzájom v bode E (vnútorná väzba - kulisa - odoberá 2 stupne voľnosti). Statickú určitosť sústavy posúdime podľa vzťahu (1.28):

( ) 1)0.34.23.1()15.(3133

1=++−−=−−= ∑

=jjjrtn .

Teleso

M α

r

R B

Ay

Ax

T32

Teleso

h2 h3

D

C

T23

Ex43 Ey43

F l2

E45

ME45

Teleso

Hx Hy

β

β

Ex34

Teleso

Ey34 E54

ME54

β

M

F

α

r

R

l2

h2

B

h3

A

D

E

h1

H

C l1

h4

50

Úloha je jedenkrát staticky preurčená a tvarovo neurčitá, čiže ide o pohyblivú sústavu telies - mechanizmus. Je potrebné určiť parameter z vonkajšieho zaťaženia (sila F pôsobiaca na člen

), ktorý uvádza danú sústavu do rovnováhy. Na základe princípu akcie a reakcie možno písať rovnice

,

,

3443

2332

xx EETT=

=

(b)(a)

.

,

,

4554

4554

3443

MMEE

EE yy

==

=

(e)(d)(c)

Pomocou metódy uvoľnenia sú jednotlivé telesá uvoľnené a napísané rovnice rovnováhy.


,0cos:0

,0:0

,0:0

32A

32

=α−=

=−=

==

∑∑∑

rTMM

TAF

AF

yyi

xxi

(h)(g)(f)

.N45,192)g(rovnicez

N,45,192cos

)h(rovnicez

32

32

==⇒

=α

=⇒

TAr

MT

y


,0)sin(

)sin(:0

,0 :0

,0 :0

412

4312E

4323

43

=+−α+++

++−α++=

=−=

=++=

∑∑∑

hhrRhD

hhhrRhCM

ETF

DCEF

yyi

xxi

(k)

(j)(i)

N45,192(a)(j),rovnícz 322343 ===⇒ TTEy .


.0:0

,0cosβ:0

,0sinβ:0

54EE

5434

5434

=−=

=−=

=−−=

∑∑∑

MM

EEF

EEF

yyi

xxi

(n)(m)(l)

Uhol β, ktorý vystupuje v rovniciach, určíme z geometrie obrázka

,82,17sinarctgβsinβtg1

12

1

12 o=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −α++=⇒

−α++=

lhrRh

lhrRh

.N26,108N;12,170:získame(b)(k),(i),rovnícriešením

N,86,61sin (l)rovnicez

N,15,202cos

(c)(m),rovnícz

5434

3454

−==−=β−=⇒

=β

=⇒

CDEE

EE

x

y

51


,0cosβ)(:0

,0cosβ:0

,0sinβ:0

22

12214545EH

45

45

=+−+−+=

=−+−=

=+−=

∑∑∑

FlhhlEMM

FEHF

EHF

yyi

xxi

(r)(p)(o)

.N,cosβ(p)rovnicez

N,,cosβ

)((n)(e),(r),rovnícz

N,,sinβ(d)(o),rovnícz

285

25107

8661

45

2

212

2145

45

=−=⇒

=−+

=⇒

==⇒

FEHl

hhlEF

EH

y

x

Riešením sústavy 17 rovníc o 17 neznámych sú vypočítané všetky neznáme. Na dosiahnutie rovnováhy daného mechanizmu v je potrebné na člen 5 pôsobiť silou danej orientácie a o veľkosti 107,25 N. Tie väzbové reakcie, pre ktoré vyšlo pri výpočte záporné znamienko, majú v skutočnosti opačnú orientáciu, ako bolo predpokladané. Príklad 1.41 Trojkĺbová konštrukcia podľa obrázka je zaťažená momentom točiacim v smere hodinových ručičiek, ktorého veľkosť je 150 (N m). Vypočítajte zložky reakcií vo väzbách D, E ak: 1. moment pôsobí v bode A, 2. moment pôsobí v bode B. Dané: l = 0,6 m; h = 0,4 m

Výsledok: 1. Dx = 750 N ( ), Dy = 250 N ( ), Ex = 750 N ( ), Ey = 250 N ( ).

2. Dx = 375 N ( ), Dy = 250 N ( ), Ex = 375 N ( ), Ey = 250 N ( ).

Príklad 1.42 Konštrukcia vytvorená z telies , , je pripevnená vertikálne k základovému rámu . Zaťažená je silou F a bremenom hmotnosti m, ktoré je zavesené na nehmotnom lane vedenom cez hladkú kladku. Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich. Dané: F = 1500 N; m = 200 kg; l1 = 0,8 m; l2 = 0,45 m; l3= h = 0,9 m; α = 60°.

Výsledok: n = 0; A = 1,24 kN ( ); B = 0,32 kN; αB = 322,7°; C = 2,13 kN; αC = 215°; D = 3,08 kN; αD = 27,6°; E = 4 kN; αE = 133°. Poznámka: αi ( i = B, C, D, E) - smerové uhly nositeliek výsledných reakcií.

A

B

C h

l2

h

l1

h

E

l3

α Z

m F D

A

B C

h

h

l

E D

l l

52

Príklad 1.43 Vypočítajte veľkosti väzbových reakcií pri danej polohe konštrukcie. Posúďte aj statickú určitosť danej sústavy. Dané: F = 5 kN; M = 3 kNm; α = 70° a1 = 0,4 m; a2 = 0,5 m; a3 = 0,3 m; a4 = 0,35 m; a5 = 0,2 m; b1 = 0,5 m; b2 = 0,25 m.

Výsledok: n = 0; A = 7,02 kN; αA = 48°; MA (v smere hod. ručičiek) = 5,70 kNm, B = 3,34 kN; αB = 347,4°; C = 4,74 kN; αC = 287,7°; D = 3,51 kN ( ); E45 = 1,76 kN; αE = 35°; M35 = 0; E35 = 1,76 kN; αi ( i = A ,B, C, E) sú smerové uhly nositeliek výsledných reakcií

Príklad 1.44 Mechanizmus je zaťažený silou F. Vypočítajte veľkosť silovej dvojice M potrebnej pre rovnováhu mechanizmu v danej polohe a reakcie vo väzbách C, D. Dané: F = 300 N; α = 45°; h1 = 0,35 m; h2 = 0,1 m; h3 = 0,15 m; l = 0,45 m; r = 0,3 m

Výsledok: M = 63,64 Nm; C = 289,6 N ( ); D = 289,6 N ( ).

E

D

C B A

α F

b2

b1

a4 a3 a2 a1

a5

M

B

A α

F

l

h1

h3

h2

r

M

C

D

h2

53

1.6 ROVINNÉ PRÚTOVÉ SÚSTAVY

Prútová sústava je sústava telies zložená zo štíhlych členov (prútov), ktoré sú v koncových bodoch vzájomne spojené styčníkmi (uzlami). Prúty prútovej sústavy prenášajú sily len v smere svojich osí. Jednotlivé prúty prútovej sústavy sú navzájom spájané len vo svojich krajných bodoch, pričom vzhľadom na charakter zaťažovania prútov sú ich vzájomné spojenia - styčníky považované za kĺby. Prúty prútovej sústavy tvoria tzv. prútové teleso. Zaťaženie prútovej sústavy a jej pripojenie k nepohyblivému rámu je realizované len v styčníkoch. Prútová sústava - prútové teleso je teda zložené z s styčníkov a p prútov. Styčník reprezentuje bod v rovine s dvoma stupňami voľnosti pohybu. Styčníky sú navzájom spojené prútmi, kde každý prút odoberá jeden stupeň voľnosti pohybu. Počet stupňov voľnosti prútového telesa určíme zo vzťahu: nv = 2s − p. Spojenie prútového telesa a nepohyblivého rámu sa realizuje prostredníctvom vonkajších väzieb, ktoré odoberajú telesu 1 až 3 stupne voľnosti pohybu v rovine. Väzbovú závislosť rovinnej prútovej sústavy určíme zo vzťahu:

∑=

−−=−=3

1p)s2(

jjov jrnnn . (1.28)

Pri riešení môžu nastať prípady podobné ako pri rovinnej sústave telies. V ďalších úvahách sa budeme zaoberať len úlohami staticky a tvarovo určitými, čiže n = 0. Úlohou riešenia prútových sústav je určiť veľkosti osových síl v prútoch sústavy, spôsob namáhania jednotlivých prútov (ťah, tlak) a parametre vonkajších väzbových reakcií. Pri riešení pôsobia na každý prút v jeho krajných uzloch dve sily, ktoré majú rovnakú veľkosť, spoločnú nositeľku, ale opačnú orientáciu. Okrem toho medzi styčníkom a prútom pôsobia sily akcie a reakcie, čiže sily rovnako veľké, opačne orientované a majúce spoločnú nositeľku. Základné pojmy prútových sústav sú na obr. 1.11.

Obr. 1.11

F

A

B

C D

a) ÷ prúty sústavy

A, B, C, D styčníky n = (2.4-5) − (1.1+2.1) = 0

b) uvoľnené prútové teleso na výpočet

vonkajších väzbových reakcií

F

A

B

C D

rovnováha styčníka C F + N2 +N5 = 0

F

N2

N5

F N2

N5CN2N2

ťah

C D

N5

N5

tlak

C

B

c) uvoľnený styčník C na výpočet osových síl v prútoch 2, 5

uvoľnené prúty 2, 5 a určený druh namáhania v nich

54

1.6.1 Analytické riešenie prútovej sústavy - styčníková metóda Postup analytického riešenie prútovej sústavy pomocou styčníkovej metódy:

Posúdenie statickej určitosti prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28). Uvoľnenie prútového telesa a zostavenie rovníc pre výpočet väzbových reakcií.

Orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Silové účinky pôsobiace na prútové teleso (vonkajšie sily, väzbové reakcie) tvoria všeobecnú rovinnú silovú sústavu, pre ktorú je možné napísať tri rovnice rovnováhy. Riešením sústavy rovníc sú vypočítané tri väzbové reakcie. Orientácia väzbových reakcií, pre ktoré je vypočítané kladné znamienko, bola zvolená správne. Reakcie so záporným znamienkom pôsobia opačne.

Postupne sú uvoľňované jednotlivé styčníky sústavy, pre ktoré sú zostavené rovnice rovnováhy na výpočet osových síl v prútoch sústavy. Účinky prútov na styčníky sú reprezentované silami pôsobiacimi v smere osi prútov. Styčník reprezentuje bod v rovine, na ktorý pôsobí centrálna rovinná silová sústava. Z rovníc rovnováhy styčníka sú vypočítané dve neznáme osové sily v prútoch. Pri postupnej styčníkovej metóde riešenia je vždy uvoľňovaný styčník, v ktorom sú len dve neznáme osové sily.

Na základe zvolenej orientácie a znamienka osových síl získaného výpočtom je určený spôsob namáhania prúta na ťah alebo tlak.

Príklad 1.45

Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3. Vypočítajte veľkosť osových síl vo všetkých prútoch sústavy a určte druh namáhania jednotlivých prútov. Dané: F1 = 2 kN; F2 = 3 kN; F3 = 4 kN; a = 1 m; h = 1,5 m

Prútové teleso je k základnému rámu pripojené vo väzbách v bode A (rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti) a v bode C (prút - odoberá 1 stupeň voľnosti). Statická určitosť prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28)

0)0.31.21.1()138.2()2(3

1=++−−=−−= ∑

=jjjrpsn .

F1

A B C D

E

h

a

GHI

F2

F3

a a aa

11

10

12 13

K

Ax

Ay

Cβ

α

F1

A B C D

E

h

a

GH I

F2

F3

a a a

a

11

10

12 13

K

tg α = a/a = 1 α = 45°

55

Úloha je staticky a tvarovo určitá - prútová sústavu je nepohyblivá. Uhol β potrebný pre rozklad sily v bode C

( ) o873622 ,arctgββtg ==⇒= ah

ah .

Rovnovážne rovnice na výpočet väzbových reakcií

022:0

0sinβ:0

0cosβ:0

312C

21

3

=−−−−=

=−−−=

=+−−=

∑∑∑

aFaFaFaAM

FFCAF

FCAF

y

yyi

xxi

.kN6kN,33,18kN,66,18

−=⇒−=⇒

=⇒

y

x

ACA

Postupne sú uvoľňované jednotlivé styčníky tak, aby boli v uvoľňovanom styčníku maximálne dve neznáme veličiny (dve osové sily v prútoch) a pre každý styčník sú zostavené rovnice rovnováhy. Pri nahrádzaní účinku prútov osovými silami je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Uvoľnené styčníky (v poradí riešiteľnosti), rovnice rovnováhy a vypočítané osové sily sú uvedené v tabuľke 1.9.

Tabuľka 1.9

Styčník Uvoľnenie Podmienky rovnováhy Osová sila

A

0sin:0

0cos:0

10

101

=α+=

=α++−=

∑∑

NAF

NNAF

yyi

xxi N1 = 12,66 kN N10 = 8,49 kN

B

0:0

0:0

9

21

==

=+−=

∑∑

NF

NNF

yi

xi N2 = 12,66 kN N9 = 0 kN

I 0sinsin:0

0coscos:0

108

108113

=α−α−=

=α−α+++

=

∑

∑

NNFNNNF

F

yi

xi

N8 = − 8,49 kN N11 = 8 kN

E 0sin:0

0cos:0

42

413

=α−−=

=α−−=

∑∑

NFF

NNF

yi

xi N4 = − 4,24 kN N13 = 3 kN

G

0:0

0:0

51

1213

=−−=

=−=

∑∑

NFF

NNF

yi

xi N5 = − 2 kN N12 = 3 kN

H

0sin:0

0cos:0

67

61211

=α−−=

=α++−=

∑∑

NNF

NNNF

yi

xi N6 = 7,07 kN N7 = −5 kN

C

0βcoscos

:0

382 =−+α−−

=∑CNNN

Fxi N3 = −8 kN

D

kontrolný styčník

00;0sinsin:0

00;0coscos:0

465

463

==α+α++=

==α+α−−=

∑∑

NNNF

NNNF

yi

xi

x

y

N2 N7

N3

N8

α C

β

x y

N5

N13 N12 F1

x

y N5

N3

N4 N6

α α

x y

N11

N7

N12

N6

α

x y

N4

N13 α

F2

x y F3

N10

N11

α N8

α

x

y N9

N2 N1

x

y

Ay Ax

N10

N1 α

56

Vo všetkých prútoch v uvoľňovaných styčníkoch bolo predpokladané ťahové namáhanie. V prípade, že výpočtom bolo pre osovú silu vypočítané kladné znamienko, pôsobí v danom prúte ťah. V prípade záporného znamienka pôsobí v prúte tlak. Na základe výpočtov sú ťahom namáhané prúty: 1, 2, 6, 10, 11, 12, 13. Tlakom sú namáhané prúty: 3, 4, 5, 7, 8. Sila v prúte 9 má nulovú veľkosť, t.j. prút 9 neprenáša žiadnu osovú silu. 1.6.2 Analytické riešenie prútovej sústavy - priesečná metóda Priesečnú metódu je potrebné použiť pre takú prútovú sústavu, ktorú nie je možné riešiť styčníkovou metódou (nenachádza sa v nej dvojprútový styčník, t.j. v každom styčníku sú tri a viacej prútov). Táto metóda je použiteľná aj v prípade, keď je potrebné vypočítať osové sily v niektorých prútoch prútovej sústavy. Pri tejto metóde riešenia je prútová sústava rozdelená mysleným rezom cez tri prúty, pričom musia byť splnené nasledujúce podmienky:

- pri rozrezaní troch prútov je prútová sústava rozdelená na dve časti, - osi všetkých rozrezaných prútov nesmú byť súčasne rovnobežné, - osi všetkých rozrezaných prútov sa nesmú pretínať v jednom bode.

Pre ľubovoľne zvolenú časť rozrezanej prútovej sústavy sú zostavené rovnice rovnováhy. Účinky rozrezaných prútov sú nahradené osovými silami v smere osí rozrezaných prútov. Uvoľňovaná časť rozrezanej prútovej sústavy je zaťažovaná účinkami príslušných väzbových reakcií. Príklad 1.46

Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2. Vypočítajte veľkosť osových síl vo všetkých prútoch sústavy.

Dané: F1 = 600 N; F2 = 500 N; l = 2,1 m.

Obr. A

Obr. B

F1

Ay

C D

E

G

H

F2

l /3

10

l /3

l/3

l/3

l/3

l /3

l/2

By

Bx

N11 N11

N4

N1

N1

α

F1

Ay

CD

E

G

H

F2

l /3

1110

l /3

l/3

l/3

l/3

l /3

l/2

By

Bx

F1

A

B

CD

E

G

H

F2

l/3

11 10

l/3

l/3

l/3

l/3

l/3

l/2

57

Prútová sústava je upevnená na základný rám vo väzbách v bode A (posuvný rovinný rotačný kĺb - odoberá 1 stupeň voľnosti) a v bode B (rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Statická určitosť danej prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28)

0)1.21.1()117.2()2(3

1=+−−=−−= ∑

=jjjrpsn .

Úloha je staticky a tvarovo určitá, čiže prútová sústava je nepohyblivá. Väzbové reakcie vypočítame z rovníc rovnováhy uvoľneného prútového telesa (obr. A)

0:0

0:0

0:0

2B

1

2

=−−=

=−+=

=+−=

∑∑∑

lFlAM

FBAF

FBF

y

yyyi

xxi

N.500

N,1100N,500

2

1

2

−=−=⇒

=−=⇒==⇒

FA

AFBFB

y

yy

x

Každý styčník v prútovej sústave má tri prúty. Na výpočet osových síl v prútovej sústave je potrebné použiť priesečnú metódu. Myslený rez je vedený cez prúty 1, 4, 11 (obr. B). Účinky rozrezaných prútov sú nahradené osovými silami, pričom orientácia síl je zvolená ľubovoľne. Pre ľubovoľne zvolenú uvoľnenú časť sú zostavené rovnice rovnováhy (napr. pre pravú časť), z ktorých sú vypočítané osové sily v rozrezaných prútoch, t.j.

0αsincosα:0

0cosα:0

0αsin:0

424311B

41

1141

=++=

=−−=

=−−−−=

∑∑∑

NNlNM

NFBF

NNNBF

ll

yyi

xxi

N,67,666N,03,1118N,33,833

11

4

1

−=⇒=⇒

−=⇒

NNN

kde °=⇒==−

43,63α2tgα32

3ll

l.

Ďalej sú postupne uvoľňované jednotlivé styčníky tak, aby boli v každom uzle maximálne dve neznáme osové sily. Pre každý takýto styčník sú zostavené rovnice rovnováhy. Pri nahrádzaní prútov osovými silami musí byť dodržané, že v protiľahlých styčníkoch toho istého prúta platí princíp akcie a reakcie. Riešenie jednotlivých styčníkov (v poradí riešiteľnosti), rovnice rovnováhy a veľkosť osových síl sa nachádza v tabuľke 1.10. Tabuľka 1.10

Styčník Uvoľnenie Rovnice rovnováhy Osové sily

B

o3,56

23tg

0sin:0

0cos:0

3

2

37

31

=β⇒==β

=β++=

=β−−−=

∑∑

l

l

yyi

xxi

NNBF

NNBF N3 = 600,93 N

N7 = −1600 N

C

o69,3332

0sin:0

2

3

1011

=γ⇒==γ

=γ−−=∑

l

l

xi

tg

NNF

N10 = 1201,85 N

D o451

0sin:0

0cos:0

3

3

98

9112

=δ⇒==δ

=δ+−=

=δ++=

∑∑

l

l

yi

xi

tg

NNF

NNFF

N8 = − 166,67 N N9 = 235,70 N

x

y

Bx

By

N7

N1

β N3

x

y

N10

N11 N7

F1 γ

xy

F2

N8

N11

N9

δ

58

A

°=⇒==

=δ+++=

=+δ+=

∑∑

56,26εtgε

0sinεcos:0

0sinεcos:0

21

268

621

323l

l

NNNAF

NNNF

yyi

xi

N2 = 1414,21 N N6 = −372,68 N

E

0coscos:0 569 =−ε−δ=∑ NNNFyi N5 = 500 N

Vo všetkých prútoch v uvoľňovaných styčníkoch bolo predpokladané ťahové namáhanie. V prípade, že výpočtom bolo pre osovú silu vypočítané kladné znamienko, pôsobí v danom prúte ťah. V prípade záporného znamienka pôsobí v prúte tlak. Na základe výpočtov sú ťahom namáhané prúty: 2, 3, 4, 5, 10. Tlakom sú namáhané prúty: 1, 6, 7, 8, 11. Príklad 1.47

Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3: - posúďte statickú určitosť danej prútovej sústavy, - vypočítajte vonkajšie väzbové reakcie, - styčníkovou metódou vypočítajte sily v prútoch 1÷9.

Dané: a = 2 m; b = 3 m; F1 = 3 kN; F2 = 4 kN; F3 = 2 kN

Výsledok: Ax = 6 kN ( ); Ay = 2,58 kN ( ); Cy = 5,58 kN ( ); veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na ťah: N1 = 4,06 kN; N2 = 4,19 kN; N3 = 3,23 kN; N4 = 0,10 kN; N8 = 3,33 kN veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na tlak: N5 = 0,10 kN; N6 = 6,98 kN; N7 = 2,13 kN; N9 = 3,33 kN

Príklad 1.48

Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3:- posúďte statickú určitosť prútovej sústavy, - vypočítajte vonkajšie väzbové reakcie, - priesečnou metódou vypočítajte sily v prú- toch 2, 3,4.

Dané: a = 0,3 m; b = 0,7 m; β = 30°; F1 = 3,5 kN; F2 = 5 kN; F3 = 5,5 kN

Výsledok: Ax = 2,25 kN ( ); Ay = 0,20 kN ( ); Ey = 8,07 kN ( ); veľkosť osovej sily v prúte namáhaného na ťah: N4 = 0,25 kN; veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na tlak: N2 = 2,25 kN; N3 = 0,25 kN

b b

a

β

A

F2

F1

F3B D

C

EG

a

b b

a

a

A

F2

F1

F3

B

D

C

E

G

x

y

N5 N6

N9 δ

ε

x

y

N2 N8 δ

Ay N1

N6

ε

59

1.7 PASÍVNE ODPORY

V predchádzajúcich kapitolách boli uvažované ideálne väzby, čiže väzby s dokonale hladkými dotykovými plochami. V takých prípadoch pôsobili väzbové reakcie iba v smere normály k dotykovým plochám. V skutočnosti väzby hmotných objektov nemajú dokonale hladký povrch a v miestach dotyku vznikajú lokálne deformácie. V mieste dotyku vznikajú trecie sily, ktoré spôsobujú odklon nositeľky výslednej reakcie od normály k dotykovej ploche vzájomne pôsobiacich telies. Trecie sily pôsobia vždy proti smeru relatívnej rýchlosti pohybujúcich sa telies. Súhrnne sú tieto silové účinky nazývané pasívne odpory.

1.7.1 Šmykové trenie pri posuvnom pohybe Dotyková väzba odoberá jeden stupeň voľnosti aj v reálnych väzbách. Nahrádzame ju však dvoma väzbovými reakciami: normálovou (Fn) a trecou (Ft). Veľkosť normálovej reakcie je vypočítaná z rovníc rovnováhy uvoľneného hmotného objektu. Veľkosť trecej sily je určená na základe tzv. Coulombových vzťahov:

• pri relatívnom pohybe nt FfF = , kde f je faktor šmykového trenia, • pri relatívnom pokoji nT FfF 00 = , kde f0 je faktor adhézie, FT0 je adhézna trecia sila.

Pre veľkosť trecej sily v prípade suchého trenia platí, že trecia sila nezávisí od celkovej plochy spoločného dotyku telies. Platí, že faktor adhézie je väčší ako faktor šmykového trenia. Pri výpočtoch možno orientačne uvažovať f0 = (1,1 ÷ 1,8) f.

Obr. 1.12

a) pohybujúci sa hmotný objekt s uvažovaním trenia v dotykovej ploche b) uvoľnený hmotný objekt

Príklad 1.49 Vypočítajte veľkosť sily F potrebnej na posunutie homogénnej tyče s hmotnosťou m, dĺžky l. Tyč je opretá o stenu vysokú 1,8 m. Koniec tyče (bod A) je vo vzdialenosti d od zvislej steny. Faktor šmykového trenia f medzi tyčou, stenou a vodorovnou rovinou je rovnaký. Dané: m = 40 kg; l = 3,6 m; h = 1,8 m; d = 2,4 m; f = 0,6

A

B

h

v

F FnA FtA x

y

FnB

FtB

Gl/2

0 d α

l/2

G

Fn

Ft

Fv tg ϕ = f = Ft/Fn

b)

ϕ

v = konšt.

f

n a)

A

B

h l

F d

60

V bodoch A, B sú dotykové väzby odoberajúce po jednom stupni voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v rovine je vypočítaná pomocou vzťahu

1)0.30.22.1(333

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy je možné okrem väzbových reakcií vypočítať aj jeden prídavný parameter - veľkosť sily F. Po uvoľnení tyče sú väzby odstránené a nahradené reakciami. Keďže sú predpokladané reálne väzby, okrem normálových reakcií je potrebné uvažovať aj trecie sily pôsobiace v dotykovej ploche, pričom ich orientácia je proti relatívnemu pohybu. Z geometrických parametrov sú vypočítané doplňujúce údaje potrebné k výpočtu:

• uhol α, ktorý zviera tyč s vodorovnou rovinou: °==α 87,36arctg dh ,

• veľkosť dĺžky v opretého úseku medzi bodmi A, B: m322 =+= dhv . V zvolenom súradnicovom systéme sú zostavené rovnice rovnováhy

.cos:

,sincos:

,cossin:

00

00

00

2 =−α=

=α−α+−=

=α+α++−=

∑∑∑

vFGM

FFGFF

FFFFF

nBl

A

tBnBnAyi

tBnBtAxi

(c)(b)(a)

Rovnice rovnováhy sú doplnené vzťahmi pre trecie sily

.,

nBtB

nAtA

FfFFfF

==

)e()d(

Riešime sústavu piatich rovníc o piatich neznámych: F, FnA, FtA, FnB, FtB.

Z rovnice (c): FnB = 188,35 N , potom z rovnice (e): FtB = 113,01 N.

Z rovnice (b): FnA = 309,53 N a z rovnice (d) FtA = 185,72 N. Nakoniec z rovnice (a) určíme veľkosť sily potrebnej na posuv tyče: F = 389,14 N.

1.7.2 Šmykové trenie rotujúcich telies

Proti zmyslu otáčania čapov uložených v ložiskách vzniká v dotykových plochách medzi čapom a ložiskom trenie - odpor voči otáčaniu, tzv. čapové trenie. Veľkosť odporových síl možno vyjadriť trecím momentom, resp. momentom čapového trenia. Podľa smeru zaťaženia rotujúceho telesa a jeho uloženia sa čapy rozdeľujú na axiálne (zaťaženie pôsobí v smere osi čapu) a radiálne (zaťaženie pôsobí v smere kolmo na os čapu).

Moment čapového trenia pre radiálny čap:

QfrM ččt = , (1.29)

kde rč je polomer čapu, fč je faktor čapového trenia (fč = sin ϕ), Q je veľkosť zaťažujúcej sily.

Moment čapového trenia pre axiálny nezabehaný čap s dotykovou plochou v tvare medzikružia:

61

21

22

31

32

21

22

31

32

32

rrrrQf

rrrrQfM čt

−

−=

−

−= , (1.30)

kde r1, r2 sú polomery medzikružia, f je faktor šmykového trenia , Q je veľkosť zaťažujúcej sily a ffč 3

2= je faktor čapového trenia.

Moment čapového trenia pre axiálny zabehaný čap s dotykovou plochou v tvare medzikružia:

)()(21

2121 rrQfrrQfM čt +=+= , (1.31)

kde r1, r2 sú polomery medzikružia, f je faktor šmykového trenia a pre faktor čapového trenia platí ffč 2

1= .

Obr. 1.13

Rovinný rotačný kĺb - radiálny čap (odoberá dva stupne voľnosti pohybu pre dokonale hladké aj reálne väzby).

a) zobrazenie; b) uvoľnený hmotný objekt pri uvažovaní hladkých dotykových plôch; c) uvoľnený hmotný objekt pri uvažovaní trenia, Mt = rč fčQ, kde 22

yx RRRQ +== Príklad 1.50 Vypočítajte minimálnu veľkosť sily F potrebnej pre rotačný pohyb páky okolo čapu A v smere hodinových ručičiek s uvažovaním čapového trenia. Páku uvažujte nehmotnú. Dané: G = 103 N; a = 1 m; b = 2 m; rč = 10 mm; fč = 0,1

Obr. A Radiálny čap (rovinný rotačný kĺb) odoberá dva stupne voľnosti pohybu. Statická určitosť je vyjadrená pomocou vzťahu

1)0.31.20.1(333

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy okrem väzbových reakcií je vypočítaná aj veľkosť sily F, potrebná pre rovnomerný pohyb páky. Pri uvažovaní čapového trenia v dotykovej ploche medzi čapom a pákou je potrebné uvažovať aj trecí moment Mt (obr. A). Rovnovážne rovnice pre uvoľnenú páku

G

F

b a Ry

Rx

Mt

Rx

RyR

Rx

RyR

pohyb

Mt

a) b) c)

G

F

a b

rč

A

62

.0:0

,0:0

,0:0

=−+=

=−−=

==

∑∑∑

FbGaMM

FGRF

RF

tA

yyi

xxi

(c)(b)(a)

Zaťaženie čapu je v smere kolmom na jeho os, t.j. je uvažovaný radiálny čap a pre moment čapového trenia podľa vzťahu (1.29) možno písať

yččt RfrM = . (d)

Z uvedených rovníc sú vypočítané:

Ry = 1500,75 N; Mt = 1,435 Nm; F = 500,75 N.

1.7.3 Pásové trenie

Vzniká pri šmýkaní vlákien (oceľových pásov, lán, remeňov, reťazí) po povrchu telies s drsnou valcovou plochou. Vlákna sú uvažované ako dokonale ohybné a osové sily, vo vláknach pôsobia (pripájajú sa alebo odpájajú) v smere dotyčnice k danej valcovej ploche. Závislosť medzi veľkosťami síl N1, N2 na koncoch vlákna je daná Eulerovým vzťahom:

α21

feNN = , (1.32)

kde N1 je veľkosť ťahovej hnacej sily, N2 je veľkosť ťahovej hnanej sily, f je faktor šmykového trenia, α je uhol opásania kolesa alebo valca vláknom.

Obr. 1.14

Vlákno odoberá jeden stupeň voľnosti pohybu pri hladkých aj reálnych väzbách, pričom platí • N 1 = N 2 pri uvažovaní dokonale hladkých povrchov, • N 1 ≠ N 2 pri uvažovaní drsných povrchov (N1> N2 pre naznačený smer pohybu vlákna).

N2

α

N1

63

Príklad 1.51 Lano je ovinuté okolo pevnej tyče podľa obrázka. Na jednom konci lana je zavesené závažie neznámej hmotnosti m a na druhý koniec lana pôsobí sila F. Na zdvíhanie bremena smerom hore je potrebné pôsobiť na lano minimálnou silou o veľkosti F = 3 kN. Pri pôsobení sily o veľkosti F = 0,48 kN sa bremeno začína spúšťať smerom dole. Vypočítajte:

1. hmotnosť m zaveseného bremena, 2. faktor šmykového trenia medzi lanom a tyčou, ak veľkosť minimálnej sily pre zdvíhanie bremena je F = 5 mg.

uhol opásania α = 5π/2

1. Výpočet hmotnosti zaveseného bremena:

Sila v lane v mieste upevnenia bremena sa rovná tiažovej sile: G = mg. Veľkosť sily F je rôzna podľa smeru pohybu lana po tyči. • Pre zdvíhanie bremena F > G a platí

α= feGF , (a)

α= femg3000 . (b)

• Pre spúšťanie bremena F < G a platí

α= feFG , (c)

α= femg 480 . (d)

Elimináciou αfe v rovniach (b), (d) dostaneme:

kg3,122480.300081,91

4803000

==⇒==α mmgmg

e f .

2. Výpočet faktora šmykového trenia pre zdvíhanie bremena silou F = 5 mg:

Použitím rovnice (a), dosadením za F platí

2049,0609,15ln5ln5525 =

π=

α=⇒=α⇒=⇒= αα ffeemgmg ff .

Faktor šmykového trenia medzi lanom a tyčou je 20,=&f .

1.7.4 Valivý odpor

Pri valivom pohybe telies po podložke vzniká odpor voči valeniu, ktorý tiež pôsobí proti pohybu. Odpor valenia vzniká v dôsledku toho, že teleso a podložka nie sú dokonale tuhé a pri vzájomnom dotyku sa deformujú. Veľkosť valivého odporu závisí od kontaktných materiálov, kvality povrchu telesa a podložky, polomeru telesa, ktoré sa valí a od veľkosti

zdvíhanie bremena

F

α pohyb

G

spúšťanie bremena

α pohyb

F

G

F

64

zaťažujúcej sily. Proti valivému pohybu telesa pôsobí tzv. moment valenia, ktorý je možné vyjadriť vzťahom

eFM nv = , (1.33)

kde e [mm] je rameno valivého odporu. Valivá väzba odoberá dva stupne voľnosti pohybu (obr.1.15a). V dotykovej ploche medzi telesom a podložkou pôsobí trecia sila. Pri uvoľňovaní telesa je valivá väzba nahrádzaná dvoma väzbovými reakciami Ft a Fn, pričom normálová reakcia Fn je posunutá v smere pohybu o rameno valivého odporu e (obr. 1.15b) alebo reakciami Ft a Fn, pričom odpor voči otáčaniu musí byť zohľadnený momentom Mv (obr. 1.15c). Pre valivý pohyb telesa musí trecia sila spĺňať podmienku

nt fFF ≤ . (1.34)

Obr. 1.15

Príklad 1.52 Valec, na ktorý pôsobí tiažová sila G, sa valí po naklonenej rovine vplyvom pôsobiacej sily F tak, že stred valca má konštantnú rýchlosť v. Vypočítajte veľkosť sily a skontrolujte, či nedochádza k prešmykovaniu valca po naklonenej rovine.

Dané: f = 0,2; e = 4 mm; r1 = 0,2 m; r2 = 0,3 m; G = 100 N; α =15°

Valivá väzba odoberá v rovine dva stupne voľnosti pohybu. Pre určenie statickej určitosti valca valiaceho sa po naklonenej rovine platí vzťah

1)0.31.20.1(333

1=++−=−= ∑

=jjjrn .

Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy okrem väzbových reakcií je možné vypočítať aj veľkosť sily F, potrebnej pre rovnomerný pohyb valca po naklonenej rovine. Pri uvažovaní odporu voči valeniu je nositeľka normálovej reakcie posunutá v smere pohybu o rameno valivého odporu e. Rovnice rovnováhy pre uvoľnený valec (x-ová os súradnicového systému je zvolená v smere rovnobežnom s naklonenou rovinou a y-ová os má smer kolmý na naklonenú rovinu).

α α

F

S

G

Ft Fn

e

x

y α

α

F

v

r1

r2

G

pohyb r

a)

r

c) Fn Ft

Mv r

b) Fn

Ft

e

65

.:

,αcosαsin:

,αsinαcos:

S 00

00

00

12 =++−=

=−+−=

=−+=

∑∑∑

eFrFrFM

GFFF

GFFF

nt

nyi

txi

(c)(b)(a)

Z rovníc (a), (b) sú vyjadrené veľkosti reakcií

α.cosαsinα,cosαsin

GFFFGF

n

t

+=−=

a následne sú dosadené do rovnice (c), odkiaľ je vypočítaná veľkosť sily F, ktorou musíme pôsobiť na valec na dosiahnutie jeho rovnomerného pohybu po naklonenej rovine

N,)esinααcos(

α)coseαsin( 31112

1 =−+

+=

rrrGF .

Pre valivý pohyb bez prešmykovania musí byť splnená podmienka (1.34), t.j. musí platiť

nt fFF ≤ ,

N,,,N, 9195299209714 =⋅=≤= nt fFF .

Keďže uvedená nerovnica je splnená, nedochádza k prešmykovaniu valca po naklonenej rovine, ale len k valivému pohybu. 1.7.5 Sústavy telies s uvažovaním pasívnych odporov

Uvažovanie pasívnych odporov v sústavách telies je vzťahované k pohyblivým sústavám telies. Pre rovnováhu danej sústavy telies je uvažovaný rovnomerný pohyb a je potrebné vyjadriť veľkosť niektorého prídavného parametra na dosiahnutie rovnovážnej polohy. Metodika riešenia statickej rovnováhy sústav telies s uvažovaním pasívnych odporov je zhodná s riešením sústav telies s ideálnymi väzbami. Rozdiel v riešení je v tom, že je potrebné uvažovať reálne väzby, ktoré sú nahradené príslušnými reakciami. K rovniciam rovnováhy, ktoré sú zostavené pre uvoľnené telesá, je potrebné zostaviť ďalšie doplnkové rovnice, ktoré zohľadňujú príslušný druh pasívneho odporu vyskytujúceho sa v sústave. Vzťah na posúdenie statickej určitosti je zhodný so vzťahom pre sústavy telies s ideálnymi väzbami (1.26).

66

Príklad 1.53 Páková brzda slúži na rovnomerné spúšťanie bremena hmotnosti m. Vypočítajte akou silou je potrebné pôsobiť na jednoramennú páku na dosiahnutie rovnomerného pohybu bremena. Čapové trenie neuvažujte. Dané: f = 0,4; m = 40,77 kg; a = 0,22 m; b = 0,06 m; l = 0,68 m; r1 = 0,2 m; r2 = 0,12 m

Sústava telies sa skladá z páky , brzdového kotúča a základného rámu . Bremeno s hmotnosťou m predstavuje zaťažujúcu silu pôsobiacu na obvode kotúča . Vonkajšie väzby v bodoch A, C sú rovinné rotačné kĺby odoberajúce po dva stupne voľnosti pohybu. Vnútorná väzba medzi telesami v bode B je dotyková väzba, ktorá odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu, aj keď tu uvažujeme šmykové trenie. Posúdenie statickej určitosti riešenej sústavy telies

1)2211()13(3)1(33

1=⋅+⋅−−=⋅−−= ∑

=jjrjtn .

Úloha je jedenkrát staticky preurčená. To znamená, že pre rovnováhu je potrebné z rovníc rovnováhy vypočítať jeden prídavný parameter z vonkajšieho zaťaženia. V tomto prípade ide o veľkosť sily F, ktorú je potrebné určiť na dosiahnutie požadovaného stavu. Jednotlivé telesá sú uvoľnené a pre každé z nich sú zostavené príslušné rovnice rovnováhy.

Rovnice rovnováhy pre teleso :

.0:0

,0:0

,0:0

3232A

32

32

=+−−=

=−−=

=+−=

∑∑∑

bFaFFlM

FFAF

FAF

tn

nyyi

txxi

(a)

Rovnice rovnováhy pre teleso :

.0:0

,0:0

,0:0

2231C

23

23

=+−=

=+−=

=−=

∑∑∑

rFGrM

FGCF

FCF

t

nyyi

txxi

(b)

Ax

F

b

Ay

Ft32 Fn32

G = mg

Fn23 Ft23

Cx

Cy G

A

Fa

l

b

r1

m

pohyb C

r2

B

67

Pre princíp akcie a reakcie vo vnútornej väzbe platí ., 32233223 nntt FFFF == )c(

Pre príslušný pasívny odpor - šmykové trenie je použitý vzťah

2323 nt fFF = . (d)

Riešením sústavy 9-tich rovníc (a)-(e) sú vypočítané hodnoty 9-tich neznámych.

[ ][ ] (N)5,12666,6666,6665,16666,6665,16663,4801,11866,666

(N)T

23233232T

−−=

=

x

x yxtntnyx CCFFFFFAA

Sila F vzhľadom na záporné znamienko získané výpočtom musí pôsobiť opačne. Príklad 1.54

Na naklonenej rovine je položený blok s hmotnosťou m, ktorý je ťahaný lanom preveseným cez nehmotnú hladkú kladku, na ktorom visí bremeno s hmotnosťou m0. Faktor šmykového trenia medzi blokom a naklonenou rovinou je f. Pasívne odpory v uložení kladky neuvažujte. Vypočítajte veľkosť hmotnosti m0 tak, aby bol blok v rovnováhe na naklonenej rovine. Dané: m = 100 kg; f = 0,3; α = 20° Výsledok: m0 = 62,39 kg

Príklad 1.55

Pri rovnomernom zdvíhaní bremena hmotnosti m1 je potrebné pôsobiť na čap bubna momentom M. Vypočítajte faktor čapového trenia v klznom ložisku - radiálny čap. Hmotnosť bubna je m.

Dané: m1 = 500 kg; m = 100 kg; M = 1510 Nm; R = 300 mm; rč = 25 mm

Výsledok:

fč = 0,262

m1

M

R

rč

m

α f

m

m0

68

Príklad 1.56 Vypočítajte veľkosť sily F, pôsobiacej na teleso sústavy telies tak, aby sa pohybovala rovnomerne smerom doprava. Tiažová silapôsobiaca na valec je G2, tiažová sila pôsobiaca na nosník je G3. Pri výpočte uvažujte faktor čapového trenia fč, rameno valivého odporu je e, faktor šmykového trenia medzi nosníkom a podložkou f. Poloha sústavy je daná vzdialenosťou a.

Dané: G2 = 200 N; G3 = 300 N; fč = 0,2; f = 0,3; e = 4 mm; a = 300 mm; r = 200 mm; rč = 20 mm; l = 500 mm; h = 50 mm

Výsledok: F = 67,97 N

T

G3 G2

a

l l

r

A

B

F

pohyb

rč h

69

2 KINEMATIKA

2.1 KINEMATIKA BODU

Spojitý sled polôh, ktoré tvorí bod pohybujúci sa v priestore, sa nazýva trajektória. Dráha bodu je veľkosť úseku trajektórie, ktorú bod prešiel za určitý časový interval. Pohyb bodu je definovaný funkciou argumentu času, tzv. polohovým vektorom r

)(trr = . (2.1)

Rýchlosť bodu v danom časovom okamihu v je daná vzťahom

rrv &==dtd . (2.2)

Rýchlosť charakterizuje časovú zmenu polohového vektora. Je to vektorová veličina, ktorá leží na dotyčnici k trajektórii v danom časovom okamihu a je orientovaná v smere pohybu. Jednotkou rýchlosti je ms-1. Rýchlosť bodu sa pri jeho pohybe mení čo do veľkosti aj smeru. Zmena rýchlosti je definovaná zrýchlením. Zrýchlenie bodu v danom časovom okamihu a je dané vzťahom

rvva &&& ===dtd . (2.3)

Jednotkou zrýchlenia je ms-2.

2.1.1 Pohyb bodu v karteziánskej súradnicovej sústave

Poloha bodu v karteziánskej súradnicovej sústave je určená polohovým vektorom

kjikjir )()()()( tztytxzyxt ++=++= , (2.4)

kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) sú parametrické rovnice definujúce polohu bodu a i, j, k sú jednotkové vektory. Vektor rýchlosti pohybu bodu

kjikjikjirv zyx vvvzyxdtdz

dtdy

dtdx

dtd

++=++=++== &&& , (2.5)

kde vx ,vy, vz sú zložky rýchlosti v smere osi x, y, z. Veľkosť rýchlosti

222zyx vvvv ++== v . (2.6)

Vektor zrýchlenia bodu

kjikjikjiva zyxzyx aaazyxvvvdtd

++=++=++== &&&&&&&&& , (2.7)

kde ax ,ay, az sú zložky zrýchlenia v smere osi x, y, z. Veľkosť zrýchlenia

222zyx aaaa ++== a . (2.8)

70

Pohyb bodu v rovine Ak sa bod pohybuje iba v rovine x, y, z toho vyplýva, že všetky z-tové zložky kinematických veličín v predchádzajúcich vzťahoch sú nulové, t.j. platí

0,0,0 === zz avz .

2.1.2 Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave

Vo valcových súradniciach je pohyb bodu daný parametrickými súradnicami

).(),(),( tzztt =ϕ=ϕρ=ρ (2.9)

Transformačné vzťahy medzi valcovými a karteziánskymi súradnicami

.,sin,cos zzyx =ϕρ=ϕρ= (2.10)

Obr. 2.1 Obr. 2.2

Polohový vektor bodu vo valcovom súradnicovom systéme je daný zzkir +ρ= ρ . (2.11)

Vektor rýchlosti bodu

zzzz vvvzdtdz

dtd

dtd kjikjik

iiv ++=+ϕρ+ρ=+ρ+

ρ= ϕϕρρϕρ

ρρ &&& , (2.12)

kde platí ϕρ ϕ=ϕϕ+ϕϕ−= jji

i&&& )(cos)sin(

dtd

.

Pre veľkosť rýchlosti platí

222222 )()()( zvvvv z &&& +ϕρ+ρ=++== ϕρv (2.13)


,)2()( 2

zzz

z

aaazdtzd

dtd

dtd

dtd

dtd

kjikji

kj

jji

ia

++=+ϕρ+ϕρ+ϕρ−ρ=

+ϕρ+ϕ

ρ+ϕρ+ρ+ρ

=

ϕϕρρϕρ

ϕϕϕ

ρρ

&&&&&&&&

&&

&&&&

&

(2.14)

kde ρϕ ϕ−=ϕϕ−+ϕϕ−= iji

j&&& )sin()cos(

dtd

,

- radiálna zložka zrýchlenia ρρ ϕρ−ρ= ia )( 2&&& , (2.15) - transverzálna zložka zrýchlenia ϕϕ ϕρ+ϕρ= ja )( &&&&2 . (2.16)

x y

z

z(t)

ρ(t) ϕ(t)

r

L

iρ

jϕ kz = k

i j

kkjij

jii

=

ϕ+ϕ−=

ϕ+ϕ=

ϕ

ρ

z

cossin

sincos

i

j

iρ jϕ

ϕ ϕ

71

Pre veľkosť zrýchlenia platí

222zaaaa ++== ϕρa . (2.17)

Ak sa 0=z , 0=zv , 0=za hovoríme o polárnom súradnicovom systéme s jednotkovými vektormi iρ , jϕ (obr. 2.2). Polárne súradnice sú špeciálnym prípadom valcových súradníc. 2.1.3 Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave

Začiatok tejto súradnicovej sústavy je pevne spojený s bodom pohybujúcim sa po krivke, jeho poloha sa s časom mení. V každej polohe bodu je možné zostrojiť dotyčnicu (t), normálu (n) a binormálu (b). Tieto priamky tvoria osi prirodzenej súradnicovej sústavy a zároveň tvoria tzv sprievodný trojhran priestorovej krivky s jednotkovými vektormi bnt kji ,, (obr. 2.3).

Obr. 2.3

Pohyb bodu je určený rovnicou

),(resp.)( st rrrr == )(kde tss = .

Rýchlosť bodu

tt sv iiv &== , (2.21)

kde dsd

tri = je jednotkový tangenciálny vektor. (2.22)

Zrýchlenie bodu

nnttntt

t aaRvv

dtd

vdtdv

dtd jijiiiva +=+=+==

0

2& , (2.23)

kde R0 je polomer krivosti dráhy bodu,

KnKj = - jednotkový normálový vektor, (2.24)

dsd tiK = - vektor flexnej krivosti,

23

23

])(1[)(

12220 y

y

yx

xyyxR

K′+

′′=

+

−==

&&

&&&&&& - flexná krivosť rovinnej krivky, (2.25)

dxdyy =′ , 2

2

dxydy =′′ - prvá a druhá derivácia podľa súradnice x,

it

jn

i

j

k x

y

z

kb t

n

b

s r

v at

an a

72

vat &= - tangenciálna zložka zrýchlenia,

0

2

Rvan = - normálová zložka zrýchlenia.

Veľkosť výsledného zrýchlenia

22nt aaa +== a . (2.26)

Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje zmenu veľkosti rýchlosti a normálové zrýchlenie charakterizuje zmenu smeru rýchlosti. Pohyb bodu sa odohráva v rovine tvorenej dotyčnicou a normálou, v tzv. oskulačnej rovine. Zložka zrýchlenia v smere binormály je vždy nulová ab = 0. Jednotkové vektory bnt kji ,, (vektory sprievodného trojhranu priestorovej krivky) tvoria pravouhlý pravotočivý systém - súradnicový systém, preto platí ntb jik ×= , bnt kji ×= , tbn ikj ×= . (2.27)

Pohyb bodu po priamke Ak je traktóriou bodu priamka, hovoríme o priamočiarom pohybe. Pohyb bodu je určený rovnicou )(ts = (obr. 2.4). Pre pohyb bodu po priamke musí platiť: .konšt=ti Bod má len zrýchlenie tangenciálne, normálové zrýchlenie je vždy nulové, smer rýchlosti sa nemení

Obr. 2.4

a) Pri rovnomernom pohybe konšt.=v a 0==dtdva .

Veľkosť dráhy prejdenú bodom po priamke určíme integráciou rýchlosti v (pri uvažovaní začiatočných podmienok: t = 0, s = s0: 0svts += .

b) Pri rovnomerne zrýchlenom (spomalenom) pohybe konšt.== taa : - rovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - rovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a. Veľkosť rýchlosti bodu určíme integráciou tangenciálneho zrýchlenia at )( vat &= , an = 0 (pri uvažovaní začiatočných podmienok: t = 0, at = a = konšt., v = v0, s = s0: 0vatv += .

Veľkosť dráhy prejdenú bodom určíme integráciou rýchlosti v )( sv &= : 002

21 stvats ++= .

c) Všeobecný pohyb bodu po priamke nastáva, ak: )(ttaa = - nerovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - nerovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.

Pohyb bodu po krivke Ak je traktóriou bodu krivka, hovoríme o krivočiarom pohybe. Pohyb bodu je určený rovnicou )(tss = . Pre pohyb bodu po krivke musí platiť: .konšt≠ti

a) Pri rovnomernom pohybe konšt.v = a 0,00

2≠===

Rvava nt&

& .

b) Pri rovnomerne zrýchlenom (spomalenom) pohybe 0konšt., ≠= nt aa : - rovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - rovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.

0

L

s

it

73

c) Všeobecný pohyb bodu po krivke nastáva, ak: 0),( ≠= ntt ataa : - nerovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - nerovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.

Pohyb bodu po kružnici Pohyb bodu po kružnici (obr. 2.5a) je určený pohybom jeho sprievodiča )(tϕϕ = a možno ho skúmať rôznymi spôsobmi. a) V karteziánskych súradniciach je opísaný rovnicou jir yx += , (2.28)

kde ϕ=ϕ= sin,cos ryrx . (2.29)

a)

b)

Obr. 2.5

Vektor rýchlosti bodu

jirv ϕϕϕϕ cossin &&& rr +−== . (2.30)

Veľkosť rýchlosti

ϕ=ϕϕ+ϕϕ−= &&& rrrv 22 )cos()sin( . (2.31)


jijia )sincos()cossin( 22 ϕϕ−ϕϕ+ϕϕ+ϕϕ−=+= &&&&&&&&&& rryx . (2.32)

Veľkosť zrýchlenia

422222 )sincos()cossin( ϕ+ϕ=ϕϕ−ϕϕ+ϕϕ−ϕϕ−= &&&&&&&&& rrrrra . (2.33)

Trajektória bodu je určená z rovníc pohybu x, y (2.29)

2222

2

2

2

22

1

sin

cos

1)(sin)(cos

ryxry

rx

ryrx

=+⇒=+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=ϕ

=ϕ

=ϕ+ϕ

, (2.34)

t.j. rovnica kružnice s polomerom r a stredom v začiatku súradnicového systému.

b) V prirodzených súradniciach je pohyb bodu daný dráhou prejdenou po kružnici s

x

t

r

L

v

s

n

at

an

a

0x

y

r ϕ

L(x, y)

0

74

ϕrs = . (2.35)

Rýchlosť bodu

tviv = a pre veľkosť rýchlosti ϕ&& rsv == . (2.36)

Zrýchlenie bodu

ϕjia ntt aa += , ⇒ 42 ϕ+ϕ= &&&ra (2.37)

kde ϕ&&& rvat == je tangenciálna zložka zrýchlenia, 22

0

2 )(ϕ=

ϕ== &

&r

rr

Rvan je normálová

zložka zrýchlenia, rR =0 je polomer krivosti dráhy, ktorý sa rovná polomeru kružnice.

Príklad 2.1 Os pohybujúcej sa tyče prechádza stále bodom O a bod B ležiaci na tyči sa pohybuje konštantnou rýchlosťou c po priamke p. Určte rovnice pohybu a vyjadrite vektor rýchlosti bodu M .

Dané: c = konšt; l, l0

v čase t = 0 s: B ≡ B0, os tyče ≡ x, sústava je v kľude

Bod M koná krivočiary pohyb v rovine. Nájsť rovnice pohybu znamená určiť v karteziánskom súradnicovom systéme jeho súradnice xM, yM ako funkcie času. Bod B sa pohybuje po priamke p konštantnou rýchlosťou c, pričom pre dráhu prejdenú bodom B možno písať

B0B = s = ct.

V ľubovoľnom čase je z geometrie trojuholníka OB0B vyjadrený uhol ϕ

lct

lct

larctg

BBtg 0 =ϕ⇒==ϕ . (a)

Pre súradnice bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave možno písať

,arctgsinsin

,arctgcoscos

00M

00M

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ϕ+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ϕ+=

lctlctlcty

lctllllx

(b)

kde uhol ϕ je funkciou času (a) a potom polohový vektor bodu M

.arctgsinarctgcos 00MMM jijir ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

lctlct

lctllyx (c)

Vektor rýchlosti bodu M dostaneme deriváciou polohového vektora (c) podľa času

O

B

B0

M

M0

x

y c

l

l0

p

rM

yM ϕ

ϕ xM

ρ

75

.arctgcos)(

arctgsin)(

220220

MMM

ji

jiv

44444 344444 2144444 344444 21

&&

yx vv

lct

ctlcllc

lct

ctlcll

yx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+=

Veľkosť rýchlosti bodu M je možné vyjadriť pomocou vzťahu

22M yx vvv += .

Goniometrické funkcie vo vzťahu (b) možno vyjadriť aj pomocou prepony pravouhlého trojuholníka OB0B

22 )(OB ctl += , (d)

2222 )(

cos;)(

sinctl

l

ctl

ct

+=ϕ

+=ϕ .

Dosadením do vzťahov (b) polohový vektor možno zapísať potom aj v tvare

jir ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++=

220220M)()( ctl

ctlctctl

lll .

Vektor rýchlosti má potom tvar

jiv⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

+−=

32

32

])([])([ 22

20

22

20

Mctl

cllcctl

tlcl .

Polohu bodu M a jeho pohyb je možné určiť aj v polárnom súradnicovom systéme. Súradnice bodu M v polárnom súradnicovom systéme sú

220 )()(ρ ctllt ++=ρ= ,

lctt arctg)( =ϕ=ϕ .

Polohový vektor bodu M v polárnom súradnicovom systéme

ρρ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=ρ= iir 22

0M )(ctll .

Vektor rýchlosti možno vyjadriť

ϕρϕϕρρϕρ

ϕρ

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

++

=+=ϕρ+ρ= jijijiv444 3444 2143421

&&

vv

ctl

ctlllc

ctl

tcvv 22

220

22

2

)(

)(

)(

a jej veľkosť

2222 )()( ϕρ+ρ=+== ϕρ &&vvv v .

76

Príklad 2.2

Po ramene o otáčajúcom sa podľa vzťahu tω=ϕ , kde ω = konšt., sa pohybuje bod M

konštantnou rýchlosťou veľkosti c. Vypočítajte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia bodu M. Na začiatku pohybu bolo rameno vo vodorovnej polohe a bod M sa nachádzal vo vzdialenosti l0 od bodu 0 (M0).

Dané: c = konšt; ω = konšt., l0

1. spôsob riešenia - v karteziánskom súradnicovom systéme (0, x ,y)

Dráha, ktorú bod M prejde konštantnou rýchlosťou je vyjadrená vzťahom

cts == MM0 .

Parametrické rovnice pohybu bodu M majú tvar

.sin)(sin)(,cos)(cos)(

00M

00M

tctlctlytctlctlx

ω+=ϕ+=ω+=ϕ+=

Veľkosti zložiek vektora rýchlosti bodu M

[ ]

[ ].cos)(sin

sin)(

,sin)(coscos)(

00

00

tctltcdtctld

yv

tctltcdt

tctldxv

y

x

ωω++ω=ϕ+

==

ωω+−ω=ω+

==

&

&

Pre celkovú veľkosť rýchlosti bodu M platí

20

2222 )( ctlcvvv yx +ω+=+= .

Veľkosti zložiek vektora zrýchlenia bodu M

,]sin)(cos2[

]cos)(sin[

,]cos)(sin2[]sin)(cos[

20

0

20

0

tctltcdt

tctltcdva

tctltcdt

tctltcdva

yy

xx

ωω+−ωω=ωω++ω

==

ωω++ωω−=ωω+−ω

==

&

&

a pre celkovú veľkosť zrýchlenia bodu M dostaneme

20

2222 )(4 ctlcaaa yx +ω+ω=+= .

2. spôsob riešenia - v polárnej súradnicovej sústave

Parametrické rovnice pohybu bodu M majú tvar:

.

,0

tctl

ω=ϕ+=ρ

0

M

M0 x

y

c l0 yM

ϕ

xM

ρ

o

77

Veľkosti zložiek vektora rýchlosti bodu M

.)(

,

0 ω+=ϕρ=

=ρ=

ϕ

ρ

ctlv

cv&

&

Veľkosť vektora rýchlosti bodu M je potom vyjadrená v tvare

20

222222 )()( ctlcvvv +ω+=ϕρ+ρ=+= ϕρ && .

Veľkosti zložiek vektora zrýchlenia bodu M

.22

,)( 20

2

ω=ϕρ+ϕρ=

ω+−=ϕρ−ρ=

ϕ

ρ

ca

ctla&&&&

&&&

Veľkosť vektora zrýchlenia bodu M

220

222222 4)()2()( cctlaaa ++ωω=ϕρ+ϕρ+ϕρ−ρ=+= ϕρ &&&&&&& .

Príklad 2.3

Bod koná zrýchlený pohyb po krivke tak, že jeho oblúková súradnica vzhľadom na začiatočnú polohu definovanú bodom 0 je s = bekt [m], a to tak, že vektor výsledného zrýchlenia pohybu bodu zviera s vektorom rýchlosti stále konštantný uhol α. Určte veľkosti nasledujúcich kinematických veličín: v(t), v(s), at(t), an(t), a(t), R0 Dané: konštanty b [m] > 0, k [1/s] > 0

Vzhľadom na to, že je definovaná oblúková súradnica polohy bodu, bude teda pohyb bodu skúmaný v prirodzenej súradnicovej sústave. Veľkosť rýchlosti je vyjadrená v tvare

ktebkstv == &)( ,

resp. ako funkcia súradnice s

sksv =)( .

Veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia je

ktt ebkvta 2)( == & .

Vektor výsledného zrýchlenia a je možné rozložiť pomocou kolmých priemetov do smeru dotyčnice a normály dráhy bodu v príslušnom časovom okamihu.

Vzhľadom na to, že nositeľka rýchlosti a tangenciálneho zrýchlenia je totožná priamka, pre veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia potom platí

α

=α

=⇒α=coscos

cos2 kt

tt

ebkaaaa .

Veľkosť normálového zrýchlenia je vyjadrená podobným spôsobom v tvare

α=αα

=α= tgebkebkaa ktkt

n2

2sin

cossin .

0

s

v t n

α a

at

an

78

Polomer krivosti dráhy je určený v tvare

α

=α

==tgtg

)(2

22

0

kt

kt

kt

n

beebkebk

avR .

Príklad 2.4 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. kinematické veličiny ako funkcie času: v, v, a, a, at, an, 2. polomer krivosti trajektórie R0.

Dané: x =ktsin(bt) [m], y = ktcos(bt) [m], k = 1,0 ms−1, b = 1,0 s−1 Polohový vektor bodu M vzhľadom na zadané parametrické rovnice má tvar

jir tttt cossin += . 1. Výpočet požadovaných kinematických veličín:

Polohový vektor jir )cos()sin ( tttt += . Vektor rýchlosti

jirv )sincos()cossin( ttttttdtd

−++== .

Vektor zrýchlenia

jiva )cos2sin()sin2cos( ttttttdtd

−−+−== .

Veľkosti vektorov rýchlosti a zrýchlenia sú získané pomocou vzťahov

.4)cos2sin()sin2cos(

,1)sincos()cossin(

22222

22222

tttttttaaa

tttttttvvv

yx

yx

+=−−+−=+=

+=−++=+=

Pre veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia

2

2

11

t

ttdtd

dtdvvat

+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=== & .

Na základe veľkosti výsledného zrýchlenia a a jeho tangenciálnej zložky zrýchlenia at je možné vyjadriť veľkosť normálovej zložky zrýchlenia an, t.j. platí

2

22222

1

2

t

taaaaaa tnnt+

+=−=⇒+= .

2. Výpočet polomeru krivosti dráhy R0 je určený zo vzťahu pre výpočet normálovej zložky zrýchlenia, t.j. platí

2

2

2

2

22

00

2

2)1(

1

21 2

3

tt

t

tt

avR

Rva

nn

+

+=

+

+

+==⇒= .

79

Príklad 2.5 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. jednotkové vektory sprievodného trojhranu priestorovej krivky ako funkcie času it, jn, kb, 2. polomer krivosti trajektórie R0.

Dané: )(sin tbkx 12

1= [m], )sin( tbky 22= [m], 1k = 1,0 m, 21

2 =k m, 1b = 1,0 s−1, 2b = 2,0 s−1

1. Výpočet jednotkových vektorov sprievodného trojhranu priestorovej krivky:

Polohový vektor bodu M má tvar

jijir )2sin()(sin 212

MMM ttyx +=+= .

Totálny diferenciál polohového vektora je vyjadrený vzťahom

dtttdttttdtdt

dd ])2(cos)2[(sin])2(cos)cossin2[(M

M jijirr +=+== ,

pričom pre jeho veľkosť platí

dtdtttds =+= 22M )2(cos)2(sin .

Pre jednotkový tangenciálny vektor it platí

jijiv

rri tt

tttv

dtdsdt

d

dsd

t 2cos2sin1

)2cos2()cossin2( 21

M

M

M

M

M

M +=+

==== .

Vektor flexnej krivosti je vyjadrený v tvare

ji

iiiK tt

vdtd

dtdsdtd

dsd

ttt 2sin22cos2

MMM−====

a jeho veľkosť

2)2sin2()2cos2( 2222 =−+=+= ttKKK yx m−1.

Pre jednotkový normálový vektor potom platí

jiKj ttKn 2sin2cos −== .

Jednotkový binormálový vektor je vyjadrený z vektorového súčinu

kkji

jik )2cos2sin(02sin2cos02cos2sin 22 tt

ttttntb −−=

−=×= .

2. Polomer krivosti dráhy R0 je možné vypočítať aj z veľkosti vektora flexnej krivosti, t.j.

211

0 ==K

R m.

80

Príklad 2.6 Bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho poloha v čase t je daná vzťahom: txx ω= sin0 [m], kde x0 [m] a ω [rad/s]sú konštanty. Vyjadrite:

1. veľkosť rýchlosti bodu ako funkciu dráhy v(x), 2. veľkosť zrýchlenia bodu ako funkciu dráhy a(x), 3. veľkosť zrýchlenia bodu ako funkciu veľkosti rýchlosti a(v).

1. Výpočet veľkosti rýchlosti ako funkcie dráhy.

0

0 sinsinxxttxx =ω⇒ω= ,

0

0 coscosxvttx

dtdxv

ω=ω⇒ωω== .

Použitím vzťahu 122 =α+α sincos je získaná rovnica

220

2

0

2

0)(1 xxxvv

xx

xv

−ω==⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

,

čo je rovnica elipsy znázornená na obr. A.

2. Výpočet veľkosti zrýchlenia ako funkcie dráhy.

)(sin 20

2 xaxtxdtdva =ω−=ωω−== .

Uvedená rovnica pre a = a(x) predstavuje rovnicu priamky (obr.B).

3. Výpočet veľkosti zrýchlenia ako funkcie rýchlosti.

.coscos

,sinsin

00

020

2

xvttxv

xattxa

ω=ω⇒ωω=

ω−=ω⇒ωω−=

Po dosadení do vzťahu 1sincos 22 =α+α je získaná rovnica

220

22

0

2

02 1 vxa

xv

xa

−ωω=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω,

čo predstavuje rovnicu elipsy (obr. C).

Obr. A Obr. B Obr. C

v

a

0 ωx0

ω2x0

x

a

0

a = − ω2x

x

v

0 x0

ωx0

81

Príklad 2.7 Body K a L sú spojené lanom dĺžky l. Bod K sa pohybuje zo začiatočnej polohy K0, v ktorej mal nulovú rýchlosť, konštantným zrýchlením aK po vodorovnej rovine. Určte dráhu, rýchlosť a zrýchlenie bodu L ako funkciu času t. Jeho začiatočná poloha je daná bodom L0. Dané: aK = konšt; l, h

Výsledok:

htahx −+= 42K

221 4

42K

2

32

4

K

tah

tav

+=

23

K

]4[

)12(

42K

2

2242K

2

tah

tataha

+

+=

Príklad 2.8 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. kinematické veličiny ako funkcie času: v, v, a, a, at, an, 2. polomer krivosti trajektórie R0 .

Dané: 21tkx = [m], )ln(btky 2= [m], 1k = 1,0 ms−2, 2k = 1,0 m, b = 1,0 s−1

Výsledok:

jiv tt 12 += 2124t

tv += jia 212t

−= 414t

a +=

14

1442

4

+

−=

tt

tat 14

44 +

=t

an 2

4

04

)14( 23

ttR +

=

Príklad 2.9 Automobil sa pohybuje po priamočiarej ceste rýchlosťou v0. Jeho spomalenie je dané vzťahom kva −= [ms−2] (k je konštanta [s−1]). Počas spomalenia má zablokované všetky kolesá. Vypočítajte: 1. veľkosť rýchlosti automobilu počas brzdenia ako funkciu času v(t), 2. veľkosť brzdnej dráhy ako funkciu času x(t), 3. veľkosť rýchlosti ako funkciu veľkosti dráhy v(x).

Výsledok:

kxvxvvekv

txxevtvv ktkt −==−==== −−0

00 )()1()()(

h

x

s

K0 K

L0

L

H

aK

82

Príklad 2.10 Vypočítajte jednotkové vektory prirodzeného súradnicového systému, ak je pohyb bodu definovaný polohovým vektorom:

kjir tvtbtb 0sincos +ω+ω= ,

kde ][m.s ,][rad.s ,[m] -1-10vb ω sú konštanty > 0.

Výsledok:

kjik

jij

kjii

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+ω

ω+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

+ω−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

+ω=

ω−ω−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+ω+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

+ω

ω−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

+ω

ω−=

20

2220

220

20

220

20

220

20

2220

22

cossin

sincos

cossin

vb

btvb

vt

vb

v

tt

vb

vt

vb

btvb

b

b

n

t

2.2 KINEMATIKA TUHÉHO TELESA

2.2.1 Posuvný pohyb telesa v rovine

Obr. 2.6

Teleso koná posuvný pohyb (obr.2.6) ak vektor pevne spojený s telesom rBA pri pohybe nemení svoju veľkosť ani smer. Všetky body telesa sa pohybujú po zhodných trajektóriách.

Podľa tvaru trajektórie je posuvný pohyb telesa: • priamočiary - dráhy bodov sú priamky, • krivočiary - dráhy bodov sú krivky.

Pre jednotlivé vektory platí:

konšt.konšt.)(konšt.)(

BA

AA

BB

=≠=≠=

rrrrr

tt

konšt.

konšt.)(

konšt.)(

BABA

AA

BB

==

≠=

≠=

r

tr

tr

rrr

Polohový vektor ľubovoľného bodu B telesa

BAAB rrr += . (2.37)

Rýchlosť bodu B telesa

ABA

AB vrvv

0

=+=321dt

d. (2.38)

Zrýchlenie bodu B telesa

i

j

x

y

krivočiary posuvný pohyb

0

rA

rB

rBA

A

B

rBA

A′

B′

B∗

rBA

A∗

priamočiary posuvný pohyb

83

AB aa = . (2.39)

Všetky body telesa konajúceho posuvný pohyb majú rovnakú rýchlosť a zrýchlenie. Pri posuvnom pohybe telesa stačí skúmať pohyb jeho jediného bodu. 2.2.2 Rotačný pohyb telesa

Teleso koná rotačný pohyb, ak jedna jeho priamka zostáva trvalo v kľude (obr. 2.7a). Táto priamka je stála os rotácie s jednotkovým vektorom e. Všetky body na stálej osi rotácie majú nulovú rýchlosť. Rotačný pohyb telesa je definovaný, ak je známa časová závislosť uhla pootočenia ϕ = ϕ(t), ktorý zviera sprievodič ľubovoľného bodu s pevne zvolenou priamkou p. Časová zmena uhla pootočenia je charakterizovaná uhlovou rýchlosťou

ϕ=ϕ

=ω=ω &dtdt)( [rad/s]. (2.40)

Uhlová rýchlosť je vektorová veličina. Je to vektor viazaný s osou rotácie, t.j. platí eω ω= . (2.41) Časová zmena uhlovej rýchlosti je charakterizovaná uhlovým zrýchlením

ϕ=ϕ

=ω=ω

=ε=ε &&&2

2)(

dtd

dtdt [rad/s2]. (2.42)

Uhlové zrýchlenie je tiež vektorová veličina, t.j. platí eε ε= . (2.43)

a) b) c)

Obr. 2.7

Všetky body telesa sa pohybujú po zhodných trajektóriach (obr. 2.7b), ktoré sú sústrednými kružnicami. Trajektória bodu B je teda kružnica ležiaca v rovine, ktorá je kolmá na os rotácie telesa. Vzdialenosť r ľubovoľného bodu od osi rotácie (bod 0) sa nemení a poloha bodu B je určená polohovým vektorom rBA ( BAr=r ).

Pre jednotlivé vektory platí (obr.2.7c):

konšt.)(

konšt.konšt.)(

BABA

A

BB

≠==

≠=

t

t

rrr

rr

konšt.

konšt.,

konšt.,)(

BABA

AA

BB

==

==

≠=

r

r

tr

rrr

Polohový vektor ľubovoľného bodu B telesa

BAAB rrr += . (2.44)

Rýchlosť pohybu bodu B pri rotačnom pohybe telesa vyjadrená v tvare

A≡0p

ϕ

t

n

vB

aBt

aBnaB

rBA

B

rA

rB

rBA

A

B

0 x

y

x`

y`

ϕ

e

0 ϕ

ω

ε

. p

B

84

{

BABABA

0

ABB rωvrrrv ×==+==

dtd

dtd

dtd ⇒ rv ω== BBv ; )( BAvω⊥ . (2.45)

Zrýchlenie bodu je definované vzťahom

.)(

,)(

BBBABAB

BABABA

BABB

nt

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

aarωωrεa

rωrωrωvva

+=××+×=

×+×=×=== (2.46)

Zrýchlenie je pri rotačnom pohybe telesa rozdelené na dve zložky: • tangenciálne zrýchlenie - leží na dotyčnici k trajektórii bodu B

BAB rεa ×=t ⇒ ra tt ε== BBa ; )( BArε ⊥ , (2.47)

• normálové zrýchlenie - leží na normále k trajektórii bodu B a smeruje do osi rotácie

BABAB )( vωrωωa ×=××=n ⇒ ra nn2

BB ω==a ; )( BAvω ⊥ . (2.48)

Priebeh rotačného pohybu

a) Rovnomerný rotačný pohyb telesa: konšt.=ω , 0ωε == & . Pre začiatočné podmienky: t = 0 s, ϕ = ϕ0 je uhol pootočenia sprievodiča bodu telesa: 0ϕωϕ += t .

b) Rovnomerne zrýchlený (spomalený) rotačný pohyb telesa: konšt.=ε : - rovnomerne zrýchlený rotačný pohyb: sgn ω = sgn ε, - rovnomerne spomalený rotačný pohyb: sgn ω ≠ sgn ε. Pre začiatočné podmienky - t = 0 s, ω(0) = ω0, ϕ(0) = ϕ 0: - uhlová rýchlosť: 0)( ω+ε=ω=ω tt ,

- uhol pootočenia: 002

21 ϕωεϕ ++= tt .

c) Všeobecný rotačný pohyb telesa: .konšt)( ≠= tεε : - nerovnomerne zrýchlený rotačný pohyb: sgn ω = sgn ε, - nerovnomerne spomalený rotačný pohyb: sgn ω ≠ sgn ε.

85

2.2.3 Všeobecný pohyb telesa v rovine

Všeobecný pohyb telesa v rovine je možné rozdeliť na translačný pohyb, charakterizovaný pobybom referenčného bodu - bod A (obr. 2.8) a rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie, ktorá prechádza referenčným bodom.

a)

b)

Obr. 2.8

Pre jednotlivé vektory platí:

konšt.)(konšt.)(konšt.)(

BABA

AA

BB

≠=≠=≠=

ttt

rrrrrr

konšt.

konšt.,)(

konšt.,)(

BABA

AA

BB

==

≠=

≠=

r

tr

tr

rrr

Polohový vektor bodu B je vyjadrený v tvare .BAAB rrr += (2.49) Rýchlosť a zrýchlenie bodu B telesa (obr. 2.9) sú určené pomocou prvej, resp. druhej derivácie polohového vektora rB podľa času

BAABAAB

B dtrωvvvrv ×+=+==

d , (2.50)

4434421321

BA

BA

BA

BAABAA2B

2B

B )(dtdt

nt

dd

arωω

arεaaarva ××+×+=+=== . (2.51)

Rýchlosť vA a zrýchlenie aA reprezentujú translačný pohyb telesa vzhľadom na pevný súradnicový systém (0, x, y). Rýchlosť vBA a zrýchlenie aBA reprezentujú rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie prechádzajúcej referenčným bodom vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém (A, x´, y´).

2.2.4 Okamžitý stred otáčania

Okamžitý stred otáčania - OSO - označený bodom K je bod, ktorého rýchlosť je v danom časovom okamihu nulová. Na základe (2.50) pre rýchlosť bodu K platí

0rωωvv =××+= )( KAAK . (2.52) Odtiaľ pre polohu OSO vzhľadom na pevný súradnicový systém platí

2A

AKAAKω

vωrrrr ×+=+= . (2.53)

Rýchlosť ľubovoľného bodu telesa vzhľadom na OSO je určená vzťahom

LKL rωv ×= ,

kde rLK je vzdialenosť bodu L od OSO (bod K), ω - vektor uhlovej rýchlosti rotácie telesa okolo osi prechádzajúcej OSO (bod K).

rA

rB

rBA

A

B

0 x

y

x´

y´

ϕ

0

rA

rB

rBA

A

B

A´´= A´

B´

B´´

86

Obr. 2.9

Všeobecne je okamžitý stred otáčania definovaný ako priesečník normál k trajektóriám bodov daného telesa v danom okamihu. Rýchlosť každého bodu telesa v danom časovom okamihu vidíme z OSO pod rovnakým uhlom α.

Grafické zostrojenie vektora rýchlosti ľubovoľného bodu telesa ak je známa poloha OSO a vektor rýchlosti jedného bodu, je na obrázku (obr. 2.10). Vektor rýchlosti daného bodu vždy leží na dotyčnici, ktorá je kolmá na normálu daného bodu. Uhol α je orientovaný uhol a je orientovaný od normály bodu vždy rovnakým smerom, t.j. v smere otáčania uhlovej rýchlosti ω. Koncový bod vektora rýchlosti je určený priesečníkom ramena uhla α s dotyčnicou príslušného bodu.

Príklad 2.11

Kľukový mechanizmus schematicky nakreslený na obrázku sa skladá z kľukového hriadeľa , ojnice a z piesta . Kľukový hriadeľ sa otáča okolo bodu 0, pričom uhol jeho rotácie je

kt=ϕ21 , pričom piest koná posuvný pohyb vo vodorovnom smere. Vypočítajte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia piesta.

Dané: r [m], l [m], k = 4 rad.s−1

v čase t = 0 s všetky členy sa nachádzajú na osi x. Vzhľadom na väzbu, v ktorej je piest uložený, môže sa pohybovať len vo vodorovnom smere. Súradnice bodov piesta sa v smere osi y nemenia. V smere osi x je poloha piesta daná vzdialenosťou bodov od bodu 0. Vzhľadom na to, že piest koná posuvný pohyb, všetky body piesta majú rovnakú rýchlosť a zrýchlenie. Na výpočet veľkosti rýchlosti piesta teda postačuje vypočítať rýchlosť niektorého bodu piesta, napr. bodu B, čo je x-ová súradnica piesta

ψ+ϕ=+= coscos0 21B lrSBSx .

Pomocný uhol ψ je vyjadrený z pravouhlého trojuholníka ASB, t.j. platí

l

r 21sinsin ϕ=ψ .

Použitím vzťahu

ψ−=ψ⇒=ψ+ψ 222 sin1cos1cossin ,

je možné vzdialenosť xB zapísať v tvare

22221B )4sin(4cossin1cos trltrlrx −+=ψ−+ϕ= .

Veľkosť rýchlosti bodu B piesta

ϕ21

r

0 x

l

y

S B

ψ

xB

A

vL rLK

K

L

nL

α D

α

vD nD

rDK

tD

ω===DK

D

LK

Lαtgrv

rv

87

22

2

BB)4sin(

8sin24sin4trl

trtrxv−

−−== & .

Veľkosť zrýchlenia je získaná ďalšou deriváciou, t.j. platí

23

])4sin([

)8cos1(8cos444cos1622

2222

BBtrl

trtlrtrva−

−+−−== & .

Príklad 2.12

Zotrvačník polomeru R sa otáča tak, že počas doby rozbehu T pri konštantnom uhlovom zrýchlení vzrastie veľkosť uhlovej rýchlosti z hodnoty ω1 [rad.s−1] na hodnotu ω2 [rad.s−1]

. Vypočítajte:

1. veľkosť uhlového zrýchlenia, 2. veľkosť rýchlosti a zrýchlenia bodu B na obvode zotrvačníka na konci rozbehu, 3. počet otočení zotrvačníka počas rozbehu.

Dané: R = 0,9 m; T = 10 s; ω1 = π rad.s-1; ω2 = 2,5π rad.s-1

1. Výpočet veľkosti uhlového zrýchlenia: Všeobecne je uhlové zrýchlenie definované vzťahom

dtddtd

ε=ω⇒ω

=ε . (a)

Vzhľadom na to, že uhlové zrýchlenie ε je konštantné, predchádzajúca rovnica spĺňa podmienky separácie premenných a jej integrovaním v príslušných hraniciach dostaneme

21212

0

rad/s47,02

1

=ω−ω

=ε⇒ε=ω−ω⇒ε=ω ∫∫=

=

ω

ωT

TdtdTt

t

.

2. Výpočet veľkosti rýchlosti a zrýchlenia bodu B na konci rozbehu: V okamihu dokončenia rozbehu má zotrvačník uhlovú rýchlosť ω2. Veľkosť rýchlosti

bodu B je daná vzťahom

12 ms79,05,2 −=⋅π=ω= Rv ,

kde R je vzdialenosť bodu od osi rotácie.

Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia bodu B je

2ms423,09,047,0 −=⋅=ε= Rat . Veľkosť normálového zrýchlenia bodu B je 222

2 ms52,559,0)5,2( −=⋅π=ω= Ran . Veľkosť výsledného zrýchlenia bodu B je vypočítaná pomocou

222 ms69,61 −=+= nt aaa .

3. Výpočet počtu pootočení zotrvačníka p počas rozbehu. Počet pootočení je možné vypočítať zo vzťahu

B R

88

π

ϕ=

2Rp , (b)

kde ϕR je uhol otočenia zotrvačníka počas rozbehu. Najskôr je potrebné vyjadriť časovú závislosť uhlovej rýchlosti. Použitím vzťahu (a)

dostaneme

110 1

ω+ε=ω⇒ω−ω=ε⇒ω=ε ∫∫ω

ω

ttddtt

.

Časovú závislosť uhla pootočenia je možné vyjadriť z definície uhlovej rýchlosti, t.j. platí

ttdttdtddtddtd tt

12

01

0021)( ω+ε=ω+ε=ϕ⇒ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒

ϕ=ω ∫∫∫

ϕ

Do predchádzajúceho vzťahu je dosadená za čas t doba rozbehu rotora T = 10 s, čím je vyjadrená veľkosť uhla pootočenia zotrvačníka počas rozbehu

rad92,5421

12

R =ω+ε=ϕ TT .

Počet pootočení zotrvačníka počas rozbehu je potom zo vzťahu (b)

74,82

=π

ϕ= Rp otáčok.

Príklad 2.13 Na bubon je navinuté lano, na konci ktorého je zavesené bremeno pohybujúce sa zrýchlením a = konšt. K bubnu sú pevne pripojené ramená dĺžky l, ktoré rotujú spolu s bubnom. V závislosti od dráhy s bremena vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodov nachádzajúcich sa na koncoch ramien. Na začiatku pohybu v čase t = 0 s je rýchlosť bremena nulová.

Obr. A

Obr. B

Ramená pripojené na navíjací bubon konajú spolu s bubnom rotačný pohyb. Na zaklade toho body na konci ramien konajú pohyb po kružnici. Rýchlosť pohybu bremena v závislosti od prejdenej dráhy je určená nasledovným postupom:

dsdvv

dsdv

dtds

dsds

dtdv

dtdvkonšta ===== . ,

odkiaľ po separácii premenných a následnej integrácii platí

l

r

l

s

a = konšt.

l

r

l

s a = at = konšt.

A

ω

ε

aA

vA

anA v

89

adsvdv = ⇒ ∫∫ =sv

adsvdv00

⇒ asv=

2

2 ⇒ assv 2)( = .

Rýchlosť pohybu bremena je rovnaká ako obvodová rýchlosť bodov na obvode otáčajúceho sa navíjacieho bubna, t.j. pre uhlovú rýchlosť navíjacieho bubna platí

rωv ×= ⇒ rv ω= ⇒ ras

rsvs 2)()( ==ω .

Zrýchlenie pohybu bremena je rovnaké ako tangenciálna zložka zrýchlenia bodov na obvode bubna a pre uhlové zrýchlenia dostaneme vzťah

rεaa ×=== .konštt ⇒ ra ε= ⇒ ra

=ε .

Veľkosť rýchlosti bodu A možno vyjadriť v tvare

AA rωv ×= ⇒ )(2))(()(A lrraslrssv +=+ω= .

Pre zrýchlenie bodu A platí )( AAAAA rωωrεaaa ××+×=+= nt . Veľkosti zložiek zrýchlenia bodu A

.)(A konštr

lralrat =+

=+ε=

sr

lrasvssaa nn 2AAA 2)()()( +=ω== .

Veľkosť výsledného zrýchlenia

222

2A

2AAA 4)( sr

rlraaasaa nt +

+=+== .

Príklad 2.14 Dve ozubené kolesá s vonkajším ozubením sa otáčajú rovnomerne zrýchlene. Je daná veľkosť uhlového zrýchlenia kolesa 1. Na začiatku pohybu boli obe kolesá v kľude. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti druhého kolesa ako funkciu času, 2. veľkosť rýchlosti a veľkosť zrýchlenia v závislosti od času pre bod C, ktorý sa nachádza na kolese 2 vo vzdialenosti rC od osi rotácie. Dané: d1; d2 ; rC; ε1 = konšt.

1. Ozubené kolesá konajú rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie, ktorá je kolmá na rovinu

otáčania kolies a prechádza bodmi 01 (koleso 1) a 02 (koleso 2) V zábere zubov (bod D) oboch ozubených kolies musí byť rovnaká rýchlosť a rovnaké tangenciálne zrýchlenie. Zároveň musí byť rovnaká obvodová rýchlosť a rovnaké tangenciálne zrýchlenie pre

D

vD

aD

vC

aCt aCn

aC

ε2 ε1

d1 d2

ε1 ε2

rC D 01

02

90

všetky body nachádzajúce sa na obvodoch oboch rozstupových kružníc. Na základe vzťahu pre tangenciálne zrýchlenie je určená veľkosť uhlového zrýchlenia kolesa 2

konšt.22 2

112

22

11 =ε=ε⇒ε=ε=

ddddat

Všeobecne na vyjadrenie uhlového zrýchlenia platí dt

d 22

ω=ε .

Separáciou premenných a integrovaním v príslušných hraniciach je určená veľkosť uhlovej rýchlosti ω2 ako časová funkcia, t.j.

tdd

tdtddtdt

2

1122

02

0222

2

ε=ε=ω⇒ε=ω⇒ε=ω ∫∫ω

.

2. Veľkosť rýchlosti bodu C je vypočítaná zo vzťahu

C2

11C2C rt

ddrv ε=ω= .

Tangenciálna zložka zrýchlenia a normálová zložka zrýchlenia bodu C sú

C2

11C2C r

ddra t ε=ε= , C

2

2

11C

22C rt

ddra n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε=ω= .

Veľkosť výsledného zrýchlenia bodu C určíme pomocou vzťahu

12

2

11

4

2

11C

2C

2CC +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε=+=

dd

tdd

raaa tn .

Príklad 2.15 Vypočítajte rýchlosť bodu A a uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie tyče AB dĺžky l0. Na začiatku bola tyč v kľude a jej body A a B sa nachádzali v polohe A0, B0. Tyč sa uvádza do pohybu bodom B, ktorý sa začne pohybovať v čase t = 0 s vodorovne konštantnou rýchlosťou veľkosti v.

Teleso koná všeobecný pohyb. Dráha bodu B je v závislosti od času vyjadrená nasledovne:

v

β

B

A

B0

A0

yA

x

y

0

xB

x0 vt

ϕ0 ϕ

i j

× k

v

l0 β

B

A

B0

A0

h

x0

91

0B0

B

0

konšt. xvtxvdtdxvdtdxdtdxv

tx

x

+=⇒=⇒=⇒== ∫∫ .

Parametrické rovnice pohybu bodu A sú vzhľadom na zvolený súradnicový systém vyjadrené v tvare

20

20

2B

20AA )(y0, xvtlxlx +−=−== .

Kinematické veličiny bodu A sú: • polohový vektor

jr 20

20A )( xvtl +−= ,

• vektor rýchlosti

jjrv2

020

02

020

0AA

)(

)(

)(

)(221

xvtl

xvtv

xvtl

xvtvdt

d

+−

+−=

+−

+−== ,

• vektor zrýchlenia

jva23

])([ 20

20

20

2A

Axvtl

lvdt

d

+−−== .

Na začiatku pohybu zvierala tyč s osou y uhol ϕ0, ktorého veľkosť je určená zo vzťahu

0

00

0

00 arctgtg

lx

lx

=ϕ⇒=ϕ .

Uhol sklonu tyče ϕ je počas jej pohybu daný funkciou času a možno ho vyjadriť v tvare 0ϕ−β=ϕ .

Uhol β možno vyjadriť v tvare

0

0

0

0 arctgtgl

xvtl

xvt +=β⇒

+=β

a následne pre uhol ϕ potom platí

0

0

0

0 arctgarctglx

lxvt

−+

=ϕ .

Uhlová rýchlosť tyče je

kω ω=++

=ϕ=ω ;)( 2

020

0

xvtlvl

& ,

kde k je jednotkový normálový vektor kolmý na rovinu a vchádza do roviny. Uhlové zrýchlenie tyče je

kε ε=++

+−=ω=ε ;

])([

)(222

020

02

0

xvtl

xvtvl& .

92

Príklad 2.16 Na valci s polomerom r je navinuté lano, ktorého jeden koniec je pevne uchytený na rám a druhý je upevnený na valec. Valec padá bez začiatočnej rýchlosti, pričom sa lano

rozmotáva. Veľkosť rýchlosti osi valca je .332 gyv = Vypočítajte:

1. rovnice pohybu valca, 2. polohový vektor okamžitého stredu otáčania vzhľadom na pevný a pohyblivý súradnicový systém, 3. rýchlosť bodov D, C nachádzajúcich sa na obvode valca podľa obrázka, 4. veľkosť rýchlosti bodov D, C pomocou okamžitého stredu otáčania.

Obr. A

Obr. B

Obr.C

Obr. D

Obr. E Valec koná všeobecný rovinný pohyb. Príslušné súradnicové systémy sú na obr. B. Pevný súradnicový systém je (T0, x, y, z) s jednotkovými vektormi (i, j, k). Pohyblivý súradnicový systém je (T, x´, y´, z´) s jednotkovými vektormi (i´, j´, k´). Vzhľadom na rovnobežnosť súradnicových osí oboch systémov je možné pre jednotkové vektory písať

i = i´, j = j´, k = k´. 1. Nájsť rovnice pohybu znamená vyjadriť súradnicu yT = yT(t) pre posuvný pohyb referenčného

bodu telesa a uhol pootočenia ϕ = ϕ(t) pre rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie prechádzajúcej referenčným bodom. Referenčný bod (stred valca - bod T) sa pohybuje po priamke. Veľkosť jeho súradnice v smere osi x je nulová. Pre veľkosť rýchlosti v smere osi y možno preto písať

gydtdyvv y 3

32

=== .

Separáciou premenných a integrovaním pre nulové začiatočné podmienky dostávame

2T

003

332T

tgydtgy

dy ty

=⇒= ∫∫ .

Časová závislosť veľkosti rýchlosti a zrýchlenia stredu valca je

gdt

dvatgdt

dyv32,

32 T

TT

T ==== .

Uhol pootočenia valca okolo ťažiska je vyjadrený zo vzťahov pre uhlovú rýchlosť

trg

rv

dtd

32T ==

ϕ=ω .

r T

vT

C

D T

vT

T0 x

x´

y ≡ y´

yT

z

z´

ϕ

T

rT

T0 x

x´

y ≡ y´ k

z

z´

ϕ

K

rK

rKT

T0

T

rT

x´

y ≡ y´

K

rDT

D

C

rCT

nT, nDT K DC

vT

α

tD

vD

nC α

tC vC

r r

93

Separáciou premenných a integrovaním pre nulové začiatočné podmienky dostávame

2

0033

2 tr

gtdtrgddtd

t

=ϕ⇒=ϕ⇒ω=ϕ ∫∫ϕ

.

Veľkosť uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia valca je

rg

dtdt

rg

dtd

32

32

=ω

=ε=ϕ

=ω .

Vyjadrené veličiny sú kinematické veličiny charakterizujúce všeobecný pohyb telesa v rovine a pomocou nich možno určiť rýchlosť a zrýchlenie ktoréhokoľvek bodu telesa. Keďže sú to vektorové veličiny, možno ich zapísať v tvare vektorov, t.j.

jjajjvjjr ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

32,

32,

3 TTTT2

TTgatgvtgy ,

kkεkkω ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ε=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ω=

rgt

rg

32,

32 .

2. Polohový vektor okamžitého stredu otáčania - OSO (bod K) vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém (Obr. C) je daný vzťahom

ijkvωr rgtrgt

trg

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

×=

32

32

94

1ω 2

2

22T

KT .

Vzhľadom na pevný súradnicový systém polohový vektor okamžitého stredu otáčania je

ijijrrr rtgry −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=+= 2

TKTTK 3 .

Body na priamke k sa postupne stávajú okamžitými stredmi otáčania (obr. C).

3. Na základe známych kinematických veličín sú vyjadrené vektory a veľkosti rýchlostí ľubovoľných bodov telesa.

Polohový vektor bodu D vzhľadom na referenčný bod T je

ir r=DT .

Rýchlosť bodu D je

jjjikjrωvv TTTTDTTD 2ω vvvrv =+=×+=×+=

a jeho veľkosť rýchlosti je TD 2vv = .

Poloha bodu C vzhľadom na referenčný bod T je

jr r=CT .

Rýchlosť bodu C je

ijjkjrωvv TTTCTTC ω vvrv +=×+=×+=

a veľkosť rýchlosti bodu C je

2T2T

2TC vvvv =+= .

94

4. Výpočet a zobrazenie vektorov rýchlostí bodov C a D (obr. E). Okamžitým stredom otáčania prechádzajú v danom časovom okamihu normály všetkých

bodov telesa a vidieť z neho koncové body vektorov rýchlosti všetkých bodov pod rovnakým uhlom α. Uhol α možno zostrojiť, ak je známy vektor rýchlosti aspoň jedného bodu telesa - napr. bodu T.

Pre veľkosti rýchlostí bodov C a D (obr. E) možno písať

TDDT 2

2tg vv

rv

rv

=⇒==α ,

2tg TC22CT vv

rr

vr

v=⇒

+==α .

Príklad 2.17 Ozubené súkolie je zložené z dvoch navzájom pevne spojených ozubených kolies s polomermi rozstupových kružníc r a R. Každé z ozubených kolies je v zábere s ozubeným hrebeňom, pričom väčšie ozubené koleso je v zábere s dolným hrebeňom, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v1 a zrýchlením a1 a s menším ozubeným kolesom je v zábere horný hrebeň pohybujúci sa rýchlosťou v2 a zrýchlením a2. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodu T a uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie ozubeného súkolia

Obr. A

Obr. B Vzhľadom na charakter pohybu koná ozubené súkolie všeobecný pohyb. Využitím vzťahov (2.49) a (2.50) sú polohové vektory bodov T a B vyjadrené nasledovne:

BAAB rrr += ,

TAAT rrr += .

Pre rýchlosti oboch bodov potom platí

BAABAAB rωvvvv ×+=+= , (a)

TAATAAT rωvvvv ×+=+= , (b)

kde ω je vektor uhlovej rýchlosti otáčania ozubeného súkolia.

T

B

A

r

R

v1 = vA

v2 = vB a2

a1

OSO

vT vTA

vBA

rTA

rBA

e; |e| = 1

ω

ε

T

B

A

r R

v1

v2

a2

a1

95

Vzhľadom na to, že všetkých päť vektorov rýchlostí vA, vB, vT, vBA, vTA má smer jednej nositeľky, je možné rovnice (a) a (b) pretransformovať do skalárnych rovníc tak, že obidve rovnice sú skalárne vynásobené jednotkovým vektorom e, t.j.

BAAB vvv += /.e ⇒ BAAB vvv += , (c)

TAAT vvv += /.e ⇒ TAAT vvv += . (d)

Pre jednotlivé veľkosti rýchlosti platí

1A vv = ⇒ 1A vv = ,

2B vv = ⇒ 2B vv = ,

BABA rωv ×= ⇒ )(BA Rrv +ω= ,

TATA rωv ×= ⇒ Rv ω=TA .

Po dosadení predchádzajúcich rovníc do (c) a (d)

)(12 Rrvv +ω+= ,

Rvv ω+= 1T ,

odkiaľ sú vyjadrené veľkosti rýchlostí:

• rýchlosť bodu T Rr

Rvrvv++

= 21T ,

• uhlová rýchlosť súkolia Rrvv

+−

=ω 12 .

Veľkosti zrýchlení sú získané deriváciou rýchlosti vT a uhlovej rýchlosti podľa času, t.j.

• zrýchlenie bodu T Rr

Raraa++

= 21T ,

• uhlové zrýchlenie súkolia Rraa

+−

=ε 12 .

Príklad 2.18 Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie zdvíhacieho stola, ktorý je zdvíhaný mechanizmom. Dané: l, v = konšt

Výsledok:

jv⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−= v

vtll

vtl2

02

0

)(

[ ]ja 2

20

2

2

23 v

vtll

l

)( −−−=

v

l/2

l/2

l/2

l/2

l0

96

Príklad 2.19 Zotrvačník koná rotačný pohyb, pričom vzhľadom na súradnicovú sústavu je jeho poloha definovaná uhlom potočenia btkt ln2=ϕ [rad], k = 1,0 rad.s−2, b = 1,0 s−1. Vypočítajte časové závislosti veľkosti uhlovej rýchlosti ω = ω(t) a veľkosti uhlového zrýchlenia ε = ε(t).

Výsledok: ttt +=ω ln2 [rad.s-1], 32 +=ε tln [rad.s-2] Príklad 2.20

Vypočítajte rýchlosť bodu T a uhlovú rýchlosť telesa 3 zdvíhacieho kladkového systému s kladkami s polomermi r1, r2 a r3 . Kladky 1 a 2 sú poháňané a otáčajú sa konštantnými uhlovými rýchlosťami ω1, ω 2.

Výsledok:

22211

Trrv ω+ω

= [m.s-1]

3

11223 2r

rr ω−ω=ω [rad.s-1]

2.3 RÝCHLOSŤ A ZRÝCHLENIE PRI SÚČASNÝCH POHYBOCH

Uvažujme tri telesá T1, T2, T3. S telesom T1 je spojený nepohyblivý súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom T2 je spojený pohyblivý súradnicový systém (A, x´,y´,z´). Bod A je bodom telesa T2 a bod B je bodom telesa T3 (obr. 2.11). Vzájomné pohyby telies sú:

• pohyb telesa T3 vzhľadom na teleso T1 - výsledný pohyb, • pohyb telesa T2 vzhľadom na teleso T1 - unášavý pohyb, • pohyb telesa T3 vzhľadom na teleso T2 - relatívny pohyb.

Obr. 2.11

Cieľom je vyjadriť rýchlosť a zrýchlenie bodu B telesa T3 pri pohybe vzhľadom na T1. t.j. výsledného pohybu.Polohový vektor bodu B

32B21A31B rrr += . (2.54)

Výsledná rýchlosť bodu B je získaná deriváciou vektora rB31 podľa času v priestore telesa T1

•••

+= 132B121A131B ][][][ rrr . (2.55)

Vzhľadom na to, že vektor rBA32 je vektorová funkcia definovaná v priestore telesa T2 a časová derivácia má byť v priestore telesa T1, je potrebné túto deriváciu realizovať v súlade s pravidlami na derivovanie funkcií v rôznych priestoroch.

ω1 ω2

r1 r2

r3

T

rA21

rB31

rB32

A

B

0 x

y

x´

y´

z

T1 z´

T2

T3

97

Vo všeobecnosti, ak je časovo závislá vektorová funkcia r(t) daná v priestore telesa Tm, jej derivácia podľa času v priestore telesa Tn je vyjadrená vzťahom

mmnmmnm ][][ rωrr ×+=••

. (2.56)

Vzťah (2.55) potom možno zapísať

32B21232B121A131B ][][][ rωrrr ×++=•••

,

resp. 32B2132B21A31B rωvvv ×++= ⇒ ruv BBB vvv += , (2.57)

kde 31BB vv =v - výsledná rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 133 →∈ ,

32B2121AB rωvv ×+=u - unášavá rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 122 →∈ , (2.58)

2B3B vv =r - relatívna rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 233 →∈ ,

21Av - unášavá rýchlosť bodu A )T T pohyb ,TA( 122 →∈ ,

uωω =21 - unášavá uhlová rýchlosť telesa T2 (pohyb T2 → T1).

Výsledné zrýchlenie pri súčasných pohyboch dvoch telies je získané deriváciou prvej z rovníc (2.57) podľa času v priestore T1

•••••

×+×++= 132B2132B121132B121A131B ][][][][][ rωrωvvv , (2.59)

resp. po použití vzťahu (2.56) a následnej úprave má výsledné zrýchlenie bodu B tvar corruv BBBB31B aaaaa ++== , (2.60)

kde 32B2132B212121AB )( rεrωωaa ×+××+=u - unášavé zrýchlenie bodu B ,TB( 2∈ )T T pohyb 12 → ,

2B3B aa =r - relatívne zrýchlenie bodu B )T T pohyb ,TB( 233 →∈ ,

32B21BB 22 vωvωa ×=×= rucor - Coriolisovo zrýchlenie bodu B,

21Aa - unášavé zrýchlenie bodu A )T T pohyb ,TA( 122 →∈ , uεε =21 - unášavé uhlové zrýchlenie telesa T2 )T T pohyb( 12 → .

Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie pri súčasných pohyboch

Ak sú unášavý pohyb (T2 → T1) a relatívny pohyb (T3 → T2) telesa rotačné pohyby, potom uhlovú rýchlosť ω31 výsledného pohybu (T3 → T1) telies je možné vyjadriť v tvare

213231 ωωω += ⇒ urv ωωω += . (2.61)

Uhlové zrýchlenie výsledného pohybu (T3 → T1) je získané deriváciou (2.61) podľa času v priestore T1

•••••

+×+=+= 1213221232121132131 ][][][][][ ωωωωωωω , (2.62)

resp. 3221213231 ωωεεε ×++= ⇒ resurv εεεε ++= ,

kde 31εε =v - výsledné uhlové zrýchlenie telesa T3 )T T pohyb( 13 → ,

21εε =u - unášavé uhlové zrýchlenie telesa T2 )T T pohyb( 12 → ,

32εε =r - relatívne uhlové zrýchlenie telesa T3 )T T pohyb( 23 → ,

98

3221 ωωε ×=res - Ressalovo uhlové zrýchlenie.

Príklad 2.21

Obr. A

Rúrka dĺžky l rotujúca okolo bodu 0 sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. V rúrke sa konštantným zrýchlením a pohybuje bod B. V čase t = 0 s sa rúrka nachádzala vo vodorovnej polohe a bola v kľude. Bod B bol v čase t = 0 s v začiatočnej polohe vo vzdialenosti s0 od bodu 0. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodu B v závislosti od času vzhľadom na pevný súradnicový systém.

Dané: ω = konšt., a = konšt., l, s0

Úlohu možno chápať ako súčasné pohyby dvoch telies. Rúrka koná rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie - unášavý pohyb telesa T2 → T1. Bod 0 ≡ A je referenčným bodom telesa . Bod B (teleso ) sa pohybuje vo vnútri rúrky – relatívny pohyb telesa T3 → T2. S telesom je zviazaný v bode 0 pevný súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom je zviazaný v bode A pohyblivý súradnicový systém (A, x´, y´, z´). Osi x a x´, resp. y a y´ súradnicových systémov sú navzájom pootočené o uhol ϕ, preto platí (obr. A)

kkjijjii =′ϕ+ϕ−=′ϕ+ϕ=′ ,cossin;sincos . (a)

Veľkosť rýchlosti bodu B v rúrke

atvadtdvdtdva

tv

=⇒=⇒== ∫∫00

.konšt

a pre veľkosť dráhy platí

2

00021.konšt atsatdtvdtdsvdtds

dtdsv

tts

=⇒==⇒=⇒≠= ∫∫∫ .

Veľkosť uhla potočenia telesa

tdtddtd t

ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒=ϕ

=ω ∫∫ϕ

00

.konšt .

I. spôsob riešenia – pomocou vzťahov pre súčasné pohyby.

Polohový vektor referenčného bodu A telesa vzhľadom na teleso

0r =21A . (b)

Polohový vektor bodu B telesa vzhľadom na referenčný bod A telesa

ϕ

0 = A x

y

a

ω

s0

L l x´

y´ B

s(t)

i

j i´ j´

ϕ ϕ

99

iir ′+=′+= )())((B2

21

0032 atstss (c)

a vektor jeho rýchlosti

)sin(cosB jiiiv ϕ+ϕ=′=′= atatv32 .

Polohový vektor bodu B vzhľadom na teleso

322131 BAB rrr += . (d)

Pre vektor rýchlosti bodu B telesa platí (2.57)

{ 3221322131 BBAB rωvvv0

×++==

, (e)

kde kω ω=21 je uhlová rýchlosť unášavého pohybu. Po dosadení za jednotlivé členy do rovnice (e) je vektor rýchlosti výsledného pohybu bodu B

.]cos)(sin[]sin)(cos[

)],sin)(cos[()sin(cos

,)(

221

02

21

031B

221

031B

221

031B

jiv

jikjiv

ikiv

ϕ+ω+ϕ+ϕ+ω−ϕ=

ϕ+ϕ+×ω+ϕ+ϕ=

′+×ω+′=

atsatatsat

atsat

atsat

.

Pre vektor zrýchlenia bodu B na telese platí (2.60), t.j. platí

][ BBBBAB 32212132213221322131 2 rωωrεvωaaa ××+×+×++= ,

kde 0a =21A , jiia ϕ+ϕ=′= sincosB3 aaa2 , jijikvω ϕω+ϕω−=′ω=′×ω=× cossinB3 atatatat 22222 221 , 0rε =× 3221 B (ω = konšt. ⇒ ε = 0),

)sin)(cos(][ B jirωω ϕ+ϕ+ω−=×× 221

02

322121 ats .

Výsledné zrýchlenie bodu B vzhľadom na pevný súradnicový systém

.]sin)(cos2sin[

]cos)(sin2cos[2

21

02

221

02

1B3

j

ia

ϕ+ω−ϕω+ϕ+

ϕ+ω−ϕω−ϕ=

atsata

atsata

II. spôsob riešenia - vyjadrením polohy guľôčky vzhľadom na (0, x ,y, z) ako funkcie času.

jir ϕ++ϕ+= sin)(cos)( 221

02

21

031B atsats ,

kde uhol pootočenia tω=ϕ je funkciou času. Pre derivácie uhla pootočenia podľa času 0, =ϕω=ϕ &&& .

Deriváciou polohového vektora 31Br podľa času dostaneme: • vektor rýchlosti bodu B vzhľadom na

jiv ]cos)(sin[]sin)(cos[ 221

02

21

031B ϕ+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ−ϕ= atsatatsat && ,

• vektor zrýchlenia guľôčky B vzhľadom na

100

.]sin)(cossin[

]cos)(sincos[2

21

02

221

02

31B

j

ia

ϕ+ϕ−ϕϕ2+ϕ+

ϕ+ϕ−ϕϕ2−ϕ=

atstaa

atstaa

&&

&&

Použitím obidvoch spôsobov riešenia boli získané rovnaké výsledky.

Príklad 2.22 Rameno AL (teleso ) je otočne uložené na vertikálnej tyči (teleso ), okolo ktorej sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou veľkosti ω1. V bode L ramena je otočne uložený disk (teleso ) s polomerom r2. Disk sa otáča okolo osi y´ prechádzajúcej bodom L a kolmej na rovinu disku konštantnou uhlovou rýchlosťou veľkosti ω2. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie výsledného pohybu bodu nachádzajúceho sa na obvode disku vzhľadom na pevný súradnicový systém x, y, z. Dané: ω1 = konšt., ω2 = konšt., r1, r2

V riešenej úlohe ide o súčasné pohyby telies a , obe telesá konajú rotačný pohyb. Rameno AL koná rotačný pohyb okolo vertikálnej osi (os z) - unášavý pohyb T2 → T1. Bod L je referenčným bodom telesa . Disk koná rotačný pohyb okolo osi rotácie prechádzajúcej bodom L (os y´) - relatívny pohyb T3 →T2. S telesom je pevne zviazaný súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom je zase zviazaný súradnicový systém (L, x´, y´, z´). Pre jednotkové vektory súradnicových systémov platí

.

,cossin,sincos

2121

2121

kkjij

jii

=′ϕ+ϕ−=′

ϕ+ϕ=′

(a)

Všeobecne na vyjadrenie (pre pohyb T3 → T1) polohového vektora 31Br , vektora rýchlosti

31Bv a vektora zrýchlenie 31Ba platia vzťahy

).(2

,,

32BL212132BL2132BL2132BL21L31B

2BL3212BL31L21B3

2BL31L21B3

rωωrεvωaaarωvvv

rrr

××+×+×++=×++=

+= (b)

Vyjadrenie potrebných kinematických veličín vo vektorovom tvare

.][ ,cossin

,][ ,

0ωεjijω

0ωεkω

==ϕω−ϕω=′ω−=

==ω=•

•

23232212212232

12121121 (c)

Bod L sa pohybuje (pre pohyb T2 → T1) po kružnici s polomerom r1 a so stredom v bode A. Polohový vektor, vektor rýchlosti a vektor zrýchlenia bodu L

A = 0 y

z

ω1 r2

L

r1

y´

z´

B

ω2

x

x´

z

r2

r1 x

y

x´

y´

z´ k i j

ϕ21

ϕ32

i´

j´ k´

ω21 = ω1

ω32 = ω2

101

.sincos

)(][

,sincos][

,sincos

L

LLLL

LLL

L

ji

rωωrεva

jirωrv

jir

v0

21121211

21

212121212112121

21112111212112121

21121121

21

ϕω−ϕω−=

=××+×==

ϕω+ϕω−=×==

ϕ+ϕ=

==

•

•

rr

rr

rr

4342143421 (e)

Bod B sa pohybuje (pre pohyb T3 → T2) po kružnici s polomerom r2 a so stredom v bode L. Polohový vektor, vektor rýchlosti a vektor zrýchlenia bodu B

,][

,sincossincoscossincos

2BL33222BL32BL3

3223221232212

3223222BL3

rωrv

kjikir

×==

ϕ+ϕϕ+ϕϕ==′ϕ+′ϕ=

•

rrrrr

,cossinsinsincos

sincossincoscos0cossin

][ 323221322122

3232213221

2121222BL3

kji

kjiv

ϕ+ϕϕ−ϕϕ−ω=

=ϕϕϕϕϕ

ϕ−ϕω=

r

r (f)

,)(][2BL3

2BL332322BL33222BL32BL3 443442143421v0

rωωrεva==

××+×==•

.sincossincoscos

cossinsinsincos0cossin

][ 3232213221222

3232213221

21212222BL3

kji

kjia

ϕ+ϕϕ+ϕϕω−=

=ϕϕϕ−ϕϕ−

ϕ−ϕω=

r

r

Ďalšie členy v rovniciach (b) sú vyjadrené nasledovne

,coscoscossin

sincossincoscos100

][ 3221322121

3232213221

212BL321

ji

kjirω

ϕϕ+ϕϕ−ω=

=ϕϕϕϕϕ

ω=×

r

r

,cossincoscos

coscoscossin)(

][

BL3

ji

kjirωω

32213221221

32213221

22122121

0100

ϕϕ−ϕϕ−ω=

ϕϕϕϕ−ω=××

r

r (g)

102

.sincossinsin

cossinsinsincos

][

BL3

ji

kjivω

32213221221

3232213221

221221

2

10022

ϕϕ−ϕϕωω=

ϕϕϕ−ϕϕ−ωω=×

r

r

Po dosadení (c)-(g) do rovníc (b) po úprave dostaneme

kjir 3222132212132211B3 sinsin)cos(cos)cos( ϕ+ϕϕ++ϕϕ+= rrrrr ,

,]cos[]coscossin)sin[(

]cossincos)sin([B3

kj

iv

322232212121322211

322121213222111

ϕω+ϕϕω+ϕϕω−ω+

+ϕϕω−ϕϕω+ω−=

rrrr

rcrr

.]sin[

)]sincoscossin(sin)cos([

)]sinsincoscos(cos)cos([B3

k

j

ia

32222

32211322122221322121

322113221222213221211

2

2

ϕω−+

+ϕϕω+ϕϕωω−ϕϕ+ω−+

+ϕϕω−ϕϕωω−ϕϕ+ω−=

r

rrr

rrr

Pre výsledné uhlové zrýchlenie (pre pohyb T3 → T1) platí

{ {

].sincos[

cossin

jiε

kjiωωεεωωεε

0ε0

212121

212212

132213232212131

000

ϕ+ϕ−ωω=

ϕω−ϕωω=×==+×+=

===

res

res

res43421

2.4 ANALYTICKÉ RIEŠENIE MECHANIZMOV

Cieľom analytického riešenia mechanizmov je určiť polohu, rýchlosť a zrýchlenie ľubovoľného bodu ktoréhokoľvek člena mechanizmu alebo polohu rýchlosť a zrýchlenie niektorého člena mechanizmu v závislosti od polôh, rýchlostí a zrýchlení hnacích členov mechanizmu.

2.4.1 Trigonometrická metóda Mechanizmus je v určitej vzájomnej konfigurácii členov rozdelený na vhodné trigonometrické obrazce, trojuholníky, v ktorých figurujú hľadané dĺžky a uhly ako parametre mechanizmu. Kinematické veličiny (rýchlosti a zrýchlenia, resp. uhlové rýchlosti a uhlové zrýchlenia) bodov, resp. členov mechanizmu sú potom získané podľa vzťahov uvedených v predchádzajúcich kapitolách. Je potrebné nájsť toľko vzťahov medzi polohovými veličinami hnacích a hnaných členov, koľko je neznámych.

2.4.2 Vektorová metóda Štruktúra mechanizmu je nahradená uzatvoreným mnohouholníkom, ktorého strany tvoria vektory ir , navzájom sa nasledujúce a tvoriace uzavretú vektorovú slučku. Pre súčet vektorov vo vektorovej slučke potom musí platiť podmienka uzavretosti, t.j.

103

0jir =+= ∑∑==

n

iii

n

ii yx

11)( . (2.63)

Vektorovú rovnicu (2.63) možno rozpísať do dvoch skalárnych rovníc

,0sin,0cos1111

=α==α= ∑∑∑∑====

i

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii ryrx (2.64)

kde αi sú smerové uhly vektorov a ir sú dĺžky vektorov nahrádzajúcich jednotlivé členy.

Z rovníc (2.64) možno vyjadriť dva parametre na definovanie polohy, resp. uhla pootočenia člena, ktorého kinematické parametre sú počítané.

2.4.3 Metóda komplexných čísel

Postup pri riešení metódou komplexných čísel je podobný ako pri vektorovej metóde. Rovina mechanizmu je považovaná za komplexnú rovinu a kinematickej schéme mechanizmu je priradený uzatvorený mnohouholník. Strany mnohouholníka sú komplexné čísla. Pre súčet komplexných čísel iz musí platiť podmienka uzavretosti, t.j. platí

01

=∑=

n

iiz . (2.65)

Obr. 2.12

Tvar vyjadrenia komplexného čísla:

• karteziánsky iii jbaz += ,

• exponenciálny ijii ez ϕρ= ,

• polárne súradnice )sin(cos iiii jz ϕ+ϕρ= ,

kde 1−=j je imaginárna jednotka, ϕ - meriame od kladného smeru reálnej osi, Re - reálna os, Im - imaginárna os.

Rovnicu (2.65) možno rozpísať do dvoch rovníc

01

=∑=

n

iia 0

1=∑

=

n

iib ,

resp.

0cos1

=ϕρ∑=

i

n

ii .0sin

1=ϕρ∑

=i

n

ii

Z uvedených rovníc, z ktorých sú vyjadrené dva parametre na definovanie polohy, resp. uhla pootočenia člena, ktorého kinematické parametre sú počítané.

Re

Im

0

zi

ϕi

ρi

ai

bi

104

Príklad 2.23 Nájdite súradnice bodu B člena pri jeho pohybe vzhľadom na člen mechanizmu podľa obrázka. Dané: l, h, ϕ = ϕ(t)

Obr. A

Obr. B

Obr. C

1. spôsob riešenia - trigonometrická metóda (obr. A)

Zakreslíme polohový vektor bodu B vzhľadom na začiatok súradnicového systému. Z pravouhlého trojuholníka je určená vzdialenosť 0C

ϕ

=⇒=ϕtg

0C0C

tg hh .

Pomocou vzdialenosti 0C určíme súradnice bodu B

lhlCx +ϕ

=+=tg

0B ,

hy =B . 2. spôsob riešenia - vektorová metóda (obr. B)

Vyjadríme vektory l1 až l3 vzhľadom na zvolený súradnicový systém.

jil hh+

ϕ=

tg1 ,

h

B

l

Re 0

Im

ϕ1

A

C

z1

z2

z3

z4

ϕ3

ϕ4

ϕ2 = 0

h

B

l

x 0

y

ϕ

A

C

yB

xB

l1

l2

l3

h

B

l

x 0

y

ϕ

A

C

rB yB

xB

h

B

l

x0

y

ϕ

105

il l=2 ,

jil BB yx −−=3 .

Musí platiť podmienka uzavretosti

[ ] [ ] 0jiijillll =−−++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ϕ=++=∑

=BB

ii yxlhh

tg321

3

1,

resp. [ ] 0ji =−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

ϕ BB yhxlhtg

.

Vektorovu rovnicu rozpíšeme do dvoch skalárnych rovníc:

.0:0

,tg

0tg

:0

BB

BB

hyyhl

lhxxlhl

yi

xi

=⇒=−=

+ϕ

=⇒=−+ϕ

=

∑∑

3. spôsob riešenia - metóda komplexných čísiel (obr. C)

Vyjadríme komplexné čísla z1 až z4 vzhľadom na zvolenú komplexnú rovinu:

• komplexné číslo z1 (ϕ1 = ϕ)

12

2

12

2

1 sintg

costg

ϕ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

+ϕ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

= hhjhhz ⇒ ,tg1 hjhz +

ϕ=

• komplexné číslo z2 (ϕ2 = 0)

222 sincos ϕ+ϕ= ljlz ⇒ ,2 lz =

• komplexné číslo z3 (ϕ3 = 270°)

3B3B3 sincos ϕ+ϕ= yjyz ⇒ B3 yjz −= ,

• komplexné číslo z4 (ϕ4 = 180°)

4B4B4 sincos ϕ+ϕ= xixz ⇒ B4 xz −= ,

kde 1−=j je imaginárna jednotka.

Opäť musí platiť podmienka uzavretosti,

[ ] [ ] 0][tg4321

4

1=−+−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ϕ=+++=∑

=BB

ii xjyljhhzzzzz .

Následne pre reálne časti a pre komlexné časti komplexných čísiel dostaneme

.0:0Im

,tg

0tg

:0Re

BB

BB

hyyh

lhxxlh

=⇒=−=

+ϕ

=⇒=−+ϕ

=

∑∑

Poloha bodu B je definovaná polohovým vektorom, ktorého dve súradnice boli určené tromi rôznymi metódami. Polohový vektor bodu B potom má tvar

106

jir hlh+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ϕ=

tgB .

Rýchlosť bodu B

ivϕ

ϕ−= 2B

sin&

h .

Zrýchlenie bodu B

iaϕ

ϕϕ−ϕϕ−= 4

22

Bsin

2sinsin &&&h .

Príklad 2.24

Mechanizmus na obrázku sa dostáva do pohybu otáčaním kľuky okolo bodu 01

konštantnou uhlovou rýchlosťou ω21. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti člena , 2. vektor a veľkosť rýchlosti bodu L, vektor

a veľkosť zrýchlenia bodu L.

Dané: r, l, d, v čase t = 0 s sa oba členy nachádzajú vo vodorovnej polohe a sú v kľude.

1. Výpočet uhlovej rýchlosti člena . Časová závislosť uhla ϕ21 je vyjadrená zo základnej definície uhlovej rýchlosti

.konšt2121 =

ϕ=ω

dtd

,

odkiaľ po separácii premenných a integrácii

tdtddtdt

21210

210

212121

21

ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒ω=ϕ ∫∫ϕ

.

Z pravouhlého trojuholníka je vyjadrený uhol ϕ31, t.j. platí

)cos(

)sin(arctgcos

sinS0

AStg21

2131

21

21

231 trd

trrd

rω+

ω=ϕ⇒

ϕ+ϕ

==ϕ .

Vektor a veľkosť uhlovej rýchlosti ω31 člena vzhľadom na rám dostaneme deriváciou ϕ31 podľa času

kω 3131 ω= , 2121

2221

2

3131)cos(2

)cos(ω

ω++

ω+=ϕ=ω

trddrtrdr

& .

Veľkosť uhlového zrýchlenia člena vzhľadom na rám

ϕ21 r

01 x

y

S

l

ω21

02

ϕ31

d

A

L

i

j

rL

107

kε 3131 ε= , )sin()]cos([

)( ttrddr

rddr21

2212

2122

33

3131312

2ωω

ω++−

=ϕ=ω=ε &&& .

2. Rýchlosť a zrýchlenie bodu L je pre tento prípad možné vyjadriť dvoma spôsobmi:

I. spôsob II. spôsob

Polohový vektor bodu L vzhľadom na 02:

jir 313131L sincos ϕ+ϕ= ll .

Bod L je bod, ktorý je bodom telesa , konájúceho rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie prechádzajúcej bodom 02.

Vektor rýchlosti:

.cossin 31313131

31L31L

jirv

ϕϕ+ϕϕ−===

&&

&

ll

Veľkosť rýchlosti:

.,]cos[]sin[

3131L

23131

2313131L

ω=

ϕϕ+ϕϕ−=

lvllv &&

Vektor rýchlosti:

.)cos()sin(

],)sin)cos[(

,

3131313131L

31313131L

31L3131L

jiv

jikv

rωv

ϕ+ϕ−=

ϕ+ϕ×=

×=

lωlω

llω

Veľkosť rýchlosti:

lωωv 3131L3131L 90sin =°= r .

Vektor zrýchlenia:

.]cossin)([

]sincos)[(

3131312

3131L

3131312

3131L

31L31L31L31L

ja

ia

aava

ϕϕ+ϕϕ−=

ϕϕ+ϕϕ−=

+==

&&&

&&&

&

l

l

y

x

yx

Veľkosť zrýchlenia:

431

231

231

231 ω+ε=+= laaa yx LLL ,

kde ,3131 ϕ=ω & 3131 ϕ=ε && .

Vektor zrýchlenia:

),sin(cos )(

),sin(cos

,

31313131

31L313131L

313131

31L3131L

31L31L31L

ijkrωωa

jikrεa

aaa

ϕ−ϕ×ω==××=

ϕ+ϕ×ε==×=

+=

lω

l

n

t

nt

. ]sincos[

]cossin[

312313131

31231313131L

j

ia

ϕω−ϕε+

ϕω+ϕε−=

l

l

Veľkosť zrýchlenia:

431

231

231L

231L31L ω+ε=+= laaa nt

108

Príklad 2.25 Mechanizmus zobrazený na obrázku je uvádzaný do pohybu rotujúcim členom , ktorého uhol pootočenia je definovaný funkciou času 2

21 kt=ϕ [rad]. V čase t = 0 s bol mechanizmusv kľude a člen sa nachádzal na osi x. Vyjadrite: 1. rovnice pohybu bodu B člena vzhľadom na člen , 2. kinematické veličiny: B31B31B31B31B31B31 ,,,,, nt aaav av , 3. polomer krivosti dráhy bodu B, 4. rovnicu trajektórie bodu B. Dané: R [m]; h [m]; l [m]; e [m]; k = 4,0 rad.s−2

Obr. A

Obr. B

Člen mechanizmu koná rotačný pohyb okolo osi prechádzajúcej bodom 0 a kolmej na rovinu. Bod A sa pohybuje po kružnici s polomerom R a je bodom člena aj . Člen vzhľadom na väzbu s členom koná iba posuvný pohyb. Keďže pri posuvnom pohybe sa všetky body telesa pohybujú po zhodných trajektóriách, všetky body člena sa budú pohybovať po kružniciach s polomerom R. Člen koná posuvný pohyb vzhľadom na väzbu v bode D. Všetky jeho body člena sa pohybujú po priamke v horizontálnom smere. 1. V zvolenom súradnicovom systéme je zakreslený polohový vektor bodu B. Pomocou strán

v pravouhlom trojuholníku OCA sú vyjadrené súradnice bodu B člena vzhľadom na člen

.sin

,cos

B31

B31

21

21

ϕ−=ϕ=

RlyRx

(a)

2. Vyjadrenie kinematických veličín: B31B31B31B31B31B31 ,,,,, nt aaav av . Pre bod B sú vyjadrené nasledovné kinematické veličiny:

• polohový vektor jijir )4sin()4cos()sin()cos( 22

2121B31 ltRtRRlR −+=ϕ−−ϕ= , (b) • vektor rýchlosti

jirv 22 4848 tRttRtdt

d cossinB31B31 +−== , (c)

• veľkosť vektora rýchlosti RttRttRtvvv yx 84848 222222 =+−=+= )cos()sin(B31B31B31 [m.s−1], (d)


,]cossin)([

]sincos)([B31B31

j

iva

222

222

4848

4848

tRtRt

tRtRtdt

d

+−+

+−−== (e)

R

h

B

0

l

A

e

x

y

ϕ21

D

R

xB

B

0

l

A

e

x

y

ϕ21 C

rB yB D

109

• veľkosť vektora zrýchlenia

,

,]cossin)([]sincos)([

B31

B31

4

22222222

6418

48484848

tRa

tRtRttRtRta

+=

+−+−−= (f)

• veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia

Rvdt

dvat 8=== BB31B31

B31 & [m.s−2], (g)

• veľkosť normálovej zložky zrýchlenia 22422

B312B31B31 6464)641(64 RtRtRaaa tn =−+=−= [m.s−2]. (h)

3. Polomer krivosti dráhy bodu B možno vyjadriť na základe vzťahu

RRt

tRav

RR

va

nn ===⇒= 2

22

B31

2B31

0B0

2B31

B3164

64 [m.s−2]. (i)

4. Rovnica trajektórie je vyjadrená z parametrických rovníc pohybu (a)

21B cosϕ= Rx ⇒ RxB

21cos =ϕ ,

lRy −ϕ= 21B sin ⇒ R

ly +=ϕ B

21sin .

Po dosadení do vzťahu 1sincos 212

212 =ϕ+ϕ , dostaneme

12

B2

B =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Rly

Rx ⇒ 22

B2 )( RlyxB =++ ,

čo je rovnica kružnice s polomerom R a so stredom v bode [0, − l].

Príklad 2.26 Mechanizmus schematicky zobrazený na obrázku je uvádzaný do pohybu členom , ktorého uhol pootočenia je nasledovnou funkciou času 2

21 4t=ϕ [rad]. V čase t = 0 s bol mechanizmus v kľude a člen a nachádzal sa na osi x. Vyjadrite: 1. rovnice pohybu bodu M, ktorý sa nachádza na člene , 2. kinematické veličiny: M41M41M41M41M41M41 ,,,,, nt aaav av . Dané: R [m]; h [m]; l [m]; e [m]; k = 4,0 rad.s−2

Výsledok: 1 - 21ϕ−= cosM41 Rhx [m], ey =M41 [m]

2 - iv 2M41 4sin8 tRt−=

2M41 4sin8 tRtv = [m.s−1]

ia ]4sin84cos)8[( 222M41 tRtRt +−=

222M41 4sin84cos)8( tRtRta += [m.s−2]

222M41 4sin84cos)8( tRtRtat += [m.s−2]

02M41

2M41M41 =−= tn aaa [m.s−2]

R

h

M 0

l

A

e

x

y

ϕ21

D

110

Príklad 2.27

Výložník je uvádzaný do pohybu hydraulickým valcom podľa danej schémy. Veľkosť rýchlosti piesta v (bod A) je konštantná. Vypočítajte: 1. vektor uhlovej rýchlosti a vektor uhlového zrýchlenia výložníka, 2. veľkosť rýchlosti a veľkosť zrýchlenia bodu L.

Dané: l, d, v

Výsledok: kω 222 tvdvd

+= kε 2222

3

)(2

tvdtvd

+

−=

222 tvdvdlvL

+=

4

222

2

2222

3

)(2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−=

tvdvd

tvdtvdlaL

Príklad 2.28

Rovinný mechanizmus zdvíhacieho zariadenia schematicky znázornený na obrázku sa uvádza do pohybu otáčaním kruhovej vačky s excentricitou r. Pohyb je daný časovou závislosťou definovanou pre uhol 21ϕ . Vypočítaje veľkosť uhlovej rýchlosti ω51 a veľkosť uhlového zrýchlenia ε51 člena . Na začiatku pohybu bol mechanizmus v kľude. ÚsečkaAB a taktiež člen sa v čase t = 0 s nachádzali vo vodorovných polohách. Dané: ϕ21 = ϕ21(t); l1; l2 ; r; R; h2 ; h1 = h2 + R Výsledok:

51512121

2221

2115151 ϕ=εϕ

ϕ+

ϕ=ϕ=ω &&&& ;

sincos

rlrl

Príklad 2.29

Určte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia zdvíhadla , ktoré je zdvíhané excentricky uloženou kruhovou vačkou . Kľuka vačky (0S) sa otáča podľa zákona )(t2121 ϕ=ϕ [rad]. Na začiatku pohybu (t = 0 s) je kľuka vačky vo vodorovnej polohe a je v kľude. Dané: e, r, d

Výsledok: 2121 ϕϕ= cosev &

212121221 ϕϕ+ϕϕ−= cossin eea &&&

e S

r

ϕ x

d

0

y

A h

ϕ21

r

R

l2

h2

B

A

D

h1

C

l1

x

y D0

B0

ϕ5=?

l

x

d

A0

A

0

ω

L v y

ε

111

Príklad 2.30 Kladka spojená s telesom čapom je zasúvaná konštantnou rýchlosťou v0 pod teleso , ktoré koná rotačný pohyb. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti ω41 a veľkosť uhlového zrýchlenia ε41, 2. veľkosť rýchlosti vA41 a uhlového zrýchlenia aA41 pohybu bodu A telesa vzhľadom na teleso . Začiatočné podmienky: t = 0 s ; B ≡ B0.

Dané: l, h, r, v0 = konšt

Výsledok:

220000

041

)()( rtvhtvh

rv

−−−=ω

20

2200

200

2200

4123

])[()(

)(2rv

rtvhtvh

rtvh

−−−

−−=ε

lv 4141A ω= ; lat 4141A ε= ; lan24141A ω=

441

241

241

24141 ω+ε=+= laaa nt AAA

2200

2200

220000

20

4134rtvhrtvh

rtvhtvhlrva

−−

−−

−−−=

)()(

]))[((A

r

l

v0

h0

A s B0

B

112

3 DYNAMIKA

3.1 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

Pohybová rovnica hmotného bodu

• Newtonov spôsob zostavovania pohybových rovníc (metóda zrýchľujúcich síl)

∑=

==n

iim

1FFa , (3.1)

kde m je hmotnosť a a je zrýchlenie hmotného bodu, Fi - primárne-akčné sily a sily od účinku väzieb - reakcie, získané metódou uvoľňovania (i = 1÷n).

Vyjadrenie pohybových rovníc v karteziánskom súradnicom systéme

. ,,1=1=1=

∑∑∑ ======n

iziz

n

iyiy

n

ixix FzmmaFymmaFxmma &&&&&& (3.2)

• D’Alembertov spôsob zostavovania pohybových rovníc (fiktívna dynamická rovnováha)

0FF =+ ∑=

n

ii

1D , (3.3)

kde aF m−=D je d’Alembertova zotrvačná sila.

Metodika riešenia úloh dynamiky pomocou pohybových rovníc 1. Pohybujúci sa hmotný objekt uvoľniť vo všeobecnom časovom okamihu. 2. Definovať účinky vonkajších zaťažujúcich síl a účinky väzbových síl. 3. Zostaviť základnú pohybovú rovnicu vo vektorovom tvare (prípadne v skalárnom tvare). 4. Vektorovú pohybovú rovnicu rozpísať do skalárnych zložkových rovníc vo vhodnom

súradnicovom systéme. 5. Vyjadriť vzťahy medzi kinematickými veličinami, akciami a reakciami a vzťahy pre

pasívne odpory. 6. Riešenie sústavy skalárnych pohybových rovníc a výpočet hľadaných silových, resp.

kinematických veličín.

Základné vety dynamiky hmotného bodu

• Veta o zmene hybnosti

FH=

tdd , resp. F

tt IFHH ==− ∫

00 d , resp. Fmm Ivv =− 0 . (3.4)

• Veta o zmene momentu hybnosti

ML=

tdd , resp. ∫∫ =

tt

0dd

0

MLL

L, resp. MILL =− 0 . (3.5)

• Veta o zmene kinetickej energie

∫ ⋅=−r

rrF

0

d22

20

2 mvmv , resp. AEEE kkk =∆=− 0 . (3.6)

• Veta o zachovaní mechanickej energie

.00 konštEEEE pkpk =+=+ (3.7)

113

Veličiny uvedené vo vzťahoch: H je vektor hybnosti, L je vektor momentu hybnosti, IF je vektor impulzu sily, IM je vektor impulzu momentu, Ep je potenciálna energia, Ek je kinetická energia, A je práca akčných síl.

Príklad 3.1 Po povrchu dokonale hladkej gule s polomerom R sa pohybuje hmotný bod s hmotnosťou m. Začiatočná rýchlosť bodu je v0. Vypočítajte uhol, pri ktorom sa bod odpúta od povrchu gule.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

Obr. D

1. spôsob riešenia Riešenie pomocou pohybových rovníc zostavených metódou zrýchľujúcich síl pre hmotný

bod (HB) vo všeobecnej polohe v smere dotyčnice t a v smere normály n (obr. C), t.j.

ϕ= sinGmat , (a)

ϕ+−= cosGFma nn , (b)

kde Fn je dotyková sila medzi HB a povrchom guľovej plochy v smere normály.

Okamih odpútania sa HB od guľového povrchu nastáva v prípade 0→nF . Pohybová rovnica (b) v smere normály má potom tvar

ϕ= cosGman , resp. ϕ= cosgan . (c)

Pre normálovú zložku zrýchlenia pri pohybe po kružnici platí Rvan )(2 ϕ= . Na základe rovnice (c) je potom minimálna veľkosť obvodovej rýchlosti na odpútanie sa HB od povrchu guľove plochy vyjadrená nasledovne

m

R ϕ

r0

Fn G

ϕ

dr

r´

v0

v(ϕ)

ψ

∆r

r

v0

R

v(ϕ)

m

R

ϕ

n

t

at(ϕ)

an(ϕ)

Fn G

ϕ

v0 m

R ϕ

0

114

mm gRv ϕ=ϕ cos)( . (d)

Dráhu s HB pohybujúceho sa po kružnici je možné vyjadriť pomocou vzťahu ϕ= Rs . Z rovnice (a) vyplýva

ϕ=ϕ

===== singRddvv

dsdvv

dsdv

dtds

dsds

dtdv

dtdvat , (e)

resp. ϕϕ= dgRvdv )sin( .

Integráciou poslednej rovnice v príslušných hraniciach je vypočítaná rýchlosť HB pri jeho pohybe po guľovom povrchu v závislosti od uhla ϕ

∫∫ϕϕ

ϕϕ=0

)()sin(

0

dgRvdvv

v,

resp. )cos1(2)( 20

2 ϕ−+=ϕ gRvv . (f)

Uhol ϕm definujúci polohu HB pri odpútaní od guľového povrchu je vypočítaný zo vzťahov (d) a (f), t.j.

)cos1(2cos 20 mm gRvgR ϕ−+=ϕ ,

odkiaľ gR

gRvm 3

2arccos20 +

=ϕ .

2. spôsob riešenia Riešenie pomocou vety o zmene kinetickej energie (obr. D). Pre tento prípad riešenia platí

∫∫∫ =⋅+=⋅k

k

E

Ekn dEdd

000

)(r

r

r

rrGFrF , (g)

kde r je polohový vektor HB, Ek je kinetická energia v mieste definovanom polohovým vektorom r, Ek0 je kinetická energia na začiatku pohybu v polohe r0. Sila Fn je počas pohybu HB stále kolmá na prírastok polohového vektora dr, z čoho vyplýva, že skalárny súčin Fn . dr = 0. Integráciou vzťahu (g)

00 kk EE −=∆⋅=−⋅ rGrrG )( ,

resp. 20

221)(

21)cos(cos mvmvRRGrG −ϕ=ϕ−=ψ∆ ,

odkiaľ pre rýchlosť pohybu bodu po kružnici platí

)cos1(2)( 20

2 ϕ−+=ϕ gRvv . (h)

Na základe vzťahov (h) a (d) je uhol odpútania sa hmotného bodu od povrchu gule

gR

gRvm 3

2arccos20 +

=ϕ .

3. spôsob riešenia Riešenie pomocou zákona zachovania mechanickej energie, t.j. platí

115

.k00 onštEEEE pkpk =+=+ (i)

V prípade nulovej potenciálnej hladiny umiestnenej na úrovni stredu guľovej plochy (obr. B) možno rovnicu (i) vyjadriť v tvare

,)cos1()(21

21 22

0 konštmgRmvmgRmv =ϕ−+ϕ=+

odkiaľ pre rýchlosť pohybu bodu po kružnici platí

)cos1(2)( 20

2 ϕ−+=ϕ gRvv . (j)

Použitím vzťahov (j) a (d) je uhol vyjadrený v tvare

gR

gRvm 3

2arccos20 +

=ϕ .

Príklad 3.2 Hmotný bod s hmotnosťou m = 0,5 kg je pripojený k nehmotnej vertikálnej tyči s dĺžkou R = 1,0 m. Pohyb je hmotnému bodu udelený začiatočnou rýchlosťou v0 = 0,25 ms-1. Vypočítajte:

a - veľkosť sily v nehmotnej tyči v závislosti od uhla natočenia ϕ, b - rýchlosť hmotného bodu v prípade horizontálnej polohy tyče.

Počas pohybu sa hmotný bod m pohybuje po kružnici s polomerom R. Jeho pohybové rovnice sú zostavené pomocou metódy zrýchľujúcich síl v súradnicovom systéme normála-dotyčnica: ,sin ϕ= Gmat ,sin ϕ=⇒ gat (a)

.cos nn FGma +ϕ= .cosmF

ga nn +ϕ=⇒ (b)

Pre tangenciálnu a normálovú zložku zrýchlenia pri pohybe bodu po kružnici platí

ϕ

===Rddvv

dsdv

dtds

dsds

dtdvat ,

Rvan

2= . (c)

Po dosadení pre at do rovnice (a) a po separácii premenných sú integrované obidve strany získanej rovnice v príslušných hraniciach

∫∫ϕϕ

ϕϕ=0

)(sin

0

dgRvdvv

v, (d)

R ϕ

Fn G

m

t

n

v0

ϕ

an

at v(ϕ)

s

R ϕ

m v0

116

odkiaľ pre rýchlosť hmotného bodu vo všeobecnej polohe platí

)cos1(2)( 20 ϕ−+=ϕ gRvv . (e)

Pre prípad horizontálnej polohy tyče (t.j. 2π=ϕ ) je veľkosť rýchlosti

1220 ms436,40,1.81,9.2)25,0()2)( −=+=+=ϕ gRvv .

Veľkosť sily v tyči je vypočítaná z pohybovej rovnice (b) po dosadení za an zo vzťahu (c)

ϕ−ϕ

= cos)(2mg

RvmFn ,

resp. po dosadení za v(ϕ) a po úprave je veľkosť sily v tyči v závislosti od uhla ϕ vyjadrená pomocou vzťahu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ−+= )cos32(

20 gRv

mFn .

Sila v tyči sa počas rotácie mení z tlakovej na ťahovú, z čoho vyplýva zmena znamienka sily v uvedenom grafe.

0 30 60 90-6

0

6

12

sila

v tyči

[N

]uhol natočenia ϕ [°]

Príklad 3.3 Z výšky h sa po dokonale hladkej naklonenej rovine pohybuje hmotný bod m. Po zošmyknutí z naklonenej roviny sa hmotný bod dostane na drsnú vodorovnú plochu. Medzi vodorovnou plochou a hmotným bodom je trenie definované faktorom šmykového trenia f. Vypočítajte, akú dráhu vykoná hmotný bod po vodorovnej ploche, až sa zastaví.

Pre pohyb HB po naklonej rovine platí zákon zachovania mechanickej energie v začiatočnej polohe a v polohe, keď sa HB dostane na vodorovnú plochu

konšt.,00 =+=+ pkpk EEEE resp. 0210 2

1 +=+ mghmv . (a)

Rýchlosť HB na začiatku pohybu po horizontálnej rovine

ghv 21 = . (b)

Pomocou dÁlembertovej metódy je pre pohyb HB po naklonenej rovine zostavená pohybová rovnica

m

h s = ?

f

m

G FN

FT

a FD

i

j

117

0FF =+ ∑=

n

iiD

1, resp. 0GFFF =+++ TND . (c)

kde aF mD −= je dÁlembertova zotrvačná sila, ktorej veľkosť je maFD = . Skalárnym prenásobením rovnice (c) jednotkovými vektormi i a j dostaneme

0=−− TD FF , resp. 0=− GFN . (d)

Po dosadení za dÁlembertovu zotrvačnú silu maFD = a za treciu silu NT fFF = dostaneme

fmgfFFma NT −=−=−= , resp. fga −= , (e)

odkiaľ pre zrýchlenie platí

fgdsdvv

dsdv

dtds

dsds

dtdv

dtdva −===== . (f)

Po separácii premenných a integrácii dostaneme

∫∫ −=s

vfgdsvdv

0

0

1

, resp. fgsv−=−

2

21 . (g)

Hmotný bod na drsnej vodorovnej ploche zastaví po prejdení dráhy fhs = .

Príklad 3.4 Z výšky h padá hmotný bod s hmotnosťou m na pružinu, ktorá má konštantnú tuhosť k. Vypočítajte, aké veľké je stlačenie pružiny.

Použitím zákona o zmene kinetickej energie medzi polohami B0 a Bk dostaneme

0kk EEA += , (a)

- práca sily v pružine (Fk = kx) 2

00 21

k

x

kF kxkxdxdAk

k−=−=⋅= ∫∫

rrF ,

- práca gravitačnej sily )( xhGA GG +=⋅= rG ,

- kinetická energia na začiatku 021 2

00 == mvEk ,

- kinetická energia na konci 021 2 == kk mvE .

Bk

B0

h

xk

k

lp0

m

vk = 0

v0 = 0

x

B0

h

m

Fk G

rG

r

Bk

xk

k

lp0

Fk x

dx

x

Fk

x

kx

xk

B0

m

h

k

lp0

118

Veta o zmene kinetickej energie má po dosadení tvar

0021)( 2 −=−+ kk kxxhmg .

Rovnica popisujúca stlačenie pružiny má tvar

0222 =−− hk

mgxk

mgx kk , (b)

odkiaľ deformácia pružiny

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

mghk

kmgxk

211 . (c)

Použitím k

mgxst = - deformácia pružiny pri statickom zaťažení

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

ststk x

hxx 211 . (d)

Pre prípad 0→h , je stk xx 2= . Z tohto vzťahu vyplýva, že pri “náhlom” pripojení hmoty m k pružine je veľkosť “dynamickej” deformácie dvojnásobok statickej deformácie vznikajúcej “pomalým” pôsobením gravitačnej sily. Príklad 3.5 Ku dnu oceľovej rúrky dĺžky l0 je pripojená pružina tuhosti k stlačená na dĺžku lp0, na konci ktorej je umiestnený hmotný bod m. Nezaťažená pružina má dĺžku lp. Rúrka je od horizontu sklonená pod uhlom α. Pružina je v čase t = 0 uvoľnená. Hmotný bod sa pohybuje najskôr vo vnútri rúrky a potom je v bode C vymrštený a letí vzduchom uvažovanom ako bezodporové prostredie. Medzi hmotným bodom a rúrkou je uvažovaný faktor šmykového trenia f . Vypočítajte, do akej vzdialenosti od bodu O doletí hmotný bod.

Obr. A

m α

α

lp

x1

lp0 Fk

G

FT

FN

O

A

B a1

119

Obr. B

Obr. C Pohyb hmotného bodu je potrebné riešiť v troch etapách:

• Prvá etapa (obr. A) pohybu hmotného bodu je uvažovaná v úseku od začiatočného stlačenia pružiny lp až po polohu definovanú maximálnou dĺžkou nezaťaženej pružiny lp0 (medzi bodmi A a B). Etapu charakterizuje viazaný pohyb hmotného bodu v rúrke, pričom na hmotný bod počas jeho pohybu pôsobí gravitačná sila G, sila od stlačenej pružiny Fk, normálová sila FN a trecia sila FT. Pohybová rovnica v tomto úseku má tvar

α−−= sin1 GFFma Tk . (a)

• Druhá etapa (obr. B) pre pohyb bodu nastáva v okamihu, keď pružina nadobudne svoju dĺžku lp0 v nezaťaženom stave (nastáva strata kontaktu s hmotným bodom) až po okamih, keď opúšťa rúrku (úsek medzi bodmi B a C). Opäť je to viazaný pohyb hmotného bodu v rúrke ako v prvej etape, pričom na hmotný bod počas jeho pohybu pôsobí gravitačná sila G, normálová sila FN, trecia sila FT, ale prestala pôsobiť sila od stlačenej pružiny Fk. Pohybová rovnica v tomto úseku má tvar

α−−= sin2 GFma T . (b)

Pre obidve etapy možno z rovnice rovnováhy v smere kolmo na pohyb hmotného bodu vyjadriť veľkosť normálovej sily

α=α= coscos mgGFN ,

resp. pre treciu silu platí

α== cosfmgfFF NT .

• Tretia etapa (obr. C) nastáva v okamihu, keď hmotný bod opustí ústie rúrky (bod C) a letí voľne vzduchom až po dopad v bode D. Pohybové rovnice sú potom v tvare

03 =xma ⇒ ,03 =xa (c) mgGma y −=−=3 ⇒ ga y −=3 . (d)

Zrýchlenie hmotného bodu v prvej etape v intervale ⟩⟨∈ 01 , pp llx po dosadení do rovnice (a) za treciu, normálovú a gravitačnú silu je vyjadrené pomocou rovnice

)cos(sin)( 11 α+α−−= fglxmka p . (e)

Z uvedenej rovnice je možné vyjadriť vzťah pre závislosť rýchlosti od dráhy bodu

1

11

1

11

1

1111 dx

dvvdxdv

dtdx

dxdx

dtdv

dtdva ==== .

m

l0 G

α

vC

O

C

D

ax3 ay3

y

x

l0 cosα xD = ?

l0 sinα m α

α

l0

x2

lp

G

FT

FN

O

B

C

a2

120

Po separácii premenných v rovnici (e) a integrovaní v príslušných hraniciach

110

11

0

][ )cos(sin)( dxfglxmkdvv

p

p

B l

lp

v

∫∫ α+α−−= ,

odkiaľ pre rýchlosť hmotného bodu v polohe definovanej v bode B platí

))(cos(sin2)( 02

0 ppppB llfgllmkv −α+α−−= . (f)

Pre zrýchlenie hmotného bodu v druhej etape, t.j. v intervale ⟩⟨∈ 002 , llx p platí

)cos(sin2 α+α−= fga a po úprave podobnej ako v prvej etape

222

0

0

)cos(sin dxfgdvvl

l

v

v p

C

B∫∫ α+α−= ,

je rýchlosť hmotného bodu v polohe C vyjadrená v tvare

))(cos(sin2)( 02

0 pppC llfgllmkv −α+α−−= . (g)

Pohybové rovnice v tretej etape sú riešené nasledujúcim spôsobom:

,033 ==

dtdv

a xx ⇒ ,03 =xdv ⇒ ,0

3

cos3 =∫

α

x

C

v

vxdv

gdt

dva y

y −== 33 ⇒ gdtdvy −=3 ⇒ ,

0sin3

3

∫∫ −=α

tv

vy gdtdv

y

C

odkiaľ po integrácii pre rýchlosti hmotného bodu v tretej etape pohybu v smere x a y

dt

dxvv Cx

33 cos =α= ,

dt

dygtvv Cy

33 sin =−α= .

Po separácii a integrácii sú vyjadrené súradnice polohy bodu počas letu

dtvdxt

C

x

∫∫ α=00

3 cos3

⇒ α= cos3 tvx C , (h)

dtgtvdyt

C

y

∫∫ −α=00

3 )sin(3

⇒ 2

sin2

3tgtvy C −α= . (i)

Po eliminácii času t z oboch predchádzajúcich rovníc je získaný vzťah popisujúci dráhu bodu

α

−α= 22

23

33 2 costg

Cvgxxy . (j)

Poloha bodu D, t.j. miesta doletu je vzhľadom na súradnicový systém x, y

]sin;[D 0 α−≡ lxD .

121

Po dosadení do (j)

α

−α=α− 22

2

0 2 costgsin

C

DD v

gxxl ,

odkiaľ

)2sin(2sin

211

2

20 α

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

α++=

gv

vgl

x C

CD ,

resp. vzdialenosť bodov O a D je

DOD xll +α= cos0 . Príklad 3.6 Na kĺbovo upevnenej nehmotnej tyči dĺžky R = 2 m je pripojený hmotný bod s hmotnosťou m = 3 kg, ktorý je pomocou lana vychýlený od vertikálnej osi o uhol α = 30°. Na začiatku je sústava v pokoji. V čase t = 0 s je lano preseknuté. Vypočítajte silu N v tyči pre nasledovné prípady: a - poloha pred preseknutím lana (N0), b - poloha ihneď po preseknutí lana (N1), c - v najnižšom bode dráhy hmotného bodu (pre α = 0°) (N2).

Obr. A

Obr. B

Obr. C

a - sila v tyči v polohe pred preseknutím Tento prípad (obr. B) je rovnovážny, pričom na hmotný bod pôsobia tri sily - sila v lane S, sila v tyči N0 a gravitačná sila G. Rovnovážne rovnice sú:

∑ =i

xiF 0 ⇒ 0sin0 =α+− NS , (a)

∑ =i

yiF 0 ⇒ 0cos0 =α+− NG . (b)

Z týchto rovníc sú vypočítané neznáme sily:

- sila v lane NmgNS 99160 ,tgsin =α=α= ,

- sila v tyči NmgN 98,33cos0 =

α= .

b - sila v tyči v polohe okamžite po preseknutí

α

G

at

an N1 ϕ

R α R α

N0

GS

122

V tomto prípade nastáva limitný stav medzi rovnováhou a pohybom. Sila v lane prestala pôsobiť a pohyb ešte nenastal, t.j. rýchlosť pohybu je nulová. Na hmotný bod pôsobia dve sily: sila v tyči N1 a gravitačná sila G. Pohybové rovnice sú:

α=α= sinsin mgGmat ⇒ α= singat , (c)

11 coscos NmgNGman +α−=+α−= . (d)

Veľkosť normálovej zložky zrýchlenia pre pohyb bodu po kružnici

Rvan

2= . (e)

Vzhľadom na to, že v okamihu po preseknutí lana je rýchlosť nulová, je aj normálová zložka zrýchlenia nulová, t.j. 0=na . Rovnica (d) po dosadení za normálové zrýchlenia

1cos0 Nmg +α−= ⇒ α= cos1 mgN .

Sila v tyči v okamihu preseknutia lana:

NmgN 49,25cos1 =α= .

c - sila v tyči v polohe v najnižšom bode dráhy hmotného bodu (obr.C, pre α = 0°)

Na hmotný bod v tomto prípade pôsobia dve sily - sila v tyči N2 a gravitačná sila G. Pohybové rovnice sú:

)sin( ϕ−α= mgmat ⇒ )sin( ϕ−α= gat , (f)

2)cos( Nmgman +ϕ−α−= ⇒ 2

2)cos( Nmg

Rvm +ϕ−α−= . (g)

Pre tangenciálne zrýchlenie platí

ϕ

=====Rddvv

dsdvv

dsdv

dtds

dsds

dtdv

dtdvat , (e)

kde je použité vyjadrenie ϕ= Rs - dĺžka oblúka. Po dosadení do (f) dostaneme

)sin( ϕ−α=ϕ

gRddvv ⇒ ∫∫

α

ϕϕ−α=0

0

)sin( dgRvdvv

,

odkiaľ

)cos1(2

2α−= gRv ⇒ )cos1(2 α−= gRv . (f)

Po dosadení z (f) do rovnice (g) dostaneme pre silu v tyči

NmgN 32,37)cos23(2 =α−= .

123

Príklad 3.7

Akou minimálnou nábehovou rychlosťou vmin sa musí pohybovať hmotný bod pred vstupom (bod A) na vertikálne umiestnenú kruhovú dráhu s polomerom r = 2,8 m, aby sa dostal do hornej polohy dráhy (bod B)? Hmotný bod má hmotnosť m = 70 kg. Pasívne odpory zanedbajte.

Výsledok:

vmin = 11,72 m.s-1

Príklad 3.8

Na blok s hmotnosťou 90 kg, ktorý leží na vodorovnej podložke, pôsobí síla F = 1,5 kN podľa obrázku. Faktor šmykového trenia medzi blokom a podložkou je f = 0,25. Vypočítajte veľkosť zrýchlenia bloku.

Výsledok:

a = 9,035 ms-2

Príklad 3.9

Na kruhovom disku rotujúcom okolo zvislej osi leží vo vzdialenosti r0 = 8 cm hmotný bod s hmotnosťou m = 1,5 kg. Faktor šmykového trenia medzi hmotným bodom a diskom je f = 0,5. V čase t = 0 s sa disk roztáča z kľudovej polohy konštantným uhlovým zrychlením ε = 0,5 rad/s2. Vypočítajte čas t, pri ktorom sa začne hmotný bod šmýkať po povrchu disku.

Výsledok:

t = 15,66 s. Príklad 3.10

Hmotný bod o hmotnosti m sa pred nábehom na kruhovú dráhu pohybuje začiatočnou rýchlosťou v0. Vypočítajte rýchlosť v0 tak, aby hmotný bod po odpútaní sa pod uhlom ϕ dopadol do stredu kružnice. Pasívne odpory sú zanedbané.

Výsledok:

pre 3

1cos =ϕ ⇒ 32

1 rgv = , )32(0 −= rgv .

m

F ϕ

f

v0

v1

m

ϕ

r

r

vmin

B

A

124

Príklad 3. 11 Hmotný bod je vymrštený stlačenou pružinou. Pružina má tuhosť k a je stlačená o dĺžku l. Pri riešení uvažujte pasívne odpory.

Výsledok:

gv

h D2

2=

12 2glfl

mkvB −= , 10

2 2 fglvv BC −=

22

22

222

222

4123

241

12 2

ff

gRfef

fgRvv f

CD+

+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−= π−

Príklad 3. 12

Vypočítajte, z akej minimálnej výšky h má byť spustený hmotný bod s hmotnosťou m, aby sa dostal do polohy definovanej bodom A. Pasívne odpory zanedbajte

Výsledok:

rh25

min =

Príklad 3.13

Malá guľôčka o hmotnosti m = 0,5 kg je upevnená na kruhovú obruč s polomerom R = 0,15 m, ktorá rotuje okolo zvislej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω = 6 rad/s.

Vypočítajte: a) uhol ϕ, ktorým je určená poloha guličky pri rotácii, b) silu, ktorou pôsobí obruč na guľôčku.

Výsledok: o53,65=ϕ

84,11=F N

A B C

D

E

m k

l l0

f1 f2 R

h

R

ω

ϕ

h

r

m

A

125

Príklad 3.14

Guľôčka o hmotnosti m = 3 kg sa kĺže po ráme, ktorý má tvar paraboly

28

2xy −= .

Veľkosť rýchlosti pohybu guľôčky, keď vzdialenosť l = 2 m, je v = 5 m/s a tangenciálna zložka zrýchlenia je a = 3 m/s−2.

Vypočítajte: a - veľkosť tangenciálnej zložky sily, b - veľkosť normálovej zložky sily,

ktorou pôsobí rám na guľôčku.

Výsledok: 32,17=tF N

46,6=nF N

3.2 DYNAMIKA SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV

Kinematické veličiny i-teho HB • polohový vektor

iTTi rrr += , (3.8)

• vektor rýchlosti

iTTi vvv += , (3.9)


iTTi aaa += . (3.10)

Pohybové rovnice SHB

• posuvný pohyb SHB

∑=

=n

i

EiTm

1Fa , (3.11)

• rotačný pohyb SHB

∑=

×=n

i

EiiTTI

1Frε . (3.12)

Hybnosť SHB

T

n

iiTi mm vvH == ∑

=1. (3.13)

h0

l0

l

m

y

x

126

Moment hybnosti SHB

∑∑ ×+×=×=n

i=TiiiTTT

n

i=iii mmm

11vrvrvrL . (3.14)

Kinetická energia SHB

2T

2T

1

22T 2

121

21

21 ωvvv ImmmE

n

i=iTik +=+= ∑ , (3.15)

kde Tr - polohový vektor ťažiska, Tv - vektor rýchlosti ťažiska, Ta - vektor zrýchlenia ťažiska, ε - uhlové zrýchlenie SHB vzhľadom na ťažisko, iTr - polohový vektor pôsobiska i-tej sily vzhľadom na ťažisko, iTiT rωv ×= - vektor rýchlosti i-teho hmotného bodu vzhľadom na ťažisko, iTiTiT vωrεa ×+×= - vektor zrýchlenia i-teho hmotného bodu vzhľadom na ťažisko,

EiF - i-ta vonkajšia akčná sila,

∑=n

i=iTiT mI

1

2r - moment zotrvačnosti SHB.

Príklad 3.15 Bremená o hmotnosti m1 a m2 sú vzájomne spojené dokonale ohybným lanom, ktoré je vedené cez kladku, ktorej polomer a hmotnosť je možné zanedbať. Faktor šmykového trenia medzi bremenom m1 a naklonenou rovinou (α = 30°) je f = 0,15; hmotnosť bremena je m1 = 25 kg. Na začiatku v čase t0 = 0 s je sústava v pokoji v naznačenej polohe (h = 3 m). Po uvoľnení sústavy narazí bremeno m2 na vodorovný povrch za čas t = 3 s. Vypočítajte zrýchlenie a2, hmotnosť bremena m2 a silu v lane počas pohybu.

Úloha bude riešená pomocou pohybových rovníc, ktoré sú pre jednotlivé hmotné body m1 a m2 zostavené pomocou metódy zrýchľujúcich síl: - pohybová rovnica pre m1

α−−= sin111 GFFam T , (a)

- pohybová rovnica pre m2

FGam −= 222 . (b)

Pre hmotný bod m1 zároveň platí rovnovážna rovnica v smere kolmom na naklonenú rovinu

m1

m2

α

h

f

m1 m2

α

h

F

FT FN

G1

a1

F

G2

a2

127

0cos1 =α− GFN ⇒ α= cos1gmFN . (c)

Treciu silu medzi hmotným bodom m1 a naklonenou rovinou možno vyjadriť pomocou

α== cos1gfmfFF NT . (d)

Pre zrýchlenia oboch hmotných bodov platí m1 a m2

aaa == 21 . (e)

Po dosadení rovníc (c)−(e) do (a)−(b) sú pohybové rovníce v tvare

.

),sincos(

22

11

FgmamfgmFam

−=α+α−=

(f)

Elimináciou sily v lane F je po úprave veľkosť zrýchlenia pohybu bodov

21

1221

)sincos(mm

fgmgmaaa+

α+α−=== ,

ktoré je konštantné. Pohyb bodu m2 na dráhe h je charakterizovaný nasledovne:

dtdva = ⇒ ∫∫ =

tvadtdv

00

⇒ atv = ,

dtdsv = ⇒ ∫∫∫ ==

tthatdtvdtds

000

⇒ 221 ath = ⇒ 2

2tha = .

Pre hmotnosť hmotného bodu m2 po vyjadrení z (f) dostaneme

ag

fgamm−

α+α+=

)sincos(12 ,

a pre silu v lane

)(2 agmF −= .

Po dosadení sú hodnoty požadovaných veličín:

N. 18,171

kg, 723,18

,ms 667,0

2

-22

=

=

=

F

m

a

128

Príklad 3.16

Do balistického kyvadla pozostávajúceho z nehmotného tuhého závesu dĺžky l a zberného lapača s hmotnosťou m2 narazí projektil s hmotnosťou m2 vystrelený v horizontálnom smere rýchlosťou v1. Projektil po náraze zostane v zbernom lapači. Balistické kyvadlo sa po náraze projektilu vychýli o uhol ϕ.

Vypočítajte rýchlosť projektilu.

Projektil a zberný lapač tvoria sústavu hmotných bodov. Vzhľadom na to, že v okamihu nárazu projektilu do lapača nepôsobí v horizontálmom smere žiadna vonkajšia sila, je možné konštatovať, že hybnosť sústavy pred nárazom a v okamihu nárazu je rovnaká, t.j. platí

vv )( 2111 mmm += , (a)

resp.

vmmvm )( 2111 += ⇒ 121

1 vmm

mv

+= , (b)

kde v je spoločná rýchlosť projektilu a lapača v okamihu spojenia.

Počas pohybu spojeného projektilu a lapača z polohy definovanej okamihom spojenia po ich maximálne vychýlenie pôsobia na sústavu hmotných bodov iba konzervatívne sily. Z toho dôvodu možné pre ďalšie riešenie úlohy použiť zákon zachovania mechanickej energie, t.j.

konštanta=+=+ pBkBpAkA EEEE , (c)

po dosadení

)cos1()(00)(21

212

21 ϕ−++=++ glmmvmm , (d)

je spoločná rýchlosť vyjadrená v tvare

)cos1(2 ϕ−= glv . (e)

Rýchlosť projektilu je pomocou vzťahov (b) a (e)

)cos1(21

211 ϕ−

+= gl

mmm

v .

v1 m2

l

ϕ

m1

0 A

B

129

Príklad 3.17 Dva hmotné body m1 a m2 vzájomne spojené lanom sú umiestnené na ramene a spolu s ramenom rotujú okolo vertikálnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Vzdialenosť bodu m1 od osi rotácie je r1 a vzdialenosť bodu m2 od osi rotácie je r2. Ak je trenie medzi rámom a hmotnými bodmi zanedbané, vypočítajte: a – silu v lane spájajúcom hmotné body, b – silu pôsobiacu od hmotného bodu m2 na doraz.

Vzhľadom na to, že dráha obidvoch hmotných bodov pri rotácii je kružnica, ich výsledné zrýchlenie má dve zložky – normálovú a tangenciálnu. V prípade, že sústava rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω, potom uhlové zrýchlenie ε = 0 a potom aj tangenciálne zložky zrýchlenia 011 =ε= rat , 022 =ε= rat . Pre každý hmotný bod je zostavená pohybová rovnica pre normálový smer, t.j. platí

.

,

dn

n

FFam

Fam

−=

=

22

11 (a)

Normálové zložky zrýchlení jednotlivých bodov je možné vyjadriť v tvare

1

21

1 rv

an = , resp. 2

22

2 rv

an = . (b)

Pre obvodové rýchlosti v1 a v2 hmotných bodov m1 a m2 sú pre prípad pohybu bodov po kružnici

11 rv ω= , resp. 22 rv ω= . (c)

Po dosadení (c) a (b) do pohybových rovníc (a)

.

,

dFFrm

Frm

−=ω

=ω2

22

211 (d)

Z týchto dvoch rovníc sú vyjadrené: - sila v lane 2

11 ω= rmF ,

- sila na doraz )( 22112 rmrmFd −ω= .

m2

ω

r1

r2

G2 G1

m1

F

F

Fd

an1

an2

m2

m1

ω

r1

r2

130

Príklad 3.18 Dva hmotné body m1 a m2 vzájomne spojené lanom (viď. príklad 3.17), sú umiestnené na ramene a spolu s ramenom rotujú okolo vertikálnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Vzdialenosť bodu m1 od osi rotácie je r1 a vzdialenosť bodu m2 od osi rotácie je r2. Faktor šmykového trenia medzi hmotným bodom m1 a ramenom je f1 a medzi hmotným bodom m2 a ramenom f2. Vypočítajte: a - silu v lane spájajúcom hmotné body, b - silu pôsobiacu od hmotného bodu m2 na doraz.

Výsledok: a) )( 1

211 gfrmF −ω= ,

b) gfmfmrmrmFd )()( 22112

2211 +−ω−= . Príklad 3.19

Balík s hmotnosťou mz je hodený rýchlosťou vz na plošinu dopravného vozíka, ktorého hmotnosť je mv. Vozík je v okamihu dopadu balíka v pokoji, t.j. jeho rýchlosť je vv = 0. Vypočítajte spoločnú rýchlosť vozíka s balíkom.

Výsledok:

vz

zzmm

vmv+

=

Príklad 3.20

Dva hmotné body m1 a m2 sú pripojené na lano podľa obrázka. V začiatočnom stave je hmotný bod m1 v polohe určenej bodom A0. Zo začiatočnej polohy sú uvoľnené a následne sa obidva hmotné body pohybujú až do zastavenia. Vypočítajte dráhu hmotného bodu m1. Definujte podmienku platnosti formulovaného problému.

Výsledok:

21

22

211

44

mmlmm

s−

= - platn pre 21 2mm <

mv mz

v = ?

mv mz

vz

vv = 0

m1

m2

s1

l0 l0

s2

A0

131

Príklad 3.21 Na nehmotnom ramene rotujúcom okolo zvislej osi sa nachádza hmotný blok m, ktorý je pomocou lana vinúceho sa cez nehmotnú kladku spojený s bremenom m0. V začiatočnom stave (t = 0 s) sa hmotný blok m nachádza vo vzdialenosti l0 a rameno je roztočené na konštantnú uhlovú rýchlosť ω0. Medzi ramenom a hnotným blokom je faktor šmykového trenia f. Uvoľnením sa hmotný blok m postupne približuje k osi rotácie. Vyjadrite časovú závislosť uhlovej rýchlosti ω(t) rotácie ramena.

Výsledok:

22

0

00

20

0

)(2

)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

ω=ω

gtmm

fmml

lt

Príklad 3.22 Dva hmotné bloky s hmotnosťami m1 a m1, umiestnené na plošine, sú spojené lanom cez sústavu nehmotných kladiek. Jeden koniec lana je pevne uchytený na rám a na druhom konci lana pôsobí ťahová sila. Medzi blokmi a plošinou, po ktorej sa bloky šmýkajú, sú faktory šmykového trenia f1 a f2. Určte, akými zrýchleniami sa pohybujú hmotné bloky.

Výsledok:

11

12 gfmFa −= 2

22

2 gfm

Fa −=

m1

m2

F

f1

f2

f

l0

m

m0

ω

x(t)

132

3.3 GEOMETRIA HMÔT

Všeobecná definícia momentov zotrvačnosti a deviačných momentov

- pre SHB ∑=n

i=ii rmI

1

2 , (3.16)

- pre tuhé teleso ∫=)(

2dm

mrI . (3.17)

Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k súradnicovým osiam

∑ +=n

i=iiix zymI

1

22 )( ∫ +=)(

22 d)(m

x mzyI ,

∑ +=n

i=iiiy xzmI

1

22 )( ∫ +=)(

22 d)(m

y mxzI , (3.18)

∑ +=n

i=iiiz yxmI

1

22 )( ∫ +=)(

22 d)(m

z myxI .

Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k súradnicovým rovinám

∑=n

1=i

2ii zmI xy ∫=

)(

2dm

xy mzI ,

∑=n

i=iiyz xmI

1

2 ∫=)(

2dm

yz mxI , (3.19)

∑=n

i=iizx ymI

1

2 ∫=)(

2dm

zx myI .

Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k stredu súradnicového systému

∑ ++=n

i=iiiiP zyxmI

1

222 )( ,

∫ ++=)(

222 d)(m

P mzyxI . (3.20)

Deviačné momenty SHB, resp. tuhého telesa

∑=n

i=iiixy myxD

1 ∫=

)(d

mxy mxyD ,

∑=n

i=iiiyz mzyD

1 ∫=

)(d

myz myzD , (3.21)

∑=n

i=iiizx mxzD

1 ∫=

)(d

mzx mzxD .

133

Transformačné vzťahy zxxyx III += , xyyzy III += , yzzxz III += ,

zxyp III += , xyzp III += , yzxp III += (3.22)

yzxyzxp IIII ++= , 2

zyxp

IIII

++= .

Steinerova veta - momenty zotrvačnosti, deviačné momenty k rovnobežne posunutým osiam

,)(22 22 meemzemyeII zyTzTyxx ++−−=′

,)(22 22 meemzemxeII zxTzTxyy ++−−=′

,)(22 22 meemyemxeII yxTyTxzz ++−−=′

,2 2memzeII zTzxyyx +−=′′

,2 2memxeII xTxyzzy +−=′′ (3.23)

,2 2memyeII yTyzxxz +−=′′

,)(222 222 meeemzemyemxeII zyxTzTyTxPP +++−−−=′

,22 meemxemyeDD yxTyTxxyyx +−−=′′

,22 meemyemzeDD zyTzTyyzzy +−−=′′

.meemxemzeDD zxTzTxzxxz +−−=′′ 22

Moment zotrvačnosti ku všeobecnej osi prechádzajúcej stredom súradnicového systému

.coscoscoscoscoscos

coscoscos

αγ−γβ−βα−

γ+β+α=

zxyzxy

zyxo

DDD

IIII

222

222

(3.24)

Všeobecné vyjadrenie momentu zotrvačnosti a deviačného momentu útvaru zloženého z m jednoduchých telies

∑=m

i=iII

1, ∑=

m

i=iDD

1.

z z’

y

x

x’

y’

0

0’

ex

ez

ey

x

y

z

x’ z’

y’

T [xT, yT, zT]

dm

134

Model Momenty zotrvačnosti

)(31 2

22121 llllmI y +−=

221 mrI x = )3(

1222 rhmII zy +==

241 mrII zxxy == 2

121 mhI yz =

)6(12

22 rhmIT +=

)(12

22 cbmI x +=

)(12

22 camI y +=

)(12

22 bamI z +=

212

cmI xy =

212

amI yz =

212

bmI zx =

)(12

222 cbamIT ++=

)2(20

22 hrmII yx +== 2

103 mrIz =

2203 mrII zxyz == 2

101 mhI xy =

)3(10

220 hrmI +=

252 mrIII zyx ===

251 mrIII zxyzxy ===

253 mrIT =

h

r x y

z

0

x

y

z

r

m

T h

x

y

z m

b

a

c

T

x

y

z

l1

l2

m

x

y

z m

r T

135

Príklad 3.23 Vypočítajte moment zotrvačnosti oceľovej súčiastky vzhľadom na os o. Hustota ocele je ρFe.

Moment zotrvačnosti súčiastky vzhľadom k osi o je daný súčtom momentov zotrvačnosti jednotlivých častí, z ktorých je súčiastka zložená, t.j.

ooooo IIIII 4321 +++= , (a)

- moment zotrvačnosti telesa 1:

21

2111 2

1 hmrmI o += , (b)

12

111 lrVm FeFe πρ=ρ= ,


2222 2

1 rmI o = , (c)

22222 lrVm FeFe πρ=ρ= ,


( )2

21

321

2033 212

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++= hhmhbmI o , (d)

tbhVm FeFe 0133 ρ=ρ= ,


( )2

20

420

2044 212

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++= hhmhbmI o , (e)

)( 00044 ttbhVm FeFe −ρ=ρ= .

b0

h0

h2

t0 − t

o

b0

h1

h2

t

o

r2 l2

o

r1 l1

o

h

r1

r2

h

l2

l1 b0

h0

h1

h2

t0

t

o

136

Po dosadení vzťahov (b)-(d) do rovnice (a)

].[][

)(

)(

)()(

)(

)(

02220

20000

12221

2001

21

212

421

41

12412

12412

2

hhhhbttbh

hhhhbtbh

hlrlrlrI

Fe

Fe

Feo

−++−ρ

+

−++ρ

+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π++π

ρ=

Príklad 3.24 Vypočítajte moment zotrvačnosti trojuholníkovej dosky vzhľadom na os o.

Všeobecný vzťah pre výpočet momentu zotrvačnosti k osi o je vyjadrený v tvare

∫ +==)(

22 )(m

xo dmzyII . (a)

Z trojuholníkovej dosky je vybratý element, ktorého hmotnosť je dxdydzdm ρ= . (b) Po dosadení za dm do rovnice (a) je moment zotrvačnosti vyjadrený ako trojný integrál

∫ ∫ ∫ +ρ=b xy t

o dxdydzzxyI0

)(

0 0

22 ]))([( . (c)

Vzhľadom na geometrický tvar dosky je súradnica y funkciou x, t.j. z podobnosti trojuholníkov vyplýva

xbhxy =)( . (d)

Postupnou integráciou rovnice (c) je vypočítaný moment zotrvačnosti dosky k osi o

,33

3))((]))([(

0

33

3

3

0

)(

0

32

0

)(

0 0

22

∫

∫ ∫∫ ∫ ∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ρ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ρ=+ρ=

b

b xyb xy t

o

dxxbhtx

hth

dxdytxytdxdydzzxyI

[ ],26

22 thmIo += kde 2

bhtm ρ= je hmotnosť dosky.

y x

dx

dy

b

h

t

o

137

Príklad 3.25

Vypočítajte moment zotrvačnosti anuloidu s hmotnosťou m, polomerom R vzhľadom na zvislú os. Prierez má polomer r.

Výsledok:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += 22

43 rRmIo

Príklad 3.26

Vypočítajte moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os o. Merná hmotnosť ocele je ρFe.

Výsledok:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−−

+πρ

= )5()(

510 12

41

20

052

524

2 hhrrr

hrrhrI Fe

o

Príklad 3.27

Vypočítajte momenty zotrvačnosti polgule s polomerom R a hmotnosťou m vzhľadom k osiam prechádzajúcim ťažiskom.

Výsledok:

232083 mRII yx == , 2

52 mRI z =

Príklad 3.28

Vypočítajte moment zotrvačnosti telesa vzhľadom k osi 0 zloženého z dvoch po dĺžke homogénnych tyčí konštantných prierezov s hmotnosťami m1 a m2.

Výsledok:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++=

2

022

12222

2110 212

131 lllmlmlmI .

m1

m2

l1

l2

l0

0

x

R

y

z

T

o

r0

r1

r2

h0

h

h1

h2

o

138

3.4 DYNAMIKA TUHÉHO TELESA

Hybnosť tuhého telesa

• posuvný pohyb TmvH = ,

• rotačný pohyb ToT mm rωvH ×== (ťažisko T mimo osi rotácie o), (3.25)

• všeobecný pohyb TmvH = .

Moment hybnosti tuhého telesa

• posuvný pohyb TT mvrL ×= ,

• rotačný pohyb ωL oo I= , (3.26)

• všeobecný pohyb ωvrL TTT Im +×= .

Kinetická energia tuhého telesa

• posuvný pohyb 221

Tk mvE = ,

• rotačný pohyb 2

21

ω= ok IE , (3.27)

• všeobecný pohyb 2221

21

ω+= TTk ImvE .

Pohybové rovnice tuhého telesa

• posuvný pohyb ∑=n

i=

EiTm

1Fa , (3.28)

,∑ ×=n

i=

EiiT

1Fr0 (rovnovážna momentová rovnica) (3.29)

• rotačný pohyb ∑=n

i=

Ei

1F0 , (rovnovážna silová rovnica) (3.30)

∑=i

iooI Mε , (3.31)

• všeobecný pohyb ∑=

=n

i

EiTm

1Fa , (3.32)

∑=

×=n

i

EiiTTI

1Frε , (3.33)

kde m je hmotnosť telesa, IT - moment zotrvačnosti telesa k ťažisku, Io - moment zotrvačnosti telesa k osi rotácie, rT - polohový vektor ťažiska, vT - vektor rýchlosti ťažiska, aT - vektor zrýchlenia ťažiska, ω - vektor uhlovej rýchlosti telesa, ε - vektor uhlového zrýchlenia telesa, E

iF - vektor externého silového účinku.

139

Príklad 3.29 Posuvné dvere o hmotnosti m a rozmeroch l0×h sú zavesené na vodorovnom nosníku. Na pravej strane (A) sú dvere zavesené na kladke so zanedbateľnými odpormi a na ľavej strane (B) sú zavesené pomocou šmykového závesu s faktorom šmykového trenia f. V lane pripojenom ku kladke sú dvere ťahané konštantnou silou F, ktorá začne pôsobiť v čase t = 0 s, kedy sú dvere v pokoji. Určte, akým zrýchlením aTx sa budú dvere pohybovat a za aký čas sa dvere presunú tak, aby uzatvorili otvor šírky l0.

V prípade pôsobenia sily F dvere konajú posuvný pohyb. Zrýchlenie dverí Txa a čas t, za ktorý dvere uzatvoria otvor šírky l0, je možné určiť z pohybovej rovnice. Pohybová rovnica pre horizontálny pohyb dverí je zostavená pomocou metódy uvoľňovania, t.j.

AT TFma x −= . (a)

Zároveň platia pre dvere rovnice rovnováhy

0=∑i

iyF ⇒ 0BA =−+ GNN , (b)

0T =∑i

iM ⇒ 0)()( A000B2A1 =++++−+− ThhFhrhNlNl . (c)

Vzhľadom na to, že tri rovnice (a-c) obsahujú štyri neznáme - ABAT ,,, TNNa x , je potrebné z dôvodu riešiteľnosti sústavy rovníc formulovať ďalšiu doplnkovú rovnicu založenú na vzájomnej závislosti trecej (TA) a normálovej sily (NA), t.j.

AA fNT = . (d)

Z rovnice (b) je vyjadrená sila NB

AB NGN −= . (e)

Dosadením (d) a (e) do (c) sú vypočítané normálové sily v bodoch A a B

)()(

021

002A hhfll

FrhhmglN

+−+++−

= ,

)(

)())((

021

0001B hhfll

FrhhmghhflN

+−+++++−

= .

l1 l2

h0

r0

T

l0

B

FA

NB NA

TA

G

aTx

h

h

l1 l2

h0

r0

T

l0

A B

l0

m

h

h

140

Z pohybovej rovnice (a) po dosadení za TA je vyjadrené zrýchlenie

)(

)(

021

2021T hhfll

mgflFfrlla x +−+

−++= . (f)

Vzhľadom na to, že všetky členy na pravej strane rovnice sú konštanty, je zrejmé, že aj zrýchlenie xaT musí byť konštantné. Z toho dôvodu pre uvažované podmienky konajú dvere rovnomerne zrýchlený pohyb. Zrýchlenie dverí možno vyjadriť v tvare

dt

dva x

xT

T = ,

odkiaľ po separácii premenných a následnej integrácii v príslušných hraniciach je vyjadrená rýchlosť posuvného pohybu dverí

dtadv xx TT = ⇒ ∫∫ =t

x

v

x dtadvx

0T

0T

T ⇒ tav xx TT = .

Pre rýchlosť všeobecne platí

dtdxv x =T ⇒ ∫∫∫ ==

t

x

t

x

l

tdtadtvdx0

T0

T0

0 ⇒

2

2

T0tal x= .

Z poslednej rovnice je vyjadrené t

xa

lt

T

02=

a po dosadení za xaT je čas potrebný na uzatvorenie otvoru šírky l0 vyjadrený vzťahom

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−+

=mgflFfrll

hhflllt

2021

0210 )(

)(2 .

Príklad 3.30 Teleso s hmotnosťou m je z kľudovej polohy ťahané silou F na naklonenej rovine (obr.A) so sklonom β. Faktor šmykového trenia medzi telesom a naklonenou rovinou je f. Vypočítajte zrýchlenie, akým sa bude teleso pohybovať, časovú závislosť dráhy telesa a väzbové reakcie v prípade, keď bude ťažná sila F konštantná.

Obr.A

Obr.B

141

Teleso vykonáva priamočiary posuvný pohyb. Zostavenie príslušných rovníc je podmienené uvoľnením telesa (obr. B). Teleso vykonáva pohyb iba v smere naklonej roviny a z toho dôvodu bude zostavená iba jedna pohybová rovnica pre smer naklonenej roviny. Ďalšie dve rovnice - smer kolmo na naklonenú rovinu a rotácia okolo ťažiska budú rovnovážne.

Pohybová rovnica pre smer naklonenej roviny (zostavená metódou zrýchľujúcich síl):

β−−−= sinGTTFma BA . (a)

Rovnovážne rovnice:

- smer kolmo na naklonenú rovinu

∑ =i

iF 0 : 0cos =β−+ GNN BA , (b)

- momentová rovnovážna rovnica vzhľadom na ťažisko

∑ =i

TiM 0 : 0)(210 =+−+−− BATBA TThNlNlFh . (c)

Je potrebné uviesť vzťahy pre šmykové sily BA TT , v bodoch A a B

AA fNT = , BB fNT = , (d)

kde BA NN , sú normálové sily v bodoch A a B. Z rovníc (b)-(d) sú vyjadrené normálové sily v bodoch A a B, t.j.

)(

cos)(

21

01ll

FhmgfhlN T

A ++β+

= , (e)

)(

cos)(

21

02ll

FhmgfhlN T

B +−β−

= . (f)

Po dosadení (d) a (e) do pohybovej rovnice (a) je veľkosť zrýchlenia vyjadrená v tvare

)cos(sin β+β−= fgmFa . (g)

Vzhľadom na to, že všetky členy pravej strany rovnice (f) sú konštanty, aj zrýchlenie pohybu telesa po naklonenej rovine bude konštantné, a teda možno konštatovať, že teleso koná rovnomerne zrýchlený pohyb. Rýchlosť pohybu telesa je vyjadrená nasledovným postupom:

dtdva = ⇒ adtdv = ⇒ ∫∫ =

tv

adtvd00

⇒ atv = .

Pre dráhu telesa po naklonenej rovine potom platí:

dtdsv = ⇒ atdtvdtds == ⇒ ∫∫ =

ts

atdtsd00

⇒ 22tas = .

Časová závislosť dráhy je definovaná vzťahom

22

)cos(sin tfgmFs ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ β+β−= .

142

Príklad 3.31 Na vozíku, ktorý sa pohybuje zrýchlením au, je umiestnená tyč, ktorá je v bode A spojená s ložnou plochou kĺbom a v bode B je opretá. Tyč má hmotnosť m a je po celej dĺžke l homogénna. Vypočítajte: a - minimálnu veľkosť zrýchlenia au, pri ktorom nastane strata kontaktu medzi tyčou a

vozíkom v bode B, b - veľkosť sily, ktorou je zaťažovaný čap v bode A.

Obr. A

Obr. B

Pre tyč, ktorá je uložená na vozíku, sú (podľa výpočtového modelu na obr. B) zostavené nasledovné rovnice:

0=∑i

xiF ⇒ 0=−− BDux NFA ,

0=∑i

yiF ⇒ 0=− GAy , (a)

0=∑i

AiM ⇒ 0cos22

=+α− hNlGhF BDu ,

kde ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α

lharcsin .

V rovniciach (a) je použitá dÁlembertova zotrvačná sila FDu, ktorá pôsobí na tyč a je spôsobená unášavým pohybov vozíka. Pre vektorové vyjadrenie unášavej zotrvačnej sily FDu

uDu maF −= ,

pričom pre jej veľkosť platí

uDu maF = .

Kontakt v bode B medzi tyčou a vozíkom nastane vtedy, keď bude platiť

0→BN .

Na základe tohto konštatovania, ak v tretej rovnici (a) položíme 0=BN , pre minimálnu veľkosť zrýchlenia vozíka platí

α≥ coshlgau .

α

m,IO

l 2

l 2

T

A

NB

G

Ax

Ay

au

B

h

l

h m

au

A

B

143

Pre veľkosť síl pôsobiacich na čap v smere súradnicových osí potom

α= coshlmgAx ,

mgAy = ,

resp výsledný silový účinok na čap

1cos22

22 +α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

hlmgAAA yx .

Príklad 3.32 Hnací moment elektromotora je definovaný závislosťou )1(0 ω−= mh kMM , kde nπ=ω 2 je uhlová rýchlosť, n sú otáčky elektromotora, M0 a km sú konštanty elektromotora. Elektromotor má v celom rozsahu otáčok konštantné straty vyjadrené konštantným odporovým momentom rM . Moment zotrvačnosti rotora elektromotora je mI .

Vypočítajte: a - časovú závislosť otáčok )(tnn = , b - maximálne otáčky rotora elektromotora a čas, za ktorý ich rotor dosiahne.

V rámci tejto úlohy je riešený problém dynamiky rotačného pohybu telesa. Východiskom pre riešenie je zostavenie pohybovej rovnice

rhm MMI −=ε . (a)

Pre vyjadrenie zrýchlenia je použitý vzťah

dtdω

=ε

a po dosadení do rovnice (a) dostaneme

rmm MkMdtdI −ω−=

ω )1(0 ,

resp.

ω−−

=ω

m

m

m

rI

kMI

MMdtd 00 . (b)

Im

Mh Mr

ω ε

144

Po separácii premenných je

dt

IkM

IMM

d

m

m

m

r=

ω−−

ω

00

a následnou integráciou v príslušných hraniciach

∫∫ =ω−

−ω

ω t

m

m

m

rdt

IkM

IMM

d

00 00,

je získaná časová závislosť uhlovej rýchlosti

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=ω=ω

− tI

kM

m

r mm

ekMMM

t0

1)(0

0 . (c)

Časová závislosť otáčok elektromotora je vyjadrená zo vzťahu nπ=ω 2 , t.j. platí

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

π−

=π

ω=

− tI

kM

m

r mm

ekMMMttn

0

122

)()(0

0 . (d)

Maximálne otáčky elektromotora sú vypočítané nájdením extrému funkcie )(tn

0)(=

dttdn . (e)

Pre čas maxt , pri ktorom bude mať elektromotor maximálne otáčky, musí podľa rovnice (e) splniť podmienku

0max

0

=− t

IkM

m

m

e . (f)

Rovnica (f) je splnená iba pre prípad, keď

∞→maxt . (g)

00,0

nmax

Otáčk

y ro

tora

n(t)

Čas t

Obr. A

To znamená, že rotor elektromotora nedosiahne maximálne otáčky v reálnom časovom horizonte, ale iba sa k nim asymtoticky približuje (viď. obr. A).

Asymtotická hodnota maximálnych otáčok, ku ktorým sa blížia otáčky rotora, je vyjadrená z rovnice (d) po dosadení za maxt z rovnice (g), t.j.

m

rkMMM

n0

0max 2π

−= .

145

Príklad 3.33 Lietadlo s hmotnosťou m pristáva pristávacou rýchlosťou v0 na dve kolesá, ktoré sú pri pristávaní v pokoji. Kolesá majú polomer r a moment zotrvačnosti I. Faktor šmykového trenia medzi kolesami a pristávacou plochou je f. Pasívne odpory v ložiskách kolies sú zanedbané. Vypočítajte, za aký čas sa kolesá prestanú šmýkať a začnú sa odvaľovať.

Pri zanedbaní vztlakovej sily je koleso lietadla pri pristávaní na pristávaciu plochu pritláčané silou, ktorá sa rovná polovičnej hodnote gravitačnej sily pôsobiacej na lietadlo, t.j.

Nkk FgmmGGF =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

221 .

V okamihu dotyku kolesa s pristávacou plochou začne na koleso pôsobiť trecia sila

gmmffFF kNT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2. (a)

Pohybová rovnica kolesa liedadla pre jeho rotačný pohyb má potom tvar

rFI Tk =ε , (b)

z ktorej pre uhlové zrýchlenie platí

rIfgmmr

IF

kk

k

T ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==ε

2. (c)

Keďže veličiny nachádzajúce sa na pravej strane rovnice sú konštantné, bude konštantné sj uhlové zrýchlenie ε. Pre časovú závislosť uhlovej rýchlosti ω rotácie kolesa potom platí

rtIfgmmtk

k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ε=ω

2. (d)

Koleso sa po pristávacej dráhe prestane šmýkať, ak začne platiť vzťah pre odvaľovanie kolesa

r

v0=ω . (e)

Platnosť rovnice (e) nastane vtedy, ak sa dotykové body na obvode kolesa a body na pristávacej dráhe nebudú voči sebe prešmykovať, t.j. vznikajú podmienky pre odvaľovanie kolesa a dotykové body sú vlastne okamžité stredy otáčania.

Z rovnice (d) je po dosadení rovnice (e) vyjadrený čas, kedy prestane šmýkanie kolies po pristávacej dráhe

)2(

220

k

k

mmfgrI

vt+

= .

mk, Ik

r

F1

FN

FT

v0

ω

146

Príklad 3.34 Homogénny kruhový kotúč je ovinutý nehmotným lankom. Jeden koniec lanka je upevnený na valcovej časti kotúča a druhý koniec je pripojený na nehybný základ. Kotúč sa po uvoľnení začne pohybovať. Vypočítajte zrýchlenie ťažiska kotúča, uhlové zrýchlenie kotúča a silu, ktorá pri pohybe kotúča vznika v lanku. Pasívne odpory zanedbajte.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

Kotúč sa po uvoľnení začne pohybovať a koná všeobecný pohyb, t.j. posuvný pohyb smerom dolu a zároveň rotačný pohyb okolo ťažiska. Pohybové rovnice, z ktorých je možné požadované veličiny vypočítať, môžu byť zostavené dvoma spôsobmi:

- metóda zrýchľujúcich síl (podľa obr. B)

NGma −= , (a)

NrIT =ε , (b)

- dÁlembertovou metódou (podľa obr. C)

0FF =+ ∑i

iD ⇒ 0=−− DFNG , (c)

0MM =+ ∑i

TiDT ⇒ 0=− rNM D , (d)

kde aF mD −= - vektor dÁlembertovej zotrvačnej sily - veľkosť je maFD = ,

εTD I−=M - vektor dÁlembertovho zotrvačného momentu - veľkosť je ε= TD IM .

Po dosadení za FD a MD do rovníc (c) a (d) sú získané tie isté pohybové rovnice, ako sú rovnice získané metódou zrýchľujúcich síl, t.j.

NGma −= ,

NrIT =ε .

Vzhľadom na to, že máme zostavené iba dve pohybové rovnice a v týchto rovniciach sú tri neznáme (a, ε, N), ktoré máme vypočítať, je potrebné zostaviť ďalšiu doplnkovú rovnicu medzi uvedenými neznámymi, t.j.

ra ε= . (e)

Riešením sústavy rovníc (a), (b) a (e) sú vyjadrené požadované veličiny

ga32

= , rg

32

=ε , 3

mgN = .

m, IT

r

T

N

G

FD

MD OSO

m, IT r

T

N

G

a ε OSO

m, I r

T

147

Príklad 3.35 Rotačne symetrické teleso s hmotnosťou m je spustené po naklonenej rovine s uhlom sklonu β. Teleso sa valí na polomere r. Dráhu valenia l teleso prejde za čas t. Vypočítajte moment zotrvačnosti IT telesa vzhľadom na os symetrie.

Teleso pri valení vykonáva všeobecný pohyb a pre riešenie úlohy sú zostavené rovnice:

- pohybová rovnica pre pohyb ťažiska telesa v smere naklonenej roviny

TT FGma −β= sin , (a)

- pohybová rovnica pre rotáciu telesa okolo ťažiska

rFI TT =ε , (b)

- rovnica rovnováhy telesa v smere kolmo na naklonenú rovinu

∑ =i

iF 0 ⇒ 0cos =β− GFN . (c)

V uvedených troch rovniciach je päť neznámych veličín:

aT, ε, FT, FN, IT.

Doplnková kinematická rovnica, ktorá je použitá pre riešenie:

raT ε= . (d)

Z rovnice (d) je vyjadrené uhlové zrýchlenie

r

aT=ε

a z rovnice (b) je vyjadrená trecia sila

TTT

T arI

rI

F 2=ε

= . (e)

Po dosadení (e) do pohybovej rovnice (a) je vyjadrené zrýchlenie ťažiska

2

sin

rIm

mgaT

T+

β= . (f)

β

l

vT0 = 0 ω0 = 0

t

r

R

T

T

T

aT

ε

vT

ω

t = 0

FN

FT

G

148

Všetky veličiny na pravej strane rovnice (f) sú koštantné a z toho vyplýva, že aj zrýchlenie ťažiska je konštantné. Na základe toho teleso koná rovnomerne zrýchlený pohyb.

Rýchlosť pohybu ťažiska telesa:

dt

dva T

T = ⇒ dtadv TT = ⇒ ∫∫ =t

TT

v

dtavdT

00

⇒ tav TT = .

Dráha ťažiska telesa po naklonenej rovine:

dt

dsv T

T = ⇒ tdtadtvds TTT == ⇒ ∫∫ =t

TT

l

tdtasd00

⇒ 22t

Tal = .

Po dosadení do poslednej rovnice za aT z rovnice (f)

22

2 2sin t

TImrgmrl

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

β= ,

odkiaľ pre moment zotrvačnosti telesa platí

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

β= 1

2sin2

2l

gtmrIT .

Príklad 3.36 Pre ojnicu kľukového mechanizmu, ktorá má hmotnosť m a je zobrazená na obrázku A, vypočítajte moment zotrvačnosti k ťažisku.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

T

lT

l

A B

m

G

NA

NB

r

T

lT

l

A

m

ϕ

T

G

ε

r

T

lT

l

r

149

Ojnica kľukového mechanizmu je tvarovo komplikované, prípadne nehomogénne teleso. Vzhľadom na to je veľmi obťažné vypočítať momenty zotrvačnosti pomocou základných definičných vzťahov. Pre telesá tohto typu je možné vypočítať ich moment zotrvačnosti nepriamo. Podstatou riešenia je tzv. fyzikálne kyvadlo.

Ojnica je kĺbovo uchytená v bode A (obr. C) a po vychýlení o uhol ϕ a následnom uvoľnení bude konať rotačný pohyb okolo bodu A. Jej pohybovú rovnicu možno napísať metódou zrýchľujúcich síl v tvare

ϕ+−=ε sin)( rlGI TA , (a)

kde ϕ=ε && je uhlové zrýchlenie a AI je moment zotrvačnosti ojnice na bod A. Po úprave má rovnica (a) tvar

0sin)( =ϕ++ϕ rlmgI TA && ⇒ 0sin)(

=ϕ+

+ϕA

TI

rlmg&& . (b)

Rovnica (b) je vzhľadom na ϕsin nelineárna diferenciálna rovnica. Pre malé uhly o5<ϕ platí ϕ≅ϕsin (vo vzťahu je ϕ v radiánoch). Na základe tohto predpokladu je diferenciálna rovnica linearizovaná a má tvar

0)(

=ϕ+

+ϕA

TI

rlmg&& ⇒ 02

0 =ϕω+ϕ&& .

Pre vlastnú kruhovú frekvenciu ω0 oscilačného pohybu ojnice platí

0

02)(TI

rlmg

A

T π=

+=ω , (c)

kde T0 je perióda oscilačného pohybu ojnice.

Uvedený postup je možné aplikovať na experimentálne určovanie momentu zotrvačnosti telies, ktoré sú tvarovo komplikované a nehomogénne. Na výpočet momentu zotrvačnosti AI zo vzťahu (c) je potrebné zmerať čas trvania kyvu ojnice, t.j. jednu periódu.

Na vyjadrenie momentu zotrvačnosti AI potom platí

2

20

4)(

π+=

TrlmgI TA . (d)

Veličiny - m, r, T0 vystupujúce v rovnici (d) sú buď zadané, alebo sa dajú zmerať. Poloha ťažiska Tl , ak nie je zadaná, sa taktiež dá zistiť experimentálne podľa schémy na obr. B. Ojnica je na jednej strane podopretá v pevnom bode A a druhý koniec ojnice je podopretý v bode B, ktorý je umiestnený na váhach, pomocou ktorých je odmeraná hmotnosť mB v „podopretí“ – bod B. Na základe schémy (obr. B) je možné zostaviť rovnovážne rovnice

0=∑i

yiF ⇒ 0=−+ GNN BA ,

0=∑i

AiM ⇒ 0)()( =+−+ GrlNrl TB ,

kde gmN BB = a mB je hodnota zmeraná na váhach.

150

Z druhej z rovnovážnych rovníc pre polohu ťažiska Tl vyplýva

rm

mrll BT −+= )( .

Po dosadení za Tl do rovnice (d) je vyjadrený moment zotrvačnosti na bod A

2

20

4π+=

TrlgmI BA )( .

Pre výpočet momentu zotrvačnosti vzhľadom na ťažisko T je použitá Steinerova veta. Moment zotrvačnosti k bodu A, ktorý je posunutý o Tl vzhľadom na ťažisko, je vyjadrený pomocou ťažiska v tvare

2TTA mlII += .

Pre moment zotrvačnosti ojnice vzhľadom na ťažisko platí

22

202

4)( TBTAT ml

TrlgmmlII −

π+=−= ,

resp.

2

2

20 )(

4)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

π+= r

mmrlm

TrlgmI B

BT .

Príklad 3.37

Tyč konštantného prierezu s rovnomerným rozložením hmotnosti po dĺžke má hmotnosť m = 2 kg a dĺžku l = 35 cm. V bode A je upevnená ideálnym rotačným kĺbom a v bode B lanom. Vypočítajte zrýchlenie ťažiska tyče a veľkosť reakcie v bode A v okamihu po preseknutí lana.

Výsledok:

aT = 7,36 ms-2 RA = 4,9 N Príklad 3.38

Homogénna hmotná tyč, ktorej hmotnosť je m = 3,63 kg a dĺžka l = 0,92 m, má konce pripojené k nehmotným objímkam v bodoch A a B. Kĺzanie objímok po tyčiach je uvažované bez trenia. Ak je tyč uvoľnená zo začiatočnej polohy definovanej na obrázku (β = 30°), vypočítajte: a - uhlové zrýchlenie v okamihu po uvoľnení, b - reakcie v bodoch A a B.

Výsledok:

ε = 8,05 rad.s-2, RA = 11,56 N, RB = 28,91 N

m

l0

β

B

A

A B

l

m

151

Príklad 3.39 Po povrchu valcovej plochy s polomerom R sa valí guľa s hmotnosťou m. Začiatočná rýchlosť stredu gule je v0. Vypočítajte uhol, pri ktorom sa guľa odpúta od povrchu valcovej plochy.

Výsledok:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=ϕ

)(1071

1710arccos

20

rRgv

Príklad 3.40

Bubon s momentom zotrvačnosti I a polomerom R sa otáča otáčkami n0. V čase t = 0 s je na bubon konštantnou silou F pritlačená čeľusť brzdy. Medzi čeľusťou brzdy a bubnom je faktor trenia f. Vypočítajte, koľko otáčok vykoná bubon až do zastavenia.

Výsledok:

Počet otáčok do zastavenia fFRIn2

0π=

Príklad 3.41

Vozík s kruhovou dráhou o polomere R sa pohybuje po vodorovnej rovine konštantným zrýchlením au. Na kruhovej dráhe sa nachádza guľôčka s polomerom r, hmotnosťou m a momentom zotrvačnosti I. V čase t = 0 s sa guľočka nachádzala v najnižšej polohe (bod A). Vypočítajte relatívnu rýchlosť stredu guľôčky, ak sa valec dostane do polohy definovanej bodom B.

Výsledok:

222

mrIgRRa

mrv uB

+

−= pre gau ≥

r

au

B

A

F

R

f I

ω

v0

R ϕ

0

r

m, I0

ω0

152

3.5 DYNAMIKA SÚSTAVY TUHÝCH TELIES

Metóda uvoľňovania Uvoľnením jednotlivých členov sústavy tuhých telies a zostavením pohybových (resp. rovnovážnych) rovníc pre tieto telesá je získaná sústava tzv. vlastných pohybových rovníc vo všeobecnom tvare 0),,,,( =tf jjjAij qqqF &&& , pre j = 1÷ n, (3.34)

kde n je počet stupňov voľnosti sústavy telies a AiF ,(i = 1 ÷ m) sú akčné-pracovné sily pôsobiace na sústavu telies. Riešením tejto sústavy rovníc pre zadané začiatočné podmienky je pohyb sústavy tuhých telies úplne popísaný.

Metóda redukcie

Vlastnú pohybovú rovnicu sústavy tuhých telies s 1° voľnosti (po redukcii)

)(d

)(d21)( 2 qQq

qqmqqm =+

∗∗ &&& ,

(3.35)

kde m*(q) - zovšeobecnená (redukovaná) hmotnosť, Q(q) - zovšeobecnená (redukovaná) sila, q, &q , &&q - zovšeobecnená súradnica, zovšeobecnená rýchlosť, zovšeobecnené zrýchlenie.

Redukcia hmotnosti Rovnosť kinetickej energie pôvodnej sústavy telies a kinetickej energie redukovanej sústavy

∑=n

i=kiredk EE

1, . (3.36)

Redukcia silových účinkov Zovšeobecnená (redukovaná) sila je určená na základe rovnosti okamžitého výkonu pracovných síl pôsobiacich na pôvodnú sústavu telies a výkonu hľadanej redukovanej sily

∑=Fn

j=PjredP PP

1, , (3.37)

kde nF - počet pracovných síl v pôvodnej sústave, n - počet telies v sústave.

Podľa toho, na aký objekt je vykonaná redukcia, hovoríme o redukcii na:

• člen konajúci rotačný pohyb

,)(21

1

2, ∑=ϕϕ=

n

i=kiredredk EIE & ∑=⋅ϕ=

Fn

j=PjredredP PP

1, )( ϕ&M , (3.38)

• člen konajúci posuvný pohyb

,)(21

1

2, ∑==

n

i=kiredredk ExxmE & ∑=⋅=

Fn

j=PjredredP PxP

1, )( xF & , (3.39)

• na bod (bod niektorého telesa sústavy)

,)(21

1

2, ∑==

n

i=kiAAredredk ExxmE & ∑=⋅=

Fn

j=PjAAredredP PxP

1, )( xF & . (3.40)

153

Príklad 3.42 Prevodovka pozostáva z dvoch ozubených kolies, ktoré tvoria čelné ozubené súkolie. Kolesá majú rozostupové kružnice R1, R2 a momenty zotrvačnosti I1, I2. Na koleso 1 pôsobí hnací moment M1 a na koleso 2 záťažný moment M2. Vypočítajte veľkosť sily medzi zubami v zábere.

Úlohu riešime metódou uvoľňovania telies, t.j. uvoľníme jednotlivé ozubená kolesá s tým, že sú pri ich uvoľnení uvažované silové účinky odstránených telies v mieste väzieb. Vzhľadom na to, že v tomto prípade je požadovaný iba výpočet sily medzi zubami, nie je potrebné uvoľňovať jednotlivé ozubené kolesá v ložiskách.

Pohybové rovnice jednotlivých telies sú zostavené metódou zrýchľujúcich síl, t.j.

121111 RFMI −=ε , (a)

212222 RFMI +−=ε . (b)

Uvedené rovnice obsahujú štyri neznáme, t.j. 122121 ,,, FFεε . Neznáme veličiny nie je možné vypočítať vzhľadom na to, že sú k dispozícii iba dve rovnice (a) a (b). Z tohto dôvodu je potrebné sformulovať dodatočné rovnice medzi uvedenými štyrmi neznámymi.

Prvá doplnková rovnica vyplýva zo zákona akcie a reakcie, t.j. pre veľkosti síl medzi zubami ozubených kolies platí

FFF == 1221 . (c)

Druhá dodatková rovnica zase vyplýva zo vzájomného pohybu telies, t.j. uhly natočenia, uhlové rýchlosti a uhlové zrýchlenia sú definované

2211 RR ϕ=ϕ , 2211 RR ω=ω , 2211 RR ε=ε . (d)

Závislosť uhlového zrýchlenie telesa 2 od uhlového zrýchlenia telesa 1

2

112 R

Rε=ε . (e)

R2

ε2

M2

A

F12

I2 A

R2 M2

M1

ε1

ε2

R1

I1 I2

A

R2 M2

M1

ε1

ε2

R1

I1 I2

R1

A

M1

ε1 F21

I1

154

Použitím rovníc (c) a (e) v pohybových rovniciach (a) a (b) dostaneme

1111 FRMI −=ε , (f)

222

112 FRM

RR

I +−=ε . (g)

Po vyjadrení uhlového zrýchlenia ozubeného kolesa 1 z rovnice (f)

1

111 I

FRM −=ε ,

jeho dosadením do rovnice (g) po následnej úprave je silový účinok medzi zubami ozubených kolies vyjadrený vzťahom

212

221

112221

RIRIMRIMRIF

+

+= .

Príklad 3.43 Prívesný dvojkolesový vozík, na ktorom je naložená debna, je ťahaný za automobilom, ktorý zrýchľuje a pohybuje sa zrýchlením a. Hmotnosť prívesného vozíka je m1. Hmotnosť debny je m2. Medzi debnou a povrchom ložnej plochy vozíka je uvažované trenie, ktoré je špecifikované faktor šmykového trenia f. Všetky zakótované rozmerové parametre sú zadané. Vypočítajte veľkosť sily v pripojení vozíka za automobil (silu v bode C) a silu pôsobiacu na nápravu prívesného vozíka.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

m1

a T1

b1 + b2

l0

l

h0 h1 A B

C

TA

NA

l1

NB

TB

FCy

FCx

O

FOy

G1 b0 m2

a T2

b2 b1

l0

h0

h2

h1 A B

C

O

b0

l NA

TA

TB NB

b0

m2

m1

a

T2

T1

b2 b1

l0

l

h0

h2

h1 A B C

l1

b0

155

Úloha bude riešená použitím metódy uvoľňovania. Postupne budú uvoľnené telesá - debna (teleso 2) a prívesný vozík (teleso 1). Následne sú pre uvoľnené telesá zostavené pohybové a rovnovážne rovnice.

Rovnice pre teleso 1:

- pohybová rovnica v horizontálnom smere

BACx TTFam −−=1 , (a1)

- rovnovážna rovnica vo vertikálnom smere

01 =−−−−− OCyBA FFNNG , (a2)

- rovnovážna rovnica pre rotáciu okolo ťažiska

.0)(

)()(

0101

01010021

=+−+−−

−+−+−++

CxCyO

BA

FhFlllFl

NbllNllbbb (a3)

Rovnice pre teleso 2:

- pohybová rovnica v horizontálnom smere

BA TTam +=2 , (b1)


02 =++− BA NNG , (b2)

- rovnovážna rovnica pre rotáciu okolo ťažiska

0)( 212 =−++ ABBA NbNbTTh . (b3)

Pre veľkosť trecích síl v bodoch A a B platí

AA fNT = (c2)

BB fNT = . (c1)

Z riešenia rovníc (b1-b3) a (c) vyplýva pre veľkosti normálových síl v bodoch A a B

21

212 bb

ahgbmN A +

+= ,

21

222 bb

ahgbmN B +

−= .

Použitím síl AN a BN v prvých troch rovniciach (a1-a3) po následných úpravách dostaneme veľkosti síl v pripojení prívesného vozíka k ťažnému automobilu:

ammFCx )( 21 += ,

))((

)(

210

21002112

0

202

0

101 bbll

bllbbbbgm

llhh

amllglah

mFCy ++−−++

−++

++−

= .

Sila pôsobiaca na nápravu prívesného vozíka

CyO FammF ++= )( 21 .

156

Príklad 3.44 Na navíjací bubon s polomerom rb, hmotnosťou mb a momentom zotrvačnosti Ib je pomocou nehmotného lana pripojené bremeno s hmotnosťou m. Bubon je poháňaný momnetom M. Vypočítajte uhlové zrýchlenie ε navíjacieho bubna, zrýchlenie a bremena m, ťahovú silu N v lane, vertikálnu Ay a horizontálnu Ax silu na ložiská bubna (bod A).

Úloha je riešená metódou uvoľňovania, t.j. každé teleso je uvoľnené a pre každé teleso sú zostavené príslušné rovnovážne alebo pohybové rovnice.

Rovnice pre navíjací bubon:

- rovnovážna rovnica v horizontálnom smere

0=− xA , (a)


0=−− NGA by , (b)

- pohybová rovnica pre rotáciu okolo ťažiska (bod A)

.bb NrMI −=ε (c)

Rovnice pre zdvíhané bremeno m:

- pohybová rovnica pre zvislý smer

GNma −= . (d)

Z rovnice (a) priamo vyplýva, že ložisko bubna nie je zaťažované v horizontálnom smere. Vzhľadom na to, že v ďalších troch rovniciach sú 4 neznáme, je zostavená doplnková rovnica

ra ε= . (e)

Vzájomným riešením sústavy rovníc (b-e) dostaneme:

- uhlové zrýchlenie bubna

2mrImrgM

+

−=ε ,

rb

mb A

m

M

rb

mb O

m

M N

N

G

Gb

Ay

Ax

ε

a

157

- zrýchlenie bremena

rmrImrgMa 2+

−= ,

- silu v lane

2mrIIgMrmN

+

+= ,

- sily v ložisku navíjacieho bubna

0=xA 2mrIIgMrmgmA by

+

++= .

Príklad 3.45 Vypočítajte silu v lane medzi telesami 2 a 3 zdvíhacieho zariadenia, ktoré je poháňané krútiacim momentom M posobiacom na teleso 1. Všetky označené a zakótované rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.

Na výpočet sily v lane budú postačovať iba pohybové rovnice, ktoré budú zostavené metódou uvoľňovania a budú doplnené príslušnými kinematickými rovnicami.

Na získanie riešenia musí byť splnená podmienka - počet zostavených rovníc (pohybové + doplnkové) sa musí rovnať počtu neznámych v týchto rovniciach. Vzhľadom na požadovanú veličinu nie je potrebné zostaviť rovnovážne rovnice pre jednotlivé telesá.

Pohybové rovnice pre jednotlivé telesá:

- teleso 1 (rotačný pohyb):

1111 rSMI −=ε ,

- teleso 2 (všeobecný pohyb):

222122 rSrSI −=ε ,

m3

r2, m2, I2

M

m1, I1, r1

S1

S1 S2

S3

G2

ε1 ε2

a2

a3

G3

S3

m3

r2, m2, I2

M

m1, I1, r1

158

232122 GSSSam −−+= ,

- teleso 3 (posuvný pohyb):

3333 GSam −= .

Uvedeným postupom boli zostavené 4 rovnice, ktoré obsahujú 7 neznámych veličín:

3213221 ,,,,,, SSSaaεε .

Aby bolo možné vypočítať uvedené neznáme, je potrebné zostaviť ďalšie 3 doplňujúce kinematické rovnice, ktoré budú vyjadrovať závislosti medzi vzájomnými pohybmi telies. Doplnkové kinematické rovnice:

32 aa = ,

222 ra ε= ,

22211 22 arr =ε=ε .

Z riešenia sústavy 7 lineárnych algebraických rovníc (4 pohybové rovnice + 3 doplňujúce kinematické rovnice) je vypočítaná sila 3S , ktorá pôsobí v lane medzi telesami 2 a 3

221

212

22

2132

221

212

221

334)()4(2

rIrIrrmmgrIrIrMrmS

+++

++= .

Príklad 3.46 Zdvíhacie zariadenie je poháňané momentom M na telese 1. Metódou uvoľňovania zostavte všetky pohybové a rovnovážne rovnice. Zároveň zostavte všetky doplnkové rovnice potrebné pre zabezpečenie riešiteľnosti úlohy. Všetky označené a zakótované rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.

Pre každé teleso sú zostavené zodpovedajúce rovnovážne a pohybové rovnice, ktoré sú zostavené pomocou metódy uvoľňovania:

m4 a4

G4

S4

m3, I3, r3

S2 S3

S4 G3

ε3

a3

r2

m3, I3, r3

R2

R0

m4

m2, I2 M

m1, I1, r1

m2, I2

r2

R2

R0

S1

ε2

S2

By

S3

Bx

G2

Mm1, I1, r1

S1

G1

Ax

ε1

Ay

159

Teleso 1:

∑ =i

ixF 0 ⇒ 0=xA - rovnovážna rovnica v smere osi x,

∑ =i

iyF 0 ⇒ 011 =−+ GSAy - rovnovážna rovnica v smere osi y,

1111 rSMI −=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa. Teleso 2:

∑ =i

ixF 0 ⇒ 0=xB - rovnovážna rovnica v smere osi x,

∑ =i

iyF 0 ⇒ 03212 =−−−− SSSGBy - rovnovážna rovnica v smere osi y,

23220122 RSrSRSI −+=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa. Teleso 3: 433233 SGSSam −−+= - pohybová rovnica pre posuv v smere osi y,

323333 rSrSI −=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa.

Teleso 4: 4444 GSam −= - pohybová rovnica pre posuv v smere osi y.

Prvé rovnice pre rovnováhy telies 1 a 2 v smere osi x nie je potrebné uvažovať v systéme rovníc, ktoré je potrebné riešiť. Taktiež silové účinky Ax a Bx nie je potrebné uvažovať ako neznáme silové účinky.

Pre vzájomné pohyby telies platí:

- dĺžka oblúkov

21 ss = ⇒ 2011 ϕ=ϕ Rr ,

po derivácii

02011 vRr =ω=ω ⇒ 2011 ε=ε Rr .

- veľkosť posuvnej rýchlosti v3 a zrýchlenia a3

222222220

3ω−ω

=−

=rRvvv ⇒

22222

3ε−ε

=rRa ,

- veľkosť uhlovej rýchlosti ω3 a zrýchlenia ε3

3

2222

3

2203 22 r

rRr

vv ω+ω=

+=ω ⇒

3

22223 2r

rR ε+ε=ε ,

- veľkosť rýchlosti v4 a zrýchlenia a4

34 vv = ⇒ 34 aa = .

Rovnovážne, pohybové a doplnkové rovnice tvoria sústavu 11 lineárnych algebraických rovníc s 11 neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare, t.j. platí

r3

v20

v2

v3

ω3

m4

v4

R0 r1

ϕ1 ϕ2 ω1

ω2 s1 s2 v0

160

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−−−−

−−

0000

0

0

1100000000000200000000200000000000000000

000010000000000000000011100000000000000001111000000000000000000101

4

3

2

1

4

3

3

2

1

4

3

2

1

302

02

01

4

332

2

2220

11

G

G

GMG

aa

SSSSBA

rRrRr

Rrm

Irrm

IRrR

Ir y

y

,

resp. v skrátenom zápise

bAx = ,

kde A - matica koeficientov, x - vektor neznámych, b - vektor neznámych.

Sústavu lineárnych algebraických rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej eleminačnej metódy alebo použitím inverznej matice. Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc

bAx = pomocou inverznej matice:

bAx 1−= , pričom platí EAA =−1 ,

kde 1−A je inverzná matica k matici A a E je jednotková matica.

Príklad 3.47 Na hnaciu kladku 4 zdvíhacieho zariadenia začne v čase t = 0 s pôsobiť konštantný hnací moment M, ktorým sa cez sústavu kladiek zdvíha bremeno m1. Vypočítajte rýchlosť bremena m1 v závislosť od jeho výškovej polohy x1. Začiatočné podmienky sú uvažované v tvare: t = 0 s: x1(0) = 0, v1(0) = 0.

Redukovaný systém

m1

R3

r3

I3

R4, I4 M

ω3

ω4

ω2

v1

x1

R2, I2

mr1 x1, v1, a1

Fr1(x1)

161

Úloha bude riešená metódou redukcie hmotných a silových parametrov. Všeobecná pohybová rovnica pre redukovanú sústavu má tvar

)(d

)(d21)( 2 qQq

qqmqqm =+

∗∗ &&& . (a)

Vzhľadom na to, že úlohou je vypočítať rýchlosť v1, redukcia bude vykonaná na teleso 1, t.j. parametre v rovnici (a) sú

1xq = , 1vq =& , 1aq =&& ,

)()( 11* xmqm r= , )()( 11 xFqQ r= .

Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme

)(d

)(d21)( 11

21

1

11111 xFv

xxmaxm r

rr =+ .

Redukcia hmotnosti sústavy telies na teleso 1: Redukcia hmotnosti je založená na základe rovnosti kinetickej energie redukovanej sústavy a kinetickej energie pôvodnej sústavy telies, t.j. platí

∑=

=4

1,1,

iikrk EE ,

244

233

222

211

2111 2

121

21

21)(

21

ω+ω+ω+= IIIvmvxmr ,

odkiaľ

2

1

44

2

1

33

2

1

22

2

1

1111 )( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

vI

vI

vI

vv

mxmr . (b)

Podiely rýchlostí v zátvorkách v rovnici (b) sú vyjadrené zo vzájomných pohybov telies:

221 Rv ω= ⇒ 21

2 1Rv

=ω ,

3322 rR ω=ω ⇒ 31

3 1rv

=ω

, (c)

4433 RR ω=ω ⇒ 43

3

1

4Rr

Rv

=ω .

Po dosadení týchto podielov do rovnice (b) je redukovaná hmotnosť na teleso 1

2

43

34

2

33

2

22111

11)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

RrR

Ir

IR

Imxmr . (d)

Redukcia silových účinkov sústavy telies na teleso 1: Redukcia silových účinkov je založená na základe rovnosti výkonu pracovných síl redukovanej sústavy a výkonu pracovných síl pôvodnej sústavy telies, t.j. platí

∑=

=Fn

jjprp PP

1,1, . (e)

162

V rámci silových účinkov pôsobiacich na pôvodnú sústavu možno za pracovné sily považovať hnací moment M a gravitačnú silu pôsobiacu na teleso 1. Rovnica (e) má potom nasledujúci tvar

114111 )( vGωMvF ⋅+⋅=⋅xr ,

resp. po vyjadrení skalárnych súčinov

1

11

1

411 )(

vv

Gv

MxFr −ω

= . (f)

Po dosadení pomerov rýchlostí z rovnice (c) do rovnice (f) pre redukovanú silu bude platiť

143

311 )( G

RrR

MxFr −= . (g)

Redukovaná hmotnosť 1rm a redukovaná sila 1rF nie sú závislé od súradnice x1, t.j. platí

111 rr Fam =

a po dosadení za 1rm a 1rF dostaneme

143

31

2

43

34

2

33

2

221

11 GRr

RMa

RrR

Ir

IR

Im −=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ .

Pre zrýchlenie telesa 1 potom platí

2

43

34

2

33

2

221

143

3

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

RrR

Ir

IR

Im

GRr

RM

a .

Všetky členy na prvej strane sú konštanty aj zrýchlenie a1 je konštantné. Z toho vyplýva, že sústava redukovaná na teleso 1 vykonáva rovnomerne zrýchlený pohyb. Závislosť rýchlosti v1 od výškovej polohy x1 je možné vyjadriť nasledujúcim postupom

1

11

1

11

1

1111 dx

dvv

dxdv

dtdx

dxdx

dtdv

dtdv

a ==== ,

odkiaľ po separácii premenných a integrácii v príslušných hraniciach

1111 dxadvv = ⇒ ∫∫ =11

011

011

xv

dxadvv ⇒ 110

11

21

1

2xadxav

x

== ∫ ,

resp.

2

43

34

2

33

2

221

143

31

11111

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

RrR

Ir

IR

Im

GRr

RMx

xav .

163

Príklad 3.48 Mechanizmus planétovej prevodovky sa rozbieha vplyvom konštantného hnacieho momentu M, ktorý pôsobí na unášač - teleso 1. Základné ozubené koleso s rozstupovým polomerom R je nehybné. Unášač (1) má hmotnosť m1 rovnomerne rozloženú po dĺžke a moment zotrvačnosti je I1. Satelit (2) má polomer rozstupovej kružnice r, hmotnosť m2 a moment zotrvačnosti I2. Zostavte pohybovú rovnicu mechanizmu planétovej prevodovky metódou redukcie na teleso 1. Vypočítajte uhlové zrýchlenie unášača (1) pre uvedený spôsob zaťaženia.

Sústava bude riešená metódou redukcie, pričom všeobecná pohybová rovnica pre redukovanú sústavu má tvar

)(d

)(d21)( 2 qQq

qqmqqm =+

∗∗ &&& . (a)

Redukcia bude vykonaná na teleso 1, ktoré koná rotačný pohyb a výpočtový model redukovanej sústavy je na nasledujúcom obrázku.

Model redukovanej sústavy na teleso 1 Veličiny v rovnici (a):

1ϕ=q

1ω=q&

1ε=q&&

)()( 11* ϕ= rIqm

)()( 11 ϕ= rMqQ

Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme pohybovú rovnicu pre redukciu na teleso konajúce rotačný pohyb

)(d

)(d21)( 11

21

1

11111 ϕ=ω

ϕϕ

+εϕ rr

r MI

I . (b)

Redukcia hmotnosti sústavy telies na teleso 1: Redukcia hmotnosti je založená na základe rovnosti kinetickej energie redukovanej sústavy a kinetickej energie pôvodnej sústavy telies, t.j. platí

R

r

I2, m2

I1, m1

R

M

G2

G1

ω1

v2

vT1

T

ω2

Mr1 ω1

ε1

Ir1

ϕ1

164

∑=

=2

1,1,

iikrk EE .

Po dosadení dostaneme

222

222

211

2111 2

121

21)(

21 vmIII r +ω+ω=ωϕ ,

odkiaľ

2

1

22

2

1

22

2

1

1111 )( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

=ϕv

mIII r . (c)

Podiely rýchlostí v zátvorkách v rovnici (c) vyjadrené zo vzájomných pohybov telies:

221 )( vrrR =ω=+ω ⇒ r

rR +=

ωω

1

2 ,

)(12 rRv +ω= ⇒ rRv

+=ω1

2 ,

211

rRvT+

ω= ⇒ 21

1 rRvT +=

ω.

Po dosadení týchto podielov rýchlostí do rovnice (c) je po úprave redukovaný moment zotrvačnosti sústavy na teleso 1

22

2

211 )( rRmr

rRIII r ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+= . (d)

Redukcia silových účinkov sústavy telies na teleso 1: Redukcia silových účinkov je realizovaná pomocou rovnosti výkonu pracovných síl redukovanej sústavy a výkonu pracovných síl pôvodnej sústavy telies, t.j. platí

∑=

=Fn

jjprp PP

1,1, . (e)

Na pôvodnú sústavu pôsobia nasledovné pracovné silové účinky: - hnací moment M, - gravitačná sila G1 - pôsobiaca v ťažisku telesa 1, - gravitačná sila G2 - pôsobiaca v ťažisku telesa 2.

Rovnica (e) má potom nasledujúci tvar

22111111 )( TTr vGvGωMωM ⋅+⋅+⋅=⋅ϕ .

Po vyjadrení skalárnych súčinov

)cos()cos()( 1221111111 ϕ−π+ϕ−π+ω=ωϕ vGvGMM Tr

a následnej úprave je redukovaný moment vyjadrený v tvare

11

221

1

11

1

111 coscos)( ϕ

ω−ϕ

ω−

ωω

=ϕv

Gv

GMM Tr .

165

Po dosadení pomerov rýchlostí z rovnice (c) do rovnice (f) pre redukovanú silu bude platiť

121

11 cos)(2

)( ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=ϕ rRgmmMM r . (f)

Redukovaný moment zotrvačnosti 1rI nie je závislý od súradnice ϕ1, t.j. platí

)( 1111 ϕ=ε rr MI ,

resp. po dosadení za 1rI a )( 11 ϕrM je získaná pohybová rovnica sústavy redukovanej na teleso 1

121

12

2

2

21 cos)(2

)( ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=ε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ rRgmm

MrRmr

rRII .

Pre uhlové zrýchlenie telesa 1, po vyjadrení z tejto pohybovej rovnice potom platí

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=ε2

2

2

21

121

1

)(

cos)(2

rRmr

rRII

rRgmmM.

Príklad 3.49

Na bubon s polomerom r = 0,15 m je navinuté lano v ktorom pôsobí ťahová sila F = 250 N. S bubnom je pevne spojená kladka s polomerom R = 0,25 m, na ktorej je navinuté lano, na konci ktorého je pripojené bremeno s hmotnosťou m1 = 10 kg. Moment zotrvačnosti sústavy kladka + bubon je I2 = 0,512 kgm2. Pomocou metódy uvoľňovania vypočítajte: a - uhlové zrýchlenie telesa 2, b - silu F1 v lane, na ktorom visí bremeno m1.

Výsledok: ε2 = 11,412 rad.s-2 F1 = 126,63 N

Príklad 3.50

Vypočítajte zrýchlenie a1 telesa m1 a silu S1 v lane medzi telesami 1 a 2, ak sústavu telies v určitom okamihu uvoľníme. Rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.

Výsledok:

))(()()(

33332

112

23333333312

21RrmIrmI

RmIfmRrmImgra

−+

−−−=

))(()()(

33332

112

2233

23333332

11RrmIrmI

rmIRfmRrmIIgmS

−+

++−=

r2, I2 R3

r3

I3

m1

f

m1

r

R

F

I2

166

Príklad 3.51 Metódou redukcie vypočítajte zrýchlenie a5 pri zdvíhaní telesa 5. Daný hnací moment Mh pôsobí na teleso 1. Rozmerové a hmotnostné parametre sústavy sú zadané.

Výsledok:

22

3322

22

1

12

4

215

541

21

5

rII

rI

rI

rrrm

gmrrrrM

ah

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−+

=

Príklad 3.52 Tyč AB na obrázku rotuje okolo zvislej osi uhlovou rýchlosťou ω = 15 rad/s. V bode C je kĺbovo pripojená štíhla tyč, ktorá má konštantný prierez po celej dĺžke a jej hmotnosť m1 = 2 kg. Na druhý koniec (bod E) štíhlej tyče je pripojená guľa s polomerom r a hmotnosťou m1 = 4 kg. Pomocou lana je štíhla tyč držaná v zvislej polohe.

Vypočítajte: a - silu v lane, b - silu v kĺbe C.

Výsledok:

a - sila v lane = 781,4 N

b - 51,115=xC N

62,268=yC

4,292=C N

l1 l2

h2

h1 r

A C

D

E

ω

B

m5

I4

r4

r2

r1

I2, m2

I3

I1

Mh

167

3.6 ANALYTICKÁ DYNAMIKA

Princíp virtuálnych prác Virtuálny pohyb - myslený možný pohyb sústavy okolo polohy, ktorú vo všeobecnom okamihu môže sústava nadobudnúť a ktorú dovoľujú väzby. Virtuálny pohyb sa odohráva nezávisle od času, t.j. virtuálny pohyb je uvažovaný ako izochrónny.

Všeobencná formulácia princípu virtuálnych prác v dynamike - mechanická sústava sa pohybuje tak, že súčet virtuálnych prác pracovných a zotrvačných síl je v každom okamihu rovný nule

0)(, =δ⋅+=δ ∑i

iDip

iDpA rFF , (3.41)

kde DpA ,δ - virtuálna práca,

piF - vonkajšie pracovné sily,

DiF - dÁlembertove zotrvačné sily, irδ - virtuálne posunutie.

Poznámka: Virtuálna práca väzbových síl viF je v každom okamihu rovná nule, t.j.

0=δ⋅∑i

ivi rF . (3.42)

Lagrangeove rovnice druhého druhu

Sústavy s jedným stupňom voľnosti

Qq

Eq

Eq

Edtd pkk =

∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂&

, (3.43)

kde kE - kinetická energia sústavy, pE - potenciálna energia sústavy, q - zovšeobecnená súradnica, q& - zovšeobecnená rýchlosť Q - zovšeobecnená sila,

Sústavy s n stupňami voľnosti

,

,1111

nn

p

n

k

n

k

pkk

QqE

qE

qE

dtd

QqE

qE

qE

dtd

=∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&

M

&

(3.44)

kde jq - zovšeobecnená súradnica pohybu j-teho telesa,

jq& - zovšeobecnená rýchlosť pohybu j-teho telesa,

jQ - zovšeobecnená sila pôsobiaca na j-te teleso.

168

Zovšeobecnená sila - vyjadruje rovnosť virtuálnych prác pracovných síl sústavy a virtuálnej hľadanej zovšeobecnenej sily, t.j. platí

∑∑ ∂ϕ∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

=i j

ipi

i j

ipzi

j

ipyi

j

ipxij q

Mqz

Fqy

Fqx

FQ , (3.45)

kde pzi

pyi

pxi FFF ,, , resp. p

iM - zložky pracovných síl, resp. momentov. V prípade, že sú všetky pracovné sily iba potenciálne, t.j. platí

q

EQ p

∂

∂−= ,

(3.46)

majú Lagrangeove rovnice druhého druhu tvar

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

qL

qL

dtd

&, (3.47)

kde pk EEL −= - kinetický potenciál. V prípade sústavy, v ktorej sú zabudované konštrukčné prvky s disipatívnymi (tlmiacimi) vlastnosťami, je možné použiť Lagrangeove rovnice v tvare

Qq

Eq

Eq

Eq

Edtd pdkk =

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂&&

, (3.48)

kde 221 qbEd &= je disipatívna funkcia a b je súčiniteľ lineárneho viskózneho tlmenia.

Príklad 3.53 Pomocou použitia princípu virtuálnych prác zostavte pohybovú rovnicu homogénnej tyče s hmotnosťou m a dĺžkou 2l, ktorá je ťahaná lanom. Hmotnosť lana, kladky a pasívne odpory zanedbajte.

Medzi pracovné sily v tejto sústave patria - sila F, gravitačná sila G a zotrvačný moment MD. Podľa princípu virtuálnych prác musí všeobecne platiť

0)(, =δ⋅+=δ ∑i

iDip

iDpA rFF . (a)

l

l

T

m, I

h

F

ϕ

ϕ ..

ϕ .

G y

ξ

MD

l

l

T m, I

h

F

169

Pre danú sústavu potom podľa princípu virtuálnych prác platí

0=δϕ−δ−δξ− DMyGF , (b)

kde ϕ= &&IM D je veľkosť dÁlembertovho zotrvačného momentu. Za zovšeobecnenú súradnicu je považovaný uhol ϕ. Na základe toho možno z geometrie zostaviť nasledovné závislosti - poloha ťažiska vzhľadom na horizontálnu os

ϕ= sinly ⇒ δϕϕ=δ )cos(ly , (c)

- zmena dĺžky lana je určená pomocou cosínusovej vety

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−

π−+=ξ

2cos44 222 hllh ,

resp.

ϕ−+=ξ sin44 222 hllh ⇒ δϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

ξ−=δξ cos2hl . (d)

Po dosadení (c) a (d) do rovnice (b) a následnej úprave

0coscos2=δϕ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ−ϕ−ϕ

ξ&&ImglhlF .

Táto rovnica musí byť splnená pre ľubovoľné δϕ , a preto výraz v zátvorke musí byť rovný nule, t.j. platí

0cossin44

2cos22

=ϕϕ−+

−ϕ+ϕhllh

hlFmglI && ,

čo je hľadaná pohybová rovnica. Príklad 3.54 Zdvíhacie zariadenie je poháňané konštantným momentom M. Vypočítajte zrýchlenie a1 bremena m1. Úlohu riešte aplikovaním princípu virtuálnych prác, ako aj Lagrangeových rovníc II. druhu.

I2

m1

R3

r2

R2

I3

M

ϕ3 ϕ 2

G1

ω3

ω2

v1

y1

I2

m1

R3

r2

R2

I3

M

170

Zostavenie pohybovej rovnice pomocou princípu virtuálnych prác Podľa princípu virtuálnych prác musí všeobecne platiť

0)(, =δ⋅+=δ ∑i

iDip

iDpA rFF . (a1)

Medzi pracovné silové účinky PiF v tejto sústave patria - hnací moment M, gravitačná sila G1,

zotrvačná sila FD1 a zotrvačné momenty MD2 a MD3.

Pre danú sústavu potom podľa princípu virtuálnych prác platí

0113322113 =δ−δϕ−δϕ−δ−δϕ yFMMyGM DDD , (b1)

kde 222 ϕ= &&IM D - veľkosť zotrvačného momentu pôsobiaceho na teleso 2, (c1)

333 ϕ= &&IM D - veľkosť zotrvačného momentu pôsobiaceho na teleso 3, (d1)

111 ymFD &&= - veľkosť zotrvačnej sily pôsobiacej na teleso 1, (e1)

gmG 11 = - veľkosť gravitačnej sily pôsobiacej na teleso 1. (f1)

Za zovšeobecnenú súradnicu je považované posunutie 1y . Na základe tejto zovšeobecnenej súradnice možno zo vzájomných pohybov telies skúmanej sústavy zostaviť nasledovné kinematické závislosti:

- vyjadrenie natočenia )( 2ϕ telesa 2 vzhľadom na posunutie )( 1y telesa 1

221 ϕ= ry ⇒ 12

21 yr

=ϕ ⇒ 12

21 yr

δ=δϕ , (g1)

- vyjadrenie natočenia )( 3ϕ telesa 3 vzhľadom na posunutie )( 1y telesa 1

3322 ϕ=ϕ RR ⇒ 123

22

3

23 y

rRR

RR

=ϕ=ϕ ⇒ 123

23 y

rRR

δ=δϕ . (h1)

Zrýchlenia 2ϕ&& a 3ϕ&& sú vyjadrené pomocou 1y&& nasedovne:

12

21 yr

&&&& =ϕ , (i1)

123

23 y

rRR

&&&& =ϕ . (j1)

Po dosadení vzťahov (d1-k1) do rovnice (b1) a následnej úprave je vyjadrenie rovnice pre princíp virtuálnych prác

01111

2

23

23

2

2211

23

2 =δ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− yym

rRRI

rIgm

rRRM && .

Na základe tejto rovnice má pohybová rovnica tvar

1123

211

2

23

23

2

22

1 gmrR

RMymrR

RIr

I −=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛&& . (k1)

171

Zostavenie pohybovej rovnice pomocou Lagrangeových rovníc II. druhu Všeobecné vyjadrenie Lagrangeových rovníc II. druhu je

Qq

Eq

Eq

Edtd pkk =

∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂&

. (a2)

Pre riešenú sústavu platí: 1y , ( 1y& , 1y&& ) - zovšeobecnená súradnica (rýchlosť, zrýchlenie). Vyjadrenie Lagrangeových rovníc II. druhu má potom tvar

QyE

yE

yE

dtd pkk =

∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

111&. (b2)

Jednotlivé členy v rovnici (a2) sú vyjadrené nasledovne:

- kinetická energia sústavy

233

222

211 2

121

21

ϕ+ϕ+= &&& IIymEk , (c2)

- potenciálna energia sústavy

11gymE p = , (d2)

- zovšeobecnená sila

1

3y

MQ∂ϕ∂

= . (e2)

Závislosti rýchlostí telies 2 a 3 od rýchlosti 1y&

12

21 yr

&& =ϕ , 123

23 y

rRR

&& =ϕ . (f1)

Po dosadení príslušných vzťahov:

- kinetická energia sústavy

21

2

23

23

2

221

121 y

rRRI

rImEk &

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ,

- potenciálna energia sústavy 11gymE p = ,

- zovšeobecnená sila

23

2rR

RMQ = .

Po dosadení do (b2) je získaná pohybová rovnica

1123

211

2

23

23

2

22

1 gmrR

RMym

rRR

Ir

I −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛&& ,

ktorá má rovnaký tvar ako rovnica získaná pomocou princípu virtuálnych prác.

172

3.7 LINEÁRNE KMITANIE

Sústava s jedným stupňom voľnosti

Výpočtový model Schéma výpočtového modelu

• Pohybová rovnica jednohmotnej sústavy

)()()( tubtkutFkxxbxm &&&& ++=++ , (3.49)

kde m - hmotnosť, k - tuhosť pružiny, b - súčiniteľ lineárneho tlmenia (tlmič), F(t) - budiaca sila, u(t) - budiaca výchylka základu, x(t) - výchylka jednohmotnej sústavy.

• Rozdelenie kmitania sústavy s jedným stupňom voľnosti

• 0)( =tF ∧ 0)( =tu - voľné kmitanie,

• 0)( ≠tF ∧ 0)( =tu - vynútené kmitanie so silovým budením,

• 0)( =tF ∧ 0)( ≠tu - vynútené kmitanie s kinematickým budením,

• 0)( ≠tF ∧ 0)( ≠tu - vynútené kmitanie s kombinovaným budením,

• 0=b - netlmené kmitanie,

• 0≠b - tlmené kmitanie.

• Voľné netlmené kmitanie

0=+ kxxm && , resp. 020 =ω+ xx&& . (3.50)

Charakteristická rovnica

020

2 =ω+λ , korene 02,1 ω±=λ i . (3.51) Riešenie )sin()sin()cos( 1010101 ϕ+ω=ω+ω= tCtBtAx . (3.52)

• Voľné tlmené kmitanie 0=++ kxxbxm &&& , resp. 02 2

0 =ω+δ+ xxx &&& . (3.53)

F(t)

u(t)

m

b

k

m

b

k

F(t)

x, . x,

.. x,

u(t)

173

Charakteristická rovnica

02 20

2 =ω+δλ+λ . (3.54) Korene charakteristickej rovnice

20

22,1 ω−δ±δ−=λ . (3.55)

Riešenie pre 0ω<δ (t.j. dii ω±δ−=δ−ω±δ−=λ 2202,1 )

[ ] )sin()sin()cos( 2222 ϕ+ω=ω+ω= δ−δ− teCtBtAex dt

ddt , (3.56)

kde mb 2=δ - pomerné tlmenie, mk=ω0 - vlastná kruhová frekvencia netlmeného kmitania, dω - vlastná kruhová frekvencia tlmeného kmitania.

• Vynútené netlmené kmitanie s harmonickou budiacou silou )sin()( 0 tFtF ω=

)sin()( 0 tFtFkxxm ω==+&& , (3.57)

kde 0F - amplitúda budiacej sily, ω - kruhová frekvencia budiacej sily. Riešenie

)sin()(

)sin()cos( 220

00101 t

mF

tBtAxxx ph ωω−ω

+ω+ω=+= . (3.58)

Rezonancia nastáva v prípade: 0ω=ω .

• Vynútené tlmené kmitanie s harmonickou budiacou silou )sin()( 0 tFtF ω=

)sin()( 0 tFtFkxxbxm ω==++ &&& . (3.59)

Riešenie

[ ]

.2arctansin4)(

)sin()cos(

22022222

0

0

0202

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω−ω

δω−ω

ωδ+ω−ω+

ω+ω=+= δ−

tm

F

tBtAexxx tph

(3.60)

Rezonancia nastáva v prípade: 20 21 δ−ω=ω .

• Vynútené tlmené kmitanie s budiacou silou )(tF - všeobecná časová funkcia.

)(tFkxxbxm =++ &&& . (3.61)

Riešenie

[ ]

.))(sin()(1

)sin()cos(

0

)(

11

∫ ττ−ωτω

+

ω+ω=+=

τ−δ−

δ−

t

dt

d

ddt

ph

dteFm

tBtAexxx

(3.62)

Konštanty Ai, Bi; resp. 22iii BAC += , )arctan( iii BA=ϕ sú integračné konštanty (i = 1,2),

ktoré je možné určiť zo začiatočných podmienok (napr. 00 )0(;)0( vxxx == & ).

174

Tuhosti pružných elementov Model Ekvivalentná tuhosť

∑=

= n

i i

eq

k

k

1

11

∑=

=n

iieq kk

1

Pozdĺžne kmitajúca tyč

lESkeq =

E - Youngov modul pružnosti v ťahu S - priečny prierez tyče

Torzne kmitajúca tyč

lGJkeq =

G - modul pružnosti v šmyku J - polárny moment prierezovej plochy

3

4

64nRGdkeq =

G - modul pružnosti v šmyku d - priemer drôtu pružiny R - polomer vinutia pružiny n - počet závitov

33lEJkeq =

J - kvadratický moment prierezovej plochy

22)(3

babaEJkeq

+=

)43(

)(1223

3

bababaEJkeq

+

+=

33

3)(3ba

baEJkeq+

=

a

m

b

a

m

b

a

m

b

l

m

R

d

I

l

m

l

kn

m k1

k1 kn

m

175

Príklad 3.55 Vypočítajte dobu kyvu homogénnej guľôčky s hmotnosťou m a polomerom r, ktorá sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom R. Predpokladá sa, že sa guľôčka po kruhovej dráhe odvaľuje, t.j. nedochádza k jej prešmykovaniu.

Dobu kyvu je možné vypočítať z pohybovej rovnice guľôčky. Pohybová rovnica môže byť zostavená rôznymi spôsobmi – metóda uvoľňovania, metóda redukcie a Lagrangeove rovnice II. druhu. Na zostavenie pohybovej rovnice budú na riešenie tohto príkladu použité Lagrangeove rovnice II. druhu. Základná východisková rovnica má tvar

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

qL

qL

dtd

&, (a)

kde - kinetická energia 2221

21

TTk mvIE +ω= ,

- potenciálna energia )cos1)(( ψ−−= rRmgE p ,

- kinetický potenciál )cos1)((21

21 22 ψ−−−+ω=−= rRmgmvIEEL TTpk .

Moment zotrvačnosti guľôčky vzhľadom na ťažisko

252 mrIT = .

Ako zovšeobecnená súradnica môže byť použitá súradnica ψ. Lagrangeova rovnica má po zabudovaní zovšeobecnenej súradnice tvar

0=ψ∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ∂

∂ LLdtd

&. (b)

Vzájomný vzťah medzi uhlami ϕ a ψ je založený na rovnosti dĺžky dráhy, ktorá vznikne pri odvaľovaní, t.j.

ϕ=ψ rR ⇒ ψ=ϕrR

R

r

m

ψ

ϕ

ω

vT

R

r

m

ψ

ϕ

176

a pre vzťahy medzi rýchlosťami platí

TT rψrv ×=×= &&ϕ ⇒ )( rRrrvT −ψ=ϕ=ω= && ,

ψ−

=ϕ=ω &&r

rR .

Po dosadení do kinetického potenciálu dostaneme

)cos1)(()(21 22

2ψ−−−ψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= rRmgrRmr

rRIL T & . (c)

Výpočet jednotlivých derivácií pre rovnicu (b)

ψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ψ∂

∂&

&2

2)( rRm

rrRIL

T ,

ψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ∂

∂&&

&2

2)( rRm

rrRIL

dtd

T , (d)

ψ−−=ψ∂

∂ sin)( rRmgL .

Po dosadení má pohybová rovnica tvar

0sin)()( 22

=ψ−+ψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − rRmgrRm

rrRIT && . (e)

Vzhľadom na predpoklad, že pre malé uhly ψ, t.j. o5<ψ platí ψ≈ψsin (pre ψ v radiánoch). Linearizovaná pohybová rovnica má potom tvar

0)()( 22

=ψ−+ψ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − rRmgrRm

rrRIT && ,

resp. po úprave

0))(( 2

2=ψ

−++ψ

rRmrImgr

T

&& ,

resp. 02

0 =ψω+ψ&& . (f)

Vlastná kruhová frekvencia

))(( 2

2

0rRmrI

mgr

T −+=ω

a doba kyvu je vypočítaná zo vzťahu

2

2

00

))((22

mgrrRmrI

T T −+π=

ωπ

= .

177

Príklad 3.56 Jednohmotná sústava s hmotnosťou m = 2 kg a jedným stupňom voľnosti je k základu pripojená pomocou troch pružín k1 = 2 kN/m, k2 = 3 kN/m, k3 = 2 kN/m. Začiatočné podmienky sú: t = 0 s, x(0) = x0 = 0,005 m, 25,0)0( 0 == vx& m/s. Vypočítajte:

a - vlastnú kruhovú frekvenciu sústavy, b - periódu vlastného kmitania, c - časovú závislosť výchylky x(t) hmoty m.

Obr. A

Obr. B Pre výpočtový model (obr.B) je metódou zrýchľujúcich síl zostavená pohybová rovnica

321 kkk FFFxm −−−=&& , (a)

kde pre sily v pružinách platí

xkFk 11 = , xkFk 22 = , xkFk 33 = .

Po dosadení do pohybovej rovnice

0)( 321 =+++ xkkkxm && , (b) resp. 0=+ xkxm eq&& , resp. 02

0 =ω+ xx&& . (c)

Vlastná kruhová frekvencia

16,592 32100 =

++==π=ω

mkkk

mk

f eq rad/s.

Vlastná frekvencia

42,92

00 =

πω

=f Hz.

Perióda vlastného kmitania

106,021

000 =

ωπ

==f

T s.

Riešením diferenciálnej rovnice (c) je

)sin()sin()cos()( 1010101 ϕ+ω=ω+ω= tCtBtAtx , (d)

pričom rýchlosť pohybu hmoty m je

)cos()cos()sin()( 1001001001 ϕ+ωω=ωω+ωω−= tCtBtAtx& .

Fk1

Fk2

Fk3

x, x, x . ..

178

Integračné konštanty v rovnici sú určené zo zadaných začiatočných podmienok, t.j.

10)0( Axx == ⇒ 01 xA = ,

010)0( ω== Bvx& ⇒ 0

01 ω

=v

B .

Po dosadení za integračné konštanty do (d) dostaneme

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+ω

ω+=ω

ω+ω=

0

0002

0

202

000

000 v

xtvxtvtxtx arctgsin)sin()cos()( ,

resp. )8691,016,59sin(006547,0)( += ttx .

Časový priebeh amplitúdy je na nasledujúcom obrázku.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5-0,008

-0,004

0,000

0,004

0,008

ampl

itúda

C1

[m]

čas [s]

Príklad 3.57 Jednohmotná sústava s hmotnosťou m a jedným stupňom voľnosti je spojená so systémom pružín troch pružín k1, k2, k3 podľa obr. A. Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu sústavy, periódu vlastného kmitania sústavy.

Obr. A

Obr. B

Pre výpočtový model sústavy (obr.B) je pomocou metódy zrýchľujúcich síl zostavená pohybová rovnica

32 kk FFxm −−=&& (a)

Fk1

xA, xA, xA . ..

Fk2

A

k3

k1 k2 A

Fk3

Fk2

x, x, x . ..

179

a pre bod A platí rovnováha síl pôsobiacich v pružinách 12 kk FF = , (b) kde pre sily v pružinách platí Ak xkF 11 = , )(22 Ak xxkF −= , xkFk 33 = . (c)

Po dosadení za 1kF a 2kF do rovnice

AA xkxxk 12 )( =− ⇒ xkk

kxA21

2+

= . (d)

Po dosadení z (c) a (d) do pohybovej rovnice (a) dostaneme

0321

22 =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+ xkxkk

kxkxm && , (b)

resp. po úprave

0)(

21

32321 =+

+++ x

kkkkkkkxm && ⇒ 0=+ xkxm eq&& ⇒ 02

0 =ω+ xx&& , (c)

kde 21

323211132,13

)(1

21kk

kkkkkkkkkkk

eq +++

=+

+=+= .

Vlastná kruhová frekvencia sústavy

)(

)(

21

323210 kkm

kkkkkm

keq

+++

==ω .

Príklad 3.58 Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu systému. Hmotnosti kladiek a pasívne odpory sú zanedbané.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

Pre výpočtový model sústavy (obr.B) je pohybová rovnica 212 kk FFxm −−=&& , (a)

x 2x OSO

m x, x, x

. ..

Fk1 Fk1

Fk2

m

k2

x, x, x . ..

k1

180

kde pre sily v pružinách platí

xkxkFk 1111 == , xkxkFk 2222 2== . (b)

Po dosadení za 1kF a 2kF do pohybovej rovnice (a)

0)4( 21 =++ xkkxm && ⇒ 0=+ xkxm eq&& , (c)

resp. 020 =ω+ xx&& . (d)

Vlastná kruhová frekvencia sústavy

m

kkm

keq 210

4 +==ω .

Príklad 3.59 Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému na obrázku. Teleso sa valí po vodorovnej ploche. Pohybovú rovnicu zostavte: a - metódou uvoľňovania, b - metódou redukcie, c - Lagrangeovými rovnicami II. druhu.

Obr. A

Obr. B

Obr. C

Obr. D

Metóda uvoľňovania Pohybová rovnica pre výpočtový model sústavy (obr. B):

- posuvný pohyb telesa (ťažisko je v bode A)

TkkA FFFxm −−−= 21&& , (a1)

- rotačný pohyb telesa okolo ťažiska

TkkA RFrFrFI ++−=ϕ 21&& , (b1)

kde FT je trecia sila.

mrA

.. xA, xA, xA

.

FrA krA

mrA

.. xA, xA, xA .

Fk1

I, m

r

R

Fk2

x1

xA

x2

A

ϕ ϕ ..

.

xA . xA

..

FT

G

k1 k2

I, m

R r

181

Sily v pružinách

111 xkFk = , 222 xkFk = . (c1)

Vzťahy medzi posuvmi 1x , 2x a Ax

rR

xRx

rRx A

−==

+21 ⇒ Ax

RrRx +

=1 , AxR

rRx −=2 . (d1)

Vzťah medzi zrýchleniami Ax&& a ϕ&&

RxA ϕ= &&&& . (e1)

Po dosadení (c) a (d) do rovníc (a) a (b) a ich následnej úprave dostaneme pohybovú rovnicu

0)()(2

22

21

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + AA x

RrRkrRkx

RIm && . (f1)

Metóda redukcie Redukcia sústavy (obr. A) bude urobená na bod A (obr. D), pričom všeobecná pohybová rovnica sústavy po redukcii

)(d

)(d21)( 2 qQq

qqmqqm =+

∗∗ &&& . (a2)

Parametre v rovnici (a2) sú Axq = , Axq && = , Axq &&&& = ,

)()(*ArA xmqm = , )()( ArA xFqQ = .

Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme

)(d

)(d21)( 21

ArAAA

ArAArA xFx

xxmxxm =+ &&& . (b2)

Redukcia hmotnosti na bod A:

Pre redukciu hmotnosti na bod A platí

∑=i

ikrAk EE ,, .

Po dosadení dostaneme

22221

21)(

21

AAArA xmIxxm &&& +ϕ= ⇒ mx

ImA

rA +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ=

2

&

&,

odkiaľ po dosadení za RxA ϕ= && dostaneme redukovanú hmotnosť

mRImrA += 2 . (c2)

Redukcia silových účinkov na bod A:

Pre redukciu silových účinkov na bod A platí

∑=

=Fn

jjprAp PP

1,, . (d2)

182

Rovnica (c2) má po dosadení tvar

2211)( xFxFxF &&& ⋅+⋅=⋅ kkAArA x .

Po vyjadrení skalárnych súčinov

2211)( xFxFxxF kkAArA &&& −−= ⇒ A

kA

kArA xxF

xxFxF

&

&

&

& 22

11)( −−= .

Po dosadení vzťahov (c1) a (d1) a po úprave má redukovaná sila tvar

R

rRxkR

rRxkxkF ArArA−

−+

−== 2211 ,

resp. tuhosť redukovanej pružiny

2

2

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=R

rRkR

rRkkrA . (e2)

Po dosadení (c2) a (d2) do pohybovej rovnice (b2) je pohybová rovnica redukovaného systému (obr. C)

0)()(2

22

21

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + AA x

RrRkrRkx

RIm && . (f2)

Lagrangeove rovnice II. druhu Na zostavenie pohybovej rovnice sústavy sú použité Lagrangeove rovnice II. druhu v tvare

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

qL

qL

dtd

&, (a3)

kde - kinetická energia 22

21

21

Ak xmIE && +ϕ= ,

- potenciálna energia 222

211 2

121 xkxkE p += ,

- kinetický potenciál 222

211

2221

21

21

21 xkxkxmIEEL Apk −−+ϕ=−= && .

Ako zovšeobecnená súradnica je použitá súradnica Ax . Lagrangeove rovnice majú potom tvar

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

AA xL

xL

dtd

&.

Použitím vzťahov (d1) je kinetický potenciál vyjadrený v tvare

22

22

212

2)()(

21

21

AA xR

rRkrRkxmRIL ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += & (b3)

a po jeho dosadení do rovnice (a3) má pohybová rovnica sústavy tvar

0)()(2

22

21

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + AA x

RrRkrRkx

RIm && . (c3)

183

Z pohybovej rovnice, ktorá bola zostavená rôznymi spôsobmi (f1, f2, c3), je po úprave

0)()(2

22

21 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+++ AA x

ImRrRkrRkx&& ,

vyjadrená vlastná kruhová frekvencia v tvare

ImR

rRkrRk+

−++=ω 2

22

21

0)()( .

Príklad 3.60 Kmitajúca sústava má jeden stupeň voľnosti a je zložená z kladky s polomerom R = 0,5 m, momentom zotrvačnosti I = 0,08 kgm2, na ktorú je pevne pripojená homogénna tyč s konštantným prierezom, dĺžky l = 0,8 m a hmotnosti m0 = 0,9 kg. Na sústavu sú pripojené dve pružiny k1 = 5,5 kN/m a k2 = 6 kN/m a tlmič, ktorého súčiniteľ lineárneho tlmenia je b = 12 Ns/m. Začiatočné podmienky sú: t = 0 s, ϕ(0) = ϕ0 = 0 rad, 2)0( 0 =ω=ϕ& rad/s. Vypočítajte: a - vlastnú kruhovú frekvenciu netlmenej a tlmenej sústavy, b - periódu vlastného kmitania netlmenej a tlmenej sústavy, c - časovú závislosť natočenia ϕ(t) systému.

Obr. A Obr. B

Pre kmitajúci systém s jedným stupňum voľnosti (obr. A), ktorý koná rotačný pohyb, je pohybová rovnica zostavená pomocou metódy zrýchľujúcich síl

bkk FRlRFFRlI )()( 210 +−−+−=ϕ&& , (a)

kde - sily v pružinách sú 111 xkFk = , 222 xkFk = ,

- sila v tlmiči 1xbFb &= ,

- moment zotrvačnosti systému vzhľadom na jeho os rotácie

pIII +=0 ,

kde I - moment zotrvačnosti kladky vzhľadom na os rotácie systému,

Ip - moment zotrvačnosti páky k osi rotácie sytému.

184

l + R

R

r

dr

m0

dm

Výpočet momentu zotrvačnosti páky k osi rotácie systému:

∫∫+

==Rl

Rmp drr

lm

dmrI 20

)(

2 ,

3)( 33

0 RRll

mI p

−+= ,

resp.

777,0)33(3

220 =++= RlRlm

I p [kgm2] (b)

Vyjadrenie posunutí 1x a 2x v závislosti od natočenia ϕ systému

Rx

Rlx 21sin =+

=ϕ ,

kde pre hodnoty uhlov o5<ϕ platí

ϕ≈ϕsin ⇒ ϕ+= )(1 Rlx , ϕ= Rx2 , kde ϕ je v radiánoch. (c)

Pre rýchlosť bodu, v ktorom je pripojený tlmič, platí

ϕ+= && )(1 Rlx . (d)

Sily v pružinách a v tlmiči potom možno vyjadriť v tvare

ϕ+= )(11 RlkFk , ϕ= RkFk 22 , ϕ+= &)( RlbFb (e)

a po ich dosadení do pohybovej rovnice a jej následnej úprave dostaneme

[ ] [ ] 0)()()33(3

22

21

2220 =ϕ+++ϕ++ϕ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++ RkRlkRlbRlRlmI &&& ,

resp. 02 20 =ϕω+ϕδ+ϕ &&& , (f)

- pomerný útlm:

832,11)]33(3[2

)(322

0

2=

+++

+=δ

RlRlmIRlb s-1

- vlastná kruhová frekvencia netlmeného kmitania:

23,112)33(3

])([322

0

22

21

0 =+++

++=ω

RlRlmIRkRlk rad/s,

- vlastná kruhová frekvencia tlmeného kmitania:

61,111220 =δ−ω=ωd rad/s,

- perióda vlastného kmitania netlmenej sústavy:

=ω

π=

00

2T 0,0560 s,

185

- perióda vlastného kmitania tlmenej sústavy:

=ω

π=

ddT 2 0,0563 s.

Riešenie diferenciálnej rovnice (f) má tvar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δϕ+ϕ

ωϕ−ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

δϕ+ϕ+ϕ=ϕ δ−

00

02

0020 &

& dd

d

t tet arctgsin)( .

Časový priebeh natočenia voľne kmitajúceho systému je na nasledujúcom obrázku.

0,0 0,1 0,2 0,3-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

ampl

itúda

[r

ad]

čas [s]

Príklad 3.61 Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému pozostávajúceho z dvoch ozubených kolies s momentami zotrvačnosti I1 a I2, hmotnosťami m1 a m2 s rovnakým polomerom R rozstupovej kružnice. Na pravé ozubené koleso je pevne pripojená homogénna tyč s hmotnosťou mp a dĺžkou l a konštantným prierezom po celej dĺžke.

Na zostavenie pohybovej rovnice sústavy je použitá Lagrangeova rovnica II. druhu v tvare pre sústavu s jedným stupňom voľnosti

I1, m1

ϕ1

ϕ2

mp

l

I2, m2 R

R

T

I1, m1

ϕ

ϕ

mp

l

I2, m2

R R

186

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

qL

qL

dtd

&, (a)

kde - kinetická energia sústavy

2222

211 2

121

21

ppk IIIE ϕ+ϕ+ϕ= &&& ,

- potenciálna energia sústavy - nulová potenciálna hladina pre sústavu je uvažovaná v úrovni najnižšej polohy ťažiska T rotujúcej tyče

)cos( ppplgmE ϕ−= 12

,

- kinetický potenciál

)cos1(22

121

21 22

22211 pppppk

lgmIIIEEL ϕ−−ϕ+ϕ+ϕ=−= &&& , (b)

kde 231 lmI pp = - moment zotrvačnosti vzhľadom na os rotácie tyče.

Ak je ako zovšeobecnená súradnica použitý uhol natočenia 2ϕ telesa 2, potom

022

=ϕ∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂∂ LL

dtd

&. (c)

Kinematické vzťahy platné medzi jednotlivými telesami

RR 21 ϕ=ϕ ⇒ 21 ϕ=ϕ ⇒ 21 ϕ=ϕ && ⇒ 21 ϕ=ϕ &&&& (d)

a zároveň platí 2ϕ=ϕ p ⇒ 2ϕ=ϕ && p ⇒ 2ϕ=ϕ &&&& p . (e)

Použitím vzťahov (e,d) je kinetický potenciál vyjadrený v tvare

)cos1(22

)()(21

2212221 ϕ−−+−ϕ++=

lgmlgmmIIIL pp &

a po jeho dosadení do rovnice (c) má pohybová rovnica sústavy tvar

0sin2

)( 22221 =ϕ+ϕ++

lgmIII pp & . (f)

Rovnica (f) je vzhľadom na druhý člen )(sin 2ϕ nelineárna. Uvedenú diferenciálnu rovnicu je

možné linearizovať s ohľadom na predpoklad, že pre malé uhly 2ϕ , t.j. o52 <ϕ platí

22sin ϕ≈ϕ (pre 2ϕ v radiánoch). Linearizovaná pohybová rovnica má potom tvar

02

)( 22221 =ϕ+ϕ++

lgmIII pp & ,

odkiaľ môžeme po úprave písať

0)(2 2

21

22 =ϕ

+++ϕ

p

p

IIIglm

& ,

pričom vlastnú kruhovú frekvenciu je možné vypočítať zo vzťahu

)(2 21

0p

p

IIIglm

++=ω ,

187

doba kmitu tohto systému je potom

glm

IIIT

p

p )(222 21

00

++π=

ωπ

= .

Príklad 3.62 Rotujúca homogénna tyč s hmotnosťou m a dĺžkou l1 + l2, ktorá má na voľnom konci pripojený hmotný bod s hmotnosťou m0, je uložená na sústave pružina-tlmič (k-b). Na hmotný bod pôsobí harmonická budiaca sila )sin(0 tFF ω= , kde ω je kruhová frekvencia budiacej sily a 0F je amplitúda budiacej sily. Jednotlivé parametre sú:

m = 1,0 kg m0 = 0,3 kg k = 24,0 kN/m b = 60,0 Ns/m l1 = 0,4 m l2 = 0,3 m F0 = 35,0 N ω = 20,0 rad/s Začiatočné podmienky: t = 0 s ϕ(0) = ϕ0 = 0,01 rad =ϕ=ϕ 0)0( && 2,0 rad/s

Vypočítajte: a - vlastnú kruhovú frekvenciu netlmenej a tlmenej sústavy, b - periódu vlastného kmitania netlmenej a tlmenej sústavy, c - časovú závislosť natočenia ϕ(t) tyče, d - rezonančnú frekvenciu, e - zostrojte amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku a fázovo-frekvenčnú charakteristiku.

Obr. A

Obr. B

Kmitajúci systém má jeden stupeň voľnosti (obr. A) a vykonáva rotačný pohyb. Pohybová rovnica zostavená pomocou metódy zrýchľujúcich síl

)sin()( 021110 tFllFlFlI bk ω++−−=ϕ&& , (a)

kde - sila v pružine 1kxFk = , (b) - sila v tlmiči 1xbFb &= , (c)

- moment zotrvačnosti systému vzhľadom na jeho os rotácie

2210

2210

22110 )(

3)()(

31 llmmllmllmIII +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+++=+= , (d)

kde I - moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os rotácie systému, I1 - moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na os rotácie sytému.

I, m

l1 l2

m0

F Fk

Fb

x1 x2

ϕ

ϕ

0

. ϕ ..

x1

.

x2

.

k

b

I, m

l1 l2

m0

F

188

Vzťahy medzi posunutiami 1x , 2x a natočením tyče ϕ sú definované nasledovne

ϕ= 11 lx ⇒ ϕ= && 11 lx , (e)

ϕ+= )( 212 llx ⇒ ϕ+= && )( 212 llx . (f)

Po dosadení rovníc (b-f) do pohybovej rovnice (a) má pohybová rovnica tvar

)sin()()(3 021

21

21

2210 tFllklblllmm

ω+=ϕ+ϕ+ϕ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + &&& ,

resp.

)sin())(3(

32

210

020 t

llmmF

ω++

=ϕω+ϕδ+ϕ &&& , (g)

kde 2210

21

))(3(23

llmmbl

++=δ - pomerný útlm,

2210

21

0))(3(

3llmm

kl++

=ω - vlastná kruhová frekvencia pre netlmenú sústavu,

220 δ−ω=ωd - vlastná kruhová frekvencia pre tlmenú sústavu.

Riešenie diferenciálnej rovnice (g)

• Homogénna časť riešenia diferenciálnej rovnice

02 20 =ϕω+ϕδ+ϕ hhh &&& ,

riešenie má tvar

[ ]hdht

h tCet ϕ+ω=ϕ δ− sin)( .

• Partikulárna časť riešenia diferenciálnej rovnice

)sin())(3(

32

210

020 t

llmmF

ppp ω++

=ϕω+ϕδ+ϕ &&& ,

riešenie má tvar

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω−ω

δω−ω

ωδ+ω−ω

++=ϕ 22

0222220

210

0

2arctansin4)(

))(3(3

)( tllmm

F

tp .

• Celkové riešenie diferenciálnej rovnice (g)

)()()( ttt phc ϕ+ϕ=ϕ .

Integračné konštanty hhC ϕ, sú určené pomocou začiatočných podmienok.

Jednotlivé časové priebehy sú zobrazené na nasledovných obrázkoch (obr. 1 - obr. 3). Z obr. 1, resp. z obr. 3 je zreteľné, že homogénna časť riešenia s narastajúcim časom postupne zaniká a dominantnou sa stáva iba partikulárna časť riešenia, t.j. časť spôsobená budiacim silovým účinkom.

189

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

ϕ h [ra

d]

čas [s]

Obr. 1 Časová závislosť natočenia tyče (homogénne riešenie) pri voľnom kmitaní

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,008

-0,004

0,000

0,004

0,008

ϕ p [ra

d]

čas [s]

Obr. 2 Časová závislosť natočenia tyče (partikulárne riešenie) pri vynútenom kmitaní

s budiacou silou )sin(0 tFF ω=

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

ϕ c [ra

d]

čas [s]

Obr. 3 Časová závislosť natočenia tyče (homogénne + partikulárne riešenie) pri vynútenom

kmitaní s budiacou silou )sin(0 tFF ω=

190

Vplyvom zmeny budiacej frekvencie sa bude meniť amplitúda partikulárnej časti riešenia

22222

0

210

0

4)(

))(3(3

)(ωδ+ω−ω

++=ω

llmmF

C p ,

0 50 100 150 200 2500,00

0,05

0,10

0,15

ampl

itúda

[ra

d]

frekvencia [Hz]

b = 0,0 Ns/m b = 10,0 Ns/m b = 20,0 Ns/m b = 40,0 Ns/m b = 60,0 Ns/m

Obr. 4 Amplitúdovo-frekvenčná charakteristika )sin(0 tFF ω=

Príklad 3.63

Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému pozostávajúceho z dvoch ozubených kolies s momentami zotrvačnosti I1 a I2, hmotnosťami s rovnakým polomerom R rozstupovej kružnice. Kolesá sú na polomere r navzájom spojené pružinou s tuhosťou k.

Výsledok:

krIIT

42 11

0+

π=

Príklad 3.64

Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu ω0 homogénnej tyče s konštantným prierezom po celej dĺžke, ktorá koná rotačný pohyb. Hmotnosť tyče je m a jej dĺžka je l1 + l2. Tyč je pripojená na sústavu dvoch pružín k1 a k2.

Výsledok:

221

2212

211

0)(

)(3llm

llklk+

++=ω

k1

k2

m

l1 l2

I1

ϕ ϕ

I2

k

R R

r r

191

Príklad 3.65 Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu mechanického systému pozostávajúceho z vozíka na dvoch kolesách a hmotnosťami m1 = m2 = m3 = m. Kolesá majú rovnaké polomery r1 = r2 = r a rovnaké momenty zotrvačnosti I1 = I2 = I = 22mr . Vozík je pripojený k základu dvoma pružinami radenými za sebou, ktoré majú rovnaké tuhosti k1 = k2 = k.

Výsledok:

mk

80 =ω

r1, m1, I1

k1 k2

r2, m2, I2

m3

192

Zoznam bibliografických odkazov [1] BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Vector Mechanics for Engineers : Statics and

Dynamics. 5th ed. New York : McGraw-Hill, Inc., 1988, 1026 s. ISBN 0-07-079923-7

[2] BRÁT, V. Příručka kinematiky s příklady. Praha: SNTL/ALFA, 1976, 273 s. 04-203-76

[3] BRÁT, V., BROUSIL, J. Dynamika. Praha: ES ČVUT, 1983, 306 s.

[4] JANČINA, J., PEKÁREK, F. Mechanika II: Kinematika. Bratislava: ALFA/SNTL, 1987, 331 s. 063-556-87 MIK

[5] KRATOCHVÍL, C., MALENOVSKÝ, E. Mechanika pevných a tuhých těles : Sbírka úloh z dynamiky. Brno : Akademické nakladatelství CERM, 2006. 164 s. ISBN 80-214-3228-4

[6] MERIAM, J. L., KRAIGE L. G. Engineering Mechanics : Statics. 4th ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998, 524 s. ISBN 0-471-24164-4

[7] MUDRIK, J. a i. Mechanika tuhých telies. Bratislava: Vydavateľstvo STU, 1999, 272 s. ISBN 80-227-1181-0

[8] PEKTORYS, K. a i. Přehled užité matematiky I. 7. vyd. Praha: Prometeus, 2000, 720 s. ISBN 80-7196-180-9

[9] PEKTORYS, K. a i. Přehled užité matematiky II. 7. vyd. Praha: Prometeus, 2000, 874 s. ISBN 80-7196-181-7

[10] TIMOSHENKO, S. P.,YOUNG, D. H., WEAVER, W. Колебания в инжинерном деле. Москва : Машиностроение, 1985, 472 s.

[11] ZÁHOREC, O..MICHALÍČEK, M., ŽIARAN, S. Dynamika : Zbierka príkladov. Bratislava: ALFA, 1991, 287 s. ISBN 80-05-00718-3

[12] ŽIARAN, S. Technická mechanika. Statika. Bratislava: Vydavateľstvo STU, 2003, 357 s. ISBN 80-227-1863-7

193

Obsah

Úvod 3

1 STATIKA 4

1.1 Sila a jej účinky na hmotný objekt 14

1.2 Statická ekvivalencia silových sústav 14

1.3 Ťažisko hmotných objektov 20

1.4 Rovnováha hmotných objektov 29

1.5 Rovnováha rovinných sústav telies 43

1.6 Rovinné prútové sústavy 53

1.6.1 Analytické riešenie prútovej sústavy - styčníková metóda 54

1.6.2 Analytické riešenie prútovej sústavy - priesečná metóda 56

1.7 Pasívne odpory 59

1.7.1 Šmykové trenie pri posuvnom pohybe 59

1.7.2 Šmykové trenie rotujúcich telies 60

1.7.3 Pásové trenie 62

1.7.4 Valivý odpor 63

1.7.5 Sústavy telies s uvažovaním pasívnych odporov 65

2 KINEMATIKA 69

2.1 Kinematika bodu 69

2.1.1 Pohyb bodu v karteziánskej súradnicovej sústave 69

2.1.2 Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave 70

2.1.3 Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave 71

2.2 Kinematika tuhého telesa 82

2.2.1 Posuvný pohyb telesa v rovine 82

2.2.2 Rotačný pohyb telesa 83

2.2.3 Všeobecný pohyb telesa v rovine 85

2.2.4 Okamžitý stred otáčania 85

2.3 Rýchlosť a zrýchlenie pri súčasných pohyboch 96

194

2.4 Analytické riešenie mechanizmov 102

2.4.1 Trigonometrická metóda 102

2.4.2 Vektorová metóda 102

2.4.3 Metóda komplexných čísel 103

3 DYNAMIKA 112

3.1 Dynamika hmotného bodu 112

3.2 Dynamika sústavy hmotných bodov 125

3.3 Geometria hmôt 132

3.4 Dynamika tuhého telesa 138

3.5 Dynamika sústavy tuhých telies 152

3.6 Základy analytickej dynamiky 167

3.7 Lineárne kmitanie 172

Zoznam bibliografických odkazov 192

Obsah 193

EDÍCIA VYSOKOŠKOLSKÝCH SKRÍPT

Autori: Ing. Milan Naď, CSc. Ing. Eva Labašová, PhD.

Názov: MECHANIKA TUHÝCH TELIES. Návody na cvičenia.

Miesto vydania: Trnava Vydavateľ: AlumniPress Rok vydania: 2008 Vydanie: prvé Rozsah : 194 strán Edičné číslo: 2/AP/2008 ISBN 978-80-8096-050-6 EAN 9788080960506

zverejnené na https://is.stuba.sk

Documents

Mechanika tuhých telies. Návody na cvičenia.pdf