Stvárnenie povrchov

geometrických telies

SOČ 2005Juraj Ondraška

Obchodná akadémiaTopoľčany

Konzultant: PaedDr. M. Chválny

Stvárnenie povrchov geometrických telies

Neolitický vyrezávaný kameň – Škótsko 2000 p.n.l.

Stvárnenie povrchov geometrických teliesTalianska renesancia

Paolo Uccello (1397-1475), vl. menom Paolo di Dono

Hviezdicovitý mramorový dvanásťsten

umiestený

v podlahe v Bazilike

sv. Marka v Benátkach.

Stvárnenie povrchov geometrických teliesTalianska renesancia

Leonardo da Vinci (1452-1519)

Stvárnenie povrchov geometrických teliesNemecká renesancia

Johannes Kepler (1571-1630)

Ilustrácia z knihy Harmonice

Mundi (1619), názorne ukazuje

platónsky spolok pravidelných

telies s klasickými prvkami.

Štvorsten zodpovedá ohňu,

osemsten vzduchu, kocka zemi,

dvadsaťsten vode, dvanásťsten

vesmíru.

Stvárnenie povrchov geometrických teliesNemecká renesancia

Wentzel Jamnitzer (1508-1585)

Stvárnenie povrchov geometrických telies

Rozmanitosť mnohostenov

V Anglicku, v Salisbury

cathedral, nájdeme

nasledujúci náhrobok

postavený v r. 1635 pre

Sir Thomas Gorges

a jeho manželku Helena

Marchioness of

Northampton. 

M. C. ESCHER (1898 – 1972)

Holandský umelec

Vytvoril niekoľko najpodnetnejších

obrazov všetkých čias. Mimoriadna

výtvarníkova fantázia a jeho

zostrené videnie mu umožnili

vytvoriť diela, ktoré neobyčajne

krásne ilustrujú zákony sveta,

v ktorom žijeme.

Zaujímajú matematikov,

chemikov, kryštalografov

i filozofov.

M. C. ESCHER

Holandský umelec

„Svitajú vo mne myšlienky, čo nemajú nič spoločného s oblasťou grafiky.“

Veľká päťka

Platónske telesá

M. C. Escher: Hviezdy

Tetraéder

pravidelný štvorsten

Plazy

V tejto pozoruhodnej kresbe nenájdeme ani na jednej strane tetraédra jedného celého plaza; každý z nich

je úplný až vtedy, keď sa preplazí na druhú plochu.

Oktaéder

pravidelný osemsten

Tri svety

Na každej vonkajšej ploche je vždy polovica každého

z troch motívov: netopier,

jašterica a ryby, ktoré symbolizujú tri rozdielne,

a predsa vzájomne späté svety.

Ikosaéder

pravidelný dvadsaťstenMotýle

Na povrchu vidíme šesťdesiat motýľov. Jednotlivé plochy sa

odlišujú len farebnosťou. Pri rovinnej ploche

postačujú na túto kresbu tri farby,

trojrozmerný model si vyžaduje štyri farby.

Kocka

pravidelný šesťsten

Ryba

Dvanásť rýb pláva symetrický na

vonkajších plochách kocky; načrtávajú pritom zaujímavý rébus riešenia

farebností.

Dodekaéder

pravidelný dvanásťsten

Mušle a morské

hviezdice

Na každej ploche

je morská hviezdica, pôvabne obklopená tromi

druhmi mušlí.

Kubo – oktaéder

šesť štvorcov a osem rovnostranných trojuholníkov

Ryby hodiace sa k sebe

Každý štvorec je obklopený štyrmi

trojuholníkmi a každý trojuholník tromi

štvorcami. Na všetkých hranách plávajú ryby;

okolo štvorcov sa pohybujú v smere

hodinových ručičiek, okolo trojuholníkov opačným

smerom.

Kaleidocyklus

kalos - krásny eidos - tvar kyklos - kruh

Kaleidocyklus

animácia

Kaleidocyklus - šesťuholníkový

Chrobáky

Je pozoruhodné, že pri tejto zložitej skríženej

vzorke vystačia dve farby.

Postačia aj na trojrozmerný model. Keď kaleidocyklus otáčame, pohybujú sa chrobáky

v nekonečnom sprievode.

Kaleidocyklus - šesťuholníkový

Ryba

Červené, čierne a sivé ryby sa v trojiciach dotýkajú hlavami

a chvostovými plutvami. Záhadné je, že sivé ryby nikdy nenájdu cestu do

stredu kaleidocyklu. Dominuje červená ryba podporovaná čiernou.

Kaleidocyklus - šesťuholníkový

Tri živly

Netopiere, jašterice a ryby

symbolizujú tri živly:

vzduch,

zem

a vodu.

Pri každom otočení kaleidocyklu sa tri figúry

stretajú v strede.

Kaleidocyklus - šesťuholníkový

Ryba, kačka, jašterica

Trojice z dvoch druhov

zvierat sa vo

fascinujúcej kombinácií

dotýkajú hlavou

a chvostom.

Kaleidocyklus - šesťuholníkový

Verbum

V tejto vzorke sa uskutočňujú

dva druhy premeny. Zo stredu

smerom von sa z nejasných a

neforemných tvarov postupne

stávajú zreteľné tvory, kým

pozdĺž okraja sa premieňajú

jeden na druhého: vták na rybu,

na žabu, na vtáka a tak ďalej.

Tak znovu vyjadrujú kolobeh

vzduchu, vody a zeme.

Kaleidocyklus - kvadratický

Mušle a morské hviezdice

V strede kaleidocyklu sa

striedavo stretajú štyri

mušle dvoch

rozdielnych druhov, kým

morské hviezdice

a ostatné mušle tancujú

v sprievode.

Kaleidocyklus - kvadratický

Kvety

Nepravidelné päťuholníky, ktoré obkolesujú kvety červenými a modrými hranami, pri otáčaní kaleidocyklu sa ako

zázrakom premieňajú

na striedajúci sa sled

len červených a len modrých hrán.

Kaleidocyklus - kvadratický

Nebo a peklo

Graficky pôsobivo prekrížené motívy

anjela a čerta

zvýrazňujú myšlienku protikladu a našu

neschopnosť rozoznať jedno či druhé.

Kaleidocyklus - kvadratický

JaštericeV rovinnej kresbe sa

dotýkajú štyri jašterice hlavami a štyri jašterice

chvostami. Každá farba sa vyskytuje dva razy. Keď tú istú vzorku poskladáme do kaleidocyklu, vidíme štyri hlavy tej istej farby a štyri chvosty inej farby, ktoré sa, keď kaleidocyklus

otáčame striedajú.

Kaleidocyklus - skrútený

Stretnutie

Keď otáčame tento

skrútený prstenec,

skrížené biele postavy

optimistov a čierne

postavy pesimistov

sa do nekonečna

tmolia cez stred.

Kaleidocyklus

v praxi

Kaleidocyklus

v praxi

Kaleidocyklus

a študenti

Department of Mathematics and Statistics Simon Fraser University

Burnaby, British Columbia, V5A 1S6

Kaleidocyklus

a študenti

Kaleidocyklus

a študenti

RNDr. Marie KupčákováPedagogická fakulta Univerzity Hradec Králové

Stvárnenie povrchov geometrických telies

Možnosť vytvorenia projektu Alternatívna forma učenia sa matematiky Tvorivosť Motivácia Doplnenie a rozšírenie stredoškolskej

stereometrie Medzi predmetové vzťahy Estetické a praktické ciele Technológia vzdelávania