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F-315 (Mecânica Geral I)Aula 2
Prof. Mário Noboru TamashiroDepartamento de Física Aplicada, prédio A-5, sala 7
ramal 3521-5339e-mail: [email protected]://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f315_mecgeral_i
Slides do prof. Antonio Vidiella Barranco: http://www.ifi.unicamp.br/~vidiella/aulas.html
2ª Lei de Newton
dt
vdm
dt
rdmFR
2
2
Força resultante i
iR FF
Mecânica Newtoniana
Partícula de massa m submetida a uma força FR
Força constante – Peso
ymgdt
rdm ˆ
2
2
cuja solução é:
ygttvrtr ˆ2
1)( 2
00
Simplificação: 0,0,0)0( r
00 zv movimento restrito ao plano x-y
Lançamento de projéteis:
partícula submetida somente à força peso -
TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136
TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136
r(t)≡ r(t)−r0 = v0t− 12gt2y
x(t)= v0xty(t)= v0yt− 1
2gt2
z(t)= 0
Substituindo t= x/v0x em y(t), obtém-se a parábola
S eq. (3.165) com r0 = 0
y(x)= v0y
v0xx− g
2v20x
x2
xmax
y x( )
0 xR
maxy
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 2
2
2
00
0
2)( x
v
gx
v
vxy
xx
y parábola
Altura máxima:
Alcance:
g
vy
y
2
2
0
max
g
vvx
xy 00
alcance
2
Força constante – Peso
TM exemplo 2.6, pg. 63; S seção 3.11, pg. 136
posição do máximo:dy(x)
dx
∣∣∣∣x=xmax
= v0y
v0x− g
v20x
xmax = 0
altura máxima: ymax = y(xmax)= v0y
v0xxmax − g
2v20x
x2max
tempo de voo T: y(T)= v0yT − 12gT2 = 0
alcance horizontal R: y(x=R)= v0y
v0xR− g
2v20x
R2 = 0
TM eqs. (2.37), (2.38); S eqs. (3.168), (3.167)
xmax =v0xv0y
g, ymax =
v20y
2g, T = 2v0y
g, R= 2v0xv0y
g= x(T)
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 2
2sencossen22 2
0
2
000
g
v
g
v
g
vvx
xy
alcance
v0
θ
sen
cos
00
00
vv
vv
y
x
Para uma dada velocidade inicial de módulo v0, o alcance do
projétil será máximo para θ = π/4 rad
Força constante – Peso
NFat
Força de atrito \\\(módulo):
Força constante – Peso + atrito
Ângulo crítico: Aceleração:
ec tan cossin dx ga
TM exemplo 2.2, pg. 57
TM exemplo 2.2, pg. 57; S pg. 35
Fatr
µeN
µdN
xF mg= sen θµeN0
F(y)R =N −mgcosθ = 0
Caso estático: Fx ≤µeNF(x)
R =Fx−Fatr = 0Caso dinâmico: Fx >µeNF(x)
R =Fx−Fatr =max
Caso estático: mgsenθ ≤µemgcosθ → tgθ ≤µe
Caso dinâmico:TM eq. (2.15); S eq. (1.44)
ax = g(senθ−µd cosθ)> 0para tgθ >µe >µd
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 2
Esteira deslizante com caixa em rolamento puro
Caso já tenha carregado o vídeo aqui, salve-o com o nomeamazing_amazon_box.mp4 no mesmo diretório deste ar-quivo pdf. Da próxima vez, basta clicar na foto acima.
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 2
Podemos calcular primeiro v(t)
t
tdtFm
vtv0
0 )(1
)(
Para depois calcularmos x(t)
t
tvtdxtx0
0 )()(
Força dependente do tempo: F(t)
Força dependente do tempo: F(t)
Exemplo:
Uma partícula de massa m está submetida a uma força
da forma
Onde F0 e ω são constantes. Calcular a posição da partícula,
x(t), em função do tempo para as condições iniciais x(0) = x e v(0) = v .
xtFtF ˆsin10
0
0
Exercício para aprendizagem
Considere uma partícula de massa m sob a ação de
uma força da forma
Calcular o vetor posição da partícula como função do tempo,
para as condições iniciais x(0) = x0 ; vx(0) = vx0 ; y(0) = y e vy(0) = v .
ytAxFtF ˆˆ0
0
y0
Forças dependentes do tempo
Movimento em uma dimensão: F(t)=F0 (1+senωt) x
m..x=F(t)=F0 (1+senωt)
m .x=mv0+∫ t
0 dt′F(t′)=mv0+F0t− F0ω
(cosωt−1)
x(t)= x0+∫ t
0 dt′ .x(t′)= x0+v0t+ F02m t2+ F0
mωt− F0
mω2 senωt
Movimento em duas dimensões: F(t)=F0 x+A(τ− t) y
m..x=F0 → x(t)= x0+v0xt+ F02m t2
m..y=A(τ− t) → .y(t)−v0y = Am
∫ t0 dt′(τ− t′)= A
mτt− A2m t2
y(t)= y0+∫ t
0 dt′ .y(t′)= y0+v0yt+ A2m τt2− A
6m t3
M. N. Tamashiro Mecânica Geral I aula 2
Coordenadas cartesianas: x,y
yxyyxxr ,ˆˆ
y
r
x x
y
Vetor posição
Velocidade
ydt
dyx
dt
dx
dt
rdv ˆˆ
Aceleração
ydt
ydx
dt
xd
dt
rd
dt
vda ˆˆ
2
2
2
2
2
2
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
yrxrr ˆsenˆcos
y
r
θ
x x
y
Vetor posição
Coordenadas polares: versores
yxr
rr ˆsenˆcosˆ
x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
yx ˆcosˆsenˆ
0ˆˆ,1ˆˆˆˆ rrrObs: rrr ˆ
Vetor posição:
ˆˆ
d
rdr
d
dˆ
ˆ
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
dt
rdrr
dt
dr
dt
rdv
ˆˆ
y
r
θ
x x
y
Vetor velocidade
x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
ˆˆ
rrrv Notação:
fdt
fdf
dt
df 2
2
;
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
dt
drrr
dt
rdrr
dt
rd
dt
vda
ˆˆˆˆ
ˆ
y
r
θ
x x
y
Vetor aceleração x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
ˆ2ˆ2
rrrrra
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃