MEDICIONES E INCERTIDUMBRES

¿Cómo navegar en estos Apuntes? En la siguiente diapositiva se muestra un mapa

conceptual. Un mapa conceptual es una forma esquemática de

presentar los conceptos fundamentales de la materia y su relación entre sí.

Observa este mapa y, haciendo click en el tema de tu interés, puedes ir a este tema donde encontrarás explicaciones en extenso y ejemplos ilustrativos.

Haciendo click en los botones puedes avanzar, retroceder e ir a los ejemplos. Con el botón: i, puedes regresar al mapa de donde partiste.

“Aproximadamente”

u Ixx x“Aproximadamente”

u Iff f

Salida

Salida

Salida

68% de probabilidad

uSxx mx 68 % de probabilidad

u Sff mf

Desviación estándar media(objetivo)

Promedio:

Error: Desv. est. media:

Mediciones Directas

N

xx i

)1(

2

NN

xxS imx

Sí, entoncesasignamos

MedicionesIndirectas

para

para

Calculamos

Salida

Calculamos

¿El número de medicioneses mayor o igual a 10?

¿N≥10?

MedicionesDirectas Reproducibles

Promedio:

Incertidumbre:

I x = - L i

2

L Lx si

x

Promedio:

Error: Dif. Total

...

yxf I

yf

Ixf

I

,...)z,y,xf(f

Promedio:

Incertidumbre: I x: mitad de la mínima escala o tolerancia

N

xx i

No, entoncesasignamos

para

para

para

Calculamos

Calculamos

Calculamos

Incertidumbre absoluta o tolerancia(subjetivo)

Mediciones Directas No Reproducibles

MedicionesIndirectas

Promedio:

Error: Desv. est. media:

,...),,( zyxff

...22

mymxmf Sy

fSx

fS

MEDICIONESMAPA CONCEPTUAL

MétodoObjetivo

MétodoSubjetivo

MedicionesMEDIR:es un proceso mediante el

cual se busca asignar un número a una cantidad física determinada. Ir a Ejemplo 1

Ir a Ejemplo 2

Ejemplo 1: medición directa

MEDIR: la LONGITUD de un campo de fútbol.

mínimo 90 m.maximo 120

m.

Ejemplo 2: medición indirecta MEDIR: la constante de

la gravitación G Conociendo F, las masas: m y M; y la separación: r, se despeja la

constante G de la fórmula de la fuerza de atracción:

Péndulo de torsión

( )2

211

kgNm

10 x 0.3 6.7G -±= r

mMGF Û=

Número De Mediciones Para obtener una medición

con su incertidumbre absoluta:

Es suficiente con tener menos

de diez mediciones, inclusive

una sola es suficiente, dado

que se trabaja con la:

Escala del aparato o con su

tolerancia.

Para obtener una medición con su desviación estándar:

Es preciso contar con una muestra representativa de los posibles valores:

Esto lo aseguramos midiendo la cantidad, al menos:

Diez veces bajo las mismas circunstancias experimentales

Incertidumbre o ToleranciaDefiniciones Preliminars

En todo proceso de medición se cometen errores que los podemos clasificar como:

ERRORES SISTEMÁTICOS: son aquellos que se pueden evitar y suceden en una misma dirección, es decir, siempre se mide por exceso o por defecto.

 ERRORES ALEATORIOS: son aquellos que no se pueden evitar, pero sí se pueden minimizar

midiendo al menos diez veces la cantidad bajo las mismas circunstancias experimentales. Estos errores suceden en ambas direcciones: por exceso y por defecto indistintamente. Por ejemplo: una distracción al tomar la lectura del el aparato.

  Durante el desarrollo del proceso experimental se cometerán ambos tipos de error indistintamente y se debe ser muy cuidadoso con su manejo. De tal manera que medir bien o efectuar una:

 MEDICIÓN BIEN HECHA: es aquel proceso en el que se han eliminado todos los errores

sistemáticos y se han minimizado al máximo todos los errores aleatorios.  EXACTITUD: se dice que toda medición bien hecha es exacta, pero puede diferir en precisión. PRECISIÓN: es el número de cifras significativas que se conocen de una cantidad cualquiera y

usualmente nos las brinda el aparato de medición.

Ir a Ejemplo

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Continuar: Incertidumbre o Tolerancia

Ir a Ejemplo

Ir a Ejemplo

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Error Sistemático, Ejemplo

ERROR SISTEMÁTICO: un ejemplo típico es el error de calibración, es decir, cuando el aparato no mide cero apropiadamente.

Por ejemplo, considere una báscula que no está calibrada, entonces siempre medirá de más o de menos, según sea el monto de tal descalibración.

Báscula bien calibrada

Báscula descalibrada

Error Aleatorio, Ejemplo ERROR ALEATORIO: un ejemplo típico es el que se comete al tomar la lectura con un cronómetro, es decir, el tiempo de respuesta al iniciar o detener el aparato: algunas veces se comenzará a medir antes y otras veces después; de tal manera que algunas veces se medirá de más y otras veces de menos.

Exactitud y Precisión, Ejemplos Medición bien hecha: se midió un espesor con:

A) Flexómetro: e = 2.1 ± 0.05 cm.

B) vernier: e = 2.095 ± 0.0025 cm.

Ambas mediciones, A) y B), están bien hechas porque se eliminaron todos los errores sistemáticos y se minimizaron al máximo los errores aleatorios, es decir, ambas:

Son EXACTAS porque se midieron cuidadosamente, pero difieren en:

PRECISIÓN: la medición A) tiene precisión de un milímetro, y la medición B) tiene precisión de un veinteavo de milímetro.

En otras palabras, la medición A) tiene menos cifras significativas que B): A) tiene menor precisión que B).

Incertidumbre o ToleranciaINCERTIDUMBRE ABSOLUTA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que denota el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IL, Im, It, para la incertidumbre de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica la precisión del aparato y el tamaño del intervalo dentro del cual puede estar el valor real de la medición, con cierta confianza. Usualmente se le asigna un valor igual a la mitad de la mínima escala.

 .TOLERANCIA: es la cantidad que asigna el fabricante de un aparato para cuantificar el error asociado a

las mediciones efectuadas con dicho aparato. Usualmente se muestra en el propio aparato o se especifica en el manual. Cuando aparece sustituye a la incertidumbre absoluta.

 .INCERTIDUMBRE RELATIVA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un

subíndice que incluye una R mayúscula y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IRL, IRm, IRt, para la incertidumbre relativa de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica cuánto error se tiene por cada unidad que se mide con un método determinado; se calcula como: incertidumbre absoluta, dividida entre el valor medio de la cantidad. Matemáticamente:

 .

INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que incluye un signo de % y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: I%L, I%m, I%t, para la incertidumbre porcentual de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica el porcentaje de error respecto de la media. Matemáticamente:

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

x

II x

Rx

100x

II x

%x

Incertidumbre Absoluta, Ejemplo Una compañía fabricante de controles reporta las siguientes

especificaciones para juntas de acero. Observa que se muestra el nombre de la cantidad con sus unidades, un valor promedio y un error o incertidumbre (+/-) que proporciona la confianza en la medición. En este caso, la incertidumbre tiene un valor de: IJ = ± 0.5 mm. La medición se reportará entonces de la siguiente manera: J =12.0 ± 0.5 mm.

Steel Ball Joints B1 B2 B3 B4 B5 B6 B8 B9

J(+/-)

12.0mm0.5mm

12.0mm0.5mm

12.0mm0.5mm

13.0mm0.2mm

13.0mm0.2mm

16.0mm0.25mm

NO NO

K(+/-)

9.0mm0.3mm

12.5mm0.5mm

12.5mm0.5mm

16.5mm0.5mm

16.5mm0.5mm

20.0mm0.5mm

PIN PIN

Nombre de la cantidad

Error

Unidades

Valor promedio

Tolerancia, Ejemplo La mayoría de las veces el fabricante especifica el grado de error que se obtiene al medir con determinado aparato. En este caso, el micrómetro que se ilustra posee una tolerancia de ± 0.001 mm ; de tal manera que al medir, por ejemplo, un espesor de 21. 2345 mm, esta medida se reportará como a = 21. 234 ± 0.001 mm.

Tolerancia

Incertidumbre Relativa, EjemploTomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta donde: J =12.0 ± 0.5 mm. La incertidumbre relativa se calcula como:

Nota que no tiene unidades porque se cancelan al efectuar la división. La cantidad se reporta como: J =12.0 mm ± 0.04. Este número indica que se tiene 0.04 de error por cada mm medido con este método. En otras palabras, éste método es bueno para medir milímetros, pero ya no es bueno para medir, por ejemplo: 1.5 m, porque el error crece hasta: 60 mm = (1500mm)(.04) por cada metro medido.

x

II x

Rx 0.0412.00.5

I RJ

Incertidumbre Porcentual, Ejemplo Tomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre

absoluta con: J =12.0 ± 0.05 mm. La incertidumbre porcentual se calcula entonces como:

Este valor nos indica el error respecto del valor promedio, y se reporta como: J =12.0 mm ± 4 %.

100II

100xI

I

Rx%x

x%x

4%10004.0I

10012.00.5

I

%J

%J

Mediciones Directas Reproducibles

MEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir.

MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales.Ir a ejemplo

Mediciones Directas ReproduciblesEJEMPLO

Se desea medir la temperatura corporal de una persona sana. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas durante una semana, siempre a la misma hora y en el mismo lugar. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura:

Tc = 36.87 ± 0.03 ˚C. Es decir, se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales.

Mediciones Directas NO ReproduciblesMEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se

realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir.

MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que NO se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales.

Ir a ejemplo

Mediciones Directas NO Reproducibles EJEMPLO

Se desea medir la temperatura corporal de una persona enferma. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas a lo largo del día para ver la evolución de la enfermedad. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura:

Tc = 39 ± 2 ˚C. Es decir, NO se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales dado que la enfermedad evoluciona.

Mediciones Indirectas Son aquellas que presumen el conocimiento de una o más mediciones directas y se obtienen efectuando un cálculo matemático utilizando dichas mediciones directas.

Ir a ejemplo

Mediciones Indirectas. Ejemplo.

Se desea establecer el peso que deberá soportar una estructura de 160 m2 de área al ser techada con lámina acanalada. El fabricante proporciona la siguiente información:

P = 5.21 ± 0.005 kg/m2.

De esta manera, la estructura debe soportar un peso de:

We = 160*P*g <=> We = 8161 ± 8 N.

Ir a cálculo

Perfil de lámina acanalada

Mediciones Indirectas. Cálculo. Al multiplicar cantidades con error: We = 160*P*g.

160*P = 160*(5.21 ± 0.005) =.

160*P = 160* 5.21 ± 160* 0.005 = 833.6 ± 0.8 N.

160*P*g = (833.6 ± 0.8 )(9.79) =.

160*P*g = 833.6*9.79 ± 0.8*9.79 = 8160.94 ± 7.83 N.

De esta manera, la estructura debe soportar un peso de:

We = 8161 ± 8 N.