Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Megoldások
1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 𝟒, hetedik eleme 𝟔𝟒. Számítsd ki a sorozat második tagját!
Megoldás:
Először számítsuk ki a sorozat hányadosát:
𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞4 → 64 = 4𝑞4 → 𝑞1 = 2 és 𝑞2 = −2
Ezek alapján két megoldás adódik:
𝑞 = 2 esetén: 𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞 → 4 = 2𝑎2 → 𝑎2 = 2 𝑞 = −2 esetén: 𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞 → 4 = (−2) ∙ 𝑎2 → 𝑎2 = −2
2. Egy mértani sorozat első tagja 𝟕, kvóciense 𝟐. Írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 𝟓 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 𝟒𝟒𝟖?
Megoldás:
Írjuk fel a sorozat általános (𝑛 - edik) tagját: 𝑎𝑛 = 7 ∙ 2𝑛−1.
Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: 𝑆5 = 7 ∙25−1
2−1= 217.
Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen 𝑎𝑛 = 448, s számoljuk ki az 𝑛 értékét.
Írjuk fel a következő egyenletet: 7 ∙ 2𝑛−1 = 448.
Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 = 7.
Ezek alapján a 448 a sorozat hetedik tagja.
3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 𝟏𝟖. Az ötödik és harmadik tag különbsége 𝟑𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?
Megoldás:
Az adatokat 𝑎1 és 𝑞 segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:
𝑎4 − 𝑎2 = 18𝑎5 − 𝑎3 = 36
} → 𝑎1 ∙ 𝑞
3 − 𝑎1 ∙ 𝑞 = 18
𝑎1 ∙ 𝑞4 − 𝑎1 ∙ 𝑞
2 = 36} →
𝑎1 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞2 − 1) = 18
𝑎1 ∙ 𝑞2 ∙ (𝑞2 − 1) = 36
}
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: 𝑞 = 2.
Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 3.
4. Egy mértani sorozat második eleme 𝟔, ötödik eleme 𝟏𝟔𝟐. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű?
Megoldás:
Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát:
𝑎5 = 𝑎2 ∙ 𝑞3 → 162 = 6𝑞3 → 𝑞 = 3
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 → 6 = 3𝑎1 → 𝑎1 = 2
A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek.
Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget, s számoljuk ki az 𝑛 értékét:
10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 999 → 10 ≤ 2 ∙ 3𝑛−1 ≤ 999 → 15 ≤ 3𝑛 ≤ 1 498,5
lg 15 ≤ lg 3𝑛 ≤ lg 1498,5 → lg 15 ≤ 𝑛 ∙ lg 3 ≤ lg 1498,5 → 2,5 ≤ 𝑛 ≤ 6,65
Mivel 𝑛 csak egész szám lehet így a következő adódik: 𝑛 = 3; 4; 5; 6.
Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű.
5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟏. Az első és harmadik tag összege 𝟐𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense?
Megoldás:
Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:
𝑎1 + 𝑎3 = 26𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 31
} → 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞
2 = 26
𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 31
}
A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎1 =5
𝑞.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s a következő adódik: 5𝑞2 − 26𝑞 + 5 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 5 és 𝑞2 =1
5.
Mivel a sorozat növekvő, ezért a 𝑞2 nem felel meg a feladatnak.
Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 5 és 𝑎1 =5
5= 1.
6. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟏𝟏𝟐, a következő három tagjának összege 𝟏𝟒. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?
Megoldás:
Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:
𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 112
𝑎1 ∙ 𝑞3 + 𝑎1 ∙ 𝑞
4 + 𝑎1 ∙ 𝑞5 = 14
} → 𝑎1 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞
2) = 112
𝑎1 ∙ 𝑞3 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞2) = 14
}
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 =1
2.
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 64.
7. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟏𝟓, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 𝟑𝟎. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:
𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞
3 = 15
𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞
3 + 𝑎1 · 𝑞4 = 30
} → 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞
2 + 𝑞3) = 15
𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3) = 30
}
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2.
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 1.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
8. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 𝟐𝟓, a második és negyedik tag összege 𝟓𝟎. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:
𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞2 = 25
𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞3 = 50
} → 𝑎1 · (1 + 𝑞
2) = 25
𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞2) = 50
}
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2.
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 5.
9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege nyolcadrésze a következő három tag összegének. Mennyi a sorozat hányadosa?
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletet: 8 · (𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2) = 𝑎1 · 𝑞
3 + 𝑎1 · 𝑞4 + 𝑎1 · 𝑞
5.
Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8 · 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞2) = 𝑎1 · 𝑞
3 · (1 + 𝑞 + 𝑞2).
Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 2.
10. Egy mértani sorozat harmadik tagja 𝟑𝟔 – tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata −𝟐𝟒𝟑. Mennyi a sorozat első tagja?
Megoldás:
Legyen 𝑎3 = 𝑎2 + 36.
Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎2 ∙ (𝑎2 + 36) = −243.
Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑎22 + 36𝑎2 + 243 = 0.
A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑎21 = −9 és 𝑎22 = −27.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑎2 = −9, akkor 𝑎3 = 27; 𝑞 = −3 és 𝑎1 = 3.
Ha 𝑎2 = −27, akkor 𝑎3 = 9; 𝑞 = −1
3 és 𝑎1 = 81.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
11. Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is −𝟏𝟐. Mennyi az első tíz tag összege?
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletet: −12 = (−12) ∙ 𝑞2.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = 1 és 𝑞2 = −1.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑞 = 1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 10 ∙ (−12) = −120.
Ha 𝑞 = −1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 12 ∙(−1)10−1
−1−1= 0.
12. Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az 𝒂𝒏 = 𝟑 ∙ 𝟐𝒏 sorozatból, hogy az
összeg 𝟏 milliónál nagyobb legyen?
Megoldás:
A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 2.
Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 6 ∙2𝑛−1
2−1≥ 1 000 000.
Az egyenlőtlenséget rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 ≥ 17,34.
Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez.
13. Egy számtani sorozat második tagja 𝟕, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat
hányadosát!
Megoldás:
Legyenek a tagok sorrendben a következők: 7 − 𝑑 7 + 𝑑 7 + 6𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 7 + 𝑑
7 − 𝑑=
7 + 6𝑑
7 + 𝑑.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑑2 − 3𝑑 = 0.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 3.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis 𝑞 = 1.
Ha pedig 𝑑 = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis 𝑞 =3
2.
14. Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 𝟓 – öt, 𝟔 – ot, 𝟗 – et és 𝟏𝟓 – öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat
hányadosát!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑 𝑎2 + 2𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 + 5 𝑎2 + 6 𝑎2 + 𝑑 + 9 𝑎2 + 2𝑑 + 15
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎2 + 6
𝑎2 − 𝑑 + 5=
𝑎2 + 𝑑 + 9
𝑎2 + 6
𝑎2 + 𝑑 + 9
𝑎2 + 6=
𝑎2 + 2𝑑 + 15
𝑎2 + 𝑑 + 9 }
Az egyenletrendszert rendezve a következő adódik: 𝑎2 = 2𝑑.
Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 3 és 𝑑2 = −3.
Ha 𝑑 = 3, akkor 𝑎2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján 𝑞 =3
2.
Ha 𝑑 = −3, akkor 𝑎2 = −6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3 . Ez nem mértani sorozat.
15. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟐𝟎. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd
meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎3 − 2𝑑 𝑎3 − 𝑑 𝑎3 𝑎3 + 𝑑 𝑎3 + 2𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎3 − 𝑑 𝑎3 𝑎3 + 2𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎3 = 4.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 − 𝑑 4 4 + 2𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 4
4 − 𝑑=
4 + 2𝑑
4.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 2𝑑2 − 4𝑑 = 0.
Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 2.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8.
Ha 𝑑 = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, 4.
16. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 𝟓𝟒. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 𝟗 - cel, a harmadikat 𝟔 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani
sorozat és a mértani sorozat tagjait!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 − 9 𝑎2 + 𝑑 − 6
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 18.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 − 𝑑 9 12 + 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 9
18 − 𝑑=
12 + 𝑑
9.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 6𝑑 − 135 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 15 és 𝑑2 = −9.
Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a 𝑑2 nem felel meg a feladatnak.
Ezek alapján a megoldás: a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, 27.
17. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟓. Ha a harmadik számot 𝟓 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd
meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑 + 5
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 10.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 − 𝑑 10 15 + 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 10
10 − 𝑑=
15 + 𝑑
10.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 5𝑑 − 50 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 5 és 𝑑2 = −10.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20.
Ha 𝑑 = −10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, 5.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
18. Egy mértani sorozat első három elemének összege 𝟒𝟐. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok?
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 + 𝑑 𝑎1 + 5𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 + 𝑑 𝑎1 + 5𝑑
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 14 − 2𝑑.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 − 2𝑑 14 − 𝑑 14 + 3𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 14 − 𝑑
14 − 2𝑑=
14 + 3𝑑
14 − 𝑑.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7𝑑2 − 42𝑑 = 0.
Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 6.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 0, akkor 𝑎1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14.
Ha 𝑑 = 6, akkor 𝑎1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32.
19. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟏 - et, 𝟏𝟒 - et és 𝟐 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 − 1 𝑎2 − 14 𝑎2 + 𝑑 − 2
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 50.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 − 𝑑 36 48 + 𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
10
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 36
49−𝑑=
48 + 𝑑
36.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 𝑑 − 1056 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 33 és 𝑑2 = −32.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81.
Ha 𝑑 = −32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, 16.
20. Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟔 - ot, 𝟕 - et és 𝟏𝟐 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata
𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!
Megoldás:
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 + 6 𝑎2 + 7 𝑎2 + 𝑑 + 12
Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő
elemek szorzatával: (𝑎2 – d + 6) ∙ (𝑎2 + d + 12) = (𝑎2 + 7)2.
Írjuk fel a következő egyenletet: (𝑎2 + 7) ∙ (𝑎2 + 7)2 = 13 824.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 17.
Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 − 𝑑 24 29 + 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 24
23 − 𝑑=
29 + 𝑑
24.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 6𝑑 − 91 = 0.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
11
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 7 és 𝑑2 = −13.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑑 = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36.
Ha 𝑑 = −13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, 16.
21. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 𝟔𝟒. Ha az első elemhez hozzáadunk 𝟏 – et, a másodikhoz 𝟒 – et, a harmadikhoz pedig 𝟓 – öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai?
Megoldás:
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2
𝑞 𝑎2 𝑎2 ∙ 𝑞
A számtani sorozat tagjai: 𝑎2
𝑞+ 1 𝑎2 + 4 𝑎2 ∙ 𝑞 + 5
A mértani sorozat tagjait összeszorozva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 4.
Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4
𝑞+ 1 8 4𝑞 + 5
Számtani sorozat esetén a szomszédos tagok különbsége megegyezik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 8 − (4
𝑞+ 1) = 4𝑞 + 5 − 8.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2 és 𝑞2 =1
2.
Ezek alapján két megoldás adódik:
Ha 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13.
Ha 𝑞 =1
2, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8, 7.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
12
22. Egy mértani sorozat négy egymást követő tagja közül a két szélső összege 𝟏𝟏𝟐, a két középső összege 𝟒𝟖. Mennyi a sorozat hányadosa?
Megoldás:
A mértani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 · 𝑞 𝑎1 · 𝑞2 𝑎1 · 𝑞
3
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞3 = 112
𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 = 48
} → 𝑎1 · (1 + 𝑞
3) = 112
𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48} →
𝑎1 · (1 + 𝑞) · (1 − 𝑞 + 𝑞2) = 112
𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48}
Az első egyenletet elosztva a másodikkal a következőt kapjuk: 1−𝑞+𝑞2
𝑞=
7
3.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑞2 − 10𝑞 + 3 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 3 és 𝑞2 =1
3.
23. Egy pozitív tagú mértani sorozat első és kilencedik tagjának szorzata 𝟐𝟑𝟎𝟒, a negyedik és hatodik tag összege 𝟏𝟐𝟎. Határozd meg a sorozat első elemét és a hányadosát!
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎1 · 𝑎9 = 2304𝑎4 + 𝑎6 = 120
} → 𝑎1
2 · 𝑞8 = 2304𝑎5
𝑞+ 𝑎5 · 𝑞 = 120
}
Az első egyenletből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞4)2 = 2304, vagyis 𝑎51 = 48 és 𝑎52 = −48.
Mivel a sorozat pozitív tagú, így az 𝑎52 nem felel meg a feladatnak.
Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe: 48
𝑞+ 48𝑞 = 120.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2, vagy 𝑞2 = 0,5.
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑞1 = 2 esetén 𝑎1 = 3, ha pedig 𝑞1 = 0,5, akkor 𝑎1 = 768.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
13
24. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 𝟏𝟐𝟔, szorzata 𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a sorozat hányadosát!
Megoldás:
A mértani sorozat tagjai: 𝑎2
𝑞 𝑎2 𝑎2 · 𝑞
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎2
𝑞+ 𝑎2 + 𝑎2 · 𝑞 = 126
𝑎2
𝑞· 𝑎2 · 𝑎2 · 𝑞 = 13824
}
A második egyenletet rendezve a következőt kapjuk: 𝑎2 = 24.
Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: 24
𝑞+ 24 + 24𝑞 = 126.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 4𝑞2 − 17𝑞 + 4 = 0
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑞1 = 4, vagy 𝑞2 =1
4.
25. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟎. A sorozat harmadik tagja 𝟕. Határozd meg a 𝟐𝟎𝟎𝟖. tagot!
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·𝑞4−1
𝑞−1= 0.
Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 0, vagy 𝑞4−1
𝑞−1= 0.
Az 𝑎1 = 0 nem lehetséges, mert akkor minden tag 0 lenne.
A 𝑞4−1
𝑞−1= 0 egyenletből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, vagy 𝑞2 = 1.
A 𝑞2 nem lehetséges, mert akkor minden tag 7 lenne, melyek összeg nem 0.
Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = −1 esetén 𝑎2008 = 7 · (−1)2005 = −7.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
14
26. Egy mértani sorozat első 𝟓 tagjának az összege 𝟏𝟓𝟓, e számok reciprokának az összege 𝟎, 𝟑𝟖𝟕𝟓. Határozd meg ennek az öt tagnak a szorzatát!
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞
3 + 𝑎1 · 𝑞4 = 155
1
𝑎1+
1
𝑎1·𝑞+
1
𝑎1·𝑞2+
1
𝑎1·𝑞3+
1
𝑎1·𝑞4= 0,3875
} → 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞
2 + 𝑞3 + 𝑞4) = 1551+𝑞+𝑞2+𝑞3+𝑞4
𝑎1·𝑞4= 0,3875
}
Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑎12 · 𝑞4 = 400.
Ebből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞2)2 = 400, vagyis 𝑎31 = 20 és 𝑎32 = −20.
A 𝑎32 = −20 nem felel meg a feladat szövegének.
Ezek alapján a megoldás: 20
𝑞2·20
𝑞· 20 · 20𝑞 · 20𝑞2 = 3 200 000.
27. Egy mértani sorozat első tagja 𝟐. A sorozat első néhány tagjának az összege 𝟔𝟐, ugyanezen tagok reciprokának összege pedig 𝟎, 𝟔𝟐. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
2 + 2𝑞 + 2𝑞2 +⋯+ 2 · 𝑞𝑛−1 = 621
2+
1
2𝑞+
1
2𝑞2+⋯+
1
2 · 𝑞𝑛−1= 0,62
} → 1 + 𝑞 + 𝑞2 +⋯+ 𝑞𝑛−1 = 31
1+𝑞+𝑞2+⋯+𝑞𝑛−1
𝑞𝑛−1= 1,24
}
Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑞𝑛−1 = 25.
Az első egyenletet alakítsuk át a következőképpen: 1 ·𝑞𝑛−1−1
𝑞−1+ 𝑞𝑛−1 = 31.
Helyettesítsük be a kapott értéket: 24
𝑞−1+ 25 = 31.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑞 = 5.
Ezek alapján a megoldás: 𝑎𝑛 = 2 · 5𝑛−1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
15
28. Egy mértani sorozat első tagja 𝟎, 𝟏. Az első négy tag összege 𝟏 – gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját!
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletet: 0,1 ∙𝑞4 − 1
𝑞 − 1= 𝑞 + 1.
Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 0,1 ∙(𝑞2 + 1) ∙ (𝑞 − 1) ∙ (𝑞 + 1)
𝑞 − 1= 𝑞 + 1.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, 𝑞2 = −3 és 𝑞3 = 3.
Ezek alapján három megoldás is adódik:
Ha 𝑞 = −1, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,1; 𝑎3 = 0,1; 𝑎4 = −0,1.
Ha 𝑞 = −3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = −2,7.
Ha 𝑞 = 3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = 2,7.
29. Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 𝟐𝟎, a második és az ötödik szám szorzata 𝟏𝟔. Melyik ez az öt szám?
Megoldás:
Legyen az öt szám: 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒.
Számtani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑏 + 𝑒 = 𝑐 + 𝑑.
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑏 + 𝑒 = 10𝑏 ∙ 𝑒 = 16
}
Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑏 = 10 − 𝑒.
Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑒2 − 10𝑒 + 16 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑒1 = 2 és 𝑒2 = 8.
Ha 𝑒 = 2, akkor 𝑏 = 8.
A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 6 és 𝑑 = 4.
A mértani sorozatból pedig 8
𝑎=
6
8 adódik, vagyis 𝑎 =
32
3.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
16
Ha 𝑒 = 8, akkor 𝑏 = 2.
A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 4 és 𝑑 = 6.
A mértani sorozatból pedig 2
𝑎=
4
2 adódik, vagyis 𝑎 = 1.
Ezek alapján a megoldások: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2;32
3.
30. Egy mértani sorozat második tagja négyszer akkora, mint a negyedik tagja. A
harmadik és az ötödik tag szorzata 𝟏𝟎𝟎. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑎1 · 𝑞 = 4 · 𝑎1 · 𝑞3
𝑎1 · 𝑞2 · 𝑎1 · 𝑞
4 = 100}
Az első egyenletből a következőt kapjuk: 𝑞1 =1
2 és 𝑞2 = −
1
2.
Mindkét hányados esetén a második egyenletből a következő adódik: 𝑎12 = 6400.
Ebből a következőt kapjuk: 𝑎11 = 80 és 𝑎12 = −80.
Ezek alapján négy megoldás adódik:
𝑎𝑛 = 80 · (1
2)𝑛−1
𝑎𝑛 = 80 · (−1
2)𝑛−1
𝑎𝑛 = −80 · (1
2)𝑛−1
𝑎𝑛 = −80 · (−1
2)𝑛−1
31. Az 𝒂𝒏 mértani sorozat első négy tagjának az összege 𝟖𝟏. Tudjuk továbbá, hogy 𝒂𝟒−𝒂𝟏
𝒂𝟑−𝒂𝟐=
𝟏𝟑
𝟑. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Alakítsuk át a megadott képletet a következőképpen:
𝑎4−𝑎1
𝑎3−𝑎2=
𝑎1 · 𝑞3 − 𝑎1
𝑎1 · 𝑞2 − 𝑎1 · 𝑞=
𝑎1 · (𝑞3−1)
𝑎1 · 𝑞 · (𝑞−1)=
𝑎1 · (𝑞−1) · (𝑞2+𝑞+1)
𝑎1 · 𝑞 · (𝑞−1)=
𝑞2+𝑞+1
𝑞.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
17
Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑞2+𝑞+1
𝑞=
13
3.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑞2 − 10𝑞 + 3 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 3 és 𝑞2 =1
3.
Ezt követően írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·𝑞4−1
𝑞−1= 81.
Ekkor 𝑞1 = 3 esetén 𝑎1 =81
40, míg 𝑞2 =
1
3 esetén pedig 𝑎1 =
2187
40.
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 =81
40· 3𝑛−1 és 𝑎𝑛 =
2187
40· (
1
3)𝑛−1
.
32. Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 𝟐𝟖. Ha a második tagot megszorozzuk az első és a harmadik tag összegével 𝟏𝟔𝟎 – at kapunk. Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Legyen a következő: 𝑎2 = 𝑥 és 𝑎1 + 𝑎3 = 𝑦.
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 𝑦 = 28𝑥𝑦 = 160
}
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 8; 𝑦1 = 20 és 𝑥2 = 20; 𝑦2 = 8.
Az első esetben a következő adódik: 𝑎3 = 20 − 𝑎1.
Mivel 𝑎22 = 𝑎1 · 𝑎3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 64 = 𝑎1 · (20 − 𝑎1).
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 4, vagy 𝑎1 = 16.
Ekkor 𝑎1 = 4 esetén 𝑞 = 2, míg 𝑎1 = 16 esetén pedig 𝑞 =1
2.
A második esetben a következő adódik: 𝑎3 = 8 − 𝑎1.
Mivel 𝑎22 = 𝑎1 · 𝑎3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 400 = 𝑎1 · (8 − 𝑎1).
Ebből azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása.
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 = 4 · 2𝑛−1 és 𝑎𝑛 = 16 · (
1
2)𝑛−1
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
18
33. Egy mértani sorozat első nyolc tagjának az összege 𝟐𝟓𝟎. Tudjuk továbbá, hogy (𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 + 𝒂𝟔 + 𝒂𝟖) − (𝒂𝟏 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟓 + 𝒂𝟕) = 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg az első tagot és a sorozat hányadosát!
Megoldás:
Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7 és 𝑦 = 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + 𝑎8.
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑥 + 𝑦 = 250𝑦 − 𝑥 = 150𝑥 · 𝑞 = 𝑦
}
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 50; 𝑦 = 200; 𝑞 = 4.
Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·48−1
4−1= 250
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 =50
4369.
34. Négy, adott sorrendben felírt számról a következőket tudjuk:
a két szélső szám összege 𝟏𝟒
a két középső szám összege 𝟏𝟐
az első három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja
az utolsó három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja.
Melyik ez a sorozat?
Megoldás:
Legyen a négy szám a negyedik pontnak megfelelően a következő: 𝑥; 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2; 𝑎2 + 𝑑.
A második pontnak megfelelően írjuk fel a követkeőzt: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 = 12.
Ebből a következő adódik: 𝑑 = 2𝑎2 − 12.
Az első pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: 𝑥 + 𝑎2 + 𝑑 = 14.
Helyettesítsük be a kapott kifejezést: 𝑥 = 14 − 𝑎2 − (2𝑎2 − 12) = 26 − 3𝑎2.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
19
A harmadik pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: (𝑎2 − 𝑑)2 = 𝑥 · 𝑎2.
Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket: (12 − 𝑎2)2 = (26 − 3𝑎2) · 𝑎2.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑎22 − 25𝑎2 + 72 = 0.
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑎2 = 8, vagy 𝑎2 =9
2.
Ekkor 𝑎2 = 8 esetén 𝑑 = 4, míg 𝑎2 =9
2 esetén pedig 𝑑 = −3.
Ezek alapján két megoldás adódik: 2; 4; 8; 12 és 25
2;15
2;9
2;3
2
35. Az 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat első három tagja. Ha a 𝒄 – t az 𝒂 és a 𝒃 összegével csökkentjük, egy számtani sorozat három szomszédos tagjához jutunk.
Az 𝒂; 𝒃 + 𝟏𝟎; 𝒄 pedig szintén egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Határozd meg az 𝒂; 𝒃; 𝒄 számokat!
Megoldás:
Írjuk fel a következő egyenletrendszert:
𝑏2 = 𝑎𝑐
𝑏 =𝑎+𝑐−(𝑎+𝑏)
2
𝑏 + 10 =𝑎+𝑐
2
}
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 5; 𝑏1 = 15; 𝑐1 = 45 és 𝑎2 = 20; 𝑏2 = 0; 𝑐2 = 0.
Ezek alapján két megoldás adódik: 5; 15; 45 és 20; 0; 0.
36. Egy pozitív tagú, nem állandó számtani sorozat első, második és ötödik tagja egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Milyen 𝒌 – ra teljesül, hogy a sorozat első, harmadik és 𝒌 – adik tagja ugyancsak egy mértani sorozat egymást követő tagjai lesznek?
Megoldás:
Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő
elemek szorzatával: 𝑎1 · (𝑎1 + 4𝑑) = (𝑎1 + d)2.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑑 = 2𝑎1.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
20
A második feltételből írjuk fel a következőt: 𝑎32 = 𝑎1 · 𝑎𝑘.
Ebből a következő egyenlet adódik: (𝑎1 + 2𝑑)2 = 𝑎1 · [𝑎1 + (𝑘 − 1) · 𝑑].
A kapott kifejezést behelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑘 = 13.
37. Van – e olyan nem állandó számtani sorozat, ami mértani sorozat is egyben?
Megoldás:
Legyenek a számtani sorozat szomszédos tagjai: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2; 𝑎2 + 𝑑.
Mértani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑎22 = (𝑎2 − 𝑑) · (𝑎2 + 𝑑).
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑 = 0.
Ezek alapján a számtani sorozat csak konstans tagok esetén lehet mértani is.
38. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyeknek az első három tagját 𝟐 – vel megszorozva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk?
Megoldás:
Amennyiben 2𝑎1; 2𝑎2; 2𝑎3 egy mértani sorozat egymást követő tagjai, akkor az 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 számhármasra is tagja egy mértani sorozatnak, továbbá a két sorozat kvóciense megegyezik.
Ezek alapján csak a konstans sorozatok tesznek eleget a feladat feltételének, mert csak abban
az esetben lesz a számtani sorozat tagjai mértani sorozatnak is tagjai.
39. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek minden tagja irracionális?
Megoldás:
Lehetséges, ha az első tag irracionális, a hányados pedig racionális (𝑞 ≠ 0).
40. Van – e olyan nem állandó mértani sorozat, amelynek minden tagja négyzetszám?
Megoldás:
Lehetséges, ha az első tag és a hányados is négyzetszám.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
21
41. Igazold, hogy √𝟐 + 𝟏
√𝟐 − 𝟏;
𝟏
𝟐 − √𝟐;𝟏
𝟐 egy mértani sorozat három egymást követő tagja!
Megoldás:
Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát:
1
2 − √2
√2 + 1
√2 − 1
=√2 − 1
(2−√2) · (√2+1)=
√2 − 1
√2=
2 − √2
2
1
21
2 − √2
=2 − √2
2
Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.
42. Igazold, hogy a következő számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai √𝟓 − 𝟐
𝟗;𝟏
𝟑; √𝟓 + 𝟐;
𝟑
𝟗 − 𝟒 · √𝟓!
Megoldás:
Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát:
1
3
√5 − 2
9
=3
√5 − 2=
3 · (√5+2)
(√5−2) · (√5+2)= 3 · (√5 + 2)
√5 + 2
1
3
= 3 · (√5 + 2)
3
9 − 4 · √5
√5 + 2=
3
9 − 4 · √5·
1
√5 + 2=
3
√5 − 2= 3 · (√5 + 2)
Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.
43. Írj fel egy olyan mértani sorozat három további tagját, amelynek a tagjai között
vannak a következő számok: 𝟑;𝟖
𝟗;𝟑𝟐
𝟖𝟏!
Megoldás:
Számítsuk ki a lehetséges hányadost: 8
9: 3 =
8
27, illetve
32
81:8
9=
2
3.
A kapott értékek 𝑞 egész kitevőjű hatványai, vagyis a kvóciens egy lehetséges értéke: 𝑞 =2
3.
Ezek alapján egy lehetséges megoldás: 3; 2;4
3;8
9;16
27;32
81;64
243…
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
22
44. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek az 𝟏, a 𝟐 és a 𝟑 is tagja?
Megoldás:
Tegyük fel, hogy lehetséges, így a sorozat tagjai: 𝑎𝑘 = 1; 𝑎𝑚 = 2; 𝑎𝑛 = 3.
Számítsuk ki a tagok hányadosát: 𝑎𝑚
𝑎𝑘= 2;
𝑎𝑛
𝑎𝑘= 3;
𝑎𝑛
𝑎𝑚=
3
2
A kapott értékek a 𝑞 pozitív egész kitevőjű hatványai.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞 = √3𝑥
= √2𝑦
, vagyis 3𝑦 = 2𝑥.
Ellentmondást kaptunk, mert a prímtényezős felbontás miatt nem lehet egyenlő a két oldal.
Ezek alapján nincs ilyen sorozat.
45. Számítsd ki a 𝟐 első tíz nemnegtaív egész kitevőjű hatványának összegét!
Megoldás:
Írjuk fel a következő összeget: 20 + 21 +⋯+ 29.
Ebből adódik, hogy egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 1; 𝑞 = 2; 𝑛 = 10.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆10 = 1 ·210−1
2−1= 1023.
46. Írd le a 𝟑 első száz (pozitív egész kitevőjű) hatványát egymás mellé, majd két – két szomszédos szám közé írd be ezek különbségét úgy, hogy mindig a nagyobbikból vond
ki a kisebbet! Mennyi a beírt számok összege?
Megoldás:
Írjuk fel a következő összeget: (32 − 31) + (33 − 32) + ⋯+ (3100 − 399).
Ebből adódik, hogy a tagok egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 3.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆99 = 6 ·399−1
3−1= 3100 − 3.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
23
47. Igaz – e tetszőleges 𝒏 > 𝟎 egészre, hogy 𝟏𝟏…𝟏𝟏 − 𝟐𝟐…𝟐𝟐 = 𝟑𝟑…𝟑𝟑𝟐, ahol az 𝟏 – esekből álló szám 𝟐𝒏 jegyű, a 𝟐 – esekből és 𝟑 – asokból álló számok pedig 𝒏 jegyűek?
Megoldás:
Írjuk fel az adott számokat a következő alakban:
11…11 = 1 + 101 + 102 +⋯+ 102𝑛−1 = 1 ·102𝑛−1
10−1=
102𝑛 − 1
9
22…22 = 2 + 2 · 101 + 2 · 102 +⋯+ 2 · 10𝑛−1 = 2 ·10𝑛−1
10−1=
2 · 10𝑛 − 2
9
33…33 = 3 + 3 · 101 + 3 · 102 +⋯+ 3 · 10𝑛−1 = 3 ·10𝑛−1
10−1=
10𝑛 − 1
3
Írjuk fel az első két szám különbségét és alakítsuk át a következőképpen:
102𝑛 − 1
9−2 · 10𝑛 − 2
9=
102𝑛 − 2 · 10𝑛 + 1
9= (
10𝑛−1
3)2
Ezek alapján az állítás teljesül minden pozitív egész 𝑛 - re.
48. A Papp család betesz a bankba 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot 𝟓 évre, évi 𝟕 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)
Megoldás:
A kamatos kamat képletével a következő adódik: 100 000 ∙ 1,075 = 140 255.
Ezek alapján 5 év után kb. 140 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család.
49. Beteszünk a bankba 𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot évi 𝟏𝟏 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot szeretnénk kivenni majd?
Megoldás:
A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget:
5 000 ∙ 1,11𝑛 ≥ 100 000 → 1,11𝑛 ≥ 20 →
→ lg 1,11𝑛 ≥ lg 20 → 𝑛 ∙ lg 1,11 ≥ lg 20 → 𝑛 ≥lg 20
lg1,11≈ 28,7
Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
24
50. Egy autó ára újonnan 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 𝟑 év után 𝟑 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!)
Megoldás:
A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenletet:
5 000 000 ∙ (1 −𝑝
100)3
= 3 400 000.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑝 ≈ 12,06.
Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára.
51. Egy gépsor értéke új korában 𝟏𝟓 millió forint. Évenként 𝟏𝟑 % - os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 𝟔 millió forint alá?
Megoldás:
A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget:
6 000 000 > 15 000 000 · (1 −13
100)𝑛
.
Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 >lg 0,4
lg0,87≈ 6,58.
Ezek alapján kb. 7 év után teljesül a feltétel.
52. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot, mely év végén 𝟓 % - ot kamatozik. 𝟐𝟎 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)
Megoldás:
Az első év végén kivehető összeg: 30 000 ∙ 1,05.
A második év végén: (30 000 ∙ 1,05 + 30 000) ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,052 + 30 000 ∙ 1,05.
A huszadik év végén felvehető összeg:
30 000 ∙ 1,0520 + 30 000 ∙ 1,0519 +⋯+ 30 000 ∙ 1,05 =
30 000 ∙ 1,05 ∙ (1 + 1,05 + ⋯+ 1,0519) = 30 000 ∙ 1,05 ∙ 1 ∙1,0520 − 1
1,05 − 1≈ 1 041 578
Ezek alapján 20 év után kb. 1 042 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család.
A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
25
53. Valaki 𝟒𝟎 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 𝟕𝟎 éves korában 𝟓 millió forintot kap. A befizetett pénz 𝟖 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)
Megoldás:
Legyen az évente befizetett összeg: 𝑥.
Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: 𝑥 ∙ 1,08.
A második év végén: (𝑥 ∙ 1,08 + 𝑥) ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,082 + 𝑥 ∙ 1,08.
A harmincadik év végén felvehető összeg:
𝑥 ∙ 1,0830 + 𝑥 ∙ 1,0829 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ (1 + 1,08 + ⋯+ 1,0829) =
= 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙1,0830 − 1
1,08 − 1
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙1,0830 − 1
1,08 − 1= 5 000 000.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 40 868.
Ezek alapján kb. 41 000 Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején.
A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
54. Kovács Zoltán 𝟑𝟎 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 𝟗 millió kölcsönt, 𝟏𝟓 évre évi 𝟕 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!)
Megoldás:
Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥.
A 15. év végére visszafizetendő összeg: 9 000 000 ∙ 1,0715.
Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg:
𝑥 ∙ 1,0714 + 𝑥 ∙ 1,0713 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,072 + 𝑥 ∙ 1,07 + 𝑥 =
= 𝑥 ∙ (1 + 1,07 + 1,072 +⋯+ 1,0714) = 𝑥 ∙ 1 ∙1,0715 − 1
1,07 − 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
26
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙1,0715 − 1
1,07 − 1= 9 000 000 ∙ 1,0715.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 988 152.
Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb. 988 000 Ft lesz.
A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
55. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 𝟏𝟎 millió Ft - ot 𝟐𝟎 évre, évi 𝟔 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 𝟐𝟎 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres
kerekítéssel add meg!)
Megoldás:
Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥.
Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥.
A második végén: (10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥) ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,062 − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥.
A huszadik év végén:
10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1,0619 − 𝑥 ∙ 1,0618 −⋯− 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥 =
10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ (1 + 1,06 + 1,062 +⋯+ 1,0619) =
10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0620−1
1,06−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0620−1
1,06−1= 0.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 871 846.
Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb. 872 000 Ft – nak kell lennie.
A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
27
56. Elhelyezünk 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot évi 𝟒 % - os kamatra. A következő évtől kezdve tíz éven át egynelő összegeket akarunk felvenni midnen év elején úgy, hogy a tíz év letelte után
ne maradjon pénzünk. Mennyi pénzt vegyünk fel egy évben?
Megoldás:
Legyen az éves felvett összeg: 𝑥.
Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 ∙ 1,04 − 𝑥.
A második végén: (10 000 ∙ 1,04 − 𝑥) ∙ 1,04 − 𝑥 = 10 000 ∙ 1,042 − 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥.
A tizedik év végén:
10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1,049 − 𝑥 ∙ 1,048 −⋯− 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥 =
10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ (1 + 1,04 + 1,042 +⋯+ 1,049) =
10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0410−1
1,04−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0410−1
1,04−1= 0.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 1233 𝐹𝑡.
Ezek alapján kb. 1233 Ft – ot kell felvenni.
A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
57. Aladár 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot vesz fel kölcsönbe évi 𝟏𝟐 % - os kamatra. Két év alatt kell visszafizetnie, havi egyenlő részletekben. Mennyi lesz a havi törlesztőrészlet?
Megoldás:
A szövegből adódik, hogy a havi kamat: 1 %.
Legyen a havi törlesztőrészlet: 𝑥.
A 2. év végére visszafizetendő összeg: 500 000 ∙ 1,0124.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
28
Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden hó végén, így a 2. év végére befizetett összeg:
𝑥 ∙ 1,0123 + 𝑥 ∙ 1,0122 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,012 + 𝑥 ∙ 1,01 + 𝑥 =
= 𝑥 ∙ (1 + 1,01 + 1,012 +⋯+ 1,0123) = 𝑥 ∙ 1 ∙1,0124 − 1
1,01 − 1
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙1,0124 − 1
1,01 − 1= 500 000 ∙ 1,0124.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 23 537.
Ezek alapján a havi törlesztőrészlet kb. 23 500 Ft lesz.
A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
58. Tíz év alatt minden év elején 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot teszünk a takarékba. Tíz év elteltével 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot veszünk ki évenként. Mennyi pénzünk lesz a huszadik év végén, ha 𝟓 % - os a kamat?
Megoldás:
Az első év végén levő összeg: 𝑎1 = 4000 · 1,05.
A második év végén levő összeg: 𝑎2 = (4000 · 1,05 + 4000) · 1,05.
A tízedik év végén levő összeg:
𝑎10 = 4000 · (1,05 + ⋯+ 1,0510) = 4000 · 1,05 ·
1,0510−1
1,05−1≈ 52830 𝐹𝑡.
A tízenegyedik év végén levő összeg: 𝑎11 = (52830 − 4000) · 1,05.
A huszadik év végén levő összeg:
𝑎20 = 52380 · 1,0510 − 4000 · (1,05 + ⋯+ 1,0510) =
= 52830 · 1,0510 − 52380 ≈ 33225 𝐹𝑡
Ezek alapján kb. 33 225 𝐹𝑡 lesz a huszadik év végén.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
29
59. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban 𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 𝟑 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 𝟓 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik – e az álláspontja, ha legalább 𝟔 évre tervez?
Megoldás:
Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András.
Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai.
A sorozat első tagja 120 000, differenciája 4000.
Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 120 000 + 59 ∙ 4000 = 356 000.
Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 =120 000 + 356 000
2∙ 60 = 14 280 000.
A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai.
A sorozat első tagja 80 000, kvóciense 1,03.
Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 80 000 ∙ 1,0359 ≈ 457 600.
Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 = 80 000 ∙1,0360 − 1
1,03 − 1≈ 13 044 000.
Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania.
Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket:
𝑆72 =2 ∙ 120 000 + 71 ∙ 4000
2∙ 72 = 18 864 000
𝑆72 = 80 000 ∙1,0372 − 1
1,03 − 1≈ 19 733 000
Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
30
60. Egy cég termelése havonta 𝟑 % - kal növekszik. Három év elteltével a termelés hányszorosa lesz a kezdeti (első havi) termelésnek?
Megoldás:
A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,03 és 𝑛 = 36.
Ebből írjuk fel a következőt: 𝑎36 = 𝑎1 · 1,0335 ≈ 2,81 · 𝑎1.
Ezek alapján kb. 2,81 – szeresére változik.
61. Egy 𝟓𝟎 literes hordóban tiszta alkohol van. Óránként 𝟏 litert vesznek ki belőle, és óránként befolyik 𝟏 liter víz. Mennyi idő múlva lesz 𝟒𝟎 % - os keverék a hordóban?
Megoldás:
Egy óra múlva a tiszta alkohol mennyisége 49
50 – szeresére változik.
Írjuk fel a következő egyenletet: 50 · (49
50)𝑛
= 50 · 0,4.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 =lg 0,4
lg 0,98≈ 45,35.
Ezek alapján kb. 46 óra múlva lesz 40 % - os a keverék.
62. Egy szigeten élő rágcsálópopuláció 𝟑 havonként az aktuális létszám 𝟖 % - ával gyarapszik. Hány évvel ezelőtt voltak 𝟑𝟎 – an, ha jelenleg a csapdázások alapján végzett számítások szerint mintegy 𝟏𝟓𝟎𝟎 egyed él a szigeten, és a megfigyelések szerint a rágcsálók legalább 𝟓𝟎 évig élnek?
Megoldás:
Egy év elteltével a rágcsálók száma: 30 · 1,084.
Írjuk fel a következő egyenletet: 30 · 1,084𝑛 = 1500.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 =lg 50
4 · lg 1,08≈ 12,7.
Ezek alapján kb. 13 évvel ezelőtt voltak 30 - an.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
31
63. Egy erdő faállománya 𝟑𝟓𝟎𝟎 𝒎𝟑. A mindenkori állomány évenként 𝟑 % - kal gyarpaszik, és kétévenként a meglévő állomány 𝟐 % - át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 𝟐𝟎 év múlva?
Megoldás:
Két év után az eredeti állomány 1,032 · 0,98 – szerese lesz.
Ezek alapján a megoldás: 3500 · (1,032 · 0,98)10 ≈ 5165 𝑚3.
64. Egy nyúlékony zsinórra felfüggesztünk egy súlyt. A zsinór nyúlása az első négy
órában minden eltelt órában másfélszeresére nő. Kezdetben 𝟕𝟎 𝒄𝒎 hosszú volt. Mennyi idő (egész órában) elteltével lesz legalább 𝟑, 𝟓 𝒎 hosszú?
Megoldás:
A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,5 és 𝑎1 = 70.
Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 70 · 1,5𝑛 > 350.
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 >lg 5
lg 1,5≈ 3,97.
Ezek alapján 4 óra kell hozzá.
65. Egy berendezés értéke újonnan 𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟎 euró. Az avulás mértéke évenként 𝟏𝟓 %, de minden évben ráköltenek 𝟔𝟎𝟎𝟎 eurót, ezzel emelve a gép értékét. Hány év múlva lesz a berendezés értéke a kezdeti értékének kevesebb, mint fele?
Megoldás:
Az első év végén a berendezés értéke: 90 000 · 0,85 + 6000.
A második év végén a berendezés értéke: (90 000 · 0,85 + 6000) · 0,85 + 6000.
Az 𝑛 – edik év végén az értéke: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · (1 + 0,85 +⋯+ 0,85𝑛−1).
Ebből felírható a következő egyenlőtlenség: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · 1 ·0,85𝑛−1
0,85−1< 45 000.
Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 > 14,17.
Ezek alapján 15 év kell hozzá.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
32
66. Egy 𝟔𝟎° - os szög egyik szárán jelölünk ki egy 𝑷 pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen 𝑷𝟏. Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból 𝑷𝟐 – t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A 𝑷𝑷𝟏 szakaszt jelöljük 𝒂𝟏 – gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege?
Megoldás:
Tekintsük a következő ábrát:
Legyen az 𝑂𝑃 távolság 𝑥.
Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát:
𝑎1 = 𝑥 ∙ sin 60° = 𝑥 ∙√3
2; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙
√3
4; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙
√3
8; …
A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =1
2.
Ezek alapján a megoldások:
𝑎8 = 𝑥 ∙√3
2∙ (1
2)7
= 𝑥 ∙√3
256
𝑆8 = 𝑥 ∙√3
2∙(1
2)8 − 1
1
2 − 1
= 𝑥 ∙√3
2∙−255
256
−1
2
= 𝑥 ∙255 ∙ √3
256≈ 1,725𝑥
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
33
67. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy
kisebb négyzetet. 𝟏𝟎𝟎 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege?
Megoldás:
Tekintsük a következő ábrát:
Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát:
𝑎1 =√2
2; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅
√2
2=
1
2; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅
√2
2=
√2
4; …
Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 2 ⋅ √2;𝐾2 = 2;𝐾3 = √2;…
Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 =1
2; 𝑇2 =
1
4; 𝑇3 =
1
8; …
A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =√2
2, illetve 𝑞 =
1
2.
Ezek alapján a megoldások:
𝑆𝐾100 = 2 ⋅ √2 ⋅(√2
2)100
− 1
√2
2 − 1
≈ 9,657
𝑆𝑇100 =1
2⋅(1
2)100
− 1
1
2 − 1
= 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
34
68. A 𝟕 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 𝟑: 𝟒 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz
a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege?
Megoldás:
Tekintsük a következő ábrát:
Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: 𝑎1 = 7; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅5
7= 5; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅
5
7=
25
7; …
Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 28;𝐾2 = 20;𝐾3 =100
7; …
Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 = 49; 𝑇2 = 25; 𝑇3 =625
49; …
Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =5
7, illetve 𝑞 =
25
49.
Ezek alapján a megoldások:
𝑎7 = 7 ∙ (5
7)6
=15625
16807≈ 0,93
𝑆𝐾7 = 28 ⋅(5
7)7 − 1
5
7 − 1
≈ 3,17
𝑆𝑇7 = 49 ⋅(25
49)7 − 1
25
49 − 1
= 49
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
35
69. Egy 𝒂 oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara?
Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege?
Megoldás:
Tekintsük a következő ábrát:
Legyen a négyzetek oldalhossza 𝑎1; 𝑎2; …, a beírt körök sugarának hossza: 𝑟1; 𝑟2; ….
Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát:
𝑎1 = 𝑎; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅√2
2= 𝑎 ⋅
√2
2; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅
√2
2= 𝑎 ⋅
1
2; …
Tekintsük az első néhány sugár hosszát:
𝑟1 = 𝑎1 ⋅1
2= 𝑎 ⋅
1
2; 𝑟2 = 𝑎2 ⋅
1
2= 𝑎 ⋅
√2
4; 𝑟3 = 𝑎3 ⋅
1
2= 𝑎 ⋅
1
4; …
Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: 𝐾1 = 4𝑎;𝐾2 = 𝑎 ⋅ 2 ⋅ √2; 𝐾3 = 2𝑎;…
Tekintsük az első néhány kör kerületét: 𝑘1 = 𝑎 ⋅ 𝜋; 𝑘2 = 𝑎 ⋅√2
2⋅ 𝜋; 𝑘3 = 𝑎 ⋅
1
2⋅ 𝜋; …
Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =√2
2.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
36
Ezek alapján a megoldások:
𝑎6 = 𝑎 ⋅ (√2
2)5
= 𝑎 ⋅√2
8
𝑟6 = 𝑎 ⋅1
2⋅ (
√2
2)5
= 𝑎 ⋅√2
16
𝑆𝑎𝐾6 = 4𝑎 ⋅(√2
2)6
− 1
√2
2 − 1
= 4𝑎 ⋅1
8 − 1
√2 − 2
2
= 4𝑎 ⋅7
4
2 − √2= 𝑎 ∙
7 ∙ (2 + √2)
2≈ 11,95𝑎
𝑆𝑟𝐾6 = 𝑎 ∙ 𝜋 ⋅(√2
2)6
− 1
√2
2 − 1
= 𝑎 ∙ 𝜋 ∙7 ∙ (2 + √2)
2≈ 9,39𝑎
70. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei?
Megoldás:
Legyenek a háromszög oldalai: 𝑎1 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑎1 ∙ 𝑞2
Alkalmazzuk a Pitagorasz – tételt: 𝑎12 + 𝑎1
2 ∙ 𝑞2 = 𝑎12 ∙ 𝑞4.
Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑞4 − 𝑞2 − 1 = 0.
Legyen 𝑏 = 𝑞2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏2 − 𝑏 − 1 = 0.
A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑏1 =1+√5
2 és 𝑏2 = −
1+√5
2.
A 𝑏2 értéke nem felel meg a feladatnak.
A 𝑏1 visszahelyettesítése után a következő adódik: 𝑞2 =
1 + √5
2.
A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével:
sin 𝛼 =𝑎1
𝑎1𝑞2=
1
𝑞2=
2
1 + √5 → 𝛼 ≈ 38,17°
cos 𝛽 =𝑎1
𝑎1𝑞2=
1
𝑞2=
2
1 + √5 → 𝛽 ≈ 51,83°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
37
71. Egy négyzetet 𝟒 egybevágó négyzetre bontunk, majd 𝟑 négyzetet befestünk rendre pirosra, kékre, zöldre. A negyedik négyzetet újra 𝟒 egybevágó négyzetre bontjuk, s a kapott kisebb négyzeteket ismét beszínezzük az előzőek szerint. Ezt az eljárást
folytatva, mennyi lesz 𝒏 lépés után a pirosra festett részek területe?
Megoldás:
Az első kis négyzet területe: 1
4.
A második kis négyzet területe: 1
4·1
4=
1
16.
Ebből adódik, hogy a mértani sorozat adatai: 𝑎1 =1
4; 𝑞 =
1
4.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆𝑛 =1
4·(1
4)𝑛−1
1
4−1
=1
3−
1
3 · 4𝑛.
72. Bizonyítsd be, hogy ha 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat három egymást követő eleme, akkor teljesül a következő: (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) · (𝒂 − 𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐!
Megoldás:
Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑎 = 𝑎1; 𝑏 = 𝑎1 · 𝑞; 𝑐 = 𝑎1 · 𝑞2.
Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás:
(𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2) · (𝑎1 − 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞
2) =
= 𝑎12 + 𝑎1
2 · 𝑞2 + 𝑎12 · 𝑞4 = 𝑎1
2 + (𝑎1 · 𝑞)2 + (𝑎1 · 𝑞
2)2.