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Master 104 Finance dirigé par Edith Ginglinger, Professeur http://www.Master104Finance.com
Mémoire du
MASTER 104 FINANCE
Les méthodes alternatives
d’allocation entre
matières premières Hubert Corpechot – Master 104 Finance
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 2
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 3
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot
Université Paris 9 Dauphine – Master 104 Finance
Septembre 2009
Mémoire de Recherche sous la direction de Jérôme Teiletche
Résumé
Certaines méthodes alternatives d’allocation permettent de mettre en place une stratégie
ne dépendant pas de l’estimation des rendements futurs et ne souffrant donc pas de cette
source d’erreurs. Parmi les méthodes d’allocation alternatives, nous étudions ici l’allocation
naïve ou "1/N", l’approche minimum-variance, le "most-diversified portfolio" introduit par
Choueifaty et Coignard [2008], et l’allocation "equally-weighted risk contribution",
développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. On souhaite évaluer la performance
relative des ces méthodes d’allocation en les appliquant à un panier de 22 matières
premières investissables via futures. On considère des portefeuilles "long-only", dans un
premier temps sans tenir compte de l’effet du P&L dû au renouvellement des contrats à
terme, puis en prenant en compte l’impact du roll, afin de connaître les performances réelles
de ces allocations appliquées aux contrats futures sur matières premières. Dans le cas où les
poids calculés sont appliqués aux données "spot", les allocations citées précédemment
présentent des performances proches. En appliquant ces méthodes d'allocation aux données
"Excess Return", on constate que le portefeuille présentant les meilleures performances est
le portefeuille équipondéré (1/N). L’allocation basée sur l’équipondération de la contribution
au risque présente des performances relativement proches de l’allocation naïve. Le
portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins bonnes
comparativement aux autres méthodes. Nous remarquons aussi que le roll à un impact non
négligeable sur les portefeuilles considérés, ainsi il pourrait être intéressant de considérer
l’aspect de déport ou de report comme paramètre supplémentaire pour la construction de
méthodes d’allocation appliquées aux contrats futures sur matières premières.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 4
Alternative allocation methods applied to commodities
Hubert Corpechot
Université Paris 9 Dauphine – Master 104 Finance
September 2009
Financial research dissertation under the supervision of Jérôme Teiletche
Abstract
Some alternative allocation methods allow to establish an alternative process, which does
not depend on the forecast of future returns, and which does not suffer from a possible
inherent error. Among the alternative allocation methods, we study: the naïve or “1/N”
allocation, the minimum-variance approach, the most-diversified portfolio, established by
Choueifaty and Coignard [2008] and the equally-weighted risk contribution allocation
developed in Maillard, Roncalli and Teiletche [2009]. We evaluate relative performance of
these allocation methods thanks to a basket of 22 commodities tradable by means of future
contracts. We consider long-only portfolios, firstly without taking into account the P&L
generated by contracts rolling, and secondly by looking at the impact of the roll on the
portfolios performances. The allocations listed above show close performances, when the
obtained weights are applied to spot data. By applying these allocation methods to Excess
Return data, we note that the portfolio showing the best performance is the equally-
weighted portfolio (1/N). The equally-weighted-risk-contribution allocation displays
performance close to that of the naïve portfolio. The most diversified portfolio is the one
showing the worst performance in comparison to the other methods. We observe that the
roll has a significant impact on the studied portfolios. Thereby, it can be interesting to
consider the backwardation or contango aspects as an additional parameter for the creation
of allocation methods applied to future contracts on commodities.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 5
Remerciements Je remercie en premier lieu Jérôme Teiletche, mon responsable de mémoire, pour son aide
dans le choix de l’étude des méthodes alternatives d’allocation d’actifs et son encadrement.
Ma reconnaissance va aussi à l’ensemble de l’équipe de Recherche Matières Premières de la
Société Générale Corporate & Investment Banking, notamment à Emmanuel Jayet et Frédéric
Lasserre, mais plus particulièrement à Rémy Penin pour ses conseils, son aide et les
connaissances qu’il m’a permis d’acquérir.
Je remercie aussi l’ensemble de professeurs du Master 104 Finance, de l’Université Paris
Dauphine, pour leurs enseignements et leurs conseils, les professeurs de l’Ecole Centrale
Nantes qui m’ont orienté dans le choix de ce master et de mes spécialisations, ainsi que les
membres de l’équipe d’investissement et de l’équipe Risk du Crédit Agricole Asset
Management Hong Kong.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 6
Sommaire
Remerciements ..................................................................................................................... 5
Sommaire .............................................................................................................................. 6
I / Introduction ...................................................................................................................... 7
II / Les méthodes alternatives dans la littérature ................................................................... 9
II.1. Le portefeuille minimum-variance .............................................................................. 9
II.2. L’allocation "naïve" .................................................................................................... 10
II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio ................................................. 12
II.4. Etude de la contribution au risque ............................................................................. 14
III / Les indices sur matières premières ................................................................................. 17
III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index .................................................. 17
III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index ............................................................................. 20
IV / Description des données et de la méthodologie ............................................................. 22
IV.1. Les données .............................................................................................................. 22
IV.2. La méthodologie ....................................................................................................... 23
V / Application de quatre méthodes alternatives d’allocation à un panier de matières
premières ............................................................................................................................. 25
V.1. Performances des portefeuilles "spot"....................................................................... 25
V.2 Analyse de l’influence du roll ...................................................................................... 30
V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières ......................................... 31
VI / Conclusion ..................................................................................................................... 34
Table des figures .................................................................................................................. 36
Bibliographie ........................................................................................................................ 37
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 7
I / Introduction
La question de la diversification est une problématique centrale de la gestion de portefeuille.
L’approche moyenne-variance, mise en place par Markowitz, a depuis longtemps fait ses
preuves. Elle souffre cependant d’une source probable d’erreur : l’estimation des
rendements attendus. Pour palier à ce problème d’estimation, une vaste littérature
s’intéresse aux méthodes d’allocation non dépendantes du rendement espéré. L’objectif de
ces méthodes est de mettre en place un processus permettant d’obtenir une diversification
optimisant le couple rendement-risque. L’allocation dite naïve ou "1/N", consistant à
attribuer un même poids à l’ensemble des actifs considérés, et le portefeuille "minimum-
variance", représentant le portefeuille ex-ante le moins risqué, sont deux méthodes
d’allocation d’actifs non dépendantes du rendement estimé ayant fait l’objet de plusieurs
études. Le portefeuille "1/N" est assez représentatif des règles simples mises en place par de
nombreux investisseurs, et le portefeuille à variance minimum se base sur le risque comme
seule règle d’allocation et permet d’avoir une vue sur le rendement que donne le risque a
priori le plus faible. A l’instar de la méthode minimum-variance, un ensemble de processus
d’allocation ne prenant en compte que le risque des actifs a vu le jour. C’est le cas du "most-
diversified portfolio" maximisant un ratio de diversification mis en place dans l'article
Choueifaty et Coignard [2008] ou de la méthode "equally-weighted risk contribution"
développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009].
On souhaite évaluer la performance relative des ces quatre méthodes d’allocation en les
appliquant à un panier de matières premières investissables via futures. Le marché des
matières premières, ou commodities, est un marché relativement volatile et dont
l’estimation des rendements futurs est un art difficile. L’allocation d’actifs au sein des
commodities soulève plusieurs questions, telles que : "sur quels critères se baser pour
effectuer l’allocation ?" ou "quels contrats doivent être pris en compte ?". Les indices sur
matières premières présentent diverses caractéristiques, à titre d’exemples, le S&P GSCI ou
encore le DJ UBS se basent sur le niveau de production des commodities pour le calcul des
pondérations.
Nous étudions donc les performances de ces méthodes d’allocation appliquées à vingt-deux
matières premières, en considérant pour chaque matière première un contrat à échéance en
fin d’année (généralement décembre) sur la période allant de décembre 1997 à septembre
2009. Pour chaque commodity, le renouvellement des contrats (roll) est effectué cinq jours
avant la maturité du contrat. Dans un premier temps le roll n’est pas considéré, on étudie
ensuite son impact afin de connaître les performances effectives de ces méthodes
d’allocation.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 8
Dans le cas où on ne considère pas le roll, les portefeuilles constitués présentent des
performances proches. La simplicité étant l’habit de la perfection, le portefeuille présentant
les meilleures performances dans le cas des portefeuilles "Excess Return" est le portefeuille
équipondéré (1/N). Cependant on constate que l’allocation basée sur l’équipondération de
la contribution au risque présente des performances relativement proches de l’allocation
naïve. Le portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins
bonnes.
Nous présentons dans un premier temps quelques résultats concernant ces méthodes
d’allocation déjà publiées, ainsi que le détail des méthodes d’allocation mises en place par
les articles Choueifaty et Coignard [2008] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Dans un
deuxième temps, nous exposons quelques caractéristiques des indices de matières
premières auxquels seront comparées les allocations étudiées. Les données et la
méthodologie sont ensuite présentées avant que soient exposés et analysés les résultats
obtenus.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 9
II / Les méthodes alternatives dans la littérature
Les méthodes d’allocation d’actifs non dépendantes de l’expected return font l’objet d’une
littérature de plus en plus importante. Nous décrivons ici les résultats et la méthodologie de
cinq articles :
• Clarke, de Silva et Thorley [2006]
• DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007]
• Martellini [2008]
• Choueifaty et Coignard [2008]
• Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]
II.1. Le portefeuille minimum-variance
Clarke, de Silva et Thorley mettent en avant le fait que, contrairement à l’approche
moyenne-variance, le portefeuille minimum-variance est obtenu indépendamment de
rendements estimés ou de prévisions effectuées sur les actifs considérés. A contrario des
autres portefeuilles constituant la frontière efficiente, qui sont obtenus en minimisant le
risque pour un rendement donné, le portefeuille minimum-variance (MVP : "Minimum-
Variance Portfolio") ne prend en compte que le risque des actifs.
On rappelle que le portefeuille présentant la variance la plus faible est celui dont le vecteur
de poids x* vérifie : �� � argmin ���Σ ��
où Σ est la matrice de variances-covariances des rendements (de dimension N2, N étant le
nombre d’actifs considérés).
Le portefeuille minimum variance est étudié à travers un ensemble de titres américains
pendant une période allant de janvier 1968 à décembre 2005. Les auteurs utilisent l’analyse
en composantes principales et la méthode du "bayesian shrinkage" pour évaluer les matrices
de variances-covariances. Le nombre de titres sélectionnés (1000) permet d’obtenir des
résultats intéressants, bien que le traitement de cette quantité de données soit relativement
lourd.
En analysant la relation entre les rendements réalisés et le niveau de risque, ainsi que les
facteurs : size, value et momentum (taille, valeur et momentum) se basant respectivement
sur la market capitalisation, le book-to-market ratio et le rendement réalisé d’une année sur
l’autre ; Clarke, de Silva et Thorley tentent de démontrer qu’un risque bas n’implique pas
forcément un rendement faible.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 10
Les poids du portefeuille constitué vérifient un ensemble de contraintes telles que la
"budget constraint" : la somme des poids ne dépasse pas 1, et que la contrainte "long-only" :
absence de ventes à découvert ; enfin le poids de chaque actif en portefeuille ne doit pas
dépasser 3%. Chaque mois, l’univers des 1000 titres est sélectionné, puis la matrice de
covariance est calculée et corrigée par le biais de l’analyse en composantes principales et du
bayesian shrinkage, enfin les poids sont calculés par optimisation.
Il apparait que le portefeuille à variance minimum est nettement plus performant que le
marché de référence pondéré en fonction de la capitalisation. En effet, le ratio de Sharpe du
portefeuille MV s’élève à 0,55 alors que celui du marché est de 0,36 non seulement à cause
d’un risque plus faible, mais aussi d’un meilleur rendement. On constate effectivement que
le MVP présente au terme de l’étude un rendement supérieur pour une volatilité plus basse
que celle du marché (volatilité inférieur tout au long de la période d’étude) cependant à la
vue de l’évolution du nombre de titres en portefeuille, on constate que le portefeuille MV
peut souffrir d’un manque de diversification.
Afin d’évaluer l’exposition aux facteurs size, value et momentum Clarke, de Silva et Thorley
analysent la répartition de la market capitalisation, du ratio book-to-market et du facteur
momentum, et les classe selon les Z-scores correspondant à la distribution centrée réduite
des ratios étudiés (moyenne nulle et variance unitaire). A travers l’étude de l’exposition des
portefeuilles en fonction du temps, on constate que le portefeuille MV est relativement
neutre à ces facteurs, contrairement au portefeuille de marché qui est (évidemment)
fortement exposé au facteur size et très peu au facteur value, et relativement neutre au
facteur momentum. Ainsi, une plus faible exposition au facteur size justifie, selon la
littérature relative à ce sujet, un rendement supérieur (en moyenne) ; de même la plus forte
exposition au facteur value du portefeuille MV peut expliquer un meilleur rendement.
II.2. L’allocation "naïve"
DeMiguel, Garlappi et Uppal tentent de comprendre sous quelles conditions le portefeuille
équipondéré peut donner de bonnes performances et testent ainsi 14 stratégies dont
l’allocation "1/N", ou allocation naïve. Cette dernière diffère par sa simplicité et reflète les
règles d’allocation basiques utilisées par de nombreux investisseurs. Parmi ces 14 modèles,
on constate qu’aucun n’est réellement plus performant que l’allocation "naïve" et ce sur les
8 jeux de données étudiées en termes de turnover, de ratio de Sharpe et de "certainty-
equivalent return" (rendement équivalent certain). Afin de comprendre mieux ce
phénomène, une analyse du temps critique au bout duquel une stratégie moyenne-variance
atteint le même niveau de rendement équivalent certain que le portefeuille 1/N est réalisée.
Ce temps critique s’avère être une fonction du nombre de titres et du ratio de Sharpe des
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 11
différentes stratégies. Il faut une période relativement importante pour que la stratégie
naïve soit dominée par les autres types d’allocation.
Cependant, on constate que la diversification des portefeuilles équipondérés n’est pas
toujours optimale, en effet, le nombre de titres influence les performances de ce
portefeuille, moins celui-ci est important, moins l’allocation naïve sera performante.
A titre comparatif, et pour pouvoir évaluer la performance des différentes stratégies
étudiées, DeMiguel, Garlappi et Uppal mettent en place une approche moyenne-variance où
l’on considère le vecteur de poids x* qui maximise une fonction d’utilité du type Markowitz :
�� � argmax ���� � �2 ����
Où γ est le coefficient d’aversion au risque et µ le vecteur des rendements estimés. La
solution analytique est :
�� � ��� ��
Parmi les portefeuilles étudiés, on distingue plusieurs types d’allocation :
• La diversification naïve
• Le modèle moyenne-variance de Markowitz décrit ci-dessus
• Les approches bayésiennes dont l’objectif est de calculer Σ et µ sur la base de
prédiction de la distribution future des rendements (par le biais de la vraisemblance
conditionnelle).
• Les portefeuilles où les moments des rendements sont contraints (ce qui inclut le
portefeuille à variance minimum)
• Les portefeuilles soumis à la règle d’absence de ventes à découvert
• Les portefeuilles dits de "combinaison optimale" dont les poids sont obtenus par la
combinaison de règles régissant les portefeuilles décrits plus haut (par exemple, on
peut considérer un mélange de portefeuille moyenne-variance et minimum-variance)
Les indicateurs utilisés sont :
• Le ratio de Sharpe
• Le CEQ return : rendement équivalent certain qui mesure le niveau de rendement
sans risque équivalent à un couple rendement-risque pour un investisseur donné
• Une mesure du turnover des poids des actifs en portefeuille
• Le "return-loss" qui est un indicateur permettant de mesurer le rendement
additionnel nécessaire pour égaler le ratio de Sharpe du portefeuille 1/N pour une
stratégie donnée
L’utilisation de ces indicateurs sur les 14 stratégies appliquées aux différents ensembles de
données permet de confirmer le fait qu’aucune des allocations "optimales" n’est plus
performante que l’allocation naïve qui a en général le ratio de Sharpe et le CEQ return les
plus élevés. On remarque aussi que l’allocation minimum-variance présente des résultats
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 12
moyens en termes de CEQ, comparativement aux autres stratégies, mais montre des ratios
de Sharpe assez proches de ceux de l’allocation 1/N.
DeMiguel, Garlappi et Uppal, par l’étude des raisons qui font que les modèles "optimaux" ne
surperforment pas le portefeuille 1/N, montrent que les investisseurs attachent trop
d’importance aux moments des rendements et pas assez aux caractéristiques des actifs. Ces
modèles ne prennent pas suffisamment de paramètres en compte ; une analyse transversale
des caractéristiques comme le secteur ou la taille des actifs permettrait d’améliorer les
performances.
Martellini présente la recherche d’un schéma d’allocation d’actifs permettant d’obtenir le
ratio de Sharpe le plus haut. Malgré des résultats médiocres de la méthode mise en place,
les résultats obtenus concernant les portefeuilles 1/N et MV sont intéressants.
Martellini tente de montrer empiriquement qu’il existe un lien entre la volatilité et le
rendement grâce un ensemble de données présentant 682 actifs qui ont existé sur toute la
période allant de 1975 à 2004. Une répartition des rendements par quintiles de volatilité
démontre que plus la volatilité est élevée, plus le rendement est important (et inversement).
Martellini exploite cette relation afin de mettre en place un proxy pour le ratio de Sharpe
basé sur :
���
�����
où σ est le vecteur des volatilités (de dimension N) et � un vecteur de 1.
Le portefeuille obtenu par la maximisation de ce ratio est comparé au portefeuille
équipondéré, au portefeuille à variance minimum et au portefeuille basé sur la
capitalisation. Un résultat intéressant est le fait que le portefeuille dont les poids dépendent
de la capitalisation est dominé par le portefeuille "1/N" aussi bien en termes de rendement
qu’en termes de ratio de Sharpe. Le portefeuille à variance minimum malgré un plus faible
rendement domine les deux allocations précédentes en termes de ratio de Sharpe.
Une autre conclusion tirée de cette analyse est le fait que la volatilité n’est certainement pas
le meilleur proxy pour le rendement. En effet, le portefeuille basé sur la maximisation du
ratio présenté ci-dessus s’avère loin du portefeuille présentant le ratio de Sharpe maximum.
II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio
Choueifaty et Coignard mettent en avant le fait que contrairement à la volatilité, le
rendement est extrêmement difficile à évaluer, et s’intéresse, empiriquement et
théoriquement, aux propriétés de la diversification en tant que critère principal pour la
construction de portefeuilles. Il introduit une mesure de la diversification définie par :
���� � ���√��Σ �
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 13
où Σ est la matrice de variances-covariances des actifs considérés, σ est le vecteur de leur
volatilité et x est le vecteur des poids attribués à chacun des N actifs constituant le
portefeuille :
� � ����� ! � � �"��"
!
Les poids du portefeuille vérifient : ∑ "$ $%� � 1 et ' ( ) *1, ,-, �1 . "$ . 1
La contrainte additionnelle "long-only" se traduit par : ' ( ) *1, ,-, "$ / 0
D(x) est le ratio de diversification du portefeuille P. Il correspond au quotient de la moyenne
pondérée des volatilités des actifs considérés et de la volatilité du portefeuille. Le
portefeuille maximisant ce ratio en respectant les contraintes qui lui sont imposées est le
portefeuille le plus diversifié, noté MDP (Most-Diversified Portfolio).
L’allocation de type MD présente certaines propriétés théoriques, on constate notamment
que dans le cas où le rendement en excès est proportionnel à la volatilité alors maximiser le
ratio de diversification revient à maximiser le ratio de Sharpe.
En effet, si on considère l’excess return du portefeuille P tel que : 123 � 4. �3��
Alors :
�6�37 � 1238�3�Σ �3
Une autre propriété remarquable est le fait que dans un univers où chaque actif à la même
volatilité, le MDP est égal au portefeuille à variance minimum MVP (Minimum-Variance
Portfolio). En effet, dans ce cas maximiser D(x) revient à minimiser x’Σ x.
La réalité des marchés implique un ensemble de contraintes auxquelles sont soumis les
portefeuilles, comme par exemple la contrainte "long-only" qui n’autorise pas la vente à
découvert et se traduit mathématiquement par la positivité des poids associés à chaque actif
en portefeuille. Ces contraintes vont avoir de fortes implications sur le Most-Diversified
Portfolio ; dans le cas de la contrainte long-only :
• La contrainte de positivité va réduire l’impact potentiel des erreurs estimées
• Les portefeuilles seront exposés positivement aux primes de risque des actifs
Afin d’étudier le comportement du MDP, Choueifaty et Coignard réalisent une étude sur des
titres américains (Standard & Poor’s 500) et de la zone euro (Dow Jones Euro Stoxx),
comparant le Most-Diversified Portfolio au MVP, à l’Equally-Weighted Portfolio (EWP) ou
portefeuille "1/N" et à un indice Market Cap-Weighted Benchmark. Le calcul des poids du
MDP est effectué mensuellement entre décembre 1991 et février 2008, sous la contrainte
de ne pas vendre à découvert. La covariance est calculée en utilisant 250 jours de cotation.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 14
De plus les allocations réalisées sont en accord avec les règles UCITS III impliquant que le
poids de chaque titre en portefeuille ne dépasse pas 10 % et que la somme des poids
supérieurs à 5 % ne dépasse pas 40 %.
On constate que pour les deux ensembles de titres considérés, le portefeuille le plus
diversifié domine les autres portefeuilles en terme de rendements, de ratios de Sharpe c'est-
à-dire de couple rendement-risque.
II.4. Etude de la contribution au risque
Maillard, Roncalli et Teiletche confrontent les portefeuilles à variance minimum et EWP
("1/N") au portefeuille ERC : Equally-weigthed Risk Contributions portfolios, afin d’éprouver
les performances de cette dernière méthode. Celle-ci permet de construire un portefeuille
où chaque actif contribue de façon identique au risque total et repose sur l’idée qu’une
bonne diversification du risque peut accroître les performances d’un portefeuille.
On définit mathématiquement les portefeuilles ERC de la manière suivante :
on note σ(x) le risque total du portefeuille définit par le vecteur de poids x tel que :
���� � √��Σ �
Σ est la matrice de variance-covariance des actifs considérés dont les éléments diagonaux
(les variances) sont notées : �$9 ; et les éléments non diagonaux (les covariances) sont notés �$: pour (, ; ) *1, ,-.
On définit ensuite la contribution marginale au risque de l’actif i par :
<=���� � <����<�$ � �$�$9 > ∑ �:�$::?$����
D’un point de vue matriciel on obtient : <����<� � Σ �√��Σ �
De la relation :
���� � √��Σ � � � � Σ �√��Σ �
on déduit que la volatilité du portefeuille correspond à la somme pondérée des
contributions marginales au risque de chaque actif. Si on note la contribution totale au
risque : �$��� � �$ . <=����
Il découle alors de la dernière relation le fait que le risque du portefeuille est la somme des
contributions totales au risque :
���� � @ �$���
$%�
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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L’objectif du portefeuille ERC est de trouver le vecteur de poids (x) tel que toutes les
contributions totales au risque soient égales. En se limitant au portefeuille long-only
seulement, Maillard, Roncalli et Teiletche présentent le problème mathématiquement par
le fait que le vecteur de poids correspondant au portefeuille ERC est : �� ) A0,1BC D ���� � 1 , '(, ; ) *1, ,- �$���� � �:����
où � est un vecteur de taille N dont chaque composante vaut 1. On peut aussi le traduire
par : �� ) A0,1BC D ���� � 1 , �� E Σ�� � F. � où E représente le produit d’Hadamard, et c est une constante.
Dans un second temps Maillard, Roncalli et Teiletche présentent un ensemble de résultats
théoriques relatifs aux portefeuilles ERC.
Dans le cas général, si on note ri le rendement de l’actif i par définition de la covariance
entre l’actif i et le portefeuille global on a :
�$ � FGH IJ$, @ �:J:: K � @ �:�$::
et :
�$��� � �$�$����
On introduit alors le beta de la composante i :
L$ � �$�9���
M �$��� � L$�$���� '( ) *1, ,-
Or '( ) *1, ,-, �$��� � F où c est une constante. Il en découle :
�$ � L$�� F����
De ∑ �: � 1: , on déduit la relation : ����F � @ L:��:
Ainsi, on obtient la relation suivante :
'( ) *1, ,-, �$ � L$��∑ L:�� :%�
Ceci implique que plus le beta du titre est grand, plus son poids dans le portefeuille est
faible, et réciproquement ; en d’autres termes, les actifs ayant une forte volatilité ou une
forte corrélation avec les autres actifs en présence ont une pondération plus faible.
Le portefeuille ERC semble être une bonne alternative se trouvant entre le portefeuille 1/N
et le portefeuille minimum-variance. Maillard, Roncalli et Teiletche montrent que les
volatilités de ces portefeuilles vérifient : �NOP . �QRS . �QTP
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 16
En comparant l’approche ERC à la MD, on constate que le que les portefeuilles mis en place
par ces deux méthodes sont bien distincts. L’approche MDP peut se voir comme la solution
au problème suivant :
max �8��Σ� � � √��Σ ��
où Σ* est la matrice de variances-covariances contrainte correspondant à des corrélations
unitaires.
Le portefeuille ERC et le MDP ne sont équivalents qu’à condition que le coefficient de
corrélation soit unique. Le MDP a pour but de diversifier le portefeuille en minimisant le
risque total du portefeuille et en maximisant la somme pondérée des volatilités, ce qui
conduit généralement à des contributions au risque différentes.
Les trois approches MVP, ERC et EWP sont comparées à travers l’étude de trois jeux de
données : un portefeuille de titres américains (Equity US sectors potfolio), un portefeuille de
matières premières agricoles (Agricultural commodity portfolio), et un portefeuille de titres
mondiaux (Global diversified portfolio). Chacun des portefeuilles est révisé mensuellement,
et les matrices de variances-covariances sont calculées sur la base de rendements quotidiens
sur une période d’un an.
L’étude des données effectuée sur les titres du marché américain montre que le portefeuille
ERC est plus performant que le "1/N" : pour des rendements proches, la volatilité est plus
faible, mais le MVP domine légèrement le portefeuille ERC : bien que ce dernier ait un
meilleur rendement, la variance du MVP est nettement plus basse. L’application à des
matières premières agricoles donne des résultats analogues ; bien que le portefeuille MV
présente les problèmes déjà mentionnés de diversification, celui-ci domine l’ERC en termes
de couple rendement-risque. Cependant dans le cadre du portefeuille de titres mondiaux, le
portefeuille ERC domine nettement les deux autres.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 17
III / Les indices sur matières premières
Avant 2003, les indices sur matières premières se limitaient au Goldman Sachs Commodity
Index, au Dow Jones-AIGCI et au Rogers International Commodity Index. Dès lors, leur
nombre a très fortement augmenté, mettant en jeu différentes caractéristiques.
La construction d’indices sur matières premières a donné lieu à de nombreuses recherches
et ce malgré la difficulté que représente leur construction. La création de tels indices
entraîne un certain nombre de questions :
• Combien de matières premières doivent être prises en compte et en quelle
proportion ?
• Sur quel critère se baser pour déterminer le panier de matières premières ?
• Quels types de contrats doivent être considérés ?
• A quelle fréquence doit-on roller les contrats futures ?
• Les poids attribués doivent-ils être changés périodiquement et à quelle fréquence ?
Le nombre de matières premières comprises dans les indices est très variable : de 6 pour
Deutsche Bank Commodity Index à 45 pour Diapason Commodity Index. Les facteurs
déterminant leur pondération sont généralement fonctions de la production et de la
consommation mondiale, du niveau de stocks, de l’open interest et du market turnover.
Concernant le renouvellement des contrats proches de l’échéance (roll), l’approche
traditionnelle consiste à considérer le prochain contrat arrivant à terme (prochain contrat
nearby). Cependant on remarque que la mise en place de procédure de roll dynamique est
de plus en plus fréquente dans le but de maximiser le rendement du roll.
On peut répertorier trois catégories d’indices sur matières premières :
• Poids fixes et rolls fixes
• Poids fixes et rolls dynamiques
• Poids dynamiques et rolls fixes
III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index
L’indice S&P GSCI1 (anciennement GSCI, avant 2007) est tradé depuis 1991, mais les données
historiques remontent à 1970. Il constitue l’indice le plus important des matières premières.
Le S&P GSCI est formé de 24 matières premières représentant les secteurs de l’énergie, des
métaux précieux, des métaux de base, de l’agriculture et de l’élevage (livestocks). Le secteur
1 Source : S&P GSCI Index Methodology
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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prédominant est celui de l’énergie. Les matières premières sont sélectionnées pour la
liquidité des contrats ; l’indice GSCI se veut représentatif de l’économie par sa composition
et sa méthode de calcul de pondérations.
Le poids attribué à chaque matière première est déterminé grâce à son niveau de production
durant les 5 dernières années. Chaque contrat à terme est rollé mensuellement.
Le calcul des pondérations s’effectue en quatre étapes :
• Evaluation de la quantité totale de production mondiale : WPQ (World Production
Quantity). WPQ est calculé sur la base des 5 dernières années pendant lesquelles
l’ensemble des données de la production mondiale est disponible pour chacune des
matières premières composant l’indice
• Evaluation de la production mondiale moyenne : WPA (World Production Average)
• Calcul du ratio CPW (Contract Production Weight) basé sur le pourcentage de la
quantité échangée totale : %TQT (Total Quantity Traded)
• Ajustement des poids CPW
La première étape est donc le calcul des WPQdc correspondant au contrat c pour le jour d. Il
vient alors :
'F, U ; WXYZ[ � WX\Z[ 5�
^XWZ[ � %`\ Z̀[ . WXYZ[ 10a�
On calcule le poids total en $, en notant DCRP le prix de référence du contrat :
`�WZ � @ ^XWZ[. �^2XZ[[
On évalue ensuite un ratio TDWR permettant d’établir une constante de normalisation :
`�W2Z � ∑ ^XWZ[ . �^2XZ[[∑ ^XWZ��[ . �^2XZ[[
,^Z � ,^Z��. `�W2Z
La valeur de l’indice S&P GSCI est finalement :
b&X db^eZ � `�WZ,^Z
Ce qui équivaut à dire que le poids du contrat c dans l’indice est :
"Z[ � ^XWZ[,^Z
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 19
SP GSCI2
Energy 70,18% Crude Oil 39,09%
Brent Crude Oil 13,50%
RBOB Gas 4,62%
Heating Oil 4,30%
GasOil 4,69%
Natural Gas 3,98%
Industrial Metals 8,00% Aluminium 2,42%
Copper 3,60%
Lead 0,53%
Nickel 0,77%
Zinc 0,68%
Precious Metals 3,34% Gold 2,96%
Silver 0,38%
Agriculture 14,00% Wheat 3,11%
Red Wheat 0,63%
Corn 3,03%
Soybeans 2,35%
Cotton 1,04%
Sugar 2,68%
Coffee 0,76%
Cocoa 0,40%
Livestock 4,48% Live Cattle 2,78%
Feeder Cattle 0,53%
Lean Hogs 1,17%
Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI
2 Source : S&P GSCI Components and Weight – 11 septembre 2009
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III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index
L’indice DJ-AIGCI lancé en juillet 1998 est devenu le 7 mai 2009 l’indice DJ-UBSCI. Cet indice
comprend 19 commodities des secteurs : énergie, métaux précieux, métaux de base,
agriculture et livestocks.
Il répond à deux contraintes de diversification :
• Le poids de chaque matière première ne doit pas être en dessous de 2 % et ne doit
pas excéder 15 %
• Le cumul des poids des commodities de chaque secteur ne doit pas dépasser 33 %
Le DJ-UBSCI est repondéré tous les mois de janvier ; et la fréquence des rolls dépend des
contrats.
La pondération de l’indice repose sur la liquidité et sur la production des commodities. Les
règles auxquelles est soumise la pondération permettent d’avoir une allocation diversifiée.
En effet, Dow Jones indique qu’un poids disproportionné attribué à une matière première ou
à un secteur est susceptible d’augmenter trop fortement la volatilité et accroîtrait le risque
de l’indice.
DJ UBS3
Energy 32,97% Natural Gas 11,89%
Crude Oil 13,79%
Gasoline 3,70%
Heatoil 3,60%
Industrial Metals 20,28% Aluminium 6,99%
Copper 7,29%
Zinc 3,10%
Nickel 2,90%
Agriculture 29,27% Wheat 4,80%
Corn 5,69%
Soybean 7,59%
Soybean Oil 2,90%
Sugar 3,00%
Cotton 2,30%
Coffee 3,00%
Livestock 6,69% Live Cattle 4,30%
Lean Hogs 2,40%
Precious Metals 10,79% Gold 7,89%
Silver 2,90%
3 Source : Dow Jones UBS – Janvier 2009
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Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS
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IV / Description des données et de la méthodologie
IV.1. Les données
L’étude porte sur un ensemble de 22 matières premières représentatives du marché des
commodities, disponibles via contrats futures, et relativement liquides. Elles représentent
les secteurs de l’énergie, des métaux de base, des métaux précieux, de l’agriculture et de
l’élevage. Chaque contrat future a pour échéance décembre à l’exception des contrats Sucre
et Soja qui arrivent respectivement à échéance en octobre et en novembre. Le contrat
Gazoline considéré est celui du RBOB Gasoline à partir de décembre 2006, mais avant cela,
on considère le HU Gasoline qui a été retiré du marché pour être remplacé par le RBOB.
Secteur Matière Première Maturité
Energy WTI Décembre
Brent Décembre
Heating Oil Décembre
Gasoil Décembre
RBOB (/HU) Gasoline Décembre
US Natural Gas Décembre
Precious Metals Gold Décembre
Silver Décembre
Base Metals Aluminium Décembre
Zinc Décembre
Lead Décembre
Nickel Décembre
Copper Décembre
Agriculture Corn Décembre
Wheat Décembre
Sugar 11 Octobre
Soybean Novembre
Cocoa Décembre
Coffee C Décembre
Cotton 2 Décembre
Live Stocks Live Cattle Décembre
Lean Hogs Décembre
Le roll est effectué cinq jours avant l’échéance du contrat afin d’obtenir des données
continues. On analyse les données, téléchargées sur Bloomberg, à partir du 31 décembre
1997 (pour le contrat à échéance en décembre, octobre ou novembre 1998) et jusqu’au 31
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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juillet 2009 (contrat à échéance en fin 2009), ce qui revient à considérer 12 contrats pour
chacune des 22 commodities.
Les données relatives au S&P GSCI et au DJ UBS sont aussi téléchargées sur Bloomberg sur la
même période.
IV.2. La méthodologie
On compare quatre méthodologies d’allocation d’actifs :
• 1/N, stratégie naïve ou équipondérée (EWP)
• Variance Minimum (MVP)
• Equally-weigthed Risk Contribution (ERC)
• Most-Diversified Portfolio (MDP)
N représente le nombre de matières premières considérées ; ici N = 22. On reste tout au long
de l’étude sous la contrainte budgétaire ; en notant wi le poids associé à la matière première
i, cette contrainte se traduit par :
@ "$ � 1
$%�
On se place dans sous la contrainte d’absence de ventes à découvert : '( ) *1, ,-, 0 . "$ . 1
Compte-tenu du nombre limité de contrats on n’impose pas de valeur minimum ni
maximum, à l’instar des règle UCITS III, aux poids des commodities en portefeuille.
La matrice de variances-covariances Σ est calculée mensuellement, sur une période d’un an,
à l’exception de la première année où Σ est calculée sur le plus large ensemble de données
disponibles. On considère qu’un mois est constitué de 21 jours ouvrés ; les 12 contrats
considérés permettent donc de travailler sur 3008 cotations quotidiennes, ce qui représente
143 mois.
Les poids des différentes allocations sont obtenus de la manière suivante :
• EWP : '( ) *1, ,-, "$ � 1/,
• MVP : Le vecteur x* des poids du portefeuille minimum-variance est obtenu par
minimisation dans la fonction qui à un vecteur de poids de dimension N associe sa
variance : �� � argmin ���Σ ��
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• ERC : Le vecteur x* des poids du portefeuille ERC est obtenu en minimisant l’écart-
type des contributions au risque : �� � argmin 6��� E Σ. ��7
En effet, la solution analytique x* n'étant pas nécessairement évidente à mettre en
place, on a recours à une optimisation pour cette allocation aussi. On aurait pu tenter
d’optimiser la fonction qui va de ℝN x ℝ dans ℝ :
��, F� g @�F. � � � E ��$9
$%�
Mais on constate que cette optimisation, réalisée sur R est sensiblement similaire à la
minimisation de l’écart-type de la contribution au risque, cependant la présence d’un
paramètre supplémentaire à optimiser (c) implique des résultats moins précis.
• MDP : On optimise la fonction qui à un vecteur de poids associe le ratio de
diversification D(x) :
�� � argmax I ���√��Σ �K
Le calcul des pondérations est effectué chaque mois, on construit ainsi dans un premier
temps 4 portefeuilles. On introduit dans un second temps le P&L dû au roll. Cinq jours avant
la maturité de chaque contrat, le roll introduit un gain ou une perte dû au changement de
contrat : si le nouveau contrat est plus élevé que le contrat arrivant à maturité (situation de
contango ou report), alors le roll induit une perte (dans le cas inverse on est en situation de
backwardation ou déport). L’introduction du P&L dû au roll permet la construction de 4
autres portefeuilles que l’on notera ER (pour "Excess-Return"). Les poids appliqués sont ceux
calculés à partir des données spot.
On se trouve donc en présence de 8 portefeuilles :
Sans prise en compte du roll Prise en comte du roll
EWP EWP.ER
MVP.LO MVP.LO.ER
ERC.LO ERC.LO.ER
MDP.LO MDP.LO.ER
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V / Application de quatre méthodes alternatives
d’allocation à un panier de matières premières
V.1. Performances des portefeuilles "spot"
Au regard des performances des portefeuilles constitués sur les données spot, on constate
que l’allocation naïve domine nettement toutes les autres en termes de rendement, mais
elle est aussi l'allocation présentant le plus de risque que ce soit au niveau de la volatilité ou
des draw-downs4. L’allocation "MD" est devancée par les trois autres, malgré sa volatilité
peu élevée, son rendement bas (7.26% de rendement annualisé) implique le ratio de Sharpe
le plus faible même s'il reste du même ordre de grandeur que ceux des autres portefeuilles.
Le MVP domine effectivement en termes de risque : il présente les draw-downs et la
volatilité les plus faibles. Au regard des ratios de Sharpe, le portefeuille optimal est ici l'ERC.
On constate ici que le MDP se rapproche du portefeuille à minimum variance et que
l'allocation ERC se situe bien entre ce dernier et l'allocation naïve. Malgré un rendement
annualisé plus faible, l'ERC présente une volatilité de deux points inférieure à celle de l'EWP
ce qui lui vaut un meilleur ratio de Sharpe. Il domine le MVP par un meilleur rendement,
même si sa volatilité est sensiblement plus élevée.
Figure 3 - Performances des portefeuilles spot
4 Les Draw-Downs (DD) sont présentés ici en valeur absolue
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MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP
Rendement annualisé 6.39% 8.16% 7.26% 9.46%
Volatilité 9.50% 12.09% 11.09% 14.34%
Ratio de Sharpe 0.67 0.68 0.66 0.65
MDD 1 jour 4.66% 4.96% 4.91% 5.98%
MDD 1 semaine 6.95% 8.60% 8.13% 9.67%
MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.43% 28.53%
DD Maximum 32.49% 43.62% 36.71% 47.20%
Performances des portefeuilles long-only
En termes de ratio de diversification, on remarque que le MDP domine évidemment les
autres. Cependant, bien que les niveaux de diversification soient assez différents pour les
quelques premiers mois, avec un ratio de diversification faible pour le portefeuille 1/N, ces
ratios se retrouvent rapidement à un niveau proche autour de 3 pour le 30ème mois et
terminent autour de 1.6.
Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois)
MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP
Moyenne 2.49 2.64 2.87 2.37
Minimum 1.44 1.58 1.75 1.50
Maximum 4.21 3.81 5.08 3.11
Ratios de diversification
On remarque que le ratio de diversification du portefeuille ERC est entre celui du MDP et de
l’EWP, contrairement à celui du MVP qui est plus volatile.
1.2
1.7
2.2
2.7
3.2
3.7
4.2
4.7
5.2
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141
MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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Malgré leur plus faible ratio de diversification, les portefeuilles ERC et EWP sont les seuls
comprenant en permanence les 22 matières premières. Le portefeuille ERC met en place une
allocation où l’ensemble des actifs sont représentés, et où les poids attribués sont proches
(faible écart type), à l’inverse des MVP et MDP dont les valeurs des poids sont beaucoup plus
dispersées. Ceci explique les performances proches des portefeuilles ERC et EWP.
Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois)
MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP
Moyenne 4.55% 4.55% 4.55% 4.55%
Ecart type moyen 8.41% 2.49% 4.99% 0.00%
Minimum 0.00% 1.21% 0.00% 4.55%
Maximum 67.16% 20.87% 35.09% 4.55%
Nb titres moyen 14.27 22.00 16.50 22.00
Poids des actifs
On vérifie que la contribution au risque est bien la même pour chaque titre au sein de
l’allocation ERC en constatant que la contribution au risque moyenne est confondue avec la
minimum et la maximum. Bien que la contribution au risque devienne plus importante sur
les derniers mois, du fait des prix des matières premières plus volatiles, celle de l’allocation
ERC reste faible devant celle des autres allocations. Ce qui importe ici est le fait que chaque
-5.0%
5.0%
15.0%
25.0%
35.0%
45.0%
55.0%
65.0%
75.0%
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141
Min MVP.LO Max MVP.LO
-5.0%
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141
Min ERC.LO Max ERC.LO
-5.0%
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
35.0%
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141
Min MDP.LO Max MDP.LO
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 28
actif contribue également au risque du portefeuille, ce qui se traduit par un écart type (de la
contribution au risque) nul.
A l’opposé de l’ERC, le portefeuille MV montre un écart type le plus important et une valeur
maximale de la contribution au risque très élevée devant la moyenne. Ce phénomène
montre une forte concentration du risque sur un ou sur un petit nombre d’actifs, ce qui met
en relief le problème de faible diversification du risque du portefeuille MV. Les portefeuilles
MDP et EWP présentent des contributions au risque assez proches avec une moyenne plus
importante pour l’EWP et un écart type plus grand pour le MDP, essentiellement en fin de
période.
Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois)
(*1e7) MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP
Moyenne 11.84 21.78 16.73 33.41
Ecart Type 24.47 0.00 17.25 16.52
Minimum 0.00 2.36 0.00 - 5.63
Maximum 524.00 102.00 286.00 266.00
Contributions au risque
Le dernier graphique présente le niveau de volatilité conditionnelle en fonction du temps
obtenu par un modèle GARCH(1,1). On rappelle que le modèle GARCH permet une
-5.00E-06
5.00E-06
1.50E-05
2.50E-05
3.50E-05
4.50E-05
5.50E-05
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141
Min MVP.LO
Max MVP.LO
Average MVP.LO
0.00E+00
2.00E-06
4.00E-06
6.00E-06
8.00E-06
1.00E-05
1.20E-05
1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131
Min ERC.LO
Max ERC.LO
Average ERC.LO
-5.00E-06
0.00E+00
5.00E-06
1.00E-05
1.50E-05
2.00E-05
2.50E-05
3.00E-05
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141
Min MDP.LO
Max MDP.LO
Average MDP.LO
-5.00E-06
0.00E+00
5.00E-06
1.00E-05
1.50E-05
2.00E-05
2.50E-05
3.00E-05
1 14 27 40 53 66 79 92 105 118 131
Min EWP
Max EWP
Average EWP
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 29
représentation autorégressive de la variance conditionnelle d’un processus. En effet, un
processus (rt)t (ici les rendements) satisfait un GARCH(p,q) s’il s’écrit sous la forme : Jh � F > ih
ih � jh8kh
kh � l > @ m$ih�$9n
$%�> @ L$kh�$
3
$%�
où zt désigne un bruit blanc faible homoscédastique de moyenne nulle et de variance σ2, ht
désigne la variance conditionnelle du processus (conditionnelle à l’ensemble des
observations passées) et les coefficients : ω, αi, βi sont supposés tels que : l o 0, m$ / 0, L$ / 0
L’objectif ici n’est pas de savoir si les rendements des portefeuilles suivent précisément des
processus GARCH(1,1), mais d’avoir une estimation du niveau de risque des portefeuilles.
Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot
On constate ici, conformément aux attentes, que le portefeuille MV présente une volatilité
conditionnelle faible (par rapport aux autres portefeuilles) sur toute la période. La volatilité
la plus forte est globalement celle du portefeuille 1/N ce qui est cohérent avec l’idée qu’il est
celui qui présente le risque le plus important. Le portefeuille ERC présente une volatilité
comprise entre celle de l'EWP et du MVP. Le MDP présente globalement un risque faible,
mais montre des pics de volatilité, ce qui implique qu'il peut localement être plus risqué que
les trois autres portefeuilles, ce qui est aussi le cas du MVP même si cela n'arrive que
rarement.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 30
V.2 Analyse de l’influence du roll
L’approche traditionnelle pour le traitement des rolls (renouvellement des contrats arrivant
à échéance) consiste à considérer le prochain "nearby" (prochain contrat arrivant à
échéance), comme le fait le S&P GSCI par exemple. L’aspect théorique vu précédemment ne
permet pas de mettre en place des indices pouvant être réellement échangé. En effet, pour
qu’un indice soit tradé il doit prendre en compte le P&L dû au roll, c’est ce qui différencie
l’indice S&P GSCI (spot) et l’indice S&P GSCI ER (Excess Return) qui est effectivement tradé.
Récemment, les indices sur matières premières ont vu apparaître des procédures de
traitement du roll dynamique. Le roll a un impact non négligeable sur les portefeuilles de
commodities, comme le montre l’étude ci-après, leur prise en compte est très importante.
Figure 8 - Performances des portefeuilles ER
MVP.LO.ER ERC.LO.ER MDP.LO.ER EWP.ER
Rendement annualisé 3.48% 4.51% 3.58% 5.98%
Volatilité 8.88% 11.83% 10.58% 14.12%
Ratio de Sharpe 0.39 0.38 0.34 0.42
MDD 1 jour 3.11% 4.96% 3.62% 5.98%
MDD 1 semaine 5.94% 8.60% 8.13% 9.67%
MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.48% 28.53%
DD Maximum 33.25% 46.32% 38.66% 50.40%
Performances des portefeuilles ER
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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On remarque que les performances obtenues sont plus faibles lors de la prise en compte du
roll. Les ratios de Sharpe baissent fortement passant de 0.68 pour l’ERC à 0.38 et de 0.65
pour le MDP à 0.34, non pas à cause d’une plus forte volatilité, celle-ci étant même très
légèrement plus basse (globalement), mais à cause de rendements beaucoup plus faibles
(5.98 % contre 9.46 % de rendement moyen pour l’EWP et 3.48 % contre 6.39 % pour le
MVP).
Les draw-downs maximums restent proches de ceux obtenus en l’absence de roll.
L’introduction du roll impacte donc très négativement l’ensemble des portefeuilles en
termes de rendements.
Cet impact s’explique par un nombre important de contrats en contango lors de la période
d’étude. En effet, pour les 12 contrats des 22 matières premières considérées, on remarque
un nombre moyen de contrats en contango de 6.86 alors que le nombre de contrat en
backwardation sur la même période atteint en moyenne 3.68. Les contrats étudiés perdent
en moyenne 3.94 % lors des rolls. Ainsi, sur la période considérée, l’ensemble des
commodities étudiés souffre des nombreux contrats en contango ce qui impacte fortement
les portefeuilles mis en place.
DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007] préconise d’étendre les paramètres pris en compte par
les modèles aux caractéristiques des actifs ; ces caractéristiques peuvent ici comprendre les
rolls des contrats. En effet, la prise en compte des rolls des contrats dans la pondération des
matières premières permettrait d’améliorer les performances des portefeuilles "ER".
Les niveaux de volatilités conditionnelles obtenues pour les portefeuilles ER sont similaires
aux portefeuilles ne tenant pas compte du roll.
V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières
Parmi les indices de matières premières, le S&P GSCI est une référence, mais celui-ci est
fortement pondéré en énergie et particulièrement en crude oil. Un autre indice de référence
est le DJ UBS, qui est plus représentatif de l’ensemble des matières premières. La
pondération de ces deux indices s’appuie sur le niveau de production des matières
premières.
Jusqu'en juillet 2008, les indices S&P GSCI et DJ UBS (spot) montrent de bonnes
performances en termes de rendement, ce qui peut d'expliquer par leur forte pondération
en matières premières énergétiques notamment pour le GSCI. Cependant le rendement
annualisé des deux indices sur toute la période d'étude est au final relativement faible suite
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 32
à la chute de ces mêmes matières premières, ce qui leur vaut aussi un draw-down maximum
assez important. En terme de ratio de Sharpe, les deux indices spot se retrouvent dominés
par toutes les allocation vue précédemment (MVP.LO, ERC.LO, MDP.LO et EWP), ce à cause
d'une trop forte volatilité. Le GSCI a le ratio de Sharpe de loin le plus faible, on constate que
c'est ici l'allocation la plus risquée que ce soit en termes de volatilité (24.75%) ou en termes
de draw-downs (65.54%).
Le DJ UBS montre un risque bien plus bas avec une volatilité de 17.23 % ce qui lui permet
d’avoir un ratio de Sharpe de 0.54 contre 0.68 pour l'ERC et 0.33 pour le GSCI. Même si les
draw-downs du DJ UBS spot sont moins élevés que ceux du GSCI, ils restent plus important
que ceux des allocations étudiées.
Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll
S&P GSCI DJ UBS S&P GSCI ER DJ UBS ER
Moyenne 8.11% 9.22% -0.63% 0.79%
Volatilité 24.75% 17.23% 24.78% 17.16%
Ratio de Sharpe 0.33 0.54 -0.03 0.05
MDD 1 Jour 7.48% 5.81% 7.48% 5.81%
MDD 1 Semaine 14.46% 10.25% 14.46% 10.24%
MDD 1 Mois 34.86% 27.42% 35.30% 28.62%
DD Maximum 65.54% 53.18% 71.56% 57.13%
Performances des indices de matières premières
Les indices S&P GSCI ER et DJ UBS ER présentent des rendements annualisés nettement
inférieurs pour un volatilité identique aux indices spot, ce qui leur vaut des ratios de Sharpe
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 33
très inférieurs. On constate ici que les deux indices sont nettement plus sensibles l'impact du
roll. Les draw-downs maximums sont aussi impactés. Cette très nette différence entre les
deux indices ER et les portefeuilles ER provient d'une part du choix de la pondération plus
équilibrée des allocation MV, MD, ERC et EW, mais aussi du choix des contrats décembre
pour la constitution des portefeuilles.
D'un part, on constante que l'allocation naïve donne le portefeuille le moins sensible à
l'introduction du roll, la bonne diversification de ce portefeuille lui permet d'équilibré les
effets du report et du déport. L'ERC, par ces caractéristiques assez proches du portefeuille
"1/N" et en mettant en place un portefeuille à la fois diversifié et équilibré en termes de
risque, est aussi moins impacté par le roll. Les allocation minimum-variance et most-
diversified, bien que moins diversifiées que les deux précédentes, sont plus équilibrées que
les indices S&P GSCI et DJ UBS.
D'autre part, le choix des contrats à échéance en fin d'année permet de diminuer l'impact du
roll par rapport à l'utilisation de contrats nearby.
Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER
On s’intéresse aux indices Excess Returns, car ce sont ces indices qui sont échangés. Dans ce
cadre, on constate que les allocations EWP et ERC dominent nettement les autres allocations
et indices. Ces deux allocations présentent effectivement de meilleures performances du fait
de leur meilleure diversification. On confirme ici que pour obtenir de bonnes performances
les indices de matières premières doivent prendre en compte l’effet du roll.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 34
VI / Conclusion
Les résultats obtenus sont dans la lignée de ceux présentés dans les articles DeMiguel,
Garlappi et Uppal [2007] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Nous avons montré que,
bien que naïve, l’allocation 1/N ne semble pas être aussi inefficiente qu’on peut le penser.
Cette méthode d’allocation surperforme les allocations de type minimum-variance, most-
diversified ou equally-weighted risk contribution, dans le cas des portefeuilles "Excess
Return".
L’allocation ERC présente des résultats assez proches du portefeuille équipondéré. Ceci est
dû au fait que cette allocation permet une bonne diversification, mettant en jeu l’ensemble
des actifs considérés. C'est également la méthode d'allocation la plus performante en
termes de ratio de Sharpe dans le cas "spot", bien que toutes les allocations présentent alors
des résultats proches. Le fait de minimiser l’écart type de la contribution au risque pour
obtenir la pondération du portefeuille ERC permet une approche simple de cette allocation ;
en effet les poids attribués à chaque actif sont proches (faible écart type), ce qui la rend
comparable à la méthode 1/N.
Le portefeuille minimum-variance, malgré un risque ex-post faible présente des rendements
faibles. Cette allocation souffre d’un manque de diversification : elle concentre le
portefeuille autour de quelques actifs présentant une variance et une covariance faible.
Enfin, le MDP souffre d’un risque trop important pour le niveau de rendement obtenu, ceci
est dû à la définition même du ratio de diversification.
L’introduction du roll dans les portefeuilles considérés permet de se rapprocher de la réalité
du marché des matières premières. En effet, les indices sur commodities effectivement
tradés prennent en compte le P&L dû au renouvellement des contrats. On constate que les
performances obtenues sont inférieures lorsque le roll est pris en compte. Ceci est dû au
nombre important de cours de matières premières en contango sur la période d’étude parmi
les contrats considérés.
Une amélioration des méthodes d’allocation appliquées à des contrats à terme consisterait à
prendre en compte le roll des contrats. En effet, DeMiguel, Garlappi et Uppal préconisent de
considérer plus de caractéristiques des actifs pour la mise en place de méthodes
d’allocation ; le roll étant une problématique concrète et réelle de l’allocation de contrats de
matières premières, la prise en compte de celui-ci permettrait d’améliorer les performances
des portefeuilles "ER".
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 35
Une autre amélioration relative à la mise en place des méthodes d’allocation d’actifs
étudiées concerne l’estimation des matrices de variance-covariance. En effet, le choix de la
méthodologie de calcul de ces matrices est généralement assez arbitraire ; en l’occurrence la
mise en place de fenêtres d’estimation d’un an ne permet pas de prendre en compte
l’ensemble de l’information disponible et est ainsi source d’erreurs. On pourrait par exemple
mettre en œuvre une méthodologie du type DCC (Dynamic Conditional Correlation)
développée dans Engle [2002], permettant d’évaluer des matrices de corrélations sur
l’ensemble de la période d’estimation par un modèle GARCH multivarié.
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
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Table des figures
Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI ........................................................................ 19
Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS ............................................................................ 21
Figure 3 - Performances des portefeuilles spot ..................................................................... 25
Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois) .................... 26
Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois) ............ 27
Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois) .................... 28
Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot .............................. 29
Figure 8 - Performances des portefeuilles ER ........................................................................ 30
Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll .............................................. 32
Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER ...................................................... 33
Les méthodes alternatives d’allocation entre matières premières
Hubert Corpechot – Master 104 Finance 37
Bibliographie
Minimum-Variance Portfolios in the U.S. Equity Market – Roger Clarke, Harindra de Silva et
Steven Thorley [2006] – Journal of Portfolio Management, 33(1), pp. 10-24
Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy? – Victor
DeMiguel, Lorenzo Garlappi et Raman Uppal [2007] – Review of Financial Studies
Towards the Design of Better Equity Benchmarks – Lionel Martellini [2008] – Journal of
Portfolio Management, 34(4), pp. 1-8
Towards Maximum Diversification – Yves Choueifaty et Yves Coignard [2008] – Journal of
Portfolio Management, 34(4), pp. 40-51
On the properties of equally-weighted risk contributions portfolios – Sebastian Maillard,
Thierry Roncalli, Jérôme Teiletche [2009]
Dynamic Conditional Correlation - A Simple Class of Multivariate Garch Models – Robert
Engle [1999] (première version) [2002] (seconde version) – Journal of Business and Economic
Statistics