Menganalisa Kestabilan Sistem Tenaga

MENGANALISA KESTABILAN SISTEM TENAGA

MENGANALISA KESTABILAN SISTEM TENAGA

DENGANMETODE LYAPUNOV

RISNIDAR CHAN

Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Teknik

Universitas Sumatera Utara

1. Pendahuluan.

Dalam pelayanan energi listrik kepada konswnen perlu dijaga kontinuitas

pelayanan Salah satu faktor yang mempengaruhinya adalah kestabilan sistem

tenaga tersebut. Apabila sistem mengalami gangguan, apakah disebabkan

pertambahan beban mendadak atau perlahan-lahan,kita akan melihat sistem masih

stabil atau tidak. Banyak metoda yang dipakai untuk menentukan kestabilan suatu

sistem tenaga, seperti metode sama luas, step by step,Lyapunov dan lain-lain.Disini

akan dibahas metoda Lyapunov

2. Permasalahan:

Cara -cara menentukan kestabilan sistem tenaga menurut metoda Lyapunov.

3. Pembahasan:

Pada metode Lyapunov kestabilan dari suatu sistem berdasarkan pengamatan

energi yang tersimpan dan dalam menganalisanya dibagi atas 2 kelompok, yaitu :

1. Metode pertama Lyapunov : semua metode dimana persamaan differensial

dari sistem diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari solusinya.

2. Metode kedua Lyapunov : kestabilan sistem ditentukan tanpa penyelesaian

persamaan differensial, tetapi berdasarkan energi yang tersimpan baik energi

kinetik maupun potensial. Keuntungan metode ini :

? Bisa dipakai untuk sistem orde berapa saja.

? Tidak dipersulit dalam penyelesaian persamaan non linear.

Tetapi untuk sistem yang rumit, sulit mencari fungsi energi yang tersimpan dan juga

jika susunan fisis sistem tidak diketahui. Sifat-sifat energi yang tersimpan :

? harus ? 0

? harus sebanding dengan perkalian antara variabel atau sebanding dengan

kwadrat salah satu variabel

Untuk menganalisa metode Lyapunov ini perlu kita buat beberapa pengertian

dasar seperti :

1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama makin kecil sehingga

osilasi diredam.

2. Sistem tidak stabil : hila energi yang disimpan makin lama makin besar

sehingga osilasi juga membesar.

3. Fungsi Lyapunov :

- V( x, t ) ? 0 untuk t ? 0 atau V(x) ? 0

- V( 0 ) = 0

- V( 0, t ) = 0 untuk t ? 0

- V(x, t ) ? skalar

- V(x, t ) - perkalian variabel

- kwadrat salah satu variabel

- dV (x,1) = V (x,1)

dt

? 2004 Digitized by USU digital library

1

4. Persamaan sistem : x = f (x, u, t)

x = f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya fungsi dari

x

1

,x

2

, ...x

n

, u

1

,

u

2

, ...u

n

, t. Dimana x = turunan x terhadap t.

Untuk sistem linar invarian waktu :

x1 = a

11

.x

1

+ a

12

.x

2

+ ...+ a

1n

.x

n

+ b

11

.u

1

+ ...+ b

nm

.U

m

?

xn = a

n1

.x

1

+ a

n2

.x

2

+ ...+ a

nn

.x

n

+ b

11

.u

1

+ ...+ b

nm

.u

m

dimana a

11

, a

12

, ...a

mn

konstanta

b

11

, b

12

, ...b

mn

Untuk menganalisa kestabilan : U = 0

? x=f (x,t)=f(x)

Untuk mengetahui response: harus diketahui kondisi mula: x

o

Jadi solusi sistem: ? ( t, x

o

, t

o

) = x

o

Titik keseimbangan : f (x

c

,t) = o maka x = x

c

dan x = 0 dapat berada disembarang

tempat tetapi dapat digeser kepusat koordinat dengan translasi koordinat.

Ruang yang dibentuk oleh variabel-variabel x

1

, x

2

, ...x

n

disebut ruang Euclidian =

R

n

Khusus oleh x

1

dan x

2

saja disebut bidang phasa. (lihat gambar 1).

NORM (x? x

c

) = || x ? x

c

|| disebut euclidian norm.

|| x? x

c

|| = [(x? x

1e

)

2

+ (x? x

2e

)

2

+ ... (x? x

nc

)

2

]

1/2

Pengertian kestabilan menurut Liapunov :

1. sistem stabil jika: || x

o

? x

e

|| ? ? ? ? > 0 = jari-jari bola dengan pusat x

e

dan

melingkupi x

o

atau x

e

2. || ? (t, x

o

,t

o

) ? x

e

|| ? ? ? ? jari-jari bola dengan pusat di x

e

dan melingkupi x

o

dan x

e

Jadi titik setimbang dikatakan stabil bila untuk S(?), ada S(?) yang

sedemikian rupa sehingga semua trayektoni yang dimulai dari S(?) tidak

pemah keluar dari S(?) untuk waktu yang bertambah terus (gambar 2).


2

Sistem stabil sistosis bila : - stabil

- lim ? ( t, x

o

, t

o

) = x

e

Trayektori mulai dari dalam S (?), menuju x

e

dan mungkin menuju tak terhingga

atau limit cycle (gambar 4).

Ada juga kestabilan diklasifikasikan sebagai berikut :

1. Stabil uniform : ? tidak tergantung pada t

o

2. Stabil terbatas : jika sistem kembali ke titik singular dari titik mana saja

didalam daerah R

n

(dimensi terbatas).

3. Stabil global: jika stabil a simptotis berlaku untuk setiap daerah

paduyjhmn67a bidang Euclidian R

n

(tidak ada S(?) yang membatasi).

4. Stabil lokal : jika sisitem masih tetap didalam daerah yang terbatas disekitar

titik singular ketika diberi gangguan kecil.

Pada metode Lyapunov, tanda dari suatu fungsi memegang peranan penting,

sehingga sifat-sifat penting dari suatu fungsi adalah sifat perubahannya terhadap

waktu dan tanda nilainya positif atau negatif untuk berbagai nilai variabelnya sangat

diperhatikan.

Pengertian tanda fungsi V(x) adalah sebagai berikut :

Pasti positif : jika - V(x) > 0 untuk x ? 0

- V(x) = 0 untuk x = 0

Pasti negatif: jika - V(x) < 0 untuk x ? 0

- V(x) = 0 untuk x = 0

Setengah pasti positif : jika ? V(x) > 0 untuk x ? 0

- V(x) = 0 untuk x = 0 dan beberapa harga x ? 0

Setengah pasti negatif : jika - V(x) < 0 untuk x ? 0

- V(x) = 0 untuk x = 0 dan beberapa harga x ? 0

Tidak ada kepastian : jika - V(x) > 0 untuk x ? 0

- V(x) < 0 untuk x ? 0

Bentuk Kwadrat Fungsi Lyapunov

Fungsi Lyapunov adalah bentuk fungsi yang menyatakan energi. Fungsi tersebut

dapat dinyatakan dalam bentuk kwadrat. Untuk fungsi Lyapunov yang dalam bentuk

kwadrat dapat ditulis :

V(x) = x

t

. P.x ............................................................. 1

Dimana : x = vektor (n x 1), variabel keadaan.

V = skalar

P = matrik (n x m) nyata dan simetris

x

t

= traqnspose dari vektor x

Untuk sistem orde 2 (n = 2) maka :

x1 p11 p12

x = dan p =

x2 p21 p22

Sehingga : p11 p12 x1

V (x) = (x1 x2)

p21 p22 x2

= P

11

.x

1

+ P

22

,x

2

2

+ P

12

.x

1

.x

2

+ P

21

.x

1

.x

2

Bila P matrik diagonal maka P

12

=p21 = 0, sehingga:

V(x) = p

11

.x

2

1

+ P

22

.X

2

2

Bila matrik P adalah simetris maka p

12

=p

21

, sehingga:

V(x) = p

11

.x

1

2

+ P

22

.X

2

2

+ 2. p

12

.x

1

.x

2


3

Dengan kriteria Sylvester menentukan tanda fungsi V(x) cukup dengan melihat sifat

matrik P. Kriteria Sylvester menyatakan: V(x) = x

t

.P.x adalah

1. Pasti positif, bila determinan dari semua minor utama > 0. Bila diketahui

matrik P

P

11

P

12

..................... P

1n

P

21

P=

Pn1 P

n2

P

nn.

Maka fungsi skalar bentuk kwadratik V(x) positif, hila P

11

> 0, demikian minor

utamanya adalah

P

11

P

12

> 0

P

21

P

22

Determinan dari matrik P juga:

P11 P1n

> 0

Pn1 Pnn

2. Pasti negatif, Bila determinan semua minor utama < 0

3. Setengah pasti positif, bila determinan minor utama > 0 dan ada = 0

4. Setengah pasti negatif, bila determinan minor utama ? 0

5. Tidak ada kepastian, bila determinan minor utama >0 atau < 0 atau = 0

Dalil Metode Lyapunov

Untuk fungsi Lyapunov V(x) yang berbentuk kwadrat maka gambar akan berbentuk

lingkaran atau ellips.

Dalil 1 : Andaikan persamaan gerak sistem adalah x = ?(x,1)

Dengan kondisi mula x(t

o

) = x

o

dan titik kesetimbangan pada x

e

= 0

sehingga f(o,t) = 0 untuk semua t ? t

o

. Sistem dengan x

e

akan bersifat

stabil asimtotis secara uniform, bila :

1. V(x, t) atau V(x) pasti positif.

2. Turunan V(x.t) yaitu dV(x,t) atau dV(x,t) = V(t)

dt dt

Dan bila V(x,t) ? ?, dengan || x || ? ?, maka sistem mempunyai sifat stabil global.

Dalil 2 : Bila persamaan gerak sistem : x = f(x, t))dimana f(0, t) = 0 untuk t ? t

o

.

Titik ekuilibrum x

e

(x = 0) stabil, bila :

1. V(x, t) pasti positif

2. V(x, t) setengah negatif

V(x, t) setengah negatif, artinya pada suatu saat turunannya = 0, berarti suatu saat

V(x, t) tetap (konstan), maka akan terjadi oscillasi terus menerus

Dalil 3 : Bila persamaan gerak sistem x = f(x, t) dimana f(0,t) = 0 untuk t ? t

o

maka

titik ekuilibrum x

e

(V x

e

= 0) tidak stabil bila :

1 V(x, t) pasti positif

2 V(x, t) pasti positif juga


4

Menentukan Fungsi Lyapunov

Pada metoda Lyapunov, menentukan fungsi Lyapunov dari sistem yang

dianalisa merupakan proses yang penting dan sulit. 0leh sebab itu sangat diperlukan

proses perhitungan yang sistematis. Disini akan diuraikan metode perhitungan untuk

sistem linear dan non linear.

Untuk Sistem Linear

Dengan persamaan keadaan : x =A.x ...................................................

Dan fungsi Lyapunov ; V(x) = x

t

. P.x dimisalkan pasti positif.

Maka :

dV(x)

V(t) = -------------------- = x

t

.P.x + x

t

.P x

dt

= (A.x)

t

.P.x+x

t

.P.A.x ..............................................................3

= x

t

(A

t

.P+P.A).x 4

Dimisalkan: V(x) = - x

t

. Q . x

Agar V(x) pasti negatif sehingga sistem stabil asimtotis, maka matrik Q harus pasti

positif. Dari Persamaan 3 dan 4 maka diperoleh :

A

t

.P + P.A = -Q............................................................ 5

Kemungkinan nilai matrik Q banyak sekali, jadi bisa diambil bentuk yang paling

sederhana yaitu matrik identitas : Q= I ..............................................6

Dari persamaan 5 dan 6 dapat diperoleh matrik P simetris dan unik. Jadi fungsi

Liapunov

V(x) = x

t

.P.x dapat dihitung.

Contoh :

Diketahui sistem dengan diagram blok sebagai berikut :

Ditanya : dengan metode Lyaponov berapa bear K agar sistem masih stabil

Penyelesaian :

Agar sistem stabil haruslah :

- V (x) pasti positif

- v (x) pasti negatif, atau paling tidak setengah negatif

Dari gambar terlihat (diperoleh) persamaan : 3


5

Dalam bentuk vektor matrik, persamaan sistem adalah :

Atau dapat ditulis dalam bentuk : x = A.x + B.u, untuk menentukan harga k agar

sistem masih stabil dianggap bahwa input u = 0.Dari persamaan diatas kestabilan

pada titik kesetimnbangan memerlukan syarat :

- V (x) = x.P.x pasti positif.

- V (x) = -x

t

.Q.x setengah (pasti ) negatif

- Q dipilih matrik simetris yang setengah pasti positif saja, dengan demikian

misalnya :

Pemilihan ini diizinkan karena tidak menyebabkan nilai V(x) menjadi 0 selain pada

titik ekuili rium (x

e

= 0). Dari V(x) = -xt.Q.x dengan mensubstitusikan Q akan

diperoleh :

V (x) = -X

3

2

V (x) = 0 bila x

3

= 0

Pada saat x

3

= 0 maka x

3

= 0 masukkan ke persamaan, maka x

1

= 0, sebab 0 =

?kx

1

-0.Bila x

1

= 0, pada saat ini x

1

= 0 ? berarti x

2

= 0, jadi V(x) = 0 hanya terjadi

pada titik asal (x

e

= 0). Dengan demikian kita boleh memakai matrik Q diatas untuk

analisa kestabilan.

Dari persamaan : -Q = A

t

.p + P.A

atau

diperoleh :

Dengan bantuan dalil Sylvester: agar | P | pasti positif haruslah | P

11

| > 0.

Jadi : K>0 ;12-2k> 0, dari sini didapat bahwa syarat stabil : 0>K>6. lni merupakan

syarat bagi stabil biasa. Agar stabil asimtotis maka : V(x) = 0 hanya untuk x = 0.

Jadi sistem stabil asimtotis untu kharga 0 < k < 6.

Untuk sistem Non Linear

Ada beberapa metode yaitu :

a. Metode Krasovskii

b. Metode Gradient dari Schults -Gibson.


6

A. Metode Krasovskii

Bila persamaan sistem : x = f (x) .......................................... 7

Dimana: f

t

= (f1,f2, ...f

n

)

X = vektor dimensi n x t

F(0) = 0 dan f(x) dapat didiffrensial terhadap x

1

, I = 1,2,3,.........N

Sehingga matriks Jacobi F(x) adalah :

..................................... 8

didefinisikan :

F (x) = F

t

(x) + F (x) ........................................................ 9

dimana : F

t

(x) = transpose dari F(x)

Dari persamaan 7,8 dan 9 dapat disimpulkan bahwa bila F(x) adalah pasti negatif

maka titik keseimbangan x

e

= 0 adalah stabil asimtotis, dan fungsi Liapunovnya :

V(x)=f

t

(x).f(x) ....................................................... 10

Contoh :

Diketahui : sistem nonlinear dengan persamaan :

x

1

= -x

1

x

2

= x

1

? x

2

x

2

2

Ditanya : Tentukan kestabilan sistem pada titik ekuilibriumnya.

Penyelesaian :

Titik ekuilibriumnya pacta pusat koordinat ? x

e

= 0, untuk sistem ini :


7

Jika dapat disimpulkan : F (x) pasti negatif . Karena F (x) pasti negatif untuk semua

x ? 0 maka titik ekuilibrium x

e

= 0 stabil asimtotis.

Dan fungsi Lya punov yang diperoleh :

Bila x ? ? maka v (x) ? ?, jadi kestabilan pada titik x

e

= 0 adalah kestabilan global

B. Metode Gradient dari Schults - Gibson

Bila persamaan sistem : x = f(x,t) ................................................... 11

Dengan titik ekuilibrium : x

e

= 0

Fungsi Lyapunov v (x) dapat dihitung dari gradient v atau ?v. Gradient v (x) atau

?v adalah :

............................................................. 12

........................ 13

Dari persamaan 12 dan 13 diperoleh : V = (?V)

t

.x ............................ 14

Dimana

?V

t

= transpose ?V


8

Fungsi Liapunov V (x) diperoleh sebagai integral garis dari ?V, yaitu :

............ 16

Agar V dari persamaan 16 dapat diperoleh, maka Gradient V harus memenuhi suatu

syarat yaitu matrik Jacobi F harus simetris .

Matrik Jacobi ?V :

................................................... 17

adalah matrik simetris, Jadi dipenuhi persamaan Kurl :

................................................... 18

Jumlah persamaan 18 adalah n (n ? 2)/2, untuk n = 3, ada 3 persamaan, yaitu :

Untuk memudahkan perhitungan misalkan Grad V berbentuk :

........................................ 19


9

Dimana koefisien a

ij

harus ditentukan kemudian, yang dapat berupa fungsi waktu,

variabel keadaan atau konstanta. Khusus untuk a

nn

dipilih konstanta, biasanya = 2.

Bila titik ekuilibrium xc = 0 dari sistem non linear adalah stabil asimtotis, maka

fungsi Liapunov dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut :

1. Tentukan bentuk ?V dengan persamaan 19.

2. Hitung V dari ?V , dengan persamaan 14

3. Berikan batas koefisien ?V sehingga V pasti negatif atau minimum setengah

pasti negatif.

4. Gunakan persamaan Kurl 18 dimana F harus simetris untuk mencari koefisien

?V pada langkah ke 3 yang belum diketahui.

5. Periksa kembali tanda V setelah koefisien ?V dilengkapi pada langkah 4

6. Hitung V dari integral garis ?V

7. Periksa daerah kestabilan asimtotis

Fungsi Lyapunov untuk menghitung waktu transisi.

Fungsi Lyapunov juga dapat dipakai untuk menghitung waktu transisi dari sistem

linear dan non linear yaitu : transisi pada waktu sistem mengadakan dinamika dari

suatu kondisi mula ke suatu kondisi tertentu.

Fungsi Lyapunov menggambarkan posisi keadaan sistem setiap saat terhadap titik

ekuilibriumnya. Misal titik ekuilibrium terletak di pusat koordinat (x

e

= 0) dan

? = V (x)/V(x) ................................................................... 20

Dimana : V(x) = fungsi Lyapunov

V(x) = turunan fungsi Lyapunov

Untuk sistem yang stabil asimtotis :

V(x) = pasti positif

V(x) = pasti negatif sehingga

? = selalu positif

Misalkan pula nilai minimum -V(x)/v(x) adalah ?

min

atau

V (x)

?

min

= min

------------ .

..............................................................21

v (x)

maka diperoleh ketidaksamaan differensial :

V(x) ? - ?

min

. V(x)

Yang mempunyai solusi :

V(x) ? - V(x

o

) .e-

?

min.

(t.to)

......................................................... 22

Dimana : V(x

o

) = energi mula pada x = x

o

dan t = t

o

V(x) = energi akhir pada t

1/?

min

= konstanta waktu terbesar dari fungsi Lyapunov.

Bila V(x) diartikan jarak (posisi) dari koordinat titik ekuilibrium maka persamaan 22

merupakan kecepatan sistem mendekati titik ekuilibrium. Jelasnya dari energi mula

v (x

0

) sistem mencapai energi akhir V(x) dalam waktu (t-t

o

) detik.


10

Menghitung ?

min

untuk Sistem Linear

Misal sistem linear invariant waktu dinyatakan persamaan :

x = A.x dan V(x) = x

t

.P.x V(x) = -x

t

.Q.x

dimana : A = n x n matrik non singular

x = vektor berdimensi n

P = matrik Hermitian (matrik real simetrik)pasti positif

Q = - (A

t

.P + P.A)

Sehingga dapat ditulis :

min

berarti tercapai ?

min

tercapai saat x { x

t

.Q.t} dengan syarat x

t

.P.x = 1.

Dengan perkataan lain fungsi diminimumkan terhadap suatu harga energi yang

tertentu. Untuk mencari minimum dapat digunakan cara pengali Lagrange. Ambil =?

pengali Lagrange. Untuk membuat minimum dengan syarat x

t

.Q.x sama dengan

x

t

.P.x = 1 sama dengan membuat minimum terhadap x

t

.Q.x - ?.x

t

.P.x Harga

minimum dapat diperoleh saat difrensial pertama = 0 dan memperhatikan tanda

pada turunan keduanya.

Harga minimum x

t

.Q.x - ?.x

t

.P.x terjadi pada suatu nilai X

min

sehingga (Q - P).X

min

=

0.

Karena x

t

.Q.x - ?.x

t

.P.x =xt.(Q-?.P).maka saat minimum berarti :

X

t

min

.(Q-?.P) X

min

= 0

X

t

min

.Q. X

min

= ?. X

t

min.

P. X

min

= > 0 (karena x

t

.P.x = 1)

adalah minimum bila juga minimum.

Dari (Q-?.P) X

min

= 0 didapat :

Q. X

min =

-?.P.X

min

atau Q.P

-1

.X

min

= -?.X

min

Ini berarti ? adalah nilai eigen Q.P

-1

. Untuk x = A. x

?= nilai eigen

A.x = ? .x

Jadi ? dihitung dengan metode nilai eigen sebagai berikut :

?Q.P

-1

- ?.? ?= 0 ??????????????????????????. 24

Dari persamaan 24 diatas akan lebih sederhana bila Q = I, maka nilai Eigen ? = nilai

eigen P

-1

atau

:

?Q.P

-1

- ?.? ?= 0 atau ?I - P

.

? ?= 0 ??????????????????.. 25

jadi ?

min

sama dengan ?

min

juga.


11

4. Kesimpulan

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa pada metode Lyapunov :

? Kestabilan sistem berdasarkan pengamatan energi yang tersimpan.

? Pengertian stabil dibatasi (diklasifikasi) atas : stabil, stabil asimtotis, tidak

stabil, stabil terbatas, global dan lokal

? Tanda dari suatu fungsi sangat menentukan kestabilan sistem dan dikenal

tanda fungsi pasti positif, pasti negatif, setengah pasti positif, setengah pasti

negatif dan tidak ada kepastian.

? Fungsi Lyapunov dapat dinyatakan dalam bentuk kwadrat.

? Pada metode Lyapunov dipakai juga kriteria Sylvester untuk fungsi Lyapunov.

? Ada 3 dalil metode Lyapunov untuk menentukan kestabilan sistem

? Menentukan fungsi Lyapunov dari sistem yang dianalisa merupakan proses

yang penting dan sulit. Ada 2 metode yaitu :

? Metode Kravoski

? Metode gradient dari Schults-Gibson

? Fungsi Lyapunov dapat juga dipakai untuk menentukan waktu transisi dari

system linear dan non linear.

? Konstanta waktu minimum transisi dapat dihitung dengan metode nilai Eigen.

5. Daftar Pustaka

M.A.Pai, Poer system stability : analysis by the Direct Method of Lyapunov, Vol.3.

[s.l] :North-Holland ,1931

Ogata, K., Modern control engineering, [s.l] : Prentice - Hall, 1985

R.J. Widodo, Diktat kuliah sistem pengaturan modern. Bandung : ITB ,1986.


12

Documents

Menganalisa Kestabilan Sistem Tenaga