VISOKA KOLA MODERNOG BIZNISA BEOGRAD

Predmet: POSLOVNA STATISTIKASeminarski rad : MERE DISPERZIJEPredmetni nastavnik : Student :

doc. dr Svetlana Tasi Bratislav Jemuovi

Broj indeksa : 075/2012

Beograd, januar 2014Sadraj

1. UVOD KRATAKA ISTORIJA STATISTIKE ANALIZE ..31. Predmet statistikog istraivanja ............................................................................32. Statistiki skup (populacija osnovni skup) ................................................................33. Uzorak ........................................................................................................................44. Obeleje .......................................................................................................................4

5. Podele metoda statistike analize ...............................................................................52. ANALIZA PODATAKA .............................................................................................................63. MERE VARIJACIJE (MERE DISPERZIJE) ..............................................................................64. Apsolutne mere varijacije .............................................................................................................84.1. Interval varijacije .......................................................................................................84.2. Srednje apsolutno odstupanje .....................................................................................94.3. Varijansa .....................................................................................................................11 4.4. Standardna devijacija .................................................................................................124.5. Interkvartilna varijacija ...............................................................................................155. Relativne mere varijacije .............................................................................................................165.1. Koeficijent varijacije ....................................................................................................165.2. Normalizovano odstupanje ..........................................................................................176. ZAKLJUAK ..................................................................................................................................18Uvod: Satistika je bitna oblast u poslovanju, zasniva se na voenju stanja u knjigama bilo to potronih materijala, stanja u magacinu robe ili pak sta je sve prolo kroz kasu u supermarketu, dakle za sve nam je to potrebna statistika.

Poeci statistike analize datiraju nekoliko vekova pre nae ere. Prva poznata prebrojavanja sprovedena su u Kini oko 4 000 godina pre nove ere i u Egiptu oko 3 000 godina pre nove ere, dok su prvi organizovani popisi vreni u starom veku u Rimskoj republici. U srednjem veku vreni su uglavnom popisi zemljita i stoke i u nekim evropskim zemljama registri roenih, umrlih i venanih lica.

Prvi sistematski organizovani popisi stanovnitva vreni su krajem XVIII veka u gradovima Gotfrida Aenvala (Gottfried Achenval), profesora univerziteta u Getingenu, Nemaka.

Poeci statistike kao naune discipline skoro istovremeno datiraju od XVII veka u Nemakoj i Engleskoj. Poetkom XIX veka dolazi do naglog razvoja statistikih teorija, najvie zahvaljujui razvoju teorije verovatnoe i sloenijih matematikih analiza.

Vrtoglavi razvoj sistema elektronskih raunara u drugj polovini XX veka, inicirao je ogroman skok u aspektu primene statistikih metoda u gotovo svim analizama bilo kojih masovnih pojava.

U dananje vreme statistika predstavlja simbiozu sledeih komponenti:

Deskriptivna satistika koja se bavi prikupljanjem, obradom i prezentiranjem ve postojeih podataka,

Statistka analiza koja predstavlja skup statistikih metoda pomou kojih se vri kvantivna analiza meusobnih odnosa izmeu pojava koje imaju masovni karakter i pomou kojih se donose odreeni zakljuci i definiu zakonitosti ponaanja na osnovu posmatranih pojava,

Statistika teorija koja pronalaza nove statistike metode i usavrava ve postojee.

1. Predmet statistikog istraivanja

Statistika istauje pojave koje su po svojoj prirodi varijabilne, koje imaju masovni karakter i ije ponaanje u masi, na naem noviou intelektualng razvoja, nije unapred odreeno egzaktnim uzrono posledinim zakonitostima. Posmatranjem i analiziranjem pojava na velikom broju tih sluajeva, statistika donosi odreene zakljuke o masovnom po naanju tih pojava.

1.1. Statistiki skup (populacija osnovni skup)

Skup svih elemenata na kojima se dreena pojava statistiki posmatra zove se statistiki skup (populacija, osnovni skup). Pojedinani elementi iz kojih se statistiki skup sastoji zovi se elementi statistikog skupa (statistike jedinice).

Definisajne statistikog skupa u svakom sluaju zavisi od prirodne pojave koja se eli statistiki analizirati, od cilja istaivanja i do raspoloivih mogunosti posmatranja, ali se uvek mora voditi rauna o tome da statistiki skup bude relativno homogen, odnosno da elementi statistikog skupa imaju bar jednu zajedniku osobinu. to elemnti statistikog skupa imaju vie zajednikih osobina, to je statistiki skup homogeniji. Takoe prilikom definisanja statistikog skupa, mora se voditi rauna o tome da elementi skupa budu istovrsni, ali naravno ne i istovetni. Broj lanova populacije obeleava sa N.

1.2. Uzorak

Uglavnom je nemogue,a mahom je uvek ekonomkso-prostorno-vremenski neopravdano, vriti statistiku analizu na itavom statistikom skupu. Zbog toga se vrlo esto iz itavog statistikog skupa vri odabir nekoh elemenata skupa (uzorkovanje skupa) na kojima se provodi dalja statistika analiza, koja rezultira obraenim kvantitativnim zakljucima koji vae za itav statistiki skup.

Naini na koje se vri uzorkovanje nisu porizvoljni, ve, moraju ispuniti odreene zahteve. Podskup statistikog skupa dobijen uzorkovanjem njegovih elemenata zove se uzorak. Broj lanova uzorka broj (elemenata uzorka) se obino obeleava sa n.

1.3. Obeleje

Osobine po kojima se jedinice statistikog skupa ili uzorka razlikuju, a koje su predmet statistike analize, zovu se obeleja i obino se dele na atribna (opisna) i numerika; prekidna i neprekidna numerika obeleja.

Atributna obeleja su obeleja koja se izraavaju opisno (zanimanje, pol, boja kose ...),

Numerika obeleja su obeleja koja se izraavaju brojano i mogu biti prekidna ( diskontinialna) i neprekidna(kontunialna).

Prekidna numerika obeleja su ona koja mogu dobiti samo izolovane vrednosti ( broj prodatih automobila, broj roenih, borj lanova porodice ...)

Neprekidna numerika obeleja su ona obeleja koja mogu imati bilo koju vrednost unutar nekog intervala (visina, teina, potronja goriva...), Kod neprekidnih obeleja vrednosti se grupiu u intervale i tako se dobijaju intervalne serije distribucije frekvencije. Intervali odgovaraju klasama u koje je podeljen statisticki skup kod prekidnih obeleja. Intervali se koriste i kada je preveliki broj klasa kod prekidnih obeleja. Intervali imaju donju i gornju granicu. Radi lakeg predstavljanja i matematicke obrade intervalnih serija uvodi se razredna sredina. Ona je aritmeticka sredina krajeva intervala.

1.4. Podele metoda statistike analize

Generalno, statistiki metodi analize masovnih pojava se mogu svrstati u dve grupe:

Deskriptivna statistika : Brojani statistiki podaci treba da budu prikazani jasno, saeto i na takav nain da oni koji donose odluke brzo dobiju bitne karakteristike podataka radi njihovog ukljuivanja u proces odluivanja. Glavna deskriptivna (opisna) koliina izvedena iz podataka uzorka je sredina, koja predstavlja aritmetiki prosek podataka uzorka. Ona se koristi kao najpouzdanija pojedinana mera vrednosti tipinog lana uzorka. Ako uzorak sadri nekoliko vrednosti koje su toliko velike ili toliko male da imaju iskrivljujui efekat na vrednost sredine, uzorak se moe predstaviti tanije korienjem medijane vrednosti koja sve vrednosti uzorka deli na dve jednake polovine.

Koliine najee koriene za merenje rasipanja (disperzije) vrednosti oko njihove sredine su varijansa 2 i njen kvadratni koren, standardna devijacija . Varijansa se izraunava odreivanjem sredine, njenim oduzimanjem od svake vrednosti u uzorku (to daje odstupanje-devijaciju uzoraka), a potom nalaenjem proseka kvadrata ovih odstupanja. Sredina i standardna devijacija uzorka koriste se kao procene odgovarajuih karakteristika celokupne grupe iz koje je uzorak izvuen. One, uopte, ne omoguuju potpuno opisivanje distribucije (Fx) vrednosti unutar svakog od uzoraka ili njihovih grupacija, ali, razliite distribucije mogu da imaju istu sredinu i standardnu devijaciju. One, pruaju celoviti opis normalne distribucije (rasporeda), u kojoj su pozitivne i negativne devijacije (odstupanja) od sredine jednake, a male devijacije su znatno manje zajednike nego velike devijacije. Za normalno rasporeeni skup vrednosti, grafikon koji prikazuje zavisnost uestalosti (frekvencija) odstupanja od njihovih veliina (magnitudes) jeste zvonasta kriva. Oko 68% vrednosti razlikovae se od sredine rasporeda, manje od jedne standardne devijacije, a skoro 100% e se razlikovati manje od tri standardne devijacije.

Inferentna statistika : Inferentna ili prosuivaka statistika bavi se stvaranjem sudova na osnovu uzoraka o populacijama iz kojih su uzorci izvueni. Drugim reima, ako naemo razliku izmeu dva uzorka, eleli bismo da znamo, da li je to stvarna razlika (tj. da li je ona prisutna u populaciji) ili je samo sluajna razlika (tj. moe da bude rezultat greke sluajnog uzorkovanja). Testovi statistike znaajnosti upravo to nastoje da saznaju. Svaki zakljuak dobijen na osnovu podataka uzorka, i prosuivanjem pripisan populaciji iz koje je uzorak izvuen, mora biti izraen terminom verovatnoe. Verovatnoa je jezik i sredstvo merenja nesigurnosti u naim statistikim izraunavanjima.

Inferentna statistika moe se koristiti za objanjavanje neke pojave ili za proveru validnosti (verodostojnosti) tvrdnje. U sluajevima takvog korienja inferentne statistike, ona se naziva Eksplorativna analiza podataka ili Konfirmativna analiza podataka .Metodi statistike analize se mogu podeliti na statke i dinamike.

Metodi statike statistike analize analiziraju promene obeleja unutar osnovnog skupa (populacije) u okviru jednog trenutka ( ili intervala vremena), Metodi dinamike statistike analize analiziraju vremensku zavisnost obeleja.

Statistiko prosuivanje: Statistiko prosuivaje (inferencija) se odnosi na uoptavanje (proirivanje) naeg znanja, dobijenog iz sluajnog uzorka izvuenog iz celokupne populacije, na celokupnu populaciju. U matematici se taj saznajni postupak naziva induktivno rezonovanje, to jest, znanje o celini izvedeno iz posebnosti. Njegova glavna primena je u testovima hipoteza o odreenoj populaciji. Statistiko prosuivanje usmerava izbor primerenih statistikih modela. Modeli i podaci meusobno utiu u statistikom radu. Prosuivanje na osnovu podataka moe se shvatiti kao proces izbora osmiljenog modela, ukljuujui stav u jeziku verovatnoe o tome koliko analitiar moe da bude pouzdan u pogledu izbora.Statistika se ne bavi prevashodno prosecima, kako joj se to pogreno pripisuje, nego mnogo vie odstupanjima od proseka (ili od neke druge zajednike karakteristike), nastojei da otkrije opte karakteristike varijabiliteta posmatranog skupa.

2. ANALIZA PODATAKA

Da bi se izvrila analiza statistickog skupa ili nekog obeleja izraunavaju se nove veliine, pokazatelji odredenih osobina. Pokazatelji (parametri) koji se najcece koriste su:

Slika 1. Pregled najcee korienih parametara statistikog skupa

3. MERE VARIJACIJE( MERE DISPERZIJE)Mere varijacije su pokazatelji relativnih i apsolutnih odstupanja vrednosti obeleja od aritmetike sredine. Mere varijacije ili mere disperzije pokazuju kakvo je variranje podataka u seriji. Mogu postojati statistike serije sa istom srednjom vrednou, a razliitim variranjem podataka oko te srednje vrednosti. Na slici 1 su prikazane dve krive sa istom sredinom i razliitim variranjem podataka oko te sredine. Podaci prikazani krivom B vie variarju oko svoje srednje vrednosti.

Mera varijacije je vana karakteristika jer omoguuje da se relativizira mera centralne tendencije. Za podatke sa veim varijabilitetm sredina je manje reprezentativan pokazatelj nego za podatke sa manjim varijabilitetom. Zbog toga se pored srednje vrednosti uvek izraunava i neka mera varijacije.

U zavisnosti od naina izraunavanja mere varijacije se dele na apsolutne i relativne.

Slika 2. Distribucije frekvencija sa istom sredinom i razliitim varijabilitetom

Apsolutne mere varijacijesu iskazane u jedinicama mere obeleja. Poznatije mere varijabiliteta su interval varijacije, srednje apsolutno odstupanje, varijansa i standardna devijacija itd.

Relativne mere varijacijesu neimenovani pokazatelji varijabiliteta. Neke od relativnih mera varijacije su koeficijent varijacije i normalizovano standardizovano odstupanje.

Slika 3. Mere centralne varijacije

U statistikoj praksi postoji velik broj mera varijacije u vom radu se govori o apsolutnim i relativnim merama varijacije.

Aplsolutne mere varijacije:

interval varijacije I,

varijansa 2,

standardna devijacija ,

srednje apsolutno odstupanje D,

interkvartilna varijacija IQ,

Relativne mere varijacije:

koeficijent varijacije CV ili Vu

normalizovano (standardizovano) odstupanje z.4. APSOLUTNE MERE VARIJACIJE4.1 Interval varijacijeFormule za interval varijacije:Za negrupisane podatke ili neintervalnu seriju: I xmax xmin

Kod intervalne serije: I a k a 0gde je:

xmax najvea vrednost obeleja,

xmin najmanja vrednost obeleja,

ak gornja granica poslednjeg intervala,

a0 donja granica prvog intervala.

Primer:U toku jedne sedmice izmerene su dnevne prosene temperature u Celzijusovim stepenima. Koliki je raspon dnevnih temperatura u toku te nedelje?

Nedelja 18,3 C

Ponedeljak 19,8 C

Utorak 17,6 C

Sreda 17,9 C

Cetvrtak 15,6 C

Petak 18,1 C

Subota 15,1 C

Tabela 1.

xmax =19.8 ; xmin =15.1

Raspon dnevnih temperatura u toku posmatrane nedelje je:

I = xmax - xmin =19,8 - 15,1 = 4,7

Interval varijacije je mera varijabiliteta koja se lako izraunava, ali je njeno korienje kao mere varijabiliteta ogranieno. Rang uzima u obzir samo dve ekstremne vrednosti i zanemaruje u obraunu ostale podatke serije, pa se dobija pogrena slika o variranju u seriji.

4.2 Srednje apsolutno odstupanje Srednje apsolutno odstupanje je proseno apsolutno odstupanje vrednosti obeleja od srednje vrednosti. Za meru varijabiliteta nije bitan znak odstupanja, tj. da li se podatak nalazi sa leve ili desne strane sredine, ve koliko je udaljen od te sredine. Ova mera varijacije varijabilitet podataka u seriji meri apsolutnim odstupanjem svakog podatka od sredine i oznaava se sa AD. Najee se rauna odstupanje od aritmetike sredine, mada se moe koristiti i medijana.

Srednje apsolutno odstupanje za negrupisane podatkeKada se posmatra variranje u odnosu na aritmetiku sredinu, izraunava se po formuli:

gde je:

xi vrednost i-tog podatka iz serije

aritmetika sredina serije

n broj podataka

Primer:Odrediti varijabilitet za broj dana koje radnik N.N. provodi na bolovanju u udnosu na prosean broj dana bolovanja. Kao meru varijabiliteta koristiti srednje apsolutno odstupanje.

Broj dana:7234821261394

Reenje:

Tabela 2.Broj danax

7-1,81,8

2314,214,2

4-4,84,8

8-0,80,8

2-6,86,8

123,23,2

6-2,82,8

134,24,2

90,20,2

4-4,84,8

8843,6

Variranje broja dana od proseka je 4,36 dana.

Srednje apsolutno odstupanje za grupisane podatkeKada se izraunava u odnosu na aritmetiku sredinu je:

gde je:

k broj klasa

fi frekvencija i-te klase

xi vrednost obelja i-te klase

aritmetika sredina

Primer:Odrediti varijabilite prodaje TV aparata. Za meru varijabiliteta koristiti srednje apsolutno odstupanje.

Reenje:Za podatke o prodaji TV aparata aritmetika sredina je x=11. U Tabeli 3, su data neophoda izraunavanja za srednje apsolutno odstupanje.

Tabela 3.Broj prodatihTV aparataxBroj danau mesecuf

8236

9428

10616

11700

12515

13428

14133

15144

ukupno3040

Proseno dnevno variranje prodaje TV aparata je 1,33 komada.

Srednje apsolutno odstupanje je dobra mera varijacije jer uzima u obraun sve podatke iz serije. Ova mera varijabiliteta se ne koristi esto za dalju obradu podataka jer apsolutna vrednost komplikuje primenu statistikih procedura.

4.3 Varijansa

Varijanjsa ili srednje kvadratno odstupanje je mera varijabiliteta koja se izraunava kao prosek kvadrata odstupanja sredine i vrednosti svakog podatka u seriji. Kvadriranjem razlike se eliminie znak razlike i nije potrebno koristiti apsolutnu vrednost.

Mera varijacije drugog stepena koja nema jedinicu mere. Njena vrednost se nalazi u intervalu [0, +]

Varijansa za negrupisane podatke se izraunava se po formuli:

ili tkz. radnoj formuli:

xi vrednost i-tog podatka iz serije

aritmetika sredina serije

n broj podataka

Primer:

Na osnovu podataka o broju dana koje je radnik N.N. proveo na bolovanju u toku jedne godine.

Broj dana:7234821261394

odrediti varijabilitet u odnosu na prosean broj dana na bolovanju. Kao meru varijabiliteta koristiti varijansu (srednje kvadratno odstupanje).

Reenje:Prosean broj dana koje je radnik proveo na bolovanju je .

Neophodna izraunavanja data su u tabeli.

Tabela 4.Broj dana na bolovanjuxx2

749-1,83,24

2352914,2201,64

416-4,823,04

864-0,80,64

24-6,846,24

121443,210,24

636-2,87,84

131694,217,64

9810,20,04

416-4,823,04

88

ili preko radne formule:

Varijansa je 33,36

Varijansa za grupisane podatkeFormula za izraunavanje varijanse u odnosu na grupisane podatke je:

ili tkz. radnoj formuli:

gde je:

k broj klasa

fi frekvencija i-te klase

xi vrednost obeleja i-te klase

aritmetika sredina.

Primer:

Odrediti varijabilitet prodaje TV aparata. Za meru varijabiliteta koristiti varijansu (srednje kvadratno odstupanje).

Reenje:

Prosean broj prodatih TV aparata je x=11. U Tabeli su data neophoda izraunavanja za srednje apsolutno odstupanje.

Tabela 5.Prodato TV aparataxBroj danau mesecufx2f x2

8264128918

9481324416

10610060016

11712184700

12514472015

134169676416

14119619699

1512252251616

ukupno3081

ili preko radne formule:

Varijansa je 2,87

Varijansa nije pogodna za interpretaciju jer je izraena u kvadratima jedinice u kojoj su izraeni podaci. Zbog toga se za interpretaciju variranja neke pojave koristi kvadratni koren iz varijanse koji se naziva standardna devijacija i oznaava se sa:

.

Za negrupisane podatke formula za izraunavanje je:

a za grupisane podatke je:

Proseno odstupanje pojedinanih vrednosti obeleja od aritmetike sredine, izraeno u jedinicama mere u kojima je izraeno i obeleje koje se posmatra.

Mera varijacije prvog stepena.

Njena vrednost se nalazi u intervalu [0, +].

Primer:Odrediti varijabilitet vremena izrade proizvoda.

Reenje:U tabeli 6 prikazani su podaci za izraunavanje standardne devijacije

Tabela 6.Vreme izradeXSred. intervalaXBroj radnikaffxfx2

15,2-15,515,35346,05706,8675

15,5-15,815,659140,852204,3025

15,8-16,115,9511175,452798,4275

16,1-16,416,258130,002112,5000

16,4-16,716,55577,751286,7625

16,7-17,016,85467,401135,69

ukupno40

Variranje u odnosu na proseno vreme izrade proizvoda je 1,425 proizvoda.

Varijansa, odnosno standardna devijacija, ima sledee vane osobine:

1. Izraunava se na osnovu svih podataka u seriji.

2. Vrednost varijanse i standardne devijacije se ne menja ako se sve vrednosti obeleja uveaju za istu konstantu C.

3. Ako se sve vrednosti u seriji pomnoe istom konstantom C onda se i standardna devijacija mnoi tom konstantom.

4.5 Interkvartilna varijacija

Interkvartilna varijacija je mera varijacije koja zanemaruje uticaj ekstremnih vrednosti obeleja i pokazuje razliku izmeu prvog i treeg kvartila u numerikoj seriji.

IQ = Q3Q1

Kvartili

Simboli: Q1, Q2, Q3 Kvartili su srednje vrednosti po poloaju koje dele statistiku seriju na etiri jednaka dela kada su vrednosti obeleja poreane u rastui niz. Postoji ukupno tri kvartila.

Prvi kvartil (Q1) deli numeriku seriju tako da je jedna etvrtina podataka manja od njega a tri etvrtine su vee.

Drugi kvartil (Q2) je jednak sa medijanom (Me) i deli numeriku seriju tako da je jedna polovina podataka manja od njega a druga polovina vea.

Trei kvartil (Q3) deli numeriku seriju tako da je tri etvrtine podataka manja od njega a jedna etvrtina su vea.

Formule za kvartile kad su podaci negrupisani ili grupisani u neintervalnu seriju:

5. Relativne mere varijacije

Relativne mere varijacije su neimenovani brojevi. Koriste se za poreenje varijabiliteta izmeu dve serije ili razliitih jedinica u okviru jedne serije. Najpoznatije relativne mere varijacije su koeficijent varijacije i normalizovanao ili standardizovano odstupanje.

5.1. Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije je relativna mera varijacije koja se izraunava kao kolinik standardne devijacije i aritmetike sredine i izraava se u procentima. Koristi se za poreenje varijabiliteta u razliitim statistikim serijama. Oznaava se sa Cv ili V i izraunava se po formuli:

ili: Prednost koeficijenta varijacije je to ne zavisi od jedinice mere obeleja, to omoguuje poredjenje varijabiliteta statistikih serija koje su iskazane u razliitim jedinicama mere.

Primer:U jednom preduzeu prosena plata je 1200din sa standardnom devijacijom 200, a prosean radni sta zaposlenih je 17 god. sa varijansom 25. Uporediti varijabilitet plata i radnog staa u ovom preduzeu.

Reenje:Ovde se posmatraju dve pojave: plata (x) i radni sta (y)

Prosena plata je: x=1200 sa standardnom devijacijom s=200, pa je koeficijent varijacije za platu jednak:

Prosean radni sta je: y=17 sa varijansom s2=25, pa je standardna devijacija

,

pa je koeficijent varijacije za platu jednak:

Radni sta u ovom preduzeu ima vei varijabilitet od plata.

5.2 Normalizovano (standardizovano) odstupanje

Za poredjenje odstupanja pojedinih vrednosti obeleja od aritmetike sredine koristi se normalizovano ili standardizovano odstupanje. To je relativna mera varijacije kojom se udaljenost pojedinih vrednosti obeleja od aritmetike sredine israava u standardnim devijacijama. Oznaava se sa z i izraunava po formuli:

gde je:

xi jedna vrednost obeleja

aritmetika sredina obeleja

s standardna devijacija obeleja

Primer:Radnik jednog preduzea ima platu 1800 din, a radnik drugog preduzea ima platu 2100 din. Uporediti odstupanje plata od proseka preduzea ako se zna da je u prvom preduzeu prosena plata 1200 din sa standardnom devijacijom 200, a u drugom 1500 din sa standardnom devijacijom 150.

Reenje:Plata radnika prvog preduzea je x=1800, prosena plata je x=1200 i standardna devijacija je s=200, pa ovaj radnik odstupa od proseka svog preduzea

Plata radnika drugog preduzea je y=2100, prosena plata je y=1500 i standardna devijacija je s=150, pa ovaj radnik odstupa od proseka svog preduzea

Drugi radnik vie odstupa od proseka svog preduzea. Ako se uporedi apsolutno odstupanja plata od proseka zakljuili bi da oba radnika imaju za 600 din veu platu od proseka svog preduzea. Apsolutno odstupanje nije pravi pokazatelj jer ne uzima u obzir variranje podataka oko srednje vrednosti.

Zakljuak: U radu se moze videti koliko je statistika kompleksna i da je vrlo korisna za izraunavanje trokova, tokom istraivanja sam nailazio na razne primere u kojim se koristi statistika. Kao glavni razlog za korienje statistike se moe navesti kontrola trokova, da bi u poslovanju mogli da znamo na kojoj smo poziciji koliko smo potroili i koliko bi trebalon da zaradimo da bi bilans na raunu bio pozitivan. EMBED Word.Document.8 \s

EMBED Word.Document.8 \s

1

_1451575740.docNeparan broj podataka, prvi kvartil:

;

Neparan broj podataka, trei kvartil:

;

Paran broj podataka, prvi kvartil:

Paran broj podataka, trei kvartil:

;

_1136968324.unknown

_1136968329.unknown

_1136968334.unknown

_1136968311.unknown

_1451575741.docZa osnovni skup:

;

Za uzorak:

;

_1136972205.unknown

_1136972215.unknown