Mere Centralne Tendencije

11

NumeriNumerike deskriptivne velike deskriptivne veliineineMere centralne tendencijeMere centralne tendencije

2

Osobine numeriOsobine numerikih podatakakih podataka-- meremere

aritmetiaritmetika ka srednja vrednostsrednja vrednost

medijanamedijana

modusmodus

NumeriNumeriko opisivanje podatakako opisivanje podataka

varijansavarijansa

standardna devijacijastandardna devijacija

koeficijent varijacijekoeficijent varijacije

rasponraspon

interkvartiliniinterkvartilini rasponraspon

geometrijska geometrijska srednja vrednostsrednja vrednost

zakrivljenostzakrivljenost

Centralna Centralna tendencijatendencija

VarijacijaVarijacija AsimetrijaAsimetrijaKvartiliKvartili

zazailjenostiljenost

23

Osobine numeriOsobine numerikih podatakakih podataka

Centralna tendencijaCentralna tendencija((lokacija centralokacija centra))

VariVarijjaacijacija ((RasipanjeRasipanje))

AsimetrijaAsimetrija

4

Odbacivanje ekstremnih vrednostiOdbacivanje ekstremnih vrednosti

Ekstremno visoka vrednost se odbacuje ako je:

Ekstremno niska vrednost se odbacuje ako je:

33,0xx

xx

1N

1NN

33,0xx

xx

1N

12

35

Mere centralne tendencijeMere centralne tendencije

Centralna tendencija

Aritmetika srednja vrednost

Medijana Modus Geometrijskasrednja vrednost

N

x

x

N

1ii

==

n/1n21G )xxx(x = L

sredina rangiranih vrednosti

najfrekventnijavrednost

6

AritmetiAritmetika srednja vrednost (ka srednja vrednost (averageaverage, , meanmean))

NajNajeeee korikorienaena meramera PonaPonaaa se se kaokao ravnoteravnotenana tatakaka Na Na njenunjenu vrednostvrednost utiutiuu ekstremneekstremne vrednostivrednosti

((outliersoutliers) ) IzraIzraava se u istim jedinicama kao i osnovni podaciava se u istim jedinicama kao i osnovni podaci Izraz za izraIzraz za izraunavanjeunavanje::

Nxxx

Nx

x N21+++

== L

broj podataka dobijena vrednost

47

AritmetiAritmetika srednja vrednostka srednja vrednost

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10

srednja vrednost = 3

35

155

54321==

++++ 4520

5104321

==

++++

srednja vrednost = 4

Uticaj ekstremnih vrednosti

66,096

11041033,0

xx

xx

1N

1NN==

8

Prosta srednja vrednost Prosta srednja vrednost vsvs. . ponderisanaponderisana teteinska inska srednja vrednostsrednja vrednost

PonderisanaPonderisana aritmetiaritmetika srednja vrednost izraka srednja vrednost izraunava se kada su unava se kada su podaci prikazani kao frekvence:podaci prikazani kao frekvence:

Ako su podaci grupisani u klasne intervale, Ako su podaci grupisani u klasne intervale, ponderisanaponderisana srednja srednja vrednost se izravrednost se izraunava:unava:

=

i

if

fxx

=

i

isf

)x(fx

59

IzraIzraunavanje srednje vrednosti unavanje srednje vrednosti primer 1primer 1

xx ff xxff 11 33 33 22 55 1100 33 88 2244 44 66 2244 55 44 2200 66 22 1122

ff == 2288 ffxx == 9933

3,32893

x

28f93fx

ffx

x

==

==

=

10

IzraIzraunavanje srednje vrednostiunavanje srednje vrednosti--primer 2primer 2KKii == 22 mmgg ff xxss ff xxss 224433 224444 22 224433,,55 448877 224455 224466 55 224455,,55 11222277,,55 224477 224488 99 224477,,55 22222277,,55 224499 225500 1166 224499,,55 33999922 225511 225522 1100 225511,,55 22551155 225533 225544 66 225533,,55 11552211 225555 225566 22 225555,,55 551111

uukkuuppnnoo 5500 1122448811

mg6,24950

12481x

50f12481)x(ff

)x(fx s

s

==

===

611

IzraIzraunavanje srednje vrednosti unavanje srednje vrednosti primer 3primer 3KKii == 22 mmooll//LL ff xxss ff xxss

44,,00 -- 55,,99 33 55,,00 1155,,00 66,,00 -- 77,,99 44 77,,00 2288,,00 88,,00 -- 99,,99 99 99,,00 8811,,00

1100,,00 -- 1111,,99 1133 1111,,00 114433,,00 1122,,00 -- 1133,,99 2222 1133,,00 228866,,00 1144,,00 -- 1155,,99 2266 1155,,00 339900,,00 1166,,00 -- 1177,,99 1188 1177,,00 330066,,00 1188,,00 -- 1199,,99 1122 1199,,00 222288,,00 2200,,00 -- 2211,,99 88 2211,,00 116688,,00 2222,,00 -- 2233,,99 55 2233,,00 111155,,00

uukkuuppnnoo ff == 112200 ff

xxss == 11776600,,00

L/mol67,14120

1760x120f1760)x(f

f)x(f

x ss =====

12

Geometrijska srednja vrednostGeometrijska srednja vrednost

nn--ti koren proizvoda svih ti koren proizvoda svih lanova skupalanova skupa Primer: 1, 2, 3,10Primer: 1, 2, 3,10 GGx = 4x = 4--ti koren iz 60 = 2,78ti koren iz 60 = 2,78

II naII nain izrain izraunavanja Gunavanja Gx:x:1. logaritmovanje svakog broja u skupu1. logaritmovanje svakog broja u skupu2. ra2. raunanje aritmetiunanje aritmetike sredine tih logaritamake sredine tih logaritama3. dizanje osnove logaritma (3. dizanje osnove logaritma (lnln--2.718 ili log2.718 ili log--10) na 10) na izraizraunatu aritmetiunatu aritmetiku sredinu logaritama (korak 2)ku sredinu logaritama (korak 2)

713

MedijanaMedijana (Me)(Me)

MedijanaMedijana je centralna vrednost u nizu podatakaje centralna vrednost u nizu podataka 50%50% vrednosti je iznadvrednosti je iznad, 50% , 50% ispod ispod medijanemedijane

Pre odreivanje Pre odreivanje medijanemedijane podaci se podaci se urede po veliurede po veliiniini Na Me ne Na Me ne utiutiuu ekstremneekstremne vrednostivrednosti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

medijana = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

medijana = 3

14

Odreivanje Odreivanje medijanemedijane

Pozicija Pozicija medijanemedijane ( (u ureenim podacimau ureenim podacima))::

Ako je broj podataka neparan, Ako je broj podataka neparan, medijanamedijana je vrednost u je vrednost u sredini niza sredini niza

Ako je broj podataka paran, Ako je broj podataka paran, medijanamedijana je srednja je srednja vrednost dve vrednosti u sredini niza (izmvrednost dve vrednosti u sredini niza (izmeu Neu N/2 i /2 i (N+2)/2)(N+2)/2)

Napomena:Napomena:

izraz nije izraz nije vrednostvrednost medijanemedijane, ve, ve redni brojredni brojvrednosti koja predstavlja vrednosti koja predstavlja medijanumedijanu

21N

medijanepozicija +=

21N +

815

IzraIzraunavanje unavanje medijanemedijane primer 1primer 1

xx ff ffkkuumm 11 33 33 22 55 88 33 88 1166 44 66 2222 55 44 2266 66 22 2288

ff == 2288

MedijanaMedijana je izmeu N je izmeu N/2 i (N+2)/2/2 i (N+2)/2N = 28N = 28MedijanaMedijana izmeu izmeu 1414--te i 15te i 15--te vrednostite vrednosti

Me = 3Me = 3

16


KKii == 22 mmgg ff ffkkuumm 224433 224444 22 22 224455 224466 55 77 224477 224488 99 1166 224499 225500 1166 3322 225511 225522 1100 4422 225533 225544 66 4488 225555 225566 22 5500

uukkuuppnnoo 5500

MedijanaMedijana je izmeu N je izmeu N/2 i (N+2)/2/2 i (N+2)/2N = 50N = 50MedijanaMedijana izmeu izmeu 2525--te i 26te i 26--te vrednostite vrednosti

Klasni interval u kome se nalazi Klasni interval u kome se nalazi medijanamedijana

m

kumd f

f2

f

KixMe

+=

917



uukkuuppnnoo 5500

xxdd -- donja granica medijalnog klasnog intervala donja granica medijalnog klasnog intervala ((xxdd = 249)= 249)

KiKi -- irina klasnog intervala irina klasnog intervala ((KiKi = 2)= 2)ff -- ukupan broj podataka ukupan broj podataka ((f = 50)f = 50)ffkumkum -- kumuliranakumulirana frekvenca do medijalnog klasnogfrekvenca do medijalnog klasnog

intervala intervala ((ffkumkum = 16)= 16)ffmm -- frekvencafrekvenca medijalnogmedijalnog klasnogklasnog intervalaintervala

((ffmm = 16)= 16)

mg1,25016

162

502249

f

f2

f

KixMem

kd =

+=

+=

18

Modus (Mo)Modus (Mo)

VrednostVrednost kojakoja se se pojavljujepojavljuje najnajeeee Na Mo ne Na Mo ne utiutiuu ekstremneekstremne vrednostivrednosti U U skupuskupu momoee bitibiti jedanjedan iliili viviee modusamodusa SkupSkup momoee bitibiti bezbez modusamodusa Mo Mo momoee dada se se odrediodredi i i zaza numerinumerikeke i i kategorikategorikeke

podatkepodatke

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

modus = 9

0 1 2 3 4 5 6

nema modusa

10

19

20

IzraIzraunavanje modusa unavanje modusa primer 1primer 1

Modus je vrednost sa frekvencom 8Modus je vrednost sa frekvencom 8

Mo = 3Mo = 3

xx ff 11 33 22 55 33 88 44 66 55 44

66 22

ff == 2288

11

21

IzraIzraunavanje modusa unavanje modusa primer 2primer 2

Klasni interval u kome se nalazi modusKlasni interval u kome se nalazi modusKKii == 22 mmgg ff 224433 224444 22 224455 224466 55 224477 224488 99 224499 225500 1166 225511 225522 1100 225533 225544 66 225555 225566 22

uukkuuppnnoo 5500

)ff()ff()ff(KixMo

3212

12d

+

+=

22


xxdd -- donja granica modalnog klasnog intervala donja granica modalnog klasnog intervala ((xxdd = 249)= 249)

KiKi -- irina klasnog intervala irina klasnog intervala ((KiKi = 2)= 2)ff11 -- frekvenca intervala neposredno ispredfrekvenca intervala neposredno ispred

modalnog klasnog intervala modalnog klasnog intervala (f(f11 = 9)= 9)ff22 -- frekvencafrekvenca mmodaodalnoglnog klasnogklasnog intervalaintervala

(f(f22 = 16)= 16)ff33 -- frekvenca intervala neposredno izafrekvenca intervala neposredno iza

modalnog klasnog intervala modalnog klasnog intervala (f(f33 = 10)= 10)

KKii == 22 mmgg ff 224433 224444 22 224455 224466 55 224477 224488 99 224499 225500 1166 225511 225522 1100 225533 225544 66 225555 225566 22

uukkuuppnnoo 5500

1,250)1016()916(9162249)ff()ff(

)ff(KixMo3212

12d =

+

+=+

+=

12

23

Skale merenjaSkale merenja-- mere centralne tendencijemere centralne tendencije

intervalnaintervalna/skala odnosa /skala odnosa -- x, Me, Mox, Me, Mo ordinalnaordinalna Me, MoMe, Mo nominalna nominalna samo Mo!!!samo Mo!!!

24

KvartiliKvartili

KvartiliKvartili dele skup ureenih podataka na dele skup ureenih podataka na etiri etiri jednaka delajednaka dela

PozicionePozicione veliveliineine

25% 25% 25% 25%

QQ11 QQ22 QQ33

25%25% 25%

Prvi Prvi kvartilkvartil, , QQ11 25% vrednosti su manje od Q25% vrednosti su manje od Q11 Drugi Drugi kvartilkvartil, , QQ22 = = medijanamedijana TreTrei i kvartilkvartil, , QQ33 = 25% vrednosti su ve= 25% vrednosti su vee od Qe od Q11 QQ11 i Qi Q33 nisu mere centralne tendencijenisu mere centralne tendencije

13

25

Odreivanje Odreivanje kvartilakvartila

Pozicija (redni broj vrednosti) prvog kvartila (Q1):(N+1)/4

Pozicija (redni broj vrednosti) drugog kvartila (Q2):kao medijana

Pozicija (redni broj vrednosti) treeg kvartila (Q3):3(N+1)/4

gde je N ukupan broj podataka

26

IzraIzraunavanje unavanje kvartilakvartila primer 1primer 1

xx ff ffkkuumm 11 33 33 22 55 88 33 88 1166 44 66 2222 55 44 2266 66 22 2288

ff == 2288

N = 28N = 28Pozicija Pozicija Q1Q1: (N+1)/4 = 7,25: (N+1)/4 = 7,25Q1 je 7,25Q1 je 7,25--ta vrednost u skuputa vrednost u skupuQ1 = 2Q1 = 2

Pozicija Q3: 3(N+1)/4 = 21,75Pozicija Q3: 3(N+1)/4 = 21,75Q3 je 21,75Q3 je 21,75--ta vrednost u skuputa vrednost u skupuQ3 = 4Q3 = 4

14

27



uukkuuppnnoo 5500

N = 50N = 50Pozicija Pozicija Q1Q1: (N+1)/4 = 12,75: (N+1)/4 = 12,75Q1 je 12,75Q1 je 12,75--ta vrednost u skuputa vrednost u skupuQ1 je u intervalu 247 Q1 je u intervalu 247 248 mg248 mg

Pozicija Q3: 3(N+1)/4 = 38,25Pozicija Q3: 3(N+1)/4 = 38,25Q3 je 38,25Q3 je 38,25--ta vrednost u skuputa vrednost u skupuQ3 je u intervalu 251 Q3 je u intervalu 251 252 mg252 mg

1

1k11d1 f

fNKixQ +=3

3k33d3 f

fNKixQ +=

28



uukkuuppnnoo 5500

xxd1d1 -- donja granica klasnog intervala u komedonja granica klasnog intervala u komese nalazi donji se nalazi donji kvartilkvartil (x(xd1d1 = 247)= 247)

xxd3d3 -- donja granica klasnog intervala u komedonja granica klasnog intervala u komese nalazi gornji se nalazi gornji kvartilkvartil (x(xd3d3 = 251)= 251)

KiKi -- irina klasnog intervala irina klasnog intervala ((KiKi = 2)= 2)NN11 -- redni broj vrednosti u skupu kojaredni broj vrednosti u skupu koja

predstavlja donji predstavlja donji kvartilkvartil (N(N11 = 12,75)= 12,75)NN33 -- redni broj vrednosti u skupu kojaredni broj vrednosti u skupu koja

predstavlja gornji predstavlja gornji kvartilkvartil (N1 = 38,25)(N1 = 38,25)ffk1k1 -- kumuliranakumulirana frekvencija do donjegfrekvencija do donjeg

kvartilnogkvartilnog intervala intervala (f(fk1k1 = 7)= 7)ffk3k3 -- kumuliranakumulirana frekvencija do gornjegfrekvencija do gornjeg

kvartilnogkvartilnog intervala intervala (f(fk3k3 = 32)= 32)ff11 -- frekvencija donjeg frekvencija donjeg kvartilnogkvartilnog intervala intervala (f(f11 = 9)= 9)ff33 -- frekvencijafrekvencija gornjeggornjeg kvartilnogkvartilnog intervalaintervala (f = 10)(f = 10)

15

29


3,2521Q

3,25210

3225,382251f

fNKixQ

3,2481Q

3,2489

775,122247f

fNKixQ

3

3k33d1

1

1k11d1

=

=

+=

+=

=

=

+=

+=

30

PercentiliPercentili

Pozicija Pozicija percentilapercentila::

Prvi Prvi percentilpercentil PP11: odvaja 1% vrednosti: odvaja 1% vrednosti QQ11 = P= P2525 QQ22 = Me = P= Me = P5050 QQ33 = P= P7575

)1N(100PNP +=

16

31

IzraIzraunavanje unavanje percentilapercentila primer 1primer 1

xx ff ffkkuumm 11 33 33 22 55 88 33 88 1166 44 66 2222 55 44 2266 66 22 2288

ff == 2288

N = 28N = 28PP1010 = (10/100) x (28+1) = (10/100) x (28+1) PP1010 = 0,1 x 29 = 2,9= 0,1 x 29 = 2,9--ta vrednostta vrednostPP1010 = 1= 1

PP9090 = (90/100) x (28+1)= (90/100) x (28+1)PP9090 = 0,9 x 29 = 26,1= 0,9 x 29 = 26,1--ta vrednostta vrednostPP9090 = 6= 6

32



uukkuuppnnoo 5500

N = 50N = 50P10 = (10/100) x (50+1) P10 = (10/100) x (50+1) P10 = 0,1 x 51 = 5.1P10 = 0,1 x 51 = 5.1--ta vrednostta vrednostP10 = 245P10 = 245--246246

17

33



uukkuuppnnoo 5500

xxdd -- donja granica klasnog intervala donja granica klasnog intervala ((xxdd = 245)= 245)KiKi -- irina klasnog intervala irina klasnog intervala ((KiKi = 2)= 2)NNpp -- redni broj vrednosti u skupu kojiredni broj vrednosti u skupu koji

oznaoznaava ava eljeni eljeni percentilpercentil ((NNpp = 5,1)= 5,1)ffkk -- kumuliranakumulirana frekvencija do frekvencija do percentilnogpercentilnog

intervala intervala ((ffkk = 2)= 2)ffpp -- frekvencija frekvencija percentilnogpercentilnog intervala intervala ((ffpp = 5)= 5)

P=246P=246

ffNKixP

P

kPd =

+=

Documents

Mere Centralne Tendencije