12.11.2013

1

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

4.-5. hafta

MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM, VASAT) ÖLÇÜLERİMERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM, VASAT) ÖLÇÜLERİMERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM, VASAT) ÖLÇÜLERİMERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM, VASAT) ÖLÇÜLERİ

Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene

ili şkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını

gösteren ve veri grubunu özetleyen ölçülerdir. Grupların

ölçülecek özellik bakımından yorumlanmasını kolaylaştırır.

MERKEZ İ EĞİLİM ÖLÇÜLER İ

Mod Medyan Aritmetik Ortalama

Ölçülen özellikle ilgili en yüksek frekansa sahip değerdir.

Sıralanmış bir veri grubunun tam ortasındaki değerdir .

Puanların toplanarak kişi sayısına bölünmesiyle bulunur.

12.11.2013

2

ModBir dağılımda en çok tekrarlanan yani en

fazla frekansa sahip değere mod denir. Az sayıda veriye dayalı olarak hesaplandığından yeterince güvenilir bilgi vermez.

ÖRNEK:

2, 16, 20, 20, 20, 80, 80 f=1 f=1 f=3 f=2

Bu sayı dizisinde 20 değeri 3 kez tekrar ettiği için yani frekansı 3 olduğu için, bu dizinin modu 20 dir.

Mod

• Bir frekans dağılımında bütün değerlerin frekansı aynı ise bu frekans dağılımının modu yoktur .

2,2, 4,4, 7,7, 9,9

f=2 f=2 f=2 f=2

12.11.2013

3

Mod• Bir dizi ölçümde ardışık en büyük frekansa sahip iki değerin modu,

bu iki değerin ortalamasınaeşittir.

1,1, 3,3, 5,5,5, 7,7,7, 10, 13, 15

f=2 f=2 f=3 f=3 f=1 f=1 f=1

Bu dizinin modu olur. 62

75 =+

Mod

• Bir dizi ölçümde ardışık olmayan iki değer en fazla frekansa sahipse bu dizinin iki farklı modu vardır .

12,12, 14, 18,18,18, 19, 20,20,20, 25, 32

f=3 f=3

12.11.2013

4

Medyan (Ortanca)• Bir dizi ölçüm büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe

sıralandıktan sonra diziyi tam ortadan ikiye bölen değere medyan (ortanca) denir.

• Medyanın kullanılabilmesi için ölçmenin en az sıralama düzeyinde olması gereklidir.

• Medyan, ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımdaki uç değerlerden ve bu değerlerin sayısal büyüklüklerinden etkilenmez. Bu özelliği, medyanın diğer merkezi eğilim ölçülerinden üstün olan yönüdür.

Medyan (Ortanca)

• Medyanı bulmak için;

• Ölçümde yer alan veri sayısına “n” dersek ve n tek ise,

ortancanın bulunduğu değerdir.

• Örnek: 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 şeklinde sıralı halde verilmiş olan puan dağılımının ortancası,

. değer (yani 6) ortancadır.

2

1+n

42

17 =+

12.11.2013

5

Medyan (Ortanca)

• Medyanı bulmak için;

• Ölçümde yer alan veri sayısına “n” dersek ve n çift ise,

. değer ve . değerlerinin ortalaması ortancadır.

• Örnek: 5, 8, 10, 14, 23, 34 şeklinde sıralı halde verilmiş olan puan dağılımının ortancası,

. değer 10, . değer 14

2

n

32

6 =

12

+n

412

6 =+ 122

1410 =+

Aritmetik Ortalama

• Verilerin tamamının veri sayısına bölünmesi ile elde edilen

değere aritmetik ortalama denir.

• Aritmetik ortalama, ölçme sonuçlarının ağırlık merkezidir.

• Ortanca ve mod değerlerinde olduğu gibi, sadece bir kaç veri

değil, bir dağılımda yer alan tüm ölçme sonuçlarını dikkate

aldığından, dağılım hakkında daha fazla bilgi verir.

• formülüyle hesaplanır.n

XXXX n+++= ....21

12.11.2013

6

AĞIRLIKLI ORTALAMA

• Sınıflandırılmamış bazı veri kümelerinde verilerin önem dereceleri farklı olabilir. Bu farkların etkisi de ağırlık biçiminde hesaplamaya katılarak Ağırlıklı Ortalama elde edilir.

• Ağırlıklı ortalama aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır.

Kredisi Harf Notu Not Değeri Kredi x Not

Matematik 4 BA 3,5 14

Okuma Becerileri 2 BB 3 6

Kimya I 4 CB 2,5 10

Fizik I 4 CC 2 8

Türk Dili I 2 AA 4 8

KREDİ TOP 16 TOPLAM 46

Örnek: Bir öğrencinin bir dönem boyunca aldığı derslere ilişkin ders kredisi ve not değerleri aşağıda verilmektedir.

Ağırlıklı Ort=46/16=2,87

12.11.2013

7

MERKEZİ DAĞILMA ÖLÇÜLERİMERKEZİ DAĞILMA ÖLÇÜLERİMERKEZİ DAĞILMA ÖLÇÜLERİMERKEZİ DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

• Merkezi değişim ölçüleri genellikle merkezi eğilim ölçüleriyle

birlikte yorumlanır ve ölçme sonuçlarının vasat değer etrafında

nasıl yayılım gösterdiğine ilişkin bilgi verir.

• Bir gruptaki öğrencilerin ölçülen özellik bakımından değişimini

görebilmek için kullanılan merkezi değişim ölçüleri ranj (Dizi

genişliği), çeyrek sapma ve standart sapmadır.

Ranj (Dizi Genişliği)• Bir veri grubunda en büyük ölçme sonucu ile en küçük ölçme sonucu

arasındaki farka ranj denir.

• Ranjın değerini, dağılımdaki uç değerler belirler. Ranjın

hesaplanması kolaydır. Ancak sadece dağılımdaki uç değerler

üzerinden hesaplandığı ve dağılımdaki diğer değerleri göz ardı ettiği

için kullanışsız bir ölçüdür.

• Ranj= En büyük ölçüm – En küçük ölçüm

• Merkeze yığılma ölçüsü olarak sadece modun kullanılabildiği

verilerde dağılım ölçüsü olarak da ranj kullanılır.

12.11.2013

8

Ranj (Dizi Genişliği)

ÖRNEK

• 10, 60, 64, 64, 78, 85, 90 en küçük puan en büyük puan

• Ranj , 90 – 10 = 80 olur.

• Bir gruptaki ranjın büyük çıkması grubun heterojenliğini gösterir. Bu da ölçülen özellik bakımından testin ayırtediciliğinin iyi olduğunu gösterir.

• Aynı zamanda testin ayırtediciliğini artırdığı için testin güvenilir olduğunu gösterir.

• Ayırtedicilik için ranj en az testteki soru sayısının yarısı kadar olmalıdır. Örneğin 40 soruluk bir testten ranjın 40/2 = 20’den büyük olması gerekir.

• Örnek

12.11.2013

9

• Örnek

Standart Sapma

• Standart sapma, ölçme sonuçlarına ilişkin dağılımı niteleyen ve dağılımdaki ölçme sonuçlarının yayılımı hakkında bilgi veren bir istatistiktir.

• Standart sapma ne kadar büyük olursa puanların yayılımı o kadar geniş olur. Bu durum aynı zamanda ölçülen özellik açısından grubun heterojen (farklı) yapıya sahip olduğunu gösterir.

12.11.2013

10

Standart sapma hesaplanırken aşağıdaki işlem sırası izlenir:

• Aritmetik ortalama hesaplanır.( )

• Her ölçümün aritmetik ortalamadan farkı alınır. ( )

• Farkların kareleri alınıp toplanır. ( )

• Bulunan toplam öğrenci sayısına bölünerek ölçümlere ait

varyans elde edilir. ( )

• Hesaplanan varyansın karekökü alınır. ( )1

)( 2

−−

= ∑n

XXS i

X

XX i −

∑ − 2)( XX i

1

)( 22

−−

= ∑n

XXS i

Standart Sapmanın Hesaplanması için Örnek Çalışma Tablosu

x x-x (x-x)2

11

13

14

15

19

21

22

25

11 – 17,5 = -6,5

13 – 17,5 = -4,5

14 – 17,5 = -3,5

15 – 17,5 = -2,5

19 – 17,5 = 1,5

21 – 17,5 = 3,5

22 – 17,5 = 4,5

25 – 17,5 = 7,5

42,25

20,25

12,25

6,25

2,25

12,25

20,25

56,25

Toplam 0,00 172

95.418

172 =−

=S

12.11.2013

11

Standart sapmanın büyük olduğu durumlar:

– Ölçme aracının ediciliği yüksektir.

– Grup heterojendir.

– Puanlar arasındaki farklar fazladır.

– Öğrenci puanlarının grup ortalamasından farkı fazladır.

Standart sapmanın küçük olduğu durumlar:

– ölçme aracının ayırt ediciliği düşüktür.

– Grup homojendir.

– Puanlar arasındaki farklar azdır.

– Öğrenci puanlarının grup ortalamasından farkı azdır

12.11.2013

12

Çeyrek Sapma

• Bir puan dizisindeki yüzde 75’lik sıraya denk gelen puan ile yüzde 25’lik sıraya denk gelen puanın farkının yarısına eşittir.

• Çeyrek sapma formülüyle hesaplanır.• Q75 = Yüzde 25’lik değer

• Q25 = Yüzde 25’lik değer

2

2575 QQQ

−=

Çeyrek Sapma (örnek)Çeyrek Sapma (örnek)Çeyrek Sapma (örnek)Çeyrek Sapma (örnek)

3. değer olan 40

9. değer olan 80

Sıra 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Puan 12 20 40 42 47 50 52 63 80 85 87 90

NQ100

2525 =

4

12=

NQ100

7575 =

4

N=

4

3N=

4

12.3=

2

2575 QQQ

−= 202

4080 =−

Öncelikle puanlar küçükten

büyüğe

doğru sıralanır. Sıralanan puanlar

dört parçaya (çeyreklere) ayrılır.

İlk çeyrek ve son çeyrek atıldıktan

sonra geriye kalan puanların en

yükseğinden en düşüğü

çıkarılarak ikiye bölünür. Yani ¼.

Ve ¾. Değerler arasındaki

yarısıdır.

12.11.2013

13