Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif)Fonksiyonu

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif)Fonksiyonu

• Örnek: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilmiştir.

a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır?

b) Olasılık dağılım fonksiyonunu (dağılım fonksiyonu) belirleyiniz.

c) Olasılık dağılım fonksiyonundan hareketle P(0,2<X<0.6) olasılığını bulunuz.

hallerdiger

xxkxf

0

10)1()(


• Çözüm:

• a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olabilmesi için aşağıdaki iki şartın sağlanması gerekir.

• Birinci şart için k katsayısının pozitif olması yeterlidir. Şu halde 2. şartın sağlanması gerekir.

1

0

1)1()20)()1 dxxkxf

.212

11

2

111

21)1()2

1

0

21

0

olurkkkx

xkdxxk


• Bu durumda oyf şöyle yazılır.

• b) Olasılık dağılım fonksiyonu (odf)

hallerdiger

xxxf

0

10)1(2)(

x

duufxXPxF )()()(

2

0

2 22)1(2)( xxuuduuxFx

o

x

11

12

0

)( 2

x

xxx

ox

xF


• c)

.48.0)6.02.0(

36.084.0)6.02.0(

)2.02.02()6.06.02()2.0()6.0()6.02.0( 22

olurxP

xP

FFxP

Dağılım fonksiyonunun özellikleri

• Dağılım fonksiyonu aşağıdaki iki önemli özelliğe sahiptir.

• Teorem 1)

• a) F olasılık dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur.

• x2>x1 olmak üzere F(x2)>F(x1) olur.

• b).olur1)(,0)(Yani.olur1)(0)(

FFxFLimvexFLim

xx

Dağılım fonksiyonunun özellikleri• Teorem 2)

• a) F(x) olasılık dağılım fonksiyonu, f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir rassal değişkenin kümülatif fonksiyonu olsun. Bu durumda her x için;

• ilişkisi vardır.

• b) X, x1<x2<x3… gibi sıralı x1, x2, x3 … değerlerini alabilen kesikli rassal bir değişken olsun.

• F(x), X’in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde;

• f(x1)=P(X=x1)=F(x1), f(x2)=P(X=x2)=F(x2)-F(x1) ve nihayet f(xi)=P(X=xi)=F(xi)-F(xi-1) olur.

dx

xdFxf

)()(

Olasılık Dağılım Fonksiyonu

• Örnek: Bir akaryakıt istasyonuna günün belli bir zaman diliminde 10 dakikada gelen araç sayılarının olasılık dağılım fonksiyonu aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle bu 10 dakikada gelen araç sayılarının olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyiniz.

51

51

49,0

375,0

245,0

125,0

01,0

00

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

xF

Olasılık Dağılım Fonksiyonu

• Çözüm: Olasılık yoğunluk fonksiyonu

50

51,090,000.1

415,075,090,0

33,045,075,0

22,025,045,0

115,010,025,0

01,0

00

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

xf

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif) Fonksiyonu

• Örnek: Aşağıda f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir.

• f(x) in olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için c sınır değeri ne olmalıdır?

• P(X<c/3) olasılığını bulunuz.

• F(x) olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz.

• P(X>3,5) olasılığını bulunuz.

hallerdiger

cxx

xx

xf

0

362

011

)(

İki veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değişkenlerin Dağılımı

• Çoğu zaman belli bir olay üzerinde sadece bir karakteristiğin değil birden çok karakteristiğin aynı anda gözlenmesi ile ilgilenilir. Mesela bir Mamulün kalitesi için sadece boyut değil, bunun yanında sertliği, yüzey düzgünlüğü gibi birden dazla özelliği dikkate alınır. Bir insanın fiziki durumu için sadece uzunluğu değil ağırlığı da birlikte ele alınır.

• Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi bir olayı etkileyen iki ya da daha fazla karakteristiğin ortak etkilerini belirleyebilmek için bileşik olasılık dağılımlarından yararlanılır.


• Örnek Bir para ile yapılan 3 atış deneyinde X: yazı sayısı, Y: ilk iki atışta tura gelme sayısı değişkeni olmak üzere X, Y nin bileşik olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. Bunun için S örnek uzayı, X ve Y nin karşılık gelen değerleri aşağıda verilmiştir.

S TTT TTY TYT YTT TYY YTY YYT YYY

X 0 1 1 1 2 2 2 3

Y 2 2 1 1 1 1 0 0


• Yukarıdaki X ve Y kesikli rassal değişkenlerinin bileşik olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.

Y X

0 1 2 Satır Toplamı

0 0 0 1/8 1/8 X için olasılık fonksiyonu

fx(x)1 0 2/8 1/8 3/8

2 1/8 2/8 0 3/8

3 1/8 0 0 1/8

Sütun Toplamı

2/8 4/8 2/8 1

Y için olasılık fonksiyonu fy(y)


• Tanım: Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu: X ve Y sıralı ikilisi bir S örnek uzayında tanımlanan iki boyutlu kesikli rassal değişkenler olsun. X, Y nin alabileceği değerler (xi,yj) i=1,2,….M ve j=1,2,…,N olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan

• f(xi,yj) = fxy(xi,yj) = P(X=xi, Y=yj)

• Fonksiyonuna X,Y rassal değişkenlerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. f(x i,yj) fonksiyonunun bileşik olasılık fonksiyonu olabilmesi için gerekli şartlar:


• f(xi,yj) fonksiyonunun bileşik olasılık fonksiyonu olabilmesi için gerekli şartlar:

• X,Y kesikli rassal değişkenlerinin bileşik olasılık fonksiyonu yukarıdaki tabloda verilmiştir.

• Bu tablodan X ve Y nin olasılık fonksiyonları elde edilebilir.

M

i

N

jji

ji

yxf

yxf

1 1

.olmalidir1),()2

)icindegerleriy)(x,tum(0),()1

İki veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değişkenlerin Dağılımı (Marjinal fonksiyonlar)• Bir bileşik olasılık fonksiyonundan hareketle diğer

değişkenlerin etkilerinden bağımsız olarak tek bir değişkene ait olasılıkları veren fonksiyona marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. X kesikli rassal değişkeni için marjinal olasılık fonksiyonu şöyle ifade edilir.

• Benzer şekilde Y için marjinal yoğunluk fonksiyonu

N

ii

N

jjiixi

xf

Njyxfxfxf

1

1

1)()2

,....,2,1),()()()1

M

jj

M

ijiixi

xf

Miyxfyfyf

1

1

1)()2

,....,2,1),()()()1

olur.

İki veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değişkenlerin Dağılımı (Marjinal fonksiyonlar)

• Kesikli X,Y değişkenleri bileşik olasılık ve marjinal olasılık fonksiyonları

YX

Y1 Y2 YN Toplam[fx(xi)]

X’in

ma

rjinal o

las

ılık y

oğ

un

luk fo

nk

siyo

nu

X1 f(x1,y1) f(x1,y2) … … … f(x1,yN) fx(x1)

X2 f(x2,y1) f(x2,y2) … … … f(x2,yN) fx(x2)

… … … … … … … …

… … … … … … … …

… … … … … … … …

XM f(xM,y1) f(xM,y2) … … … f(xM,yN) fx(xM)

Toplam [fy(yi)]

fy(y1) fy(y2) … … … fy(yN) 1

Y’nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu


• Örnek: X ve Y takımlarının yaptıkları maçlarda attıkları gol saylarının bileşik olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

• a) X takımının Y ile yaptığı bir maçı kazanma olasılığını bulunuz

• b) Berabere kalma olasılıklarını bulunuz.

• c) Her iki takım için marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.

İki veya Daha Çok Boyutlu Rassal Değişkenlerin Dağılımı (Marjinal

fonksiyonlar)

Y takım

ının attığı gol sayısı

X takımının attığı gol sayısıc fy(yi)

0 1 2 3

0 0,1 0,15 0,1 0,05 0,4

1 0,1 0,1 0,05 0,03 0,28

2 0,05 0,07 0,05 0,04 0,21

3 0 0,02 0,04 0,05 0,11

c)fx(xi) 0,25 0,34 0,24 0,17 1


• a) X takımının kazanma olasılığı:

• P(X>Y) = 0,15+0,1+0,05+0,05+0,03+0,04 P(X>Y) = 0,42

• b) X ile Y nin berabere kalma olasılığı:

• P(X=Y) = 0,1+0,1+0,05+0,05 P(X=Y) = 0,3

İki veya Daha Çok Boyutlu Sürekli Rassal Değişkenlerin Dağılımı

• Tanım: Sürekli rassal değişken: (X,Y) bir Öklit düzleminin bir R bölgesindeki tüm değerleri alan iki boyutlu sürekli bir rassal değişken olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir f fonksiyonuna (X,Y) nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir.

• 2. şart Z=f(x,y) denklemiyle verilen yüzeyin altındaki hacmin 1’e eşit olduğunu ifade eder. f(x,y) R düzlemindeki bütün x,y değerleri için tanımlı olduğu düşünülürse 2. şart

R

dydxyxf

Ryxtümyxf

1),()2

,0),()1

.olur1),( dydxyxf

İki veya Daha Çok Boyutlu Sürekli Rassal Değişkenlerin Dağılımı (Marjinal

fonksiyonlar)• f(x,y) sürekli bileşik olasılık fonksiyonu

verildiğinde X için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır:

• Benzer şekilde Y için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

y

xdyyxfxf ),()(

x

ydxyxfyf ),()(

Marjinal Olasılık Fonksiyonları (Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu)

• Marjinal olasılık dağılım fonksiyonları: Bir rassal değişkenin diğer değişkenlerden bağımsız olarak olasılıklarını veren fonksiyona marjinal yoğunluk fonksiyonu adı verilir.

• X ve Y kesikli rassal değişkenlerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) olmak üzere marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları şöyle yazılır.

x

x yjiiix

i j

yxfxXPxf ),()()(

y

y xjijiy

j i

yxfyYPyf ),()()(

İki veya Daha Çok Boyutlu Sürekli Rassal Değişkenlerin Dağılımı

• Örnek: Aşağıda bir bileşik fonksiyon verilmiştir.

• a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır?

• b) P(X<1; Y>2) olasılığını bulunuz.• c) fx(x) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.• d) fy(y) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.

hallerdiger

yxykxyxf

0

30;20),(

2

Documents

Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli-Kümülatif)Fonksiyonu