ContenidosArtculos

Metalgica 1Teorema de compacidad 2Wilhelm Ackermann 3Teorema de completitud de Gdel 5Teoremas de incompletitud de Gdel 6Teorema de Lwenheim-Skolem 15Numeracin de Gdel 16Alfabeto 19Algoritmo de Thompson 24Autmata celular 26Autmata con pila 31Autmata finito 36Autmata finito determinista 45Autmata finito no determinista 46Autmata linealmente acotado 49Autmata probabilstico 51BNF extendido 53Cadena de caracteres 54Cadena vaca 56Clausura de Kleene 57Concatenacin 58Construccin de conjunto potencia 60Construccin de subconjuntos 60DEVS 65Usuario:Escaldon/Simplificacin de gramticas 66Estado (informtica) 67Expresin regular 68Gramtica (autmata) 77Gramtica de precedencia simple 79Gramtica formal 80Gramtica libre de contexto 85Gramtica libre de contexto probabilstica 89Gramtica regular 91Gramticas sensibles al contexto 92

Jerarqua de Chomsky 93Lema del bombeo 95Lema del bombeo para gramticas independientes del contexto 96Lema del bombeo para lenguajes regulares 96Lenguaje formal 97Lenguaje formalizado 100Lenguaje proposicional 110Lenguaje recursivamente enumerable 117Lenguaje recursivo 118Lenguaje regular 119Lenguaje sensible al contexto 121LRLM 122Metacarcter 123Motor de Anlisis Sintctico 123Mquina abstracta 125Mquina de estados algortmica 126Mquina de Mealy 128Mquina de Moore 129Notacin de Backus-Naur 130Notacin secundaria 133Palabra (matemticas) 133Perl Compatible Regular Expressions 136Sistema determinista 137Sistema-L 139Tabla de transicin de estados 143Teora de autmatas 146Transductor de estados finitos 149Trie 151rbol de sintaxis abstracta 154Conectiva lgica 156Lgica cuntica 163Deduccin natural 167Lgica por defecto 170Lgica difusa 170El mundo de Tarski 175Frmula bien formada 177Lgica intensional 178Lgica intuicionista 179

Lgica libre 179Lgica modal 180Lgica no monotnica 186Lgica paraconsistente 188Lgica plurivalente 190Lgica de primer orden 192Clculo proposicional de Frege 202Lgica proposicional 214Lgica relevante 224Lgica retractable 225Lgica de segundo orden 226Sistema deductivo 228Lgica matemtica 228Aritmtica de Heyting 235Aritmtica no estndar 236Asercin lgica 237Association for Symbolic Logic 238Axioma 239Clculo lgico 242Concepto primitivo 261Constructivismo (matemticas) 262Contradiccin 263Dcimo problema de Hilbert 264Definicin (matemtica) 270Demostracin de consistencia 273Enumeracin 275Equisatisfactibilidad 275Equivalencia lgica 276Forma prenexa 278Funcin beta de Gdel 280Funcin indicatriz 281Fundamentos de la matemtica 283Igualdad matemtica 296Independencia (lgica matemtica) 298Induccin estructural 299Intuicionismo 301Jerarqua analtica 302Jerarqua aritmtica 303

Juicio sinttico a priori 306Lema de Rasiowa-Sikorski 307Leyes de De Morgan 308Lgica binaria 313Mquina orculo 317Nmero hiperreal 318Nmero de Dedekind 325Nmero surreal 328Operador 329Postulado 332Problema de satisfacibilidad booleana 333Problema indecidible 336Demostracin matemtica 336Recursin (ciencias de computacin) 347Semntica 359Semntica formal 361Sin prdida de generalidad 361Sistema axiomtico 362Sistema B,C,K,W 365Sistema formal 366Teora (lgica) 370Teora de tipos 373Verificacin de modelos 373rbol semntico 374Axioma de eleccin 378Axioma de eleccin dependiente 383Axioma de extensionalidad 384Axioma del infinito 385Axioma del par 386Axioma del conjunto potencia 387Esquema axiomtico de reemplazo 388Axioma de regularidad 389Axioma de unin 390Axioma del conjunto vaco 391

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo 392Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 397

Licencias de artculosLicencia 400

Metalgica 1

MetalgicaLa metalgica es el estudio de las propiedades y los componentes de los sistemas lgicos.

Propiedades metalgicasMientras la lgica matemtica se encarga, entre otras cosas, de construir sistemas lgicos, la metalgica se ocupa deestudiar las propiedades de dichos sistemas. Las propiedades ms importantes que se pueden demostrar de lossistemas lgicos son:

ConsistenciaUn sistema lgico tiene la propiedad de ser consistente cuando no es posible deducir una contradiccin dentro delsistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posiblededucir una frmula y su negacin. La existencia de un modelo implica que una teora lgica es consistente.

DecidibilidadSe dice de un sistema lgico que es decidible cuando, para cualquier frmula dada en el lenguaje de un sistema conaxiomas y reglas de inferencia, existe un mtodo efectivo para determinar si esa frmula pertenece o no al conjuntode los teoremas del sistema. Cuando una frmula no puede ser probada como teorema, y tampoco su negacin, sedice que la frmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La nica manera de incorporaruna frmula independiente a los teoremas del sistema es postulndola como axioma. Dos ejemplos muy importantesde frmulas independientes son el axioma de eleccin en la teora de conjuntos, y el quinto postulado de la geometraeuclidiana.

CompletitudSe habla de completitud en varios sentidos, pero quizs los dos ms importantes sean los de completitud semntica ycompletitud sintctica. Un sistema S en un lenguaje L es semnticamente completo cuando todas las verdadeslgicas de L son teoremas de S. En cambio, un sistema S es sintcticamente completo si, para toda frmula A dellenguaje del sistema, A es un teorema de S o A es un teorema de S. Esto es, existe una prueba para cada frmula opara su negacin. La lgica proposicional y la lgica de primer orden son ambas semnticamente completas, pero nosintcticamente completas. Por ejemplo, ntese que en la lgica proposicional, la frmula p no es un teorema, ytampoco lo es su negacin, de modo que eso basta para mostrar que no es sintcticamente completa. No obstante,como ninguna de esas dos frmulas es una verdad lgica, no afectan a la completitud semntica del sistema. Elsegundo teorema de incompletitud de Gdel demuestra que ningn sistema (definido recursivamente) con ciertopoder expresivo puede ser a la vez consistente y semnticamente completo.

CompacidadLa lgica proposicional como la lgica de primer orden satisfacen el teorema de compacidad. Es decir, si de unconjunto de proposiciones se sigue una consecuencia entonces existe un subconjunto finito de proposiciones de lascuales se sigue la misma conclusin. Analogamente si cada conjunto finito de proposiciones de un conjunto admiteun modelo, entonces el conjunto completo admite un modelo. Si bien la lgica de primer orden tiene compacidad enel sentido previamente explicado otras lgicas "ms potentes" como la lgica de segundo orden no tienen lapropiedad e compacidad.

Metalgica 2

Resultados metalgicos importantesAlgunos de los resultados ms importantes obtenidos en metalgica son: Teorema de Lwenheim-Skolem (Leopold Lwenheim 1915 y Thoralf Skolem 1919) Demostracin de la consistencia de la lgica proposicional veritativo-funcional (Emil Post 1920) Demostracin de la completitud semntica de la lgica proposicional veritativo-funcional (Paul Bernays 1918,

Emil Post 1920) Demostracin de la decidibilidad de la lgica proposicional veritativo funcional (Emil Post 1920) Demostracin de la consistencia de la lgica de primer orden mondica (Leopold Lwenheim 1915) Demostracin de la completitud semntica de la lgica de primer orden mondica (Leopold Lwenheim 1915) Demostracin de la decidibilidad de la lgica de primer orden mondica (Leopold Lwenheim 1915) Demostracin de la consistencia de la lgica de primer orden (David Hilbert y Wilhelm Ackermann 1928) Demostracin de la completitud semntica de la lgica de primer orden (Teorema de completitud de Gdel 1930) Demostracin de la indecibilidad de la lgica de primer orden (Entscheidungsproblem, Alonzo Church 1936 y

Alan Turing 1936) Teoremas de incompletitud de Gdel 1931

Notas y referencias

Teorema de compacidadEn lgica matemtica, el teorema de compacidad establece que un conjunto (posiblemente infinito) de frmulasbien formadas de la lgica de primer orden tiene un modelo si todos sus subconjuntos finitos tienen un modelo. Esdecir, para todo conjunto de frmulas de un lenguaje L, si todo subconjunto finito de es satisfacible, entonces

es satisfacible.

Enunciado del teoremaSi es un conjunto de enunciados finitamente satisfacible, entonces tiene un modelo de cardinal menor o igualque .Una formulacin alternativa es: los distintos lenguajes lgicos permiten relaciones de consecuencia lgica entreconjuntos infinitos de oraciones. Una relacin de consecuencia lgica es compacta justo cuando es unaconsecuencia lgica de un conjunto de enunciados , slo si es una consecuencia lgica de un subconjuntofinito de :Si entonces hay un subconjunto finito tal que La relacin de consecuencia lgica para lenguajes de primer orden es compacta.El teorema de compacidad para el clculo proposicional es un resultado del teorema de Tychonoff (el cual dice queel producto de espacios compactos es compacto) aplicado a espacios de Stone compactos; de ah el nombre delteorema. Juega un papel importante en la demostracin del Teorema de Lwenheim-Skolem ascendente.Hay una generalizacin de compacidad para lenguajes de orden ms alto que los lenguajes de primer orden.

Wilhelm Ackermann 3

Wilhelm Ackermann

Wilhelm Ackermann

Wilhelm Ackermann (29 de marzo 1896 - 24 de diciembre 1962) fueun matemtico alemn. Es conocido, sobre todo, por la funcin deAckermann nombrada en su honor, un ejemplo importante en la teorade la computacin.

Ackermann naci el 29 de marzo de 1896 en Schnebecke (queperteneca al distrito de Altena y ahora forma parte del municipio deHerscheid) (Alemania). Se doctor en 1925 con su tesis Begrndungdes "tertium non datur" mittels der Hilbertschen Theorie derWiderspruchsfreiheit, que fue una prueba de consistencia de laaritmtica sin induccin. Desde 1928 hasta 1948 fue profesor en elinstituto Arnoldinum en Burgsteinfurt, y desde entonces hasta 1961ense en Ldenscheid. Adems, fue miembro de la Akademie derWissenschaften (Academia de las Ciencias) en Gttingen, as comoprofesor honorfico de la Universidad de Mnster en Westfalia.

Escribi Grundzge der Theoretischen Logik (Fundamentos de lalgica terica) junto con David Hilbert, enfrentndose alEntscheidungsproblem (problema de decisin) tambin construy las pruebas de la consistencia para la teoradeterminada ( 1937 ), la aritmtica completa ( 1940 ), la lgica tipo-libre ( 1952 ) y una nueva axiomatizacin de lateora determinada ( 1956 ). Escribi el libro los casos solubles del problema de la decisin (Holanda del norte, 1954).El fue un matemtico destacado de ese siglo .

Wilhelm Ackermann muri en Ldenscheid (Alemania) el 24 de diciembre de 1962.

Obra Die Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms [1], 1924, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu

Gttingen, Vol. 1924: 246-250 [2]

Begrndung des, ,tertium non datur" mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit [3], 1925,Mathematische Ann. Vol. 93: 1-36 [4]

Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen [5], 1928, Mathematische Ann. Vol. 99: 118-133 [6]

ber die Erfllbarkeit gewisser Zhlausdrcke [7], 1928, Mathematische Ann. Vol. 100: 638-649 [8]

Untersuchungen ber das Eliminationsproblem der mathematischen Logik [9], 1935, Mathematische Ann. Vol.110: 390-413 [10]

Zum Eliminationsproblem der mathematischen Logik [11], 1935, Mathematische Ann. Vol. 111: 61-63 [12]

Beitrge zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik [13], 1936, Mathematische Ann. Vol. 112:419-432 [14]

Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre [15], 1936, Mathematische Ann. Vol. 114 (1937):305-315 [16]

Mengentheoretische Begrndung der Logik [17], 1938, Mathematische Ann. Vol. 115: 1-22 [18]

Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie [19], 1940/1941, Mathematische Ann. Vol. 117: 162-194 [20]

Ein System der typenfreien Logik. Vol. I, Leipzig 1941 Konstruktiver Aufbau eines Abschnitts der zweiten Cantorschen Zahlenklasse [21], 1951, Mathematische

Zeitschrift, Vol. 53 ( 5): 403-413 [22]

Zur Axiomatik der Mengenlehre [23], 1955, Mathematische Ann. Vol. 131 (1956): 336-345 [24]

Widerspruchsfreier Aufbau einer typenfreien Logik. [25],1951/52, Mathematische Zeitschrift, Vol. 55: 364-384 [26]

Wilhelm Ackermann 4

Widerspruchsfreier Aufbau einer typenfreien Logik. II. [27],1953, Mathematische Zeitschrift, Vol. 57: 155-166 [28]

Philosophische Bemerkungen zur mathematischen Logik und zur mathematischen Grundlagenforschung. In:'Ratio 1, 1957.

Ein typenfreies System der Logik mit ausreichender mathematischer Anwendungsfhigkeit I. [29], 1958, Archiv frmathematische Logik und Grundlagenforschung, Vol. 4: 3-26 [30]

Ein typenfreies System der Logik mit ausreichender mathematischer Anwendungsfhigkeit II. [31], 1960/61,Archiv fr mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vol. 5: 96-111 [32]

Literatura Gottwald, Ilgauds, Schlote. Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990. pp. 12 f Constance Reid. Hilbert, Springer 1970, pp. 173 Dieter Remus. Professor Wilhelm Ackermann, Lehrer am Arnoldinum und Forscher in der Mathematik. In: 400

Jahre Arnoldinum 1588-1988. Festschrift. Greven 1988, pp. 211-219 Hans Hermes. In memoriam WILHELM ACKERMANN 1896-1962. Notre Dame Journal of Formal Logic 8 (1967)

1-8 incluye lista de publicaciones, Weblink.

Enlaces externos O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Biografa deWilhelm Ackermann [33] (en ingls), MacTutor History

of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews. Hermes, In memoriam (pdf 945 KB) [34]

Biografa [35]

Referencias[1] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=63930[2] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN252457811_1924[3] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=29278[4] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0093[5] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=29309[6] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0099[7] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=29378[8] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0100[9] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=37907[10] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0110[11] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=37939[12] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0111[13] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=37339[14] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0112[15] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=38017[16] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0114[17] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=38049[18] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0115[19] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=37625[20] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0117[21] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=18278[22] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN266833020_0053[23] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=59988[24] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN235181684_0131[25] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=157438[26] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN266833020_0055[27] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=157496[28] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN266833020_0057

Wilhelm Ackermann 5

[29] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=232112[30] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN379931524_0004[31] http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ dms/ load/ img/ ?IDDOC=232144[32] http:/ / www-gdz. sub. uni-goettingen. de/ cgi-bin/ digbib. cgi?PPN379931524_0005[33] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Ackermann. html[34] http:/ / projecteuclid. org/ DPubS/ Repository/ 1. 0/ Disseminate?view=body& id=pdf_1& handle=euclid. ndjfl/ 1093956238[35] http:/ / www. stetson. edu/ ~efriedma/ periodictable/ html/ Ac. html

Teorema de completitud de GdelEl teorema de completitud de Gdel es un importante teorema de la lgica matemtica, que fue demostrado porprimera vez por Kurt Gdel en 1929 y que en su forma ms conocida establece lo siguiente:

En una lgica de primer orden, toda frmula que es vlida en un sentido lgico es demostrable.Kurt Gdel

La palabra "demostrable" significa que existe una deduccin formal de la frmula. La deduccin consiste en una listafinita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante unabsica regla de inferencia. A partir de dicha deduccin, es posible verificar si cada uno de los pasos es correctomediante un algoritmo (por ejemplo mediante una computadora, o a mano).Una frmula es lgicamente vlida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la frmula. Paraexpresar de manera formal el teorema de completitud de Gdel, se debe definir el significado de la palabra modeloen este contexto. Esta es una definicin bsica en la teora de modelos.

DemostracionesPara una explicacin de la demostracin original de Gdel del teorema, ver Demostracin original del teorema decompletitud de Gdel.En los libros de lgica modernos, el teorema de completitud de Gdel es por lo general demostrado mediante lademostracin de Henkin, aunque a veces tambin se utiliza la demostracin de Herbrand, en lugar de lademostracin original de Gdel.

Referencias

Bibliografa Kurt Gdel, "ber die Vollstndigkeit des Logikkalkls", tesis doctoral, University Of Vienna, 1929. Esta tesis es

la fuente original de la demostracin del teorema de completitud. Kurt Gdel, "Die Vollstndigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalkls", Monatshefte fr Mathematik

und Physik 37 (1930), 349-360. Este artculo contiene el mismo material que la tesis doctoral en una formaabreviada. Las demostraciones son ms cortas, las explicaciones ms suscintas, y se ha omitido la extensaintroduccin.

Enlaces externos Vilnis Detlovs and Karlis Podnieks, "Introduction to mathematical logic", http:/ / www. ltn. lv/ ~podnieks/

Teoremas de incompletitud de Gdel 6

Teoremas de incompletitud de Gdel

Kurt Gdel a los 19 aos de edad, cinco aos antes de lademostracin de los teoremas.

Los teoremas de incompletitud de Gdel son dosclebres teoremas de lgica matemtica demostradospor Kurt Gdel en 1931. Ambos estn relacionados conla existencia de proposiciones indecidibles en ciertasteoras aritmticas.

El primer teorema de incompletitud afirma que, bajociertas condiciones, ninguna teora matemtica formalcapaz de describir los nmeros naturales y la aritmticacon suficiente expresividad, es a la vez consistente ycompleta. Es decir, si los axiomas de dicha teora no secontradicen entre s, entonces existen enunciados queno pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. Enparticular, la conclusin del teorema se aplica siempreque la teora aritmtica en cuestin sea recursiva, estoes, una teora en la que el proceso de deduccin puedallevarse a cabo mediante un algoritmo.

La prueba del teorema es totalmente explcita y en ellase construye una frmula, denotada habitualmente G enhonor a Gdel, para la que dada una demostracin de lamisma, puede construirse una refutacin, y viceversa.Sin embargo, la interpretacin natural de dichasentencia en trminos de nmeros naturales esverdadera.[1]

El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidiblesde dicha teora es aquella que afirma la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas encuestin es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.Los teoremas de incompletitud de Gdel son uno de los grandes avances de la lgica matemtica, y supusieronsegn la mayora de la comunidad matemtica una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert.

ContextoLos teoremas de incompletitud de Gdel establecen ciertas limitaciones sobre lo que es posible demostrar medianteun razonamiento matemtico. Para hablar con precisin sobre qu puede demostrarse o no, se estudia un modelomatemtico denominado teora formal. Una teora formal consta de una serie de signos y un conjunto de reglas paramanipularlos y combinarlos. Mediante estas reglas se pueden distinguir ciertas colecciones de signos como frmulas,y ciertas sucesiones de frmulas como demostraciones. Los teoremas de una cierta teora son entonces todas lasfrmulas que puedan demostrarse a partir de una cierta coleccin inicial de frmulas que se asuman como axiomas.A una teora formal se le pueden adjudicar ciertas propiedades en funcin de lo que sea capaz de demostrar. Una teora consistente no contiene contradicciones, es decir, no es posible demostrar a la vez una frmula y su

contraria. Una teora que no sea consistente no tiene utilidad: debido al principio de explosin, a partir de unacontradiccin pueden demostrarse todas sus frmulas, y no sirve para modelizar razonamientos matemticos.

Una teora completa responde cualquier pregunta, en el sentido de que para cada una de sus frmulas o bien es demostrable, o bien existe una demostracin de su contraria (es refutable). Una teora completa es ptima, y se

Teoremas de incompletitud de Gdel 7

corresponde con la intuicin sobre la verdad lgica: al igual que toda sentencia debe ser verdadera o falsa, en unateora completa toda frmula es demostrable o refutable.

Sin embargo, el primer teorema de incompletitud establece que, bajo ciertas hiptesis, una teora formal no puedetener ambas propiedades a la vez. La primera de ellas es que sea una teora aritmtica, es decir, que sus smbolossirvan para describir los nmeros naturales y sus operaciones y relaciones; y que sea capaz de demostrar algunaspropiedades bsicas sobre ellos. La segunda hiptesis es que sea una teora recursiva, lo cual significa que las reglaspara manipular sus signos y frmulas en las demostraciones han de poder ejecutarse mediante un algoritmo: unaserie precisa de pasos sin ambigedad que pueda llevarse a cabo en un tiempo finito, e incluso implementarsemediante un programa informtico.

Primer teoremaEl enunciado del primer teorema reza:

Primer teorema de incompletitud de Gdel

Cualquier teora aritmtica recursiva que sea consistente es incompleta.La demostracin de este teorema pasa por construir una cierta frmula, la sentencia de Gdel G, que no puede serprobada ni refutada en T: ni G ni G (la negacin de G) son teoremas de T. Se dice entonces que G y G sonindecidibles o independientes en T.Para llegar a esta, Gdel desarroll un mtodo para codificar signos y frmulas mediante nmeros, llamadonumeracin de Gdel. Usando esta numeracin, es posible traducir las propiedades de una teora formal T, talescomo estos signos constituyen una frmula o estas frmulas no son una demostracin en T, a propiedadesaritmticas de dichos nmeros. En particular, la sentencia de Gdel G es una frmula aritmtica cuyo significado esno existe una demostracin de G en la teora T, o en otras palabras, no soy demostrable en la teora T.

ConsecuenciasLa sentencia de Gdel G no es demostrable pero es cierta, pues afirma precisamente su propia indemostrabilidad.[2]

Esto significa que ninguna teora aritmtica en las condiciones del teorema es capaz de demostrar todos losenunciados verdaderos de la aritmtica.Adems, aunque G sea falsa (por afirmar lo contrario que G) no es refutable (puesto G es indemostrable). Estasentencia puede tomarse como axioma si se desea y esto no produce una contradiccin. La teora resultante contienemuchos de los enunciados verdaderos sobre los nmeros naturales y algunos falsos, empezando por G. Los objetosdescritos por una teora as forman un modelo no estndar de la aritmtica.[3]

Tomando G (o su contraria) como axioma se obtiene una nueva teora T' en la que G (o su contraria) es demostrableautomticamente. Sin embargo esto no invalida el teorema, puesto que G afirma su indemostrabilidad relativa a lateora T. La nueva teora T' es tambin incompleta: puede encontrarse una nueva sentencia independiente G', queafirma no soy demostrable en T'.En definitiva, en una teora formal que sea consistente y completa debe fallar alguna de las hiptesis: o bien no esrecursiva y no hay un algoritmo para distinguir los axiomas del resto de frmulas; o bien no son aritmticas, y noincluyen las propiedades bsicas necesarias de los nmeros naturales. Por ejemplo, en la demostracin del teoremade completitud semntica se utilizan teoras consistentes y completas que no son recursivas.[4] Por otro lado, laaritmtica de Presburger es una coleccin de axiomas sobre los nmeros naturales que omite varias de suspropiedades, hasta el punto de que una teora basada en ellos puede ser consistente y completa.[5]

Teoremas de incompletitud de Gdel 8

Segundo teoremaEl segundo teorema de incompletitud muestra otro ejemplo explcito de una frmula que ninguna teora aritmticapuede demostrar, adems de G. De nuevo, usando la numeracin de Gdel, puede encontrarse una frmula, denotadaConsis T, cuyo significado es no puede encontrarse una contradiccin en T, o en otras palabras, T es consistente.

Segundo teorema de incompletitud de Gdel

En toda teora aritmtica recursiva consistente T, la frmula Consis T no es un teorema.La demostracin del segundo teorema requiere traducir el primero a una frmula. El primer teorema afirma, entreotras cosas, que si T es consistente, entonces G no es demostrable. La frmula que afirma la consistencia de T esConsis T, mientras que la frmula que afirma la indemostrabilidad de G es la propia G. La frmula que traduce elprimer teorema (una parte de l) es Consis T G, donde significa implicacin. Gdel demostr que estafrmula es un teorema,[6] y que por lo tanto Consis T no es un teorema: si lo fuera, de las reglas bsicas de T comoteora formal se deducira que G es demostrable, en contradiccin con el enunciado del primer teorema deincompletitud.

ConsecuenciasEl segundo teorema de incompletitud limita las posibilidades de demostrar la consistencia de una teora formal T,puesto que no puede hacerse utilizando nicamente la propia T. Adems, si se encuentra una teora ms fuerte T' enla que Consis T pueda demostrarse, la propia consistencia de T' no podr demostrarse en T' ni tampoco en T. Por ello,el segundo teorema se considera una respuesta negativa al llamado programa de Hilbert, que propona demostrar lacorreccin de los razonamientos matemticos basados en objetos infinitos usando tan solo razonamientos basados enobjetos finitos, menos potentes que los primeros.

Enunciados indecidiblesEl primer teorema de indecibilidad de Gdel demuestra la existencia de enunciados indecidibles o independientes enla aritmtica de Peano, y tanto el primero como el segundo muestran ejemplos concretos de enunciados indecidibles.Desde entonces se han encontrado otros ejemplos de enunciados independientes de los axiomas de Peano, como porejemplo el teorema de Ramsey fuerte. Existen adems numerosos ejemplos de enunciados independientes en otrasteoras formales ms fuertes que la aritmtica, como la hiptesis del continuo o el axioma de eleccin en teora deconjuntos; o incluso en teoras no directamente relacionadas con la aritmtica, como en el caso de la geometraeucldea y el postulado de las paralelas.

Discusin e implicacionesLos resultados de incompletitud afectan a la filosofa de las matemticas, particularmente a los puntos de vista talescomo el formalismo, que usa la lgica formal para definir sus principios. Se puede parafrasear el primer teoremadiciendo "nunca se podr encontrar un sistema axiomtico que sea capaz de demostrar todas las verdadesmatemticas y ninguna falsedad."Por otra parte, desde una perspectiva estrictamente formalista esta parfrasis se considerara sin significado porquepresupone que la verdad y falsedad matemticas estn bien definidas en un sentido absoluto, en lugar de serrelativas a cada sistema formalLa siguiente reformulacin del segundo teorema es todava ms inquietante para los fundamentos de lasmatemticas:

Si se puede demostrar que un sistema axiomtico es consistente a partir de s mismo, entonces esinconsistente.

Teoremas de incompletitud de Gdel 9

Por tanto, para establecer la consistencia de un sistema se necesita utilizar otro sistema , pero una prueba enno es totalmente convincente a menos que la consistencia de ya se haya probado sin emplear . La

consistencia de los axiomas de Peano para los nmeros naturales por ejemplo se puede demostrar en la teora deconjuntos, pero no en la teora de los nmeros naturales por s sola. Esto proporciona una respuesta negativa alproblema nmero dos de la famosa lista de cuestiones abiertas importantes en matemticas de David Hilbert(llamada problemas de Hilbert).En principio, los teoremas de Gdel todava dejan alguna esperanza: podra ser posible producir un algoritmo generalque para una afirmacin dada determine si es indecidible o no, permitiendo a los matemticos evitar completamentelos problemas indecidibles. Sin embargo, la respuesta negativa al Entscheidungsproblem demuestra que no existe talalgoritmo.Es de notar que los teoremas de Gdel slo son aplicables a sistemas axiomticos suficientemente fuertes. Estetrmino significa que la teora contiene la suficiente aritmtica para llevar a cabo las instrucciones de codificacinrequeridas por la prueba del primer teorema de incompletud. Esencialmente, todo lo que se exige son algunos hechosbsicos sobre la adicin y la multiplicacin tal y como por ejemplo se formalizan en la aritmtica Q de Robinson.Hay sistemas axiomticos incluso ms dbiles que son consistentes y completos, por ejemplo la aritmtica dePresburger que demuestra todas las afirmaciones de primer orden ciertas aplicando slo la suma.El sistema axiomtico puede consistir en un nmero infinito de axiomas (tal y como hace la aritmtica de primerorden de Peano), pero para poder aplicarse el teorema de Gdel debe haber un algoritmo efectivo que sea capaz averificar la correccin de las pruebas. Por ejemplo, el conjunto de todas las declaraciones de primer orden que sonciertas en el modelo estndar de los nmeros naturales es completo. El teorema de Gdel no se puede aplicar porqueno hay ningn procedimiento efectivo que decide si una cierta declaracin es un axioma. De hecho, que esto sea ases una consecuencia del primer teorema de incompletud de Gdel.Otro ejemplo de una especificacin de una teora en la que el primer teorema de Gdel no es aplicable se puedeconstruir de la siguiente manera: ordenemos todas las posibles declaraciones sobre los nmeros naturales primeropor su longitud y luego en orden lexicogrfico; comencemos con un sistema axiomtico inicialmente igual a losaxiomas de Peano, repasemos la lista de declaraciones una a una, y, si la declaracin actual no se puede demostrar nirefutar a partir del actual sistema de axiomas, entonces aadmosla a la lista. Esto crea un sistema que es completo,consistente y suficientemente potente, pero no recursivamente enumerable.El propio Gdel slo demostr una versin de los teoremas arriba expuestos que es tcnicamente un poco ms dbil;la primera demostracin de las versiones descritas arriba fue dada por J. Barkley Rosser en 1936.En esencia, la prueba del primer teorema consiste en construir una declaracin dentro de un sistema formalaxiomtico al que se le puede dar la siguiente interpretacin meta matemtica:

Esta declaracin no se puede probar.Como tal, puede verse como una versin moderna de la paradoja del mentiroso. Al contrario de la declaracin delmentiroso, no se refiere directamente a s mismo; la interpretacin de arriba slo se puede "ver" desde fuera delsistema formal.En un trabajo publicado en 1957 en Journal of Symbolic Logic, Raymond Smullyan mostr que los resultados deincompletitud de Gdel pueden obtenerse para sistemas mucho ms elementales que los considerados por Gdel.Smullyan tambin ha reivindicado las pruebas ms simples con el mismo alcance, basadas en los trabajos de AlfredTarski sobre el concepto de verdad en los sistemas formales. Ms simples, pero no menos perturbadorasfilosficamente. Smullyan no ha plasmado sus reflexiones sobre incompletitud slo en obras tcnicas; tambin haninspirado clebres libros de divulgacin como Cmo se llama este libro?.Si el sistema axiomtico es consistente, la prueba de Gdel muestra que (y su negacin) no se pueden demostrar en el sistema. Por tanto es cierto ( afirma no ser demostrable y no lo es) y, sin embargo, no se puede probar formalmente en el sistema. Fjese que aadir a los axiomas del sistema no resolvera el problema: habra otra

Teoremas de incompletitud de Gdel 10

sentencia de Gdel para la teora ampliada.Roger Penrose afirma que esta (presunta) diferencia entre lo que se puede probar mecnicamente y lo que loshumanos pueden ver como cierto muestra que la inteligencia humana no es mecnica en su naturaleza. Tambin JohnR. Lucas se ha ocupado de est cuestin en Mentes, Mquinas y Gdel.Esta perspectiva no est ampliamente aceptada, porque tal y como lo plantea Marvin Minsky, la inteligencia humanaes capaz de errar y de comprender declaraciones que son en realidad inconsistentes o falsas. Sin embargo, Minsky hainformado de que Kurt Gdel le dijo a l en persona que l crea que los seres humanos tienen una forma intuitiva,no solamente computacional, de llegar a la verdad y por tanto su teorema no limita lo que puede llegar a ser sabidocomo cierto por los humanos.Vanse Refutaciones a la interpretacin de Penrose en los Enlaces en Ingls de la seccin Enlaces externos yreferencias

La posicin de que el teorema muestra que los humanos tienen una habilidad que transciende la lgica formaltambin se puede criticar de la siguiente manera: No sabemos si la sentencia es cierta o no, porque no sabemos (nipodemos saber) si el sistema es consistente. De modo que en realidad no sabemos ninguna verdad que est fuera delsistema. Todo lo que sabemos es lo siguiente:

O es indemostrable dentro del sistema, o el sistema es inconsistente.Esta declaracin es fcilmente demostrable dentro del sistema.Otra implicacin es que el trabajo de Gdel motiv a Alan Turing (1912-1954) a estudiar qu funciones eransusceptibles de poder ser calculadas y cules no. Para ello se sirvi de su Mquina de Turing, una mquina depropsito general mediante la que formaliz las funciones y procedimientos de clculo. Demostrando que existanfunciones que no son posibles de calcular mediante la Mquina de Turing. El paradigma de este conjunto defunciones lo representa la funcin que establece "si dada una Mquina de Turing, sta produce un resultado o, por elcontrario, se queda calculando indefinidamente". Esta funcin, conocida con el nombre de Problema de parada(Halting Problem), ser pieza fundamental para demostrar la incomputabilidad de ciertas funciones.

Demostracin de los teoremasLa demostracin de los teoremas de incompletitud se basa en tres conceptos:1. La numeracin de Gdel, que permite traducir las teoras formales a operaciones de aritmtica pura.2.2. La potencia expresiva de las teoras formales aritmticas, cuyas expresiones recogen dichas operaciones.3. El lema diagonal, que permite que las frmulas sean autorreferentes.El enunciado original debido a Gdel, cuya demostracin se esboza en esta seccin, es ms dbil que el presentadoarriba, ya que en lugar de la consistencia de la teora T se exige una propiedad ms fuerte, la -consistencia.

Una teora aritmtica es -inconsistente si, para alguno de sus teoremas formales de la forma x, (x), puederefutarse cualquier caso particular, esto es, puede probarse ([n]), para cada numeral [n]. Una teora que noes -inconsistente se dice -consistente.

(Los numerales [n] son los smbolos que utilice el lenguaje de la teora para especificar los nmeros naturalesconcretos. En el ejemplo de la aritmtica de Peano en la seccin siguiente, los numerales son los smbolos dados por:[0] 0, [1] S0, [2] SS0, etc.) La -consistencia implica la consistencia (pero no al revs). El enunciado fuerte,en el que slo se requiere la consistencia de la teora fue probado por J. B. Rosser mediante un mtodo muy similar.

Teoremas de incompletitud de Gdel 11

Numeracin de GdelLa numeracin de Gdel es una herramienta que permite relacionar las teoras formales con la aritmtica. El lenguajede una teora formal de primer orden est compuesto por una cantidad a lo sumo numerable de signos, como porejemplo:

, , , |, =, x , y , z , ... , 0 , + , , Sen el caso del lenguaje de la aritmtica de Peano, donde adems de los smbolos lgicos y las variables, aparecenalgunos smbolos adicionales para la arimtica (donde S es el smbolo para denotar el nmero siguiente a).Tambin el conjunto de todas las cadenas (sucesiones finitas de signos) es numerable, as como el conjunto de lassucesiones finitas de cadenas.Una numeracin de Gdel es una asignacin de un nico nmero natural para cada elemento de cada uno de estostres conjuntos: signos, cadenas de signos y sucesiones de cadenas.

Ejemplo

Una posible codificacin para los signos, cadenas y sucesiones de cadenas es la siguiente. Para los signos se adopta: 10 , 11 , 12 , | 13 , = 14 , 0 15 ,S 16 , + 17 , 18 , x 20 , y 2000 , z 200000 , ...

Dada una cadena de signos, se adopta el criterio de apilar los nmeros de Gdel de sus signos, con un 77 inicial paraindicar que se trata de una cadena:

x + [5] = 0 se torna en: 77-20-17-16-16-16-16-16-15-14-15, es decir, en 7720171616161616151415Para una sucesin de cadenas de signos, puede adoptarse un convenio similar, con un 88 inicial, para indicar que se trata deuna sucesin:

La sucesin 0 = 1, y + 1 = 0 se convierte en: 88-77-15-14-16-15-77-2000-17-16-15-14-15, es decir en:8877151416157720001716151415

Puesto que la manipulacin de estos signos, cadenas y sucesiones puede traducirse en manipulacin de unos ciertosnmeros, tanto la sintaxis que distingue las cadenas de signos con sentido las frmulas como el clculodeductivo que distingue las sucesiones de cadenas que demuestran algo las demostraciones se ven traducidasa operaciones aritmticas. Es decir, existen una serie de relaciones y funciones aritmticas que se corresponden conlas reglas sintcticas y del clculo deductivo, como por ejemplo:

Sig x : x es (el nmero de Gdel de) un signoCad x : x es (el nmero de Gdel de) una cadena (de signos)(Se omite el nmero de Gdel de en adelante)Suc x : x es una sucesin (de cadenas)Form x : la cadena x es una frmulaAx x : la frmula x es un axiomaCons(x, y, z): x es una frmula consecuencia inmediata de las frmulas y y zDem(x, y): la sucesin x es una demostracin de la frmula y

La forma precisa de estas funciones y relaciones es laboriosa y depende del criterio que se haya escogido paraefectuar la numeracin de Gdel. En particular la relacin Ax x ha de construirse teniendo en cuenta un ciertoconjunto de axiomas concreto, luego la relacin Dem hace referencia a una teora concreta que no se ha especificado.

Ejemplo

Teoremas de incompletitud de Gdel 12

Es sencillo entender ahora cmo deben definirse algunas de estas relaciones segn la numeracin de Gdelmostrada antes:

Sig x x est entre 10 y 18 (ambos inclusive), o es de la forma 20100i (con i > 1)Cad x En base 10, x es de la forma 88n(s1)...n(sk), donde cada n(si) representa las cifras de un nmero talque Sig n(si) es ciertoSuc x En base 10, x es de la forma 77n(1)...(sk) donde cada n(i) representa las cifras de un nmero talque Cad n(i) es cierto

Expresabilidad. RecursividadMediante la numeracin de Gdel, es posible traducir los signos y reglas de una teora formal T en nmeros yoperaciones aritmticas. Es posible ir ms all, ya que T es una teora aritmtica y se pueden recodificar lasmencionadas operaciones mediante el lenguaje formal de T, al igual que se puede hacer con otras funciones yrelaciones aritmticas como por ejemplo:

La funcin multiplicar por 2 est representada por la frmula: y = [2] xLa relacin de orden x y, puede expresarse mediante: z, z + x = yLa relacin x e y son primos entre s puede expresarse como: z, z [1] w, x = z w u, y = z u.

Cada una de estas relaciones es expresada por su frmula correspondiente, en el sentido de que si dos nmeros estnrelacionados, puede demostrarse la expresin formal correspondiente; y cuando no lo estn, puede refutarse.[7] Porejemplo:

Para cada entero n, se tiene que si n es par puede probarse la expresin formal x, [n] = [2] x; y si es impar,puede refutarse dicha frmula.Para cada par de enteros m y n, si se tiene m n puede demostrarse la frmula z, z + [m] = [n]; cuando m > n,puede refutarse dicha expresin.

Que las relaciones presentadas en la seccin anterior como Dem sean expresables, implica que una teora formalaritmtica es lo suficientemente potente como para hablar de las caractersticas de una teora formal arbitraria y, enparticular, de s misma.Probar que todas estas relaciones y funciones son expresables es sencillo si son recursivas, es decir, si puedencalcularse o verificarse mediante un algoritmo, ya que puede demostrarse que toda relacin recursiva es expresableen una teora aritmtica. Las teoras formales para las que esto es posible asignar los nmeros de Gdel de maneraque distinguir los signos, cadenas, sucesiones, frmulas, consecuencias y axiomas, puede llevarse a cabo con unalgoritmo son las llamadas teoras recursivas, y por ello esta caracterstica se asume como hiptesis en losteoremas de incompletitud.

DiagonalizacinPara construir la sentencia autorreferente G ha de idearse una manera para que una frmula hable de las propiedadesde su nmero de Gdel correspondiente. Esto ha de hacerse de manera indirecta, ya que dada una frmula connmero de Gdel n, otra frmula que hable de mediante el numeral [n] en general tendr un nmero de Gdelmayor que n, y por tanto no puede ser la propia . Esto se consigue mediante el llamado lema diagonal.

En una teora aritmtica recursiva, dada una frmula (x) existe una sentencia con nmero de Gdel n talque puede demostrarse ([n]).

En definitiva, dada una propiedad cualquiera (x) existe una sentencia que afirma mi nmero de Gdel cumple lapropiedad .

Teoremas de incompletitud de Gdel 13

Demostracin del primer teoremaSea una teora formal aritmtica y recursiva T -consistente. Sea la frmula z, DEM(z, x), donde DEM es lafrmula que expresa la relacin numrica Dem relativa a la teora formal T. Por el lema de diagonalizacinexiste una sentencia G con nmero de Gdel g, para la que se demuestra G z, DEM(z, [g]), es decir, que afirmaningn nmero codifica una demostracin (en T) de la frmula representada por g, o de otro modo, no soydemostrable (en T). La negacin de esta sentencia, G, es equivalente a z, DEM(z, [g]), o mi negacin esdemostrable (en T).Supngase entonces que G puede demostrarse. Entonces existe un nmero n que cumple Dem(n, g), y en T puedeprobarse entonces DEM([n], [g]), lo cual implica formalmente G; y esto es imposible si T es consistente. Por tantono existe una demostracin de G, y se cumple Dem(n, g) para todos los nmeros n, lo cual resulta en un nmeroinfinito de teoremas formales DEM([n], [g]) para cada numeral [n]. Como T es -consistente, no puede ocurrirentonces que x, DEM(x, [g]) sea un teorema, por lo que G es indemostrable, y T es indecidible.

Demostracin del segundo teoremaLa demostracin del segundo teorema de incompletitud requiere de un hecho tcnico que Gdel originalmente noprob. Sea una teora T en las condiciones anteriores y sea la frmula Consis T z, DEM(z, [k]), donde k es elnmero de Gdel de la sentencia 0 = 1. Consis T afirma que la teora T es consistente (pues deja algo sin demostrar).La versin formal (de la primera parte) del primer teorema de incompletitud puede expresarse como Consis T y, DEM(y, [g]) y esto es equivalente precisamente a Consis T G. De modo que, de poder probar formalmenteesta sentencia, Consis T sera indemostrable puesto que se tendra entonces una demostracin de G, en contradiccincon el primer teorema.El hecho tcnico que se necesita es precisamente una prueba de que la demostracin del primer teorema deincompletitud puede traducirse en una demostracin formal de la sentencia Consis T y, DEM(y, [g]). Esto esposible en toda teora aritmtica recursiva, ya que verifican unas ciertas condiciones de demostrabilidad.

Referencias[1] Vase la parte dedicada a Gdel en la introduccin de .[2] Esto slo es cierto en la interpretacin natural en que las variables de la teora se interpretan como los nmeros naturales.[3][3] Vase para una exposicin de nivel intermedio sobre la aritmtica no estndar.[4][4] Vase .[5][5] Vase .[6][6] En realidad, la prueba original de Gdel omite ciertos detalles tcnicos.[7] De manera rigurosa, se dice que una relacin es expresable en una teora formal aritmtica si existe una frmula de forma que si la relacin

se cumple para unos ciertos nmeros entonces puede demostrarse la frmula ; y si la relacin no se cumple, entonces dicha frmula puederefutarse. Vase o (donde se denomina definability).

Bibliografa Barwise, Jon (1989). Handbook of mathematical logic (en ingls). Elsevier. ISBN9780444863881. Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2007). Computability and logic (en ingls). Cambridge

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Traducido al castellano en:

Teoremas de incompletitud de Gdel 14

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ISBN0-8147-5816-9. Ivorra, Carlos, Lgica y teora de conjuntos (http:/ / www. uv. es/ ivorra/ Libros/ Logica. pdf), consultado el

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Enlaces externos Refutaciones a la interpretacin de Penrose:

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Ignacio Jan, La obra de Gdel en lgica matemtica y teora de conjuntos (http:/ / divulgamat. ehu. es/weborriak/ historia/ Gaceta/ historia93b. pdf) Una introduccin sinttica e histrica que respeta los conceptosoriginales, evitando malentendidos.

Resea en castellano (http:/ / redalyc. uaemex. mx/ redalyc/ pdf/ 294/ 29406405. pdf) de Torkel Franzn, Gdel'stheorem : an incomplete guide to its use and abuse. El libro de Franzen, de 2005, est siendo muy citado comoobra de inters para introducir al verdadero sentido de los teoremas de Gdel y prevenir frente a su aplicacininjustificada en campos no matemticos.

Krlis Podnieks: Around Goedel's Theorem, http:/ / www. ltn. lv/ ~podnieks/ gt. html Hilbert's second problem (http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ hilbert/ problems. html#prob2) ber die Vollstndigkeit des Logikkalkls. Doctoral dissertation. University Of Vienna.. 1929. Primera

demostracin del teorema de completitud. Gdel, K (1930). Die Vollstndigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkls (en alemn). Monatshefte

fr Mathematik 37: pp.349360. doi: 10.1007/BF01696781 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1007/ BF01696781). JFM56.0046.04 (http:/ / www. zentralblatt-math. org/ zmath/ en/ search/ ?q=an:56. 0046. 04& format=complete).

Teorema de Lwenheim-Skolem 15

Teorema de Lwenheim-SkolemEn lgica matemtica, el teorema de Lwenheim-Skolem o teorema de Lwenheim-Skolem-Tarski es unteorema que establece que si una teora de primer orden es consistente, entonces tiene al menos un modelo condominio finito o numerable. Ms precisamente: sea T un subconjunto consistente de un lenguaje de primer orden (con identidad): si T es finito o numerable, entonces tiene al menos un modelo con dominio finito o numerable. Estosignifica que las teoras de primer orden no pueden controlar la cardinalidad de sus modelos: ninguna teoraconsistente puede tener slo modelos isomrficos.La primera versin del teorema se debe a Leopold Lwenheim en 1915, aunque su demostracin tena una pequealaguna. Thoralf Skolem demostr una segunda versin del teorema en 1919. Desde entonces han aparecido otrasversiones.En general el teorema de Lwenheim-Skolem no se sostiene en lgicas ms fuertes, como la lgica de segundoorden.

El teorema de Lwenheim-Skolem descendenteSea un lenguaje de primer orden de cardinalidad K, donde K es un cardinal infinito. El teorema deLwenheim-Skolem descendente establece que si tiene un modelo de cardinalidad K, entonces tambin tiene almenos un modelo de cardinalidad menor o igual a K. La demostracin del teorema emplea el teorema de laexistencia de modelos dentro de la demostracin de completitud para la lgica de primer orden.El teorema establece una conexin entre la cardinalidad del lenguaje y la cardinalidad de sus modelos, e imponeserias restricciones sobre la representacin de estructuras infinitas. Si E es una estructura para un lenguaje decardinalidad mayor que la cardinalidad de , ningn conjunto de oraciones de podr representar a E hasta elisomorfismo ya que, segn el teorema, cualquier conjunto de oraciones de que tenga modelos, tendr algnmodelo de cardinalidad menor que la cardinalidad de E; y este modelo no puede ser isomorfo con E.El teorema de Lwenheim-Skolem descendente es una propiedad clave, junto con el teorema de compacidad, paracaracterizar a la lgica de primer orden.

El teorema de Lwenheim-Skolem ascendenteDe nuevo, sea un lenguaje de primer orden de cardinalidad K, donde K es un cardinal infinito. El teorema deLwenheim-Skolem ascendente establece que si tiene un modelo de cardinalidad K, entonces tambin tiene almenos un modelo de cardinalidad mayor o igual a K. La demostracin emplea el teorema de compacidad paralenguajes de primer orden.Este segundo teorema elimina cualquier esperanza de representar cualquier estructura infinita hasta el isomorfismo.Pues si un conjunto de frmulas de un lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tendr otros decardinalidad mayor y, por tanto, no isomorfos.

Teorema de Lwenheim-Skolem 16

El teorema de Lwenheim, Skolem y TarskiSi un conjunto de frmulas de un lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo decada cardinalidad infinita mayor o igual que la cardinalidad de . Este teorema es un resultado reforzado delteorema de Lwenheim y Skolem, que se puede obtener combinando los otros dos resultados.

Notas y referencias

Numeracin de GdelLa numeracin de Gdel es una funcin que asigna a cada smbolo y frmula de un lenguaje formal un nmeronico, denominado Nmero de Gdel (GN). El concepto fue utilizado por primera vez por Kurt Gdel para lademostracin del teorema de Incompletitud de Gdel.La enumeracin de un conjunto de funciones computables se denomina tambin enumeracin de Gdel oenumeracin efectiva. Una enumeracin de Gdel se puede interpretar como un lenguaje de programacin donde losnmeros de Gdel estn asignados a cada funcin computable igual que los programas que clculos los valores parala funcin en este lenguaje de programacin.

DefinicinDado un conjunto enumerable S, una enumeracin de Gdel es una funcin

donde f y la inversa de f son funciones computables.

Ejemplo

Paso 1Los nmeros de Gdel se construyen con referencia a smbolos de clculo proposicional y la aritmtica formal. Cadasmbolo se asigna primero a un nmero natural, por tanto:.

Smbolos lgicos Nmeros 1:12

1 ("no")

2 ("para todos")

3 ("si, entonces")

4 ("o")

5 ("y")

( 6

) 7

S 8 ("es el sucesor de")

0 9

= 10

. 11

+ 12

Numeracin de Gdel 17

Smbolos proposicionales Nmeros ms grandes que 12 y divisibles por 3

P 12

Q 15

R 18

S 21

Variables individuales Nmeros ms grandes que 12 con resto 1 cuando se dividen por 3

v 13

x 16

y 19

Smbolos de predicado Nmeros ms grandes que 12 con resto 2 cuando se dividen por 3

E 14

F 17

G 20

Y as para todos los smbolos posibles. La sintaxis del clculo proposicional asegura que no hay ambigedad entre elsmbolo "P" y el smbolo "+" aunque ambos estn asignados al nmero 12.

Paso 2A cada enunciado aritmtico se le asigna un nmero de Gdel nico utilizando series de nmeros primos. Se basabsicamente en el siguiente cdigo: 1.er primo carcter 2 primo carcter 3.er primo carcter etc.Por ejemplo el enunciado x, P (x) se convierte en22 316 512 76 1116 137, porque {2, 3, 5, 7, 11,...} es la serie de primos, y 2, 16, 12, 6, 16, 7 son los cdigosde los caracteres. Este es un nmero bastante grande, pero perfectamente determinado:14259844433335185664666562849653536301757812500.Es importante ver que, por el teorema fundamental de la aritmtica, este nmero tan grande se puede descomponeren sus factores primos, y por tanto se puede convertir un nmero de Gdel en la secuencia de caracteres original.

Paso 3Finalmente, a las secuencias de enunciados se les asigna un nmero de Gdel, de manera que la secuenciaEnunciado 1 (GN1)Enunciado 2 (GN2)Enunciado 3 (GN3)(donde GN significa nmero de Gdel)tiene el nmero de Gdel 2GN13GN25GN3, que denominaremos GN4.La demostracin del teorema de incompletitud de Gdel se basa en la demostracin de que, en aritmtica formal,algunos conjuntos de enunciados prueban otros enunciados de forma lgica. Por ejemplo, se puede probar que launin de GN1, GN2 y GN3 (es decir GN4) prueban GN5. Como esta es una relacin demostrable entre dos nmeros,se le asigna su propio smbolo, por ejemplo R. Entonces se puede escribir R (v, x) para expresar que x demuestra v.En el caso anterior donde x y v son los nmeros de Gdel GN4 y GN5, se podra escribir R(GN5, GN4).

Numeracin de Gdel 18

Una demostracin informalEl argumento central de la demostracin hecha por Gdel se basa en que puede escribirse

x, R (v, x)

que quiere decirninguna sentencia de tipo v se puede probar.

El nmero de Gdel para esta sentencia sera22 316 51 718 116 1313 1716 197

que se puede denominar GN6. Ahora, si se considera la sentenciax, R(GN6,x),

que de hecho est diciendoninguna sentencia que afirme 'ninguna sentencia de tipo v se puede probar' puede probarse.

Que equivale aesta sentencia no se puede probar.

Si esta ltima sentencia se puede probar, entonces su sistema formal es inconsistente porque demuestra una sentenciaque ella misma afirma que no se puede demostrar (contradiccin). Si la sentencia no se puede probar dentro delsistema formal, entonces lo que afirma la sentencia es cierto, y por tanto la sentencia es consistente, pero como elsistema contiene una afirmacin que es semnticamente cierta pero que no se puede probar (sintcticamente),entonces el sistema es incompleto.

Referencias Gdel, Kurt, "ber formal unentscheidbare Stze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I",

Monatsheft fr Math. und Physik 38, 1931, S.173-198.

Alfabeto 19

Alfabeto

Alfabeto polaco.

Alfabeto ibrico.

El alfabeto o abecedario de una lengua o idioma es el conjuntoordenado de sus letras. Es tambin la agrupacin, la que se lee conun orden determinado, de las grafas utilizadas para representar ellenguaje que sirve de sistema de comunicacin.

El trmino alfabeto procede del griego (alfbeton),derivado de las dos primeras letras griegas (alfa, ) y (beta, ), derivadas a su vez de las letras fenicias alp y bt, quesignificaban buey y casa respectivamente. El alfabeto griego esuna adaptacin del alfabeto fenicio, que tambin dio lugar entreotros al hebreo y al rabe. Por su parte, el trmino abecedarioproviene del latn tardo abecedrium, tambin derivado delnombre de las primeras letras, en este caso cuatro: a (a), b (be), c(ce) y d (de).

Algunas letras pueden recibir uno o varios diacrticos con el fin dediferenciar los sonidos de la lengua o poder evitar lasambigedades. De la misma forma, el alfabeto puede ser entendidopor el uso de letras suplementarias. Las evoluciones fonticas deuna lengua se crean a un ritmo diferente de la evolucin escrita. Laescritura alfabtica no garantiza una correspondencia unvocaentre los fonemas y los grafemas.

En otros mbitos (matemticas, y otros sistemas formales, porejemplo), un alfabeto es un conjunto finito y ordenado desmbolos a partir del cual se construyen palabras y frmulas bienformadas.

Alfabeto semita

La escritura protosinatica, de origen egipcio, es el primer alfabeto consonntico, datado en torno al siglo XVIIIantes de Cristo. Se descubre en el templo de Hathor en Serabit el-Khadim, en la pennsula del Sina, punto deencuentro importante entre egipcios y culturas semticas de Oriente Prximo. Se trataba de una simplificacin delsistema jeroglfico (unos 23 signos, de los que al menos la mitad son claramente egipcios). El clebre lingista inglsAlan Gardiner ha estudiado la derivacin de los signos fenicios a partir de los pictogramas sinaticos. No podradecirse que se trata de un alfabeto en sentido estricto, sino ms bien de un silabario (consonante + vocal); pero hayque darle el protagonismo que merece como origen o precedente de alfabetos ms evolucionados en los que cadaletra representa un sonido.

Alfabeto 20

Alfabeto gtico.

Alfabeto malayo.

Al parecer los primeros en escribir las consonantes aisladas fueronlos pueblos semticos occidentales de las orillas del mar Rojo y delMediterrneo, hebreos y fenicios. La cadena secuencial sera:signo-palabra; los signos-sonidos consonnticos mezclados a lossignos-palabras (Egipto); los signos-sonidos silbicos mezcladoscon signos palabras (sumerio-acadio); signos-sonidos querepresentan slabas de tipo constante (tipo egeo). Alfabeto silbicousado tambin por los tartessos en el sur de la pennsula Ibrica yque supone el primer alfabeto de toda la Europa occidental. Anhoy, a pesar de tantas muestras escritas como existen en Andalucay el sur de Portugal, esa lengua est por descifrarse o traducirse.

Alfabeto fenicio

El alfabeto fenicio supone una creacin. Es al final de esa cadenadonde se nota una progresiva prioridad del anlisis sobre lasntesis. De la pictografa, que es una representacin global, sepasa a signos que descomponen el discurso en sus partesconstitutivas. Las formas ms antiguas de la escritura fenicia sehan encontrado en las inscripciones arcaicas de Biblos, cuyoorigen se remonta a los siglos XIII y XIa.C. El fenicio arcaicocomprenda 22 letras, nicamente consonantes, y est libre ya deelementos ideogrficos, de determinativos y de toda huella desilabismo.

Otros alfabetos

El alfabeto paleo-hebraico proviene del fenicio, del que se fuealejando progresivamente. Otras ramas son: el samaritano, elmoabita, el pnico y el arameo (del que han derivado los alfabetosrabes, a travs del nabateo, los hebraicos, los sirios, losuraloaltaicos, etc.) El alfabeto rabe ha servido para lenguas comoel persa, el turco, el bereber, el malgache, etc. En cuanto a losalfabetos sursemticos (surarbigo y nortearbigo) parecenprovenir, con reservas, del fenicio. El alfabeto pehlvi y el avsticoson derivaciones del arameo. El origen del alfabeto libio est endiscusin: fenicio, rabe, etc. El brahmi y el kharosthi, segn latesis clsica, derivan del fenicio, con la particularidad del cambiode direccin de la escritura y la notacin de consonantes y vocales.

Historia de los alfabetos occidentales

Los principales alfabetos occidentales han tenido su origen en elalfabeto semtico septentrional o cananeo, datado hace ms de3500 aos, entre el 1700 y el 1500a.C., en el Prximo Oriente.

Alfabeto 21

Alfabeto fenicio.

Tipografa gtica.

El precedente del alfabeto occidental se ide en las regionesorientales de la costa mediterrnea y se encargaron de divulgarlolos mercaderes fenicios. Probablemente los griegos conocieroneste sistema de escritura en la ciudad Gibl (en el Lbano de hoy),un importante centro cultural y de comercio que llamaron Biblos;lo adoptaron en Grecia, aunque transformaron algunasconsonantes y semiconsonantes en vocales. Tambin variaron ladireccin de algunas letras y generalizaron el escribir de izquierdaa derecha. Se suele fechar hacia el 900a.C.

El alfabeto griego adopt el fenicio y modific el valor de ciertossonidos consonnticos y design las vocales. Del griego procedenel alfabeto gtico, copto, armenio, georgiano, albans, eslavo(glagoltico y cirlico) y etrusco.

El alfabeto latino es uno de los alfabetos locales que los etruscostomaron del griego. Se diferencia de ste no slo en la forma delas letras, sino tambin en su empleo. En el siglo I de nuestra eraestaba constituido por 23 letras. Con la expansin de lacivilizacin grecolatina y del cristianismo, el alfabeto latinotermin por conquistar toda Europa: celtas, eslavos, germanos,escandinavos, etc. escriben con las letras latinas. Este alfabeto,adaptado por los romanos con las variantes propias, se difundipor todo el Mediterrneo, y posteriormente a todo Occidente.

Los alfabetos ibricos parecen haberse derivado del fenicio ygriego.El alfabeto de los pueblos germnicos, llamado futhark (las runasy los oghams) por el nombre de sus seis primeras letras, se redujode 26 signos a 16. La teora ms firme es la que le da un origenetrusco.

Orden alfabtico: pasado y presente

Aunque hay muchas similitudes entre los alfabetos de distintosidiomas, se observan tambin diferencias peculiares en cada uno.No siempre est claro qu es lo que constituye un alfabetoespecfico, nico. El francs utiliza bsicamente el mismo alfabetoque el ingls, pero muchas de las letras usan marcas adicionales,como la , la y la . En francs, estas combinaciones no seconsideran letras adicionales. Sin embargo, en islands letrasacentuadas tales como la , la y la se consideran letrasdistintas del alfabeto. En espaol, la es una letra distinta, perovocales acentuadas como la y la no lo son. El alfabetoespaol consta de 27 letras. Asimismo, se emplean tambin cincodgrafos para representar otros tantos fonemas: ch, ll, rr,gu y qu, considerados estos dos ltimos como variantes

Alfabeto 22

Letra ahsa en gtico.

posicionales para los fonemas /g/ y /k/.[1] Los dgrafos ch y lltienen valores fonticos especficos, por lo que en la Ortografa dela lengua espaola de 1754[2] comenz a considerrseles comoletras del alfabeto espaol y a partir de la publicacin de la cuartaedicin del Diccionario de la lengua espaola en 1803[3][4] seordenaron separadamente de c y l,[5] y fue durante el X Congresode la Asociacin de Academias de la Lengua Espaola celebradoen Madrid en 1994, y por recomendacin de varios organismos,que se acord reordenar los dgrafos ch y ll en el lugar que elalfabeto latino universal les asigna, aunque todava seguanformando parte del abecedario.[6] Con la publicacin de laOrtografa de la lengua espaola de 2010, ambas dejaron deconsiderarse letras del abecedario.

En alemn, las palabras que comienzan con sch- (queconstituyen el fonema alemn ) se intercalaron entre laspalabras que empiezan con sca- y las palabras que empiezan consci- (todas ellas, casualmente, palabras tomadas como prstamode otros idiomas), en vez de que este grupo grfico aparecieradespus de la letra s, como si fuera una sola letra una decisinlexicogrfica que resulta obligatoria en un diccionario de albans,donde dh-, gj-, ll-, rr-, th-, xh- y zh- (todos loscuales representan fonemas y se consideran letras por separado)aparecen despus de las letras d, g, l, n, r, t, x y z,respectivamente. Asimismo, en un diccionario de ingls laspalabras que inician con th- tampoco tienen un lugar especial despus de la letra t, sino que quedan incluidasdentro de sta, entre te- y ti-. Las palabras alemanas con diresis se ordenan alfabticamente como si no hubieradiresis alguna contrario a lo que ocurre con el alfabeto turco, que supuestamente adopt los grafemas y alemanes, y donde una palabra como tfek (arma), aparece en el diccionario despus de tuz (sal).

Los alfabetos dans y noruego terminan con , mientras que los alfabetos sueco, finlands y estoniocolocan, convencionalmente, las letras , , y al final.Algunas adaptaciones del alfabeto latino se ven incrementadas con el uso de ligaduras como, por ejemplo, en elingls antiguo y en el islands y la en el algonqun; a travs de prstamos de otros alfabetos como, por ejemplo,la letra thorn del ingls antiguo y del islands, que provenan de las runas futhark, y a travs de la modificacin deletras existentes, como la eth ( minscula) del ingls antiguo y del islands, que es una modificacin de la d.Otros alfabetos utilizan nicamente un subconjunto del alfabeto latino, como por ejemplo el hawaiano y el italiano,que usa las letras j, k, x y y w nicamente en las palabras de origen extranjero.No se sabe si los primeros alfabetos tenan un orden definido. Algunos alfabetos actuales, como por ejemplo laescritura Hanuno'o de algunas poblaciones originales de las Filipinas, en la cual se ensea una letra a la vez, sinningn orden en particular, y no se usan para el ordenamiento alfabtico. Sin embargo, varias tablillas ugarticas delsiglo XIVa.C. preservan el alfabeto en dos secuencias. Una de ellas, el orden ABCDE utilizado ms adelante porlos fenicios, se sigue utilizando hoy en da, con cambios menores, en los alfabetos hebreo, griego, armenio, gtico,cirlico y latino; la otra, HMLQ, se utilizaba en el sur de Arabia y actualmente se sigue usando en el alfabetoGe'ez (vase tambin alfabeto etope).[7] Ambos tipos de orden alfabtico se han mantenido ms o menos estables,por consiguiente, por lo menos durante los ltimos tres mil aos.

Alfabeto 23

Este ordenamiento histrico ya no persisti en el caso del alfabeto rnico, ni tampoco en el del alfabeto arbigo,aunque este ltimo sigue usando el llamado orden abjad para la numeracin.La familia brahmica de alfabetos que se usa en la India aplica un orden nico que se basa en la fonologa: las letrasse ordenan en funcin de cmo y dnde se generan en la boca. Esta organizacin se utiliza en el sureste de Asia, enel Tbet, en el hangul coreano, e incluso en el kana de Japn, que no es un alfabeto.Los nombres de las letras fenicias, cada una de ellas asociada con una palabra que inicia con ese sonido, siguenusndose en los alfabetos samaritano, arameo, sirio, hebreo y griego. Sin embargo, dejaron de usarse en el alfabetorabe, en el cirlico y en el latino.

Alfabetos especiales Alfabeto Braille Alfabeto Morse Alfabeto por palabras Hangul coreano

Referencias El contenido de este artculo incorpora material [8] de la Gran Enciclopedia Rialp que mediante una autorizacin

permiti agregar contenidos y publicarlos bajo licencia GFDL. La autorizacin fue revocada en abril de 2008, asque no se debe aadir ms contenido de esta enciclopedia.

[1][1] Real Academia Espaola y Asociacin de Academias de la Lengua Espaola, Ortografa de la lengua espaola (2010), tapa rstica, primeraedicin impresa en Mxico, Editorial Planeta Mexicana, S.A. de C.V., bajo el sello editorial ESPASA M.R., Mxico D.F., marzo de 2011,pgina 64.

[2][2] Real Academia Espaola y Asociacin de Academias de la Lengua Espaola, Ortografa de la lengua espaola (2010), tapa rstica, primeraedicin impresa en Mxico, Editorial Planeta Mexicana, S.A. de C.V., bajo el sello editorial ESPASA M.R., Mxico D.F., marzo de 2011,pginas 64 y 65.

[3] Ch (http:/ / lema. rae. es/ drae/ ?val=ch), en el Diccionario de la lengua espaola de la Real Academia Espaola[4] Ll (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltConsulta?TIPO_BUS=3& LEMA=ll), en el Diccionario de la lengua espaola de la Real Academia

Espaola[5][5] Real Academia Espaola y Asociacin de Academias de la Lengua Espaola, Ortografa de la lengua espaola (2010), tapa rstica, primera

edicin impresa en Mxico, Editorial Planeta Mexicana, S.A. de C.V., bajo el sello editorial ESPASA M.R., Mxico D.F., marzo de 2011,pgina 65, "Informacin adicional".

[6] Diccionario panhispnico de dudas (http:/ / www. rae. es/ dpd/ ?key=abecedario#2), Santillana Ediciones Generales, ISBN 958-704-368-5,pg. 5-6

[7] Millard, A. R. The Infancy of the Alphabet, World Archaeology, 17(3), Early Writing Systems (February 1986): 390398. Vase p. 395.[8] http:/ / www. canalsocial. net/ GER/ busquedaav. asp

Bibliografa adicional Diringer, D. (1937). L'alfabeto nella storia della tita. Florencia. Moorhoiise, A. G. (1965). Historia del alfabeto, 2a. ed. Mxico. Fvrier, I. G. (1959). Histoire de l'criture. Pars. Aguirre, M. (1961). La escritura en el mundo. Madrid.

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre AlfabetoCommons. Wikcionario tiene definiciones y otra informacin sobre alfabeto.Wikcionario Alfabetos de ayer y de hoy (http:/ / www. proel. org/ index. php?pagina=alfabetos) Tabla: egipcio-fenicio-romano (http:/ / www. proel. org/ img/ alfabetos/ alfabet. gif)

Alfabeto 24

Lista de los distintos alfabetos con transliteracin (http:/ / www. rodurago. net/ en/ index. php?site=alphabet) (eningls)

El descubrimiento de inscripciones egipcias sugiere pocas ms tempranas del surgimiento del alfabeto (http:/ /www. virtual-egypt. com/ newhtml/ articles/ Discovery of Egyptian Inscriptions Indicates an Earlier Date forOrigin of the Alphabet. htm)

La evolucin del alfabeto desde las figuras Egipcias hasta las latinas (http:/ / www. sarasuati. com/evolucion-del-alfabeto-desde-las-figuras-egipcias-hasta-las-latinas/ )

An Early Hellenic Alphabet for Common, Ikonogrammaton & Paleogrammikon, System Writing and Reading ofthe Ancient Speech (https:/ / skydrive. live. com/ ?cid=e39b50d7d9ea3235& id=E39B50D7D9EA3235!105#!/view. aspx?cid=E39B50D7D9EA3235& resid=E39B50D7D9EA3235!126& app=WordPdf)

Algoritmo de ThompsonEl algoritmo Thompson (tambin conocido como mtodo de Thompson) creado por Ken Thompson y DennisRitchie, sirve para obtener autmatas finitos no deterministas con transiciones vacas (AFND-) a partir deexpresiones regulares (ER).

AlgoritmoDadas las reglas que definen las expresiones regulares se pueden escribir como AFND-e: es una expresin regular que describe el lenguaje vaco: no hay AFD para este lenguaje ya que es vaco es una expresin regular que describe el lenguaje {}, que es un lenguaje que nicamente contiene la cadena

vaca: el autmata que reconoce este lenguaje es aquel que el estado inicial tambin es final. si "a" esta en el alfabeto, "a" (sin comillas) es una expresin regular que describe el lenguaje {a}: el autmata que

reconoce este lenguaje tiene definida una transicin desde el estado inicial hacia un estado final. si existen r y s expresiones regulares r es una expresin regular que describe L(r) y s es una expresin regular que

describe L(s) r+s describe L(r) U L(s) (lenguaje generado por r union lenguaje generado por s) r.s describe L(r). L(s) (lenguaje generado por r concatenado lenguaje generado por s) r* describe L(r)* (lenguaje generado por r clausura)

Las precedencias de operador son *,., +.Para el operador + de una ER el AFND- se arma de la siguiente manera:

Algoritmo de Thompson 25

Donde M1 y M2 son los AFND- que se suman.Para el operador . de una ER el AFND- se arma de la siguiente manera:

Donde M1 y M2 son los AFND- que se concatenan.Para el operador * de una ER el AFND-e se arma de la siguiente manera:

Donde M1 es el AFND- que se le aplica la clausura.

HerramientasExisten varios programas que realizan este algoritmo y de hecho es habitual tambin pasar de AFND-e a AFND y deAFND a AFD, tambin suele ocurrir que el AFD no sea mnimo y se usa otro algoritmo para conseguir el AFDmnimo.Cualquier ER puede ser reconocida por un AFD ya que los lenguaje regulares de tipo 3 son reconocidos por un AFDcomo autmata mas restrictivo habiendo equivalencia entre no determinismo y determinismo. Generalmente losprogramas que aplican el algoritmo suelen transformar una ER a AFD mnimo.Algunos programas son: Minerva [1] Programado en java MTSolution [2]

Algoritmo de Thompson 26

Enlaces externosApunte de Gramaticas Regulares y Expresiones Regulares UNICEN [3]

Referencias[1] http:/ / www. exa. unicen. edu. ar/ catedras/ ccomp1/ Minerva. htm[2] http:/ / users. exa. unicen. edu. ar/ ~mmartine/[3] http:/ / www. exa. unicen. edu. ar/ catedras/ ccomp1/ ApunteGRyER. pdf

Autmata celular

Animacin del juego de lavida de Conway, un autmata

celular.

Un autmata celular (A.C.) es un modelo matemtico para un sistema dinmico queevoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales quepuedan ser descritos como una coleccin masiva de objetos simples que interactenlocalmente unos con otros.

Son sistemas descubiertos dentro del campo de la fsica computacional por John vonNeumann en la dcada de 1950. La teora de los autmatas celulares se inicia con suprecursor John von Neumann a finales de la dcada de 1940 con su libro Theory ofSelf-reproducing Automata (editado y completado por A. W. Burks).

Aunque John von Neumann puso en prctica los AA.CC., estos fueron concebidos enlos aos 40 por Konrad Zuse y Stanislaw Ulam. Zuse pens en los espacios decmputo (computing spaces), como modelos discretos de sistemas fsicos. Las contribuciones de Ulam vinieron alfinal de los 40, poco despus de haber inventado con Nicholas Metropolis el Mtodo de Montecarlo.

DescripcinNo existe una definicin formal y matemtica aceptada de Autmata Celular; sin embargo, se puede describir a unA.C. como una tupla, es decir, un conjunto ordenado de objetos caracterizado por los siguientes componentes:

Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros (conjunto ) infinitamente extendida, y con dimensin . Cada celda de la cuadrcula se conoce como clula.

Cada clula puede tomar un valor en a partir de un conjunto finito de estados . Cada clula, adems, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de clulas en las cercanas de la misma. De acuerdo con esto, se aplica a todas las clulas de la cuadrcula una funcin de transicin ( ) que toma como

argumentos los valores de la clula en cuestin y los valores de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la clulatendr en la siguiente etapa de tiempo. Esta funcin se aplica, como ya se dijo, de forma homognea a todas lasclulas, por cada paso discreto de tiempo.

Autmata celular 27

Condiciones de frontera

Topologa del autmata celular de 2D plegado en 3Dpara el caso de frontera peridica.

Por definicin, un A.C. consiste de una retcula infinita de enteros.Sin embargo, para cuestiones prcticas (como en modelos desistemas fsicos llevados a cabo en ordenadores de memoriafinita), se requiere tomar ciertas consideraciones a la hora deimplementar un A.C. Por ello, la definicin original se modificapara dar cabida a retculas finitas en las que las clulas del A.C.interacten. Esto conlleva la consideracin extra de lo que debe desuceder con aquellas clulas que se encuentren en los bordes de laretcula. A la implementacin de una o varias consideracionesespecficas se le conoce como condicin de frontera.

Dentro del mbito de los A.C., se pueden implementar numerosascondiciones de frontera, en funcin de lo que el problema real requiera para su modelado. Por ejemplo: Frontera abierta. Se considera que fuera de la lattice residen clulas, todas con un valor fijo. En el caso

particular del juego de la vida y de otros A.C. con dos estados en su conjunto , una frontera se dice fra si lasclulas fuera de la frontera se consideran muertas, y caliente si se consideran vivas.

Frontera peridica. Se considera a la lattice como si sus extremos se tocaran. En una lattice de dimensin 1, estopuede visualizarse en dos dimensiones como una circunferencia. En dimensin 2, la lattice podra visualizarse entres dimensiones como un toroide.

Frontera reflectora. Se considera que las clulas fuera de la lattice "reflejan" los valores de aquellas dentro de lalattice. As, una clula que estuviera junto al borde de la lattice (fuera de ella) tomara como valor el de la clulaque est junto al borde de la lattice, dentro de ella.

Sin frontera. Haciendo uso de implementaciones que hagan crecer dinmicamente el uso de memoria de lalattice implementada, se puede asumir que cada vez que las clulas deben interactuar con clulas fuera de lalattice, esta se hace ms grande para dar cabida a estas interacciones. Obviamente, existe un lmite (impuesto porla memoria disponible) para esta condicin. Es muy importante no confundir esta condicin de frontera con ladefinicin original de A.C. cuya lattice es inicialmente infinita. En el caso de un A.C. sin frontera, la latticecomienza con un tamao definido y finito, y conforme se requiera va creciendo en el tiempo, lo cual no lo hacenecesariamente un modelo ms cercano a la realidad, pues si se inicializara la lattice aleatoriamente, con estacondicin slo se pueden inicializar las clulas dentro de la lattice inicial finita, mientras que en el caso de ladefinicin original, en teora todas las clulas de la lattice infinita deberan ser inicializadas.

VariacionesLos A.C. pueden variar en alguna de las caractersticas antes mencionadas, derivando en autmatas celulares noestndar.Por ejemplo, un A.C. estndar tiene una cuadrcula donde se asume que las clulas son cuadros; es decir, que laretcula tiene una geometra cuadrada. Esto no es necesariamente un requisito, y se puede variar el A.C. parapresentar una geometra triangular o hexagonal (en A.C. de 2 dimensiones, el cuadrado, el tringulo y el hexgonoson las nicas figuras geomtricas que llenan el plano).

Tambin puede variarse el conjunto de estados que cada clula puede tomar, la funcin de transicin de formaque ya no sea homognea, utilizar elementos estocsticos (aleatoriedad) en (lo que se conoce como A.C.probabilstico), variar las vecindades de cada clula, etc.

Autmata celular 28

HistoriaLa historia de los autmatas celulares puede ser clasificada en tres etapas asociadas a los nombres de los cientficosque en cada momento marcaron un punto de inflexin en el desarrollo de la teora: la era de Von Neumann, la era deMartin Gardner y la era de Stephen Wolfram.

Era de Von NeumannLa primera etapa la inicia von Neumann,[1] quien una vez terminada su participacin en el desarrollo y terminacinde la primera computadora ENIAC tena en mente desarrollar una mquina con la capacidad de construir a partir des misma otras mquinas (auto-reproduccin) y soportar comportamiento complejo. Con la ayuda de su amigoStanislaw Ulam, von Neumann implementa la teora de los autmatas celulares en un vector de dos dimensiones

(donde representa el conjunto de los enteros). El vector es llamado el espacio de evoluciones y cada unade las posiciones (llamadas clulas) en el vector toma un valor del conjunto de estados . La funcin detransicin que determina el comportamiento del autmata celular utiliza la vecindad de von Neumann, que consisteen un elemento central (llamada clula central) y sus vecinos que son las clulas ,

, y (es decir, la clula en cuestin y sus clulas vecinas ms prximas,arriba, abajo, izquierda y derecha, respectivamente).

Era de John Horton ConwayEn 1970, John Horton Conway dio a conocer el autmata celular que probablemente sea el ms conocido: el Juegode la vida (Life), publicado por Martin Gardner en su columna Mathematical Games en la revista ScientificAmerican.[2] Life ocupa una cuadrcula (lattice bidimensional) donde se coloca al inicio un patrn de clulas "vivas"o "muertas". La vecindad para cada clula son ocho: los vecinos formados por la vecindad de Von Neumann y lascuatro clulas de las dos diagonales (esta vecindad se conoce como vecindad de Moore). De manera repetida, seaplican simultneamente sobre todas las clulas de la cuadrcula las siguientes 3 reglas:1. Nacimiento: se reemplaza una clula muerta por una viva si dicha clula tiene exactamente 3 vecinos vivos.2. Muerte: se reemplaza una clula viva por una muerta si dicha clula no tiene ms de 1 vecino vivo (muerte por

aislamiento) o si tiene ms de 3 vecinos vivos (muerte por sobrepoblacin).3. Supervivencia: una clula viva permanecer en ese estado si tiene 2 o 3 vecinos vivos.Una de las caractersticas ms importantes de Life es su capacidad de realizar cmputo universal, es decir, que conuna distribucin inicial apropiada de clulas vivas y muertas, Life se puede convertir en una computadora depropsito general (mquina de Turing).

Era de Stephen WolframStephen Wolfram[3]ha realizado numerosas investigaciones sobre el comportamiento cualitativo de los A.C. Conbase en su trabajo sobre AC unidimensionales, con dos o tres estados, sobre configuraciones peridicas que sepresentan en el A.C., observ sus evoluciones para configuraciones iniciales aleatorias. As, dada una regla, el A.C.exhibe diferentes comportamientos para diferentes condiciones iniciales.De esta manera, Wolfram clasific el comportamiento cualitativo de los A.C. unidimensionales. De acuerdo conesto, un AC pertenece a una de las siguientes clases: Clase I. La evolucin lleva a una configuracin estable y homognea, es decir, todas las clulas terminan por

llegar al mismo valor. Clase II. La evolucin lleva a un conjunto de estructuras simples que son estables o peridicas. Clase III. La evolucin lleva a un patrn catico. Clase IV. La evolucin lleva a estructuras aisladas que muestran un comportamiento complejo (es decir, ni

completamente catico, ni completamente ordenado, sino en la lnea entre uno y otro, este suele ser el tipo de

Autmata celular 29

comportamiento ms interesante que un sistema dinmico puede presentar).

Aplicaciones

El caparazn de Conus textile muestra un patrncaracterizable en trminos de autmatas celulares.

Los autmatas celulares pueden ser usados para modelar numerosossistemas fsicos que se caractericen por un gran nmero decomponentes homogneos y que interacten localmente entre s. Dehecho, cualquier sistema real al que se le puedan analogar losconceptos de "vecindad", "estados de los componentes" y "funcin detransicin" es candidato para ser modelado por un A.C.Las caractersticas de los autmatas celulares harn que dichosmodelos sean discretos en tiempo, espacio o ambos (dependiendo de lavariante de la definicin de A.C. que se use). Algunos ejemplos dereas en donde se utilizan los autmatas celulares son: Modelado del flujo de trfico y de peatones.

Modelado de fluidos (gases o lquidos). Modelado de la evolucin de clulas o virus como el VIH. Modelado de procesos de percolacin.

Ejemplos de Autmatas Celulares

AC de una dimensin

Autmata celular generado con la regla 30.

El AC no trivial ms simple consiste en unaretcula unidimensional de clulas que slopueden tener dos estados ( 0 o 1 ), conun vecindario constituido, para cada clula,de ella misma y de las dos clulasadyacentes (23=8 configuraciones posibles).Existen 28=256 modos de definir cul ha deser el estado de una clula en la generacinsiguiente para cada una de estasconfiguraciones, luego existen 256 ACdiferentes de este tipo.

Consideremos el AC definido por la tabla siguiente, que nos da la regla de evolucin:

Motivo inicial 111 110 101 100 011 010 001 000

Valor siguiente de la clula central 0 0 0 1 1 1 1 0

Autmata celular 30

Referencias[1] von Neumann, J. (1966)The Theory of Self-reproducing Automata, ed. Univ. of Illinois Press, Urbana, IL[2] Gardner, M. (1970) Mathematical Games: The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game "Life", Scientific American[3] Wolfram (1986), Theory and Application of Cellular Automata, World Scientific, Singapur

Bibliografa S. Wolfram, A New Kind of Science, 2002 B. Cipra, What's happening in the Mathematical Sciences, vols. 3 y 5, American Mathematical Society, EU, 1996,

2002

Enlaces externos Cellular Automata Repository (http:/ / uncomp. uwe. ac. uk/ genaro/ CA_repository. html) (CA researchers,

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Autmata con pila 31

Autmata con pilaUn autmata con pila, autmata a pila oautmata de pila es un modelo matemticode un sistema que recibe una cadenaconstituida por smbolos de un alfabeto ydetermina si esa cadena pertenece allenguaje que el autmata reconoce. Ellenguaje que reconoce un autmata con pilapertenece al grupo de los lenguajes libres decontexto en la clasificacin de la Jerarquade Chomsky.

Definicin formal

Formalmente, un autmata con pila puedeser descrito como una sptupla

donde:

un conjunto finito de estados; y son alfabetos (smbolos de entrada y de la pila respectivamente); es el estado inicial; es el smbolo inicial de la pila; es un conjunto de estados de aceptacin o finales;

La interpretacin de , con , y es la siguiente:Cuando el estado del autmata es , el smbolo que la cabeza lectora est inspeccionando en ese momento es , yen la cima de la pila nos encontramos el smbolo , se realizan las siguientes acciones: Si , es decir no es la cadena vaca, la cabeza lectora avanza una posicin para inspeccionar el siguiente

smbolo. Se elimina el smbolo de la pila del autmata. Se selecciona un par de entre los existentes en la definicin de , la funcin de transicin del

autmata. Se apila la cadena , con en la pila del autmata, quedando el smbolo en la cima

de la pila. Se cambia el control del autmata al estado .

FuncionamientoLos autmatas de pila, en forma similar a como se usan los autmatas finitos, tambin se pueden utilizar para aceptar cadenas de un lenguaje definido sobre un alfabeto A. Los autmatas de pila pueden aceptar lenguajes que no pueden aceptar los autmatas finitos. Un autmata de pila cuenta con una cinta de entrada y un mecanismo de control que puede encontrarse en uno de entre un nmero finito de estados. Uno de estos estados se designa como estado inicial, y adems algunos estados se llaman de aceptacin o finales. A diferencia de los autmatas finitos, los autmatas de pila cuentan con una memoria auxil