Metnum Fix

8/18/2019 Metnum Fix

1/11


2/11

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Met!e Euler

Metode !uler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling

sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling

kurang teliti. *amun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat

kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam

mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena

persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PD' orde satu, y

,

+ dyd + f,y/ dan nilai a(al y0/ + 0

Misalkan

yr + yr /

adalah hampiran nilai di r yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini

r + 0 1 rh, r + 2, , 3,4n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y r12/ di sekitar r ke

dalam deret taylor 5

yr12/+yr /1

( )2

26

r r x x

+

−

y7r /1

( )

2

6

r r x x+ −

y8r /14 2/ bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh

yr12/ + yr / 1

( )2

26

r r x x

+

−

y7r / 1

( )

2

6

r r x x+ −

y8t/, r 9t9r12 /

berdasarkan persamanan bentuk baku PD' orde orde satu maka

y7r / + fr , yr /

dan

r12 ) r + hmaka persamaan dapat ditulis menjadi

yr12/

≈

yr /1hfr ,yr /1

h

y8t/ 3/


3/11

dua suku pertama persamaan di atas yaitu 5

yr12/ + yr / 1 hfr , yr / : r + 0, 2, ,4,n ;/atau dapat ditulis

yr12 + yr 1 hf r

yang merupakan metode !uler.

2.2 Met!e Heun

Metode "eun merupakan modifikasi dari metode !uler. Modifikasi dilakukan

dalam memperkirakan kemiringan Φ. Metode ini memperkirakan dua turunan

pada interval, yaitu pada ujung a(al dan akhir. %edua turunan tesebut

kemudian diratakan untuk mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik.

'erdasarkan metode !uler, kemiringan pada ujung a(al dari interval adalah5

/, ii<

i y x f y =

%emiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai yi 1 2 dengan

ekstrapolasi linier sehingga


4/11


5/11

pertama sehingga solusinya kurang teliti. %ita dapat meningkatkan ketelitian dengan

memotong deret sampaisuku yang lebih tinggi lagi. Metode deret #aylor adalah

metode yang umum untuk menurunkan rumus-rumus solusi PD'. Metode !uler merupakan metode deret #aylor yang paling sederhana.

Diberikan PD'

yiii2i

+=+

dengan Φ xi, yi, ∆ x/ adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan

rerata pada interval.

?ungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum5

nn22 ...> k ak ak a +++=

dengan a adalah konstanta dan k adalah5

k 2 + f xi, yi/

k + f xi 1 p2∆ x, yi 1 q22 k 2∆ x/

k 3 + f xi 1 p∆ x, yi 1 q2 k 2∆ x 1 q k ∆ x/

k n + f xi 1 pn ) 2∆ x, yi 1 qn ) 2, 2 k 2∆ x 1 qn ) 2, k ∆ x 1…1 qn ) 2, n ) 2 k n ) 2∆ x/


6/11

Persamaan tersebut menunjukkan bah(a nilai k mempunyai hubungan

berurutan.

*ilai k 2 muncul dalam persamaan untuk menghitung k , yang juga muncul

dalam persamaan untuk menghitung k 3, dan seterusnya. "ubungan yang

berurutan ini membuat metode $unge-%utta adalah efisien dalam hitungan.

Ada beberapa tipe metode $unge-%utta yang tergantung pada nilai n yang

digunakan.

@ntuk n + 2, yang disebut $unge-%utta order satu, persamaan / menjadi5

/,> ii222 y x f ak a ==

@ntuk a2 + 2 maka persamaan 2/ menjadi5

x y x f y y =/, iii2i +=+

yang sama dengan metode !uler.

Di dalam metode $unge-%utta, setelah nilai n ditetapkan, kemudian nilai

a, p dan q dicari dengan menyamakan persamaan 2/ dengan suku-suku darideret #aylor.

2/ Metode Runge-Kutta order

Metode $unge-%utta order mempunyai bentuk5

xk ak a y y =/ 22i2i ++=+

dengan5

/, ii2 y x f k =

/=,= 222i2i xk q y x p x f k ++=

*ilai a2, a, p2 dan q22 dievaluasi dengan menyamakan persamaan 3a/

dengan deret #aylor order , yang mempunyai bentuk5


7/11

=/,<

2

=/, iiiii2i

x y x f

x y x f y y ++=

+

dengan/,< ii y x f dapat ditentukan dari hukum berantai chain rule/

berikut5

dx

dy

y

f

x

f y x f

∂

∂+

∂

∂=/,< ii

&ubstitusi persamaan / ke dalam persamaan ;/ menghasilkan5

=/

2

=/, iii2i

x

dx

dy

y

f

x

f x y x f y y

∂

∂+

∂

∂++=+

Dalam metode $unge-%utta ini dicari nilai a2, a, p2 dan q22

sedemikian sehingga persamaan 3a/ ekivalen dengan persamaan B/.

@ntuk itu digunakan deret #aylor untuk mengembangkan persamaan 3c/.

Deret #aylor untuk fungsi dengan dua variabel mempunyai bentuk5

.../,/, +∂

∂+

∂

∂+=++

y

g s

x

g r y x g s yr x g

Dengan cara tersebut, persamaan 3c/ dapat ditulis dalam bentuk5

/===/,/=,= 2222ii222i2i x0 y

f xk q

x

f x p y x f xk q y x p x f +

∂

∂+

∂

∂+=++

'entuk diatas dan persamaan 3b/ disubstitusikan ke dalam persamaan

3a/ sehingga menjadi5

/=/,=

=/,=/,=

3

ii

22

2iiii2i2i

x0 x

f y x f xqa

x

f x pa y x f xa y x f xa y y

+∂

∂+

∂

∂+++=

+

atau


8/11

[ ]

/==/,

=/,/,

3ii222

iiii2i22

x0 x x

f y x f qa

x

f pa

x y x f a y x f a y y

+

∂

∂+∂

∂+

++=+

Dengan membandingkan persamaan B/ dan persamaan C/, dapat

disimpulkan bah(a kedua persamaan akan ekivalen apabila5

a2 1 a + 2.

a p2 +2

.

a q22 +

2

.

&istem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan

mengandung empat bilangan tak diketahui, sehingga tidak bisa

diselesaikan. @ntuk itu salah satu bilangan tak diketahui ditetapkan, dan

kemudian dicari ketiga bilangan yang lain. Dianggap bah(a a ditetapkan,

sehingga persamaan a/ sampai persamaan c/ dapat diselesaikan dan

menghasilkan5

2 2 aa −=

222

2

aq p ==

%arena nilai a dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak

metode $unge-%utta order .

Diba(ah ini merupakan 3 metode $unge-%utta order yang sering

digunakan.

a/ Metode Heun


9/11


10/11

/, ii2 y x f k =

/=

2,=

2 2ii xk y x x f k ++=

c/ Metode Ralston

Dengan memilih a +3

, akan menghasilkan kesalahan pemotongan

minimum untuk metode $unge-%utta order . Dengan a +3

, didapat5

.;

3

.3

2

222

2

==

=

q p

a

sehingga 5

xk k y y =/3

3

2 2i2i ++=+

dengan5

/, ii2 y x f k =

/=;

3,=;


/ Metode Runge-Kutta Order 3

Metode $unge-%utta Order 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan

order untuk nilai n + 3. "asilnya adalah B persamaan dengan bilangan

tak diketahui. Oleh karena itu bilangan tak diketahui harus ditetapkan

untuk mendapatkan B bilangan tak diketahui lainnya. "asil yang biasa

digunakan adalah5


11/11

xk k k y y =/;B

232i2i +++=+

dengan5

/, ii2 y x f k =

/=

2,=


/==,= 2ii3 xk xk y x x f k +−+=

3/ Metode Runge-Kutta Order ;

Metode $unge-%utta order ; banyak digunakan karena mempunyai

ketelitian lebih tinggi. Metode ini mempunyai bentuk5

xk k k k y y =/B

2;32i2i ++++=+

dengan5

/, ii2 y x f k =

/=

2,=


/=

2

,=

2

ii3 xk y x x f k ++=

/=,= 3ii; xk y x x f k ++=

Documents

Metnum Fix