Metode ispitivanja dinamike složenih reakcionih sistema · neravnotežnih sistema. 3. Modeliranje složenih reakcionih sistema. II predavanje ... dinamičkih stanja materije koji

Metode ispitivanja dinamike složenih reakcionih sistema

Ljiljana Kolar-Anić i Željko Čupić

Sadržaj

I predavanje (Ljiljana Kolar-Anić)1. Složeni reakcioni sistemi

(Linearni i nelinearni reakcioni sistemi, Nelinearni reakcioni sistemi sa povratnom spregom)

2. Dinamičke strukture složenih reakcionih sistema i samoorganizacija neravnotežnih sistema

3. Modeliranje složenih reakcionih sistema

II predavanje (Željko Čupić)



Sadržaj






Svi reakcioni sistemi, pa i složeni reakcioni sistemi dele se na

Linearne i Nelinearne

a) Ravnotežno stacionarno stanje, t → ∞, v1 = v-1 i v2 = v-2

sk 0,xλ − =

1 -2

-1 2

k kk keq eq eqx a p= = 1 2

1 2

k kk k

eq

eq

pa− −

=

( )1 2 1 2d k k k kdx a p xt − −= + − +

b) Neravnotežna stacionarna stanja, 0 < t < ∞

=>

d kdx xt

= λ − => s kx λ

=

1

1

k

kA X

−

→←2

2

k

kX P

−

→←

1 1 -1 -1( k , k )v a v x= =

2 2 -2 -2( k , k )v x v p= =

Linearni reakcioni sistemi

(A P)

(a)

(b)

xs

xs

xs

λ

(c)

λ2λ1

xs = funkcija stanja (steady state concentration of x)

λ = kontrolni parametar koji označava udaljenost

sistema od ravnotežnog stanja

xs= f(λ)

Linearna zavisnost, Monostabilnost

Nelinearna zavisnost, Monostabilnost

Nelinearna zavisnost, Multistabilnost

Linearni i nenlinearni reakcioni sistemi

Nelinearni reakcioni sistemi

a) Ravnotežno stacionarno stanje, t → ∞, v1 = v-1 i v2 = v-2

1 2eq eq eq

1 2

k kk k

x a p−

−= = eq1 2

1 2 eq

k kk k

pa− −

=

b) Neravnotežna stacionarna stanja, 0 < t < ∞

=>

=>

1

1

k

kA 2X 3X

−

→+ ←2

2

k

kX P

−

→←

2 31 1 2 2

d k k k kdx ax x x pt − −= − − +

3s s 0x x− µ − λ =3d

dx x xt

= − + µ + λ

2 31 1 1 1( = k , = k )v ax v x− −

2 2 2 2( = k , = k )v x v p− −

(A P)

(a)

(b)

xs

xs

xs

λ

(c)

λ2λ1

xs = funkcija stanja (steady state concentration of x)

λ = kontrolni parametar koji označava udaljenost

sistema od ravnotežnog stanja

xs= f(λ)

Linearna zavisnost, Monostabilnost

Nelinearna zavisnost, Monostabilnost

Nelinearna zavisnost, Multistabilnost

Linearni i nenlinearni reakcioni sistemi

x s (a)

0 λ µ

0

0

λ

(b) x s

λ λ 1 2

0

0

µ

x s

(c)

0

0

(d) x s

µ

(a) Uticaj parametara sistema µ i λ naneravnotežna stacionarna stanja intermedijera xs;(b) Presek u xs-λ ravni kada je µ = const. > 0.(c) Presek u xs-µ ravni kada je λ = const.< 0.(d) Presek u xs-µ ravni kada je λ = 0.

Bifurkacioni dijagrami

Fazni prostor i vremenska evolucija oscilatornog sistema

Linearni i nelinearni reakcioni sistemii povratna sprega (feedback)

Linearni Nelinearni1

1

k

kA 2X 3X

−

→+ ←1

1

k

kA X

−

→←2

2

k

kX P

−

→←2

2

k

kX P

−

→←

eq1 2

1 2 eq

pk kk k a− −

=eq1 2

1 2 eq

pk kk k a− −

=

Ravnotežno stacionarno stanje:

Neravnotežna stacionarna stanja:

( )1 2 1 2dx / dt k a k p k k xkx

− −= + − +

= λ −

sxkλ

=

2 31 1 2 2

3

dx / dt k ax k x k x k p

x x− −= − − +

= − + µ + λ3s sx x 0− µ − λ =

Sumarna reakcija u oba slučaja: A P

Povratna sprega

je opšti naziv za fenomen u kome produkt nekog procesa utiče na brzinu svoga nastajanja u pozitivnom ili negativnom smislu

Y PXR

Primeri direktne povratne sprege u hemijskim reakcijama:

+ →X 2Y 3Y

+ →X 2Y Y

autokataliza

autoinhibicija

Povratna sprega je prisutna skoro svuda; tako i unekim hemijskim sistemima, uglavnom svim biohemijskim sistemima, i usvim društvenim sistemima.

Dinamičke strukture složenih reakcionih sistema

Dinamičke strukture složenih reakcionih sistema možemo podeliti na:

1. Vremenske2. Vremensko-prostorne

Sistemi izvedeni iz ravnoteže se mogu samoorganizovati na načine nesvojstvene polaznom stanju. “Tako se pokazuje da neravnoteža može postati izvor reda i da nepovratni procesi mogu voditi novom tipu dinamičkih stanja materije koji se nazivaju disipativne strukture”*

________________*Citat iz predavanja: Ilya Prigogine, Time, Structure and Fluctuations, Nobel Lecture in chemistry, 1977.



Sadržaj






1. Razlaganje malonske kiseline katalizovano bromatnim i metalnim jonima (Belousov-Zhabotinsky oscilatorna reakcija)

U hemiji I fizičkoj hemiji

Fe ili Ce- +3 2 2 2 2 22BrO +3CH (COOH) +2H 2CHBr(COOH) +3CO +2H O→

[MA]0 = 9.0×10–3 mol/L

[MA]0 = 1.2×10–2 mol/L

[MA]0 = 1.6×10–1 mol/L

S. M. Blagojević, S. Anić, Ž. Čupić, N. Pejić, Lj. Kolar-Anić,Phys. Chem. Chem. Phys., 10, 6658-6664 (2008)

Fotografije reakcionog rastvora BŽ oscilatora sa feroinom u različitim trenucima evolucije. (Slika preuzeta iz http://de.wikipedia.org/wiki/Belousov-Zhabotinsky-Reaction.

http://de.wikipedia.org/wiki/Belousov-Zhabotinsky-Reaction�

http://de.wikipedia.org/wiki/Belousov-Zhabotinsky-Reaction�

1. Razlaganje malonske kiseline katalizovano bromatnim i metalnim jonima (Belousov-Zhabotinsky oscilatorna reakcija)

U hemiji I fizičkoj hemiji

Fe ili Ce- +3 2 2 2 2 22BrO +3CH (COOH) +2H 2CHBr(COOH) +3CO +2H O→

[MA]0 = 9.0×10–3 mol/L

[MA]0 = 1.2×10–2 mol/L

[MA]0 = 1.6×10–1 mol/L

Radenković, M., Diplomski rad; Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1990.

S. M. Blagojević, S. Anić, Ž. Čupić, N. Pejić, Lj. Kolar-Anić,Phys. Chem. Chem. Phys., 10, 6658-6664 (2008)

Grafički prikaz procesa koji sedešava na katalizatoru uautomobilu i prikaz načina nakoji se odvija oksidacija CO.

2. Katalitička oksidacija CO do CO2 na površini platine i formiranjesloženih struktura na granici faza

Prof. dr Gerhard Ertl, dobitnik Nobelove nagrade za hemiju 2007. godine, posvetio je svoj naučni rad ispitivanju tipičnih fizičkohemijskih reakcionih sistema, konkretno,kompleksnih procesa i samoorganizacionih pojavana površini čvrstih tela.

Oscilatorna promena brzine formiranja CO2 na Pt (110) u toku vremena. T = 470 K, pCO = 3·10-5 mbar.Strelica označava trenutak brze promene parcijalnog pritiska kiseonika.

Katalitička oksidacija CO do CO2 na površini platine i formiranje složenih struktura na granici faza. (Eksperimentalna ispitivanja)

Prof. dr Gerhard Ertl

Putujući spiralni talasi snimljeni tehnikomfotoemisione elektronske spektroskopije (PEEM);T = 448 K; pCO = 4,3 · 10-5 mbar;pkiseonika = 4 · 10-4 mbar.Dijametar slike je 500 μm.

Nettesheim, S., von Oertzen, A., Rotermund, H. H., Ertl, G., J. Chem. Phys., 98 (1993.), 9977.

U biologiji

Bio

elec

tric

pot

entia

l / m

V

Time / min

Oscilatorna evolucijabioelektričnog potencijalacitoplazme ćelije slatkovodnealge Nittela mucronatta

1996.1984.

Rasprostiranje (širenje) kolonije lišajeva

U Klimatologiji (Meteorologiji)

Najinteresantnije

dinamičke struktureu vremenu

kao što su multistabilnost, prosto oscilatorno dinamičko stanje, oscilacije mešanih

modova i haos,

posmatraćemo malo detaljnije na

reakciji razlaganja vodonikperoksidau prisustvu jodatnog i vodoničnog jona,

poznatoj pod nazivomBray-Liebhafsky (BL) oscilatorna reakcija.

− +→ +3IO , H

2 2 2 22H O 2H O O

Zašto analiziramo Bray-Liebhafsky reakciju?

To je nelinearna reakcija sa povratnom spregom, naizgled veoma jednostavna, ali složena,mada ne tako složena kao što je to bilo koja biohemijska reakcija.

Globalna reakcija (D) je rezultatredukcije (R) jodata do joda ioksidacije (O) joda do jodata posloženoj reakcionoj šemi:

Ako je vR = vO, ⇒ monotono razlaganje.Ako je periodično vR > vO i vR < vO, ⇒ oscilatorno razlaganje.

3 2 2 2 2 22IO 2H 5H O I 5O 6H O (R)− ++ + → + +

2 2 2 3 2I 5H O 2IO 2H 4H O (O)− ++ → + +

2 2 2 2net : 2H O 2H O O (D)→ +

U ovoj složenoj homogenoj katalitičkoj reakciji (ili, bolje, procesu) učestvuju brojni intermedijeri kao što su I2 , I–, HIO, HIO2 i drugi.

References:

(a) and (b): Bray, W. C.

J. Am. Chem. Soc. 1921, 43, 1262.

(c) and (d): Ćirić, J.; Anić, S.; Čupić, Ž.; Kolar-Anić, Lj. Science of Sintering 2000, 32, 187.

O2

/ cm

3

I 2x10

4/

mol

dm

-3

I–

H2O2

R

RR R

R

R

R

RR

R R

O

O O O

OO

O O

Monotona evolucija koncentracije reaktanta R, produkta P i intermedijera X i Y u slučaju reakcije

R→X→Y→P

0 1000 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

,

,

,

,

,

,

YX

PR

konc

entra

cija

/ mol

dm

-3

vreme / min

Vremenska evolucijaBL reakcionog sistemagenerisana udobro mešajućem zatvorenom reaktoru.

Anić, S. Nepublikovani eksperimentalni rezultati Anić, S.; Kolar-Anić, Lj. Ber Bunsenges Phys. Chem. 1986, 90, 1084.

Anić, S.; Mitić, D. J. Serb. Chem. Soc. 1988, 53, 371.S.Anić, Lj.Kolar-Anić, D.Stanisavljev, N.Begović, D.Mitić, React.Kinet.Catal.Lett., 43, 155-162 (1991).

Eksperimentalna ispitivanja

Eksperimentalna istraživanja

se izvode u

zatvorenom i otvorenomreaktoru

Eksperimentalna istraživanjau zatvorenom reaktoru smo upravo videli.

Šema otvorenog ili protočnog reaktora sa mešalicom.

Vremenska evolucija BL reakcije u dobro mešajućem otvorenom reaktoru.

Vukojević, V.; Anić, S.; Kolar-Anić, Lj. J. Phys. Chem. A 2000, 104, 10731.

Eksperimentalna ispitivanja

(a) 60.0 °C(b) 58.8 °C(c) 57.5 °C(d) 55.6 °C(e) 54.4 °C(f) 52.8 °C(g) 50.3 °C(h) 49.8 °C(i) 49.3 °C(j) 48.8 °C(k) 47.8 °C(l) 47.6 °C

Bubanja I N, Maćešić S, Ivanović-Šašić A, Čupić Ž, Anić S, Kolar-Anić Lj, Phys Chem Chem Phys, 18, 9770, 2016

Eksperimentalna ispitivanjaIntermitentna dinamička stanja BL reakcije u dobro-mešajućem otvorenom reaktoru



Sadržaj






Ako želimo da objasnimo različita dinamička stanja složenih sistema, a i da predvidimo njihovo ponašanje, treba da

postuliramo

model mehanizma.

U tu svrhu, pored eksperimentalnih ispitivanja,

mi vršimo i različita teorijska izračunavanjazajedno sa numeričkim simulacijama.

Teorijska proučavanja(Kvantna hemija, Statistička termodinamika, Hemijska reaktivnost)

Begović, N.; Marković, Z.; Anić, S.; Kolar-Anić, Lj. J. Phys. Chem. A 2004, 108, 651.

Begović, N.; Marković, Z.In Selforganization in Nonequilibrium

Systems,Eds. Anić, S.; Čupić, Ž.; Kolar-Anić, Lj.SPCS, Belgrade 2004, p. 215.

Model mehanizma Bray-Liebhafsky reakcije

3 2IO I 2H HIO HIO (R1), (R 1)− − ++ + + −

2 2 2HIO I H I O H O (R2)− ++ + → +

2 2I O H O 2HIO (R3), (R 3)+ −

2 2HIO I H I H O (R4), (R 4)− ++ + + −

2 2 2 2HIO H O I H O H O (R5)− ++ → + + +

2 2 2 2I O H O HIO HIO (R6)+ → +

2 2 2 3 2HIO H O IO H H O (R7)− ++ → + +

3 2 2 2 2 2IO H H O HIO O H O (R8)− ++ + → + +

(Analiza stehiometrijskih mreža, Analiza stabilnosti i osetljivosti)

Schmitz, G.; J. Chim. Phys. 1987, 84, 957.Kolar-Anić, Lj.; Schmitz, G. J. Chem. Soc. Faraday. Trans. 1992, 88, 2343.Kolar-Anić, Lj.; Mišljenović, Đ.; Anić, S.; Nicolis, G. React. Kinet. Catal. Lett. 1995, 54, 35.

Teorijska proučavanja

Reakcioni putevi koji daju sumarne reakcije R, O i D

Reakcioni putevi Sumarnareakcija

(R2) + (R5) + (R6)(R1) + (R5) + (R7)(R-1) + (R2) + (R6) + (R8)(R7) + (R8)

(D)

2x(R1) + 2x(R2) + 2x(R3) + (R4) + 5x(R5)3x(R-1) + 2x(R2) + 2x(R3) + (R4) + 5x(R8)2x(R2) + 2x(R3) + (R4) + 3x(R5) + 2x(R8)

(R)

2x(R-1) + 3x(R2) + 2x(R-3) + (R-4) +5x(R6)(R1) + 2x(R-3) + (R-4) + 2x(R6) + 3x(R7)(R2) + 2x(R-3) + (R-4) + 3x(R6) + 2x(R7)

(O)

Kolar-Anić, Lj.; Čupić, Ž.; Anić S.; Schmitz, G. J. Chem. Soc. Faraday Trans. 1997, 93, 2147.Kolar-Anić, Lj.; Mišljenović, Đ.; Anić, S.; Nicolis, G. React. Kinet. Catal. Lett. 1995, 54, 35.

23 5 6 2 2 1 3 5

3 6 8 3 3 6 7 2 2

k k k [H O ] k k k2 7 4 23k k k k k k k [H O ]

−

− −> + +Uslov nestabilnosti

(Aproksimativni izraz)

0 20 40 60 800.0

5.0x10-4

1.0x10-3

[O2]

C / mol dm-3

0 20 40 60 800.0

2.0x10-5

4.0x10-5

[I2]

0 20 40 60 800.00

1.50x10-3

3.00x10-3

[H2O2]

Numeričke simulacijeBL reakcije u zatvorenom reakcionom sistemu

G.Schmitz, Lj.Kolar-Anić, S.Anić, Ž. ČupićJ. Chem. Edu., 77, 1502-1505 (2000).

S.Anić, Lj.Kolar-Anić,, Ž. Čupić, N. Pejić, V.VukojevićSvet Polimera, 4, 55-66, (2001).C

1000 1050 1100 1150 12000.0

2.0x10-8

4.0x10-8

6.0x10-8

[I- ] / m

ol d

m-3

t / min

1000 1050 1100 1150 12000.0

2.0x10-8

4.0x10-8

6.0x10-8

[I- ] / m

ol d

m-3

t / min

1000 1050 1100 1150 12000.0

2.0x10-8

4.0x10-8

6.0x10-8

[I- ] /m

ol d

m-3

t / min

1000 1050 1100 1150 12000.0

2.0x10-8

4.0x10-8

6.0x10-8

[I- ] / m

ol d

m-3

t / min

400 450 500 550 6000.0

2.0x10-8

4.0x10-8

6.0x10-8

[I- ] / m

ol d

m-3

t / minLj. Kolar-Anić, T. Grozdić, Ž. Čupić, G. Schmitz, V. Vukojević, S.Anić,In Selforganization in Nonequilibrium Systems, SPCS, Beograd 2004. p.115

Numeričke simulacijeBL reakcije u otvorenom reakcionom sistemu

Put u haos preko udvajanja perioda

j0 = 5.08175×10–3 min–1

j0 = 5.085×10–3 min–1 j0 = 5.082×10–3 min–1 j0 = 5.0818×10–3 min–1

j0 = 5.0816×10–3 min–1 (haos)

0 100 200 300 400 500 600 700 8001

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-8

time

(I-)

Slučaj 123

0.110.12

0.130.14

0.150.16

0

1

2

x 10-4

0

0.5

1

1.5

x 10-6

H2O2I2

HIO

0.112

0.114

1.73 1.732 1.734 1.736 1.738 1.74 1.742

x 10-4

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

x 10-7

I2

H2O2

HIO

0.11250.113

0.11350.114

0.11450.115

1.7321.734

1.7361.738

1.74

x 10-4

3.4

3.6

3.8

4

4.2x 10

-7

I2

HIO

Ako znamo da modeliramo Bray-Liebhafsky reakciju ili bilo koju drugu oscilatornu reakciju,

mi možemo modelirati i druge kompleksne reakcione sistemei predvideti samoorganizacione pojave u njima.

Zašto modeliramo složene reakcione sisteme?I

Modeliranjem je moguće predvideti ponašanje sistema i nastajanje različitih dinamičkih struktura.

IIModeliranje

je jedan od načina ispitivanja mehanizma složenog procesa.

Katalitičko razlaganje azot suboksida (N2O) u azot (N2) i kiseonik (O2) na zeolitu Cu-ZSM-5 u otvorenom reaktoru

conc

entr

atio

n /p

pm

time / s

Primer 1.

Ochs, T, Turek, T., Chemical Engineering Science, 54 (1999) 4513-4520.

Modeliranjekompleksnog ekološkog procesa:Formiranje jodnih aerosolau priobalju mora

1. N. Begović, Z. Marković, S. Anić and Lj. Kolar-AnićEnvironmental Chemistry Letters, 2(2), (2004) 65-69.

Primer 2.

Primer 3.

CRH = kortikotropni oslobađajući hormonACTH = adrenokortikotropinCORT = kortizol (Glukokortikoidni hormon)ALDO = aldosteron (Mineralokortikoidni hormon)P1 i P2 su produkti

Oscilatorna evolucija kortizola u neuroendokrinom sistemu

S. Jelić, Ž. Čupić, Lj. Kolar-Anić,Mathematical Biosciences, 197 (2005) 173-187

0 8 16 24 32 40 4820

30

40

50

Corti

sol c

once

ntra

tion

/ n

mol

dm

-3

Time / hour

(a)

0 8 16 24 32 40 48

0.8

1.0

Daily

rhyt

hm in

dim

ensio

nles

s fo

rm

Time / hour

(b)

0 8 16 24 32 40 4820

30

40

50

Corti

sol c

once

ntra

tion

/ n

mol

dm

-3

Time / hour

(c)

Modeliranje jednog biohemijskog procesa:

Adrenal cortex

10.0 10.5 11.0 11.5

30

31

32

Corti

sol c

once

ntra

tion

nm

ol d

m-3

Time / hour0.0 0.5 1.0 1.5

23

24

25

26

Corti

sol c

once

ntra

tion

nm

ol d

m-3

Time / hour

0 8 16 2420

30

Corti

sol c

once

ntra

tion

/ n

mol

dm-3

Time / hour

AB

CDA B CD

Perturbacije osnovne funkcije su rađene u četiri različite faze jednog nočnog i jednog dnevnog pika

Smiljana Jelić, Željko Čupić, Ljiljana Kolar-Anić,MODELLING OF THE HYPOTHALAMIC-PITUITARY-ADRENAL SYSTEM ACTIVITY BASED ON THE STOICHIOMETRIC ANALYSISIn “New Research on Neurosecretory Systems”, Eds. E.Romano, S. De Luca, Nova Science Publishers, Inc., New York 2008, pp. 225-245

Oscilatorna evolucija koncentracije kortizola pod stresom

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

A

10.0 10.5 11.0 11.5

30

31

32

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

10.0 10.5 11.0 11.5

30

31

32

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

10.0 10.5 11.0 11.5

30

31

32

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

10.0 10.5 11.0 11.5

30

31

32

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

B

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

C

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

D

Perturbacije u različitim fazama dnevnog pulsa (A, B, C i D),ali uvek sa [CRH] = 1×10-9 mol/L.

0.0 0.5 1.0 1.5

24

25

26

27

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

0.0 0.5 1.0 1.5

24

25

26

27

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

0.0 0.5 1.0 1.5

24

25

26

27

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

0.0 0.5 1.0 1.5

24

25

26

27

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

D

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

C

0 24

25

30

35

Corti

sol c

once

ntra

tion

nmol

dm

-3

Time / Hours

B

0 24

25

30

35Co

rtiso

l con

cent

ratio

nnm

ol d

m-3

Time / Hours

A

Perturbacije u različitim fazama noćnog pulsa (A, B, C i D),ali uvek [CRH] = 1×10-9 mol/L.

Odgovor sistema na perturbacije različitim količinama perturbatora u toku obdanice (□) i noći (■).

Vremenska evolucija unutardnevnih oscilacija posle perturbovanja sistema sa CRH

S. Jelić, Ž. Čupić, Lj. Kolar-Anić, V. Vukojević, International Journal of Nonlinear Sciences & Numerical Simulation 10, 1451 (2009)

→→→

→→→→→

→→

→

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

k

k

k

k

k

k

k

k

k1

k2

k3

k

CHOL (R1)CRH (R2)ALDO (R3)

CRH ACTH (R4)CHOL + ACTH CORT (R5)CHOL + ACTH ALDO (R6)ACTH + 2CORT 3CORT (R7)ALDO + 2CORT CORT (R8)CHOL P (R9)CRH P (R10)ACTH P (R11)CORT →

→13

4k

5

P (R12)ALDO P (R13)

Initial model of the HPA system activityat humans

+ cholesterol

The proposed model presents simplified picture of complex mechanism of the HPA system activity, with five crucial variables included in it.

P1 , ... , P5 are products chormone elimination.

1 5 6 9

2 4 10

24 5 6 7 11

2 25 7 8 12

[ ] k (k + k )[ ][ ] k [ ] (1)

[ ] k (k + k )[ ] (2)

[ ] k [ ] (k + k )[ ][ ] k [ ][ ] k [ ] (3)

[ ] k [ ][ ] k [ ][ ] - k [ ][ ] k [

= − −

= −

= − − −

= + −

d CHOL CHOL ACTH CHOLdt

d CRH CRHdt

d ACTH CRH CHOL ACTH ACTH CORT ACTHdt

d CORT CHOL ACTH ACTH CORT ALDO CORT Cdt

23 6 8 13

] (4)

[ ] k + k [ ][ ] - k [ ][ ] k [ ] (5)= −

ORT

d ALDO CHOL ACTH ALDO CORT ALDOdt

(Marković V M, Čupić Ž, Maćešić S, Stanojević A, Vukojević V, Kolar-Anić Lj (2016), Mathematical Medicine and Biology 33, 1–28.Čupić Ž, Marković V M, Maćešić S, Stanojević A, Damjanović S, Vukojević V, Kolar-Anić Lj, (2016), Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, Chaos, 26, 03311.)

Ova istraživanja su objedinjena na projektu Ministarstva za nauku

OI-172015 -Dinamika nelinearnih fizičkohemijskih i biohemijskih sistema sa modeliranjem i predviđanjem njihovih ponašanja pod

neravnotežnim uslovima

Hvala na pažnji.

Mnogo više o ispitivanju dinamike složenih reakcionih sistema, može se naći u knjizi:

Ljiljana Kolar-Anić, Željko Čupić, Vladana Vukojević, Slobodan Anić

Dinamika nelinearnih procesa

(Fakultet za fizičku hemiju, Univerzitet u Beogradu, Beograd 2011)

Documents

Metode ispitivanja dinamike složenih reakcionih sistema · neravnotežnih sistema. 3. Modeliranje složenih reakcionih sistema. II predavanje ... dinamičkih stanja materije koji