METODE NUMERIK

PENDAHULUAN

Masalah nyataModelmatematika

Rumusan masalah

Solusi:• Eksak

• Pendekatan

Metode Analitik vs Metode Numerik

• Metode analitik– menghasilkan solusi eksak (error= 0)– menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi

matematika • Metode numerik

– menghasilkan solusi pendekatan– menghasilkan solusi dalam bentuk angka

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

• Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan

• Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter– Contoh aplikasi : Mathlab, Mathcad,

Mathematica dll

Mengapa perlu belajar Metode Numerik

• Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik)

• Memudahkan dalam memahami aplikasi program

• Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi

• Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar

Prinsip Perhitungan Dalam Numerik

• Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus

“tidak ada algoritma untuk segalanya”• Mencari solusi pendekatan yang diperoleh

dengan cepat dan error kecil

Tahap Pemecahan Persoalan

• Pemodelan– persoalan dunia nyata dimodelkan dalam persamaan

matematika

• Penyederhanaan model– penyederhanaan dari pemodelan sehingga solusinya akan lebih

mudah diperoleh

• Formulasi Numerik– menentukan metode numerik yang dipakai– menentukan algoritma dari metode numerik yang dipilih

• Pemrograman• Operasional (uji coba)• Evaluasi

Proses Penyelesaian Masalah

Berlangsung dalam tahap:• Perumusan secara tepat dari model

matematis dan model numeris• Penyusunan metode untuk pemecahan

masalah.• Penerapan metode untuk menghitung dan

mencari jawaban.

Pemodelan

Perumusan model biasanya dilakukan:• IDEALISASI• APROKSIMASI

Pendekatan dilakukan sedemikian rupa shg hanya hal-hal penting saja yang dimasukkan dalam model.

Pemodelan

IDEALISASI:• menganggap ideal• tidak mengenal ketidakpastian• kurang sesuai dengan realita

Pemodelan

APROKSIMASI:• Pendekatan atau penyederhanaan

perumusan masalah• Solusi pendekatan terhadap solusi eksak• Gabungan dari keduanya

Pada umumnya metode numeris tidak mengutamakan diperolehnya jawaban yang eksak, namun mengusahakan perumusan

metode yang menghasilkan jawaban pendekatan yang dapat diterima berdasar pertimbangan praktis, tetapi cukup dapat memberikan solusi atas persoalan yang

dihadapi.

•Program (software) yang istimewa tidak dapat menggantikan pilihan metode yang buruk

•Program (software) yang buruk dapat merusak metode yang baik

• Penyelesaian secara numeris hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari penyelesaian analitis

• Berarti dalam penyelesaian numeris tsb terdapat error terhadap nilai eksak

Error/Kesalahan

• Walaupun kita berusaha untuk memperoleh jawaban eksak, namun jawaban demikian jarang diperoleh secara numeris

• Pada tiap langkah penyelesaian masalah, dari formulasi hingga komputasi numerisnya, error dan ketidakpastian dapat terjadi

Asal Error/Kesalahan

1. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk mengubah peristiwa real ke dalam model matematis

2. Kesalahan aritmatik dan programming

3. Ketidakpastian dalam data

4. dll.

Sampai berapa besar error/kesalahan itu dapat

ditolerir?

Angka Signifikan (AS)

• Konsep Angka Signifikan adalah bagaimana kita menggunakan angka dan seberapa besar kita mempercayainya.

• Angka signifikan adalah angka yang menyatakan besar nilai dan tingkat keakuratan sebuah hasil pengukuran

• Konsep angka signifikan sering digunakan dalam kaitannya dengan pembulatan

• Jumlah angka signifikan tidak termasuk angka nol yang diperlukan untuk menulis poin desimal

Angka Signifikan (AS)

• Aturan angka signifikan adalah sebagai berikut :– Setiap angka tidak nol adalah angka signifikan.– Nol di antara tidak nol adalah angka signifikan.– Nol di kiri digit tidak nol petama adalah angka

signifikan.– Jika suatu bilangan lebih besar dari 1, maka semua nol

di sebelah angka koma adalah angka signifikan. – Jika bilangan lebih kecil dari 1, maka nol di akhir

bilangan dan terletak di antara digit tidak nol adalah angka signifikan.

– Untuk bilangan yang tidak mengandung koma desimal, nol-nol di belakang mungkin desimal mungkin juga tidak.

Angka Signifikan (AS)

0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Dua arti penting angka signifikan

“AS akan memberikan kriteria untuk merinci

seberapa keyakinan kita mengenai hasil

pendekatan dalam metode numerik”

“AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang

spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak

krn jumlah digit yang terbatas”

(error/kesalahan pembulatan/round-off-

error)

Angka Signifikan (AS)

Akurasi dan Presisi

Presisi• Jumlah angka signifikan

yg menyatakan suatu besaran

• Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

Akurasi• Dekatnya sebuah angka

pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakan

Inakurasi (Tdk akurat)• Simpangan sistematis dari

kebenaran

Error/Kesalahan “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari

ramalan yang dilakukan”

Definisi Error/Kesalahan

• Error/Kesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi:• Kesalahan pemotongan (truncation error) saat

aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

• Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Error/Kesalahan

Definisi Error/Kesalahan

Error = x – x* Error absolut a = |x – x*| Error absolut relatif

x

xxr

*

Jenis Error/Kesalahan

1. Error Bawaan (Inheren)

2. Error Pemotongan (truncation error)

3. Error Pembulatan (round-off error)

4. Error Pemrograman

Error Bawaan (Inheren)

• Merupakan kesalahan dari nilai data (berhubungan dengan error pada data)

• Dapat terjadi karena salah menyalin data, salah membaca skala,

• Kesalahan karena kurangnya pengertian atau pemahaman mengenai data yang diukur

• Kadang disebut juga sebagai error eksperimen jika terjadi saat eksperimen.

Error Pemotongan (truncation error)

• Error pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematis yang benar

• Error yang disebabkan oleh cara pelaksanaan prosedur numeris

• Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.

Error Pemotongan (truncation error)

• Error yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin

• Contoh...

!7!5!3sin

753

xxx

xx

!5!3sin

53 xxxx

ERROR PEMBULATAN (round-off error)

• error yang disebabkan oleh cara pelaksanaan prosedur numeris

• Terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan

• Bilangan dibulatkan pada posisi ke-n dengan membuat semua angka di sebelah kanannya menjadi nol.

• Contoh: – 8632574 dibulatkan menjadi 8633000– 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14

ERROR PEMBULATAN (round-off error)

Contoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 Error a = x – x*

= 0.378546x103 – 0.379x103

= - 0.000454x103 = - 0.454• error tanpa memperhatikan tanda positif atau

negatif error mutlakError a = |x – x*|

= |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

Error Pemrograman

• Error pemrograman dapat terjadi saat penerapan metode ke dalam software/program.

• Untuk itu program harus dibuat seteliti mungkin untuk menghindarkan kesalahan dan perlu dilakukan pemeriksaan sebelum aplikasi real.

PERAMBATAN ERROR

Persoalan:1. Bagaimana error pada suatu titik dalam perhitungan

dirambatkan?

2. Apakah error bertambah atau berkurang setelah pelaksanaan operasi?