Click here to load reader

Iterasi jacobi

  • View
    986

  • Download
    18

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Materi tentang iterasi jacobu

Text of Iterasi jacobi

Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTROBAB 2PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIERBentuk umum dari persamaan linier sebagai berikut:a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1+ a22 x2 + + a2n xn = b2 : :an1 x1+ an2 x2 + + ann xn = bndengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, dan x1, x2, , xn adalah bilangan tak diketahui, serta n adalah jumlah persamaan.Suatu sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks, misalnya:a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1+ a22 x2+ + a2n xn = b2 : :an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bndapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

n21n21nn 2 n 1 nn 2 22 21n 1 12 11bbbxxxa a aa a aa a a atau AX = Bdengan: A adalah matriks koefisien n n. X adalah kolom vektor n 1 dari bilangan tak diketahui. B adalah kolom vektor n 1 dari konstanta.Nilai padavektorkolom Xdapat dicari dengancaramengalikankeduaruaspersamaan dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A= I, maka nilai-nilai elemen X= A1B.Penyelesaiansistempersamaanlinier jugaseringdigunakanmatriksyangditingkatkan, misalnya matriks (3 3) akan ditingkatkan dengan matriksC(3 1), sehingga berbentuk matriks 3 4 menjadi:]]]]]

32133 32 3123 22 2113 12 11|||ccca a aa a aa a a2.1 Metode Eliminasi GaussAdalah metode yang paling awal dikembangkan dan banyak digunakan dalam penyelesaiansistempersamaanlinier, prosedurpenyelesaiandari metodeini adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga atas, sehingga salah satu dari persamaan-persamaantersebut hanyamengandungsatubilangantakdiketahui, dan setiappersamaanberikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta13Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRObaru. Bentuk segitiga diselesaikan dengan penambahan dan pengurangan dari beberapa persamaan, setelah persamaan tersebut dikalikan dengan suatu faktor (konstan).Prosedur hitungan metode eliminasi Gauss, yaitu:]]]]]

32133 32 3123 22 2113 12 11|||bbba a aa a aa a a]]]]]

' '3'213323 2213 12 11|||0 00bbbaa aa a a113 13 2 12 11'223'23'22' '33' '33) () (ax a x a bxax a bxabx Lebihjelasnyakitapandangsuatusistemdari 3persamaandengan3bilangantak diketahui berikut ini:a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1(2.1a)a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2(2.1b)a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3(2.1c)Persamaan pertama dari sistem dibagi koefisien pertama dari persamaan pertama (a11), sehingga menjadi:x1 + 1112aax2 + 1113aax3 = 111ab(2.2)Persamaan (2.2) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua:a21 x1 + a211112aax2 + a211113aax3 = a21111ab(2.3)Persamaan (2.1b) dikurangi persamaan (2.3), sehingga didapat:(a22 a211112aa) x2 + (a23 a211113aa) x3 = (b2 a21111ab) atau '22a x2 + '23ax3 = '2bSelanjutnya persamaan yang telah dinormalkan persamaan (2.2) dikalikan dengan koefisienpertamadari persamaanketiga, danhasilnyadikurangkandari persamaan ketiga dari sistem persamaan asli (persamaan 2.1c), hasilnya adalah:'32ax2 + '33ax3 = '3bDengan melakukan prosedur diatas, maka didapat sistem persamaan sebagai berikut:a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1(2.4a)Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta14Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO'22a x2 + '23ax3 = '2b (2.4b)'32ax2 + '33ax3= '3b(2.4c)Persamaan2.4, ekivalendenganpersamaanaslinya, tetapi variabelx1hanyamuncul pada persamaanpertama, sedang dua persamaan terakhir hanya mengandungdua bilangan tak diketahui, bila kedua persamaan terakhir dapat diselesaikan untuk nilai x2 danx3, maka hasilnya dapat disubstitusikan ke dalampersamaan pertama untuk mendapatkannilaix1.Permasalahanmenjadi lebihsederhana, dari menyelesaikan3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui menjadi penyelesaian 2 persamaan dengan 2 bilangan tak diketahui.Prosedur berikutnya adalah mengeliminasix2dari salah satu dua persamaan terakhir, untukitupersamaan(2.4b)dibagi dengankoefisienpertamadari persamaan(2.4b), yaitu '22a sehingga menjadi: x2 + '22'23aax3 = '22'2ab(2.5)Persamaan 2.5, dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (2.4c):'32ax2 + '32a'22'23aax3 = '32a'22'2ab(2.6)Persamaan (2.4c) dikurangi persamaan (2.6), sehingga menjadi:('33a'32a'22'23aa) x3 = ('3b '32a'22'2ab) atau' '33ax3 = ' '3b Dengan demikian sistem persamaan menjadi:a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1(2.7a)'22a x2 + '23ax3 = '2b (2.7b)

' '33ax3 = ' '3b(2.7c)Sistem persamaan diatas mempunyai koefisien matriks yang berbentuk segitiga atas (aij = 0 untuk i > j), dari persamaan tersebut akan dapat dihitung nilai x1, x2 dan x3, yaitu: ' '33' '33abx (2.8a)'223'23'22ax a bx(2.8b)113 13 2 12 11ax a x a bx (2.8c)dengan demikian sistem persamaan telah dapat diselesaikan.Contoh soal:1) Selesaikan sistem persamaan berikut ini:3x + y z = 5 (c1.a)4x + 7y 3z = 20 (c1.b)Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta15Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO2x 2y + 5z = 10 (c1.c)Penyelesaian:a) Menormalkanpersamaan(c1.a)denganmembagi persamaantersebut dengan koefisien pertama persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga:x + 0,3333 y 0,3333 z = 1,6666(c2)b) Persamaan (c2) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c1.b):4x + 1,3333 y 1,3333 z = 6,6666(c3)c) Persamaan (c1.b) dikurangi persamaan (c3), menjadi:5,6667 y 1,6666 z = 13,3334(c4)d) Persamaan (c2) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c1.c), yaitu 2, sehingga menjadi:2x + 0,6666 y 0,6666 z = 3,3333(c5)e) Persamaan (c1.c) dikurangi persamaan (c5), menjadi:2,6666 y + 5,6666 z = 6,6667(c6)f) Sistem persamaan menjadi:3x +y z = 5 (c7.a)5,6667 y 1,6666 z = 13,3334 (c7.b) 2,6666 y + 5,6666 z = 6,6667 (c7.c)g) Berikutnya mengeleminasi variabelx2dari persamaan (c7.c), untuk itu persamaan(c7.b) dinormalkandenganmembaginyadenganelemenpertama dari persamaan tersebut yaitu 5,6667 sehingga menjadi:y 0,2941 z = 2,3529 (c8)h) Persamaan (c8) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c7.c), yaitu dengan 2,6666 sehingga menjadi:2,6666 y + 0,7842 z = 6,2742 (c9)i) Persamaan (c7.c) dikurangi persamaan (c9), menjadi:4,8824 z = 12,9409j) Setelah dilakukan 3 kali manipulasi sistem persamaan, menjadi:3x + y z = 5 (c10.a)5,6667 y 1,6666 z = 13,3334 (c10.b)4,8824 z = 12,9409 (c10.c)k) Dari persamaan (c10.c), dapat dihitung nilai z, yaitu: z = 8824 , 49409 , 12 = 2,6505.l) Dari persamaan (c10.b) dan nilaizyang didapat, maka nilaiydapat dihitung yaitu: Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta16Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTROy = 6667 , 5) 6505 , 2 6666 , 1 ( 3334 , 13 + = 3,1325.m) Dengan persamaan (c10.a) serta nilaiydan z yang didapat, maka nilaixdapat dihitung, yaitu: x = 35 z y + = 36505 , 2 1325 , 3 5 + = 1,506.Jadi hasil penyelesaian sistem persamaan adalah:x = 1,506 ;y = 3,1325danz = 2,6505.Untukmengetahui benartidaknyahasil yangdidapat, nilaix,ydanzyangdidapat disubstitusikan ke sistem persamaan asli:3(1,506) + 3,1325 2,6505= 5 (= 5)4(1,506) + 7(3,1325) 3(2,6505) = 20 (= 20)2(1,506) 2(3,1325) + 5(2,6505) = 9,9995 (10)2) Berapakah nilai x, y, z dari persamaan ini: x +y + 2z = 9 2x +4y 3z = 13x +6y 5z = 0Penyelesaian:a) Mengubah persamaan ke dalam matriks yang diperbesar: ]]]]]

0 5 6 31 3 4 29 2 1 1b) Matriks tersebut dijadikan ke bentuk eselon baris: ]]]]]

3 1 0 0217271 09 2 1 1c) Sistem yang bersesuaian dengan matriks adalah:x + y + 2z= 9 y 27z = 217 z = 3d) Nilai z telah diketahui, maka elemen y dapat pula diketahui, yaitu: y 27(3) = 217 y = 217 + 27(3)y = 217 + 221 y = 24 y = 2e) Dengan diketahui nilaiz= 3 dan y= 2, maka nilaixdapat pula diketahui, yaitu:x + y + 2z = 9 x = 9 y 2z x = 9 2 2(3) x = 9 2 6 x = 1Jadi nilai x, y, z dari persamaan diatas adalah x = 1,y = 2, dan z = 3.2.2 Metode Gauss-JordanJurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta17Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTROMetodeini hampir samadenganmetodeeliminasi Gauss, metodeini selainuntuk menyelesaikan sistempersamaan linier, juga dapat digunakan untuk menghitung matriks inversi. Pada metode ini bilangan tak diketahui dieliminasi dari semua persamaan, yangdalammetodeGaussbilangantersebut dieliminasi dari persamaan berikutnya, dengan demikian langkah-langkah eliminasi menghasilkan matriks identitas.Prosedur hitungan metode Gauss-Jordan, yaitu:]]]]]

32133 32 3123 22 2113 12 11|||bbba a aa a aa a a ]]]]]

321|||1 0 00 1 00 0 1bbb ]]]]]

32121|||1 0 00 00 0bbbxxLebihjelasnyakitapandangsuatusistemdari 4persamaandengan4bilangantak diketahui berikut ini: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1(2.9a)a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2(2.9b)a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3(2.9c)a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4(2.9d)Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu:]]]]]]

]]]]]]

]]]]]]

4321432144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11bbbbxxxxa a a aa a a aa a a aa a a a(2.10)Pada metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan elemen pertama tidak 0 dari setiap baris matriks.1) Pertamakali barispertamadari persamaan(2.10) dibagi denganelemen pertama dari persamaan pertama, yaitu a11, sehingga didapat:]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

432'1432144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 21'14'13'121bbbbxxxxa a a aa a a aa a a aa a aElemen pertama dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara berikut ini:a) Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua (a21) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua.b) Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan ketiga (a31) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.c) Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan keempat (a41) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.Operasi ini menghasilkan sistem persamaan sebagai berikut:Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta18Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

'4'3'2'14321'44'43'42'34'33'32'24'23'22'14'13'120001bbbbxxxxa a aa a aa a aa a a(2.11)2) Kemudian dipilih elemen pertama tidak 0 dari baris kedua yaitu '22a , dan prosedur diatas diulangi lagi untuk baris kedua.Baris kedua dari persamaan diatas dibagi dengan elemen '22a , sehingga didapat:]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

'4'3' '2'14321'44'43'42'34'33'32' '24

Search related