MÈTODES 2

8/20/2019 MÈTODES 2

1/106

INTRODUCCIÓ

DESCRIPCIÓ DE L’ASSIGNATURA

El text-guia que teniu a les mans ha estat escrit per a l’assignatura de MètodesMatemàtics de la F́ısica del tercer semestre de l’ensenyament de F́ısica. Aquesta assig-natura consta de 9 crèdits, dels quals 6 corresponen a classes de teoria, i 3, a problemes.

L’estudiant ja està familiaritzat amb els elements bàsics d’àlgebra i càlcul i ara had’aprendre les tècniques de variable complexa i dels mètodes avançats de les matemàtiquesque es requereixen en F́ısica Quàntica, Òptica, etc. i en la major part d’assignatures desegon cicle.

OBJECTIUS

L’objectiu principal és proporcionar a l’estudiant les eines matemàtiques bàsiques per ala resolució de problemes f́ısics. D’una manera general podem dir que és molt importantque l’alumne adquireixi sòlidament les tècniques d’integració en variable complexa i les deresolució d’equacions diferencials de segon ordre.

CONEIXEMENTS PREVIS

L’assignatura requereix un coneixement satisfactori del càlcul en una i diverses variables,objectiu de les assignatures del primer any Anàlisi Matemàtica I i II. És la darrera assig-

natura obligatòria de matemàtiques (encara que té una orientació essencialment f́ısica), iexigeix que l’alumne tingui familiaritat i agilitat amb els conceptes bàsics del càlcul.

METODOLOGIA

Aquesta és una assignatura orientada especialment a la resolució de problemes. No caldir que la llista de problemes proporcionada independentment complementa perfectamentles classes de teoria; per altra banda, el nombre de crèdits es troba repartit adequadamentperquè es pugui portar una bona coordinació entre les classes de teoria i les de problemes.Aquestes darreres són especialment importants, i mai no s’haurien de reduir a una exposici ósistemàtica de la llista de problemes per part del professor. El treball continuat de l’alumne

és indispensable per a la bona marxa del curs; si aquest no existeix majoritàriament, elritme, l’atenció i la motivació de tothom decreix.

A part dels apunts de classe, l’estudiant hauria de tenir la curiositat suficient per con-

8/20/2019 MÈTODES 2

2/106

ii

sultar alguna part, com a mı́nim, de la bibliografia addicional que normalment indica elprofessor, la qual cosa serà enormement útil per a l’alumne ara i més endavant; a causa delfet que cap text mai no és exhaustiu, sovint calen diferents referències bibliogràfiques per auna satisfacció personal definitiva.

CRITERIS D’AVALUACIÓ

El criteri d’avaluacío es basa en l’examen final, encara que el professor a càrrec del’assignatura podria afegir-ne d’altres. En qualsevol cas, l’estudiant haurà de demostrar queconeix el contingut de l’assignatura aprovant l’examen, que constarà d’una prova objectivamultiresposta i d’una sèrie de problemes.

8/20/2019 MÈTODES 2

3/106

iii

PROGRAMA DE L’ASSIGNATURA

El programa consta de tres parts diferenciades: la primera d’elles correspon a la Teoriade Variable Complexa; la segona, a les Equacions Diferencials de Segon Ordre, i la tercera,a les Transformades Integrals.

El contingut detallat del programa es troba exposat en la Guia de l’Ensenyament deF́ısica. El text-guia cobreix els dos darrers temes.

ÚS DEL TEXT-GUIA

El text-guia pot ajudar l’estudiant en la tasca de planificaci ó de l’estudi, a part de seruna referència clara i fiable del contingut de les parts segona i tercera del programa del’assignatura, amb el nivell adequat a la maduresa de l’estudiant de segon any.

Aquesta és una guia per a les classes de teoria, encara que hi ha exemples escollits dins eltext que serviran per a la resolució d’altres problemes. Aquests exercicis proposats al llargdel text exemplifiquen o clarifiquen una certa situació que es vol posar en relleu, més que noplantegen un problema perquè sigui resolt per l’estudiant. Són els problemes de la col.leccióels que l’estudiant ha d’intentar de resoldre d’una forma autònoma, amb l’ajut d’aquest text-guia i les notes preses a classe. No intentem, però, que el text sigui l’única referència; moltsdels punts tractats aqúı seran ampliats pel professor des del seu punt de vista personal i

molts d’altres podran ser ampliats pel propi estudiant amb les referències que s’han inclòs enels apartats corresponents. D’altra banda, hi ha altres punts que possiblement sobrepassenel nivell d’exigència de l’assignatura, però nosaltres els hem volgut incloure com a futurspunts de referència per a l’estudiant.

CONTINGUTS DEL TEXT-GUIA

Encara que el text-guia no inclou tot el programa de l’assignatura, el nostre objectiu haestat el de tenir en un text unificat tot el que els estudiants de primer cicle necessiten sabersobre les equacions diferencials en derivades parcials de la F́ısica. Aix́ı hem deixat de bandaels temes dedicats a la variable complexa, que, dins el nivell requerit en el Pla d’estudis, ja

ha estat cobert per altres publicacions en català.

El text-guia consta de 6 capı́tols, els cinc primers cobreixen la segona part del programai el darrer, la tercera. Els dos primers caṕıtols són més generals i constitueixen la base imotivació per a l’estudi de les solucions d’equacions diferencials, desenvolupat en els capı́tols3, 4 i 5; el darrer caṕıtol torna a ser de caràcter general i introdueix les transformadesintegrals.

Més detalladament, el contingut es pot desglossar de la forma següent. El primer capı́tolestà dedicat a un estudi general de les equacions diferencials en derivades parcials queapareixen comunament en la F́ısica. Aquestes equacions normalment permeten de ser at-

acades mitjançant el mètode de separació de variables que porta a equacions diferencialsordinàries amb punts singulars. Són justament els comportaments a prop d’aquests puntsels interessants i per això s’estudia el mètode de Fröbenius, per trobar solucions en forma

8/20/2019 MÈTODES 2

4/106

iv

de sèrie de potències al voltant dels punts singulars regulars. Finalment introdüım, a unnivell bàsic, el concepte de propagador o funció de Green. En el segon caṕıtol presentem lateoria de Sturm-Liouville com un problema de diagonalitzacío d’operadors diferencials. Elnostre objectiu en aquest punt és més pràctic que rigorós, ja que només introdüım els con-ceptes bàsics que s’utilitzaran posteriorment en exemples concrets. A continuaci ó apliquemaquesta teoria a l’equació diferencial de l’oscil.lador harmònic. Presentem doncs els desen-volupaments en sèrie de Fourier com un cas particular de desenvolupament en funcionspròpies d’un cert operador diferencial de segon ordre. Els caṕıtols 4 i 5 es dediquen, respec-tivament, a l’estudi dels polinomis de Legendre i de les funcions de Bessel, de nou com aexemples d’aplicació de la teoria de Sturm-Liouville per a problemes f́ısics amb unes certessimetries. Finalment, en el darrer capı́tol s’enuncien les principals propietats de les trans-formades integrals de Fourier i Laplace; veient-les com a potents eines per a la resoluciód’equacions diferencials en derivades parcials.

AGRAÏMENTS

Aquestes notes han anat madurant al llarg dels anys que hem tingut ocasió de dedicar-nos, primer, a l’antiga assignatura Mètodes Matemàtics de la Fı́sica III i, actualment, a lade Mètodes Matemàtics de la F́ısica. En aquest procés hi han col.laborat tots els nostrescompanys en les assignatures, els professors Alfred Molina, Conrad Pérez, José AlbertoLobo, Enric Verdaguer, José M.M. Senovilla, i especialment en Josep Llosa, per la seva

acurada revisío de la darrera versió.Qualsevol suggeriment que tingueu sobre aquest text-guia, us agraiŕıem que ens el trans-

metéssiu per correu electrònic a [email protected] o [email protected]. A més, mantin-drem una actualització permanent (errates, errors, referències actualitzades, comentaris...)en l’adreça d’internet http://www.ffn.ub.es/metodes/textguia.

8/20/2019 MÈTODES 2

5/106

ÍNDEX

1 EQUACIONS DIFERENCIALS 1

1.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Exemples d’equacions diferencials de segon ordre en derivades parcialshabituals en F́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Generalitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Mètodes de resolució . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Separació de variables en equacions diferencials en derivades parcials 6

1.2 Mètode de Fröbenius per a equacions ordinàries de segon ordre homogènies . 11

1.2.1 Estudi de solucions entorn de punts ordinaris . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Solució entorn de punts singulars regulars . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Determinació d’una segona solució independent a partir d’una solucióconeguda. Mètode del Wronskià . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Mètodes per a equacions no homog̀enies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Mètode de variació de les constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2 Mètode de la funció de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 APÈNDIX: Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 TEORIA DE STURM-LIOUVILLE 31

2.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Espais de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Operadors diferencials lineals de segon ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Condicions de contorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Problema de Sturm-Liouville regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Ortonormalització de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Completesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 SÈRIES DE FOURIER 45

8/20/2019 MÈTODES 2

6/106

vi ÍNDEX

3.1 Introducció. Teoria de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Propietats de les sèries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Identitat de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Altres desenvolupaments relacionats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.1 Espectre d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.2 Sèries de Fourier en sin i cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 POLINOMIS DE LEGENDRE 53

4.1 Equació de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.1 Solució de l’equació de Legendre pel mètode de Fröbenius . . . . . . . 54

4.2 Els polinomis de Legendre P l(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Propietats dels polinomis de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Desenvolupament i converg̀encia de la sèrie de Legendre . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Solucío general de l’equació de Laplace en un problema sense dependència en ϕ 61

4.5 Equació associada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Els polinomis associats de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6.1 Propietats dels polinomis associats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.7 Els harmònics esfèrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7.1 Propietats dels harmònics esfèrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7.2 Solució general de l’equació de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7.3 Desenvolupament en sèrie de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 FUNCIONS DE BESSEL 71

5.1 Obtenció de l’equació diferencial de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Solucío de l’equació de Bessel pel mètode de Fröbenius . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Funcions de Bessel d’ordre semienter (Funcions de Bessel esfèriques) . . . . . 75

5.4 Funcions de Bessel de segona espècie. Funcions de Neumann . . . . . . . . . 76

5.5 Funcions de Bessel modificades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.6 Propietats de les funcions de Bessel de primera espècie . . . . . . . . . . . . 79

5.7 Ortogonalitat de les funcions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7.1 Forma canònica de l’equació de Bessel. Hermiticitat de l’operadordiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7.2 Sèries de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.8 APÈNDIX: La funció gamma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 TRANSFORMADES INTEGRALS 91

8/20/2019 MÈTODES 2

7/106

ÍNDEX vii

6.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1.1 Definició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.2 Propietats de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1.3 Producte de convolució de dues funcions . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Definició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.2 Propietats de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.3 Teorema de convolució . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.4 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8/20/2019 MÈTODES 2

8/106

viii ÍNDEX

8/20/2019 MÈTODES 2

9/106

CAPÍTOL 1

EQUACIONS DIFERENCIALS

1.1 Introducció

En aquest caṕıtol estudiarem les equacions diferencials de segon ordre en derivades parcials.Veurem com convertir aquestes equacions en equacions ordinàries i introduir nous mètodesper a la seva resolució.

Per què estudiem amb tant de detall un tipus tan concret d’equacions diferencials: les

equacions diferencials de segon ordre en derivades parcials? Perquè són equacions queapareixen molt sovint en la resolució de problemes f́ısics. Bona part de les solucionsanaĺıtiques que es coneixen s’obtenen a partir d’aquest tipus d’equacions.

Les variables de les quals depenen aquestes equacions són normalment les tres coor-denades espacials i el temps. Aquesta és la situació més comuna, però ocasionalmenttrobem equacions que depenen d’altres variables, com per exemple les de l’espai de lesfases (coordenades i velocitats o moments generalitzats).

Part de la dependència en les variables espacials ve donada en termes de l’operadorlaplacià (∇2 ≡ ∆), que s’expressa de manera diferent en cada sistema de coordenades:1

Coordenades cartesianes (vegeu Fig. 1.1a)):

∇2ψ = ∂ 2ψ

∂x2 +

∂ 2ψ

∂y2 +

∂ 2ψ

∂z 2

Coordenades cilı́ndriques (vegeu Fig. 1.1b)):

∇2ψ =

1

ρ

∂

∂ρ ρ

∂ψ

∂ρ +

1

ρ2

∂ 2ψ

∂ 2

ϕ

+ ∂ 2ψ

∂z 2

1Aquests són els sistemes de coordenades més utilitzats en problemes fı́sics. Per a altres sistemes decoordenades podeu consultar el llibre M. R. SPIEGEL i L. ABELLANAS, Manual de f´ ormulas y tablas de matem´ atica aplicada , Col.lecció Schawm, Ed. McGraw-Hill, 1988, pàg. 105-109.

8/20/2019 MÈTODES 2

10/106

2 CAPÍTOL 1. EQUACIONS DIFERENCIALS

θ

x

z

y

a) b) c)

z

ϕ

ρ

ϕ

r

Figura 1.1: Sistemes de coordenades: a) cartesianes, b) ciĺındriques i c) esfèriques.

Coordenades esfèriques (vegeu Fig. 1.1c)):

∇2ψ = 1r2 sin θ

sin θ

∂

∂r

r2

∂ψ

∂r

+

∂

∂θ

sin θ

∂ψ

∂θ

+

1

sin θ

∂ 2ψ

∂ϕ2

1.1.1 Exemples d’equacions diferencials de segon ordre enderivades parcials habituals en F́ısica

1. Equació de Laplace

∇2ψ = 0

ψ : funció escalar que descriu alguna magnitud f́ısica

En quins problemes f́ısics ens apareix l’equació de Laplace?

• Fenòmens electromagnètics (electrostàtica):

ψ = V , potencial electrostàtic. Aleshores

∇2V = 0és l’equació que satisfà el potencial elèctric en absència de càrregues, tant lliurescom lligades.

• Gravitació:V és el potencial gravitatori en absència de masses.

• Fenòmens de transferència tèrmica:ψ = T , temperatura. Ara

∇2T = 0és l’equació que satisfà la temperatura estacionària en un sistema sense convecció(sòlid o fluid en repòs).

8/20/2019 MÈTODES 2

11/106

1.1. Introducció 3

• Hidrodinàmica:ψ = v, velocitat (funció vectorial ≡ 3 components). Ara

∇2v = 0és l’equació de Navier-Stokes estacionària en un fluid incompressible viscós.

2. Equació de Poisson

Equació que iguala la laplaciana d’una funció desconeguda a una funció coneguda deles variables espacials

∇2ψ = −ρ(r)ε0

• Electrostàtica:ψ és el potencial electrostàtic en presència de càrregues

ρ és la densitat volúmica de càrrega total

• Gravitacióψ és el potencial gravitatori en presència de masses

ρ és la densitat de massa

3. Equació de Helmholtz

∇2ψ + k2ψ = 0

4. Equació de difusió dependent del temps

∇2ψ = 1a2

∂ψ

∂t

per exemple, si ψ = T , temperatura, l’equació

λ∇2T = ∂T ∂t

,

sent λ la difusivitat tèrmica, descriu un procés no estacionari. Representa un procésde no-equilibri, com és la propagació de la calor en un sòlid o en un fluid en el qualno hi ha convecció.

5. Equació d’ones dependent del temps

∇2ψ = 1c2

∂ 2ψ

∂t2

8/20/2019 MÈTODES 2

12/106


Aquesta equacío descriu propagació i correspon a l’equació de Helmholtz incloent enψ la dependència temporal. c és la velocitat de propagació i depèn de cada medi.

Es pot incloure la dependència temporal de les equacions en la laplaciana, mitjançantuna forma diferencial 4-dimensional. Aix́ı en coordenades cartesianes, la laplacianapassa a ser la d’Alambertiana,

2 ≡ ∇2 − ∂

2

∂x24amb x4 = ct

6. Equació de Schrödinger

− h̄

2

2m∇2 + V

ψ = ih̄

∂ψ

∂t

on ψ és una funció d’ona.

7. Equacions de Maxwell

Equacions en derivades parcials per als camps electromagnètics en el buit i en absènciade càrregues.

∇ · B = 0∇ · E = 0

∇ × E = −∂ B

∂t

∇ × B = ε0µ0 ∂ E

∂t

Aquestes són les equacions fonamentals de l’electromagnetisme escrites en el sistemaMKS. En altres sistemes d’unitats (CGS, gaussià o gaussià racionalitzat) la seva ex-pressió pot variar pel que fa a les constants que hi apareixen.

Si prenem el rotacional de la segona equació ens queda

∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ · E =0

) − ∇2 E = −∇2 E = − ∂ ∂t

∇ × B,

amb el que podem obtenir

∇2 E − ε0µ0 ∂ 2 E ∂t2

= 0,

que és l’equació d’ones pel camp elèctric.

8/20/2019 MÈTODES 2

13/106


1.1.2 Generalitats

Totes les equacions anteriors tenen en comú:

• Són equacions lineals en ψEncara que hi ha casos interessants, com els xocs d’ones, que no són lineals, en principinomés tractarem casos que śı són lineals. Si una equació no és lineal no podem garantirl’existència i unicitat de la seva solució.2

• Són equacions diferencials de segon ordre en derivades parcialsLes equacions de Maxwell són en principi de primer ordre, però hi intervenen duesfuncions desconegudes. Si eliminem una de les funcions ens queden equacions desegon ordre.

• Es poden posar comL[ψ] = F

on L és un operador diferencial lineal. En coordenades cartesianes, serà un oper-ador que tindrà la forma L = L(x , y, z, ∂ x, ∂ y, ∂ z, ∂ t). D’altra banda F , el termeinhomogeni de l’equació, és una funció espećıfica caracterı́stica del problema i ψ és lafunció desconeguda, sigui escalar o vectorial.

Un operador diferencial lineal és aquell que compleix

L[λ1ψ1 + λ2ψ2] = λ1L[ψ1] + λ2L[ψ2]sent λ1, λ2 ∈ C. Això és molt important perquè si ψ1,2 són solucions independents del’equació diferencial homogènia

L[ψ1,2] = 0,aleshores qualsevol combinació lineal d’elles també ho serà. I la solució general del’operador es podrà posar com una combinació lineal

ψ = C 1ψ1 + C 2ψ2.

1.1.3 Mètodes de resolució

• Equacions diferencials homogèniesUn primer pas és intentar la separació de variables; separem les equacions enderivades parcials en equacions diferencials ordinàries. Aquestes equacions seran lin-eals i la seva solució té dues constants d’integració. La solució f́ısica d’una equació

diferencial ha de complir uns certs requisits perquè sigui única. Aquestes condicionssón de dos tipus:

2Per a un estudi senzill, però avançat, de les equacions no lineals podeu veure G. F. SIMMONS, Ecua-ciones diferenciales , McGraw-Hill, 1993, Cap. 11.

8/20/2019 MÈTODES 2

14/106


– condicions inicials : especifiquem el valor de la funció i la seva derivada en unpunt y(x0) = a0, y′(x0) = a1.

– condicions de contorn : especifiquem el valor que ha de prendre la funci ó, la sevaderivada o una combinació lineal de les dues en dos punts diferents.

Sota algunes condicions no podrem garantir l’existència o unicitat de la solució.

Una equació diferencial amb les seves condicions inicials o de contorn es presta a dosnivells d’anàlisi:

– global : cerquem la solució en una regió d’extensió finita o infinita.

– local : s’investiga la solucío a l’entorn d’un punt, mitjançant el mètode deFröbenius que estudiarem a continuació.

• Equacions diferencials no homogènies

– Mètode de variació de les constants: es construeix una solució particular a partirde la solució general de l’homogènia.

– Mètode de Green: aquest consisteix en solucions integrals construint la funció deGreen de l’operador diferencial.

També hi ha altres mètodes anaĺıtics, com les transformades integrals (Fourier,Laplace), i mètodes numèrics, basats en el càlcul de diferències finites.

1.1.4 Separació de variables en equacions diferencials en derivadesparcials

Aquest mètode s’aplica a les equacions diferencials homogènies. Consisteix a imposar unaforma factoritzada per a la solució, de manera que es pugui descompondre en funcions in-dependents de les diferents variables. No podem garantir l’existència d’una solució d’aquest

tipus, però si existeix, cosa que es dedueix de la consistència del càlcul, aquest és el mètodemés senzill. Per veure-ho de manera més clara estudiarem dos exemples concrets.

Exemple: Resolució de l’equació de Helmholtz en coordenades cartesianes.

Aquest tipus de problema apareix, per exemple, en estudiar la propagació de la llumen guies d’ona rectangulars o en la resolució de problemes en electrostàtica.

L’equació de Helmholtz és

∇2ψ + k2ψ = 0,

que en coordenades cartesianes s’escriu:

∂ 2ψ

∂x2 +

∂ 2ψ

∂y2 +

∂ 2ψ

∂z2 + k2ψ = 0.

8/20/2019 MÈTODES 2

15/106


Buscarem una solució factoritzada de la forma

ψ(x,y ,z) = X (x)Y (y)Z (z).

Substituint en l’equació anterior tenim

X ”(x)Y (y)Z (z) + X (x)Y ”(y)Z (z) + X (x)Y (y)Z ”(z) + k2X (x)Y (y)Z (z) = 0,

i dividint ara per ψ aquesta equació

X ”

X

+ Y ”

Y

+ Z ”

Z

+ k2 = 0.

Com que k2 és una constant i X ”/X només depèn de x, Y ”/Y de y i Z ”/Z de z,cadascun dels termes haurà de ser una constant per separat. Aix́ı, per exemple,

X ”

X = ℓ =⇒ d

2X

dx2 = ℓX,

que té per solució

X (x) = A1e√ ℓx + A2e

−√ ℓx.

Hem obtingut doncs una equació diferencial ordinària de segon ordre amb coeficientsconstants que podem resoldre fàcilment. Anàlogament,

Y (y) = B1e√ my + B2e

−√ my

Z (z) = C 1e√ nz + C 2e

−√ nz ,

on ℓ, m, n són en principi arbitràries, però han de complir una condici´ o de tancament :

ℓ + m + n + k2 = 0.

Hem aconseguit de separar l’equació en derivades parcials en tres equacions diferencialsordinàries. Ara tenim que, per a qualsevol ψℓmn tal que

ψℓmn(x,y,z) = X ℓ(x)Y m(y)Z n(z) amb l + m + n + k2 = 0,

se satisfà l’equació de partida. Tenim un conjunt de solucions subjectes a una condicióde tancament i això ens determina un pla en l’espai de paràmetres ℓ ,m, n (les constants de separaci´ o no són totes independents). La solució general ψ s’obtindria fent unacombinació lineal de totes les possibles solucions ψℓmn

ψ =

ℓ,m,maℓmnψℓmn amb l + m + n + k

2 = 0,

escollint els coeficients aℓmn de tal manera que es compleixin les condicions de contorn del problema. Veurem més endavant com aquestes limiten també el conjunt de valorsque poden prendre les constants de separació.

8/20/2019 MÈTODES 2

16/106

8/20/2019 MÈTODES 2

17/106


− M sin2 θ − 1Θsin θ ddθsin θ dΘdθ = Q.

La darrera d’aquestes equacions,

1

sin θ

d

dθ

sin θ

dΘ

dθ

+ QΘ +

M

sin2 θΘ = 0,

es transforma, sota el canvi

x = cos θ Θ(θ) = y(x),

en l’equació

(1 − x2)y′′ − 2xy′ +

Q + M

1 − x2

y = 0

que s’anomena equaci´ o de Legendre associada . En el capı́tol 4 veurem com resoldreaquesta equació.

Per altra banda, l’equacío que hem obtingut per a R,

1

r2d

dr

r2

dR

dr

+ k2R − Q 1

r2R = 0,

sota un canvi de variables es transforma en l’equació de Bessel, com veurem en elcapı́tol 5 (pàg. 62).

Hem aconseguit doncs tres equacions diferencials ordinàries de segon ordre, i la soluciómés general serà una combinació lineal de solucions ψQM del tipus

ψQM = RQ(r)ΘQM (θ)ΦM (ϕ)

és a dir,

ψ(r,θ,ϕ) =

Q,M RQ(r)ΘQM (θ)ΦM (ϕ)

on Q, M són en principi valors arbitraris.

Veurem a continuació com aquests paràmetres depenen de les condicions f́ısiques delproblema en consideració. Suposem que l’equació de Helmholtz que estem estudiantcorrespon a un problema f́ısic i ϕ és l’angle azimutal; aleshores és ĺıcit demanar quela solució compleixi certes condicions. En particular exigim que sigui una funció deperı́ode 2π,3 és a dir

Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ)

aleshores, segons l’equació diferencial, aquesta funció haurà de ser de la forma

Φ ∝ exp(√

M ϕ), amb√

M = ±im,m ∈ Z3Aquest fet és conseqüència de què (r,θ, ϕ) i (r,θ, ϕ + 2π) donen el mateix r = (x,y,z).

8/20/2019 MÈTODES 2

18/106


o sigui,

Φ = C 1eimϕ + C 2e

−imϕ

que és una funció periòdica de perı́ode T = 2π/m. Per tant això ens implica queM = −m2 sent m un nombre enter. Veurem també més endavant (caṕıtol 4) queQ = ℓ(ℓ + 1) sent ℓ ara un nombre natural, perquè volem solucions que siguin acotadesen tot l’interval de definició del nostre problema. Per la mateixa raó, els possiblesvalors de m i de ℓ tampoc són completament independents.

Exercici: Resoleu l’equació de Helmholtz en coordenades ciĺındriques.

Exercici: Trobeu el potencial elèctric entre dos elèctrodes paral.lels semiinfinits apotencial nul limitats per un elèctrode pla a un potencial V 0.

Vegem ara alguns exemples d’equacions diferencials ordinàries que apareixen en fer sep-aració de variables en diferents problemes f́ısics:

• Equació de Legendre Correspon a l’equació de Legendre associada fent m = 0.

d2y

dx2 − 2x

1 − x2dy

dx +

ℓ(ℓ + 1)

1 − x2 y = 0

Apareix en problemes en coordenades esfèriques, t́ıpicament fent separació de variablesen l’equació de Laplace o de Hemholtz, quan no hi ha dependència en la variableazimutal.

• Equació de Legendre associada

d2y

dx2 − 2x

1 − x2dy

dx +

ℓ(ℓ + 1)

1 − x2 y

− m2

(1 − x2)2y = 0

• Equació de Bessel

x2d2y

dx2 + x

dy

dx + (x2 − n2)y = 0

Apareix t́ıpicament en problemes en coordenades ciĺındriques i algunes vegades enesfèriques. Correspon a la part que depèn de ρ després d’un canvi adequat.

• Equació de Laguerre

xd2y

dx2 + (1 − x) dy

dx + αy = 0

8/20/2019 MÈTODES 2

19/106

1.2. Mètode de Fröbenius per a equacions ordinàries de segon ordre homogènies 11

• Equació de Laguerre associada

xd2y

dx2 + (1 + k − x) dy

dx + αy = 0

Aquesta equació apareix en Mecànica Quàntica , per exemple, en el problema de l’àtomd’hidrogen. A partir de l’equació de Schrödinger independent del temps en coorde-nades esfèriques, obtenim l’equació de Laguerre prenent la part radial i fent un canviadequat.

• Equació d’Hermite

d2y

dx2 − 2x dy

dx + 2αy = 0

Apareix per exemple en Mecànica Quàntica en el problema de l’oscil.lador hàrmonic,plantejant l’equació de Schr̈odinger independent del temps amb un potencial V =12

kx2.

1.2 Mètode de Fröbenius per a equacions ordinàriesde segon ordre homogènies

Amb aquest mètode estudiarem el comportament de la solucío y(z ) a l’entorn d’un puntz 0. Es tracta d’obtenir la solució en aquesta regió fent un desenvolupament en sèrie depotències.

En general estudiarem localment les solucions d’equacions diferencials del tipus

d2y

dz 2 + P (z )

dy

dz + Q(z )y(z ) = 0

on z es considerarà una variable complexa. P (z ) i Q(z ) són les funcions que defineixenl’equació diferencial. Normalment, es pot predir el comportament de les solucions a propd’un punt z 0 sense saber com resoldre l’equació diferencial. Per a això és indispensablede conèixer quin és el comportament de les funcions P (z ) i Q(z ) a l’entorn de z 0, tal comveurem seguidament.

Considerem doncs l’equació definida en un cert domini del pla complex C. Podem classi-ficar un punt z = z 0 del pla complex segons l’analiticitat o no de les funcions que intervenenen l’equació diferencial.

Punt ordinari de l’equació diferencial: Un punt z 0 és ordinari si les funcions P (z ) iQ(z ) són anaĺıtiques en z 0 i en un entorn d’aquest punt en el pla complex.

8/20/2019 MÈTODES 2

20/106

8/20/2019 MÈTODES 2

21/106


i

Q(z ) =∞n=0

dn(z − z 0)n. (1.3)

Cerquem ara una expressió per als an en funció dels coneguts bn i dn.

Substitüım doncs (1.2) i (1.3) en l’equació diferencial juntament amb(1.1)

∞n=2

ann(n − 1)(z − z 0)n−2 +∞n=1

ann(z − z 0)n−1∞m=0

bm(z − z 0)m +

+

∞n=0 an(z − z 0)

n∞m=0 dm(z − z 0)

m

= 0

que podem reescriure com∞k=0

ak+2(k + 2)(k + 1)(z − z 0)k +∞n=1

∞m=0

anbmn(z − z 0)n+m−1 +

+∞n=0

∞m=0

andm(z − z 0)n+m = 0

Si ara fem el canvi n + m − 1 = k en el segon terme i n + m = k en eltercer els podem posar com

∞k=0

ak+2(k + 2)(k + 1)(z − z 0)k +∞k=0

k+1n=0

anbk−n+1n(z − z 0)k +

+∞k=0

kn=0

andk−n(z − z 0)k = 0

i com que per tal que una sèrie de potències sigui nul.la cal que totsels coeficients en el seu desenvolupament ho siguin, tenim

ak+2(k + 2)(k + 1) +k+1n=0

anbk−n+1n +kn=0

andk−n = 0, ∀k = 0, 1, 2...

Si ara fem un altre canvi k → n − 2 en el primer terme i n → m enels altres dos obtindrem

ann(n − 1) +n−1m=0

ambn−m−1m +n−2m=0

amdn−m−2 = 0, ∀n ≥ 2.

Aixı́, per a n ≥ 2 tenim

an = − 1n(n − 1)

n−1m=0

mambn−m−1 +n−2m=0

amdn−m−2

.

Hem arribat doncs a una relaci´ o de recurrència , que ens relaciona

els diferents coeficients entre ells. És una recurrència perquè podemconèixer el valor de an a partir de tots els anteriors.

Atès que la recurrència ens fixa els coeficients an per a n ≥ 2, resultaque a0 i a1 són constants arbitràries , fet que era d’esperar ja que les

8/20/2019 MÈTODES 2

22/106

8/20/2019 MÈTODES 2

23/106


Exemple:

y′′ + 1

4z2y = 0

Aqúı P (z) = 0 i Q(z) = 1/4z2 i aix́ı z = 0 és un punt singular regular. Intentem detrobar una solució en la forma d’un desenvolupament de Taylor entorn de z = 0:

y(z) =∞n=0

anzn

Substituint en l’equació diferencial tenim

∞n=0

[n(n − 1)an + 14

an]zn = 0 ⇒ (n − 1

2)2an = 0 n = 0, 1, . . . ,

i dedüım doncs que an = 0 per a tot n i l’única solució és la trivial.

Provem ara de fer un desenvolupament alternatiu entorn de z = 0 en la forma

y(z) = zα∞n=0

anzn, (1.4)

sent α un paràmetre per determinar. Substituint en l’equació diferencial tenim∞n=0

[(n + α)(n + α − 1)an + 14

an]zn+α−2 = 0.

Si triem a0 = 1 ens porta a α = 12 . Un cop fixada α, s’han d’anul

.lar la resta decoeficients, an = 0 per a tot n > 0, i la solució serà y(z) =

√ z. Fixem-nos que podŕıem

haver triat un altre coeficient an diferent de zero, per exemple a1 = 1. Aleshoresα = −12 , però això ens genera exactament la mateixa solucío. Podem concloure,doncs, que un desenvolupament del tipus (1.4) ens ha determinat en aquest cas unasolució.

Teorema de Fuchs: Al voltant d’un punt singular regular, existeix una soluci´ odel tipus

y(z ) = (z − z 0)α∞n=0

an(z − z 0)n. (1.5)

amb a0 = 0.Demostració:

Considerem els següents desenvolupaments per a P (z ) i Q(z ),

P (z ) =∞n=0

pn(z − z 0)n−1 i Q(z ) =∞n=0

q n(z − z 0)n−2,

8/20/2019 MÈTODES 2

24/106


amb p0, q 0, q 1 no simultàniament nuls per tal que z 0 sigui un punt singular regular.Si introdüım el desenvolupament proposat per a la solucío i el de les funcionsP (z ) i Q(z ) dins l’equació diferencial obtenim

∞n=0

an(n + α)(n + α − 1)(z − z 0)n+α−2

+

+

∞n=0

(n + α)an(z − z 0)n+α−1 ∞

n′=0

pn′(z − z 0)n′−1

+

+ ∞

n=0 an(z − z 0)n+α

∞

n′=0 q n′(z − z 0)n′−2 = 0.

Introduint k = n + n′

∞n=0

an(n + α)(n + α − 1)(z − z 0)n+α−2 +

+∞k=0

kn=0

an(n + α) pk−n(z − z 0)k+α−2 +∞k=0

kn=0

anq k−n(z − z 0)k+α−2 = 0.

Canviant n per k dins els sumatoris dobles ens queda∞n=0

(z − z 0)n+α−2

an(n + α − 1)(n + α) +nk=0

ak(k + α) pn−k +nk=0

akq n−k

= 0.

Com que cada coeficient ha de ser zero, tenim, per a n = 0,

a0(α − 1)α + a0αp0 + a0q 0 = 0, (1.6)

i per a n ≥ 1,

an(n + α − 1)(n + α) + an(n + α) p0 + anq 0 = −n−1k=0

[ak(k + α) pn−k + akq n−k] ,

que podem posar com

an = − 1(n + α) [(n + α − 1) + p0] + q 0

n−1k=0

[ak(k + α) pn−k + akq n−k] .

Aquesta és la relació de recurrència que determina an en funció dels anteriors

coneguts. També es pot escriure en la forma més compacta

F (n + α)an = −n−1k=0

[ak(k + α) pn−k + akq n−k] ,

8/20/2019 MÈTODES 2

25/106


on hem introdüıt

F (n + α) = (n + α − 1)(n + α) + (n + α) p0 + q 0.

D’altra banda, a partir de (1.6), i tenint en compte que a0 = 0, tenim

F (α) = α2 + ( p0 − 1)α + q 0 = 0 (1.7)

equació de segon grau en α anomenada equació indicial. Encara que l’equaciósigui de coeficients reals les arrels poden ser complexes. Aquesta equació ens

proporciona els exponents α1, α2 que corresponen a dues solucions del tipus(1.5). Prendrem com a criteri d’ordenació dels ı́ndexs Re(α1) ≥ Re(α2).Introduint els exponents α1, α2, que satisfan l’equació indicial

F (α) = α(α − 1) + αp0 + q 0 = (α − α1)(α − α2) = 0

dins l’expressió per a F (n + α), obtenim

F (n + α) = (n + α − α1)(n + α − α2).

Definint ara s = α1 − α2, i substituint α per α1 en l’equació anterior tenimF (n + α1) = n(n + s),

de manera que l’expressió de recurrència per a α = α1 és

an = − 1n(n + s)

n−1k=0

ak [(k + α1) pn−k + q n−k] , n > 0 (1.8)

Ara, com en el cas d’un punt ordinari, i un cop trobada la relació de recurrència

per a les an, haurı́em de veure que realment aquests coeficients representen unasèrie convergent en un entorn de z 0, punt singular regular.

6 Aleshores, la sèrierepresentada pels an trobats, amb a0 = 0 serà una sèrie convergent, i la soluciótambé ho serà dins una corona que exclou el punt z = z 0, de radi no menor a ladistància a la singularitat més propera.

Acabem de veure que substituint una de les arrels de l’equació indicial hem trobat unasolució de l’equació diferencial entorn d’un punt singular regular. Encara n’hem de trobar

una altra. El fet que l’altra arrel generi una solució independent depèn d’una casuı́sticaparticular que analitzarem seguidament. Per a això cal distingir tres casos:

6Per a una demostració podeu veure G. F. SIMMONS, Ecuaciones diferenciales , McGraw-Hill, 1993,pàg. 217-219.

8/20/2019 MÈTODES 2

26/106


• α1 − α2 ∈ N• α1 = α2• α1 − α2 ∈ N

1. α1 − α2 ∈ NEn aquesta situació podem substituir α per α2 dins la relació de recurrència per a an[on ara F (n + α2) = n(n − s)]:

an = − 1n(n − s)

n−1

k=0

[(k + α2) pn−k + q n−k] ak.

i fent a0 = 1 obtindrem una nova sèrie, que proporcionarà la segona solució.Òbviament, la situació conflictiva es pot donar en el cas que s = α1 − α2 ∈ N.

2. α1 = α2

En aquest cas l’arrel doble només genera una solució. Clarament, la segona solució noés de la forma (1.5), i necessitem doncs un mètode alternatiu per trobar una segonasolució.

3. α1 − α2 ∈ NAnalitzant la relació de recurrència per a α = α2 tindrem que l’expressió

n(n − s)an = −n−1k=0

ak [(k + α2) pn−k + q n−k] (1.9)

s’escriu, per a n = s

0·

as =−

s−1

k=0 ak [(k + α2) ps−k + q s−k] .A causa de la pròpia relació de recurrència ak és proporcional a a0, que és el primercoeficient, a través d’un cert coeficient de proporcionalitat, r. Podem posar doncs elsumatori del segon membre com el producte a0 · r,

−s−1k=0

ak [(k + α2) ps−k + q s−k] = a0 · r = as · 0,

i en aquesta situació ens podem trobar amb dos casos:

(a) El coeficient de la relaci´ o de recurrència, r, és zero. En aquest cas a0 i as sónarbitraris. Aix́ı triant:

• a0 arbitrari i as = 0 =⇒ obtenim y2(z )

8/20/2019 MÈTODES 2

27/106


• as arbitrari i a0 = 0 =⇒ obtenim novament y1(z )Exemple:

y′′ − 2z

y′ + 2

z2y = 0

L’equació indicial és α2 − 3α + 2 = 0, amb arrels α1 = 2, α2 = 1. La primerasolució serà doncs

y1(z) =∞n=0

anzn+2

que ens porta a la recurrència

[(n + 2)(n + 1)

−2(n + 2) + 2]an = 0.

D’aquı́, si a0 = 0 es requereix an = 0 ∀n = 0, tenim y1(z) = z2.Fixem-nos ara que, de l’expressió anterior,

0 · a1 = a0 [α2 p0 + q 0] =0

.

Si triem a0 = 0 i a1 = 1, la resta de coeficients an són zero i obtenim y(z) = z2.

És a dir, recuperem la primera solució. En canvi, si triem a0 = 1 i a1 = 0, laresta de coeficients són nuls i tenim y2(z) = z, que és la segona solució.

(b) El coeficient de la relaci´ o de recurrència, r, és diferent de zero. Aleshores lanecessitat de complir la relació de recurrència ens obliga a imposar a0 = 0, amb

as arbitrari, i això ens porta novament a y1.

Exemple:

y′′ + 1

zy′ − 1

4z2y = 0

Ara l’equació indicial és α2 − 14 = 0, que té per arrels α = ± 12 i s = 1. Laprimera solució és z1/2. Per a la segona solució, analitzem la recurrència ambs = 1:

0 · a1 = −a0 [α2 p0 + q 0]

=0

Això implica a0 = 0, mentre a1 és arbitrari, i la resta de coeficients són totsnuls. Aleshores y2(z) = z− 12 ·1 ·z = z 12 , que és exactament la primera solució.

Aix́ı doncs la segona solució no pot ser de la forma (1.5).

Diferència respecte d’un punt ordinari

• En el desenvolupament entorn d’un punt ordinari, tenı́em que la relació de recurrènciaera vàlida per a n ≥ 2 i hi havia arbitrarietat en a a0 i a1.

• Ara l’arbitrarietat només és en a0, associat a cada un dels valors α1, α2. En principiun d’ells, amb a0 = 1, ens portarà a una solució. Si hi introdüım l’altre, no podemgarantir en general l’existència d’una altra solució en forma de sèrie de potències.

8/20/2019 MÈTODES 2

28/106


1.2.3 Determinació d’una segona solució independent a partird’una solució coneguda. Mètode del Wronskià

Si y1, y2 són dues solucions linealment independents de l’equació diferencial

y′′ + P (z )y′ + Q(z )y = 0

el wronskià es defineix com

W = y1 y2y′1 y′2

= y1y′2 − y′1y2i la seva derivada és

W ′ =

y1 y2y′′1 y′′2 = y1y′′2 − y′′1y2.

Si en la darrera expressió substitüım y ′′1 , y′′2 en termes de P, Q i les derivades primeres tenim

W ′ = y1(−P y′2 − Qy2) − y2(−P y′1 − Qy1) = −P (z )(y1y′2 − y2y′1) = −P (z )W .

És a dir, l’equació diferencial que satisfà el wronskià és la següent

W ′ + P (z )W = 0.

Integrant aquesta equacío tenim

W (z ) = exp− z P (z 1)dz 1 , (1.10)on hem d’interpretar la integral com una primitiva ja que qualsevol constant additiva addi-cional és irrellevant. A partir de l’expressió del wronskià també podem veure que

W = y1y′2 − y′1y2 = y21

y2y1

′

i si integrem aquesta darrera equació obtenim

y2(z ) = y1(z ) z W (z 2)

y21(z 2)dz 2. (1.11)

8/20/2019 MÈTODES 2

29/106


Exemple: Trobeu la segona solució de y ′′+y = 0, sabent que la primera és y1 = sin x.

Ara anem a veure com aplicar aquest mètode En el nostre cas on tenim una primerasolució i la funció P (z ) expressades com a sèries de potències. Per simplificar la notació,però sense que suposi una pèrdua de generalitat, suposarem que el punt singular regular ész 0 = 0. Aix́ı, a partir de l’expressió per a P (z )

P (z 1) =∞n=0

pnz n−11 ,

la integral a (1.10) ens queda

z2P (z 1)dz 1 =

∞n=0

pn

z2z n−11 dz 1 = p0 ln z 2 +

∞n=1

pnz n2

n . (1.12)

Si ara introdüım aquesta expressió dins l’exponencial

exp− z2 P (z 1)dz 1 = z − p02 exp−∞n=1

pnz n

2n .

L’exponencial de la sèrie és analı́tica a l’origen, on val 1, i per tant admetrà un desenvolu-pament en sèrie de potències al voltant d’aquest punt, malgrat que no coneixem a priori elradi de convergència d’aquest desenvolupament. També podem fer un tractament similardel factor 1/y21(z 2), aixı́

1

y21(z 2) =

1

z 2α12 (∞n=0 anz n2 )2 = z −2α12

∞

n=0bnz

n2 .

Amb això, tenint en compte que el producte de les dues sèries al voltant de l’origen ensdonarà una altra sèrie de potències de z amb uns nous coeficients cn, podrem escriure per ala segona solució

y2(z ) = y1(z ) z

z − p0−2α12∞n=0

cnz n2 dz 2.

Si tenim en compte, a partir de l’equació indicial, que −

p0 −

2α1

=−

s−

1, tindrem

y2(z ) = y1(z ) z

z −s−12∞n=0

cnz n2 dz 2.

8/20/2019 MÈTODES 2

30/106


Fixem-nos ara que les integrals en potències de z 2 ens donaran potències de z llevat del casen què la potència de z 2 sigui -1, que ens donarà un terme logaŕıtmic. En el nostre casapareixerà quan n = s si s ∈ N

y2(z ) = csy1(z ) ln z + y1(z )∞

n=0,n=sdnz

n−s.

Finalment, atès que y1(z ) = ∞n=0 anz

n+α1 , podem substituir-la en l’anterior i obtenim

y2(z ) = csy1(z ) ln z +∞

n=0,n=sdnz

n+α2 . (1.13)

Aquesta és la forma general de la segona solució independent. Si casualment cs = 0, tindremdues solucions de la forma z α multiplicat per una sèrie de potències enteres i positives, mentreque si és diferent de zero, la segona solucío tindrà un terme logaŕıtmic. De fet podŕıemprendre (1.13) com a punt de partida, substituir en l’equació diferencial i calcular-ne elscoeficients cs i dn; aixı́ obtindŕıem la segona solució independent.

Exemple: Calculem la segona solució de l’equació diferencial

y′′ + 1

4z2y = 0

tenint en compte que la primera solució és y1(z) =√

z.

En aquesta equació P (z) = 0 i per tant el wronskià W (z) = 1. Aix́ı la segona solució

y2(z) = y1(z)

z 1z2

dz2 =√

z ln z.

8/20/2019 MÈTODES 2

31/106

1.3. Mètodes per a equacions no homogènies 23

Resum:Sempre que tinguem un punt ordinari o un punt singular regular el procediment de fer undesenvolupament en sèrie (mètode de Fröbenius) ens porta a, com a mı́nim, una solució del’equació diferencial (Teorema de Fuchs):

y1(z) =∞n=0

an(z − z0)n+α1 (1.14)

El procediment per obtenir una segona solució de l’equació diferencial depèn de les arrels del’equació indicial si el punt és singular regular.

• Si les arrels són diferents i difereixen en un nombre no enter, la segona arrel dóna lloc ala segona solució, per analogia amb la primera amb α2 en lloc de α1.

• Si les dues difereixen en un nombre enter, la primera dóna una sèrie amb uns coeficientsdeterminats per la relació de recurrència. Que la segona doni una solució anàloga o nodependrà del comportament dels coeficients en la relació de recurrència. La segona potser doncs com la primera (1.14) o bé del tipus

y2(z) = csy1(z) ln z +∞

n=0,n=sdnz

n+α2 . (1.15)

• Si les dues arrels són iguals, no podem obtenir una segona solució substituint en la relacióde recurrència perquè ens donaria la primera un altre cop. La segona solució té la forma(1.15) amb s = 0 i α2 = α1.

1.3 Mètodes per a equacions no homogènies

Considerem l’equació diferencial lineal ordinària de segon ordre no homogènia

d2y

dx2 + P (x)

dy

dx + Q(x)y = F (x)

on F (x) és una funció coneguda que pot representar, per exemple, una font (càrregueselectrostàtiques) o un terme de forçament (ones harmòniques forçades).

La solució general d’aquesta equació es pot escriure

y(x) = C 1y1(x) + C 2y2(x) + y p(x)

on y1, y2 són solucions base de l’homogènia i que ja sabem com trobar-les. En canvi y p és

qualsevol solució particular de l’equació no homogènia completa. Els mètodes anaĺıtics queestudiarem per trobar aquesta solució són:

• Variació de les constants

8/20/2019 MÈTODES 2

32/106


• Mètode de la funció de Green• Transformades integrals (Fourier, Laplace...)

1.3.1 Mètode de variació de les constants

Suposem que tenim la següent equació:

y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = F (x)

i coneixem dues solucions linealment independents de l’equació homogènia, y1(x), y2(x).

El mètode consisteix a trobar una solució particular de l’equació que prengui la forma:

y p(x) = C 1(x)y1(x) + C 2(x)y2(x)

on C 1(x), C 2(x) són funcions per determinar. Òbviament, aquesta elecció no imposa caprestricció sobre la forma de la solució particular.

Derivant un cop tenim

y′ = C 1y′1 + C

′1y1 + C 2y

′2 + C

′2y2.

Imposant que C 1(x) i C 2(x) siguin tals que7

C ′1y1 + C ′2y2 = 0, (1.16)

i derivant un altre cop per obtenir y′′,

y′′ = C ′1y′1 + C 1y

′′1 + C

′2y′2 + C 2y

′′2 .

Si substitüım ara en l’equació de partida ens dóna

C ′1y′1 + C 1y

′′1 + C

′2y′2 + C 2y

′′2 + P (C 1y

′1 + C 2y

′2) + Q(C 1y1 + C 2y2) = F (x).

Agrupem ara els diferents termes,

C 1 (y′′1 + P y′1 + Qy1) 0

+C 2 (y′′2 + P y′2 + Qy2) 0

+C ′1y′1 + C ′2y′2 = F,

7Lligam que imposem només per simplificar les expressions. L’arbitrarietat que hem introdüıt mitjançantC 1 i C 2 permet d’introduir una condició subsidiària entre les funcions.

8/20/2019 MÈTODES 2

33/106

1.3. Mètodes per a equacions no homogènies 25

d’on dedüım la segona equació diferencial per determinar les funcions incògnites. Tenimdoncs dues equacions diferencials de primer ordre per a C 1, C 2

C ′1y1 + C ′2y2 = 0

C ′1y′1 + C

′2y′2 = F

Utilitzant la definició del Wronskià de dues funcions

W = y1 y2y′1 y′2

,

i, com que W (y1, y2) = 0 ja que aquestes són solucions linealment independents, podemresoldre el sistema anterior d’equacions algebraiques per la regla de Kramer. Les solucionss’expressen com

C ′1 = − F y2

W (y1, y2)

C ′2 = F y1

W (y1, y2)

i la solució particular buscada és

y p =

− F y2

W (y1, y2)dx

y1(x) +

F y1W (y1, y2)

dx

y2(x).

Les integrals són indefinides i no cal afegir-hi cap constant d’integració, ja que aquestase sumaria a la solució general de l’homogènia.

Exercici: y′′ + y = cos x

1.3.2 Mètode de la funció de Green

Aquest mètode serveix en general per trobar solucions d’equacions diferencials no ho-mogènies amb condicions de contorn. Suposem que tenim una equació diferencial ordinàriade segon ordre

y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = F (x)

8/20/2019 MÈTODES 2

34/106


i unes condicions de contorn tals que

y(x0) = Ay(x1) = B

x0, x1 ∈ D x0 < x1.

La solució completa de l’equació diferencial es pot escriure, fent servir el mètode devariació de les constants, de la següent manera

y = λ1y1 + λ2y2 + xx0

F y1W

dx

y2 − xx0

F y2W

dx

y1.

Imposant les condicions de contorn obtenim dues equacions per a les dues constants λ1,λ2,

A = λ1y1(x0) + λ2y2(x0)

B = λ1y1(x1) + λ2y2(x1) + x1x0

F y1W

dx

y2(x1) − x1x0

F y2W

dx

y1(x1)

que determinen la solució que compleix les condicions de contorn especificades.

Ens podem trobar amb els següents casos, segons quin sigui el rang de la matriu decoeficients:

1. Si y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1) = 0

aleshores la solució existeix i és única.

2. Si y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1) = 0

aleshores, depèn de

Rang

y1(x0) y2(x0) Ay1(x1) y2(x1) B − y2(x1)

x1x0Fy1W

dx + y1(x1) x1x0Fy2W

dx

> Rang y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1) no hi ha solució: és incompatible= Rang

y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1)

hi ha infinites solucions: compatible indeterminat

8/20/2019 MÈTODES 2

35/106

8/20/2019 MÈTODES 2

36/106


Conclusió: Sempre que tinguem condicions de contorn del tipus y(x0) = y(x1) = 0,podem garantir que la solució de l’equació diferencial es pot obtenir simplement integrantla funció de Green constrüıda a partir del terme inhomogeni entre els extrems x0 i x1. Elque hem fet formalment és invertir l’operador diferencial

L[y] = F =⇒ y = L−1[F ]

on L−1 és l’operador integral corresponent.La funció de Green que realitza aquesta inversió té les següents propietats:

1. G és cont́ınua en x = ξ .

2. La seva derivada és discontı́nua en x = ξ :

dG+

dx

ξ

− dG−

dx

ξ

= y′2(ξ )y1(ξ )

W (ξ ) − y

′1(ξ )y2(ξ )

W (ξ ) =

W (ξ )

W (ξ ) = 1.

En general si l’equació diferencial és de la forma a0(x)y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = F , el

salt és 1/a0(x).

3. G(x, ξ ) compleix les condicions de contorn homogènies [y(x0) = y(x1) = 0]

G(x0, ξ ) = y1(x0)y2(ξ )

W (ξ ) = 0,

G(x1, ξ ) = y2(x1)y1(ξ )

W (ξ ) = 0.

4. Satisfà l’equació diferencial homogènia ∀x = ξ .Observem que L[y] = F amb

y =

x1

x0G(x, ξ )F (ξ )dξ.

Si apliquem L en la darrera expressió tenim

L[y] = x1x0

L[G(x, ξ )]F (ξ )dξ = F (x),

amb la qual cosa tenim, per les propietats de la δ de Dirac (vegeu Apèndix), que

L[G(x, ξ )] = δ (x − ξ ),i G serà doncs la solució de l’equació diferencial amb una font puntual a x = ξ .

Exemple: Trobem pel mètode de la funció de Green la solució de l’equació diferencialy′′ + y = x

amb les condicions y(0) = y(π/2) = 0.

8/20/2019 MÈTODES 2

37/106

1.4. APÈNDIX: Delta de Dirac 29

1.4 APÈNDIX: Delta de Dirac

La funció delta de Dirac δ (x) no és una funció pròpiament dita, és el que s’anomena una funci´ o generalitzada o distribuci´ o. F́ısicament, representa una font puntual. Per exemple,podem pensar en una càrrega puntual com una idealització d’una esfera amb una distribuciócont́ınua i uniforme de càrrega fent el ĺımit del radi de l’esfera tendint cap a zero. En aquestcas la densitat de càrrega divergeix però la integral d’aquesta densitat, que ens ha de donar lacàrrega total, ha de romandre finita. Malgrat el seu interès des del punt de vista de la F́ısica,l’estudi de la delta de Dirac, com d’altres distribucions, queda fora de l’objectiu d’aquesttext. Podem introduir breument, però, algunes de les seves propietats més importants.

Definim la delta de Dirac mitjançant les següents propietats:

1. δ (x) = 0 ∀x = 0.2. ∞−∞ δ (x)dx = 1.

3. ∞−∞ f (x)δ (x)dx = f (0), sent f (x) una funció cont́ınua en x = 0.

També es pot entendre com el lı́mit d’una successió de funcions, de les quals són exemple:

δ (x) ≡ limε→0+

sin(x/ε)

πx (1.19)


0 |x| > ε

1/(2ε) |x| ≤ ε (1.20)

δ (x) ≡ limε

→0+

ε

π(x2 + ε2) (1.21)


1√ πε

e−x2/ε (1.22)

Aquesta última es pot veure a la figura 1.2.

8/20/2019 MÈTODES 2

38/106

8/20/2019 MÈTODES 2

39/106

CAPÍTOL 2

TEORIA DE STURM-LIOUVILLE

2.1 Introducció

Abans d’entrar en aquesta teoria recordem algunes de les propietats importants dels vec-tors en un espai euclidià de dimensió finita, que seran força útils a l’hora de fer l’extensiónecessària als espais de funcions, que com veurem és un espai vectorial de dimensió infinita.

Recordem, per exemple, que la dimensió n d’un espai vectorial és el nombre de vectors

linealment independents que pertanyen a l’espai. Considerem un conjunt (arbitrari) devectors {u j} amb j = 1, . . . , n unitaris i ortogonals dos a dos. Aleshores qualsevol vector Aes podrà expressar com

A = a1u1 + a2u2 + . . . + anun

i la forma de calcular els coeficients a j serà tenint en compte les propietats d’ortonormalitat(ortogonalitat i unitarietat) del conjunt de vectors. Multipliquem escalarment per uk

( A, uk) = a1(u1, uk) + a2(u2, uk) + . . . + an(un, uk)

i de tots aquests productes escalars només n’hi ha un que sobreviu que és el que ens dónaak; aix́ı doncs

ak = ( A, uk).

Recordem també que el concepte de producte escalar ens porta al de mòdul o normad’un vector

A = ( A, A) = a21 + . . . + a2n

i a partir d’aqúı al de distància entre dos elements de l’espai vectorial com la norma delvector diferència.

8/20/2019 MÈTODES 2

40/106

8/20/2019 MÈTODES 2

41/106

2.3. Operadors diferencials lineals de segon ordre 33

• Mentre que per al producte per constants, k ∈ C:(kf,g) = k∗(f, g) i (f,kg) = k(f, g)

Aquesta última propietat s’anomena sesquilinealitat .

• És definit positiu , és a dir, si g = 0, llavors (g, g) > 0.Efectivament,(g, g) =

ba g

∗(x)g(x)ω(x)dx = ba |g(x)|2ω(x)dx > 0

• És no degenerat . Si (f, g) = 0, ∀g, llavors f = 0.És conseqüència de l’anterior. Veiem que si (f, g) = 0, ∀g, tindrem en particular que(f, f ) = 0, que per la propietat anterior implica f = 0.

Amb aquest producte escalar definirem la norma d’una funció per:

f ≡

(f, f ) =

ba

dx |f (x)|2ω(x)1/2

.

Utilitzant ara el concepte de norma es pot definir la distància entre dues funcions f i g

d(f, g) = f − g = ba

dx|f (x) − g(x)|2ω(x)1/2 .

Ambdues definicions satisfan les propietats habituals que defineixen una norma i unadistància en un espai vectorial de dimensió finita.

A continuacío veurem quina relació tenen aquestes definicions amb la resoluciód’equacions diferencials de segon ordre amb condicions de contorn. De fet, aquest procés deresolució el veurem com una diagonalització d’operadors diferencials que han de satisfer, amés, unes certes condicions de contorn.

2.3 Operadors diferencials lineals de segon ordre

Donada una equació diferencial de segon ordre

L[y] = a0(x)y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = 0,

sent y(x) una funció complexa de variable real i a0, a1, a2 funcions reals de variable real,s’anomena operador adjunt l’operador L† que actua segons

L†[y] = (a0(x)y)′′ − (a1(x)y)′ + a2(x)y = a0y′′ + (2a′0 − a1)y′ + (a′′0 − a′1 + a2)y

8/20/2019 MÈTODES 2

42/106

34 CAPÍTOL 2. TEORIA DE STURM-LIOUVILLE

L’operador s’anomena autoadjunt si L = L†, és a dir

a0(x)y′′ + a1(x)y

′ + a2(x)y = a0y′′ + (2a′0 − a1)y′ + (a′′0 − a′1 + a2)y,

per tant, l’operador és autoadjunt si i només si a′0 = a1. Aleshores l’equació diferencial espot expressar de la següent manera

L[y] = (a0(x)y′)′ + a2(x)y.

Aquesta expressió s’anomena forma canònica de l’operador diferencial.

Encara que un operador diferencial de segon ordre no sigui autoadjunt sempre n’hi haun d’equivalent que śı que ho és2

ω(x)L[y] = ω(x)a0(x)y′′ + ω(x)a1(x)y′ + ω(x)a2(x)y = ddx

p(x)

d

dx

+ q (x)w(x)y(x).

Podem determinar els { p, q, w} en funció dels {a0, a1, a2}.

p(x) = exp x a1(t)

a0(t)dt

q (x) = a2(x) w(x) = p(x)

a0(x),

que són funcions reals perquè el conjunt de les a’s del qual provenen també ho és.

Definim ara l’operador diferencial en la seva forma canònica

L ≡ 1w(x)

d

dx

p(x)

d

dx

+ q (x).

A partir d’ara suposarem que l’operador diferencial pren la forma canònica. És la funciów(x) la que permet que tot operador es pugui expressar en la forma can ònica. Ja veuremmés endavant quin és el paper que té aquesta funció.

2.3.1 Condicions de contorn

Per resoldre una equació diferencial de segon ordre,

1

w(x)( p(x)y′(x))′ + q (x)y(x) = 0,

2Això no passa amb operadors diferencials d’ordre superior.

8/20/2019 MÈTODES 2

43/106

2.3. Operadors diferencials lineals de segon ordre 35

calen dues condicions suplementàries. Denotarem per E el subespai de funcions de Cn

([a, b])que satisfan les condicions de contorn del problema f́ısic associat a l’equació diferencial. Unaforma bastant habitual que poden presentar aquestes condicions suplementàries ve donadaa través de combinacions lineals de y(a), y′(a), y(b), y′(b); tenim doncs

B0[y] = α00y(a) + α01y′(a) + β 00y(b) + β 01y

′(b) = γ 0

B1[y] = α10y(a) + α11y′(a) + β 10y(b) + β 11y

′(b) = γ 1

amb el conjunt {α, β } fixat. Aquestes s’anomenen condicions de contorn mixtes no ho-mogènies . Les corresponents condicions de contorn homogènies s’obtenen si γ 0 = γ 1 = 0,

3

que són les que considerarem a partir d’aquest moment.

Un operador diferencial autoadjunt és hermı́tic si

(f, Lg) = (Lf, g) ∀f, g ∈ Cn([a, b]).

El producte escalar és el relatiu a la funció pes w(x), que fa que l’operador L sigui autoadjunt.Fixem-nos en la diferència entre aquests dos productes escalars

(f, Lg) − (Lf, g) =

= ba

f ∗(x)

d

dx p(x)

dg

dx + wq (x)g(x)

− ba

g(x)

d

dx p(x)

df ∗

dx + wq (x)f ∗(x)

=

= f ∗ pg′]ba − ba

f ′∗ pg′dx − pf ′∗g]ba + ba

g′ pf ′∗dx = [ pf ∗g′ − pf ′∗g]ba = pW (f ∗, g)

ba

.(2.2)

3

Es pot demostrar que l’anàlisi general es pot fer prenent condicions de contorn homogènies sobre lafunció. Sigui y(x) la solució de

a0y′′ + a1y

′ + a2y = h(x),

que satisfà condicions de contorn mixtes no homogènies, i sigui z (x) qualsevol funció satisfent les mateixescondicions de contorn. Resulta que la funció u(x) = y(x) − z(x) satisfà l’equació diferencial

L[u] = L[y] − L[z] = h(x) − L[z] = g(x),

amb condicions de contorn homogènies

B0[u] = B0[y] − B0[z] = γ 0 − γ 0 = 0,

B1[u] = B1[y] − B1[z] = γ 1 − γ 1 = 0.

Per tant, un problema que satisfà condicions de contorn mixtes no homogènies és equivalent a un problemahomogeni redefinint el terme inhomogeni de l’equació diferencial.

8/20/2019 MÈTODES 2

44/106


On podem veure que l’hermiticitat de l’operador diferencial depèn directament de les condi-cions de contorn imposades en el problema. Examinem ara alguns tipus de condicions sotales quals podrem assegurar l’hermiticitat de l’operador diferencial:

1. p(a) = p(b) = 0 Aquesta és una condició lligada estrictament a l’operador diferencial

que ens permet d’obtenir hermiticitat sense haver d’exigir condicions de contorn a lesfuncions del domini.

2. α1f (a) + α2f ′(a) = 0 i β 1f (b) + β 2f ′(b) = 0 . Aquestes condicions s’anomenen no

mixtes perquè no barregen els dos extrems (però barregen funció i derivada). Són

les condicions de contorn més generals que anul.len el Wronskià en un punt.

3. f (a) = f (b) i f ′(a) = f ′(b) si p(a) = p(b). Aquestes són condicions de contornperiòdiques. Si p(x) és periòdica en un interval, podem obtenir hermiticitat exigintcondicions de contorn periòdiques sobre les funcions del domini i les seves derivadesprimeres.

Aquesta llista de possibilitats no és exhaustiva, però recull les més importants. Al llarg delscaṕıtols següents veurem exemples dels tres casos, que representen bona part dels problemesinteressants en F́ısica.

2.4 Problema de Sturm-Liouville

En molts problemes amb equacions diferencials en derivades parcials, la separaci ó de vari-ables condueix a equacions d’autovalors del tipus

L[y] + λy = 0 amb L = 1w(x)

d

dx p(x)

d

dx + q (x).

En general, haurem de determinar totes les solucions yλ diferents de la trivial que satisfanl’equació diferencial, associades a tots els possibles valors del paràmetre λ, sota unes certescondicions de contorn. Aquest problema es coneix amb el nom de problema de Sturm-Liouville . Fixem-nos, de nou, en què aquest és un problema anàleg al de calcular valors ivectors propis d’una matriu.

Exemple: Recordem com l’equació de Laplace en coordenades esfèriques ens porta al’equació de Legendre

(1 − x2)y′′ − 2xy′ + λy = 0

que, en la forma canònica, es pot expressar com

d

dx

(1 − x2) dy

dx

+ λy = 0

8/20/2019 MÈTODES 2

45/106

2.4. Problema de Sturm-Liouville 37

d’on identifiquem

p(x) = (1 − x2) q (x) = 0 w(x) = 1 λ = l(l + 1).

En realitat no hi ha cap garantia que y existeixi per a qualsevol valor de λ. Exigir que λtingui associada una funció pròpia sovint restringeix els valors acceptables de λ a un conjunt discret de valors . Per exemple, en el cas de l’equació de Legendre, λ = l(l + 1), amb ℓ ∈ N.

Les equacions diferencials ordinàries que provenen de les equacions en derivades parcialsde la f́ısica es poden expressar en la forma canònica com un problema de Sturm-Liouvilleamb les següents funcions i paràmetres:

EQUACIÓ DOMINI p(x) q (x) w(x) λ

Legendre −1 ≤ x ≤ 1 1 − x2 0 1 l(l + 1)Legendre associada −1 ≤ x ≤ 1 1 − x2 − m2

1−x2 1 l(l + 1)Bessel 0 ≤ x < ∞ x x2 1/x −n2Laguerre 0 ≤ x < ∞ xe−x 0 e−x aHermite −∞ < x < ∞ e−x2 0 e−x2 2αO.H.S. 0 ≤ x ≤ 2π 1 0 1 ω2

En aquestes equacions sovint apareixen dos termes que multipliquen y(x). Si és una

funció de x es posa en q (x) mentre que λ representa en general la constant de separacióde variables de l’equació diferencial en derivades parcials i sobre el seu valor no tenim demoment cap mena d’informació.

2.4.1 Problema de Sturm-Liouville regular

Sigui

L = 1

w(x)

d

dx p(x)

d

dx + q (x)

un operador diferencial amb les següents condicions:

• q, w reals i continus en [a, b]• p real i derivable amb continüıtat en [a, b]• w > 0 en [a, b].

Aleshores, imposant condicions de contorn tals que l’operador sigui herḿıtic, definim elsegüent problema d’autovalors

L[ui] + λiui = 0, ui = 0

8/20/2019 MÈTODES 2

46/106


conegut com a problema de Sturm-Liouville regular . Aquı́ ui són les funcions pròpies i λi elsvalors propis associats a la funció pròpia ui.

Teorema: Si L és hermı́tic aleshores els seus valors propis s´ on reals i les fun-cions pròpies associades a valors propis diferents s´ on ortogonals.

Demostració:

Sigui

L[ui] + λiui = 0 i L[u j] + λ ju j = 0.

Conjuguem la darrera expressió

L[u∗ j ] + λ∗ ju∗ j = 0

i multipliquem la primera per u∗ j i la segona per ui. Restant tenim

u∗ jL[ui] − uiL[u∗ j ] + (λi − λ∗ j)uiu∗ j = 0.

Finalment, integrem entre a i b amb w(x):

ba

wu∗ jL[ui]dx − ba

wuiL[u∗ j ]dx + (λi − λ∗ j) ba

wuiu∗ jdx = 0

(u j, Lui) − (Lu j, ui) =0

+(λi − λ∗ j)(u j, ui) = 0

i arribem a

(λi − λ∗ j)(u j, ui) = 0.

A partir d’aquesta darrera expressió podem deduir:

1. Si i = j , com que (ui, ui) = ui2 > 0, perquè ui = 0. Per tant resulta queλi − λ∗i = 0 ⇒ λi ∈ R

2. Si λi = λ j ⇒ (ui, u j) = 0

Quan i = j però λi = λ j tenim el que es diu degeneraci´ o.4 Llavors (ui, u j) no t́e per quèser zero. Però sempre és possible de fer-los ortogonals, amb el mètode de Gram-Schmidt,

per exemple.4El conjunt de solucions u ∈ E de L[u] + λu = 0 és un subespai vectorial d’E , que denotarem per E λ.

Si λ no és un valor propi aleshores E λ = {0}, mentre que si λ és un valor propi dimE λ ≥ 1. En el casdimE λ = m > 1, hi ha més d’una funció pròpia per al valor propi λ, i diem que el valor propi λ és degenerat.

8/20/2019 MÈTODES 2

47/106

2.5. Ortonormalitzacío de Gram-Schmidt 39

2.5 Ortonormalització de Gram-Schmidt

El procediment d’ortonormalització de Gram-Schmidt permet, per exemple, de trobar unconjunt ortonormal de solucions per a un λ degenerat. Siguin u1, u2, ..., un un conjuntlinealment independent de solucions amb valor propi λ. Aleshores, existeix un conjuntortonormal de solucions v1, v2, ..., vn.

Definirem un procés iteratiu per construir un conjunt de funcions {vi, i = 1..n} quesatisfan les propietats d’ortonormalitat:

(vi, v j) = δ ij , i, j = 1,...,n.

El primer pas és prendre

v1 = u1u1 , amb u1

2 ≡ (u1, u1) .

Després, si tenim els k primers termes v1, ..., vk, el k + 1-èsim es defineix com:

vk+1 ≡ wk+1wk+1 ,

amb

wk+1 ≡ uk+1 −k1

(vk, uk+1)vk .

Exemple: Aplicació del mètode de Gram-Schmidt al conjunt dels polinomis, amb unafunció pes ω(x) = e−x, en l’interval [0, ∞). Es pot comprovar que aquests polinomissón solució de l’equació diferencial de Laguerre.

Aquest exemple ens serveix per mostrar el mètode de Gram-Schmidt sobre un conjuntarbitrari de funcions. Partint del conjunt dels polinomis linealment independents {xn},obtenim un altre conjunt que satisfà propietats d’ortonormalitat. Fixem-nos que els {xn}no s´ on soluci´ o de l’equaci´ o de Laguerre . Són simplement un conjunt de funcions que hememprat per obtenir un conjunt ortonormal en un interval amb una funci´ o pes donats. Aque-stes dues condicions són les que determinen que el resultat final siguin els polinomis de

Laguerre , que śı són solució de l’equació de Laguerre, xy′′ + (1 − x)y′ + ny = 0.Escollint altres intervals o altres funcions pes el conjunt {xn} porta a altres conjunts de

polinomis ortonormals .

8/20/2019 MÈTODES 2

48/106


Polinomi Interval w(x) Normalització a

Legendre (P n) [−1, 1] 1 22n+1Laguerre (Ln) [0, ∞) e−x 1Associat de Laguerre (Lkn) [0, ∞) xke−x (n+k)!n!Hermite (H n) (−∞, ∞) e−x2 2n

√ πn!

a Aquest tipus de normalització és el que es fa servir habitualment de tal manera que, perexemple,

< P n|P m >= 22n + 1

δ nm

Veurem en els propers temes com obtenir aquests polinomis ortogonals a partir de lessolucions de les respectives equacions diferencials.

2.6 Completesa

Considerarem un conjunt ortonormal de funcions pròpies d’un determinat problema deSturm-Liouville. Habitualment és un conjunt infinit numerable, és a dir, és de la forma

{u j, j ∈ N

}. Podrem intentar d’escriure una funcío contı́nua qualsevol5

d’un nombre finitde funcions pròpies:

f (x) =n j=1

a ju j(x) , a j ∈ C. (2.3)

Això en general no serà possible, però podem buscar la combinacío de les n primeres funcionspròpies que més s’hi aproximi:

S n(x) ≡ n j=1

a ju j(x).

En alguns punts ens aproparem més i en altres menys, fins i tot podem trobar que en algunpunt la sèrie i la funció coincideixin.

5De fet tot el desenvolupament seguit al llarg del caṕıtol es pot estendre a un conjunt de funcions que,sense ser contı́nues, śı són funcions de quadrat integrable. El fet de considerar funcions cont́ınues obeeixa una raó de simplicitat; no obstant això, el problema que plantegen aquestes funcions cont́ınues és queuna successió de funcions cont́ınues pot tenir com a ĺımit una funció discont́ınua. Aleshores la successió

no tindria ĺımit dins el propi espai; es tractaria doncs d’una successió de Cauchy, però no convergent. Elrequisit ”de quadrat integrable” és simplement la condició de norma finita, que garanteix que els productesescalars són acotats. Afegint al conjunt de funcions cont́ınues de quadrat integrable tots els possibles ĺımitsde successions d’aquestes funcions aconseguim la compleció de l’espai de funcions cont́ınues: l’espai defuncions de quadrat integrable.

8/20/2019 MÈTODES 2

49/106

2.6. Completesa 41

Una mesura de la distància entre f i S n la dóna la desviació mitjana quadràtica,

f − S n2 ≡ ba

|f (x) − S n(x)|2dx = (f − S n, f − S n). (2.4)

Per minimitzar aquesta distància ens adonem que f és una funció de les n variables com-plexes a1, ..., an o bé de les 2n variables reals α1, ..., αn, β 1, ..., β n, on hem posat a j = α j+ıβ j ,

F (a1,...,an) = (f − S n, f − S n) =f −

n

j=1a ju j, f −

n

i=1aiui

. (2.5)

que, desenvolupant els productes escalars, s’escriu

F (a1,...,an) = (f, f ) −n j=1

a∗ j(u j, f ) −n j=1

a j(f, u j) +n j=1

|a j|2.

La condició de mı́nim dóna

∂F

∂α j = 0 ⇒ −(u j, f ) − (f, u j) + 2α j = 0 (2.6)

i

∂F

∂β j= 0 ⇒ +ı(u j, f ) − ı(f, u j) + 2β j = 0 , (2.7)

que té per solució

α j = ℜ(u j, f ) , i β j = ℑ(u j, f ) ,

és a dir,

a j = (u j, f ) , j = 1,...,n. (2.8)

La matriu de les derivades segones de F és la matriu unitat 2n × 2n, definida positiva, perla qual cosa (2.8) dóna efectivament el mı́nim de F .

Hem provat, doncs, que el sumatori

S n(x) ≡n j=1

(u j, f )u j (2.9)

8/20/2019 MÈTODES 2

50/106


és la millor aproximació a f que podem tenir amb una combinació lineal de les n funcionsu1, ..., un. Aquesta aproximació millora com més funcions u j considerem. Efectivament,com que S n+1 = S n + (un+1, f )un+1, resulta que

f − S n+12 = f − S n − (un+1, f )un+12 = f − S n2 − (un+1, f )2 ≤ f − S n2.

La millor aproximació llavors la donarà la sèrie:

S (x) ≡∞

j=1(u j, f )u j(x). (2.10)

En principi S (x) només dóna la millor aproximació i no és necessàriament cert quef − S = 0. Tanmateix, és fàcil comprovar que (f − S n, u j) = 0, ∀ j ≤ n i, en conseqüència,(f − S, u j) = 0, ∀ j ∈ N i també (f − S, S ) = 0. D’aqúı es dedueix que

(f, f ) = (f − S, f − S ) + (S, S ) (2.11)

i tenim l’anomenada desigualtat de Bessel:

f 2 ≥ S 2 =∞ j=1

|(u j, f )|2 . (2.12)

Quan podrem dir doncs que la sèrie és vàlida com un desenvolupament de la funció f ,en el sentit de la converg̀encia en mitjana quadràtica? Doncs quan es compleixi la següentrelació6

f 2 =∞ j=1

|(u j, f )|2 , (2.13)

coneguda com a igualtat de Parseval. Aix́ı, en aquest cas, podrem escriure

f = S =∞ j=1

(u j, f )u j . (2.14)

Si aquesta igualtat es compleix ∀f direm que el conjunt de funcions {u j(x), j ∈ N} ésun conjunt ortonormal complet, perquè qualsevol funció f de l’espai considerat es potexpressar com una suma infinita (sèrie ) de múltiples de les un. Ara bé, una sèrie comportadues operacions: la suma i el pas al ĺımit . La igualtat (2.14) vol dir que

limn→∞f − S n = 0 ,

6Tenim una forma alternativa de veure-ho: {S n} és una successió (de Cauchy). Si, a més, és convergentaleshores S n → f (entenent el ĺımit en mitjana quadràtica). Aleshores de (2.11) es dedueix que f 2 = S 2.

8/20/2019 MÈTODES 2

51/106

2.6. Completesa 43

és a dir, convergència en mitjana quadràtica, la qual cosa no vol dir que hi hagiconvergència puntual, que s’expressaria com:

limn→∞S n(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] .

8/20/2019 MÈTODES 2

52/106


8/20/2019 MÈTODES 2

53/106

CAPÍTOL 3

SÈRIES DE FOURIER

3.1 Introducció. Teoria de Sturm-Liouville

L’equació de l’oscil.lador harmònic

d2y

dx2 + λ2y = 0

apareix sovint en problemes amb alguna equació separada per a una variable angular az-imutal (ϕ en esfèriques i ciĺındriques o polars on ϕ ∈ [0, 2π]). Atès que la forma canònica del’operador diferencial és directament ω(x) = 1, p(x) = 1 i q (x) = 0, observem que la period-icitat de p(x) garanteix l’hermiticitat de l’operador diferencial en un domini sota condicionsde contorn periòdiques:

f (0) = f (2π) f ′(0) = f ′(2π).

Per tant, dins la teoria general de Sturm-Liouville, les solucions yλ(x), que satisfan les

condicions de periodicitat anteriors, constituiran una base de l’espai de funcions de quadratintegrable entre 0 i 2π (L2[0,2π]):

• λ = 0 : yλ(x) = A sin λx + B cos λx. Imposant les condicions de contorn ens queda

A · 0 + B = A sin λ2π + B cos λ2π

A + 0 · B = A cos λ2π − B sin λ2π.

Perquè la solució existeixi el determinant dels coeficients s’ha d’anul.lar: sin λ2π cos λ2π − 1cos λ2π − 1 − sin λ2π

= 0 ⇒ 2cos λ2π = 2 ⇒ λ = n amb n = 1, 2, 3, . . .

8/20/2019 MÈTODES 2

54/106

46 CAPÍTOL 3. SÈRIES DE FOURIER

• λ = 0 : y0(x) = Ax + B. En aquest cas les condicions de periodicitat ens imposenA = 0.

Aix́ı, dins la teoria general de Sturm-Liouville, el conjunt de funcions {1, sin nx, cos nx},amb n = 1, 2, 3, . . ., forma una base de l’espai de funcions de quadrat integrable entre 0 i 2 π(L2[0,2π]).

Aquestes funcions satisfan les següents propietats d’ortogonalitat

2π

0

sin mx sin nxdx = πδ mn m = 00 m = 0 ó n = 0 2π0

cos mx cos nxdx =

πδ mn m = 02π m = n = 0

2π0

sin mx cos nxdx = 0 ∀m,n.

També dins la teoria general qualsevol funció pertanyent a L2[0,2π] es pot expressar enfunció de la base de l’espai. Per a això és suficient que la funció compleixi els següentsrequisits: a) ha de tenir com a molt un nombre finit de discontinüıtats finites i b) unnombre finit de valors extrems (màxims o mı́nims).

Definim la sèrie de Fourier d’una funció f (x) com

f (x) = a0

2 +

∞n=1

an cos nx +∞n=1

bn sin nx.

La igualtat anterior l’hem d’entendre com una representaci´ o de la funció f (x) en termes de

les funcions sin i cos, ja que la teoria no ens garanteix que el ĺımit de la successió formadaper les sumes parcials tendeixi punt a punt a la funci ó f (x).

Utilitzant les propietats d’ortogonalitat, els coeficients de la sèrie són

an = 1

π

2π0

f (x)cos nxdx ∀n = 0, 1, 2, . . .

bn = 1

π

2π0

f (x)sin nxdx ∀n = 1, 2, . . .

La definició de an inclou la de a0, ja que per n = 0 la condició d’ortogonalitat és consistentamb l’expressió de la sèrie de Fourier. És a dir, s’ha escrit a0/2 per tal que l’expressió delscoeficients sigui la mateixa per a tot n.

8/20/2019 MÈTODES 2

55/106

3.2. Propietats de les sèries de Fourier 47

També es poden utilitzar per a una definició alternativa de les sèries de Fourier lesexponencials complexes,

f (x) =∞−∞

cneinx.

i ja que les exponencials complexes compleixen

2π

0e−inxeimxdx = 2πδ m,n,

tenim que els coeficients seran

Documents

MÈTODES 2