Metodi matematici per l'ingegneria. - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/01ECPN/AppuntiMate4.pdf · arcotangente l'inversa della funzione tangente esclusivamente

Lezioni del prof. Marco Codegone

appunti di Capuzzo Alessandro v 1.3

Metodimatematici

perl'ingegneria.

Note dell'autore:

Sicuramente non sostituiscono un libro di testo, probabilmente non sono un lavoro sensazionale,

senza dubbio sono molti gli errori, di vario genere;ma questi appunti, presi guardando le videolezioni

di Marco Codegone(professore di analisi matematica presso il Politecnico di Torino)

sono il frutto di settimane di lavoro ea me personalmente sono stati molto utili.

Ho deciso quindi di renderli disponibili in rete per chiunque pensasse di ricavarne un qualche vantaggio,

poichè penso che la condivisione sia il bene che salverà il mondo eperchè ciò avvenga, bisogna uscire dalla logica del guadagno a tutti i costi,

convincendosi che contribuire disinteressatamente alla ricchezza culturale del proprio paese non è tempo perso, né mancato guadagno, ma il bene più grande che si possa fare a sé stessi,

...e ai propri figli.

Capuzzo Alessandro

... buon lavoro.

Indice generaleNumeri complessi..........................................................................................1

Forma cartesiana..............................................................................................................................1Complesso coniugato.......................................................................................................................3Forma trigonometrica.......................................................................................................................4Formula di Eulero............................................................................................................................6Esempi.............................................................................................................................................6Proprietà del modulo e dell'argomento............................................................................................9Seni e coseni complessi.................................................................................................................11Seni e coseni iperbolici..................................................................................................................13Logaritmo complesso.....................................................................................................................14Esponenziale complesso................................................................................................................15

Funzioni a valori complessi.........................................................................17Funzioni reali di variabile reale.....................................................................................................17Funzioni complesse di variabile reale............................................................................................18

Funzioni periodiche.....................................................................................19Analisi armonica..........................................................................................21

Armoniche elementari....................................................................................................................21Energia di un'armonica elementare................................................................................................24

Polinomi di Fourier......................................................................................25Energia di un polinomio di Fourier................................................................................................29Polinomio di Fourier di x(t)...........................................................................................................30

Serie di Fourier............................................................................................35Funzioni continue a tratti...............................................................................................................35Norma e prodotto scalare...............................................................................................................36Traslazioni.....................................................................................................................................37Riscalamento (dilatazione, omotetia)............................................................................................37Convergenza puntuale e convergenza uniforme............................................................................38

Funzioni di variabile complessa..................................................................43Funzioni reali di variabile complessa...........................................................................................43Funzioni complesse di variabile complessa...................................................................................44Integrali di linea in campo complesso...........................................................................................47

Funzioni analitiche......................................................................................49Formule integrali di Cauchy..........................................................................................................531° Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................562° Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................57Esistenza delle derivate di ogni ordine di f(z)...............................................................................57

Sviluppi in serie...........................................................................................59Sviluppi in serie di Taylor..............................................................................................................59Giustificazione della formula di Eulero.........................................................................................62Sviluppi in serie di Laurent............................................................................................................63

Singolarità ...................................................................................................67Singolarità isolate..........................................................................................................................68Poli di 1° ordine.............................................................................................................................69Poli di ordine qualunque................................................................................................................72Singolarità essenziali.....................................................................................................................75Punto all'infinito di C.....................................................................................................................77Singolarità non uniformi................................................................................................................80Singolarità non isolate...................................................................................................................80

Tabelle riassuntive.........................................................................................................................82Osservazioni finali.........................................................................................................................83

Residui.........................................................................................................85Calcolo pratico dei residui in poli del 1° ordine............................................................................88Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1........................................................................90Integrali impropri col metodo dei residui......................................................................................92Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale).................................................................95Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario)....................................................96

Decomposizione in fratti semplici ............................................................101Poli semplici................................................................................................................................101Poli multipli.................................................................................................................................106Poli complessi coniugati..............................................................................................................109

Distribuzioni..............................................................................................115Funzionali....................................................................................................................................115Limiti (nel senso delle distribuzioni)...........................................................................................115Derivate distribuzionali................................................................................................................120Modelli (ingresso - uscita)...........................................................................................................125Prodotto di convoluzione.............................................................................................................125Proprietà del prodotto di convoluzione........................................................................................130

Trasformata di Fourier...............................................................................131Trasformata della porta................................................................................................................131Trasformata della campana razionale..........................................................................................132Trasformata della delta di Dirac..................................................................................................133Trasformata della costante 1........................................................................................................134Antitrasformata di Fourier...........................................................................................................135Proprietà della trasformata di Fourier..........................................................................................136Altre trasformate..........................................................................................................................145Trasformata del gradino unitario.................................................................................................146Equazioni nel dominio delle distribuzioni...................................................................................147Esempi di trasformate di Fourier.................................................................................................150Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta.................................................156Distribuzioni limitate...................................................................................................................159Distribuzioni a crescita lenta........................................................................................................160Treno di impulsi...........................................................................................................................161Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche......................................................................165Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici..................................................................168

Trasformata di Laplace..............................................................................175Trasformata di Laplace bilatera...................................................................................................175Proprietà della trasformata di Laplace.........................................................................................180Esercizi su trasformate fondamentali...........................................................................................184Trasformata di Laplace unilatera.................................................................................................191Antitrasformata di Laplace..........................................................................................................192Esercizi di antitrasformazione.....................................................................................................193Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0................................................................197Considerazioni pratiche...............................................................................................................200Teorema del valor finale..............................................................................................................201Teorema del valore iniziale..........................................................................................................201Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali..........................................................202Applicazione ad un modello concreto.........................................................................................203Separazione dei termini di transitorio e di regime.......................................................................206

z�x� jy

x

y

�

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi

Numeri complessiI numeri complessi si possono presentare in tre forme:

Forma cartesiana

Forma trigonometrica

Forma esponenziale

Forma cartesianaIl numero complesso in forma cartesiana si scrive nel seguente modo:

z�x� jy

con j si intende l'unità immaginaria, ovvero è quel numero complesso che verifica la seguenteuguaglianza:

j2��1

Nei corsi di matematica normalmente l'unità immaginaria è simboleggiata dalla lettera i , mentrenei corsi di applicazione all'elettronica si utilizza la lettera j , perché la i è riservata allacorrente. Noi ci uniformiamo a quest'ultima indicazione in quanto il nostro corso ha una forteinclinazione alle applicazioni elettroniche.

Il vantaggio della forma cartesiana è che si possono leggere immediatamente la parte reale e la parteimmaginaria del numero complesso:

Re z�x

Im z� y

La forma cartesiana presenta invece qualche difficoltà quando se ne vogliono cercare il modulo el'argomento. Rappresentando in un piano cartesiano il numero complesso, si utilizza l'asse delleascisse per la parte reale e l'asse delle ordinate per la parte immaginaria e la loro composizioneindividua un punto nel piano che lo rappresenta.

Il modulo di un numero complesso rappresentaquella che è la distanza del punto del piano xydall'origine, dunque:

�z�� x2� y2 .

Invece l'argomento di un numero complesso èl'angolo � formato dalla semiretta che partedall'asse delle x e ruota fino ad incontrare ilnumero z

E' chiaro che se facciamo una rotazione in sensoantiorario indichiamo l'angolo positivamente, se la facciamo in senso orario, lo indichiamonegativamente.

Come facciamo ad individuare il valore di � ? Se guardiamo in figura abbiamo il triangolo

Forma cartesiana - Pag. 1

��

2�

2

��

2


rettangolo Oxz. In questo triangolo � è l'angolo adiacente al cateto Ox ed opposto al cateto xz,quindi si ha, grazie alla trigonometria:

tg ��yx

��arctg yx

Bisogna però fare una certa attenzione nel calcolodi � , perché la funzione tangente non èinvertibile in tutto il suo dominio: è una funzioneperiodica di periodo � ed essendo la funzionearcotangente l'inversa della funzione tangente

esclusivamente nell'intervallo ��2 ,�2 � ,

la formula così com'è vale solo se l'angolo � ècompreso in tale intervallo, ovvero:

quando la parte reale del numero complesso èpositiva, la formula per ricavarlo è quella scrittasopra.

Se invece l'angolo si trova fuori da questointervallo, ovvero:

quando la parte reale del numero complesso ènegativa, bisogna aggiungere o togliere � (vedifigura : la freccia indica lo spostamento necessarioper rientrare nel dominio dell'arcotangentepartendo con � fuori del dominio

dell'arcotangente, questo spostamento vale � ).

Concludendo:

se x�Re z�0 � arg z��arctg yx

se x�Re z�0 � arg z��arctg yx �

- Pag. 2

z�x� jy

x

y

�

z*�x� jy

��

�

�


Complesso coniugatoIl simbolo z* rappresenta il complesso coniugato di z e si ottiene cambiando il segno dellaparte immaginaria :

se z�x� jy , z*�x� jy

Dal punto di vista geometrico ricavare ilcomplesso coniugato corrisponde a fare unasimmetria rispetto all'asse reale.

La forma cartesiana permette di fare agevolmentesomme e sottrazioni, ma diventa un po' piùproblematica tutte le volte che dobbiamo fareprodotti o potenze. Infatti si vede subito che nellaforma cartesiana il numero complesso corrispondead un binomio, con tutte le conseguenze del caso:un prodotto porta a 4 termini, una potenza ancorapeggio.

Vediamo un esempio:

z��4�3�4 j

dunque:

Re z��4�3

Im z��4

E' sempre molto importante valutare subito modulo ed argomento:

�z��4�32��4

2�8 (osserviamo che il modulo è sempre positivo)

Ciò vuol dire che la distanza dall'origine di z è 8. E'molto importante da comprendere: è come dire che ilnostro numero complesso sta su di una circonferenza dicentro l'origine e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamoadesso l'argomento: dobbiamo subito fare unariflessione sul segno della parte reale. Nel nostro caso ènegativa per cui dobbiamo aggiungere �

arg z�arctg �4�4�3��arctg 1

�3��

6�

7�6

Complesso coniugato - Pag. 3

�

�


Forma trigonometricaIl numero complesso si scrive nella forma:

z��cos�� j sen�

Quando il numero complesso è espresso in forma trigonometrica leggiamo subito il valore delmodulo ( � ) e dell'argomento ( � ).

E' invece necessario qualche calcolo per le parti reale ed immaginaria:

Re z��cos� Im z�� sen�

Il complesso coniugato di z si ottiene cambiando il segno alla parte immaginaria oppurecambiando il segno all'argomento:

z*��cos�� j sen��cos�� j sen��

La validità del secondo membro è facilmente verificabile in quanto il coseno è una funzione pari,dunque cos��cos �� ed il seno è una funzione dispari, dunque �sen��sen�� .

La forma trigonometrica evidenzia il fatto che il complesso coniugato si ottiene semplicementecambiando segno all'angolo � (infatti in questo modo si ottiene la simmetria del numerocomplesso rispetto all'asse delle x).

Vediamo un esempio.

z�5cos 4�3 � j sen 4�

3 Per rappresentare questo numero nel piano cartesiano osserviamo che il numero starà su di una

circonferenza di raggio 5 ed il suo modulo formerà un angolo di 4�3

con l'asse delle x.

Calcoliamo le parti reale ed immaginaria

Re�5cos 4�3 �5�1

2��52

Im z�5sin 4�3 �5��3

2 ��5�3

2

Il numero complesso può essere così espresso in

forma cartesiana: z��52�5 �3

2

ed il coniugato è z*��52�5 �3

2=

5cos�4�3 � j sen�4�

3

Forma trigonometrica - Pag. 4

z

z�z�

Circonferenza unitaria


Vogliamo fare adesso delle considerazioni che ci introducano alla forma esponenziale. La seguenteuguaglianza è sicuramente ovvia:

z��z�z�z�

Geometricamente questo vuol dire che ogninumero complesso può essere scritto come ilprodotto di un numero reale �z� per un numerocomplesso che sta sulla circonferenza unitaria

z�z�

.

Abbiamo fatto questa osservazione perché per ora vogliamo occuparci esclusivamente di numericomplessi che hanno modulo 1.

Prendiamo i seguenti numeri complessi e scriviamoli in forma trigonometrica:

�z1��1 � z1�cos�1� j sen�1

�z2��1 � z2�cos�2� j sen�2

e moltiplichiamoli tra loro:

z1 z2�cos�1 cos�2�sen�1 sen�2� j cos�1 sen�2�sen�1 cos�2

ricordando le formule di addizione e sottrazione

z1 z2�cos�1 cos�2�sen�1 sen�2�cos�1��2

� j cos�1 sen�2�sen�1 cos�2�sen�1��2

risulta

z1 z2�cos �1��2� j sen �1��2

Questo è un risultato estremamente interessante perché illustra che per fare il prodotto di duenumeri complessi ci siamo ricondotti a fare una somma tra gli argomenti. Vi è un'analogia con laforma esponenziale:

ea eb�ea�b

- il prodotto degli esponenziali si traduce in una somma degli esponenti;

� il prodotto dei numeri complessi si traduce in una somma degli argomenti.

�

Questo ci porta a riflettere sulla possibilità che potrebbe esserci una forma di rappresentazione deinumeri complessi come esponenziale. In effetti è così, ma certo non può essere una formaesponenziale di tipo reale, perché se si volesse rappresentare ad esempio il numero complesso j :

j�cos�2 � j sen�2 , è chiaro che una forma esponenziale del tipo e�

2 sarebbe un numero

Forma trigonometrica - Pag. 5


reale, dunque non andrebbe bene. Bisognerà in qualche misura introdurre un oggetto nuovo.

La forma corretta è la seguente in quanto l'esponente non è un numero reale ma un numeroimmaginario:

z1�e j�1

z2�e j�2

Questa rappresentazione traduce molto bene anche il prodotto, infatti volendo fare il prodotto di duenumeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomenti:

z1 z2�e j �1 e j�2�e j �1��2

Bisognerebbe però essere sicuri che questo tipo di notazione è in qualche misura coerente con tuttele proprietà degli esponenziali. Più avanti nel corso, quando avremo gli strumenti necessari,dimostreremo che è così. Siamo dunque giunti alla

Formula di Euleroe j��cos�� j sen�

Questa è una formula fondamentale nel nostro cammino.

Familiarizziamo un po' con essa effettuando una divisione tra due numeri complessi:

z1

z2

�cos �1��2� j sin �1��2 = e j�1

e j�2�e j �1��2

Utilizzando la formula di Eulero possiamo scrivere un numero complesso nel seguente modo:

z��e j�

La forma esponenziale è una forma in cui si leggono agevolmente modulo e argomento ed èestremamente pratica per fare le operazioni di prodotto, di potenza, di radice n-sima.

Per esempio l'elevamento a potenza diviene il seguente:

zn��e j�n��n e j�

n��n e j n�

EsempiVediamo un esempio pratico.

Prendiamo z�3�3�3 j

e facciamone la potenza ottava.

Diciamo subito che se dovessimo eseguire questo calcolo in forma cartesiana, ci ritroveremmo adover fare il prodotto di un binomio con due addendi per sé stesso 8 volte, ed il calcolodiventerebbe una cosa estremamente faticosa. Se invece scriviamo il numero complesso in formaesponenziale questo diventa molto semplice:

�z��3�32�32��36�6

Esempi - Pag. 6

z

z8


arg z�arctg 33�3�

�

6osserviamo che a�0 , quindi non si aggiunge �

per cui la potenza è

z8�6 ej�

6 8

�68 ej 8

�

6

E' molto importante verificare cosa succedegraficamente, facendo una rappresentazionegeometrica; fare l'ottava potenza è significatoelevare il modulo all'ottava potenza; ed avere fattouna rotazione, moltiplicando l'argomento per 8.

Vediamo un altro esempio.

Ci poniamo la questione di fare la radice n-sima di z . Ricordando che fare la radice n-simasignifica fare un elevamento a potenza frazionaria, possiamo scrivere:

n� z�n��e j��e j�

1n

Si tratta anche in questo caso di sfruttare le proprietà dell'esponenziale, tenendo però conto dellaperiodicità di � che rimane pur sempre un angolo della circonferenza goniometrica, per cuirisulta:


1n��e j��2 k � j

1n

Aggiungere un multiplo di 2� a � ci fa ottenere lo stesso numero complesso. Dobbiamoquindi tenerne conto e sviluppare la radice come segue:


1n��e j��2 k � j

1n��

1n e

j�

n�

2�n

kj con k��

Osserviamo adesso che se se noi facciamo variare k non otteniamo infinite radici distinte, perché

k�0 porta allo stesso angolo a cui porta k�n , per cui sarà sufficiente far variare knell'insieme k��0,1,2 , ... , n�1�

Traduciamo in un esempio numerico.

Calcolare4��2�2�3 j

Il primo problema che affrontiamo è scrivere il numero nella forma esponenziale:

��2�2�3��2 2��2�3

2��16�4

arg z�arctg�2�32 ��

�

3��

4�3

(in questo caso a�o per cui si aggiunge � )

possiamo scrivere:

Esempi - Pag. 7


4��2�2�3 j�4�4 e

j4�3 �

4�4 ej�

3�

2�4

kj

Rappresentiamo nel piano complesso le radiciquarte di z . Osserviamo che hanno tutte lostesso modulo: 4�4� 2�2 . Quello che cambia èl'angolo perché dobbiamo variare il parametro k.

Osserviamo che al variare di k si ottengonosempre gli stessi 4 punti, quindi per ottenereradici distinte si prende, come già detto, solo

k�0,1 ,2,3

I punti sono i vertici di un poligono regolare cheha tanti lati quanto è l'indice della radice (inquesto caso abbiamo un quadrato regolare inscritto nella circonferenza di raggio �2 .

Vediamo un altro esempio.5��1

Scriviamo il numero in forma esponenziale (quando il numero è così semplice è più facile ricavarsimodulo e argomento graficamente che far calcoli)

Il modulo è 1, l'anomalia o argomento è � per cui

5��1�5�e j��e j�

15�e

j�

5�

2�5

kj

La prima radice la otteniamo mettendo k�0 , ilmodulo è sempre 1.

Aggiungendo multipli di 2�5

otteniamo gli altri

punti (che corrispondono ai vertici di un pentagonoregolare iscritto nella circonferenza unitaria).


Esempi - Pag. 8

z0

z1

z3

z2

�

-1


6��1�6�e j��e j�

16�e

j�

6�

2�6

kj

In questo caso le altre radici si ottengono

attraverso una rotazione di 2�6

Questo tipo di esercizi è molto utile per cui siconsiglia lo studente di eseguire per sé i seguenti:

�1 3�1 4�1 5�1 6�1 3��1 4��1 3� j 4� j 5� j 6� j 3�� j 4�� j 5�� j

E' chiaro che bisogna ricordarsi che 1�e j 0 , j�ej�

2

Proprietà del modulo e dell'argomento

�z1 z2��z1��z2�

Scriviamo i numeri complessi nella loro forma esponenziale

z1��1 e j�1 z2��2 e j�2 �

z1 z2��1 e j�1�2 e j�2��1�2 e j �1��2

Risulta evidente dunque l'identità

�z1 z2��z1��z2� � �1�2��1��2

arg z1 z2�arg z1�arg z2

�z1

z2��z1�

�z2�

arg z1

z2�arg z1�arg z2

Le dimostrazioni sono tutte immediate scrivendo il numero complesso sotto forma esponenziale.

Vediamo un esempio concreto.

Proprietà del modulo e dell'argomento - Pag. 9

�

-1


z�2�2 j

1��3 je

j�

4

Supponiamo di essere interessati, come spesso capita, a vedere subito il modulo e l'argomento diquesto numero complesso. Questo calcolo diviene semplice se noi utilizziamo le proprietà cheabbiamo appena mostrato:

�z��2�2 j��1��3 j�

��e j�

4�� 8�4

�1��2

arg z�arg 2�2 j �arg 1��3 j �arg e j�

4 �arctg 1�arctg �3��

4��

4��

3��

4��

6

Osservazione

z e j� corrisponde ad una rotazione, in quanto il modulo di z non cambia, mentre l'argomentoviene moltiplicato per � .

Per esempio z�j porta ad una rotazione di �

2di z .

Questo evidenzia una caratteristica di j , proviamo a svilupparne le potenze:

j0�1

j1� j

j2��1

j3�� j

j4�1

............

Si può vedere dal grafico che effettivamente ogni prodotto per j corrisponde ad una rotazione di�

2, per cui calcolare le potenze di j diventa effettivamente semplice (si divide l'indice della

potenza per 4 e si prende il resto della divisione ...)

Proprietà del modulo e dell'argomento - Pag. 10

j

-1 1

-j


Seni e coseni complessiConsideriamo

e z�e x� j y�e x e j y

e ricordando la formula di Eulero

e x e j y�ex cos y� j sen y

abbiamo così potuto scrivere e elevato ad un qualunque numero complesso.

Possiamo subito osservare che

�e z��e x

arg e z� y

Abbiamo appena trattato una forma un pochino più completa della formula di Eulero:

e z�e x cos y� j sen y

Facciamo le seguenti considerazioni, abbiamo

e j��cos�� j sen� ��

iniziamo subito col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'esponenzialecomplesso può essere visto come una combinazione lineare di coseni e seni.

Cerchiamo il complesso coniugato

e� j��cos�� j sen�

e adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze, ottenendo

e j��e� j��2 cos� � cos�� e j��e� j�

2

osserviamo che il coseno può essere visto come una combinazione lineare di esponenzialicomplessi, e questo è un fatto molto importante. Facciamo adesso la sottrazione membro a membro

e j��e� j��2 j sin� � sen��e j��e� j�

2j

osserviamo che anche il seno può essere espresso come combinazione lineare di 2 esponenzialicomplessi. Mettere come argomento di seno e coseno un numero complesso è di difficileinterpretazione (non sappiamo dire cosa significa), ma se noi sfruttiamo le uguaglianze che ci siamoappena ricavati, è possibile farlo (perché un esponenziale complesso ha significato, come già vistoprecedentemente), dunque possiamo procedere con le seguenti definizioni:

cos z�e j z�e� j z

2definizione di coseno complesso

sen z�e j z�e� j z

2 jdefinizione di seno complesso

Vediamo un esempio. Abbiamo

Seni e coseni complessi - Pag. 11


z��2 j

vogliamo calcolarne il seno:

sen ��2 j �e j ��2 j�e� j ��2 j

2 j�

e j�e�2�e� j�e2

2 j

se adesso riflettiamo su quanto vale e j� , notiamo che ha modulo 1 ed argomento � , dunque èil numero reale -1. Lo stesso vale per e� j� . L'equazione diventa:

sen ��2 j��e�2�e2

2 j

molte volte il j a denominatore disturba, quindi lo si porta a numeratore moltiplicando edividendo per j :

sen ��2 j ��e�2�e2

2 j�

jj��e�2�e2

�2j

Osserviamo che il seno di un numero complesso è un numero complesso.


Calcolare sin�2 � j log 2dobbiamo anche in questo caso ricorrere alla definizione di seno complesso:

sin�2 � j log 2� ej�2 �l log 2

�e� j�2 � j log 2

2 j�

ej�

2 elog 2�e� j

�

2 e�log 2

2 j�

j 2� j12

2 j�1�1

4�

54

in questo caso abbiamo ottenuto un numero reale (ricordiamo che il numero reale è un casoparticolare del numero complesso).

Vogliamo sottolineare con grande rilievo che il risultato è un numero reale > 1. Questo fattosembrerebbe in contrapposizione con le normali regole del seno, ma non dimentichiamo cheabbiamo fatto il seno di un numero complesso: il modulo di un seno complesso può essere piùgrande di uno.

Seni e coseni complessi - Pag. 12


Seni e coseni iperboliciIntroduciamo adesso le funzioni iperboliche, che con gli strumenti che abbiamo introdotto,diventano di comprensione piuttosto semplice.

Definizione in ambito reale di seno e coseno iperbolico

senh��e��e��

2 cosh�� e��e��

2

Definizione in ambito complesso di seno e coseno iperbolico

senh z�e z�e�z

2cosh z�

e z�e�z

2

Possiamo osservare che così come seno e coseno complesso sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche seno e coseno iperbolici complessi sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche se ovviamente diversa. Dunque possiamo concludere che l'esponenzialecomplesso comprende dentro di sé tutte queste funzioni, ovvero, attraverso opportune combinazionidi di esponenziale complesso si ottengono le funzioni seno e coseno circolari, seno e cosenoiperbolici, complessi.

Essendoci dunque questo legame con l'esponenziale complesso, possiamo dedurre che ci sarà ancheun legame tra le funzioni seno e coseno circolari e seno e coseno iperbolici.

Calcoliamo il sen j z

sen j z �e j j z �e� j j z

2 j�

e�z�e z

2 j�

e�z�e z

2 j�

jj��

e�z�e z

2j�

e z�e�z

2j� j senh z

Abbiamo trovato un legame molto stretto tra seno complesso di z e seno iperbolico complesso di z.

Analogamente si ottengono le altre relazioni. Il quadro generale risultante è il seguente:

sen jz� j senh z

senh jz� j senz

cos jz�cosh z

cosh jz�cos z

Seni e coseni iperbolici - Pag. 13


Logaritmo complessoIl logaritmo complesso si scrive nella forma

log z

Si utilizza la stessa notazione del logaritmo di un numero reale; sarà il contesto a segnalarci se sitratta del logaritmo di un numero reale o del logaritmo di un numero complesso. Prendiamo comedefinizione di logaritmo quella che si ottiene in modo naturale, facendo il logaritmo del numerocomplesso scritto sotto forma esponenziale:

z��e j � per cui

log z�log �e j�diventa allora abbastanza naturale definire il logaritmo di un numero complesso in modo che sianorispettate le proprietà che avevano i logaritmi dei numeri reali. E' possibile scomporre il logaritmodi un prodotto in una somma di logaritmi:

log �e j��log��log e j�

ricordando la periodicità dell'argomento, dobbiamo scrivere:

log �e j��log��log e j��log��log e j��k � j�log�� j ��2� k j

Dunque grazie ai conti che abbiamo fatto possiamo dare la definizione di logaritmo di un numerocomplesso

log z�log�� j ��2� k j

Osserviamo il grafico.

Facendo il logaritmo, otteniamo un numerocomplesso con parte reale uguale al logaritmo di� e parte immaginaria uguale a j ��2� k j

Vediamo che è solo la parte immaginaria ad essereperiodica di periodo 2� k . Questo, si traduce nelfatto che esso starà su di una retta parallela all'assedelle ordinate (la x è costante) ed apparirà, partendoda un'ordinata uguale a � (con k=0) con unperiodo di 2� j . Il logaritmo ci porta dunque adinfiniti valori immaginari.

Vediamo un esempio.

log 1� j �3�log2 e� j

�

3�2 k � j�log 2� j

�

3�2 k � j

Logaritmo complesso - Pag. 14

�2�

�

log�


Esponenziale complessoAttraverso il logaritmo complesso si può anche definire l'esponenziale con base complessa:

z��e� log z�e�log�z�� j��2 k � j

Anche per l'esponenziale quando la base è complessa otteniamo infiniti risultati.

Terminiamo il capitolo riguardante i numeri complessi con alcune osservazioni.

In campo complesso:

vi sono radici di numeri negativi

vi sono logaritmi di numeri negativi

seno e coseno possono avere moduli maggiori di 1

l'esponenziale complesso comprende seni e coseni

Esponenziale complesso - Pag. 15


Esponenziale complesso - Pag. 16

e x cos x

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi

Funzioni a valori complessiFunzioni reali di variabile reale

Occupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo però intervenire i numericomplessi. Consideriamo

x �t ��Re e�1� j� t�Re �et e j t ��Re �et �cos t� j sen t ��et cos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che però è complessa.Qualcuno si chiederà perché non abbiamo subito preso l'espressione finale et cos t . La risposta èche nel nostro corso capiterà spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, è quindi moltoimportante capire come una funzione reale possaessere rappresentata da una funzione complessa.Mostriamo il grafico della funzione cercando dicapire come un grafico di questo tipo possa essereimmediatamente percepito senza passare attraversolo studio di funzione.

La funzione cos t è nota. Ci sono dei punti in cuiessa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri puntiha valori che sono compresi tra -1 e 1.L'osservazione è che se noi prendiamo i punti incui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumeràil valore della funzione esponenziale. Possiamodunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t�1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varrà et . Lo stesso ragionamento si può fare per i punti in cui

cos t��1 (prendendo però i valori di �et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).Infine nei punti in cui cos t�0 la funzione prodotto starà sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sarà dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titoloinformativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato è una modulazione in ampiezza di unafunzione periodica che ha un andamento sinusoidale.

Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perché più indicato nelleapplicazioni matematiche.

Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numericomplessi:

x �t ��Im e� j t�Im �cos�t� j sen�t ��Im �cos t� j sen t ��sen t

Dunque abbiamo rappresentato la funzione �sen t come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso le funzioni a valori complessi di variabile reale.

Sia x �t ��e s t con s�� j� costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numericomplessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( � ).

x �t ��e s t�e�� j�� t�e� t e j� t�e� t �cos� t� j sen� t �

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Re est�e� t cos� t

osserviamo che a parte le costanti � e � , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamovisto prima;

Im est�e� t sin� t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamoadesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa

Modulo:

�x �t ��e st��e� t e j� t��e� t��e j� t��e� t

e j� t è un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo è 1

e� t è un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo è l'esponenzialestesso e� t .

Il modulo della nostra funzione complessa è dunque un esponenziale reale.

Argomento:

arg x �t ��arg �e�� j��t ��arg �e� t e j� t �� t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare (è una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18

x �t �

t�0

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche

Funzioni periodicheUna funzione periodica è tale se si verifica la seguente uguaglianza

x �t ��x �t�T �

Infatti aggiungere una costante reale alla nostra variabile t, significa traslare la nostra funzione asinistra di T , dal momento che la funzione traslata è uguale alla funzione stessa ne consegue chela funzione è periodica di periodo T . Risulta immediato osservare che se T è il periodo diuna funzione, risultano essere periodi della stessa funzione anche i suoi multipli, ovvero:

x �t ��x �t�k T � con k��

se x �t � non è una funzione costante e T è il più piccolo numero reale positivo, per il qualesi ha x �t ��x �t�T �

allora T è detto periodo fondamentale o lunghezza d'onda.

Vediamo un esempio.

Quello rappresentato in figura è un segnaleperiodico di periodo T�� (traslando lafunzione del periodo se ne ottiene una uguale)

Richiamiamo adesso alcuni altri oggetti che sonoimportanti nella descrizione di una funzioneperiodica:

T periodo

1T� f frequenza � T�

1f

2�T

� frequenza angolare �

T�2�

Nel caso dell'esempio avendo T�� si ottengono

f �1T�

1�

�2�T

�2��

�2

TRUCCO: nelle funzioni sinusoidali il valore della frequenza angolare corrisponde alcoefficiente della variabile t.

Funzioni periodiche - Pag.19

x �t �

t�0

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche

Vediamo cosa succede raddoppiando la frequenza.

Osservando il grafico, vediamo che abbiamoottenuto una funzione periodica con periodofondamentale che è esattamente uguale alla metàdel precedente (però anche il vecchio periodorimane periodo della funzione anche se non piùfondamentale).

Funzioni periodiche - Pag.20

e x cos x


Funzioni a valori complessiFunzioni reali di variabile reale

Occupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo però intervenire i numericomplessi. Consideriamo

x �t ��Re e�1� j� t�Re �et e j t ��Re �et �cos t� j sen t ��et cos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che però è complessa.Qualcuno si chiederà perché non abbiamo subito preso l'espressione finale et cos t . La risposta èche nel nostro corso capiterà spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, è quindi moltoimportante capire come una funzione reale possaessere rappresentata da una funzione complessa.Mostriamo il grafico della funzione cercando dicapire come un grafico di questo tipo possa essereimmediatamente percepito senza passare attraversolo studio di funzione.

La funzione cos t è nota. Ci sono dei punti in cuiessa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri puntiha valori che sono compresi tra -1 e 1.L'osservazione è che se noi prendiamo i punti incui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumeràil valore della funzione esponenziale. Possiamodunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t�1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varrà et . Lo stesso ragionamento si può fare per i punti in cui

cos t��1 (prendendo però i valori di �et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).Infine nei punti in cui cos t�0 la funzione prodotto starà sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sarà dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titoloinformativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato è una modulazione in ampiezza di unafunzione periodica che ha un andamento sinusoidale.

Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perché più indicato nelleapplicazioni matematiche.

Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numericomplessi:

x �t ��Im e� j t�Im �cos�t� j sen�t ��Im �cos t� j sen t ��sen t

Dunque abbiamo rappresentato la funzione �sen t come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso le funzioni a valori complessi di variabile reale.

Sia x �t ��e s t con s�� j� costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numericomplessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( � ).

x �t ��e s t�e�� j�� t�e� t e j� t�e� t �cos� t� j sen� t �

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Re est�e� t cos� t

osserviamo che a parte le costanti � e � , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamovisto prima;

Im est�e� t sin� t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamoadesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa

Modulo:

�x �t ��e st��e� t e j� t��e� t��e j� t��e� t

e j� t è un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo è 1

e� t è un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo è l'esponenzialestesso e� t .

Il modulo della nostra funzione complessa è dunque un esponenziale reale.

Argomento:

arg x �t ��arg �e�� j��t ��arg �e� t e j� t �� t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare (è una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier

Polinomi di FourierI seguenti polinomi

Pn�t ��0��k�1

n

�k cos k � t��k sen k � t

Pn�t ��0��k�1

n

k sen �k � t�k �

Pn�t ��k��n

n

�k e j k � t

sono sommatorie delle armoniche elementari che abbiamo appena studiato.

Osserviamo che la frequenza di ciascun addendo è k volte la frequenza fondamentale, quindipossiamo dire che la frequenza angolare di tutto il polinomio è uguale a � . I polinomi di Fourierhanno dunque

T periodo fondamentale

1T� f frequenza fondamentale T�

1f

2�T

�� frequenza angolare fondamentale T�2��

in k=1 e tutti gli altri addendi hanno periodo e frequenze che sono multipli di questi.

Tutte le considerazioni che abbiamo fatto per le armoniche si possono fare anche per i polinomi diFourier, in particolar modo vorremmo richiamare la seguente:

se �k��k* con k�0

allora abbiamo la piena equivalenza tra i polinomi nelle tre forme, in quanto il polinomio nellaforma complessa è di fatto un polinomio reale, sono verificate perciò le uguaglianze

�k��k��k*�2 Re�k

�k� j ��k��k*��2 Im�k

�0��0

Esempio 1 : onda triangolare

Consideriamo il seguente polinomio

Pn�t ��12� �

k��n , k�o

n��1�k�1�

k 2�2 e j 2 k t

Polinomi di Fourier - Pag.25


osserviamo subito che �k��1�k�1�

k 2�2

la frequenza angolare del polinomio � è 2 , quindi

T�2��

��

osserviamo anche che il termine ��1�k�1� vale -2 per k dispari e zero per k pari

Prendiamo adesso il polinomio per n = 1

P1�t ��12��2�2 e� j 2 t�

�2�2 e j 2 t

molte volte è comodo esprimere il polinomio in termini di seno e coseno, abbiamo

P1�t ��12��2�2 e� j 2 t�

�2�2 e j 2 t�

12�

2�2 �e

� j 2 t�e j 2 t ��12�

4�2 cos 2 t

Analogamente possiamo calcolare il polinomio per n = 3

P3�t ��12�

�29�2 e� j 6 t�

�2�2 e� j 2 t�

�2�2 e j 2 t�

�29�2 e j 6 t

mettiamo in evidenza alcuni termini

P3�t ��12��4�2 cos 2 t�

�4�2 cos6 t

Vediamo i grafici.

P1�t �

P3�t �

P5�t �



P7�t �

Aumentando n si accentua la vicinanza del polinomio di Fourier al segnale triangolare.

Esempio 2 : onda quadra.

Pn�t �� k��n , k�o

n jk �

��1�k�1�e j k t

la frequenza angolare � è 1, quindi

T�2��

�2�

Calcoliamo i polinomi

P1�t ��2 j��

e� j t��2 j�

e j t

mettendo in evidenza �2 j�

otteniamo

P1�t ��2 j�

�e j t�e� j t ��2 j�

2 j sen t�4 j�

j sen t

P3�t ��2 j�3�

e� j 3 t��2 j��

e� j t��2 j�

e j t��2 j3�

e j 3 t

P3�t ��4

3�sen3 t

Vediamo i grafici.

P1�t �



P3�t �

P5�t �

P7�t �

Questa volta abbiamo un'onda quadra. Anche in questo caso, all'aumentare di n ci si avvicinasempre più al segnale di base.

Esempio 3 : onda a dente di sega.

Pn�t ��1� �k��n , k�o

n 1k �

j e j k � t

osserviamo che �� , T�2 , f �12

P1�t ��1� 1��

j e� j� t�1�

j e j� t�1� 2�

sen� t

P2�t ��1� 1�2�

j e� j 2� t�1

��j e� j� t�

1�

j e j� t�1

2�j e j 2� t�1� 1

�sen 2� t�

2�

sen� t

Vediamo i grafici.

P1�t �



P3�t �

P5�t �

P7�t �

Energia di un polinomio di FourierVediamo adesso cos'è l'energia di un polinomio di Fourier

�Pn�t ��2��o

T�Pn�t ��

2 dt =�o

T ��k��n

n

�k e j k � t�2

dt��o

T ��k��n

n

�k e j k � t��k��n

n

�k* e� j k � t�dt =

�o

T

�h��n

n

��h e j h� t��k��n

n

�k* e� j k � t�dt =�o

T

�h��n

n

��k��n

n

�h�k* e j �h�k �� t�dt

quando h è diverso da k siamo sicuri che l'integrale è zero, in quanto l'esponenziale ha proprioperiodo T. Rimane dunque solo il caso in cui h=k che porta a

�Pn�t ��2��o

T

�k��n

n

��k�2 dt�T �

k��n

n

��k�2

Questo risultato ci dice che l'energia di un polinomio di Fourier è strettamente legata ai suoi

Energia di un polinomio di Fourier - Pag.29


coefficienti.

Se invece vogliamo esprimere l'energia nel caso in cui ci troviamo di fronte a polinomi di Fouriernella forma reale è sufficiente ricordare la relazione tra i coefficienti:

essendo �k�12 ��k� j �k � e ricordando che �0��0 (la sommatoria comincia da 1), si ha

�Pn�t ��2�T �0

2�T2 �k�1

n

��k2��k

2�

Polinomio di Fourier di x(t)Da ciò che abbiamo visto, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei polinomi di Fourier inqualche misura associati a delle funzioni. Vediamo in che modo questo può essere fatto.

La strada è quella di cercare un polinomio di Fourier in modo che la sua differenza con il segnale x(t) abbia un'energia minima:

�x �t ��Pn�t ��2 minima

Vediamo con qualche calcolo come è fatto il polinomio di Fourier che ha questa caratteristica.

Indichiamo con

ck�1T �0

Tx �t �e� j k � t dt

il coefficiente del polinomio di Fourier cercato.

Partiamo dalla definizione di energia

�Pn�t ��2��0

T�x �t ��Pn�t ��

2 dt =

ricordiamo che il quadrato di una quantità complessa è uguale a tale quantità moltiplicata per ilproprio coniugato

=�0

T

� x �t ��Pn�t �� x �t ��Pn�t ��*dt =

ricordiamo inoltre che il complesso coniugato di due addendi è uguale al complesso coniugato diciascun addendo, poi sviluppiamo il prodotto

=�0

T

� x �t ��Pn�t ��x �t �*�Pn�t �*�dt =

=�0

T�x �t ��2��Pn�t ��

2��x*�t �Pn�t ��x �t �Pn* �t ��dt

adesso dobbiamo esplicitare Pn�t � :

Pn�t ��k��n

n

�k e j k � t

e sostituirlo nell'integrale

Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.30


=�0

T�x �t ��2 dt�

energia di x(t)

��0

T�Pn�t ��

2 dt�energia di Pn�t �

��k��n

n

��k�0

Tx*�t �e j k � t dt�

T ck*

��k*�0

Tx �t �e� j k � t dt�

T ck�

ricordando dunque le definizioni di energia di una funzione e di un polinomio di Fourier, possiamoscrivere

=��xc�t ��2�T �

k��n

n

��k�2��

k��n

n

��k T ck*��k

* T ck �=

raccogliamo la T e dentro la sommatoria aggiungiamo e togliamo ��ck�2��ck�

2 :

=��xc�t ��2�T �

k��n

n

��k�2��k ck

*��k* ck��ck�

2

��k�ck ��k

*�ck*�

��ck�2

�=

=��xc�t ��2�T �

k��n

n

�ck�2�T �

k��n

n

��k�ck ��k*�ck

* ��=

=��xc �t ��2�T �

k��n

n

�ck�2�T �

k��n

n

��k�ck�2

Riflettiamo adesso sul risultato ottenuto. Siamo partiti dalla differenza tra le energie del segnale edel polinomio, dicendo che la loro differenza doveva essere minima.

Osserviamo che

� il primo addendo è l'energia di x(t), che è data.

� ck è un coefficiente che si calcola ed ha valori ben precisi a seconda della funzione x(t).

� �k è invece un valore che possiamo cambiare, in quanto fa parte proprio del polinomio diFourier che vogliamo trovare.

Dunque i primi due addendi non cambiano al variare di �k , perché sono legati ad x(t), mentre ilterzo addendo cambia il suo valore ed essendo un modulo lo cambia tra numeri positivi. Possiamodunque dire che la differenza è minima quando è minimo il terzo addendo, che è minimo quando èuguale a zero. Per cui deve essere

�k�ck�1T �0

Tx �t �e� j k � t dt

Questa espressione è dunque molto importante perché ci fornisce il coefficiente del polinomio diFourier di x(t). Diamo dunque un nome a questo polinomio associato ad x(t) e ricapitoliamo la suaespressione:

X n�t ��x��n

n

ck e j k � t

Ricordiamo anche che siamo partiti da una funzione periodica x(t) di periodo T. Trovata questaespressione per un segnale complesso, il passaggio ai segnali reali rispetta gli stessi rapporti che cisono per i polinomi di Fourier già visti:

X n�t ��a0��k�1

n

ak cos k � t�bk sen k � t



ak�ck�ck*�

1T �0

Tx �t �e� jk � t dt�

1T �0

Tx �t �e jk � t dt�

1T �0

Tx �t ��e jk � t�e� jk � t �dt

ak�ck�ck*�

2T �0

Tx �t �cos�k � t �dt , k�0

allo stesso modo

bk� j �ck�ck* ��

2T �0

Tx �t � sen�k � t �dt k�0

Ricapitolando si hanno le tre forme

Forma a x �t ��a0��k�1

��

�ak cos k � t�bk sen k � t �

a0�c0�1T �0

Tx �t �dt

ak�ck�ck*�

2T �0

Tx �t �cos�k � t �dt , k�0

bk� j �ck�ck* ��

2T �0

Tx �t � sen�k � t �dt k�0

Forma b x �t ��a0��k�1

�

�r k sen �k � t�qk ��

r k��ak2�bk

2

qk�arctan�ak

bk� ��

se bk�0

Forma c x �t ��k��

��

ck e jk � t

c0�a0�1T �0

Tx �t �dt

ck�12�ak� j bk ��

1T �0

Tx �t �e� jk � t dt k�0 c�k�ck

* k�0

Osservazione 1Nel calcolo dei coefficienti di un polinomio di Fourier di un segnale x(t) interviene il calcolo di unintegrale tra 0 e T di una funzione periodica y(t). Fare questo integrale è la stessa cosa che fare unintegrale tra t0 e t0�T , come si vede dal grafico



0 T t0 t0�T

Geometricamente è evidente che le due aree sono uguali. Con semplici passaggi è possibiledimostrarlo anche analiticamente.

Lo scopo di questa osservazione è che quando noi andiamo a cercarci i coefficienti del polinomio diFourier, possiamo farlo nell'intervallo più comodo.

Generalmente l'applicazione più usata di questa osservazione è la seguente:

�0

Ty �t �dt��T

2

�T2 y �t �dt

Osservazione 2

Abbiamo visto che

0��x �t ��Pn�t ��2��xc �t ��

2�T �k��n

n

�ck�2�T �

k��n

n

��k�ck�2

T �k��n

n

�ck�2��xc �t ��

2

Questa viene chiamata disuguaglianza di Bessel e ci dice che l'energia del polinomio di Fourierassociato ad un segnale x(t) è sicuramente minore o uguale all'energia del segnale stesso.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier

Serie di FourierFunzioni continue a tratti

Una funzione x(t) si dice continua a tratti in un intervallo I =[a,b] se è continua in I eccetto che inun numero finito di punti t i��a ,b � e inoltre

lim x �t �t� t i

- esiste finito

lim x �t �t� t i

+ esiste finito

lim x �t �t �a+

esiste finito

lim x �t �t�b-

esiste finito

Diciamo per esempio che i segnali considerati nei paragrafi precedenti (onda triangolare, ondaquadra, onda a dente di sega, ...) sono delle funzioni continue a tratti.

Se esistono i limiti descritti sopra infatti, le funzioni, nell'intervallo I, avranno un numero finito didiscontinuità (che sono discontinuità di 1° specie ovvero di tipo salto, appunto perché esistono finitiil limite destro e sinistro, anche se diversi).

Nei paragrafi precedenti ci siamo occupati di vedere cos'è la differenza tra l'energia di un segnaleperiodico x(t) ed il rispettivo polinomio di Fourier. Abbiamo visto che essa è

��xc�t ��X n�t ��2��xc�t ��

2�T k�n

n

�ck�2

a partire da questo presupposto vogliamo fare la seguente riflessione: se pensassimo di prenderedegli n sempre più grandi, cosa succederebbe dell' energia della differenza? Bene, per n che tendeall'infinito essa potrebbe tendere a zero. In questo caso (per n�� ) si ha l'identità di Parseval:

��xc�t ��2T

k��

�

�ck�2

questa identità riguarda una serie.

L'identità di Parseval si verifica se la funzione x(t) è periodica e continua a tratti.

Si usa anche scrivere la seguente uguaglianza

x �t �k��

��

ck e j k t nel senso della energia

Intendiamo x(t) uguale alla serie del secondo membro nel senso che la differenza tra x(t) e lasommatoria finita tra -n ed n (che viene detta ridotta n-sima) tende a zero quando n tende a piùinfinito.

Norma e prodotto scalareNon sembrerebbe molto evidente il legame con i vettori, ma c'è. Vediamo in che senso. La radice

Norma e prodotto scalare - Pag.35


quadrata dell'energia di un segnale si chiama norma o norma quadratica.

��xc�t �� : norma quadratica

L'uguaglianza vista prima x �t � k��

��

ck e j k t

che era nel senso della energia, può dunque essere definita un' uguaglianza nel senso delle norme (setende a zero una quantità, tende a zero anche la sua radice quadrata).

Si può dire anche che la serie di Fourier, se x(t) è continua a tratti, converge in norma quadraticaa x(t) .

Ipotizzando adesso che (come al solito) x(t) sia periodica di periodo T, definiamo il suo prodottoscalare con un segnale y(t) anch'esso periodico.

� x �t � , y �t ��0

Tx �t ��y*�t �dt prodotto scalare tra due funzioni definite in T

NOTA : E' lecito mettere il coniugato di y(t) in quanto si intende y(t) come un segnale reale che puòbenissimo essere espresso come funzione di variabile complessa; beninteso che se manca la parteimmaginaria, il coniugato di un numero reale non è altro che il numero reale stesso.

Se noi facciamo il prodotto scalare di x(t) con sé stessa, otteniamo

� x �t � , x �t ��0

Tx �t ��x*�t �dt�0

T�x �t ��2 dt�x �t ��2

osserviamo dunque che c'è un legame tra la norma quadratica ed il prodotto scalare: la normaquadratica di un segnale è il prodotto scalare di questo segnale per sé stesso. Possiamo dunquesfruttare questi nuovi strumenti per riprendere alcune considerazioni fatte in precedenza. Facciamoil prodotto scalare delle seguenti armoniche elementari

�e j k t , e j h t ��0

Te j k t e� j h t dt�0

Te j �k�h� t dt

se h�k l'integrale vale 0 (essendo la funzione periodica)

se hk l'integrale vale T

dunque se le due funzioni sono uguali (h=k), il loro prodotto scalare è uguale al periodo, se sonodiverse, è nullo. Ricordiamo che la definizione di prodotto scalare di due vettori, dice che esso ènullo se questi sono ortogonali. Quindi, rispetto alla definizione che qui abbiamo dato di prodottoscalare, possiamo dire che due armoniche distinte che siano diverse tra di loro, sono ortogonali .

Ricordando la formula che ci descrive il coefficiente di un polinomio di Fourier

�kck1T �0

Tx �t �e� j k t dt , la possiamo riscrivere nel seguente modo, sfruttando la definizione

di prodotto scalare appena data

�kck1T

� x �t � , e j k t �

si può dunque interpretare il coefficiente come la proiezione della funzione x(t) sulla componentee j k t (tale è il prodotto scalare tra due vettori).

Si riesce in questo modo a costruire tutta una serie di relazioni tra i polinomi di Fourier con le stesseregole che governano i vettori.

Norma e prodotto scalare - Pag.36


Traslazionisia il segnale periodico

x �t �x �t�T � continuo a tratti e siano

ck1T �0

Tx �t �e� j k t dt i suoi coefficienti e sia

x �t �k��

�

ck e j k tla sua serie di Fourier.

e supponiamo di traslarlo di t0 :

�x �t �x �t�t0�

otteniamo, risolvendo il semplice seguente integrale (lascio al lettore il compito di farlo)

�ck1T �0

T�x �t �e� j k t dtck e j k t0

e quindi la serie di Fourier traslata è

�x �t �k��

�

ck e j k t e j k t0

Riscalamento (dilatazione, omotetia)sia il segnale

x �t �x �t�T � continuo a tratti e siano

ck1T �0

Tx �t �e� j k t dt i suoi coefficienti e sia

x �t �k��

�

ck e j k tla sua serie di Fourier.

e supponiamo di riscalarlo di a , con a�0

�x �t �x �a t �

si osserva subito che questo significa modificare la frequenza angolare. Si ottiene, per quantoriguarda i coefficienti di Fourier che

�ckck

e la serie risulta essere

�x �t �k��

�

ck e j k a tcambia la frequenza angolare

Riscalamento (dilatazione, omotetia) - Pag.37


Convergenza puntuale e convergenzauniforme

Analizziamo adesso alcuni problemi riguardanti la convergenza delle serie in generale. Le duequestioni di cui vogliamo parlare sono appunto la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.

Convergenza puntualePrendiamo delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo pensare anche a deipolinomi di Fourier, se n va da più a meno infinito possiamo pensare a delle serie di Fourier)

yn�t � con n�� oppure n��

facciamo la ridotta k-sima

S n�t �k0

n

yk �t �

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a più infinito

S��t �k0

�

yk �t �

Supponiamo adesso di avere l'intervallo I con t� I , di fissare un ben preciso puntodell'intervallo dato t0 e di fare la sommatoria calcolata in t0

S n�t0�k0

n

yk �t0�

Si osserva abbiamo ottenuto una serie numerica, perché yn�t0� è un ben preciso numero chedipende appunto da y1 , y2 e così via, calcolati in t0 . Allora ha senso porsi la questione divedere cosa succede nel limite della successione numerica che abbiamo ottenuto

limk ��

S n�t0�

Se questo limite esiste finito e vale S, viene detto somma della serie nel senso puntuale.

limk ��

S �t0�S �t0�k0

�

yk �t0�

Se il limite esiste finito per ogni to�I , allora possiamo generalizzare il concetto e parlare diconvergenza puntuale in un intervallo

S �t �k0

�

yk �t � con t� I

Cerchiamo adesso di portare questo discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie

x �t �k��

�

ck e j k tcon T

2�

(uguaglianza sempre nel senso della energia)

se anche in questo caso fissiamo un punto t0 e andiamo a considerare il polinomio di Fouriercalcolato nel punto t0

Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.38


X n�t0�k�n

n

ck e j k t0

possiamo dire che abbiamo anche in questo caso una successione numerica, e per n che tende adinfinito abbiamo

X �t �� X �t0�

se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:

� x �t � è continua a tratti in �0,T �

� x �t � è regolarizzata

� x ' �t � è anch'essa continua a tratti in �0,T �

NOTA: Una funzione è regolarizzata se nei punti di discontinuità t i si ha la seguente proprietà:

con t i��0,T � e limt� t -

x �t �x �t i-� e lim

t� t+

x �t �x �t i+�

risulta x �t i�x �t i

+��x �t i-�

2

e se agli estremi del suo intervallo si ha

x �0+�limt�0+

x �t � e x �T -�limt�T -

x �t �

e risulta x �0�x �T �x �0+��x �T -�

2

A queste condizioni la serie converge puntualmente al segnale x(t).

Se ciò avviene l'uguaglianza

x �t �k��

�

ck e j k tè nel senso puntuale.

Convergenza uniformePrendiamo anche in questo caso delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimopensare anche a dei polinomi di Fourier)

yn�t � con n�� oppure n��

facciamo la ridotta k-sima

S n�t �k�n

n

yk �t �

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a infinito

S��t �k��

�

yk �t �

vogliamo vedere in che modo questa sommatoria si avvicina al limite.



Facciamo la seguente considerazione

Se esiste una funzione S(t) per cui ��0 �n0 :� n�n0 e � t� I si ha

S �t ��S n�t ��S �t ��

si dice che S n�t � per n�� converge a S �t � in modo uniforme in I.

Dunque la serie corrispondente converge in modo uniforme (o uniformemente).

Vediamo graficamente cosa vuol dire:

per tutti gli n > n0 , e tutti i S �t ��

t0�I , le ridotte S n�t � , devono S n�t �

essere comprese tra S �t �� S �t �

S �t �� e S �t �� .

Se questo si verifica si parla di

convergenza uniforme.

Prendiamo adesso una serie di Fourier

X �t �X �t�T �

se un punto t i è punto di discontinuità per X �t � , allora la serie non può convergereuniformemente in un intorno di t i .

La convergenza uniforme è dunque una richiesta di convergenza più restrittiva della richiesta diconvergenza puntuale.

La diretta conseguenza di questo fatto sarà che negli intorni dei punti di discontinuità, la serie diFourier produrrà delle difficoltà nella convergenza (questo è interessante dal punto di vistaapplicativo).

Se invece la funzione è continua in un intervallo I e la sua derivata prima esiste ed è continua atratti, allora abbiamo la convergenza uniforme.

Osservazione.

Prendiamo il coefficiente di una serie di Fourier.

ck1T ��T �2

T �2x �t �e� jk t dt

2�T

moltiplichiamo ambo i membri per il periodo



T�ck��T �2

T �2x �t �e� jk t dt

se consideriamo k2� k

T possiamo scrivere

T�ck��T �2

T �2x �t �e� j k t dt �X � k �

dove �X � k � è il nostro integrale calcolato in k .

Diamo dei valori a T, per esempio

prendendo T2� e k1 � k1 oppure

prendendo T10� e k1 � k0,2

osserviamo che più è grande il periodo, più è piccola k .

Variando k si ottengono infiniti valori discreti tanto più vicini quanto T è maggiore.

Prendiamo adesso una funzione qualunque, non periodica ed integrabile in un intervallo I, adesempio una funzione x �t � tale che assume valore 1 nell'intervallo ��1,1� e 0 fuori daquesto intervallo.

Osserviamo che se T2�1 l'integrale del coefficiente si riduce al seguente

�X � k ��1

�1e� j k t dt� e� j k t

� j k��1

�1

� cos k t� j sin k t� j k

��1

�1

� j cos k t�sin k t k

��1

�1

=

sin k

k

�sin �� k �

k

2sin k

k

(il coseno si semplifica da sé)

Come abbiamo detto per T molto grande si può pensare di ottenere valori discreti sempre piùravvicinati fino ad ottenere quasi il grafico di una funzione continua.



Possiamo dunque, operando sulle serie di Fourier, pensare di operare anche su funzioni nonperiodiche facendo tendere il periodo ad infinito (ottenendo così funzioni continue nellavariabile k ) ed introducendo dunque la trasformata di Fourier, della quale ci occuperemoperò più avanti.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa

Funzioni di variabile complessaRiprendiamo adesso il cammino che avevamo intrapreso parlando di funzioni complesse,introducendo le

Funzioni reali di variabile complessaEsempi di funzioni di variabile complessa a valori reali sono

f � z ��z�

f � z ��arg z

f � z ��Re z

f � z ��Im z

Osserviamo che in realtà ci possiamo collegare alle funzioni di più variabili, perché la variabilecomplessa equivale a 2 variabili reali. Si hanno:

f � z ��z� = � x2� y2

f � z ��arg z = arctgyx��

f � z ��Re z = x�cos

f � z ��Im z = y�sin

Ragionare sulle funzioni di variabili complesse ci porta pertanto nel campo delle funzioni di piùvariabili dove, ovviamente, le cose sono un po' più complesse che su di una sola variabile. Facciamodei richiami con un paio di esempi.

Esempio.

f � z ��1

�z�a�con a�

Se vogliamo rappresentare questa funzionedobbiamo metterci nello spaziotridimensionale. Il piano è il luogo dove simuove la variabile z e le quote, ovvero laterza dimensione, saranno i valori che lafunzione assume al variare di z . Il graficosarà dunque quello a fianco.

Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45


Facciamo un altro esempio.

f � z ��e z��e x� j y��e x e j y��e x

La funzione di fatto è un esponenziale reale,infatti è costante in y.

Funzioni complesse di variabilecomplessa

Facciamo subito alcuni esempi

f � z ��z

f � z ��z*

f � z ��e z

Essendo la funzione di variabile complessa, come abbiamo già detto non si può più parlare difunzione di una variabile ma il nostro discorso si traduce in funzioni di due variabili. Non si può piùdunque parlare di derivata della funzione, ma bisogna parlare di derivate parziali, o derivatedirezionali, o comunque bisogna riprendere la definizione di derivata per dare una definizione alladerivata di variabile complessa.

Vediamo in che modo possiamo ragionare sulle derivate. Parliamo di rapporto incrementale.Vediamo come si definisce il rapporto incrementale per una variabile complessa

lim� z�0

f � z�� z �� f � z �� z

dove con � z abbiamo indicato un incremento della variabile z , a partire da un punto z0 . Sicapisce subito che non è sufficiente aver fissato la lunghezza dell'incremento, per determinarne lanatura, in quanto esso stesso può assumere una qualsiasi direzione nel piano complesso; dunque illimite dipenderà dalla direzione lungo la quale si prende l'incremento.

Consideriamo, per dimostrare tale asserzione, il rapporto incrementale delle funzioni di esempioprecedenti

Esempio 1.



Prendiamo la funzione

f � z ��z*

e facciamo il limite del rapporto incrementale lungo differenti direzioni.

Ricordiamo innanzitutto che � z�� x� j� y

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( � y�0 ). Otteniamo

lim� z�0� y�0

f � z�� x �� f � z �� x

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla funzione f � z ��z*

lim� x�0

f � z�� x �*�z*

� x� lim

� x�0

z*�� x�z*

� x�1

Proviamo adesso a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle y ( � x�0 ). Otteniamo

lim� z�0� x�0

f � z� j� y �� f � z �j� y

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione

lim� y�0

f � z� j� y �*�z*

j� y� lim

� y�0

z*� j� y�z*

j� y��1

Ci accorgiamo dunque che il limite del rapporto incrementale dipende decisamente dalla direzionelungo la quale viene calcolato.

Osservazione

lim� z�0� y�0

f � z�� z �� f � z �� z

�� f� x è la derivata parziale fatta rispetto a x.

lim� z�0� x�0

f � z�� z �� f � z �� z

�� fj � y È la derivata parziale fatta rispetto a y, con la costante

1j

.

I calcoli si potevano infatti fare senza fare il limite del rapporto incrementale, ma semplicementeesprimendo la funzione complessa in forma cartesiana e derivando rispetto ad x ed y.

Riprendiamo la funzione f � z ��z*�x� j y e facciamone le derivate parziali (moltiplicando la

derivata parziale della y per il coefficiente 1j

, pensando la funzione come una funzione di due

variabili reali in cui intervengono dei coefficienti immaginari (che sono costanti):

��x� j y �� x

�1��x� j y �

j � y��1

Esempio 2.

Prendiamo la funzione



f � z ��e z

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( � y�0 ). Otteniamo

lim� z�0� y�0

f � z�� x �� f � z �� x

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione

lim� x�0

e z�� x�e z

� x� lim

� x�0

e z �e� x�1�� x

�e z

Osserviamo che abbiamo un limite di quelli fondamentali (che fa 1) moltiplicato per la costante e z .

Muoviamoci adesso lungo la direzione parallela all'asse delle y ( � x�0 ). Otteniamo

lim� z�0� x�0

f � z� j� y �� f � z �j� y

cioè

lim� y�0

e z� j� y�e z

j� y� lim

� y�0

e z �e j� y�1�j� y

a questo punto si potrebbe trarre subito la stessa conclusione raggiunta calcolando il precedentelimite (cioè che siamo di fronte ad un limite fondamentale), ma siccome in questo casointervengono coefficienti immaginari che non erano presenti quando nei moduli precedentistudiavamo i limiti, eseguiamo qualche ulteriore passaggio facendo intervenire la formula di Eulero

lim� y�0

e z �e j� y�1�j� y

� lim� y�0

e z �cos� y� j sen� y�1�j� y

� lim� y�0

e z� cos� y�1j� y

�j sen� y

j� y �abbiamo così due limiti fondamentali

e z� 1j

lim� y�0

cos� y�1� y

� lim� y�0

sen� y� y ��e z� 0

j�1��e z

Ci si accorge che la derivata parziale fatta rispetto ad x dà lo stesso risultato della derivata parzialefatta rispetto a jy .

Osservazione finale.

Abbiamo visto che ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali, cambiando ladirezione di derivazione, cambia il valore del limite del rapporto incrementale, mentre sembrerebbeche ce ne siano altre per le quali, anche cambiando la direzione dell'incremento, il valore del limitedel rapporto incrementale non cambia.

Integrali di linea in campo complessoVogliamo dare significato all'integrale

��f � z �dz



Pensiamo a f � z � come a una funzione decomposta in due funzioni reali di variabile reale nelseguente modo f � z ��u � x , y �� j v �x , y �

e nello stesso modo trattiamo il differenziale di z

dz�dx� j dy

L'integrale risulta dunque essere il seguente

��f � z �dz��

�u � x , y �� j v � xy �� dx� j dy �=

��u �x , y �dx�v � x , y �dy� jv �x , y �dx� j u �x , y�dy �=

separando la parte reale dalla parte immaginaria

��u �x , y �dx�v � x , y �dy �� j��

�v � x , y �dx�u � x , y �dy �=

questi sono integrali di linea di forme differenziali e si possono semplificare se è possibileesprimere la curva � , o come una funzione della sola x, o come una funzione della sola y, ovveronel seguente modo

� : � x , g � x�� dx�dx , dy�g ' � x�dx oppure

� : �h� y � , y � � dy�dy , dx�h ' � y �dy

Applicando la trasformazione ai nostri integrali otteniamo per esempio per il primo

��u �x , y �dx�v �x , y�dy ��x0

x1

�u � x , g �x ��dx�v � x , g �x ��g ' � x�dx �

quindi il nostro integrale di linea di partenza non è altro che la somma di due integrali di una solavariabile.

Applichiamo ad alcuni esempi il calcolo dell'integrale di linea e facciamolo su due diverse curve, �e �1 , che hanno però la caratteristica di avere in comune i punti di partenza e di arrivo.

Proviamo con z* facendo il calcolo osserviamo che ��z* dz��1

z* dz .

Proviamo con e z facendo il calcolo osserviamo che ��e z dz��1

e z dz .

Dunque ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali cambiando il cammino diintegrazione cambia il valore dell'integrale, mentre ce ne sono altre per le quali, pur cambiandoil cammino d'integrazione, il valore dell'integrale sembrerebbe non cambiare.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche

Funzioni analiticheLe considerazioni fatte nel paragrafo precedente ci consentono di proseguire il nostro cammino conaltre considerazioni molto importanti.

Definizione 1

Supponiamo di avere f � z �:��

se lim� z�0

f � z�� z �� f � z �� z

esiste indipendentemente dalla direzione dell'incremento

allora si dice che la funzione f � z �:�� è derivabile e si scrive

f ' � z �� lim� z�0

f � z�� z �� f � z �� z

si usano anche le seguenti scritture equivalenti

f ' � z ��D f � z ��dfdz

Ci sono dunque dei casi di funzione complessa in cui si può parlare di derivata.

Definizione 2

Supponiamo di avere f � z �:��

essa è detta olomorfa in (regione connessa e regolare di � )

se z� , � f ' � z �

(cioè se in tutta la regione esiste la derivata, nel senso che abbiamo dato in Definizione 1

Prendiamo per esempio la funzione

f � z ��z*

abbiamo visto che dà risultati differenti a seconda che noi facciamo il limite del rapportoincrementale in una direzione parallela all'asse x o parallela all'asse y, quindi la funzione non haderivata, dunque non è olomorfa.

Invece la funzione

f � z ��e z

ha un limite del rapporto incrementale che non dipende dalla direzione (come avevamo infattidedotto dai conti fatti nei paragrafi precedenti) ed è dunque derivabile in tutto � ed è iviolomorfa.

Teorema.

Funzioni analitiche - Pag.49


Le seguenti affermazioni sono equivalenti

1) f � z � è olomorfa in , (cioè esiste f ' � z � )

2) f � z � è infinite volte derivabile ed è analitica

3) f � z � soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann: f x

�1j� f y

Facciamo qualche commento al teorema.

La condizione di olomorfia chiedeva l'esistenza della derivata prima in una certa regione delpiano complesso. Il teorema ci dice che allora f � z � è infinite volte derivabile. Questo è per noiuna grossa sorpresa, perché nello studio delle funzioni di variabile reale a valori reali, l'esistenzadella derivata prima non diceva nulla circa l'esistenza della derivata seconda, mentre per le funzionidi variabile complessa, l'esistenza della derivata indica automaticamente che la funzione èderivabile per ogni ordine ed è quindi analitica (anche se dobbiamo precisare che l'uso del termineanalitica è utilizzato quanto la serie di Taylor converge con un raggio di convergenza non nullo, ilteorema ci dice che olomorfia ed analiticità sono equivalenti).

La condizione 3 invece ci dice che se la derivata rispetto ad x e la derivata rispetto ad y esistono e

sono uguali, a meno del fattore moltiplicativo 1j

, allora la funzione è olomorfa. Questa è di gran

lunga la condizione più debole e più semplice da verificare.

Consideriamo ad esempio la funzione

f � z ��e z

abbiamo già visto che

e z

x�e z�

e z

j y�e z

dunque la condizione di Cauchy-Riemann è soddisfatta. La funzione è olomorfa e analitica.

Facciamo un breve cenno di dimostrazione.

E' evidente che

2) analiticità � 1) omotetia

(se esistono tutte le derivate, esiste anche la derivata prima)

1) omotetia � 3) cond. di C.-R.

(se esiste la derivata prima, esistono le derivate parziali)

Dimostriamo adesso che



3) cond. Di C.-R. � 1) omotetia

Scriviamo il differenziale della funzione f � z � :

df � f x

dx� f y

dy

e ricordando la condizione di Cauchy-Riemann

f x

�1j� f y

�j f x

� f y

sostituiamo

df � f x

dx�j f x

dy� f x

�dx� j dy �� f x

dz

questo ci permette di concludere che

dfdz

� f x

ovvero la funzione è derivabile.

Rimandiamo la dimostrazione che

1) omotetia � 2) analiticità

a quando faremo le serie di Taylor.

Ricordando che una funzione complessa può anche essere vista nel seguente modo

f �u � x , y �� j v �x , y�

la condizione di Cauchy-Riemann può essere così riscritta, separando la parte reale e la parteimmaginaria di u e di v

� u x

� v y

v x

�� u y

Grazie a questa forma di scrittura possiamo fare alcune ulteriori considerazioni, prendiamo la primadi queste equazioni e facciamo la derivata rispetto alla x:

Dx� u x

� v y �� 2 u

x2� 2 v

y x

deriviamo adesso rispetto alla y la seconda equazione

D y� v x

�� u y �� 2 v

x y��

2 u y2

ne consegue immediatamente che

2 u x2��

2 u y2 ovvero



2 u x2�

2 u y2�0 uguaglianza che si usa anche scrivere nel seguente modo

� 2

x2� 2

y2�u�0

L'operatore tra parentesi tonde viene descritto col simbolo � e viene chiamato operatore diLaplace.

L'equazione di Laplace è dunque

�u�0

e, grazie ai passaggi che abbiamo appena svolto possiamo dire che se è soddisfatta la condizione diCauchy Riemann, l'equazione di Laplace risulta vera.

Quando una funzione reale di due variabili reali soddisfa l'equazione di Laplace, possiamo dire cheè una funzione armonica.

Un ragionamento analogo ci porta a dire che anche la parte immaginaria di un'equazione complessa,che soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann, è una funzione armonica.

Vediamo un esempio. Abbiamo

f � z ��z e j z con z�x� j y

Ci chiediamo se è una funzione analitica ed il modo più semplice per verificarlo è controllare sesoddisfa la condizione di Cauchy-Riemann

f x

�e j z� j z e j z fj y

�e j z�1j

z e j z�e j z� j z e j z

Le due derivate parziali sono uguali, dunque la condizione di Cauchy-Riemann è verificata, lafunzione è analitica.

Decomponiamo adesso la funzione in parte reale e parte immaginaria

f � z ��x� j y �e j x� y�� x� j y�e�y e j x�� x� j y �e�y�cos x� j sen x �=

= x e�y cos x� y e�y sen x�u �x , y�

� j � y e�y cos x�x e�y sen x ��v �x , y�

Lasciamo allo studente l'esercizio di verificare l'uguaglianza di Cauchy-Riemann secondo gli altridue possibili procedimenti.

Formule integrali di CauchyIniziamo parlando del teorema di Cauchy.

Supponiamo di essere nel piano complesso e di avere una regione omega composta da una o piùcurve chiuse, semplicemente connessa (nel senso che due punti qualsiasi di questa regione possonoessere collegati tra loro da una curva tutta contenuta in omega). Diciamo inoltre che ha bordo� e rappresentiamolo nel seguente modo:

Formule integrali di Cauchy - Pag.52


��1��2��3��4

� sta per bordo orientato.

Per di ciascuna di queste curve èimportante dare l'orientamento: sidice che un bordo è orientatopositivamente, quando percorrendoquesto bordo la regione rimane allasinistra del percorso.

Nel caso in figura, per avere unbordo orientato positivamente, lacurva �1 deve essere percorsa insenso antiorario mentre le altre curve(i buchi) devono essere percorse in senso orario.

In regioni di questo tipo vale il seguente

Teorema di Cauchy

se f � z � è analitica in �� 1, allora

��f � z �dz�0

Facciamo un cenno di dimostrazione.

Abbiamo ��f � z �dz

per riuscire a comprendere meglio questo integrale lungo un percorso � , bisogna esplicitareparte reale e parte immaginaria di f � z � , per cui

��f � z �dz��

�u � x , y �� j v � x , y �� dx� j dy �=

��u � x , y �dx�v � x , y �dy� j��

v � x , y �dx�u �x , y�dy

A questo punto, descrivendo � come una funzione di x, a valori in y, (con le opportunescomposizioni della curva, se non avesse le caratteristiche di una funzione) questi integrali di lineapossono essere visti come la somma (o sottrazione) di integrali ordinari. C'è però un risultato notoche riguarda proprio gli integrali in cui compaiono solo funzioni reali, ed è il seguente.

Si intendono le funzioni u e v come le componenti di un vettore, ed allo stesso modo dx edy , per cui l'integrando non è altro che il prodotto scalare di due vettori e viene esplicitato, nel

nostro caso, come segue.

Prendendo per esempio il primo integrale si ottiene

�� u�v��dx

dy�se le funzioni u e v sono definite in tutta la regione delimitata da � e sono ivi continue ederivabili con derivata continua, allora l'integrale è nullo se è vero che

1 Perchè ciò possa essere detto è necessario avere analiticità in una regione più grande che contiene sia che ilsuo bordo.


�1

�2 �3

�4


��v � x

� u y

�0

ma questa è una delle condizioni di Cauchy-Riemann e siccome noi abbiamo supposto all'inizio chef � z � è analitica in �� siamo sicuri che è verificata.

Allo stesso modo può essere trattato il secondo integrale, quindi la loro somma è uguale a zero, equesto prova il teorema di Cauchy2.

Vediamo adesso quale interesse possiamo avere per il teorema di Cauchy con un esempioesplicativo.

Supponiamo di essere in campo complesso e di avere una regione dove f � z � è analitica, esupponiamo di indicare con �1 il contornodella regione. Supponiamo infine di voler farel'integrale su �1 di f � z � in dz . Aquesto punto dobbiamo fare attenzione al fattoche l'integrale non è nullo, in quanto la regionenon è tutta analitica (il buco interno è un puntodove le proprietà della funzione non sonoconosciute).

Chiamiamo �2 una circonferenza tuttacompresa dentro come quella rossa infigura, allora possiamo applicare il teorema diCauchy al seguente integrale

��1� ��2�f � z �dz�0

ma c'è una proprietà estremamente importante che riguarda i cammini di integrazione ordinari incampo reale. Ricordiamo che quando si doveva calcolare l'integrale

�a

bf dt��a

cf dt��c

bf dt

si poteva spezzare il cammino di integrazione nella somma di due integrali.

Poiché abbiamo visto che l'integrale di linea in campo complesso si riduce ad integrali ordinari incampo reale, dove questa proprietà vale, possiamo affermare che

��1� ��2�f � z �dz��1

f � z �dz��2

f � z �dz�0

e di nuovo in modo analogo a quello che succede per gli integrali ordinari, possiamo dire che sescambiamo gli estremi di integrazione, cambiamo il segno all'integrale, quindi cambiando il verso dipercorrenza di �2 cambiamo il segno all'integrale, per cui

��1

f � z �dz��2�f � z �dz��1

f � z �dz��2

f � z �dz�0

possiamo dunque concludere che

��1

f � z �dz��2

f � z �dz

La straordinaria importanza di questa conclusione sta nel fatto di verificare che fare l'integrale su

2 Evidentemente rinviando i dettagli ad un problema che è classico in ambito reale e che riguarda i campi vettoriali.


�1

�2


�2 è la stessa cosa di fare l'integrale su �1 , quindi il teorema di Cauchy ci permette dideformare il cammino di integrazione (restando comunque sempre all'interno della regione dianaliticità) e fare un integrale, piuttosto che su di una curva molto frastagliata e complessa, su diuna circonferenza che invece è estremamente semplice da integrare.

Vediamo un esempio esplicito. Prendiamo la funzione

f � z ��1z

e consideriamo il cammino �1 ,estremamente complicato, rappresentatoin figura. Si chiede di fare l'integrale su�1 di f � z � in dz . Notiamo

innanzitutto che f � z � è analiticadappertutto escluso che nel punto 0.Noi, però, grazie al teorema di Cauchypossiamo disegnare la circonferenzaunitaria �2 ed osservare che la curva�1 può essere sostituita dalla

circonferenza unitaria in quanto laregione compresa tra le due curve è tuttadi analiticità per f � z � .

Abbiamo quindi

��1

f � z �dz��1

1z

dz��2

1z

dz

Poco fa abbiamo visto come é possibile esprimere la curva come funzione, o della variabile x o dellavariabile y, ma è possibile esprimere la curva anche attraverso delle coordinate polari. Possiamodescrivere i punti che stanno sulla circonferenza unitaria, attraverso gli esponenziali complessi, nelseguente modo : z�e j� . Infatti al variare di � descriviamo tutti i punti della circonferenzaunitaria quando 0��2� . E' dunque molto facile anche dire che dz�D �e j��d �� j e j�d �

Siamo dunque nelle condizioni di trasformare il nostro integrale in dz lungo una curva, in unintegrale ordinario lungo una circonferenza unitaria:

��2

1z

dz��0

2� 1e j � j e j�d �� j�0

2�d �� j 2�

Come abbiamo visto il calcolo dell'integrale si è rivelato di una semplicità estrema.

Passiamo adesso alle formule integrali di Cauchy

1° Formula integrale di Cauchyse f � z � è analitica in �� , e

1° Formula integrale di Cauchy - Pag.55

�1

�2


z0�� , allora

f � z0��1

2� j��

f � z �z�z0

dz

Vediamo qualche cenno di dimostrazione,calcolando l'integrale della formula.

Prendiamo la regione (per semplicitàla prendiamo senza buchi ma la questionenon modifica il ragionamento che stiamofacendo), con il suo bordo orientato � .Osserviamo subito che fare l'integrale su� , poiché la regione è tutta di

analiticità, è la stessa cosa che farel'integrale su di una circonferenza � di centro z0 e raggio � , proprio grazie al teorema diCauchy. Cerchiamo dunque di rappresentare i punti di � : prendiamo l'equazione di unacirconferenza di raggio � sul piano complesso z��e j� ed effettuiamo una traslazione perimporre che il suo centro sia z0 , ottenendo z�z0��e j� . Il suo modulo è dunque�z�z0�� , ed il suo differenziale, derivando ovviamente il secondo membro rispetto a � ,

diventa dz� j �e j�d � .

L'integrale che noi vogliamo calcolare allora diventa

f � z0��1

2� j�0

2� f � z0��e j��

�e j� j �e j �d ��1

2��0

2�f � z0��e j��d �

osserviamo adesso che, proprio grazie al teorema di Cauchy, questo integrale è sempre uguale,qualunque sia � (purché la circonferenza di raggio � stia dentro la regione ). Facendoallora il limite per � che tende a zero di tutto l'integrale, continueremo ad avere lo stessorisultato, otteniamo dunque

f � z0��1

2��0

2�f � z0�d ��

f � z0�

2�2�� f � z0�

Si è dimostrato quindi che l'uguaglianza è valida.

Facciamo adesso una interessante riflessione che mette in evidenza l'importanza di questa formula.

Sia f � z � analitica in �� , z0� , allora possiamo dire, grazie alla formula di Cauchy,che la sua conoscenza è determinata dalla conoscenza dei suoi valori nel bordo.

Riscriviamo infatti la formula utilizzando uno zeta generico e non fissato, cambiando il nome allavariabile indipendente

f � z ��1

2� j��

f ��z

d �

quindi possiamo conoscere il valore di un generico punto z se conosciamo la funzione sul bordo.

1° Formula integrale di Cauchy - Pag.56

� � z0


2° Formula integrale di Cauchysia f � z � analitica in �� , z0�� , allora

12� j��

f � z �z�z0

dz�0

Se il punto è esterno, il valore del nostro integrale è nullo.

E' dalle formule integrali di Cauchy che noi possiamo dedurre il fatto che una funzione analitica hainfinite derivate.

Supponiamo di avere una funzione olomorfa, condizione necessaria per la validità delle formule diCauchy, e studiamo la

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z)Partiamo dalla prima formula integrale di Cauchy

f � z ��1

2� j��

f ��z

d �

e deriviamo parzialmente rispetto a dx

f x

�D� 12� j��

f �� x� j y �

d �� 12� j��

� f ��1�

�� x� j y ��2 d ��

12� j��

f ��

��z �2 d �

per cui

f x

�1

2� j��

f ��

��z �2 d �

deriviamo adesso rispetto a j dy

fj y

�D� 12� j��

f �� x� j y �

d �� 12� j��

� f �� j �

�� x� j y ��2 d ��

j2� j��

f ��

��z �2 d �

per cui

fj y

�j

2� j��

f ��

��z �2 d � �

f y

�1

2� j��

f ��

��z �2 d �

le due derivate parziali danno lo stesso risultato e questa uguaglianza dice che la funzione soddisfala condizione di Cauchy-Riemann.

Questo ci permette di dire che

dfdz

� f x

� f y

e quindi

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.57


f ' � z ��1

2� j��

f ��

��z �2 d �

Partendo adesso dall'espressione di derivata prima di f appena ottenuta, possiamo derivare ancoraottenendo

f ' ' � z ��2

2� j��

f ��

��z �3 d �

e se si prosegue così, constatando che le due derivate parziali sono uguali, si giunge alla

f n� z ��n!

2� j��

f ��

��z �n�1 d �

espressione della derivata n-sima, che è anche la giustificazione del fatto che una funzionecomplessa, se ha derivata prima, ha ogni ordine di derivata.

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.58

Appunti di Capuzzo Alessandro - Sviluppi in serie

Sviluppi in serieSviluppi in serie di Taylor

Sia f � z � analitica in �� , z0�� .

Costruiamo la circonferenza centrata in z0 , in modo tale che sia tutta contenuta in �� edabbia raggio � . Abbiamo dimostrato nelcapitolo precedente che la funzione f � z �ha infinite derivate in ogni punto di � .

Dimostriamo adesso che sotto queste ipotesivale la seguente

� z :zz0�� f � z �� n�0

��

an� zz0�n

dove an�f �n�� z0�

n!

Queste sono potenze con esponente positivo e si chiamano serie di Taylor e c'è una perfetta analogiacon le serie di Taylor già studiate in ambito reale (al posto della z c'era la x). E' importante per lostudente imparare ad esplicitare (è bene farlo spesso le prime volte che si maneggiano le serie):

f � z �� n�0

��

an� zz0�n�a0�a1� zz0��a2� zz0�

2 +...

Diamo un cenno di dimostrazione.

Partiamo dalla formula integrale di Cauchy, prendendo uno z qualunque interno alla circonferenzain modo che risulti zz0��z0 con ��

Osserviamo che se noi dividiamo zz0 prima per � e poi per �z0 , essendo�z0 > � risulta vero che

zz0

��zz0

�z0

prendiamo dunque la 1° formula integrale

f � z ��1

2� j��

f ��z

d �

e vediamo di scrivere in modo opportuno il denominatore dell'integrale

(aggiungiamo e togliamo z0 ) � �z��z0� zz0� =

(e mettiamo in evidenza �z0 ) � = ��z0��1� zz0�

��z0��

Sviluppi in serie di Taylor - Pag.59

� � z0 � �


osserviamo adesso il contenuto di �1� zz0�

��z0�� , esso corrisponde ad uno meno una certa

quantità complessa, il cui modulo lo ritroviamo nella diseguaglianza che ci eravamo ricavati inprecedenza, ovvero

zz0

��zz0

�z0

osserviamo però che noi avevamo preso z in modo tale che fosse dentro la circonferenza di raggio� , per cui risulta ovvio che

zz0

��k�1 questo rapporto è uguale ad un valore k<1 e ne consegue che

zz0

�z0�zz0

��k�1

Dopo avere effettuato queste osservazioni, torniamo alla prima formula di Cauchy

f � z ��1

2� j��

f ��z

d �

e sostituiamo il denominatore dell'integrale con quello che ci siamo ricavati

f � z ��1

2� j��f ��

1

��z0��1� zz0�

��z0��d �

se adesso noi pensiamo al termine � zz0�

��z0� come alla ragione k di una serie (il ragionamento è

analogo a quello che si fa in campo reale), ricordando che una serie geometrica convergente aveva

come risultato 1

1k, possiamo dire che abbiamo proprio il risultato di una serie geometrica

�1� zz0�

��z0��1

� n�0

�� zz0�n

��z0�n

stabilito questo, possiamo sostituire nell'integrale ottenendo

f � z ��1

2� j��

f ��z0�

� n�0

�� zz0�n

��z0�n d �

possiamo adesso portare fuori il simbolo di sommatoria ottenendo la seguente espressione

f � z �� n�0

��

� 12� j��

f ��

��z0�n�1 d �� zz0�

n�osserviamo che ponendo

an�1

2� j��

f ��

��z0�n�1 d �



possiamo esprimere il risultato ottenuto nel seguente modo

f � z �� n�0

��

an�� zz0�n

che è la serie di Taylor che noi cercavamo.

Facciamo però attenzione all'espressione di an , essa è

an�1

2� j��

f ��

��z0�n�1 d �

e andiamo a riprenderci l'espressione della derivata n-sima di una funzione

f n� z ��n!

2� j��

f ��

��z �n�1 d �

osserviamo che sono identiche a meno di un n!, e del fatto che an è calcolato in z0 , possiamodunque scrivere

an�f n� z0�

n!

La serie di Taylor è dunque f � z �� n�0

�� f n� z0�

n!�� zz0�

n

ricordando che questa serie è convergente quando zz0�� (dove � è il raggio dellacirconferenza che sta tutta nella regione di analiticità e centrata in z0 e viene detto raggio diconvergenza).

Vediamo alcuni esempi.

Prendiamo f � z ��e z e calcoliamone la formula di Taylor centrata nel punto 0.

Risulta z0�0

f � z ��e z f ' � z ��e z f ' ' � z ��e z

f �0��1 f ' �0��1 f ' ' �0��1

e lo sviluppo di Taylor è dunque

e z�1�z�z2

2 !�

z3

3 !+...+ zn

n!�

n�0

�� zn

n!

Se riflettiamo adesso sulla regione di analiticità di e z ci accorgiamo che è tutto il pianocomplesso, non ci sono dunque limiti al raggio di convergenza. In questi casi si dice che lafunzione ha raggio di convergenza infinito.

Vediamo lo sviluppo di sen z in 0.



f � z ��sen z f ' � z ��cos z f ' ' � z ��sen z f ' ' ' � z ��cos z

f �0��0 f ' �0��1 f ' ' �0��0 f ' ' ' �0��1

e lo sviluppo risulta essere

sen z�zz3

3 !�

z5

5 !+ ... + �1�n z�2n�1�

�2 n�1�!�

n�0

��

�1�n z2n�1

�2 n�1�!

Anche sen z ha raggio di convergenza infinito perché è analitica in tutto il piano complesso.

In modo analogo si ricavano

cos z�1 z2

2 !�

z4

4 !+ ... + �1�n z�2 n�

�2 n�!�

n�0

��

�1�n z2n

�2 n�!

senh z�z�z3

3 !�

z5

5 !+ ... + z�2 n�1�

�2 n�1�!�

n�0

�� z2n�1

�2 n�1�!

cosh z�1� z2

2 !�

z4

4 !+ ... + z�2 n�

�2 n�!�

n�0

�� z2 n

�2 n�!

Anche tutti questi sviluppi hanno raggio di convergenza infinito.

Vediamo adesso f � z ��1

1z che ha sviluppo

f � z ��1�z�z2�z3 + ... + zn� n�0

��

zn

Questa funzione però non è analitica nel punto 1 per cui, avendo calcolato lo sviluppo nell'origine,ci accorgiamo che il raggio di convergenza è 1, cioè la serie converge per numeri complessi chehanno modulo strettamente minore di uno. Dunque per calcolare il raggio di convergenza èsufficiente calcolare la distanza tra il punto z0 e il più vicino punto di non analiticità.

Giustificazione della formula di EuleroGli esempi che abbiamo visto ci consentono di dare una prova della formula di Eulero, che a suotempo non avevamo giustificato. Riprendiamo il seguente sviluppo di Taylor

e z� n�0

�� zn

n!

poniamo e z�e j t , otteniamo

e j t�1� j t�� j t �2

2 !�� j t �3

3 !�� j t �4

4 !+...

poniamo adesso e z�e j t , otteniamo

Giustificazione della formula di Eulero - Pag.62


e j t�1 j t�� j t �2

2 !�� j t �3

3 !�� j t �4

4 !+...

esplicitiamo meglio gli sviluppi

e j t�1� j tt2

2 ! j

t3

3 !�

t 4

4 !+...

e j t�1 j tt2

2 !� j

t3

3 !�

t 4

4 !+...

sommiamo adesso le due serie membro a membro (e termine a termine per il membro di destra)

e j t�e j t�22 t 2

2 !�2 t 4

4 !+...= 2cos t � cos t�

e j t�e j t

2

sottraendo membro a membro otteniamo

e j te j t�2 j t2 jt3

3 !+...= 2 j sin t � sin t�

e j te j t

2 j

Abbiamo ottenuto le definizioni di seno e coseno complessi. Se noi eseguiamo la seguente somma

cos t� j sen t�e j t�e j t

2� j

e j te j t

2 j�e j t

otteniamo esattamente la formula di Eulero che è quindi così completamente giustificata.

Sviluppi in serie di LaurentPer questi sviluppi non ci sono analogie colcampo reale. La prima cosa che facciamo èindividuare una corona di centro z0 . Essaè composta da due circonferenzeconcentriche �1 e �2 di raggio r1 ed

r2 . Prendiamo degli z che stanno dentro lacorona ovvero z�� : r1�zz0�r2 .Supponiamo adesso che questa coronacircolare sia una corona di analiticità per

f � z � . Se noi indichiamo con � unaqualunque circonferenza, percorsa in sensoantiorario, che stia all'interno di questacorona, la funzione f � z � con

z�� : r1�zz0�r2

si può esprimere con la seguente serie di potenze:

f � z �� n��

n��

cn� zz0�n�... +

cn

� zz0�n + ... +

c1

� zz0��c0�c1� zz0�+ ... + cn� zz0�

n + ...

ed i coefficienti cn hanno la seguente espressione

Sviluppi in serie di Laurent - Pag.63

�2

�1

z0

�


cn�1

2� j��

f ��

��z0�n�1 d �

osserviamo che l'espressione di cn è formalmente la stessa di an delle serie di Taylor, ma inquesto caso la dobbiamo calcolare non solo con n positivo ma anche con n negativo, facciamodunque attenzione al fatto che l'espressione non ci fornisce più la derivata n-sima di f � z � ,perché questo era possibile a due condizioni: con n positivo e con f � z � analitica in z0 , edentrambe le condizioni non si verificano.

La dimostrazione si effettua separando la sommatoria in due pezzi nel seguente modo

f � z �� n��

n��

cn� zz0�n� f � z ��

n�0

n��

cn� zz0�n� f � z ��

n��

n�1

cn� zz0�n

e ragionando sui due pezzi separatamente, nello stesso modo in cui abbiamo ragionato per la serie diTaylor.

Vediamo degli esempi.

Consideriamo

f � z ��sen z

z3 calcolata in z0�0

osserviamo subito che in z0 la funzione non esiste ed il suo modulo tende ad infinito, mentreinvece in tutti gli altri punti del piano complesso la funzione è analitica, quindi possiamo pensare difare lo sviluppo di Laurent, con una corona dalla circonferenza interna molto piccola ed una esternamolto grande.

Ma calcolare il coefficiente di uno sviluppo di Laurent vuol dire risolvere un integrale complesso, ilche è molto difficile, quindi si ricorre ad alcuni artifizi che ci permettono di calcolare in realtà unosviluppo di Taylor che ci porti poi a quello di Laurent cercato.

Vediamo come si fa in questo caso. Si pensa alla nostra funzione come ad un prodotto

f � z ��sen z

z3 �1z3�sen z

osserviamo che il primo termine è già sviluppato in potenza di z per cui non necessita di nessunulteriore calcolo, mentre sen z per z0�0 ha uno sviluppo di Taylor in quanto è analitica intutto � . Possiamo dunque scrivere

f � z ��1z3� serie di Taylor del seno in z0�

1z3�

n�0

��

�1�n z2 n�1

�2 n�1�!

ed esplicitando otteniamo

f � z ��1z2�

n�0

13 !�n�1

�z2

5 !�n�2

z4

7 !�n�3

+ ...

osserviamo che si tratta in realtà di una serie di potenze di z, ma non si tratta solo di potenze



positive, bensì anche potenze negative.

Abbiamo una serie di Laurent che converge per ogni z appartenente alla corona di analiticità, mentrein zero non esiste.

Consideriamo

g � z ��cos z

z

calcolata in z0�0

e procediamo con lo stesso metodo, ottenendo la serie di Laurent cercata

g � z ��cos z

z�

1z

cos z�1z �1 z2

2 !�

z4

4 !

z6

6 !+ ...��1

z

z2 !

�z3

4 !

z5

6 !+ ...�




Appunti di Capuzzo Alessandro - Singolarità

Singolarità Vogliamo utilizzare gli sviluppi in serie di Laurent per classificare alcuni punti di interesse per leapplicazioni la cui caratteristica è proprio legata al tipo di serie di Laurent, centrata in questi punti.Iniziamo quindi dando il quadro delle ipotesi in cui ci muoveremo.

Supponiamo di avere una regione � del piano complesso che ha le caratteristiche di essere uninsieme aperto, connesso, supponiamo inoltre di avere un bordo regolare e di sapere che, eccetto chein un punto z0 una funzione f � z � sia sicuramente analitica. In sintesi

f � z �analitica in ��z0�

Adesso si può prendere una corona circolare centrata in z0 ed in essa fare lo sviluppo di Laurent.Ovviamente dovrà essere 0�z�z0�r , percui risulterà

f � z � �n ��

n ��

cn� z�z0�n

con cn 1

2� j��f ��

��z0�n�1 d �

con � bordo qualunque nell'intervallo dianaliticità. Osserviamo che potrebbero esserci dellesituazioni in cui i cn sono nulli. Aggiungiamoadesso delle informazioni sulla f � z � e vediamocosa implicano.

f(z) è analitica in z0 :

vediamo quali ripercussioni porta questa informazione sulla serie di Laurent. Cominciamo colprendere n��1 e vediamo come è fatto il denominatore

1��z0�

n�1 ��z0��n�1

attenzione, essendo n��1 risulta essere �n�1�0 , quindi in realtà ci troviamo di frontead un polinomio e non ad una fratta, quindi tutto l'integrando è analitico, ne consegue che

cn 1

2� j��f ��

��z0�n�1 d � 0 � n��1

E' facile osservare che lo sviluppo di Laurent si riduce ad uno sviluppo di Taylor. Diconseguenza possiamo dire che lo sviluppo di Laurent ha tutti i coefficienti con n minore di zeronulli. E' vero anche l'inverso, ovvero se tutti i coefficienti con n minore di zero dello sviluppo diLaurent sono nulli, la funzione è sicuramente analitica. Questa situazione ci porta ai seguenti duesotto casi

f(z) è analitica in z0 e f �� z0��0

Singolarità - Pag.67

�

r z0


costruiamo lo sviluppo in serie di Laurent

f � z � �n 0

n ��

cn� z�z0�n , c0�0

osserviamo che per l'ipotesi iniziale il coefficiente c0 è diverso da zero, quindi la sommatoriaparte da zero, in quanto i coefficienti di n minore di zero sono nulli perché la funzione è analiticain z0 .

f(z) è analitica in z0 e f �� z0�� 0

diciamo subito che il coefficiente c0 deve essere uguale a zero e che lo sviluppo hamolteplicità uguale a N. Infatti l'indice della sommatoria non parte più da zero, perché in zero ilcoefficiente è nullo; partirà dunque da un coefficiente più grande di zero, che è indicato propriodalla molteplicità. Costruiamo lo sviluppo in serie di Laurent

f � z � �n N

n ��

cn� z�z0�n , c0 0

In questo caso si dice anche che la funzione, analitica in z0 , ha uno zero di ordine N.

Facciamo adesso la seguente considerazione: abbiamo detto che se una funzione ha uno zero inz0 è analitica e i coefficienti del suo sviluppo hanno le seguenti caratteristiche

cn 0 � nNcN�0 �� 1

f � z �� z� z0

��

Facciamo una ulteriore osservazione. Riprendiamo il caso in cui

f � z � è analitica in ��z0�

e � f � z ��k � z��z0� (la funzione è limitata su tutta la regione)

in queste condizioni possiamo concludere che f � z � è analitica in z0 .

NOTA: in campo reale la limitatezza non implica nemmeno la continuità, mentre in campocomplesso, in queste condizioni, implica anche l'analiticità.

Singolarità isolateLe singolarità sono i punti di non analiticità.

Abbiamo una regione di analiticità, come al solito, dove il punto z0 è un punto di non analiticitàe viene detto singolarità isolata se è l'unico in un suo intorno ad avere questa caratteristica. In altreparole è possibile centrare una circonferenza su z0 , dentro la quale z0 è l'unico punto di nonanaliticità.

Parleremo delle seguenti singolarità, che vengono dette singolarità isolate uniformi

�� Polo di 1° ordine

�� Polo di ordine N

Singolarità isolate - Pag.68


�� Singolarità essenziale

Faremo infine un accenno anche agli altri casi, comunque questi tre tipi di singolarità sono di granlunga le più presenti nelle applicazioni e di conseguenza le più importanti.

Poli di 1° ordineAbbiamo f � z �analitica in ��z0� con il seguente sviluppo di Laurent

f � z � �n �1

n ��

cn� z�z0�n con c�1�0 e cn 0 � n�1

A caratterizzare il polo di 1° ordine è il fatto che lo sviluppo parte da -1 e va a più infinito.

Osserviamo che lo sviluppo di Laurent non si riduce ad uno sviluppo di Taylor perché c'è unapotenza negativa, quindi la funzione non è analitica.

Esplicitiamo meglio lo sviluppo

f � z � c�1

z�z0

�c0�c1� z�z0��c2� z�z0�2 + ...

e mettiamo in evidenza 1

� z�z0�, ottenendo

f � z � 1

z�z0�c�1�c0� z�z0��c1� z�z0�

2�c2� z�z0�3��

chiamiamo questa somma h � z �

+ ...

Possiamo vedere che

- h� z � è una serie di Taylor e dunque è analitica

- h� z0� c�1�0

- f � z � h � z �z�z0

� Polo 1° ordine (le due simbologie sono equivalenti)

Vediamo adesso cosa succede mettendo la funzione a denominatore

1f � z �

1

�n �1

��

cn� z�z0�n

�n 1

��

bn� z�z0�n

Inizialmente non sappiamo dire da quale indice parte la serie, ma sviluppando i calcoli termine atermine osserviamo che bn 0 � n1 . In sintesi

�1

f � z � è analitica e nulla in z0 di ordine 1, in quanto b1�0

Riassumendo, abbiamo trovato tre modi per dire che una funzione è un polo del primo ordine:

1) se il suo sviluppo di Laurent parte da un indice -1;

Poli di 1° ordine - Pag.69


2) se f � z � può essere riscritta come f � z � h� z �z�z0

con h(z) analitica e h� z0��0 ;

3) se 1

f � z � è analitica e nulla in z0 di ordine 1.

Osserviamo adesso che

se f � z � ha un polo del 1° ordine allora � f � z �� z� z0

�� . Questo si deduce dal fatto che se lafunzione fosse limitata in z0 allora sarebbe analitica, quindi deve essere illimitata.

Facciamo alcuni esempi.

f � z � cos z 1� z2

2 !�

z4

4 !+ ... + ��1�n z�2 n�

�2 n�! �

n 0

��

��1�n z2 n

�2 n�!in z0 0

osserviamo che

� non ci sono potenze negative

� c0�0

Conclusione: cos z in z0 0 è analitica e non nulla.

sen z z�z3

3 !�

z5

5 !+ ... + ��1�n z�2n�1�

�2 n�1�! �

n 0

��

��1�n z2n�1

�2 n�1�!in z0 0

osserviamo che


� c0 0

� c1�0

Conclusione: sen z in z0 0 è uno zero di 1° ordine

f � z � � z��sen� z�� in z0 �

il primo termine , � z�� , è già sviluppato in potenze di � z�z0� , mentre se vogliamosviluppare il secondo termine dobbiamo porre t z�� ed essendo

sen t t�t3

3 !�

t5

5 !+ ... + ��1�n t �2 n�1�

�2 n�1�!

si ottiene, sostituendo

sen � z�� z�� z��3

3 !�� z��5

5 !+ ... + ��1�n

� z��2 n�1�

�2 n�1�!

Poli di 1° ordine - Pag.70


lo sviluppo è dunque

f � z � � z�� z�� z��3

3 !�� z��5

5 !+ ... + ��1�n

� z��2 n�1�

�2 n�1�!

f � z � 2� z�� z��3

3 !�� z��5

5 !+ ... + ��1�n

� z��2 n�1�

�2 n�1�!

osserviamo che


� c0 0

� c1�0

Conclusione: f � z � � z��sen � z�� in z0 � è uno zero di 1° ordine

f � z � sen z

zin z0 0

f � z � 1z�svil. del seno 1

z �z� z3

3 !�

z5

5 !+ ... + ��1�n z�2 n�1�

�2 n�1�! �==�1�z2

3 !�

z4

5 !+ ... + ��1�n z�2n�

�2 n�1�! �osserviamo che


� c0�0

Conclusione: f � z � sen z

zin z0 0 è analitica e non nulla.

Il risultato ottenuto in quest'ultimo esempio è interessante perché ci indica che la funzione èanalitica pur essendoci una z a denominatore. Bisogna quindi stare attenti a non trarre maiconclusioni azzardate. Ricordiamo come già detto infatti che nel campo complesso, se una funzioneè limitata in un intorno di un punto in tal punto è analitica. Non si considera più quindi il suo limitema proprio il valore che essa assume.

Poli di ordine qualunqueParliamo adesso dei poli di ordine N�1 .

Poli di ordine qualunque - Pag.71


Le condizioni sono sempre quelle di avere unpunto z0 che è una singolarità isolata eduna funzione f � z �analitica in ��z0� .

Prendiamo la solita corona 0�z�z0�rcon il seguente sviluppo di Laurent

f � z � �n �N

n ��

cn� z�z0�n

con c�N�0 e cn 0 � n�N

Se esplicitiamo lo sviluppo e mettiamo in

evidenza 1

� z�z0�N otteniamo

f � z � 1� z�z0�

N �cN�cN�1� z�z0�+ ... ��h� z �

con h� z� analitica in z0 (è una serie di Taylor) e h� z0��0 . Possiamo dunque scrivere

f � z � h � z �

� z�z0�N

Possiamo anche dire che f � z � è un polo di ordine N se1

f � z �ha in z0 uno zero di ordine N.

Osserviamo ancora che � f � z �� z� z0

�� (la funzione non è limitata in un intorno di z0 ), questaè una caratteristica dei poli di una funzione.


f � z � cos z

z4 in z0 0

Ci sono due diversi modi per valutare le singolarità di una funzione. Il primo è fare lo sviluppo inserie di Laurent, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor

f � z � cos z

z4 1z4 �1� z2

2 !�

z4

4 !+ ... � 1

z4�1

2 ! z2�14 !

+ ...

Osserviamo che 1 c�4�0 , per cui abbiamo un polo di ordine 4 in z0 0 .

Il secondo modo è di vedere la funzione come segue

f � z � h� z �� z�z0�

4 h� z �

z4 con �h� z � cos zcos 0 1�0

e siamo dunque in grado di vedere subito che abbiamo un polo del 4° ordine in z0 0 .


�2

r �1

z0

�


f � z � z sen z�2cos z�2

z6 in z0 0

Se il numeratore, ponendo z 0 , venisse diverso da zero, potremmo subito dire di avere un polodel 6° ordine in z0 ; però è zero, quindi dobbiamo per forza passare attraverso gli sviluppi diLaurent.

f � z � z�z� z3

3 !�

z5

5 !+ ... ��2�2 z2

2 !�2 z4

4 !�2 z6

6 !+ ... ��2

z6 =

=�z2�

z4

3 !�

z6

5 !+ ... ��2 z2

2 !�2 z4

4 !�2 z6

6 !+ ... �

z6 =

=�z2�z2�4 z4

4 !�2 z4

4 !�6 z6

6 !�2 z6

6 !+ ... �

z6 =��2 z4

4 !�4 z6

6 !+ ... �

z6 =

=� �24 ! z2�

46 !

+ ... �si vede che la funzione è un polo del 2° ordine in z0 0

f � z � 1

� z�4�5 z3� z2�1� prendendo in considerazione i punti

z1 4

z2 0

z3 j

z4 � j

osserviamo che questi 4 punti sono i punti che annullano il denominatore. Esso è infatti un prodottodi più fattori:

il 1° si annulla in 4

il 2° si annulla in 0

il 3° si annulla in j

Questi quattro zeri del denominatore sono candidati ad essere delle singolarità di tipo polare.Facciamo uno studio per ciascuno di questi.

z1 4

La funzione può essere riscritta nel seguente modo



f � z �

1z3� z2�1�� z�4�5

e possiamo osservare che nel punto 4 il numeratore è analitico e diverso da zero, quindi è

corretto porre h � z � 1

z3� z2�1� e si riscrive la funzione proprio nel seguente modo

f � z � h � z �� z�4�5

Quindi la funzione in z1 4 è un polo di ordine N =5.

z2 0

La funzione può essere riscritta nel seguente modo

f � z �

1� z�4�5� z2�1�

z3

ed anche in questo caso il numeratore è analitico e diverso da zero in 0, per cui

f � z � h� z �

z3

e la funzione in z2 0 è un polo di ordine N=3.

z3 j

Prima si fattorizza il termine � z2�1� � z� j �� z� j� e la funzione può essere riscritta nelseguente modo

f � z �

1� z�4�5 z3� z� j �

� z� j �

h � z �� z� j �

e la funzione in z3 j è un polo del 1° ordine

z3 � j

Si fattorizza nuovamente il termine � z2�1� � z� j �� z� j � e la funzione può essere riscrittanel seguente modo

f � z �

1� z�4�5 z3� z� j �

� z� j �

h � z �� z� j �

e la funzione in z4 � j è un polo del 1° ordine



Singolarità essenzialiSiamo sempre nelle condizioni di poterfare uno sviluppo in una corona circolare esupponiamo che esso sia il seguente

f � z � �n ��

n ��

cn� z�z0�n

ove cn�0 per infiniti n negativi.

Osserviamo subito che in questo caso nonè possibile avere un N dal quale la serieparta, come nel caso dei poli. In questocaso si dice che f(z) ha in z0 unasingolarità essenziale.

Facciamo la seguente considerazione:

f(z) ha in z0 una singolarità essenziale se � z�z0�N f � z � non è analitica in z0 � N .

Per spiegarci meglio ricordiamo che quando avevamo una funzione che in z0 aveva un polo diordine N, era valida la seguente

f � z � h � z �

� z�z0�N � f � z �� z�z0�

N h� z �

bene, nel caso di singolarità essenziale non esiste N per il quale l'uguaglianza si verifica, ovvero losviluppo in serie di Laurent ha infinite potenze negative.

Un'altra caratteristica delle singolarità essenziali è la seguente

� f � z �� non è limitata per z� z0 ed il limz� z0

� f � z �� non esiste.

Vediamo il seguente teorema.

Teorema di Piccard

Se f � z � ha una singolarità essenziale allora f � z � assume tutti i valori eccetto al più uno inogni intorno di z0 .

Ciò è legato proprio al fatto che la funzione in z0 non ha limite, in quanto vi è una fortissimaoscillazione ed assume tutti i valori possibili.

Consideriamo la funzione 1

f � z �

se f � z � ha in z0 una singolarità essenziale, la sua inversa1

f � z �ha una singolarità

essenziale o una singolarità non isolata.

Singolarità non isolata significa che in ogni intorno di z0 c'è un'altra singolarità, o di tipo polare odi altro genere. L'osservazione più importante è che nel passare all'inverso la singolarità permane.

Singolarità essenziali - Pag.75

�2

r �1

z0

�



f � z � e1z

Cerchiamo lo sviluppo di Laurent in z0 0 .

La funzione è analitica dappertutto escluso che nello zero, quindi è possibile calcolare i coefficienticn , solo che è un'operazione piuttosto laboriosa, cerchiamo dunque una scorciatoia.

Conosciamo il seguente sviluppo

et 1�t�t 2

2 !�

t3

3 !+...+ tn

n! �

n 0

�� tn

n!

e sappiamo che il suo raggio di convergenza è infinito, in quanto la funzione è analitica in tutto ilpiano complesso. Quindi, se, come in questo caso, la funzione converge per ogni t, allora noi

possiamo prendere t 1z

, quindi possiamo sostituire

e�1z � 1��1z ��

�1z �2

2 !��1z �

3

3 !+...+�1z �

n

n! 1�1

z�

1z2 2 !

�1

z3 3 !+...+ 1

zn n! �

n 0

�� 1zn n!

osserviamo però che abbiamo ottenuto infinite potenze negative. Abbiamo dunque una singolaritàessenziale.

f � z � sen�1z � da sviluppare in z0 0

E' una funzione analitica in tutto il piano complesso escluso lo zero, quindi cerchiamo il suo

sviluppo. Poniamo ancora t 1z

con z�0 e otteniamo

sen�1z � 1z�

1z3 3 !

�1

z55 !+ ...

Anche questo è uno sviluppo convergente formato da infinite potenze negative. Abbiamo unasingolarità essenziale.

Osservazione.

Prendiamo l'inversa di f � z � :

g � z � 1

sen�1z �

Singolarità essenziali - Pag.76


questa si annulla per 1z k� z

1k�

con k�0

Se rappresentiamo nel piano questi punti, osserviamoche si addensano verso l'origine del piano complesso,e questo significa che in ogni intorno del punto z0 ,ci sono sempre degli zeri del denominatore che sonotutti poli del 1° ordine. Abbiamo una singolarità nonisolata.

Punto all'infinito di CIl modo più efficace per rendere visivoil punto all'infinito di ! è quello dioperare come segue. Immaginiamo didisegnare il piano complesso in modoche sia ortogonale al foglio. Abbiamoin questo modo un asse verticale chenon fa parte del piano. Appoggiamouna sfera di raggio unitario al piano,tangente nell'origine, ed operiamoattraverso una proiezione geometricache viene chiamata proiezionestereografica. Il centro della sfera sitrova nel punto di coordinate (0,0,1),mentre il suo polo nord si trova nelpunto di coordinate (0,0,2) ed il polosud ha coordinate (0,0,0). Cerchiamodi costruire una corrispondenzabiunivoca tra i punti che stanno sullasuperficie sferica ed i punti che stanno sul piano x,y, nel seguente modo: congiungiamo con unaretta il polo nord della sfera con un punto di coordinate x0, y0 nel piano, ebbene questa rettainterseca la sfera in un punto. Diciamo quindi che il punto del piano complesso ed il punto dellasfera sono in corrispondenza biunivoca. Ci si rende intuitivamente conto che in questo modo tutti ipunti del piano sono in corrispondenza con tutti i punti della sfera eccetto uno, il polo nord dellasfera. Questo ci permette di affermare che il polo nord rappresenta il punto all'infinito del pianocomplesso.

Sempre ragionando sulla proiezione stereografica del piano complesso possiamo osservare che ilpunto all'infinito non è altro che un punto come tutti gli altri ed è per questo che ci possiamochiedere cosa è l'intorno del punto all'infinito. Sempre sulla superficie sferica possiamo prendereuna calotta che sta intorno al polo nord ed osservare che la sua proiezione sul piano complesso è unacirconferenza che ha un raggio tanto maggiore quanto più la calotta, cioè l'intorno del polo nord, èpiccola, ovvero tanto più ci avviciniamo al polo nord stesso. I punti che stanno all'esterno dellacirconferenza sul piano complesso, corrispondono a quelli che si trovano all'interno della calotta esono l'intorno di infinito.

Punto all'infinito di C - Pag.77


Quella di cui abbiamo trattato è la sfera di Noimann.

Adesso che abbiamo dato una forma al punto all'infinito, cerchiamo di classificare le singolarità inquesto punto.

Prendiamo una funzione f � z � con z�! e z0 � . Se noi facciamo un cambio di variabile di

questo tipo w 1z

, ci accorgiamo che nella sfera di Noimann abbiamo cambiato tra loro il polo

sud con il polo nord ed otteniamo una nuova funzione f � 1w � g �w� . Questo è il passaggio che

dobbiamo fare per studiare funzioni di questo tipo.

Supponiamo di avere f � z � analitica in un intorno di z0 � (questo vuol dire che seprendiamo una circonferenza di raggio R arbitrariamente grande, all'esterno di questa circonferenzala funzione è comunque analitica). Possiamo fare uno sviluppo di Laurent in w0 0 nella regioneesterna al cerchio di raggio R. Quindi avremo

f � z � �n ��

n ��

cn� z�z0�n con cn

12� j��

f ��

��z0�n�1 d �

dopo il cambio di variabile abbiamo

g �w� �n ��

n ��

cn1zn in z0 0 con �w�

1R

osserviamo che la potenza di n è passata a denominatore, quindi non ci sono potenze negativequando sono nulli i coefficienti con n�1 .

La funzione è analitica in z0 � , w0 0 se cn 0 � n�1

Vi è uno zero di ordine N se cn 0 � n"�N c�N�0

Vi è in polo di ordine N se cn 0 � n"N cN�0

C'è una singolarità essenziale se cN�0 per infiniti indici n"0 .

Facciamo qualche esempio.

Polinomi.

f � z � 1�2 z2�3 z3 in z0 �

si fa subito il cambio di variabile z 1w

z0 � � w0 0

g �w� 1� 2w2�

3w3

w0 0 è un polo triplo � z0 � è un polo triplo

Funzioni razionali.



f � z � z3

� z�1�� z�2�� z�3�in z0 �


z0 � � w0 0

g �w� 1w3�

w3

�1�ww ��1�2 w

w ��1�3 ww �

1w3�

w3

�1�w��1�2 w��1�3 w�

g �w� 1

�1�w��1�2 w��1�3 w� 1 in w0 0

quindi z0 � è un punto di analiticità e non è uno zero di g �w� . Anche z0 � è un puntoregolare analitico per f � z � .

Esponenziali.

f � z � e z


z0 � � w0 0

g �w� e1w 1� 1

w�

12 ! w2� ...

w0 0 è singolarità essenziale per g �w� , quindi

z0 � è singolarità essenziale per f � z � .



Singolarità non uniformiConsideriamo

f � z � # z

f � z � log z

osserviamo che funzioni di questo genere non sono ben definite perché danno più di un valore. Seperò noi evitiamo di considerare il periodo (che è quello che ci fa ottenere i valori molteplici) e ciimponiamo di considerare z $e j% con 0�%�2� , allora possiamo studiare l'analiticità anchedi queste funzioni.

Riconsideriamo f � z � # z e ci accorgiamo che è sempre analitica eccetto che in z0 0 , essa

infatti vale f � z � # z #$ej%

2 .

Ma il punto di non analiticità z0 0 prende il nome particolare di punto di diramazione.

Questo capita perché avendo fissato l'angolo ( 0�%�2� ) se noi percorriamo completamente unacirconferenza centrata in z0 0 partendo da un punto z , quando noi torniamo sullo stessopunto, la funzione ci dà un valore diverso. Ad esempio

#e j 0 ej

02 1 ... se facciamo un giro completo ...

#e j 2� e j� �1

Nei punti distinti da z0 0 la funzione è analitica ma è comunque molto particolare da studiare,perché quando si fissa l'angolo % in realtà si individua una determinazione, come se sidecomponesse il piano complesso in tanti piani complessi paralleli uno all'altro e collegati tra lorodai punti di diramazione, quindi la funzione è analitica in ciascuna delle determinazioni e quando sene fa il giro completo intorno ad un punto di diramazione non si torna al punto di partenza ma ci si èinfilati in un'altra diramazione.

Questa è una caratteristica delle funzioni che danno più valori.

Singolarità non isolateLa singolarità non isolata è quella singolarità nel cui intorno cadono sempre singolarità. Studiamolacon un esempio

f � z � 1

sinh 1z

Per capire che tipo di singolarità ci sono, chiediamoci dove si annulla il seno iperbolico, quindi

poniamo z 1w

e chiediamoci quando sinh w 0 . Ricordando la forma complessa del seno

iperbolico, che è la seguente

senh w ew�e�w

2

Singolarità non isolate - Pag.80


ci riduciamo a risolvere la seguente equazione

ew�e�w

2 0 � ew�e�w 0 � ew e�w

e moltiplicando ambedue i membri per ew si ottiene e2 w 1 e j 2 k� e si può dire che i dueesponenziali sono uguali quando sono uguali gli argomenti, ovvero quando

2 w j 2 k� � w j k�

ritornando alla z si ha1z j k� � z

1k� j

� jk�

con k�& k�0

Se adesso noi facciamo lo sviluppo di Laurent, ci accorgiamo che

z k � jk�

sono tutti poli del 1° ordine

Se proviamo a mettere su di un grafico tutti questi valori ci accorgiamo che stanno tutti sull'asseimmaginario e si addensano avvicinandosi allo zero; z0 0 è dunque una singolarità non isolata.

Singolarità non isolate - Pag.81


Tabelle riassuntiveTipi di singolarità

Singolarità

TIPO ESEMPIO NEL PUNTO

apparentisen z

zz0 0

poli1

z�1z0 1

essenziali e1z z0 0

punti di diramazione # z z0 0

non isolate1

senh1z

z0 0

Maggiori singolarità

f1f

SERIE LIMITE ESEMPIO

zero N polo N �N

��

0 sen z

analitica ��0 analitica ��0 �0

��

��0 cosh z

polo N zero N ��N

��

��cos z

z2

essenziale non polo ��

��

non esiste e1z

Tabelle riassuntive - Pag.82


Osservazioni finaliConsideriamo la funzione

f � z � e z in z0 �

sostituiamo w 1z

f �w� e1w

e vediamo che abbiamo una singolaritàessenziale. Riscriviamo adesso la funzione come

f � z � e z e x e j% e prendiamo solo questivalori dell'argomento: 0�%2� . Abbiamo inpratica ristretto il dominio ad una fascia comedescritto in figura, dove gli assi rappresentanomodulo e argomento del numero complesso. Seproviamo adesso a vedere qual'é l'immagine diquesta restrizione del dominio, ci accorgiamoche è tutto il piano complesso escluso lo zero, inquanto e x è il modulo della funzione e ci datutti i valori, escluso lo zero, e j% è l'argomentoe nella restrizione che ci siamo dati, vengonocomunque compresi tutti i possibili angoli. Seadesso noi andiamo a cercare una circonferenza grande, centrata nello zero, ci accorgiamo che perquanto grande essa sia (ovvero se prendiamo un intorno di infinito, per quanto piccolo esso sia) ciaccorgiamo che esisterà sempre una fascia esterna a questa circonferenza (dentro l'intorno diinfinito), che avrà come immagine tutto ! e sarà del tipo �2 k� ,2�k�1�� . Questo cichiarisce ulteriormente il significato del teorema di Piccard e della non esistenza del limite per unasingolarità essenziale.

Osservazioni finali - Pag.83

2 �k�1��

2 k� 2�

O


Osservazioni finali - Pag.84

Appunti di Capuzzo Alessandro - Residui

ResiduiSia f � z � analitica in � e sia z0 unasingolarità isolata. E' dunque possibileconsiderare una corona ��z�z0��r ,dove la funzione è analitica e z0 sial'unica singolarità.

In questa regione possiamo fare losviluppo di Laurent ed ottenere al solito

f � z �� n��

n��

cn� z�z0�n

Il coefficiente c�1 prende il nome diresiduo della funzione f � z � in z0 e siusa scrivere

R f � z �� z0��c�1

Richiamiamo la definizione di coefficiente di uno sviluppo di Laurent

cn�1

2� j �

f � z �� z�z0�

n�1 d z

con � uguale a qualunque cammino chiuso all'interno della corona circolare (abbiamo inoltreutilizzato il simbolo di integrale chiuso per sottolineare il fatto che � è una curva chiusa).Osserviamo quindi che l'espressione di c�1 e quindi del residuo è la seguente

R f � z �� z0��c�1�1

2� j �f � z �d z

Teorema dei residui.

Sia f � z � analitica in �� eccetto che in zk�� con k�1,2,3 , ... , n (ovvero eccetto che inun numero finito di punti che evidentemente sono delle singolarità isolate per la funzione),

allora

�f � z �d z�2� j

k�1

n

R f � z �� zk �

Vediamo di capirne il senso.

Abbiamo �� nel piano complesso ed un certo numero finito di punti z1 , z2 , ... , z k , .. ,zn che sono le singolarità di f � z � ed abbiamo da calcolare l'integrale su � di f � z � . Se

noi disegniamo dei circoletti di raggio abbastanza piccolo da permettere ad ogni circoletto di esseretutto contenuto nella regione � di analiticità e all'interno di ciascuno di essi ci sia soltanto unasingolarità, possiamo indicare con �1 il cerchio che contorna z1 ,con �2 il cerchio checontorna z2 ,con �k il cerchio che contorna zk ,con �n il cerchio che contorna zn .

Residui - Pag.85

r

� z0

�


Consideriamoli inoltre percorsi in senso orario. Possiamo adesso considerare l'integrale di linea cheha per cammino il bordo della regione � alla quale sono stati tolti gli n cerchi (ovvero viabbiamo creato dei buchi) ognuno dei quali le ha sottratto un punto di non analiticità, per cui laregione così “bucata” è tutta di analiticità.

Grazie al teorema di Cauchy risulta quindi vero che

��1��2��...��k��...��n�f � z ��0

ma per la proprietà di addittività degli integrali, l'integrale sopra può essere visto come una sommadi integrali (o sottrazione, se si inverte il senso del cammino)

��f � z �dz��1

f � z �dz��2

f � z �dz� ... ��k

f � z �dz� ... ��n

f � z �dz�0

possiamo quindi sostenere che

�f � z �dz�2� j�

12� j �1

f � z �dz�

R f � z1�

�1

2� j �2

f � z �dz�

R f � z2�

� ... � 12� j �n

f � z �dz�

R f � zn��

osserviamo che ognuno dei termini tra parentesi quadre altro non è che il residuo calcolato nel puntozk . Questo ci porta alla stessa conclusione del teorema dei residui, ovvero

Residui - Pag.86

�

�k

zk

�1

z1 �2

z2

�

zn �n


�f � z �d z�2� j

k�1

n

R f � z �� zk �

Si potrebbe osservare che il teorema dei residui ci complica la vita, in quanto siamo passati da ununico integrale di linea ad n integrali di linea, ma non è così, poiché vedremo che il calcolo praticodei residui in realtà è molto semplice. Quindi il teorema dei residui acquisisce una grandeimportanza nei calcoli pratici.

Supponiamo di avere la funzione

f � z ��1z

singolare in z0�0 e di chiederci qual'é il suo residuo nell'origine.

Abbiamo

R f �0��1

2� j �

1z

dz

Essendo � una curva arbitraria, scegliamo la circonferenza di raggio unitario centrata in z0�0 ,ovvero � : e j� 0��2�

si ha

z�e j�

dz� j e j� d �

e l'integrale diventa

R f �0��1

2� j 0

2� 1e j� j e j�d ��

12� j

2� j�1

Osservazione.

Supponiamo di avere una regione �� che é tutta di analiticità eccetto alcuni punti. La suaparticolarità è di avere un numero m finito di singolarità anche sul bordo le quali chiameremo z i .Osserviamo che la presenza di singolarità sulla curva di integrazione rende l'integrale di linea unintegrale improprio e non è più sufficiente cercare di parametrizzare le curve per dargli unsignificato. Bisogna cercare di interpretarlo in un modo opportuno che prende il nome di valorprincipale secondo Cauchy (v.p.).

Questa situazione modifica la formula del teorema dei residui nel seguente modo

�f � z �d z�2� j�

k�1

n

R f � z �� z k ��12i�1

m

R f � z �� z i�� z k�� z i��

possiamo osservare che il contributo dei residui sul bordo viene dimezzato.

Residui - Pag.87


Calcolo pratico dei residui in poli del 1°ordine

Abbiamo visto che nel caso di poli del primo ordine la funzione può essere così riscritta

f � z ��h� z �z�z0

con h � z � analitica e h� z0��0

abbiamo immediatamente

R f � z0��h� z0� � limz� z0

� z�z0� f � z � (si prende la parte analitica calcolata in z0 )

se invece la funzione si presenta nel seguente modo

f � z ��n � z �d � z �

con n� z0��0 la singolarità polare dipende dal fatto che il denominatore si annulla con uno zerodel primo ordine, si può osservare che il calcolo pratico del residuo è dato dalla seguenteespressione

R f � z0��n� z0�

d ' � z0�(si fa la derivata del denominatore)

Facciamo degli esempi.

f � z ��2 z�1�z2�z�2

Vogliamo calcolare i residui nelle sue singolarità, che sono evidentemente, essendo una funzionerazionale, i punti in cui si annulla il denominatore, verificato che non si annulli nello stesso puntoanche il numeratore.

Risolviamo dunque l'equazione

z2�z�2�0

il denominatore si annulla in

z1�2

z2��1

Risolviamo l'esercizio utilizzando entrambe le regole

� Applichiamo la 1° regola.

Riscriviamo f � z � evidenziando le singolarità

f � z ��2 z�1�

� z�2�� z�1�

osserviamo che quando noi vogliamo calcolare il residuo nel punto z1�2 avremo

Calcolo pratico dei residui in poli del 1° ordine - Pag.88


f � z ��

�2 z�1�� z�1�

�h� z �

� z�2�

da calcolare appunto in z1�2 ed otteniamo

R f �2��2 z�1�� z�1� �

2�

53

se invece vogliamo calcolare il residuo nel punto z2��1 avremo

f � z ��

�2 z�1�� z�2�

�h� z �

� z�1�

da calcolare appunto in z2��1 ed otteniamo

R f ��1��2 z�1�� z�2� �

2�

13

� Applichiamo la seconda regola

f � z ��n� z �d � z �

��2 z�1�z2�z�2

R f � z k ��n� z k �

d 1� z k ��

�2 z�1��2 z�1�

per cui nel punto z1�2 avremo

R f � z1��n � z1�

d 1� z1��

�2 z1�1��2 z1�1�

�53

e nel punto z2��1 avremo

R f � z2��n� z2�

d 1� z2��

�2 z2�1��2 z2�1�

�13

- Pag.89


Calcolo pratico dei residui in poli di ordineN>=1

Questo è un caso più generale del precedente, che ne è compreso.

Se la nostra funzione ha un polo di ordine N avrà il seguente sviluppo di Laurent

f � z �� n��

n��

cn� z�z0�n�... +

c�n

� z�z0�n + ... +

c�1

� z�z0��c0�c1� z�z0�+ ... + cn� z�z0�

n + ...

è abbastanza semplice osservare che se moltiplichiamo f � z �� z�z0�n otteniamo

f � z �� z�z0�n�c�n�c�n�1� z�z0�+ ... + c�1� z�z0�

n�1�c0� z�z0�n�c1� z�z0�

n�1 + ...

ed osserviamo subito che abbiamo f � z �� z�z0�n�h� z � che non è altro che la parte analitica della

funzione. Possiamo quindi riscrivere la funzione come

f � z ��f � z �� z�z0�

n

� z�z0�n �

h� z �� z�z0�

n

Facciamo però attenzione adesso, perché l'indice che ci interessa per avere il residuo è quelloindicato sotto

f � z �� z�z0�n�c�n�c�n�1� z�z0�+ ... + c

�1� z�z0�

n�1�c0� z�z0�n�c1� z�z0�

n�1 + ...

se però noi ricordiamo che i coefficienti dello sviluppo di Taylor ci vengono forniti dalla derivatan-sima, possiamo ritenere che h�n�1�� z0��n�1�! c�1 per cui il calcolo pratico è

c�1�h�n�1�� z0�

�n�1�!

L'espressione del residuo è dunque la seguente

R f � z0��1

�n�1�!h�n�1�� z0� � R f � z0��

1�n�1�!

�limz� z0

d �n�1�

dz�n�1� �� z�z0�n f � z ��

osserviamo che per n�1 ci si ritrova esattamente la stessa definizione data per i poli di 1° ordine,mentre non abbiamo una regola pratica per quanto riguarda funzioni espresse in forma frazionaria,che è un'esclusività dei poli di 1° ordine.

Facciamo qualche esempio.

f � z �� z�1�2

� z�1�2

la funzione non è analitica in z0�1 dove vi è un polo del 2° ordine.

vediamo che la funzione analitica è

Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1 - Pag.90


h � z �� z�1�2

ed essendo n�2 dobbiamo farne la derivata prima calcolata nella singolarità ovvero nel punto 1.

h�1��1��2� z�1��z�1�4

quindi il residuo della funzione nel punto 1 è uguale a 4.

f � z ��sen z

z3

la funzione è singolare nel punto z0�0 e se facciamo lo sviluppo di Laurent ci accorgiamo che èun polo del 2° ordine.

Dobbiamo quindi pensare che sen z

zsia analitica (in zero infatti il suo limite è 1, è un limite

fondamentale) e riscrivere la funzione nel seguente modo

f � z ��

sen zzz2

per cui si ha che il residuo vale

R f �0�� ddz

sen zz �

z�0�� z cos z�sen z

z2 �z�0

non dobbiamo dimenticarci mai che dobbiamo vedere questa funzione sempre come un limite, che

in questo caso, svolgendo i calcoli risulterebbe indeterminato �00� . Per capire quanto vale

possiamo provare a fare lo sviluppo di Taylor a numeratore

R f �0�� cos z�sen zz2 �

z�0

��1�z2

2 !+ ... �z�z�

z3

3 !+ ...

z2 �z�0

�0

Sommando i termini del numeratore si vede che lo sviluppo di Taylor parte da una potenza cubica,quindi di ordine maggiore e predominante sul denominatore. In questo caso il residuo è zero,bisogna dunque stare attenti a non pensare che siccome il residuo è nullo la funzione sia analitica,perché è un polo del 2° ordine ed in z�0 abbiamo una singolarità.

f � z ��e z

� z�1�2

si vede che z�1 è un polo del 2° ordine e che h � z ��e z , per cui

R f �1��h�1��1��e z �z�1�e

Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1 - Pag.91


Integrali impropri col metodo dei residuiCominciamo con il caso in cui la funzione integranda è razionale del tipo

f � x ��P �x �Q � x�

con grado di P � x ��2�grado di Q � x�

siamo nel caso in cui l'integrale improprio

��

�

f �x �dx

è convergente, sempre nel caso che Q(x) non abbia zeri sull'asse reale. Estendendo la variabile x alpiano complesso dove Re z = x, il calcolo dell'integrale può essere fatto col metodo dei residui:

siano gli z k poli di f � z � con Im z k!0, 1�k�n (nella regione) e

siano gli z i poli semplici di f � z � con Im z i�0, 1�i�m (nel bordo della regione)

allora abbiamo

��

�

f �x �dx�2� j�k�1

n

R f � z �� z k ��12i�1

m

R f � z �� z i��Facciamo un cenno di dimostrazione.

Se noi scriviamo l'integrale di linea di f � z � dove la linea è l'asse reale, che inizialmentesupponiamo privo di singolarità, abbiamo

Integrali impropri col metodo dei residui - Pag.92

�R

-R +R


��

�

f � x�dx�integrale improprio

�� ,��f � z �dz�

integrale di linea su"

� limR��

��R

�Rf � z �dz

�integrale improprio pensatocome limite

� limR��

��R ,�R�f � z �dz

�integrale di linea su#

Adesso chiudiamo il cammino con una semicirconferenza �R di raggio R centrata nell'origine ecerchiamo di capire quanto vale l'integrale di quest'ultima per R che tende ad infinito

��f � z �dz��

� f � z �dz�� f � z ��dz��k�� 1

z2��dz��

essendoil grado di P �x��2�grado di Q � x�

se osserviamo che stiamo integrando su di una semicirconferenza possiamo porre

z�R e j� 0��

dz�R e j� j d � �dz��R d �

per cui l'integrale diventa

��f � z �dz��k�� 1

z2��dz��o

� 1R2 R d ��

�

R�

R�0

è dunque lecito sommare zero ad un'uguaglianza nel seguente modo

��

�

f �x �dx� limR��

��R ,�R�f � z �dz� lim

R��R

f � z �dz� ��R , R��R

f � z �dz

ma con R sufficientemente grande da racchiudere tutte le singolarità nel semipiano positivo,possiamo osservare che ci ritroviamo di fronte ad un integrale di linea su di una curva chiusa condelle singolarità al suo interno, possiamo quindi applicare il teorema dei residui. Si ha dunque

��

�

f �x �dx�2� jk�1

n

R f � z �� zk �

Se siamo invece nel caso in cui si hanno delle singolarità sull'asse reale esse contribuiranno per lametà della loro sommatoria; giungeremo così alla formula inizialmente enunciata

��

�

f �x �dx�2� j�k�1

n

R f � z �� z k ��12i�1

m

R f � z �� z i�� .

Vediamo qualche esempio.

��

� 11�x2 dx

La prima osservazione che possiamo fare è che noi questo integrale improprio lo sapevamo giàcalcolare. Quello che vogliamo fare infatti è introdurre un metodo nuovo ed alternativo per ilcalcolo degli integrali impropri, che si dimostra comunque più rapido ed efficace di quellotradizionale.

Il primo passo da fare è dunque pensare all'integrale come cammino sull'asse reale del pianocomplesso di una funzione complessa nel seguente modo.



��

� 11�x2 dx�� ,��

11�z2 dz

Le singolarità sono nel punto j e nel punto -j, nel semipiano positivo c'è la sola singolarità j,possiamo dunque subito dire che

��

� 11�x2 dx�2� j R 1

1�x2

� j ��2� j� 12 z �z� j

��

��

� x2

�1�x2�2 dx�� ,��

z2

�1�z2�2 dz

Anche in questo caso le singolarità sono nel punto j e nel punto -j, nel semipiano positivo c'è la solasingolarità j, ma adesso sono poli doppi.

Calcoliamo il residuo

R z2

�1�z2�2

�� ddz

z2

� j�z �2 �z� j

�2 z � j�z �2�z2 2� j�z �

� j�z �4 �z� j

�2 j � j� j�2� j2 2� j� j�

� j� j�4 =

=2 j �2 j �2� j2 2�2 j �

�2 j �4 ��8 j�4 j

16�

�4 j16

�� j4

L'integrale vale dunque

��

� x2

�1�x2�2 dx�2� j�� j4

��

2

Per persuaderci sull'efficacia del metodo dei residui lasciamo allo studente il calcolo dell'integralesecondo il metodo tradizionale (è molto più complesso)

��

� x2

�1�x4�dx�� ,��

z2

�1�z4�dz

Vediamo che le singolarità sono le radici quarte di z=-1

4$�1�4$e j��2 k � j�e

j�

4�k

2�

4j

Vediamo che nel semipiano superiore abbiamo

ej�

4 , ej

3�

4 .

Abbiamo quindi

��

� x2

�1�x4�dx�� ,��

z2

�1�z4�dz�2� j�� z2

4 z3 �e

j�

4

�� z2

4 z3 �e

3 j�

4�=



= 2� j� 14

e� j

�

4 �14

e�3 j

�

4 ��2� j14

e� j 2

�

4 �ej�

4 �e� j

�

4 ��

2j e

� j�

2 �2 cos�

4 �=

=�

2j �� j��2 cos

�

4 ��

2 �2cos�

4 ��$22

Lemma di Jordan (per cammini paralleliall'asse reale)

Si ha da calcolare il seguente integrale improprio

��

� P �t �Q �t �

e j a t dt a�" , t�" , t�0 e grado di P �t ��grado di Q �t �

essendo a e t reali, abbiamo una combinazione di seni e coseni complessi. Le singolarità dipendonotutte dal termine frazionario.

NOTA: Il calcolo dell'integrale è diverso a seconda che il modulo dell'esponenziale tenda a zero sulsemipiano positivo o sul semipiano negativo.

Calcoliamo il modulo dell'esponenziale, ma prima portiamo t nel piano complesso passando ad unavariabile complessa

s�t� j%

�e j a s��e j a t� j a�j %��e j a t��e�a%��e�a%

passaggio che abbiamo potuto fare ricordando che il modulo di un esponenziale con argomento unimmaginario puro è uguale ad uno. Quindi il comportamento dell'esponenziale dipende dal valore dia.

� a!0 , il modulo dell'esponenziale tende a zero quando %�� ; semipiano superiore

� a�0 , il modulo dell'esponenziale tende a zero quando %�� ; semipiano inferiore

Per cui

��

� P �s�Q �s�

e j a s ds��a!0�2� j�

k�1

n

R f �s�� z k ��12i�1

n

R f �s�� z i��singolarità sul semipiano positivo per gli zk che hanno parte immaginaria!0

a�0��2� j�h�1

n

R f �s�� zh��12i�1

n

R f �s�� z i��singolarità sul semipiano negativo per gli zh che hanno parte immaginaria�0

con f � s��P � s�Q � s�

e j a s

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale) - Pag.95


Questo perché, se ricordiamo che per calcolaregli integrali impropri attraverso i residui eranecessario chiudere il percorso di integrazionecon una curva che aveva integrale nullo, adesso,essendovi la complicazione dell'esponenziale,questa curva tende a zero nel semipianosuperiore se a è positivo, ed in quello inferiorese a è negativo.

Inoltre nel semipiano negativo cambia il segnoperché si inverte il cammino di integrazione(vedi figura)

Vediamo un esempio.

��

� e j a t

�1�t2�dt

Dobbiamo dunque distinguere due casi

a!0�2� j�k�1

n

R e j a t

�1�t2�

� j ��2� je�a

�2 j ��e�a

a�0�2� j�k�1

n

R e j a t

�1�t2�

�� j ��2� jea

��2 j ��ea

Lemma di Jordan (per cammini paralleliall'asse immaginario)

Si ha da calcolare il seguente integrale improprio

�&0� j

&0� j P � s�Q �s�

es t ds t�" e grado di P �s��grado di Q �s�

Questo tipo di integrali riveste un'estrema importanza nel proseguo di questo corso (calcolo delleantitrasformate di Laplace).

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario) - Pag.96

�R

R +R

�1 R


La situazione è quella descritta in figura: ilcammino di integrazione va da&0� j a &0� j .

Anche in questo caso, per risolverel'integrale dobbiamo osservare il segno delparametro t, in quanto ci dà lo zerodell'esponenziale.

Infatti abbiamo

�e st��e& t� j% t��e& t �

&��

t!00

e& t �&��

t�00

Possiamo quindi osservare che

�&0� j

&0� j P � s�Q � s�

es t ds�� t!0�2� jk�1

n

R f �s��sk � Re sk�&0

t�0��2� jk�1

n

R f �s�� sk � Re sk!&0

La dimostrazione è di nuovo legata al fatto che quando il cammino di integrazione è una rettaparallela agli assi coordinati, possiamo pensare di nuovo all'integrale come il limite di un integraletra &0� jR e &0� jR , con R che tende a più infinito e possiamo nuovamente chiudere ilcammino con delle semicirconferenze. Evidentemente bisogna scegliere il semipiano di destra od ilsemipiano di sinistra a seconda che il modulo dell'esponenziale tenda a zero quando &�� oquando &�� . Quindi il ruolo dell'esponenziale complesso è quello di indicarci su qualesemipiano dobbiamo lavorare. Se t!0 sarà allora il semipiano di sinistra, se t�0 sarà ilsemipiano di destra.


12� j�&0� j

&0� j 1s2�1

es t ds dove &0!0

Il lemma di Jordan ci dice che questo integrale è uguale alle seguenti espressioni

12� j�&0� j

&0� j 1s2�1

es t ds�� t!0�1

2� j2� j

k�1

n

R f �s�� sk � Re sk�&0

t�0�1

2� j�2� j

k�1

n

R f �s��sk � Re sk!&0


%

&0 &


nel nostro caso i poli sono ' j e si trovano entrambi nel semipiano a sinistra della curva diintegrazione. Quindi nel semipiano di destra la funzione è analitica e l'integrale vale dunque zero,mentre nel semipiano di sinistra vale

12� j

2� j �R f �s�� j ��R f �s�� j ��

Quindi non dobbiamo fare altro che calcolare i due residui e sommarli.

R f �s�� j �� e st

2s�

s� j�

e jt

2j

R f �s�� j �� est

2s�

s�� j�

e� jt

�2j

L'integrale risulta essere

per t!0 int� e jt

2j�

e� jt

2j�sin t

per t�0 int�0

Si usa scrivere questo risultato comeu �t � sint dove u �t � è la funzione

gradino unitario, la quale vale uno pert>0 e zero per t<0 e che quindi riassumebene il risultato ottenuto.

12� j�&0� j

&0� j ss2�1

es t ds dove &0!0

Ci troviamo in una situazione analoga a quella dell'esempio precedente. Osserviamo che il grado delnumeratore è uno ed il grado del denominatore è due, quindi l'ipotesi necessaria per poter mettere inpratica il lemma di Jordan, che richiede che il grado del denominatore sia strettamente maggiore delgrado del numeratore è verificata.

Anche in questo caso le singolarità (j e -j) si trovano tutte a sinistra del cammino di integrazione.Distinguendo i casi abbiamo di nuovo zero per t<0 mentre per t>0

12� j

2� j �R f �s�� j ��R f �s�� j ��

Calcoliamo i due residui:

R f �s�� j�� se st

2 s �s� j�

e jt

2



R f �s�� j �� se st

2 s �s�� j�

e� jt

2

per cui l'integrale vale

per t!0 int = e jt

2�

e� jt

2�

e jt�e� jt

2�cos t

per t�0 int = 0

Utilizzando la funzione gradino unitario possiamo scrivere

12� j�&0� j

&0� j ss2�1

es t ds = u �t �cos t

12� j�&0� j

&0� j 1s

es t ds dove &0!0

Ci troviamo nelle condizioni di poter applicare il lemma di Jordan. Guardando l'integrando ciaccorgiamo che c'è un unico polo semplice nell'origine, abbiamo dunque

per t!0 int =1

2� j2� j R f �s��0�

per t�0 int = 0

Il residuo in zero vale

R f �s��0��e st �s�0�1 L'integrale vale dunque u �t � , la funzione gradino di t.

Prendiamo adesso lo stesso integrale, però con &0�0 .

Osserviamo che adesso la regione a sinistra del cammino di integrazione è tutta di analiticità el'unica singolarità si trova nella regione di destra. Dunque

per t!0 int = 0

per t�0 int = �1

2� j2� j R f �s��0��1

Scrivendo il risultato in forma sintetica (utilizzando la funzione gradino), possiamo scrivere

int = �u ��t �

Ricordiamo al lettore che gli esempi appena svolti sono molto importanti perché in realtà sonoesempi di trasformate di Laplace.

Supponiamo adesso di voler calcolare

��

� sen tt

dt

Questo integrale a prima vista non ha le caratteristiche degli integrali che si risolvono col lemma di



Jordan perché non c'è l'esponenziale complesso, mentre in realtà noi possiamo osservare che sen tnon è altro che la parte immaginaria di un esponenziale complesso, quindi possiamo riscriverel'integrale nel seguente modo

��

�

Im e jt

tdt

è chiaro che prendere la parte immaginaria prima dell'integrale, o prenderla dopo, è la stessa cosa,

possiamo dunque scrivere Im��

� e jt

tdt�Im��

� e js

sds

Ci ritroviamo dunque a dover risolvere un integrale con cammino di integrazione parallelo all'assedelle ascisse e possiamo sfruttare il lemma di Jordan, dobbiamo dunque vedere dove il modulodell'esponenziale tende a zero

�e jz��e j&� j j%�e�%

che tende a zero nel semipiano delle %!0 , risulta dunque, facendo attenzione che in questo casol'unica singolarità non si trova all'interno della regione, bensì sul cammino d'integrazione

Im��

� e js

sds�Im�2� j

12

R f �s��0�� e calcolando il residuo si ha

Im��

� e js

sds�Im�2� j

12�1��Im �� j ��

Facciamo osservare con quale semplicità abbiamo calcolato un integrale che non era inveceintegrabile elementarmente. Quindi passare al campo complesso risulta molto utile per il calcolo diintegrali difficili od impossibili da risolvere elementarmente.


Appunti di Capuzzo Alessandro - Decomposizione in fratti semplici

Decomposizione in fratti sempliciPoli semplici

Abbiamo una funzione razionale e la vogliamo scomporre in una somma tra un polinomio ed nfrazioni, nel seguente modo

F �s��N m� s�Dn�s�

�Qm�n�s��A1

s�s1

�A2

s�s2

+ ... +An

s�sn

con s1, s2 , ... , sn poli semplici e Ak�costante

Dire che questa funzione razionale ha n poli semplici, significa dire che il denominatore si annullain s1, s2 , ... , sn e che il numeratore è diverso da zero in s1, s2 , ... , sn e che gli zeri deldenominatore sono degli zeri semplici.

E' chiaro che il termine Qm�n�s� è presente solo se m�n (ovvero la funzione non è unafunzione razionale propria).

Facciamo la seguente osservazione. Cominciamo col dire che a volte capita di trovarsi di fronte adalcuni casi in cui la soluzione è molto semplice, ed è bene prendere una strada semplice, in tali casi,mentre si dovranno utilizzare i metodi generali solo per i casi più complessi. Quindi questa primaosservazione che chiameremo metodo immediato sottolinea questo aspetto. Supponiamo di avere

F �s��2

�s�1��s�1�

Non c'è bisogno di fare grossi ragionamenti per questa decomposizione, m=0, n=2, quindi non c'ètermine polinomiale nella decomposizione, ed essa risulta essere

F �s��2

� s�1�� s�1��

1�s�1�

�1

�s�1�

La seconda osservazione che vogliamo fare è che in realtà la decomposizione in fratti semplici diuna frazione è un argomento che in qualche modo abbiamo già trattato nei corsi precedenti. Quandosi deve affrontare il problema di integrare una funzione razionale (beninteso, quando la variabile èuna variabile reale, nel nostro caso la variabile è complessa: s�� j� ) si introduce proprio ladecomposizione del denominatore (nel nostro caso, se s fosse reale, avremmo due logaritmi) enormalmente, quando si effettua una decomposizione in fratti semplici, lo si fa attraverso un metodoche si chiama metodo del sistema algebrico.

Facciamo un esempio per ricordarne l'utilizzo, abbiamo

F �s��2 s2�1

�s�2�� s�1�

la prima cosa da osservare è che essendo numeratore e denominatore di pari grado avremosicuramente un polinomio non frazionario nella nostra decomposizione ed esso avrà grado zero, saràdunque una costante.

Potremo quindi fare la seguente scomposizione

Poli semplici - Pag.101


F �s��2 s2�1

�s�2��s�1��q�

A�s�2�

�B

� s�1�

con q, A e B costanti da ricavare.

Il metodo è semplice : è sufficiente rifare i passaggi all'incontrario (effettuando il m.c.d.)

F �s��q�A

�s�2��

B�s�1�

�qs2�qs�2 qs�2 q�As�A�Bs�2 B

�s�2�� s�1�

ordinare il polinomio ottenuto a numeratore

F �s��qs2��q�2 q�A�B� s�2 q�A�2 B

�s�2��s�1�

e ricordarsi che trovandoci di fronte ad un'uguaglianza tra due frazioni,

2 s2�1�s�2��s�1�

�qs2��q�2 q�A�B� s�2 q�A�2 B

�s�2�� s�1�

tali frazioni, essendo i denominatori uguali, sono uguali solo se sono uguali i numeratori che,essendo due polinomi, sono uguali se hanno uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado. E'sufficiente quindi imporre tali uguaglianze in un sistema

q�2q�A�B�0�2 q�A�2 B�1

che da soluzioni

q�2

A��3

B�1

Riassumendo

F �s��2 s2�1

�s�2�� s�1��2� 3

�s�2��

1�s�1�

Questa è una via efficace e funzionante, ma possiamo osservare che se i poli sono numerosi,aumentano le incognite ed il sistema diventa molto pesante.

Parliamo adesso della decomposizione con il metodo dei residui. Consideriamo


�Qm�n�s��A1

s�s1

�A2

s�s2

+ ... +An

s�sn

con s1, s2,... , sn poli semplici per F �s�

Proviamo a rappresentare questi poli nel piano complesso e poi contorniamo ogni polo con uncircoletto, in modo da avere un unico polo per ogni circoletto e diamo il nome al circoletto checontorna s1 di 1 , e così via.



Adesso riprendiamo la nostra funzione,che vogliamo decomporre, edimmaginiamo di integrarla lungo la circonferenza k .

Otteniamo

F �s��k

N m�s�Dn�s�

ds��k

Qm�n�s�ds��k

A1

s�s1

ds��k

A2

s�s2

ds + ... +�k

Ak

s�sk

ds

Di tutti gli integrali nel terzo membro, grazie al teorema di Cauchy, possiamo vedere che l'unico

diverso da zero è proprio �k

Ak

s�sk

ds . Risulta quindi vero che

�k

F �s��k

Ak

s�sk

ds

Ponendo s�sk��e j con 0� �2�

(sono due diversi modi per descrivere la circonferenza che ruota intorno a sk )

ed ovviamente

ds�� j e j d

si ottiene

�k

Ak

s�sk

ds��0

2�Ak

1�e j � j e j d �2� j Ak

Mentre se prendiamo �k

F �s� , possiamo osservare che non è altro che la definizione di residuoa meno del fattore 2� j e possiamo quindi riscriverla come

�k

F �s��2� j R f �s�� sk �

Ricomponendo l'uguaglianza otteniamo

2� j R f �s�� sk ��2� j Ak � Ak�R f �s�� sk �



1 k

3 k


Riprendiamo la funzione già studiata

F �s��2 s2�1

�s�2��s�1��q�

A�s�2�

�B

� s�1�

Abbiamo due poli semplici

s1��2

s2�1

Osserviamo che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, per cui nella decomposizioneabbiamo un polinomio che è una costante. Essa non è altro che il rapporto tra i gradi massimi, il suovalore è quindi 2 ( q�2 ).

Riscrivendo la decomposizione secondo il metodo dei residui otteniamo

F �s��2 s2�1

�s�2�� s�1��2�

R f �s��2�� s�2�

�R f �s��1�� s�1�

quindi la decomposizione si riduce effettivamente al calcolo dei due residui

R f �s��2�� 2 s2�1s�1 �

s��2�

9�3

��3

R f �s��1��2 s2�1s�2 �

s�1�

33�1

per cui

F �s��2 s2�1

�s�2�� s�1��2� �3

�s�2��

1�s�1�

Osserviamo che il metodo dei residui ci permette di calcolare i coefficienti in modo arbitrario edindipendente, senza doverli necessariamente calcolare tutti tramite un sistema.

F �s��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12�s�2��s�1� s �s�1��s�2�

Osserviamo subito che al numeratore abbiamo un polinomio di 4° grado ed al denominatore di 5°,quindi non ci sono termini polinomiali.

Avremo dunque una decomposizione composta da 5 addendi, a ciascuno dei quali corrisponde unodei poli della nostra funzione razionale (osserviamo che il numeratore in nessuno di questi poli siannulla, abbiamo quindi effettivamente 5 poli del 1° ordine)

F �s��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12�s�2��s�1� s �s�1��s�2�

�R f �s��2�

s�2�

R f �s��1�s�1

�R f �s��0�

s�

R f �s��1�s�1

�R f �s��2�

s�2

Calcoliamo i residui



R f �s��2�� 15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12�s�1� s �s�1��s�2� �

s��2=

=15��2�4�10��2�3�45��2�2�16��2��12

��2��1��2��2��1��2��2�=

=15�16��10��8��45�4��16��2��12

��1��2��3��4��

240�80�180�32�1224

�2424

�1

R f �s��2�� 15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12�s�2� s � s�1��s�2� �

s��1�2

R f �s��0��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12� s�2��s�1��s�1��s�2� �

s�0�3

R f �s��1��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12

�s�2��s�1� s �s�2� �s�1

�4

R f �s��2��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12

�s�2��s�1� s �s�1� �s�2

�5

Inseriamo i risultati nella decomposizione

F �s��15 s4�10 s3�45 s2�16 s�12�s�2�� s�1� s � s�1�� s�2�

�1

s�2�

2s�1

�3s�

4s�1

�5

s�2

Suggeriamo allo studente di provare ad effettuare la stessa decomposizione con il metodo delsistema algebrico, proprio per verificare che effettivamente il calcolo è molto più complesso.

Facciamo un altro esempio rapido (impostiamo solo il metodo)

F �s��25 s5�12

�s2�9��s2�25�

Osserviamo subito che il numeratore è di 5° grado, il denominatore di 4°. Avremo quindi unpolinomio nella decomposizione, il cui coefficiente del termine di grado maggiore ci èimmediatamente noto (si divide il coefficiente di grado maggiore del numeratore per il coefficientedi grado maggiore del denominatore), mentre gli altri coefficienti si ottengono iniziando la divisionetra i due polinomi.

Osserviamo anche che abbiamo quattro poli semplici. Si ha

F �s��25 s5�12

�s2�9��s2�25��25 s�b�

R f �s��3��s�3�

�R f �s��3��s�3�

�R f �s��5�� s�5�

�R f �s��5��s�5�



Poli multipliSiamo nel caso


�N m�s�

� s�s0�n�Qm�n�s��

solo se m�n

�An

� s�s0�n�

An�1

�s�s0�n�1 + ... +

A1

� s�s0�1

con s0 polo di ordine n.

Vediamo in che modo riusciamo a descrivere le costanti Ak attraverso i residui. Facciamo laseguente osservazione. Consideriamo il punto s0 , che è l'unica singolarità (anche se molteplice)della nostra funzione, e tracciamo un circoletto che lo racchiuda. Possiamo osservare che

R f �s�� s0��A1

Infatti, ragionando in modo generico si ha

�0

1�s�s0�

k ds�2� j se k�10 se k�1

ponendo infatti s�s0�e j con 0� �2� e ds� j e j d

l'integrale diviene

�0

2� 1e j k j e j d � j�0

2�e j �1�k � d

che per k�1 dà immediatamente 2� j , per k�1 dà la seguente primitiva

jj �1�k �

e j �1�k � �0

2�

�0 (perché è una funzione periodica di periodo 2� )

Questo dimostra anche quanto affermato per i poli semplici.

Vediamo come poter calcolare gli altri coefficienti. Proviamo a moltiplicare per �s�s0� la nostrafunzione:

�s�s0�F �s��N m� s�

�s�s0�n�1

analogamente a prima, possiamo affermare che

�0

� s�s0�F �s�ds��0

A2

� s�s0�ds�2� j A2

ne risulta quindi che

R�s�s0� f �s��s0��A2

allo stesso modo si ottengono gli altri termini, fino ad ottenere

R�s�s0�

n�1 f �s��s0��An

Riassumendo i risultati ottenuti, possiamo dire che quando siamo in presenza di un polo multiplo diordine n la decomposizione si ottiene nel seguente modo

Poli multipli - Pag.106


F �s��N m�s�Dn�s�

�N m�s�

�s�s0�n�Qm�n�s��

solo se m�n

�R

�s�s0�n�1 f �s��s0�

�s�s0�n �

R�s�s0�

n�2 f �s��s0�

�s�s0�n�1 + ... +

R f �s��s0�

�s�s0�1

Osserviamo che di tutti questi coefficienti, il più semplice da calcolare è An in quanto�s�s0�

n�1 F �s�ha in s0 un polo semplice, tutti gli altri sono poli multipli.

Osserviamo anche, che se avessimo fatto lo sviluppo di Laurent della funzione, ci saremmo trovaticome termini dello sviluppo proprio i coefficienti Ak (abbiamo scoperto un ulteriore modo percalcolare i coefficienti dello lo sviluppo di Laurent).

Vediamo qualche esempio

F �s��s5

�s�1�5

s0�1 è un polo del 5°ordine, perché annulla il denominatore con uno zero del 5° ordine, mentrenon annulla il numeratore. Osserviamo anche che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado,quindi se effettuiamo la divisione dei due polinomi otteniamo una costante q�1 .

Abbiamo

F �s��s5

�s�1�5�1�

A5

� s�s0�5�

A4

� s�s0�4�

A3

�s�s0�3�

A2

�s�s0�2�

A1

�s�s0�

Osserviamo anche che nel nostro caso s0�1 , possiamo quindi già mettere il valore del polo

F �s��s5

�s�1�5�1�

A5

�s�1�5�

A4

�s�1�4�

A3

�s�1�3�

A2

�s�1�2�

A1

�s�1�

Abbiamo visto che

An�RF �s��s�so�n�1�s0��

A5�Rs5

�s�1�5�s�1�4

�1��Rs5

�s�1�

�1�� s5�s�1�1

An�1�RF �s��s�so�n�2�s0��

A4�Rs5

�s�1�5�s�1�3

�1��Rs5

�s�1�2�1��d

dss5�

s�1��5 s4�s�1�5

An�2�RF �s��s�so�n�3� s0��

A3�Rs5

�s�1�5�s�1�2

�1��Rs5

�s�1�3�1��12 !

d 2

ds2 s5�s�1

��12 ! 20 s3�s�1

�10

An�3�RF �s��s�so�n�4� s0��

A2�Rs5

�s�1�5�s�1�

�1��Rs5

�s�1�4

�1��13 !d 3

ds3 s5�s�1

��13 ! 60 s2�s�1

�10

Infine abbiamo A1 , che è proprio il residuo della funzione calcolato in s0



A1�R s5

�s�1�5�1�� 1

4!

d 4

ds4 s5�s�1

�� 14

! 120 s�s�1

�5

La decomposizione ha dato come risultato

F �s��s5

�s�1�5�1�

1�s�1�5

�5

�s�1�4�

10�s�1�3

�10

�s�1�2�

5�s�1�

Nel prossimo esempio mettiamo insieme sia un polo multiplo che un polo semplice.

F �s��2 s3�4 s2�3 s�1�s�1�2�s�1�

Osserviamo che la funzione ha in

s1�1 un polo semplice

s2��1 un polo doppio

ed il polinomio a numeratore non si annulla né in 1 né in -1.

Il numeratore è di 3° grado, come il denominatore, quindi prima di tutto nella decomposizionedovremo tener conto di un polinomio di grado zero frutto della divisione tra di essi (q=2). Si ha

F �s��2 s3�4 s2�3 s�1�s�1�2� s�1�

�2�R f �s��1��s�1��

polo semplice

�R�s�1� f �s��1�

�s�1�2�

R f �s��1��s�1��

polo doppio

Calcoliamo i tre residui

R f �s��1��2 s3�4 s2�3 s�1

� s�1�2 �s�1

�2

R f �s��1�� dds

2 s3�4 s2�3 s�1�s�1� �

s��1�� d

ds�6 s2�8 s�3��s�1��2 s3�4 s2�3 s�1

�s�1�2 �s��1

�0

Non ci dobbiamo stupire che il calcolo di un residuo sia uguale a zero, lo avevamo già osservato.

R f �s��s�1��1�� 2 s3�4 s2�3 s�1� s�1� �

s��1�1

Riassumendo i risultati ottenuti abbiamo

F �s��2 s3�4 s2�3 s�1�s�1�2�s�1�

�2� 2�s�1�

�1

�s�1�2

Concludiamo facendo un'ultima osservazione.

L'uso dei residui è estremamente efficace quando dobbiamo decomporre una funzione razionale infratti semplici e questo lo possiamo fare sia quando siamo in presenza di poli semplici, che quando



siamo in presenza di poli multipli.

Ma qual'è l'importanza della decomposizione in fratti semplici?

Incontreremo in seguito nel nostro corso la trasformata di Laplace che si presenta spesso sotto formadi funzione in variabile complessa razionale e per avere l'antitrasformata, altro oggetto moltoimportante del nostro corso, è molto utile decomporre la funzione data in fratti semplici.

Poli complessi coniugatiI poli complessi coniugati sono anche loro poli semplici o poli multipli, quindi rientranoperfettamente nei casi che abbiamo già trattato, però per i poli complessi coniugati, in vista delleapplicazioni che ne faremo nei futuri argomenti, si usa dare una presentazione specifica. Inparticolar modo vogliamo trattare i poli complessi coniugati semplici.

Abbiamo

F �s��N m�s�

� s��0� j�0�� s��0� j�0��

con �0� j�0 che sono le due soluzioni complesse coniugate. Aggiungiamo anche nelle ipotesiche N m�s� sia un polinomio di grado m a coefficienti reali. Osserviamo anche che ildenominatore può essere riscritto come un prodotto notevole

�s��0� j�0�� s��0� j�0�� s��0�� j�0��s��0�� j�0��s��0�2�� j�0�

2 == � s��0�

2��02

che ci dice che in realtà abbiamo un polinomio a coefficienti reali. Stiamo quindi trattando delladecomposizione in fratti semplici di una funzione razionale a coefficienti reali, il cui denominatoreha soluzioni complesse coniugate. La prima osservazione che facciamo è che possiamo trattarequesti poli complessi coniugati come poli semplici, possiamo quindi osservare che

F �s��N m� s�

�s��0� j�0��s��0� j�0��Qm�2�

se m�2

�RF �s��0� j�0�

s��0� j�0��

RF �s��0� j�0�

s��0� j�0�

N.B.:

�� Tutte le volte che siamo in presenza di una funzione razionale a coefficienti reali, se abbiamoun polo complesso c'è anche il complesso coniugato;

�� Il residuo nei poli complessi coniugati dà dei risultati complessi coniugati.

In base a queste ultime osservazioni risulta

RF �s��0� j�0��RF �s�* ��0� j�0�

Possiamo quindi riscrivere

F �s��N m� s�

�s��0� j�0��s��0� j�0��Qm�2�

se m�2

�RF �s��0� j�0�

s��0� j�0��

RF �s�* ��0� j�0�

s��0� j�0�

Per abbreviare un po' le scritture diamo un nome al residuo indicandolo come

Poli complessi coniugati - Pag.109


RF �s��0� j�0�� j �

Riscriviamo nuovamente

F �s��N m� s�

�s��0� j�0��s��0� j�0��Qm�2�

se m�2

�� j �

s��0� j�0��

�� j �s��0� j�0�

Torniamo adesso al denominatore comune

F �s��Qm�2�se m�2

�� j ��s��0� j�0�� j �� s��0� j�0�

�s��0�2��0

2

Osserviamo che a numeratore abbiamo un numero complesso moltiplicato per un numerocomplesso, più il complesso coniugato del primo numero moltiplicato per il complesso coniugatodel secondo numero. Abbiamo quindi un prodotto che sviluppato si semplifica molto facilmente


�2��s��0��2��0

�s��0�2��0

2

Riscrivendo il risultato finale ottenuto abbiamo


�2��s��0�

�s��0�2��0

2�2��0

�s��0�2��0

2

Come già accennato, abbiamo fatto la fatica di presentare la nostra funzione sotto questa formasempre in funzione di quello che sarà il calcolo dell'antitrasformata di Laplace.


F �s��10 s�22

s2�4 s�13

Vogliamo decomporre la funzione in fratti semplici, evidentemente dobbiamo prima vedere che tipodi singolarità polari ha. Il primo passo è quindi sicuramente vedere dove si annulla il denominatore

s��2��4�13��2� j3

Il denominatore ha due zeri complessi coniugati, quindi la nostra frazione ha due poli complessiconiugati (è facile osservare che il denominatore non si annulla in �2� j3 . Osserviamo ancorache il numeratore è di grado inferiore al denominatore (non abbiamo quindi il termine polinomiale).Riprendendo la


�2��s��0�

�s��0�2��0

2�2��0

�s��0�2��0

2

e ricordando che �0� j�0 sono le due soluzioni complesse coniugate

mentre il residuo è così espresso RF �s��0� j�0�� j �

Possiamo scrivere



F �s��2��s�2�

�s�2�2�9�2� 3

� s�2�2�9

Notazione che tra l'altro ci permette di individuare al volo i poli della funzione.

Calcoliamo adesso il residuo nel punto �0� j�0 che nel nostro caso è �2� j3 . A tal finedobbiamo ricordare la formula per il calcolo dei residui in poli del primo ordine. Se ricordiamo ilmetodo più semplice, quando la funzione si presentava in forma frazionaria era prendere ilnumeratore e la derivata del denominatore. Abbiamo

RF �s��2� j3�� 10 s�222 s�4 �

s��2� j3��20� j30�22�4� j6�4

��42� j30

j6��7� j5

j�5� j7

Risulta

��5

��7

e sostituendo i risultati ottenuti abbiamo

F �s��10�s�2�

�s�2�2�9�14 3

�s�2�2�9

Ricordiamo infine di stare attenti, proprio al fine degli utilizzi futuri, di non semplificareulteriormente (ad esempio moltiplicando -14 e 3)e di lasciare il risultato nella forma ottenuta.

F �s��s2

2 s2�2 s�1

Vediamo dove si annulla il denominatore

s��1��1�2

2��12� j

12

Ivi il numeratore non si annulla quindi siamo in presenza di due poli semplici complessi coniugati.

Osserviamo che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado quindi q�12

. A questo punto

applichiamo la formula

F �s��12�2�

�s�1�2�� s�1�2�2�1�4

�2� 1�2�s�1�2�2�1�4

Calcoliamo il residuo del polo semplice complesso utilizzando il metodo di fare la derivata deldenominatore

RF �s��12� j

12�� s2

4 s�2 �s��12� j 1

2

�

14�

14�

j2

�2�2 j�2��

14

Il residuo è un numero reale, sostituendo abbiamo



F �s��12��

12

�s�1�2��s�1�2�2�1�4

Vediamo adesso un esempio che racchiuda tutti gli argomenti che abbiamo trattato circa ladecomposizione in fratti semplici.

F �s��3 s5�7

2 s3�s2�1�

Vediamo innanzitutto quali sono le singolarità della funzione

s0�0 è uno zero del 3° per il denominatore e non annulla il numeratore: polo del 3° ord.

s1,2�� j poli semplici complessi coniugati.

Vediamo qual'é l'espressione della decomposizione.

Prima di tutto osserviamo il grado di numeratore e denominatore: sono di pari grado per cuicomparirà una costante q�3�2 . Prendiamo adesso in considerazione il polo del 3° ordine nellozero. Effettuare la decomposizione di una frazione avente un polo del 3° ordine significa ritrovarsi 3addendi

Rs2 F �s��0�

s3 �RsF �s��0�

s2 �RF �s��0�

s

Prendiamo adesso in considerazione i poli semplici complessi coniugati ricordando che

�0�0 �0�1

e riscriviamo la decomposizione per essi

2� ss2�1

�2� 1s2�1

Abbiamo quindi

F �s��3 s5�7

2 s3� s2�1��

32�

Rs2 F �s��0�

s3 �RsF �s��0�

s2 �RF �s��0�

s�2� s

s2�1�2� 1

s2�1

Calcoliamo tutti i residui

Polo semplice, prendiamo la parte analitica

Rs2 F �s��0��R 3 s5�72 s �s2�1�

�0�� 3 s5�72�s2�1��s�0

�72

Per un polo doppio, deriviamo la parte analitica:

RsF �s��0��R 3 s5�72 s2�s2�1�

�0�� dds

3 s5�72�s2�1��s�0

�� 30 s4�s2�1��4 s �3 s5�7�4� s2�1�2 �

s�0

�0



Per un polo triplo, deriviamo due volte la parte analitica:

RF �s��0��R 3 s5�72 s3�s2�1�

�0��12 � d 2

ds2

3 s5�72� s2�1��s�0

��72

Per un polo semplice, deriviamo il denominatore:

RF �s�� j ��3 s5�7

10 s4�6 s2 �s� j

�3 j�710�6

�74�

34

j

otteniamo, come risultato finale

F �s��3 s5�7

2 s3�s2�1��

32�

72

1s3�

72

1s�

72

ss2�1

�32

1s2�1


Appunti di Capuzzo Alessandro - Distribuzioni

DistribuzioniLe distribuzioni vogliono essere una generalizzazione delle funzioni, cioè si vuole poter pensare lefunzioni come sottoinsieme delle distribuzioni le quali, nello stesso tempo, comprendono ancheoggetti nuovi. Detto diversamente, si fa in modo che le proprietà che avevano le funzioni e tutte leoperazioni che si potevano fare su di esse, vengono ereditate tali e quali dalle distribuzioni che nepermettono però di nuove.

Le distribuzioni vengono indicate con il simbolo � ' .

Vogliamo studiare le distribuzioni su tre aspetti

� Funzionali

� Limiti

� Derivate

FunzionaliVogliamo prima di ogni cosa pensare ad una funzione come ad un funzionale. Supponiamo di averela funzione f �t � . Pensarla come un funzionale significa pensarla inserita nel seguente integrale

��

��

f �t ��t �dt

Ovviamente bisognerà supporre che f �t � abbia determinate caratteristiche, per esempio, tali chel'integrale abbia senso. Lo stesso deve valere per la funzione ��t � che viene definita funzione diprova, ed appartiene ad un insieme che viene detto insieme delle funzioni di prova, simboleggiato

da una � � Insieme che ha la caratteristica di contenere solo funzioni infinite volte derivabili enulle all'infuori di un certo intervallo finito. Funzioni di questo tipo non danno nessun problema diintegrazione.La ragione per cui diamo la definizione di funzionale a questo integrale è che ci permette diassociare ad una certa funzione di prova, un numero reale.In questo caso siamo partiti da una funzione f �t � e l'abbiamo pensata come funzionale, ma inrealtà ci sono dei funzionali sulle funzioni di prova che non sono descritti da nessuna funzione e chesono quindi dei nuovi oggetti. Il più importante è il seguente

��

��

�t ��t �dt��0�L'oggetto �t � non è una funzione, perché non esiste nessuna funzione tale che se fosse sostituitaad esso nell'integrale, quest'ultimo non perderebbe di significato.Questo nuovo oggetto viene definito delta di Dirac.

Limiti (nel senso delle distribuzioni)Cosa vuol dire che una successione di funzioni f n�t � tende ad una distribuzione f �t � per n chetende ad infinito, nel senso delle distribuzioni?

f n�t � ��

n��f �t �

Limiti (nel senso delle distribuzioni) - Pag.115

12

�12

n

1

n1


Per dare una giusta interpretazione a questi simboli bisogna pensare a f n�t � come ad unadistribuzione, ovvero un funzionale

��

��

f n�t ��t �dtche, come abbiamo scritto sopra, fissata una funzione di prova, dà come risultato un numero. Quindila nostra successione di funzioni diventa una successione numerica, della quale facciamo il limiteper n che tende ad infinito, e questo è il limite nel senso delle distribuzioni.Quello che otteniamo, in qualche caso sarà ancora una funzione, in altri casi sarà un nuovofunzionale f �t � tale che, applicato a ��t � , dia come risultato lo stesso risultato del limite.

��

��

f n�t ��t �dt �n��

��

��

f �t ��t �dt

Vediamo, con un esempio, cosa succede prendendo una famiglia di funzioni e facendo il limite inquesto nuovo senso (è importante prendere delle funzioni che tendano a dei nuovi oggetti, in mododa farci capire il significato di questi oggetti per n molto grande).

Consideriamo la seguente famiglia di funzioni

f n�t ��n t �1

2 n

0 t �1

2 n

Rappresentiamo alcune di queste funzioni

Questa è dunque una famiglia di funzioni rappresentata graficamente con dei rettangoli dove,all'aumentare di n, la base si restringe e l'altezza aumenta. Possiamo dire che questo tipo di funzioniè caratterizzato dalle seguenti condizioni:

� la funzione ha il suo massimo quando n tende a più infinito, ed è raggiunto nell'origine

� l'integrale ��

��

f n�t �dt della funzione, altro non è che l'area del rettangolo disegnato dalla

funzione stessa, che ha come base �1

2 n,

12 n

e come altezza n e vale 1.

� Se noi prendiamo un t0�0 allora limn��

f n�t0�0


nn molto grande


Queste tre sono informazioni qualitative su questa famiglia di funzioni, che come vedremo, tende aduna particolare distribuzione, che è la delta di Dirac. Ovvero

f n�t � ��

n��t �

Dimostrare questo, significa che se noi pensiamo alla funzione come funzionale, il suo limite nelsenso delle distribuzioni tende alla delta di Dirac:

��

��

f n�t ��t �dt �n��

��

��

f �t ��t �dt��0�

ovvero

��0 �n0�0 : � n�n0 si abbia ��

��

f n�t ��t �dt��0� ��

Bisogna quindi riuscire a stimare questa differenza, e grazie alle tre informazioni qualitative cheabbiamo dato prima, è possibile renderla piccola quanto si vuole, quindi minore di � . Sfruttando

la seconda di quelle osservazioni, che diceva che ��

��

f n�t �dt1 , possiamo riscrivere la

condizione di validità del limite moltiplicando ��0� per 1, ovvero

��

��

f n�t ��t �dt��0��

��

f n�t �dt ��

possiamo adesso riscrivere il tutto come un solo integrale

��

��

f n�t ��t ��0��dt ��

osservando adesso che f n�t �0 fuori dall'intervallo �1

2 n,

12 n

, l'integrale si riduce ad un

integrale in tale intervallo

��1

2 n

12 n f n�t ��t ��0��dt ��

Noi sappiamo che il valore assoluto di un integrale è minore o uguale all'integrale dei valoriassoluti, sappiamo inoltre che la funzione f n�t � in questo intervallo vale n, quindi possiamoscrivere

��1

2 n

12 n f n�t ��t ��0��dt ��

12 n

12n n ��t ��0� dt��

Al crescere di n, la differenza ��t ��0� si fa sempre più piccola (si restringono gli estremidell'integrale), tendendo a zero per n che tende a più infinito. E' quindi possibile trovare un nsufficientemente grande da soddisfare la relazione data. Abbiamo quindi una famiglia di funzionaliche approssimano la delta di Dirac. Ma questa non è l'unica famiglia di funzioni che lo fa.

Vediamo adesso altri esempi di funzioni il cui limite nel senso delle distribuzioni tende alla delta diDirac.


n1

1�n5

n�


Prendiamo

f n�t �1�

n1�n2 t2

Il suo grafico, per n=1, è quello indicato a destra,mentre se facciamo crescere n, ci accorgiamo chel'andamento del grafico è sempre più allungato,come indicato nella figura sotto per n=5.

Cerchiamo adesso di vedere le caratteristiche di questa funzione.

� il massimo della funzione è nello zero f n�t � f n�0�n�

�n��

��


�� 1�

n1�n2 t2 dt , pensando ad un cambio di variabile �nt , diventa

1��

��

1��2 d �1�

�arctg � ��

��

1� ��2 ��

2 ��1


f n�t0�0

Tutte queste caratteristiche sono del tutto analoghe a quelle della famiglia di funzioni studiata inprecedenza, ed analogamente si dimostra che

��0 �n0�0 : � n�n0 si abbia ��

��

f n�t ��t �dt��0� ��

e questo significa, come già visto, che f n�t � ��

n��t �

Un altro esempio, tra l'altro molto importante nelle applicazioni, di una famiglia di funzioni che nelsenso delle distribuzioni tende alla delta di Dirac, è il seguente

f n�t ��n

��e�nt2 (famiglia delle funzioni gaussiane, nota in statistica ... )

che ha un grafico molto simile alla precedente (anche se quest'ultima decresce più rapidamente). Lostudio delle caratteristiche di questa famiglia di funzioni ci porta alle seguenti affermazioni


n2

n6


� il massimo della funzione è nello zero f n�t � f n�0�� n�

�n��

��


�� n

��e�nt2

dt , pensando ad un cambio di variabile ��n t , diventa

1��

��

e��2

d �1 (non è comunque un integrale calcolabile elementarmente ...)


f n�t0�0

Prendiamo adesso in considerazione una famiglia di funzioni che ha caratteristiche leggermentediverse dalle precedenti, ma che ha comunque una grande importanza nelle applicazioni.

f n�t �sen nt� t

Il suo grafico è quello mostrato nelle figure, e possiamo osservare che all'aumentare di n, siinfittiscono le oscillazioni.

Studiamone le caratteristiche

� Per quanto riguarda il suo punto di massimo, la prima cosa che bisogna osservare è chenell'origine la funzione, secondo lo studio classico del dominio, non esiste. In realtà è

prolungabile per continuità e vale limt�0

sin nt� t

n�

�n��

��


�� sen ntt

dt1

� In questo caso la proprietà è un po' diversa dalle precedenti e fa intervenire gli integrali di

funzioni di questo tipo, abbiamo limn��

�a

b sen ntt

dt0 con 0�a�b oppure b�a�0

Con queste tre condizioni, analogamente a quanto abbiamo visto negli esempi precedenti, si riesce adimostrare che

f n�t � ��

n��t �


1

t

u ' �t �


Derivate distribuzionaliIntroduciamo una nuova forma di derivata, ovvero quando una funzione è derivabile, sarà semprevalido il classico modo di derivare, ma per quando non lo è, questo nuovo modo ci permetterà diderivare giungendo a dei nuovi oggetti, che sono le distribuzioni.

Pensiamo di avere una funzione a cui sia associabile un funzionale, che sia derivabile in sensoordinario

��

��

f n�t ��t �dt

la cui derivata, calcolabile in modo ordinario, è integrabile per parti

��

��

f ' n�t ��t �dt� f n�t ��t ��

��

��

f n�t �� ' �t �dt

ricordando adesso che la funzione di prova ��t � è diversa da zero solo in un certo intervallolimitato, risulta � f n�t ��t ��

��0 , quindi

��

��

f ' n�t ��t �dt��

��

f n�t �� ' �t �dt

Questa uguaglianza ci permette di introdurre le derivate distribuzionali. Se consideriamo infatti ilprimo membro come derivata di f n�t � , nel caso in cui non sia possibile calcolarla, perché

f n�t � non è derivabile, essendo invece ��t � infinite volte derivabile per definizione, ilsecondo membro è sempre calcolabile e può essere definito, essendoci uguaglianza, come laderivata, nel senso delle distribuzioni, di f n�t � .

Vediamo degli esempi.

Prendiamo la funzione a gradino unitario, con la quale è bene familiarizzare perché molto utilizzata,

u �t ��1 t�01�2 t00 t�0

(il valore per t=0 non è importantissimo)

Essa ha il seguente grafico e si vede subito che hauna discontinuità di tipo salto (1° specie)nell'origine, quindi non è derivabile.

Ci chiediamo allora se è possibile provare a farneproprio la derivata nel senso delle distribuzioni.

Per far questo la prima cosa che dobbiamo fare èpensare ad u ' �t � come funzionale.

Ovvero

��

��

u ' n�t ��t �dt��

��

un�t �� ' �t �dt

In questo modo diventa possibile derivare, nel senso delle distribuzioni, la funzione gradino, perchéil secondo membro è perfettamente calcolabile.

Derivate distribuzionali - Pag.120

1

t

u ' �t �


Osservando adesso che u �t � è nulla per t�0 e vale 1 per t�0 , possiamo scrivere

��

��

u ' n�t ��t �dt��0

��

� ' �t �dt��t ��0��0��

��

�t ��t �dt

Possiamo quindi concludere che il comportamentoin ambito distribuzionale di u ' �t � è uguale aquello della delta di Dirac.

Tutto questo discorso ci porta sempre più a potermaneggiare le distribuzioni come se fossero dellefunzioni.

Se vogliamo rappresentare graficamente la delta diDirac dobbiamo utilizzare la seguente convenzione:si disegna una freccia nel punto dove è centrata, lacui lunghezza è pari al suo coefficientemoltiplicativo. Vedi figura.

Vogliamo adesso fornire alcune regole pratiche per il calcolo delle derivate nel senso delledistribuzioni, che ci saranno d'aiuto nel fare poi gli esercizi. Non le dimostreremo, anche se sonorigorosamente dimostrabili, ci limiteremo ad elencarle. Innanzitutto dobbiamo trovare il modo perdistinguere la derivata classica da quella nel senso delle distribuzioni. Indicheremo con

f ' c�t � la derivata classica

f ' D�t � la derivata nel senso delle distribuzioni

se � f ' c�t � allora f ' c�t � f ' D �t � Questa è una delle ragioni per cui pensiamo alledistribuzioni come ad un'estensione delle funzioni, infatti tutto quello che ha senso nellefunzioni, non varia ed ha senso nelle distribuzioni, mentre cose che non hanno senso nellefunzioni classiche, trovano sbocco in nuovi oggetti nel senso delle distribuzioni.

supponiamo che f �t � abbia in t0 un punto angoloso (ricordiamo che un punto angoloso è unpunto dove la funzione è continua ma ha due derivate distinte), quindi la derivata in sensoclassico non esiste. Esiste invece la derivata nel senso delle distribuzioni ed è una funzione conuna discontinuità di tipo salto, la cui ampiezza (del salto) è data dalla differenza della derivatadestra (nel senso classico) di f �t � in t0 e la derivata sinistra (sempre nel senso classico) di

f �t � in t0 .

supponiamo che f �t � abbia in t0 una discontinuità di prima specie finita (un salto, ovvero illimite da destra ed il limite da sinistra, esistono entrambi finiti ma sono diversi). Ovviamente nonesiste la derivata nel senso classico, ma esiste nel senso delle distribuzioni ed è uguale alla deltadi Dirac traslata in t0 e moltiplicata per una costante k che non è altro che l'ampiezza del salto(differenza dei due limiti). f ' Dk �t�t0�


t

f �t �

t

f ' ' �t �

1

t

f ' �t �


Consideriamo la seguente funzione

f �t ��12

t2 t�0

0 t�0

Vogliamo farne la derivata e ci chiediamo se esistenel senso classico. Andiamo per gradi. Innanzituttosiamo sicuri che per t�0 la derivata esiste e vale0, mentre per t�0 esiste e vale t. Ci chiediamoadesso se c'è la derivata nell'origine. Potremmoverificarlo calcolando il limite del rapportoincrementale, ma esiste un teorema che dice che se illimite della derivata prima in t0 - ed il limite delladerivata prima in t0 + esistono e sono uguali, allorala derivata prima in t0 esiste e vale esattamentequanto i due limiti, nel nostro caso zero. Esistendo laderivata in senso classico, esiste anche la derivatadistribuzionale ed è uguale ad essa.

Vogliamo adesso fare la derivata seconda e chiedercise esiste. possiamo osservare che f ' �t � hanell'origine un punto angoloso che è un punto dicontinuità ma non di derivabilità. La primaosservazione che possiamo fare è che per t�0 laderivata seconda esiste e vale zero, per t�0 esistee vale uno, l'origine, come già detto, è un punto didiscontinuità, per cui la derivata seconda nell'interointervallo, nel senso classico, non esiste. Possiamoinvece affermare che esiste nel senso delledistribuzioni e grazie alle tre regole pratiche, possiamo dire quanto vale

f ' ' D �t ��1 t�0abbiamo un salto di ampiezza 1 in t00 t�0

Osserviamo che se proviamo a derivare ancora una volta otteniamo proprio la delta di Dirac.

Vogliamo adesso imparare a descrivere questo tipo di funzioni (polinomiali a tratti) in una sola riga,attraverso la funzione gradino unitario. Risulta essere

f �t ��12

t2 t�0

0 t�0�12

t2 u �t �

f c ' �t ��t t�00 t�0�t u �t �

f D ' ' �t ��1 t�00 t�0 �u �t �



f D ' ' '�t �

Cerchiamo adesso di giustificare i passaggi che abbiamo fatto, dimostrando che la derivata classicaè uguale alla derivata nel senso delle distribuzioni.

��

�� 12

t2 u �t ��' ��t �dt��

�� 12

t2 u �t �� ' �t �dt�0

�� 12

t2� ' �t �dt

abbiamo tolto la u �t � e ristretto l'intervallo di integrazione, adesso procediamo per parti

�0

�� 12

t 2� ' �t �dt��12

t2��t ��0

��

��0

�� 12

t 2�' ��t �dt

osservando adesso che ��t � vale zero a più infinito, abbiamo

�0

�� 12

t 2� ' �t �dt��0

�� 12

t 2�' ��t �dt��0

��

�t��t �dt��

��

�t u �t ��t �dt

Possiamo quindi concludere che � 12

t2 u �t ��'t u �t � , perché come funzionali si comportano nello

stesso modo.

Procedendo nello stesso modo si possono calcolare anche le altre derivate.

Adesso vogliamo osservare che le proprietà di derivazione che conoscevamo ed applicavamo nelsenso classico permangono anche nel senso delle distribuzioni.

Proviamo a calcolare la derivata tramite queste proprietà.

Essendo

f �t �12

t2 u �t �

un prodotto possiamo fare

f ' �t �t u �t ��12

t2 u ' �t �t u �t ��12

t2�t �

A questo punto si potrebbe osservare che qualche conto non torna. Infatti la derivata sembrerebbediversa da quella calcolata precedentemente.

Introduciamo la proprietà di prodotto del delta di Dirac con una funzione continua che, nel sensodelle distribuzioni, ci dice che

f �t ��t � f �0��t �

che può essere anche espressa in modo generalizzato per una delta traslata

f �t ��t�t0� f �t0��t�t0�

Intuitivamente possiamo osservare che la delta è nulla ovunque, tranne nel punto in cui è centrata,



se quindi noi moltiplichiamo qualcosa per essa il risultato non può che essere nullo se non nel puntoin cui è centrata la delta.

Tornando alla nostra derivata, essendo che la funzione nello zero vale zero, otteniamo

f ' �t �t u �t ��12

t2�t �t u �t �

Se proviamo a fare la derivata seconda otteniamo

f ' ' �t �� t u �t �� 'u �t ��t u ' �t �u �t ��t �t �u �t �

E la derivata terza è

f ' ' ' �t ��u �t �� '�t �

Se adesso provassimo a derivare la delta di Dirac, otterremmo per definizione di derivata nel sensodelle distribuzioni

��

��

' �t ��t �dt��

��

�t �� ' �t �dt��0�

Un altro metodo potrebbe essere sostituire la delta con delle funzioni che la approssimano (adesempio le gaussiane), che sono derivabili e quindi derivare esse.

Quello che ci interessa adesso è mettere in evidenza le proprietà della delta di Dirac.

Abbiamo già visto che

f �t ��t�t0� f �t0��t�t0�

Ci chiediamo adesso quanto vale f �t � ' �t � . Partiamo da � f �t ��t �� ' ed applichiamo leproprietà della derivata del prodotto.

� f �t ��t �� ' f ' �t ��t �� f �t � ' �t �

Osserviamo adesso che

f �t ��t � f �0��t � che derivata, essendo f �0� una costante, diventa f �0� ' �t �

f ' �t ��t � f ' �0��t � infatti abbiamo una funzione che moltiplica la delta

otteniamo quindi

f �0� ' �t � f ' �0��t �� f �t � ' �t � � f �t � ' �t � f ' �0��t �� f �0� ' �t �

L'unica condizione indispensabile è che f �t � abbia derivata prima continua.

Modelli (ingresso - uscita)

Modelli (ingresso - uscita) - Pag.124

e �t � y �t �

�


Possiamo dire che un modello si presenta come infigura ed è una sorta di funzione, si ha infatti

y �t �� e �t �

Cerchiamo di caratterizzare i modelli attraversodelle proprietà

Un modello è dotato di continuità se risulta � � limn��D '

X n�t ��limn��

� X n�t �

Un modello è dotato di linearità, se risulta � �a x1�t ��b x2�t ��a� x1�t ��b� x2�t �

Se un modello non varia la sua risposta nel tempo, si dice che gode di invarianza per traslazionitemporali

Un modello è dotato di causalità se risulta x �t �0 t�0 �� x �t �0 t�0 , ovvero, se unafunzione dà risposta nulla prima dell'istante zero, anche il modello ad essa applicato dà rispostanulla prima dell'istante zero.

Prodotto di convoluzioneAbbiamo visto che

f �t ��t � f �0��t �

ovvero la delta di Dirac moltiplicata ad una funzione seleziona di essa soltanto il valore dellafunzione nello zero (o meglio nel punto in cui è centrata la stessa delta).

E' chiaro che traslando la delta di Dirac si ha

f �t ��t�a� f �a��t�a�

Abbiamo anche visto che

f �t � ' �t � f �0� ' �t �� f ' �0��t �

Anche questa proprietà può essere traslata

f �t � ' �t�a� f �a� ' �t�a�� f ' �a ��t�a �

Vediamo qualche altra proprietà del delta di Dirac

��t ��t � (la delta è una distribuzione pari)

�� t �1 �

�t �

Riassumiamo quindi le proprietà della delta di Dirac che abbiamo fin qui visto

f �t ��t � f �0��t � con f �t � continua

Prodotto di convoluzione - Pag.125


f �t � ' �t � f �0� ' �t �� f ' �0��t � con f ' �t � continua

��t ��t � �t��t � (la delta è una distribuzione pari)

�� t �1 �

�t �

Vediamo una ulteriore proprietà, che per ora chiameremo proprietà *. Supponiamo di avere ilseguente integrale

��

��

X ��t��d �

Una prima osservazione che facciamo è che la delta è una distribuzione pari, quindi risulta essere�t��t �

Se poi applichiamo la proprietà del prodotto della delta abbiamo

��

��

X ��t��d ��

��

X �t ��t��d �X �t �

Se interpretiamo al contrario il risultato appena ottenuto, possiamo osservare che un segnale puòessere descritto da un integrale nel seguente modo

X �t ��

��

X ��t��d �

Se adesso noi prendiamo un modello applicato ad un segnale, e descriviamo tale segnale secondo laforma che ci consente la proprietà * della delta, nel seguente modo

� e �t ��

��

e ��t��d �

Supponiamo adesso che � sia continuo e lineare e ricordando che in realtà un integrale è il limitedi una sommatoria possiamo scrivere

� e �t ��

��

e ��t��d ��

��

e �� t��d �

Il modello applicato ad una funzione può dunque essere considerato come il prodotto tra questafunzione ed il modello stesso applicato alla delta. Supponiamo adesso di conoscere le risposte datedal modello applicato alla delta e di avere

� �t��h�t ,��

in tal caso risulta

� e �t ��

��

e �� t��d ��

��

e ��h�t ,��d �

Supponiamo adesso che � abbia anche la proprietà di invarianza nel tempo, cioè si ha

� �t �h�t � risulta allora

� e �t ��

��

e ��h�t ,��d ��

��

e ��h�t��d �

e questo ci fa comprendere che, per studiare la risposta che dà un modello applicato ad un segnale, èsufficiente sperimentare una sola volta la risposta che il modello dà, mandandogli in ingressoproprio la delta di Dirac, o una sua approssimazione, in modo da conoscere � �t �h�t � . Fatto

questo, non ci resta che risolvere l'integrale ��

��

e ��h�t��d � , che viene definito prodotto di


u ��

�

t�0 u �t��

�

t�0

t


convoluzione che si riscrive anche come

��

��

e ��h�t��d �e �t ��h�t � (si legge e(t) convoluto con h(t))


Supponiamo di avere un modello che, applicatavi la delta di Dirac come segnale d'ingresso, ha datocome risposta (h(t)) un gradino unitario. Supponiamo di applicarvi come segnale d'ingresso proprioil gradino unitario.

La risposta del modello sarà il seguente prodotto di convoluzione

u �t ��u �t �

che per definizione è uguale a

u �t ��u �t ��

��

u ��u �t��d �

Cerchiamo di capire quanto vale questo integrale studiando l'integrando per t�0 prima e t�0dopo.

t�0

La funzione u �� vale zero per ��0 ed uno per ��0

La funzione u �t�� vale uno per ��t e zero per ��t , essendo t negativo, vale uno per��0 e zero per ��0 . Essendo l'integrando il prodotto di queste due funzioni, esso è

sempre nullo.

Utilizzando la funzione gradino unitario possiamo quindi riscrivere l'integrale, per specificare

che per t�0 vale zero, nel seguente modo u �t ��u �t �u �t ��

��

u ��u �t��d �

t�0

La funzione u �� vale zero per ��0 ed 1 per ��0

La funzione u �t�� vale uno per ��t e zero per ��t , essendo t positivo, vale uno per��t e zero per ��t . Avremo quindi un intervallo, ovvero l'intervallo �0, t � in cui il loro

prodotto vale 1.

Riassumiamo le possibili situazioni


u ��

�

t�0 u �t��

�

t�0

t

u �t ��u �t �

t


Possiamo risolvere l'integrale

��

��

u ��u �t��d �u �t ��0

td �u �t �t

Il grafico di u �t ��u �t � è quindi quello illustrato afianco.

Proviamo adesso a calcolare

u �t ��u �t �sin t

Applicando la definizione di prodotto di convoluzione si ha

u �t ��u �t �sin t��

��

u ��u �t��sin �t��d �

integrale che, facendo lo stesso tipo di osservazioni fatte nell'esempio precedente si riduce alseguente

u �t ��0

tsin �t��d �u �t ��cos�t��0

�tu �t ��cos 0�cos t �u �t ��1�cos t �

Il grafico sarà il seguente



Vediamo un altro esempio

�u �t�1��u �t�1��e�t

L'integrale vale

�u �t�1��u �t�1��e�t��

��

�u ��1��u ��1��e��t��d �

Possiamo osservare che il fattore �u ��1��u ��1�� vale 1 solo nell'intervallo ��1,1� . Difattori del genere se ne fa spesso uso e prendono il nome di porta ; si ottengono appunto facendo ladifferenza tra due gradini unitari diversamente traslati.

L'integrale si riduce dunque a

��

��

�u ��1��u ��1��e��t��d ��1

�1e��t��d ��e�t��d ��1

�1e�t�1�e�t�1 =

= e�t�e�1e �

Proprietà del prodotto di convoluzioneAbbiamo un problema di esistenza. Osserviamo infatti che nel prodotto di convoluzioneinterviene un integrale tra meno infinito e più infinito, dunque un integrale improprio. Ci sarannoevidentemente dei problemi di convergenza, oppure dei problemi di significato comedistribuzione o come funzionale associato a quel relativo integrale.

In due casi il prodotto di convoluzione x �t ��h�t � è sempre definito:

- se

x �t �0 per t�0

h�t �0 per t�0

in quanto si riduce ad un integrale tra 0 e t.

(lo abbiamo visto nei primi due esempi del paragrafo precedente)

Proprietà del prodotto di convoluzione - Pag.129


- se

x �t �0 per t�a t�b

in quanto si riduce ad un integrale tra a e b.

(lo abbiamo visto nel terzo esempio)

[fortunatamente nelle applicazioni spesso ci si trova in uno di questi due casi, non abbiamoquindi grossi problemi di questo tipo]

Il prodotto di convoluzione è commutativo.

x �t ��h �t �h �t ��x �t �

In alcuni casi il prodotto di convoluzione non è associativo

� x �t ��y �t ��e �t ��x �t �� y �t �e �t ��

Il prodotto di convoluzione è associativo se tutti i segnali che intervengono sono nulli per t<0.

Esiste l'elemento unità: è la delta di Dirac

x �t ��t �x �t �

x �t ��t�a�x �t�a� (se la delta è traslata viene traslato il segnale)

La convoluzione rispetta la causalità, cioè se si hanno

x �t �0 per t�0

y �t �0 per t�a

allora x �t ��y �t �0 per t�a

Per derivare il prodotto di convoluzione si deriva uno dei due fattori.

ddt

� x �t ��y �t ��x ' �t ��y �t �x �t � y ' �t �

Proprietà del prodotto di convoluzione - Pag.130

1

a�a

Appunti di Capuzzo Alessandro - Trasformata di Fourier

Trasformata di FourierDefiniamo come trasformata di Fourier di un segnale x �t � la seguente

� � x �t ��

x �t �e� j t dt

Ovviamente è necessario che l'integrale abbia senso, ovvero sia convergente e calcolabile. Il valore rappresenta la frequenza angolare e può anche essere espresso come �2� f . Il risultato

dell'integrale è una nuova funzione nella variabile e viene così espresso

� � x �t ��

x �t �e� j t dt�X ��

Non solo di funzioni, si fa la trasformata di Fourier, ma anche di distribuzioni, quindi, pensando alledistribuzioni come al limite di una successione di funzioni, abbiamo

� � limn��D '

xn�t �� limn��D'

� � xn�t ��X ��

Vediamo degli esempi importanti di trasformata di Fourier.

Trasformata della porta

x �t ��u �ta��u �t�a�

La funzione è una porta di ampiezza 2 a e puòessere anche riscritta nel seguente equivalentemodo

x �t ��u �ta��u �t�a�� p2 a �t �

Vogliamo calcolarne la trasformata di Fourier:

� � x �t �� u �ta��u �t�a��

�u �ta��u �t�a ��e� j t dt

il quale è un integrale abbastanza semplice da calcolare, in quanto, ricordando le proprietà dellaporta, può essere riscritto nel seguente modo

� � x �t ��a

ae� j t dt�� 1

je� j t�

�a

a

��1

j�e� ja�e ja �

Questa è la trasformata di Fourier che cercavamo. Proviamo adesso a scriverla in un'altra formaoperando sugli esponenziali

� � x �t ��1j

�e� ja�e ja �� 1j

��e� jae ja �� 1j

2 j sin �a ��2sin �a�

Trasformata della porta - Pag.131

1

a�a

n�1n�4n�7

n�10


Vediamo in un grafico l'andamento di questa funzione, molto importante, detta porta.

�

Trasformata della campana razionaleConsideriamo la seguente famiglia di segnali (dipendenti dal parametro n)

xn�t ��1�

n�1n2 t2�

I quali grafici, al variare di n sono i seguenti

Vogliamo farne la trasformata di Fourier per nfissato, ovvero

� � xn�t �� 1�

n�1n2 t2�

e� j t dt

Questo è un integrale abbastanza complesso da calcolare attraverso il metodo tradizionale, ma sericordiamo il capitolo svolto circa il calcolo degli integrali impropri attraverso il metodo dei residui,ricorderemo senz'altro che è già stato affrontato. Se noi pensiamo di estendere la variabile reale t alcampo complesso, nel seguente modo z�t jy , l'integrale improprio si può fare con i residui.Non dimentichiamo comunque che il risultato dipende dal segno di , dobbiamo distinguere idue casi. Per brevità, riscriviamo l'integrando nel seguente modo

F � z ��1�

n�1n2 z2�

e� j z

Trasformata della campana razionale - Pag.132

n�1n�4n�7n�10


Abbiamo

� � xn�t �� 1�

n�1n2 t 2�

e� j t dt��0 2� j RF � z �� jn�= ... = e

n

�0 �2� j RF � z �� jn�= ... = e

�

n

Possiamo riscrivere il risultato ottenuto in maniera più semplice ed efficace nel seguente modo

� � xn�t ��e��

n �X n��

Vediamo il grafico della trasformata di Fourier

�

Osserviamo che al crescere di n, ci si avvicinasempre più alla retta y�1 .

Trasformata della delta di DiracVogliamo fare la trasformata di una distribuzione molto importante

X �t ��t �

La prima cosa che va detta è che non è possibile fare la trasformata di una distribuzione. Dobbiamoquindi pensare di approssimare la delta con una successione di funzioni, il cui limite nel senso delledistribuzioni ci dia proprio la delta di Dirac, così facendo potremo trasformare tali funzioni e poifare il limite del risultato ottenuto (sempre nel senso delle distribuzioni).

La prima cosa da fare è dunque scegliere una famiglia di funzioni che approssimi la delta.Scegliamo proprio la successione dell'esempio precedente. Possiamo infatti osservare, comeabbiamo visto quando abbiamo parlato della delta, che

limn��D '

1�

n�1n2 t2�

��t �

Fare la trasformata di Fourier della delta di Dirac, è quindi possibile nel seguente modo

� ��t �� limn��D '

1�

n�1n2 t2�� lim

n��D'� � 1�

n�1n2 t2��

Il calcolo di tali trasformate è stato fatto nell'esempio precedente, possiamo quindi utilizzarlo e

Trasformata della delta di Dirac - Pag.133


sostituire

� ��t �� limn��D '

e��

n

Osservando il grafico di tali trasformate abbiamo visto che al crescere di n ci si avvicinava semprepiù alla retta y�1 . Quindi la trasformata di Fourier della delta di Dirac è la funzione costanteuguale ad 1.

� ��t ��1

Trasformata della costante 1x �t ��1

A questo punto bisogna stare molto attenti perché, nonostante ci troviamo di fronte ad una semplicefunzione costante, non è possibile farne la trasformata come funzione, ma bisogna necessariamenteentrare nell'ambito distribuzionale.

Vediamo cosa succederebbe se provassimo a svolgere l'integrale senza prendere questoaccorgimento. Otterremmo un integrale che non converge, infatti

� � xn�t ��

1e� j t dt�� 1j

e� j t�t��t��

Osserviamo adesso che e� j t è un esponenziale complesso, non un esponenziale decrescente, e variscritto come segue

� � xn�t �� 1j

e� j t�t��t��

�� 1j�cos t�sin t ��t��

t��

Possiamo adesso osservare che il risultato ottenuto non esiste, quindi l'integrale non converge.Siamo obbligati ad entrare in ambito distribuzionale, dobbiamo cercare una famiglia di funzioni chetenda ad uno. Possiamo prendere la seguente famiglia di funzioni.

xn�t ��e��t�n �

D '

n��1

Dovremo quindi calcolare la trasformata di questa famiglia di funzioni e poi passare al limite nelsenso delle distribuzioni. Vediamo prima la trasformata:

� �e��t�n ��

�

e��t�n e� j t dt

E' opportuno spezzare questo integrale in due integrali tra meno infinito e zero e tra zero e piùinfinito, così da poter togliere il modulo e semplificare i calcoli, nel seguente modo

� �e��t�n ��

0e

tn� j t

dt�0

�

e�tn� j t

dt��0

et �1� jn�

n dt�0

�

et ��1� jn�

n dt =

=� n1� jn

et �1� jn�

n ��

0

� n�1� jn

et �1� jn�

n �0

�

�n

1� jn�

n�1� jn

=

Trasformata della costante 1 - Pag.134


= n1� jn

n

1 jn�

n�1 jn�n�1� jn�

12 n2 �2 n

12 n2

Osserviamo che gli esponenziali, pur essendo complessi, tendono ad uno per t che tende a zero,mentre tendono a zero per t che tende a più o meno infinito in quanto sono modulati in ampiezza.Abbiamo quindi effettuato il calcolo della trasformata di Fourier che risulta essere

X n��2 n

12 n2

Se noi adesso la riscriviamo nel seguente modo

X n��2 n

12 n2�2� 1�

n12 n2

possiamo osservare che la parte cerchiata corrisponde alla famiglia delle campane razionali che pern che tende a più infinito tendono alla delta di Dirac nel senso delle distribuzioni. Concludendoabbiamo

X n��2��

Antitrasformata di FourierSupponiamo di avere la trasformata X �� di un segnale x �t � che però non conosciamo.Conosciamo appunto solo la una trasformata e vogliamo sapere, di quale funzione. Passare dallatrasformata alla funzione di cui essa è la trasformata, è possibile attraverso l'operazione diantitrasformazione, ovvero facendo l'antitrasformata di Fourier. Questa si calcola nel seguentemodo

x �t ��1

2��

X ��e j t d

Dobbiamo ovviamente porci nel caso in cui l'integrale converge. Per dimostrare la formuladell'antitrasformata, possiamo riscrivere la trasformata nella sua espressione generale e sostituirlanell'espressione dell'antitrasformata, come segue

x �t ��1

2��

X ��e j t d�1

2��

�

x �t �e� j t dt�e j t d

a questo punto, la prima cosa a cui dobbiamo stare attenti è che la variabile t è d'integrazione perl'integrale interno, ma non per quello esterno, dove è una costante. Per non fare confusionepossiamo cambiargli nome nell'integrale interno (utilizzeremo t�� )

x �t ��1

2��

�

x ��e� j�d ��e j t d

abbiamo così un integrale che può essere visto come un integrale doppio e così riscritto

x �t ��1

2��

x ��e� j�e j t d �d�1

2��

x ��e j�t��d �d=

= 12��

�

x ��

e j�t��d�d �

Antitrasformata di Fourier - Pag.135


A questo punto il calcolo dell'integrale interno risulterebbe complicatissimo (non dimentichiamoche abbiamo a che fare con esponenziali complessi), ma se lo guardiamo in ambito distribuzionalepossiamo osservare che altro non è che la trasformata della funzione costante uguale ad uno.

��

e j�t��d �2��t �

Possiamo quindi scrivere

x �t ��1

2��

x ��2��t �d ��

x ��t �d ��x �t ��t ��x �t �

Abbiamo ottenuto un prodotto di convoluzione, ma essendo la delta l'elemento unità di taleprodotto, l'uguaglianza è verificata.

Proprietà della trasformata di FourierLe proprietà della trasformata di Fourier sono molto importanti. Per capirne l'importanza facciamoun paragone con le derivate: esse sono state introdotte come limite del rapporto incrementale, edopo averne calcolata qualcuna in questo modo, ne sono state introdotte le proprietà (derivata di unasomma, derivata di un prodotto, derivata di una funzione composta, etc.), utilizzando le quali,insieme alle poche derivate calcolate come limite del rapporto incrementale, siamo stati in grado dioperare la derivazione. Analogamente faremo adesso con le trasformate.

Proprietà di linearità. La trasformata di Fourier è lineare, ovvero risulta

� �a x �t �b y �t ��a� � x �t ��b� � x �t ��

Esempio di trasformata di Fourier calcolata con la proprietà di linearità.

� �5 �u �t1��u �t�1��7�

1�1t 2��

Riconosciamo tra gli addendi funzioni di cui abbiamo già calcolato la trasformata: abbiamo unaporta di ampiezza 2 ed una campana razionale. Sfruttando la proprietà di linearità possiamo andare aprendere i risultati già ottenuti ed inserirli nel nostro calcolo

� �5 �u �t1��u �t�1��7�

1�1t 2��5� � p2�t ��7� � 1

�

1�1t 2��5

2sin

7e��

Invitiamo il lettore, se non le ricorda, ad andarsi a rivedere le trasformate utilizzate.

Le prossime due proprietà le studieremo in coppia in quanto vi è una certa simmetria tra esse.

- Traslare nel dominio dei tempi significa moltiplicare per un esponenziale complesso neldominio delle frequenze

- Traslare nel dominio delle frequenze significa moltiplicare per un esponenziale complesso neldominio dei tempi

Proprietà della trasformata di Fourier - Pag.136


Proprietà di traslazione nel tempoSupponiamo che la seguente funzione abbia la seguente trasformata

x �t ��

X ��

Supponiamo adesso di voler fare la trasformata di Fourier di una traslata a destra della nostrafunzione. La proprietà di traslazione nel dominio dei tempi ci dice che essa è uguale a

x �t�t0��

e� j t0 X ��

Esempio di trasformata di Fourier calcolata con la proprietà di traslazione nel dominio deitempi.

� �u �t ��u �t�5�� p5�t�52��

Abbiamo una porta di ampiezza 5 non centrata rispetto all'asse verticale ma traslata a destra di52

.

Applicando la proprietà di traslazione nel dominio dei tempi possiamo scrivere

� � p5�t�52��e

�52

j� � p5 �t ��

La trasformata di Fourier della porta è una delle trasformate fondamentali che conosciamo, non cisono dunque problemi a scrivere

e�52

j� � p5 �t ��e

�52

j2sin 5

2

Che è la nostra trasformata, volendola poi scrivere in maniera più compatta, possiamo riscrivere ilseno in forma esponenziale

e�52

j� � p5 �t ��e

�52

j2sin 5

2

�e

�52

j 2�e52

j�e

�52

j�2 j

�1�e� j5

j

Proprietà di traslazione in frequenza.Supponiamo invece adesso di avere un segnale che viene moltiplicato da un esponenziale, la suatrasformata risulterà traslata nel dominio delle frequenze, nel seguente modo

� �e j0 t x �t ��X ��0�

Esempio di trasformata di Fourier calcolata con la proprietà di traslazione in frequenza.� ��u �t��u �t��sin t �=

Possiamo scrivere il seno di t come combinazione di esponenziali complessi ottenendo

=� � p2��t �e jt�e� jt

2 j �=



applicando la proprietà di linearità abbiamo

= 12 j� � p2��t �e

jt �� 12 j� � p2��t �e

jt �=

possiamo osservare che abbiamo ottenuto due trasformate di porte moltiplicate per un esponenziale,che provocano una traslazione in frequenza. Queste trasformate, grazie alla proprietà di traslazionein frequenza delle trasformate, saranno le seguenti (in questo caso 0�1 )

= 12 j

2sin��1��1�

�1

2 j2sin��1��1�

Proprietà di riscalamentoSupponiamo che sia nota la trasformata

x �t ��

X ��

La proprietà di riscalamento ci permette, tramite il parametro a�� , di calcolare (facendo quindiun riscalamento e, nel caso di a negativo, anche una simmetria) la trasformata ottenuta, nel seguentemodo

x �at �� 1�a�

X �a �

Esempio di applicazione della proprietà di riscalamento.

� � 1�

11�3 t �2 �

Ricordiamo che a noi è nota la seguente

� � 1�

11t2 ��e��

ma è stato fatto un riscalamento, al posto di t c'è 3t, quindi applichiamo la proprietà di riscalamento

� � 1�

11�3 t �2 ��1

3e��

3

Le prossime due proprietà sono le più importanti e anche tra loro c'è una certa analogia, sarà dunquebene osservarle con occhio attento, così da comprenderne le simmetrie e le differenze. Si tratta diderivata nel tempo e derivata in frequenza.

Salvo un fattore moltiplicativo,

� derivare nel tempo corrisponde a moltiplicare per la variabile in frequenza

� derivare in frequenza corrisponde a moltiplicare per la variabile t nel tempo.


x �t � x ' �t �

�5 �55

5

1


Proprietà di derivata nel dominio dei tempiAbbiamo la seguente uguaglianza

� � x ' �t �� j X ��

Esempio di applicazione della proprietà di derivata nel tempo.

Proviamo a calcolare la trasformata di Fourier della derivata di una porta

� ��u �t5��u �t�5�� ' �Vediamo innanzitutto come si presenta il grafico della funzione

Abbiamo una doppia delta di Dirac. Riscriviamo la trasformata da calcolare

� ��u �t5��u �t�5�� ' �� p ' 10�t ��che grazie alla proprietà di derivata nel tempo può essere così riscritta e calcolata

� � p ' 10�t �� j� � p10�t �� j2sin 5

�2 j sin 5

Proprietà di derivata nel dominio delle frequenzeAbbiamo la seguente uguaglianza

� �� jt x �t ��X ' ��



Esempio di applicazione.

� �t �u �t ��u �t�3��Abbiamo una porta moltiplicata per una funzione di t. Per prima cosa dobbiamo riscrivere lafunzione in modo da poter evidenziare un fattore � jt , nel seguente modo

� �t �u �t ��u �t�3�� j �� j� t � p3�t�3�2��adesso applichiamo la linearità

� � j �� j �t � p3�t�3�2�� j� �� jt � p3�t�3�2��la derivata in frequenza

j� �� jt � p3�t�3�2�� jd

d� � p3�t�3�2��

la traslazione nel tempo

jd

d� � p3�t�3�2�� j

dd�e�

32 j� � p3�t �� j

dd�e�3

2 j

2sin 32

�possiamo adesso scrivere il seno sotto forma esponenziale

jd

d�e�32 j

2sin 32

�� jd

d�1�e�3 j

j �� dd�1�e�3 j

��3 j e�3 j��1�e�3 j�

2

che è la trasformata di Fourier che si cercava.

Proprietà di simmetriaSupponiamo di avere un segnale di cui ci è nota la trasformata di Fourier, che è una funzione divariabile reale.

x �t ��

X ��

Per comodità cambiamo il nome della variabile della trasformata da a t e ci poniamo ilproblema di fare la trasformata di X �t � . La proprietà di simmetria ci dice che essa sarà

X �t ��

2� x ��

Abbiamo quindi una vera e propria simmetria, fatto salvo un fattore moltiplicativo ed un segno.

Esempio di applicazione della proprietà di simmetria

Consideriamo il segnale

12�u �t1��u �t�1��

12

p2�t �



Abbiamo già visto che la sua trasformata di Fourier è la seguente

12

p2�t �� 1

22sin

�sin

Vogliamo adesso, cambiando nome alla variabile della funzione, calcolare la trasformata di Fourier

disin t

t

Grazie alla proprietà di simmetria non è necessario fare questo calcolo in quanto è sufficiente andare

a vedere quale funzione ci ha portato asin t

t, nel seguente modo

sin tt��

2� 12

p2�� p2��

ed essendo la porta una funzione pari

sin tt��

2� 12

p2�� p2�� p2��

La proprietà di simmetria ci ha quindi permesso di calcolare una trasformata che non sarebbe stataper niente agevole da calcolare nel modo classico.

Proprietà di coniugazioneIl problema che ci poniamo è quello di vedere cosa succede trasformando il coniugato di un segnale.Supponiamo di avere un segnale a valori complessi di cui ci è nota la sua trasformata di Fourier

x �t ��

X ��

La proprietà di coniugazione ci dice che è vera la seguente uguaglianza

x*�t ��

X *��

Esempio di applicazione della proprietà di coniugazione.

Ci proponiamo di fare la seguente trasformata

� �cos t� j sin t �

questa può essere vista, grazie alla formula di Eulero, nel seguente modo

� �cos t� j sin t �� e jt�*�

Cerchiamo di ricordarci di cosa è la trasformata di Fourier di e jt , abbiamo la trasformata di unotraslata in frequenza:

� �e jt �� 1�e jt ��2��1�

Del risultato che abbiamo ottenuto dobbiamo fare il complesso coniugato e calcolarlo in � .Abbiamo

� �cos t� j sin t �� e jt�*��2��1�*



adesso ci dobbiamo ricordare della proprietà della delta che dice che è una funzione pari ed è quindipossibile cambiare il segno del suo argomento. Inoltre essendo di fronte ad una funzione di solivalori reali, il suo coniugato è uguale alla funzione stessa

� �cos t� j sin t �� e jt�*��2��1�*�2��1�*�2��1�

Proprietà di realtà e paritàSia il segnale x �t � reale e pari.

Un numero complesso è reale quando è uguale al suo complesso coniugato

x �t ��x*�t �

Un segnale è pari se

x �t ��x ��t �

Se adesso facciamo la trasformata di Fourier dei singoli membri di queste uguaglianze, abbiamo

� x �t ��x*�t �x �t ��x ��t � �

� �X ��X *��

X ��1��1�

X � �1� è un riscalamento (di indice -1)

riscriviamo in modo più ordinato

�X ��X *��

X ��X �� X *��X ��

Quindi possiamo concludere che se il segnale è pari, la sua trasformata è pari, se un segnale èreale, la sua trasformata è reale.

Esempio.

Consideriamo

x �t �� p10�t ��u �t5��u �t�5�

La sua trasformata di Fourier è

� � p10�t ��2sin 5

Il segnale di partenza è un segnale reale e pari, la sua trasformata di Fourier è il rapporto tra duefunzioni reali dispari, quindi una funzione reale e pari.

Proprietà di disparitàSia il segnale x �t � reale e dispari. Abbiamo



� x �t ��x*�t �x �t ��x ��t � �

� �X ��X *��

X ��1��1�

X � �1�ovvero

� X ��X *��

X ��X �� X *��X ��

Si vede che fare l'operazione di coniugazione della trasformata di un segnale dispari significa farnel'opposto, quindi essa è un immaginario puro.

Per cui se un segnale è reale dispari, la sua trasformata è un immaginario puro dispari.

Esempio.

x �t ��12

t p2�t �

Facciamo la trasformata. La prima cosa che osserviamo è che abbiamo la variabile t come fattoremoltiplicativo. Facciamo comparire un -j così da poter sfruttare la proprietà di derivata in frequenza

� � 12 t p2�t ��12

j� �� jt p2�t ��12

jd

d� � p2�t ��

12

jd

d2sin

� jcos�sin

2

Si vede subito che abbiamo ottenuto una funzione dispari che è immaginario puro (c.v.d.).

Proprietà del prodotto di convoluzioneSe noi abbiamo da trasformare il seguente prodotto di convoluzione

� � x �t ��y �t ��

x �� y �t��d ��questa proprietà ci dice che altro non è che il prodotto ordinario delle trasformate

� � x �t ��y �t ��

x �� y �t��d ��X ��Y ��

Esempio.

� � p2�t ��p ' 10�t ��La proprietà del prodotto di convoluzione ci dice che tale trasformata è

� � p2�t ��p ' 10�t �� p2�t �� p ' 10�t ��2sin

j2sin 5

Un'altra via per fare questa trasformata sarebbe stata fare il calcolo del prodotto di convoluzione epoi trasformare il risultato.



Proprietà del prodotto ordinarioAbbiamo visto che la trasformata di un prodotto di convoluzione è un prodotto ordinario. Latrasformata di un prodotto ordinario è, fatto salvo una costante moltiplicativa, un prodotto diconvoluzione. Ovvero

x �t � y �t �� 1

2�X ��Y ��

Esempio.

� � p2�t �sin t

t �� 12�

2sin

�� p2�t �



Altre trasformateFinora abbiamo fatto le trasformate di Fourier della porta, della delta di Dirac, della campanarazionale e della costante 1. Queste non sono sufficienti come bagaglio, ci manca la trasformata delgradino unitario. Per arrivare ad essa ne faremo un paio di prologo.

Calcoliamo

� � 1t �� 1

te� j t dt

Se osserviamo il segnale, per t�0 va ad infinito e l'integrale non è calcolabile in un intorno dellozero (con metodi elementari). Per poter calcolare l'integrale siamo costretti a passare in campocomplesso, ponendo l'uguaglianza z�t jy con t parte reale di z.

L'integrale diventa

� � 1t �� ,��

1z

e� j z dz

Vediamo che nello zero l'integrando ha un polo del 1° ordine.

Osserviamo adesso che il polo si trova sul cammino d'integrazione (ricordiamo che siamo passati adun integrale di linea dove la linea è il cammino d'integrazione e corrisponde all'asse reale).Ricordiamo che quando si trovano delle singolarità di tipo polare sul cammino di integrazione sipuò dare un significato più allargato all'integrale, che viene definito del valor principale secondoCauchy e le singolarità, che appunto si trovano sul cammino di integrazione contribuisconoall'integrale con mezzo residuo.

Siamo quindi nel caso in cui si può applicare il lemma di Jordan1.

Dobbiamo valutare dove tende a zero l'esponenziale

�e� j z��e� j�t jy��e� j t y��e y

segue che

se �0 l'esponenziale tende a zero per y��

se �0 l'esponenziale tende a zero per y��

Decomponiamo l'integrale in due tratti, uno in cui �0 (ed in questo caso il lemma di Jordan cidice di chiudere il cammino nel semipiano inferiore) ed uno in cui �0 (ed in questo caso illemma di Jordan ci dice di chiudere il cammino nel semipiano superiore)

� � 1t ��0 �� j R f � z ��0�� j�0 � j R f � z ��0�� j �� j sgn

Vogliamo adesso fare la trasformata di Fourier della funzione segno di t.

� � sng t �

1 Spesso in questo tipo di calcoli funzioni come 1�t vengono prefisse dai simboli p.f. (pseudo funzione) che stannoad indicare proprio che porterebbero ad integrali non convergenti e quindi non calcolabili, i quali vengono prefissi aloro volta dai simboli v.p. (nel senso del valor principale) che indicano proprio che devono essere interpretati in manierapiù allargata.

Altre trasformate - Pag.145


trasformata impossibile da calcolare con l'integrale e se non si riesce ad utilizzare qualche proprietàdelle trasformate, si deve passare alle distribuzioni.

Osserviamo però che proprio nell'esempio precedente abbiamo ottenuto

� � 1t �� j sgn

Possiamo quindi applicare la proprietà di simmetria che ci dice che

� �� j sgn t ��2� 1�

�� j� � sgn t ��2� 1�

� � sgn t ��2j

Osserviamo anche che la funzione di partenza era reale e dispari e la sua trasformata è immaginariapura e dispari (come impongono le proprietà delle trasformate).

Questi esempi sono serviti per introdurre la

Trasformata del gradino unitarioCominciamo a pensare che la funzione gradino unitario può essere vista nel seguente modo

u �t ��12�1sng t �

ovvero traslando verso l'alto la funzione segno di t e dividendola poi per 2. Possiamo quindi, perfare la trasformata di Fourier del gradino unitario, sfruttare la trasformata del segno e le proprietà dilinearità delle trasformate. Otteniamo

� �u �t �� 12 �1sng t �� 12 �� sng t2 ��1

2� �1 �

12� � � sng t ��

Se noi quindi andiamo a riprendere le trasformate che abbiamo già calcolato otteniamo

� �u �t ��12

2��12

2j��

1j

Osserviamo che la trasformata di Fourier del gradino ha sia una parte reale (che è un termineimpulsivo), che una parte immaginaria, infatti il gradino non è né pari né dispari.

Facciamo il seguente esercizio

� �u �t1��u �t�1��

Possiamo osservare che si sta richiedendo la trasformata di una porta, cosa che già conosciamo, malo si vuole risolvere diversamente, proprio per imparare a maneggiare le proprietà delle trasformate.Applichiamo la proprietà di linearità

� �u �t1��u �t�1�� u �t1�� u �t�1��

Osserviamo adesso che si vogliono trasformare delle u traslate, applichiamo quindi la proprietà ditraslazione nel tempo

� �u �t1��u �t�1�� u �t1�� u �t�1��e j� �u �t ��e� j

� �u �t �� u �t �� e j�e� j�=

Trasformata del gradino unitario - Pag.146


=� �u �t ��2 j sin�� 1j�2 j sin�2 j�sin��

2sin

Osserviamo che il risultato non sembrerebbe coincidere con quello che ci aspettavamo. Abbiamoinfatti un primo addendo di troppo. Ma proviamo ad interpretarlo: se noi ci ricordiamo la proprietàdella delta di Dirac che dice che

x �t ��t ��x �0��t � (se x �t � è continua) ovvero x ��x �0��

ma nel nostro caso il seno di zero è zero, per cui tutto l'addendo è nullo.

Equazioni nel dominio delle distribuzioniVogliamo risolvere l'equazione

j X ��Y ��

NOTA: abbiamo usato la variabile per sottolineare il fatto che opereremo sulle equazioniproprio nel dominio delle frequenze.

Siano

Y �� il termine noto

X �� l'incognita.

Se operassimo nel campo delle sole funzioni, risolvere l'equazione sarebbe semplice:

X ��Y ��

j

ma nel campo delle distribuzioni la soluzione è la seguente

X ��Y ��

jk ��

Verifichiamolo:

j�Y ��jk ��Y �� j k ��

Ricordando che x �t ��t ��x �0��t � si ha

j�Y ��jk ��Y �� j k ��Y �� j�0�k ��Y ��

Si può inoltre facilmente dimostrare che per questa equazione quelle calcolate sono tutte lesoluzioni possibili.

Consideriamo adesso un caso più generale

Pn�� X ��Y ��

Se noi avessimo come informazione che l'incognita X �� è una funzione, la soluzione sarebbe

X ��Y ��Pn��

Equazioni nel dominio delle distribuzioni - Pag.147

x �t � x ' �t �

�5 �55

5

1


evidentemente nei punti in cui il polinomio si annulla, si avranno delle singolarità o delle singolaritàapparenti. Per rappresentare tutte le soluzioni in ambito distribuzionale invece, dobbiamocominciare col porci nella seguente ipotesi:

Pn�� ha n soluzioni distinte 1�2�3�...�n

si può allora affermare che tutte le soluzioni in ambito distribuzionale sono date dalla soluzione inambito funzionale sommata ad n delta di Dirac centrate negli zeri del polinomio

X ��Y ��Pn��

k 1��1�k 2��2�k 3��3�+ ... +k n��n�

Dimostriamo adesso che quella sopra è sicuramente una soluzione dell'equazione (nondimostreremo invece che è anche tutte le soluzioni possibili, anche se sarebbe molto semplicefarlo). Procediamo inversamente moltiplicando la nostra soluzione con il polinomio Pn��

Pn�� Y ��Pn��Pn��k 1��1�Pn��k 2��2�+ ... + Pn��k n��n�

ricordiamo adesso la proprietà della delta x ��0��x �0��0� e applichiamola

Y ��Pn�1�k 1��1�Pn�2�k 2��2�+ ... + Pn�n�k n��n�

osservando adesso che i termini pn�1� , pn�2� , ... , pn�n� erano gli zeri del polinomio, e si ha

Y ��00 + ... + 0 (c.v.d.)

Se invece ci poniamo nell'ipotesi in cui Pn�� ha degli zeri multipli, compariranno anche dellederivate, ma questo non ci interessa per il nostro corso.

Facciamo un esempio di applicazione, vogliamo fare la seguente trasformata di Fourier

� �u �t1��u �t�1��

Osserviamo che non è un esercizionuovo, lo abbiamo già risolto in duemodi diversi: con la definizione ditrasformata e attraverso latrasformata della u �t � . Adesso lovogliamo risolvere proprio tramite leequazioni in campo distribuzionale.Il grafico della funzione è la solitaporta che ha per derivata una sommadi due delta di Dirac.

Si ha

x ' �t ��t1��t�1�

e possiamo osservare che è molto semplice fare la trasformata di Fourier di x ' �t � perché si trattadi trasformare la somma di due delta



� � x ' �t �� t1�� t�1��

essendo che si hanno delle traslazioni nel tempo si procede come segue

� � x ' �t ��e j� ��t ��e� j

� ��t ��

ed essendo la trasformata della delta uguale ad uno

� � x ' �t ��e j�e� j�2 j sin

Abbiamo così ottenuto la trasformata di Fourier della derivata prima della nostra funzione, ma sericordiamo adesso, la proprietà delle trasformate che dice che

� � x ' �t �� j X ��

possiamo scrivere

j X ��2 j sin

che è un'equazione in ambito distribuzionale la quale possiamo risolvere con i metodi che abbiamovisto in questo capitolo, ovvero

X ��2 j sin

jk ��

2sin

k ��

Non ci resta che da determinare il valore di k. Possiamo farlo con il seguente ragionamento: se noisiamo sicuri che la trasformata della funzione non è una distribuzione, bensì una funzione (e losiamo perché è calcolabile attraverso l'integrale della trasformata [infatti il segnale è nulloall'esterno di un intervallo limitato, quindi l'integrale converge]) allora possiamo dire che k=0.


1

a�a t

x �t �

1a

a�a t

x ' �t �

�1a

1a

a�a t

x ' ' �t �

�2a


Esempi di trasformate di FourierEsercizio 1

Si vuole fare la trasformata di Fourier di un segnaleche possiamo chiamare triangolo. Il suo grafico èquello riportato in figura e la sua trasformata puòessere fatta in molti differenti modi.

Noi sceglieremo una strada che non è forse la piùsemplice, ma può essere istruttiva. Vogliamoseguire il procedimento di fare le derivate grafichedella funzione. Possiamo osservare che la funzioneè continua, con dei punti angolosi.

Facendone la derivata prima avremo quindi dellediscontinuità in tali punti, come mostrato in figura,ottenendo una funzione continua a tratti.

Possiamo anche pensare di fare la derivata seconda(sempre nel senso delle distribuzioni) e vediamoche si ottiene una somma di tre delta di Diraccentrate nei tre punti di discontinuità, comemostrato in figura, la cui equazione è la seguente:

x ' ' �t ��1a��ta ��

2a��t �

1a��t�a �

Diventa allora molto semplice fare la trasformata di Fourier del segnale x ' ' �t � che risulta essere� � x ' ' �t ��

1a� ��ta��

2a� ��t ��

1a� ��t�a ��

Ricordando adesso che traslazione nel dominio dei tempi vuol dire moltiplicazione per unesponenziale complesso nel dominio delle frequenze otteniamo

� � x ' ' �t ��1a

e ja� ��t ��

2a� ��t ��

1a

e� ja� ��t ��

ed essendo la trasformata della delta uguale ad 1 :

Esempi di trasformate di Fourier - Pag.150


� � x ' ' �t ��1a

e ja�2a

1a

e� ja�1a�e ja�2e� ja�� 1

a�e j a

2�e� j a

2�2

Osserviamo che nell'ultimo passaggio si sono interpretati i tre termini come il quadrato di unbinomio. In definitiva si ha

� � x ' ' �t ��1a�e j a

2�e� j a

2�2

�1a �2 j sin

a2 �

2

Applicando la proprietà delle derivate della trasformata si ha

j� � x ' �t �� x ' ' �t ��1a �2 j sin

a2 �

2

ovvero, ritornando alle equazioni in campo distribuzionale

� � x ' �t ��1a

�2 j sina2 �

2

jk ��

eventuali termini impulsivi

Ma se adesso noi osserviamo l'andamento della funzione x ' �t � vediamo che è nulla al di fuori diun certo intervallo finito. Siamo dunque sicuri che la sua trasformata di Fourier si può calcolare conl'integrale e che si tratta dunque di una funzione, ovvero non sono presenti termini impulsivi, per cui

k�0 . Proseguendo si ha

j� � x �t �� x ' �t ��1a

�2 j sina2 �

2

j

� � x �t ��1a

�2 j sina2 �

2

�2 k ��

Ma anche in questo caso la funzione x �t � vediamo che è nulla al di fuori di un certo intervallofinito (-a,a). Siamo dunque sicuri che la sua trasformata di Fourier si può calcolare con l'integrale eche si tratta di una funzione, per cui k�0 . Si ha

� � x �t ��1a

�2 j sina2 �

2

�2 �4sin2a

2a2


12

a�a t

x �t �

1

a�a t

x ' �t �

12 a

�1

a

�a t

x ' ' �t �

12 a

�1�

12 a


Esercizio 2Consideriamo il seguente segnale, che è una porta moltiplicata per una retta nel seguente modo

x �t �� p2 a� 12 a

t12�

Vogliamo calcolarne la trasformata di Fourier. Losi potrebbe fare in vari modi, applicando leproprietà della trasformata. Noi scegliamo unmetodo un po' diverso, sempre per mostrare allostudente le varie possibilità che ci sono perrisolvere questi esercizi.

Facciamo la derivata prima distribuzionale delsegnale, ed è quella mostrata in figura, con duepunti di discontinuità ed una delta di Dirac.

Se volessimo rappresentare la derivata seconda, siavrebbero dei problemi per rappresentaregraficamente la derivata della delta, che comunquequalcuno rappresenta con una freccia spezzata.

Il suo grafico è dunque quello rappresentato infigura e la sua equazione la seguente

x ' ' �t ��1

2 a��ta��

12 a��t�a �� ' �t�a�

Volendo fare la trasformata di Fourier di questo segnale, la prima cosa che facciamo è applicare lalinearità

� � x ' ' �t ��1

2 a� ��ta��

12 a� ��t�a�� ' �t�a��

adesso ci dobbiamo ricordare che la trasformata di una delta traslata è la moltiplicazione di unesponenziale per la trasformata della delta che è 1.

� � x ' ' �t ��1

2 ae ja�

12 a

e� ja� je� ja�1

2 a2 j sina� je� ja

� � x ' ' �t ��j sina

a� je� ja


12

a�a t

x �t �

1


Abbiamo ottenuto la trasformata di Fourier della derivata seconda del nostro segnale. Risaliamoadesso col solito metodo

j� � x ' �t �� x ' ' �t ��j sina

a� je� ja

j� � x ' �t ��j sina

a� je� ja

Anche in questo caso si tratta di una funzione (i termini impulsivi sono nulli), per cui possiamoscrivere

� � x ' �t ��j sina

ja�e� ja�

sinaa

�e� ja

Risaliamo ancora, ricordandoci ancora che anche in questo caso i termini impulsivi sono nulli

j� � x �t �� x ' �t ��j sina

ja�e� ja�

sinaa

�e� ja � � x �t ��

sina

j2 a�

e� ja

j

che è la trasformata di Fourier del segnale che ci eravamo proposti.

Esercizio 3Consideriamo il seguente segnale

Possiamo osservare che è un segnale uguale aquello dell'esercizio precedente, al quale dobbiamoperò aggiungere una u(t) traslata in a

x �t �� p2 a� 12 a

t12�u �t�a�

La trasformata di Fourier di questo segnale saràdunque uguale alla somma della trasformataottenuta nell'esercizio precedente e dellatrasformata di u �t�a� , ovvero

� � x �t ��sina

j2 a�

e� ja

j� �u �t�a��

sina

j2 a�

e� ja

je� ja�� 1

j�=osserviamo che il prodotto dell'esponenziale per la delta fa 1

=sina

j2 a�

e� ja

j��

e� ja

j�

sina

j2 a��

Osserviamo adesso che la trasformata ottenuta non è una funzione, ma una distribuzione. Abbiamoinfatti un termine impulsivo che può essere spiegato dal fatto che se noi prendiamo il segnaleiniziale, ci accorgiamo che non era trasformabile attraverso l'integrale, il quale non converge.Osserviamo adesso che se avessimo invece voluto risolvere l'esercizio seguendo il metodoprecedentemente usato, ci saremmo accorti che la derivata prima distribuzionale del segnale è unaporta, la cui trasformata è la seguente



� � x ' �t ��sinaa

che porta, attraverso il metodo delle equazioni distribuzionali, alle seguenti

j X �� x ' �t ��sinaa

X ��sina

j2 ak ��

Seguendo questa strada però, il problema è che non abbiamo nulla che ci dice quanto vale lacostante k (in realtà ci sarebbero dei procedimenti che ci permetterebbero di darle un valore, ma noinon li affronteremo).

Esercizio 4Vogliamo fare la seguente trasformata

� �sin0 t �Mettiamo il seno in forma esponenziale

� �sin0 t �� ej0 t�e� j0 t

2 j �e ricordando la proprietà di linearità otteniamo

� �sin0 t �� ej0 t�e� j0 t

2 j �� 12 j� �e j0 t �� 1

2 j� �e� j0 t �

ricordando adesso che la moltiplicazione per un esponenziale complesso nel dominio dei tempi dàluogo ad una traslazione nel dominio delle frequenze, possiamo osservare che dobbiamo fare delletrasformate di 1 e traslarle di �0 , come segue

� �sin0 t ��1

2 j� �e j0 t �� 1

2 j� �e� j0 t �� 1

2 j2��0��

12 j

2��0�

� �sin0 t �� j� ��0��0��Osserviamo che il segnale è reale e dispari e la sua trasformata è immaginaria pura e dispari, cosìcome dicono le proprietà della trasformata.


� �cos0 t �



Mettiamo il coseno in forma esponenziale

� �cos0 t �� ej0 te� j0 t

2 �e ricordando la proprietà di linearità otteniamo

� �cos0 t �� ej0 te� j0 t

2 ��12� �e j0 t �1

2� �e� j0 t �

� �cos0 t ��12� �e j0 t �1

2� �e� j0 t ��1

22��0�

12

2��0�

� �cos0 t ��0��0��Osserviamo che in questo caso il segnale di partenza è reale e pari così come la sua trasformata.


� �u �t �sin0 t �Mettiamo il seno in forma esponenziale

� �u �t �sin0 t �� u �t � ej0 t�e� j0 t

2 j �e per la proprietà di linearità abbiamo

� �u �t �sin0 t �� u �t � ej0 t�e� j0 t

2 j �� 12 j� �u �t �e j0 t �� 1

2 j� �u �t �e� j0 t �

la moltiplicazione per esponenziali complessi dà luogo a traslazione nel dominio delle frequenze

� �u �t �sin0 t ��1

2 j��0�

12 j ��0�

�1

2 j��0��

12 j �0�

NOTA: Normalmente si usa sommare gli addendi che non contengono termini impulsivi insieme egli addendi che contengono termini impulsivi insieme, come segue

� �u �t �sin0 t �� j2 ��0��0��

0

�2�02�


� �u �t �cos0 t �Mettiamo il coseno in forma esponenziale


Re��0u �t �e�Re� t

t


� �u �t �cos0 t �� u �t � ej0 te� j0 t

2 �e procedendo come nell'esercizio precedente otteniamo

� �u �t �cos0 t ��12��0�

12 j ��0�

12��0�

12 j �0�

Ovvero

� �u �t �cos0 t ��

2 ��0��0��j

�2�02�

Esercizi introduttivi alle distribuzionilimitate e a crescita lenta

Vogliamo adesso fare alcuni esercizi che ci introducono a qualche riflessione critica sulletrasformate di Fourier e terminare dicendo quando una distribuzione è trasformabile secondoFourier e quando no.

Esercizio 8Si vuole trasformare il segnale

u �t �e�� t

Cominciamo col riflettere sul parametro � , essoè complesso e per fare il grafico del segnaledobbiamo restringere il campo di tale parametro adiversi casi, supponiamo di prendere la sua partereale e che essa sia maggiore di zero.

Allora la trasformata di Fourier del segnale è

� �u �t �e�� t ��

u �t �e�� t e� j t dt��0

�

e�� j� t dt�� 1�� j

e�� j�t�t�0

t��

Adesso dobbiamo vedere come si comporta l'esponenziale per t che tende a più infinito. Una primariflessione da fare è pensare che ha lo stesso comportamento del proprio modulo (essendo unesponenziale complesso). Possiamo quindi, osservando che la parte immaginaria perde disignificato e che abbiamo fatto l'ipotesi che la parte reale di � è positiva, scrivere

limt��

�e�� j� t�� limt��

e��Re�� t�0

Tornando alla trasformata possiamo scrivere

� �u �t �e�� t �� 1�� j

e�� j�t�t�0

t��

�1

j�con Re��0

Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta - Pag.156

Re��0u �t �e�Re� t

t

Re��0

u �t �e�Re� t e�Im� j t


Vediamo adesso cosa succede se Re��0 .

Il segnale diventa

x �t ��u �t �e��Im�� jt

e la sua trasformata è facilmente calcolabile in quanto è la trasformata di una u �t � traslata,oppure, volendo vedere l'esponenziale come somma di seni e coseni, si avrebbe la trasformata diseni e coseni come negli esercizi svolti nel capitolo precedente.

Vediamo cosa succederebbe se Re��0 .

Il grafico risulterebbe quello mostrato in figura,ovvero per t�0 si avrebbe un esponenzialecrescente.

Mentre se volessimo completare il grafico,ovvero includere anche la parte immaginaria,quindi fare il grafico della funzione

x �t ��u �t �e�Re� t e�Im� j t

si otterrebbe un'oscillazione modulata inampiezza da un esponenziale crescente e ci siaccorgerebbe che la trasformata di Fourier nelcaso Re��0 non esiste.

Riassumendo le tre possibili situazioni abbiamo

� �u �t �e�� t ��1

j�Re��0

��Im� 1jIm�� Re��0

NON ESISTE Re��0

Verificato che è delicato a volte capire quando una trasformata è calcolabile o no, bisognerebbe peròessere in grado di capirlo senza crearsi troppe preoccupazioni,


x �t � �0�0

t


Esercizio 9Questo esercizio è strettamente legato alprecedente. Consideriamo la funzione

x �t ��u �t �e��0 t sin0 t

Per poter vedere il grafico dobbiamo fare qualcheipotesi sulle costanti che intervengono,prendiamo �0�0�� e vediamo che abbiamoun esponenziale decrescente che modula un seno.Mentre se vogliamo fare la trasformata diFourier, dobbiamo esprimere il seno comecombinazione di esponenziali complessi, nelseguente modo

x �t ��u �t �e��0 t� e j0 t�e� j0 t

2 j �� 12 j

u �t �e��0�0 j �t�

12 j

u �t �e��00 j � t

Si vede che entrambi gli addendi rientrano nella tipologia dell'esercizio precedente, nel momento incui si vuole fare la trasformata di Fourier del segnale, (sempre che �0�0�� ).

Osserviamo adesso che se invece �0�0�� la trasformata esiste, ma non è calcolabile attraversol'integrale, bensì attraverso le proprietà delle trasformate; mentre se �0�0�� la trasformata nonesiste.

Ricapitolando, con la modulazione di ampiezza da parte di un esponenziale, si hanno tre casi,

- se l'ampiezza è decrescente, la trasformata esiste ed è calcolabile con l'integrale,

- se l'ampiezza è costante, la trasformata esiste ma non è calcolabile con l'integrale,

- se l'ampiezza è crescente, la trasformata non esiste.



Esercizio 10Prendiamo il segnale

x �t ��u �t �e��0 t cos0 t

Mettiamoci nel caso in cui �0�0�� . Siamo in una situazione analoga alla precedente.Riscriviamo la funzione

x �t ��u �t �e��0 t� e j0 te� j0 t

2 ��12

u �t �e��0�0 j �t

12

u �t �e��00 j� t

e vediamo che calcolando la trasformata di Fourier si ottiene

� �u �t �e��0 t cos0 t ��j�0

� j�0�20

2 �0�0

Esiste in ambito distribuzionale �0�0NON ESISTE �0�0

Distribuzioni limitateNoi sappiamo cos'è una funzione limitata, è quella funzione che, in valore assoluto, è minore di unacostante, cioè il cui grafico è tutto compreso in una striscia orizzontale del piano.

Nel caso delle distribuzioni le cose si complicano un po', perché c'è la presenza della delta di Diracche è approssimata da funzioni non limitate. Per capire quando una distribuzione è limitata bisognautilizzare il seguente metodo: si prende la distribuzione e si fa la convoluzione con una funzione diprova (ricordiamoci che la funzione di prova deve essere infinite volte derivabile e nulla all'esternodi un certo intervallo finito, per definizione)

x �t ��t ��

x ��t��d �

Il risultato di tale prodotto di convoluzione è una funzione infinite volte derivabile. Se adesso diamoun nome al prodotto di convoluzione, ovvero diciamo che h �t ��x �t ��t � allora possiamosostenere che

se h �� t �� è limitata come funzione allora x �� t �� è limitata in D'.

Prendiamo come primo esempio la delta di Dirac.

��t ��t ��t �

... ricordando che la delta è l'elemento unità del prodotto di convoluzione.

Il risultato del prodotto di convoluzione è una funzione limitata, dunque anche la delta è unadistribuzione limitata. Osserviamo che anche ogni traslata della delta è una distribuzione limitata:

��t�a ��t ��t�a �

Distribuzioni limitate - Pag.159


NOTA: Il fatto di rappresentare nei grafici la delta con una freccia di ben precise dimensioni(l'ampiezza del salto) indica bene la limitatezza della delta, nel senso che abbiamo appena visto.

Distribuzioni a crescita lentaUna distribuzione x �� t �� è temperata o a crescita lenta se esiste m tale che

x �� t ��1t 2��

m sia una

distribuzione limitata.

NOTA: In realtà a denominatore avremmo potuto utilizzare un qualsiasi polinomio, ma quello cheabbiamo usato è il più comodo perché non annulla mai il denominatore.

Questo significa che la distribuzione ha una crescita di tipo polinomiale.

Abbiamo appena introdotto le distribuzioni temperate che sono proprio il contesto in cui si operacon le trasformate di Fourier e la ragione di ciò ci viene data da un teorema che caratterizza ledistribuzioni temperate. Esso dice che

Una distribuzione x �� t �� è temperata se risulta x �� t ��Dn �� 1t 2�� y �� t ��

con y �� t �� x �� t ��1t 2��

m integrabile in modulo, continuo e limitato.

Se noi infatti vogliamo fare la trasformata di Fourier di un segnale di questo tipo abbiamo

� � x �t �� Dn ��1t 2� y �t ��e sapendo che y �t � è integrabile per definizione, quindi sempre trasformabile, poi non ci resta cheapplicare le proprietà delle trasformate.

� � x �t �� j�n�1�D2�m Y ��

Quindi una distribuzione di questo tipo è sempre trasformabile.

- Pag.160

t

sT �t �

1

T�T 2T


Treno di impulsiIntroduciamo le trasformate di distribuzioniperiodiche, la più significativa delle quali è proprioil treno di impulsi, che è anche una distribuzionelimitata.

sT �t �� n��

�

��t�nT �

Questa distribuzione, che è una sommatoria di deltadi Dirac traslate, ha due caratteristiche importanti:

� è periodica ovvero sT �t ��sT �tT � (notareche è valida la stessa definizione di periodicitàche si utilizzava per le funzioni; in questo caso, anziché pensare alle funzioni si pensa aifunzionali)

� è limitata.

Per verificare che effettivamente ci troviamo di fronte ad una distribuzione limitata facciamo laconvoluzione con una funzione di prova

sT �t ��t �� n��

�

��t�nT ��t �ricordando che convolvere una sommatoria vuol dire convolvere ciascun addendo della sommatoria,possiamo scrivere

sT �t ��t �� n��

�

��t�nT ��t ��

osserviamo adesso che la convoluzione con una delta traslata ci dà la traslata della funzione checonvolve la delta, ovvero

sT �t ��t �� n��

�

��t�nT �

Ricordiamoci adesso che ��t � è una funzione infinite volte derivabile e diversa da zero in unintervallo finito. Noi ne dobbiamo prendere la sommatoria e verificare che non tenda mai ad infinitocosì da poter verificare che è limitata.

Non abbiamo un'informazione precisa sul periodo, ci sono comunque due possibili casi:T��b�a � e T��b�a�

Nel primo caso la sommatoria sarà data da un unico addendo, che sarà quello in cui la traslata, perquel valore della t è diversa da zero. Nel secondo caso ci saranno delle sovrapposizioni, ma nonpotranno che essere in numero finito, così come è finito il valore dell'intervallo ab. Quindi ilrisultato della sommatoria non può che non essere il risultato di una funzione limitata. Vedi grafici.

Treno di impulsi - Pag.161

a b

T�aba bT�ab


Cerchiamo adesso di calcolare la trasformata di Fourier del treno di impulsi.

� � sT �t �� n��

�

��t�nT ��essendo la trasformata di Fourier lineare, possiamo scrivere

� � sT �t �� n��

�

��t�nT �� n��

�

� ��t�nT ��

ma la trasformata di una traslata è a noi nota

� � sT �t �� n��

�

� ��t�nT �� n��

�

e�nT j� ��t ��

ed essendo la trasformata della delta uguale ad uno

� � sT �t �� n��

�

e�nT j

Vorremmo adesso poter esprimere la sommatoria in una forma più chiara. Per far ciò dobbiamo farealcune osservazioni:

1 – La trasformata di Fourier del treno di impulsi è periodica di periodo 0�2�T

. Questo perché

ogni termine della sommatoria è periodico di periodo2�nT

. Per verificarlo, prendiamo un termine

sommato al supposto periodo

e�nT �

2�nT� j�e��nT 2�� j�e�nT j e2� j�e�nT j�1�e�nT j

abbiamo ottenuto il termine di partenza e verificato la periodicità.

Ma dire che ogni termine è periodico di periodo2�nT

significa dire che è periodico di ogni

multiplo di tale periodo, quindi tutti i termini sono periodici di periodo2�T

.

2 – Nulla ci vieta di riscrivere la trasformata facendo un cambiamento di indice come segue



� � sT �t �� n��

�

e�nT j� n��

�

e��n1�T j

la quale identità ci porta a poter scrivere

� � sT �t �� n��

�

e��n1�T j� n��

�

e�nT j e�T j�e�T j n��

�

e�nT j

ovvero

n��

�

e��n1�T j�e�T j n��

�

e�nT j e�T j n��

�

e�nT j� n��

�

e��n1�T j�0

se adesso mettiamo in evidenza la sommatoria otteniamo

�e�T j�1� n��

�

e�nT j

!trasf. del treno di impulsi

�0

Si vede quindi che la trasformata del treno di impulsi soddisfa questa equazione distribuzionale.Quando nei capitoli precedenti abbiamo affrontato le equazioni distribuzionali, abbiamo visto checome fattore moltiplicativo dell'incognita (che adesso è la trasformata del treno di impulsi) c'era unpolinomio, mentre adesso abbiamo il termine �e�T j�1� . Ma la cosa interessante di quelpolinomio era che aveva degli zeri del primo ordine. Se noi adesso osserviamo il termine�e�T j�1� ha zeri del primo ordine quando e�T j�1 ovvero quando �T ��2 k� cioè

con

�2 k�

T�k0

Soluzione dell'equazione distribuzionale è dunque

n��

�

e�nT j�0

�e�T j�1�

k��

�

Ak�� 2 k�T �

ovvero la trasformata del treno di impulsi è la sommatoria delle delta di Dirac traslate negli zeri deltermine �e�T j�1� e moltiplicate per opportuni coefficienti

n��

�

e�nT j� k��

�

Ak�� 2 k�T �

Riassumiamo adesso i risultati delle nostre osservazioni

- � � sT �t �� è periodica di periodo 0�2�T

- � � sT �t �� k��

�

Ak�� 2 k�T � � � sT �t ��

k��

�

Ak� ��k0�

La prima osservazione ci dice che la funzione è periodica, per cui i termini della sommatoria dellaseconda osservazione devono essere tutti uguali, compresi i coefficienti Ak . Possiamo dunquesvincolarli e vederli semplicemente come coefficiente A ottenendo



� � sT �t ��A k��

�

� ��k0�

Siamo quindi giunti alla conclusione che la trasformata di Fourier di un treno di impulsi è a suavolta un treno di impulsi nella variabile che ha come periodo la frequenza angolare del treno dipartenza

� � sT �t ��A s0��

Non ci resta adesso che la determinazione della costante A .

Cerchiamo di farlo partendo da un segnale periodico che già conosciamo. Se prendiamo la costante1 e la pensiamo come un segnale che vale 1 tra -1 e +1 e che ha periodo 2, abbiamo sempre lacostante 1 di partenza, ma letta come funzione periodica.

Abbiamo

1� k��

�

p2�t�2 n�

adesso, grazie alle proprietà del prodotto di convoluzione, la porta traslata può essere vista comeuna porta non traslata convoluta con la delta traslata, nel seguente modo

1� k��

�

p2 �t ��t�2 n�

Facciamo le trasformate di Fourier di ambo i membri. La trasformata di 1 la conosciamo, ed è2�� , mentre la trasformata del secondo membro la possiamo ottenere attraverso le proprietà

della trasformata del prodotto di convoluzione ed è

k��

�

� � p2�t �� t�2 n�� p2�t �� k��

�

� ��t�2 n��

ma osserviamo che il termine dato dalla sommatoria altro non è che la trasformata di Fourier di untreno di impulsi di periodo T�2 , che per i ragionamenti appena fatti ci dà � � s2��A s�� .

L'identità ci porta dunque a

2��2sin

A s�� k��

� 2sin

A��n��

osserviamo adesso che per le proprietà della delta si ha

sin

��n��sin n�

n��1 se n�0

0 se n�1(considerando il limite)

in base a queste considerazioni otteniamo

2��2sin

A s�� k��

� 2sin

A��n��2 A�� 2��2 A��

A��

Se pensiamo adesso che siamo giunti a questo risultato partendo da un periodo di 2, possiamo


t

x �t �

T2

�T2

t

x0�t �

T2

�T2

t

x0�t�T �

T2

3 T2


concludere che

A��2�2�

2�T�0

Trovato il coefficiente A, possiamo finalmente scrivere in modo completo la trasformata di Fourierdel treno di impulsi

� � sT �t ��0 s0�� .

Trasformata di Fourier di distribuzioniperiodiche

Abbiamo detto che una distribuzione è periodica secoincide con una sua traslata di un periodo T.

x �t ��x �tT �

E' anche vero che una distribuzione è periodica secoincide con una sua traslata di un multiplo delperiodo T.

x �t ��x �tnT �

Prendiamo adesso un segnale periodico, adesempio l'onda triangolare, con periodo T, maconsideriamo solo un singolo periodo di talesegnale, mettendolo a zero nella sua rimanenza.

x0�t ��x �t � �T2"t�

T2

0 t��T2

opp. t#T2

Ricavato questo segnale, proviamo adesso a farnedelle traslate. Proviamo ad esempio a traslarla adestra di T . Allo stesso modo si potrebbe traslare asinistra o diversamente, ad esempio traslare dimultipli del periodo. Si può visivamente osservareche il segnale di partenza può essere visto comesomma dei segnali traslati sottostanti. Possiamoquindi pensare al segnale periodico come ad unsegnale che è possibile decomporre nel seguentemodo

x �t �� n��

�

x0�t�nT �

Questa è un'operazione che può essere fatta per ogni segnale periodico. Ricordiamo adesso laproprietà della convoluzione che dice che un segnale convoluto con una delta traslata altro non è

Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche - Pag.165


che il segnale stesso traslato allo stesso modo. Ragionando inversamente possiamo quindi sostenereche un segnale traslato può essere riscritto come segnale non traslato convoluto con una deltatraslata. Ne risulta che un segnale periodico può essere così riscritto

x �t �� n��

�

x0�t ��t�nT ��x0�t �� n��

�

��t�nT �

Ma osserviamo che abbiamo ottenuto il segnale x0�t � convoluto proprio con un treno di impulsi.Possiamo scrivere

x �t ��x0�t ��sT �t �

Possiamo quindi concludere che un segnale periodico si può presentare come la convoluzione delsegnale stesso preso in un solo periodo e nullo all'esterno, con un treno d'impulsi.

Vogliamo adesso fare la trasformata di Fourier di un segnale periodico

� � x �t �� x0 �t ��sT �t ��

se ricordiamo la proprietà delle trasformate, che dice che la trasformata di un prodotto diconvoluzione si traduce in un prodotto ordinario delle trasformate, otteniamo

� � x �t �� x0�t �� sT �t ��

Possiamo osservare che, avendo noi ben presente quanto vale la trasformata di Fourier del trenod'impulsi, abbiamo ricondotto il calcolo della trasformata di un segnale periodico, al calcolo dellatrasformata del segnale in un unico periodo

� � x �t �� x0�t �� sT �t ��X 0��0 s0��

In altre parole un segnale periodico è una funzione che modula il treno d'impulsi. Facendo due contipossiamo inoltre scrivere

� � x �t ��X 0��0 s0��

n��

�

X 0��0��n0�� n��

�

X 0�n0�0��n0�

e dall'ultima formula ricavata comprendiamo che la trasformata di Fourier di un segnale periodico èuna somma di delta di Dirac centrate nei multipli della frequenza angolare del segnale periodico,ciascuno di essi moltiplicato per un opportuno coefficiente: 0 X 0�n� .

Da ciò nasce anche l'uso comune nel dire che i segnali periodici hanno uno spettro a righe (lerispettive trasformate sono appunto delle somme di delta con degli opportuni coefficienti [centratinei multipli della frequenza angolare] ).

Consideriamo adesso un segnale che sia una funzione periodica e scriviamolo sia come serie di

Fourier, sia come prodotto di convoluzione e ricordiamo che o�2�T

, poi facciamone le

trasformate

x �t ��x0�t ��sT �t � $ x �t �� n��

�

cn ej

2�T

nt

Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche - Pag.166


� �

X 0��0��n0� n��

�

cn 2��n2�T �

Riscriviamo la prima trasformata in modo più opportuno

X 0��0��n0�� n��

�

X 0�n0�0��n0�

E' facile pensare che se siamo partiti da due modi diversi di descrivere lo stesso segnale, le duetrasformate di Fourier sono uguali

n��

�

X 0�n0�0��n0�� n��

�

cn 2��n2�T �

Osserviamo adesso che abbiamo una sommatoria di delta in entrambi i membri, esattamentecentrate in multipli di 0 . Dovranno quindi essere uguali i loro coefficienti

X 0�n0�0�cn 2�

Abbiamo trovato un legame molto stretto tra i coefficienti delle serie di Fourier ed i coefficientidelle delta di Dirac della trasformata di Fourier

cn�0

2�X 0�n0��

1T

X 0�n 2�T �

Se adesso specifichiamo la trasformata da calcolare otteniamo

cn�1T

X 0�n 2�T �� 1

T ��

x0�t �e� j t dt �

�2�n

T

osserviamo adesso che il segnale vale zero al di fuori di un certo intervallo:

x0�t ��x �t � �T2"t�

T2

0 t��T2

opp. t#T2

e riscriviamo gli estremi dell'integrale

cn�1T ��T

2

T2 x �t �e

� j2�n

Ttdt

Abbiamo ritrovato esattamente l'espressione del coefficiente di una serie di Fourier partendo daconsiderazioni sulle trasformate di Fourier.

Esempi di trasformate di Fourier di segnaliperiodici

Vediamo adesso alcuni esempi, che sono esattamente gli stessi esempi che avevamo fatto quando si

Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici - Pag.167

t

x �t �

T2

�T2

t

x0�t �

T2

�T2


parlò delle serie di Fourier. Si invita dunque il lettore a mettere in paragone i modi diversi diprocedere.

Esempio 1Prendiamo in considerazione l'onda triangolare con periodo � ed andiamo a considerare il segnalein un unico periodo

Proviamo a descrivere il segnale nei due sotto intervalli (tra ��

2 e zero e tra zero e

�

2)

x0�t ��2�

t p�2�t�4 � 2

�t p�

2�t��4 �

Vogliamo dunque fare la trasformata di Fourier di questo segnale. Non vogliamo certo metterci acalcolare l'integrale, per cui cercheremo di utilizzare una trasformata nota e le proprietà delletrasformate.La trasformata nota in questo caso è quella della porta e le proprietà da utilizzare sono quella ditraslazione nel tempo e di derivata nel dominio delle frequenze.

Per far comparire la traslazione dobbiamo però usare la malizia di aggiungere e togliere�

4.

x0�t ��2� �t�4 � p�

2�t�4 �1

2p�

2�t�4 � 2

� �t��4 � p�2�t��4 �1

2p�

2�t��4 �

Proponendoci adesso di fare la trasformata possiamo immediatamente applicare la proprietà ditraslazione nel tempo

� � x0�t ��2�

ej�

4

� �t p�2

�t ��12

ej�

4

� � p�2

�t ��2�

e� j�

4

� �t p�2

�t ��12

ej�

4

� � p�2

�t ��Ricordiamo che per avere la derivata in frequenza c'è da considerare un fattore costante che è � j ,ma se noi moltiplichiamo per j e per � j , ricordando che j�� j ��1 , possiamo scrivere

� � x0�t ��2�

ej�

4

j� �� jt p�2

�t ��12

ej�

4

� � p�2

�t ��2�

e� j�

4

j� �� jt p�2

�t ��12

e� j�

4

� � p�2

�t �� x0�t �� 2

�e

j�

4

j2�

e� j�

4

j�� jt p�2

�t ��12

ej�

4

12

e� j�

4�� p�

2

�t ��



� � x0�t �� 2�

j��ej�

4

e� j�

4�� jt p�

2

�t ��cos��4 �� p�2

�t �� x0�t �� 2

�j��2 j sin��4 �� jt p�

2

�t ��cos��4 �� p�2

�t ��

� � x0�t �� 4�

sin��4 �� dd � 2sin��4 �

�cos��4 �2sin��4 �

Facciamo adesso il calcolo della derivata

� � x0�t �� 8�

sin��4 ��

4cos��4 ��sin��4 �

2

2sin��4 �cos��4 �

� � x0�t �� 8�

sin��4 ��

4cos��4 �

�

sin��4 �2 � 2sin��4 �cos��4 �

� � x0�t ��2sin��4 �cos��4 �

�

8sin2��4 ��2

2sin��4 �cos��4 �

� � x0�t ��4sin��4 �cos��4 �

�

8sin2��4 ��2

Ed abbiamo trovato il segnale che modula il treno d'impulsi. E ricordando che nel nostro caso risulta0�2 si ha

� � x0�t ��X ��X 0��0 s0��

n��

�

X 0�2 n�2��2 n�

Per avere i coefficienti della sommatoria dobbiamo adesso calcolare X 0 nei multipli di n,ricordando la formula dei coefficienti

cn�0

2�X 0�n0��

1T

X 0�n 2�T �

Il caso che generalmente bisogna fare a parte è quello per n�0 , in quanto si ha un limite

lim�0

X 0��

2e risulta

c0�2

2��

2�

12

Cerchiamo adesso il valore di X 0 nei multipli di 2n.


t

x �t �

T2

�T2

1

�1

t

x0�t �

T2

�T2

1

�1


X 0�2 n��4sin��2 n�

�

4 �cos��2 n��

4 ��2 n�

�

8sin2��2 n��

4 ��2 n�2

X 0�2 n��4sin� n�

2 �cos� n�2 �

�2 n��

8sin2� n�2 �

��2 n�2

Ma osserviamo che nel numeratore del primo termine, quando il seno vale 1 il coseno vale zero, eviceversa, per cui il suo contributo è sempre nullo. Possiamo scrivere

X 0�2 n��8sin2� n�

2 ��2 n�2

Osserviamo che con n pari abbiamo zero, mentre con n dispari abbiamo

X 0�2 n��8

��2 n�2

Possiamo riassumere il tutto con la seguente notazione

X 0�2 n��4�

��1�n�1�2 n�2

e ricordando la formula dei coefficienti si ha

cn�0

2�X 0�n0��

��1�2�1�2 n2

Esempio 2Prendiamo in considerazione l'onda quadra di periodo T�2� e quindi di frequenza angolare0�1 e consideriamone un singolo periodo tra �� e �

Vogliamo fare la trasformata di Fourier di x �t � . La strada da percorrere sarà quella di fare latrasformata di Fourier di x0�t � .Come ormai è noto, si ha infatti

� � x �t �� x0�t �� n��

�

��t�nT ��X o�� n��

�

��n0�0



Cerchiamo di dare un significato algebrico al segnale x0�t � . Osserviamo che è dato dalladifferenza di due porte.

x0�t ��p��t�2 � p��t��2 �e la sua trasformata è

X 0�t ��ej�

2

� � p��t ��e� j�

2

� � p��t ��

X 0�t ��ej�

2

e� j�

2�� p��t ��

X 0�t ��2 j sin��2 ��2sin��2 �

X 0�t ��4 j sin2��2 �

(e questa è la funzione modulante)

Ricordiamo la formula dei coefficienti

cn�0

2�X 0�n0�

ed essendo 0�1

cn�X 0�n�2�

si ha

cn�

�4 j sin2��2 n�2�n

Osserviamo adesso che per n�0 vale zero, perché anche se non è definita, è prolungabile percontinuità ed il limite tende a zero. Mentre per n�0 si ha

cn�

�4 j sin2��2 n�2�n

�

�2 j sin2��2 n��n

� j��1�n�1�n


t

x �t �

2

2

0 t

x0�t �

T

2

0


Esempio 3Si vuole considerare l'onda a dente di sega di ampiezza 2 e periodo 2, quindi con frequenza angolare� e consideriamo il periodo compreso tra 0 e 2. Dobbiamo necessariamente osservare che fino ad

ora avevamo considerato i singoli periodi tra �T2

e T2

, mentre adesso (per una maggiore

comodità nella descrizione del segnale) stiamo considerando un periodo tra 0 e T. Questo non è unproblema in quanto tutte le considerazioni fatte per un periodo simmetrico rispetto all'origine sonovalide anche per un periodo traslato rispetto ad essa.

Volendo fare la trasformata di Fourier di x �t � dobbiamo quindi risolvere la seguente

� � x �t �� x0�t �� n��

�

��t�nT ��X o�� n��

�

��n0�0

che in questo nostro esempio risulta essere

� � x �t ��X o�� n��

�

��n��

Dobbiamo quindi adesso descrivere e trasformare il segnale nel singolo periodo:x0�t ��t p2�t�1�

Anche in questo caso, come nell'esercizio 1, è utile poter leggere prima una traslazione e poi unaderivata.Procediamo

X 0�t �� t�1� p2�t�1� p2�t�1�� e� j t p2�t �e� j p2�t ��e� j� dd � j

2sin �2sin

�X 0�t ��e� j� j

2cos�2sin2

2sin ��e� j� 2 j cos

�

2sin2

2sin �

Ottenuta la trasformata, lasciamo al lettore il compito di completare l'esercizio, procedendoanalogamente agli esercizi precedenti.Si ottiene

c0�1

cn�j�n

e j n� t


t

x �t �

10

1

t

x0�t �

0

1


Esempio 4Consideriamo adesso il segnale che ci fornisce il treno d'impulsi di periodo 1.

x �t ��s1�t �� n��

�

��t�n�

Si tratta di una distribuzione periodica e nel periodo tra �T2

e T2

abbiamo una sola delta di

Dirac

Abbiamo immediatamente cheX 0�t ��1

e la trasformata di Fourier di tutto il treno d'impulsi risulta essere, essendoT�1 o�2�

X �t ��2� X 0��s2��2� n��

�

��2�n�

Abbiamo ritrovato le considerazioni che avevamo già fatto: la trasformata di un treno d'impulsi è unaltro treno d'impulsi che ha per periodo la frequenza angolare del segnale di partenza ed il fattoremoltiplicativo è la frequenza angolare.

Ciò che vogliamo fare adesso è l'antitrasformata del treno di impulsi che abbiamo appena ottenuto.

�� X ��2�

n��

� 12�

e�2�njt� n��

�

e�2�njt

A questo punto qualcuno potrebbe osservare che essendo che abbiamo, attraversol'antitrasformazione, ottenuto il segnale di partenza, il nostro risultato potrebbe rappresentare laserie di Fourier di un treno d'impulsi, ma in realtà la sommatoria ottenuta è una serie che nonconverge nel senso delle energie, nel senso puntuale o uniformemente, ma è una serie che convergenel senso delle distribuzioni, il quale è inteso in modo molto più ampio.Dobbiamo comunque farvi delle riflessioni.Osserviamo che i coefficienti della serie sono tutti uguali ad 1, è questa è anche la ragione per cui laserie non converge, mentre per tutti i segnali che abbiamo visto negli esempi precedenti ilcomportamento dei coefficienti era il seguente

Esempio 1: comportamento del tipo cn%1n2



Esempi 2 e 3: comportamento del tipo cn%1n

Si può osservare che più è regolare il segnale e più i coefficienti decrescono rapidamente. Seconsideriamo un segnale che non sia soltanto continuo (come lo era l'onda triangolare dell'esempio1) ma che abbia anche derivata continua, ad esempio

x �t ��t2�2 �2"t"�1�2�t 2� �1"t"�1�t�2�2 1"t"20 altrove

possiamo osservare che i suoi coefficienti si comportano come cn�O� 1n3� (lasciamo al lettore

l'esercizio di fare i calcoli, dando solo il suggerimento di trasformare la derivata del segnale inquanto è più conveniente).

Riassumendo la decrescita per n che tende ad infinito dei coefficienti è legata alla regolarità delsegnale che noi trasformiamo:

se siamo in ambito distribuzionale, cioè se non abbiamo convergenza della serie di Fourier nelsenso delle energie, si hanno dei coefficienti che possono non decrescere

se si hanno delle discontinuità di prima specie, ci sono decrescite del tipo1n

se si hanno punti angolosi ci sono decrescite del tipo1n2

se si hanno funzioni continue e derivabili ci sono decrescite del tipo1n3 .


�

�

�1 �2

Appunti di Capuzzo Alessandro - Trasformata di Laplace

Trasformata di LaplaceInizieremo questo argomento parlando ampiamente della trasformata di Laplace bilatera che èquella che ha dei legami più stretti con la trasformata di Fourier. Successivamente parleremo dellatrasformata di Laplace unilatera che invece è quella maggiormente utilizzata nelle applicazioni.

Trasformata di Laplace bilateraSi vuole trasformare il segnale x �t � e si ottiene una funzione nella variabile s che è complessa.

Definizione 1: � � x �t ��F �s��F �� j��

x �t �est dt��

x �t �e� t e j� t dt

Ma se osserviamo la seconda forma possiamo notare che la trasformata di Laplace può essere vistacome la trasformata di Fourier del segnale moltiplicata per e� t

Definizione 2: � � x �t �� x �t �e� t �Possiamo concludere che si hanno due definizioni di trasformata di Laplace. La prima è valida perle funzioni, la seconda è valida anche per le distribuzioni.

Possiamo quindi dire che

�� un segnale x �� t �� visto come funzione ha trasformata di Laplace se l'integrale��

x �� t ��e�� t è j�� t dt converge;

�� un segnale x �� t �� visto come distribuzione ha trasformata di Laplace se x �� t ��e�� t hatrasformata di Fourier.

Osserviamo adesso che nella definizione 1 l'integrale converge o meno in base al valore di � ,mentre nella definizione 2 la trasformata di Fourier esiste o meno in base al valore di � (latrasformata di Laplace è dunque legata al suo dominio).

Se adesso ricordiamo che si è detto che una distribuzione ha trasformata di Fourier se e solo se èuna distribuzione a crescita lenta, si può concludere che x �� t ��e�� t ha trasformata di Laplace se èuna distribuzione a crescita lenta.

Vediamo adesso come si ottiene il dominio dellatrasformata di Laplace.

Se noi abbiamo un �1 ed un �2 per i quali latrasformata di Laplace sicuramente esiste, alloraesiste anche in tutti i �1 � �2 .

Ma cerchiamo di capire perché questo è vero.

Abbiamo detto che per le funzioni x �t �e�1 t ex �t �e�2 t la trasformata di Laplace esiste.

Questo vuol dire che sono entrambe funzioni odistribuzioni a crescita lenta.

Noi possiamo scrivere, sommando e sottraendoall'esponente

Trasformata di Laplace bilatera - Pag.175

In pratica si ha un insieme formato da strisce verticali.

t

x �t �

a


x �t �e� t�e��1�t e�1 t x �t �

Se andiamo a vedere cosa succede per t che tende a più infinito, il secondo termine è a crescita lentaper ipotesi, e viene moltiplicato per un esponenziale che decresce in quanto ��1 , quindi ilnostro segnale, per t che tende a più infinito, è a crescita lenta.

Ma possiamo anche scrivere

x �t �e� t�e��2�� t e�2 t x �t �

Se andiamo a vedere cosa succede per t che tende a meno infinito, il secondo termine è a crescitalenta per ipotesi, e viene moltiplicato per un esponenziale che decresce in quanto �2�� , quindi ilnostro segnale, per t che tende a meno infinito, è a crescita lenta.

Globalmente quindi, il segnale è a crescita lenta e la trasformata di Laplace è definita all'interno diquesta striscia verticale.

Fondamentale è dunque il valore della parte reale ( � ), mentre non incide il valore della parteimmaginaria ( � ).

Possiamo concludere che la trasformata di Laplace è definita se esiste almeno una retta verticale perla quale il segnale è a crescita lenta, o meglio, se esistono due valori, uno superiore ed uno inferiore,della parte reale di s ( � ), per i quali ciò avviene.

A questo punto un problema che ci dobbiamo porre è di capire quali sono questi punti chedefiniscono la massima striscia di esistenza della trasformata di Laplace e che noi definiamo comedominio della trasformata di Laplace:

dominio�

x �t ��s�� : � ' x�Re s�� ' ' x�

dove

� ' x�inf �1 estremo inferiore del domino (viene definito ascissa di convergenza)

� ' ' x�sup�2 estremo superiore del dominio

Supponiamo adesso che x �t ��0 per t�a

(viene definito segnale a supporto destro).

Vogliamo chiederci quando x �t �e� t è acrescita lenta. Osserviamo che la crescita lenta èdeterminata dal comportamento a più o menoinfinito della funzione. Ma per t�a la funzioneè sempre nulla, quindi il suo comportamento nondipende da � . Possiamo concludere che inquesto caso

� ' ' x�sup�2��

ovvero il dominio della trasformata di Laplace è un semipiano destro.

Potremmo chiederci adesso quanto vale �1 , questo dipende da come è fatta la x �t � . Potrebbeanche succedere che �1�� e quindi in realtà il semipiano sia tutto un piano.


�

�

�1

1

aa

x �t �

t


Nelle applicazioni molto spesso si ha a che farecon segnali che iniziano da un certo istante a equindi con trasformate di Laplace che hanno comedominio un semipiano destro.

A livello puramente accademico potremmochiederci cosa succede se x �t ��0 per t�a e leconclusioni che ne trarremmo sarebberoperfettamente simmetriche a quelle che abbiamoappena visto.

Vediamo qualche esercizio di esempio.

Esempio 1Vogliamo calcolare la trasformata di Laplace delseguente segnale x �t �� p2 a �t � .

Vogliamo risolvere questo primo esempioattraverso il calcolo dell'integrale.

Ricordiamo che

� � x �t ��

x �t �èst dt

per cui, inserendo il segnale della porta si ottiene

� � x �t ��

p2 a �t �est dt�a

�aest dt�� 1

sest�

t�a

t�a

�esaesa

s�

2sinh �sa �s

Confrontiamo adesso trasformata di Fourier e trasformata di Laplace bilatera della porta

X��t ��

2sin ��a ��

X��t ��

2sinh �sa �s

Come possiamo osservare le analogie sono molteplici. Ma il legame è ancora più stretto. Se noiprendiamo infatti, della variabile s solo l'asse immaginario, ovvero poniamo s� j� otteniamo

X��t ��

2sinh � j�a�j�

se adesso ricordiamo i legami che abbiamo trattato tra seno iperbolico e seno circolare, sappiamoche sinh � j�a�� j sin ��a� , possiamo quindi scrivere

X��t ��

2 j sin ��a�j�

�2sin ��a�

�

e vediamo che la trasformata di Fourier della porta altro non è che la trasformata di Laplace



calcolata sull'asse immaginario.

Dobbiamo stare attenti a non generalizzare. Questa è una particolarità che è legata a questa funzionee a tutte quelle funzioni che come vedremo devono possedere certe caratteristiche. Di questevogliamo dare un cenno dicendo che è importante il dominio della trasformata di Laplace. In questocaso il dominio, per le considerazioni fatte, è tutto il piano complesso. Questo è uno di quei casi cherientrano nella seguente definizione:

Il seguente legame

X�� j��X

��

sussiste tutte le volte che l'asse immaginario si trova all'interno del dominio della trasformata diLaplace bilatera.

(NOTA: all'interno e non sul confine, perché il dominio della trasformata di Laplace è sempre uninsieme aperto)

Esempio 2Vogliamo fare la trasformata di Laplace del gradino unitario. Osserviamo che quando abbiamoparlato della trasformata di Fourier questo segnale è stato molto faticoso da introdurre, ed è statopossibile solo dopo alcuni capitoli.

Vogliamo dunque fare la seguente trasformata di Laplace

� �u �t ��

u �t �est dt�0

��

est dt�� 1s

est�t�0

t��

Il prossimo passo è cercare di capire come si comportano gli esponenziali per t che tende a piùinfinito. Ricordiamoci che

est�e� t e j� t�e� t �cos �� t � j sin �� t ��

quindi a più infinito est tende ad un valore finito se e� t è un'esponenziale decrescente, quindi

est�

t�� 0, per ��0 (dominio della trasformata, zero è l'ascissa di convergenza dellatrasformata bilatera di Laplace)

che è la condizione necessaria perché l'integrale converga e la trasformata sia calcolabile comesegue

� �u �t �� 1s

est�t�0

t��

�1s

che è la trasformata di Laplace del gradino unitario.

Osserviamo adesso che in questo esempio l'asse immaginario non è compreso all'interno deldominio della trasformata di Laplace, ma si trova sul confine, non si può quindi utilizzarel'uguaglianza X

�� j��X

�� , che in questo caso non è corretta. Se ricordiamo quanto valeva

la trasformata di Fourier del gradino unitario, ovvero

� �u �t ��1j�

possiamo osservare che otterremmo solo una parte di essa, perché la trasformata di Fourier ha dei



termini impulsivi che non otterremmo attraverso questo passaggio semplice

Esempio 3Vediamo un esempio di trasformata di Laplace in ambito distribuzionale. Vogliamo trasformare ladelta di Dirac.

Utilizzeremo quindi la seconda definizione

� � x �t �� x �t �e� t � ovvero � ��t �� t �e� t �Ricordiamoci che quando la delta moltiplica una funzione continua seleziona di questa funzione ilsuo valore nell'origine, che in questo caso è 1, per cui si ha

� ��t �� t �e� t �� t ��1

Dobbiamo solo fare attenzione al fatto che in questo caso abbiamo la costante uno di una funzionecomplessa, che quindi è situata nel piano complesso e non sull'asse reale.

Vediamo adesso qual'è il dominio della trasformata. Se osserviamo che la delta è nulla all'infuoridello zero comprendiamo subito che è una distribuzione a crescita lenta per ogni � ed il suodominio è tutto il piano complesso.

In questo caso il passaggio alla trasformata di Fourier secondo l'uguaglianza X�� j��X

�� è

possibile ed addirittura banale, in quanto, essendo una costante, è sufficiente pensarla uguale ad unosull'asse immaginario.

Vogliamo concludere il capitolo con la seguente osservazione. Le trasformate che abbiamocalcolato nei tre esempi sono risultate essere tutte funzioni analitiche (beninteso nel loro dominio) equesto discorso è vero in generale ovvero

La trasformata di Laplace X �� s �� del segnale x �� t �� è una funzione analitica nel suo dominio.

Proprietà della trasformata di LaplaceLe proprietà della trasformata di Laplace bilatera sono molto legate alle proprietà della trasformatadi Fourier, sono circa una decina ed ognuna di esse ha la sua corrispettiva tra le proprietà dellatrasformata di Fourier. E' bene farne un confronto per farsi un'idea più generale.

Proprietà di linearità. � �a x �t ��b y �t ��a� � x �t ��b� � x �t ��

Proprietà di traslazione nel dominio dei tempi. Traslare nel dominio dei tempi significa

Proprietà della trasformata di Laplace - Pag.179


moltiplicare per un esponenziale complesso nel dominio della variabile complessa s.

x �tt0��

es t0 X �s�

Proprietà di traslazione nel dominio della variabile complessa s. Traslare nel dominio dellefrequenze significa moltiplicare per un esponenziale complesso nel dominio dei tempi

� �es0 t x �t ��X �ss0�

Proprietà di riscalamento. x �at �� 1�a�

X � sa � con a��

Proprietà di derivata nel dominio dei tempi. Derivare nel tempo corrisponde a moltiplicare perla variabile s nel dominio delle trasformate di Laplace.

� � x ' �t ��s X �s�

Proprietà della derivata della trasformata di Laplace. Derivare nel dominio delle trasformate diLaplace corrisponde a moltiplicare per la variabile -t nel dominio dei tempi.

� �t x �t ��dds

X �s�

Quando abbiamo fatto la trasformata di Fourier abbiamo visto che a questo punto c'era laproprietà di simmetria. La trasformata di Fourier porta infatti ad una funzione di variabile reale,che è nuovamente trasformabile. La trasformata di Laplace porta invece ad una funzione divariabile complessa, che non è più trasformabile. Questa proprietà quindi manca per latrasformata di Laplace.

Proprietà di coniugazione. Se x �t ��

X �s� allora x*�t ��

X *�s*�

Se il segnale di partenza è un segnale reale la sua trasformata è Hermitiana.

Dobbiamo partire da un segnale reale x �t ��x*�t � . La sua trasformata è la seguente

� � x �t ��X �s�

e per la proprietà di coniugazione si ha � � x*�t ��X *�s*� se ne ricava che X �s��X *�s*�

Una funzione di variabile complessa che goda di questa proprietà è detta Hermitiana.

Ciò equivale a dire che la trasformata di Laplace assume valori reali per valori reali dellavariabile s.

Proprietà del prodotto di convoluzione. � � x �t ��y �t ��X �s��Y �s�

EsempiProprietà di linearità.

Vogliamo trasformare il segnale

x �t ��3u �t ��5��t �

Si ha

� � x �t ��3� �u �t ��5� ��t ��3 1s�5


�

�

0


Ogni volta che si fa una trasformata di Laplacebisogna però fare sempre attenzione al dominio.La trasformata del gradino unitario è definita perparte reale di s maggiore di zero, la delta èdefinita invece su tutto il piano complesso; èchiaro che la loro somma è definita soltanto perparte reale di s maggiore di zero.

Proprietà di traslazione nel dominio dei tempi.

Vogliamo calcolare

� �u �t��

la proprietà ci dice che

� �u �t��es�� u �t ��

es�

s

Il dominio del segnale traslato è lo stesso del segnale non traslato perché la regione di convergenzanon è modificata da una traslazione nel tempo.

Proprietà di traslazione nel dominio della variabile complessa s.

Vogliamo calcolare

� �es0 t u �t ��la proprietà ci dice che

� �es0 t u �t �� 1ss0

ricordandoci sempre che s è una variabile complessa e come tale va trattata

Proprietà di riscalamento.

Vogliamo calcolare

� � p2�� t ��la proprietà ci dice che

� � p2�� t ��1��

2sinh� s��

� s��

Proprietà di derivata nel dominio dei tempi.

Si vuole fare la seguente trasformata



� �Dt p2�t �� NOTA: Dt�ddt

La proprietà ci dice che

� �Dt p2�t ��s2sinh s

s�2sinh s

Possiamo osservare la semplicità di questa proprietà, che è quella che ha in qualche modo provocatoil successo della trasformata di Laplace: il fatto che un operatore di derivazione si trasformi in unavariabile, così da trasformare un'equazione differenziale in un'equazione algebrica.

Proprietà della derivata della trasformata di Laplace.


� �t u �t ��

Utilizziamo prima la proprietà di linearità per far comparire un meno davanti alla t e poiapplichiamo la proprietà

� �t u �t �� t u �t ��dds� �u �t ��

dds

1s�

1s2

Osserviamo che il dominio della trasformata è ancora lo stesso dominio del gradino, solo che primain zero c'era un polo del primo ordine, adesso c'è un polo del secondo ordine.

Proprietà di coniugazione.

Vogliamo fare la seguente trasformata

� ��u �t �e jt �*�


� ��u �t �e jt �*�� 1

s* j �*

�� 1� j� j �

*

ricordando che fare il coniugato di un quoziente vuol dire coniugare il numeratore ed ildenominatore, per cui si ha

� ��u �t �e jt �*�� 1�� j�� j

�1

s� j

Se il segnale di partenza è un segnale reale la sua trasformata è Hermitiana.

Vogliamo fare la trasformata di un segnale reale

� �� p2�t ��2sinh s

s

La proprietà ci dice che possiamo sostituire s con una variabile reale



� �� p2�t ��2sinh��

e la trasformata è una funzione che dà valori reali.

Proprietà del prodotto di convoluzione.


� �u �t ��u �t ��


� �u �t ��u �t �� u �t �� u �t ��1s�

1s�

1s2

Osserviamo che quando abbiamo fatto la trasformata di t per il gradino abbiamo ottenuto lo stessorisultato.

In effetti se ricordiamo che

u �t ��u �t ��

u ��u �t��d �

osservando che se t�0 è tutto nullo e se t�0 si ha una porta tra zero e t. si ha

u �t ��u �t ��

u ��u �t��d ��u �t �0

td ��t u �t � quindi

u �t ��u �t ��t u �t �

Facciamo adesso la seguente osservazione. In generale si ha a che fare con segnali che sono nulliprima di un certo istante t, ovvero segnali che sono diversi da zero a destra di un certo valore.Avevamo osservato che il dominio di questi segnali è un semipiano destro. Bene, per calcolare ildominio della trasformata, stabilito questo, si può semplicemente dire che la trasformata di Laplaceha dominio in un semipiano destro, ed una volta calcolata, si va a vedere dove sono le suesingolarità. Il dominio della trasformata sarà dunque il massimo semipiano destro che non contienedelle singolarità.

Nell'ultimo esempio, la singolarità è nell'origine, quindi il dominio è il semipiano destro formatodalle parti reali di s strettamente maggiori di zero.

Concludiamo il capitolo con un ultimo esercizio che ci consenta di fare ancora qualche riflessione.Vogliamo fare la seguente trasformata

� �u �t �et �Abbiamo una traslazione

� �u �t �et �� 1s1

Cerchiamo il dominio della trasformata


�

�

1

t


Osserviamo che la funzione è nulla per t�0 ,quindi sarà un semipiano destro. La trasformata èuna funzione razionale che ha un polo del primoordine nel punto 1, quindi il suo dominio saràl'insieme dei numeri complessi che hanno partereale strettamente maggiore di 1.

Osserviamo che il dominio non comprende l'asseimmaginario.

In questi casi si è certi che la trasformata diFourier del segnale non c'è.

D'altronde se noi andiamo a vedere il grafico del segnale osserviamo che vale zero fino all'origine epoi ha una crescita esponenziale, cioè non è a crescita lenta.

La trasformata di Laplace consente di trasformare anche segnali che hanno cresciteesponenziali.

Esercizi su trasformate fondamentaliEsercizio 1


� �u �t �cos ��o t ��Abbiamo dunque da trasformare un segnale che ènullo fino allo zero e che poi ha un andamento

sinusoidale di periodo T�2��0

.

Questo segnale lo vogliamo trasformareutilizzando le proprietà che abbiamo visto nelcapitolo precedente.

Scriviamo innanzitutto il coseno sotto forma di esponenziali complessi

� �u �t �cos ��o t ��u �t � ej�o t�e j�o t

2 �applicando la proprietà di linearità si ha

� �u �t �cos ��o t ��u �t � ej�o t�e j�o t

2 ��12� �u �t �e j�o t ��1

2� �u �t �e j�o t �

ricordiamo adesso che la moltiplicazione per un esponenziale complesso dà luogo nella variabile s

ad una traslazione e ricordando che � �u �t ��1s

si ha

Esercizi su trasformate fondamentali - Pag.184

�

�

t


� �u �t �cos ��o t ��12� �u �t �e j�o t ��1

2� �u �t �e j�o t ��1

21

s j�0

�12

1s� j�0

La trasformata di Laplace è terminata ma proviamo a presentarla meglio, facendo il m.c.d.

� �u �t �cos ��o t ��12

1s j�0

�12

1s� j�0

�s

s2��02

Facciamo adesso qualche riflessione sul dominio.

Abbiamo un segnale nullo per t�0 , per cui ilsuo dominio sarà un semipiano destro e perindividuarlo andiamo a cercare le singolarità dellatrasformata nella variabile s. Osserviamo che essaha due poli semplici in � j�0 , allora il massimosemipiano destro possibile è il semipiano con partireali di s strettamente maggiori di zero

dom��Re s�0� . Osserviamo che dunque in

questo caso non è possibile passare alla trasformatadi Fourier in modo semplice. Invitiamo il lettore adandare a vedere quella che era la trasformata di Fourier di questo segnale per verificare che vi sonodelle delta di Dirac. Osserviamo inoltre che la trasformata di Fourier esiste perché la funzione è acrescita lenta. Il fatto che il dominio della trasformata di Laplace parta dall'asse immaginario infattinon implica necessariamente che la trasformata di Fourier esista (anche se è condizione necessariache tale asse faccia parte del dominio).

Esercizio 2Si vuole fare la seguente trasformata

� �u �t �sin ��o t ��Abbiamo dunque da trasformare un segnale che ènullo fino allo zero e che poi ha un andamento

sinusoidale di periodo T�2��0

.

Questo segnale lo vogliamo trasformareutilizzando le proprietà che abbiamo visto nelcapitolo precedente.

Scriviamo il seno in forma esponenziale

� �u �t �sin ��o t ��u �t � ej�o te j�o t

2 j �applichiamo la linearità

� �u �t �sin ��o t ��1

2 j� �u �t �e j�o t � 1

2 j� �u �t �e j�o t �

applichiamo la proprietà delle traslazioni nel dominio della variabile s e ricordando che



� �u �t ��1s

si ha

� �u �t �sin ��o t ��1

2 j1

s j�0

1

2 j1

s� j�0

��0

s2��02

Il dominio della trasformata è un semipiano destro che incontra la prima singolarità nell'origine. Siha infatti che essa ha due poli semplici in � j�0 , allora il massimo semipiano destro possibile è ilsemipiano con parti reali di s strettamente maggiori di zero dom

��Re s�0� .

Anche in questo caso non possiamo passare in modo semplice alla trasformata di Fourier e valgonole stesse considerazioni dell'esercizio precedente.



Esercizio 3Si vuole fare la seguente trasformata

� �u �t �e�o t cos ��o t ��Abbiamo dunque da trasformare un segnale che è nullo fino allo zero e che poi ha un andamentoesponenziale.

Questo segnale lo vogliamo trasformare utilizzando le proprietà che abbiamo visto nel capitoloprecedente.

Mettiamo al solito il coseno in forma esponenziale ed applichiamo la linearità

� �u �t �e�o t cos ��o t ��u �t �e�o t e j�o t�e j�o t

2 ��12� �u �t �e��o� j�o� t ��1

2� �u �t �e��o j�o�t �

utilizziamo adesso la proprietà di moltiplicazione per un esponenziale nel dominio dei tempi cheprovoca una traslazione nel dominio della variabile s, si ha

� �u �t �e�o t cos ��o t ��12

1s�0 j�0

�12

1s�0� j�0

evidenziando i denominatori nel seguente modo possiamo raccogliere a fattor comune come unadifferenza di quadrati

� �u �t �e�o t cos ��o t ��12

1� s�0� j�0

�12

1�s�0�� j�0

� �u �t �e�o t cos ��o t ��s�0� j�0��s�0�� j�0

2 �� s�0�2��0

2��

2�s�0�

2 ��s�0�2��0

2��

s�0

�s�0�2��0

2

ed abbiamo ottenuto la trasformata di Laplace del nostro segnale.

Abbiamo già visto quando abbiamo parlato della trasformata di Fourier che ogni esercizio puòessere fatto in più modi differenti.

Questo poteva essere fatto seguendo una via molto rapida. Se noi pensavamo alla trasformata

� �u �t �e�o t cos ��o t ��come alla trasformata di � �u �t �cos ��o t �� traslata nel dominio della variabile s si otteneva subito

� �u �t �e�o t cos ��o t ��s�0

�s�0�2��0

2

(ricordiamo che traslare nel dominio della variabile s significa aggiungere la traslazione ovunquecompare la s).

Vogliamo adesso fare alcune importanti considerazioni circa il dominio di questa trasformata diLaplace. Per far questo, dobbiamo riflettere sul grafico del segnale di partenza. Questo si puòpresentare in due diversi modi a seconda del segno di �0 .


t

�0�0

�0

�0� j�0

�0 j�0

t

�0�0

�0

�0� j�0

�0 j�0

t

��0

t

��0


Se �0�0 l'esponenziale è decrescente quando t tende a più infinito, se invece �0�0l'esponenziale è crescente.

Osserviamo che il segnale è nullo per t�0 per cui la trasformata di Laplace avrà come dominioun semipiano destro. Dobbiamo però cercare di capire come è fatto questo semipiano destro inquesti casi. Dobbiamo sempre chiederci dove sono le singolarità della trasformata

� �u �t �e�o t cos ��o t ��s�0

� s�0�2��0

è semplice osservare che il denominatore si annulla in �� j�0 , per cui il semipiano destropartirà dalla retta parallela all'asse immaginario passante per �0 . Nei due casi avremo

Dunque il segnale ha sempre trasformata di Laplace, ma a seconda del valore di �0 il suo dominioè formato da semipiani che comprendono l'asse immaginario o che non lo comprendono (ci sarebbeancora da discutere il caso di �0�0 ma è esattamente il caso discusso nel primo esercizio).

Osserviamo quindi che per �0�0 l'asse immaginario è compreso nel dominio, il segnale dipartenza è un segnale a crescita lenta e quindi ha sicuramente trasformata di Fourier. La quale siottiene semplicemente ponendo al posto di s, j� .

Quando invece �0�0 l'asse immaginario non sta né dentro né sul confine del dominio, quindisiamo certi che il segnale non ha trasformata di Fourier. In questo caso non è infatti un segnale acrescita lenta ma è un segnale a crescita esponenziale crescente.


t


Esercizio 4Vogliamo fare la trasformata di Laplace del segnale

� �u �t �e�o t sin ��o t ��Abbiamo dunque da trasformare un segnale che è nullo fino allo zero e che poi ha un andamentoesponenziale.

Questo segnale lo vogliamo trasformare utilizzando le proprietà che abbiamo visto nel capitoloprecedente.

Vogliamo però in questo caso richiamare quella che era la trasformata � �u �t �sin ��o t �� e pensareall'esponenziale come a quell'elemento che ci provoca una traslazione nel dominio della variabile s.Abbiamo immediatamente

� �u �t �e�o t sin ��o t ��0

� s�0�2��2

Anche per questo segnale facciamo delle riflessioni analoghe a quelle fatte per l'esercizio precedenteper quanto riguarda il dominio e la possibilità di trasformare secondo Fourier.

Esercizio 5Vogliamo fare adesso la trasformata di Laplace della gaussiana.

��et2 1

�� Osserviamo a titolo informativo che il fattore

moltiplicativo1

��viene inserito nella gaussiana

perché così l'integrale della curva tra meno infinitoe più infinito è uguale ad 1.

Il calcolo di quest trasformata consiste nel fare ilseguente integrale

��et2 1

�� 1

��et2

est dt�1

��

et2

est dt

Osserviamo adesso che et2

est può essere riscritto nel seguente modo

et2

est�e�t� s

2�

2

�s2

4

e possiamo quindi scrivere

��et2 1

�� 1

��

e�t� s

2�

2

�s2

4 dt�1

��

e�t� s

2�

2

es2

4 dt�e

s2

4

��

e�t� s

2�

2

dt

Poniamo adesso t�s2�u e facendo alcune riflessioni che in questo caso trascuriamo possiamo



scrivere

��et2 1��

es2

4

��

eu2

du� es2

4

��e

s2

4

Ed abbiamo ottenuto la trasformata di Laplace della gaussiana.

Facciamo adesso qualche considerazione sul dominio.

L'integrale converge per qualsiasi valore di s. perché è si vero che dentro l'integrale abbiamo unesponenziale che o a più infinito o a meno infinito cresce( est ), ma cresce molto meno di quantodecresce l'altro esponenziale presente nell'integrale che invece decresce sempre ( et 2

). Quindi ildominio di questa trasformata di Laplace è uguale a tutto il piano complesso. Ma se contiene tutto ilpiano complesso contiene anche l'asse immaginario, per cui possiamo ricavarci anche la trasformatadi Fourier con un semplice passaggio

� �et2 1�� e

� j��2

4 �e�2

4

Questo è un risultato abbastanza interessante perché possiamo osservare che abbiamo fatto latrasformata di Fourier di una gaussiana ed abbiamo ottenuto ancora una gaussiana.



Trasformata di Laplace unilateraQuando si scrive il simbolo di una trasformata di Laplace non si specifica se si tratta di unatrasformata di Laplace bilatera od unilatera, perché sono riconoscibili entrambe, ma noi,introducendole separatamente, adotteremo il simbolo �

� per la trasformata unilatera. La suaespressione è la seguente

�� x �t ��0

��

x �t �est dt�0

��

x �t �e� t e j� t dt

Possiamo osservare che la differenza tra i due tipi di trasformate sta esclusivamente negli estremid'integrazione.

Se la funzione x �t � è nulla per t�0 tra trasformata di Laplace unilatera e bilatera non c'ènessuna differenza.

Un modo per interpretare la trasformata unilatera attraverso la bilatera è il seguente

�� x �t ��

��

u �t � x �t �est dt

sarà infatti il gradino a restringere gli estremi d'integrazione.

Un po' più impegnativa è la definizione di trasformata di Laplace unilatera quando abbiamo a chefare con le distribuzioni, perché in tal caso non sempre è definito il prodotto u �t � x �t � .Cominciamo col dire che il problema di questo prodotto sussiste solo quando la distribuzione èdiversa da zero nello zero, ovvero in quei casi in cui moltiplichiamo per delta di Dirac o suederivate centrate nello zero. In tali casi si può comunque procedere nel seguente modo: si fa primala trasformata di quelle distribuzioni che sono diverse da zero soltanto nell'origine (delta e derivate),e di queste siamo sicuri che la trasformata unilatera coincide con la trasformata bilatera e poi simoltiplica ciò che rimane del segnale per il gradino e si trasforma (a questo punto senza terminiimpulsivi).

Ci vogliamo adesso chiedere quali proprietà caratterizzano questo tipo di trasformata. La proprietà èuna sola (le altre sono tutte uguali alla bilatera) ma è talmente importante che grazie ad essa nelleapplicazioni molto spesso si preferisce utilizzare questa trasformata.

Proprietà della derivata.

�� x ' �t ��sX u �s�x �0-�

Per x �0-� si intende il limite da sinistra del segnale nello zero.

Trasformata di Laplace unilatera - Pag.191


Antitrasformata di LaplaceQualche capitolo fa abbiamo definito la trasformata di Laplace nel seguente modo

� � x �t �� x �t �e� t ��X � ��

Il pedice nella X � �� indica la dipendenza del segnale dal parametro � . Avevamo ancheosservato che l'insieme dei � per i quali è definita questa funzione è un intervallo dell'asse reale.Se noi adesso consideriamo � come la parte reale e � come la parte immaginaria di un numerocomplesso s, possiamo scrivere

� � x �t �� x �t �e� t ��X � ��X �s� con s�� j�

ed ecco che s così definita, costituisce proprio il dominio (una striscia verticale) della nostratrasformata di Laplace.

Se ne può concludere che

e� t x �t �� X � ��

x �t ��e� t�� X � �� formula per le distribuzioni

purché � sia preso all'interno del dominio della trasformata di Laplace.

Si può inoltre dimostrare che il valore dell'antitrasformata non dipende dal valore di � (semprepurché stia all'interno del dominio).

Supponiamo adesso che sia possibile calcolare l'antitrasformata con l'integrale e vediamo comediventa l'espressione

x �t ��e� t 12��

��

X � ��ej� t d�

e portando l'esponenziale dentro l'integrale

x �t ��1

2��

X �s�e�� j�� t d�

osserviamo che stiamo integrando lungo una parallela dell'asse immaginario che passa per � .

Riscriviamo adesso l'integrale nel seguente modo

x �t ��1

2� j��

X �s�e�� j�� t j d�

ed osserviamo che j d��d �� j�� , quindi

x �t ��1

2� j� j�

�� j�X �s�es t ds dove ��dom

�

che è la formula di inversione della trasformata di Laplace di Riemann Fourier ed è validaovviamente se l'integrale è calcolabile.

Esempio di calcolo dell'antitrasformata di Laplace utilizzando la definizione.

Antitrasformata di Laplace - Pag.192

t�0�0

t�0 t�0


Vogliamo fare la seguente antitrasformata di Laplace

�� 1s � dove dom

��Re s�0

Prendiamo dunque un ��0 ed applichiamo la formula

�� 1s �� 1

2� j� j�

�� j� 1s

e s t ds

Abbiamo dunque un integrale che viene calcolato lungo un cammino parallelo all'asse immaginarioche può essere risolto attraverso il lemma di Jordan. Come è solito fare quando si utilizza il lemmadi Jordan è bene riflettere sul modulo dell'esponenziale

�e st��e� t

esponenziale che tende a zero in due casi

�est��e� t �t�0

��0

�est��e� t �t�0

��0

in ciascuno di questi due casi il lemma di Jordan cidice in quale dei due semipiani bisogna chiudere ilcammino d'integrazione per applicare il teoremadei residui.

Se t�0 il semipiano è quello per �� per cui chiuderemo il cammino d'integrazioneattraverso una semicirconferenza a destra del cammino d'integrazione. Osserviamo subito che in

questa regione la funzione1s

è analitica, quindi il risultato è zero.

Se t�0 il semipiano è quello per �� per cui chiuderemo il cammino d'integrazioneattraverso una semicirconferenza a sinistra del cammino d'integrazione. Osserviamo subito che inquesto caso la funzione ha un polo del primo ordine per cui, applicando il teorema dei residui si ha

�� 1s �� 1

2� j� j�

�� j� 1s

e s t ds�1

2� j2� j R1

sest�0��1

Il risultato è quindi un gradino unitario (risultato che già conoscevamo ma che abbiamo volutoraggiungere attraverso la formula di antitrasformazione).

Esercizi di antitrasformazioneNei seguenti esercizi si vogliono calcolare le antitrasfromate, non attraverso l'integrale, bensìriconoscendo delle trasformate note e giungendo all'antitrasformata attraverso le proprietà dellatrasformata.

Esercizio 1Vogliamo fare l'antitrasformata del seguente segnale

Esercizi di antitrasformazione - Pag.193


X 1�s��3 s2�6 s3

s2�s2

A prima vista non sembrerebbe di riconoscere nessuna trasformata nota.

Il metodo per poter riconoscere delle trasformate note è quello di decomporre la frazione in frattisemplici (invitiamo il lettore ad andarsi a rileggere i capitoli che ne parlano). La prima cosa da fareè quindi cercare gli zeri del denominatore. Si ottengono due poli semplici

s1�1

s2�2

e la decomposizione dà il seguente risultato

X 1�s��3 s2�6 s3

s2�s2�3� 2

s1�

1s�2

Osserviamo adesso che i termini dell'ultimo membro sono tutte trasformate note. Si ha infatti

�� 3 ��3��t �

perché si ha la trasformata della delta che è uno moltiplicata per 3;

�� 2

s1 ��2 et u �t �

perché si ha la trasformata del gradino traslata di +1 nella variabile s e moltiplicata per 2;

�� 1

s�2 ��e2 t u �t �

perché si ha la trasformata del gradino traslata di -2 nella variabile s.

In conclusione si ottiene la seguente antitrasformazione

�� 3 s2�6 s3

s2�s2 ��x1�t ��3��t ��2et u �t ��e2 t u �t �

Esercizio 2Vogliamo antitrasformare un segnale che presenta un polo doppio

X 2�s��2 s3�5 s2�2 s�3

s3�s2 �2 s3�5 s2�2 s�3

s2�s�1�

E' una funzione razionale che ha i seguenti poli

s�0 polo doppio

s�1 polo semplice

Si ottiene



X 2�s��2 s3�5 s2�2 s�3

s3�s2 �2� 3s2

1s�

4s�1

Che porta alle antitrasformate note

�� 2 s3�5 s2�2 s�3

s3�s2 ��x2�t ��2��t ��3 t u �t �u �t ��4 et u �t �

Esercizio 3Vogliamo antitrasformare un segnale che presenta poli complessi coniugati

X 3�s��s2�3 s�24

s2�9

I poli sono i complessi coniugati

s�� j3

e la decomposizione in questo caso, se ricordiamo, viene espressa in maniera un po' diversa

X 3�s��s2�3 s�24

s2�9�1�3 s

s2�32�5 3s2�32

risulta quindi

x3�t ��t ��3u �t �cos �3 t ��5 u �t �sin �3 t �

Esercizio 4Vogliamo antitrasformare la funzione

X 4�s��2 s2�11 s�74

s2�4 s�29

I poli sono

s�2� j5

si ha

X 4� s��2 s2�11 s�74

s2�4 s�29�2�2 3

2s�2

� s�2�2�522�1� 5�s�2�2�52

x4�t ��2��t ��3u �t �cos �5 t �e2 t�2 u �t �e2 t sin �5 t �



Esercizio 5Vogliamo adesso fare l'antitrasformata di un polinomio razionale moltiplicato per un esponenzialecomplesso. Osserviamo che la moltiplicazione per l'esponenziale provoca una traslazione nel tempo(si trasla la variabile t ovunque compare).

X 5�s��2 s2�1

s2�s2e5 s

I poli sono

s�1

s�2

Si ha

X 5�s��2 s2�1

s2�s2e5 s��2� 1

s1

3s�2�e5 s

a questo punto si risolvono le trasformate come al solito tenendo però conto della traslazione

x5�t ��2��t5��u �t5�et53u �t5�e2�t5�

Esercizio 6In questo esercizio vogliamo antitrasformare un segnale che presenta esponenziali complessi. Inquesti casi si fa molto uso di seni e coseni circolari e iperbolici, che altro non sono checombinazioni lineari appunto di esponenziali complessi.

X 6� s��1s

sinh s

Si potrebbe vedere subito che questa è una trasformata nota, ma supponiamo di non accorgerceneper procedere con metodo. Mettiamo il seno in forma esponenziale e applichiamo le proprietà dilinearità e traslazione

X 6�s��1s

sinh s�1s � eses

2 �x6�t ��

12�� 1s e s�1

2�� 1s es��1

2u �t�1�1

2u �t1��1

2p2�t �

Esercizio 7

X 7� s��1

s��cosh s�

1s�� es�es

2 �� X 6� s��

12�� 1

s��es��1

2�� 1

s��es�

x6�t ��12

u �t�1�e��t�1��12

u �t1�e��t1�



Osserviamo che l'esponenziale è provocato dalla traslazione nel dominio delle s mentre latraslazione nel dominio dei tempi è provocata dal fatto che si ha il prodotto con un esponenziale.

Trasformata di Laplace per segnaliperiodici per t>=0

Un altro modo per definire questo tipo di segnali è quello di pensare alla trasformata unilatera diLaplace di un segnale periodico.

Supponiamo di avere un segnale di questo tipo

x0�t ��x �t � 0 t T0 t�0 o t T

E supponiamo che il segnale x �t � sia ottenuto attraverso la somma di traslate di multipli positividi T. Ovvero il segnale di cui stiamo parlando è uguale a

x �t ��!k�0

��

x0�tkT �

Supponiamo ad esempio che il segnale sia l'onda triangolare riportata sotto.

E' facile osservare che un altro modo per descrivere la somma di queste traslate (è un discorsoanalogo a quello che si faceva quando si è parlato di segnali periodici tra più e meno infinito), è di

Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0 - Pag.197

x �t �

t

t

t

t

x0�t �

x0 �t2 a �

x0�t4 a �

a 2 a


pensare alla traslata come il prodotto di convoluzione del segnale non traslato per una delta traslata

x �t ��!k�0

��

x0�tkT ��x0�t ��!k�0

��

��tkT �

Questa è dunque l'espressione dei segnali che vogliamo trasformare. Ma se vogliamo fare latrasformata di Laplace di un prodotto di convoluzione, sappiamo che per le sue proprietà è uguale alprodotto ordinario delle trasformate, ovvero

� � x �t �� x0�t ��!k�0

��

��tkT ��Vogliamo dunque capire quanto vale

��!k�0

��

��tkT ��in quanto l'altra trasformata che compare è un caso ormai ampiamente trattato. Utilizzando lalinearità e la continuità della trasformata di Laplace possiamo scrivere

��!k�0

��

��tkT ��!k�0

��

� ��tkT ��

Essendo la trasformata della delta uguale ad uno, possiamo scrivere, tenendo conto che unatraslazione nel dominio dei tempi dà luogo ad una moltiplicazione per un esponenziale nel dominiodella variabile s, la seguente uguaglianza

��!k�0

��

��tkT ��!k�0

��

� ��tkT ��!k�0

��

ekTs

Osserviamo innanzitutto che il dominio della trasformata di Laplace è un semipiano positivostrettamente maggiore di zero e cerchiamo quindi di capire cosa rappresenta questa sommatoriaandando a vedere come varia il modulo dell'esponenziale �ekTs��ekT � j� kT��ekT � e quindiessendo �kT ��0 (il dominio è il semipiano destro strettamente positivo) si ha che

�ekTs��ekT � j� kT��ekT ��1

per cui possiamo considerare la sommatoria come una serie geometrica di ragione eTs�1 . Nerisulta, sapendo calcolare il valore di una serie geometrica, che

��!k�0

��

��tkT �� 11eTs

per cui la trasformata di Laplace di una distribuzione periodica per t 0 è la seguente

� � x �t �� x0�t ��1

1eTs

EsempioVediamo un esempio utilizzando proprio un'onda triangolare di periodo T�2 a ed ampiezza 1. La

Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0 - Pag.198


prima cosa da fare è la trasformata di Laplace del segnale x0�t � . Lasciamo al lettore il compito dicalcolare tale trasformata, noi ci limiteremo a darne il valore

X 0�s��4sinh� sa

2 �as2 eas

La trasformata del segnale periodico è dunque la seguente

� � x �t ��4sinh� sa

2 �as2 eas 1

1e2 as

Il dominio della trasformata di Laplace è il seguente

dom��s : Re s�0�

Infatti il fatto che il segnale di partenza è nullo per t�0 fa si che il dominio sia sicuramente unsemipiano destro. Se poi osserviamo il termine dato da X 0�s� possiamo vedere che in realtànell'origine abbiamo una singolarità apparente, in quanto sia numeratore che denominatore vi hannoun polo del 2° ordine. Quindi le singolarità della trasformata sono date dal secondo termine che hainfiniti poli del 1° ordine sull'asse immaginario.

Dal dominio possiamo osservare che di questo segnale si poteva fare la trasformata di Fourier (chein effetti a suo tempo abbiamo già calcolato), ma che non sarebbe stata calcolabile con l'integrale eche andava fatta nel senso delle distribuzioni in quanto compaiono delle delta di Dirac (l'asseimmaginario è al confine del dominio). Per tali ragioni si deduce che non è neanche possibilepassare dalla trasformata di Laplace a quella di Fourier con un semplice passaggio.

- Pag.199


Considerazioni praticheVorremmo adesso fare delle osservazioni che ci permettano di fare delle considerazioni su di unsegnale avendone la trasformata, senza dover necessariamente calcolarne l'antitrasformata, cioèsemplicemente sulla base di alcune sue caratteristiche.

Supponiamo di avere una trasformata che sia un prodotto di una funzione razionale per degliesponenziali, ovvero X �s��Y � s�est i con Y �s� razionale e che gli sk siano i poli di Y �s� .Osserviamo che l'esponenziale è una funzione analitica in tutto il piano complesso. E' semplice farele seguenti considerazioni.

Se la parte reale di tutti i poli è minore di zero allora il segnale, ovvero l'antitrasformata,tende esponenzialmente a zero per t che tende a più infinito.

Se invece ci sono anche delle singolarità sull'asse immaginario e se tali singolarità sono polidel 1° ordine, allora l'antitrasformata è limitata per t che tende a più infinito.

Se invece ci sono anche delle singolarità sull'asse immaginario e almeno una di queste è unpolo del 2° ordine, oppure esiste almeno una singolarità con parte reale strettamentemaggiore di zero, allora l'antitrasformata non è limitata per t che tende a più infinito.

Avere questo tipo di informazioni è estremamente importante nelle applicazioni.

- Pag.200


Teorema del valor finaleQualche informazione più precisa sul comportamento del segnale per t che tende a più infinito ce lada il teorema del valor finale.

Teorema del valor finale

Se X ��s �� è analitica per Re s 0 eccetto al più un polo del primo ordine sull'asse immaginarioallora

limt��

x �� t ��sX ��s ��s��0

Teorema del valore inizialeQualche informazione più precisa sul comportamento del segnale per t che tende a 0+ ce la dàinvece il teorema del valore iniziale.

Teorema del valore iniziale

Se il comportamento di x �� t �� è del tipo kt n per t��0+ ,

e se X ��s �� è una somma di funzioni razionali proprie moltiplicate per degli esponenziali nelseguente modo

X ��s ��!!!!i��1

n

X i �� s ��et i s con t i 0

allora

limt��0+

x �� t ��lims��

sX ��s �� con arg s��k��

2

limt��0+

x ��n�� t ��lims��

s��n��1�� X �� s �� con arg s��k��

2

- Pag.201


Uso della trasformata di Laplace neimodelli differenziali

Concludiamo il corso con qualche applicazione della trasformata di Laplace ai modelli differenziali.Prendiamo in considerazione dei modelli che possono essere descritti da equazioni differenzialiordinarie a coefficienti costanti. Per equazione differenziale ordinaria intendiamo la seguente

�and n

dtn�an1d n1

dtn1�...�a1ddt�a0� y �t �

cioè abbiamo un operatore differenziale del tipo descritto applicato ad un segnale incognito y �t � .A secondo membro possiamo inserire il segnale di ingresso del nostro modello od in termini piùmatematici il termine noto dell'equazione differenziale ma, nelle applicazioni, molto spesso noncompare il solo termine noto, bensì un operatore differenziale che agisce su di esso, nel seguentemodo

�and n

dtn�an1d n1

dt n1�...�a1ddt�a0� y �t ��bm

d m

dtm�bm1d m1

dtm1�...�b1ddt�b0�x �t �

Un modello differenziale di questo tipo ha tutte le buone proprietà dei modelli che abbiamodescritto nell'apposito capitolo (continuità, linearità, invarianza per traslazioni temporali, causalità)e vi si possono quindi applicare tutti i metodi legati anche al prodotto di convoluzione.

Facciamo adesso un esempio un po' più concreto di equazione differenziale. Supponiamo di averel'equazione

y ' ' �t ��3 y ' �t ��2 y �t ��3 x ' �t �

equazione che può anche essere riscritta nel seguente modo

�D2�3 D�2� y �t ��3 Dx �t �

Cerchiamo adesso di capire cosa succede quando a questo modello applichiamo la trasformata diLaplace. La prima cosa che dobbiamo verificare è che entrambi i membri siano trasformabili.

Se ci ricordiamo la proprietà di derivazione delle trasformate, questa dice che l'operatore diderivazione viene trasformato in una moltiplicazione per la variabile s, quindi facendo latrasformata di Laplace nell'equazione generale del modello otteniamo

�an sn�an1 sn1�...�a1 s�a0�Y �s��bm sm�bm1 sm1�...�b1 s�b0� X �s�equazione che in modo più sintetico può essere così riscritta

�� s�Y �s��

��s� X �s�

utilizzando questa forma si può anche riscrivere il modello di partenza

��D� y �t ��

��D� x �t �

Adesso dobbiamo stare attenti al fatto abbiamo applicato la proprietà senza aver tenuto conto dellecondizioni iniziali, mentre abbiamo visto che tale proprietà si differenzia fra trasformata di Laplacebilatera ed unilatera per il fatto che in quest'ultima tiene conto anche delle condizioni iniziali. Se noiin questo esempio ci mettiamo nelle condizioni di avere condizioni iniziali nulle, non abbiamo piùdifferenze e possiamo andare avanti senza problemi.

Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali - Pag.202

R

Cv �t � vC �t �


Siamo dunque nel caso di segnali che cominciano all'istante zero e vengono applicati ad un modellodalle condizioni iniziali nulle.

Detto questo, torniamo alla nostra equazione

��D� y �t ��

��D� x �t � �

�� s�Y �s��

��s� X �s�

Osserviamo che, mentre risolvere un'equazione differenziale è un'operazione piuttosto complessa,risolvere lo stesso modello trasformato è diventata una normale equazione nella variabile s, laseguente

Y � s��

��s�

��s�

X �s�

e poi, facendo l'antitrasformata

y �t �� Y �s��

otterremo la soluzione dell'equazione differenziale.

Tornando al nostro esempio concreto avremo

�D2�3 D�2� y �t ��3 Dx �t � �

�s2�3 s�2�Y � s��3 sX �s� �

Y � s��3 s

� s2�3 s�2�X �s�

A questo punto non ci resta che fare l'antitrasformata per avere la soluzione dell'equazionedifferenziale.

Applicazione ad un modello concretoPrendiamo in considerazione l'RC passa basso cioèun circuito formato da una resistenza ed uncondensatore, che abbia come ingresso ungeneratore di tensione e come uscita la tensione sulcondensatore.

Le leggi costitutive del circuito ci dicono che

�vR�t ��Rii�Cv ' C �t �v �t ��vC �t ��vR�t �

Quindi abbiamo

RCv 'C �t ��vC �t ��v �t �

E questa è l'equazione differenziale del modello concreto che abbiamo ottenuto a partire dalle sueleggi costitutive.

Se indichiamo con

T�RC

Applicazione ad un modello concreto - Pag.203


y �t ��vC �t �

x �t ��v �t �

l'equazione diviene

Ty ' �t �� y �t ��x �t �

o se vogliamo

�TD�1� y �t ��x �t �

Se adesso facciamo la trasformata di Laplace abbiamo

�Ts�1�Y �t ��X �t �

Non dimentichiamo mai che in questo caso abbiamo fatto la trasformata di Laplace bilatera e quindici dobbiamo porre in condizioni iniziali nulle, ovvero con il circuito in quiete.

A questo punto si ottiene facilmente

Y �t ��1

�Ts�1�X �t �

e basterà antitrasformare per ottenere il segnale cercato.

Proviamo adesso a prendere come segnale in ingresso una delta di Dirac, cioè un impulso. Allora, senoi indichiamo con h�t � la risposta all'impulso, l'equazione differenziale che descrive il modelloRC passa basso diventa

Th' �t ��h �t ��t �

Facciamo la trasformata di Laplace ed abbiamo

TsH � s��H �s��1 �

H �s��1

Ts�1�

1T

s�1T

Essendo H �s� la trasformata di Laplace di un segnale che noi consideriamo nullo fino a quandonon inizia la sua risposta alla delta di Dirac, il suo dominio sarà un semipiano destro che si

estenderà fino ad incontrare la prima singolarità che in questo caso è in 1T

.

Se adesso facciamo l'antitrasformata otteniamo

h�t ��1T

u �t �e

tT


t

h�t �

1T


Segnale che rappresenta molto semplicemente ilcondensatore che si scarica dopo essere statocaricato da un impulso che è stato dato all'istantezero.

Vediamo un altro esempio. Applichiamo leconsiderazioni fatte ad un circuito che abbia come ingresso una porta

x �t �� p2 a �ta �

Vogliamo cercare la risposta y �t � . Abbiamo l'equazione

Ty ' �t �� y �t �� p2a �ta�

La trasformata di Laplace di questa equazione è la seguente

�Ts�1�Y �s��2sinh � sa �

seas

pensando poi al seno iperbolico come combinazione di esponenziali complessi

�Ts�1�Y �s��2sinh � sa �

seas�

easeas

seas�

1e2 as

s�

Y � s��1e2 as

s �Ts�1�

che allo scopo di fare l'antitrasformata scriviamo nella forma

Y �s��1

s �Ts�1�

e2 as

s �Ts�1�

otteniamo, dopo la scomposizione in fratti semplici

Y � s��T

Ts�1�

1sT

Ts�1e2 as

1s

e2as

ed antitrasformando si ottiene

y �t ��u �t �e

tT�u �t ��u �t2 a�e

t2 a

T u �t2 a�

Osserviamo che la risposta è uguale alla somma dei primi due termini fino all'istante 2 a ,dopodiché si aggiungono gli altri due termini.


t

y �t �

2 a


E' di interesse osservare il grafico della risposta: ilcondensatore si carica fino all'istante 2a, che èl'istante in cui il segnale della porta cessa diesistere, dopodiché comincia a scaricarsi.

Separazione dei termini di transitorio e diregimeSpesso nei modelli viene inserito un segnale d'ingresso che è periodico per t�0 .

Abbiamo visto come si fa la trasformata di un segnale di questo tipo. Osserveremo adesso che larisposta ad un segnale di questo tipo si può facilmente decomporre in due addendi

Transitorio

Regime

Prendiamo nuovamente in considerazione il circuito RC passa basso e come segnale d'ingresso iltreno d'impulsi per t�0 .

x �t ��!n�0

�

��tn� (abbiamo delle delta centrate negli interi positivi)

Cerchiamo la risposta al segnale

�Ty '� y ��!n�0

�

��tn�

La trasformata di Laplace è

�Ts�1�Y �s��1

1es

e si ricava

Y � s��1

�Ts�1�1

1es

Fare l'antitrasformata di questo segnale non è una cosa immediata. Possiamo però adottare ilseguente metodo: decomponiamo il primo termine come se fosse un addendo e giungiamo allaseguente

Separazione dei termini di transitorio e di regime - Pag.206


Y �s��RY �s�� 1

T ��1� 1

T ��

Y Regime

1es

dove Y Regime è una funzione incognita che possiamo ottenere, avendo noti tutti gli altri termini.Essendo

RY �s�� 1T ��

1T

�1e1T �

cerchiamo la Y Regime che ha la seguente espressione

Y Regime� s��1

T �s� 1T �

1es

T �1e1T ��s� 1

T �adesso è possibile antitrasformare

yRegime�t ��1T

u �t �e

tT

1

T �1e1T �

u �t �e

tT�

1

T �1e1T �

u �t1�e�t1�

T

Con qualche conto si può osservare che yRegime�t �"0 solo per 0 t�1 (dove, ricordiamo, 1 è ilperiodo che avevamo dato al treno di impulsi). Tornando quindi alla trasformata

Y �s��RY �s�� 1

T ��1� 1

T ��

Y Regime

1es

osserviamo che il secondo addendo è un segnale periodico (il periodo è dato dal denominatore,essendo periodico l'esponenziale).

Il primo addendo è invece il transitorio, che come abbiamo visto, quando viene antitrasformatoporta ad un esponenziale che modifica, in maniera anche abbastanza consistente, la risposta alsegnale, quando si è vicini allo zero, ma che poi va via via scemando fino ad approssimarsi allo zeroin maniera definitiva.

Separazione dei termini di transitorio e di regime - Pag.207

Documents

Metodi matematici per l'ingegneria. - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/01ECPN/AppuntiMate4.pdf · arcotangente l'inversa della funzione tangente esclusivamente