Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo

V. Lorenzi

Dipartimento di Progettazione e Tecnologie

Università degli Studi di Bergamo

Facoltà di Ingegneria

Esempi di sistemi multibody

Cos’è un sistema multicorpo:

È un insieme di due o più corpi collegati tra loro in modo che sia conservata la possibilità di moto relativo

F

M

Schema della presentazione

•Struttura, vincoli e gradi di libertà nei sistemi multibody•Tipi di coordinate•Classi di problemi •Cenni sull’ integrazione tra FEM e multibody

Un sistema multicorpo può essere a catena aperta

… o a catena chiusa

Struttura di un sistema multicorpo

Giunti e gradi di libertàI corpi sono collegati tra loro tramite giunti…

I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate indipendenti che definiscono la posizione del sistema.Formula di Gruebler:

dof=6*n_corpi-nv

Giunti e gradi di libertà …si scambiano azioni tramite elementi elastici, viscosi…

Alcuni vincoli legano tra loro solo le velocità (o le variazioni dellecoordinate)

Vincoli anolonomi

La ruota ha 4 gdl: 2 gdl per il centro e due rotazioni.Le 2 eq. di vincolo legano le velocità, ma non riducono i gradi di libertà.

Tipi di coordinatePer definire la posizione si puo’ usare un set di coordinate indipendenti o un set esteso di coordinate dipendenti legate da equazioni di vincolo

Un programma “general purpose” utilizza il medesimo set: •coordinate relative•coordinate cartesiane•coordinate naturali

Un programma dedicato può utilizzare formulazioni miste

Coordinate relativeVediamo un esempio di uso di coordinate relative per unquadrilatero articolato

3 coordinate, 1 gdl, perciò 2 equazioni di vincolo

Coordinate cartesianeEd ora cartesiane..

9 coordinate, 1 gdl, perciò 8 equazioni di vincolo…

Coordinate relative in 3DMolto usata la notazione di Denavit e Hartenberg, conmatrici omogenee 4x4

Matrici omogenee

A [3x3] definisce l’orientamento del corpoR[3x1] la posizione dell’origine della ternaSi hanno a disposizione 9+3 equazioni tra loro dipendenti

1 11

( ,.., ) ( ,.., ) 0( ,.., )

0 1 0 1n n

n

A R IT

Coordinate cartesiane in 3D

Nel caso 3D si usano le coordinate di un punto e l’orientamento.Per definire l’orientamento vengono usati gli angoli di Eulero, di Cardano (3 parametri indipendenti) o set di 4 coordinate dipendenti (parametri di Rodriguez-Hamilton, quaternioni, asse di rotazione finita)

Le equazioni di vincolo sono in generale del tipo:

( , ) o ( , ,t)=t Φ q 0 Φ q q 0

Coordinate relative

Vantaggi :•ridotto numero di coordinate•adatte a catena aperte•facilità nell’imporre moti relativi nei giunti

Svantaggi:•la posizione di un elemento dipende da tutti quelli precedenti•equazioni di vincolo e matrice di massa “piene”•devono essere individuati anelli indipendenti

Coordinate cartesiane

Vantaggi:•la posizione di ciascun corpo è determinata direttamente•equazioni di vincolo e matrice di massa “sparse”•uniformità nel trattare catene aperte o chiuse

Svantaggi:•numero elevato (dipende dal problema)•“difficoltà” nell’imporre moti relativi ai giunti

Classi di problemiAnalisi cinematicaStudio del movimento di un sistema multicorpo a prescinderedalle forze agenti

Analisi dinamicaStudio del movimento di un sistema multicorpo in relazione alle forze agenti

Sintesi cinematica e dinamicaProgetto di un sistema multicorpo che soddisfa “criteri” cinematici o dinamici

Approccio numerico-simbolico

I programmi per l’analisi di sistemi multicorpo possono formulare le equazioni in forma:

•SimbolicaVantaggi: rapidità, possibilità di costruire applicazioni stand- alone. Difficoltà nel gestire “eventi”

•NumericaVantaggi: generalità

Cinematica-Assemblaggio

Con n coordinate q e m equazioni di vincolo si possono imporre n-m valori iniziali

Cinematica

Analisi di posizione e simulazione cinematica

Consente di esaminare il posizionamento del meccanismo, individuare collisioni, determinare gli angoli di pressione etc.

Cinematica

Accelerazione: nota l’accelerazione dei moventi determinare l’accelerazione del sistema

Velocità: nota la velocità dei moventi determinare la velocità

del sistema:

Sono problemi lineari nelle velocità e accelerazioni. Se il sistema ha n coord q, m eq. di vincolo devono essere assegnate n-m=f posizioni, velocità ed accelerazioni

Cinematica

Nel piano il quadrilatero ha 3x3-4x2=1gdl

In 3D il quadrilatero ha 3x6-4x5=-2gdl !

Si eliminano i vincoli sovrabbondanti o si risolve il problema nel senso dei minimi quadrati

Vincoli sovrabbondanti:

Dinamica

L=T-V=LagrangianaT=Energia cinetica del sistema, V=energia potenziale, Qex=carico generalizzato=moltiplicatori di Lagrange reazioni vincolari

Equazioni di moto: approccio Lagrangiano per un sistema vincolato con coordinate dipendenti

n+m equazioni in n+m incognite

Equazioni di moto

y

x q

2 2 2

0 01 1 1 1

( ) 0 02 2 2 2

0 0

0

0 1 0 ; 1

0

TG

G

m x

T mx my J x y m y

J

xV

V mgy mg y mg

q Mq

Qq

Equazioni di moto

1

2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 0 / 2cos 1 0 / 2cos 0( )

0 1 / 2sin 0 1 / 2sin 0

1 0 / 2sin 1 0 / 2sin

0 1 / 2cos 0 1 / 2cos

T

x y L x y L

x y L x y L

L L

L L

1 1 1q

2 2 2

q

M 0 q QΦ

0 M q Q

Φ q 0

Φ

1 2

x

y

Ad es. la prima equazione risulta semplicemente:

1 1 1 0m x

l1

l2

Equazioni di moto

In generale le equazioni di moto sono nella forma:

( ) ( , , ) ( , , )

( , , ) o

T

t

t t

t

q

q q

M q q Φ q q λ F q q

Φ q q 0 Φ q Φ q -Φ

Dinamica diretta:noti i carichi le equazioni forniscono i valori di accelerazione e i moltiplicatori di Lagrange.

1

cioè ( , )( , , )

Note le condizioni iniziali si integra (ad es. con Eulero...)

( , )n n n n

tt

t t

q = uy g y

u = G q u

y y g y

( ) ( , , ) ( , , )

( , , ) o

T

t

t t

t

q

q

M q q Φ q q λ F q q

Φ q q 0 Φ q Φq -Φ

Equazioni di moto

Dinamica inversanoto il movimento le equazioni

forniscono i valori delle reazioni vincolari e le “coppie”ai giunti.

I carichi possono poi essere utilizzati per il dimensionamento o la verifica dei membri

Equazioni di motoLa … posizione di equilibrio statico si trova risolvendo il sistemanonlineare in q e , ottenuto ponendo q’ e q”=0

( , ) ( , )

( , )

Tt t

t

qΦ q λ F q

Φ q 0

Le equazioni di moto possono essere poi linearizzate attorno alla posizione di equilibrio. Il sistema linearizzato fornisce le frequenze proprie, i modi di vibrare del sistema. Ne risulta anche un “blocco” lineare che può essere utilizzato nella sintesi di un controllore o nell’analisi di stabilità.

Sintesi

Mecc. generatore di funzione Mecc. generatore di traiettorie

Equazioni di vincolo

Relazioni funzionali

Elementi flessibili

Elementi flessibili vengono modellati a EF

Gli spostamenti u dei nodi, dovuti alla flessibilità, vengono definiti tramite un set ridotto di coordinate qf e di “modi”, ottenuti dai modi “statici” e da una analisi modale

u=Nqf

Elementi flessibili

R

u0+uf

r

( )

1

2T

p p pT m

0 f

f f

r R A u u

r R Au Au

r r

… e con approccio Lagrangiano si ottengono le equazioni di moto…

FEM MBS Stress

Elementi flessibili

Conclusioni

I modelli, per quanto raffinati, rimangono sempre tali: deve essere sempre verificata la corrispondenza tra modello e realtà.Fattori trascurati nel modello possono essere invece importanti.Bisogna mantenere il senso fisico del fenomeno.La parte sperimentale di verifica dei risultati non va trascurata.