MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL CON RELAJACIÓN

DEFINICIÓN

El método de relajación presenta una ligera modificación al método Gauss-Seidel porque permite mejorar la convergencia, ya que, después de que se calcula cada nuevo valor de x, éste se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados anterior y actual.

El es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2..

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

Si =1, (1 ) es igual a cero por lo tanto el resultado no se modifica y la ecuación se transforma en la ecuación para Gauss-Seidel. Cuando < 1 el método es conocido como sub-relajación el cual se emplea comúnmente para hacer que un sistema no convergente, converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.Cuando > 1 es conocido como sobre-rrelajación; se utiliza cuando la convergencia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta.

La elección de es especificada por el problema y se determina en forma empírica.

Es más usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva. Una buena selección de ayudará a mejorar significativamente la eficiencia del método.

Generalmente, este método no se utiliza para la solución de un solo sistema de ecuaciones.

Ejemplo Emplee el método de Gauss-Seidel con

relajación para resolver (=0.90 y a = 5%):

-5 X1 + 12 X3 = 80 4 X1 – 1 X2 – 1 X3 = - 2 6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja.

Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

45

2

80

86

114

125

3

2

1

x

x

x

Verificando el criterio de convergencia:

?¿

?¿

?¿

323133

232122

131211

aaa

aaa

aaa

n

ij

jjiii aa

1,,

Resolviendo esta ecuación para un sistema de 3 x 3 obtenemos:

Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma:

80

45

2

125

86

114

3

2

1

x

x

x

512

68

114

Ahora se puede asegurar la

convergencia con este arreglo.

Las siguientes formulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las interacciones.

11

31321211 a

xaxabx

22

32312122 a

xaxabx

33

23213133 a

xaxabx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

Para calcular el primer valor de X1, se asumirán X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1:

11

31321211 a

xaxabx

50000.04

0)1(0)1(2

1

1

x

x

Para calcular el valor de X2 , se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 es cero.

22

32312122 a

xaxabx

00000.68

)50000.0()6(45

2

2

x

x

Para calcular el valor de X3, se utilizará solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 es cero.

33

23213133 a

xaxabx

45833.612

)50000.0()5(80

3

3

x

x

Para la segunda iteración en el cálculo de X1 el valor de X2 y X3 serán los calculados en la primera iteración, seguidamente se le aplicará la ponderación con el factor . Entonces para X1:

11

31321211 a

xaxabx

61458.24

45833.6)1(0000.6)1(2

1

1

x

x

Aplicando la ponderación.

30313.2

)50000.0()9.01(61458.29.0

)1(

1

1

111

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx

Para la X2 se utiliza solamente el valor X1 de la segunda iteración dado que a23 es cero.

89766.32

22

32312122

x

a

xaxabx

10789.4

)0000.6()9.01(89766.39.0

)1(

2

2

222

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx

Aplicando la ponderación.

Para la X3 se utiliza solamente el valor X1 calculado en la segunda iteración dado que a23 es cero.

62630.73

33

23213133

x

a

xaxabx

50951.7

)45833.6()9.01(62630.79.0

)1(

3

3

333

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

x

x

xxx

Aplicando la ponderación.

Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados.

%100

nuevor

anteriorr

nuevor

a x

xx

%5%71.1211 ax

%5%00.143 ax

%5%06.462 ax

Dado que en las tres incógnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteración. Se continúa realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales de las tres incógnitas sean menores que el 5%.

Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene el siguiente cuadro de resultados

Iteración x1 x2x3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000 0,00000 0,00000      

1 -0,50000 6,00000 6,45833      

2 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00%

3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82%

4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%

Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemos que:

98941.79)65673.7(22)84289.3(5)37827.2(5

01271.45)65673.7(2)84289.3(21)37827.2(5

98655.1)65673.7(3)84289.3(2)37827.2(17

Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente:

%01.0%10080

98941.7980

%03.0%10045

01271.4545

%67.0%1002

)98655.1(2

3

2

1

EC

EC

EC

Error

Error

Error

De acuerdo con estos datos se puede observar que los resultados obtenidos son una aproximación muy buena de los valores verdaderos.