Interpolación PolinómicaEn análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto

de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos

por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por

todos los puntos.

Interpolación Polinómica de HermiteReseña Histórica del Autor:

Charles Hermite (24 de diciembre de 1822 - 14 de enero de 1901) fue

un matemático francés que investigó en el campo de la teoría de números, sobre las formas

cuadráticas, polinomios ortogonales y funciones elípticas, y en el álgebra. Varias entidades

matemáticas se llaman hermitianas en su honor. También es conocido por la interpolación

polinómica de Hermite.

Fue el primero que demostró que e es un número trascendente y no la raíz de

una ecuación algebraica o polinómica con coeficientes racionales. Ferdinand von

Lindemann siguió su método para probar la trascendencia de π (1882).

Fue titular de la cátedra de Álgebra superior en la Facultad de Ciencias de París, sucediendo

a Jean-Marie Duhamel de 1871 a 1898, y profesor de Análisis en la École polytechnique de

1869 a 1878.

Charles Hermite entró a formar parte de la Academia de Ciencias Francesa en 1856 en

sustitución de Jacques Binet, y pasó a presidirla en 1890.

Le fueron concedidos los honores de Gran Oficial de la Legión de Honor y la Gran Cruz de

la Estrella polar de Suecia.

Se casó con la hermana del matemático Joseph Bertrand, y fue suegro del matemático Émile

Picard y del ingeniero Georges Forestier.

La mayor parte de sus obras fueron recopiladas y publicadas después de su muerte por Émile

Picard.

Su correspondencia con Stieltjes se publicó en 1903.

Honores

Le deben su nombre:

Las entidades matemáticas hermitianas, como los polinomios de Hermite, los espacio

hermitianos, las matrices hermitianas y el teorema de Hermite-Lindemann.

El Centro Charles Hermite en Nancy, Centro de Cálculo de la región Lorena, creado en

1994.

Un cráter en la Luna.

Calles y otras vías en París, Metz, Nancy, Dieuze y Manom.

Colegios y liceos de París (Charles Hermite-Camille Jenatzy), Dieuze y Thionville.

Una puerta, con representación en bajorrelieve en La Sorbona.

Los anfiteatros del Instituto Henri Poincaré, de la Universidad Pierre y Marie Curie y

la Universidad de Metz (Universidad Paul Verlaine).

La Interpolación de Hermite:

Introducción:El cálculo de integrales indefinidas es una práctica constante no solo en asignaturas de

Matemáticas que debe cursar un alumno de Ingeniería sino que, además, aparece

frecuentemente en el estudio de otras materias, generales como la Física, o más específicas

como cualquier Tecnología.

Así, por ejemplo, es imposible manejar la Integración Múltiple o la resolución de Ecuaciones

diferenciales ordinarias sin un amplio bagaje en la determinación de primitivas. Asimismo, son

variados los problemas como determinación de Centros de Gravedad o Momentos de inercia,

Trabajo realizado por una fuerza, etc..., donde es imprescindible la utilización del cálculo

integral.

Cuando nos enfrentamos a una función racional cuyo denominador factorizado presente

términos cuadráticos no factorizables de multiplicidad mayor a 1 se recomienda realizar una

descomposición en fracciones parciales más simple que la acostumbrada. Es allí donde nace el

método de Hermite que nos permite expresar dicha función racional en términos de fracciones

simples y una derivada.

Método de Hermite

La Interpolación de Hermite, llamada así en honor a su inventor Charle Hermite, es similar a la

de Newton, pero con el añadido de que ahora también conocemos los valores que toma la

derivada de la función f en las abscisas conocidas x0 , x1 , x2 … .. , xm.

El polinomio interpolador de Hermite de grado 2m + 1 de la función f es un polinomio de la

forma:

P2m+1 ( x )=∑i=0

m

f i фi ( x )+∑i=0

m

f 'i Ѱ i(x )

Con:

фi ( x )=¿

Ѱ i ( x )=(x−x i)∫i

2

( x ) , i=0 ,…, n

La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas  sucesivas de la

función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada

vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una

determinada monotonía, concavidad, etc.

En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se

llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado cada vez

mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes .

Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la

interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que "conocemos" cero derivadas de f.

Tal y como ocurría con la Interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermite también

disponemos una fórmula del error de interpolación que, naturalmente, tiene en cuenta factores

relacionados con las derivadas de f. Más concretamente, se dispone de una fórmula del error en

el caso en que la función f sea 2m + 2 veces diferenciable en un intervalo I mediante la siguiente

expresión:

f ( x )−P2m+1 ( x )=f 2 m+2 (ᴓ ( x ))

(2m+2 ) !( x−x0 )2 ( x−x1 )2…(x−xm)

2

Para: x∈ I y donde ᴓ ( x )∈<x0 , x1, x2 … .., xm , x>¿

La diferencia esencial entre la Interpolación de Hermite y la Interpolación de Lagrange reside

en el cálculo a través de la construcción de los Polinomios de Lagrange. En este caso, su cálculo

es arduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadas diferencias divididas

generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomio interpolador.

Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las Diferencias

Divididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir   tantas veces más una como

derivadas de f conozcamos. Aquí sólo veremos el caso en el que conocemos la primera

derivada, siendo el resto una generalización de este. Como en la Interpolación de Lagrange, el

Polinomio Interpolador de Hermite de grado 2m + 1 se escribirá, una vez calculadas las

Diferencias Divididas, de este modo.

P2 m+1 ( x )=f|x0|+ f |x0 , x0|( x−x0 )+…+ f [ x0, x0 , …, xm , xm ]¿

(x−xm−1 ¿¿2(x−xm)

Nótese que, aparentemente, los coeficientes   no están bien definidos, pues

f [ x i , x i ]=f [ x i ]−f [ xi ]

x i−x i=0

Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:

f [ x i , x i ]=f [ x i ]−f [ xi ]

x i−x i=lim

x→ x i

f ( x )−f (xi)x−xi

Pero esto no es más que la definición de la derivada de   en el punto , de modo que

f [ x i , x i ]=f '(x i)

Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las

derivadas conocidas de la función a interpolar.

El método de Hermite es también para integrales en la forma de fracción:

∫ p(x )q(x )

dx

Donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele utilizarse cuando el grado de

multiplicidad de los factores es alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso

del método general nos obliga a realizar integrales extremadamente largas.

Al igual que en el método general, en el método de Hermite se comienza por descomponer en

factores irreducibles el polinomio q(x):

Entonces según la fórmula de Hermite se tiene:

∫ p(x )q(x )

dx=p1(x)q1(x)

+∫ Ax−α

dx+∫ Bx−β

dx+…

…+∫ Mx+N( x−a )2+b2 dx+∫ Rx+S

(x−c )2+d2 dx+¿…¿

Donde   es el polinomio formado por los mismos factores que q(x) pero elevados todos

a un grado menos, es decir:

q1 ( x )=(x−α)nα−1(x−α)n β−1….((x−a)¿¿2+b2)nab−1((x−c)¿¿2+d2)nab−1…¿¿

Mientras que   es un polinomio con coeficientes indeterminados y de grado inferior en 1 al

grado de . (Observe que en el método de Hermite, los factores dentro de las integrales

siempre vienen elevados a 1, lo cual facilita mucho la integración. Lo que se convierte en más

laborioso es el cálculo de todos los coeficientes indeterminados).

ConclusiónCuando nos enfrentamos a una función racional cuyo denominador factorizado presenta

términos cuadráticos no factorizables de multiplicidad mayor a 1 se recomienda realizar una

descomposición en fracciones parciales más simple que la acostumbrada. Es allí donde nace el

método de Hermite que nos permite expresar dicha función racional en términos de fracciones

simples y una derivada.

Bibliografíahttp://www.ehu.es/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_hermit.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica