Método de Los Desplazamientos (Rigideces) (Unidad IV)

Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 55

UNIDAD 4

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS.

(RIGIDECES)

Para el estudio de este método tendremos que realizar una consideración de la

convención de signos hasta ahora adoptada en este curso, siguiendo la notación que los

textos adoptan para ello. Esta modificación responderá al hecho de que en las estructuras

más generales los elementos que las componen (vigas en el caso de los pórticos y barras en

el caso de los reticulados) pueden ocupar cualquier posición y que, en consecuencia, para

formular el problema en el espacio es conveniente adoptar una convención diferente a la

que utilizamos hasta ahora. En esta nueva convención utilizaremos un sistema de

“coordenadas globales” para definir la estructura y un sistema de “coordenadas locales”

referido a cada barra.

En la medida que los métodos de los desplazamientos utilizan como incógnitas los

desplazamientos y plantean condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos es necesario

poder despejar los momentos y fuerzas en función de los desplazamientos.

CONSIDERACIONES PARA LA APLICACIÓN DEL MÉTODO.

La estructura debe ser Hiperestática o de Vínculos Superabundantes.

Se relaciona las tensiones con las deformaciones elásticas (Leyes de Hooke).



Una hipótesis muy común dentro del cálculo estructural es considerar a los

elementos de un pórtico plano como si fueran axialmente rígidos A = ∞. Esta

hipótesis da buenos resultados con edificios de pequeña altura, al trabajar con ésta

hipótesis se reduce notablemente el número de grados de libertad.

Se hallarán los desplazamientos en función de la dirección las redundantes, a través

de las cargas dadas, para la obtención de la matriz de desplazamientos [D].

Hallar el grado de indeterminación cinemática de la estructura, aplicando la

ecuación:

GIC = N° θ + N° Δ Donde: θ= es el número de rotaciones rígidas que se generan en la estructura interna. Δ= es el número de desplazamientos que se pueden generan en una estructura.

1.- Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado,

empotrado, torsión, plana o espacial, etc.)

2.- Se elige un Sistema Equivalente con las Redundantes como incógnitas a analizar.

3.- Calcular cargas y reacciones en los extremos de cada elemento, como parte del Sistema

de Condición Cero.

4.- Para cada redundante se determina el valor de las Rigideces por condición unitaria

según la deformación que ésta genere, previo cálculo de las matrices de transformación y su

traspuesta de cada barra.

5.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en

locales de las mismas.

6.- Ecuación matricial global. F = K . Δ

7.-. Determinada la matriz de Desplazamiento (D) pueden obtenerse por superposición las

Acciones o Esfuerzos correspondientes en cada elemento de la Estructura, a través:

𝑷𝒕 = 𝑷𝑬 + 𝑷° ∗ 𝑫 De donde:

𝑷𝒕 = Matriz de acción o cargas totales aplicadas al sistema general.

𝑷𝑬 = Matriz de acciones o cargas aplicadas sobre las redundantes en la condición cero

(Reacciones o Momentos por Empotramientos).

𝑷° = Matriz de acciones o cargas determinadas en la Condición Unitaria.

𝑫 = Matriz del Desplazamiento inducida por las cargas externas.



Veremos cómo funciona el método de deformación. Este método al igual que los

otros métodos manuales desprecian las deformaciones producidas en las barras por efecto

de la directa, en relación a las producidas por flexión. O dicho de otra manera aceptan la

hipótesis que las barras son indeformables longitudinalmente. Esta hipótesis en general no

produce diferencias importantes con otros métodos que no la realizan y permite disminuir

considerablemente el número de incógnitas que deben considerarse para definir el

desplazamiento de la estructura. De acuerdo a ello, en cualquier pórtico deben ser

consideradas como incógnitas los ángulos de giro de todos los nudos que no están

empotrados. En cambio los desplazamientos que deben considerarse dependen de las

características de la estructura. Utilizando la hipótesis que las barras son indeformables

longitudinalmente se puede determinar cuántos desplazamientos de nudos es necesario

incorporar como incógnitas. Cuando no es necesario determinar ningún desplazamiento se

dice que la estructura es de nudos fijos, o “estructura no desplazable”.

Cuando deben considerarse desplazamientos se dice que la estructura es de nudos

desplazables. Este es el caso de la figura da continuación en el que es necesario considerar

un desplazamiento ∆ como incógnita. En este ejemplo deberán considerarse tres incógnitas

θB , θC y ∆.

RIGIDEZ (AXIAL). (K11, K21): La rigidez axial de un elemento es el momento

necesario en un extremo para producir una deformación unitaria en ese extremo,

permaneciendo el otro fijo.

LEY DE HOOKE

𝐸.𝐴

𝐿 −

𝐸.𝐴𝐿

𝐸.𝐴

𝐿 −

𝐸.𝐴𝐿

1 1



RIGIDEZ ANGULAR. (K11, K21): Se denomina al momento necesario en el

extremo apoyado y/o empotrado para producir una rotación unitaria en este extremo,

permaneciendo el otro fijo.

Extremos Empotrados Empotrado-Articulado

K11 4𝐸𝐼

𝐿 θij

2𝐸𝐼

𝐿 θij

K31 3𝐸𝐼

𝐿

K21 K41

6𝐸𝐼

𝐿2 −6𝐸𝐼

𝐿2 3𝐸𝐼

𝐿2 −3𝐸𝐼

𝐿2

RIGIDEZ LINEAL. (K11, K21): La rigidez lineal de un elemento es el momento

necesario en el extremo empotrado para producir un desplazamiento unitario en ese

extremo, permaneciendo el otro fijo.

Extremos Empotrados Empotrado-Articulado

6𝐸𝐼

𝐿2 3𝐸𝐼

𝐿2

1 ψij 6𝐸𝐼

𝐿2

1 ψij

12𝐸𝐼

𝐿3 −12𝐸𝐼

𝐿3 3𝐸𝐼

𝐿3 - 3𝐸𝐼

𝐿3

Δ



RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES



MBC 2 T/m MCB

6m

MCB = - q.L2/12 = -2(6)

2/12

MBC = - 6

RB

V = RC

V = q.L/12 RB

V;RC

V = + 6

MBC = + 6

EJEMPLO 1.-

Determinar la matriz de rigidez de la

estructura, hasta hallar los momentos de

flexión generados por las condiciones dadas.

2 T/m

4 T C

B 6 T.m 3m

D

3m

A

6m D1 = K1 D2 = K2

B C

D3 = K3

D

A

B C

RB

V RC

V

MBC = + q.L2/12 = +2(6)

2/12

MBC = + 6

AE = ∞ EI = Ctte

Solución:

1.- Grado de Indeterminación Cinemática.

GIC = θ + Δ

GIC = 2 + 1 = 3 Redundantes

2.- Sistema Equivalente

Escogencia de las Redundantes.-

Se determina el sentido de los Desplazamientos y

Rotaciones y se plantea el número de

indeterminación (D) o rigideces (K).

3.- Condición Cero.

Empotramientos Perfectos (ME)

Se elige la condición de empotrados a fin de

determinar los momentos y esfuerzos producidos por

las cargas externas a lo largo del elemento de la

estructura según la condición de su vinculación.

Ver Tabla de Empotramientos



Para D1 ≠ 0

K11 K21

K31

Coeficientes de Rigidez (K)

K11 = 4𝐸𝐼

𝐿+

4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸𝐼

6+

4𝐸𝐼

6 K11 = +1.333

K21 = 2𝐸𝐼

𝐿 =

2𝐸𝐼

6 = K21 = +0.333

K31 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = +6𝐸𝐼

62 = K31 = +0.167

MBC = + 6

Momentos Por Rigideces (M° )

(Trabajos Producidos)

MAB = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

6 = MAB = +0.333

MBA = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

6 = MBA= +0.667

MBC = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

6 = MBC = +0.667

MCB = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

6 = MCB = +0.333

MCD = MDC = 0 MCD = MDC = 0

MBC = + 6

Para D2 ≠ 0

K12 K22

K32


K12 = 2𝐸𝐼

𝐿 =

2𝐸𝐼

6 = K12 = +0.333

K22 = 4𝐸𝐼

𝐿+

4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸𝐼

6+

4𝐸𝐼

3 K22 = +2.000

K32 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = +6𝐸𝐼

32 = K32 = +0.667

MBC = + 6


MAB = MAB = 0 MAB = 0

MBC = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

6 = MBC = +0.333

MCB = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

6 = MCB = +0.667

MCD = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

3 = MCD = +1.333

MDC = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

3 = MDC = +0.667

MBC = + 6

Rigidez Angular (θ)

MBC = + 6

B C

D

A

B C

D

A

2.- Sistema Complementario (Condición Unitaria)



Para D3 = 1

K13 Δ K23

K33


K13 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

62 = K13 = +0.167

K23 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

32 = K13 = +0.667

K33 = 12𝐸𝐼

𝐿3 +12𝐸𝐼

𝐿3 = 12𝐸𝐼

63 + 12𝐸𝐼

33 K33 = +0.500

MBC = + 6


MAB = MAB = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

62 MAB = + 0.167

MBC = MCB = 0 MBC = MCB = 0

MCD = MDC = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

32 MCD =MDC + 0.667

MBC = + 6

Rigidez Lineal (Δ )

MBC = + 6

Generación de la Matriz de Rigidez (K)

𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭

De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄 q = Cargas Reales Externas Aplicadas sobre las redundantes (D)

Q = Cargas/ Fuerzas correspondientes de la Condición Cero (ME, R)

𝐹 = +6 − +6

0 − −6

+4 − 0 ; 𝐹 =

+0+6+4

Aplicando la matriz de Rigidez 𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 :

+0+6+4

=

𝐾11 𝐾12 𝐾13

𝐾21 𝐾22 𝐾23

𝐾31 𝐾32 𝐾33

∗

𝐷1

𝐷2

𝐷3

B C

D

A



5.50 5.90

0.50

5.90

0.87 5.42

:

+0+6+4

= +1.333 +0.333 +0.167+0.333 +2.000 +0.667+0.167 +0.667 +0.500

∗

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷1

𝐷2

𝐷3

= − 1.107+0.708+7.425

Matriz de Acción de Esfuerzos Solicitados (M)

𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫

Determinación de los Momentos de Flexión:

Resolviendo Obtenemos:

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

𝑀𝐶𝐷

𝑀𝐷𝐶

=

+0.87+0.50+5.50−5.90+5.90+5.42

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

𝑀𝐶𝐷

𝑀𝐷𝐶

=

0 0+6−6 0 0

+

+0.333 0 +0.167+0.667 0 +0.167+0.667+0.333

00

+0.333+0.667+1.333+0.667

00

+0.667+0.667

∗ − 1.107+0.708+7.425

0.50 B C

5.90

5.50 5.90

5.42

D

A 0.87

Diagrama de Momentos

+

+

+ -

-

- -



EJEMPLO 2.-

E

3m

4 T

C

2m 3 T.m

2 T B D

4m

A

3m 3m

D4=K4

D2=K2

D1=K1

D3=K3

A = ∞ I = 2Io

A = ∞ I = Io

A = ∞ I = ∞

A = ∞ I = ∞

Solución:

1.- Grado de Indeterminación Cinemática.

GIC = θ + Δ


2.- Sistema Equivalente

Escogencia de las Redundantes.-

2.- Condición Cero.

No hay cargas aplicadas a los elementos para la

determinación de momentos de Empotramientos (ME)

Aplicando el Método de las Rigideces.

Determine la Matriz [K] y la Matriz de

Acción para hallar los Momentos de

Flexión que permita realizar su diagrama de

Momentos.



RIGIDECES ANGULARES

Para D1≠ 0 Para D2≠ 0

K41 K42

K11 K21 K22

K31 K32 K12

Para D1 ≠ 0


K11 = 4𝐸𝐼

𝐿+

4𝐸𝐼

𝐿 ;

4𝐸2𝐼

4+

4𝐸𝐼

13 = K11 = +3.109

K21 = 2𝐸𝐼

𝐿 =

2𝐸𝐼

13= K21 = +0.555

K31 = 6𝐸𝐼

𝐿2 - 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸2𝐼

42 − 6𝐸𝐼

132 K31 = +0.288

K41 = - 6𝐸𝐼

𝐿2 = − 6𝐸𝐼

132 K41 = - 0.462

MBC = + 6

Para D2 ≠ 0


K12 = 2𝐸𝐼

𝐿 ;

2𝐸𝐼

13 = K12 = +0.555

K22 = 4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸𝐼

13= K22 = +1.109

K32 = - 6𝐸𝐼

𝐿2 = − 6𝐸𝐼

132 K32 = - 0.462

K42 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

132 K42 = + 0.462

MBC = + 6

Momentos por Rigidez (M°)

MAB = 2𝐸𝐼

𝐿 ;

2𝐸2𝐼

4 = MAB = +1

MBA = 4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸2𝐼

4 = MBA = +2

MBC = 4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸𝐼

13 MBC = +1.109

MCB = 2𝐸𝐼

𝐿 =

2𝐸𝐼

13 MCB = +0.555

MCD = 0

MDC = 0

MDE = 0

MED = 0

MBC = + 6


MAB = 0

MBA = 0

MBC = 2𝐸𝐼

𝐿 =

2𝐸𝐼

13 MCB = +0.555

MCB = 4𝐸𝐼

𝐿 =

4𝐸𝐼

13 MBC = +1.109

MCD = 0

MDC = 0

MDE = 0

MED = 0

MBC = + 6



RIGIDECES LINEALES

Para D3 = 1 Para D4 = 1

K43 K44

K13 K23 K24

K33 K34 K14

Para D3 = 1


K13 = 6𝐸𝐼

𝐿2 − 6𝐸𝐼

𝐿2 ; 6𝐸2𝐼

42 − 6𝐸𝐼

132 = K13 = +0.288

K23 = −6𝐸𝐼

𝐿2 − 6𝐸𝐼

𝐿2 = −6𝐸𝐼

132 K23 = - 0.288

K33 = 12𝐸𝐼

𝐿3 + 12𝐸𝐼

𝐿3 = 12𝐸2𝐼

43 + 12𝐸𝐼

133 K33 = +0.631

K43 = - 12𝐸𝐼

𝐿3 = − 12𝐸𝐼

133 K43 = - 0.256

MBC = + 6

Para D4 ≠= 1


K14 = −6𝐸𝐼

𝐿2 + 6𝐸𝐼

𝐿2 ; − 6𝐸2𝐼

42 + 6𝐸𝐼

132 =

K14 = -0.288

K24 = 6𝐸𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

132 = K24 = +0.462

K34 = - 12𝐸𝐼

𝐿3 - 12𝐸𝐼

𝐿3 = − 12𝐸2𝐼

43 - 12𝐸𝐼

133 K34 = - 0.768

K44 = 12𝐸𝐼

𝐿3 = 12𝐸𝐼

133 K44 = + 0.256

MBC = + 6


MAB = 6𝐸𝐼

𝐿2 ; 6𝐸2𝐼

42 = MAB = +0.750

MBA = MAB MBA = +0.750

MBC = −6𝐸𝐼

𝐿2 = −

6𝐸𝐼

13 MBC = -0.462

MCB = MBC MCB = -0.462

MCD = 0

MDC = 0

MDE = 0

MED = 0

MBC = + 6


MAB = - 6𝐸𝐼

𝐿2 ; −6𝐸2𝐼

42 = MAB = -0.750

MBA = MAB MBA = -0.750

MBC = 6𝐸𝐼

𝐿2 =

6𝐸𝐼

13 MBC = +0.462

MCB = MBC MCB = +0.462

MCD = 0

MDC = 0

MDE = 0

MED = 0

MBC = + 6



: Matriz de Rigidez

𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭

De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄

; 𝐹 =

+3+0+2+4

+3+0+2+4

=

+3.109 +0.555 +0.288 −0.288+0.555 +1.109 −0.288 +0.462+0.288−0.462

−0.462+0.462

+0.631−0.256

−0.768+0.256

∗

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

=

+0.5941+0.1333+7.2034+3.456


𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫



𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

=

+3.40+4.02−1.00−1.25

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

=

0000

+

+1 0 +0.750 −0.750+2 0 +0.750 −0.750

+1.109+0.555

+0.555+1.109

−0.462−0.462

+0.462+0.462

∗

+0.5941+0.1333+7.2034+3.456

E

1.00 C

1.25

4.02 B D

A 3.40

Diagrama de Momentos

-

+

+ + -



Aplicando el Método de las Rigideces.

Determine la Matriz [K] y la Matriz de

Acción para hallar los Momentos de

Flexión que permita realizar su diagrama de

Momentos.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS ME

BARRA BC

MBC = + w.L2/12 = +(3).(5)

2/12 = +6.25T.m

MCB = - w.L2/12 = - (3).(5)

2/12 = -6.25T.m

RBV

= + w.L/2 = +(3).(5)/2 = +7.50T.m

RCV

= + w.L/2 = +(3).(5)/2 = +7.50T.m

BARRA EF

MFE = - w.L2/8 = -(2).(3)

2/8 = -2.25T.m

REV

= + 3/8w.L = +2.25T.m

RFV

= + 5/8w.L = +3.75T.m

MBC = + 6

EJEMPLO 3.-

2T/m

E F

3T/m Io

2Io 2m

2T

Io C

B

2Io 2Io

4m

E F

A D D3 D4

5m 3m B C

D1

D2

3- Condición Cero 2T/m

E F MFE

A D

3T/m REV RF

V

MBC

MCB

B C

RBV RC

V RE

V

RBV

MBC

RCV

B MC

C

RB RC

NODO B NODO C

Solución:

1- Forma Resistente Abierta

GIC = Nº θ + NºΔ


2- Escogencia de las Redundantes

+ ΣFV

= 0

-7.5 + RBY = 0

RBY = +7.50 T

+ ΣFV

= 0

-7.5 -2.25 + RCY = 0

RCY = +9.75 T



Rigidez Lineal (Δ )

MBC = + 6


K11 = 12𝐸2𝐼

43−

3𝐸2𝐼

43+

3𝐸2𝐼

23 = K11 = +1.03125

K21 = 0 K21 = 0

K31 = +6𝐸2𝐼

𝐿2 = +

12𝐸𝐼

42 K31 = +0.750

K41 = −3𝐸2𝐼

22 +3𝐸2𝐼

42 K41 = -1.125

MBC = + 6


MAB = MBA = 6𝐸2𝐼

𝐿2 = 12𝐸𝐼

42

MAB = MBA + 0.750

MBC = MCB = 0 MBC = MCB = 0

MCD = 3𝐸2𝐼

𝐿2 = 6𝐸𝐼

42 MCD = + 0.375

MCE = −3𝐸2𝐼

𝐿2 = −6𝐸𝐼

22 MCE = -1.50

MFE = 0

MBC = + 6

Coeficientes

de Rigidez (K)

K12 = 0 K12 = 0

K22 = 12𝐸𝐼

53 −3𝐸𝐼

33 K22 = 0.2071

K32 = +6𝐸𝐼

52 K32 = +0.240

K42 = +6𝐸𝐼

52 K42 = +0.240

MBC = + 6


MAB = MBA = 0

MAB = MBA = 0

MBC = MCB = +6𝐸𝐼

52 MBC = MCB = +0.240

MFE = −3𝐸𝐼

32 MFE = - 0.333

MCE = 0 MCE = 0

MBC = + 6

4- Condición Unitaria

Para D1 = 1

E F

1

K31

K41 B K11 B’ C C’ K21

A D

Para D2 = 1

E F

K32 E’ K42 B K12 C K22

C’

A D 1

D’



E F

K33 K43

K23

K13

A D


K13 = +6𝐸2𝐼

42 = 12𝐸𝐼

42 K13 = +0.750

K23 = + 6𝐸𝐼

52 K23 = +0.240

K33 = 4𝐸2𝐼

4+

4𝐸𝐼

5 K33 = +2.800

K43 = 2𝐸𝐼

5 K43 = +0.400

MBC = + 6


(Trabajos Producidos)

MAB = 2𝐸2𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

4 = MAB = +1.00

MBA = 4𝐸2𝐼

𝐿=

8𝐸𝐼

4 = MBA= +2.00

MBC = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

5 = MBC = +0.80

MCB = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

5 = MCB = +0.40

MCD = MCE = MFE = 0 MCD = MCE = MFE = 0

MBC = + 6

Para θC ≠ 0

K34 K44

K24

K14


K14 = −3𝐸2𝐼

22 +3𝐸2𝐼

42 K14 = -1.125

K24 = 6𝐸𝐼

52 K24 = +0.240

K34 = 2𝐸𝐼

5 K34 = +0.400

K44 = 4𝐸𝐼

5+

3𝐸2𝐼

2+

3𝐸2𝐼

4 K44 = +5.300

MBC = + 6

Momentos Por Rigideces (M°)

MAB = MAB = 0 MAB = 0

MBC = 2𝐸𝐼

𝐿=

2𝐸𝐼

5 = MBC = +0.400

MCB = 4𝐸𝐼

𝐿=

4𝐸𝐼

5 = MCB = +0.800

MCE = 3𝐸2𝐼

𝐿=

6𝐸𝐼

2 = MCE = +3.00

MDC = 3𝐸2𝐼

𝐿=

6𝐸𝐼

4 = MDC = +1.500

MFE = 0

MBC = + 6

Rigidez Angular (θ)

MBC = + 6

Para θB ≠ 0

B C

E F

B C

D

A



Generación de la Matriz de Rigidez (K)

𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭

De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄 q = Cargas Reales Externas Aplicadas sobre las redundantes (D)

Q = Cargas/ Fuerzas correspondientes de la Condición Cero (ME, R)

𝐹 =

2 − 0 0 − −9.75

0 − +6.25

0 − (−6.25) ; 𝑞 =

2000

Aplicando la matriz de Rigidez 𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 :

+2+9.75−6.25+6.25

=

𝐾11 𝐾12 𝐾13

𝐾21 𝐾22 𝐾23

𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14

𝐾24

𝐾34

𝐾41 𝐾42 𝐾43 𝐾44

∗

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

:


𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫


+2+9.75−6.25+6.25

=

+1.0313 0 +0.7500 +0.207 +0.240

+0.750 +0.240 +2.800 −1.125+0.240+0.400

−1.125 +0.240 +0.400 +5.300

∗

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

𝐷1

𝐷2

𝐷3

𝐷4

=

+11.5822+57.1330−10.4945+1.8424

𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

𝑀𝐶𝐸

𝑀𝐶𝐷

𝑀𝐹𝐸

=

0 0

+6.25−6.25

0 0

−2.25

+

+0.750 0 +1.000+0.750 0 +2.000

00

−1.500+0.375

0

+0.240+0.240

00

−0.333

+0.800+0.400

000

00

+0.400+0.800+3.000+1.500

0

∗

+11.5822+57.1330−10.4945+1.8424




𝑀𝐴𝐵

𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶

𝑀𝐶𝐵

𝑀𝐶𝐸

𝑀𝐶𝐷

𝑀𝐹𝐸

=

−1.80−12.30+12.30+4.74−11.84+7.10−21.28

E F

4.74

21.28

B C

12.30 11.84

12.30 7.10

1.80

A D

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (M)

+

+

+

- -

-

-

-



MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS

ELEMENTOS DOBLEMENTE EMPOTRADOS

q 𝑅𝐴𝑉 =

𝑞 .𝐿

2 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 𝑞 .𝐿2

12

𝑅𝐵𝑉 =

𝑞 .𝐿

2 𝑀𝐵𝐴

𝐸 = −𝑞 .𝐿2

12

A L B

P 𝑅𝐴𝑉 =

𝑃.𝑏2

𝐿2 (3𝐿 − 2𝑏) 𝑀𝐴𝐵𝐸 =

𝑃.𝑎𝑏2

𝐿2

a b

𝑅𝐵𝑉 =

𝑃.𝑎2

𝐿2 3𝐿 − 2𝑎 𝑀𝐵𝐴𝐸 = −

𝑃.𝑎2𝑏

𝐿2

A L B

P 𝑅𝐴𝑉 =

𝑃

2 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 𝑃.𝐿

8

L/2 L/2

𝑅𝐵𝑉 =

𝑃

2 𝑀𝐵𝐴

𝐸 = − 𝑃.𝐿

8

A L B

M 𝑅𝐴𝑉 =

3

2.𝑀

𝐿 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 𝑀

4

L/2 L/2

𝑅𝐵𝑉 = −

3

2.𝑀

𝐿 𝑀𝐵𝐴

𝐸 = 𝑀

4

A L B

q 𝑅𝐴𝑉 =

3

20 𝑞. 𝐿 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 1

30 𝑞 .𝐿2

𝑅𝐵𝑉 =

7

20 𝑞. 𝐿 𝑀𝐵𝐴

𝐸 = − 1

20 𝑞 .𝐿2

A L B

TIPO DE CARGA REACCIONES DE LOS APOYOS MOMENTOS DE LOS APOYOS



MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS

ELEMENTOS EMPOTRADOS-ARTICULADOS

q 𝑅𝐴𝑉 =

5


𝐸 = 𝑞 .𝐿2

8

𝑅𝐵𝑉 =

3

8 𝑞. 𝐿

A L B

P 𝑅𝐴𝑉 =

𝑃.𝑏

2𝐿3 3𝐿2 − 𝑏2 𝑀𝐴𝐵𝐸 =

𝑃.𝑎𝑏

2𝐿2 (𝑏 + 𝐿)

a b

𝑅𝐵𝑉 =

𝑃.𝑎2

2𝐿3 2𝐿 + 𝑏

A L B

P 𝑅𝐴𝑉 =

11

16𝑃 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 3

16𝑃𝐿

L/2 L/2

𝑅𝐵𝑉 =

5

16𝑃

A L B

M 𝑅𝐴𝑉 =

9

8.𝑀

𝐿 𝑀𝐴𝐵

𝐸 = 𝑀

8

L/2 L/2

𝑅𝐵𝑉 = −

9

8.𝑀

𝐿

A L B

q 𝑅𝐴𝑉 =

9


𝐸 = 7

120 𝑞 .𝐿2

𝑅𝐵𝑉 =

11

40 𝑞. 𝐿

A L B

TIPO DE CARGA REACCIONES DE LOS APOYOS MOMENTOS DE LOS APOYOS



Ejercicios Propuestos 3 t/m

A D E

4m 3m

8 t 8 t/m

2 t/m B C C 1m

2 t/m B

4m 3m

D

4m A

4m

5 T/m 3 T/m

B C

B C E 2,5m 5 t.m 2m

2 T/m A

D 2,5m 2 T 4m

A

3m 3m E D F

4m 4m

1.- Hallar la indeterminación Cinemática de la

estructura. Aplicando el Método de la Rigidez,

determine los momentos flectores y

posteriormente grafique el diagrama de

Momentos.

2.- Aplique el Método de las Rigideces para

determinar la Matriz [K] y determine los

Momentos de Flexión. Dibuje su diagrama de

Momentos.

A = ∞ I = 2 Io

A = ∞ I = 4Io

A = ∞ I = 4Io

A = ∞ I = Io

A = ∞ I = Io

A = ∞ I = ∞

A = ∞ I = Io/2

A = ∞ I = 2Io

A = ∞ I = Io/2

A = ∞ I = Io

A = ∞ I = 2Io

A = ∞ I = 3Io

A = ∞ I = Io

A = ∞ I = 2Io

3.- Aplique el Método de los Desplazamientos

para determinar la Matriz de Rigidez. Halle los

momentos de flexión y Dibuje su respectivo

diagrama.

4.- Para cada condición unitaria, determine la

Matriz de Rigidez [K] y calcule los momentos

de flexión a través del Método de los

Desplazamientos. Dibuje diagrama de

Momentos.

A = ∞ I = 2 Io

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Método de Los Desplazamientos (Rigideces) (Unidad IV)