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El método de Montecarlo y sus aplicaciones
Por vICENTE JIMEN^Z DIEZ DE ARTAZCOZEstadístico Faculta#iva.
E1 método de Mc.^ntecarlo que surgió con objeto de resolver un dificilproblema de ^`fsica nuclear en el Laboratorio de los Alamos, se ha exten-dido extraordinariamente en los últimos años, siendo numerosas susaplicaciones a la I nvestigación operativa.
Desgraciadarnente la bibliografía existente sobre el inétodo es escasa,pues durante mucho tiernpo fue considerado como un secreto mílitar.
Sóla se pretende en este artículo dar una visión general del método,sus antecedentes históricos, su fundamenta y sus aplicaciones a la resolu-ción de problemas determinfsticas relacionados con la Estadistica y conIa técnica del muestreo, así como a sencillas cuestiones de tipo comerciale industrial.
l. Anteceáentes histdricos.
En el año igq.g, en él Laboratorio de los Alamos se planteó un problemade dificil solución. Se trataba de determinar el recorrido de los neutronescn los diferentes medios. Una solución que recurriese a los procedimientosclásicos resultarf a laboriosa y complicada. Los técnicos conocían los datosfundamentales que se necesitaban para resolver el problema; sin embargo,la dificultad surgia al tratar de relacionar los datos en una sola fórlnula.tTlam y l\`eumann idearón una solución clue esencialmente consistfa en queuna rul^ta resolviera el problema propuesto. ^`^e fueron agrupando las pra^habilid^.des de los distintos sucesos, abteniéndose una solución que qu^-daba dentro de la aproximac2ón éxigida por los técnicos. ^ ^
Cuando al método empleado f ue necesario dárle un nombre se le den oLininó con c^Montecarlo». Sin embargo, la técnica matemática empleada eraya c©nocida con anterioridad.
En efecto, el descubrimiento de la téCI11Ca, de Montecarlo podemos ha-cerla retroceder a una época remota en que un matemático legendario ob-servase por primera vez el camino seguido por un borracho. Supongamosque la probabilidad dc dar pasos en cualquier dirección fuese la misma.El borracho puede dar los pasos en cualcluier dirección de una manera, noprevisible aunque casual. Se trata de determinar a caué distancia se tncon-
^:L MÉTODC) I)N: 14InN1'EC.^^I.O ^' St'^ .1YLI^`AC,IO:'^FS 1,^
trará del punto de partida después de haber dado ^sr pasos, a también cuálserá la distancia más probable al cabo de los ^t pasas. ^e le denominó elproblema del ^► aseo al acaso (al azar) .^iediante •una aplicación del r^t^-^estyeoadeatoyio se resolviá este problema, pera pronto se encontró que el métodopodía extenderse a otro tipo de cuestiones y ofrecfa grandes aplicaciones
.en la práctlca.
Estirnar tal distancia probable exigiría observar un gran número deborrachos en condiciones análogas, lo que resultaria diffcil o poco práctico.^in embargo, puesto que los pasos se dan al a^ar, podemos simular modelosde sus pasos mediante una tabla de números aleatorios y aproxim,arnos ala efectiva situación real. Con un gran número de pruebas simuladas pode-mos estimar la distancia probable después de fz pasas.
Prosiguiendo esta ruta histórica, más adelante ^expondremos los dosclásicos prob^enias de Buffon y de F^ ermi, que pueden considerarse comof undamento del método Monteca.rlo.
2. Constderaciones generales sobre los problemas que resuelve el m^todode Montecarlo.
' Sobre las posibilidades del método y el tipo general de problemas qucresuelve, nos remitimos a la autorizada opinión de diversos autores. ^
Para Donsker y k.ac, algunos problemas que conducen a co rnplicadasecuaciones diferenciales o integrales, se han resuelto recientemente, utili-zándo diversas técnicas probabilf sticas y métodos de muestreo. En su can-j uñtó estos métodos son conocidos con la denominación genérica de métoc^od'e Monteĉarlo. Los problemas a Ios que se ha aplicado la técnica de Monte-carlo, parecen dividirse en dos categorias. Tf pico de la primera es el pro-blerna de los neutrones que se difunden en la materia, y en el cual las par-tículas están sometidas no sólo a alguna influencia determinfstica, sinotambién a influencias casuales. En tal problema la técnica de Montecarloconsiste en permitir que una partf cula j uegue una partida de azar, siendolas reglas del j uego tales que las ef ectivas características casuales y deter-minística del proceso ff sico son exactamente imitadas, paso a paso, porel j uego. Considerando un número muy ^grande de partículas, es posi-bleresponder a preguntas referentes a la distribución de las partículas al finalde un cierto perf odo de tiempo; el núnlero de partf culas que han atrave-sado un obstáculo de un determinado espesor, etc. L7na caracterfstica im-portante de la técnica precedente es que la ecuación funcional que describeel proceso de difusión está superada por completo, habiéndose conseguidodel propio proceso el modelo probabilf stico empleado. L^ na aplicación rnássofisticada del método de Montecarlo es la referente al problema de la de-terrnin,acxón de un modelo probabilf stico o j uego, cuya solución está enrelación con la ^solución de una ecuación.
^STAD^STICA ESPAI^OLA
Para Householder, el método de Montecarlo puede describirse breve-rnente como la estratagema para. estudiar un modela estocástica artificialde un praceso ff sico o matemática. I.a novedad principal del método es-triba en la su;gerencia que cuando una ecuación que tiene por arigen uncantenido no probabilistico requiere una solución numérica, que no esf ácil obtener con los métodas numéricos ordinarios, puede existir un pro-cedimiento aleatorio con distribuciones o parámetros que satisfagan a Iaecuación, y puede ser efectivamente más eficiente idear tal procedimientoy calcular las constantes estadísticas que intentar la resolución por la ►smétodos clásicas. Los problernas que se plantean son: dada una ecuación,^ existe un procedimiento aleatorio que nos dé una distribución tal que ella,o una serie de sus parámetros, satisfaga a aqueila ecuación? Y en caso afir-mativo, ^cuál es el métoda más eficiente para obtener 1as constantes esta-dfsticas? Deberá, ser evidente que el método para construir por entero ladistribución no es probablemente más eficiente, salvo que 1a distribu^iónse obtenga solamente por integración de otras variables. E1 métado es fun-damentalmente un método de integración numérica.
Kendall y Buckland en su obra ^A Dictionary of Statistical Terms^► , aldefinir sintéticamente el método de Moritecarlo, se expresan asf: ^Un tér-mino que se emplea con algunas si,gnificados diferentes. z) Para denominarla solución apraximada de los problemas de distribución mediante expe-rimentos muestrales; este ernpleo no es recomendable. 2) Para denominarla solución de problemas matemá.ticos que se originan en una estructura.estocástica, mediante experimentos con muestras. Por ej emplo, la ecuaciónde Fokker-Planck. se presenta en un problema de Cálculo de Probabilidacies,y por consiguiente, el muestrea puede emplearse para obtener solucionesaproximadas aplicables al caso ffsico. 3) Por extensión del 2), la solución decualquier problema matemático mediante rnétodos muestrales; el procedi-miento consiste en construir un modelo estocástico artificial del procesomatemático y después muestrear en el modelo.»
La siguiente definición, que se debe a J. Curtis, amplía el campo de apli-cación del métoda extendiéndolo al muestreo artificial, que permite hallarla distribución experimental de un estimador. Se expresa asi: <<Reciente-mente se ha puesto de moda denominar con un nombre un tanto pinto-resco, método de hlontecarlo, a todo pracedimiento que implica el uso delmuestreo probabilistico, para obtener soluciones aproximadas de los pro-blemas matemáticos o ffsicos. El rnétodo de Montecarlo se ha ernpleado^an profusión en cuestiones relacionadas con ecuaciones funcionales o cua-draturas. La novedad que el método ofrece reside principalmente en supunto de vista. Con pocas excepciones la rnayorfa de los autores parten deun prablerna probabilfstico hasta Ilegar a un problema con ecuaciones fun-cionales, cuya solución se obtiene con los métodos clásicos, o al menos sedemuestra que existe y que proporciona la respuesta al problerria probabi-
^L M^TODO DE MONT'ECARLO Y S^ĴS APLtCACI(ĴÑÉ Ŝ t 5
lf stico. En el método de Montecarlo la situación se invierte. El problemaprobabilístico (del que puede siempre obtenerse una solución aproximadamediante pruebas repetidas) , se considera como el instrumento para en-contrar la solueión numérica de una ecuación funcional. ^ en alternativa,un problema f f sico que exige un modelo analf tico, el problerna probabil^s-tico equivalente es considerado corno un modelo suficiente y la deducciónde una solución anal^tica se considera superflua^.
Es interesante observar que el método de Montecarlo no es del todonuevo a los estadísticos, p►ues éstos vienen utilizándolo desde hace más decincuenta años.
En Estadística se presenta el problema de hallar la distribución de unestimador o estadístico en el muestreo.
Si de una población cuya función de densidad es f(x} se obtiene unamuestra aleatoria simple,
xl, x^: . . . . . xn
la función de densidad conjunta de la rnuestra es
f (xl) • f (x=) . . . . f(x,^)
Si por h(xl, x^ •••• x„) designamos un estadfstico, la función de distri-bución del estadístico exige el cálculo de una integral múltiple.
F(x) = Prob [h (xl, x, • • • xa) c x] _^
. . . •f 1^^^) ^ f \x^^ .
. . . f (^xn} l^xl dx3 . . . . dx^i
t.• R. R ^
•
donde el dominio de integración viene definido por la relación
h(xl, x, •••• xn) C x
Puesto que el cálculo de Ia integral múltiple es complicado, los estadís-ticos han recurrido con frecuencia a realizar un muestreo artificial en lapoblación dada, mediante una tabla de números aleatorios u otro procedi-miento de azar, con lo que el valor del estadístico se observa repetida-mente y su distribución puede establecerse empfricamente de forma apro-ximada.
Mediante este procedimiento, la distribución experimental del estadís-tico no es otra cosa que un método de Montecarlo de integración numérica.Así fue establecida en i9o8 la distribución del estadístico t de Student,aunque posteriormente se estableció su distribución matemáticamente.
* * *
ESTAD^STICA ESPAÑOI^,A
Resumiendo las diversas opiniones, la esencia del método ^lontecarlc^se fundamenta en el eálculo de Probabilidades, que históricamente surgic^de las juegos de azar, aunque la situación está realmente invertida, es d^.^-cir, a partir de un juega de azar: ruleta, baraja, Ptc., o sea utilizand^ unatabla de números aleatorias, deduce las soluciones. . .
En muchas cuestione^s el pensamiento de los investigadores puede sin-tetizarse en la siguiente farma: Ante un problema fisica o técnico, cuyasalucián se trata de encontrar y no siendo posible relacionar tadas las va-riabies en una sola ecuación, pues aun en el casa de que se pudiera hallarresultaria de poca utilidad en la práctica, se intenta idear un juego de azarq ue resuelva la cuestión sin recurrir a ecuaciones.
I:,n otras ocasianes el problema clue se trata de resolver es la soluciórl deuna ecuación complicada y utilizanclo los rn^tados ordinarios no se resol-veria dentro de un tiempo especificacio, será, pues, necesario intentar algú r^pracedimiento estadfstico que proporcione la solución del problema.
Como inconvenientes del método i^Iontecarlo, pademos citar que enocasiones es necesario realizar un gran número de cálculos, por lo quc.^puede resultar prohibitivo desde el punto de vista económico y por otraparte los resultados son sólo aproximados.
E1 m^todo se ha usado principalmente en problemas de flsica x^uclear,l^err^ actualmente se ha aplicado con é xito en el campo de la Investig^LC1óI1C)perativa, siendo corriente su empleo en probiernas de producción: tr^^Tls-porte, centrales telefónicas y control de existenciaŝ .
3. Problema de Buifon.
Fiistóricamente, el prime,^ f undamento del m^todo de l^Zontecarlo, quepermite resolver proble las deterministicos mediante experimento5 mue5--trales, lo constituye el clásico problema de 1_iuffon, que consiste c^n lc^siguiente:
«Se tienen sobre un plano una serie de paralelas, siendo 2 d la distanci^ientre cada dos de e'nas. Se lanza al azar sobre el plano una aguj a de longi -tud 2 1 ^ 2 d y se trata de hallar la probaY^ilidad de clue la aguja corte ^ialg^una paralela.»
Sea x la distancia del centro de la aguja a la paralela más próxima, yde^ignemos por ^w el ángulo que forma con ella.
Para evitar paradojas debe precisarse qué se entiende por lanz^,r unaaguja al azar (Z). Supondremos que x tiene una distribución uniforme en c^lint^ervalo ( o, d), es decir, que el centro de la aguja se toma al azar eiz l^il^punto del segmento perpendicular a las paralelas, Igualmente suponrlt•c-
( i) ^'ĉasc :^rxTC^ Río^: a:^^tétc^dc^^s ^^stadisticus ►^, ^.a c^ciici^n. l^laclricl, i r^G r.
EL MÉTODO DE M^NT'ECARL4 Y SUS APLICACIONES
2d
mos que w es independiente de x y tiene tarnbi^n una distribución uni-furrne en el intervalo (o, ^c).
"I'odas las posibles posiciones de la a^uja están determinadas pur lo:^valores x y w de l05 puntos ciel rect^ángulo de lado5 (d, rc). La fur^ción dc^clensidad conj unta será
I u Cx ^c^._____ parad^t ^ o c w=^ ^t
1,1 1^uja cc^rta a al^una paralela cuandc^ 4e cumple la condici^íi^
.^ ^ l sen c^^
lucgo la probabilidad pedida se encontrará calculanda l^^ si^;uientc^ it^te^ralcioble:
^ I I : ^ l seR ^^^^► d^ d x c^w = d_._ d w c^x ^.--
^. z< 1 sen ^^^ ^ 0 ^ 0
I ^ - j SCIi ^^ ►
- d c,^ x^ ^, n o
I '^ llsenwc^w--^-
d ^r o c^ rc
c os ^ -^- c«s c ^ ^ =
T)r la fórmula anteric^r, se deducc^
^ -..-T d^
Zl
d ^r
^ Cc^s c^^Il
^iendo l y d constantes, si de al^una fortna calculáraIiios ^, tendríamcr^;rlNterminada ^r.
.
I ^ f^STA DÍSTIC:^ ESY.^ÑC)I.:1
5i lanzáramos la aguja un gran númGr+^ de veces \i y contárainos elilúmero ^i de ellas en que la a^uja corta a alguna paralela, la frecuenci^^
^^trelativa - es una estimación de ^i, es decir:
N
^ ^ ^rt._•.d^N
Si hacemos que la distancia entre las paralelas fuese doble de la longituddc la aguj a, o sea
2d =41, - Z
con lo cual
es decir, dividiendo el número de lanzamientos por el número de veces quela aguj a corta a alguna paralela, obtendrf amos un valor aproximado delnúmero ^c, con lo cual un problema deterrninístico ha sido resuelto de formaexperirnental.
Por tanto, un problema analftico, la determinación del número ^, quela (_^eorr^etrfa clásica resuelve por el método de los perf inetros o el de losisoperf inetros, ha quedado reducido a determinar una probabilidad, y des-pués estimar ésta por una frecuencia relativa.
4. Problema de Fermi.
^ n este problema se trata de calcular la anchura de una puerta, utili-rando una regla sin divisiones, conociendo únicamente que s^^ longitudes 1 rnetros y mayor que la anchura de la puerta.
Podernos idear un modelo probabilfstico formado por una ruleta de I^netros de diámetro, colocando sobre la ruleta dos rectas paralelas, cuyadistancia entre ellas sea igual a la anchura de la puerta, de forma que elcentro de la ruleta coincida con el centro ,geométrico de la puerta. I)esigne-mos por a la anchura de ésta.
Un valor aproximado del ángulo r^ puede obtenerse de la siguienteforma: Se tira a la ruleta un gran número de veces que designaremos por ^zy sea ^i' el de veces que la ruleta queda dentro de las paralelas. La propor-r•i ^^ n
2 ^ n'
r3f^c^^ ► -_ _ ,t
^L MÉTODO DE 1btONT'ECAR^O Y SUS APLICACIOI^E4
l^errt^ite ciesPejar el ^.ngiilo
---- I $Oa ^'^^z
% (^
Conocido ^ y la longitud total de la rc^la I, l^^ ^inchi^ra de la puert^ se t.^^-tendr^ mediante la fármula
a lcos g° `^ - 1 sen `^
2 2 2 2 2
luego
a ---- l sen `^^
5.^--Aplicación al c^ilculo de una integra! definida.
A continuacibn aplicaremos el rnétodo cic Montecario al cálculu de uIlaintegral definida.
Así, por ejez^plo, si se quiere calcular
^O ^!STADfsTIC.4 ES^^ÑOLA
se establecerá un modelo estocástico de forma que la probabilidad dc^ quc^un punto tomado al azar en el rectáng►ulo R, quede dentro clel área ence-rrada por la curva, ser^:
Area encerrada p_or la curva AArea del rectángulo R`^ R
lue^o,
A -= R p
F l pr^blema queda reducido a esti mar dicha probabiliciad mediante un11111f':;tr^0 utilila.ndo una tabla dc números aleatoric^s. l;le^idc^ un puntc^
Y ^ f tX^
0I^ i^;. 3.
al azar con abscisa comprendida entre a y b, si la ordenada del mismofuese inferior a la de la curva, constituirá un éxito E, y si fuese superior, unfracaso h. Realizado un número suficiente de experiencias, la frecuencia
.relativa E b_ será una estirnación de la probabilidad ^ y el ^.rea sE^rá
^^^FaroximadamPnte
A -- ^` ^ E_.E -f- F
Como ejelYyplo, calcularemos el á.rea bajo la val^scisa comprendidos entre cero y uno, es decir,
1
0
I
^x^
- c^^ ^ c^:^^^
,I para valores de la
^:1. :^1ÉTODU DE MONTECARL,O 1' sUS AI'LICACIC)NES 2I
l:sta cuadratura no se puede calcular por los métodos generales dc in-tc^;ración, exigiendo el desarrollo en serie de potencia del integrando.
Aplicando el método descrito anteriormente y utilizando las tablasauxiliares de Estadfstica de Royo y Ferrer, se eligieron las dos primera5columnas de la tabla de números aleatorios (página 3) consideradas como
• abscisas con aproxirnación hasta las centésimas. Las dos columnas siguien-tes se toman como ordenadas de los puntos elegidos al azar, con análogaaproximación. E1 criterio para decidir si el punto queda dentro del árcaconsiste en cornparar la ordenada muestral con la ordenada de la v(o, ^)correspondiente a la misma abscisa, que proporcionan la tabla V, <<Urdena-das cle la distribución v(o,r) para distintos valores de la abscisa», pá^,rina 26,cle las tablas auxiliares anteriormente citadas. Si la orde^^ada muestral esinferior a la ordenada de la v (o,z} para la misma abscisa, el punto quedadentro del trapecio mixtilineo y constituye un éxi^o,• en caso contrario,tin f racaso,
"Transcribimos a continuación los dieL primeros result.ados:
Abcisa Urden.id:c Ur^ienada d^muestral muestral la (o,t )
4^ ^^ 3^53^ 3 oc^ 3c) ^t> I:
3t> -}h 373^^^^ ,5 .i-^ 3<^ ^ i
f^^ o'i 3! f^( ► l;
:^ 4 ti -^ 3 4 -^ ^^^^^ ^;7 =5 ^ t^-^7 , ;;,ti 35"=t c^ t c^ ;y ^ c^ 1;
c^^^ '^^ ^^i^ ^^0 7 yc^ .ic^tio^)o o^ _>bf^ [ I:
1'uc^stc^ clue ^^n cste caso el rect•ángulo ha cluedadu cutlvcrtidu eti u^ieuacíracío cle lado uniclad, el área ser^í aproxilnadamcntc
A -E -}- F
1^ealizada la experiencia para diferentes valor^.^s de ^c, se obtuuicrotilos siguientes valores: , ;
n = 40; }: = ^ 7; 1' =-- ^3; ;^ ^- ^,.I^Syt == 80; E= 33: 1' -^- 47; 1^ _::_. 0,45^i -- roo; E ^- 3^; ^' _= 6z; .^, =- 0,38^r _^._ it ^o; l~: --- 43; 1^ =- 77; .^^ ^_ o^ ^ 5^^rr -- i(>o; 1; ^_^ 5(^; 1^ __._ i c^4; •1 =-- o^3S^t .,^ ^oo; 1: ^-.^ ^5; l^ ^=- i 3^; :^ --^- o,3z5
22 ESTAI)ISTYCA ESPA1'dOLA
I.as t^cblas cíc^ ár^^as de la distribución v(o,T) daxi
. l I ^ z^_
^-_--_ e 2 d^ = 0,3 4 I 3^, ^, 2 r^
A la vista de los resultados anteriores se observa cómo se van estabi-lizando los resultados hacia el área verdadera y cómo para n-= IoO seobtiene la primera cifra decimal exacta, de acuerdo con Ia fórmula de error
idel métoclo ^^Iontecarlo, clue aproximadamente es ..
1` ^l.c^s rc^sultaclc.^s anteriores se rehresent^.n en el ^;ráfico de la 1^ i^;. 4.
Ql ^ ^ ^ ^ ^ _
eo ^oo ^^o ^ ao zooNí^rrioro d^ pruebos
Fi^. ^.
l^n E^ste ^ráfico 1^^ estabilización de los resultados nos indica que el nú-rnr^ro clc pruebas realizadas es suficiente.
h.--^--Aplicacián al muestreo por conglornerados.
^'olviendo a la ruta histórica esbozada al principio del artfculo, mediantela aplicación del método de Montecarlo, se trata de encontrar a qué dis-tanci^. de un cierto poste se encontraría un borracho después de haberc^laclc^ ^^ pasos al azar.
1.1. :^IFTODU DE :^iONTEC.^RLt) 1' sLS .1PI,IC:^CIC^tiES 2^i
Yara sirnplificar el problema suponganlos que los pasos sólo puecle^^ser dados en las direcciones de los cuatro puntos cardinal es y con la misnlap►robabilidad.
Un modelo estocástico que nos permita hallar las direcciones de lospasos del. borracho se . establecerá de la siguiente forma: LTtilizando doscolumnas de una. tabla de núr^^eros aleatorios, los comprendidos entre oy 24 determinarán la dirección ^"orte; entre 25 y 49, la Sur; 50-74, l.:ste,y 7^-gg, Oeste.
En la tabla si^;uiente presentamos los resultacius obtenidos, utilirandolati t^^.blas auxiliares de ^:;stadística de Koyo `T 1^ c^rrer, página 5.
Números DireceiLn del (;uc.rrd^nadas histanciaF'1so aleatarios desplaz^miento del pu^ito ^il post^
5e^ún la tabla anterior, la distancia del borracha al l^oste coincide c^c>>tla rafz cuadrada del núrnero de pasos, cuando ^stos fueron 1, 5, zo, z7 y 2c^,es decir, si el borracho dio 2o pasos, la dirección al poste es -^ 2^ .
Podría pensarse que el resultado ^.nterior ha sido deinasiado casual.Calculadas diez tablas coma la precedente, l^^.s distal^cias para ^^ _= 2o pasosfueron las si^;uientes:
^, ^ r ^ , L^' ^ c^ , ^, ' 5 ^ , -^ 4 , 1 ^' z o , ^,r^ ^ o , -y' z o , 1^^ ^ , ^^/ b y -^,^ 2 0 ,
cuya media aritmética es 4,2y268, que se estabiliza, l^aci^l ^, ^ac^ =--^ ^.,.^^Z I.
.^^. ESTADÍSTICA ESPA:rTOLA
f)ueda, pue:^, establecidca lnediaY^tc un ^iontecarlo que la distancia, er^l^rc,medio, será v'ñ .
'I'ambién n^ediante un ^ir^ntecarla puede establecerse que la distanciarr^ániina entre n puntos situados aleatoriamente en un plano es proporcio-nal a 1,/ñ .
^ ste importante resultada afrece una interesante aplicación al muestreopc^r conglomerados.
C'c^nsideremos el problema de determinar la unidad óptima de xnuestrco,c^ sea el tamaño óptimo del conl;lomerado, que propcarciona la inforniación^náxirl^^i para los fondos de que se disponga.
:^i clesignan^os por zz el número de conglomeradas que forman l^arte dc^la tnuestra y por 1^f el tarnaño poblacional de cada conglomerado, dos ti-l^c^s larincipales de cc^ste pueden considerarse:
z) Coste debido a la enumeración de las n.^I unidades secundarias,incluyendo ^astos de transporte dentra del conglomerado.
a) Coste del tienll^o empleado en viajar de un conglomeraclo a utru ycc^stF del transporte.
^i c, es el coste dc^l prinler ahartt^dc^ y c, el del se^undo, el coste tutalcle las trabajos de campo será:
C-^ cl n M-}- c, ^^í n
ti^a rlue, en virtud de lo anteriormente ex_puesto, la distancia lninitna entrcsa puntos aleatorios es proporcional a-^/n .
^i designamos por L' (z) la varianza de la mcdia niuestral y obtenemo5los rY^íniiii^s condicionados de la función .
^ = T^ (x) -i- 1^ (c, yt 11l -^- c^ ^tif n (: )
llar^ hallar los valorc.^s cic ^i y 1L^ cle forrna que la varianza sca t^lini^t^a para,un c,c^ste c^speeifieaclo, sc puc^de deY^lostrar que (^)
(; cl M___ _ __._ _.. __^_ . ^ constante.ii 2
C'oYno cl aumenta cun la duracián de la entrevista, y c^ disminuye si elcoste de transporte se reduce, el tamaño óptimo de unidad M será menorcuando:
a) cl aumenta, es decir, aumenta la duración de la entrevista.b) c: disminuye, o sea el coste de transporte se reduce.c) C^ aumenta, es decir, se dispone de un mayor presupuesto. ,
( r) aM tac;;trc^a clc^ ^^^il^l:acic ► n^^^ finit^^sa, ^,c,r .1 ^^5^:t.r^u (^:^^.^_^^.^ n^t1:^tc^. I^_^'r.^ ^>í^ j'tc: :^ 1^:5-f^A:^t^L^^, ntíinc^^u ^ ► , c^neru-ITl^ii^zu ic^tao.
I±;I. 1^iF:7'ODC) I)^ ti1UN1'^^G.4F^iL() 4' tit^ti :1F'I.ICAC'IC)?^ 1;;^ 25
7. ---Aplicación a un problema de tipo comercial.
Supongamos que la demanda de una mercancía es una variable ale^^to-ria con una distribución de probabilidad especificada. ^e desea saber lacantidad a que deberá comprar diariamente un comerciante para que laganancia sea máxima, sabiendo que gana g pesetas por kilogramo vendidoy pierde m por l^ilogramo que no tiene salida en el día de la compra portratarse de un ^Lrtículo pere.cederc^.
l^esolvere^nos c^l problcnla nYatcmátic^cnlcntc^ ^^ lilccliantc cl I11^tUClU cíe1^^Ulltecarl0. y
. . •.^c^l^ccto^t ^raatemc^tica.
^ea ^=-= x la cantidacl dcmandacia diarialYleYltC?. I'ara quc^ la g^^nanciasca la mayor posible, deberemos hacer máxima la esperan•r.a matemáticacle dicha ganancia, que designaremos por G(a) y tiene por expresión
^ a-i «__ ^
.^;' [G(a)] = ga ), ^x -f- g ^^ x^x na ,^ (a
a 0 0
- x ) ^i .^
Puesto que sc trata de determinar a para que [^] sea xlláxirna deberáncumplirse las dos condiciones
E [G (a -}- I ) ] E [G (a) ] `^: o [2]
^' [G (a I ) ] ------ .^ [(^ (a)] `^ o ^3^
Calculen^os primeramente .^' [G(a -^}- 1)] (i):
.F [ <^ (a -^- I ) ] =
Qq R ^l
1 1 1
_- g (a -^- I } ^ ^x -}- g ^ .^^i ^ ?tt ^ (cz .^ i -- x) p= __a -}-1 o u^
^ ^ a u a
^^._ ga ^, ^, z --}- g ►̂̂ ^z -}- g ^ x ^h x -- m ^, (a x) ^x ^^a ^ ^.^
rr -}- 1 a-}-1 0 () U
oc ^
== ga ú^ px -^- ga Prob. (^ = a) ga Prab. (^ = a) -}- g ^x --^-^a + ^ a -^{-1
(^) Véa.se ciONZALO ARNAI2: Apuntes cle l:st^dística de lti 1^^LCUltacl dc Cic^ncias :l^:conó-micas, clonclc se resuelve tin problem^^, scrnejal^te, pero ec ►n l^i clifereneia clc^ clue se pa^;an niul-t^^.s I^or derna,nda insatisfecha, c^,so clue no sc h^c cc^nsiclcra,clc^ cn cl prc^scntc ejcmplo, piiestocluc sólo cx isten pt^rdida.s 5i la canticlad ^^,lmaccnacía supcr^^ ^c la dcmandada.
I;:^`f:^13ÍSTIGA ESPAIrOLA
a-- t
-.^- g ^' x^ ^U
a ----^ 1 u
I'rc.^b. (^ =-= a) _._.. ^^c ^^ (a ,x) ^it m^ ^x
oa a
__ .^ ^(^(a)] -^- g ^ ^= m ^ ^i^ ^a^ + 1 0
0
==- ^' ^G(a)] -^- g [z Prob. (^ ^ a)] ^^a Prob. (^ ^ a)
f'ar^^, yue se cu^npla [2] deberá verificarse:
g,C lg -f- sri) Prob, (^ ^ a}
lue^c^ Prob. (^ ^ a^ gg -+- m
A continuación calcularnos E[^(a i)]:
E [G(a i)] =a, a-2 a---2-, ^ ^._--= g ia l) ^ 1^x ^- g,^ x^^ -- ^yz v
a-- i o
x) ^^ ---
a ^ a--2 a-2 a--^
a ^-^:,^ , -^
--= g^^= g v^x -+- g^ xp y sn ^Ĵ (a x) px -{-- ^ri ^
Q--1 ^-- i o 0 0
[4]
^ ^
ga ^^ ^s ga Prob. (^ _ = a i) -{- ga Prob. (^ ^ ^ a __-._ I) -_____ g ^, ^, ^ ...^
^-^ a-^u- 2
--^- g ^.^.J^ x^ x -^ g (a ^-- i ) ^'rob, ( y == a r ) g ca i ) Prob. ( ; .^-^ a -- --
0u-- ^ «^^^^
--- tyr ^^ ( a ---- x) fi x ---- is^t T'rob. ( ^ __- a --- i ) -^- m Pro b. ( ^ = a -- z ) -}- ^1c ^, f^ x
o ^ ^ o^ ^ ^r--- - t
:__-- g u ^^ ^:^ --}-- ga ^'rob. ( ^ ^.^_ Q __ ^ ) _ _ g `^^ ^x _^. g ^' a,,r ^ :r ._._. _.
a a-l 0a- 1
-- ,g (a -- i ) P ro b . ( ^ -.^__ u ___ z ) ra2 ,^.^, ( a -__ _ x ) p ^ -^- m 1'ro b . ( ^ ^ a z
u
---^= .^' [^(a}] -{- ga Prob. (^ _== a z) g [i Prob. (^ <: a
--- ^a Yrob. (^ ^. -_- a ^ } -{-- g Prob. (; ^-:, a -_ -- z } --}- ry^ Prob. , ^ -^ a
. .^_-_ ^^^ ca)] b-^- g Prob. (^ •^ u---^- ^) -^- ^^^r Prob. ^ a
^.L MÉTODO DE MOIVTTECARLO ^' sU5 A^'LICACIUNES
1'ara que se cumpla [3] deberá verificarse:
(g --}- tn) Prab. {^ c a 1) ^ g
1 u ego Prob. ( ; ^ a z) ^
Las desigualdades [4] y[5] determinan la cantidad a quc satisface lascondiciones del problema.
Supongamos que la demanda se distribuye según la distribución deFoisson con media a== io. Si i25 pesetas es el precio de compra y z5o elcle venta, será g- 25 y^z = I25.
t^tili^ando la tabla I de la distribución de Poisson y puesto que
g -- -- 25 -- o,ibbó,g -#- m 2^, -^{-^ 125
Prob. (^ ^ a) -- Prob. (^ ^ ^) i o,2^03 > o,i666
Prob. {^ c a i) ^ Prob. {^ < 6) = o,i3o2 ^ o,i666
'1'ABLA I
l'robabilidades de la distribucidn de ^'oissost de ^ar^írn.etro x-- to
tenemos
^^^Valor de x
(2}Prob. (; = x)
('^Prc^b• (: ^ X)
(41Núm. de Kg.demandados
( S )Intervaios para númcros
Aleatorios
0 0, o000 0, o000 --- -----^ o,ooos o, ooa!ç i i-5Z o,ooz3 o,ooz8 1 6-283 0,oo^(i o,ol04 3 2g-io4.} o,oi$g o,©293 4 Io5-7935 0•0378 0,06? ^ 5 z94-67 ^6 0,063 i o, z 30^ 6 b^2-i 3oz^ o,ogoi o,z2o3 7 z3o3-22038 0, I I 26 0,33?9 b 2204-33299 0, i 25 i o,45go <.^ 3330-4580
^o o,I2SI o,583i io 458^-583t^ r o, ^ 137 o,6g68 z i 5832-6g68^ z o, 0948 0, 79 i tí I 2 Ugóg-7g i 6c 3 o,o7zg o,8645 r 3 79; 7-$64S^ 4 0,05 z t o,g i 6b z 4 8646-g z 66t 5 0^0347 o.9513 ^ 5 916?'9513^ ^ o,oz I 7 0.973o I 6 9514-9730i 7 o,olz8 0,9858 ^ 7 g73z-985818 o,oo^i o,9929 rg 9g39-9929i 9 0, 003 7 0,9966 ^ g c^93o-gyóó20 0,0o I c^ 0,9985 2O c.^9^ 7-9^)85:z i u,ooog o,9994 ^2 ^ c^c^^i^ ► -c^gc^^2^z o, o00 4 0, 9998 .z - c^c^9 5-q99 82 3 0, o0o z t, o000
i^ 3 c^yc^c^- i ooc^c^
H :^"1'r^Uf sTICA ESI'AI^iOI,:^
I,^^ solucicín m^ltei»átic^:^ clel problerna indica clue, cn pron^cdi^^, ^^. ,^^.n^it1-ci^^ será máxima cuando el comerciante tenga a disposición del público 7 kg.de la mercancf a.
S^olución ^nediante el r^tétodo Monteca^lo.
La solución del problema mediante el niétodo Montecarlo requiere, pri-mero, realizar un muestreo artificial en la población que constituyen lasposibles cantidades demandadas diariamente. Con este fin, la columna (3)de la tabla I, que da las probabilidades acumuladas de la distribución dcPoissan, nos permite escribir los intervalos de la columna (5), de forma.que a un número aleatorio le corresponderá una demanda expresada porlos números de la columna (4). Asf, por ejemplo, el número aleatorio 22ioindica una demanda de 8 kilogramos.
Utilizando cuatro columnas de una tabla de números aleatorios, trans-cribimos Ios diez prirneros resultados, asf corna los beneficios para los dis-tintos programas de ^o, g, 8, ^, 6 y 5 kg a disposición del público.
Realizada la experiencia para 20o días se obtuvieron los beneficios to-t^.les de la última fila de la tabla II, que confirman los resultados obteni-dos en la solución matemática.
8. Aplicacián a un problerna de tlpo industrial (z)
Supon;gamos que un aparato se compone de dos piezas, partes o ele-^nentos, que eventualmente pueden .dejar de funcionar. Por experienciasanteriores se conoce la distribución de probabilidad de la duración de cadauno de los elementos expresada en horas. Se desea conocer la duración delconjunto constituido por ambos.
Supongamos que la duración de] primer elemento se distribuye v(ioo,20) y la del segundo v(80, i o) .
Mediante la aplicación del método de Montecarlo podemos elcgir al ararla duracíón del primero, asf como la del segundo y observar el tiempo d^;duración del canjunto, que será la del elernento que lo tenga menor.
LStilizando una tabla de desviaci.ones aleatorias de la distribución v(o, i),obtenernas las desviaciones aleatorias ^^ y^^, columnas (2) y(3) de la ta-bla III, tomadas de la obra aProntuari per calcoli Statistici», de Silvio Via-nelli, Prontuario CLXVI-Scarti normali casuali.
Si designamos por ^1 y^$ la duración aleatoria de cada uno de los ele-meñtos, rnediante 1a fórmula:
(1) llivcrsas a^ ►licaciones ^il C^tI71pU inc^ustrial pucd^^n v^rsc cn .I.vis ^R()CA5 "E1 iu^^tu^luMc,ntccarlo.^^---.^plicaciones".--Institutu Nacic^n^Ll tlc IZ^^,cic^naliz:.^ción dcl "i^rabajc^.
^L M^TODO DL 1'I^i^NTECARLO ^' SÚ`S APLICACI(^NE5
"1' .^. 13 L :^ I I
Núm.aleato-
rio
-
^nti-dad
dem^n-dada
" ^ 0 kg.
_
9 kg.
ii
f 8 kg.
.
^'
^ kg. b kg. S kg.
-------
5084 [ I Io .25-
^.
g.25 8.2g
___._..
?.25 6.25 5.2$4371 9 9.25-i.i25 g.25 ^ 8.z5 l.^^5 6.25 5.252534 ^ 8. 2 ĵ -2. I 2g 8.25- I. I 25 8.25 ?. z ĵ 6. 2 ĵ ^. z$
3 t i 6 8 8.25-a.i 25 8.25-I . i 25 8.25 ^.z5 6.a5 5.25^80(^ t 2 to.25 g.25 ^3.25 ?.25 Ci.25 S.zs2^)O ĵ í^ fŜ .2 ĵ -2. I 25 8.25- I. I l ĵ 8.2s ?.25 f1.25 5.2,^j
0543 S 5.25-5. i^5 5•25-4. I 2S 5.25-3.I :.̂ 5 5.25-2. i 25 5.25-I .1 ^5 5•254H^i2 ^ c^ x o.25 q. r 5 '
I^. 25 7. ^5 6. 2 5 5.25
5374 to ro.25 ' y.zS ^`^•=5 ^.z5 6.25 5.257293..........
i:z............
xo.z5........................
g.25.......................
H.aS...........,............
?.25........................
6.25......................
S.zS..........,.
.13ene#iciostotá les.... 770o 17550 22goo 25850 2580o 183So
que permite pasar de los valores de la v(o, i) a los de la v( x, Q) , y conside-rando los datos del problema, se tiene:
^^ ^ zoo -{- 20 ^l
r==8o-}-zo^^
obteniéndose de esta forma las columnas (4) y(5).La duración en horas del conj unto aparece en la colurnna (6} . En l a
tabla III, transcribimos los diez primeros resultados.
'1'^^BL^^^ III
Desviaciones normales aleatorias Duración en horasObservaciones Duración en horas{ N.^ de orden) del con^unto
(^)Muestra t.^
(a>Muestra 2.^
(3)Del a.er elemento
(4)Dzl 2.^ elemento
(S) (6 j
o, 28 I,3t ^06 93 93^ -- x,52 ------ O, I ĵ ^U 78 %U
3 I, ĵ z 0,95 130 7^ 7L
4 0,42 O, ^g 10^ ! Ŝ̂ 7 i^,
5 __._ i ^ o ^ 0,3 z 7 ^^ 83 ^^^c) ____. o, 35 O, 2 O 93 83 83
7 -^^ ^^37 - 0.39 93 7^ 7^^^ --- o, 3 t^ - 0.50 g^ 75 75c^ 0,09 x,gx Io2 99 99Io ---- o, 3 t3 2^37 g2 xo4 9z
. ........ ....
^^C) ÉSTADÍSTICA E5PAÑOLA
Realizadas un número suficiente de pruebas puede obtenerse el prome-clio de la duración en horas del conjunto, hallando la rnedia aritm^tica dela columna (b}, así como su desviación tf pica, que nos dará idea de la repre-sentatividad del prornedio. Por otra parte, también podria hallarse la dis-tribución experinnental de la distribución de la columna (6), que nos permi-tiría obtener conclusiones en términos de probabilidad.
I3II3LItJGRAFTA
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