1

SIMULASI MONTE CARLO

2

• Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengam Sampling Simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Sampling Simulation ini menggambarkan kemungkinan penggunaan data sampel dalam metode Monte Carlo dan juga sudah dapat diketahui atau diperkirakan distribusinya.

3

Metode Simulasi Monte Carlo ini cukup sederhana di dalam menguraikan ataupun menyelesaikan persoalan, termasuk dalam penggunaan program-programnya di komputer.

4

• Dalam kesederhanaan cara, simulasi ini memebrikan tiga batasan dasar yang perlu diperhatikan :

1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini.

2. Apabila sebagian persoalan tersebut dapat diuraikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah, yaitu sebagian dengan cara analitis dan yang lainnya dengan simulasi Monte Carlo untuk kemudian disusun kembali keseseluruhan sebagai penyelesaian akhir.

3. Apabila mungkin maka dapat digunakan simulasi perbandingan . Kadangkala simulasi ini dibutuhkan apabila dua sistem dengan perbedaan-perbedaan pada parameter, distribusi, cara-cara pelaksanaannya.

5

Contoh Distribusi Diskret Uniform

Sebuah perusahaan bakery membuat suatu kelompok jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi permintaan diskret uniform dengan kebutuhan harian maksimum=100 unit dan minimal =40 unit

a. Tentukan random variate dari distribusi diskret uniform tersebut untuk dapat disimulasikan dengan a=77, Zo=12357, m=127.

b. Apabila digunakan random number dengan data a=77, Zo=12357, m=127, perhitungkan sebanyak lima kali pengambilan random number.

6

Ilustrasi Penggunaan Simulasi

• Contoh sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut suatu pola distribusi sbb:

• Tabel 1. Distribusi Permintaan

No. Urut Permintaan/hari Frekunsi permintaan

1 4 pasang 5

2 5 pasang 10

3 6 Pasang 15

4 7 Pasang 30

5 8 Pasang 25

6 9 Pasang 15

Jumlah 100

7

• Dari data masa lalu sudah dapat dihitung dengan baik. Kemudian pengusaha toko hendak memperkirakan pola permintaan/demand untuk 20 hari dalam bulan berikutnya.

Penyelesaian:

a. Buat Imperical data distribusinya yaitu Fungsi distribusi densitas atau frekuensi distribusi dari historical data yang ada.(Tabel 1)

b. Distribusi permintaan ini diubah dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif (Cummulative Distributed Frequency-CDF) (Tabel 2)

8

• Tabel 2. Fungsi Kumulatif Distribusi Permintaan

c. Setiap permintaan (demand) terserbut diberi angka penunjuk batasn (tag number/label number) yang dapat dinyatakan pada tabel 3.

No. Urut Permintaan/hari Distribusi Densitas

Fungsi Kumulatif Distribusi

1

2

3

4

5

6

4 pasang

5 pasang

6 pasang

7 pasang

8 pasang

9 pasang

0.05

0.10

0.15

0.30

0.25

0.15

0.05

0.15

0.30

0.60

0.85

1.00

Jumlah 1.00

9

• Tabel 3. Angka Penunjuk Batasan

No. Urut Permintaan/hari Distribusi Densitas Tag Number

1

2

3

4

5

6

4 pasang

5 pasang

6 pasang

7 pasang

8 pasang

9 pasang

0.05

0.10

0.15

0.30

0.25

0.15

00-05

06-15

16-30

31-60

61-85

86-99

10

d. Lakukan penarikan random number dengan salah satu rumus yang diuraikan di atas sehingga didapatkan berapa banyak permintaan setiap harinya. Untuk 10 nilai random number:

1. 0.5751 6. 0.28882. 0.1270 7. 0.95183. 0.7039 8. 0.73484. 0.3853 9. 0.13475. 0.9166 10.0.9014

Dari random number ini hanya diambil dua angka di depannya, yang kemudian dicocokan pada angka Tabel 3. Hasilnya adalah kesimpulan pasangan sepatu yang dibutuhkan setiap harinya.

11

e. Dari hasil pengambilan random number tersebut kemudian dapat disusun suatu tabel daru urutan hari-hari permintaan dan jumlah pasangan sepatu yang dibutuhkan.

No. Hari permintaan Jumlah pasangan sepatu Penjelasan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7 pasang

5 pasang

8 pasang

7 pasang

9 pasang

6 pasang

9 pasang

8 pasang

5 pasang

9 pasang

Terdapat

1.7 pasang (2)

2.5 pasang (2)

3.8 pasang (2)

4.6 pasang (2)

5.9 pasang (2)

Yang tertinggi 9 pasang

12

Produksi Suku Cadang

• Dalam usaha pendekatan simulasi untuk ilustrasi suatu pabrik asembling suatu barang yang disebut Part C. Barang ini dibuat dari gabungan dua bagian yang lain yaitu Part A dan Part B yang dibeli dari suplier. Ini berarti panajng Part A dengan Part B yang terpakai.

• Tabel 5. Distribusi Probabilitas Panjang Part A dan Part B

Panjang Part A Panjang Part B

Panjang Probabilitas Panjang Probabilitas

10

11

12

13

0.25

0.25

0.25

0.25

17

18

19

20

21

22

0.07

0.14

0.23

0.38

0.12

0.06

13

• Dari data dan persoalan ini akan dicari dan ditentukan estimasi dari rerata (mean) dan variance atau standar deviasi dari panjang Part C yang merupakan penjumlahan Part A dan Part B. sebagai proses penyelesaian data tersebut akan diuraikan dengan 3 cara yang berbeda yaitu:

1. Dengan menggunakan pendekatan simulasi dengan teknik-teknik sampling.

2. Dengan menggunakan cara-cara ekspektasi dari Part A dan part B dari Tabel 5.

3. Dengan menggunakan fisik sebagai hasil dari Part a dan Part B

14

Menggunakan Cara Pendekatan Simulasi dengan Teknik-Teknik Sampling.

Tabel 6. CDF dan Tag Part A

Panjang (cm) Probabilitas CDF Tag number

10

11

12

13

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.50

0.75

1.00

0 ≤ Ri ≤ 0.25

0.25 ≤ Ri ≤ 0.50

0.50 ≤ Ri ≤ 0.75

0.75 ≤ Ri ≤ 1.00

15

• Tabel 7. Random sampling panjang Part A

No. Random number Hasil Panjang Random Sampling

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0589

0.6733

0.4799

0.9486

0.6139

0.5933

0.9341

0.1782

0.3473

0.5644

10 cm

12 cm

11 cm

13 cm

12 cm

12 cm

13 cm

10 cm

11 cm

12 cm

16

• Tabel 8. CDF dan Tag number Part B

Setelah tabel tag number selesai dibuat maka kemudian akan dilakukan penarikan random number dari komputer untuk meneliti 10 random number dengan hasil panjang Part B sbb:

Panjang (cm)

Probabilitas CDF Tag number

17

18

19

20

21

22

0.07

0.14

0.23

0.38

0.12

0.06

0.07

0.21

0.44

0.82

0.94

1.00

0 ≤ Ri ≤ 0.07

0.07 ≤ Ri ≤ 0.21

0.21 ≤ Ri ≤ 0.44

0.44≤ Ri ≤ 0.82

0.82≤ Ri ≤ 0.94

0.94≤ Ri ≤ 1.00

17

• Tabel 9. Tag number untuk Part B

No. Random number Hasil panjang Random Sampling (cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.8173

0.8941

0.1997

0.3945

0.7065

0.0113

0.8075

0.7918

0.0194

0.3298

20

21

18

19

20

17

20

20

17

19

18

• Tabel 10. Simulasi Panjang Part C

No. Sampel Panjang Part A Panjang Part B Panjang Part C=A+B

Kuadrat Part (C)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

12

11

13

12

12

13

10

11

12

20

21

18

19

20

17

20

20

17

19

30

33

29

32

32

29

33

30

28

31

900

1089

841

1024

1024

841

1089

900

784

961

Jumlah 307 9453

19

• Perhitungana. Rata-rata/mean

b. Variance C

c. Standar Deviasi Part C

Ini hasil akhir dari Part C melalui simulasi komputer

7.3010/3071

n

CC

n

ii

cmn

CnCiC

n

i 122.39

9.94249453

1

)(1

2

77.1122.39

9.94249453

1

)(()(. 1

2

n

CnCiCDS

n

i

20

Pendekatan dengan cara Ekspektasi

1. Untuk rerata/mean dari x:

2. Untuk Variance (x):

Dari rumus ini dapat dicari masing-masing Part A dan Part B

a. Untuk Part A diperoleh :

Rerata/Mean dari Part A E(A)=(10*0.25)+(11*0.25)+(12*0.25)+(13*0.25)=11.5

Variance(A) =(10-11.5)2*0.25+(11-11.5)2*0.25+(12-11.5)2*0.25 +(13-11.5) 2* 0.25=1.25

Standar Deviasi (A) =

b. Untuk Part B caranya sama dengan Part A dengan tabel 5

c. Untuk Part C= Part A + Part B

Rerata/Mean (C) =E(A) + E(B)

1

)(*)(i

XfXiXE

n

i

xfxxxVar1

2 )(*)()(

12.1)( AVar

21

Pendekatan Sampling Secara Langsung

• Pendekatan sampling secara langsung diambil dari sejumlah Part A dan sejumlah Part B melalui cara random maka didapat panjang Part C.

• Tabel 11. Hasil Part C dari sampel Part A dan B

No Sampel Panjang Part A Panjang Part B Panjang Part C=A+B

Kuadrat Part (C)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

10

11

10

13

11

12

10

12

11

21

17

20

19

22

18

17

20

19

18

33

27

31

29

35

29

29

30

31

28

1089

729

961

841

1225

841

841

900

961

841

Jumlah 303 9229

22

•PerhitunganRerata/mean(C)=

Sedangkan untuk Variance (C)

Standar Deviasi (C)=

Dengan demikian bila dibandingkan ketiga cara diatas maka Simulasi memberikan hasil yang cukup baik dan dapat dipakai dengan ketelitian yang tinggi.

cmn

Cin

i 3.301

cmn

CnCin

i 34.59/918192291

)(1

2

31.2)( CVar