MONOGRAFÍA.- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA

PRESENTA:DENISSE ASTRID HERNÁNDEZ CASTELÁN

MATERIA:MATEMÁTICAS

PROFESORA DE LA MATERIA:M.I.Q NORMA VALLEJO CANTÚ

UNIDAD 1- TRABAJO FINAL

FECHA: 14/OCTUBRE/2015

1

1.-INTRODUCCIÓN

Cuando existen ecuaciones que son bastante complejas y no es posible resolverlas algebraicamente, se debe usar un método numérico. Este método, el cual es iterativo, es uno de los más efectivos, a diferencia de otros métodos este no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia.

2.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 Ecuaciones no lineales de una sola variable

El método de Newton Raphson se puede desarrollar a partir de una aproximación de f(x) a un polinomio de Taylor de primer grado, centrado en la n-ésima iteración:

f ( x )≅ f (xn )+ f ' ( xn ) (x−xn ) Ec .1 Pero f ( x )=0, entonces:

f (xn )+ f ' ( xn ) (x−xn )=0 Ec .2

f ( x )≅ f (x0 )+ f ' (x0 ) (x−x0 )

Figura 1.-Método de Newton Raphson

MONOGRAFÍA.-MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

El Método de Newton-Raphson asume que la función f ( x ) es derivable sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f ( x ) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo. La tangente en es una aproximación a la curva de f ( x ).

2

Cambiando x por xn+1y despejando para xn+1, obtenemos la fórmula de iteración del método:

xn+1=xn−f (xn )f ' ¿¿

El método de Newton-Raphson también se puede obtener con una interpretación geométrica basada en la figura 1, ya que en esta la primera derivada de “x” es equivalente a la pendiente:

f ' (xn )=f (xn )−0xn−xn+1

Ec .4

Despejando para xn+1 se obtiene la ecuación 3 que es la principal del método:

xn+1=¿ xn−

f (xn )f ' ¿¿

¿

2.1.1 Análisis del error

Además de este desarrollo, la serie de Taylor sirve para estimar el error de la fórmula. Esto se logra observando que si se utilizan todos sus términos:

f (xn+1 )=f (xn )+ f ' (xn ) (xn+1−xn ) f' ' (ξ )2 !

(xn+1−xn)2 Ec .5

Se obtendrá un resultado exacto. En tal situación xn+1=xr donde x es el valor verdadero de la raíz. Sustituyendo este valor junto con f (xr )=0 , se obtiene:

0=f (xn )+ f ' (xn ) (xr−xn )+ f' ' (ξ )2 !

(xr−xn)2 Ec .6

Ahora bien, la ecuación (2) presentada en el desarrollo del método (pero en vez del término x se considera xn+1) se resta en la ecuación anterior para obtener:

0=f ' (xn) (x r−xn+1 )+f ' ' (ξ )2 !

(xr−xn )2 Ec .7

Se puede observar que el error es igual a la diferencia entre xn+1 y el valor verdadero xr, como en:

Et ,n+1=xr−xr+1Ec .9

Y la ecuación (7) ahora puede expresarse:

Et ,n+1=− f ' '(xr)2 f '(xr)

E2t ,n Ec .10

3

De acuerdo con la ecuación 10 el error es proporcional al cuadrado del error anterior, es decir que el número de cifras decimales correctas aproximadamente se duplica en cada iteración. A este comportamiento se le puede llamar “Convergencia cuadrática”.

2.2 Sistema de ecuaciones no lineales

Si se tiene una familia de ecuaciones continuas y derivables en un intervalo (comprende el dominio entre el vector inicial y la solución final, incluyendo los vectores intermedios propuestos), y el vector inicial está muy próximo a la solución entonces se puede aproximar cada una de ellas por el método de Newton Raphson, de igual manera se debe usar una serie de Taylor de múltiples variables tomando en cuenta que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz, para el caso de dos variables una serie de Taylor de primer orden se escribe para cada ecuación no lineal como :

un+1=un+(xn+1−xn )∂un∂ x

+ ( yn+1− yn )∂un∂ y

Ec .11

vn+1=vn+ (xn+1−xn )∂vn∂ x

+( yn+1− y n)∂vn∂ y

Ec .12

La raíz aproximada corresponderá a los valores de xy y, donde:

un+1=0vn+1=0

Dada esta situación las ecuaciones pueden ser ordenadas de la siguiente manera:

∂un∂ x

xn+1+∂un∂ y

yn+1=−un+xn∂un∂ x

+ yn∂un∂ y

Ec .13 a

∂vn∂ x

xn+1+∂vn∂ y

yn+1=−vn+xn∂vn∂ x

+ yn∂ vn∂ y

Ec .13b

Los valores que se conocen con subíndice n corresponden al último valor estimado, las únicas incógnitas son un+1 y vn+1 . Entonces la ecuación (13) es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y para resolverlo puede utilizarse manipulaciones algebraicas (regla de cramer).El denominador de cada una de las ecuaciones siguientes es el determinante “Jacobiano” del sistema.La ecuación (14) es la utilizada para la resolución de dos ecuaciones por el método de Newton Raphson.

xn+1=xn−un∂vn∂ y

−vn∂un∂ y

∂un∂ x

∂vn∂ y

−∂un∂ y

∂vn∂ x

Ec .14a

4

yn+1= yn−v n∂un∂ x

−un∂ vn∂x

∂un∂ x

∂vn∂ y

−∂un∂ y

∂ vn∂x

Ec .14 b

Los pasos de este método para la resolución de sistemas consiste en derivar las ecuaciones con respecto a x y y sustituir los valores iniciales en las derivadas y partiendo de estos resultados buscar el determinante Jacobiano para la primera iteración, posteriormente se evalúan las funciones con los valores iniciales y los valores resultantes se sustituyen en la ecuación (14), repitiendo todo el procedimiento hasta encontrar la aproximación.

3.- EJEMPLOS

Ejemplo 1. Aproximación a una raíz de la siguiente función.

f ( x )=x3− x−1 f ' ( x )=3 x2−1

Punto inicial n=1x0=1

x1=x0−f (x0 )f ' (x0 )

=1−(1)3−1−13¿¿

x1=1.5

Segunda n=2

x2=x1−f (x1 )f ' (x1 )

=1.5−(1.5)3−1.5−1

3¿¿

x2=1.34782

Tercera n=3

x3=x2−f (x2 )f ' (x2)

=1.34782−(1.34782)3−1.34782−1

3¿¿

x3=1.32520

Cuarta n=4

x4=x3−f (x3 )f ' (x3 )

=1.32520−(1.32520)3−1.32520−1

3¿¿

5

x4=1.3247

n=0…4 xn+1=xn−f (xn )f ' ¿¿

Tabla de resultados finales:

n xn ¿ f (xn )∨¿ En1 1.5 1 0.152182 1.34782 .875 0.022623 1.32520 0.10065 0.000054 1.3247 0.00205 0.00001

Ejemplo 2. Determinación de raíces con las fórmulas de múltiples ecuaciones el dato correcto de las raíces es x=2 y y=3.

x2+ xy−10=0

y+3 x y2−57=0

Valores iniciales x=1.5 y=3.5

∂u0∂ x

=2x+ y=2 (1.5 )+3.5=6.5∂u0∂ y

=x=1.5

∂v0∂ x

=3 y2=3(3.5)2=36.75∂v0∂ y

=1+6 xy=1+6 (1.5 ) (3.5 )=32.5

Determinante Jacobiano para la primera iteración:

6.5 (32.5 )−1.5 (36.75 )=156.125

Los valores de las funciones se evalúan con los valores iniciales:

u0=(1.5)2+1.5 (3.5 )−10=−2.5

v0=3.5+3 (1.5 ) (3.5 )2−57=1.625

Sustitución de los valores en la ecuación (14):

x=1.5−−2.5 (32.5 )−1.625 (1.5 )

156.125=2.03603

y=3.5−1.625 (6.5 )−(−2.5 )(36.75)

156.125=2.84388

Nuevos valores:

6

x=2.03603 y=2.84388

∂u0∂ x

=2x+ y=2 (2.03603 )+2.84388=6.9158∂u0∂ y

=x=2.03603

∂v0∂ x

=3 y2=3(2.84388)2=24.2616∂ v0∂ y

=1+6 xy=1+6 (2.03603 ) (2.84388 )=35.7399

Determinante Jacobiano para la segunda iteración:

35.7399 (6.9158 )−2.03603 (24.2616 )=197.7734

Los valores de las funciones se evalúan con los valores de la primera iteración:

u1=(2.03603)2+2.03603 (2.84388 )−10=−0.0647

v1=2.84388+3 (2.03603 ) (2.84388 )2−57=4.7596

Sustitución de los valores en la ecuación (14):

x=2.03603−−0.0647 (35.7399 )−(−4.7596 ) (2.03603 )

197.7734=1.9987

y=2.84388−−4.7596 (6.9158 )−(−0.0647 ) (24.2616 )

197.7734=3.0023

Nuevos valores:

x=1.9987 y=3.0023

∂u0∂ x

=2x+ y=2 (1.9987 )+3.0023=6.9997∂u0∂ y

=x=1.9987

∂v0∂ x

=3 y2=3(3.0023)2=21.0414∂v0∂ y

=1+6 xy=1+6 (1.9987 ) (3.0023 )=35.0042

Determinante Jacobiano para la segunda iteración:

37.0042 (6.9997 )−1.9987 (27.0414 )=204.9707

Los valores de las funciones se evalúan con los valores de la primera iteración:

u2=(1.9987)2+1.9987 (3.0023 )−10=−0.0045

v2=3.0023+3 (1.9987 ) (3.0023 )2−57=0.0499

Sustitución de los valores en la ecuación (14):

7

x=1.9987−−0.0045 (357.0042 )−(0.0499 ) (1.9987 )

204.9707=2.0000

y=3.0023−0.0499 (6.9997 )− (−0.0045 ) (21.0414 )

204.9707=3.0000

Tabla de resultados finales:

n xn yn un vn ∂un∂ x

∂un∂ y

∂vn∂ x

∂vn∂ y Jacobian

o1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.1252 2.0360 2.8438 0.0647 4.7596 6.9158 2.0360 24.261

635.7399 197.77

3 1.9987 3.0023 -0.0045

0.0499 6.9997 1.9987 27.0414

37.0042 204.9707

4 2.0000 3.0000 0 0

4.-CONCLUSIONES

El método de newton es eficiente en la solución de ecuaciones no lineales y proporciona una muy buena precisión en los resultados ya que su convergencia es cuadrática, lo que significa que la cantidad de dígitos significativos correctos se duplica a medida que los valores de la secuencia se aproximan a(x ).

El procedimiento general se inicia seleccionando un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada, así se ha de comenzar las iteraciones hasta que la diferencia entre la última y la penúltima sean casi iguales, para mejores resultados los datos se tabulan a manera que pueda observarse el error.

La desventaja del método es que no puede ser utilizado para los casos en que f ' ( x )=0 y que tiene convergencia lenta cuando son raíces múltiples. Existen dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.

El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real en diferentes áreas de la ingeniería.

5.-BIBLIOGRAFÍA

8

Chapra C.S y Canale R.P. 2004. Métodos numéricos para ingenieros. Mc. Graw-Hill. México, D.F.Gomez J. R. et al. 2002. Elementos de métodos numéricos para ingeniería. Mc. Graw-Hill. México, D.F.Nieves. H.A. Dominguez S. F. 2006. Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. Continental. México.Riveros. E. R. 2010. Cálculo Numérico. Paraguay