Método Monte Carlo

Definición Los métodos de Monte Carlo abarcan una

colección de técnicas (sobre todo estadísticas) que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas para analizar distribuciones de variables.

En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios.

Introducción A veces la aplicación del método Monte

Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito, por ejemplo el tráfico.

Historia El método fue llamado así por el

principado de Mónaco por ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios.

Historia El uso real de los métodos de Monte

Carlo como una herramienta de investigación, proviene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones aleatorios en material de fusión.

Algoritmo

El algoritmo de Simulación Monte Carlo Puro está fundamentado en la generación de números basados en las distribuciones acumuladas de frecuencias:

1. Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas(F)

2. Generar un número aleatorio uniforme €(0,1)3. Determinar el valor de la V.A. para el número

aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.

4. Analizar los resultados estadísticos (media, desviación estándar, error, etc. )

Itera

r

Ejemplo En un cierto grupo de personas, la

concentración de población por edades se muestra en la siguiente tabla:

Determinar la cantidad de personas de cada edad si el grupo estuviera conformado por 250 personas.

Elabore el gráfico que mejor represente la información.

Edades Porcentaje18 1019 1520 3021 2022 1023 1024 5

Ejemplo Total personas: 250 Generar 250 números aleatorios. Seleccionar, de acuerdo al porcentaje,

qué números representan a las personas de 18 años.

En el ejemplo, el 10% tiene 18 años, por lo que se puede decir: «Cada número aleatorio entre 0 y 0.1 representa a una persona de 18 años »

Ejemplo Seleccionar, de acuerdo al porcentaje,

qué números representan a las personas de 19 años.

En el ejemplo, el 15% tiene 19 años, estratificando: «Cada número aleatorio entre 0.1 y 0.25 representa a una persona de 19 años »

Ejemplo Seleccionar, de acuerdo al porcentaje,

qué números representan a las personas de 20 años.

En el ejemplo, el 30% tiene 20 años, estratificando: «Cada número aleatorio entre 0.25 y 0.55 representa a una persona de 20 años »

Ejemplo Seleccionar, de acuerdo al porcentaje,

qué números representan a las personas de 21 años.

En el ejemplo, el 20% tiene 21 años, estratificando: «Cada número aleatorio entre 0.55 y 0.75 representa a una persona de 21 años »

Ejemplo Seleccionar, de acuerdo al porcentaje,

qué números representan a las personas de 22 años.

En el ejemplo, el 10% tiene 22 años, estratificando: «Cada número aleatorio entre 0.75 y 0.85 representa a una persona de 22 años »

Ejemplo (Continuar iterando). Contar, de la lista de 250 números

aleatorios, la cantidad de datos que aparecen para cada rango y considerar esa cantidad como número de personas

EjemploEdades Porcentaje Personas

18 10 2419 15 3820 30 7621 20 4822 10 2523 10 2624 5 13

Total 100 250

Edades1 23 45 67

Actividad A (Buscar en una secuencia de números obtenidos

a partir de un generador)

Un juego de tiro de dados está manipulado de tal forma que la probabilidad de obtener un 1, 2, 3, 4 y 5 es la misma, pero la probabilidad de obtener un 6 es del doble que la de obtener un uno.

Realizar un simulación de 100 tiradas. Construir una tabla de frecuencias (con frecuencias

absolutas, relativas y acumuladas). Elaborar un gráfico que muestre los resultados

obtenidos.

Problema 2 y 3 Ejercicio 2. El valor de unas acciones varia diariamente siguiendo el siguiente

esquema:

Realiza una simulacion de la evolucion del valor de estas acciones a lo largo de un mes. Considera que el valor inicial de la accion es de $100

Ejercicio 3. Una empresa de transportes dispone de un camion para recorridos locales y esta considerando la posibilidad de comprar otro camion. Actualmente alquila los camiones adicionales necesarios por $250 al día. El camion que posee la empresa ocasiona un gasto de 150 euros al da, independientemente de que sea usado o no. La compra del nuevo camion ocasionara un nuevo gasto diario de $175 euros. De la informacion historica disponible se sabe que el numero de camiones necesitado diariamente sigue la siguiente distribucion de probabilidad:

Realiza una simulacion para deducir si es conveniente comprar otro camion o si, por el contrario, es preferible seguir como hasta la fecha.

Problema 4 El numero de faros que vende semanalmente una

tienda de autopartes sigue la distribución de probabilidad siguiente:

Realiza una simulación de las ventas a lo largo de un año. Calcula la media, la desviación estándar y la varianza de los resultados. ¿Cual es la moda de los resultados obtenidos? ¿Y la mediana?

Realiza un grafico de frecuencias absolutas y uno de frecuencias acumuladas.

Problema 5 Un circuito electrónico incluye dos

componentes. La probabilidad de que uno de los componentes individuales falle durante el arranque del sistema es de 0.125. El sistema se detiene si fallan los dos componentes. Realiza una simulación para comprobar cuantas veces, por termino medio, falla el sistema.