metodologia de solucion de cualquier viga con tablas incluidas

Proyecto de Flexión: Diseño y Elaboración de Tablas de cargas y sus configuraciones

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

ESIME TICOMAN

TABLAS PARA LOCALIZAR LOS PUNTOS CARACTERISTICOS DE UNA VIGA EN TODAS SUS CONFIGURACIONES Y SUS

CASOS ESPECIFICOS DE APLICACIÓN DE CARGAS

PROFESOR: MEJIA CARMONA ALEJANDRO

Flores Moreno Antonio de Jesús

Diseño y elaboración de Tablas


INTRODUCCION

Este trabajo va dirigido a estudiantes que realizan estudios para especializarse en el área de estructuras, y sientan la necesidad de consultar un trabajo que facilite la solución práctica de sus problemas estructurales así como a profesionistas como Ing. civiles e incluso profesores que les servirá como herramienta de enseñanza y personas que tengan el objetivo de saber aplicar conceptos sobre como determinar la rigidez de un elemento estructural en este caso VIGAS.

El presente trabajo, es un texto que facilita el determinar los puntos característicos de una viga en sus diferentes configuraciones, se basa en la investigación para conocer un poco más sobre el uso de tablas que permite encontrar reacciones, fuerzas cortantes, momentos flectores rotaciones y deflexiones en cualquier punto de la elástica en una viga.

Empieza a dar a conocer sobre definiciones básicas, así como la de las tablas, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructuras son aplicables.

La convención de signos en estas tablas se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real.

Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.



OBJETIVOS

1. Facilitar a los lectores la manera de determinar puntos característicos de una viga, para simplificar el trabajo y poder hacer uso de otros métodos de análisis estructural donde apliquen el uso de tablas (Superposición, Ecuación de los tres momentos, etc.).

2. Crear una herramienta confiable que sirva para el cálculo de vigas ya sean simples o continuas, proporcionando un cálculo exacto y que facilite a los lectores la solución de dichas vigas.

3. Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga ficticia para ello.

4. Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real para poder crear así nuestra viga ficticia.

JUSTIFICACION DEL TRABAJO:

1. Tener como beneficiarios del trabajo, tanto a quienes lo realizan ya que se obtuvo un conocimiento muy amplio en la generación de estas tablas, así como también a aquellos que harán uso de las mismas (alumnos de estructuras, Ing. Civiles, maestros, etc.), ya que es una herramienta útil y confiable, la cual les permitirá resolver problemas más rápido y de manera eficiente y lo más importante, tener la ventaja de aplicar esta metodología donde sea, en los casos que sean, ya que son modelos algebraicos, que son funcionales ante las diferentes configuraciones de vigas reales que se les presente.

1. Algunas bibliografías contienen tablas, pero se encuentran incompletas, como en el caso del pisarenko o fitzgerald, que no contiene los diagramas de deflexión y rotación, u otras bibliografías que no cuentan con el caso general para una carga ascendente. Este trabajo pretende mejorar esas tablas resumiendo en unas cuantas, todos los puntos característicos, así como incluyendo diagramas de rotación y deflexión, tanto para casos



generales como específicos, para facilitar la resolución de problemas a quien las ocupe.

1. Manejar correctamente la teoría del método de la viga conjugada para el mejor entendimiento en la resolución de ejercicios.

2. Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.

Marco Teórico

Lo Primero que se necesita es conocer los conceptos básicos así como sus definiciones para poder interpretar correctamente las tablas.

Todo análisis estructural se realiza para:

a) Determinar la capacidad de soportar las cargas para las

cuales fue diseñada la estructura,

b) Determinar las dimensiones más adecuadas para resistir,

(comparar los esfuerzos que soporta el material contra

los esfuerzos actuantes o los previstos.).

Los Esfuerzos en una sección dada pueden ser determinados sí se hace una sección imaginaria en un punto de interés, y se considera como un cuerpo rígido en equilibrio cada una de las partes en las que fue dividido el total. Estos esfuerzos podrán ser conocidos si se conocen todas las fuerzas externas.



VIGA

Es un miembro estructural esbelto, los cuales se diseñan para soportar cargas de manera transversal a lo largo su eje longitudinal. Dando como lugar al efecto llamado flexión, el cual a su ves es generado por dos fuerzas internas , un momento flector y una fuerza cortante que actua tangencialmente a la sección transversal.

Ing. Alejandro Mejía Carmona, Esime Ticoman, 2012

1. Clasificación de las Vigas

– Por su forma

– Por la forma en que se apoyan

1. Por Sus características Estáticas

–Isostáticas

– Hiperestáticas.



Apoyo

Es un elemento mecánico que se diseña para una función primordial en todo elemento estructural, la cual es restringir los desplazamientos en cualquier dirección, generados por la acción de las cargas sobre los elementos estructurales; atraves de cargas que son de la misma magnitud pero sentido contrario a la resultante de cargas llamadas reacciones. A toda esta acción se le denomina estabilidad o equilibrio del elemento estructural.

2. Analíticamente las reacciones representan las incógnitas de un problema matemático

3. La segunda función primordial de un apoyo es transmitir las cargas a la superficie de apoyo

Tipos de Apoyos

4. Simples

1. Libres (rodillos).- Restringe el desplazamiento lineal sobre una sola dirección, generando reacciones perpendiculares.

2. Articulados (pasador).- Restringe el desplazamiento lineal en 2 direcciones, generando dos reacciones

3. Empotres

Restringe desplazamientos lineales y angulares.

Caracterización de los apoyos.

4. Apoyo de rodillo

∆x Rx=0



∆y Ry0

θ Mz=0

5. Apoyo de pasador

∆x Rx0

∆y Ry0

θ Mz=0

6. Empotre

∆x Rx0

∆y Ry0

θ Mz0


Fuerza Cortante (V)

Es la resistencia interna que se genera de manera tangencial al plano que lo contiene para restringir los desplazamientos lineales generados por la resultante de carga a la izquierda o derecha de la sección de análisis



• La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a subir con respecto a la parte derecha.


Momento Flector (M)

Momento que se genera internamente de manera perpendicular a la sección transversal que restringe el desplazamiento angular generado por la resultante de momentos externos a la izquierda o derecha de la sección de análisis.

• El momento flector es positivo cuando considerada la sección a la izquierda tiene una rotación en sentido horario.


Deflexiones

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.

Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.

Criterios y pasos para la realización de diagramas.

Un diagrama de fuerzas cortantes o momentos flexionantes, es una grafica que muestra la magnitud de la fuerza cortante o del momento flexionante a lo largo de la viga. Hay varios



métodos mediante los cuales se puede trazar estas graficas. Primeramente se tratará el enfoque básico de la estática. Este procedimiento consiste en cortar la viga en varias secciones, calcular V y M en cada uno de esos lugares, y trazar una grafica de estos valores contra la longitud de la viga.

Es un poco más complicado que el método simplificado, sin embargo, se usa frecuentemente para calcular la fuerza cortante y el momento flector en un punto en particular.

Generalmente solo interesa la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo en una viga ya la forma general de los diagramas para las diferentes configuraciones de vigas.

Fig. 1

Cualquier viga tendrá una o varias combinaciones de las diferentes cargas; cada uno de los tipos de carga y su efecto sobre los diagramas de fuerza cortante y momentos.

Estas figuras básicas (Fig. 1) dan una indicación de las formas generales de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores para cualquier combinación de cargas. Entonces, el problema principal es el de calcular valores significativos de la fuerza cortante y momento flector.



La localización del punto de máximo momento corresponde siempre a la posición donde la curva de la fuerza cortante corta al eje de la viga.

La localización del punto máximo de rotación corresponde a la posición donde la grafica de momento corta al eje de la viga

La localización del punto máximo de deflexión, generalmente corresponde a la posición donde la grafica de rotación corta al eje de la viga

Procedimiento para realizar graficas:

1. Dibuje la viga y sus cargas, dejando suficiente espacio debajo de ella para trazar los diagramas correspondientes.

2. Calcular las reacciones.

3. Considerar el valor y dirección de la fuerza más alejada hacia la izquierda.

4. Dibuje la magnitud y dirección de esta fuerza en L=0 , sobre el diagrama de fuerza cortante.

5. Continuar a partir de ese punto y trazar las pendientes generales del diagrama de fuerza cortante, calculando sus valores en cada uno de los puntos donde cambia la carga.

6. Después de que se completo el diagrama de fuerzas cortantes, se dibuja el de momentos. Si no hay un par en el extremo izquierdo, el diagrama de momentos comenzará en cero.

7. A partir de ese punto debe esbozarse la forma de los segmentos del diagrama, dependiendo del tipo de carga aplicada a la viga. En las secciones donde la fuerza cortante es positiva, el diagrama de momentos tendrá una pendiente positiva (es decir, hacia arriba y a la derecha) y viceversa.

8. En base a los criterios mencionados anteriormente, se construyen los diagramas de rotación y deflexión.

Para saber en qué punto las fuerzas cortantes, el momento flector o la rotación valen cero, basta con igualar su ecuación con cero y despejar a la variable “x”, que nos indicará la posición sobre el claro de la viga, en base a eso se pueden ir graficando todos los diagramas.

Para conocer el punto máximo o el punto de inflexión del diagrama de momento flector, rotación o deflexión, basta con aplicar el concepto de derivada, esto quiere decir que a la función



se tiene que derivar e igualar con cero, y posteriormente despejar a la variable “x”, que nos indicará la posición sobre el claro de la viga. Una vez teniendo el diagrama de momento flector, basta con seguir los criterios mencionados anteriormente para facilitarnos el graficar los diagramas de rotación y deflexión.

Desarrollo de Problemas

Para el desarrollo y elaboración de cada tabla se fueron creando patrones de trabajo de los que luego surgió el producto final. Existen diversos métodos para poder resolver los puntos característicos de una viga, entre ellos están:

1. Método de Secciones

2. Funciones de Discontinuidad

3. Funciones de Singularidad

Cada método tiene sus pros y contras, por ejemplo para el método de secciones, se tiene que saber cómo seccionar la viga la cual va a depender de:

1. Tipo de carga

2. Dirección de la carga

3. Posición de la carga sobre el eje longitudinal

Una vez seccionada, se tiene que analizar cada sección, teniendo su ecuación de fuerza cortante y momento flector por sección y al final, para realizar la grafica se va resolviendo una por una, hasta obtener la grafica completa. Una ventaja es que se puede hacer la sumatoria abordándolo por el lado derecho o por el lado izquierdo (Multiplicando por signo menos), de esta manera se puede simplificar un poco el análisis de cada sección.

El método de funciones de discontinuidad, ayuda en que se usa el concepto de operador matemático, el cual nos indica donde actúa o deja de actuar la carga y tiene la siguiente nomenclatura:

¿ x−a>¿n ¿



Donde:

< >; Es el operador matemático

x-a; es la posición respecto al descentramiento

n ; Potencia que nos indica que tipo de carga está actuando

La ventaja del operador matemático, es que nos delimita en qué punto existe o no existe la función, por ejemplo, para el caso de:

¿ x−a>¿n ¿

Vale 0 si x es menor o igual al valor de a (CONTINUIDAD)

Vale x-a si x es mayor al valor de a (CONTINUIDAD)

Esto nos da una ventaja muy grande para resolver ecuaciones y graficas de fuerza cortante y momento flector.

El método de funciones de singularidad, nos facilita aun más el trabajo, ya que se encarga de plantear a la carga como una función (distribución) sobre el eje x

De tal manera que una vez que se tiene la función de carga, se integra y obtenemos la función de fuerza cortante y si se integra dos veces, se obtiene la función de momento flector con sus respectivas constantes de integración

Función de carga = ∫ = Función fuerza cortante = ∫ = Función de momento flector

Aquí se vuelve a hacer uso de los operadores matematicos, donde el valor de “n”, va a depender del tipo de carga que se plantea; de acuerdo a la siguiente tabla.



Carga Función de carga

q(x) = Mo¿ x−a>¿−2 ¿

q(x) = P¿ x−a>¿−1 ¿

q(x) = q¿ x−a>¿0 ¿

q(x) = qb

¿x−a>¿1¿


Mo

a

X

a

X

P

a

X

a

X

b


Siguiendo este criterio se va realizando la función de carga (cuarta derivada) y de ahí solamente se tiene que integrar, para obtener las demás funciones, fuerza cortante, momento flector, rotación y deflexión.

Se analizaron todas las posibilidades de resolverlo por las diferentes formas, hasta llegar a la conclusión, que resolverlos por funciones de singularidad era lo más optimo, ya que nos facilita el trabajo bastante, y lo único que hay que tomar en consideración, serían las constantes de integración (que no en todos los casos valen cero).

Las reacciones se determinan por medio de las ecuaciones de la estática y para los casos donde no sea suficiente (por que el numero de incógnitas es mayor que las ecuaciones de la estática), se procede a evaluar a las funciones de rotación o deflexión apartir de las condiciones de frontera, analizando a la viga en F(0) = “x” y F(L)=”x”. Estas condiciones nos ayudaran a igualar las funciones a cero y despejar variables para realizar las sustituciones correspondientes y encontrar el valor de las reacciones.



Carga uniformemente distribuida, para casos generales y específicos.

Simple mente apoyada

Determinar reacciones por ecuaciones de la estatica

RA=( qb2L )(2c+b )

RB=( qb2L ) (2a+b )

Plantear función de carga

q ( x )=RA−1−q ⟨ x−a ⟩0+q ⟨x− (a+b ) ⟩0

Integrando la función de carga se obtiene las de fuerza cortante

V ( x )=RA−q ⟨ x−a ⟩+q ⟨x−(a+b ) ⟩

Integrando la función de fuerza cortante se obtiene las de momento flector

M (x )=R A x−q2

⟨ x−a ⟩2+ q2

⟨x−( a+b ) ⟩2



M (0 )=0M (a )=RAaM (a+b )=( qb4 L ) (4 ac+2bc )M (L )=0

Mmax=( Pbc2L )(2a−c+bc

L )

Integrando la función de momento flector se obtiene las de rotación

EIθ ( x )=RA

2x2−q

6⟨ x−a ⟩3+ q

6⟨ x−(a+b ) ⟩3+C

EIθ1=(Pab6 L )(L+b− c4

4a )EIθ2=( pab6 L )(L+b− c2

4b )

Integrando la función de rotacion se obtiene las de deflexión

EIY ( x )=R A

6x3− q

24⟨ x−a ⟩24+ q

24⟨ x−(a+b ) ⟩24+Cx

En Voladizo V(X)



Determinar reacciones por ecuaciones de la estatica

RA=qbM A=qb2

(2a+b )


q ( x )=RA−1−q ⟨ x−a ⟩0+q ⟨x− (a+b ) ⟩0


V ( x )=RA−q ⟨ x−a ⟩+q ⟨x−(a+b ) ⟩

Integrando la función de fuerza cortante se obtiene las de momento flector

M (x )=R A x−M A−q2

⟨ x−a ⟩2+ q2

⟨ x−(a+b ) ⟩2

MA=−qb( 2+b2 )M (0 )=−MAM (a )=−Pc2

2


EIθ ( x )=RA

2x2−M A x−q

6⟨ x−a ⟩3+ q

6⟨ x−(a+b ) ⟩3

EIθmax=−qb6

(3a (a+b )+b2)


EIY ( x )=R A

6x3−

M A

2x2− q

24⟨ x−a ⟩4+ q

24⟨x−( a+b ) ⟩4



EIY max=−q24

[c4−( L−a )4+(4 L2−6 L (2a+b ) ) ( Lb ) ]

Empotrada con apoyo simple


q ( x )=RA−1−q ⟨ x−a ⟩0+q ⟨x− (a+b ) ⟩0


V ( x )=RA−q ⟨ x−a ⟩+q ⟨x−(a+b ) ⟩Integrando la función de fuerza cortante se obtiene las de momento flector


⟨ x−a ⟩2+ q2

⟨ x−(a+b ) ⟩2

Mmax=qb

8 L2(b+2c ) [2a2+4a (b+c )+b (b+2c ) ]




EIθ ( x )=RA

2x2−M A x−q

6⟨ x−a ⟩3+ q

6⟨ x−(a+b ) ⟩3

EIθmax=qb48 L

(6a2 (b+2c )+4 ab (b+3c )+b2 (b+4c ) )


EIY ( x )=R A

6x3−

M A

2x2− q

24⟨ x−a ⟩4+ q

24⟨x−( a+b ) ⟩4

Determinar reacciones, utilizando las condiciones de frontera, sabiendo que EIθ ( L ) esdiferente decero y que EIY ( L )0, de esta manera, la ecuación de deflexión se iguala con cero y se despeja a cualquier variable, para después sustituirla a las ecuaciones de la estática e ir encontrando las reacciones.

RA=qb

8L3(b+2c ) [6a2+5b2+10bc+4 c2+12a (b+c ) ]

RC=qb

8 L3[8a3+12ab (b+c )+6a2 (3b+2c )+b2 (3b+4c ) ]

M A=qb

8 L2(b+2c ) [2a2+4a (b+c )+b (b+2c ) ]



Doblemente empotrada

Reacciones

RA=q

2L3[ ( b+c )3 (L+a )−c3 (2L−c ) ]

RC=q

2 L3[ (b+a )3 (L+c )−a3 (2 L−a ) ]

M A=qb

12 L2[b2 (4 a+b )+4bc (3a+b )+6c2 (2a+b ) ]

MC=qb

12L2[b2 (4c+b )+4ab (3 c+b )+6a2 (2c+b ) ]

V ( x )=RA−q ⟨ x−a ⟩+q ⟨x−(a+b ) ⟩


⟨ x−a ⟩2+ q2

⟨ x−(a+b ) ⟩2



Mmax=−qb

12 L2[6a2 (b+2c )+4ab (b+3c )+b2 ( b+4 c ) ]

EIθ ( x )=RA

2x2−M A x−q

6⟨ x−a ⟩3+ q

6⟨ x−(a+b ) ⟩3

EIθmax=qb (6a2 (b+2c )+4ab (b+3c )+b2 ( b+4 c ) )2

144 L (2a3+6a2 ( L−a )+b2 (b+2c )+2ab (2b+3c ) )

EIY ( x )=R A

6x3−

M A

2x2− q

24⟨ x−a ⟩4+ q

24⟨x−( a+b ) ⟩4



Carga Uniformemente Distribuida

Caso General



Carga Completamente distribuida en toda la viga

Casos Específicos

a=0

b=L

c=0



Carga uniformemente variable, casos generales y específicos.

Simplemente apoyada

V(X)

f=3c+be=b+cRA=( qb6 L ) (3c+b )RB=( qb6L )(3a+2b )

c 3=( qb

360b2L (3 (e3−c3 )−10b2 (3c+b ) L2−15bc4 ) )M(X)

M (xmax )=( qb162 L3 )(2b (3 Lf )

32+27 L2af )M (0 )=0M (L )=0

Tet(x)

EIθ ( L )=( q360bL

)¿

En Voladizo



V(X)

RA=( qb2 )d=a+b

M(X)

MA=−( qb6 ) (2a+3b )

Tet(X)

EIθmax=−( qbd2

3 )

Y(X)

EIY ( L )=−( q120b ) (10b2 L2 (−2−b+c )− (b+c )3+c4 (c+5b )2 )

Empotrado con Apoyo simple



V(X)

RA=( qb

40 Lb3 ) (10b2 f L2−e

5+c5+bc

4 )RB=( qab2 )−( q

40b L3 ) (10b2 L2 f−e5+c

5+5bc2 )

M(X)

M (0 )=MAM (L )=0MA=( qab2 )+( 2q b2

6 )+¿

Tet(X)

EIθmax=10a2(b+3c+10ab (b+4 c−3b2 (b+5c ) ba )

240 L )



Carga Uniformemente Variable







Carga Puntual

Casos Generales





Momento Puro

Caso General



Casos para la aplicación de las Tablas

EJEMPLO 1

Para el método de la ecuación de los 3 momentos, nos sirve para determinar rotaciones y deflexiones para vigas continuas, en este caso se van dividiendo diferentes secciones y evaluando a cada una de ellas. La misma ecuación nos pide calcular la rotación para la sección de análisis, es ahí donde entra el uso de tablas; ya que se calculan las rotaciones por separado para al final, encontrar un momento en el apoyo continuo y de esta manera, encontrar al final la deflexión en ese tramo.

Usamos la ecuación de los 3 Momentos para calcular los momentos

Ecuación 1

M 1L1+2M 2 (L1+L2 )+M 3L3+6 A1a1

L1+6 A2b2

L2=0



Ecuación 2

M 2L2+2M 3 (L2+L3 )+M 4 L3+6 A2a2

L2+6 A3b3

L3

La viga tiene únicamente apoyos simples, sin embargo, en la parte final esta en voladizo, por lo que podemos deducir que:

M 1=0

M 4=6KN /m (2m ) (1m )=12KNm

Calculo de las rotaciones, por separado (USO DE TABLAS)

6 A1a1L1

=2q L3

15= 215 ( 10KN

m ) (6m )3=288KN m2

6 A2b2L2

=PbL

( L2−b2 )=5KN (2m )4m

[ (4m )2−(2m )2 ]=30KN m3

6 A2a2L2

=PaL

(L2−a2 )=5KN (2m )4m

[ (4m )2−(2m )2 ]=30KN m3

6 A3b3L3

=q L3

4=

6KN

m (4m )3

4=96KN m2

Procedemos a sustituir los valores en las ecuaciones y resolver el sistema



Ecuación 1

2M 2 (6+4 )+M 3 (4 )+288+30=0

20M 2+4M 3+318=0

Ecuación 2

M 2 (4 )+2M 3 (4+4 )+M 4 (4 )+30+96=0

4 M 2+16M 3+4M 4+126=0

Despejamos M2 de la ecuación 1

M 2=−318−4M 3

60

Sustituimos M2 en la ecuación 2

−318−4M 3

60+16M 3+174=0

Resolviendo la ecuación encontramos el valor de M3

M 3=−7 519

KNm



Sustituyendo este valor en la ecuacion1, podemos obtener M2

M 2=−14 1738

KNm

1. Cálculo de reacciones por Momento Flector

¿

M 2=−14 1738

=6 R1−(10 ) (6 )2

(2 )=6 R1−60

R1=−14 17

38+60

6=7

4576

¿

M 3=−7 519

=10 R1−(10 ) (6 )2

(6 )+4 R2−5(2)

R2=−7 5

19−75 35

38+190

4=26

107152

¿

M 3=−7 519

=4 R4− (6 ) (4 )(2)+M 4

R4=13738

A partir de la ecuación de fuerzas de la estática podemos calcular el valor del apoyo faltante (R3)

R1+R2+R3+R4=5 (6 )+5+ (6 ) (4 )



74576

+26 107152

+13 738

+R3=59∴R3=1179152

KN

Calculo de reacciones por el Método Isostático

-Lado Izquierdo

1.-

2.-



1.-

∑ Fx=Ra+Rb−5 (6 )=0

∑Mz=5 (6 )( 23 ) (6 )−Rb L=0

Ra=10Rb=20

2.-

R'=MM−Mm

L1=

M 2−M 1

L1=2 3176

-Centro

1.-

2.-



1.-

∑ Fx=Ra+Rb−5=0

∑Mz=5 (2 )−Rb L=0

Ra=2.5Rb=2.5

2.-

R'=MM−Mm

L2=

M 2−M 3

L2=1 121152

-Lado Derecho

1.-

2.-



1.-

∑ Fx=Ra+Rb−6 (4)=0

∑Mz=6 (4 )(2)−RbL=0

Ra=12Rb=12

2.-

R'=MM−Mm

L3=

M 4−M 3

L3=1 7

38



Apoyo A Apoyo -B Apoyo +B Apoyo -C Apoyo +C Apoyo D

10 20 2.5 2.5 12 12

-183/76 183/76 273/152 -273/152 -45/38 45/38

74546

223176

445152

107152

103138

13738

26107152

1179152

Deflexión por el método de los 3 Momentos

θx=∫M ( x ) dx

-Para el primer claro

θ1=Rax2

2−q x4

24= Rax1

2−q x2

24=0

Sustituyendo los valores y despejando X obtenemos el valor de la distancia al punto máximo

X1=3.094m

-Para el segundo claro

θ2=M 2 x+Rb x2

2− P x2

2=M 2+

Rb x1

2− P x1

2=0




X2=1.73m

-Para el tercer claro

θ3=M3 x+Rc x2

2−q x3

2=M 3+

Rc x1

2−q x2

2=0


X3=1.86m

Calculo de Rotaciones Máximas

-Primer Claro

θ1=∫0

La

Ra x−q x3

6=∫

0

6

Ra x−q x3

6

Integramos, sustituimos los valores y resolvemos la ecuación

θ1=−180.39KN m2

-Segundo Claro

θ2=∫0

Lb

M2+Rbx1

1−P x1

1=∫

0

4

M 2+Rbx1

1−P x1

1


θ2=115.84 KN m2

-Tercer Claro

θ38=∫0

Lc

M 2+Rb x1

1−P x1

1=∫

0

4

M 2+Rbx1

1−P x1

1




θ3=15.1KN m2

Calculo de Deflexiones Máximas

-Primer Claro

δMAX 1=Ra x3

6−q x5

120=1.2KN m3

-Segundo Claro

δMAX 2=Ma x2

2+Rb x3

6−P x5

6=13.31KN m3

-Tercer Claro

δMAX 3=Mcx2

2+ Rc x3

6−q x4

24=2.78KNm3



EJEMPLO 2

Fy=Ra+Rb−2P=0

Mz=M A+Pa+2Pa−RbL+MB=0

1.-Metrodo de las 4 Integraciones



V ( x )=RA¿ x−0>¿0+M A ¿ x−0>¿−1−P ¿ x−a>¿0−P ¿ x−2a>¿0+C1 ¿¿¿¿

M (x )=R A¿ x−0>¿1+M A ¿ x−0>¿0−P ¿ x−a>¿1−P ¿ x−2a>¿1+C1 x+C2 ¿¿¿¿

θ ( x )=RA

2¿x−0>¿2+M A¿ x−0>¿1−P

2¿ x−a>¿2− P

2¿ x−2a>¿2+

C1 x2

2+C2 x +C3 ¿¿¿¿

y ( x )=R A

6¿ x−0>¿3+

MA

2¿ x−0>¿2− P

6¿ x−a>¿3− P

6¿ x−2a>¿3+

C1 x3

6+C2 x

2

2+C3 x+C4 ¿¿¿¿

Condiciones de Frontera

V(0)= Ra V(L)= Rb

M(0)=Ma M(L)=Mb

Θ(0)=0 Θ(L)=0

y(0)=0 y(L)=0

C1=C2=C3=C4=0

Evaluando y(L)

0=R AL

3

6+M A L2

2−

P (2a )3

6− Pa3

6

Despejando Ra

RA=−3M A

L−9 Pa3

L3



Evaluando θ(L)=0 y sustituyendo Ra

0=L2

2 (−3M A

L−9 Pa3

L3 )+MA L+ 5 Pa2

2

M A=−2Pa

Sustituyendo en la ecuación de Ra

RA=−3(−2 Pa)❑

L−9P a3

L3

RA=P

Sustituyendo el valor de Ra en la ecuación de la estática original, obtenemos que:

P+Rb−2P=0∴Rb=P

Cambiando los valores en la ecuación de momentos, obtenemos el valor de todas las constantes

M A+Pa+2 Pa−Rb L+MB=0=−2 Pa+Pa+2Pa−3 Pa+MB∴M B=−2 Pa

2.- Método de Área de Momentos

θ AB

=∫Xa

Xb

M ( x ) dx

t BA

=∫Xa

Xb

xM ( x )dx

θmax=EI θB=∫Xa

Xb

M ( x )dx=∫0

3a

RA ¿ x−0>¿1+MA ¿x−0>¿0−P¿ x−a>¿1−P ¿ x−2a>¿1¿¿¿¿

¿ P x2−2Pax−P x2+Pa−P x2+2Pa=∫ Pa−Px=3Pa2−4.5 Pa2=1.5Pa2



La distancia al punto máximo es 1.5a, y sustituyendo en los valores de la integral, tenemos:

t BA

=∫Xa

X b

xM (x ) dx=∫0

1.5 a

x¿¿

¿∫P x2−2Pax−P x2+Pax−P x2+2 Pax=∫0

1.5a

Pax−P x2=Pax2

2− Px3

3= Pa3

6

EJEMPLO 3.

Existe un método para resolver vigas continuas llamado Metodo de Cross, el principal uso de este método es que nos dará el valor de un momento, dependiendo de la viga continua, teniendo como desventaja que no calcula deflexiones máximas. Pero se inserta un concepto llamado MEP(Momento de empotramiento perfecto), los cuales son momentos que se generan en un empotres. Es aquí donde entra el uso de tablas, para las vigas en casos empotrados, ya se tiene el valor del momento, que en este caso sería el MEP, y así poder obtener el cálculo directo, para que al final por medio de una serie de operaciones se obtenga el momento resultante.

Para el cálculo de MEP’S. (USO DE TABLAS)

MEP 1



Ma=Mb= 596

q L2= 596

(900 ) (4 )2=750Nm

MEP 2

Ma=Pab2

L2− Pab2

L2=

(6000 ) (1 ) (2 )2

(3 )2−3000 (2 ) (1 )2

(3 )2=103

KNm

Mb=Pba2

L2− Pba2

L2=

(6000 ) (2 ) (1 )2

(3 )2−3000 (1 ) (2 )2

(3 )2=83KNm

MEP3

Ma=Mb=q L2

12=800¿¿

FD 0 3/7 4/7 5/8 3/8 0

750 -750 3333.333 -2666.666 1666.666 -1666.666

0 -1107.14 -1476.19 625 375 0

-553 0 312.5 -738.1 0 187.5

0 -133.9 -178.52 461.12 276.8 0

-66 0 230.7 -89.2 0 138.4

0 -98.8 -131.8 55.8 33.5 0

-49 0 27.8 -65.9 0 16.35



0 -11.8 -15.9 41.188 24.71 0

-5.97 0 20.594 7.8 0 12.355

0 -8.826 -11.768 4.98 2.98 0

74 -2110 2110 -2379 2379 -1311

Calculo de Reacciones Momento Flector

-Reacción 1

¿

M 2=−2110=4 R1+Ma−qaa2

−qab2

Despejamos R1 y obtenemos su valor

R1=918.5N

-Reacción 2

¿

M 3=−2380=7 R1+Ma+Mb−qaa2

−qab2

−P1a−P2a


R2=5810N

-Reacción 3

¿

M 3=−2380=5 R4+Md−qab




R4=5696.2N

Por medio de la ecuación de sumatoria de fuerzas de la estática, calculamos el valor de R3

R1+R2+R3+R4=900+900+6000+3000+4000

918.5+5810+R3+5692.6=900+900+6000+3000+4000

R3=2378.9N

Calculo de Reacciones Método Isostático

-Lado Izquierdo

1.-



2.-

1.-

∑ Fx=Ra+Rb−2 (900 )22

=0

∑Mz=(900 )( 23 )(2 )+(900 )( 43 ) (4 )−Rb L=0

Ra=900 Rb=900

2.-

R'=MM−Mm

L2=

M 2−M 3

L2=0



Centro

1.-

2.-

1.-

∑ Fx=Ra+Rb−6000−3000=0

∑Mz=(6000 ) (1 )+(3000 ) (2 )−Rb L=0

Ra=5000Rb=4000

2.-



R'=MM−Mm

L2=

M 3−M 2

L2=90

-Lado Derecho

1.-



2.-

1.-

∑ Fx=Ra+Rb−800 (5)=0

∑Mz=(800 )(5)(2.5)−RbL=0

Ra=2000Rb=2000

2.-

R'=MM−Mm

L2=

M 3−M 4

L2=213.8



Apoyo A Apoyo -B Apoyo +B Apoyo -C Apoyo +C Apoyo D

900 900 5000 4000 2000 2000

0 0 -90 -90 -213.8 -213.8

900 900 4910 3910 1786.12 1786.2

5810 5696.2 1786.2

Deflexiones

Claro 1

θ1=R1 x

2

2−q

¿ x−1>¿2

2−q

¿ x−2>¿2

2+M 1 x¿¿

θ2=5810 x2

2−6000 ¿ x−1>¿2

2−3000 ¿ x−2>¿2

2+2110 x¿¿

X2=2.78m

Claro 2

θ2=R2 x

2

2−P1

¿ x−1>¿2

2−P2

¿ x−2>¿2

2+M 2 x ¿¿

θ2=5810 x2

2−6000 ¿ x−1>¿2

2−3000 ¿ x−2>¿2

2+2110 x¿¿

X2=1.74m

Claro 3

θ3=R3 x

2

2−q x3

6+M 3 x



θ3=5696.2 x2

2−800 x3

6+2380 x

X3=0.8712m

Cálculo de Rotaciones

Claro 1

θ1=∫M ( x ) dx

θ1=7496N m3

Claro 2

θ2=∫M ( x ) dx

θ2=6315N m3

Claro 3

θ3=∫M ( x ) dx

θ3=4263N m2

Cálculo de Deflexiones

Claro 1

δ=∫0

2.78

θ ( x ) dx

δ=1591.77N m2

Claro 2

δ=∫0

1.78

θ ( x ) dx



δ=3264N m2

Claro 3

δ= ∫0

0.8712

θ ( x )dx

δ=2145N m2

Graficas

Cortantes



Momentos Flectores

Rotaciones



Deflexiones

PROBLEMA 4

Para una viga Isostática, se puede realizar las funciones de discontinuidad, obteniendo la función de fuerza cortante, momento flector, rotación y deflexión. Para estas ecuaciones finales, nuestras incógnitas serían las reacciones, las cuales las podemos obtener por medio de las tablas. Y Así realizar la sustitución directa en base al criterio de donde se localizaría la deflexión máxima para ya nada mas sustituir valores.



Fuerza Valor Numérico

a 2 m

b=c 1 m

Ra 7 kgf

Rb N/A

Ma 7 Kgf*m

P 4 kgf

q 1.5 kgf/m

1.- Método de Discontinuidad

a) Sección 1

0>x 1>a



V ( X )=Ray ( x )0

M ( X )=Ray (x )−Mz

b) Sección 2

a> x2>a+c

V ( X )=Ray ( x )0−P(x )0

M ( X )=Ray (x )−Mz+P (x )

c) Sección 3

a+c> x3>L

V ( X )=Ray ( x )0−P(x )0

M ( X )=Ray (x )−Mz+P (x )+ q2(x )2

2.-Metodo de Maclaurin

y ( x )=Ray¿ x−0>¿−1−Mz ¿ x−0>¿−2−P ¿ x−a>¿−1−q¿ x−(a+c )>¿0 ¿¿¿¿

V ( x )=Ray ¿x−0>¿0+M ¿ x−0>¿−1−P ¿ x−a>¿0−q ¿x−(a+c )>¿1+C1 ¿¿¿¿

M (x )=Ray¿ x−0>¿1+M ¿ x−0>¿0−P ¿ x−a>¿1−q2

¿ x−(a+c )>¿2+C1 x+C2 ¿¿¿¿

θ ( x )=Ray

2¿ x−0>¿2+M ¿ x−0>¿1−P

2¿ x−a>¿2−q

6¿ x−(a+c )>¿3+

C1

2x2+C2 x+C3¿¿¿¿



y ( x )=Ray

6¿x−0>¿3+ M

2¿ x−0>¿2−P

6¿ x−a>¿3− q

24¿ x−(a+c )>¿4+

C1

6x3+

C2

2x2+C3 x+C4 ¿¿¿¿


Iniciales Finales

V(0) RAy V(L) ≠0

M(0) MA M(L) ≠0

Θ(0) 0 Θ(L) ≠0

Y(0) 0 Y(L) ≠0

Así, calculando obtenemos:

C1=C2=C3=C4=0

Graficas

1. Cortantes



b) Momentos Flectores

c) Giro



d) Flecha

PROBLEMA

Para una viga Hiperestática



Fy=Ra+Rb−qL2

=0

Mz=M A+q L2

2−RbL=0

1.-Metrodo de las 4 Integraciones

V ( x )=RA¿ x−0>¿0+ q2

¿x−0>¿1+C1¿¿

M (x )=R A ¿ x−0>¿1+ q4¿ x−0>¿2+C1 x+C2 ¿¿

θ ( x )=RA

2¿x−0>¿2+ q

12¿ x−0>¿3+

C1 x2

2+C2 x+C3¿¿

y ( x )=R A

6¿ x−0>¿3+ q

50¿ x−0>¿4+

C1 x3

6+C2 x

2

2+C3 x+C4 ¿¿




V(0)= Ra V(L)= Rb

M(0)=0 M(L)=Ma

Θ(0)≠ 0 Θ(L)=0

y(0)=0 y(L)=0

C1=C2=C3=C4=0

Evaluando y(L)

0=R A

6L3+ q

50L4

Despejando Ra

RA=3qL25

Sustituyéndola en la ecuación de la estática:

Ra+Rb=0=3qL25

−qL2

=19qL50



Ahora con la ecuación de la estática de momento:

M A+q L2

2−Rb L=0M A=

−q L2

2+19 q L2

50=−3q L2

25

2.- Método de Área de Momentos

θ AB

=∫Xa

Xb

M ( x ) dx

t BA

=∫Xa

Xb

xM ( x )dx

θmax=EI θB=∫Xa

Xb

M ( x )dx=∫0

L

R A ¿ x−0>¿1+ q4

¿ x−0>¿2 ¿¿

¿ RA L+ q4

L2=3qL25

+ q4

L2=0.37 q L2

La distancia Xc está a 12/25 de L, por lo que integrando, tenemos:

t BA

=∫Xa

Xb

xM ( x )dx=∫0

3 L25

x [RA x+ q4

x2]dx

¿∫ 3qL25

x2+ q4

x3=∫0

3 L253qL75

x3+ q16

x4=(1.728e-0 .3 )[ 3q L4

75+ q16

L4]=1.71e−4(q L4)



Graficas

1. Fuerzas Cortantes

b) Momentos Flectores



c) Giros



2. Flecha



PROBLEMA 6



Datos Valores Numéricos

a=b=c 1.6 m

L = a+b+c 4.8 m

P 2.4 kgf

q 12 kgf/m

Ra 13.2 Kgf

Rb 8.4 Kgf

1.- Método de Discontinuidad

a) Sección 1

0<X<a



V ( x )=Ray (X )0−q(X)

M (x )=Ray ( X )1−q2

( X )2

b) Sección 2

a<X<a+c

V ( x )=Ray (X )0−q ( X )+Rby (X )0+q (x)

M (x )=Ray ( X )1−q2

( X )2+Rby ( X )1+ q2

( X )2

c) Sección 3

a+c<X<L

V ( x )=Ray (X )0−q ( X )+Rby (X )0+q (x )−P (X )0

M (x )=Ray ( X )1−q2

( X )2+Rby ( X )1+ q2

( X )2−P(x )



2.- Método de Macaulin

q ( x )=Ray¿ x−0>¿−1−q¿ x−0>¿0+Rby¿ x−(a+c )>¿−1−P ¿ x−L>¿−1¿¿¿¿

V ( x )=Ray ¿x−0>¿0−q<x−0>+Rby ¿x−(a+b )>¿0+C1¿¿

M (x )=Ray¿ x−0>¿1−q2

¿ x−0>¿2+Rby¿ x−(a+b )>¿1+C1 x+C2¿¿¿

θ ( x )=Ray

2¿ x−0>¿2−q

6¿ x−0>¿3+

Rby

2¿ x−(a+b )>¿2+

C1

2x2+C2 x+C3 ¿¿¿

y ( x )=Ray

6¿x−0>¿3− q

24¿ x−0>¿4+

Rby

6¿ x−(a+b )>¿3+

C1

6x3+

C2

2x2+C3 x+C4 ¿¿¿


Iniciales Finales

V(0) RAy V(L) ≠0

M(0) 0 M(L) ≠0

Θ(0) 0 Θ(L) ≠0

Y(0) 0 Y(L) ≠0

Por lo que:

C1=C2=C3=C4=0

Sustituyendo las constantes resulta:



q ( x )=Ray¿ x−0>¿−1−q¿ x−0>¿0+Rby¿ x−(a+c )>¿−1−P ¿ x−L>¿−1¿¿¿¿

V ( x )=Ray ¿x−0>¿0−q<x−0>+Rby ¿x−(a+b )>¿0 ¿¿

M (x )=Ray¿ x−0>¿1−q2

¿ x−0>¿2+Rby¿ x−(a+b )>¿1 ¿¿¿

θ ( x )=Ray

2¿ x−0>¿2−q

6¿ x−0>¿3+

Rby

2¿ x−(a+b )>¿2 ¿¿¿

y ( x )=Ray

6¿x−0>¿3− q

24¿ x−0>¿4+

Rby

6¿ x−(a+b )>¿3¿¿¿



Graficas

a) Cortantes

b) Momento Flector



Otros métodos que se usaron para comprobar la confiabilidad de las tablas



1. Uso de Software: x-vigas fue el más utilizado para comprobar los valores característicos en las vigas:

1. Valor de deflexión máxima

2. Lugar donde se encuentra la deflexión máxima

3. Valor de la rotación máxima

4. Lugar donde se encuentra la rotación máxima

5. Valor de momento máximo

6. Lugar donde se encuentra el momento máxima

7. Valor de la fuerza cortante máxima

8. Lugar donde se encuentra la fuerza cortante máxima

9. Graficas

2. Para comprobar que las tablas generales, estuvieran bien resueltas, en base a estas, se realizaron todos los casos específicos, para todas las diferentes configuraciones de apoyos.

1. Carga puntual en L/2

2. Viga en cantiliver con carga puntual a una distancia L*

3. Momento en L/2

4. Momento a un extremo

5. Carga uniformemente continua centrada



6. Carga uniformemente continua en un extremo

7. Carga uniformemente continua a lo largo de toda la viga

8. Carga uniformemente variable centrada

9. Carga uniformemente variable en un extremo

10. Carga uniformemente variable a lo largo de toda la viga

Conclusiones generales

Como conclusión del presente trabajo, es mencionar que se cumplió el objetivo principal, que es el beneficio de brindar una herramienta útil, eficiente y confiable para la resolución de problemas estructurales en vigas. En base a la metodología y teoría mostrada, se desarrollaron tablas donde se obtuvieron modelos algebraicos que son aplicables a cualquier problema que se presente en relación con vigas. Y se demostró cómo se pueden utilizar para resolver otros métodos de solución estructural que requieran el uso de tablas. Algo importante de destacar es que el trabajo final es una innovación, ya que ninguna bibliografía cuenta con unas tablas de estas características que engloben todo sobre un análisis estructural en vigas y que cuenten con un alto grado de confiabilidad y eficiencia, las cuales desde luego facilitan el trabajo de quien haga uso de las mismas.



Bibliografía.

Análisis EstructuralGENARO DELGADO CONTRERAS1º Edición.

Mecánica de MaterialesFERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.2º Edición

Resistencia de Materiales I – IIARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.3º Edición.

Mecánica de Materiales

Gere James M.

Thompson International

6º Edición


Documents

metodologia de solucion de cualquier viga con tablas incluidas