Metodos Alternativos Deflexiones

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233)

M. Valdebenito

Método Alternativos Para

Calcular Deflexiones: Aplicación

al Caso de Vigas

USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 2

Introducción

• La mayor parte del recurso se ha centrado en el cálculo de deflexiones

mediante el principio de fuerzas virtuales (PFV); más específicamente,

se ha utilizado la técnica de carga unitaria.

• Aplicación de carga unitaria permite resolver problemas isostáticos e

hiperestáticos:

– Enrejados

– Vigas

– Marcos

• Es posible considerar casos particulares como asentamientos, apoyos

elásticos, efectos de temperatura, etc.

Recordatorio


Introducción

• La técnica de carga unitaria no es la única alternativa existente para

resolver problemas de deflexiones en estructuras

• Objetivo: revisar algunas técnicas alternativas para calcular deflexiones

• Con el objeto de simplificar la presentación, técnicas a ser

presentadas solo se aplicarán a vigas

Objetivos


Teoría de Vigas Elásticas

• Asuma una viga de material lineal elástico de módulo de Young 𝐸 y

segundo momento de área 𝐼

• Dicha viga se ve sometida a cargas externas que ocasionan fuerzas

internas (corte y momento flector)

• Se asume que los efectos de deformación por corte son despreciables

frente a los efectos de flexión

Aspectos Generales

𝑦

𝑥

𝑞(𝑥)

• Adicionalmente, se asume que las reacciones perpendiculares a la dirección longitudinal permanecen planas en la configuración deformada de la viga

– 𝑑𝑥: longitud de elemento a ser analizado previo a la deformación

– 𝑑𝑠: longitud de línea neutra de elemento analizado en posición deformada

– 𝑑𝑠′: longitud de elemento deformado, depende de coordenada 𝑦

– 𝑑𝜃: ángulo entre secciones planas

– 𝜌: radio de curvatura asociado



Aspectos Generales

𝑑𝑠

𝜌

𝑑𝜃

𝑑𝑆′

𝑦

𝐿í𝑛𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎

𝑥

𝑦 𝑞(𝑥)

𝛿𝑥



• La deformación axial que experimenta una fibra de la sección analizada

es:

• Alternativamente

• De las relaciones esfuerzo-deformación y fórmulas de vigas se sabe

que

y

• Por lo tanto

Deducción de la Ecuación Diferencial



• La curvatura 1/𝜌 es igual a:

• Donde 𝑣 es la deflexión. Habitualmente, la pendiente 𝑑𝑣 𝑑𝑥 es pequeña,

lo que permite despreciarla de la expresión de curvatura. Por lo tanto, la

ecuación diferencial asociada a la deflexión es:

• En vista del último supuesto, 𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥

Deducción de la Ecuación Diferencial

𝑣(𝑥)

𝑥

𝑦 𝑞(𝑥)


Método de la Doble Integración

• A partir de la ecuación diferencial de la deflexión, es posible calcular:

– La pendiente θ = 𝑑𝑣𝑑𝑥 integrando una vez

– La deflexión 𝑣 integrando dos veces

• Al momento de integrar, es necesario introducir constantes de

integración que se calculan tomando en cuenta condiciones de borde y

posibles discontinuidades

• Discontinuidades:

– Cambio en la expresión de momento

– Conexión introduce cambio brusco en deflexión

– Para resolver problemas de continuidad, se integra por tramos

imponiendo condiciones correspondientes

Concepto



• Ejemplo 1

– Calcule la deflexión en el extremo de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante

• Ejemplo 2

– Calcule la deflexión en el punto B considere 𝐸𝐼: constante. Además

calcule la deflexión del tramo BC

Ejemplos

𝑃

𝐿

𝐴 𝐵 𝐸, 𝐼

𝑞

𝐴 𝐶

𝐿 𝐿

𝐵

𝐸, 𝐼

R:

R:



• Ejemplo 3

– Calcule la reacción en el punto B de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante

– Para resolver el problema, libere un vínculo y aplique superposición

Ejemplos

𝑞

𝐴

𝐿

𝐵

R:


Teoremas de Área - Momento

• Si se designa la pendiente de una viga como 𝜃 = 𝑑𝑣 𝑑𝑥 , es fácil

observar que:

• Si se integra esta ecuación entre 2 puntos A y B, es posible determinar

el cambio de ángulo entre A y B (∆𝜃𝐴𝐵)

• Gráficamente, ∆𝜃𝐴𝐵 representa:

Primer Teorema

𝐴 𝐵

𝜃𝐵

𝜃𝐴

∆𝜃𝐴𝐵= 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 ∆𝜃𝐴𝐵

𝑥𝐴

𝑥𝐵

𝑞(𝑥)



• Note que la última integral permite calcular el cambio de ángulo entre

dos puntos y no (necesariamente) el ángulo en un punto

• Formalmente, esta integral se conoce como el primer teorema

área-momento

– El cambio en la pendiente entre dos puntos cualesquiera de una

curva elástica continua es igual al área bajo el diagrama de 𝑀 𝐸𝐼

entre dichos puntos.

Primer Teorema



• El segundo teorema de área-momento permite calcular desviaciones

tangenciales.

• Con el objeto de deducir este teorema, considere la representación

gráfica de la desviación tangencial en el punto B respecto de A

• Note que 𝑡𝐵𝐴 no es necesariamente igual a la deflexión en un punto, es

solo la desviación tangencial.

Segundo Teorema

𝑡𝐵𝐴 ∆𝜃𝐴𝐵

𝑥𝐴

𝑥𝐵

𝐴 𝐵

𝑞(𝑥)



• Note que la desviación 𝑡𝐵𝐴 puede ser explicada a partir de la

contribución de elementos infinitesimales 𝑑𝑡

• Por geometría, se observa que 𝑑𝑡 = 𝑥𝐵 − 𝑥 𝑑𝜃. Por otro lado, se sabe

que 𝑑𝜃

𝑑𝑥=

𝑀

𝐸𝐼. Por lo tanto:

Segundo Teorema

𝐴 𝐵

𝑞(𝑥)

𝑥𝐴 𝜌 𝜌

𝑥𝐵

𝑥 𝑑𝑥

d𝜃

𝑥𝐵 − 𝑥

𝑑𝑡 𝑡𝐵𝐴 d𝜃



• Formalmente, el segundo teorema de área-momento establece:

– La desviación tangencial en un punto B de una curva elástica

continua, con respecto a la tangente a la curva elástica en un

segundo punto A, es igual al primer momento de área bajo el

diagrama 𝑀 𝐸𝐼 entre los dos puntos con respecto a B

• Note que las desviaciones tangenciales 𝑡𝐴𝐵 y 𝑡𝐵𝐴 no son

necesariamente iguales

• Note que la desviación tangencial puede ser positiva o negativa

Segundo Teorema

𝑃

𝐿

𝐴 𝐵

𝐸, 𝐼

𝑡𝐵𝐴

𝑡𝐴𝐵



• Para aplicar los teoremas de área-momento, hay que seguir los

siguientes pasos:

– Paso 1: dibujar un esquema de la deformada de la viga

– Paso 2: identificar un punto donde la pendiente sea conocida. Si no

es posible identificar dicho punto por simple inspección, se debe

aplicar los dos teoremas de área-momento entre 2 apoyos cuyo

desplazamiento vertical es conocido (ver ejemplo)

– Paso 3: a partir del punto determinado en el paso 2, se aplican los 2

teoremas de área-momento más consideraciones geométricas para

calcular pendientes y deflexiones

Aplicación



• Ejemplo 1

– Calcule la deflexión en el punto B. Asuma 𝐸𝐼: constante.

• Ejemplo 2

– Calcule la deflexión en el punto B. Asuma 𝐸𝐼: constante.

Ejemplos

𝑃

𝐿


𝑞

𝐴 𝐶

𝐿

2

𝐿

2

𝐵

𝐸, 𝐼

R:

R:



• Los teoremas área-momento también son aplicables en caso que la

deformada de la viga sea discontinua. Solo es necesario integrar por

tramos y aplicar condiciones de continuidad de manera criteriosa

• Ejemplo 3

– Calcule el giro en B a la izquierda de la rótula. Asuma 𝐸𝐼: constante.

Ejemplos

𝐿

𝑞

𝐴

𝐿 𝐿

𝐵 𝐷 𝐶

𝐸, 𝐼

R:


Método de la Viga Conjugada

• El cálculo del diagrama de corte y momento de una viga se puede

realizar aplicando condiciones de equilibrio

Introducción

𝐵

𝑞(𝑥)

𝐴

𝑉𝐴 𝑉𝐵

𝑞(𝑥)

𝐴

𝑉𝐴

𝑉(𝑥) 𝑀(𝑥)

𝑥



• Alternativamente, el cálculo del diagrama de corte y momento de una

viga puede ser interpretado como la resolución de una ecuación

diferencial

Introducción

𝐵

𝑞(𝑥)

𝐴

𝑉𝐴 𝑉𝐵

𝑞(𝑥)

𝐴

𝑉𝐴

𝑉(𝑥) 𝑀(𝑥)

𝑥



• Note la siguiente similitud entre las ecuaciones diferenciales de

equilibrio y las ecuaciones que gobiernan la deflexión

• De estas ecuaciones se observa que:

– Hay una similitud entre el corte 𝑉 y la pendiente 𝜃

– Hay una similitud entre el momento 𝑀 y la deflexión 𝑣

– Hay una similitud entre la carga 𝑞 y la cantidad 𝑀/𝐸𝐼

Introducción



• De las comparaciones anteriores se determina que para conocer la

deflexión de una viga, es posible definir una viga conjugada cuya

carga es igual a 𝑀/𝐸𝐼. Luego

– La pendiente en un punto de la viga real es igual al corte en el punto

correspondiente de la viga conjugada

– El desplazamiento en un punto de la viga real es igual al momento

en el punto correspondiente de la viga conjugada

Formulación



• Para aplicar el método de viga conjugada, debe considerarse que:

– La longitud de la viga real y conjugada es la misma

– La carga de la viga conjugada es el momento flector de la viga real

dividido por el producto entre el módulo de Young y el segundo

momento de área (𝑞𝑐𝑜𝑛𝑗 𝑥 = 𝑀(𝑥)/𝐸𝐼)

– Los apoyos de la viga conjugada y sus condiciones deben ser

consistentes con las condiciones de desplazamiento y giro de la

viga real

• Ejemplo 1

– Calcule la deflexión vertical en B. Considere 𝐸𝐼: constante

Formulación

𝑃

𝐿


R:



• Ejemplo 1 (continuación)

– Apoyos

Aplicación

Viga real Viga conjugada



• Ejemplo 1 (continuación)

– Cargas y momentos

Aplicación

Viga real Viga conjugada

Cargas

Diagrama

de fuerzas

internas

𝑃 𝐸, 𝐼 𝑃𝐿

𝐸𝐼

(−) −𝑃𝐿

𝑀(𝑥)

𝑥

(−)

𝑀𝐶𝑜𝑛𝑗(𝑥) = 𝑣(𝑥) 𝑥 𝐿

(−) 𝐿

𝑉𝐶𝑜𝑛𝑗(𝑥) = 𝜃(𝑥)

- 𝑃𝐿2

2𝐸𝐼

- 𝑃𝐿3

3𝐸𝐼



• Equivalencia entre apoyos reales y apoyos conjugados

Aplicación

Apoyo Real Apoyo Conjugado

Rotulado o deslizante simple

Rotulado o deslizante simple

Extremo libre

Empotrado

Empotramiento

Extremo libre

Deslizante

Deslizante

𝜃 ≠ 0

∆ = 0

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0

𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0

𝜃 ≠ 0

∆ ≠ 0

𝜃 = 0

∆ = 0


𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗 ≠ 0

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0


𝜃 = 0

∆ ≠ 0

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗 = 0




• Equivalencia entre conexiones reales y conexiones conjugadas (más

apoyos interiores reales y apoyos interiores conjugados)

Aplicación

Conexión Real Conexión Conjugada

Rotulada

Apoyo deslizante simple

Deslizante

Continua más momento

Apoyo deslizante simple

Rotulada

𝑀∗

𝜃− ≠ 0, 𝜃+ ≠ 0, 𝜃− ≠ 𝜃+

∆ ≠ 0

∆−≠ 0, ∆+≠ 0, ∆−≠ ∆+

𝜃 ≠ 0

𝜃 ≠ 0

∆ = 0

𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 0,𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗+ ≠ 0, 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑗+


𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 0,𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗+ ≠ 0, 𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗− ≠ 𝑀𝑐𝑜𝑛𝑗+






• Ejemplo 2

– Calcule las reacciones y deflexión máxima de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante

• Ejemplo 3

– Calcule la deflexión máxima de la viga. Considere 𝐸𝐼: constante

Ejemplos

𝐵

𝑃

𝐿

2

𝐿

2

𝐴 𝐶

𝑃

6𝐿 6𝐿 6𝐿 6𝐿

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

𝐸

2𝑃

R:

R:

• Una viga estáticamente determinada tiene asociada una viga

conjugada estáticamente determinada

Viga Real Viga Conjugada



Comentarios Finales



• Una viga estáticamente indeterminada tiene asociada una viga

conjugada inestable

Comentarios Finales




• Una viga inestable tiene asociada una viga conjugada estáticamente

indeterminada.

Comentarios Finales


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Metodos Alternativos Deflexiones