Upload
renan-gustavo
View
5.671
Download
24
Embed Size (px)
Citation preview
Sistemas Lineares-
- -Métodos Iterativos
Sistemas Lineares-
- -Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝒙𝒌+𝟏=(𝑵 ¿¿−𝟏)𝒃+(𝑵 ¿¿−𝟏𝑷 )𝒙𝒌 ¿¿
𝑨=𝑵 −𝑷
N
(com diagonal zero)
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
. =
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
2º) Calcula os Cofatores;3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores;4º) Multiplica pelo inverso do det;5º) Acha .
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ijj
ij aa 1
, para i=1, 2, 3, ..., n.
7
Distância entre duas iterações
d(k) = max xi(k) - xi
(k-1)
Critério de parada
dr(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
8
EXEMPLO
Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
9
Com x0 = 0,7
-1,6
0,6
e = 0,05
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
10
obtemos x(1) =
-0,56
-1,86
-0,26
= 0,05
|x1(1) – x1
(0)| = 1,26
|x2(1) – x2
(0)| = 0,26
|x3(1) – x3
(0)| = 0,86
dr(1) = 1,26/ (max xi(1) )
= 0,677 >
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
11
x(2) =-0,25
-1,44
0,07
= 0,05
dr(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >
x(3) =-0,43
-1,56
-0,11
dr(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
12
x(4) =-0,35
-1,49
-0,04
= 0,05
dr(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >
x(5) =-0,39
-1,52
-0,08
dr(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
13
SOLUÇÃO10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
x* =
-0,39
-1,52
-0,08
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
Exemplos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exercícios
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Inversão de Matrizes e Cálculo de
Determinantes
Inversão de Matrizes e Cálculo de
Determinantes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Praticar e relembrarPraticar e relembrar
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑁=2 −15 3
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑁= 0 1−4 −3
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑁=−3 04 1
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑁=−1 0
014
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑁=2 1 1−1 5 2−3 6 7
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
𝑁=4 1 11 6 12 1 8
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
𝑁=
−7 0 0
013
0
0 0 1
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
𝑁=1 1 22 −3 21 2 1
Equações Algébricase
Transcendentes
Equações Algébricase
Transcendentes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Kirchoff’s Law
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Estruturas Isostáticas
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Como obter raízes reais de uma equação qualquer?
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às
equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas
que nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara,
por exemplo).
No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no
caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se
achar zeros exatamente.
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas
aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é
uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos,
vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer
precisão prefixada.
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A ideia central destes métodos numéricos é partir
de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde
imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa
aproximação através de um processo iterativo.
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o
menor possível, que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até
o grau de exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções
disponíveis em algumas calculadoras ou softwares
matemáticos.
Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende
fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica,
usamos frequentemente o Teorema de Bolzano:
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), (x = ), no intervalo [ a ; b ].
Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Graficamente, temos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Graficamente, temos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo
estudado, como as mostradas abaixo:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Observação:
Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x)
existir, preservando sinal dentro de (a, b), então este
intervalo contém um único zero de f(x).
Graficamente, temos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados
anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar
as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos
intervalos em que f(x) mudou de sinal.
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são
e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Primeira análise: Construindo uma tabela de valores
para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
𝜉1 𝜉2 𝜉3
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são
e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Assim, f(x) é contínua para .
= [-5, -3]
= [0, 1]
= [2, 3]
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são
e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar
que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim,
localizamos todas as raízes de f(x)=0.
Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua
derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista
sua trivialidade. Veja:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Análise Gráfica
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Pode-se utilizar um dos seguintes processos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são
e estão as raízes da função:
𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3