Métodos iterativos estacionários 12 2

MÉTODOS ITERATIVOS

ESTACIONÁRIOS

INTRODUÇÃO

Os métodos iterativos são utilizados também

para resolver sistemas lineares no entanto ao

contrário dos métodos exatos a precisão da

resposta é variável.

A grande vantagem dos métodos iterativos é o

custo computacional variável que é ajustado de

acordo com a precisão necessária a resposta.

Um método é iterativo quanto fornece uma

sequência de aproximantes da solução, cada uma

das quais obtida das anteriores pela repetição do

mesmo tipo de processo.

PROCESSOS ESTACIONÁRIOS

Um processo é dito estacionário se a matriz de

iteração não varia durante a execução do método.

Convergência

𝑥𝑘 − 𝑥∗ → 0, 𝑘 → 0

Condição necessária e suficiente

max|λi| < 1

Condição suficiente

𝑀 < 1

MÉTODO DE JACOBI

Uma matriz A pode ser decomposta na soma de três matrizes D, E e F da seguinte forma

A = D + E + F

Sendo:

D Matriz diagonal com os elementos iguais aos da diagonal principal da matriz A.

E Matriz triangular inferior com os termos da diagonal principal iguais a zero e os outros iguais aos da matriz A.

F Matriz triangular superior com os termos da diagonal principal iguais a zero e os outros iguais aos da matriz A.

MÉTODO DE JACOBI

𝐴 =2 3 5−4 1 7−1 3 4

MÉTODO DE JACOBI

Resolvendo o sistema

𝐴𝑥 = 𝑏

𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝑏

𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝑏

𝐷𝑥 = − 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏

𝑥 = −𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝐷−1𝑏

𝑥𝑘+1 = −𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥𝑘 + 𝐷−1𝑏

MÉTODO DE JACOBI

D é uma matriz diagonal sua inversa é

igual a inversa de cada termo da

diagonal. Então:

MÉTODO DE JACOBI

Fazendo

MÉTODO DE JACOBI (PRIMEIRA ITERAÇÃO)

𝑥11 =

1

𝑎11−𝑎12𝑥2

0 − 𝑎13𝑥30 + 𝑏1

𝑥11 =

12

2= 6

𝑥21 =

−4

1= −4

𝑥31 =

28

4= 7

MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)

𝑥12 =

1

𝑎11−𝑎12𝑥2

1 − 𝑎13𝑥31 + 𝑏1

𝑥12 =

1

2−3 −4 − 5 7 + 12

𝑥12 = −5,5

𝑥1 =6−47


𝑥1 =6−47

𝑥22 =

1

𝑎22−𝑎21𝑥1

1 − 𝑎23𝑥31 + 𝑏2

𝑥22 =

1

1− −4 6 − 7 7 − 4

𝑥22 = 24 − 49 − 4 = −29


𝑥1 =6−47

𝑥32 =

1

4− −1 6 − 3 −4 + 28

𝑥32 =

6 + 12 + 28

4=46

4= 11,5


CRITÉRIO DE PARADA

𝑥1 =6−47

𝑥2 =−5,5−2911,5

𝜀 =max −5,5 − 6 , −29 − −4 , 11,5 − 7

max 5,5 , −29 , 11,5

𝜀 =max −11,5 , −25 , 4,5

29

𝜀 =25

29= 0,8621


CRITÉRIO DE PARADA

𝑥2 =−5,5−2911,5

𝐸𝑟𝑟𝑜 =12−428

−2 3 5−4 1 7−1 3 4

−5,5−2911,5

𝐸𝑟𝑟𝑜 =10,9219,25−7,58

MÉTODO DE JACOBI (PRÓXIMAS ITERAÇÕES)

Está divergindo.

A matriz “A” não

é diagonal

estritamente

dominante

RAIO ESPECTRAL DA MATRIZ J

RAIO ESPECTRAL DE J

RAIO ESPECTRAL DE J

RAIO ESPECTRAL DE J

RAIO ESPECTRAL DE J

J tem raio espectral maior do que 1, não converge

OUTRO EXEMPLO

OUTRO EXEMPLO

OUTRO EXEMPLO

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL







MÉTODO SOBRE-RELAXÇÃO SUCESSIVA

𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝑓 𝑥 = 𝜔𝑏

Somando vetor nulo (D-D)x ao primeiro termo

𝐷 − 𝐷 𝑥 + 𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝜔𝑏

Chega-se a forma de iteração

𝐷 + 𝜔𝐸 𝑥𝑘+1 = 1 − 𝜔 𝐷 − 𝜔𝐹 𝑥 + 𝜔𝑏

MÉTODO SOBRE-RELAXAÇÃO SUCESSIVA

𝑥1𝑘+1 =

𝜔

𝑎11−𝑎12𝑥2

𝑘 − 𝑎13𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑘 + 𝑏1 + 1 − 𝜔 𝑥1𝑘 ,

𝑥2𝑘+1 =

𝜔

𝑎22−𝑎21𝑥1

𝑘 − 𝑎23𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛

𝑘 + 𝑏2 + 1 − 𝜔 𝑥2𝑘 ,

⋯

𝑥𝑛𝑘+1 =

𝜔

𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑛1𝑥2

𝑘 − 𝑎𝑛2𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑘 + 𝑏𝑛 + 1 − 𝜔 𝑥𝑛𝑘 ,

EXEMPLO

Uma maneira de se obter a solução da equação de laplace:

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0

Em uma região retangular consiste em se fazer uma discretização que

transforma a equação em um problema aproximado, consistindo em uma

equação de diferenças cuja solução, em um caso particular, exige a solução do

seguinte sistema linear: 4 −1 0 −1 0 0−1 4 −1 0 −1 00 −1 4 0 0 −1−1 0 0 4 −1 00 −1 0 −1 4 −10 0 −1 0 −1 4

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5𝑥6

=

1000010000

Qual dos métodos iterativos que você conhece poderia ser aplicado a solução do

problema? Resolva o sistema linear pelo método escolhido.

RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

𝐽 = − 𝐷 + 𝐸 −1𝐹

𝐽 =

0 0,25 0 0,25 0 00 0,0625 0,25 0,0625 0,25 00 0,0156 0,0625 0,0156 0,0625 0,250 0,0625 0 0,0625 0,25 00 0,0313 0,0625 0,0313 0,125 0,250 0,0117 0,0313 0,0117 0,0469 0,125

Raio espectral = 0,3643

RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Iter x Norma

Rel.

1 31,25 7,81 1,95 32,81 10,15 3,07

2

0,3095

2 35,15 11,81 3,71 36,32 12,79 4,12 0,11

3 37,03 13,38 4,37 37,45 13,74 4,53 0,05

4 37,71 13,95 4,62 37,86 14,08 4,67 0,02

5 37,95 14,17 4,71 38,01 14,21 4,73 0,01

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