FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA
METODO DE LA BISECCIN
ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS DOCENTE:LLUEN CUMPA
ELMERESTUDIANTE:FERNANDEZ GARCIA EDWARDHERNANDEZ NUEZ JORGE
LUISTESEN INGA CRISTIANLARREA SANTACRUZ LUIS CICLO:2014-IIFECHA:02
DE AGOSTO DEL 2014HISTORIAEl teorema fue demostrado por primera vez
porBernard Bolzanoen 1817.Cauchyda una demostracin en 1821.Ambos
perseguan el fin de formalizar el anlisis de funciones y el trabajo
deLagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la
propiedad del valor intermedio es de larga data.Simon Stevinprob el
teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un
algoritmo para construir la expansin decimal de la solucin: el
algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo
que produce un dgito decimal adicional en cada paso de la
iteracin.Antes de que la definicin formal de continuidad existiera,
la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la
definicin de funcin continua. Otros autores asuman que el resultado
es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visin
de Bolzano y Cauchy fue la de definir una nocin general de
continuidad (en trminos deinfinitesimalesen el caso de Cauchy,
utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de
proveer una prueba basada en tales definiciones.El recproco del
teorema es falso. No es necesario que una funcin sea continua para
que la conclusin del teorema de los valores intermedios sea cierta.
En 1875,Darbouxdemuestra que las funciones que provienen de
unaderivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los
valores intermedios (verTeorema de Darboux).MTODO DE BISECCINEl
mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo:
Teorema del Valor Intermedio
Seacontnua en un intervaloy supongamos que. Entonces para
cadatal que, existe untal que. La misma conclusin se obtiene para
el caso que.Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que
toda funcin contnua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz
ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe
alcanzar todos los valores intermedios.En particular, siytienen
signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente, y
por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe
existirtal que, es decir, debe haberpor lo menosuna raz deen el
intervalo.
El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos:
Seacontinuai)Encontrar valores iniciales,tales queytienen signos
opuestos, es decir,
ii)La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio
entrey:
iii)Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes
casos: En este caso, tenemos queytienen signos opuestos, y por lo
tanto la raz se encuentra en el intervalo. En este caso, tenemos
queytienen el mismo signo, y de aqu queytienen signos opuestos. Por
lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo. En este caso se
tiene quey por lo tanto ya localizamos la raz.El proceso se vuelve
a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
es decir,
Ejemplo.La funcinf(x) =xsenx 1 tiene un cero en el intervalo
[0,2], porquef(0) = -1 y f(2)=0.818595.Si se denota con
Entoncesc1= 1. Ahora f(c1) =f(1) = -0.158529, luego la funcin
tiene un cero en el intervalo [c1,b1] = [1,2] ; se
renombraa2=c1yb2=b1.El nuevo punto medio esyf(c2) =f(1.5) =
0.496242, el cero esta en el intervalo [a2,c2] y se renombra como
[a3,b3].En la tabla de abajo se muestran las primeras nueve
iteraciones del mtodo de biseccin paraf(x)=xsenx1
cona=0b=2.nExtremo izquierdoanExtremo derechobnPunto mediocnValor
de la funcinf(cn)Error Relativo
1021-0.158529
2121.50.4962420.333333
311.51.250.1862310.2
411.251.1250.0150510.111111
511.1251.0625-0.0718270.0588235
61.06251.1251.09375-0.0283620.0285714
71.093751.1251.109375-0.0066430.0140845
81.10937501.1251.11718750.0042080.0069930
91.10937501.11718751.11328125-0.0012160.0035087
(c= 1.114157141 es el cero def(x) =xsenx- 1)Para detener el
mtodo de biseccin y dar una aproximacin del cero de una funcin se
pueden usar varios criterios (llamadoscriterios de parada).Uno de
los criterios de parada consiste en examinar si |f(cn)|
