metodos numericos itesco

CÁLCULO NUMÉRICO

Libro de Cátedra

R. RIVEROS

ISBN 978ISBN 978ISBN 978ISBN 978----99953999539995399953----2222----262262262262----5555

Cálculo Numérico. Libro de CátedraCálculo Numérico. Libro de CátedraCálculo Numérico. Libro de CátedraCálculo Numérico. Libro de Cátedra

© Roberto Riveros Escurra

Pilar, marzo de 2010

Pilar Pilar Pilar Pilar ---- ParaguayParaguayParaguayParaguay

CÁLCULO NUMÉRICO

Libro de Cátedra

ROBERTO RIVEROS ESCURRA, Lic. Matemáticas

Prof. Facultad de Ciencias Aplicadas

Universidad Nacional de Pilar

233 Ejemplos

367 Ejercicios con respuestas

61 Teoremas

177 Gráficos

Año Año Año Año 2010201020102010

PrólogoPrólogoPrólogoPrólogo

La elaboración de este libro de Calculo Numérico, surgió de la necesidad de contar con un material que incluya todos los contenidos exigidos por la cátedra del mismo nombre, considerando que los tratados sobre Análisis numérico, Calculo Numérico o Métodos numéricos, no son de uso corriente, es más, su estudio y escritos se limitan a pocos autores.

Este libro de Cálculo Numérico está dividido en diez capítulos bien diferenciados, para facilitar su estudio en forma organizada y didáctica, presentando algunas características que facilitan el estudio y aprendizaje de cada contenido. Entre estas características se tienen que:

a) Cada contenido cuenta con los teoremas que sustentan matemáticamente y definen los contenidos desarrollados. Si bien la mayoría de los teoremas se presentan sin demostración, en cada caso se citan las fuentes, para acceder a tales demostraciones.

b) Cada contenido cuenta con definiciones matemáticas que orientan el proceso de aprendizaje.

c) Cada tema presentado cuenta con ejemplos desarrollados didácticamente, abundando y hasta abusando a veces de los desarrollos matemáticos, de manera a facilitar el aprendizaje y no dejar vacíos de comprensión entre un paso y otro de cada ejercicio.

d) Al final de cada capítulo se presentan abundantes ejercicios de fijación, con las soluciones incluidas, que serán de utilidad a la hora de realizar la verificación de los ejercicios de fijación después de resolverlos.

Que este libro de Cálculo Numérico (Libro de Cátedra1), sea de verdadera utilidad para cada estudiante o docente, en la tarea de estudiar, comprender y aprender el Cálculo Numérico.

Lic., Roberto Riveros E.

Pilar – Paraguay Febrero - 2010

1 Materia particular que enseña un catedrático

CONTENIDOCONTENIDOCONTENIDOCONTENIDO CAPITULO 0CAPITULO 0CAPITULO 0CAPITULO 0 GENERALIDADESGENERALIDADESGENERALIDADESGENERALIDADES Algunos conceptos fundamentales………………………………….……………………………………….…………..8 Análisis numérico……………………………………………..…………………………………………………….…………..9 Métodos numéricos…………………………………………………………………………………………………………….9 Graph………………………………………………………….…………………………………………………………..………..10 CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1 FUNCIONES y ECUACIONES Introducción………………………………….………………………………………………….………………………………11 Funciones…………………………………………………………...……………………………….……………………………11 Funciones algebraicas…………………………………………………………………………………….…………………12 Funciones trascendentes…………………………………………………..……..……………………….……………….19 Función exponencial……………………………………………………………………………………………...………….21 Función logaritmo…………………………………………………………………………………………….……………….22 Ecuación………………………………………………………………………………………………………….………………..24 División sintética. Regla de Ruffini…………………………………………...………………….…………………..24 Raíces enteras de polinomios enteros…………………………………………………………….…………………..26 Raíces racionales de polinomios enteros………………………………………..……………..……………………31 Ecuaciones de primer grado…………………………………………………………...………….………………………32 Forma sencilla de evaluar polinomios……………………………………………...…………….………..…………35 Polinomios que no tienen raíces racionales……………………………………...………….……………………..35 Cotas para las raíces de polinomios…………………………………………………………….…….………………..35 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………….……………………..39 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………..………………..44 Gráfica de los ejercicios de fijación………………………………………………………...……..……………………50 CAPÍTULO 2.CAPÍTULO 2.CAPÍTULO 2.CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORESTEORÍA DE ERRORES Introducción…………………………………………………………………………………….……………………………….53 Aproximación numérica………………………………………………………………………….....……………..……….53 Modelos matemáticos……………………………………………………………………………….……….………………54 Errores………………………………………………………………………………………………….…...……………………..54 Redondeo de un número…………………………………………………………………………..…..…..……………….58 Cifras significativas……………………………………………………………………………….……...…..……………….61 Números en la computadora……………………………………………………………………..…....…………………62 Propagación de errores…………………………………………………………………………………..…………………63 Criterio de convergencia…………………………………………………………………………...……...……………….64 Orden de convergencia……………………………………………………………………………..……………………….65 Ejercicios de fijación……………………………………………………………………………….….……………………..66 CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción……………………………………………………………………………………………………….…………….69

Vectores……………………………………………………………………………………….……………..……………………69 Matrices……………………………………………………………………………………………...……...…………………….70 Operaciones con matrices…………………………………………………………………….……………………………75 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………………………….78 Determinantes…………………………………………………………………………………….……………………………80 Resolución de un determinante de 2° orden…………………………………………..………...…………………82 Determinante de 3er orden………………………………………………………………….…………...………………..82 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………….………….....……………..83 Sistemas lineales………………………………………………………………………………….…..……………………….84 Clasificación de un sistema lineal………………………………………………………….…………..……………….85 Transformaciones elementales…………………………………………………………….…………..………………..86 Mal condicionamiento………………………………………………………………………….…..………………………..87 Sistema bien condicionado……………………………………………………………………….………………………..87 Método de determinantes………………………………………………………………………….……...……………….87 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………………..……………..89 Métodos Iterativos………………………………………………………………………………….…………..……………91 Método de Jacobi…………………………………………………………………………………….….……………………..91 Método de Gauss – Seidel………………………………………………………………………….………...……………..92 Sistemas triangulares………………………………………………………………………………...………...……………93 Método de eliminación de Gauss………………………………………………………………...………...……………95 Descomposición LU……………………………………………………………………………………………...……………99 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………………….………….102 CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓN Introducción……………………………………………….………………………………………..…………………………105 Representación de un número entero……………………………………………………….…….………………..106 Representación de un número real………………………………………………………….……………...………..106 Punto fijo………………………………………………………………………………………………………..………………106 Punto flotante…………………………………………………………………………………………..…………….……….106 Representación de un número en el sistema (B,t,m,M)….…………………………………….…...…..……108 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………..……………..………110 Cambio de base…………………………………………………………………………..…………….……………………..111 Sistema binario de numeración………………………………………………………………….…………………….111 Conversión del sistema binario al decimal………………………………………………………………………..112 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………..……………………..112 Conversión del sistema decimal al binario…………………………………………..……………………………113 Ejercicios resueltos………………………………………………………………………..………………………………..114 Sistema hexadecimal………………………………………………………………...……………………….…………….117 Conversión binaria a hexadecimal……………………………………………...………..…………….…………….118 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………..………………….…………..119 CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5 ECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALES Introducción……………………………………………..………………………………….…………………………………123 Resolución de ecuaciones no lineales……………………………………………………...………………………..125 Orden de convergencia…………………………………………………………………...….……………………………125

Gráfica de funciones………………………………………………………………….……....…………………………….126 Métodos cerrados……………………………………………………………………………..……….……………………127 Método de bisección………………………………………………………………………………………………………..127 Método de Regula Falsi, Regla Falsa o Falsa Posición……………………………..…..……..………………130 Métodos abiertos……………………………………………………………..………………………………….…………..134 Método de punto fijo……………………………………………………………………..……………………….………..134 Método de Newton – Rapson………………………………………………………..…………………………….……138 Método de Newton modificado………………………………………………….……………...…..…………………141 Método de la secante…………………………………………………………….…………………...……..……………..143 Método de Muller………………………………………………………………………………………………..…………..145 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………….…………….………152 Gráfica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15……………………………..…….………..……154 CAPÍTULO 6CAPÍTULO 6CAPÍTULO 6CAPÍTULO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Introducción……………………………………………………………………..……………………….……………………159 Método gráfico……………………………………………………………………………………………………………….160 Métodos directos……………………………………………………………………………..…….………………………..161 Punto fijo………………………………………………………………………….…………………….………………………162 Método de Newton……………………………………………………………………………..……….…………………..166 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………….…………….170 CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVASINTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVASINTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVASINTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS Introducción…………………………………………………………………………….……………………………………..175 Interpolación polinomial……………………………………………………………..……………………….………….175 Polinomios de interpolación…………………………………………………………………….…………...…………176 Interpolación de Lagrange…………………………………………………………………….……..………...………..178 Error en la interpolación………………………………………………………………………….…..………………….185 Puntos igualmente espaciados…………………………………………………………….…….……………………..187 Diferencias Divididas……………………………………………………………………….……….……………………..190 Fórmula de Newton…………………………………………………………………………..……….……………………192 Diferencias ordinarias…………………………………………………………………………………….……………….195 Tabla de diferencia ordinaria…………………………………………………………………………….…………….196 Formula de Newton-Gregory……………………………………………………………....……………….…………..197 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………..…………….………..198 Grafica de los Ejercicios de Fijación…………………………………………………………….……………………201 CAPITULO 8CAPITULO 8CAPITULO 8CAPITULO 8 INTEGRACION NUMERICAINTEGRACION NUMERICAINTEGRACION NUMERICAINTEGRACION NUMERICA Introducción………………………………………………………………………….………………………………………..203 Método de Serie de Potencias………………………………………….……………………..………………………..205 Método Gráfico……………….……………………………………………………..………………………………………..205 Métodos Numéricos………………………………………………………………………………..……………………….205 Cuadratura interpolatoria……………………………………………………..…………………………………………206 Regla del rectángulo ……………………………………………………………………………………………………….207 Regla del punto medio……………………………………………………………….…….………………………………209

Formulas de Newton – Cotes…………………………………………………………..…………...…………………..210 Método del trapecio………………………………………………………………………..………………………………212 Regla del Trapecio generalizado………………………………………………………….…..……………………….212 Regla (1/3) de Simpson …………………...…..……………...………………………………………………………….226 Regla (1/3) de Simpson generalizada…...………………………………………..………………...………………227 Regla se Simpson (3/8)……….……………………….……………..……………..…………………………………….234 Regla 3/8 de Simpson Generalizada o compuesta……….………..……………………………...….………..236 Método de Boole…………………………………….…………………………………………………..……...……………237 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………….…………….239 CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICADERIVACIÓN NUMÉRICADERIVACIÓN NUMÉRICADERIVACIÓN NUMÉRICA Introducción……………………………………………………………………………….…………………………………..245 Método de Diferencias Finitas…………………………………………………………....………………..…………..247 Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante………………………………..…………………….………….248 Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás……………………………………..……………………..…………249 Inestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitas……………..…………………..…………250 Fórmulas de diferencias centrales…………………………………………………………………………...……….251 Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h2) ..…………………………………..….….251 Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h4) …………….……….……………...….…252 Fórmulas de los tres puntos……………………………………………………….…….………………………...……254 Fórmula de los cinco puntos………………………………………………………….......…………………………….258 Errores de truncamiento y de redondeo…………………………………………….....……..…………………..260 Derivadas de orden superior………………………………………………………..……...…..………………………260 Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante……………………………………..……..……………………260 Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás…………………………………………..………..…………………262 Fórmulas de diferencias finitas centrales………………………………………….…...…………..……………..264 Resumen de fórmulas de derivación numérica………………………………………..……………..…………266 Ejercicios de fijación…………………………………………………………….………………….………………………267 Gráficas de los ejercicios de fijación……………………………………………..…………………………….…….271 CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASSOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASSOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASSOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Introducción……………………………………………………………..…………………………………….………………273 Condiciones iniciales……………………………………………………………………………………………………….274 Convergencia……………………………………………………………………..…………………..…...…………………..275 Método de Euler………………………………………………………………………………………….…………………..276 Método de Euler mejorado…………………………………………………………………………...….………………279 Método de Runge – Kutta……………………………………………………..………………………………………….282 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………….………………….285 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADABIBLIOGRAFÍA CONSULTADABIBLIOGRAFÍA CONSULTADABIBLIOGRAFÍA CONSULTADA……………………………………………………………………….……….…………288

CAPÍTULO 0 GENERALIDADES 8

CAPÍTULO 0

GENERALIDADES

Algunos conceptos fundamentalesAlgunos conceptos fundamentalesAlgunos conceptos fundamentalesAlgunos conceptos fundamentales

El Cálculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las calculadoras y computadoras, programas informáticos, etc.) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver problemas con ayuda de una computadora.

La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica.

La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica.

Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el comportamiento de la solución.

El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado.

Las aplicaciones del cálculo numérico son muy amplias, y entre las operaciones que se pueden realizar con ella se citan algunas:

1. Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. 2. Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales. 3. Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos. 4. Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones. 5. Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la

función se conoce solo como una tabla de valores. 6. Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de

valores. 7. Obtención de integrales múltiples. 8. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales de las

variables pudiendo ser de cualquier orden y complejidad. 9. Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores

característicos y vectores característicos. 10. Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales

parciales. 11. Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de métodos numéricos variados.


Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas, que solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado es práctico resolver problemas de esta forma.

Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa.

La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones, cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos procedimientos de análisis numérico son iterativos.

Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos generales:

1. Plantear claramente el problema. 2. Obtener un planteamiento matemático del problema. 3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2. 4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte más difícil en

la resolución de problemas.

Análisis numérico.Análisis numérico.Análisis numérico.Análisis numérico.

Es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

El estudio del análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, teniendo en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo, como las calculadoras o las computadoras, que facilitan enormemente la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

El estudio del análisis numérico facilita la comprensión de los conceptos matemáticos puros, sobre todo teniendo en cuenta que observando cómo algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

Métodos numéricos.Métodos numéricos.Métodos numéricos.Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se posibilitan formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: Son iterativas, o sea, invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos. Un buen conocimiento de los métodos numéricos permite diseñar programas propios aplicables a utilidades específicas.


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y

Con los métodos numéricos se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Las situaciones que se verán con bastante frecuencia en el estudio del cálculo numérico son las aproximaciones y los errores, sean estos pequeños o importantes, por lo tanto, el análisis de una situación problemática y los márgenes necesarios de precisión deben delimitar los criterios a ser utilizados en cada situación, sean estos referidos a los errores tolerables o las precisiones necesarias para la obtención de resultados confiables.

GraphGraphGraphGraph Entre los varios programas que se ofrecen comercialmente en la web o de los que se consiguen en forma gratuita (freeware, software libre, de evaluación, etc), el programa GRAPH posee todos los atributos necesarios para ser un apoyo importante y hasta fundamental para el estudiante de matemáticas e ingeniería.

Graph es un programa generosamente ofrecido en la web, que se puede bajar sin ningún tipo de inconvenientes y que posee, las mejores herramientas para su uso en la materia de Cálculo numérico, de entre las de adquisición gratuita.

Con Graph se puede graficar cualquier tipo de función, sean estas algebraicas (lineales, cuadráticas, cúbicas, cuarticas, etc), o trascendentes (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas).

Graph permite verificar y hallar valores a cualquier tipo de ecuaciones lineales y no lineales, permitiendo evaluar funciones en cualquier punto de la misma. Además con graph es posible realizar interpolaciones de funciones, o sea, a partir de pares de puntos, obtener una función que los contengan, sean estas polinómicas o trascendentes.

Con graph es fácil obtener derivadas de cualquier orden y sus correspondientes gráficos, así como las integrales definidas en cualquier intervalo.

Esta breve descripción permite tener una idea de lo importante que es este programa de adquisición libre y gratuita, por su aplicación matemática versátil y variada.

En el desarrollo de cada capítulo de este libro, seguramente habrá necesidad de usar este programa, cuyo uso se describirá en cada aplicación específica.

Ejemplo de aplicación: & '() * 3(, - 1/0( 1 0,381256,7

6

Fig. 0.1.Fig. 0.1.Fig. 0.1.Fig. 0.1.

CÁPITULO 1 FUNCIONES Y ECUACIONES 11

CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1CAPITULO 1

FUNCIONES y ECUACIONESFUNCIONES y ECUACIONESFUNCIONES y ECUACIONESFUNCIONES y ECUACIONES

IIIIntroducciónntroducciónntroducciónntroducción

En este capítulo se describen, se presentan y se definen situaciones algebraicas elementales, que servirán de herramienta en el proceso de estudio de esta materia. Para el estudio fácil y amplio del cálculo numérico es de fundamental importancia poseer conocimientos básicos del algebra, y son esos contenidos elementales los que se presentan en este capítulo. La presentación de ejercicios y problemas en forma de ejemplos facilita el proceso de aprendizaje, por lo que se abunda en ello, hasta el punto que las resoluciones se vuelven casi exageradas, con el solo fin de brindar a cada lector la posibilidad de cubrir, rememorar y repasar todas las áreas en el proceso resolutivo abocado.

FFFFuncionesuncionesuncionesunciones

La definición general de función hace referencia a la relación entre la variable independiente 8 y la variable dependiente 9. Una variable 9 se dice que es función de otra variable 8, cuando entre ambas existe una correspondencia tal que a cada valor de 8 corresponde un valor definido de :, y solo uno. Se expresa simbólicamente de la forma: : 1 ;'(/. A la variable 8 se le llama variable independiente, pues puede asumir cualquier valor, el valor de la variable y resulta de los valores que se atribuyen a 8, razón por la cual se le denomina variable dependiente, pues su valor depende de los valores atribuidos a la (. La dependencia entre una y otra viene dada por leyes matemáticas.

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando se tienen la asociación de dos conjuntos, la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con otro llamado codominio, al codominio se le llama también imagen o rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos o más elementos del codominio.

Una función, por definición garantiza que un elemento 8 en < no puede tener asociado más de un elemento en =. Es frecuente que se utilicen diferentes notaciones para una función ; ; la más común es ;: < > =.

Se dice que ;: < > = (; es una función de A en B, o ; es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B).

El dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que esta sobre el eje de las abscisas (x) y que genera una asociación en el eje de las ordenadas (y). El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio, imagen o rango de la función, este conjunto imagen posee una gama de valores que puede tomar la función, sujeta a su dominio.


InterseccionesInterseccionesInterseccionesIntersecciones

Las intersecciones con el eje yyyy de la ecuación ;'(, :/ 1 ? se obtienen al hacer 8 1 @ y resolver ;'0, :/ 1 ?. Análogamente, las intersecciones con el eje 8 se obtienen al hacer 9 1 @ y resolver ;'(, 0/ 1 ?.

Extensión Extensión Extensión Extensión

Es la región del plano cartesiano donde la grafica de la ecuación está confinada. El dominio e imagen de la relación permite delimitar dicha región.

VVVVariable dependienteariable dependienteariable dependienteariable dependiente.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: ;'(/ 1 (,, ;'(/ es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que van asumiendo la x. La variable dependiente ;'(/ se representa indistintamente por la letra :, o sea: ;'(/ 1 :. VVVVariable independienteariable independienteariable independienteariable independiente

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior ;'(/ 1 (,, ( es la variable independiente ya que la : es la que depende de los valores de (. Dicho de otra manera, por cada valor que asume la (, la : va tomando valores únicos y bien definidos que dependen única y exclusivamente de los valores de (.

CCCConstanteonstanteonstanteonstante

Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor. Un ejemplo de una función constante es: ;'(/ 1 5 División de División de División de División de FunciFunciFunciFuncionesonesonesones

El estudio de las funciones es parte importante de las matemáticas, para su estudio se divide en tres partes bien diferenciadas. Esta división se realiza en base a las características particulares que presentan cada una de ellas.

a) funciones algebraicas. b) funciones trascendentes. c) Funciones no elementales.

FFFFunciones algebraicasunciones algebraicasunciones algebraicasunciones algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales A.

Si < es el conjunto de números algebraicos en A, una función real de variable real se llama algebraica sí ;'</ B <.

Función algebraica explicitaFunción algebraica explicitaFunción algebraica explicitaFunción algebraica explicita

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable 9 se obtiene combinando un número finito de veces la variable 8 y las constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.


Son funciones algebraicas explicitas: ;'(/ 1 2(F - 3, : 1 G√( - 2IF

(F7 - 7

FuncFuncFuncFunción algebraica implícitaión algebraica implícitaión algebraica implícitaión algebraica implícita

Una función algebraica implícita es aquella cuya variable dependiente no está despejada.

EEEEjemplojemplojemplojemplossss: K/ (: * 3: 1 (F, L/ (, - 2: * 3(: 1 :, * 3.

Función por intervaloFunción por intervaloFunción por intervaloFunción por intervalo

Se tiene una función por intervalo cuando la funciones solo están definidas en ciertos valores del dominio. Funciones racionalesFunciones racionalesFunciones racionalesFunciones racionales

Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Una función racional se representa de la siguiente forma

;'(/ 1 M'(/N'(/ , M y N son polinomios

El dominio de la función racional consiste de todos los números reales, a excepción de aquellos para los cuales Q'(/ 1 0.

Una forma mejor explicitada de expresar una función racional se presenta a continuación:

;'(/ 1 MP'(/NP'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - KPQ,(PQ, - S - K6

KP(P - KPQR(PQR - KPQ,(PQ, - S - K6, para T U V

Funciones irracionalesFunciones irracionalesFunciones irracionalesFunciones irracionales

Las funciones irracionales se obtienen cuando algún exponente del polinomio no es un número entero.

MP'(/NP'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - KPQ,(PQ, - S - K6

KP(P - KPQR(PQR - KPQ,(PQ, - S - K6, para algun T W V

FuFuFuFunción Polinomialnción Polinomialnción Polinomialnción Polinomial

Las funciones polinomiales se enmarcan dentro de las funciones algebraicas y son aquellas funciones cuya regla de correspondencia es un polinomio. El grado de un polinomio viene dado por el exponente mayor de la variable, nombrándose normalmente una función polinomial de grado n.

Ejemplo de una función polinomial de grado n, generalizada.

;'(/ 1 K6(P - KR(PQR - S - KPQR( - KP, K6 X 0 T U Y

Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números reales A, pero su codominio varía dependiendo del tipo de función que sea. Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos valores son

del tipo K(Z, donde K es un número real y [ es un entero no negativo.

Algunos casos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de primer grado o de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado o de grado dos), función cúbica (función polinomial de tercer grado o de grado tres).


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

La aplicación de las funciones polinomiales son muy variadas, que van desde la elaboración de modelos que describen fenómenos reales, como la distancia recorrida por un móvil, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un jornalero más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, la fuerza aplicada a un punto, la concentración de ciertos elementos químicos en una sustancia entre otros.

Función IdentidadFunción IdentidadFunción IdentidadFunción Identidad

La función identidad se define mediante la expresión: ;'(/ 1 ( La propiedad de la función identidad es que a cada argumento 8 del dominio le hace corresponder el mismo valor en el codominio 9, por lo tanto, pertenece a los números reales A. La gráfica de la función identidad es la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°.

El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca (divide en dos partes iguales) los cuadrantes I y III del plano cartesiano

Ejemplo 1.1.Ejemplo 1.1.Ejemplo 1.1.Ejemplo 1.1. Representación gráfica de la función identidad: ;'(/ 1 ( ;'(/ 1 (

( 1 2

: 1 2

Fig. 1.1.Fig. 1.1.Fig. 1.1.Fig. 1.1.

Función ConstanteFunción ConstanteFunción ConstanteFunción Constante

La función constante se define mediante la expresión ;'(/ 1 [, en donde k es un número real diferente de cero.

La propiedad de la función constante es que a cada argumento ( del dominio le hace corresponder la misma imagen [.

La gráfica de la función constante es una recta horizontal que dista [ unidades del eje ( , por arriba si [ \ 0, o por abajo si [ ] 0.

El grado de la función constante es 0, su codominio es en conjunto unitario ^[_ y no tiene raíces. Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace ( 1 0.

El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k.


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

x

y

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

x

y

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.2222.... Representación gráfica

: 1 3 Fig. 1.2.Fig. 1.2.Fig. 1.2.Fig. 1.2.

Función Lineal.Función Lineal.Función Lineal.Función Lineal.

La función lineal (función polinomial de primer grado) se define como una expresión de la forma ;'(/ 1 `( - [, con `, [ números reales y mX 0.

La función lineal es un polinomio de primer grado en el que su codominio coincide con el dominio, es decir, con A, y cuya gráfica es una línea recta, donde m representa la pendiente de la recta, y [ representa el punto donde la recta se interseca con el eje :.

La función lineal sólo tiene una raíz en el punto a* Zb , 0c, pues si ;'(/ 1 0, `( - [ 1 0, de

donde, despejando `( 1 *[, se tiene finalmente ( 1 * Zb .

La ` representa la pendiente de la recta y [, el intercepto con el eje :; solo basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal.

Por dos puntos diferentes en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano.

El intercepto con el eje : es [; para hallar el intercepto con el eje ( (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para (.

Para representar gráficamente una función lineal o de primer grado, existen operaciones algebraicas elementales o procedimientos básicos que permitan tal operación, y son:

a) Se extrae de la ecuación de primer grado dos pares ordenados, que son suficientes para graficar una recta.

b) Se ubican dichos puntos en el plano cartesiano. c) Se unen los puntos por una línea recta, prolongándolo a ambos lados de los puntos.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.3333.... Representación gráfica : 1 2( - 1

( 1 2

: 3 5

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.3333....


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

x

yEjemplo 1.4Ejemplo 1.4Ejemplo 1.4Ejemplo 1.4.... Representación gráfica : 1 *3( - 5

( 0 1

: 5 2

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.4444....

Función CuadráticaFunción CuadráticaFunción CuadráticaFunción Cuadrática.

Una función polinomial de segundo grado es llamada función cuadrática, su representación matemática es: : 1 ;'(/ 1 K(, - L( - ?

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones; hay casos en que una solución se repite y coincide con la otra en valor absoluto. También sucede que el resultado obtenido en algunos casos no corresponde al conjunto de los números reales, sino al conjunto de los números complejos. La grafica de una función cuadrática es una parábola.

La parábola se abre hacia arriba si K es positiva y se abre hacia abajo si K es negativa. La ? representa el intercepto con el eje :.

Para hallar los interceptos con el eje (, si los hay, se iguala la ecuación a cero y se calculan las raíces por factorización o aplicando la formula general de la ecuación de segundo grado

( 1 *L d √L, * 4K?2K

Esta ecuación permite hallar los valores de (, en base a los coeficientes de K(, - L( - ? 1 0.

La abscisa del vértice se halla mediante la fórmula: ( 1 Qf,g

La ordenada se obtiene sustituyendo el valor numérico de ( obtenido previamente, en la

ecuación : 1 K(, - L( - ?, con K X 0 .

Tres puntos no alineados ya definen una ecuación de segundo grado, o una parábola, por lo tanto, para trazar las grafica de una función cuadrática es recomendable construir una tabla de valores, con por lo menos tres pares ordenados.

Por razones prácticas se usan cuatro pares ordenados, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje ( y un cuarto para el intercepto con el eje :.

La ecuación de segundo grado es muy especial y bastante utilizada, razón por la cual las explicaciones y características de esta función se extenderán un poco más que las otras en este apartado.

La expresión general de una ecuación de segundo grado es: 8 1 *h d √hi * jklik

De esta expresión se puede obtener dos raíces reales, una raíz real, o ninguna raíz real

dependiendo del discriminante hi * jkl bajo las siguientes condiciones:

L, * 4K? \ 0 Genera dos raíces reales distintas.

L, * 4K? 1 0 Genera dos raíces reales iguales. L, * 4K? ] 0 No genera ninguna raíz real, pero sí raíces complejas.


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

1

2

3

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

6

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-5

-4

-3

-2

-1

xy

La gráfica de la función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si K \ 0, o abre hacia abajo si K ] 0.

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El codominio de esta función es el conjunto de números 9 tales que : m [, si K \ 0, o bien : n [, si K ] 0, donde o es la ordenada del vértice de la parábola.

El vértice de la parábola se determina por la expresión: pQf,g , ; aQf

,gcq

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.5555.... Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión: : 1 ;'(/ 1 (,

: 1 ;'(/ 1 (,

( :

*3 9

*2 4

1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.5555. . . .

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.6666.... Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión: : 1 ;'(/ 1 *'(,/

: 1 ;'(/ 1 *'(,/

Fig. 1.6Fig. 1.6Fig. 1.6Fig. 1.6.

Ejemplo 1.7Ejemplo 1.7Ejemplo 1.7Ejemplo 1.7.... Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión: : 1 ;'(/ 1 (, * 2( * 1

( 0 1 2 3

: *1 *2 *1 2

Fig. 1.7Fig. 1.7Fig. 1.7Fig. 1.7

( :

*3 *9

*2 *4

*1 *1

0 0

1 *1

2 *4

3 *9


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3

-2

-1

1

x

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-5

-4

-3

-2

-1

x

y

Función cúbicaFunción cúbicaFunción cúbicaFunción cúbica:

Una función polinomial de tercer grado con una incógnita es llamada función cúbica, y se

puede representar bajo la forma canónica: K(F - L(, - ?( - 0 1 0, donde K, L, ?, 0 son números que pertenecen al conjunto de los números reales (A) o al conjunto de los números complejos (s), con K X 0.

Las raíces de una ecuación son los lugares donde la curva corta al eje de las “x”, o sea cuando : 1 0.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de tercer grado, o de grado tres, tiene tres raíces.

El cuerpo de los números reales (A) no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales de una ecuación de grado tres, no es siempre tres. Las que faltan se encuentran en en conjunto de los números complejos (s). Una ecuación de grado tres tiene por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en -∞ y * ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1....8888.... Graficar la función cubica dada por la siguiente expresión: ;'(/ 1 (F * 3(, - 1

;'(/ 1 (F * 3(, - 1

( :

*1 *3

0 1

1 *1

2 *3

3 1

4 17

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.8888....

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.9999.... Graficar la función cubica dada por la siguiente expresión: ;'(/ 1 (F * 3(, * 1 ;'(/ 1 (F * 3(, * 1

( :

*1 *5

0 *1

1 *3

2 *5

3 *1

4 15

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.9999....


-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.10101010....

Sea la función: ;'(/ 1 0,25(F - 0,75(, * 1,5( * 2, verificar la cantidad de raíces reales de la ecuación.

Solución: Solución: Solución: Solución: Se grafica la función y se observa que ésta corta al eje de las ( en tres partes, lo que indica que esta ecuación tiene tres raíces reales, de los cuales dos son negativas y una raíz positiva.

;'(/ 1 0,25(F - 0,75(, * 1,5( * 2

Fig. 1.10.Fig. 1.10.Fig. 1.10.Fig. 1.10. A simple vista se observa por el gráfico que las raíces de la ecuación son: *4, *1 y 2.

FFFFunciones trascendentesunciones trascendentesunciones trascendentesunciones trascendentes

Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica, es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o exponencial o de funciones trigonométricas.

Las funciones trascendentes engloban a todas aquellas funciones que no son algebraicas, o sea, las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras.

En las funciones trascendentes, raros son los casos en que es posible obtener las raíces exactas de ;'(/ 1 0, esto sucede cuando un polinomio es factorable, y se tiene valores exactos de ;'(/ 1 0.

Por medio de métodos numéricos es posible obtener soluciones aproximadas a funciones polinómicas o funciones trascendentes; en algunos casos tan próximas como se desee de la solución exacta.

La mayoría de los procedimientos numéricos producen una secuencia de aproximaciones,

Algunos ejemplos de funciones trascendentes:

;'(/ 1 tu - vw (, ;'(/ 1 5u , ;'(/ 1 ln ( * 2

( :

*4 0,0

*3 2,5

*2 2,0

*1 0, 0

0 *2,0

1 *2,5

2 0,0

3 7,0


π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-1

-0.5

0.5

1

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

FFFFunción senounción senounción senounción seno Es una función periódica, de periodo 2x, es decir, del intervalo de y0, 2xz el valor de la función no se repite, pero después de este valor se vuelve a repetir la gráfica periódicamente en forma infinita.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.11111111.... Representación de la función seno: ;'(/ 1 {tT (

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.11111111.

Función cosenoFunción cosenoFunción cosenoFunción coseno

Al igual que la función seno la función coseno tiene periodo 2π, esta función esta desfasada de la función seno en x/2.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.12121212.... Representación de la función coseno ;'(/ 1 ?~{ (

Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.12222.... Función TangenteFunción TangenteFunción TangenteFunción Tangente

La función tangente es una función periódica con periodo x, cuya imagen es el conjunto de los reales A, es discontinua a los 90º - [x , no presenta máximos ni mínimos relativos y es una función que nunca decrece.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.13131313.... Representación de la función tangente ;'(/ 1 vw (

Fig. 1.13Fig. 1.13Fig. 1.13Fig. 1.13....


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

x

y

Estas tres funciones presentadas, son simplemente referenciales, pues existen otras funciones trigonométricas como la cotangente, la secante y la cosecante, además existen las funciones hiperbólicas y las funciones inversas de éstas.

FunciónFunciónFunciónFunción periódicaperiódicaperiódicaperiódica

Se dice que una función es periódica cuando la función se "repite" o se reproduce los mismos valores con un patrón bien definidos. Es decir: ;'( - v/ 1 ;'(/.

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

FunciónFunciónFunciónFunción exponencialexponencialexponencialexponencial

Sea K un número real positivo. La función que a cada número real ( le hace corresponder la potencia Ku se llama función exponencial de base K y exponente (. Como Ku \ 0 para todo ( U A, la función exponencial es una función de A > A�. La función exponencial es del tipo: ;'(/ 1 Ku

Entre las propiedades de la función exponencial se pueden citar: a) El dominio está en A. b) La función exponencial es continua. c) Es inyectiva, pues para todo K X 1, ninguna imagen tiene más de un original. d) La función es creciente si K \ 1. e) La función es decreciente si K ] 1.

f) Las curvas ;'(/ 1 Ku y ;'(/ 1 aRgcu

son simétricas respecto al eje Y.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1.11.11.11.14444.... Sea la función exponencial: ;'(/ 1 3u, graficar en el plano cartesiano. ;'(/ 1 3u

( ;'(/

*2 0,11111

*1 0,33333

0 1

1 3

2 9

FFFFigigigig. 1.1. 1.1. 1.1. 1.14444....

Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.15555....

Sea la función exponencial: ;'(/ 1 aRFcu

, graficar en el plano cartesiano.

( ;'(/

*2 9

*1 3

0 1

1 0,33333

2 0,11111

FFFFig. 1.1ig. 1.1ig. 1.1ig. 1.15555....


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Función exponencial de base Función exponencial de base Función exponencial de base Función exponencial de base eeee Cuando K 1 t, donde t es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es t 1 2,7182818284 … A la función exponencial tu, se le llama función exponencial de base t y, se denota frecuentemente por �(�'(/ 1 tu.

La función exponencial de base t es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural, donde t es la base de los logaritmos naturales.

Entre las propiedades de la función exponencial de base t se tienen: a) Es una función real b) El dominio está en A, delimitado por z * ∞, -∞y. c) El codominio está en A, delimitado por z * ∞, -∞y. d) La función exponencial es continua e) La función es estrictamente creciente.

Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.16666.... La grafica de la función exponencial ;'(/ 1 tu es ;'(/ 1 tu

( ;'(/

*2 0,13534

*1 0,36788

0 1

1 2,71828

2 7,38905

FiFiFiFig. 1.1g. 1.1g. 1.1g. 1.16666.

Función logaritmoFunción logaritmoFunción logaritmoFunción logaritmo

Se llama logaritmo en base K del número ( al exponente L al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

logg ( 1 L � Kf 1 ( Se lee: "el logaritmo en base K del número ( es L", o también: "el número L se llama logaritmo del número ( respecto de la base K ”. La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Algunas de las propiedades de la función logarítmica:

a) La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. b) Los números negativos y el cero no tienen logaritmo c) La función logarítmica de base K es la recíproca de la función exponencial de base K. d) Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... e) La constante k es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema

de logaritmos. f) para cualquier valor real de L solo tiene sentido si K \ 0. g) La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de

los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales.


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

x

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

h) La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base K del logaritmo como el número ( son positivos, (siendo, además, K distinto de 1).

Entre los logaritmos de mayor uso se citan los logaritmos decimales y los logaritmos neperianos.

LogariLogariLogariLogarittttmos decimalesmos decimalesmos decimalesmos decimales Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales su uso, es frecuente no escribir la base. LogR6 ( 1 log (

Logaritmos neperianosLogaritmos neperianosLogaritmos neperianosLogaritmos neperianos Se llaman logaritmos neperianos o naturales a los logaritmos que tienen por base el número e. log� ( 1 ln (

EEEEjemplo 1.1jemplo 1.1jemplo 1.1jemplo 1.17777.... Graficar la función logaritmo: ;'(/ 1 �~wR6 ( 1 �~w ( ;'(/ 1 �~w (

( ;'(/

0 No existe

1 0

2 0,30103

3 0,47712

4 0,60206

Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.17777....

Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.1Ejemplo 1.18888.... Graficar la función logaritmo: ;'(/ 1 �T ( ;'(/ 1 �T (

( ;'(/

0 No existe

1 0

2 0,69315

3 1,09861

4 1,38629

Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.1Fig. 1.18888....

FFFFunciones no elementalesunciones no elementalesunciones no elementalesunciones no elementales

Existen otros tipos de funciones interesantes, que son las funciones no elementales tales como: la función delta, función parte entera, la función valor absolutos entre otras. Estas funciones solo se citan a modo de ejemplo, pues no forman parte de este material.


EEEEcuacióncuacióncuacióncuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y valores desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Los valores conocidos de una ecuación pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por las ultimas letras del alfabeto (x, y, z, w), constituyen los valores que se pretenden hallar. Por ejemplo, en la ecuación: 2( - 4 1 7 - (

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 2 y los números 4 y 7 son constantes conocidas.

Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dicha ecuación.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es: ( 1 3

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

La expresión se llama identidad en el caso que todo valor posible de la incógnita haga cumplir

la igualdad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, esta desigualdad se denomina inecuación.

Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Ecuación polinómicaEcuación polinómicaEcuación polinómicaEcuación polinómica Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1.11.11.11.19999....

Sea la expresión: (,: - 2( * :(,: - 2( * : 1 *(:

Para igualar a cero, se suma a ambos lados de la ecuación el termino ((:/

Luego, se tiene la ecuación polinómica: (,: - 2( * : - (: 1 0

División sintética. Regla de RuffinDivisión sintética. Regla de RuffinDivisión sintética. Regla de RuffinDivisión sintética. Regla de Ruffiniiii Al resolver ecuaciones polinomiales y al factorizar polinomios es frecuente dividir un polinomio entre un monomio de la forma '( * K/, donde K es un numero real cualquiera.

Existe una regla para realizar la división sintética, debida al italiano Paolo Ruffini , que permite, justamente, dividir un polinomio entre un binomio.


Esta forma sintética de dividir conocida como la Regla de Ruffini, también permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma '( * K/.

La Regla de Ruffini establece un método para división de polinomios


Hallar la división: '3(, * 12( - 1/ � '( * 2/

SoluciónSoluciónSoluciónSolución ( * K 1 ( * 2, transponiendo: ( * K * ( 1 *2, simpli�icando: * K 1 *2, > K 1 2

Paso 1Paso 1Paso 1Paso 1: Se escriben los coeficientes en orden, de mayor a menor. Paso 2Paso 2Paso 2Paso 2. Se completan los lugares de una ecuación incompleta con 0 si fuere necesario. 3 * 12 1 2 6 * 12 3 * 6 * 11 Paso 3:Paso 3:Paso 3:Paso 3: se baja el primer coeficiente '3/

Paso 4Paso 4Paso 4Paso 4: Se multiplica el '3/ por el '2/ y el resultado se ubica debajo de '*12/

Paso 5Paso 5Paso 5Paso 5: Se suman '*12/ - 6 1 *6

Paso 6Paso 6Paso 6Paso 6: Se multiplica '*6/ por el '2/ y el resultado se coloca debajo del '1/

Paso 7Paso 7Paso 7Paso 7: Se suman '1/ - '*12/ 1 *11

Los primeros números obtenidos en la tercera fila corresponden a los coeficientes del cociente '3/, '*6/ y el último número '*11/ es el residuo.

Finalmente, para verificar se tiene:

3(, * 12( - 1 1 '( * 2/'3( * 6/ * 11 1 '3(, * 12( - 12/ * 11 1 3(, * 12( - 1

En este primer ejemplo se detalla paso a paso las operaciones realizadas para la resolución de una división por el método de Ruffini.

Los siguientes ejemplos que se presentan a continuación, se realizaran en forma más resumida, sintética y práctica.


Resolver la división '4(F - 15(, * 6( * 20/ � '( - 4/

SoluciónSoluciónSoluciónSolución ( * K 1 ( - 4, asi que: K 1 *4 4 15 * 6 * 20 *4 * 16 - 4 - 8

4 * 1 * 2 * 12

El cociente es: 4(, * ( * 2 y el residuo es *12

Comprobando: 4(F - 15(, * 6( * 20 1 '( - 4/'4(, * ( * 2/ * 12 1 4(F - 15(, * 6( * 20


Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.22222222.... Resolver la división '() * ( * 2/ � '( - 1/

SoluciónSoluciónSoluciónSolución ( * K 1 ( - 1, asi que: K 1 *1 1 0 0 * 1 * 2 *1 * 1 1 * 1 2

1 * 1 1 * 2 0

El cociente es: (F * (, - ( * 2 y el residuo es 0, por lo tanto '*1/ es una raíz de la ecuación.

Comprobando: () * ( * 2 1 '( - 1/'(F * (, - ( * 2/ 1 () * ( * 2

Teorema 1.1Teorema 1.1Teorema 1.1Teorema 1.1. . . . Raíces de un polinomioRaíces de un polinomioRaíces de un polinomioRaíces de un polinomio

Un número K es una raíz del polinomio M'(/ si el valor numérico de M'(/ para ( 1 K es cero, es decir, M'K/ 1 0. Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente.

Raíces enteras de polinomios enterosRaíces enteras de polinomios enterosRaíces enteras de polinomios enterosRaíces enteras de polinomios enteros

Una de las razones principales para factorizar polinomios es la de encontrar sus raíces, o sea, los valores de la variable para las cuales el polinomio asume el valor 0.

Estos son algunos ejemplos de expresiones algebraicas:

K/ (F * 5(, - 3( * 7 1 0, L/ tu * (, - 3( 1 2

?/ 12( * 6 * 3

( - 1 1 5( - 2 , 0/ 3 - √2( - 1 1 (

Estos polinomios son denominados ecuaciones en ( o ecuaciones con variable (. Dada cualquier ecuación en (, si al sustituir a ( con un número K se obtiene un enunciado verdadero, entonces K se llama solución o raíz de la ecuación ;'(/ 1 0.

Comúnmente se dice que K satisface la ecuación.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1111....24242424. . . . Verificar si 3 es una solución de la ecuación: P'x/ 1 '5x * 2/'3x - 2/ 1 143

Solución:Solución:Solución:Solución: Para verificar si K 1 3 es raíz de la ecuación, se sustituye en la ecuación y se obtiene

M'(/ 1 '5( * 2/'3( - 2/ 1 143 ;'(/ 1 '5( * 2/'3( - 2/ * 143 1 0 ;'(/ 1 '5 � 3 * 2/'3 � 3 - 2/ * 143 1 0 ;'(/ 1 '15 * 2/'9 - 2/ * 143 1 0 ;'(/ 1 '13/ '11/ * 143 1 0 ;'(/ 1 143 * 143 1 0

Por lo tanto, K 1 3 es raíz o solución del sistema, pues verifica la función ;'(/ 1 0 Se verifica que la situación planteada es una proposición verdadera. Resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces o soluciones.


IdentidadIdentidadIdentidadIdentidad Definición: Si todo número en el dominio de la variable ( es una solución de una ecuación dada, a esta ecuación se le llama identidad.


Verificar si la expresión '( * 7/, * 4 1 '( * 9/'( * 5/ es una identidad.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución

Se elige cualquier valor para la variable ( y se evalúa en la ecuación presentada.

a) Sea ( 1 3 b) Sea ( 1 *2

'( * 7/, * 4 1 '( * 9/'( * 5/ '( * 7/, * 4 1 '( * 9/'( * 5/

'3 * 7/, * 4 1 '3 * 9/'3 * 5/ '*2 * 7/, * 4 1 '*2 * 9/'*2 * 5/

'*4/, * 4 1 '*6/'*2/ '*9/, * 4 1 '*11/'*7/

16 * 4 1 12 81 * 4 1 77

12 1 12 77 1 77

La expresión (x – 7)2 – 4 = (x – 9) (x – 5) es una identidad, puesto que se convierte en una

proposición verdadera para todos los números del dominio de (,,,, en este caso ℜ.

Una ecuación puede tener o no solución, esto depende del sistema de números que se considera para la variable (.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1111....26262626.... Halla la raíz de la ecuación 3( 1 1 en Z (conjunto de los números enteros).

Solución:Solución:Solución:Solución:

3( 1 1 > ( 1 13

Bajo estas condiciones la ecuación 3( 1 1 no tiene solución, ya que no existe ningún número entero igual a 1/3. Sin embargo, existe solución a esta ecuación, pero en Q (conjunto de los números racionales), ya que 1/3 pertenece a los números racionales.

Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentesEcuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

El método más usado para resolver ecuaciones consiste en generar una sucesión de ecuaciones equivalentes, cada una de las cuales es más sencilla que la anterior, hasta llegar a una ecuación cuyas soluciones son obvias. Por lo general, esta sucesión de ecuaciones equivalentes se logra usando propiedades de los números reales, tales como: sumar o restar la misma expresión a ambos lados de la ecuación, multiplicar o dividir a ambos lados de la ecuación por una expresión diferente de cero, elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, etc. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.


Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.27272727.... Sea la expresión: 5( * 3 1 2( - 1, resolver la ecuación.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 5( * 3 1 2( - 1 5( * 3 - 3 1 2( - 1 - 3 Se suman (+3) a ambos lados de la ecuación 5( 1 2( - 4 5( * 2( 1 2( - 4 * 2( Se suman (*2() a ambos lados de la ecuación 5( * 2( 1 4 3( 1 4 Se divide por (3) a ambos lados de la ecuación

3(3 1 3

4 Se simpli�ica

( 1 34 Es el resultado

Durante el proceso de reducción se puede multiplicar los dos miembros de la ecuación por una expresión que se anula para algún valor de (, o tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación, estas operaciones pueden producir ecuaciones que no son equivalentes.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1111....28282828....

Resolver la ecuación: 2( * 3 1 √( - 6


2( * 3 1 √( - 6

'2( * 3/, 1 G√( - 6I,

4(, * 12( - 9 1 ( - 6

4(, * 13( - 3 1 0

De donde se obtiene que: ( 1 3 : ( 1 R)

Al sustituir ( 1 3 en la ecuación 2( * 3 1 √( - 6, éste se verifica, o sea, hace la proposición

verdadera. Sin embargo, al sustituir ( 1 R) en la ecuación 2( * 3 1 √( - 6, esta no se verifica,

por lo tanto R) no es solución de la ecuación original.

Cualquier solución de la nueva ecuación que no es solución de la ecuación original se llama

solución extrañasolución extrañasolución extrañasolución extraña. Así, ( 1 R) es una solución extraña de la ecuación 2( * 3 1 √( - 6.

Lo que sucedió, en este caso, es que al tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación se obtiene una ecuación que no es equivalente con la anterior, pues la ecuación original es de primer grado y como tal tiene una sola solución; por lo tanto, algunas soluciones de la última ecuación podrían no serlo de la ecuación original.

Ecuación polinomialEcuación polinomialEcuación polinomialEcuación polinomial

Una ecuación de la forma: M'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - S - KR(P - K6 1 0, donde cada K� U A : KP X 0; se llama ecuación polinomial.

Si M'K/ 1 0, entonces se dice que K es un cero del polinomio M'(/, o bien, K es una solución o raíz de la ecuación M'(/ 1 0.


A excepción de casos especiales, resulta muy difícil encontrar las raíces de una ecuación polinomial. Por ejemplo, no son evidentes las raíces de la ecuación polinomial

(� * (� - 6(� * 12(7 - 2() * 5(F * 8( * 5 1 0

No existe una fórmula que pueda usarse para encontrar las raíces de este tipo de ecuación, o sea de ecuaciones con grado mayor a tres.

Buscar las soluciones de una ecuación ;'(/ 1 0, no es tarea fácil y la situación se complica cuando se involucra funciones trascendentes.

A excepción de los casos triviales, podría decirse que las únicas ecuaciones ;'(/ 1 0 que se pueden resolver de forma exacta, son aquellas para las cuales ;'(/ es un polinomio de grado menor o igual a 3, después del proceso de reducción.

Por esta razón, se necesitan métodos que permitan por lo menos, aproximar las soluciones de una ecuación dada. Este tipo de métodos cae dentro de un área de la matemática que se conoce como Análisis Numérico o Cálculo Numérico.

Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.2222. Teorema del res. Teorema del res. Teorema del res. Teorema del residuo:iduo:iduo:iduo:

El valor de M'K/ es el residuo obtenido al dividir M'(/ entre '( * K/.

Demostración:Demostración:Demostración:Demostración: Al dividir M'(/ entre '( * K/ se obtiene la descomposición: M'(/ 1 N'(/'( * K/ - �

Donde N es el cociente y �R es el residuo. Como el divisor de '( * K/ es de grado 1, el residuo es constante. Si se evalúa en '( 1 K/, se obtiene. M'(/ 1 N'(/'( * K/ - � M'K/ 1 N'K/'K * K/ - � M'K/ 1 N'(/ 0 - � M'K/ 1 0 - � M'K/ 1 �

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.29292929.... Calcular el valor del residuo de la división, sin efectuar la división: '(F * 5(, - 7/ � '( * 2/ SoluciónSoluciónSoluciónSolución

Según el teorema del residuo, el residuo de la división '(F * 5(, - 7/ � '( * 2/ es el valor del

polinomio M'(/ 1 '(F * 5(, - 7/ cuando ( 1 2.

M'2/ 1 '2F * 5 � 2, - 7/ 1 8 * 20 - 7 1 *5 El residuo es *5.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1.1.1.1.33330000.... Sin efectuar la división, calcular el residuo de la división '(F * 2(, - 1/ � '( * 8/

SoluciónSoluciónSoluciónSolución El residuo de la división '(F * 2(, - 1/ � '( * 8/ es el valor del polinomio

M'(/ 1 (F * 2(, - 1 cuando ( 1 8 M'8/ 1 8F * 2'8/, - 1 1 512 * 128 - 1 1 385 El residuo de la división planteada es 385385385385


Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.33331111.... Calcular el residuo de la siguiente división sin efectuarlo: '() * 3(, * 6/ � '( - 3/ SoluciónSoluciónSoluciónSolución

El residuo de la división '() * 3(, * 6/ � '( - 3/ es el valor del polinomio

M'(/ 1 () * 3(, * 6 cuando ( 1 *3 M'*3/ 1 '*3/) * 3'*3/, * 6 1 81 * 27 * 6 1 48 El residuo de la división planteada es 48484848

Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.3333. . . . Teorema del factor:Teorema del factor:Teorema del factor:Teorema del factor:

Dados un polinomio M'(/ y un número real K, si '( * K/ es un factor de M'(/, entonces K es una raíz de M'(/ y recíprocamente, si un numero K, es raíz de un polinomio M'(/, entonces '( * K/ es un factor de M'(/.

Demostración:Demostración:Demostración:Demostración: �� '( * K/ es factor de M'(/, entonces: M'(/ 1 N'(/'( * K/ De donde: M'K/ 1 N'(/'K * K/ 1 0 �� '( * K/ es factor de M'(/, entonces: M'(/ 1 N'(/'( * K/ K es raiz de la ecuacion M'(/ 1 0 �� K es raiz de la ecuacion M'(/ 1 0, entonces: M'K/ 1 0

Según el teorema del residuo se tiene que: M'(/ 1 N'(/'( * K/ - M'K/ 1 N'(/'( * K/

Entonces '( * K/ es factor de M'(/.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1.31.31.31.32222.... Determinar si '( * 1/ es factor de M'(/ 1 () - 2(F * 5(, - 3( * 1


De acuerdo al teorema del factor '( * 1/ es factor de M'(/ si y solo si M'1/ 1 0

M'(/ 1 () - 2(F * 5 (, - 3( * 1

M'1/ 1 1) - 2 � 1F * 5 � 1, - 3 � 1 * 1 M'1/ 1 1 - 2 * 5 - 3 * 1 1 6 * 6 1 0

Por lo tanto '( * 1/ es factor de la ecuación dada: () - 2(F * 5(, - 3( * 1.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1.31.31.31.33333....

Determinar si '( - 2/ es factor de M'(/ 1 (7 * 2(F - 3(, - 4


De acuerdo al teorema del factor '( - 2/ es factor de M'(/ si y solo si M'*2/ 1 0

M'*2/ 1 '*2/7 * 2'*2/F - 3'*2/, - 4 1 *32 - 16 - 12 - 4 1 0

Por lo tanto '( - 2/ es factor de la ecuación dada: (7 * 2(F - 3(, - 4.

Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.4444. Número de raíces de un polinomio. Número de raíces de un polinomio. Número de raíces de un polinomio. Número de raíces de un polinomio

Un polinomio M'(/ de grado T puede tener cuando mas T raices. Este teorema se presenta sin demostración.2

2 Oteyza de Oteyza, elena. (1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. Mexico. Pag. 316


Raíces racionales de polinomios enterosRaíces racionales de polinomios enterosRaíces racionales de polinomios enterosRaíces racionales de polinomios enteros

Considerando el polinomio: M'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - S - KF(F - K,(, - KR( - K6 de grado T con coeficientes enteros y K6 X 0. KP recibe el nombre de coeficiente principal.

Si �� es una raíz racional de M'(/ 1 0, con la fracción

�� en su mínima expresión, entonces:

KP p��qP - KPQR p�

�qPQR - S - KR p��q - K6 1 0, multiplicado por �P se tiene:

KP�P - KPQR�PQR� - S - KR��PQR - K6�P 1 0 Luego: KP�P - KPQR�PQR� - S - KR��PQR 1 *K6�P

Factorizando � del lado izquierdo de la ecuación:

�'KP�PQR - KPQR�PQ,� - S - KR�PQR/ 1 *K6�P

Se tiene que p es un divisor del primer miembro de la ecuación, por consiguiente también lo

es del lado derecho, pero si p es divisor de '*K6�P/ , como �� está en su mínima expresión, p

no puede dividir a q y entonces debe ser divisor de K6. Por lo tanto p es divisor de K6.

De la misma forma, de: KP�P - KPQR�PQR� - S - KR��PQR - K6�P 1 0, se tiene

KPQR�PQR� - S - KR��PQR - �P 1 *KP�P

Procediendo como la demostración anterior se obtiene que q es divisor de an.

De esto se concluye que las raíces racionales de �� de un polinomio con coeficientes enteros

M'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - S - KF(F - K,(, - KR( - K6, con K X 0 son tales que � es divisor de K6 y � es divisor de KP.

Si el polinomio tiene la forma M'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - S - KF(F - K,(, - KR( - K6, buscar las raíces racionales equivale a encontrar las raíces enteras del polinomio, o sea, se debe analizar en los divisores de K6.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1.31.31.31.34444::::

Encontrar las raíces racionales del polinomio: 2(F * 3(, * 9( - 10

Solución:Solución:Solución:Solución: Los divisores del término independiente (10) son: d1, d2, d5, d10 Los divisores del coeficiente principal (2) son: d1, d2

Considerando todos los posibles cocientes de la forma �� : d1, d R

, , d2, d5, 7, , d10

Para decidir cuál de los valores es raíz del polinomio se puede utilizar la división sintética.

Normalmente se comienza analizando con los enteros más pequeños. Se toma (x – 1) y se aplica la división sintética:

2 – 3 – 9 10 1 2 – 1 – 10 2 – 1 – 10 0

Entonces: 2(F * 3(, * 9( - 10 1 '( * 1/'2(, * ( * 10/.


Para encontrar las raíces racionales de '2(, * ( * 10/, se observa que los posibles cocientes son los mismos que en el caso del polinomio original, por lo tanto, puede utilizarse el mismo método, sin embargo, al ser este polinomio de segundo grado, es más sencillo aplicar la formula general para polinomios de segundo grado, o algún caso de factoreo, que igualmente puede permitir hallar las raíces buscadas de la ecuación.

De esta manera se tiene que: '2(, * ( * 10/ 1 '( - 2/'2( * 5/.

Luego: 2(F * 3(, * 9( - 10 1 '( * 1/'( - 2/'2( * 5/.

Se observa que 2( * 5 1 0, resolviendo se tiene que ( 1 7,.

Las raíces racionales del polinomio 2(F * 3(, * 9( - 10, son: 1, *2 y 7,.

Ecuación condicionalEcuación condicionalEcuación condicionalEcuación condicional

Una ecuación condicional es aquella para la cual un solo valor de la variable satisface la ecuación y la convierte en igualdad.

Cuando en algebra se habla de resolución de ecuaciones se hace referencia a ecuaciones condicionales. La solución de una ecuación condicional puede verificarse sustituyendo la variable por su valor determinado en la ecuación.

Una ecuación es inconsistente cuando la ecuación es falsa para todo valor posible de la variable.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.35353535.... Verificar si la ecuación 2( * 6 1 10 es una ecuación condicional. SoluciónSoluciónSoluciónSolución

2( * 6 1 10 2( 1 10 - 6 ( 1 162 ( 1 8

( 1 8 es el único valor que satisface la ecuación, por lo tanto, 2( * 6 1 10 es una ecuación condicional.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.36363636.... Verificar si la ecuación 3( * ( 1 2( es una ecuación condicional.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 3( * ( 1 2( 2( 1 2( 2( * 2( 1 0 0 1 0

Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer gradoEcuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las

variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable de grado uno. En el plano cartesiano, una ecuación de primer grado se representa por una recta,

de ahí el nombre de ecuación lineal dado a una ecuación de primer grado.

La forma más común de representar una ecuación lineal es: 9 1 �8 - h

Donde ` representa la pendiente, el valor de L determina la ordenada al origen, es el punto donde la recta corta al eje de las : (ordenada)

Las ecuaciones en las que aparece el término (. : no son consideradas lineales.


EjemEjemEjemEjemplo 1.plo 1.plo 1.plo 1.37373737.... Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

2( - 3: 1 15

5( - : * 7 1 *2( - 4: - 3

5( * 2: - 3� 1 22

Teorema Teorema Teorema Teorema 1.1.1.1.5555. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano Si una función continua ;'(/ asume valores de signos opuestos en los puntos extremos del intervalo yK, Lz, esto es, si ;'K/ � ;'L/ ] 0, entonces existe por lo menos un punto (� U yK, Lz, tal que ;'(�/ 1 0.

Este teorema se presenta sin demostración.3

Teorema Teorema Teorema Teorema 1.61.61.61.6. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano. Teorema de Bolzano Sean K ] L y sea ;'K/ � ;'L/ ] 0 (;'K/ : ;'L/ tienen signos opuestos). Entonces ; tiene en yK, Lz un número impar de raíces. Si ;'K/ � ;'L/ \ 0, entonces ; tiene un numero par de raíces en yK, Lz (y en particular puede tener cero). Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad.


Se presentan dos versiones diferentes del teorema de Bolzano (1,5. y 1.6.), pero referidos a una misma situación matemática. Tal presentación se realiza para que el lector pueda considerar que un mismo teorema se presenta de manera diferente por autores diferentes, pero que el concepto estricto de la esencia matemática permanece inalterable.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1.1.1.1.7777.... Verificar en qué intervalo se encuentra una raíz real de la ecuación () * 2( SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se intenta aleatoriamente aplicar el teorema de Bolzano y verificar que: ;'K/ � ;'L/ ] 0 Se parte de ;'(/ 1 () * 2(.

Evaluar: ;'K/ 1 ;'1/ 1 1) * 2 � 1 1 1 * 2 1 *1.

Evaluar: ;'L/ 1 ;'2/ 1 2) * 2 � 2 1 16 * 4 1 12.

Aplicando: ;'K/ � ;'L/ ] 0 '*1/ � 12 ] 0 Se tiene que ;'1/ : ;'2/ tienen signos opuestos, por lo tanto según el teorema de Bolzano en el intervalo [1, 2] existe una raíz real.

3- La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis

Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 28

4. La demostración de este teorema en: Bernis, Francisco. Malet, Antonio. Molinas, Cesar. 1983. Matemáticas. Editorial Noger S.A. Madrid, España. Pág. 469.


Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.7777. Teorema de Descartes. Teorema de Descartes. Teorema de Descartes. Teorema de Descartes El numero de raíces positivas de una ecuación ;'(/ 1 0 es menor o igual que el numero de variaciones de signo en ;'(/. El numero de raíces negativas es menor o igual que el numero de variaciones de signo en ;'*(/. (Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad).

Si M'(/ es un polinomio, escrito en orden descendente y con término independiente distinto de cero:

1. El numero de raíces positivas de M'(/ es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio, o bien, el numero de cambios de signo menos un entero par.

2. El numero de raíces negativas de M'(/ es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio M'*(/, o bien, el numero de cambios de signo de M'*(/, menos un entero par.


Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.39393939.... Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio:

M'(/ 1 (7 - 7() - 5(F * 6(, - 12( * 5

SoluciónSoluciónSoluciónSolución El polinomio es de grado cinco (5º grado), por lo tanto puede tener como máximo cinco raíces. La grafica de la ecuación se presenta en la fig. 1.19.

Según la ecuación M'(/ 1 (7 - 7() - 5(F * 6(, - 12( * 5 Los cambios de signos del polinomio son 3 (tres), esto indica que el polinomio puede tener tres raíces positivas o solo una.

Según la ecuación M'*(/ 1 *(7 - 7() * 5(F * 6(, * 12( * 5 Los cambios de signos de este polinomio son dos (dos), indicando que el polinomio puede tener dos raíces negativas o ninguna.

Resolviendo la ecuación, se comprueba que tiene dos raíces negativas y una raíz positiva, estas raíces son: (R 1 *5,923 … ; (, 1 *2,217 … ; (F 1 0,454 … ;

Como la ecuación es de grado cinco, las otras dos raíces son complejas conjugadas.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.40404040.... Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio: M'(/ 1 () * 3(, * 1

SoluciónSoluciónSoluciónSolución El polinomio es de grado cuatro (4º grado), por lo tanto puede tener como máximo cuatro raíces. La grafica de la función se presenta en la fig. 1.20.

Para contar los cambios de signos, no es necesario completar la ecuación, en este caso faltan los términos en (F y ( , solo hay que ordenarlos de mayor a menor.

Prueba de raíces positivas. Sea la ecuación: M'(/ 1 () * 3(, * 1 Solo existe un cambio de signo, esto indica que el polinomio tiene una raíz positiva.

Prueba de raíces negativas. Sea la ecuación: M'*(/ 1 () * 3(, * 1

5. La demostración de este teorema en: Bernis, Francisco. Malet, Antonio. Molinas, Cesar. 1983. Matemáticas. Editorial Noger S.A. Madrid, España. Pág. 468.


-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-3

-2

-1

1

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-25

-20

-15

-10

-5

x

y

En este caso también existe solamente un cambio de signo, indicando que el polinomio tiene una raíz negativa.

Resolviendo la ecuación, se comprueba que tiene una raíz positiva y una raíz negativa, estas raíces son: (R 1 *1,817 … ; (, 1 1,817 …

Como la ecuación es de grado cuatro, solamente tiene una raíz positiva y una raíz negativa, las otras dos raíces son complejas conjugadas. Fig. 1.19. Fig. 1.19. Fig. 1.19. Fig. 1.19. Fig.1.20Fig.1.20Fig.1.20Fig.1.20

Forma sencilla de evaluar polinomios:Forma sencilla de evaluar polinomios:Forma sencilla de evaluar polinomios:Forma sencilla de evaluar polinomios:

La tecnología actualmente permite contar con máquinas que pueden realizar cálculos precisos, con errores mínimos y con una extraordinaria rapidez. La aplicación de las calculadoras electrónica a las matemáticas facilita enormemente este proceso, al evaluar en forma directa un polinomio cualquiera, que luego de encontrar las raíces, se procede a realizar las demostraciones u ordenamientos correspondientes respecto de cada polinomio evaluado.

Polinomios que no tienen raíces racionalesPolinomios que no tienen raíces racionalesPolinomios que no tienen raíces racionalesPolinomios que no tienen raíces racionales

Una sencilla regla para verificar si un polinomio con coeficientes enteros tiene o no raíces racionales es la siguiente. Considerando el polinomio:

M'(/ 1 KP(P - KPQR(PQR - S - KR( - K6, con K X 0, de grado mayor o igual a 2 y cuyos coeficientes son números enteros. Si KP, K6 : M'1/ son impares, entonces M'(/ no tiene raíces racionales.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1.1.1.1.44441.1.1.1. Encontrar las raíces racionales del polinomio:

M'(/ 1 27(� * 8(� - 16(� * 11(7 - 3() * 5(F * 18( * 25

Solución:Solución:Solución:Solución: El coeficiente del término de grado mayor '27(�/ es 27, el término independiente es '*25/, y al evaluar el polinomio en M'1/, el resultado obtenido es '*21/. Los tres números '27, *25, *21/ son impares, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales según la regla precedente. Si no es posible contar con el criterio de los enteros impares, se debe proceder de otra forma

Cotas Cotas Cotas Cotas para las raíces de polinomiospara las raíces de polinomiospara las raíces de polinomiospara las raíces de polinomios En la búsqueda de raíces de polinomios, saber que ellas se encuentran en un intervalo determinado, reduce el número de posibilidades facilitando enormemente los cálculos, ahorrando tiempo de trabajo y operaciones a realizar. Se debe buscar dos números A y B de


tal manera que pueda asegurarse que las raíces del polinomio se encuentran en el intervalo [A, B], donde A es una cota inferior y B es una cota superior de las raíces del polinomio.

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Sea M'(/ un polinomio. Si L es un número positivo tal que al efectuar la división sintética de M'1/ entre '( * L/, los números obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo, son todos positivos o cero, entonces L es una cota superior para las raíces de M'(/.

Si K es un numero negativo y al efectuarse la división de M'(/ entre '( * K/, los números obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo tienen signos; uno positivo o cero y el siguiente negativo o cero alternadamente, o viceversa, entonces K es una cota inferior de las raíces de M'(/.


Mostrar que < 1 *1 y = 1 2 son cotas inferior y superior respectivamente para las raíces

del polinomio M'(/ 1 6() * 11(F - 10(, * 11( - 4, y encontrar todas las raíces reales.

Solución:Solución:Solución:Solución: Efectuando el cociente M'(/ entre '( - 1/, usando división sintética:

6 – 11 10 – 11 4 – 1 – 6 17 – 27 38

6 – 17 27 – 38 42

Los coeficientes tienen signos alternados, entonces A = – 1 es una cota inferior para las raíces del polinomio.

Efectuando el cociente M'(/ entre '( * 2/, usando división sintética:

6 – 11 10 – 11 4 2 12 2 24 26

6 1 12 13 30

Puesto que los signos de los coeficientes son todos positivos, B = 2 es una cota superior para las raíces del polinomio.

Por lo tanto, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo [– 1, 2]

Sea la ecuación M'(/ 1 6() * 11(F - 10(, * 11( - 4, analizando se tiene que el polinomio es de grado cuatro y por lo tanto posee como máximo cuatro raíces.

Usando la regla de los signos de Descartes, la ecuación M'(/ tiene cuatro cambios de signos, lo que indica que habrá cuatro, dos o ninguna raíz real positiva. Evaluando la ecuación en M'*(/ se tiene: M'(/ 1 6() - 11(F - 10(, - 11( - 4, donde se nota que no existe cambio de signo, o sea, no hay raíces negativas.

En estas condiciones, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo (0, 2) y puede ser a los más dos.

Buscando las raíces racionales del polinomio, se tiene que los divisores de 4 (término independiente) y 6 (coeficiente principal) son: d1, d2, d4, : d 1, d2, d3, d6.


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Los cocientes de los divisores de 4 y 6 son: d1, d R, , d R

F , d R� , d2, d ,

F , d4, d )F

Pero como las raíces buscadas se encuentran en el intervalo [0, 2], solo se consideran

1, 12 , 1

3 , 16 , 2

3 , 43

Evaluando el polinomio se encuentra que 2

1 y

3

4 son raíces del polinomio, entonces:

M'(/ 1 6() - 11(F - 10(, - 11( - 4 1 p( * 12q p( * 4

3q '(, - 1/

En la figura 1.21. se presenta la grafica del polinomio.

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.22221.1.1.1.

Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.Teorema 1.8888. Teorema fundamental del algebra. Teorema fundamental del algebra. Teorema fundamental del algebra. Teorema fundamental del algebra

Cualquier polinomio con coeficientes complejos y de grado mayor o igual que uno tiene al menos una raíz ya sea real o compleja.

Teorema 1.9Teorema 1.9Teorema 1.9Teorema 1.9. . . . Teorema de los pares conjugadosTeorema de los pares conjugadosTeorema de los pares conjugadosTeorema de los pares conjugados

Si M'(/ es un polinomio con coeficientes reales y si ¨ 1 'K - L�/ es una raíz de M'(/, entonces el numero complejo conjugado de ¨, es decir ¨ 1 'K - L�/ también es una raíz de M'(/.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1.1.1.1.43434343. . . .

Si '2 - �/ es una raíz del polinomio M'(/ 1 () * (F * 11(, - 31( * 20, encontrar otra raíz compleja del polinomio.

Solución:Solución:Solución:Solución: Las raíces complejas de los polinomios con coeficientes reales aparecen por pares conjugados, entonces como el conjugado de (2 + i) es (2 – i) éste debe ser raíz del polinomio. Se realiza la división por el método de Ruffini.

1 * 1 * 11 31 * 20 '2 * �/ '2 * �/ '1 * 3�/ '*23 - 4�/ 20

1 '1 * �/ '*10 * 3�/ '8 - 4�/ 0

Entonces '2 * �/ es raíz del polinomio. Resolviendo el polinomio por otros métodos se concluye que además de las raíces complejas '2 - �/ y '2 * �/ posee dos raíces reales que son *4 y 1.


-4 -3 -2 -1 1 2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

La figura 1.22 representa gráficamente la ecuación: M'(/ 1 () * (F * 11(, - 31( * 20

Fig. 1.22.Fig. 1.22.Fig. 1.22.Fig. 1.22.

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.44444444. . . . Encontrar un polinomio con coeficientes enteros de grado 5, si tres de sus raíces son:

*3, �, 1 * 2�2


Como � y RQ,�, son raíces del polinomio, sus conjugados deben serlo también, entonces, las

raíces del polinomio son: *3, �, *�, RQ,�, , R�,�

, son todas las raíces del polinomio.

Entonces: M'(/ 1 '( - 3/'( * 1/'( - �/ p( * 1 * 2�2 q p( - 1 * 2�

2 q

Entonces: M'(/ 1 '( - 3/'(, * 1/ p(, * ( - 54q

Si se multiplica el polinomio obtenido por cualquier constante, se obtiene otro polinomio que tiene las mismas raíces. Para obtener un polinomio con coeficiente enteros, se multiplica por 4 el polinomio obtenido.

M'(/ 1 '( - 3/'(, * 1/ p(, * ( - 54q 1 4(7 - 8() * 11(F - 7(, - 7( * 15

Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.Ejemplo 1.45454545.... Encontrar las raíces reales del polinomio ( 8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290), se sabe que

dos de sus raíces son 1 y 4

73 i+−


Como 4

73 i+− es raíz del polinomio, su conjugado

4

73 i−− también lo es. Entonces se calcula

el producto: (x – 1)

+−−4

73 ix

−−−4

73 ix = x3 +

8

29

8

17

2

1 2 −+ xx

Dividiendo: (8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290) ÷ (x3 + 8

29

8

17

2

1 2 −+ xx )

Se obtiene: (8x2 – 16x + 80). De donde:

(8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290) = (x3 + 8

29

8

17

2

1 2 −+ xx ) (8x2 – 16x + 80)


-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Se resuelve: (8x2 – 16x + 80), sacando factor común (8) queda: 8(x2 – 2x + 10).

Hallando las raíces de (x2 – 2x + 10), se obtiene: (1 ± 3i).

Las raíces del polinomio son: 1, 1 + 3i, 1 – 3i, 4

73 i+−,

4

73 i−−

EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS RESUELTOSRESUELTOSRESUELTOSRESUELTOS

Observación: En la mayoría de los casos se omiten las tablas de valores

EjeEjeEjeEjercicio resuelto Nº 1rcicio resuelto Nº 1rcicio resuelto Nº 1rcicio resuelto Nº 1 Graficar la función y halla la raíz : 1 3( * 2

( 0 2

: -2 4

3( * 2 1 0

( 1 23

La raíz de la función es ,F Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.22223.3.3.3.

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 2222 Halla el dominio y el codominio de la siguiente función y grafique. ;'(/ 1 (, * 2( * 1 Solución:Solución:Solución:Solución: La función es cuadrática, por lo tanto polinomial, y el dominio de toda función polinomial es el conjunto de los reales A, por lo tanto el dominio de la función es y*∞, -∞z y la parábola habre

hacia arriba, pues el coeficiente de (, t{ 1, : 1 \ 0. De: ;'(/ 1 (, * 2( * 1; K 1 1, L 1 *2, ? 1 *1

Las coordenadas vértices se halla por: ( 1 Qf,g

( 1 *L2K 1 *'*2/

2'1/ 1 22 1 ©

: 1 ;'1/ 1 1, * 2.1 * 1 1 1 * 2 * 1 1 *i

El vértice está en '1, *2/

El codominio de la función es y*2, ∞y, pues la grafica abre hacia arriba y la ordenada del vértice es *2. Las raíces de la ecuación se pueden hallar por la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado. Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.24444....


-0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

xy

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 3333 Halla el dominio y el codominio de la siguiente función y grafique. ;'(/ 1 *2(, - 3(

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es '*∞, -∞/ La parábola abre hacia abajo, pues el coeficiente de (, t{ * 2, y *2 ] 0. Las coordenadas vértices:

( 1 *L2K 1 *'3/

2'*2/ 1 *3*4 1 3

4

: 1 ; p34q 1 *2. p3

4q,

- 3. p34q 1 * 9

8 - 94 1 ª

«

El vértice está en aF) , ¬

� c Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.25555

El codominio de la función es] *∞, ¬�z, pues la grafica abre hacia abajo y la ordenada del

vértice es ¬�.

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 4444 Sea la función ;'(/ 1 *(F - 3 Halla el dominio, el codominio, una raíz y grafica.

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es: '*∞, -∞/ El codominio de la función es: '*∞, -∞/ La gráfica corta al eje : en 3 (termino independiente)

El valor de ( esta dado por: *(F - 3 1 0

(F 1 3 > ( 1 √3 1 1,442249 …

Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.26666

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 5555 De la funcion ;'(/ 1 *() * (, - ( * 1. Halla: El dominio, el codominio y grafica.

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es: '*∞, -∞/ El codominio de la función es: '*∞, *0,785z La gráfica corta al eje : en *1 (termino independiente) La grafica no corta al eje de las (, por lo tanto la ecuación no tiene ninguna raíz real, y como la ecuación es de cuarto grado, debe tener cuatro raíces; en este caso, todas son complejas. Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.27777


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

1

2

3

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

2

4

6

8

x

y

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 6666 De la funcion ;'(/ 1 √4 * 2(. Halla: El dominio, el codominio y grafica.

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es: '*∞, 2z El codominio de la función es: y0, ∞/ La gráfica corta al eje : en 2 La única raíz de la función es ( 1 2 Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.28888

Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº Ejercicio resuelto Nº 7777

De la funcion ;'(/ 1 √9 * (,. Halla: El dominio, el codominio, las raices y grafica.

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es: y*3, 3z El codominio de la función es: y0, 3z La gráfica corta al eje : en 3 Las raíces son *3 : 3 Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.2Fig. 1.29999....


De la funcion ;'(/ 1 √(, * 3( * 4. Halla: El dominio, el codominio, las raices y grafica.

Solución:Solución:Solución:Solución: El dominio de la función es: '*∞, *1z ® y4, ∞/ El codominio de la función es: y0, ∞/ La gráfica corta al eje : en 2 Las raíces son *1 : 4 Fig. 1.30Fig. 1.30Fig. 1.30Fig. 1.30....


Sea la función: ;'(/ 1 2(F - (, * 5( - 3, verificar la cantidad de raíces reales de la ecuación.

Solución: Solución: Solución: Solución: Se grafica la función y se observa que ésta corta al eje de las ( en un solo punto, lo que indica que esta ecuación tiene una raíz real. La función es cúbica, por lo tanto las otras dos raíces son complejas (las raíces complejas están siempre en pares conjugados).

;'(/ 1 2(F - (, * 5( - 3

Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.Fig. 1.33331.1.1.1.

( :

*1 7

*2 1

0 3

1 1

2 13


Ejercicio resuelto Nº 10Ejercicio resuelto Nº 10Ejercicio resuelto Nº 10Ejercicio resuelto Nº 10 Halla todas las raíces del polinomio M'(/ 1 (F - 5(, * 17( * 21 aplicando la regla de Ruffini y sabiendo que una de las raíces es 3.

¯°±²³´óóóóµ 1 5 * 17 * 21 3 3 - 24 - 21

1 8 7 0

'(F - 5(, * 17( * 21/ � '( * 3/ 1 (, - 8( - 7

Para resolver la ecuación de segundo grado se puede aplicar la formula general, o simplemente un caso de factoreo de trinomios. Factorizando se tiene: (, - 8( - 7 1 '( - 7/'( - 1/ Luego: (F - 5(, * 17( * 21 1 '( * 3/'( - 7/'( - 1/ Por lo tanto las raíces son: 3, *7, *1

Ejercicio resuelto Nº 11Ejercicio resuelto Nº 11Ejercicio resuelto Nº 11Ejercicio resuelto Nº 11 Verificar si 2 es una solución de la ecuación: P'x/ 1 x) * 5x * 6

Solución:Solución:Solución:Solución: Para verificar si K 1 2 es raíz de la ecuación, se sustituye en la ecuación y se obtiene

M'(/ 1 () * 5( * 6 ;'2/ 1 2) * 5 � 2 * 6 1 16 * 10 * 6 1 0 Al hallar ;'2/ 1 0, indica que 2 es una raíz de la ecuacion

Ejercicio resuelto Nº 12Ejercicio resuelto Nº 12Ejercicio resuelto Nº 12Ejercicio resuelto Nº 12 Halla la raíz de la ecuación 2( 1 *4 en N (conjunto de los números naturales).


2( 1 *4 > ( 1 *4 2 1 *2

Bajo estas condiciones la ecuación 2( 1 *4 no tiene solución, ya que no existe ningún número natural igual a *2. Sin embargo, existe solución a esta ecuación, pero en Z (conjunto de los números enteros), ya que *21 pertenece a los números enteros.

Ejercicio resuelto Nº 13Ejercicio resuelto Nº 13Ejercicio resuelto Nº 13Ejercicio resuelto Nº 13

Resolver la ecuación: ( * 1 1 √5 * (


( * 1 1 √3 * (

'( * 1/, 1 G√3 * (I,

(, * 2( - 1 1 3 * (

(, * ( * 2 1 0 De donde se obtiene que: ( 1 2 : ( 1 *1

Al sustituir ( 1 2 en la ecuación ( * 1 1 √3 * (, éste se verifica, o sea, hace la proposición

verdadera. Sin embargo, al sustituir ( 1 *1 en la ecuación ( * 1 1 √3 * (, esta no se verifica, por lo tanto *1 no es solución de la ecuación original, luego, *1 es una solución extraña de la ecuación.


-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

x

y

Ejercicio resuelto Nº 14Ejercicio resuelto Nº 14Ejercicio resuelto Nº 14Ejercicio resuelto Nº 14 Calcular el valor del residuo de la división, sin efectuar la división: '(F * 3(, - 2/ � '( - 1/ SoluciónSoluciónSoluciónSolución

Según el teorema del residuo, el residuo de la división '(F * 3(, - 2/ � '( - 1/ es el valor del

polinomio M'(/ 1 '(F * 3(, - 2/ cuando ( 1 *1.

M'*1/ 1 ''*1/F * 3 � '*1/, - 2/ 1 *1 * 3 - 2 1 *2 El residuo es *2.

Ejercicio resuelto Nº 15Ejercicio resuelto Nº 15Ejercicio resuelto Nº 15Ejercicio resuelto Nº 15

Determinar si '( * 2/ es factor de M'(/ 1 (7 - 2(F * 3(, - 5( * 46


De acuerdo al teorema del factor '( * 2/ es factor de M'(/ si y solo si M'2/ 1 0

M'(/ 1 (7 - 2(F * 3(, - 5( * 46

M'2/ 1 27 - 2 � 2F * 3 � 2, - 5 � 2 * 46 M'2/ 1 32 - 16 * 12 - 10 * 46 1 0

Luego '( * 2/ es factor de la ecuación dada: (7 - 2(F * 3(, - 5( * 46.

Ejercicio resuelto Nº 16Ejercicio resuelto Nº 16Ejercicio resuelto Nº 16Ejercicio resuelto Nº 16 Verificar en qué intervalo se encuentra una raíz real de la ecuación 5() * 3(, * 1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución La más fácil y simple manera de verificar en que intervalos se encuentran las raíces de un polinomio es graficándolo (fig. 1.32). Claramente se nota que una raíz real se Encuentra en y*1, *0.8z Otra raíz real en y0.8, 1z Se verifica por el teorema de Bolzano ;'K/ � ;'L/ ] 0

;'(/ 1 5() * 3(, * 1 ;'0.8/ 1 5'0.8/) * 3'0.8/, * 1 ;'0.8/ 1 2,048 * 1,92 * 1 1 *0,872

;'1/ 1 5'1/) * 3'1/, * 1 Fig. 1.32.Fig. 1.32.Fig. 1.32.Fig. 1.32. ;'1/ 1 5 * 3 * 1 1 1 Luego ;'0.8/ : ;'1/ tienen signos opuestos, y por el teorema de Bolzano existe una raíz real en el intervalo y0.8, 1z La misma verificación puede hacerse con el otro intervalo y*1, *0.8z

Ejercicio resuelto NºEjercicio resuelto NºEjercicio resuelto NºEjercicio resuelto Nº 17171717 Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio:

M'(/ 1 (7 - 2() - 3(F * 2(, - 6( * 1

SoSoSoSoluciónluciónluciónlución El polinomio es de grado cinco (5º grado), por lo tanto puede tener como máximo cinco raíces.


-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-6

-4

-2

2

4

x

y

Según la ecuación M'(/ 1 (7 - 2() - 3(F * 2(, - 6( * 1 Los cambios de signos del polinomio son 3 (tres), esto indica que el polinomio puede tener tres raíces positivas o solo una.

Según la ecuación M'*(/ 1 *(7 - 2() * 3(F * 2(, * 6( * 1 Los cambios de signos de este polinomio son dos (dos), indicando que el polinomio puede tener dos raíces negativas o ninguna.

La grafica (fig. 1.33) evidencia que existe una sola raíz real en el polinomio considerado. Fig. 1.33.Fig. 1.33.Fig. 1.33.Fig. 1.33.

Ejercicio resuelto Nº 18Ejercicio resuelto Nº 18Ejercicio resuelto Nº 18Ejercicio resuelto Nº 18 Encontrar las raíces racionales del polinomio:

M'(/ 1 9(7 - 2() * 4(F * 7( - 5


M'(/ 1 9(7 - 2() * 4(F * 7( - 5 M'1/ 1 9 - 2 * 4 * 7 - 5 1 5

El coeficiente del término de grado mayor '9(7/ es 9, el término independiente es '5/, y al evaluar el polinomio en M'1/, el resultado obtenido es '5/. Los tres números '9, 5, 5/ son impares, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales, por lo tanto se debe proceder de otra manera para concluir con precisión.

EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN6666 Cada ejercicio y problema va acompañado de sus respectivos resultados. Los distintos gráficos de cada ejercicio aparecen en la parte final de este capítulo

Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1.

Grafica la función y halla la raíz del polinomio: : 1 2( - 5 Raíz: * 7, 1 *2.5

Ejercicio 1.2.Ejercicio 1.2.Ejercicio 1.2.Ejercicio 1.2. 2) Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función: 2(, - 3( - 1

¯°±²³´óµ: dominio 1 '*∞, ∞/ codominio 1 ¶* 14 , ∞q 1 y*0.25, ∞/ raices 1 *1, *0,5

6 Extraídos de: Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya. Hernández Garciadiego, Carlos. Carrillo Hoyo,

Ángel Manuel. Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. México 1998.


EjerEjerEjerEjercicio 1.3.cicio 1.3.cicio 1.3.cicio 1.3. Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función: (, * 5( * 3 ¯°±²³´óµ: dominio 1 '*∞, ∞/ codominio 1 y*9.25, ∞/ raices 1 *1, *0.5

Ejercicio 1.4.Ejercicio 1.4.Ejercicio 1.4.Ejercicio 1.4. Halla el dominio, el codominio, una raíz real y grafica la siguiente función: (F * 5 ¯°±²³´óµ: dominio 1 '*∞, ∞/ codominio 1 '*∞, ∞/ raiz 1 1,71

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.5555.... Halla el dominio, el codominio y grafica la siguiente función: () - 3(, * 2( * 3 ¯°±²³´óµ: dominio: '*∞, ∞/ codominio 1 y*3.32, ∞/

Ejercicio 1.6Ejercicio 1.6Ejercicio 1.6Ejercicio 1.6....

Halla el dominio, el codominio, la raíz y grafica la siguiente función: √8 * 3( ¯°±²³´óµ: dominio: '*∞, 2.67z codominio 1 y0, ∞/ raiz 1 2,67

Ejercicio 1.7Ejercicio 1.7Ejercicio 1.7Ejercicio 1.7....

Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función: √16 * 2(, ¯°±²³´óµ: dominio: y*2.8284, 2.8284z codominio 1 y0, 4z raices 1 *2.828 y 2.828

EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 1.81.81.81.8....

Halla el dominio, el codominio, la raíz y grafica la siguiente función: √3(, * 2( - 5 ¯°±²³´óµ: dominio: '*∞, ∞/ codominio 1 y2.2, ∞/ raices 1 complejas

Efectúa las siguientes divisiones utilizando la Efectúa las siguientes divisiones utilizando la Efectúa las siguientes divisiones utilizando la Efectúa las siguientes divisiones utilizando la Regla de RuffiniRegla de RuffiniRegla de RuffiniRegla de Ruffini

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.9999.... '4(F - 6(, * 8( * 2/ � '( * 1/ ¯°±²³´óµ: 4(, - 10( * 2

Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.10000.... '1 * (�/ � '1 - (/ ¯°±²³´óµ: 1 * ( * (, - () * (7 - (� * (�

Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.11111.... '(7 - 1/ � '( - 1/ ¯°±²³´óµ: () * (F - (, * ( - 1

Ejercicio 1.12Ejercicio 1.12Ejercicio 1.12Ejercicio 1.12.... '2(F - 7(, - 4( * 3/ � '( * 3/ ¯°±²³´óµ: 2(, * ( - 1

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.11113333.... '() * 81/ � '( - 3/ ¯°±²³´óµ: (F * 3(, - 9( * 27

Ejercicio 1.14Ejercicio 1.14Ejercicio 1.14Ejercicio 1.14.... '2(F - 8(, * 17( - 10/ � '( - 6/ ¯°±²³´óµ: 2(, * 4( - 7 * 32( - 6


Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.15555.... '4(7 * 9(F * 11(, * 8/ � '( * 2/ ¯°±²³´óµ: 4() - 8(F - 7(, - 3( - 6 - 4( * 2

Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.1Ejercicio 1.16666.... '(� - () - (, - 1/ � '( - 1/ ¯°±²³´óµ: (7 * () - 2(F * 2(, - 3( * 3 - 4( - 1

Ejercicio 1.17Ejercicio 1.17Ejercicio 1.17Ejercicio 1.17.... '(¬ - (� - (F * 3/ � '( * 1/ ¯°±²³´óµ: 1 (� - (� - (� - 2(7 - 2() - 2(F - 3(, - 3( - 3

De las siguientes De las siguientes De las siguientes De las siguientes divisionesdivisionesdivisionesdivisiones, calcula, calcula, calcula, calcularrrr el valor del residuo sin efectuar la divisiónel valor del residuo sin efectuar la divisiónel valor del residuo sin efectuar la divisiónel valor del residuo sin efectuar la división

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.18181818.... '(F - 2( * 56/ � '( * 9/ ·¸¹´º²° 1 691

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.19191919.... '(F - 9(, * 12( - 31/ � '( - 7/ ·¸¹´º²° 1 213

Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.20000.... '() - (F * 2(, * 2(/ � '( - 2/ ·¸¹´º²° 1 4

Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.21111.... '(F - 8(, - 2( - 15/ � '( - 8/ ·¸¹´º²° 1 *1

Determina si Determina si Determina si Determina si '8 * k/ es factor de los siguientes polinomios. es factor de los siguientes polinomios. es factor de los siguientes polinomios. es factor de los siguientes polinomios. En cada caso se da el valor de a.

Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.22222.... M'(/ 1 5(F * 3( - 12, K 1 7 ¯°±²³´óµ: '( * 7/ no es factor

Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.23333.... M'(/ 1 *(7 * 6() * 7(F - 5(, - 6( - 8, K 1 *4 ¯°±²³´óµ: '( - 4/ {� es factor

Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.2Ejercicio 1.24444.... M'(/ 1 *2(7 - 4() * 3(F - 5(, - 7( * 10, K 1 2 ¯°±²³´óµ: '( * 2/ {� es factor


Verificar si el valor de Verificar si el valor de Verificar si el valor de Verificar si el valor de k es raíz de la ecuación dada.es raíz de la ecuación dada.es raíz de la ecuación dada.es raíz de la ecuación dada.

Ejercicio 1.25Ejercicio 1.25Ejercicio 1.25Ejercicio 1.25.... M'(/ 1 12(F - 32(, * 17( * 15, K 1 56 ¯°±²³´óµ: 12(, - 42( - 18

Ejercicio 1.26Ejercicio 1.26Ejercicio 1.26Ejercicio 1.26.... M'(/ 1 24(F * 10(, * 7( - 2, K 1 14 ¯°±²³´óµ: 24(, - 4( * 8

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.27272727.... M'(/ 1 9(7 * () * 729( - 81, K 1 19 ¯°±²³´óµ: 9() * 729

Encuentre las raíces racionales de los polinomiosEncuentre las raíces racionales de los polinomiosEncuentre las raíces racionales de los polinomiosEncuentre las raíces racionales de los polinomios

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.22228888.... M'(/ 1 24(F * 22(, * 5( - 6, ·»´³¸¹: * 12 , 23 , 34

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.29292929.... M'(/ 1 27() - 63(F * 57(, * 7( - 6, ·»´³¸¹: d 13 , 23 , 3

Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.30000.... M'(/ 1 40() - 202(F - 3(, * 34( - 5, ·»´³¸¹: 14 , 15 , * 12 , *5

Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.31111.... M'(/ 1 3(7 * 4() * 2, ·»´³¸¹: no tiene

Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.32222.... M'(/ 1 36(7 * 12() * 95(F * 50(, * ( - 2 ·»´³¸¹: * 1, 2, 12 , * 13 , 16

Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.3Ejercicio 1.33333.... M'(/ 1 64(7 * 56() * 242(F - 223(, * 56( - 4 ·»´³¸¹: 2, *2, 2, 12 , 13 , 16

De los siguientes poliDe los siguientes poliDe los siguientes poliDe los siguientes polinomios, determine el nomios, determine el nomios, determine el nomios, determine el númeronúmeronúmeronúmero de raíces positivas y negativas.de raíces positivas y negativas.de raíces positivas y negativas.de raíces positivas y negativas.

Ejercicio 1.34Ejercicio 1.34Ejercicio 1.34Ejercicio 1.34.... M'(/ 1 3() - 3(F * 7(, * 12( * 4 ¯°±²³´óµ: 1 raiz'-/ y 3 raices '*/

Ejercicio 1.35Ejercicio 1.35Ejercicio 1.35Ejercicio 1.35.... M'(/ 1 10(, * (F * 15( * 25 ¯°±²³´óµ: 1 4 raices'-/ y 1 raiz '*/


Ejercicio 1.36Ejercicio 1.36Ejercicio 1.36Ejercicio 1.36.... M'(/ 1 7(� * 23(� * 5(7 - 4() - 6(F * 23 ¯°±²³´óµ: 1 raiz '*/

Ejercicio 1.37Ejercicio 1.37Ejercicio 1.37Ejercicio 1.37.... M'(/ 1 4(7 * 2() * 15(F - 10(, - 12( * 8 ¯°±²³´óµ: 3 raices'-/ y 2 raices '*/

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.38383838.... M'(/ 1 3(� * 5(7 * 11() - 28(F - 16(, * 32( * 16 ¯°±²³´óµ: 3 raices'-/ y 3 raices '*/

De cada polinomio dado, encontrar un número enteroDe cada polinomio dado, encontrar un número enteroDe cada polinomio dado, encontrar un número enteroDe cada polinomio dado, encontrar un número entero que sea cota superior e inferior.que sea cota superior e inferior.que sea cota superior e inferior.que sea cota superior e inferior.

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.39393939.... M'(/ 1 (7 - 6() * 6(F * 64(, * 27( - 90 ¯°±²³´óµ: � \ 4 : � ] *7

Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.40000.... M'(/ 1 (7 - 9() - 21(F - 21(, - 20( - 12 ¯°±²³´óµ: � \ 1 : � ] *9

Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.41111.... M'(/ 1 2(7 - 25() * 22(F * 113(, - 56( - 52 ¯°±²³´óµ: � \ 3 : � ] *14

Mostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado yMostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado yMostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado yMostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado y encontrar encontrar encontrar encontrar todas las raíces reales. todas las raíces reales. todas las raíces reales. todas las raíces reales.

Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.4Ejercicio 1.42222.... M'(/ 1 3() * 10(F * 27(, - 82( * 24 ¯°±²³´óµ: < 1 *4, = 1 6

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.43434343.... M'(/ 1 3(7 * 22() - 22(F - 16(, * 25( - 6 ¯°±²³´óµ: < 1 *2, = 1 8

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.44444444.... M'(/ 1 4(F * 56(, - 259( * 396 ¯°±²³´óµ: < 1 *1, = 1 14

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.45454545.... M'(/ 1 (7 - 10() - 19(F - 26(, - 17( - 8 ¯°±²³´óµ: < 1 *10, = 1 2


Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas.dadas.dadas.dadas.

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.46464646.... Polinomio de grado 3, R̈ 1 2, ,̈ 1 '3 - �/

¯°±²³´óµ: M'(/ 1 (F * 8(, - 22( * 20

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.47474747....

Polinomio de grado 4, R̈ 1 �, ,̈ 1 G2 - √2�I

¯°±²³´óµ: M'(/ 1 () * 4(F - 7(, * 4( - 6


Polinomio de grado 3, R̈ 1 *�, ,̈ 1 73

¯°±²³´óµ: M'(/ 1 35(F * 7(, - 35( * 7


Polinomio de grado 4, R̈ 1 √5, ,̈ 1 *√5, F̈ 1 �6

¯°±²³´óµ: M'(/ 1 36() * 179(, * 5

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.50505050.... Polinomio de grado 5, R̈ 1 '6 * 3�/, ,̈ 1 '� - 7/, F̈ 1 12

¯°±²³´óµ: M'(/ 1 (7 * 38() - 575(F * 4386(, - 17010( * 27000

Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada caso.Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada caso.Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada caso.Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada caso.

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.55551111.... M'(/ 1 () - 2(, - 1, {� R̈ 1 *� ¯°±²³´óµ: �, *�


M'(/ 1 () * 4(F * 15(, - 80( * 100, {� R̈ 1 '2 * �/

¯°±²³´óµ: '2 - �/, '2 * �/; √20, *√20


M'(/ 1 8() * 49(F - 87(, * ( * 105, {� R̈ 1 * 78

¯°±²³´óµ: * 78 , 3, '2 - �/, '2 * �/

Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.Ejercicio 1.54545454.... 54/ M'(/ 1 () * 2(F - 24(, * 50( * 25, {� R̈ 1 5� ¯°±²³´óµ: 5�, *5�, 1 - √2, 1 * √2


GRÁFICA DE LOS EJERICIOS DE FIJACIÓNGRÁFICA DE LOS EJERICIOS DE FIJACIÓNGRÁFICA DE LOS EJERICIOS DE FIJACIÓNGRÁFICA DE LOS EJERICIOS DE FIJACIÓN

Ejercicio Nº 1 Ejercicio Nº 2 Ejercicio Nº 3

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

x

y

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-8

-6

-4

-2

2

x

y


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

1

2

3

4

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

x

y

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y


-1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

x

y

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

x

y



-3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

5

10

15

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-8

-6

-4

-2

x

y


-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x

y

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y


-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-2

-1

1

2

3

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y



-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3

-2

-1

1

2

x

y

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 53

CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ERRORES IIIIntroducciónntroducciónntroducciónntroducción En la actividad matemática, la ingeniería, la informática y muchas otras ciencias, existen fenómenos muy variados que necesariamente deben ser representados por modelos matemáticos. Estos modelos, por su complejidad o por características particulares no presentan soluciones exactas y las más de las veces no son fáciles de hallarlas, y es aquí, donde los métodos numéricos proporcionan soluciones aproximadas a los problemas que surgen de situaciones muchas veces no solucionables por métodos matemáticos tradicionales. El cálculo numéricos es aquel que aplicando métodos obtiene resultados numéricos que se aproximan a los resultados exactos que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema; estos resultados pueden ser hallados con la precisión que se desee y precisando con anterioridad los márgenes de errores de acuerdo a la rigurosidad y precisión de los resultados esperados. Los métodos numéricos se utilizan para resolver problemas que presentan dificultad para hallar soluciones por medio de los métodos analíticos tradicionales, o situaciones problemáticas que no sean sencillos de resolverlos. Estos métodos proporcionan una sucesión de valores que se aproxima a la solución del problema. Al resolver un problema por métodos numéricos se tendrán siempre presente los errores, siendo éstos de distintos tipos. Al aplicar un método numérico a cualquier situación problemática, se debe emplear un criterio de convergencia, citando con antelación la precisión que se necesite de acuerdo al tipo de problema a solucionar. Al final, el objetivo de los Métodos Numéricos es simplemente resolver problemas numéricos complejos utilizando operaciones matemáticas simples, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos proporcionados, denominándose algoritmos a estos métodos de cálculo. Aproximación numéricaAproximación numéricaAproximación numéricaAproximación numérica En la práctica, los cálculos realizados y los resultados esperados no siempre son exactos, sobre todo en la ciencia y la ingeniería, y muchas veces se debe estar conforme con los resultados obtenidos que son aproximaciones bastantes precisas y validas, brindadas por los métodos numéricos. Por la dificultad que presenta muchas veces elaborar un modelo matemático que se acerca o sea válida para lo que se desea, los resultados obtenidos de tales modelos son casi siempre aproximados; debido a simplificaciones en la elaboración de los modelos y muchas veces por no tomar todos los factores que afectan a un determinado fenómeno. Un ejemplo simple de física seria lo referido a problemas de caída libre, donde se desprecia el rozamiento del aire con el cuerpo en caída libre, sin embargo, en ciertas condiciones, esta situación puede ser muy importante y muy relevante en la solución real del problema.


Modelos matemáticos:Modelos matemáticos:Modelos matemáticos:Modelos matemáticos: Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea formulaciones matemáticas para expresar relaciones, proposiciones, variables, parámetros, entidades y las relaciones entre variables, operaciones o entidades, para analizar y estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difícilmente observables en la realidad. En matemáticas el significado de modelo matemático, es un poco diferente, pues se trabaja con modelos formales. Un modelo formal para una determinada teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La teoría de modelos es la encargada de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos matemáticos. Los modelos matemáticos requieren de parámetros, que en la mayoría de los casos provienen de mediciones experimentales y, por lo tanto, tienen una precisión limitada, que depende de factores externos como los instrumentos de medición, el clima o los métodos aplicados. Los modelos matemáticos resultantes de una modelización normalmente son imposibles de resolver por métodos analíticos conocidos y la solución deseada solamente es posible aproximar por métodos numéricos. Por ejemplo una ecuación de quinto grado. ErroresErroresErroresErrores Los métodos numéricos presentan errores inevitables, por lo tanto se debe considerar tal situación como algo inherente al cálculo numérico. Error absoluto:Error absoluto:Error absoluto:Error absoluto: DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición 1.1. 1.1. 1.1. 1.1. Si ( U AP : (� U AP, es una aproximación a (, se define el error absoluto como: � 1 |( * (�| En forma práctica puede representarse el valor verdadero con ¿À y el valor aproximado con ¿g, esto es por el excesivo uso de la ( en este material, por lo tanto, el error absoluto también puede definirse como la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado y se representarse por: � 1 |¿À * ¿g| Teorema 2.1.Teorema 2.1.Teorema 2.1.Teorema 2.1. El error absoluto de una suma es igual a la suma algebraica de los errores absolutos de los términos que participan en dicha operación. En varios números aproximados en el mismo sentido, el error absoluto de la diferencia es menor que el mayor de los errores absolutos de sus términos. El sentido del error es del mismo sentido si el error del minuendo es mayor que el del sustraendo, y de distinto sentido en caso contrario. Ejemplo 2.1.Ejemplo 2.1.Ejemplo 2.1.Ejemplo 2.1. Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. Verifica si se cumple el teorema 2.1. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. El error absoluto es: 0,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. El error absoluto es: 0,1 Luego: 5 – 2 1 3333; diferencia entre las cantidades exactas.

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 55 5,3 – 2,1 1 3,23,23,23,2; diferencia entre las cantidades aproximadas. 0,3 – 0,1 1 0,20,20,20,2; diferencia entre los errores absolutos. El error absoluto de la diferencia es 0,2, y 0,3 es el mayor error absoluto de uno de sus términos; por lo tanto: 0,2 0,2 0,2 0,2 <<<< 0,30,30,30,3, cumple la condición. El error es del mismo sentido ya que el error del minuendo es mayor que el error del sustraendo. Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.2222.... Sean: 8, 2 y 10 los números exactos y su suma: 8 +2 + 10 1 20202020 Sean: 8,2; 2,1 y 10,2 los números aproximados y su suma: 8,2 + 2,1 + 10,2 1 20,520,520,520,5. Hallar el error absoluto. SSSSoluciónoluciónoluciónolución � 1 |¿À * ¿g| 1 |20 * 20,5| 1 0,5 La suma algebraica de los errores absolutos es: 0,2 + 0,2 + 0,2 1 0,50,50,50,5 Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.3333.... Sea el resultado de una operación en donde se comprueba que el valor exacto es 8 y El valor aproximado hallado es 8,2. Calcular el error absoluto. SoluciónSoluciónSoluciónSolución � 1 |¿À * ¿g| 1 |8 * 8,2|0,2 Existen varias maneras de representar el error absoluto, una de las formas también utilizada con frecuencia es. tg'(/ 1 |( * (Ä| Error relativo:Error relativo:Error relativo:Error relativo: DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición 1.2. 1.2. 1.2. 1.2. Si ( U AP : (� U AP, es una aproximación a (, se define el error relativo como:

�Å 1 |( * (�||(| ( X 0 En forma práctica, el error relativo se define como el cociente entre en error absoluto y el valor verdadero, se representa por:

�Å 1 |¿À * ¿g||¿À| 1 �|¿À| ¿À X 0 Teorema 2.2.Teorema 2.2.Teorema 2.2.Teorema 2.2. El error relativo de una suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el mayor de los errores relativos de los sumandos, mientras tales números presenten errores relativos del mismo sentido. Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.4444.... Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados respectivamente. Demostrar el cumplimiento del teorema 2.2. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y su suma: 2 +10 + 5 1 17171717 Sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados y su suma: 2,1 + 10,2 + 5,3 1 17,617,617,617,6

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 56 El error absoluto de la suma es: 17,6 – 17 1 0,60,60,60,6 El error relativo de la suma es:

17

6,0 1 0,035294117.....0,035294117.....0,035294117.....0,035294117..... El error relativo de cada sumando es: 0,05; 0,02 y 0,06 Luego: 0,02 0,02 0,02 0,02 <<<< 0,0352..... 0,0352..... 0,0352..... 0,0352..... <<<< 0,060,060,060,06 Por lo tanto cumple la condición. Teorema 2.3.Teorema 2.3.Teorema 2.3.Teorema 2.3. El error relativo del producto de dos números tiene el mismo valor que la suma de los errores relativos de los factores más el producto de esos mismos errores. Ejemplo 2.5.Ejemplo 2.5.Ejemplo 2.5.Ejemplo 2.5. Sean: 5 y 10 los números exactos y sean 5,3 y 10,2 los números aproximados, respectivamente. Realiza las operaciones para demostrar el teorema 2.3. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sean: 5 y 10 los números exactos y su producto: 5 × 10 1 50505050 Sean 5,3 y 10,2 los números aproximados y su producto: 5,3 × 10,2 1 54,0654,0654,0654,06 El error absoluto del producto es: 54,06 – 50 1 4,064,064,064,06 El error relativo es:

50

06,4 1 0,08120,08120,08120,0812 El error relativo entre 5 y 5,3 es 0,06 El error relativo entre 10 y 10,2 es 0,02 Luego: 0,06 + 0,02 + '0,06 × 0,02/ 1 0,06 + 0,02 + 0,0012 1 0,08120,08120,08120,0812 Por lo tanto cumple la condición al tener la igualdad: 0.0812 1 0,08120.0812 1 0,08120.0812 1 0,08120.0812 1 0,0812 Teorema 2.4.Teorema 2.4.Teorema 2.4.Teorema 2.4. El error relativo del cociente de dos números dados es igual a la suma o la diferencia de los errores relativos de los datos, dividida por el menor más uno. Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.6666.... Sean: 8 y 2 los números exactos, y cuyos números aproximados respectivamente sean: 8,2 y 2,. Verificar el teorema 2.4. SoSoSoSoluciónluciónluciónlución Sean: 8 y 2 los números exactos y su cociente: 8 ÷ 2 1 4444 Sean: 8,2 y 2,1 los números aproximados y su cociente: 8,2 ÷ 2,1 1 3,904...3,904...3,904...3,904... El error absoluto es: 3,904 – 4 1 –––– 0,096...0,096...0,096...0,096... El error relativo es:

4

096,0− 1 –––– 0,0240,0240,0240,024 El error relativo entre 8 y 8,2 es 0,0250,0250,0250,025. El error relativo entre 2 y 2,1 es 0,050,050,050,05 Luego:

1025,0

05,0025,0

+− 1

025,1

025,0− 1 –––– 0,0240,0240,0240,024


Errores inherentesErrores inherentesErrores inherentesErrores inherentes Estos errores se deben principalmente a aquellos datos obtenidos experimentalmente y que corresponden a los datos de entrada de un problema, debido principalmente al instrumento de medición empleado, como a las condiciones de realización del experimento. Errores de truncamientoErrores de truncamientoErrores de truncamientoErrores de truncamiento Estos errores son originados por aproximación de soluciones analíticas de un determinado problema por medio de métodos numéricos. tu 1 1 - ( - (,2! - (F3! - ()4! - S 1 Ç (PT!

ÈuÉ6

Por medio de la serie de Taylor se evalúa la función exponencial, que dicho sea de paso, es una serie infinita. Siendo imposible tomar todos los términos de la serie, se requiere cortar o truncar dicha serie después de cierto número de términos. Esta situación introduce a un error, que es el error de truncamiento, que depende del método numérico empleado e independiente de la manera de realizar los cálculos. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). Error numérico total Error numérico total Error numérico total Error numérico total El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizar? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. En la práctica se debe considerar que actualmente las computadoras tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar de considerar su aporte al error total. Errores de redondeoErrores de redondeoErrores de redondeoErrores de redondeo Estos errores se presentan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y se deben a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como productos y cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo, normalmente, una calculadora. En este tipo de error existen dos situaciones que pueden perjudicar la precisión de la operación y son: a- Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en valor absoluto. b- Cuando se halla la diferencia entre dos números casi idénticos, ya que se cancelan los dígitos principales.

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 58 Cuando las cantidades estudiadas pertenecen a los números irracionales las calculadoras y los computadores cortan los números decimales introduciendo así un error de redondeo. Para ilustrar, un ejemplo; el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.

Si se corta el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) se está obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, considerando que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces conviene dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.. , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte producido por las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener incidencia importante en el cálculo final. Redondeo de un númeroRedondeo de un númeroRedondeo de un númeroRedondeo de un número Con el redondeo de un número lo que se pretende es escribir un numero con menor cantidad de dígitos significativos, representando dicha cantidad con el menor error posible.

Para redondear un número se fija a que cifra significativa se va a redondear dicho número. Si el número a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual a 5555, se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5555, se deja el número donde se quiere redondear sin agregarle nada.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 2.7.2.7.2.7.2.7. Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos: a) 27,0670 b) 37,23 c) 7,415

SSSSoluciónoluciónoluciónolución

a) 27,0670 = 27,1 b) 37,23 = 37,2 c) 7,415 = 7,42

Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.8888.... Redondea las siguientes cantidades a números enteros: a) 23,617 b) 237,21 c) 7,5

SoluciónSoluciónSoluciónSolución a) 23,617 = 24 b) 237,21 = 237 c) 7,5 = 8

Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.9999.... Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales: a) 57,2367 b) 0,789 c) 92,3341

SoluciónSoluciónSoluciónSolución a) 57,2367 = 57,24 b) 0,789 = 0,79 c) 92,3341 = 92,33


Redondeo truncadoRedondeo truncadoRedondeo truncadoRedondeo truncado El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí se redondea F� a cuatro cifras significativas se tiene 0.4285. Redondeo simétricoRedondeo simétricoRedondeo simétricoRedondeo simétrico El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Por ejemplo sí se redondea F� a 4 cifras significativas tenemos 0.4286. Para verificar estos dos tipos de errores, se realiza la siguiente operación: 37 - 47 1 1 Empleando únicamente 4 cifras significativas y usando los dos tipos de redondeo. Se obtiene: 0.4285 + 0.5714 1 0.9999 'Redondeo truncado/ 0.4286 + 0.5714 1 1.0000 'Redondeo simétrico/ Se concluye que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos. Error porcentualError porcentualError porcentualError porcentual Este tipo de error consiste simplemente en el error relativo expresado en por ciento '%/. Se expresa matemáticamente por: �% 1 �Å100'%/ 1

|¿À * ¿g|

|¿À|100'%/ 1

�|¿À|

100'%/

EjeEjeEjeEjemplo 2.10mplo 2.10mplo 2.10mplo 2.10 Calcular la función {tT (, para ( 1 2 por métodos numéricos y halla su error absoluto, el error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de {tT ( con �F. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Calcular el valor de la función {tT (2) mediante su serie de Taylor. La serie de Taylor de la función seno es:

{tT ( 1 ( * (F3! - (7

5! * (�7! - S 1 Ç(*1)P (,P�R

2T - 1È

PÉ6

Como es imposible realizar la suma total de la serie, se debe truncarla en algún punto, así se obtiene la sucesión:

(, ( * (F3! , ( * (F

3! - (75! , ( * (F

3! - (75! * (�

7! , … Si se denota como: �6 1 (, �R 1 ( * (F

3! , �, 1 ( * (F3! - (7

5! �F 1 ( * (F3! - (7

5! * (�7! , …

Se obtiene la sucesión: Se obtiene la sucesion: �6, �R, �,, �F, … , �P, … El límite serà: limP>È �P 1 {tT (

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 60 Calculo de {tT ( con �F partiendo de la serie de Taylor para la función seno:

{tT ( 1 ( * (F3! - (75! * (�7! - S 1 Ç'*1/P (,P�R2T - 1

ÈPÉ6

{tT ( 1 2 * 2F3! - 275! * 2�7! {tT '2/ 1 2 * 1.33333 - 0.26666 * 0.02540 1 0.90793 El valor verdadero de sen 21 1 1 1 0.909297426 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error

� = |¿À * ¿g| = |0.909297426 * 0.90793| = 0.001367426

�Å = |¿À * ¿g||¿À| = �

|¿À| = 0.001367426|0.909297426| = 0.001503826978

�% = �Å100'%/ = 0.001503826978 � 100% = @. ©Ì% EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 2.11.2.11.2.11.2.11. Calcular la función {tT (, para ( = 2 por métodos numéricos y halla el error absoluto, el error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de {tT ( con �). SoluciónSoluciónSoluciónSolución Calculo de {tT ( con �) partiendo de la serie de Taylor para la función seno:

{tT ( = ( * (F3! - (7

5! * (�7! - S = Ç'*1/P (,P�R

2T - 1È

PÉ6

{tT ( = 2 * 2F3! - 27

5! * 2�7! - 2¬

9! {tT '2/ = 2 * 1.333333 - 0.266667 * 0.025397 - 0.001411 = 0.909348 El valor verdadero de sen 2= = = = 0.909297426 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error � = |¿À * ¿g| = |0.909297426 * 0.909348| = 0.000050574

�Å = |¿À * ¿g||¿À| = �

|¿À| = 0.000050574|0.909297426| = 0.0000556188

�% = �Å100'%/ = 0.0000556188 � 100% = 0.00556% ConclusiónConclusiónConclusiónConclusión: al comparar los resultados hallados en los ejemplos 2.3 y 2.4, se verifica que la precisión del valor hallado es consistente con el valor real o verdadero, sin embargo se nota que con una sola iteración mas, la precisión aumentó enormemente, pasando de un error porcentual de 0.15% de �F a 0.00556% de �), que puede considerarse valor totalmente apropiado para la función buscada.

Cada caso presenta situaciones particulares, puede suceder que, como en este caso, con muy pocas iteraciones se pueda conseguir un resultado óptimo; sin embargo hay otros casos similares en que no sucede tal cosa.

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 61 Existen situaciones en que debido a la gran cantidad de cálculos realizados, los redondeos propios de toda operación numérica crece tanto en valor absoluto, que los resultados obtenidos a veces ni siquiera tienen sentido, el error crece en forma exponencial y el método no presenta estabilidad. Mientras más operaciones se realizan la posibilidad de error aumenta. CCCCifras significativasifras significativasifras significativasifras significativas Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.

Muchos de los cálculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con valores aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la precisión en las mediciones y en los cálculos es casi imposible.

Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a derecha, partiendo del primer dígito no cero y terminando en el último dígito presente.

Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 2.12.2.12.2.12.2.12. 1- Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas) 2- Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas) 3- 40072 ( cinco cifras significativas) 4- 3.001 ( cuatro cifras significativas) 5- 0,000203 ( tres cifras significativas)

Exactitud y PrecisiónExactitud y PrecisiónExactitud y PrecisiónExactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.


Así, si se desea que el cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, se deben obtener números que correspondan o sean menor a: '0,5 � 10Q,/ 1 0,5%

Esto servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado.

Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.Ejemplo 2.13131313.... Subraya los dígitos significativos de cada cantidad.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Los dígitos significativos en los siguientes números están subrayados.

a) 621,39 b) 7,400 c) 0,000230 d) 0,003 PrecisiónPrecisiónPrecisiónPrecisión En el cálculo numérico, la precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. ExactitudExactitudExactitudExactitud La exactitud se refiere al grado de aproximación que se tiene de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa, o sea, que tan cerca está del valor buscado. Por ejemplo, sí se lee la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de d5kph. NNNNúmeros en la computadoraúmeros en la computadoraúmeros en la computadoraúmeros en la computadora La computadora es un dispositivo de cálculo, ésta trabaja con un conjunto de números, que no es precisamente el de los números reales. El conjunto de los números reales, presenta algunas características como: a) Es infinito en ambos extremos. b) Es continuo. c) Cada número puede tener una cantidad ilimitada de cifras. d) Los números pueden ser tan pequeños como se desee. El conjunto de los números que se manejan en una computadora presenta las siguientes características: a) Es finito en ambos extremos. b) No es continuo. c) Cada número tiene una cierta cantidad máxima de cifras. d) Los números no pueden ser tan pequeños como se desee. Una computadora almacena los números en sistema binario, usando un número determinado de bytes, dependiendo del tipo de dato y de la computadora que se emplee, presentando las siguientes características: a) Existe un límite al intervalo de valores que se puede manejar. b) Se limita la cantidad de cifras que se emplean para representar un número. c) El conjunto de números no es continuo sino discreto. O sea, existen huecos entre un número y otro. d) Producen errores de redondeo


- Al convertir los números al sistema binario. - Cuando el resultado es muy pequeño y la capacidad de representarlo es superada, se redondea comúnmente a 0. - Cuando el resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayor valor que se pueda representar.

La computadora funciona o trabaja con lo que se conoce como aritmética de dígitos finitos, causando que ciertos hechos que se toman como ciertos, no lo sean en un momento dado, generando cálculos aritméticos que ocasionan más error La aritmética de dígitos finitos lleva a resultados aceptables. Cualquier operación numérica tiene sus casos problemáticos y los más comunes son: a/ División entre números cercanos a 0. b/ Multiplicación por números grandes. c/ Suma de cantidades de distinto orden de magnitud. d/ Resta de números casi iguales. PPPPropagación de erroresropagación de erroresropagación de erroresropagación de errores Los métodos numéricos generalmente consisten en la realización de muchos cálculos, y esta situación no permite predecir qué efecto producirá al resultado el error de redondeo que se acumula en cada operación. Para estimar el efecto del error de redondeo que se acumula y de las posibilidades de corrección, se aplican las siguientes situaciones: a/ Uso de la aritmética de precisión doble, que consiste en resolver el problema dos veces, una con aritmética de precisión simple y otra con aritmética de precisión doble. La solución se toma considerando solo las cifras que no hayan cambiado. El inconveniente es que los cálculos de precisión doble toman más tiempo que los de precisión simple, además de resolver dos veces el mismo problema.

b/ Uso de la aritmética de intervalo, que consiste en retener en cada paso el valor más pequeño y más grande que puede tomar el valor buscado, para que al final se obtenga un intervalo que contenga el valor real. El inconveniente que presenta este procedimiento es que no se sabe con exactitud en qué parte del intervalo estará la solución, aunque comúnmente se supone que a la mitad; esta situación consume el doble de tiempo y memoria al almacenar los límites superior e inferior en los que puede estar la solución. c/ Uso de aritmética de dígitos significativos, que consiste en retener en cada etapa solo las cifras que se piensa son significativas. La desventaja es que se pierde información y no se tiene certeza de que tan significativa es una cifra. d/ Enfoque estadístico, consiste en suponer un comportamiento aleatorio con una distribución de probabilidad conocida. De todas las aplicaciones posibles para mejorar y precisar los resultados numéricos es el que ha dado mayor éxito.

Los tipos de errores mencionados anteriormente se propagan de distinta manera. Para estudiar la forma de propagación de los errores en conjunto, hay que definir dos conceptos nuevos, la estabilidad y la convergencia. LaLaLaLa estabilidadestabilidadestabilidadestabilidad Todo problema requiere datos de entrada, que origina por lo menos una salida. Sí cambios pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se dice que el

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 64 algoritmo es estable o problema bien condicionado, en caso contrario se dice que el algoritmo es inestable o problema mal condicionado. Si el error después de n operaciones se puede representar por ;'T/ 1 [TÎ, se dice que el error es lineal. En cambio si el error se representa por ;'T/ 1 [PÏ, para [ \ 1, el crecimiento del error se dice que es exponencial. [ es una constante independiente de T. El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando [ y T son pequeños, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el término [P será grande, aun para valores relativamente pequeños de T. Por lo tanto sí el crecimiento del error es lineal el método es estable y si es exponencial es inestable. LaLaLaLa convergenciaconvergenciaconvergenciaconvergencia Los métodos numéricos obtienen T términos de una sucesión de valores. Comenzando con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema (6. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación (R. El procedimiento se repite para obtener (, y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión (6, (R, (,, … , (P; donde todos los términos son aproximaciones a la solución del problema. Sí la sucesión obtenida al cabo de T iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente, en caso contrario el método es divergente. CCCCriterio de convergenciariterio de convergenciariterio de convergenciariterio de convergencia.... Por definición de convergencia se tiene que si un método numérico es convergente, entonces debe ocurrir que: limP>È (P 1 ( En la práctica esto es imposible de conseguir, razón por la cual se debe optar por algún criterio que permita decidir si existe o no la convergencia. Este criterio se denomina criterio de convergencia. El criterio de convergencia puede implementarse usando los parámetros de cuantificación del error., que son: el error absoluto, error relativo y error porcentual: La convergencia existe cuando: Error absoluto: limP>È �P 1 limP>È ( * (P 1 0 Error relativos: limP>È �ÅP 1 limP>È ( * (P( 1 0

Error porcentuial: limP>È �%P 1 limP>È 100 �ÅP 1 0 Estos criterios son simplemente teóricos, porque no presenta practicidad a la hora de ponerlos en práctica, porque no es posible tomar limites con métodos numéricos, no se conoce el valor real de ( y no es posible lograr el 0. Buscando practicidad se deben modificar criterios. Al no conocer el valor real de ( se emplea el que esté más cerca, o por lo menos el que se cree es el valor más cercano, o sea, el valor de la ultima iteración. Como tampoco es posible lograr el 0, se elige un criterio de convergencia en base a una tolerancia predeterminada, empleando valores absolutos para tomar en cuenta el signo del error. Finalmente se obtiene:

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 65 Error absoluto: � 1 |(P * (PQR| n tolerancia Error relativos: limP>È �ÅP 1 limP>È Ð( * (P( Ð n tolerancia Error porcentuial: �%P 1 100 |�ÅP| n tolerancia Como es imposible tomar el límite, el método numérico se aplica hasta que se cumpla alguno de los criterios anteriores, por lo tanto no se conoce de antemano el número de iteraciones a realizar. Para fijar la tolerancia se debe tener en cuenta que: a) Debe de ser un número pequeño, no negativo, distinto a 0.

b) La tolerancia más pequeña posible se obtiene tomando en cuenta el número de cifras significativas, que maneje el instrumento de cálculo que se utilice. Si se usa una calculadora, no es posible lograr más de 8 cifras significativas. c) No debe fijarse una tolerancia que sobrepase la precisión que pueda alcanzarse en un laboratorio, ya que el valor calculado no podría verificarse con la precisión obtenida. d) Se fija la tolerancia dependiendo de para que se quieran los resultados. Si se requiere una estimación burda de la solución la tolerancia puede ser baja, una o dos cifras significativas. Pero si se desea precisión, la tolerancia debe de ser la mayor que se pueda alcanzar. Un valor típico de precisión es de cuatro cifras.

El criterio de convergencia debe ser fijado considerando la importancia del resultado buscado, teniendo en cuenta que puede ocurrir que algunos problemas no presentan convergencias. El criterio de convergencia basado en el error, da una idea de los decimales que se han alcanzado. El número de ceros después del punto decimal, indica cuantos decimales correctos se tiene, lo que no define es cuantas cifras significativas se tienen. El criterio de convergencia basado en el error relativo permite conocer el número de cifras significativas alcanzado. Este criterio es más útil que el anterior. Dado que el teorema es válido solo con el error relativo real. El problema que presenta es que no es aplicable si la solución del problema es 0. El criterio del error porcentual es esencialmente equivalente al caso anterior. OOOOrden de convergenciarden de convergenciarden de convergenciarden de convergencia En la práctica interesa mucho que tan rápido converge un algoritmo para llegar a la solución buscada. Mientras menor sea el número de iteraciones requerido para alcanzar la precisión deseada, mayor será la velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia se define por la siguiente ecuación:

limP>È|�P�R||�P|Ñ 1 Ò

donde: �P�R 1 ( * (P�R, error en la iteración n - 1 �P 1 ( * (P, error en la iteración n Ò: constante de error asintótico.

Ó: orden de convergencia.

CÁPITULO 2 TEORÍA DE ERRORES 66 La Ò es una constante que depende del método numérico empleado y de la solución del problema, se supone que es distinta de 0. El exponente Ó es una constante dependiente normalmente solo del método numérico. Esta ecuación puede escribirse de otra manera: |�P�R| Ô Ò|�P|Ñ Esta ecuación dice que el error de una iteración es aproximadamente proporcional a una potencia del error de la iteración anterior. Suponiendo que exista convergencia, entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuación es más importante el exponente Ó. Dado que los errores tienden a 0, mientras mayor sea el valor de Ó, menor será el número de iteraciones que se requieren. A mayor orden de convergencia mayor velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia normalmente es un valor constante. Un valor típico es 1, entonces el método numérico tiene convergencia lineal. Otro valor frecuente es 2, en este caso se dice que el método tiene convergencia cuadrática. Existen métodos de convergencia cubica, cuartica, etc., pero a medida que aumente el orden de convergencia también el método es más complicado. El orden de convergencia no necesariamente es un entero, aunque, normalmente lo es. EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS DE FIJACIÓNDE FIJACIÓNDE FIJACIÓNDE FIJACIÓN Ejercicio 2.1.Ejercicio 2.1.Ejercicio 2.1.Ejercicio 2.1. Completa el siguiente cuadro con el valor de los errores absolutos, relativos y porcentuales. Valor exacto ¿À Valor aproximado ¿g Error absoluto � Error relativo �Å Error porcentual �%

82 82,87 221 219,22 105 106,37 53 51,93 Ejercicio 2.2.Ejercicio 2.2.Ejercicio 2.2.Ejercicio 2.2. Sean los valores exactos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 10 y los valores aproximados respectivos: 1,1; 2,1; 3,2; 3,9; 5,2; 6,3; 6,8; 8,1; 9,2; 10,3.

Halla los errores absolutos, los errores relativos y los errores porcentuales de cada una de las cantidades presentadas respectos a sus cantidades aproximadas. Para la realización de este ejercicio es importante construir una tabla de valores.

Ejercicio 2.3.Ejercicio 2.3.Ejercicio 2.3.Ejercicio 2.3. Demuestra en las siguientes operaciones que el error absoluto de una suma es igual a la suma algebraica de los errores absolutos de los términos que participan en dicha operación.

a) 2 + 5 + 7 = 14141414 y 2,1 + 5,2 + 7,2 = 14,514,514,514,5

b) 3 + 6 + 2 = 11111111 y 3,2 + 6,3 + 2,1 = 11,611,611,611,6

c) 9 + 10 + 4 = 23232323 y 9,2 + 10,3 + 4,1 = 23,623,623,623,6


Ejercicio 2.4.Ejercicio 2.4.Ejercicio 2.4.Ejercicio 2.4. En la diferencia de dos números demuestra que el error absoluto de la diferencia es menor que el mayor de los errores absolutos de sus términos.

a) 9 – 2 = 7777 y 9,2 – 2,1 = 7,17,17,17,1

b) 5 – 1 = 4444 y 5,2 – 1,1 = 4,14,14,14,1

c) 10 – 3 = 7777 y 10,3 – 3,2 = 7,17,17,17,1

Ejercicio 2.5.Ejercicio 2.5.Ejercicio 2.5.Ejercicio 2.5. 4- En las siguientes sumas demuestra que el error relativo de la suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el mayor de los errores relativos de los sumandos.

a) 3 + 5 + 7 = 15151515 y 3,2 + 5,2 + 7,2 = 15,615,615,615,6

b) 2 + 6 + 9 = 17171717 y 2,1 + 6,3 + 9,2 = 17,617,617,617,6

c) 9 + 10 = 19191919 y 9,2 + 10,3 = 19,519,519,519,5

Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.6666.... Demuestra que el error relativo del producto de dos números tiene el mismo valor que la suma de los errores relativos de los factores más el producto de esos mismos errores.

a) 3 × 7 = 21212121 y 3,2 × 7,2 = 23,0423,0423,0423,04

b) 2 × 10 = 20202020 y 2,1 × 10,3 = 21,6321,6321,6321,63

c) 5 × 9 = 45454545 y 5,2 × 9,2 = 47,8447,8447,8447,84

Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.7777.... Demuestra que el error relativo del cociente de dos números dados es igual a la suma o la diferencia de los errores relativos de los datos, dividida por el menor más uno.

a) 7 ÷ 3 = 2,3332,3332,3332,333 y 7,2 ÷ 3,2 = 2,252,252,252,25

b) 9 ÷ 2 = 4,54,54,54,5 y 9,2 ÷ 2,1 = 4,384,384,384,38

c) 10 ÷ 4 = 2,52,52,52,5 y 10,3 ÷ 4,1 = 2,5122,5122,5122,512

Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.8888. . . . Subraya los dígitos significativos de cada expresión:

a) 21,33 b) 310,56 c) 0,0021 d) 0,30100

EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 2.2.2.2.9999. . . . Redondea cada número presentado a continuación a tres dígitos significativos:

a) 3,2495 = b) 0,00414 = c) 23,540 =

d) 2,4315 = e) 47,0217 = f) 5,00791 =


EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 2.2.2.2.10101010. . . . Redondea a unidades las siguientes cifras

a) 2,37 = b) 37,88 = c) 7,49 =

d) 0,86 = e) 21,37 = f) 82,52 =

Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.Ejercicio 2.11111111. . . . Redondea a dos cifras decimales las siguientes cantidades:

a) 7,397 = b) 53,7219 = c) 0,5611 =

d) 32,7777 = e) 41,05321 = f) 3,22631 =

CÁPITULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 69

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

La necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es muy frecuente en las ciencias aplicadas, en particular la ingeniería.

Los sistemas lineales son aplicados en la búsqueda de solución a diversas situaciones prácticas, ya sea como la solución completa de un problema ó alguna parte de ella.

Entre las aplicaciones prácticas de los sistemas lineales pueden citarse como ejemplos: a) Determinación del potencial en redes eléctricas. b) Calculo de tensión en una estructura metálica de construcción civil. c) Calculo de razón de drenaje en un sistema hidráulico con derivaciones.

Los problemas matemáticos en todos estos casos se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Cuando un sistema lineal es de gran porte, se debe escoger adecuadamente el método numérico a utilizar para preservar la precisión máxima del sistema.

VVVVectoresectoresectoresectores

Definición 3.1Definición 3.1Definición 3.1Definición 3.1.... Un vector en AP es una n-upla de la forma: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP)

Definición 3.2Definición 3.2Definición 3.2Definición 3.2.... Sean: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP) : ØÙÙ× 1 'ØR, Ø,, ØF, … , ØP), vectores renglones en AP. Se define la igualdad de vectores como:

Ö× 1 ØÙÙ×, si y solo si Ö� 1 Ø�, para todo �, con � 1 1, 2, 3, … , T

DefiniciDefiniciDefiniciDefinición 3.3.ón 3.3.ón 3.3.ón 3.3. Sean: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP) : ØÙÙ× 1 'ØR, Ø,, ØF, … , ØP), vectores en AP. Se define la suma de vectores como: Ö× - ØÙÙ× 1 'ÖR - ØR, Ö, - Ø,, … , ÖP - ØP).

DefiniciDefiniciDefiniciDefinición 3.4.ón 3.4.ón 3.4.ón 3.4. Sea: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP/ vector de AP, Ó U A, se define el producto de vector por escalar como: ÓÖ× 1 'ÓÖR, ÓÖ,, … , ÓÖP).

DefiniciDefiniciDefiniciDefinición 3.5.ón 3.5.ón 3.5.ón 3.5. Sean: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP/ : ØÙÙ× 1 'ØR, Ø,, ØF, … , ØP), vectores en AP. Se define el producto de vectores Ö× : ØÙÙ× como:

Ö× · ØÙÙ× 1 ÖR · ØR - Ö, · Ø, - S - ÖP · ØP 1 ∑ Ö� · Ø�P�ÉR ,


DefiniciDefiniciDefiniciDefinición 3.6.ón 3.6.ón 3.6.ón 3.6. Sea: Ö× 1 'ÖR, Ö,, ÖF, … , ÖP) vector de AP, Ó U A, se define la norma de un vector Ö×, que se representa con ÜÖ×Ü y se denota como:

ÜÖ×Ü 1 ÝÖR, - Ö,, - ÖF, - S - ÖP, 1 ÞÇ Ö�,P�ÉR ßR,

Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.1111. Propiedad de vectores. Propiedad de vectores. Propiedad de vectores. Propiedad de vectores Sean: àÙ×, Ö×, ØÙÙ× vectores en AP, entonces, se tiene:

1) àÙ× - Ö× = Ö× - àÙ× Conmutativa

2) ( àÙ× - Ö×/ - ØÙÙ× = àÙ× - ' Ö× - ØÙÙ×/ Asociativa

3) á0Ù× U AP, tal que Ö× - 0Ù× 1 Ö× elemento neutro

4) âÖ× U AP, á �× U AP, tal que Ö× - �× 1 0Ù× Elemento simétrico

5) â Ó, ã U A, 'Ó - ã/ Ö× 1 Ó Ö× - ãÖ× Distributiva

6) â Ó U A, Ó'Ö× - àÙ×/ 1 Ó Ö× - ÓàÙ× Distributiva

7) â Ó, ã U A, Ó' ã Ö× / 1 ã'Ó Ö×/ 1 'Ó ã/ Ö× Asociativa

MMMMatricesatricesatricesatrices

Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.7777.... En general, una matriz es una tabla de números, un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque normalmente las matrices están formadas por números reales.

Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos dependientes de varios parámetros. Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas diferentes, su aplicación también se da en el campo del álgebra lineal.

Normalmente las matrices se designan con letras mayúsculas.

Definición3.Definición3.Definición3.Definición3.8888.... Se llama matriz de orden ` � T a cualquier tabla de números que conste de ` finas y T columnas. Una matriz es un arreglo rectangular de `T números de la forma

ä KRR KR, KRF …K,R K,, K,F …åKbR åKb, åKbF … KRPK,PåKbPä la cual tiene ` filas y T columnas.

Si los elementos de una matriz < son números reales y ducha matriz tiene ` filas y T columnas se dice que < U Ab�P, y qe su tamaño es ` � T.

La notación comúnmente utilizada para representar a la matriz < U Ab�P es: < 1 æK�çè, � 1 1, 2, 3, … , `; é 1 1, 2, 3, T


Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.9.9.9.9.

Sean: < 1 æK�çè : = 1 æL�çè dos matrices tamaño ` � T, entonces, < 1 = si y solo si K�ç 1 L�ç, â �, é.


Una matriz < es cuadrada si tiene el mismo número de filas y de columnas y en este caso se escribe < U AP�P,


Sea < U AP�P, una matriz cuadrada si K�ç 1 1, � 1 é : K�ç 1 0, � X é, se dice que < es la

matriz idéntica (identidad) y se nota êP.

Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.12121212....

La matriz 0 1 K�ç U Ab�P, tal que K�ç 1 0, â �, é es la matriz nula.


Sean: < 1 æK�çè : = 1 æL�çè dos matrices tamaño ` � T, se define < - = como la matriz ` � T dada por < - = 1 æ K�ç - L�çè


Sean: < 1 æK�çè una matriz tamaño ` � T, y Ó un numero, se define Ó< como la matriz ` � T

dada por Ó< 1 æÓ K�çè


Sea: < 1 æK�çè una matriz tamaño ` � T, se define *< 1 æ* K�çè .


Sea: < 1 æK�çè U Ab�P : = 1 æL�çè U AP�Å se define el producto < � = como la matriz ë 1 æ ?�çè U Ab�Å, donde ?�ç 1 ∑ K�ZLZçPZÉR , � 1 1, 2, 3, … , `; é 1 1, 2, 3, … , ¨ .

Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.2222. Propiedad. Propiedad. Propiedad. Propiedadeseseses de matricesde matricesde matricesde matrices

Sean < U Ab�P, = U Ab�P, ë U Ab�P, ì U AP�Å Ó U A , ã U A , entonces: 1) < - = 1 = - <

2) '< - =/ - ë 1 < - '= - ë/

3) < - 0 1 <

4) < - '*</ 1 0

5) (Ó - ã/< 1 Ó< - ã<

6) Ó'< - ã/ 1 Ó< - Ó=

7) 'Óã/< 1 Ó'ã</ 1 ã'Ó</


TeoTeoTeoTeorema 3.rema 3.rema 3.rema 3.3333.... Sean < U Ab�P, = U Ab�P, ì U AP�Å, tTv~T?t{ '< - =/ì 1 <ì - =ì

Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.4444.... Sean < U AÅ�P, = U AÅ�P, ì U Ab�Å, tTv~T?t{ ì'< - =/ 1 ì< - ì=

Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.5555.... Sean < U Ab�P, = U AP�Å, ë U AÅ�í, tTv~T?t{ <'=ë/ 1 '<=/ë

Notación de matrices: Notación de matrices: Notación de matrices: Notación de matrices:

Las matrices se denotan con letras mayúsculas. Los elementos o números que conforman la matriz se denotan con letras minúsculas colocadas dentro de: barras verticales | |; doble barras verticales Ü Ü; corchete y z o paréntesis ' /.

Es importante tener en cuenta que una matriz no se resuelve (esto la diferencia de los determinantes), sino que con una matriz se efectúan diversas operaciones.

A cada elemento que forma parte de una matriz, se lo identifica con dos subíndices: el primero señala la fila que ocupa ese elemento, y el segundo indica la columna donde se encuentra.

Orden de una matriz

La matriz presentada a continuación tiene tres filas y cuatro columnas y por ello se le denomina matriz de orden 3 x 4. El número que se nombra primero representa la cantidad de filas; y el segundo, número de columnas.

î7 2 91 8 54 7 6 389î Elementos de la primera fila: 7, 2, 9, 3

Elementos de la segunda columna: 2, 8, 7

Una matriz A de 3 filas y 3 columnas, se escribe de esta forma:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Filaa

Filaa

Filaa

.3

.2

.1

1ª. 2ª. 3ª. Columnas

Tipo de matricesTipo de matricesTipo de matricesTipo de matrices

MatriMatriMatriMatriz cz cz cz cuadrada: uadrada: uadrada: uadrada: Se llama matriz cuadrada a la que tiene igual cantidad de filas y columnas;


Ejemplo 3.1.Ejemplo 3.1.Ejemplo 3.1.Ejemplo 3.1.

< 1 Ð 3 *5*1 7 Ð ïð 1 2 � 2; = 1 î1 3 53 *2 *16 4 *9î ïñ 1 3 � 3

Matriz Matriz Matriz Matriz ddddiagonal: iagonal: iagonal: iagonal: Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal:


ì 1 î3 0 00 *2 00 0 *9î

Matriz Matriz Matriz Matriz nnnnula: ula: ula: ula: Se llama matriz nula a la que está formada únicamente por ceros.


ò 1 î0 0 00 0 00 0 0î

Matriz Matriz Matriz Matriz iiiidentidad: dentidad: dentidad: dentidad: Se llama matriz identidad a la que tiene a la unidad como único elementos en la diagonal principal, y ceros en los lugares restantes.


< 1 î1 0 00 1 00 0 1î

De acuerdo con esta definición, se deduce que la matriz identidad siempre debe ser cuadrada.

Matriz Matriz Matriz Matriz ffffila o vector fila: ila o vector fila: ila o vector fila: ila o vector fila: Es toda matriz que posee una única fila.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.5555.... |2 *3 7|

Matriz cMatriz cMatriz cMatriz columna o vector columna: olumna o vector columna: olumna o vector columna: olumna o vector columna: Es toda matriz que posee una única columna.


î361î


Matriz tMatriz tMatriz tMatriz transpuesta: ranspuesta: ranspuesta: ranspuesta: Es la matriz B que se obtiene de A, cambiándose ordenadamente, las filas por las columnas.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.7. 3.7. 3.7. 3.7.

Dada la matriz < 1 Ð1 *27 *3 5 86 *4Ð ó <ô 1 õ 1 7*2 *35 68 *4 õ

Matriz triangularMatriz triangularMatriz triangularMatriz triangular Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.

Ejemplo 3.8Ejemplo 3.8Ejemplo 3.8Ejemplo 3.8 L=matriz triangular inferior (del inglés Low = bajo) U=matriz triangular superior (del inglés Up = encima de)

ö 1 ÷5 4 80 7 90 0 20 0 0 *2 13*1ø ù 1 ÷ 4 0 0 3 7 0*2 8 2 7 2 5 0006ø

Matriz Matriz Matriz Matriz ssssimétrica: imétrica: imétrica: imétrica: Una matriz cuadra A es simétrica si A = AT.


< 1 Þ3 2 52 4 15 1 3ß , < 1 <ô

Matriz aMatriz aMatriz aMatriz antisimétrica: ntisimétrica: ntisimétrica: ntisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su transpuesta coincide con su opuesta, o sea < 1 *<ô .


< 1 Þ 0 2 *5*2 0 1 5 *1 0ß , < 1 *<ô

Todos elementos de la diagonal principal son necesariamente ceros '0/.

Matriz Matriz Matriz Matriz oooopuesta: puesta: puesta: puesta: Dada la matriz A, se denomina opuesta de A a la matriz *<.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.11. 3.11. 3.11. 3.11. < 1 a2 *57 *4c, * < 1 a*2 5*7 4c


Matriz Matriz Matriz Matriz oooortogonal rtogonal rtogonal rtogonal Es la matriz cuadrada cuyo producto por su transpuesta da la matriz unidad.


< 1 a{tT ú * cos úcos ú {tT ú c es ortogonal

Matriz singular Matriz singular Matriz singular Matriz singular Es la matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.


< 1 a2 34 6c , det < 1 12 * 12 1 0,

= 1 a7 77 7c , det = 1 49 * 49 1 0

Definición 3.1Definición 3.1Definición 3.1Definición 3.17777....

Una matriz < U AP�P se dice invertible o no singular sí y solo sí á= U AP�P, vK� �àt <= 1=< 1 êP, en este caso se dice que = es la inversa de <.

Si < es no singular, su inversa que es única, se denota <QR


Una matriz < U AP�P los elementos de K�� se llaman elementos diagonales.

Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.11119999.... Sea < U AP�P la matriz < se dice estrictamente diagonal dominante sí y solo sí |K��| \∑ |K��|, PçÉR â� 1 1, 2, 3, … , T; � X é

OOOOperaciones cperaciones cperaciones cperaciones con matriceson matriceson matriceson matrices

Adición de matricesAdición de matricesAdición de matricesAdición de matrices

Para sumar matrices, es condición necesaria que sean de igual orden, pues se suman los elementos que tienen la misma ubicación.

Propiedades de la adición de matrices:

a) Propiedad conmutativa: < - = 1 = - < b) Propiedad asociativa: '< - =/ - ë 1 < - '= - ë/ c) Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es la matriz nula, de igual orden que las

que se suman. d) Inverso aditivo: Dada una matriz <, existe otra matriz = inverso aditivo de <: = 1 *<,

tal que se verifica que: < - = 1 0


EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.14.3.14.3.14.3.14. Dadas las matrices A y B, halla la suma: < + = < 1 Ð*3 2 4 1 *2 *5Ð = 1 Ð*1 *3 2 9 7 *2Ð

SoluciónSoluciónSoluciónSolución < - = 1 Ð*3 2 4 1 *2 *5Ð - Ð*1 *3 2 9 7 *2Ð 1 û'*3/ - '*1/ 2 - '*3/ 4 - 2 1 - 9 '*2/ - 7 '*5/ - '*2/û < - = 1 Ð *4 *1 6 10 5 *7Ð

Sustracción de matricesSustracción de matricesSustracción de matricesSustracción de matrices

La sustracción de matrices se define como la adición, restando los elementos de igual ubicación. Las propiedades de la sustracción de matrices son semejantes a las de la adición, con la diferencia de que no cumple la propiedad conmutativa.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.15.3.15.3.15.3.15. Dada las matrices < y =, Calcular < * =

< 1 î*4 5 *13 3 4*2 7 *5î = 1 î2 *1 *35 0 13 4 *5î

SoluciónSoluciónSoluciónSolución La operación < * =, denota la diferencia entre las matrices < : =, así < * = 1 < - '*=/ porque la resta entre matrices se transforma en la suma de la matriz minuendo (A) con la matriz opuesto aditivo del sustraendo (B).

Matriz minuendo Matriz sustraendo Multiplicación por (-1)

< 1 î*4 5 *13 3 4*2 7 *5î ; = 1 î2 *1 *35 0 13 4 *5î ; *= 1 î*2 1 3*5 0 *1*3 *4 5 î

Matriz diferencia: < - '*=/ 1 î*4 5 *13 3 4*2 7 *5î - î*2 1 3*5 0 *1*3 *4 5 î 1 î*6 6 2*2 3 3*5 3 0î

Transposición de matricesTransposición de matricesTransposición de matricesTransposición de matrices

Dada una matriz < de orden ` � T, se llama matriz transpuesta de <, a la matriz <ô de orden n� `, que resulta de convertir las filas < en columnas, y sus columnas en filas.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.16161616.... Dada la matriz <, halla la transpuesta de <, o sea <ô < 1 Ð1 3 *25 2 *7Ð, <ô 1 î 1 53 2*2 *7î


Producto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalar

En general se llama escalar a cualquier número real, y se emplea esta denominación cuando se definen operaciones entre números y otros elementos algebraicos, como lo son las matrices y los vectores. Cuando se multiplica una matriz por un numero real A, se obtiene otra matriz del mismo orden que la dada, y cuyos elementos resultan ser "A" veces los de la matriz original.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.17.3.17.3.17.3.17. Sea la matriz <, halla el producto 3. < < 1 Ð1 0 43 6 1Ð , 3< 1 Ð3 � 1 3 � 0 3 � 43 � 3 3 � 6 3 � 1Ð 1 Ð3 0 129 18 3 Ð

Producto de matricesProducto de matricesProducto de matricesProducto de matrices El producto entre dos matrices es otra matriz, donde cada elemento resulta de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos parciales. Propiedades del producto de matrices:Propiedades del producto de matrices:Propiedades del producto de matrices:Propiedades del producto de matrices:

a) El número de columnas de la primera matriz debe ser idéntico al número de filas de la segunda matriz.

b) El producto de matrices no es conmutativo. c) El elemento neutro del producto entre matrices es la matriz identidad. Las matrices representan verdaderos cuadros de valores, que no dan ningún resultado ya que esto carece de sentido; ya se ha dicho que las matrices no se resuelven, sino que con ellas se efectúan operaciones.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.18.3.18.3.18.3.18. Sean las matrices < y =

< 1 î3 15 *26 4 î , = 1 Ð 4 3 2*1 2 1 01 Ð

Efectúa: a) < � = b) = � < SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para efectuar el producto < � =, se multiplica la primera fila de < por cada columna de =, y así se van obteniendo todos los elementos que forman la primera fila del resultado; luego se sigue con la segunda fila de <, y así sucesivamente.

K/ < � = 1 î3 15 26 4î � Ð 4 3 2*1 2 1 01 Ð

< � = 1 õ'3 � 4/ - '1 � *1/ '3 � 3/ - '1 � 2/ '3 � 2/ - '1 � 1/'5 � 4/ - '2 � *1/ '5 � 3/ - '2 � 2/ '5 � 2/ - '2 � 1/'6 � 4/ - '4 � *1/ '6 � 3/ - '4 � 2/ '6 � 2/ - '4 � 1/ '3 � 0/ - '1 � 1/'5 � 0/ - '2 � 1/'6 � 0/ - '4 � 1/ õ


< � = 1 î11 11 718 19 1220 26 16 124 î L/ = � < 1 Ð 4 3 2*1 2 1 01 Ð � î3 15 26 4î El producto es irrealizable.

El producto = � < no se puede resolver, porque hay que multiplicar cada fila de = por cada columna de <, sobran elementos de =, ya que esta matriz tiene 4 elementos por fila, mientras que < tiene 3 en cada columna; al quedar elementos sin multiplicar, el producto es irrealizable.

EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN

Realizar las siguientes operaciones con matricesRealizar las siguientes operaciones con matricesRealizar las siguientes operaciones con matricesRealizar las siguientes operaciones con matrices

Ejercicio 3.1Ejercicio 3.1Ejercicio 3.1Ejercicio 3.1. Sean las matrices A y B, hallar su suma: < 1 Ð2 *61 0 Ð = 1 Ð*7 *24 *9Ð ¯°±²³´óµ: < - = 1 Ð*5 *85 *9Ð

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.2. 2. 2. 2. Sean las matrices M y N, hallar su suma: ï 1 Ð1 *3 74 *2 4Ð ò 1 Ð 6 8 *2*3 0 4 Ð ¯°±²³´óµ: ï - ò 1 Ð7 5 51 *2 8Ð

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.3. 3. 3. 3. Halla la suma de las matrices A y B < 1 Ð2 *51 3 Ð = 1 Ð7 24 *5Ð ¯°±²³´óµ: ï - ò 1 Ð9 *35 *2Ð

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.3. 3. 3. 3. Sean las matrices A y M, hallar su suma:

< 1 Ð1 *3 54 *2 4Ð ï 1 Ð2 *57 9 Ð ¯°±²³´óµ: No son del mismo orden

EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 3.3.3.3.4. 4. 4. 4. Sean las matrices < : =, halla la matriz ï 1 < * = y la matriz ò 1 = * < < 1 Ð12 *516 13Ð = 1 Ð*7 2214 19Ð ¯ýþ: < * = 1 Ð19 *272 *6 Ð ; = * < 1 Ð*19 27*2 6 Ð


Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.5. 5. 5. 5. Sean las matrices ï : ò, halla la matriz P1 ï * ò y la matriz N 1 ò * ï

ï 1 î7 6 114 *3 89 12 *2î ò 1 î*6 13 1*5 *4 9*4 8 12î ¯°±: M 1 î13 *7 109 1 *113 4 *14î

¯°±: N 1 î*13 7 *10*9 *1 1*13 *4 14 î

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.6. 6. 6. 6. Sean las matrices < : =, halla la matriz C1 < * = y la matriz ì 1 = * <

< 1 î2,71 0,361,22 3,462,91 2,43î = 1 î1,53 0,442,82 3,271.96 2,21î ¯°±: ë Ô î1,18 *0,08*1,6 0,190,95 0,22 î ë Ô î*1,18 0,081,6 *0,19*0,95 *0,22î

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.7. 7. 7. 7. Halla la transpuesta de las matrices < 1 Ð2 10 7Ð <ô 1

< 1 |1 *3 5| <ô 1

< 1 î22 *1117 1413 *23î <ô 1

Dadas las siguientes matricesDadas las siguientes matricesDadas las siguientes matricesDadas las siguientes matrices

< 1 Ð5 *21 *3Ð , = 1 Ð12 *3 1413 *6 11Ð ë 1 î0,50 1,252,50 1,750,75 2,00î

Ejercicio 3.8. Ejercicio 3.8. Ejercicio 3.8. Ejercicio 3.8. Hallar: =ô

Ejercicio 3.9. Ejercicio 3.9. Ejercicio 3.9. Ejercicio 3.9. Resolver: 2. <

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.10. 10. 10. 10. Resolver 5. =

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.11111111. . . . Resolver *3. ë

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.12. 12. 12. 12. Resolver 1,5<

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.13. 13. 13. 13. Resolver *2. =

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.14. 14. 14. 14. Resolver: < � =

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.15. 15. 15. 15. Resolver: = � <


Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.16.16.16.16. Resolver: < � ë

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.17. 17. 17. 17. Resolver: C� <

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.18. 18. 18. 18. Resolver: = � ë

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.19. 19. 19. 19. Resolver: ë � =

DDDDeterminanteseterminanteseterminanteseterminantes

DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición 3.3.3.3.20202020....

Un determinante es siempre cuadrado (igual cantidad de filas y columnas), y está formado por números, como una matriz; la diferencia fundamental es que, una matriz representa un conjunto de valores que no se resuelve, un determinante sí se resuelve, porque representa un número.

Un determinante se representa con la letra griega ∆ (delta mayúscula) o usando barras. 1 4 6 = diagonal principal 2 7 0 3 5 9 = diagonal secundaria Determinante de segundo orden es el que tiene 2 filas y 2 columnas.

Determinante de tercer orden es el que tiene 3 filas y 3 columnas.

Propiedades de los Propiedades de los Propiedades de los Propiedades de los determinantes:determinantes:determinantes:determinantes:

a) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su transpuesta, �A�� 1 |A|

Ejemplo 3.19.Ejemplo 3.19.Ejemplo 3.19.Ejemplo 3.19. Ða bc dÐ 1 Ða cb dÐ

b) Si se intercambian entre sí dos filas paralelas, el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.20. Ejemplo 3.20. Ejemplo 3.20. Ejemplo 3.20. Ð5 *23 4Ð 1 26 Ð3 45 *2Ð 1 *26

c) Un determinante es nulo si una de sus filas o columnas está formada íntegramente por

ceros.

Ejemplo 3.21. Ejemplo 3.21. Ejemplo 3.21. Ejemplo 3.21. î3 0 91 0 17 0 3î 1 0

d) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas iguales.


EjemplEjemplEjemplEjemplo 3.22. o 3.22. o 3.22. o 3.22. î3 5 71 4 13 5 7î 84 - 35 - 15 * 84 * 35 * 15 1 0

e) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas proporcionales.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.23. 3.23. 3.23. 3.23. î3 5 71 4 16 10 14î 168 - 70 - 30 * 168 * 70 * 30 1 0

f) Si los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

Ejemplo 3.24. Ejemplo 3.24. Ejemplo 3.24. Ejemplo 3.24. ÐK ¨L? ¨0Ð 1 ¨ � ÐK L? 0Ð î15 10 30 1 4 1 3 5 5î 1 5 � î3 2 61 4 13 5 5î

g) Si una fila de un determinante la forma términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes obtenidos sustituyendo dicha fina por los primeros y segundos sumandos respectivamente.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.25. 3.25. 3.25. 3.25. û K L? - ( 0 - :û 1 ÐK L? 0Ð - ûK L( :û

î 1 1 1K L ?1 - K 1 - L 1 - ?î 1 î1 1 1K L ?1 1 1î - î1 1 1K L ?K L ?î 1 0 - 0 1 0

h) Si una fila es combinación lineal (suma o resta de múltiplos) de otras paralelas, el

determinante es cero (0).

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.26.3.26.3.26.3.26.

î KR LR ?RK, L, ?,ãKR - �K, ãLR - �L, ã?R - �?,î 1 î KR LR ?RK, L, ?,ãKR ãLR ã?Rî - î KR LR ?RK, L, ?,�K, �L, �?,î 1 0

Por ser ;F 1 ã;R : ;F 1 �;R '; es �ila/

i) Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas paralelas a ella, el determinante no cambia.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.27.3.27.3.27.3.27.

î KR LR ?RK, L, ?,KF - ãKR - �K, LF - ãLR - �L, ?F-ã?R - �?,î 1 îKR LR ?RK, L, ?,KF LF ?Fî -

- î KR LR ?RK, L, ?,ãKR - �K, ãLR - �L, ã?R - �?,î 1 îKR LR ?RK, L, ?,KF LF ?Fî - 0 1 îKR LR ?RK, L, ?,KF LF ?Fî


j) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices. De otra manera: |< · =| 1 |<| · |=|


Sean: < 1 Ð4 30 1Ð : = 1 Ð2 50 3Ð

SoluciónSoluciónSoluciónSolución < · = 1 Ð4 30 1Ð · Ð2 50 3Ð 1 Ð8 290 3 Ð y su determinante es |< · =| 1 24 Como < 1 Ð4 30 1Ð 1 4; = 1 Ð2 50 3Ð 1 6; |< · =| 1 |<| · |=|, |4 · 6| 1 |4| · |6| 1 24

Resolución de un determinante de 2° orden:Resolución de un determinante de 2° orden:Resolución de un determinante de 2° orden:Resolución de un determinante de 2° orden:

Resolver un determinante de segundo orden es hallar el número que representa, para lo cual se multiplican los elementos de la diagonal principal, y a ellos se les resta el producto de la diagonal secundaria, es decir que se resuelve por la resta de los productos cruzados:


Resolver el determinante: Ð4 *72 3 Ð SoluciónSoluciónSoluciónSolución

∆1 Ð4 *72 3 Ð 1 y4 � 3z * y2 � '*7/z 1 12 - 14 1 26

Determinante de 3Determinante de 3Determinante de 3Determinante de 3erererer ordenordenordenorden El procedimiento de resolución de un determinante de tercer orden es un poco más largo que el de segundo orden, utilizándose para su resolución varios métodos; las más conocidas son la de Sarrus y Laplace. Aquí se presenta el método de Sarrus. Regla de Sarrus:Regla de Sarrus:Regla de Sarrus:Regla de Sarrus: Consiste en escribir debajo de la última fila, las dos primeras (conservando el orden); entonces se suman los tres primeros productos de las diagonales principales, y se restan los otros tres productos de las diagonales secundarias.


Resolver el determinante: < 1 î2 1 61 4 *23 5 3 î



ää2 1 61 4 *23 5 32 1 61 4 *2ä

ä= y'2 · 4 · 3/ - '1 · 5 · 6/ - '3 · 1 · *2/z * y'3 · 4 · 6/ - '2 · 5 · *2/ - '1 · 1 · 3/z

ää2 1 61 4 *23 5 32 1 61 4 *2ä

ä= y'24/ - '30/ - '*6/z * y'72/ * '20/ - '3/z 1 *7

Luego: det < 1 *�


Resolver los determinantes Resolver los determinantes Resolver los determinantes Resolver los determinantes 'i � i/ ��¸�³´³´° . i@. < 1 Ð2 53 4Ð ¯°±²³´óóóóµ: * 7

��¸�³´³´° . i©. = 1 Ð1 40 6Ð ¯°±²³´óóóóµ: 6

��¸�³´³´° . ii. ë 1 Ð*5 *12 *3Ð ¯°±²³´óóóóµ: 17

��¸�³´³´° . i. ì 1 Ð 9 7*5 4Ð ¯°±²³´óóóóµ: 71

Resolver los determinantes Resolver los determinantes Resolver los determinantes Resolver los determinantes ' � /

��¸�³´³´° . ij. < 1 î 3 *2 64 5 4*1 2 0î ¯°±²³´óóóóµ: 62

��¸�³´³´° . iÌ. < 1 î 2 *2 74 *1 4*5 4 3î ¯°±²³´óóóóµ: 67

��¸�³´³´° . i. < 1 î9 8 105 7 *44 *2 3 î ¯°±²³´óóóóµ: * 511


��¸�³´³´° . i�. < 1 î3 4 *115 8 01 *2 7 î ¯°±²³´óóóóµ: 226

��¸�³´³´° . i«. < 1 î*5 6 *32 7 *14 0 8 î ¯°±²³´óóóóµ: * 316

SSSSistemas linealesistemas linealesistemas linealesistemas lineales

DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición 3.23.23.23.21111. . . .

Una ecuación es lineal si cada término contiene no más de una variable y cada variable es de primer grado (elevada a la primera potencia).

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.31313131.... a) 5( * 3: - 7 1 *2, es lineal.

b) 2� - (: * 6( 1 9, no es lineal, pues el segundo término contiene dos variables.

c) 2(F - : * 3� 1 1, no es lineal, pues la variable del primer término está elevada a una potencia distinta de uno.

La solución de un sistema lineal de orden n, consiste en hallar los valores de cada una de las variables, que al ser sustituidas en el sistema, todas ellas son satisfechas.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3.32.3.32.3.32.3.32. De un sistema de tres ecuaciones lineales: 2( * 3: - � 1 4 ( - 5: * 3� 1 *2 3( * : * � 1 2

Este sistema tiene la solución: ( 1 2, : 1 1, � 1 3 Para verificar la validez de las soluciones se reemplazan las variables en el sistema, y todas deben ser satisfechas.

Este mismo ejemplo puede escribirse en forma matricial: Þ2 *3 11 5 *33 *1 *1ß �(:�� 1 Þ 4*2 2ß

De un modo general, un sistema de T ecuaciones lineales se escribe como: KRR(R - KR,(, - KRF(F - S - KRP(P 1 LR K,R(R - K,,(, - K,F(F - S - K,P(P 1 L, KFR(R - KF,(, - KFF(F - S - KFP(P 1 LF å å å å å KPR(R - KP,(, - KPF(F - S - KPP(P 1 LP


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

1

2

3

4

5

x

y

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

x

y

La representación en forma matricial se da como:

÷KRR KR, … KRPK,Rå K,, … K,PåKPR KP, … KPPø ÷(R(,å(Pø 1 ÷LRL,åLPø

La forma más simple de representación matricial es: <( 1 L

Donde < es la matriz de los coeficientes, ( es el vector solución y L es el vector de términos independientes.

Clasificación de Clasificación de Clasificación de Clasificación de un sistema linealun sistema linealun sistema linealun sistema lineal

a) Sistema compatible, posible o consistente. - Determinado: si admite una única solución. - Indeterminado: si admite más de una solución.

b) Sistema incompatible, imposible o inconsistente - Es todo sistema que no admite solución

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.33333333.... Sea el siguiente sistema: ( - : 1 5 2( * : 1 1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución La solución del sistema es: ( 1 2, : 1 3 Fig. 3.1.Fig. 3.1.Fig. 3.1.Fig. 3.1. El sistema es compatible y determinado, pues ningún par de valores distintos a 2 y 3 podrán satisfacer la ecuación dada, o sea, el sistema posee una única solución.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.34343434.... Sea el siguiente sistema: ( - : 1 1 3( - 3: 1 3 Fig. 3.2Fig. 3.2Fig. 3.2Fig. 3.2 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Geométricamente las dos rectas son coincidentes, y como el resultado del sistema está dado por la intersección de las rectas, en este caso, todos los puntos de las rectas son soluciones del sistema. El sistema es compatible e indeterminado, pues admite infinitas soluciones


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.35353535.... Sea el siguiente sistema: ( - : 1 1 ( - : 1 3 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Fig. 3.3.Fig. 3.3.Fig. 3.3.Fig. 3.3. Geométricamente las dos rectas son paralelas, no existe la posibilidad de intersección entre ellas, por lo tanto el sistema es incompatible, pues no admite ninguna solución.

Métodos exactosMétodos exactosMétodos exactosMétodos exactos Son aquellos métodos que aplicados a un sistema producen soluciones exactas, no generan errores de redondeo al operar con un numero finito de operaciones.

Métodos iterativosMétodos iterativosMétodos iterativosMétodos iterativos Son aquellos métodos que permiten obtener soluciones de un sistema con una determinada precisión a través de un proceso infinito convergente. Este método requiere en principio de un número infinito de operaciones aritméticas para producir la solución exacta, pues el método iterativo necesariamente posee error de truncamiento.

Sistemas equivalentesSistemas equivalentesSistemas equivalentesSistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando admiten la misma solución.

Operaciones elementalesOperaciones elementalesOperaciones elementalesOperaciones elementales La solución de un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente requiere usar las operaciones elementales de una matriz. Estas son:

a) Intercambio de dos filas o renglones cualquiera de una matriz. b) Multiplicación de una fila o renglón de una matriz por una constante X 0. c) Sumar un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante X 0.

Transformaciones elementalesTransformaciones elementalesTransformaciones elementalesTransformaciones elementales 1) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se

multiplica por un escalar distinto de cero (Ó X 0/, resulta un sistema equivalente al sistema dado.

2) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si dos cualquiera de sus ecuaciones se intercambian, resulta un sistema equivalente al sistema dado.

3) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se le suma un múltiplo de otra ecuación cualquiera, resulta un sistema equivalente al sistema dado.


Mal condicionamientoMal condicionamientoMal condicionamientoMal condicionamiento

Se tiene este fenómeno cuando la solución de las ecuaciones es muy sensible a pequeñas variaciones de los coeficientes, debido a que la matriz de los coeficientes en las ecuaciones lineales está próxima de ser singular.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.36363636. . . . Sean los siguientes sistemas lineales: K/ ( - : 1 2 10,05( - 10: 1 21 La solucion del sistema es: ( 1 20; : 1 *18 L/ ( - : 1 2 10,10( - 10: 1 21 La solucion del sistema es: ( 1 10; : 1 *8 Un cambio relativo de 5% en el coeficiente de (,R produce un cambio relativo de 50% en el valor de ( y 56% en el valor de :, observándose que un pequeño cambio en uno de los coeficientes, produce grandes cambios en la solución del sistema. La solución del sistema perturbado es muy diferente de la solución del sistema original.

Sistema bien condicionadoSistema bien condicionadoSistema bien condicionadoSistema bien condicionado

Un problema se dice bien condicionado si pequeños cambios en los datos introducen, correspondientemente, un pequeño cambio en la solución. El buen condicionamiento o mal condicionamiento de un sistema lineal es inherente al problema y no depende del algoritmo empleado para resolverlo.

Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.22222222.... El elemento K�� X 0, usado para eliminar los elementos KÅ� , para ¨ 1 � - 1, � - 2, … , T se

define como el elemento pivote y la fila � se define como la fila pivote.


Los números `Å� 1 g �g��, por el cual se multiplica la fila pivote para luego restársela a la fila r

con ¨ 1 � - 1, � - 2, … , T se llaman multiplicadores. Las operaciones elementales junto con los elementos pivotes y los multiplicadores permiten transformar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, cuando esto sea posible, en una matriz triangular superior o inferior y resolver el sistema equivalente, ya sea por sustitución regresiva o progresiva respectivamente.

Método de determinantesMétodo de determinantesMétodo de determinantesMétodo de determinantes

Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado o sistemas de ecuaciones lineales; una forma sencilla de hacerlo es, aplicando los determinantes para resolver ecuaciones lineales. Es importante hacer notar que este sistema su usa para resolver sistemas lineales de hasta tres incógnitas.


Regla de Cramer:Regla de Cramer:Regla de Cramer:Regla de Cramer: Esta regla establece que, dado un sistema de T ecuaciones con T incógnitas, se verifica: ( 1 ∆(∆ , : 1 ∆:∆ , � 1 ∆�∆

(, :, � representan a las incógnitas del sistema.

Para hallar el valor de ( se divide el determinante ∆( por el determinante ∆, siendo ∆( el determinante en el que se ha reemplazado la columna de la incógnita, por la de términos independientes, y ∆ es el determinante original del sistema. EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.37. 3.37. 3.37. 3.37.

Resuelve el sistema lineal: 2( - : 1 *12 ( * 3: 1 1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se hallan los determinantes: ∆; ∆(; ∆: y se aplican los cocientes ( 1 ∆(∆ , : 1 ∆:∆ , ∆1 Ð2 11 *3Ð 1 *6 * 1 1 *7

∆( 1 Ð*12 11 *3Ð 1 36 * 1 1 35

∆: 1 Ð2 *121 1 Ð 1 2 - 12 1 14

( 1 ∆(∆ 1 35*7 1 *5, : 1 ∆:∆ 1 14*7 1 *2

Luego la solución del sistema es: ( 1 *5, : 1 *2 La resolución de ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinante es como en el caso anterior; lo primero que se debe hacer es calcular los determinantes, para ello puede aplicarse cualquiera de los métodos, siendo el más usado el método de Sarrus, para determinantes de tercer orden. Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.38383838.... Resuelve el sistema lineal: ( - : - � 1 4 2( * 3: - 5� 1 *5 3( - 4: - 7� 1 10

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se hallan determinantes: ∆, ∆(, ∆(, ∆� y se aplican los cocientes: ( 1 ∆(∆ , : 1 ∆:∆ , � 1 ∆�∆

∆1 î1 1 12 *3 53 4 7î 1 *23

∆( 1 î 4 1 1*5 *3 510 4 7î 1 *69


∆: 1 î1 4 12 *5 53 10 7î 1 *46

∆� 1 î1 1 42 *3 *53 4 10î 1 23

( 1 ∆(∆ 1 *69*23 1 3, : 1 ∆:∆ 1 *46*23 1 2 � 1 ∆:∆ 1 23*23 1 *1

Luego la solución del sistema es: ( 1 3, : 1 2, V 1 *1

EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.29292929.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 5( - 3: 1 36 4( - 7: 1 61 ¯°±²³´óµ: ( 1 3, : 1 7 Ejercicio 3.30Ejercicio 3.30Ejercicio 3.30Ejercicio 3.30.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 7( - 8: 1 *37 5( - 11: 1 *37 ¯°±²³´óµ: ( 1 *3, : 1 *2 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.33331.1.1.1. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 3( * 4: 1 13 8( * 5: 1 *5 ¯°±²³´óµ: ( 1 *5, : 1 *7 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.32323232.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 13( * 31: 1 *326 25( - 37: 1 146 ¯°±²³´óµ: ( 1 *6, : 1 8 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.33333333.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 9( - 8: 1 12 24( * 60: 1 *29 ¯°±²³´óµ: ( 1 23 , : 1 34

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.34343434.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 15( * 44: 1 *6 32( * 27( 1 *1 ¯°±²³´óµ: ( 1 217 , : 1 317


Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.35353535.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 8( - 9: 1 0 2( - 3: 1 6 ¯°±²³´óµ: ( 1 *9, : 1 8 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.36363636.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 2'( - 2:/ 1 14 3( - 5: 1 31 ¯°±²³´óµ: ( 1 27, : 1 *10 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.37373737.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 3'( - 2/ 1 2: 2': - 5/ 1 7( ¯°±²³´óµ: ( 1 4, : 1 9 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.38383838.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 2( - : * 3� 1 12 5( * 4: * 7� 1 3 ¯°±²³´óµ: ( 1 * 109 ; : 1 359 ; � 1 * 319 10( - 3: * � 1 4 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.39393939.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante ( - : - � 1 11 ( * : - 3� 1 13 2( - 2: * � 1 7 ¯°±²³´óµ: ( 1 2; : 1 4; � 1 5 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.40404040.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante ( - : - � 1 *6 2( - : * � 1 *1 ( * 2: - 3� 1 *6 ¯°±²³´óµ: ( 1 *1; : 1 *2; � 1 *3 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.44441.1.1.1. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 3( * 5: - 2� 1 *22 2( * : - 6� 1 32 8( - 3: * 5� 1 *33 ¯°±²³´óµ: ( 1 *2; : 1 6; � 1 7 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.42424242.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante ( * 2: - 3� 1 8 2( - : * � 1 3 *2( * : - 2� 1 1 ¯°±²³´óµ: ( 1 2; : 1 3; � 1 4 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.43434343.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 5( - 3: * 7� 1 49 3( * 5: - 16� 1 *32

CÁPITULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 91 ( * : - 3� 1 *5 ¯°±²³´óµ: ( 1 4; : 1 12; � 1 1 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.44444444.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 2( - 4: * 7� 1 58 5( * 3: - 2� 1 41 4( - 6: - 11� 1 56 ¯°±²³´óµ: ( 1 12; : 1 5; � 1 *2 Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.45454545.... Resuelve el sistema lineal por el método de determinante 13( - 4: - 7� 1 *63 11( * 5: - 6� 1 *87 18( - 7: - 8� 1 *78 ¯°±²³´óµ: ( 1 *5; : 1 4; � 1 2 Métodos IterativosMétodos IterativosMétodos IterativosMétodos Iterativos Los métodos iterativos son preferibles a los métodos directos cuando la matriz de coeficientes es poco densa, o sea, con muchos ceros. Entre los métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales las mas conocidas son: el método de Jacobi y el método de Gauss – Seidel

Método de JacobiMétodo de JacobiMétodo de JacobiMétodo de Jacobi El método de Jacobi es un método iterativo utilizado para hallar la solución de un sistema cuadrado de ecuaciones lineales. Este método se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.39393939.... Utilizando el método de Jacobi, resolver el siguiente sistema lineal 7( - 3: * 2� 1 15 ( - 5: * 2� 1 9 2( * 3: - 6� 1 19

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene: De la primera ecuacion: ( 1 15 * 3: - 2�7 De la segunda ecuacion: : 1 9 * ( - 2�5 De la tercera ecuacion: � 1 19 * 2( - 3:6

La iteración de Jacobi para este sistema es: (Z�R 1 15 * 3:Z - 2�Z7 , :Z�R 1 9 * (Z - 2�Z5 , �Z�R 1 19 * 2(Z - 3:Z6

El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0)


Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla

Iteración (Z :Z �Z

0 0 0 0

1 2,142857 1,800000 3,166666

2 2,276190 2,638095 3,352381

3 1,970068 2,685714 3,726984

4 2,056689 2,896780 3,852834

5 2,002189 2,929796 3,929494

6 2,009943 2,971360 3,964168

7 2,002037 2,983679 3,982366

8 2,001956 2,992539 3,991160

9 2,000672 2,996073 3,995618

10 2,000431 2,998113 3,998833

Según la tabla, los resultados tienden a: ( � 2, : � 3, � � 4 Este proceso no es el más recomendable, pues se realizan demasiadas iteraciones para hallar el resultado, la situación repetitiva tiende a producir errores en las operaciones. Para que el método de Jacobi sea aplicable es absolutamente necesario que los coeficientes de la matriz del sistema sea una matriz estrictamente diagonal dominante, esto es, en este caso: 7 \ |3| - |*2|, 5 \ |1| - |*2|, 6 \ |2| - |*3|, condición que se cumple y el método converge hacia un numero. En caso de que la matriz no sea estrictamente diagonal dominante, el método de Jacobi diverge.

Método de Gauss Método de Gauss Método de Gauss Método de Gauss ---- SeSeSeSeidelidelidelidel El método de Gauss – Seidel es también un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es una variación del método de Jacobi, presenta mayor eficiencia para generar el nuevo punto de proceso iterativo, esto se debe a que el método de Gauss – Seidel va usando los resultados a medida que se van generando. Es posible aclarar este método con el mismo ejemplo anterior.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.40404040.... Utilizando el método de Gauss – Seidel, resuelve el siguiente sistema lineal 7( - 3: * 2� 1 15 ( - 5: * 2� 1 9 2( * 3: - 6� 1 19 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene: De la primera ecuacion: ( 1 15 * 3: - 2�7 De la segunda ecuacion: : 1 9 * ( - 2�5


De la tercera ecuacion: � 1 19 * 2( - 3:6

La iteración del método de Gauss – Seidel para este sistema es: (Z�R 1 15 * 3:Z - 2�Z7 , , :Z�R 1 9 * (Z�R - 2�Z5

�Z�R 1 19 * 2(Z�R - 3:Z�R6

El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0) Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla

Iteración (Z :Z �Z

0 0 0 0

1 2,142857 1,371429 3,138096

2 2,451701 2,564898 3,631882

3 2,081296 2,836494 3,891148

4 2,038973 2,948665 3,961342

5 2,010955 2,982346 3,987521

6 2,004000 2,994208 3,995771

7 2,001274 2,998053 3,998602 Según la tabla, los resultados tienden hacia: ( � 2, : � 3, � � 4

Este método de Gauss – Seidel necesita menor iteración para llegar al mismo resultado, pues el resultado logrado por el método de Jacobi en 10 iteraciones, éste método de Gauss – Seidel lo hizo en solo 7 iteraciones, presentando mayor rapidez en la convergencia. Tanto el método de Jacobi como el Gauss Seidel solo convergen a la solución si la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante.

SISTEMAS TRIANGULARESSISTEMAS TRIANGULARESSISTEMAS TRIANGULARESSISTEMAS TRIANGULARES

Un sistema lineal de orden T es triangular inferior (Low) si tiene la siguiente forma KRR(R 1 LR K,R(R - K,,(, 1 L, KFR(R - KF,(, - KFF(F 1 LF

… … å KPR(R - KP,(, - KPF(F - S - KPP(P 1 LP


Donde K�� X 0, � 1 1, 2, 3, … , T. Así dispuesto, la solución de un sistema triangular inferior se obtiene por sustitución directa, esto es, determinado el valor de (R en la primera ecuación, se sustituye este valor en la segunda ecuación y se obtiene (,; luego, se sustituyen (R : (, en la siguiente ecuación, se determina (F, y así sucesivamente. Un sistema linean de orden T es triangular superior (Up) si tiene la forma: KRR(R - KR,(, - KRF(F - S - KRP(P 1 LR K,,(, - K,F(F - S - K,P(P 1 L, KFF(F - S - KFP(P 1 LF … å KPP(P 1 LP

Donde K�� X 0, � 1 1, 2, 3, … , T. Así dispuesto, la solución de un sistema triangular inferior se obtiene por retro-sustitución, esto es, determinado el valor de (P en la ultima ecuación, se sustituye este valor en la penúltima ecuación y se obtiene (PQR; luego, se sustituyen (R : (PQR en la siguiente ecuación, se determina (PQ,, y así sucesivamente.

Definición 3.Definición 3.Definición 3.Definición 3.22224444.... Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada ë 1 '?�ç/ tal que ?�ç 1 0 para � ] é.

Del mismo modo, si ?�ç 1 0 para � \ é, ë es una matriz triangular superior.

Teorema 3.6. Teorema de sustitución regresiva.Teorema 3.6. Teorema de sustitución regresiva.Teorema 3.6. Teorema de sustitución regresiva.Teorema 3.6. Teorema de sustitución regresiva. Si <� 1 L es un sistema tyriangular superior de ecuaciones lineales y KZZ X 0, â[ 11, 2, 3, … , T, entonces el sistema tiene solución única.

La unicidad de la solución se garantiza por inducción sobre T.

Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.Teorema 3.7777. Teorema de sustitución . Teorema de sustitución . Teorema de sustitución . Teorema de sustitución progresivaprogresivaprogresivaprogresiva.... Si <� 1 L es un sistema triangular inferior de ecuaciones lineales y KZZ X 0, â[ 1 1, 2, 3, … , T, entonces el sistema tiene solución única.

La unicidad de la solución existe porque en la primera ecuación f�g��, es el único valor posible

de (R y, por inducción finita, los valores de (R, (,, … , (P son únicos.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.41414141.... Resolver el siguiente sistema utilizando sustitución regresiva 2(R - (, * 3(F 1 *6 7(, - 2(F 1 *1 3(F 1 9 SoluciónSoluciónSoluciónSolución De la ultima ecuacion se tiene: (F 1 93 1 3

Reemplazando el valor hallado ' (F 1 9/ en la penúltima ecuación se obtiene:


(, 1 *1 * 2(F7 1 *1 * '2 · 3/7 1 *77 1 *1

Conocido los valores de (, 1 *1 : (F 1 3 se reemplazan en la primera ecuación: (R 1 *6 * (, - 3(F2 1 *6 * '*1/ - '3 · 3/2 1 *6 - 1 - 92 1 42 1 2

Luego, la solución es: (R 1 2, (, 1 *1, (F 1 3

Método de eliminación de GaussMétodo de eliminación de GaussMétodo de eliminación de GaussMétodo de eliminación de Gauss

Sea el sistema lineal <( 1 L, donde < tiene todas las submatrices principales no singulares. El método de eliminación de Gauss, o método de Gauss simple o eliminación gaussiana con sustitución regresiva, consiste en transformar el sistema dado en un sistema triangular equivalente a través de una secuencia de operaciones elementales sobre las filas del sistema original, esto es, el sistema equivalente se obtiene a través de la aplicación repetida de operaciones. La eliminación gaussiana es uno de los tantos métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.42424242.... Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de eliminación gaussiana con sustitución regresiva. 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 3(R - 2(, * (F 1 3 5(R * 7(, - 2(F 1 11

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para ubicar mejor cada término de cada ecuación lineal, se presenta la forma genérica de representación de un sistema lineal. KRR(R - KR,(, - KRF(F 1 LR 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 K,R(R - K,,(, - K,F(F 1 L, ó 3(R - 2(, * (F 1 3 KFR(R - KF,(, - KFF(F 1 LF 5(R * 7(, - 2(F 1 11

La matriz ampliada del sistema es:

Þ2 3 *53 2 *15 *7 2 ååå *13 411 ß

El elemento pivote de la primera fila es KRR 1 2 y los multiplicadores son: `,R : `FR `,R 1 K,RKRR 1 32 : `FR 1 KFRKRR 1 52


Para obtener un cero en K,R se modifica la segunda fila de la siguiente manera: 32 � 2 * 3 1 @, 32 � 3 * 2 1 Ìi, 32 � '*5/ * '*1/ 1 * ©i , 32 � '*13/ * 4 1 * j�i La segunda �ila: 0, 52 , * 132 , * 472

Para obtener un cero en KFR se modifica la tercera fila de la siguiente manera: 52 � 2 * '5/ 1 @, 52 � 3 * '*7/ 1 iªi , 52 � '*5/ * 2 1 * iªi , 52 � '*13/ * 11 1 * «�i

La tercera �ila: 0, 292 , * 292 , * 872

La matriz queda de la siguiente manera: ��

2 3 *50 52 * 1320 292 * 292 ååå

*13* 472* 872 ��

Para obtener un cero en KF,, el elemento pivote de la segunda fila es `,, 1 7, y el

multiplicador es: `F, 1 KF,K,, 1 29252 1 295

Luego: 295 � 52 * 292 1 @, 295 � p* 132 q * p* 292 q 1 * ©©Ì , 295 � p* 472 q * p* 872 q 1 * jjÌ

La tercera �ila: 0, 295 , * 1165 , * 4645

Por ultimo se tiene la matriz: ��

2 3 * 5 å *130 52 * 132 å * 472

0 0 * 1165 å * 4645 ��

Representando en su forma lineal se tiene: 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 52 (, * 132 (F 1 * 472 * 1165 (F 1 * 4645


Resolviendo regresivamente: (F 1 * 4645 � p* 5116q 1 4

(, 1 p* 472 - 132 (Fq � p25q 1 p* 472 - 132 � 4q � p25q 1 p* 472 - 26q � p25q 1 52 � 25 1 ©

(R 1 *13 * 3(, - 5(F2 1 *13 * '3 � 1/ - '5 � 4/2 1 *13 * 3 - 202 1 42 1 i

La solución del sistema es: (R 1 2, (, 1 1, (F 1 4

Pivoteo trivialPivoteo trivialPivoteo trivialPivoteo trivial

En el proceso de pivoteo, puede suceder que en algún paso del proceso de eliminación gaussiana, se tenga K�� 1 0, esto implica que este elemento (K��), no se pueda tomar como

elemento pivote, en este caso se usa el pivoteo trivial, que consiste en escoger de una fila [, [ 1 � - 1, � - 2, … , T en la que KZ� X 0, esta fila se intercambia con la fila q-ésima, con lo

cual se obtiene un pivote no nulo.

Operaciones entre filas de un sistemaOperaciones entre filas de un sistemaOperaciones entre filas de un sistemaOperaciones entre filas de un sistema

Existe otra manera de realizar las transformaciones de un sistema de ecuaciones lineales, con el objeto de modificar dicho sistema a uno equivalente. La esencia de realizar las transformaciones en un sistema lineal es la misma, siempre trata sobre operaciones entre filas del sistema. Una variante del método anterior se presenta a continuación, con el mismo ejemplo.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.43434343.... Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de eliminación gaussiana con sustitución regresiva. 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 3(R - 2(, * (F 1 4 5(R * 7(, - 2(F 1 11

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sea la ecuación a resolver: 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 3(R - 2(, * (F 1 4 5(R * 7(, - 2(F 1 11

La matriz ampliada del sistema es: Þ2 3 *53 2 *15 *7 2 ååå *13411 ß


a) Para obtener un cero (0) en la segunda fila primera columna se procede de la siguiente manera, notando �R 1 1ª �ila, �, 1 2ª �ila, �F 1 3ª �ila

3�R * 2�, 1 '3 · 2/ * '2 · 3/ 1 0, 3�R * 2�, 1 '3 · 3/ * '2 · 2/ 1 5 3�R * 2�, 1 '3 · '*5// * '2 · '*1// 1 *13, 3�R * 2�, 1 '3 · '*13// * '2 · 4/ 1 *47 El sistema queda como: Þ2 3 *50 5 *135 *7 2 ååå *13*47 11ß

b) Para obtener un cero (0) en la tercera fila primera columna se realizan las siguientes operaciones 5�R * 2�F 1 '5 · 2/ * '2 · 5/ 1 0, 5�R * 2�F 1 '5 · 3/ * '2 · '*7// 1 29

5�R * 2�F 1 '5 · '*5// * '2 · 2/ 1 *29, 5�R * 2�F 1 '5 · '*13// * '2 · 11/ 1 *87 El sistema queda como: Þ2 3 *50 5 *130 29 *29 ååå *13*47 *87ß

Ahora solo queda obtener un cero en la tercera fila segunda columna, para el efecto se operan con las 2ª y 3ª filas. 29�, * 5�F 1 '29 · 5/ * '5 · 29/ 1 0, 29�, * 3�F 1 '29 · '*13// * '5 · *29/ 1 *232 29�, * 5�F 1 '29 · '*47// * '5 · '*87// 1 *928

El sistema queda como: Þ2 3 *50 5 *130 0 *232 ååå *13*47 *928ß

Representando en su forma lineal se tiene: 2(R - 3(, * 5(F 1 *13 5(, * 13(F 1 *47 *232(F 1 *928

Resolviendo regresivamente: (F 1 *928*232 1 4

(, 1 *47 - 13(F3 1 *47 - 13 · 45 1 *47 - 525 1 55 1 1

(R 1 *13 * 3(, - 5(F2 1 *13 * '3 � 1/ - '5 � 4/2 1 *13 * 3 - 202 1 42 1 i

La solución del sistema es: (R 1 2, (, 1 1, (F 1 4


Descomposición LUDescomposición LUDescomposición LUDescomposición LU Teorema Teorema Teorema Teorema 3.9. Teorema 3.9. Teorema 3.9. Teorema 3.9. Teorema LULULULU Sea < 1 'K�ç/ una matriz cuadrada de orden T, y <Z el menor principal, constituido de las [

primeras líneas y [ primeras columnas de <. Asimismo que 0tv'<Z/ X 0 para [ 11, 2, 3, … , T * 1. Entonces existe una única matriz triangular inferior ö 1 '��ç/, ?~T �RR 1 �,, 1S 1 �PP 1 1, y una única matriz triangular superior ù 1 'à�ç/ vK� �àt öù 1 <. Además de

eso, det'</ 1 àRR à,, … àPP.7

Menor principalMenor principalMenor principalMenor principal

Sea A una matriz cuadrada de orden T, se dice que <� es un menor principal de A si <� es el determinante que se obtiene a partir de una submatriz de < formada con las � * primeras filas y sus � * primeras columnas o lo que es lo mismo, eliminando las últimas T * � filas y T * � columnas.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 3.44.3.44.3.44.3.44. Calcular los menores principales de la matriz

î3 2 05 1 76 4 3î SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se calculan los siguientes determinantes. <R 1 0tv|KRR| 1 0tv|3| 1 3 <, 1 0tv ÐKRR KR,K,R K,,Ð 1 0tv Ð3 25 1Ð 1 '3 · 1/ * '5 · 2/ 1 3 * 10 1 *7

<F 1 <, pues corresponde al determinante del sistema

Esquema practico para la descomposición LUEsquema practico para la descomposición LUEsquema practico para la descomposición LUEsquema practico para la descomposición LU

La ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque se puede elegir el vector b que sea conveniente y no volver a realizar la eliminación de Gauss cada vez.

Los determinantes de matrices triangulares son simplemente el producto de los elementos de sus diagonales. En particular, si L es una matriz triangular en cuya diagonal todos los elementos son uno, entonces:

En la práctica se puede calcular L y U simplemente aplicando la definición de producto y de igualdad de matrices, esto es, imponiendo que öù 1 <. Seas esto:

7 La demostración de este teorema en Franco, Neide. Calculo Numérico. Pag. 113 (en Portugues)


öù 1��

1 0 0�,R 1 0�FR �F, 1 0 00 00 0S S …�PR �P, �PF � åS 1��

��

àRR àR, àRF0 à,, à,F0 0 àFF S àRPS à,PS àFPS S … 0 0 0 � åS àPP��

Ejemplo de una matriz triangular öù de 3 � 3

öù 1 Þ 1 0 0KRR 1 0KRR KRR 1ß ÞKRR KR, KRF0 K,, KRR0 0 KFFß

Para la obtención de los elementos de la matriz L y de la matriz U se puede aplicar cualquiera de los métodos de transformaciones presentados anteriormente:

a) operaciones entre filas de un sistema b) Método de eliminación gaussiana para sistemas triangulares

Sea el sistema <( 1 L de orden T determinado, donde < satisface las condiciones de descomposición öù. Entonces el sistema <( 1 L puede escribirse como öù( 1 L.

Transformado el sistema <( 1 L en un sistema equivalente öù( 1 L cuya solución es obtenida fácilmente.

Haciendo ù( 1 :, la ecuación se reduce a ö: 1 L. Resolviendo el sistema triangular inferior ö: 1 L, se obtiene el vector :. Sustituyendo el valor de : en el sistema ù( 1 : se obtiene un sistema triangular superior cuya solución es el vector ( buscado.

La aplicación de la descomposición öù en la resolución de sistemas lineales requiere de dos sistemas triangulares.

Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.Ejemplo 3.45454545.... Sea el siguiente sistema lineal 5(R - 2(, - (F 1 0 3(R - (, - 4(F 1 *7 (R - (, - 3(F 1 *5

El determinante del sistema: < 1 Þ5 2 13 1 41 1 3ß

a) Verifique si < satisface las condiciones de la descomposición öù b) Descomponer < en öù c) A través de la descomposición öù, calcular el determinante de A d) Resolver el sistema <( 1 L, usando la descomposición öù. SoluciónSoluciónSoluciónSolución a) Para que < ssatisfaga las condiciones de la descomposición öù se debe tener 0tv'<R/ X0 y 0tv'<,/ X 0 .


Resolviendo menor principal <R 1 |5| 1 5

Resolviendo menor principal <, 1 Ð5 23 1Ð 1 '5/ * '6/ 1 *1

Luego, < satisface las condiciones del teorema para la descomposición öù.

b) Descomposición de la matriz < en öù Aplicando el método de eliminación de Gauss o el método de operaciones entre filas y columnas se obtiene las matrices triangulares superior e inferior:

ö 1 � 1 0 03 5� 1 01 5� *3 1� ; ù 1 ÷5 2 10 * 1 5� 17 5�0 0 13 ø

c) El determinante de un sistema triangular es igual al producto de los elementos de la

diagonal principal, en este caso: det'</ 1 àRR à,, àFF 1 5 · p* 15q · 13 1 *13

d) Para obtener la solución del sistema <( 1 L, se debe resolver dos sistemas triangulares: ö: 1 L : ù( 1 :

1) Para ö: 1 L, se tiene:

� 1 0 03 5� 1 01 5� *3 1�Þ:R:,:Fß 1 Þ 0*7*5ß

Operando se obtiene: Para hallar :R: :R 1 0 Para hallar :, : 35 :R - :, 1 *7 > 35 � 0 - :, 1 *7 > 9i 1 *� Para hallar :F : 15 :R * 3:, - :F 1 *5 > 15 · 0 * 3 · '*7/ - :F 1 *5 21 - :F 1 *5 > :F 1 *5 * 21 1 *26 9 1 *i Luego, la solución del sistema ö: 1 L t{ : 1 '0, *7, *26/� 2) Para ù( 1 :, se tiene:

÷5 2 10 * 1 5� 17 5�0 0 13 ø Þ(R(,(Fß 1 Þ 0*7*26ß


Operando se obtiene: Para hallar (F: 13(F 1 *26 > (F 1 *2613 1 *2 > 8 1 *i Para hallar (, : * 15 (, - 175 (F 1 *7 > * 15 (, - 175 '*2/ 1 *7 > 8i 1 © Para hallar :F: 5(R - 2(, - (F 1 0 > 5(R - 2 · 1 - '*2/ 1 0 > 8 1 @ Luego, la solución del sistema ù( 1 : t{ ( 1 '0, 1, *2/� Así, la solución del sistema <( 1 L es:

Þ5 2 13 1 41 1 3ß Þ(R(,(Fß 1 Þ 0*7*5ß t{ ( 1 Þ 0 1*2ß


Ejercicio 3.46. Ejercicio 3.46. Ejercicio 3.46. Ejercicio 3.46. Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante, si es así, resolver por el método de Jacobi y de Gauss-Seidel. 6(R * 3(, - 2(F 1 *35 4(R - 9(, * 3(F 1 *12 (R - 3(, - 5(F 1 28 SoluciónSoluciónSoluciónSolución: K/ (R 1 *6, (, 1 3, (F 1 5

Ejercicio 3.47. Ejercicio 3.47. Ejercicio 3.47. Ejercicio 3.47. Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si es posible resolver por el método de Jacobi y Gauss-Seidel; si es así resolver por los métodos iterativos citados (Jacobi y Gauss-Seidel). 5(R - 2(, - (F * () 1 32 2(R * 7(, - 3(F - () 1 *26 3(R - (, - 9(F * 4() 1 53 4(R - 2(, - (F - 8() 1 47 SoluciónSoluciónSoluciónSolución: K/ (R 1 3, (, 1 7, (F 1 5; () 1 2

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 3.3.3.3.48484848. . . . Considerando el sistema de ecuaciones lineales: 5(R - 2(, - (F 1 *12 *(R - 4(, - 2(F 1 20 2(R * 3(, - 10(F 1 3

a) Resolver usando el método de descomposición öù b) Calcular el determinante de < , usando descomposición öù.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: K/ (R 1 *4, (, 1 3, (F 1 2

L/ det < 1 253


Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 3.3.3.3.49494949. . . . Resolver el sistema <( 1 L, donde: < 1 Þ1 0 22 3 *10 3 *1ß ; ( 1 Þ(R(,(Fß ; L 1 Þ432ß

Usando descomposición LU ¯°±²³´óµ: (R 1 12, (, 1 54, (F 1 74

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 3.3.3.3.50505050. . . . Resolver el sistema: 2(R - 3(, - 2(F - 4() 1 4 4(R - 10(, * 4(F 1 *8 *3(R * 2(, * 5(F * 2() 1 *4 *2(R - 4(, - 4(F * 7() 1 *1 ¯°±²³´óµ: (R 1 *1, (, 1 0, (F 1 1, () 1 1

Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.Ejercicio 3.51515151.... Resolver el sistema 4(R - 3(, * 2(F - () 1 2 3(R - (, * 2(F - 4() 1 5 2(R - 2(, - 3(F * 3() 1 1 4(R - 2(, - (F * 6() 1 3 ¯°±²³´óµ: (R 1 115 , (, 1 *2, (F 1 35, () 1 25

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 3.3.3.3.52525252. . . . Resolver el sistema 2(R - 3(, - 5(F - 4() 1 4 4(R - 3(, - (F - 6() 1 6 3(R - 5(, - 2(F - 4() 1 2 2(R - (, - 2(F - 3() 1 3 ¯°±²³´óµ: (R 1 * 117 , (, 1 * 37, (F 1 * 17, () 1 167

Ejercicio 3.53. Ejercicio 3.53. Ejercicio 3.53. Ejercicio 3.53. Resolver el sistema 3(R - 2(, - 8(F - 5() 1 *30 *4(R - 3(, * 5(F - 5() 1 *70 *5(R - 9(, *2(F * 5() 1 *39 *9(R * 4(, - 2(F - 4() 1 43 ¯°±²³´óµ: (R 1 *3, (, 1 *9, (F 1 4, () 1 *7


Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.54444. . . . Resolver el sistema *9(R * 8(, - 9(F * 7() 1 *89 (R - (, * 3(F * 6() 1 52 *5(R * 4(, - 2(F * 2() 1 *46 *6(R - 4(, * 5(F * () 1 *15 ¯°±²³´óµ: (R 1 8, (, 1 2, (F 1 *4, () 1 *5

Ejercicio 3.55. Ejercicio 3.55. Ejercicio 3.55. Ejercicio 3.55. Resolver el sistema 6(R - 7(, - 3(F - 8() 1 49 2(R * 9(, - 3(F - 9() 1 *77 *4(R * 8(, * 3(F - 6() 1 *87 *9(R * 2(, - 2(F * 4() 1 11 ¯°±²³´óµ: (R 1 *1, (, 1 8, (F 1 5, () 1 *2

Ejercicio 3.56. Ejercicio 3.56. Ejercicio 3.56. Ejercicio 3.56. Resolver el sistema 8(R * 8(, - 5(F - 3() 1 23 5(R * 6(, - 2(F - 7() 1 *23 2(R * 4(, - 3(F - 4() 1 *30 9(R * 4(, - 6(F - 2() 1 26 ¯°±²³´óµ: (R 1 8, (, 1 *2, (F 1 *6, () 1 *9

Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.57777. . . . Resolver el sistema 7(R - 9(, * 4(F - 9() 1 69 *(R * 3(, - 3(F - 2() 1 *42 4(R * 9(, * 2(F - 9() 1 *34 *2(R * 5(, * 3(F - () 1 *23 ¯°±²³´óµ: (R 1 7, (, 1 4, (F 1 *5, () 1 *4

Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.5Ejercicio 3.58888. . . . Resolver el sistema 5(R - 9(, - (F * 5() 1 *101 *3(R * 4(, * 3(F - 2() 1 37 *5(R * 2(, * 3(F * 8() 1 59 *4(R * 3(, - 7(F - () 1 100 ¯°±²³´óµ: (R 1 *9, (, 1 *8, (F 1 6, () 1 *2

CÁPITULO 4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 105

CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4

SISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓN

IIIIntroducciónntroducciónntroducciónntroducción

La necesidad de contar siempre existió en la vida del hombre y cuando la acción de contar se produjo en la historia del hombre, estos utilizaron los dedos de las manos, piedritas, marcas en árboles o varillas, nudos en una cuerda y cualquier otras formas para ir pasando de un número al siguiente y registrar lo que sea se esté contando.

Con el tiempo y a medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación que presente mayor practicidad y posibilidad para contar grandes cantidades.

El sistema de numeración posicional es el modo de escritura que al parecer presenta mayor practicidad, en el cual cada digito posee un valor diferente dependiendo de la posición que ocupa dentro del grupo de números que representa alguna cantidad, o sea, su valor depende de la posición relativa ocupada.

El sistema de numeración que se usa habitualmente es el sistema posicional decimal, cuya base es 10. Este sistema de numeración utiliza para su representación diez dígitos diferentes, cada uno de ellos representando cantidades diferentes, y son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9.

A modo de referencia se cita la numeración babilónica que usaba numeración con base 10 y base 60, y la numeración maya cuyo sistema de numeración utilizaba las bases 20 y 5. La aparición de las computadoras ha dado un gran avance al desarrollo y perfeccionamiento de los sistemas de numeración, entre los cuales se puede citar el sistema binario o de base dos.

Si bien George Boole estudio el sistema binario como aplicación práctica para emplear a la posición y cambios de rieles de trenes, luego éste procedimiento se hizo muy útil y se profundizó en sus características para dar origen al sistema utilizado universalmente por las computadoras.

Si bien los resultados generados por un procesador computarizado están siempre afectados por la aritmética finita, siempre será de gran ayuda las operaciones computarizadas a la hora de realizar cálculos, tanto por su rapidez como por la precisión (casi exactas) de las operaciones.

El sistema de numeración decimal es el que maneja y utiliza la gran mayoría de las personas y la que se aplica como base internacional de números. El sistema binario o de base dos es la que usa universalmente las computadoras. Además de estos dos sistemas de numeración existen otros utilizados en los sistemas digitales, como el sistema octal (base ocho) y el sistema hexadecimal (base dieciséis), también sistemas posicionales.

Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan más bien como apoyo y simplificación de circuitos digitales en los diseños de chips, pues la base de origen siempre es el sistema decimal, Ya que el sistema octal '8 1 2F/ y el hexadecimal '16 1 2)/.


Representación de un número enteroRepresentación de un número enteroRepresentación de un número enteroRepresentación de un número entero

La representación de un número entero en el computador no presenta ninguna dificultad. Cualquier computador funciona internamente con una base fija ã, donde ã U � m 2, y se escoge como una potencia de 2.

Bajo estas condiciones, un número entero T X 0, posee una única representación. T 1 d'TQZ TQZ�R … TQR T6 1 d'T6ã6 - TQRãR - S - TQZãZ/ Donde los T� 1 0, *1, *2, … , *[ son enteros que satisfacen 0 n T� n ã : TQZ X 0

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.1.4.1.4.1.4.1. El número 5876 en la base ã 1 10 está representado por: 5876 1 6 � 106 - 7 � 10R - 8 � 10, - 5 � 10F Es almacenado como: TQF TQ, TQR T6

Representación de un número realRepresentación de un número realRepresentación de un número realRepresentación de un número real

La representación de un número real en el computador puede ser hecha de dos maneras, la representación en punto fijo y la representación en punto flotante. Punto fijoPunto fijoPunto fijoPunto fijo La representación en punto fijo fue el sistema utilizado por los primeros computadores. Así, dado un número real ( X 0, este número real será representado en punto fijo por.

( 1 d Ç (�ãQ�P�ÉZ

Donde [ : T son enteros que satisfacen la condición [ ] T y usualmente [ n 0 y T \ 0 y los (� son enteros que sarisfacen 0 n (� n ã.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.2.4.2.4.2.4.2. El número 5876,43 en la base ã 1 10 está representado por:

5876,43 1 d Ç (�ãQ�,�ÉQF

5876,43 1 5 � 10F - 8 � 10, - 7 � 10R - 6 � 106 - 4 � 10QR - 3 � 10Q, 5876,43 1 5 � 1000 - 8 � 100 - 7 � 10 - 6 � 1 - 4 � 0,1 - 3 � 0.01 5876,43 1 5000 - 800 - 70 - 6 - 0,4 - 0,03

Punto flotantePunto flotantePunto flotantePunto flotante La representación en punto flotante es más flexible que la representación en punto fijo, actualmente esta representación es utilizada universalmente.

Dado un numero real ( X 0, éste será representado en punto flotante por ( 1 d0 � ã�, donde ã es la base del sistema de numeración, 0 es la mantisa y t es el exponente. La mantisa es un número en punto fijo, está dada por:


0 1Ç0�ãQ�P�ÉZ

Donde, frecuentemente, en los grandes computadores, [ 1 1, tan que si ( X 0, entonces 0R X 0; 0 n 0� ] ã, � 1 1, 2, 3, … v, v indica la cantidad de dígitos significativo o precisión del

sistema, ãQR n 0 ] 1 y * ` n t n ï.

a) 0R X 0 caracteriza el sistema de números en punto flotante normalizado. b) El número cero '0/ pertenece a cualquier sistema y es representado con

mantisa igual a cero y t 1 *`.

Definición 4Definición 4Definición 4Definición 4.1..1..1..1. Los números en punto flotante son números reales de la forma: dÓ � ã�, donde Ó tiene un numero de dígitos limitados, ã es la base y t es el exponente que hace cambiar de posición al punto decimal.

Definición Definición Definición Definición 4444.2..2..2..2. Un número real ( tiene una representación punto flotante normalizada si: ( 1 dÓ � ã� , con 1ã ] |Ó| ] 1

En el caso en que ( tenga representación punto flotante normalizada, entonces ( 1 d0, 0R, 0,, … , 0Z � ã� , {� ( X 0, 0R X 0,0 ] 0� ] ã, � 1 1, 2, 3, … , [ : * ` n t n ï

Definición Definición Definición Definición 4444.3..3..3..3. Al conjunto de los números en punto flotante se le llama conjunto de números de máquina.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4.3.4.3.4.3.4.3. Escribe en número 0,53 de base ã 1 10 en punto flotante normalizada.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 0,53 1 '5 � 10QR - 3 � 10Q,/ � 106 1 0,53 � 106 1 0,53

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4.4.4.4.4.4.4.4. Escribe en número4397,3 de base ã 1 10 en punto flotante normalizado.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 4397,3 1 '4 � 10QR - 3 � 10Q, - 9 � 10QF - 7 � 10Q) - 3 � 10Q7/ � 10) 4397,3 1 0,43973 � 10) 1 4397,3

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4.5.4.5.4.5.4.5. Escribe en número *5,972 de base ã 1 10 en punto flotante normalizado.

Solución:Solución:Solución:Solución: *5,972 1 *'� 10QR - 9 � 10Q, - 7 � 10QF - 2 � 10Q)/ � 10R 1 *0,5972 � 10R


Representación de números en el sistema Representación de números en el sistema Representación de números en el sistema Representación de números en el sistema '!, ",#,$/.... Es sabido que los números reales pueden ser representados por una recta continua. Si los puntos son fluctuantes solo es posible representarlos como puntos discretos en la recta real.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.6.4.6.4.6.4.6. ¿Cuantos y cuales números pueden ser representados en el sistema �'2, 3, 1, 2/? Solución:Solución:Solución:Solución: Como ã 1 2, indica que la base del sistema considerado es 2, v 1 3 y los límites exponenciales son ` 1 1 : ï 1 2, indicando que *1 n t n 2. Así, la expresión para este ejemplo queda: d0, 0R0,0F � 10� Se tiene: dos posibilidades para los signos, una posibilidad para 0R, dos posibilidades para 0,, dos para 0F y cuatro para ã�. Realizando el producto de 2 � 1 � 2 � 2 � 4 1 32; este resultado indica la cantidad a ser representada, entonces: �'2, 3, 1, 2/ puede representar 33 números '32 - 1 1 33/ pues el cero '0/ forma parte de cualquier sistema de numeración. Los números que pueden ser representados por este sistema son:

Las formas de la mantisa son: 0.100; 0.101; 0.110 : 0.111

Las formas de ã�son: 2QR, 26, 2R, 2,

0.100 �%&'&(2QR 1 '0.25/R626 1 '0.5/R62R 1 '1.0/R62, 1 '2.0/R6

) 0.101 �%&'&(2QR 1 '0.3125/R626 1 '0.625/R62R 1 '1.25/R62, 1 '2.5/R6

)

0.110 �%&'&(2QR 1 '0.375/R626 1 '0.75/R62R 1 '1.5/R62, 1 '3.0/R6

) 0.111 �%&'&(2QR 1 '0.4375/R6 26 1 '0.875/R6 2R 1 '1.75/R62, 1 '3.5/R6

) Aquí se tienen 16 números positivos en base 10, los otros 16 números son los mismos, pero negativos, ahí se tiene 32 números, completa el cero (0) para tener los 33.

Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4.7..7..7..7. Escribe en número 0,0007 de base ã 1 10 en punto flotante normalizado.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 0.0007 1 '7 � 10QR/ � 10QF 1 0,7 � 10QF

La representación de un sistema de números en punto flotante normalizado, en la base ã , con v dígitos significativos y con límites de exponentes ` : ï, la notación utilizada será �'ã, v, `, ï/. Un numero en el sistema de punto flotante �'ã, v, `, ï/ será representado por d0. 0R0,0F … 0� � ã�, donde 0R X 0 : * ` n t n ï


EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.8.4.8.4.8.4.8. Considerando el sistema �'10, 3, 2, 2/. Representar en este sistema los números: 0,53; 4397,3; *5,972 y 0,0007

SoluciónSoluciónSoluciónSolución En el sistema de punto flotante normalizado planteado por el problema, un numero será representado por d0. 0R0,0F � 10� , 0~T0t * 2 n t n 2. Se presenta los siguientes números en punto flotante: 0,53 1 0,530 � 106 4397,3 1 0,43973 � 10) *5,972 1 *0,5972 � 10R 0.0007 1 0,7 � 10QF

Los números 0,53 1 0,53 � 106 : * 5,972 1 *5,972 � 10R pueden ser representados en este sistema, pues las potencias de 10'0 : 1/ están comprendidas en el intervalo *2 n t n 2.

Sin embargo los números 4397,3 1 4397,3 � 10) : 0,0007 1 0,0007 � 10QF no pueden ser representados en este sistema fijado, pues las potencias de 10 '4 : * 3/ de estos números no pertenecen al intervalo *2 n t n 2.

El número 4397,3 1 4397,3 � 10) tiene un exponente mayor que 2, causando overflow y el número 0,0007 1 0,0007 � 10QF posee exponente menor que *2 produciendo underflow.

Definición Definición Definición Definición 4444.4..4..4..4. Sea ã la base del sistema de números en punto flotante. Los dígitos significativos de un numero (, son todos los algoritmos de 0 K ã * 1, donde ( está representado en la forma normalizada.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.9.4.9.4.9.4.9. Sea ;'(/ una fujncion continua real definida en el intervalo yK, Lz, K ] L y sean ;'K/ ]0 : ;'L/ \ 0. De acuerdo con el teorema de valor intermedio, existe (, K ] ( ] L, tal que ;'(/ 1 0.

Sea ;'(/ 1 (F * 3. Determinar ( tal que ;'(/ 1 0 Solución:Solución:Solución:Solución: Para la función dada se considera v 1 10 : ã 1 10.

Haciendo (6 1 0,1442249570 � 10R y (R 1 0,1442249571 � 10R y resolviendo: ;'(6/ 1 ;'0,1442249570 � 10R/ 1 *0,191 � 10Q� ;'(R/ 1 ;'0,1442249571 � 10R/ 1 -0,432 � 10Q�

Entre (6 1 0,1442249570 � 10R y (R 1 0,1442249571 � 10R, no existen ningún numero que pueda ser representado en el sistema dado y que la función ; cambie de signo en los extremos del intervalo. Así, esta máquina no contiene el número ( tal que ;'(/ 1 0 y por lo tanto la ecuación dada no posee solución.


EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.1.4.1.4.1.4.1. Escribir el número 7361.3 en punto flotante normalizado. Solución:Solución:Solución:Solución: 5391.3 1 '7 � 10QR - 3 � 10Q, - 6 � 10QF - 1 � 10Q) - 3 � 10Q7/ � 10) 7361.3 1 @. �© � ©@j

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.2222.... Escribir el número 0.42 en punto flotante normalizado. Solución:Solución:Solución:Solución: 0.42 1 '4 � 10QR - 2 � 10Q,/ � 106 1 @. ji � ©@@

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.3333.... Escribir el número *5.172 en punto flotante normalizado. Solución:Solución:Solución:Solución: * 5.172 1 *'5 � 10QR - 1 � 10Q, - 7 � 10QF - 2 � 10Q) / � 10R *5.172 1 *@. Ì©�i � ©@©

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.4444.... Escribir el número 0.0004 en punto flotante normalizado. Solución:Solución:Solución:Solución: 0.0004 1 '4 � 10QR/ � 10QF 1 @. j � ©@Q

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.5555.... Escribir el número 27.56 en punto flotante normalizado. Solución:Solución:Solución:Solución: 27.56 1 '2 � 10QR - 7 � 10Q, - 5 � 10QF - 6 � 10Q) / � 10, 1 @. i�Ì � ©@i

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.6666.... Considerando el sistema �'10, 3, 2, 2/, representar el número 7361.3 SoluciónSoluciónSoluciónSolución: En punto flotante un número de base 10 se representa por d0. 0R0,0F … 0� � 10� , donde *2 n t n 2, Bajo estas condiciones el número 7361,3 no puede ser representado, pues ï está fuera del

rango considerado, 7361.3 1 @.�©� ©@j y el exponente de la potencia de 10 es 'ï 1 4/, y el valor máximo permitido es 'ï 1 2/.


Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.7777.... Considerando el sistema �'10, 3, 2, 2/, representar el número 0.42 SoluciónSoluciónSoluciónSolución: El número 0.42 1 0.42 � 106 sí puede ser representado bajo las condiciones consideradas en

este ejercicio, pues el valor de ï está en el rango considerado, 0.42 1 @. ji � ©@@ y el exponente de la potencia de 10 es 'ï 1 0/, y el valor está comprendido entre los limites considerados de '` 1 *1 y ï 1 2/.

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.4.4.4.8888.... Considerando el sistema �'10, 3, 2, 2/, representar el número *5.172 1 *@. Ì©�i � ©@© SoluciónSoluciónSoluciónSolución:

El número *5.172 1 *@. Ì©�i � ©@© sí puede ser representado bajo las condiciones consideradas en este ejercicio, el valor de ï está en el rango considerado, *5.172 1 *@. Ì©�i � ©@© y el exponente de la potencia de 10 es 'ï 1 1/, y el valor está comprendido entre los limites considerados de '` 1 *1 y ï 1 2/.

Cambio de baseCambio de baseCambio de baseCambio de base

La mayoría de los computadores funciona en la base ã, donde ã es un entero m 2; que es normalmente escogida como una potencia de 2. Así, un mismo número puede ser representado en más de una base. Además de eso se sabe que, a través de un cambio de base, es siempre posible determinar la representación en una nueva base.

Sistema binario de numeraciónSistema binario de numeraciónSistema binario de numeraciónSistema binario de numeración

La importancia de este sistema de numeración radica en la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen es éste un sistema totalmente idóneo para uso en sistemas digitales y computadoras, pues posee solamente dos estados posibles, encendido o apagado o 0 y 1.

Para representar la cantidad cero, se utiliza el símbolo 0, para representar la cantidad uno se utiliza el símbolo 1 y para representar la cantidad dos, se usa la combinación de los dos primero, o sea, la cantidad dos es 10, pero en base dos.

Los números en el sistema binario se representan como: 1101, Los números en el sistema decimal se representan como: 375R6 o simplemente 375.

Haciendo una comparación del sistema binario y del sistema decimal, se tiene la tabla 4-1

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7

Binario 0 1 10 11 100 101 110 111

Tabla 4Tabla 4Tabla 4Tabla 4----1111 Desde ahora en este material y en todos los casos se omite el sub-índice que indica la base de numeración para los números del sistema decimal, por lo tanto, se usará 375 en vez de 375R6.

La tabla 4-2 presenta las primeras potencias de 2 para su aplicación en conversiones

CÁPITULO 4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 112 26 2R 2, 2F 2) 27 2� 2� 2� 2¬ 2R6 2RR 2R, 2RF

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 Tabla Nº Tabla Nº Tabla Nº Tabla Nº 4444----2222

La tabla 4-3presenta las potencias negativas de 2 2QR 2Q, 2QF 2Q) 2Q7 2Q� 2Q� 2Q� 2Q¬

0.5 0.25 0.125 0.625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 0.001953125

Tabla Nº Tabla Nº Tabla Nº Tabla Nº 4444----3333 Análisis del sistema posicional decimal 375 1 3 � 10, - 7 � 10R - 5 � 106 375 1 3 � 100 - 7 � 10 - 5 � 1 1 375 1 300 - 70 - 5 � 1 1 375

En este ejemplo se nota que el digito menos significativo (5) multiplica 106 y el digito más significativo (3) multiplica a 10,y la suma de estos resultados representa el numero, en este caso 375.

Conversión del sistema binario al decimConversión del sistema binario al decimConversión del sistema binario al decimConversión del sistema binario al decimalalalal La forma más sencilla de comprender e interpretar planteamientos problemáticos de este tipo y buscar solución es con un ejemplo directo.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.10.4.10.4.10.4.10. Se desea convertir el número 111011, al sistema decimal. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así: 11011, 1 1 � 27 - 1 � 2) - 1 � 2F - 0 � 2, - 1 � 2R - 1 � 26 1 11011, 1 1 � 32 - 1 � 16 - 1 � 8 - 0 � 4 - 1 � 2 - 1 � 1 1 11011, 1 32 - 16 - 8 - 0 - 2 - 1 1 27R6 1 Ìª


Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.9.4.9.4.9.4.9.

Se desea convertir el número 11011, al sistema decimal.


Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así: 11011, 1 1 � 2) - 1 � 2F - 0 � 2, - 1 � 2R - 1 � 26 1 11011, 1 1 � 16 - 1 � 8 - 0 � 4 - 1 � 2 - 1 � 1 1 11011, 1 16 - 8 - 0 - 2 - 1 1 27R6 1 i�


Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.104.104.104.10....

Convierte el número 101001, al sistema decimal.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 101001, 1 1 � 27 - 0 � 2) - 1 � 2F - 0 � 2, - 0 � 2R - 1 � 26 1 101001, 1 1 � 32 - 0 � 16 - 1 � 8 - 0 � 4 - 0 � 2 - 1 � 1 1 101001, 1 32 - 0 - 8 - 0 - 0 - 1 1 41R6 1 j©


Convierte el número 10101110, al sistema decimal.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 10101110, 1 1 � 2� - 0 � 2� - 1 � 27 - 0 � 2) - 1 � 2F - 1 � 2, - 1 � 2R - 0 � 26 1 10101110, 1 1 � 128 - 0 � 64 - 1 � 32 - 0 � 16 - 1 � 8 - 1 � 4 - 1 � 2 - 1 � 0 1 10101110, 1 128 - 0 - 32 - 0 - 8 - 4 - 2 - 0 1 174R6 1 ©�j


Convertir el número 111.001, al sistema decimal.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 111.001, 1 1 � 2, - 1 � 2R - 1 � 26 - 0 � 2QR - 0 � 2Q, - 1 � 2QF 1 111.001, 1 1 � 4 - 1 � 2 - 1 � 1 - 0 � 0.5 - 0 � 0.25 - 1 � 0.125 1 111. 001, 1 4 - 2 - 1 - 0 - 0 - 0.125 1 7.125R6 1 �. ©iÌ


Convertir el número 11.101, al sistema decimal.

SoluciónSoluciónSoluciónSolución 11.101, 1 1 � 2R - 1 � 26 - 1 � 2QR - 0 � 2Q, - 1 � 2QF 1 11.101, 1 1 � 2 - 1 � 1 - 1 � 0.5 - 0 � 0.25 - 1 � 0.125 1 11. 101, 1 2 - 1 - 0.5 - 0 - 0.125 1 3.625 1 . iÌ

Conversión del sistema decimal al binarioConversión del sistema decimal al binarioConversión del sistema decimal al binarioConversión del sistema decimal al binario

Ahora se realizará la operación inversa a la anterior, pues se convertirá números del sistema decimal al sistema binario. De la misma forma como se procedió con la conversión del apartado anterior, se hará aquí, o sea, se hará la conversión a partir de ejercicios resueltos directamente. Los números enteros de cualquier sistema tendrán siempre otro número entero como resultado de la conversión de sistemas.


EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.11.4.11.4.11.4.11. Se desea convertir el número 13 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Primer métodoPrimer métodoPrimer métodoPrimer método: Una de las formas más simples utilizadas para convertir un número del sistema decimal al binario es la presentada a continuación, donde la conversión se da después de una serie de divisiones (por el número dos) y cuyo resultado binario es el último cociente seguidos de todos los restos. 13 2 (1) 6 2 13R6 1 1101, (0) 3 2 (1) (1) La interpretación práctica de la conversión de un numero del sistema decimal al binario se muestra con la flecha que acompaña a la división por 2 del numero 13. Segundo métodoSegundo métodoSegundo métodoSegundo método: Esencialmente consiste en el mismo método anterior, con la diferencia en la forma de representar la operación y la solución de la conversión. Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso '13 2⁄ / 1 '6 � 2/ - 1

Se vuelve a dividir el nuevo cociente (6) entre dos, o sea: '6 2⁄ / 1 '3 � 2/ - 0

De nuevo se divide el último cociente (3) entre dos, quedando: '3 2⁄ / 1 '© � 2/ - 1

Después de la última división, queda el último divisor (en negrita): ©

El resultado se interpreta como indica la flecha, ©©@©

Entonces: : : : © 1 ©©@©i

Tercer método:Tercer método:Tercer método:Tercer método: Otra forma de presentar la resolución del ejercicio es por medio del siguiente cuadro, interpretándose la tabla de la misma forma que el anterior y siguiendo el sentido de la flecha para ordenas los números en sus respectivos lugares. 132

62 32

1111

(6� 2/ - 1 (3� 2/ - 0 (1� 2/ - 1

1 0 1 1111 Luego: © 1 ©©@©i



Se desea convertir el número 8 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:


Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso '8 2⁄ / 1 '4 � 2/ - 0


De nuevo se divide el último cociente entre dos, quedando: '2 2⁄ / 1 '© � 2/ - 0

Con esta última división el resultado es exacto, queda el último cociente: ©

El resultado se interpreta como indica la flecha, ©@@@

Entonces: : : : « 1 ©@@@i

Otra forma de presentar la resolución del ejercicio es por medio del siguiente cuadro, interpretándose la tabla de la misma forma que el anterior y siguiendo el sentido de la flecha para ordenas los números en sus respectivos lugares. 82

42 22

1111

(4� 2/ - 0 (2� 2/ - 0 (1111� 2/ - 0

0 0 0 1111 Luego: « 1 ©@@@i


Se desea convertir el número 27 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:

Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso '27 2⁄ / 1 '13 � 2/ - 1


De nuevo se divide el último cociente entre dos, quedando: '6 2⁄ / 1 '3 � 2/ - 0

Otra vez se realiza la división por dos del cociente hallado: '3 2⁄ / 1 '1 � 2/ - 1

Con esta última división el resultado es exacto, queda el último cociente: ©

El resultado se interpreta como indica la flecha, ©©@©©

Entonces: : : : i� 1 ©©@©©i 272 132

62 32

(13 � 2/ - 1 (6� 2/ - 1 (3� 2/ - 0 (1� 2/ - 1

1 1 0 1


Se desea convertir el número 46 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para convertir 46 al sistema binario, se aplica directamente la tabla:


462 232

112 52

22 1111

(23 � 2/ - 0 (11� 2/ - 1 (5� 2/ - 1 (2� 2/ - 1 (© � 2/ - 0

0 1 1 1 0 1111 Luego, 46 1 ©@©©©@i

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.17.4.17.4.17.4.17. Se desea convertir el número 13,25 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para realizar la conversión de un sistema decimal fraccionario al sistema binario, se procederá también de forma práctica, partiendo de la premisa de que un número fraccionario es la suma de una parte real y otra parte fraccionaria. Para la conversión se procede a realizar las dos partes por separada, primero, la parte entera y luego la parte fraccionaria, solo por dar un orden, pues esto no afecta al resultado. En la conversión de la parte fraccionaria, la operación para cuando los números después el punto son todos ceros. 13.25 1 13 - 0.25 Se procede a convertir el número 13 Se convierte la parte fraccionaria 0.25 132

62 32

1111

(6� 2/ - 1 (3� 2/ - 0 (1111� 2/ - 1

1 0 1 1111 Luego: 13,25 1 ©©@©. @©i

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.18.4.18.4.18.4.18. Se desea convertir el número 8,375 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución 8.375 1 8 - 0.375 Se procede a convertir el número 8 Se convierte la parte fraccionaria 0.25 82

42 22

1111

(4� 2/ - 0 (2� 2/ - 0 (1111� 2/ - 0

0 0 0 1111 Luego: 8,375 1 ©@@@. @©©i

0.25 � 2 0.50 � 2

0000.50 ©. 00

0000 1111

0.375 � 2 0.75 � 2 0.50 � 2

0000.75 ©. 50 ©. 00

0000 1111 ©


Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4.19.4.19.4.19.4.19. Convertir el número 5.8 al sistema binario. SoluciónSoluciónSoluciónSolución 5.8 1 5 - 0.8 Se procede a convertir el número 5 Se convierte la parte fraccionaria 0.8 52

22 1111

(2� 2/ - 1 (1� 2/ - 0

1 0 1111 Luego: 5.8 1 ©@©. ©©@@©©@@©©@@…i Observación: Al resolver la parte fraccionaria volvió a aparecer el número 0.8, lo que indica que al continuar con la operación se tendrá la misma secuencia, esto indica que la conversión no es exacta y la parte fraccionaria tiene infinitas cifras.

Sistema hexadecimalSistema hexadecimalSistema hexadecimalSistema hexadecimal

El sistema hexadecimal es otro sistema de numeración altamente ligado a las computadoras y a los ordenadores. Esta vez, no por ser el método de numeración de las máquinas, sino de ser una forma más sencilla de expresar ese lenguaje del ordenador.

El sistema hexadecimal es un sistema en base 16 y está compuesto por los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La forma de contar sería: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, <, =, ë, ì, �,� 'del 0 al 15/ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1<, 1=, 1ë, 1ì, 1�, 1� 'del 15 al 31/ 20, 21, 22, 23, … Recordar que: < 1 10; = 1 11; ë 1 12; ì 1 13; � 1 14; � 1 15

La conversión a decimal, es análoga al paso de binario a decimal, utilizando el teorema fundamental de numeración.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.12.4.12.4.12.4.12. Convertir el número 7<5 del sistema hexadecimal al sistema decimal SoluciónSoluciónSoluciónSolución 7<5 1 7 � 16, - 10 � 16R - 5 � 166 1 1792 - 160 - 5 1 1957

0.8 � 2 0.6 � 2 0.2 � 2 0.4 � 2 0.8 � 2

1111.6 1.2 @. 4 0,0,0,0,8 1.1.1.1.6

1111 1111 0000 0000 ©


EjemploEjemploEjemploEjemplo 4.13.4.13.4.13.4.13. Convertir el número decimal 1957 al sistema hexadecimal. SoluciónSoluciónSoluciónSolución El paso contrario, de decimal a hexadecimal, también es análogo a la conversión binaria, pero teniendo en cuenta que la base es 16 y, por tanto, se debe dividir por este número. 1957 16 (5) 122 16 (10) (7) Luego: 1957R6 1 7'10/5 1 7<5R�

Conversión binaria a hexadecimalConversión binaria a hexadecimalConversión binaria a hexadecimalConversión binaria a hexadecimal

En oposición a estas conversiones, el paso de binario a hexadecimal y de hexadecimal a binario es directo. En el primer caso, se agrupan los bits de 4 en 4 desde la derecha y se pasa cada grupo a su equivalente a hexadecimal. En el segundo caso, se pasa cada dígito hexadecimal a su equivalente en binario.

Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimalTabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimalTabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimalTabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal

Hexadecimal Decimal Octal binario

0 0 0 0000

1 1 1 0001

2 2 2 0010

3 3 3 0011

4 4 4 0100

5 5 5 0101

6 6 6 0110

7 7 7 0111

8 8 10 1000

9 9 11 1001

A 10 12 1010

B 11 13 1011

C 12 14 1100

D 13 15 1101

E 14 16 1110

F 15 17 1111

Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.


Fracción Hexadecimal Resultado en Hexadecimal 12 12

0,8 13 13

0,5 periódico 14 14

0,4 15 15


0,2A periódico 17 17


0,2 19 19

0,1C7 periódico 110 1<

0,19 periódico 111 1=

0,1745D periódico 112 1ë

0,15 periódico 113 1ì

0,13B periódico 114 1�

0,1249 periódico 115 1�


0,1

Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero.


Ejercicio 4.1.Ejercicio 4.1.Ejercicio 4.1.Ejercicio 4.1. Convertir el número 100100, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 36







Ejercicio 4.7.Ejercicio 4.7.Ejercicio 4.7.Ejercicio 4.7. Convertir el número 1011.1111, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 11,875






Ejercicio 4.13.Ejercicio 4.13.Ejercicio 4.13.Ejercicio 4.13. Convertir el número 1111.1101, al sistema decimal. SolucióSolucióSolucióSolución:n:n:n: 15,8125



Ejercicio 4.16.Ejercicio 4.16.Ejercicio 4.16.Ejercicio 4.16. Convertir el número 11,01, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 3,25



Ejercicio 4.19.Ejercicio 4.19.Ejercicio 4.19.Ejercicio 4.19. Convertir el número 100,10, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 4.75


Ejercicio 4.20.Ejercicio 4.20.Ejercicio 4.20.Ejercicio 4.20. Convertir el número 101,11, al sistema decimal. SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: 5,75



EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 423.423.423.423. Convertir el número 1110,001, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 14,125


Ejercicio 4.25Ejercicio 4.25Ejercicio 4.25Ejercicio 4.25.... Convertir el número 1101,101, al sistema decimal. Solución:Solución:Solución:Solución: 29,25







Ejercicio 4.32.Ejercicio 4.32.Ejercicio 4.32.Ejercicio 4.32. Convertir el número 87 al sistema binario. Solución:Solución:Solución:Solución: 10101112






Ejercicio 4.37.Ejercicio 4.37.Ejercicio 4.37.Ejercicio 4.37. Convertir el número 4,3 al sistema binario. Solución:Solución:Solución:Solución: 100,0100110…2

Ejercicio 4.38.Ejercicio 4.38.Ejercicio 4.38.Ejercicio 4.38. Convertir el número 57,5 al sistema binario. Solución:Solución:Solución:Solución: 111001,12


Ejercicio 4.40.Ejercicio 4.40.Ejercicio 4.40.Ejercicio 4.40. Convertir el número 9,125 al sistema binario. Solución:Solución:Solución:Solución: R = 1001,0012

Ejercicio 4.41.Ejercicio 4.41.Ejercicio 4.41.Ejercicio 4.41. Convertir el número 7,7 al sistema binario. SSSSolución:olución:olución:olución: 111,101100110…2




Considerar el sistema Considerar el sistema Considerar el sistema Considerar el sistema +'©@, j, j, j/. Representar en este sistema los números:. Representar en este sistema los números:. Representar en este sistema los números:. Representar en este sistema los números:

Ejercicio 4.45. Ejercicio 4.45. Ejercicio 4.45. Ejercicio 4.45. (R 1 2143,24

Ejercicio 4.46. Ejercicio 4.46. Ejercicio 4.46. Ejercicio 4.46. (, 1 *0,00523

Ejercicio 4.47. Ejercicio 4.47. Ejercicio 4.47. Ejercicio 4.47. (F 1 512,46

Ejercicio 4.48. Ejercicio 4.48. Ejercicio 4.48. Ejercicio 4.48. () 1 48157,32

Ejercicio 4.49. Ejercicio 4.49. Ejercicio 4.49. Ejercicio 4.49. (7 1 0,00085

Ejercicio 4.50. Ejercicio 4.50. Ejercicio 4.50. Ejercicio 4.50. (� 1 167,71

Ejercicio 4.51. Ejercicio 4.51. Ejercicio 4.51. Ejercicio 4.51. (� 1 *0,0044

Ejercicio 4.52. Ejercicio 4.52. Ejercicio 4.52. Ejercicio 4.52. (� 1 821,96

Ejercicio 4.53. Ejercicio 4.53. Ejercicio 4.53. Ejercicio 4.53. (¬ 1 26783,19 Ejercicio 4.54.Ejercicio 4.54.Ejercicio 4.54.Ejercicio 4.54. (R6 1 0,00035

CÁPITULO 5 ECUACIONES NO LINEALES 123


ECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALESECUACIONES NO LINEALES

IntroIntroIntroIntroducciónducciónducciónducción

Uno de los problemas que frecuentemente se presenta y requiere de solución en algún tipo de trabajo científico, es el de calcular las raíces de una determinada ecuación de la forma ;'(/ 1 0. Donde ;'(/ puede ser un polinomio en ( o una función trascendente.

Es posible hallar la raíz exacta de ;'(/ 1 0, cuando los polinomios son factorables, sin embargo, no siempre sucede así, pues en la mayoría de los casos, las raíces de las ecuaciones buscadas pertenecen al conjunto de los números racionales o al conjunto de los números complejos, pudiendo ocurrir que en una misma ecuación se den resultados con números reales y complejos.

Por medio de métodos numéricos es posible obtener una solución aproximada al valor exacto, tan próxima como se desee, dependiente de la precisión deseada prefijada.

La mayoría de los procedimientos numéricos generan una secuencia de aproximaciones, algunas con mayor precisión que otras, algunas aproximándose con mayor rapidez a la solución buscada, de tal forma que la repetición de procedimientos produce una aproximación al valor verdadero con una precisión definida por una tolerancia prefijada.

La búsqueda de raíces por medio del análisis numérico es similar al de límite del análisis matemático, pues normalmente el resultado obtenido de una operación por medio de métodos numéricos se acerca tanto como se desee al valor verdadero, sin llegar casi nunca al valor exacto.

La característica principal de los métodos numéricos es que casi nunca arrojan resultados exactos, por lo tanto, en la mayoría de los casos, si no en todos, se obtienen resultados aproximados, que siempre dependerán de la precisión que se desee.

Teorema 5.1. Teorema de FermatTeorema 5.1. Teorema de FermatTeorema 5.1. Teorema de FermatTeorema 5.1. Teorema de Fermat

Si ;'?/ es un punto extremo de una función ; en un intervalo yK, Lz, ? está en el interior de yK, Lz y ;'?/ existe, entonces ;,'?/ 1 0.

Este teorema se presenta sin demostración analítica.8 8. La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 28.


Demostración gráficaDemostración gráficaDemostración gráficaDemostración gráfica del Teorema de Fermatdel Teorema de Fermatdel Teorema de Fermatdel Teorema de Fermat

Ejemplo 5.1.Ejemplo 5.1.Ejemplo 5.1.Ejemplo 5.1. Sea la función: (F * 3( - 1 La figura 5.1 presenta la grafica de la función: (F * 3( - 1

Fig. 5.1Fig. 5.1Fig. 5.1Fig. 5.1 Los máximos y mínimos locales se tienen en (6 1 *1 : (R 1 1 Según el teorema de Fermat, en estos dos valores de (, ;,'(/ 1 0 ;'(/ 1 (F * 3( - 1 ;,'(/ 1 3(, * 3, > ;,'*1/ 1 3'*1/, * 3 1 3 * 3 1 0 ;,'(/ 1 3(, * 3, > ;,'1/ 1 3'1/, * 3 1 3 * 3 1 0

Al evaluar la derivada de la función con los valores de (6 1 *1 : (R 1 1 , se verifica que las derivadas se anulan en los máximos y mínimos locales, por lo que la tangente es horizontal y comprueba el teorema de Fermat.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.2222.... Si ; es continua en un intervalo cerrado yK, Lz; entonces existe un punto (6 U yK, Lz para el cual ;'(6/ m ;'(/ â( U yK, Lz.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.3333.... Si ; es continua en un intervalo cerrado yK, Lz; entonces existe un punto (-6 U yK, Lz para el cual ;'(-6/ n ;'(/ â( U yK, Lz.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.4444. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle

Si ; es continua en un intervalo cerrado yK, Lz; diferenciable en el intervalo abierto 'K, L/ y ;'K/ 1 ;'L/, entonces existe un número ? U 'K, L/, tal que ;,'?/ 1 0


9. La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 29.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y


Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.5555. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle. Teorema de Rolle

Entre dos raíces consecutivas de una ecuación algebraica ;'(/ 1 0, existe un numnero impar de ceros de la derivada ;-, contando cada uno de ellos tantas veces como indique su orden de multiplicidad.

Corolario del teorema 5.Corolario del teorema 5.Corolario del teorema 5.Corolario del teorema 5.5555.... Entre dos raíces consecutivas de la derivada no pueden existir dos raíces distintas de ;'(/ 10, porque si existieran, ;- tendría una raíz intermedia.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.6666. Teorema del Valor Medio. Teorema del Valor Medio. Teorema del Valor Medio. Teorema del Valor Medio Si ; es continua en un intervalo cerrado yK, Lz y diferenciable en el intervalo abierto 'K, L/ existe un número ? U 'K, L/, tal que ;'L/ * ;'K/ 1 ;,'?/'L * K/


Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.7777. Teorema del valor Intermedio. Teorema del valor Intermedio. Teorema del valor Intermedio. Teorema del valor Intermedio

Si ; es continua en un intervalo cerrado yK, Lz, ;'L/ X ;'K/ y [ un numero cualquiera entre ;'K/ y ;'L/, entonces existe un numero ? U 'K, L/, tal que ;'?/ 1 [


Resolución de ecuaciones no linealesResolución de ecuaciones no linealesResolución de ecuaciones no linealesResolución de ecuaciones no lineales

Para resolver ecuaciones no lineales se deben tener en cuenta varias situaciones, sin embargo la más importante es encontrar el intervalo o un punto en ( para comenzar las iteraciones en busca de un cero de la función, procurando que este valor se encuentre lo bastante próximo de un cero, así se evitará realizar demasiadas operaciones. Se aclara de nuevo aquí, que se usa indistintamente la como (,) o el punto (.) para indicar decimales. Ejemplos: 2,5 1 2.5

Esta situación se debe a que en Paraguay se usa normalmente la como (,) como separador de la parte entera y su decimal, mientras que en otros países se usa el punto (.).

Se aclara esta situación, pues las calculadoras también usan el punto como separador decimal.

Orden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergencia El orden de convergencia de un método mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el método se aproximan a la solución exacta. Así, cuando mayor fuere el orden de convergencia mejor será el método numérico, pues será posible obtener más rápidamente la solución buscada.




-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Definición 5.1. Definición 5.1. Definición 5.1. Definición 5.1. Sean ^(Z_ el resultado de la aplicación de un método numérico en la iteración [ : �Z 1 (Z * (Ä, su error. Si existiere un número � m 1 y una constante ? \ 0 tal que: limZ>È |�Z�R||�Z|�

Entonces, � es el orden de convergencia del método.

Gráfica de funcionesGráfica de funcionesGráfica de funcionesGráfica de funciones

Definición 5.Definición 5.Definición 5.Definición 5.2222.... Si ;: yK, Lz > A es una función dada, un punto (� U yK, Lz es un cero (o raíz) de ; si ;'(�/ 1 0

Grafica de funciones, un método para hallar intervalos. Grafica de funciones, un método para hallar intervalos. Grafica de funciones, un método para hallar intervalos. Grafica de funciones, un método para hallar intervalos.

Las graficas ayudan enormemente en la búsqueda de los ceros o raíces de una función, pues si no se conoce el intervalo que contiene la raíz de dicha función, es difícil iniciar cualquier proceso en búsqueda de solución.

Seguidamente se presentan algunas graficas y las explicaciones necesarias para iniciar la búsqueda de solución de ecuaciones no lineales.

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.2222. . . . Hallar el intervalo que contiene una raíz de la función ;'(/ 1 tQu * cos ( Solución 1Solución 1Solución 1Solución 1 Se grafica la función ;'(/ 1 tQu * cos ( Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.2222.... Según la grafica de la función, se tiene una raíz en el intervalo y1; 1.5z y otra raíz en y4.5; 5z.

ObservaciónObservaciónObservaciónObservación: Al ser cos( una función periódica, esta ecuación tiene infinitas soluciones. Solución 2Solución 2Solución 2Solución 2 Sea la función ;'(/ 1 tQu * cos( 1 0, implica que tQu * cos ( 1 0,

Si tQu * cos ( 1 0, ó tQu 1 cos (, si :R 1 :, :R 1 tQu y :, 1 ?~{ (. Se grafican en un mismo plano, se tiene la fig. 5.3.

La intersección de las dos curvas es un cero de la función sobre (, lo cual indica que una raíz se encuentra en el intervalo y1; 1.5z, como en el caso anterior.


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.5

0.5

1

1.5

x

y :R 1 tQu :, 1 ?~{ (. . . . Fig. 5.3.Fig. 5.3.Fig. 5.3.Fig. 5.3. ComentariosComentariosComentariosComentarios

Si se realiza la grafica a escala y ésta está bien definida (una grafica muy bien hecha), se puede estimar un intervalo más reducido como y1.2; 1.4z, con esto se aceleraría notablemente el proceso de aproximación a una raíz de la función (ecuación), pues se usaría menos iteraciones, por lo tanto, se resolvería el ejercicio en menos pasos.

Gráficamente, los ceros de una función son los puntos de intersección de la grafica : 1 ;'(/

con el eje de las (.

Métodos cerradosMétodos cerradosMétodos cerradosMétodos cerrados

Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados. Entre los más conocidos se encuentran el método de bisección y el método de la falsa posición o Regula Falsi.

Método de bisecciónMétodo de bisecciónMétodo de bisecciónMétodo de bisección Definición 5.Definición 5.Definición 5.Definición 5.3333.... Sea f una función continua en un intervalo yK, Lz y ;'K/ � ;'L/ ] 0. Entonces, por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe al menos un Ó U 'K, L/ tal que ;'Ó/ 1 0.

El método de la bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que aplicando la función ; para aproximar la raíz Ó U yK, Lz consiste en dividir sucesivamente al intervalo a la mitad y seleccionando el sub-intervalo que tiene la raíz. Es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2.

Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo donde exista cambio de signo, basándose en el teorema de Bolzano. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Supóngase que se desea resolver la ecuación ;'(/ 1 0, donde ; es una función continua. Dados dos puntos K y L tal que ;'K/ : ;'L/ tengan signos distintos, dice el Teorema de Bolzano que ; debe tener, al menos, una raíz en el intervalo yK, Lz.

El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto ? 1 g�f, . En este

momento, existen dos posibilidades: ;'K/ y ;'?/ o ;'?/ y ;'L/ tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al sub-intervalo donde el cambio de signo ocurre.


El método de bisección no es muy eficiente, pero es mucho más seguro que otros métodos de aproximación de raíces, pues siempre converge hacia el valor buscado.

Si ; es una función continua en el intervalo yK, Lz y ;'K/ ;'?/ ] 0 , entonces este

método converge a la raíz de ;. De hecho, una cota del error absoluto es: |fQg|,.

En este método se plantea una situación práctica, esquematizando el procedimiento del método de bisección, se pueden considerar los siguientes puntos.

1) Encontrar dos números: K : L con K ] L en los cuales el polinomio: M toma valores cuyos signos son distintos.

2) Considerando que: (R 1 g�f, es el punto medio del intervalo yK, Lz.

3) Si : M'(R/ 1 0, (R es la raíz buscada, si M'(R/ X 0 entonces:

a) Se elige uno de los intervalos yK, (Rz o y (R, Lz de tal manera que los extremos del intervalo del polinomio tome valores cuyos signos sean distintos.

4) Se repite el procedimiento en el intervalo elegido.

Observaciones:Observaciones:Observaciones:Observaciones:

� La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la raíz.

� La única restricción para elegir K y L es que los valores M'K/ : M'L/ tengan signos distintos, en general, entre más pequeña sea la longitud del intervalo, en menor número de pasos se encontrará la aproximación deseada.

� Este método se aplica en la busca de raíces tanto racionales como irracionales.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.8888. Teorema de Weierstrass. Teorema de Weierstrass. Teorema de Weierstrass. Teorema de Weierstrass

Una sucesión creciente y acotada superiormente tiende a un límite, y una sucesión decreciente y acotada inferiormente tiende a un límite.

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.9999. Teorema de convergencia. Teorema de convergencia. Teorema de convergencia. Teorema de convergencia

Sea ; U yK, Lz : ;'K/;'L/ ] 0. Sea ^?P_PÉ6È la sucesión de puntos medios generada por el método de búsqueda binaria (método de bisección). Existe ¨ U yK, Lz, tal que ;'¨/ 1 0 y además: |¨ * ?P| n L * K2P�R , en particular ^?P_PÉ6È coverge a ¨


Orden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergencia

El orden de convergencia de un método mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el método se aproximan a la solución exacta. Cuando mayor es el orden de convergencia mejor será el método numérico pues se obtiene la solución con mayor rapidez.



-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.3333.... Aproximar con al menos una cifra exacta la raíz del polinomio M'(/ 1 *6(F - ( * 6. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para encontrar el intervalo que contiene una raíz de la función, la forma más simple es graficando dicha función. Fig. 5.4. Fig. 5.4Fig. 5.4Fig. 5.4Fig. 5.4.... Según la grafica, una raíz de la ecuación se encuentra en el intervalo [– 2, – 1]. Se inicia la búsqueda de la raíz de este polinomio en el intervalo [– 2, – 1].

Sea el polinomio M'(/ 1 *6(F - ( * 6

Evaluando en M'*2/ 1 *6'*2/F - '*2/ * 6 1 40 \ 0 M'*1/ 1 *6'*1/F - '*1/ * 6 1 *1 ] 0

Así:

El punto medio del intervalo [– 2, – 1] es 2

3

2

121 −=−−=x = – 1,5

Evaluando en M'*1,5/ 1 *6'*1,5/F - '*1,5/ * 6 1 20,25 * 1,5 * 6 1 12,75 \ 0 M'*2/ M'*1,5/ M'*1/ - - *

La raíz se encuentra en el intervalo [*1,5; *1]. La longitud del intervalo es: *1 - 1,5 1 0,5

El punto medio del nuevo intervalo es: 2

5,2

2

15,12 −=−−=x = – 1,25

Evaluando en P(–1,25) = – 6 (– 1,25)3 + (–1,25) – 6 = 11,719 – 1,25 – 6 = 4,469 > 0

P(– 1,5) P(– 1,25) P(– 1) - - *

La raíz se encuentra en [– 1,25; – 1]. La longitud del intervalo es: – 1 + 1,25 = 0,25

Se repite el procedimiento: 2

25,2

2

125,13 −=−−=x = – 1,125

Evaluando en P(–1,125) = – 6 (– 1,125)3 + (–1,125) – 6 = 8,543 – 1,125 – 6 = 1,418 > 0

P(– 1,25) P(– 1,125) P(– 1) - - *

M'*2/ M'*1/ + *


La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,125; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,125

De manera análoga 2

125,2

2

1125,14 −=−−=x = – 1,0625

Evaluando P(–1,0625) = – 6(– 1,0625)3 + (–1,0625) – 6 = 7,1968 – 1,0625 – 6 = 0,1343 > 0

P(– 1,025) P(– 1,0625) P(– 1) - - *

La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,0625; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,0625

Repitiendo un paso más el mismo procedimiento, se obtiene la siguiente tabla:

Intervalo Punto medio xn P(xn) signo Error [– 2; – 1]. – 1,5 12,75 - 1 [– 1,5; – 1]. – 1,25 4,46 - 0,5 [– 1,25; – 1]. – 1,125 1,418 - 0,25 [– 1,125; – 1]. – 1,0625 0,134 - 0,125 [– 1,0625; – 1]. – 1,0313 – 0,45008 * 0,0625 [– 1,0625; – 1,0313]. – 1,0468 – 0,16436 * 0,03125 Como *1,0625 y * 1,0313 tienen un 0 en la primera cifra decimal, cualquier punto intermedio lo tiene, es decir, la primera cifra decimal de la raíz buscada es cero, lo cual asegura que la aproximación obtenida tiene una cifra decimal exacta. ComentarioComentarioComentarioComentario

Una desventaja es que en general la convergencia es muy lenta, la bisección necesita, para

obtener una buena aproximación, muchos más pasos que cualquiera de los otros métodos que

veremos después. Pero estos métodos, para converger, necesitan que la primera aproximación

que se toma, c1, esté cerca de la solución exacta de la ecuación. En consecuencia, el

procedimiento usual es éste: se usan unos pocos pasos de la bisección para acercarse a c y a

partir de allí se usa cualquiera de los otros métodos de convergencia rápida.

Método de Método de Método de Método de RRRRegula egula egula egula FFFFalsialsialsialsi, Regla Falsa o F, Regla Falsa o F, Regla Falsa o F, Regla Falsa o Falsa alsa alsa alsa PPPPosición osición osición osición

Este método de aproximación de raíces es similar al método de bisección en el sentido de que se generan sub-intervalos yKP, LPz que encierran a la raíz Ó, pero esta vez, (P no es el punto medio de yKP, LPz, sino el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 'KP, ;'KP//; 'LP, ;'LP// con el eje (.

Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una posición falsa de la raíz, de ahí el nombre el método. Este método también se conoce como método de interpolación lineal inversa. En la figura 5.5 se grafica el método. Sea ;'K/;'L/ ] 0 y considerando la recta que une los puntos (K, ;'K/), (b, ;'L/) cuya

pendiente es ` 1 /'f/Q/'g/fQg , pero si (c, 0) es el punto de intersección de la recta X, entonces

también ` 1 gQ/'f/0Qg , luego:


(b, ;'L/) : 1 ;'(/ a=a1 x1 =c x2 Ó b=b1 Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.5.5.5.5. (K, ;'K/) ;'L/ * ;'K/L * K 1 0 * ;'L/? * L , o sea ? * L 1 *;'L/'L * K/;'L/ * ;'K/ , ó ? 1 L * ;'L/'L * K/;'L/ * ;'K/

<{�: ? 1 L;'L/ * L;'K/ * L;'L/ - K;'L/;'L/ * ;'K/ , ~: ? 1 K;'L/ * L;'K/;'L/ * ;'K/

Así como el método de bisección, este método de falsa posición, también tienen tres posibilidades: ;'?/ 1 0, ;'K/;'?/ ] 0, ;'L/;'?/ ] 0

a) Si ;'?/ 1 0, entonces c es un cero de ;. b) Si ;'K/;'?/ ] 0, entonces existe un cero de ; en yK, ?z. c) Si ;'?/;'L/ ] 0, entonces existe un cero de ; en y?, Lz.

De todo esto se desprende un proceso iterativo que se concreta generalizándolo en la siguiente expresión matemática. ?P 1 KP;'LP/ * LP;'KP/;'LP/ * ;'KP/ , T 1 0, 1, 2, 3, …

Es frecuente encontrar esta ecuación representativa del método de regula falsi expresada de otra manera. A fin de ampliar la terminología matemática al respecto, solamente se hacen estas sustituciones: K 1 (6, L 1 (R, ? 1 (, Por lo tanto, la ecuación precedente puede representarse así: ?P 1 KP;'LP/ * LP;'KP/;'LP/ * ;'KP/ , T 1 0, 1, 2, 3, … (, 1 (6;'(R/ * (R;'(6/;'(R/ * ;'(,/ ,


Aplicar el método de falsa posición para encontrar un cero de ;'(/ 1 ln ( - (, en el intervalo y0.5; 1z SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sea la función ;'(/ 1 ln ( - (,


Inicio:Inicio:Inicio:Inicio: Se construye una tabla por mejor organización de los datos. K ;'K/ L ;'L/ 0.5 *0.1931472 1 1 ?P 1 KP;'LP/ * LP;'KP/;'LP/ * ;'KP/ ó ?R 1 K;'L/ * L;'K/;'L/ * ;'K/

?R 1 0.5 � 1 * 1 � '*0.1931472/1 * '*0.1931472/ 1 0.5 - 0.19314721.1931472 1 0.69314721.1931472 1 0.58094

Iteración 1:Iteración 1:Iteración 1:Iteración 1: Reorganizando los datos en una segunda tabla se tiene: K ;'K/ L ;'L/ ?R ;'?R/ 0.5 *0.1931472 1 1 0.58 0.0352728

Para esta siguiente operación, se toma el intervalo cerrado yK, ?Rz, pues poseen signos contrarios uno respecto del otro y se cumple el teorema de Bolzano ;'?R/;'K/ ] 0 ?, 1 K;'?R/ * ?R;'K/;'?R/ * ;'K/ 1 0.5 � 0.0352728 * 0.58 � '*0.1931472/0.0352728 * '*0.1931472/

?, 1 0.0189975 - 0.1120250.22842 1 0.13102250.22842 1 0.5736

�Å 1 �¿À 1 ¿, * ¿R¿, 1 0.5736 * 0,580.5736 1 *0.011158, �% 1 1,1158%

Iteración 2:Iteración 2:Iteración 2:Iteración 2: Una nueva reorganización de los datos obtenidos permite la siguiente tabla: K ;'K/ ?R ;'?R/ ?, ;'?,/ 0.5 *0.1931472 0.58 0.0352728 0.5736 0.017777

Se toma el intervalo yK, ?,z, pues se tiene que ;'?,/;'K/ ] 0 ?F 1 K;'?,/ * ?,;'K/;'?,/ * ;'K/ 1 0.5 � 0.017777 * 0.5736 � '*0.1931472/0.017777 * '*0.1931472/

?F 1 0.0088885 - 0.1107890.2109 1 0.11967750.2109 1 0.56746088 �Å 1 �¿À 1 ¿F * ¿,¿F 1 0.5674 * 0,57360.5674 1 *0.01093 �% 1 1,093%

Iteración 3:Iteración 3:Iteración 3:Iteración 3: Se construye de nuevo la tabla y se tiene: K ;'K/ ?, ;'?,/ ?F ;'?F/ 0.5 *0.1931472 0.5736 0.017777 0.5674608 0.00087498

Realizando un análisis del error del ejercicio se tiene:

El valor exacto de ( para ;'(/ 1 �T ( - ( , es: 0.56714329

CÁPITULO 5 ECUACIONES NO LINEALES 133 � 1 ¿À * ¿g 1 0.56714329 * 0.5674608 1 0.0003175 1 3.175 � 10Q) �Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.00031750.56714329 1 0.00055984 1 5.5984 � 10Q)

�% 1 100 �1 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 5.5984 � 10Q)'%/ 1 0.05598%

Este último resultado tiene una precisión de tres decimales, o sea los primeros tres decimales corresponden al valor exacto o valor verdadero.


Usar el método de falsa posición para encontrar un cero de ;'(/ 1 () * 2(F * 4(, - 4( - 4, en el intervalo y1, 2z SoluciónSoluciónSoluciónSolución ;'(/ 1 () * 2(F * 4(, - 4( - 4 Sean: K 1 1 y L 1 2

Inicio:Inicio:Inicio:Inicio: Se construye la tabla con los datos correspondientes. K ;'K/ L ;'L/ 1 3 2 *4 ?P 1 KP;'LP/ * LP;'KP/;'LP/ * ;'KP/ ó ?R 1 K;'L/ * L;'K/;'L/ * ;'K/

?R 1 1 � '*4/ * 2 · 3*4 * 3 1 *4 * 6*7 1 *10*7 1 1,42857

Iteración 1:Iteración 1:Iteración 1:Iteración 1: Reorganizando los datos en una segunda tabla se tiene: K ;'K/ L ;'L/ ?R ;'?R/ 1 3 2 *4 1,42857 *0,11494 Para esta siguiente operación, se toma el intervalo cerrado yK, ?Rz, pues ;'K/: ;'?R/ poseen signos contrarios uno respecto del otro y se cumple el teorema de

Bolzano ;'?R/;'K/ ] 0 ?, 1 K;'?R/ * ?R;'K/;'?R/ * ;'K/ 1 1 � '*0,11494/ * 1,42857 � 3*0,11494 * 3 1 *0,11494 * 4,28571*3,11494 1

?, 1 *4,40065*3,11494 1 1,4127

�Å 1 �¿À 1 ¿, * ¿R¿, 1 1,4127 * 1,428571,4127 1 @. @©©i«, 2% 1 ©, ©©i%


Iteración 2:Iteración 2:Iteración 2:Iteración 2: K ;'K/ ?R ;'?R/ ?, ;'?,/ 1 3 1,42857 -0,11494 1,4127 0.0121

Se toma el intervalo y?R, ?,z, pues poseen signos opuestos, o sea, ;'?R/;'?,/ ] 0 ?F 1 ?R;'?,/ * ?,;'?R/;'?,/ * ;'?R/ 1 1,42857 � 0.0121 * 1,4127 � '*0.11494/0.0121 * '*0.11494/

?F 1 0.0172857 - 0.1623760.12704 1 0.1796620.12704 1 ©, j©ji© �Å 1 �¿À 1 ¿F * ¿,¿F 1 1,414216 * 1,4127, 414216 1 @. @@©@�i 2% 1 @, ©@�%

Este último resultado puede considerarse apropiado para la raíz buscada, pues el error relativo es muy pequeño, y porcentualmente es apenas 0,1%.

Este resultado tiene una precisión de cinco decimales, pues el valor verdadero del polinomio es 1,414213.

Métodos abiertosMétodos abiertosMétodos abiertosMétodos abiertos

A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raíz buscada, los métodos abiertos que se verán a continuación requieren de un solo valor o dos valores iniciales o valores de arranque, que no necesariamente encierran a la raíz, esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés, pero tiene la ventaja que cuando convergen lo hacen más rápidamente que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.

Método de punto fijoMétodo de punto fijoMétodo de punto fijoMétodo de punto fijo

Este método, iteración de punto fijo, es conocido también como método ( 1 w'(/. El método de punto fijo es una forma muy útil para obtener una raíz de ;'(/ 1 0. Este método también constituye la base de algunos principios teóricos importantes.

Para usar el método, ;'(/ se reordena en una forma ( 1 w'(/ equivalente, lo que puede lograrse de varias formas. Obsérvese que si ;'¨/ 1 0, donde r es una raíz de ;'(/, se concluye que ¨ 1 w'¨/. Siempre que se tiene ¨ 1 w'¨/ se dice que r es un punto fijo de la función w.

La forma iterativa converge en el punto fijo ¨, una raíz de ;'(/.

Teorema 5.1Teorema 5.1Teorema 5.1Teorema 5.10.0.0.0. Si w es una función continua en yK, Lz y w'(/3yK, Lz para todo ( U yK, Lz, entonces w tiene por lo menos un punto fijo en U yK, Lz. Si además w,'(/ existe para todo ( U 'K, L/ : |w,'(/| n [ ]1 para todo ( U 'K, L/, [ ?~T{vKTvt, entonces w tiene un único punto fijo Ó U yK, Lz y la sucesión ^(P_P definida mediante la fórmula de iteración (P 1 w'(PQR/, T 1 1, 2, 3, …


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1

1

2

3

4

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.6666.... Aplicar el método de punto fijo para hallar las raíces de ecuación: ;'(/ 1 (, * ( * 6 1 0 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Por un método simple de factores, incluso un análisis intuitivo puede dar el valor de las raíces de esta ecuación, que son *2 : 3. Por razones prácticas y de mejor entendimiento se ejemplifica el método con una ecuación de forma simple y de resultado conocido. Como primer paso siempre es importante graficar la función, para tener una idea del valor inicial a tomar para la primera iteración, cuando más cerca está este valor de la intersección de la función con el eje de la abscisa (eje x) será menor el número de iteraciones y se llegará con mayor rapidez a la mejor aproximación.

Fig. 5.6.Fig. 5.6.Fig. 5.6.Fig. 5.6.

Según la gráfica, se puede tomar como primera aproximación de una de las raíces, ( 1 2,5.

De la ecuación original: ;'(/ 1 (, * ( * 6 1 0, transponiendo, reordenando o cambiando su forma, se pueden obtener las siguientes ecuaciones equivalentes: 1ª/ ( 1 √( - 6, 2ª/ ( 1 6( * 1 , 3ª/ ( 1 (, * 6

Primera ecuación equivalente (primera raíz)Primera ecuación equivalente (primera raíz)Primera ecuación equivalente (primera raíz)Primera ecuación equivalente (primera raíz) ( 1 √( - 6. De esta ecuación se tiene: :R 1 (, :, 1 √( - 6. :R 1 (, es una recta de 45º que atraviesa el primero y el tercer cuadrante del plano cartesiano, ésta recta hace de punto fijo.

Es sabido que el punto de intersección de dos curvas (o rectas) presenta un cero de la función sobre (, lo cual indica el valor próximo a tomar par las iteraciones, en este caso, ronda en torno a 3.

Fig. 5.7.Fig. 5.7.Fig. 5.7.Fig. 5.7.


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Las aproximaciones sucesivas se realizaran en base a :, 1 √( - 6 Para (6 1 2,5 ;'(,/ 1 √( - 6 ;'2,5/ 1 Ý2,5 - 6 1 2,91548 ;'2,91548/ 1 Ý2,91548 - 6 1 2,98588 ;'2,98588/ 1 Ý2,98588 - 6 1 2,99765 ;'2,99765/ 1 Ý2,99765 - 6 1 2,99961 ;'2,99961/ 1 Ý2,99961 - 6 1 2,99993 ;'2,99993/ 1 Ý2,99993 - 6 1 2,99999

Se nota que los valores convergen a 8 1 , que sería una de las raíces, luego se evalúa, para verificar la aproximación obtenida. ;'(/ 1 (, * ( * 6 4 ;'3/ 1 3, * 3 * 6 1 9 * 9 1 0

Segunda ecuación equiSegunda ecuación equiSegunda ecuación equiSegunda ecuación equivalente (Segunda raíz)valente (Segunda raíz)valente (Segunda raíz)valente (Segunda raíz) ( 1 6( * 1 , igualmente, que la forma anterior, :R 1 (, :F 1 6( * 1

Fig. 5.8.Fig. 5.8.Fig. 5.8.Fig. 5.8. Las aproximaciones sucesivas se realizan en base a: :F 1 6( * 1

Para (6 1 *1,5 ;'(F/ 1 6( * 1

;'*1,5/ 1 6*1,5 * 1 1 *2,4

;'*2,4/ 1 6*2,4 * 1 1 *1,76471

;'*1,76471/ 1 6*1,76471 * 1 1 *2,17021

;'*2,17021/ 1 6*2,17021 * 1 1 *1,89262

;'*1,89262/ 1 6*1,89262 * 1 1 *2,07424

;'*2,07424/ 1 6*2,07424 * 1 1 *1,95170

;'*1,95170/ 1 6*1,95170 * 1 1 *2,03273


-3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-4

-2

2

4

x

y

En este caso se nota que la convergencia es oscilatoria y que los valores obtenidos convergen a 8 1 *i, que sería la otra raíz de la ecuación presentada.

Para verificar la aproximación obtenida se tiene: ;'(/ 1 (, * ( * 6 4 ;'*2/ 1 '*2/, * '*2/ * 6 1 4 - 2 * 6 1 0

TercerTercerTercerTercera ecuación equivalente a ecuación equivalente a ecuación equivalente a ecuación equivalente ( 1 (, * 6. De esta ecuación se tiene:

:R 1 ( y :, 1 (, * 6

Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.9999.... Las aproximaciones sucesivas se realizan en base a :, 1 (, * 6 Para (6 1 2,5 ;'(/ 1 (, * 6 ;'2,5/ 1 '2,5/, * 6 1 0,25 ;'0,25/ 1 '0,25/, * 6 1 *5,9375 ;'*5,9375/ 1 '*5,9375/, * 6 1 29,254 ;'29,254/ 1 29,254, * 6 1 23,254 ;'23,254/ 1 23,254, * 6 1 534,748 En este caso, se evidencia que las iteraciones son divergentes, por lo tanto, no pueden generar ningún cero de la función analizada.

En el caso de la segunda ecuación ( 1 �uQR ; al realizar las iteraciones iniciando con ( 1 2,5, se

verifica que las iteraciones en principio parecen divergentes, sin embargo, después de 15 iteraciones aproximadamente, va tomando una dirección de convergencia, pero no hacia ( 1 3, sino hacia ( 1 *2. En todos los casos, es importante desarrollar cierta intuición para tomar el camino preciso y ahorrar tiempo en las iteraciones realizadas.

TeoreTeoreTeoreTeorema 5.ma 5.ma 5.ma 5.11111111. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal Si w g es diferenciable en yK, Lz y M es un punto fijo de w de orden ` \ 1, entonces la iteración de punto fijo tiene orden de convergencia ` \ 1 y si |w,'(/| ] 1, â( U yK, Lz, entonces el método converge linealmente. Este teorema se presenta sin demostración.13

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.12121212. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal. Orden de convergencia método iterativo lineal El orden de convergencia del método iterativo lineal es lineal, o sea, � 1 1

13- La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 39.


ComentariosComentariosComentariosComentarios

El comportamiento de los tres reordenamientos es interesante y merece la pena siempre analizarlas. Sin embargo, primeramente se consideraran las graficas de los tres casos. El punto fijo de ( 1 w'(/ es la intersección de la recta : 1 ( y la curva : 1 w'(/ trazada contra ( 1 w'(/.

Con este método siempre se obtienen iteraciones sucesivas, partiendo de un punto inicial (6 elegido. Este proceso iterativo continúa hasta que los puntos en la curva convergen en un punto fijo o bien divergen.

Los diferentes comportamientos dependen de que la pendiente de la curva sea mayor, menor o de signo opuesto a la pendiente de la recta.

MétodoMétodoMétodoMétodo de Newton de Newton de Newton de Newton ---- RRRRapsonapsonapsonapson

Uno de los métodos más atractivos y populares para la búsqueda de los ceros de una función no lineal es el método de Newton, debido a la rápida convergencia del método, ya que en general es q-cuadrático.

Existe varias maneras de deducir el método de Newton, el método a ser presentado se base en el método de iteración lineal.

Éste es, sin duda, uno de los métodos más importantes y útiles para el cálculo de raíces. Dada una aproximación inicial de la raíz (6, se busca, a partir de (6 , una aproximación mejor (R de la raíz, de la siguiente forma: Se sustituye la función ;'(/ por el valor de su desarrollo de Taylor centrado en (6 hasta el orden 1, es decir: ;'(/ 1 ;'(6/ - ;,'(6/'( * (6/ que corresponde a un polinomio de grado 1, y a continuación se calcula (R como el cero de este polinomio, es decir: (R 1 (6 * ;'(6/;,'(6/ y por tanto, de forma general, se obtiene, a partir de (6 una secuencia (P de valores que van aproximando la raíz, definidos por (P�R 1 (P * ;'(P/;,'(P/ , T 1 0, 1, 2, 3, …

DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición 5.55.55.55.5. . . . Dada una ecuación ;'(/ 1 0. Un número Ó se dice una raíz de multiplicidad m (m un entero positivo) de la ecuación ;'(/ 1 0, si ;'Ó/ 1 0. Si m = 1, la raíz se dice simple.

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 5.13.5.13.5.13.5.13. Sea que una función ; tiene sus dos primeras derivadas continuas en un intervalo yK, Lz que contiene a un número Ó. Entonces Ó es una raíz simple de la ecuación ;'(/ 1 0 si y solo si ;'Ó/ 1 0 : ;-'Ó/ X 0.




-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

1

2

3

4

x

y

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 5.14.5.14.5.14.5.14. Sea que la función ; tiene sus primeras ` - 1 derivadas continuas en un intervalo yK, Lz que contiene a un número Ó. Entonces Ó es una raíz de multiplicidad m de la ecuación ;'(/ 1 0 si y solo si

Sea ; U ëb�RyK, Lz, una función diferenciable en yK, Lz y sea (6 U yK, Lz, entonces para todo ( U 'K, L/, se sabe por el Teorema de Taylor que ; se puede escribir de la forma: ;'(/ 1 ;'(6/ - ;,'(6/'( * (6/ - ;,,'(6/'( * (6/,2! - ;,,-'(6/'( * (6/F3! - S

Sea ;'(/ 1 0 una ecuación y (6 un primer valor aproximado a una raíz ú de una ecuación. Este método consiste en obtener una aproximación a ú calculando el punto en que la tangente de la curva en '(6; ;'(6// corta al eje x. Gráficamente se ve en la fig. 5.10.

Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.10.10.10.10.

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.7777 Hallar la menor raíz positiva de la siguiente ecuación con error inferior a 10Q,, usando el método de Newton. ;'(/ 1 4 cos( * tu 1 0 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para obtener el valor inicia, el proceso más simple y eficaz es el método gráfico, para el efecto se reordena la ecuación inicial ;'(/ 1 0 en otras dos ecuaciones más simples; :Rt :,. Reordenando la ecuación original: 4 cos( * tu 1 0, se tiene la siguiente igualdad: 4 cos ( 1 tu, 0~T0t: :R 1 4 cos (, :, 1 tu También se pudo haber realizado la transposición en la ecuación de otra forma y se hubiera

tenido: ?~{ ( 1 �5) , igualmente valido.

Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.11111111....

0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5

-1 .5

-1

-0 .5

0 .5

1

1 .5

2

x

y


Los puntos de intersección de las dos curvas en (Ä es la solución buscada. Analizando la figura 5.1, se nota que (Ä está en la vecindad de 1, por lo tanto se tomará (6 1 1

;'(P/ 1 4 cos(P * tu.

;,'u./ 1 *4sen(P * tu.

Las operaciones a ser realizadas involucran funciones trigonométricas, recordar posicionar la calculadora en radianes. Como el error debe ser menor a 10Q, , deben efectuarse los cálculos como mínimo con tres cifras decimales. Es recomendable para resolver ecuaciones no lineales en cualquier método utilizar en promedio 5 o 6 cifras decimales. ;'1/ 1 4 ?~{'1/ * tR 1 4'0,5403/ * 2,71828 1 2,1612 * 2,71828 1 *0,55708 ;,'1/ 1 *4 {tT'1/ * tR 1 *4'0,84147/ * 2,71828 1 *3,36588 * 2,71828 1 *6,08416

En base a estos primeros datos se aplica la formula de Newton: (R 1 (6 * ;'(6/;,'(6/ 1 1 * *0,55708*6,08416 1 1 * 0,091562 1 0,908437

Se calcula el error relativo: û(R * (6(R û 1 û0,908437 * 10,908437 û 1 û0,0915620,908437û 1 0,10079 \ 10Q,

Se debe hacer una nueva iteración, pues el error relativo es mayor que el indicado. ;'0,90844/ 1 4 ?~{'0,90844/ * t6,¬6�)) 1 2,4599 * 2,4804 1 *0,0205 ;,'0,90844/ 1 *4 {tT'0,90844/ * t6,¬6�)) 1 *3,15418 * 2,4804 1 *5,63458 Se aplica nuevamente la formula de Newton: (, 1 (R * ;'(R/;,'(R/ 1 0,90844 * *0,0205*5,63458 1 0,90844 * 0,003638 1 0,9048

Se calcula el error relativo para (,: û(, * (R(, û 1 û0,9048 * 0,90840,9048 û 1 û0,00360,9048û 1 0,0039 ] 10Q,

El valor 0,9048 puede considerarse un valor aceptable para la raíz buscada, pues cumple la

condición de tolerancia, en este caso, menor a 10Q,. Luego, ( � 0,9048 para la función ;'(/ 1 4 cos ( * tu 1 0

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.11115. Orden de convergencia del método de Newton5. Orden de convergencia del método de Newton5. Orden de convergencia del método de Newton5. Orden de convergencia del método de Newton

Si ;, ;,, ;-- son continuas e un intervalo cuyo centro (Ä es solución de ;'(/ 1 0 y si ;-'(Ä/ X 0 entonces el orden de convergencia del método de Newton es cuadrática, o sea, � 1 2.


15 La demostración de este teorema en: Franco, Neide. Cálculo Numérico. Pág. 70.


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

La ventaja del método de Newton es que su convergencia es cuadrática, lo que significa que la cantidad de dígitos significativos correctos duplica a medida que los valores de la secuencia se aproxima a (Ä . Esta situación no sucede en las primeras iteraciones realizadas.

La desventaja del método de Newton es que se tiene que calcular la derivada de la función y en cada iteración calcular su valor numérico, lo que puede ser muy costoso computacionalmente. Además de eso la función puede no ser diferenciable en algún punto del dominio.

Método de Newton modificadoMétodo de Newton modificadoMétodo de Newton modificadoMétodo de Newton modificado El método de Newton en general, converge cuadráticamente, sin embargo cuando la raíz no es simple solo se garantiza la convergencia lineal. Teorema 5.1Teorema 5.1Teorema 5.1Teorema 5.16666.... Sea una función diferenciable en un intervalo yK, Lz que contiene a (Ä y supongamos que (Ä es un cero de multiplicidad � \ 1, entonces el método de Newton converge q-linealmente.

Este teorema se presenta sin demostración. 16 Con el propósito de mejorar la convergencia del método, éste puede ser modificado, cuando el cero buscado sea de multiplicidad ` \ 1.

El método de Newton modificado queda de la siguiente manera: (P�R 1 (P * ;'(P/ ;,'(P/y;,'(P/z, * ;'(P/;,,'(P/


Aplicar el método modificado de Newton para encontrar un cero de ;'(/ 1 (F * 4(, - 4(, partiendo de (6 1 1,5 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se grafica la función. Las raíces serian: (6 1 0; (R 1 2 (, 1 2 Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.12121212.... Como la función es cubica, supone que tiene tres raíces, y como las raíces complejas se presentan en pares conjugados, ésta función no tiene raíces complejas, sino, tres raíces reales.

16 La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 52.


Sea: ;'(/ 1 (F * 4(, - 4(; ;-'(/ 1 3(, * 8( - 4; ;--'(/ 1 6( * 8 ;'(/ 1 (F * 4(, - 4( ;'1,5/ 1 '1,5/F * 4'1,5/, - 4'1,5/ 1 3,375 * 9 - 6 1 0,375 ;-'(/ 1 3(, * 8( - 4 ;,'1,5/ 1 3'1,5/, * 8'1,5/ - 4 1 6,75 * 12 - 4 1 *1,25 ;--'(/ 1 6( * 8 ;,,'1,5/ 1 6'1,5/ * 8 1 9 * 8 1 1 Aplicando la expresión: (P�R 1 (P * ;'(P/ ;,'(P/y;,'(P/z, * ;'(P/;,,'(P/

(R 1 (6 * ;'(6/ ;,'(6/y;,'(6/z, * ;'(6/;,,'(6/ 1 1,5 * '0,375/ '*1,25/'1,5625/ * '0,375/'1/ 1 1,5 * *0,468751,1875

(R 1 1,5 - 0,394736842 1 1,894736842 Realizando una segunda iteración: Sea: ;'(/ 1 (F * 4(, - 4(; ;-'(/ 1 3(, * 8( - 4; ;--'(/ 1 6( * 8 ;'1,8947/ 1 '1,8947/F * 4'1,8947/, - 4'1,8947/ 1 6,8018 * 14,36 - 7,5788 1 0,0206 ;,'1,8947/ 1 3'1,8947/, * 8'1,8947/ - 4 1 10,76966 * 15,15762 - 4 1 *0,387954 ;,,'1,8947/ 1 6'1,8947/ * 8 1 11,3682 * 8 1 3,3682 Aplicando la expresión: (, 1 (R * ;'(R/ ;,'(R/y;,'(R/z, * ;'(R/;,,'(R/

(, 1 1,8947 * '0,0206 / '*0,387954/'0,1505/ * '0,0206 /'3,3682/ 1 1,8947 * *0,0079920,081115 1 1,8947 - 0,098527

(, 1 1,99323 Realizando una tercera iteración: Sea: ;'(/ 1 (F * 4(, - 4(; ;-'(/ 1 3(, * 8( - 4; ;--'(/ 1 6( * 8 ;'1,99323/ 1 '1,99323/F * 4'1,99323/, - 4'1,99323/ 1 7,919 * 15,89186 - 7,97292 ;'1,99323/ 1 0,00006 ;,'1,99323/ 1 3'1,99323/, * 8'1,99323/ - 4 1 11,9189 * 15,946 - 4 1 *0,0271 ;,,'2,018/ 1 6'1,99323/ * 8 1 11,9594 * 8 1 3,9594


Aplicando la expresión: (F 1 (, * ;'(,/ ;,'(,/y;,'(,/z, * ;'(,/;,,'(,/

(F 1 1,99323 * '0,00006/ '*0,0271/'0,0007344/ * '0,00006/'3,9594/ 1 1,99323 * *0,0000016260,0004968361 1,99323 - 0,00327271 (F 1 1,9965 Los cálculos se resumen en la siguiente tabla T (P raiz ;'(/ 1 (F * 4(, - 4(

0 (6 1,5 0,375

1 (R 1,8947 0,0206

2 (, 1,99323 0,00006

3 (F 1,9965 0,000024457 Luego se considera que ;'(/ 1 (F * 4(, - 4( � 1,9965 � 2

Es evidente que la raíz tiende a 2, según se demuestra analíticamente en estas tres iteraciones del método modificado de Newton.

Método de la secanteMétodo de la secanteMétodo de la secanteMétodo de la secante

Una de las desventajas presentadas por el método de Newton es la necesidad de obtener la derivada de la función en cuestión, además de realizarse los cálculos para cada iteración. Existen varias formas de modificar el método de Newton a fin de eliminar algunas de las desventajas; una de las modificaciones consiste en sustituir la derivada por el cociente de las diferencias, o sea: ;,'(P/ � ;'(P/ * ;'(PQR/(P * (PQR

Donde (P y (PQR son dos aproximaciones cualesquiera para la raíz (Ä .

El método de la secante es una modificación del método de Newton y es similar a la de Regula Falsi. Este método (secante) emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que cumpla el teorema de cambio de signos, usa un intervalo que no necesariamente lo cumpla, es decir, no se requiere que exista un cambio de signo, es más, no se requiere que la raíz este en ese intervalo.

El método de Newton modificado que da origen al método de la secante se genera asi: (P�R 1 (P * ;'(P/;'(P/ * ;'(PQR/(P * (PQR

1 (P * ;'(P/'(P * (PQR/;'(P/ * ;'(PQR/

De esta manera se obtiene una expresión más simple para el método de la secante: (P�R 1 (PQR ;'(P/ * (P ;'(PQR/;'(P/ * ;'(PQR/


Para aplicar este método se debe contar con dos aproximaciones iniciales antes de aplicar la formula correspondiente al método.

La siguiente grafica ilustra cómo puede obtenerse una nueva aproximación (P�R (Ä (PQR Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.13131313....


Determinar la raíz positiva de la ecuación √( * 5tQu 1 0 por el método de la secante, con un error menor a 10Q, SoluciónSoluciónSoluciónSolución Para evitar tanteos, malgastar tiempo y esfuerzo, la forma más práctica de obtener los valores iniciales es el método gráfico, para ello se divide la ecuación original en dos y se grafica. :R 1 √(, :, 1 5tQu

:R 1 √( :, 1 5tQu (Ä Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.14141414....

El punto de intersección de las dos rectas es la solución buscada (Ä . Analizando la grafica se ve que una raíz positiva de la ecuación se encuentra en la vecindad del punto 1,4, asi que se toman dos puntos próximos, (6 1 1,4 y (R 1 1,5 ;'(/ 1 √( * 5tQu > ;'(6/ 1 Ý(6 * 5tQu6 > ;'1,4/ 1 Ý1,4 * 5tQR,) 1 1,183216 * 1,232985 1 *0,049769 ;'(R/ 1 Ý(R * 5tQu� > ;'1,5/ 1 Ý1,5 * 5tQR,7 1 1,224745 * 1,11565 1 0.109095

Se tienen: (6 1 1,4; (R 1 1,5; ;'(6/ 1 *0,049769 ;'(R/ 1 0,109095

x

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y


Ahora es posible aplicar la fórmula: (P�R 1 (PQR ;'(P/ * (P ;'(PQR/;'(P/ * ;'(PQR/

(, 1 (6 ;'(R/ * (R ;'(6/;'(R/ * ;'(6/ 1 1,4 · 0,109095 * 1,5 · '*0,049769/0,109095 * '*0,049769/ 1 0,22738650,158964 1 1,430428

Calculo del error relativo: û(, * (R(, û 1 û1,430428 * 1,51,430428 û � 0,0486372 \ 10Q,

El error relativo demuestra que (, aun no cumple la condición de precisión requerida de la ecuación, por lo tanto se debe realizar otra iteración. ;'(,/ 1 Ý(, * 5tQu7 1 Ý1,430428 * 5tQR,)F6),� 1 1,19600 * 1,196033 1 *3,3 · 10Q7 Se tienen: (R 1 1,5; (, 1 1,430428; ;'(R/ 1 *0,109095 ;'(,/ 1 *3,3 · 10Q7 Ahora es posible aplicar la fórmula: (P�R 1 (PQR ;'(P/ * (P ;'(PQR/;'(P/ * ;'(PQR/

(F 1 (R ;'(,/ * (, ;'(R/;'(,/ * ;'(R/ 1 1,5 · '*3,3/ · 10Q7 * 1,430428 · '*0,109095/*3,3 · 10Q7 * '*0,109095/ 1 0,1560240,109062

(F 1 1,43059911

Se calcula el error relativo: û(F * (,(F û 1 û1,43059911 * 1,4304281,43059911 û � 0,000196 ] 10Q,

La raiz positiva de la ecuacion √( * 5tQu 1 0, ?~T Ï ] 10Q,, t{ (F 1 1,43059911 El valor exacto de una raíz positiva de la ecuación es: 1,430445089

Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.Teorema 5.17171717. Orden de convergencia del método de la secante. Orden de convergencia del método de la secante. Orden de convergencia del método de la secante. Orden de convergencia del método de la secante

El orden de convergencia del método de la secante es: � 1 R�√7, � 1,618

El orden de convergencia del método de la secante es inferior al del método de Newton, sin embargo, el método de la secante es una alternativa válida, ya que requiere solamente el cálculo de la función ;, mientras que el método de Newton, además de la función debe también calcular la derivada.

MMMMéééétodo de todo de todo de todo de MMMMullerullerulleruller La mayoría de los métodos para hallar una raíz, o por lo menos lograr una buena aproximación, se basan en aproximaciones de la función en la vecindad de la raíz por medio de una recta. Es sabido que una función no es lineal, pues, si fuera así, no habría necesidad de realizar ningún tipo de esfuerzo para hallarla por métodos numéricos.


El método de Muller se basa en aproximar la función en la vecindad de la raíz por medio de un polinomio cuadrático, así se obtiene una mejor correspondencia con la curva real. Se construye un polinomio de segundo grado para ajustar tres puntos cerca de una raíz, estos puntos son y(6, ;'(8/z; y(R, ;'(R/z; y(,, ;'(,/z . El cero propio de esta cuadrática. Usando la formula general de ecuaciones de segundo grado, se tiene la estimación mejorada de la raíz. Se repite el procedimiento usando el mismo conjunto de tres puntos más próximos a la raíz que está evaluándose.

El procedimiento de este método se desarrolla al escribir una ecuación cuadrática que se ajuste a través de tres puntos en la vecindad de una raíz, en la forma KÖ, - LÖ - ?. El desarrollo se simplifica si los ejes se transforman de modo que pasen por el punto medio, haciendo Ö 1 ( * (6.

Sean 9R 1 (R * (6 : 9, 1 (6 * (,. Se evalúan los coeficientes al evaluar �,'Ö/ en los tres puntos: Ö 1 0; K'0/, - L'0/ - ? 1 ;6 Ö 1 9R; K'9R/, - L'9R/ - ? 1 ;R Ö 1 *9,; K'9,/, * L'9,/ - ? 1 ;, A partir de la primera ecuación, ? 1 ;'(6/.

Haciendo :7:� 1 ;, es posible resolver las otras dos ecuaciones para K : L por medio de las

siguientes ecuaciones. K 1 ;;'(R/ * ;'(6/'1 - ;/ - ;'(,/

;9R,'1 - ;/ , L 1 ;'(R/ * ;'(6/ * K9R,9R , ? 1 ;'(6/

Después de calcular K, L : ?, la raíz de KÖ, - LÖ - ? 1 0 se encuentra aplicando la fórmula cuadrática, eligiendo la raíz más próxima al punto medio (6. Este valor está dada por: ¨K�� 1 (6 * 2?L d √L, * 4K?

El signo en el denominador se toma a fin de proporcionar el mayor valor absoluto del denominador, o sea, si L \ 0, se eligen el signo positivo; si L ] 0, se elige el signo negativo, si L 1 0, se elige cualquiera de los dos. La justificación del uso algo extraño de la formula cuadrática es hacer que la siguiente iteración esté más próxima de la raíz.

Para la siguiente aproximación se toma la raíz del polinomio como uno de los puntos de un conjunto de tres puntos, tomando los tres puntos cuya separación entre sí sea la más pequeña. Si la raíz está a la derecha de (6, se toman (6, (R, y la raíz. Si la raíz está a la izquierda, se toman (6, (,, y la raíz.

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.10.10.10.10.

Aplicando el método de Muller, encontrar el único cero de ;'(/ 1 ?~{ ( * (


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sea la función ;'(/ 1 ?~{ ( * (,

Fig. 5.1Fig. 5.1Fig. 5.1Fig. 5.15.5.5.5. A partir de la grafica se elige el intervalo que contiene la raíz. Se toma y0,6; 1z (6 1 0,8; ;'(6/ 1 ?~{ 0,8 * 0,8 1 * 0,10329 9R 1 (R * (6 1 1 * 0,8 1 0,2 (R 1 1,0; ;'(R/ 1 cos 1 * 1 1 *0,4597 9, 1 (6 * (, 1 0,8 * 0,6 1 0,2 (, 1 0,6; ;'(,/ 1 cos 0,6 * 0,6 1 0,22534 ; 1 9,9R 1 0,20,2 1 1,0

Se construye una tabla para mejor organización de los datos. ;'(6/ 1 * 0,10329 ;'(R/ 1 *0,4597 ;'(,/ 1 0,22534 ; 1 1 (6 1 0,8 9R 1 0,2 9R, 1 0,04 9, 1 0,2

A continuación se aplican las formulas para hallar K, L, ?. K 1 ;;'(R/ * ;'(6/'1 - ;/ - ;'(,/

;9R,'1 - ;/ , K 1 1'*0,4597/ * '* 0,10329/'1 - 1/ - 0,225341 � 0,04 � '1 - 1/ 1 *0,4597 - 0,20658 - 0,225341 � 0,04 � 2

K 1 *0,027780,08 1 *@, j�iÌ

L 1 ;'(R/ * ;'(6/ * K9R,9R

L 1 *0,4597 * '* 0,10329/ * '*0,34725/ � 0,040,2

L 1 *0,4597 - 0,10329 - 0,013890,2 1 *0,342520,2 1 *©, �©i

? 1 ;'(6/ 1 * 0,10329

Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene: (6 1 0,8 K 1 *0,34725 L 1 *1,7126 L, 1 2,933 ? 1 * 0,10329


Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz: (Ñ 1 (6 * 2?L d √L, * 4K?

(Ñ 1 0,8 * 2 � '* 0,10329/*1,7126 d Ý2,933 * 4 � ' *0,34725 / � '* 0,10329/

(Ñ 1 0,8 * * 0,20658*1,7126 d √2,933 * 0,14347 1 0,8 * * 0,20658*1,7126 d 1,67019

(Ñ 1 0,8 * * 0,20658*1,7126 * 1,67019 1 0,8 * * 0,20658*3,38279 1 0,8 * 0.0610679 1 0,738932

(Ñ 1 0,738932. . . . Es la primera aproximación a un cero de la función. Para la siguiente iteración se considera (Ñ 1 (6 y se evalúa la función en este punto: ;'(6/ 1 ?~{ (6 * (6 1 cos 0,738932 * 0,738932 1 0,000256277

Como el valor exacto de la función se tiene cuando ;'(6/ 1 0, por lo tanto, una forma de medir el grado de aproximación de la función hallada es evaluando la función, y a partir del resultado estimar si se sigue o no realizando otras iteraciones.

En este caso, como ;'(6/ 1 0,000256277 Ô 0, puede considerarse una aproximación aceptable, pues se tiene tres ceros después de la coma decimal, indicando una precisión de por lo menos tres cifras, o sea Ï ] 10Q,. Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El cálculo de error presentado a continuación solo es posible realizarlo si se conoce el valor exacto de la raíz buscada.

La mejor forma de evaluar el error en una aproximación de raíz en una función o polinomio, es evaluando la función en ;'(/ 1 0. Esta evaluación da una medida intuitiva del margen de error y funciona para cualquiera de los métodos descritos.

El valor verdadero de la única raíz real de la función ;'(/ 1 ?~{ ( * ( t{: 0,739085133 � 1 ¿À * ¿g 1 0,739085133 * 0,738932 1 0.000153133 1 1.531 � 10Q) �Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0001531330.739085133 1 0.0002072 1 2.072 � 10Q)

�% 1 100 �1 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 2.072 � 10Q)'%/ 1 0.02%

El error relativo es muy aproximado a la evaluación de la función en el punto ;'(/ 1 0.

Este ejercicio tiene una precisión de dos decimales, o sea los primeros dos decimales corresponden al valor exacto o valor verdadero, por lo tanto no hace falta realizar la siguiente iteración para aproximar mejor el resultado, pues el valor obtenido puede considerarse apropiado, salvo que expresamente se indique lo contrario.


0.5 1 1.5 2 2.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.Ejemplo 5.11.11.11.11.

Hallar una raíz en el intervalo [0, 1] de la función trascendente ;'(/ 1 3( - {tT ( * tu, aplicando el método de Muller. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sea la función ;'(/ 1 3( - {tT ( * tu,

Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.Fig. 5.16.16.16.16. Se puede tomar un intervalo más reducido que contenga la raíz, pero a modo de ejemplo se tomará lo indicado en este problema, o sea, el intervalo [0, 1]. (6 1 0,5; ;'(6/ 1 0,330704 9R 1 (R * (6 1 1 * 0,5 1 0,5 (R 1 1,0; ;'(R/ 1 1,123189 9, 1 (6 * (, 1 0,5 * 0 1 0,5 (, 1 0,0; ;'(,/ 1 *1 ; 1 9,9R 1 0,50,5 1 1

Se construye una tabla por mejor organización de los datos. ;'(6/ 1 0,330704 ;'(R/ 1 1,123189 ;'(,/ 1 *1 ; 1 1 (6 1 0,5 9R 1 0,5 9R, 1 0,25 9, 1 0,5


;9R,'1 - ;/ , K 1 1'1,123189/ * '0,330704/'1 - 1/ - '*1/1 � 0,25 � '1 - 1/ 1 1,123189 * 0,661408 * 11 � 0,25 � 2

K 1 *0,5382190,5 1 *1,07644

L 1 ;'(R/ * ;'(6/ * K9R,9R

L 1 1,123189 * 0,330704 * '*1,07644/'0,25/0,5 1 1,123189 * 0,330704 - 0,269110,5

L 1 1,0615950,5 1 2,12319

? 1 ;'(6/ 1 0,330704


Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene: (6 1 0,5 K 1 *1,07644 L 1 2,12319 L, 1 4,5079358 ? 1 0,330704 Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz: (Ñ 1 (6 * 2?L d √L, * 4K?

(Ñ 1 0,5 * 2 � '0,3307/2,12319 d Ý4,50794 * 4 � '*1,07644 / � '0,3307/

(Ñ 1 0,5 * 0,66142,12319 d Ý4,50794 - 1,423914 1 0,5 * 0,66142,12319 d Ý5,93186

(Ñ 1 0,5 * 0,66142,12319 d 2,43554 1 0,5 * 0,66142,12319 - 2,43554

(Ñ 1 0,5 * 0,66144,55873 1 0,5 * 0,14508 1 0,35492

8< 1 0,35492. Es la primera aproximación a la raíz buscada Se evalúa la función: ;'(/ 1 3( - {tT ( * tu, en ( 1 (Ñ ;'(Ñ/ 1 3'(Ñ/ - {tT'(Ñ/ * t'u=/ ;'(Ñ/ 1 3'0,35492/ - {tT'0,35492/ * t'6,F7)¬,/ 1 1,06476 - 0,34752 * 1,42607 ;'(Ñ/ 1 *0,01379

Como se tiene solamente un 0 después de la coma decimal, la raíz encontrada en esta primera iteración puede ser mejorada en una siguiente.

Para la siguiente iteración se considera (Ñ 1 (6 y se elige los tres puntos a usar en esta nueva iteración, para ello se debe tomar (Ñ como punto central y los dos puntos más próximos a él. Con estos nuevos datos, se tiene: (6 1 0,35492; ;'(6/ 1 *0,01379 9R 1 (R * (6 1 0,14508 (R 1 0,5; ;'(R/ 1 0,3307 9, 1 (6 * (, 1 0,35492 (, 1 0; ;'(,/ 1 *1 ; 1 9,9R 1 0,354920,14508 1 2,44637

Se construye una tabla por mejor organización de los datos. ;'(6/ 1 *0,01379 ;'(R/ 1 0,3307 ;'(,/ 1 *1 ; 1 2,44637 (6 1 0,35492 9R 1 0,14508 9R, 1 0,02105 9, 1 0,35492


;9R,'1 - ;/


K 1 '2,44637/'0,3307/ * '*0,01379/'1 - 2,44637/ - '*1/'2,44637/'0,02105/'1 - 2,44637/ 1

K 1 0,80901 - 0,047525 * 1'2,44637/'0,02105/'3,44637/ 1 *0,1434650,177475 1 *0,80837

L 1 ;'(R/ * ;'(6/ * K9R,9R

L 1 0,3307 – '*0,01379/ * '*0,80837/0,021050,14508 1 0,3307 - 0,01379 - 0,0170160,14508

L 11 0,3615060,14508 1 2,49177

? 1 ;'(6/ 1 *0,01379 Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene: (6 1 0,35492 K 1 *0,80837 L 1 2,49177 L, 1 6,20891 ? 1 *0,01379 Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz: (> 1 (6 * 2?L d √L, * 4K?

(> 1 0,35492 * 2'*0,01379/2,49177 d Ý6,20891 * 4'*0,80837/'*0,01379/

(> 1 0,35492 * *0,027582,49177 d Ý6,20891 * 0,04459 1 0,35492 * *0,027582,49177 d √6,16432

(> 1 0,35492 * *0,027582,49177 - 2,4828 1 0,35492 * *0,027584,97455 1 0,35492 - 0,0055442

8? 1 @, @jj. Es la primera aproximación a la raíz buscada

Se evalúa la función: ;'(/ 1 3( - {tT ( * tu, en ( 1 (> ;G(>I 1 3'(>/ - {tT'(>/ * t'u@/ ;G(>I 1 3'0,360464/ - {tT'0,360464/ * t'6,F�6)�)/ 1 1,081392 - 0,35271 * 1,433995 ;G(>I 1 0,000107 (> 1 0,360464, , , , puede considerarse una aproximación aceptable a la raíz buscada, pues al

evaluar con la función se tiene que ;G(>I 1 0,000107 Ô 0

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El valor verdadero de una de las raíces reales de ;'(/ 1 3( - {tT ( * tu es: 0,3604217 � 1 ¿À * ¿g 1 0,3604217 * 0,360464, 1 0.0000423 1 4,23 � 10Q7


�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.00004230,3604217 1 0.00011736 1 1,1736 � 10Q)

�% 1 100 �1 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 1,1736 � 10Q)'%/ 1 0.012%

Este ejercicio tiene una precisión de cuatro decimales, o sea los primeros cuatro dígitos después de la coma decimal son iguales, por lo tanto no hace falta realizar la siguiente iteración para aproximar mejor el resultado, pues el obtenido es bastante preciso.

EJERCICIOS DEJERCICIOS DEJERCICIOS DEJERCICIOS DE FIJACIÓNE FIJACIÓNE FIJACIÓNE FIJACIÓN En los siguientes ejercicios encuentre un cero real de las siguientes funciones, procediendo de la siguiente manera.

a) Grafica la función para encontrar un intervalo próximo a una raíz.

b) Usar la expresión g�f, para obtener u punto de inicio para el método de

Newton.

De los ejercicios presentados, resolverlos usando los métodos de: punto fijo, bisección, regula falsi, Newton, secante y Muller.

De los 15 ejercicios presentados a continuación, resuelve tres funciones con cada método, la elección es personal.

Ejercicio 5.1.Ejercicio 5.1.Ejercicio 5.1.Ejercicio 5.1. ;'(/ 1 3(, * 2 ¯°±²³´óµ: d 0.8164965809

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.2222.... ;'(/ 1 (F * 3 ¯°±²³´óµ: 1.4422495711

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.3333.... ;'(/ 1 (F * 2(, - 5( * 2 ¯°±²³´óµ: 0.4668231807

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.4444.... ;'(/ 1 () * 2 ¯°±²³´óµ: d 1.189207115

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.5555.... ;'(/ 1 (F - 2(, * 3 ¯°±²³´óµ: 1

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.6666.... ;'(/ 1 (F * 5(, - 7( * 4 ¯°±²³´óµ: 3.2055694304

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.7777.... ;'(/ 1 (F - (, * 2( - 1 ¯°±²³´óµ: * 2.1478990357


Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.8888.... ;'(/ 1 () * (F - 3(, * ( * 3 ¯°±²³´óµ: K/ 1.144276979 L/ * 0.7298008449

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.9999.... ;'(/ 1 3() - (F * 12(, * 5( ¯°±²³´óµ: K/ * 0.4205212004, L/ * 1.9476961218; ?/ 0; 0/ 2.0348839889

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.10000.... ;'(/ 1 7(F * 5(, - 3( - 6 ¯°±²³´óµ: * 0.6508225542

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 5.15.15.15.11111.... ;'(/ 1 �T( * 2 vw ( ¯°±²³´óµ: 3.7230640752

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.12222.... ;'(/ 1 {tT ( - 3u ¯°±²³´óµ: * 0.5664945703

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.13333.... ;'(/ 1 cos ( * 3u ¯°±²³´óµ: * 1.3390556456

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.14444.... ;'(/ 1 ln ( * p23qu ¯°±²³´óµ: 1.6641089046

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.15555.... ;'(/ 1 3 ln ( * 2tQu ¯°±²³´óµ: 1.2180039049

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.16666.... Halar todas las raíces de la ecuación: ;'(/ 1 5(, * tu 1 0 ¯°±²³´óµ: * 0.3714177525, 0.6052671213; 4.7079379181

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.17777.... Verifica si el polinomio M'(/ 1 (F * 2(, * 11 1 0, tiene raíces reales, si es así, halla su mejor

aproximación aplicando el método de bisección con una precisión mayor a 10Q,. ¯°±²³´óµ: 3.1258136628

Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.1Ejercicio 5.18888.... Halla la única raíz positiva del polinomio M'(/ 1 (F * 2( * 2 1 0, aplicando el método de

bisección con un error menor a 10Q,. ¯°±²³´óµ: 1.7692923542


GráGráGráGráfica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15.fica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15.fica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15.fica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15.

;'(/ 1 3(, * 2 ;'(/ 1 (F * 3 ;'(/ 1 (F * 2(, - 5( * 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

;'(/ 1 () * 2 ;'(/ 1 (F - 2(, * 3 ;'(/ 1 (F * 5(, - 7( * 4

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-3

-2

-1

1

x

y

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

;'(/ 1 (F - (, * 2( - 1 ;'(/ 1 () * (F - 3(, * ( * 3 ;'(/ 1 3() - (F * 12(, * 5(

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

2

x

y

;'(/ 1 7(F * 5(, - 3( - 6 ;'(/ 1 �T( * 2 vw ( ;'(/ 1 {tT ( - 3u

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

CÁPITULO 5 ECUACIONES NO LINEALES 155 ;'(/ 1 cos ( * 3u ;'(/ 1 ln ( * p23qu

;'(/ 1 3 ln ( * 2tQu

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

x

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

-2 2 4 6 8 10 12 14 16

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.19191919.... Usando el método iterativo de punto fijo, encontrar la menor raíz positiva de la ecuación: ;'(/ 1 2( * vw ( 1 0 ¯°±²³´óµ: * 1.1655611852; 1.1655611852; 0 Son las raíces en torno a cero, pues tiene infinitas soluciones, pues la tangente es una función trigonométrica periódica.

Ejercicio 5.20Ejercicio 5.20Ejercicio 5.20Ejercicio 5.20.... Demuestre que el punto fijo ( 1 w'(/ 1 0,4(, - 0,2 existe, y use la iteración de punto fijo para encontrarlo. ¯°±²³´óµ: no tiene raiz real.

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.22221.1.1.1. Usar la iteración de punto fijo para encontrar el punto fijo de ( 1 w'(/ 1 0,9(F - 0,1 ¯°±²³´óµ: * 0.4807498568

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.22222222.... Sea la función ;'(/ 1 {tT ( - ( tu 1 0. Hallar una raíz negativa con tres cifras decimales exactas, en el intervalo y*4, *3z usando el método de regula falsi. ¯°±²³´óµ: * 3.2665004368

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.23232323.... Sea la función ;'(/ 1 ( * cos ( 1 0. Hallar una raíz positiva con tres cifras decimales exactas, en el intervalo y0.5; 1z usando el método de regula falsi. ¯°±²³´óµ: 0.7390851332


Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.24242424.... La ecuación ( * 2 {tT ( 1 0 posee una raíz en el intervalo y1.8; 2.0z, Halla el valor aproximado por el método de regula falsi con dos decimales correctos. ¯°±²³´óµ: 1.895494267

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.25252525.... La ecuación M'(/ 1 (F * 0,5 1 0, posee una raíz en el intervalo y0.5; 1z usando el método

regula falsi. Determinar la raíz con una precisión de 10Q,. ¯°±²³´óµ: 0.793700526

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.26262626.... Aplicar el método de Newton–Rapson para encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómica: ;'(/ 1 () * 2(F * 3(, - 7( - 1 1 0 ¯°±²³´óµ: * 1.7649698602; *0.1357251263;

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.27272727.... Aplicar el método de Newton–Rapson para encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómica: ;'(/ 1 () - 5(F * 3(, * 8( * 13 1 0 ¯°±²³´óµ: * 5.3654057477; 1.7502397209

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.28282828.... Determinar la raíz de ;'(/ 1 0,5(F * 4(, - 6( * 2, usando el método de Newton usando valores iniciales de a) 0,5 y b) 1,5 ¯°±²³´óµ: 0.4745724392; 1.3691023862; 6.1563251747

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.29292929.... Localice la primera raíz positiva de ;'(/ 1 {tT ( - cos'(, - 1/ * 1. Usar cuatro iteraciones con el método de Newton con valores iniciales de: a) 1 y b) 1,5 ¯°±²³´óµ: 1.9446084251

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.30303030.... Sea la función ;'(/ 1 (F - 2(, * 5( - 3. Hallar una raíz real partiendo de (6 1 *4 y usar:

a) El método normal de Newton.

b) El método modificado de Newton

¯°±²³´óµ: * 3.6134702676


Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.33331.1.1.1.

Use cualquier método para encontrar la raíz de ;'(/ 1 {tT √( * (, usando como valor inicial (6 1 0,5, hasta logar una precisión menor que 10Q,. ¯°±²³´óµ: 0.8767262154

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.32323232.... Usar el método de Newton para hallar un cero de la función ;'(/ 1 *3() - 7(, * 2, partiendo de (6 1 0,5 en caso de que el método falle explicar porqué. ¯°±²³´óµ: 0.5773502692

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.33333333.... Usar el método de Newton para hallar dos ceros de la función ;'(/ 1 () * 5( - 3, considerando que las raíces se encuentran en el intervalo y0,5; 1,5z en caso de que el método falle explicar porqué. ¯°±²³´óµ: 0.6318846098; 1.4252374945

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.34343434.... Usar el método de Newton para hallar todas las raíces reales de la función ;'(/ 1 5() *9(, - 2, considerando que las raíces se encuentran en el intervalo y*1,5; 1,5z en caso de que el método falle explicar porqué. ¯°±²³´óµ: * 1.2410932373; *0.5095955026; 0.5095955026; 1.2410932373

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.35353535.... Encuentre la intersección de : 1 tu; : 1 (F ¯°±²³´óµ: 1.8571838602

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.36363636.... Encuentre la intersección de : 1 2u; : 1 (, ¯°±²³´óµ: * 0.766664696; 2; 4

Ejercicio 5Ejercicio 5Ejercicio 5Ejercicio 5....37373737.... Encuentre la intersección de : 1 tu * 5; : 1 1 - ln ( ¯°±²³´óµ: 1.8928210042

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.38383838.... Encuentre la intersección de : 1 tu * 3; : 1 5 - ln ( ¯°±²³´óµ: 2.1719795877


Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.39393939.... Aplicando el método de la secante, determina una raíz positiva de la ecuación vw ( * ( tu 1 0 ¯°±²³´óµ: 1.3949612729

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.40404040.... Aplicando el método de la secante, determina una raíz distinta de cero de la ecuación cos ( 1 tu ¯°±²³´óµ: * 1.2926957194

EEEEjercicio 5.jercicio 5.jercicio 5.jercicio 5.44441.1.1.1. Determinar todas las raíces del polinomio M'(/ 1 (F * 5(, * ( - 5 1 0, con precisión de 10Q,, usando el método de Newton para el cálculo de la primera raíz. ¯°±²³´óµ: * 1; 1, 5

Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.Ejercicio 5.42424242.... Usar el método de la secante para determinar la única raíz negativa de la ecuación M'(/ 1 (F * 2(, * ( - 2 1 0, con precisión de 10Q,. ¯°±²³´óµ: * 1

CÁPITULO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 159


SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

En distintas áreas del conocimiento, muchas veces existe la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones no lineales, pero, hallar las soluciones o raíces reales de un sistema de ecuaciones no lineales presenta mayor dificultad que hallar las raíces de una ecuación no lineal con una variable.

La solución de sistemas de ecuaciones no lineales esencialmente consiste en ampliar los métodos de solución de una sola ecuación no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales, sin embargo, esto presenta mayor dificultad al momento de resolver cada sistema.

No existe un criterio general para conocer cuantas soluciones tiene un sistema no lineal de ecuaciones dadas, incluso, es posible que el sistema no tenga solución.

Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma: ;R'(R, (,, (F, … , (P/ 1 0 ;,'(R, (,, (F, … , (P/ 1 0 ;F'(R, (,, (F, … , (P/ 1 0 å ;P'(R, (,, (F, … , (P/ 1 0 Donde cada ;�, � 1 1, 2, 3, … , T es una función real de T variables reales.

En forma más compacta se indica: �'�/ 1 0

Existen principalmente dos formas de resolver un sistema no lineal: a) Métodos directos: usados cuando hay solución analítica (arrojan resultados exactos). b) Métodos iterativos: se usan cuando no hay solución analítica (arrojan soluciones

aproximadas).

Los métodos numéricos usados para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son extensiones de métodos más simples, como los aplicados para resolver ecuaciones no lineales. Son extensibles los métodos de Newton, punto fijo y secante. Los métodos de bisección y regula falsi no se pueden extender fácilmente, pues para su aplicación usan el teorema de cambio de signo, que en el caso de sistemas no lineales no existen teoremas que definan esta situación.

El método de iteración de punto fijo se usa cuando el sistema cumple las condiciones para ser resuelto por este método.

El método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales requiere calcular derivadas parciales y resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración. Además de estos dos métodos, es también útil el método gráfico cuando es posible realizarlo, pues existen ecuaciones de muy difícil graficación. Su uso se aplica a situaciones en donde se


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

x

y

buscan aproximaciones no muy precisas, o para tomar los puntos de partidas '(6; :6; … / y aplicarlas a métodos que presentan mayor precisión como los de punto fijo o de Newton.

Resumiendo los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales se tienen: 1. Método Gráfico. 2. Métodos Directos. 3. Métodos Iterativos.

Método gráfico

Este método consiste en trazar la gráfica de cada ecuación del sistema y hallar los puntos de intersección entre las curvas, dichos puntos indican la solución del sistema. La desventaja de este método es la imprecisión, y sólo es aplicable cuando se tiene dos o a lo sumo tres ecuaciones como parte del sistema. Además, considerando que son ecuaciones no lineales, puede suceder que las ecuaciones no sean fáciles de graficar.

Cuando se desea precisión en los resultados de un sistema de ecuaciones no lineales, éste método no es el más apropiado.

Para lograr mayor precisión en los resultados obtenidos de los métodos gráficos, es importante demarcar la ubicación de los puntos en un intervalo reducido, esto permitirá graficar con mayor precisión y obtener “intersecciones” más nitiditas.

Ejemplo 6.1. Sea el sistema de ecuaciones no lineales presentado a continuación, halla la solución del sistema aplicando el método gráfico. (, - :, 1 7 '6.1. / tu - : 1 1 '6.2. / Solución Se inicia la solución del sistema, cambiando su forma para facilitar la construcción de una tabla que permita la construcción de la gráfica. 6.1. / : 1 d√7 * (, 6.2. / : 1 1 * tu ( Ý7 * (, 1 * tu *3 √*2 0,95021 *2 1,73205 0,86466 *1 2,44949 0,63212 0 2,64575 0,00000 1 2,44949 -1,7183 2 1,73205 -6,3891 3 √*2 -19,086

Fig. 6.1 Los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas por la circunferencia de la ecuación (6.1.) y la curva de la ecuación (6.2.), presentan como resultados aproximados del sistema los siguientes puntos: '*i. Ì; ©/ 9 '©. i; *i, /.


-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Ejemplo 6.2. Sea el sistema de ecuaciones no lineales presentado a continuación, halla la solución del sistema aplicando el método gráfico. 3 * tu cos( - 2( * : 1 0 '6.3/ 2(, * 3: * 1 1 0 '6.4. / Solución Se inicia la solución del sistema, cambiando su forma para facilitar la construcción de una tabla que permita la construcción de la gráfica. 6.3. / : 1 3 * tu cos ( - 2( 6.4. / : 1 2(, * 13 ( 3 * tu cos ( - 2( 2(, * 13 *2 *0,94368 2,33333 *1 0,80123 0,33333 0 2,00000 -0,33333 1 3,53131 0,33333 2 10,07493 2,33333

Fig. 6.2

Los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas por la curva de la ecuación (6.3.) y la parábola de la ecuación (6.4.), presentan como resultados aproximados del sistema el punto: '*©. ; @. /. Otro resultado aproximado estaría alrededor del punto 'Ì; ©j/, que no aparece en la grafica.

Métodos directos Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los métodos directos no son los más usuales pero cuando sea posible son los más recomendables, porque dan la solución analítica, es decir, la solución teórica del problema. Salvo casos muy raros estos métodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje y simplificación del mismo mediante operaciones algebraicas.

Métodos iterativos Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos.

Estos métodos son propiamente métodos numéricos, los cuales obtienen la solución mediante una sucesión que se aproxima a la solución del problema.

Los métodos numéricos requieren de un criterio de convergencia para determinar cuándo parar. El criterio de convergencia basado en el error relativo es el aplicado normalmente, por su confiabilidad en este tipo de operación. El criterio de convergencia será: ??Z 1 |�Z�R * �Z||�Z�R| n 5 � 10>�R


Donde: [: Numero de iteración. �Z�R: Vector de la iteración k+1. �Z : Vector de la iteración k. ã: Numero de cifras significativas deseadas.

Geométricamente, las raíces de este sistema son los puntos del plano (x , y), donde las curvas definidas por ; y w se interceptan.

Punto fijoPunto fijoPunto fijoPunto fijo

El método de punto fijo es uno de los que se citan entre los métodos directos. Es siempre conveniente resolver un sistema de ecuaciones no lineal por un proceso iterativo, sobre todo cuando no requiera evaluar las derivadas parciales en dicho proceso, como es el caso del método de Newton. Esta ventaja presenta la iteración de punto fijo. La resolución de sistemas no lineales a través del método de punto fijo es muy semejante al método iterativo lineal estudiado anteriormente para resolver ecuaciones no lineales. Así, un primer paso en la aplicación de iteración lineal es resolver el sistema de la forma: A;'( , :/ 1 0w'( , :/ 1 0 ) '6.5. / A( 1 �'( , :/: 1 B'( , :/) '6.6. /

de forma que cualquier solución de (6.5.) sea, también solución de (6.6.). Sean '(Ä , :C/ una solución del sistema y '(6 , :6/ una aproximación para '(Ä , :C/. Se obtienen las aproximaciones sucesivas '(Z , :Z/ para la solución deseada '(Ä , :C/, usando el proceso iterativo definido por:

A(Z�R 1 �'(Z , :Z/:Z�R 1 B'(Z , :Z/ '6.7/)

Este proceso se llama método de punto fijo o método iterativo Lineal para sistemas no Lineales.

Para que sea posible debe cumplir las siguientes condiciones suficientes, pero no necesarias: a) F, G y sus derivadas parciales de primer orden sean continuas en una vecindad V de la

raíz '(Ä , :C/. b) Las siguientes desigualdades sean satisfechas:

|�u| - ��D� n [R ] 1 |Bu| - �BD� n [, ] 1

Para todo punto '( , :/ perteneciente a una vecindad V de '(Ä , :C/, donde:

�u 1 E�E( , �D E�E: , …. Bu 1 EBE( , BD EBE: , ….

c) La aproximación inicial '(6 , :6/ pertenezca a la vecindad V de '(Ä , :C/.

Para obtener una solución con una determinada precisión ε se debe, durante el proceso

iterativo, calcular el error relativo para todos los componentes del vector solución.


EjemploEjemploEjemploEjemplo 6.3.6.3.6.3.6.3.:::: Considerar el siguiente sistema no lineal.

F;'(, :/ 1 0,2 (, - 0,2 ( : * ( - 0,6 1 0w'(, :/ 1 0,4 ( - 0,1 ( :, * : - 0,5 1 0 )

Aplicar el método iterativo lineal para resolver el sistema no lineal dado con una precisión

menor a 10Q, . SoluciónSoluciónSoluciónSolución

a) Reescribiendo el sistema dado, se obtiene:

F( 1 0,2 (, - 0,2 ( : - 0,6 1 �'( , :/: 1 0,4 ( - 0,1 ( :, - 0,5 1 B'( , :/ )

Se verifica la condición de suficiencia para garantizar que la convergencia sea satisfecha.

a) Que cada ecuación pueda ser despejada respecto de una de sus variables. b) Que las derivadas parciales del sistema sean continuas en la vecindad de las posibles

raíces. c) Que al evaluar las derivadas parciales arrojen resultados de valor pequeño,

normalmente menor que uno.

La condición (a) se cumple, pues es posible despejar las variables del sistema. La condición (b) se cumple, pues las ecuaciones del sistema son polinomios, por lo tanto continuas.

Es muy difícil conocer a priori la solución del sistema, sin embargo hay casos en que se puede intuir un posible resultado, debido a la simplicidad del problema.

Siempre será importante partir de una grafica toda vez que sea posible, al final, es la manera más fácil de acceder a los valores iniciales de una iteración. Fig. 6.3.Fig. 6.3.Fig. 6.3.Fig. 6.3.

En este caso, como es un ejemplo ilustrativo para verificar las condiciones suficientes de convergencia, como aplicación del método iterativo lineal, se considerará inicialmente '(6 , :6/ 1 '0.9; 1.1/. Para verificar la condición (c), condición suficiente, se calcula inicialmente, las derivas parciales de F y G en los puntos iniciales de la iteración. �u 1 0,4 ( - 0,2 : , �D 1 0,2 (, Bu 1 0,4 - 0,1 :, , BD 1 0,2 ( :,


Si se escribe que '(6 , :6/ = (0,9; 1,1,) se ve que F, G y sus derivadas parciales son continuas en '(6 , :6/. Además de eso, se verifica que las desigualdades que figuran como condiciones para que la convergencia sea satisfecha, se tienen: |�u| - ��D� 1 |'0,4/ '0,9/| - |'0,2/ '1,1/| - |'0,2/ '0,9/| 1 0,76 ] 1 |Bu| - �BD� 1 |'0,4/ - '0,1/'1,1/,| - |'0,2/ '0,9/'1,1/| 1 0,719 ] 1

Esto demuestra que '(6 , :6/ esta en la vecindad de '(Ä , :C/ = (0,9; 1,1,) y usando el proceso iterativo se obtiene:

Primera iteraciónPrimera iteraciónPrimera iteraciónPrimera iteración:

A(Z�R 1 �'(Z , :Z/:Z�R 1 B'(Z , :Z/) > F( 1 0,2 (, - 0,2 ( : - 0,6 1 �'( , :/: 1 0,4 ( - 0,1 ( :, - 0,5 1 B'( , :/ ) (R 1 �'(6 , :6/ 1 '0,2/'0,9/, - '0,2/'0,9/'1,1/ - 0,6 ⇒ (R= 0,96 :R 1 B'(6 , :6/ 1 '0,4/ '0,9/ - '0,1/'0,9/'1,1/, - 0,5 ⇒ :R= 0,9689 Calculo del error relativo: û(R * (6(R û 1 û0.96 * 0.90.96 û 1 û0.060.96û 1 0.0625 > 0.0625 \ 10Q, û:R * :6:R û 1 û0.9689 * 1.10.9689 û 1 û*0.13110.9689 û 1 0.1353 > 0.1353 \ 10Q,

La precisión deseada aun no es alcanzada, por lo tanto se procede a otra iteración. Segunda iteración:Segunda iteración:Segunda iteración:Segunda iteración: (, 1 �'(R , :R/ 1 '0,2/'0,96/, - '0,2/'0,96/'0,9689/ - 0,6 ⇒ (, = 0,9703 :, 1 B'(R , :R/ 1 '0,4/ '0,96/ - '0,1/'0,96/'0,9689/, - 0,5 ⇒ :, = 0,9791

Calculo del error relativo: û(, * (R(, û 1 û0.9703 * 0.960.9703 û 1 û0.01030.9703û 1 0.0106 > 0.0106 \ 10Q, û:, * :R:, û 1 û0.9791 * 0.96890.9791 û 1 û0.01020.9791û 1 0.0104 > 0.0104 \ 10Q,

Con los últimos valores obtenidos aun no se logra la precisión deseada. Tercera iteraciónTercera iteraciónTercera iteraciónTercera iteración (F 1 �'(, , :,/ 1 '0,2/'0,9703/, - '0,2/'0,9703/'0,9791/ - 0,6 ⇒ (F = 0,9763 :F 1 B'(, , :,/ 1 '0,4/ '0,9703/ - '0,1/'0,9703/'0,9791/, - 0,5 ⇒ :F= 0,9802

Calculo del error relativo: û(F * (,(F û 1 û0.9763 * 0.97030.9763 û 1 û 0.0060.9763û 1 0.00615 > 0.00615 ] 10Q, û:F * :,:F û 1 û0.9802 * 0.97910.9802 û 1 û0.00110.9802û 1 0.0012 > 0.0012 ] 10Q,


Se puede considerar resultado aproximado a '(F , :F/ 1 '0.9763; 0.9802/, pues cumple con la condición especificada inicialmente en el problema.

Se nota que la secuencia '(Z , :Z/ converge para (1 , 1). Además de eso, se puede decir que la

solución '(Ä , :C/, con error relativo inferior a 10-2 , es (0,9773 , 0,982), aplicando |uQu7|u ≅ 0,007

y |DQD7|D ≅ 0,001. Si una de las componentes cumpliera con la condición prefijada y la otra no,

el proceso debe seguir hasta que todas cumplan con la precisión deseada.

Ejemplo 6.Ejemplo 6.Ejemplo 6.Ejemplo 6.4444.... Buscar la solución del sistema aplicando el método de punto fijo, iniciando en (1, 1, 1) el proceso, con una precisión de tres decimales. ;R'(, :, �/ 1 (F * 10( - : * � - 3 1 0 ;,'(, :, �/ 1 :F - 10: * 2( * 5 1 0 ;F'(, :, �/ 1 ( - : * 10� - 2 {tT � - 5 1 0 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Este sistema puede escribirse de la forma: �'�/ 1 0,�: �F > �F

Existen muchas posibilidades para convertir este sistema como una iteración de punto fijo, pero su convergencia depende de que la magnitud de la derivada parcial de � sea suficientemente pequeña, para eso, el sistema se reescribe de la siguiente forma: (Z�R 1 0.1(ZF - 0.1:Z * 0.1�Z - 0.3 :Z�R 1 *0.1:ZF - 0.2(Z - 0.5 �Z�R 1 0.1(Z - 0.1:Z - 0.2 {tT �Z - 0.5

Para lograr este nuevo sistema equivalente al sistema inicial, se despejan cada una de las variables '(, :, �/, en todos los casos esto se logra dividiendo por el numero 10 todas las ecuaciones. Esta situación no siempre se presenta de esta manera, pues cada ecuación se debe despejar separadamente.

Se realiza la primera iteración con los valores de: '(6, :6, �6/ 1 '1, 1, 1/ Se usa indistintamente la coma ', / o el punto '. / para separar las cifras y presentar sin confusión cada expresión. Para la multiplicación se usa el punto '·/. Notar que el punto de multiplicación se ubica en el medio entre los elementos de un término. (R 1 0,1(6F - 0,1:6 * �6 - 0,3 1 0,1 · 1F - 0,1 · 1 * 0,1 - 0,3 1 0,4 :R 1 *0.1:6F - 0.2(6 - 0.5 1 *0,1 · 1F - 0,2 · 1 - 0.5 1 0,6 �R 1 0.1(6 - 0.1:6 - 0.2 {tT �6 - 0.5 1 0,1 · 1 - 0,1 · 1 - 0,1683 - 0,5 1 0,868294

Esta evaluación en las ecuaciones dista mucho de ser cero, indica que debe hacerse otras iteraciones, los cuales no se incluyen en este ejercicio por ser repetitivos (iterativos), sin embargo se presenta seguidamente un cuadro con los valores de las iteraciones sucesivas.


Iteración (� :� �� 0 1 1 1

1 0.4 0.6 0.868294

2 0.279571 0.5584 0.752646

3 0.282761 0.538503 0.720512

4 0.28406 0.540936 0.7140803

5 0,284734 0,540984 0,713484

6 0,285058 0,541114 0,713466

7 0,285081 0,541168 0,713609 Los resultados logrados en la iteración 7 cumplen las condiciones del problema, pues comparando la iteraciones 6 y 7, se tienen los tres decimales después de la coma son iguales.

A modo de verificación, a continuación se presenta los errores relativos de la última iteración, mostrando la precisión lograda en la resolución de este sistema. û(� * (�(� û 1 û0.285081 * 0.2850580.285081 û 1 û0.0000230.285081û 1 0.00008 > 0.00008 ] 10Q)

û:� * :�:� û 1 G0.541168 * 0,5411140.541168 G 1 û0.0000540.541168û 1 0.000099 > 0.000099 ] 10Q) û�� * �� û 1 G0,713609 * 0,7134660,713609 G 1 û 0,0001430,713609û 1 0.0002 > 0.0002 ] 10QF

Método de Newton:Método de Newton:Método de Newton:Método de Newton: Teorema Teorema Teorema Teorema 6.1.6.1.6.1.6.1. Sea w una función real diferenciable definida en un conjunto cerrado acotado convexo D, y tal que cualquiera de las normas inducidas del jacobiano de w en todos los puntos de D sea menor que la unidad, o el radio espectral del jacobiano de g sea menor que la unidad para todos los puntos de D, entonces existe una única raíz de (b�R 1 w'(b/ que se obtiene como límite de la sucesión (b�R 1 w'(b/ donde (6 es un punto cualquiera de D.

Para adaptar el método de Newton a los sistemas no lineales, se procede como sigue: Sea '(6 , :6/ una aproximación para la solución de '(Ä , :C/. Admitiendo que ; y w sean suficientemente diferenciables, expandiendo ;'( , :/ y w'( , :/, usando la serie de Taylor para funciones de dos variables, en torno de '(6 , :6/. Así.

F ;'( , :/ 1 ;'(6 , :6/ - ;u'(6 , :6/'( * (6/ - ;D '(6 , :6/': * :6/ - … w'( , :/ 1 w'(6 , :6/ - wu'(6 , :6/'( * (6/ - wD '(6 , :6/': * :6/ - …) '6.8. /

Admitiendo que '(6 , :6/ esté suficientemente próximo de la solución '(Ä , :C/ al punto de evitar la operación con los términos de más alto orden, se puede determinar una nueva aproximación para la raíz '(Ä , :C/ haciendo ;'( , :/ 1 w'( , :/ 1 0. Se obtiene el sistema:

F ;uG( * (6/ - ;D': * :6I 1 *;wuG( * (6/ - wD': * :6I 1 *w ) '6.9. /


Vale la aclaración respecto a la notación utilizada Las funciones del sistema: ;'( , :/ 1 ;; w'( , :/ 1 w las derivas parciales del sistema: ;u'(6 , :6/ 1 ;u 1 �u; wu'(6 , :6/ 1 wu 1 Bu

Está entendido que todas las funciones y derivadas parciales deben ser calculadas en '(6 , :6/. Se observa que '6.8. / es ahora una ecuación lineal. Además de eso, si no fueran despreciados los términos de más alto orden en el desarrollo de Taylor, entonces '(, :/ sería la solución exacta del sistema no lineal. La resolución de '6.8. / producirá una solución que se llamará '(R, :R/. Entonces, se debe esperar que '(R, :R/ esté mas próxima de '(Ä , :C/ que de '(6 , :6/. Resolviendo '6.9. / por la regla de Kramer se obtiene:

(R * (6 1 û *; ;D*w wDûû ;u ;Dwu wDû 1 G*; wD - w ;DH'; , w/ G'u6,D6/ '6.10. /

:R * :6 1 û ;u * ; wu * wûû ;u ;Dwu wDû 1 û*w ;u - ; wuH'; , w/ û'u6,D6/ '6.11. /

Donde H'; , w/ = ;u wD * ;D wu ≠ 0 en '(6 , :6/. La función H'; , w/ es denominada Jacobiano

de las funciones ; y w. La solución '(R, :R/ de este sistema, produce ahora una nueva aproximación para '(Ä , :C/. La repetición de este proceso conduce al Método de Newton para sistemas no lineales. El método de Newton para sistemas no lineales está definida por:

%&'&((Z�R 1 (Z * G; wD * w ;DH'; , w/ G'uI,DI/

:Z�R 1 :Z * ûw ;u * ;wuH'; , w/ û'uI,DI/) '6.12. /

Con H'; , w/ = ;u wD * ;D wu

Observaciones para el método de Newton:

1) Cuando la iteración converge, la convergencia es cuadrática. 2) El método de Newton converge según las siguientes condiciones siguientes:

a) ; , w y sus derivadas parciales hasta de segundo orden sean continuas y limitadas en una vecindad V conteniendo '(Ä , :C/.

b) El Jacobiano J'; , w/ no se anula en la vecindad V. c) La aproximación inicial '(6 , :6/ sea elegida suficientemente próxima de la raíz '(6 , :6/.

3) El método de Newton puede ser aplicado a un sistema de ecuaciones de T incógnitas. La solución de un sistema de T ecuaciones, siendo T un valor elevado, seria muy difícil, aun para el uso de las computadoras.


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Método practico para resolver un sistema no lineal por Método practico para resolver un sistema no lineal por Método practico para resolver un sistema no lineal por Método practico para resolver un sistema no lineal por el método de Newtonel método de Newtonel método de Newtonel método de Newton

1) Acotar una zona donde exista al menos una raíz. Si se puede asegurar que será solo una, mucho mejor, para esto, graficar el sistema.

2) Reformular el problema como uno de punto fijo, y lanzar el esquema para ver si converge a la raíz buscada.

3) Aplicar el método

Orden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergenciaOrden de convergencia El uso de métodos de iteración funcional con sistemas de ecuaciones es completamente diferente de aquellos para ecuaciones simples. Se observa que es útil frecuentemente una información a priori sobre la localización de la raíz; cuando esto no es posible se puede usar un método siempre convergente para obtener una buena aproximación de esta. Por lo tanto, en todos los casos se debe optar por la eficiencia del método. Un método a ser aplicado, solo es posible cuando el sistema converge para dicho método. Frecuentemente, si la aproximación lineal no está completamente cercana a la solución, la


Determinar una raíz del sistema: A(, - :, 1 2(, * :, 1 1 ) Con precisión de 10QF, usando el método de Newton. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Sean las ecuaciones: ;'(, :/ 1 (, - :, * 2 1 0 : w'(, :/ 1 (, * :, * 1 1 0

Para obtener el valor inicial '(6, :6/, se traza en un solo gráfico las dos ecuaciones dadas. Fig. 6.4.Fig. 6.4.Fig. 6.4.Fig. 6.4. Del grafico se observa que el sistema admite 4 soluciones, una en cada cuadrante. En este caso solo se buscará la solución correspondiente al primer cuadrante.

El punto de soluciones de las ecuaciones es la solución '(Ä, :C/ buscada. Analizando la grafica se nota que '(Ä, :C/ está en la vecindad del punto '1.2; 0.7/, entonces, se toma '(6, :6/ 1 '1.2; 0.7/. ;'(, :/ 1 (, - :, * 2 ;'1.2; 0.7/ 1 '1.2/, - '0.7/, * 2 1 1.44 - 0.49 * 2 1 *0.07 w'(, :/ 1 (, * :, * 1 w'1.2; 0.7/ 1 '1.2/, * '0.7/, * 1 1 1.44 * 0.49 * 1 1 *0.05


Se hallan las derivadas parciales de las ecuaciones del sistema ;u 1 2(; ;D 1 2:; wu 1 2(; wD 1 *2:

;u'(6, :6/ 1 ;u'1.2, 0.7/ > ;u 1 2( 1 2 '1.2/ 1 2.4 ;D'(6, :6/ 1 ;D'1.2, 0.7/ > ;D 1 2: 1 2 '0.7/ 1 1.4 wu'(6, :6/ 1 wu'1.2, 0.7/ > wu 1 2( 1 2 '1.2/ 1 2.4 wD'(6, :6/ 1 wD'1.2, 0.7/ > wD 1 *2: 1 *2 '0.7/ 1 *1.4

Se aplica la fórmula 6.12. (Z�R 1 (Z * J; wD * w ;DH'; , w/ K'uI,DI/

(R 1 (6 * J ; wD * w ;D;u wD * ;DwuK'R.,; 6.�/ 1 1.2 * J'*0.07/'*1.4/ * '*0.05/'1.4/'2.4/'*1.4/ * '1.4/'2.4/ K

(R 1 1.2 * J'0.098/ - '0.07/'*3.36/ * '3.36/K 1 1.2 * ¶0.168*6.72L 1 1.2 * '*0.025/ 1 ©. iiÌ

:Z�R 1 :Z * ¶w ;u * ;wuH'; , w/ L'uI,DI/

:R 1 :6 * ¶w ;u * ;wuH'; , w/ L'R.,; 6.�/ 1 0.7 * J'*0.05/'2.4/ * '*0.07/'2.4/'2.4/'*1.4/ * '1.4/'2.4/ K

:R 1 0.7 * J'*0.12/ - '0.168/'*3.36/ * '3.36/ K 1 0.7 * ¶0.048*6.72L 1 0.7 * '*0.007143/ 1 0.707143

Se calcula el error relativo en los dos casos: û(R * (6(R û 1 û1.225 * 1.21.25 û 1 û0.251.25û 1 0.025 > 0.025 \ 10QF û:R * :6:R û 1 û0.707143 * 0.70.707143 û 1 û0.0071430.707143û 1 0.0101 … > 0.0101 \ 10QF Ambos cálculos de error son mayores que 10QF, por lo tanto, debe realizarse otra iteracion. Segunda iteraciónSegunda iteraciónSegunda iteraciónSegunda iteración ;'(, :/ 1 (, - :, * 2 ;'1.225; 0.70714/ 1 '1.225/, - '0.70714/, * 2 1 0.000672 w'(, :/ 1 (, * :, * 1

w'1.225; 0.70714/ 1 '1.225/, * '0.70714/, * 1 1 0.000578

Se halla las derivadas parciales de las ecuaciones del sistema ;u 1 2(; ;D 1 2:; wu 1 2(; wD 1 *2: ;u'(6, :6/ 1 ;u'1.225, 0.70714/ > ;u 1 2( 1 2 '1.225/ 1 2.45 ;D'(6, :6/ 1 ;D'1.2; 0.7/ > ;D 1 2: 1 2 '0.70714/ 1 1.41428

CÁPITULO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 170 wu'(6, :6/ 1 wu'1.225, 0.70714/ > wu 1 2( 1 2 '1.225/ 1 2.45 wD'(6, :6/ 1 wD'1.225, 0.70714/ > wD 1 *2: 1 *2 '0.7/ 1 *1.41428

Se aplica la fórmula 6.12.

(Z�R 1 (Z * J; wD * w ;DH'; , w/ K'uI,DI/

> (, 1 (R * J ; wD * w ;D;u wD * ;DwuK'R.,,7; 6.�6�R)/

(, 1 1.225 * J'0.00672/'*1.41428/ * '*0.000578/'1.41428/'2.45/'*1.41428/ * '1.41428/'2.45/ K

(, 1 1.225 * J'*0.0095/ - '0.000817/'*3.465/ * '3.465/ K 1 1.225 * ¶*0.008683

*6.93 L 1 1.225 * '0.001253/

(, 1 1.2237 :Z�R 1 :Z * ¶w ;u * ;wuH'; , w/ L

'uI,DI/:, 1 :R * ¶w ;u * ;wuH'; , w/ L

'R.,,7; 6.�6�R)/

:, 1 0.70714 * J'0.000578/'2.45/ * '0.000672/'2.45/*6.93 K 1

:, 1 0.70714 * J'0.001416/ * '0.001646/*6.93 K 1 0.70714 * ¶*0.00023

*6.93 L 1 0.70711

:, 1 0.70714 * 0.00003319 1 0.70711 Se calcula el error relativo en los dos casos:

û(, * (R(, û 1 û1.2237 * 1.2251.2237 û 1 û*0.0013

1.2237 û 1 0.001 > 0.00106 ] 10QF

û:, * :R:, û 1 û0.70711 * 0.707140.70711 û 1 û0.00003

0.70711û 1 0.000042 > 0.000042 ] 10QF

Si uno de los errores relativos cumple la condición de precisión deseada, se considera válido el resultado obtenido y termina las iteraciones. En este caso, se considera muy próximo los valores hallados '1.2237; 0.70711/


Ejercicio 6.1.Ejercicio 6.1.Ejercicio 6.1.Ejercicio 6.1. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (1.5; 2) (, * 5: 1 3

3( * 2:, 1 5


-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Ejercicio 6.2.Ejercicio 6.2.Ejercicio 6.2.Ejercicio 6.2. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (1; 1.5) 5(F - 3:, 1 9 4(, * 5:F 1 3

Ejercicio 6.3.Ejercicio 6.3.Ejercicio 6.3.Ejercicio 6.3. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (-0.5; -1.5) tu - :, 1 2

ln (, - : 1 1

Ejercicio 6.4.Ejercicio 6.4.Ejercicio 6.4.Ejercicio 6.4. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (0.5; 1.5) 3(, * {tT ( * : 1 0

4( - cos ( * :, 1 0

Ejercicio 6.5.Ejercicio 6.5.Ejercicio 6.5.Ejercicio 6.5. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (-2; 2.5) 2 - {tT ( * (, * : 1 0 3 - cos ( * ( * :, 1 0

Ejercicio 6.6.Ejercicio 6.6.Ejercicio 6.6.Ejercicio 6.6. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (2; 3) (, - :, 1 6 (F * : 1 1

Solución 6.1. Solución 6.2. Solución 6.3.

-2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-3

-2

-1

1

2

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

1

2

3

y

Solución 6.4. Solución 6.5. Solución 6.6.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.7777.... Aplicando el método de punto fijo y el método de Newton-Rapson para resolver el sistemas de

ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10Q, , iniciando las iteraciones en el punto '1. ; *1.8/. (, * {tT ( - : 1 2 tu - ( * :, 1 1 Solución:Solución:Solución:Solución: '1.0716; *1.7296/; '2.51178; *3.72/

Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.8888.... Aplicando el método de punto fijo y el método de Newton-Rapson para resolver el sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10Q, , iniciando las iteraciones en el punto '1. ; *1.8/. 4(, * :, 1 0 4(:, * ( 1 1 Solución:Solución:Solución:Solución: '0.449; 0.8982/; '0.449; *0.8982/

EEEEjercicio 6.jercicio 6.jercicio 6.jercicio 6.9999.... El estado estacionario de concentración de dos especies químicas en un sistema químico oscilatorio está dado por el sistema no lineal, iniciar la operación en el punto '0.9, 2.1/. 5 - (,: * 3( 1 0

2( * (,: 1 0 Solución:Solución:Solución:Solución: '1, 2/

Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.10000.... Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10QF , iniciando las iteraciones en '1.2; 1.8/.

A3(,: * :F 1 4(, * (:F 1 9 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución:::: '1.3364; 1.7542/; '*0.9132; *2.1135/; '*3; 0.24987/; '2.9695; 0.0914265/

Ejercicio 6.11Ejercicio 6.11Ejercicio 6.11Ejercicio 6.11.... Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10QF , iniciando las iteraciones en '*2; 1/.

A (, - :, * 5 1 0(, - 3(:, - 3 1 0 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: : : : '*1.9587; 1.0786/; '*1.9587; *1.0786/; '*0.2045; 2.2267/; '*0.2045; *2.2267/

Ejercicio 6.12Ejercicio 6.12Ejercicio 6.12Ejercicio 6.12.... Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10QF , iniciando las iteraciones en '.0.7; 2/.

F'( * 1/, - :, 1 7(, - ': * 1/, 1 9 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: : : : '*0.87083; 1.8708/; '2.8708; *1.8708/;


Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.13333.... Dado el siguiente sistema no lineal, hallar una solución con dos dígitos significativos correctos, iniciando la iteración en '(6, :6/ 1 '1; 1.5/

A(F * 2(:, - 3 1 03(,: * :F 1 0 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: : : : '0.84343; 1.4609/; '0.84344; *1.4609/;

Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.14444.... Determinar una solución con dos dígitos significativo correctos, el sistema no lineal dado, iniciando con en '(6, :6/ 1 '0.5; 0.85/

A(F * (:, - 3 1 03(,: * :F 1 0 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: : : : '1.1447; 1.9827/; '1.1447; *1.9827/;

Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.15555.... Demostrar que el siguiente sistema no lineal posee exactamente cuatro raíces. Determinar esas raíces usando el método de Newton, con dos dígitos significativos correctos, iniciando en '1; 1/; '1; *1/; '*4; 1/ y '*4; *1/

A3(, - :, - 9( * : 1 12(, - 36:, 1 36 )

SoluciónSoluciónSoluciónSolución: : : : '1; 0.986/; '0.86511; *0.98955/; '*4.0127; 0.74346/; '*3.9094; *0.75859/.

Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.16666.... Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales. ;R'(, :, �/ 1 (F * 2( - : * 3� - 5 1 0 ;,'(, :, �/ 1 :F - 5: * 2( * 2� * 1 1 0 ;F'(, :, �/ 1 ( - : * 4� - �, - 2 1 0

Solución: Solución: Solución: Solución: '*2,08348; *0.6489; *0.1754/ : '0.86834; 1.002; 1.64005/

Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.Ejercicio 6.17171717.... Usando el método iteración de punto fijo y el método de Newton para resolver el sistema no lineal con precisión de 10QF , iniciando las iteraciones en '*2; *0.6; *0.1 / : '0.8; 1; 1.6/. ;R'(, :, �/ 1 (F * 2( - : * 3� - 5 1 0 ;,'(, :, �/ 1 :F - 5: * 2( * 2� * 1 1 0 ;F'(, :, �/ 1 ( - : * 4� - �, - 2 1 0

Solución: Solución: Solución: Solución: '*2,08348; *0.6489; *0.1754/ : '0.86834; 1.002; 1.64005/


Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.1Ejercicio 6.18888.... Para el siguiente sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10Q, , iniciando las iteraciones en '*2.5; 0.5; 4.0/, ~ '3.2; *2.5; 1.2/. (, - : * 8 1 0

( * :, - : - 3 1 0 ( - : - � * 3 1 0


( -2.736109959; 0.5137022874; 4.222407672)

( 3.240063567; -2.498011923; 1.257948355)

( 2.383237204; 2.320180425; -2.703417629)

( -2.887190812; -0.3358707894; 5.223061602)

EjerEjerEjerEjercicio 6.1cicio 6.1cicio 6.1cicio 6.19999.... Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10Q, , para el punto de iteración usar el método gráfico. (F * 2: 1 3

3(, - : 1 9

SoluciónSoluciónSoluciónSolución '1.727254; 1.037569/; '1.9507; *1.48711/

Ejercicio 6.20Ejercicio 6.20Ejercicio 6.20Ejercicio 6.20.... Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de 10Q, , para el punto de iteración usar el método gráfico. 3(, * : 1 1

{tT,( - : 1 3

SoluciónSoluciónSoluciónSolución '*1.04161; 2.254854/; '1.04161; 2.254854/

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 175 CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7CAPÍTULO 7 INTERPOLACIÓN INTERPOLACIÓN INTERPOLACIÓN INTERPOLACIÓN YYYY AJUSTE DE CURVAS AJUSTE DE CURVAS AJUSTE DE CURVAS AJUSTE DE CURVAS IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción La aproximación de funciones es una de las ideas más antiguas del análisis numérico, siendo ahora la más usada. Es fácil entender por qué razón se presenta esa situación. Los polinomios son fácilmente computables, sus derivadas e integrales son nuevamente polinomios, sus raíces pueden ser halladas con relativa facilidad. La simplicidad de los polinomios permite que la aproximación polinomial sea obtenida de varias maneras, entre las cuales se pueden citar; interpolación, método de los mínimos cuadrados, mínimos y máximos, etc., por tanto es ventajoso sustituir una función complicada por un polinomio que la represente. Definición Definición Definición Definición 7777.1..1..1..1. El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Teorema 7.1. Teorema de Teorema 7.1. Teorema de Teorema 7.1. Teorema de Teorema 7.1. Teorema de WWWWeirstrasseirstrasseirstrasseirstrass Toda función continua pude ser arbitrariamente aproximada por un polinomio. InterpolaInterpolaInterpolaInterpolación polinomialción polinomialción polinomialción polinomial Por el término interpolación se entiende estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una medida ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al punto dado. Los métodos de aproximación polinomial son usados como una aproximación para una función ;'(/, principalmente, en las siguientes situaciones. a/ No se conoce la expresión analítica de ;'(/, se conoce sus valores solamente en algunos puntos (6, (R, (,, …. Esta situación ocurre con frecuencia en la práctica cuando se trabaja con datos experimentales y es necesario manipular ;'(/, como por ejemplo, calcular su valor en un punto determinado, o su integral en un intervalo dado. b/ ;'(/, es extremadamente complicada y de difícil manejo. Entonces, a veces, es interesante sacrificar la precisión en beneficio de la simplificación de los cálculos. La clase de los polinomios algebraicos son una de la más usada clase de funciones reales de variable real de la forma: MP'(/ 1 K6 - KR( - K,(, -S- KP(P, donde n es un entero no negativo y K6 … KP son constantes reales. La razón de su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas; esto es, da una función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan cerca de la función dada como se desee.

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 176

Teorema Teorema Teorema Teorema 7.2.7.2.7.2.7.2. El problema de interpolación general tiene solución única si las T formas lineales son linealmente independientes. Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.3333.... Teorema de aproximación de Teorema de aproximación de Teorema de aproximación de Teorema de aproximación de WWWWeierstrasseierstrasseierstrasseierstrass Si ; está definida y es continua en yK, Lz,dado Ï \ 0, existe un polinomio M, definido en yK, Lz, con la propiedad de que |;'() * M'()| ] Ï, â( U yK, Lz El aspecto importante que presenta los polinomios en la aproximación de funciones es la facilidad para determinar la derivada y la integral indefinida de cualquier polinomio y el resultado es otra vez un polinomio. Esta es la razón por la frecuencia de uso de los polinomios para aproximar funciones que se suponen continuas. Polinomios de interpolaciónPolinomios de interpolaciónPolinomios de interpolaciónPolinomios de interpolación El problema general de interpolación por medio de polinomios consiste en, dado T - 1 números o puntos distintos, sean éstos reales o complejos (6, (R, (,, … , (P : T - 1 puntos o números reales o complejos :6, :R, :,, … , :P, numeros que en general, son T - 1 valores de una función : 1 ;'() en (6, (R, (,, … , (P, determinándose un polinomio MP'() de grado máximo T tal que: MP'() 1 :6; MP'(R) 1 :R; … ; MP'(P) 1 :P Los polinomios de interpolación existen y son únicos, en la hipótesis de que los puntos (6, (R, (,, … , (P sean distintos. Teorema Teorema Teorema Teorema 7777....4444. Dados T + 1 puntos distintos (6, (R, (,, … , (P 'reales o complejos/ y T + 1 valores :6, :R, :,, … , :P existe uno y solo un polinomio de grado menor o igual a T tal que: MP'(Z/ 1 :Z con [ 1 0, 1, 2,… , T. 17 '�. ©. / DefinDefinDefinDefiniciónicióniciónición 7.7.7.7.2222.... Se llama polinomio de interpolación de una función : 1 ;'(/ sobre un conjunto de puntos distintos (6, (R, (,, … , (P, al polinomio de grado máximo T que coincide con ;'() en (6, (R, (,, … , (P. Tal polinomio será designado por MP';; () y, siempre que no cause confusión simplemente por MP'(). Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7.1.7.1.7.1.7.1. Dados los pares de puntos '*1, 15/; '0, 8/; '3, *1/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución De acuerdo a los datos del problema se tiene: (6 1 *1 :6 1 15 1 ;'(6/ (R 1 0 :R 1 8 1 ;'(R/ (, 1 3 :, 1 *1 1 ;'(,/ 17 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 281.


-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Se tiene tres pares de puntos, por lo tanto T 1 2, y se debe determinar M,'(/. M,'(/ 1 K6 - KR( - K,(,, tal que: M,'(Z/ 1 :Z , [ 1 0,1,2, esto es:

K6 - KR(6 - K, (6, 1 :6K6 - KR(R - K, (R, 1 :RK6 - KR(, - K, (,, 1 :,

Sustituyendo (Z e :Z , con [ 1 0.1,2, se tiene: K6 * KR - K, 1 15K6 1 8K6 - 3 KR - 9 K, 1 9

ó K6 1 8, KR 1 *6 : K, 1 1

Resolviendo la ecuación simultánea se tiene la solución y el polinomio de interpolación de '*1, 15/; '0, 8/; '3, *1/, es: M,'(/ 1 8 * 6( - (,, o lo que es lo mismo

M,'(/ 1 (, * 6( - 8,

Completando el ejemplo se presenta la gráfica de los puntos citados en un plano y la grafica de la función en el mismo plano

Fig. 7.1.Fig. 7.1.Fig. 7.1.Fig. 7.1. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7.2.7.2.7.2.7.2. Dados los pares de puntos '1, 1/; '2, 4/; '3, 2/; '*1, *2/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución De acuerdo a los datos del problema se tiene:

(6 1 1 :6 1 ;'(6/ 1 1 (R 1 2 :R 1 ;'(R/ 1 4 (, 1 3 :, 1 ;'(,/ 1 2 (F 1 *1 :F 1 ;'(F/ 1 *2

Se tiene cuatro pares de puntos, por lo tanto T 1 3, y se debe determinar MF'(/.

MF'(/ 1 K6 - KR( - K,(, - KF(F, tal que: MF'(Z/ 1 :Z , [ 1 0, 1, 2, 3, esto es:

K6 - KR(6 - K, (6, - KF (6F 1 :6K6 - KR(R - K, (R, - KF (RF 1 :RK6 - KR(, - K, (,, - KF (,F 1 :,K6 - KR(F - K, (F, - KF (FF 1 :F


-2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Sustituyendo (Z e :Z , con [ 1 0.1,2,3, se tiene: K6 + KR · 1 + K, · 1 + KF · 1 1 1 K6 + KR · 2 + K, · 4 + KF · 8 1 4 K6 + KR · 3 + K, · 9 + KF · 27 1 2 K6 + KR'*1/ - K, · 1 - KF '*1/ 1 *2 Reescribiendo el sistema y ordenando variables se tiene. K6 - KR - K, - KF = 1 K6 - 2KR - 4K, - 8KF = 4 K6 - 3KR - 9K, - 27KF = 2 K6 * KR - K, * KF = *2 Esta ecuación presenta un sistema de ecuaciones lineales que puede ser resuelta por cualquier método, se presenta la forma matricial del sistema

÷1 11 2 1 14 81 31 *1 9 271 *2ø÷K6KRK,KFø 1 ÷ 142*2ø

Resolviendo el sistema se obtiene la solución: K6 1 * 52 1 *2.5; KR 1 94 1 2.25; K, 1 2; KF 1 * 34 1 *0.75 El polinomio de interpolación dado por los puntos '1, 1/; '2,4/; '3, 2/; '*1, *2/ es: MF'(/ 1 *2,5 - 2,25( - 2(, * 0,75(F MF'(/ 1 *0,75(F + 2(, + 2,25( * 2,5 Para mejor interpretación del problema, se presenta la grafica correspondiente Fig. 7.2.Fig. 7.2.Fig. 7.2.Fig. 7.2. Interpolación Interpolación Interpolación Interpolación de Lade Lade Lade Laggggrangerangerangerange Para la interpolación lineal se utiliza un segmento de recta que pasa por dos puntos conocidos, sean estos puntos M'(6, :6/ : M'(R, :R/ dichos puntos, luego la pendiente del segmento es: ` 1 :R * :6(R * (6 4 : 1 M'(/ 1 :6 - :R * :6(R * (6 '( * (6/

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 179 Aplicando propiedad distributiva: M'(/ 1 :6 - :R * :6(R * (6 ( * :R * :6(R * (6 (6 4 M'(/ 1 :R * :6(R * (6 ( + :6 * :R * :6(R * (6 (6 M'(/ 1 :R * :6(R * (6 ( + :6'(R * (6/ * (6':R * :6/(R * (6 Al �inal: M'(/ 1 :R * :6(R * (6 ( + :6(R * (6:R(R * (6 �. i. Es el polinomio de grado menor o igual a 1, que satisface que M'(6/ 1 :6 y M'(R/ 1 :R Otra forma de encontrar este polinomio fue propuesta por Lagrange de esta forma: : 1 MR'(/ 1 :6 - :R * :6(R * (6 '( * (6/ : 1 MR'(/ 1 :6 - ':R * :6/ ( * (6(R * (6 1 :R ( * (6(R * (6 + :6 * :6 ( * (6(R * (6 Luego : 1 MR'(/ 1 :R ( * (6(R * (6 + :6 p1 * ( * (6(R * (6q �.. Hallando mcm al término entre paréntesis y multiplicando por (-1) : 1 MR(() 1 :R ( * (6(R * (6 + :6 ( * (R(6 * (R öR,6'(/ 1 ( * (R(6 * (R : öR,R'(/ 1 ( * (6(R * (6 , los cuales son lineales MR'(/ 1 :6öR,6'(/ + :RöR,R'(/ Como: öR,6'(6/ 1 1, öR,6'(R/ 1 0, öR,R'(6/ 1 0, öR,R'(R/ 1 1, entonces MR'(6/ 1 :6öR,6'(6/ + :RöR,R'(6/ 1 :6 y MR'(R/ 1 :6öR,6'(R/ + :RöR,R'(R/ 1 :R Por lo tanto MR'(/ pasa por los puntos '(6, :6/ : '(R, :R/ Definición Definición Definición Definición 7777.2..2..2..2. Los términos öR,6'(/ 1 ( * (R(6 * (R : öR,R'(/ 1 ( * (6(R * (6 se de�inen como polinomios coe�icientes de Lagrange. De la definición anterior se tiene: MR'(6/ 1 Ç:Z öRZ'(/ '�. j. /R

ZÉ6 Cuando :Z 1 ;'(Z/, el proceso de utilizar MR'(/ para aproximar a ;'(/ en y(6, (Rz se conoce como interpolación lineal, (6, :6 reciben el nombre de nodos. Si ( ] (6 al proceso se le llama extrapolación.


Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7777....3.3.3.3. Considerando la función : 1 ;'(/ 1 {tT ( tT y0.2; 1z. Usar los nodos (6 1 0.2 y (R 1 1 para construir un polinomio de interpolación lineal MR'(/ y calcular ;(0.6). SoluciónSoluciónSoluciónSolución La gráfica de la función se visualiza en la figura 6.1 (6 1 0.2 :6 1 {tT 0.2 1 0.19866933 (R 1 1.0 :R 1 {tT 1.0 1 0.84147098

Se aplica la fórmula para hallar MR'(/

MR'(/ 1 :R( * (6(R * (6

- :6( * (R(6 * (R

MR'(/ 1 0.84147098 ( * 0.21.0 * 0.2 - 0.19866933 ( * 1.00.2 * 1.0

MR'(/ 1 1.051838725'( * 0.2/ * 0.248336662'( * 1.0/ Evaluando en ;'0.6/ se tiene: ;'0.6/ 1 1.051838725'0.6 * 0.2/ * 0.248336662'0.6 * 1.0/

;'0.6/ 1 1.051838725'0.4/ * 0.248336662'*0.4/ 1 0.42073549 - 0.099334664

;'0.6/ 1 0.520070154 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El valor verdadero de {tT ( en ;'0.6/ 1 0.564642473

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û0.564642473 * 0.5200701540.564642473 û 1 0.07893, �% 1 |�Å � 100%| 1 �. «ª%

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7777....4.4.4.4. Considerando la función : 1 ;'(/ 1 {tT ( tT y0.4, 0.8z. Usar los nodos (6 1 0.4 y (R 1 0.8 para construir un polinomio de interpolación lineal MR'(/ y calcular ;'0.6/. La gráfica de la función se visualiza en la figura '7.4./ SoluciónSoluciónSoluciónSolución (6 1 0.4 :6 1 {tT 0.4 1 0.389418342 (R 1 0.8 :R 1 {tT 0.8 1 0.71735609 Se aplica la fórmula para hallar MR'(/

MR'(/ 1 :R( * (6(R * (6

- :6( * (R(6 * (R

MR'(/ 1 0.71735609 ( * 0.40.8 * 0.4 - 0.389418342 ( * 0.8

0.4 * 0.8 MR'(/ 1 1.793390225'( * 0.4/ * 0.973545855'( * 0.8/


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Evaluando en ;'0.6/ se tiene: ;'0.6/ 1 1.793390225'0.6 * 0.4/ * 0.973545855'0.6 * 0.8/ ;'0.6/ 1 1.793390225'0.2/ * 0.973545855'*0.2/ 1 0.358678045 - 0.194709171 ;'0.6/ 1 0.553387216 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El valor verdadero de {tT ( en ;'0.6/ 1 0.564642473 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.564642473 * 0.5533872160.564642473 û 1 0.0199, �% 1 |�Å � 100%| 1 ©. ªª%

Fig. 7.3.Fig. 7.3.Fig. 7.3.Fig. 7.3. Fig. 7.4.Fig. 7.4.Fig. 7.4.Fig. 7.4. Conclusión:Conclusión:Conclusión:Conclusión: Analizando los dos ejemplos anteriores, se nota que el error se reduce al tomar dos puntos o nodos más próximos al punto a ser evaluado, en este caso ;'0.6/. De ahí que, tomando los nodos entre '0.2, 1.0/ el error es del 7,80%; al reducir el intervalo a '0.4; 0.8/ el error producido disminuyo a 1,99%.

De hecho, el error generado por este método es aún muy grande, se nota la diferencia al acercar los nodos al punto que se desea evaluar. Esto indica que este método no es el mejor a ser aplicado para construir un polinomio de interpolación.

En general si se tiene los T - 1 puntos (6, (R, (,, … , (P , y si ;'(Z/ = M'(Z/ para [ =0, 1, 2, 3, … , T el polinomio que pasa por esos T - 1 puntos es:

MP'(/ = Ç :Z öP,ZR

ZÉ6 �. Ì.

donde: öP,Z = '( * (6/'( * (R/ … '( * (ZQR/'( * (Z�R/ … '( * (P/'(Z * (6/'(Z * (R/ … '(Z * (ZQR/'(Z * (Z�R/'(Z * (P/

Notación mas compacta: öP,Z = ∏ '( * (ç/PçÉ6∏ '(Z * (ç/PçÉ6 �. .

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7.57.57.57.5.... Sea : = ;'(/ = {tT ( en el intervalo y0.2, 1z. Usando los nodos (6 = 0.2; (R = 0.5; (, = 1 construir el polinomio interpolador M,'(/ y calcular ;'6/. SoluciónSoluciónSoluciónSolución (6 = 0.2 :6 = {tT 0.2 = 0.198669 (R = 0.5 :R = {tT 0.5 = 0.479426 (, = 1.0 :, = {tT 1.0 = 0.841471


0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Se aplica la fórmula para hallar M,'(/, teniendo en cuenta que se tienen tres nodos M,'(/ 1 :6 '( * (R/'( * (,/'(6 * (R/'(6 * (,/ - :R '( * (6/'( * (,/'(R * (6/'(R * (,/ - :, '( * (6/'( * (R/'(, * (6/'(, * (R/ M,'(/ 1 0.198669 '( * 0.5/'( * 1/'0.2 * 0.5/'0.2 * 1/ - 0.479426 '( * 0.2/'( * 1/'0.5 * 0.2/'0.5 * 1/ - 0.841471 '( * 0.2/'( * 0.5/'1 * 0.2/'1 * 0.5/ M,'(/ 1 0.198669 '( * 0.5/'( * 1/0.24 - 0.479426 '( * 0.2/'( * 1/*0.15 - 0.841471 '( * 0.2/'( * 0.5/0.4 M,'(/ 1 0.82779 '( * 0.5/'( * 1/ * 3.19617'( * 0.2/'( * 1/ - 2.10368'( * 0.2/'( * 0.5/ M,'(/ 1 0.82779 ( '(, * 1,5( - 0.5/ * 3.19617'(, * 1.2( - 0.2/ - 2.10368'(, * 0.7( - 0.1/ M,'(/ 1 0.82779(, * 1.241685( - 0.413895 * 3.19617(, - 3.835404( * 0.639234 - 2.10368(, * 1.472576( - 0.210368 M,'(/ 1 *0.2647(, - 1.121143( * 0.014971 M,'0.6/ 1 *0.2647'0.6/, - 1.121143 '0.6/ d 0.014971 M,'0.6/ 1 *0.095292 - 0.6726858 * 0.014971 1 @. Ìijii« Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El valor verdadero de {tT ( en ;'0.6/ 1 0.564642473 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.56464247 * 0.5624230.564642473 û 1 3.93 � 10QF, �% 1 |�Å � 100%| 1 @.ª% Observación: Observación: Observación: Observación: en la figura '7.5/ se tienen las dos funciones superpuestas en el intervalo estudiado, la función {tT ( y el polinomio de interpolación M,'(/ M,'(/ {tT (

Fig. 7.5.Fig. 7.5.Fig. 7.5.Fig. 7.5. Ejemplo 7.6Ejemplo 7.6Ejemplo 7.6Ejemplo 7.6.... Sea : = ;'(/ = {tT ( en el intervalo y0.2,1z. Usando los nodos (6 = 0.2; (R 1 0.5; (, 1 1 construir el polinomio interpolador M,'(/ y calcular ;'6/. SoluciónSoluciónSoluciónSolución En este problema la solución se planteará de manera diferente, pero igualmente utilizando la formula de Lagrange. Los nodos a ser utilizados son: (6 = 0.2 :6 = ;'(6/ = {tT 0.2 = 0.198669 (R = 0.5 :R = ;'(R/ = {tT 0.5 = 0.479426 (, = 1.0 :, = ;'(,/ = {tT 1.0 = 0.841471


�6'(/ 1 '( * (R/'( * (,/'(6 * (R/'(6 * (,/ 1 '( * 0.5/'( * 1.0/'0.2 * 0.5/'0.2 * 1/ 1 (, * 1.5( - 0.50.24 �R'(/ 1 '( * (6/'( * (,/'(R * (6/'(R * (,/ 1 '( * 0.2/'( * 1.0/'0.5 * 0.2/'0.5 * 1/ 1 (, * 1.2( - 0.2*0.15 �6'(/ 1 '( * (6/'( * (R/'(, * (6/'(, * (R/ 1 '( * 0.2/'( * 0.5/'1.0 * 0.2/'1.0 * 0.5/ 1 (, * 0.7( - 0.10.4 Luego: M,'(/ 1 ;'(6/�6 - ;'(R/�R - ;'(,/�, M,'(/ 1 0.198669 �(, * 1.5( - 0.50.24 � - 0.479426 �(, * 1.2( - 0.2*0.15 � - 0.841471 �(, * 0.7( - 0.10.4 � Resolviendo se tiene: M,'(/ 1 *0.2647(, - 1.121143( * 0.014971

Observación: Observación: Observación: Observación:

Este procedimiento plantea la resolución por parte, que a veces resulta práctico por lo que se

hacen resoluciones más cortas y la posibilidad de error en el proceso de resolución disminuye.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7.77.77.77.7....

Sea : 1 ;'(/ 1 {tT ( en el intervalo y0.2; 1z. Usando los nodos (6 1 0.2; (R 1 0.4; (, 1

0.8; (F 1 1 construir el polinomio interpolador MF'(/ y calcular ;'6/.


(6 1 0.2 :6 1 {tT 0.2 1 0.198669

(R 1 0.4 :R 1 {tT 0.4 1 0.389418

(, 1 0.8 :, 1 {tT 0.8 1 0.717356

(F 1 1.0 :F 1 {tT 1.0 1 0.841471

Se aplica la fórmula para hallar MF'(/, teniendo en cuenta que se tienen cuatro nodos

MF'(/ 1 :6

'( * (R/'( * (,/'( * (F/

'(6 * (R/'(6 * (,/'(6 * (F/- :R

'( * (6/'( * (,/'( * (F/

'(R * (6/'(R * (,/'(R * (F/

-:,

'( * (6/'( * (R/'( * (F/

'(, * (6/'(, * (R/'(, * (F/- :F

'( * (6/'( * (R/'( * (,/

'(F * (6/'(F * (R/'(F * (,/

MF'(/ 1 :6

'( * 0.4/'( * 0.8/'( * 1/

'0.2 * 0.4/'0.2 * 0.8/'0.2 * 1/- :R

'( * 0.2/'( * 0.8/'( * 1/

'0.4 * 0.2/'0.4 * 0.8/'0.4 * 1/

-:,

'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 1/

'0.8 * 0.2/'0.8 * 0.4/'0.8 * 1/- :F

'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 0.8/

'1 * 0.2/'1 * 0.4/'1 * 0.8/

MF'(/ 1 0.198669'( * 0.4/'( * 0.8/'( * 1/

*0.096- 0.389418

'( * 0.2/'( * 0.8/'( * 1/

0.048

-0.717356'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 1/

*0.048- 0.841471

'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 0.8/

0.096

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 184 MF'(/ 1 *2.069469'( * 0.4/'( * 0.8/'( * 1/ - 8.112875'( * 0.2/'( * 0.8/'( * 1/ *14.944917'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 1/ - 8.765323'( * 0.2/'( * 0.4/'( * 0.8/ MF'(/ 1 *2.069469'(F * 2.2(, - 1.52( * 0.32/ - 8.112875'(F * 2(, - 2.6( * 1.6/ *14.944917'(F * 1.6(, - 0.68( * 0.08/ - 8.765323'(F * 1.4(, - 0.56( * 0.064/ Resolviendo MF'(/ 1 *0.136188(F * 0.032504(, - 1.01138( * 0.001217 Evaluando la función en ;'6/ se tiene: MF'(/ 1 *0.136188'0.6/F * 0.032504'0.6/, - 1.01138'0.6/ * 0.001217 MF'(/ 1 *0.0294166 * 0.01170144 - 0.606828 * 0.001217 1 0.564493 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error El valor verdadero de {tT ( en ;'0.6/ 1 0.564642473 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.56464247 * 0.5644930.56464247 û 1 0.00027, �% 1 |�Å � 100%| 1 @. @i�% Ejemplo 7.Ejemplo 7.Ejemplo 7.Ejemplo 7.8888.... Determinar el polinomio de interpolación usando la formula de interpolación de Lagrange y calcular una aproximación para ;'2/ según la siguiente tabla:

( *1 0 2 ( 8 3 *1

SoluciónSoluciónSoluciónSolución A partir de la tabla se tiene que las siguientes expresiones: (6 = *1 ;6 = ;'(6/ = 8 (R = 0 ;R = ;'(R/ = 3 (, = 2 ;, = ;'(,/ = *1 El polinomio de interpolación será de grado T = 2. El polinomio de interpolación de la formula de Lagrange está dada por:

M,'(/ = Ç ;Z�Z'(/,

ZÉ6

Se determinan los polinomios �Z'(/,

�6'(/ = '( * (R/'( * (,/'(6 * (R/'(6 * (,/ = '( * 0/'( * 2/

'*1 * 0/'*1 * 2/ = (, * 2(3

�R'(/ = '( * (6/'( * (,/'(R * (6/'(R * (,/ = '( * '*1//'( * 2/

'0 * '*1//'0 * 2/ = (, * ( * 2*2

�6'(/ = '( * (6/'( * (R/'(, * (6/'(, * (R/ = '( * '*1//'( * 0/

'2 * '*1//'2 * 0/ = (, - (6


-1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Luego se aplica M,'(/ 1 ;'(6/�6'(/ - ;'(R/�R'(/ - ;'(,/�,'(/ M,'(/ 1 8 J(, * 2(3 K - 3 J(, * ( * 2*2 K - '*1/ J(, - (6 K Se multiplica la ecuación por 6 y se resuelve 6 � M,'(/ 1 16y(, * 2(z * 9y(, * ( * 2z * y(, - (z 6 � M,'(/ 1 16(, * 32( * 9(, - 9( - 18 * (, * ( 1 6(, * 24( - 18 6 � M,'(/ 1 6(, * 24( - 18 > M,'(/ 1 (, * 4( - 3 Una aproximación de ;'2/ está dada por M,'2/. Usando el algoritmo de Ruffini se tiene: 1 * 4 3 2 2 * 4

1 * 2 * © Luego ;'2/ � M,'2/ 1 *© La forma usada comúnmente para evaluar funciones es la sustitución directa. M,'(/ 1 (, * 4( - 3 > M,'2/ 1 2, * 4 · 2 - 3 1 4 * 8 - 3 1 *© Igualmente se obtiene el mismo resultado, o sea: ;'2/ � M,'2/ 1 *© Fig. 7.6.Fig. 7.6.Fig. 7.6.Fig. 7.6. Error en la interpolaciónError en la interpolaciónError en la interpolaciónError en la interpolación

El polinomio de interpolación MP'(/ para una función : 1 ;'(/ sobre un conjunto de puntos distintos (6, (R, (,, … , (P cumple la propiedad MP'(Z/ 1 ;'(Z/, [ 1 0, 1, 2, … , T

En los puntos (Ä X (Z no siempre es verdadero que MP'(Ä/ 1 ;'(Ä/. Para evaluar ;'(/ en los puntos (Ä X (Z , [ 1 0,1,2, … , T se considera MP'(/ como una aproximación para la función : 1 ;'(/ en un cierto intervalo que contangan los puntos (6, (R, (,, … , (P y se calcula ;'(Ä/ a través de MP'(Ä/. Lema 7.Lema 7.Lema 7.Lema 7.5555.... Teorema de RolleTeorema de RolleTeorema de RolleTeorema de Rolle Sea ;'(/ continua en yK, Lz es diferenciable en cada punto de 'K, L/. Si ;'K/ 1 ;'L/, entonces existe un punto ( 1 Ï, K ] Ï ] L, tal que ;,'Ï/ 1 0.18 18 Franco, Neide. Cálculo Numérico (formato Digital). Pág. 288


Lema 7.Lema 7.Lema 7.Lema 7.6666.... Teorema generalizado de RolleTeorema generalizado de RolleTeorema generalizado de RolleTeorema generalizado de Rolle Sea T \ 2. Suponiendo que ;'(/ sea continua en yK, Lz y que ;'PQR/'(/ exista en cada punto de 'K, L/. Suponiendo que ;'(R/ 1 ;'(,/ 1 S 1 0 para K n (R ] (, ] S ] (P n L. Entonces existe un punto Ï, (R ] Ï ] (P, tal que ;'PQR/'Ï/ 1 0. Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.7777. Teo. Teo. Teo. Teorema del término de errorrema del término de errorrema del término de errorrema del término de error Sea ;'(/ continua en yK, Lz y suponiendo que ;'PQR/'(/ exista en cada punto de 'K, L/. Si K n (R ] (, ] S ] (P n L. Entonces �P';; (/ 1 ;'(/ * MP';; (/ 1 '( * (6/… '( * (P/'T - 1/! ;'P�R/'Ï/, �. �. Donde min ^(, (6, (R, … , (P_. El punto Ï depende de (. 19 Este teorema es más teórico que práctico. En la práctica, para estimar el error cometido al aproximar el valor de una función en un punto por su polinomio de interpolación, se utiliza el siguiente corolario: �P';; () 1 ;'() * MP';; (). Si ;'() y sus derivadas hasta de orden T - 1 son continuas en yK, Lz, entonces: �P';; () n |'( * (6)'( * (R) … '( * (P)|'T - 1)! maxgP�Pf� ;'P�R)'v)� '�. «. ) Ejemplo 7.Ejemplo 7.Ejemplo 7.Ejemplo 7.9999.... Sea la tabla: ( 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 tFu 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817 Calcular un límite superior para el error de truncamiento cuando se evalúa en ;'0.25/ Usando polinomio de interpolación de segundo grado. Solución

�,';; (/ n |'( * (6/'( * (R/'( * (,/|'3/! maxu6P�Pu7| ;,,,'v/|. '7.5. /

Con ;'v/ 1 v tF�, se tiene: ;,'�) 1 tF� - 3v tF� 1 tF�'1 - 3v/, ;,,'�/ 1 3tF�'1 - 3v/ - 3 tF� 1 6tF� + 9 v tF�, ;,,,'�/ 1 18tF� - 9 tF� + 27 v tF� 1 27 tF�'1 - v/, El problema desea estimar el valor de la función ( tFu en el punto 0.25 usando polinomio de segundo grado, para eso, se debe tomar tres puntos consecutivos en la vecindad de 0.25. Se toman los puntos (6 1 0.2; (R 1 0.3; (, 1 0.4, y se obtiene: maxu6P�Pu7| ;,,,(v)| 1 27 tF�'1 - v/ 1 27 tF'6.)/'1 - 0.4/ 1 125.4998 19 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 288.


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Con estos cálculos realizados previamente, existen condiciones para calcular un límite superior para el error de truncamiento. Aplicando '7.5./ se tiene: �,';; (/ n |'( * (6/'( * (R/'( * (,/|'3/! maxu6P�Pu7| ;,,,'v/| �,';; (/ n |'0.25 * 0.2)(0.25 * 0.3)(0.25 * 0.4/|6 '125.4998/ � 0.0078 � 8 · 10QF Al tomar un polinomio de segundo grado para evaluar la función en ;'0.25), se obtiene el resultado con dos cifras decimales exactas. La cantidad de ceros después del punto decimal en el cálculo de error, genera el numero de cifras decimales correctas que se tendrá en la aproximación. Si se hubieran tomado los puntos (6 1 0.1; (R 1 0.2; (, 1 0.3, se hubiera obtenido el valor �,';; (/ � 0.0054 � 5 · 10QF, lo que implica que se sigue teniendo las dos cifras decimales correctas en la aproximación. Así, tomando valores hacia la izquierda o hacia la derecha del punto a evaluar, igualmente el error será del mismo orden de magnitud. Grafica en el mismo plano de la función tF� y su polinomio de interpolación de segundo grado. M'(/ 1 11.15(, - 0.8( - 1.22 tF� Fig. 7.7.Fig. 7.7.Fig. 7.7.Fig. 7.7. Puntos igualmente espaciadosPuntos igualmente espaciadosPuntos igualmente espaciadosPuntos igualmente espaciados Cuando los puntos (�, son igualmente espaciados de 9 X 0, esto es: (��R * (� 1 9, � 1 0,1, … , T * 1, donde 9 es un número fijo. Se determina una forma del polinomio de interpolación y de error, en términos de una variable à, definida así: à 1 ( * (�9 '�. ª. / En función de la variable à, se tienen los siguientes teoremas. Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.8888.... Para ¨ enteros, no negativos, ( * (Å 1 'à * ¨/9. 20 20 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 292.


Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.Teorema 7.9999.... Para ¨ y { enteros, no negativos, (Å * (í 1 '¨ * {/9. 21 Usando los teoremas 7.8. y 7.9. se obtiene

MP'(6 - à9/ 1 Ç;ZPZÉ6

à'à * 1/ … Gà * '[ * 1/I'à * '[ + 1// … 'à * T/['[ * 1/ … G[ * '[ * 1/IG[ * '[ + 1/I … '[ * T/ �. ©@. Que es la fórmula de Lagrange de polinomio de interpolación igualmente espaciados de 9 X 0. Esta forma de polinomio interpolación es particularmente útil en la determinación de integración numérica de funciones. Se sustituye ( * (Å �~¨ 'à * ¨/9 en �P';; (/ 1 ;'(/ * MP';; (/ 1 '( * (6/… '( * (P/'T - 1/! ;'P�R/'Ï/, se obtiene: �P'(/ 1 �P'(6 + à9/ 1 à'à * 1/ … 'à * T/ 9P�R'T + 1/! ;'P�R/'Ï/, Donde: min'(, (6, … , (P/ n Ï n max((, (6, … , (P) El polinomio de interpolación para ;((){~L¨t T - 1 �àTv~{ (6, (R, (,, … , (P se escribe en términos de à 1 uQu6

: , como:

MP'(6 - à9/ 1 Ç ÒZ'à/;ZP

ZÉ6 '�. ©@. /

ÒZ'à/ 1 à'à * 1/ … Gà * '[ * 1/I'à * '[ + 1// … 'à * T/['[ * 1/ … G[ * '[ * 1/IG[ * '[ + 1/I … '[ * T/ '�. ©©. / Ejemplo 7.10Ejemplo 7.10Ejemplo 7.10Ejemplo 7.10

Dada la siguiente tabla:

( 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

tFu 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817

a) Calcular ;'() 1 ( tFu en el punto ( 1 0.25 usando polinomio de interpolación

sobre tres puntos.

b) Hallar un límite superior para el error de truncamiento.


Inicialmente se escogen tres puntos apropiados en la tabla dada y a continuación se

construye la tabla de ;'() 1 ( tFu. Sean entonces: (6 1 0.2, (R 1 0.3, (, 1 0.4.

a)

( 0.2 0.3 0.4

;'() 1 ( tFu 0.3644 0.7379 1.3280

21 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 292.


Aplicando la fórmula: ÒZ'à/ 1 à'à * 1/ … Gà * '[ * 1/I'à * '[ - 1//… 'à * T/['[ * 1/… G[ * '[ * 1/IG[ * '[ + 1/I… '[ * T/ '�. ©i. /

Ò6'à/ 1 'à * 1/'à * 2/'0 * 1/'0 * 2/ 1 à, * 3à - 2

2

ÒR'à/ 1 à'à * 2/1'1 * 2/ 1 à, * 2à

*1

Ò,'à/ 1 à'à * 1/2'2 * 1/ 1 à, * à

2 Usando MP'(6 - à9/ 1 ∑ ÒZ'à/;ZPZÉ6 '�. ©i. /

M,'(6 - à9/ 1 Ç ÒZ'à/;Z,

ZÉ6 '�. ©. /

M,'(6 - à9/ 1 '0.3644/ à, * 3à - 22 - '0.7379/ à, * 2à

*1 - '1.3280/ à, * à2

Agrupando términos y resolviendo se tiene:

M,'(6 - à9/ 1 0.1083à, - 0.2652à - 0.3644

Se desea calcular ;'0.25/

à 1( * (69 1

0.25 * 0.2

0.11 0.5

Usando el algoritmo de Ruffini

0.1083 * 0.2652 0.3644 0.5 0.0542 0.1597

0.1083 0.3194 0.5241

Entonces M,'0.5/ 1 0.5241 X ;'0.25/

De �P'(/ 1 �P'(6 - à9/ 1 à'à * 1/ … 'à * T/:.R�

'P�R/! ;'P�R/'Ï/, se tiene:

�,'à/ 1 à'à * 1/'à * 2/9F

3! ;,,,'Ï/,

De: �P';; (/ n|'uQu6/'uQu�/…'uQu./|

'P�R/! maxgP�Pf� ;'P�R/'v/�

�,'à/ n |à'à * 1/'à * 2/|9F

3! max6.,P�P6.)

| ;,,,'v/|.

Donde à 1 0.5, 9 1 0.1 > 9F 1 0.001 y por el ejemplo '7.7. / se tiene que:

;,,,'v/ 1 27 tF�'1 - v/ > `K(6.,P�P6.)

| ;,,,'v/| 1 125.4988

Por tanto:

�,'à/ n |0.5||0.5 * 1||0.5 * 2|0.001

6 � '5.066 1 0.0078 � 10QF

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 190 ObservacionesObservacionesObservacionesObservaciones a/ Si se compara el valor obtenido para ;'0.25/ con el valor exacto se verificará que el

resultado está con dos cifras decimales correctas.

b/ El polinomio de interpolación obtenido en este ejemplo está en función de la variable à. Por lo tanto no es posible verificar si el valor del polinomio en los puntos tabulados coincide con el valor de la función en esos puntos. Como la función es creciente en el intervalo y0.2; 0.4z, el valor para ;'0.25/ debe estar entre y0.3644; 0.7379z.

Cuando se conoce la expresión analítica de la función, el termino del resto genera una estimación sobre el numero de cifras decimales correctas que se puede obtener en la aproximación. La aplicación de la formula de termino del resto es útil cuando se desea el resultado con una precisión prefijada. Diferencias DivididasDiferencias DivididasDiferencias DivididasDiferencias Divididas Hay dos desventajas al usar el polinomio de Lagrange para interpolación.

a/ Implican más operaciones aritméticas que el método de diferencias divididas 'método a ser analizada a continuación/.

b/ Si se desea sumar o restar un punto del conjunto usado para obtener el polinomio, esencialmente debe iniciarse de nuevo el proceso.

El método de diferencias divididas es económico en cuanto a los cálculos aritméticos realizados en el proceso. Es importante notar que, tanto por el método de Lagrange como por el método de diferencias divididas no se consiguen resultados diferentes, solamente en la economía de los procesos de cálculo. Definición 7.Definición 7.Definición 7.Definición 7.3333.... 22222222 Sean (6, (R, . . . , (,, … , (P, T + 1 puntos distintos en el interbvalo yK, Lz y sean ;6, ;R, . . . , ;P, T +1 valores de una función : 1 ;'(/{~L¨t ( 1 (Z , [ 1 0,1, … , T. Se define: ;y(Zz 1 ;'(Z/, [ 1 0,1,2, … , T ;y(6, (R, … , (Pz 1 ;y(R, (,, … , (Pz * ;y(6, (R, … , (PQRz(P * (6 '�. ©j. / Donde ;y(6, (R, … , (Pz es la diferencia dividida de orden T de la función ;'(/ sobre los puntos (6, (R, (,, … , (P. Usando la definición de diferencia dividida se tiene: ;y(6, (Rz 1 ;y(Rz * ;y(6z(R * (6 ;y(6, (R, (,z 1 ;y(R, (,z * ;y(6, (Rz(, * (6 ;y(6, (R, (,, (Fz 1 ;y(R, (,, (Fz * ;y(6, (R, (,z(F * (6 22 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 297.

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 191 Al segundo miembro de cada ecuación precedente se debe aplicar sucesivamente la definición de diferencia dividida hasta que los cálculos involucren solamente el valor de la función en los puntos, o sea:

;y(6, (R, (,z 1 ;y(R, (,z * ;y(6, (Rz(, * (6 1 ;'(,/ * ;'(R/(, * (R * ;'(R/ * ;'(6/(R * (6(, * (6 '�. ©Ì. / Existe una forma más simple y organizada para calcular las diferencias divididas de una función, es construyendo una tabla de diferencias divididas.

(6 ;y(�z æ(� , (çè ;æ(� , (ç , (Zè (6 (R (, (F () . . .

;y(6z ;y(Rz ;y(,z ;y(Fz ;y()z . .

;y(6, (Rz 1 ;y(Rz * ;y(6z(R * (6 ;y(R, (,z 1 ;y(,z * ;y(Rz(, * (R ;y(,, (Fz 1 ;y(Fz * ;y(,z(F * (, ;y(F, ()z 1 ;y()z * ;y(Fz() * (F . . .

;y(6, (R, (,z 1 ;y(R, (,z * ;y(6, (Rz(, * (6

… ;y(R, (,, (Fz 1 ;y(,, (Fz * ;y(R, (,z(F * (R

… ;y(,, (F, ()z 1 ;y(F, ()z * ;y(,, (Fz() * (,

… . . . a/ La primera columna está constituida por los puntos (Z , [ 1 0,1,2, … , T; b/ La segunda columna contiene los valores de ;'(/ en los puntos (Z , [ 1 0,1,2, … , T; c/ La siguientes columnas 3, 4, 5, …, están las diferencias divididas de orden 1, 2, 3, … cada

una de estas diferencias es una función cuyo numerados es siempre la diferencia entre dos

diferencias consecutivas y de orden inmediatamente inferior y cuyo denominador es la

diferencia entre los dos extremos de los puntos considerados.


Construir la tabla de diferencia dividida de la siguiente función presentada en la tabla.

( *2 *1 0 1 2

;'() *2 29 30 31 62


Usando la tabla de diferencia divida se tiene:

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 192 (6 ;y(�z æ(�, (çè ;æ(�, (ç, (Zè ;y(�, … , (Sz ;y(�, … , (bz

*2 *1 0 1 2

*2 29 30 31 62

20 * '*2/*1 * '*2/ 1 31

30 * 290 * '*1/ 1 1

31 * 301 * 0 1 1

62 * 312 * 1 1 31

1 * 310 * '*2/ 1 *15

1 * 11 * '*1/ 1 0

31 * 12 * 0 1 15

0 * '*15/1 * '*2/ 1 5

15 * 02 * '*1/ 1 5

5 * 52 * '*2/ 1 0

Fórmula de Fórmula de Fórmula de Fórmula de NNNNewtonewtonewtonewton Para obtener la formula de Newton de polinomio de interpolaciones necesario definir algunas funciones. En principio la función ;'(/ debe ser continua y que tenga derivada continua en el intervalo [a, b], además de eso, que los puntos x0, x1, …, xn sean distintos en [a, b]. Las funciones se definen de la siguiente manera. '1/ ;y(6, (z 1 ;y(z * ;y(6z( * (6 , de�inida en yK, Lz, para ( X 0 '2/ ;y(6, (R, (z 1 ;y(6, (z * ;y(6, (Rz( * (R , de�inida en yK, Lz, para ( X (6 y ( X (R 'T + 1/ ;y(6, (R, … , (P, (z 1 ;y(6, (R, … , (PQR, (z * ;y(6, (R, … , (Pz( * (P , de�inida en yK, Lz, para ( X (Z , [ 1 0, 1, 2, … , T

En las funciones definidas precedentemente, se producen aumentos sucesivos, en la diferencia divida o el próximo punto de la tabla. En todos los casos se aplican el corolario de diferencias divididas.

Corolario 7.10. Corolario 7.10. Corolario 7.10. Corolario 7.10. Las diferencias divididas de orden k de una función ;'(/, satisfacen: ;y(6, (R, … , (Zz 1 ;y(6z'(6 * (R/'(6 * (,/… '(6 * (Z/ - + ;y(Rz'(R * (6/'(R * (,/ … '(R * (Z/ + ;y(Zz'(Z * (6/'(Z * (R/ … '(Z * (Z/

Este corolario afirma que se puede usar cualquier par de puntos para construir la diferencia dividida de una función, y no necesariamente el primero y el último.


A partir de este punto corresponde buscar una fórmula de recurrencia para ;'(/.... De la formula (1) se obtiene: ;'(/ 1 ;y(6z - '( * (6/;y(6, (z De la formula (2) y usando la formula (1), se tiene: ;y(6, (R, (z'( * (6/ 1 ;y(6, (z * ;y(6, (Rz

;y(6, (R, (z'( * (6/ 1 ;y(z * ;y(6z( * (6 * ;y(6, (Rz

;'(/ 1 ;y(6z - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (z De forma parecida, de (n+1) se obtiene: ;'(/ 1 ^;y(6z - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z -'( * (6/'( * (R/'( * (,/;y(6, (R, (,, (Fz - S -'( * (6/'( * (R/ … '( * (PQR/;y(6, (R, … , (Pz_R -'( * (6/'( * (R/… '( * (P/;y(6, (R, … , (P, (z_, De esta manera se tiene una formula de recurrencia para f(x). MP 1 ;y(6z - '( * (6/;y(6, (Rz - S- '( * (6/… '( * (PQR/;y(6, (R, … , (Pz 1 ^… _R Es el polinomio de interpolación de la función y = f(x) sobre los puntos (6, (R, … , (P, esto es MP'(Z/ 1 ;'(Z/, [ 1 0, 1, … , T Luego: MP'(/ 1 ;'(6/ - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z - S -'( * (6/'( * (R/… '( * (PQR/;y(6, (R, … (Pz 1 ^… _R Esta es la fórmula de Newton de polinomios de interpolación.

La expresión: �P 1 '( * (6/'( * (R/… '( * (P/;y(6, (R, … , (P, (z 1 ^… _, Corresponde a la fórmula del término del resto o error de truncamiento.

Este error de truncamiento es la misma de la formula de Lagrange. Ejemplo 7.12.Ejemplo 7.12.Ejemplo 7.12.Ejemplo 7.12.

a) Hallar el polinomio de interpolación de Newton. b) Calcular ;'1/ usando el polinomio de interpolación.

x -1 0 3

f(x) 15 8 -1


Solución:Solución:Solución:Solución: (6 1 *1 ;6 1 ;'(6/ 1 15 (R 1 0 ;R 1 ;'(R/ 1 8 (, 1 3 ;, 1 ;'(,/ 1 *1

a) Teniéndose tres pares de puntos, en el polinomio de interpolación de Newton, n=2n=2n=2n=2 M,'(/ 1 ;'(6/ - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z

Se construye la tabla de diferencias divididas:

;y(6z ;y(6, (Rz ;y(6, (R, (,z

0 1 2

( ;'(/

-1

0

3

15151515

8

-1

----7777

-3

1111

Por lo tanto, de: M,'(/ 1 ;'(6/ - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z

Se tiene: M,'(/ 1 15 - y '( * '*1/ z'*7/ - y'( * '*1/z'( * 0/ '1/

Agrupando términos semejantes y resolviendo: M,'(/ 1 (, * 6( - 8

b) Aplicando directamente ;'1/ al polinomio M,'(/, se tiene: M,'(/ 1 (, * 6( - 8 ó M,'1/ 1 1, * 6.1 - 8 1 3

El polinomio de interpolación es único, debe recordarse que este resultado es aproximado, o sea ;'1/ � 3, si se resolviera por la formula de Lagrange se puede obtener el mismo resultado. O sea, ;'1/ � 3 Ejemplo 7.13Ejemplo 7.13Ejemplo 7.13Ejemplo 7.13:

1) Hallar: a) el polinomio de interpolación de Newton. b) Calcular ;'3/ usando el polinomio de interpolación.

x 0 0,5 1

f(x) -1 1 4 Solución:Solución:Solución:Solución: (6 1 0 ;6 1 ;'(6/ 1 *1 (R 1 0,5 ;R 1 ;'(R/ 1 1 (, 1 1 ;, 1 ;'(,/ 1 4

b) Teniéndose tres pares de puntos, en el polinomio de interpolación de Newton n=2n=2n=2n=2 M,'(/ 1 ;y(6z - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z

Se construye la tabla de diferencias divididas:

;y(6z ;y(6, (Rz ;y(6, (R, (,z 0 1 2

x f(x) 0

0,5

1

----1111

1

4

4444

6

2222


Por lo tanto, de: M,'(/ 1 ;y(6z - '( * (6/;y(6, (Rz - '( * (6/'( * (R/;y(6, (R, (,z Se tiene: M,'(/ 1 '*1/ - '( * 0/ '4/ - '( - 0/ '( * 0,5/ '2/

M,'(/ 1 *1 - 4( - 2(, * ( Agrupando términos semejantes y resolviendo: M,'(/ 1 2(, - 3( * 1

Aplicando directamente ;'3/ al polinomio M,'(/, se tiene: M,'(/ 1 2(, - 3( * 1 ó M,'3/ 1 2.3, - 3.3 * 1 1 26 Diferencias ordinariasDiferencias ordinariasDiferencias ordinariasDiferencias ordinarias

Existen formulas más simples para polinomios de interpolación cuando los valores de (� son igualmente espaciados con 9 X 0. Definición 7.4.Definición 7.4.Definición 7.4.Definición 7.4. Sean (6, (R, . . . , (,, … , (P, T - 1 puntos distintos en el intervalo yK, Lz tales que (��R * (� 19, � 1 0, 1, . . . , T * 1 y sean ;6, ;R, . . . , ;P, T - 1 valores de una función : 1 ;'(/sobre ( 1 (Z ,[ 1 0, 1, … , T. Se define: ∆6;'(Z/ 1 ;'(Z/ ∆Å;'(Z/ 1 ∆ÅQR;'(Z - 9/ * ∆ÅQR;'(Z/ '�. ©. / Donde ∆Å;'(Z/ es la diferencia ordinaria de ;'(/ de orden ¨ en ( 1 (Z

Usando la definición de diferencia ordinaria se tiene: ∆6;'(Z/ 1 ;'(Z/ ∆R;'(Z/ 1 ∆6;'(Z - 9/ * ∆6;'(Z/ 1 ;'(Z - 9/ * ;'(Z/ ∆,;'(Z/ 1 ∆R;'(Z - 9/ * ∆R;'(Z/ 1 ∆6;'(Z - 29/ * ∆6;'(Z - 9/ * ∆6;'(Z - 9/ - ∆6;'(Z/ 1 ;'(Z - 29/ * 2;'(Z - 9/ - ;'(Z/ ∆F;'(Z/ 1 ;'(Z - 39/ * 3;'(Z - 29/ - 3;'(Z - 9/ * ;'(Z/

å

∆Å;'(Z/ 1 a0̈c ;'(Z - ¨9/ * a1̈c ;'(Z - '¨ * 1/9/ - S - '*1Å/ a¨̈c ;'(Z/

Por lo tanto

∆Å;'(Z/ 1 Ç'*1/�Å

�É6a�̈c ;'(Z - '¨ * �/9/, donde: a�̈c 1 ¨!

�! '¨ * �/! Estas expresiones permiten calcular las diferencias ordinarias de una función de una manera más simple.


Tabla de diferencia ordinariaTabla de diferencia ordinariaTabla de diferencia ordinariaTabla de diferencia ordinaria ( ;'(/ ΔR Δ,

(6 (R (, (F () å

Δ6;'(6/ 1 ;6

Δ6;'(R/ 1 ;R

Δ6;'(,/ 1 ;,

Δ6;'(F/ 1 ;F

Δ6;'()/ 1 ;) å

ΔR;'(6/ 1 Δ6;'(R/ * Δ6;'(6/

ΔR;'(R/ 1 Δ6;'(,/ * Δ6;'(R/

ΔR;'(,/ 1 Δ6;'(F/ * Δ6;'(,/

ΔR;'(F/ 1 Δ6;'()/ * Δ6;'(F/

Δ,;'(6/ 1 ΔR;'(R/ * ΔR;'(6/

Δ,;'(R/ 1 ΔR;'(,/ * ΔR;'(R/

Δ,;'(,/ 1 ΔR;'(F/ * ΔR;'(,/

a) La primera columna está constituida por los puntos (� , � 1 0,1,2, … , T b) La segunda columna contiene los valores de ;'(/ en los puntos (� , � 1 0,1,2, … , T c) Las siguientes columnas (3, 4, 5,…) contienen las diferencias ordinarias de orden

1, 2, 3, … , T. Cada una de estas diferencias es simplemente la diferencia entre dos diferencias ordinarias consecutivas y de orden inmediatamente inferior.

Ejemplo 7.14.Ejemplo 7.14.Ejemplo 7.14.Ejemplo 7.14. Construir la tabla de diferencias ordinarias de la siguiente función tabulada. ( *2 *1 0 1 2

;'(/ *2 29 30 31 62

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Usando la tabla de diferencia ordinaria se tiene: (Z ;'(/ ΔR;'(Z/ Δ,;'(Z/ ΔF;'(Z/ Δ,;'(Z/

*2 *1 0

1

2

*2 29 30 31 62

29 * '*2/ 1 31

30 * 29 1 1

31 * 30 1 1

62 * 31 1 31

1 * '*31/ 1 31

1 * 1 1 0

31 * 1 1 30

0 * '*30/ 1 30

31 * 1 1 30

30 * 30 1 0


Teorema 7.11. Teorema 7.11. Teorema 7.11. Teorema 7.11. 23232323 Sea (Z 1 (Z - 9[; [ 1 0, 1, 2, . . , T, entonces

;y(6, (R, … , (Pz 1 ΔR;'(6/9P · T!

Formula de NewtonFormula de NewtonFormula de NewtonFormula de Newton----GregoryGregoryGregoryGregory Para puntos igualmente espaciado se puede usar una variante de la formula de Newton, conocida como fórmula de Newton – Gregory. MP'(/ 1 ;'(6/ - '( * (6/TR;'(6/

9 - '( * (6/'( * (R/T,;'(6/9,. 2! - S

-'( * (6/'( * (R/ … '( * (PQR/TP;'(6/9P. T! '�. ©�. /

Ejemplo 7.15.Ejemplo 7.15.Ejemplo 7.15.Ejemplo 7.15. Determinar el polinomio de interpolación de Newton – Gregory dada en la siguiente tabla. ( *1 0 1 2

;'(/ 3 3 *1 0

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Partiendo de la tabla se tiene que T 1 3 Se construye la tabla de diferencias ordinarias: ( ;'(/

*1 0 1 2

¤

3 *2 1 0 *2 3 *1 3 1 0

Luego se aplica la formula de Newton – Gregory

MF'(/ 1 ;'(6/ - '( * (6/ TR;'(6/9

- '( * (6/'( * (R/ T,;'(6/9,. 2! -'( * (6/'( * (R/ … '( * (,/ TF;'(6/

9F. 3!

MF'(/ 1 3 - '( - 1/'*2/ - '( * 1/'( * 0/ 02 - '( - 1/'( * 0/'( * 1/ 3

6

1 3 * 2( * 2 - '(F * (/ 12 1 (F

2 * 52 ( - 1 1 0.5(F * 2.5( - 1

MF'(/ 1 0.5(F * 2.5( - 1

23 La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 309.


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

La fig. 7.8. representa la grafica de la función estudiada. Fig. 7.8.Fig. 7.8.Fig. 7.8.Fig. 7.8.


EjercEjercEjercEjercicio 7.1.icio 7.1.icio 7.1.icio 7.1. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: '1, 2/; '0, 4/; '2, 6/. Evaluarlo en ;'1.5/. ¯°±²³´°µ: MF'(/ � 6(, * 11( - 4; ;'1.5/ 1 1

Ejercicio 7.2.Ejercicio 7.2.Ejercicio 7.2.Ejercicio 7.2. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos:

'1, *2/; '0, 4/; '*1, 5/. Evaluarlo en ;'*1/. ¯°±²³´°µ: MF'(/ � 2.5(, * 3.5( - 4; ;'*1/ 1 5


'*1, 3/; '*2, 1/; '0, *1/; '1, 0/. Evaluarlo en ;'1.5/. ¯°±²³´°µ: MF'(/ � 1.833(F - 2.5(, * 3.333( * 1; ;'1.5/ 1 5.8125


(0, 2); (1, 2); (2, 8); (-1, 0). Evaluarlo en ;'1.5/.

¯°±²³´°µ: M,'(/ � 43 (F * (, * 1

3 ( - 2 : ;'1.5/ Ô 3.75


(0, 1); (1, 0); (2, 5); (3, 10). Evaluarlo en ;'4/. ¯°±²³´°µ: MF'(/ � *(F - 6(, * 6( - 1 : ;'4/ � 9 Ejercicio 7.6.Ejercicio 7.6.Ejercicio 7.6.Ejercicio 7.6. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: (0, 3); (1, 2); 3, 6). Evaluarlo en ;'*1/. ¯°±²³´°µ: M,'(/ 1 (, * 2( - 3 : ;'*1/ 1 6


Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.7.7.7.7. Los siguientes pares de puntos: (0, 3); (-1, 3); (2, 6). Evaluar en ;'*2/. ¯°±²³´°µ: M,'(/ 1 (,

2 - (2 - 3, : ;'*2/ 1 4

Ejercicio 7.8.Ejercicio 7.8.Ejercicio 7.8.Ejercicio 7.8. Los siguientes pares de puntos: '0, *3/; '*2, 4/; '2, *2/; '4, 1/. Evaluar en ;'3/. ¯°±²³´°µ: M,'(/ 1 0.125(F - (, * ( * 3, : ;'3/ 1 *0.375

Ejercicio 7.9.Ejercicio 7.9.Ejercicio 7.9.Ejercicio 7.9. Los siguientes pares de puntos: '*2, 0/; '0, 6/; '2, 2/; '4, 8/. Evaluar en ;'*1/. ¯°±²³´°µ: M,'(/ 1 0.4167(F * 1.25(, * 1.1667( - 6, : ;'*1/ 1 5.5

Ejercicio 7.10.Ejercicio 7.10.Ejercicio 7.10.Ejercicio 7.10. Dados los pares de puntos '*2, *2/; '*1, 2/; '0, *2/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.


M,'(/ 1 4(, * 8( - 2

Ejercicio 7.11.Ejercicio 7.11.Ejercicio 7.11.Ejercicio 7.11. Dados los pares de puntos '*2, *2/; '*1, 2/; '0, *2/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.


M,'(/ 1 4(, * 8( - 2

Ejercicio 7.12Ejercicio 7.12Ejercicio 7.12Ejercicio 7.12.... Dados los pares de puntos '1, 3/; '2, 3/; '3, 6/; '4, 3/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución MF'(/ 1 1.5(F - 10.5(, * 21( - 15

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.13131313.... Dados los pares de puntos '2, 2/; '3, 5/; '5, 8/; '7, 4/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución MF'(/ 1 0.075(F - 0.25(, - 3.175( * 4.75

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.14141414.... Dados los pares de puntos '*2, 1/; '*1, 5/; '0, 1/; '1, 5/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución MF'(/ 1 8

3 (F - 4(, * 83 ( - 1


Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.15151515.... Dados los pares de puntos '*2, 2/; '*1, 4/; '0, 2/; '1, 4/; '2, 2/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución MF'() 1 *23 () - 83(, - 2

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.16161616.... Dados los pares de puntos '0, 1/; '1, 5/; '2, 2/; '3, *1/; '4, 0/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución M)'() 1 0.125() - 1.917(F * 8.375(, - 10.583( - 1

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.17171717.... Dados los pares de puntos '*2,*2/; '*1, 2/; '0, 4/; '1, 0/; '2, 6/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución M)'() 1 56 () - (F * 236 (, * 2( - 4

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.18181818.... Dados los pares de puntos '*2,*2/; '*1, 2/; '0,*2/; '1, 0/; '2, 6/, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SoluciónSoluciónSoluciónSolución M)'() 1 23 () - (F * 113 (, * 2( * 2


Sea la siguiente tabla: ( *1 3 4 5 ;'(/ 0 3 12 30

Determinar el polinomio de interpolación con la formula de Lagrange, sobre todos los puntos y calcular ;'2/

Solución: Solución: Solución: Solución: MF'(/ 1 0.475(F * 1.2(, * 0.175( - 1.5, ;'2/ 1 0.15

Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.Ejercicio 7.20202020.... Sea la siguiente tabla: ( 0 1 3 5 ;'(/ *1 3 9 2

Determinar el polinomio de interpolación con la formula de Lagrange, sobre todos los puntos y calcular ;'4/


Solución: Solución: Solución: Solución: MF'(/ 1 0.258(F - 0.7(, - 3.558( * 1, ;'4/ 1 7.9


Sea ;'(/ 1 7(7 * 3(, * 1,

a) Calcular ;'(/ en los puntos ( 1 0; ( 1 d1; ( 1 d2; ( 1 d3; usando el algoritmo de Briot-Ruffini y construir la tabla según los valores de (.

b) Construir el polinomio de interpolación para la función sobre los puntos *2, *1, 0, 1.

c) Aplicando la formula (7.5.) determinar un límite superior para el error de truncamiento en ( 1 *0.5 : ( 1 0.5

Solución:

a) ( 0 1 2 3 *1 *2 *3

;'(/ *1 3 211 1673 *11 *237 *1729

b) MF'(/ 1 35(F * 3(, * 28( * 1

Grafica de los Ejercicios de Fijación

Solución 7.1.Solución 7.1.Solución 7.1.Solución 7.1. Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.2222.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.3333....

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1

1

2

3

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1

1

2

3

x

y

Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.4444.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.5555.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.6666....

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

-1 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

x

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

5

6

7

x

y

CÁPITULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 202 Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.7777.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.8888.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.9999....

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Solución 7.1Solución 7.1Solución 7.1Solución 7.10000.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.11111111.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.12121212....

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

1

2

3

4

5

6

x

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.13131313.... Solución 7.14Solución 7.14Solución 7.14Solución 7.14.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.15151515....

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

1

2

3

4

5

x

y

Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.16161616.... SoluciSoluciSoluciSolución 7.ón 7.ón 7.ón 7.17171717.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.18181818....

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.19191919.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.20202020.... Solución 7.Solución 7.Solución 7.Solución 7.21212121....

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

CÁPITULO 8 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 203

CAPITULO 8

INTEGRACION NUMERICA

IntroduccióIntroduccióIntroduccióIntroducciónnnn La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un ordenador.

Realizar una integración numérica es integrar numéricamente una función : 1 ;'(/ en un intervalo dado yK, Lz, es integrar un polinomio MP'(/ que aproxime ;'(/ al intervalo dado. En el campo de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la solución de un problema se exprese

como una integral de la forma U ;'(/0(fg ; esta integral se resolvería usando el Teorema

Fundamental del Cálculo, sin embargo, existen casos donde es imposible hallar una anti derivada de ;'(/. Sin embargo, la integral existe y debe de evaluarse. Estas situaciones son del área de estudio de la integración numérica.

Si la función : 1 ;'(/ está indicada en una tabla por un conjunto de pares ordenados æ G(6, ;'(6/I ; G(R, ;'(R/I ; G(,, ;'(,/I ; … ; G(P, ;'(P/I, è , donde los (� están ordenados en

forma creciente y donde (6 1 K : (P 1 L, el polígono de interpolación para la función : 1 ;'(/ en el intervalo yK, Lz, (6 1 K, (P 1 L es un polinomio de aproximación para ;'(/ en

cualquier intervalo G(�, (çI, 0 n � n T; 0 n é n T del intervalo 'K, L/. Se puede usar el

polinomio MP'(/ para integrar ;'(/ en cualquiera de los sub-intervalos.

Las ventajas de integrar numéricamente un polinomio son las siguientes:

1) Si ;'(/ es un polinomio de difícil integración o si ;'(/ es prácticamente imposible de integrar, sin embargo, un polinomio es de integración inmediata.

2) Si se conoce la solución analítica de los resultados de la integral, y su cálculo solo puede arrojar aproximaciones.

3) La función es representada a través de una tabla de conjunto de pares ordenados, obtenidos como resultados de experimentaciones o cálculos previos.

Las fórmulas de integración son de manejo fácil y práctico y permite, cuando la función ;'(/ es conocida, tener una idea del error cometido en la integración numérica.

Conceptos básicosConceptos básicosConceptos básicosConceptos básicos Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva ;'(/ en el intervalo yK, Lz. La forma teórica de hallar este valor es mediante el teorema fundamental del cálculo.


Teorema 8.1. Teorema de valor medio para integralesTeorema 8.1. Teorema de valor medio para integralesTeorema 8.1. Teorema de valor medio para integralesTeorema 8.1. Teorema de valor medio para integrales Sea ; continua sobre el intervalo yK, Lz. Así, existe ? en yK, Lz tal que & ;'(/0( 1 'L * K/;'?/f

g


Teorema 8.2. Teorema fundamental del cálculoTeorema 8.2. Teorema fundamental del cálculoTeorema 8.2. Teorema fundamental del cálculoTeorema 8.2. Teorema fundamental del cálculo Sea ; continua en yK, Lz, y sea �'(/ 1 U ;'(/0(, es decir, � es una antiderivada 0t ;. Entonces & ;'(/0( 1 �'L/ * �'K/f

g


Teorema 8.3. Segundo teorema fundamental del cálculoTeorema 8.3. Segundo teorema fundamental del cálculoTeorema 8.3. Segundo teorema fundamental del cálculoTeorema 8.3. Segundo teorema fundamental del cálculo

Dada una función ; continua en el intervalo yK, Lz y sea w cualquier función primitiva de ;, es decir w,'(/ 1 ;'(/ para todo ( pertenece a yK, Lz, entonces & ;'(/0( 1 w'L/ * w'K/f

g


�'(/ es una función tal que VWVu 1 �,'(/ 1 ;'(/, es decir �'(/ es una antiderivada de ;'(/. Sin

embargo en muchos casos prácticos es muy difícil y a veces imposible hallar una antiderivada de ;'(/. En estos casos el valor de la integral debe aproximarse con el menor error posible, Esto puede lograrse por medio de serie de potencias, método gráfico o métodos numéricos.

El problema en la práctica, se presenta cuando es necesario encontrar la antiderivada

requerida de expresiones integrales tan sencillas como U tu70( R6 , lo cual resulta simplemente

imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema 8.4:Teorema 8.4:Teorema 8.4:Teorema 8.4: Si una función ; , continua en el intervalo [a, b], entonces ; es integrable en [a, b].

No obstante que las condiciones del teorema son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función ;'(/ cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.

Las notaciones utilizadas varían de un texto a otro, para evitar confusiones o aclarar notaciones, se presentan las más comunes. :6 1 ;'(6/ 1 ;'K/; :P 1 ;'(P/ 1 ;'L/

;'(P/ 1 ;'K - T9/ 1 ; pK - T L * KT q 1 ;'K - L * K/

24 Demostración: Ayres, JR Frank.(2001). Calculo. 4ª Edic. McGraw Hill. Bogotá. Colombia. Pág. 218. 25 Demostración: Ayres, JR Frank.(2001). Calculo. 4ª Edic. McGraw Hill. Bogotá. Colombia. Pag. 219. 26 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema fundamental del cálculo integral


Método de Serie de PotenciasMétodo de Serie de PotenciasMétodo de Serie de PotenciasMétodo de Serie de Potencias Consiste en desarrollar en serie de Taylor la función ;'(/ e integrar término a término.

Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida U tQu70(R6 , es posible

hacerlo desarrollando la serie. & tQu70( 1 & Ç '*1/� (ç��! 0( 1 & �1 * (, - ()2! * (�3! - S�0( 1R

6È�É6

R6

R6

& 0(R6 *& (,0(R

6 -& ()2! 0(R6 *& (�3! 0(R

6 -S 1

|(|6R * G(F3 G6R - G (75'2!/G6

R * G (�7'3!/G6R -S 1 1 * 13 - 15'2!/ * 17'3!/ - S 1Ç'*1/� 1�'�!/È

�É6

Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un número determinado de términos. Este método está restringido a pocos casos prácticos y no es de aplicación general por las razones siguientes:

a) Es posible que no exista la serie de potencias. b) La serie puede ser difícil de hallar. c) Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo yK, Lz. d) La serie puede converger muy lentamente.

Método GráficoMétodo GráficoMétodo GráficoMétodo Gráfico

a) Consiste en trazar la gráfica de ;'(/ en el intervalo yK, Lz y medir el área bajo la curva. Esto puede lograrse con unos instrumentos llamados planímetros27.

Este método aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden ser utilizados para obtener aproximaciones; los inconvenientes son:

a) La gráfica puede ser difícil de elaborar. b) No es muy preciso ya que está sujeto a errores de medición.

Métodos NuméricosMétodos NuméricosMétodos NuméricosMétodos Numéricos Los métodos numéricos generan una sucesión de números de la forma:

êR, ê,, … , êP, … ,& ;'(/0(, lo cual se acerca a la integral, es decir: fg

��`P>È êP 1 & ;'(/0(fg

El método numérico se detiene cuando se cumple algún criterio de convergencia preestablecidas con la precisión deseada.

a) Como no es posible integrar directamente ;'(/, estos métodos aproximan la función ;'(/ por otra más simple que pueda integrarse.

27 El planímetro es un instrumento de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares. Este modelo se obtiene en base la teoría de integrales de línea o de recorrido.


Las funciones más utilizadas para este fin son los polinomios. Éstos se emplean con bastante frecuencia en métodos numéricos, por sus propiedades, en este caso porque pueden integrar fácilmente. Existen varios métodos para la integración numérica basadas en polinomios, en este capítulo se estudiará algunos de estos métodos.

Cuadratura interpolatoriaCuadratura interpolatoriaCuadratura interpolatoriaCuadratura interpolatoria Sean (6, (R, (,, … , (P, T - 1 puntos distintos en yK, Lz y sean ;'(6/, ;'(R/, ;'(,/, … ,;'(P/, T - 1 valores de una función : 1 ;'(/ sobre (6, (R, (,, … , (P.

Sean MP'(/ el polinomio de interpolación de la función : 1 ;'(/ sobre T - 1 puntos. Por la formula de Lagrange se tiene que:

MP'(/ 1 Ç;Z�ZPZÉ6 '(/

Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.5555.... La formula de cuadratura es interpolatoria si y solamente si el grado de precisión es por lo menos T, o sea, si y solamente si la formula es exacta para todo polinomio de grado n T. �';/ 1 & Ø'(/�P'(/0(f

g


Sea yK, Lz 1 y0, 2z y sean (6 1 0; (R 1 1; (, 1 F,

a) Determinar la formula de cuadratura que sea exacta pata todo polinomio de grado n 2 b) Usando la formula obtenida, calcular:

& '(, * 2/0(,6


a) Como la exigencia del problema es determinar la formula de cuadratura para

polinomio de grado n 2, y que sea exacta para ;'(/ 1 1; ;'(/ 1 2; ;'(/ 1 (,. Se tiene:

& 0(,6

1 <6 - <R - <, 1 2

& ( 0(,6

1 <6 · 0 - <R · 1 - <, · 32 1 2

& (,0(,6

1 <6 · 0 - <R · 1 - <, · 94 1 8

4

Los valores 2, 2, �F son los resultados de la integral de 0 a 2 de 1, (, (,, respectivamente. De

esta manera se obtiene un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo el sistema se obtiene:

<6 1 49 , <R 1 2

3 ; <, 1 89


Se tiene la fórmula para integrar la función ;'(/ en el intervalo y0, 2z & ( 0(,

61 4

9 ;'(6/ - 23 ;'(R/ - 8

9 ;'(,/

Esta expresión es la fórmula de cuadratura interpolatoria.

b) Se tiene que: ;'(/ 1 (, * 2, ?~T 1 (6 1 0; (R 1 1; (, 1 F,

;'(6/ 1 *2; ;'(R/ 1 *1; ;'(,/ 1 14

Usando la formula de cuadratura interpolatoria

& ( 0(,6

1 49 ;'(6/ - 2

3 ;'(R/ - 89 ;'(,/

& ( 0(,6

1 49 '*2/ - 2

3 '*1/ - 89 p1

4q 1 *89 - *2

3 - 836 1 * 4

3

Resolviendo la integral por método del Cálculo se tiene:

& '(, * 2/0( 1 )(F3 * 2(G

6

,,6

1 �2F3 * 2 · 2� * 0 1 8

3 * 4 1 * 43

Se verifica que la formula de cuadratura arroja resultado exacto respecto de la forma tradicional de hallar la integral definida de una función.

Se pueden obtener una formula de cuadratura usando el método descrito, aunque sea algo trabajoso, pues si cambian los limites de integración y los puntos, todos los cálculos deben realizarse de nuevo. Esto limita grandemente la fórmula de cuadratura para su aplicación.

Regla del rectánguloRegla del rectánguloRegla del rectánguloRegla del rectángulo Las fórmulas que proporcionan una aproximación del valor de una integral definida se conocen con el nombre de fórmulas de cuadratura.

En sus versiones más sencillas, estas fórmulas aproximan el área bajo la curva, por el área de un paralelogramo. Esto solo proporciona una buena aproximación si la base del paralelogramo es pequeña. Por ello, las fórmulas verdaderamente útiles aproximan la integral definida mediante una suma de áreas de paralelogramos de bases muy reducidas numéricamente.

El método del rectángulo consistente en dividir el área que se desea encontrar en T sub-áreas en forma de rectángulos.

Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes variables: T: Número de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular 9 1 ∆(: Ancho o base de cada sub-área K: Límite inferior definido para el cálculo del área L: Límite superior definido para el cálculo del área.

La integral definida entre los puntos K y L de una función continua y acotada ;'(/, representa el área comprendida debajo de esa función. La integración numérica aplica cuando es necesario calcular áreas de integrales definidas, cuando se desconoce la integral explicita de la función ;'(/.


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Existen varios métodos para calcular áreas por integración numérica. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de T sub áreas donde cada sub área semeja un pequeño

rectángulo elemental de base 9 1 fQgP y altura : ,

El método del rectángulo para la integración numérica viene dado por las siguientes expresiones.

& ;'(/0( � 9y;'K/ - ;'K - 9/ - ;'K - 29/ - S- ;'L * 9/zfg

& ;'(/0( � 9y;'K - 9/ - ;'K - 29/ - S- ;'L * 9/ - ;'L/zfg

Ejemplo 8.2.Ejemplo 8.2.Ejemplo 8.2.Ejemplo 8.2. Utilizar la regla rectangular para aproximar la integral, considerando T 1 5. & tu7R

6 0(

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Si se asume el área subdividas en cinco intervalos, aplicando la fórmula y los datos del problema se tiene: K 1 0; L 1 1; 9 1 L * KT 1 1 * 05 1 15 1 0.2

& ;'(/0( � 9y;'K/ - ;'K - 9/ - ;'K - 29/ - S- ;'L * 9/zfg

& tu7R6

0( � 0.2y;'0/ - ;'0.2/ - ;'0.4/ - ;'0.6/ - ;'0.8/z

& tu7R6

0( � 0.2y1 - 1.04081 - 1.17351 - 1.433329 - 1.89648z

& tu7R6

0( � 0.2y6.544129z 1 1.3088

El valor verdadero es: U tu7R6 0( � 1.4626517459

El cálculo de error arroja los siguientes resultados: � 1 ¿À * ¿g 1 1.4626517459 * 1.3088 1 0.153851745

EX 1 EVY 1 VY * VZVY 1 0.153851745

1.4626517459 1 0.10518686

E% 1 EX � 100% 1 0.10518686 � 100% 1 10.51%

La gráfica (8.1.), presenta la función y el área de integración. Fig. 8.1.Fig. 8.1.Fig. 8.1.Fig. 8.1.


Regla del punto medioRegla del punto medioRegla del punto medioRegla del punto medio El método rectangular solo es estudiado a modo de referencia, pues no arroja resultados significativos en cuanto a la precisión de los resultados.

El método del punto medio es una variante mejorada del método del rectángulo y presenta una mejor aproximación que el método del rectángulo, apenas con una pequeña modificación de de la fórmula del rectángulo, variando los puntos de los intervalos. La regla del punto medio aplica la siguiente fórmula: & ;'(/0( � 9 ¶; pK - 92q - ; pK - 392 q -S- ; pL * 92qLf

g

Ejemplo 8.3.Ejemplo 8.3.Ejemplo 8.3.Ejemplo 8.3. Utilizar la regla del punto medio para aproximar la integral. Considerar T 1 5. & tu7R

6 0(

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Subdividiendo la base en cinco intervalos, se tienen los siguientes datos. K 1 0; L 1 1; 9 1 L * KT 1 1 * 05 1 15 1 0.2

Aplicando la fórmula del punto medio se tiene: & ;'(/0( � 9 ¶; pK - 92q - ; pK - 392 q -S- ; pL * 92qLfg

& tu70( � 0.2 ¶; p0 - 0.22 q - ; p0 - 3'0.2/2 q - ; p0 - 5'0.2/2 q - ; p0 - 7'0.2/2 q - ; p1 * 0.22 qLR6

& tu70( � 0.2y;'0.1/ - ;'0.3/ - ;'0.5/ - ;'0.7/ - ;'0.9/zR6

& tu70( � 0.2y1.01005 - 1.094174 - 1.284025 - 1.6323 - 2.2479zR6

& tu70( � 0.2y7.268449z 1 1.4536898R6

Calculando el error en este problema: � 1 ¿À * ¿g 1 1.4626517459 * 1.4536898 1 0.008962

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0089621.4626517459 1 0.0061272

E% 1 EX � 100% 1 0.0061272 � 100% 1 0.613%

ObservaciónObservaciónObservaciónObservación Haciendo una comparación simple entre los dos métodos estudiados hasta ahora, se nota un gran aumento en la precisión de los resultados obtenidos por el método del punto medio respecto al método del rectángulo.

En el mismo ejemplo aU tu70(R6 c, con la misma cantidad de intervalos (5) se obtienen los

siguientes márgenes de error, que miden las precisiones arrojadas por cada método


Error porcentual del método del rectángulo es 10.5% Error porcentual del método del punto medio es 0.6%

Se concluye que el método del punto medio arroja mejores resultados que el método del rectángulo.

Algunos textos consideran, indistintamente al método del punto medio como el método del rectángulo, pues se basan en el mismo principio, variando solamente en la forma de operar con los intervalos.

FóFóFóFórmulas de Newrmulas de Newrmulas de Newrmulas de Newton ton ton ton ---- CotesCotesCotesCotes Las formulas de Newton-Cotes del tipo cerrado son aquellas en que K y L son puntos de la formula de cuadratura, o sea, K 1 (6 y L 1 (P; los argumentos (Z, son igualmente espaciados de una cantidad fija 9, esto es, (Z�R * (Z 1 9, [ 1 0, 1, … , T * 1, la función peso, Ø'(/, es constante e igual a 1, y el intervalo de integración es finito.

Sea : 1 ;'(/ una función cuyos valores ;'(6/, ;'(R/, … , ;'(P/ son conocidos, ya sea por medio de tablas o por puntos de pares ordenados; de ahí se tiene que: & ;'(/0(fg 1 & ;'(/0(u.

u6 � Ç;ZPZÉ6 & �Z'(/0(u.

u6

Suponiendo entonces (R igualmente espaciados de h y considerando à 1 uQu6:

se tiene que 0( 1 9 0à y cuando ( 1 (6 > à 1 0 : ( 1 (P > à 1 T

öàtw~: & ;'(/0(u.u6

� Ç ;ZP

ZÉ6 9& ÒZ'à/0àP6

Donde los ÒZ son los polinomios usados en la formula de Lagrange para intervalos igualmente espaciados: Haciendo: & ÒZ'à/0àP

6 1 ëZ P . Obteniendose: & ;'(/0(u.u6

� Ç ;ZP

ZÉ6 9ëZR .

Entre los métodos cerrados de Newton – Cotes se cuentan la regla del trapecio con un grado de exactitud uno, y los métodos de Simpson, tanto las de un tercio y las de tres octavos, tienen un grado de exactitud tres.

Las fórmulas de cuadratura se dicen abiertas cuando no se utilizan los extremos del intervalo como abscisas de interpolación, son de la forma:

& ;'(/0( Ô 'L * K/; pK - L2 qfg ; & ;'(/0( Ô pL * K2 q y;'(R/ - ;'(,/zf

g,

Con: (R 1 K - 9; (, 1 K - 29 1 L * 9; 9 1 fQ:F

Existen dos teoremas que se presentaran sin demostración, son las que permiten obtener las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cotes.

Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.8888.... Supongamos que ∑ K�;'(�/P�É6 , sea la formula cerrada de Newton-Cotes, con (6 1 K : (P 1 L,

donde 9 1 fQgP , entonces existe ? U 'K, L/, tal que:


Cuando Cuando Cuando Cuando [ es par:es par:es par:es par:

& ;'(/0( �fg ÇK�;'(�/PQR

�ÉR - 9'P�F/;'P�,/'?/'T - 2/! & v,'v * 1/'v * 2/'v * T/0vP6

Si T es par, ; U ëP�,yK, Lz Cuando Cuando Cuando Cuando [ es impar:es impar:es impar:es impar: & ;'(/0( �fg ÇK�;'(�/P

�É6 - 9'P�,/;'P�R/'?/'T - 1/! & v'v * 1/'v * 2/'v * T/0vP6

Si T es impar, ; U ëP�RyK, Lz; K� 1 U ö�'(/0(fg

Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.Teorema 8.9999.... Supongamos que ∑ K�;'(�/P�É6 , sea la formula abierta de Newton-Cotes.

con (PQR 1 K : (P�R 1 L, donde 9 1 fQgP�,, entonces existe ? U 'K, L/, tal que:

Cuando Cuando Cuando Cuando [ es par:es par:es par:es par: & ;'(/0( �fg ÇK�;'(�/P

�É6 - 9'P�F/;'P�,/'?/'T - 2/! & v,'v * 1/'v * 2/'v * T/0vP�RQR

Si T es par y si ; U ëP�,yK, Lz Si Cuando Cuando Cuando Cuando [ es impar:es impar:es impar:es impar: & ;'(/0( �fg ÇK�;'(�/g

�É6 - 9'P�,/;'P�R/'?/'T - 1/! & v'v * 1/'v * 2/… 'v * T/0vP�RQR

Si T es impar, ; U ëP�RyK, Lz;

Teorema 8.6Teorema 8.6Teorema 8.6Teorema 8.6.... Si los puntos (ç 1 (6 - é9, é 1 0, 1, 2, … , T dividen a yK, Lz en un numero impar de intervalos

iguales y ;'(/ tiene derivadas de orden 'T - 1/ continua en yK, Lz, entonces la expresión de error para las formulas de Newton – Cotes del tipo cerrado, con T impar, está dada por: �';/ 1 9'P�,/;'P�R/'\/'T - 1/! & à'à * 1/… 'à * T/0àP

6 , �K¨K K�wàT \ U yK, Lz

Teorema 8.7.Teorema 8.7.Teorema 8.7.Teorema 8.7. Si los puntos (ç 1 (6 - é9, é 1 0, 1, 2, … , T dividen a yK, Lz en un número par de intervalos

iguales y ;'(/ tiene derivadas de orden 'T - 1/ continua en yK, Lz, entonces la expresión de error para las formulas de Newton – Cotes del tipo cerrado, con T par, está dada por: �';/ 1 9'P�F/;'P�,/'\/'T - 2/! & à aà * T2cà'T * 1/… 'à * T/0àP

6 , para algun \ U yK, Lz


Método del trapecioMétodo del trapecioMétodo del trapecioMétodo del trapecio La figura geométrica del trapecio y de la fórmula de área de la misma dio nombre a este método.

Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se desea obtener una fórmula para integrar ;'(/ entre dos puntos consecutivos (6 : (R , usando polinomio de primer grado, se tiene la fórmula del trapecio.

& ;'(/0( 1 & ;'(/0(u.u6

� 92 y;'(6/ - ;'(R/z * 9F

12 ;--'\/fg

Si el intervalo ya, bz es pequeño la aproximación será razonable, entendiéndose que cuanto menor es el intervalo mayor será la precisión del resultado obtenido; mas si yK, Lz es grande, el error también puede ser grande, dependiendo de la pendiente de la función analizada.

En error en la fórmula del trapecio sobre el intervalo ya, bz obtenida del teorema (8.1.)de error de Newton – Cotes, para T 1 1 es: �';/ 1 * 9F ;,,'\/

12 , (6 ] \ ] (R '8.12/

;'(/ K 1 (6 L 1 (R 8 Fig. Fig. Fig. Fig. 8.28.28.28.2....

Regla del Trapecio generalizadoRegla del Trapecio generalizadoRegla del Trapecio generalizadoRegla del Trapecio generalizado Si el intervalo de la integral definida es grande, se puede dividir el intervalo ya, bz en T sub-

intervalos de amplitud 9 1 fQgP de tal forma que (6 1 K ; (P 1 L y en cada sub-intervalo y(�, (��R, z, ; � 1 0, 1, … , T.

Aplicando la regla del trapecio a cada sub-intervalo, el error será ahora la suma de las áreas entre la curva de la función y las rectas de la parte superior del trapecio, como se muestra en la figura (fig 8.3.) ;'(/ K 1 (6 (R (, (F 1 L Fig. 8.3.Fig. 8.3.Fig. 8.3.Fig. 8.3.


Se observa ahora que 9 > 0, por lo tanto el resultado de la integral tiende a ser exacto, pues el error tiende a cero. Por lo tanto, cuando mayor cantidad de sub-intervalos se introduce entre los límites de integración considerados, más preciso será el resultado.

Así, mejorando la precisión y disminuyendo el error, la fórmula del trapecio en su forma generalizada queda de la siguiente forma: & ;'(/0( � 92 y;'(6/ - 2;'(R/ - 2;'(,/ - 2;'(F/-. . -2;'(PQR/ - ;'(P/zfg , o

& ;'(/0(u.u6

1 92 ^;'(6/ - 2y;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/z - ;'(P/_

El error en la fórmula del trapecio generalizado se obtiene adicionándose N ceros en la

formula (8.12.) de error del trapecio, donde ò 1 fQg: . La fórmula de error queda así:

& ;'(/0(u]u6

> �';/ 1 'L * K/ 9,;,,'\/12 , (6 ] \ ] (^ '8.12/

Aun aplicando la formula de error, es imposible lograr el resultado exacto de la aproximación buscada, sin embargo, la fórmula de error es útil cuando se desea una precisión prefijada para la función a ser analizada.

Ejemplo 8.4.Ejemplo 8.4.Ejemplo 8.4.Ejemplo 8.4. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, con un solo intervalo.

& '2x - 1/ dx)R


Se halla el valor de 9: 9 1 fQgP 1 )QRR 1 3

Donde: 9: Longitud de cada intervalo = 3. (6: Limite inferior de la integral, también se representa por K 1 1. (P: Limite superior de la integral, también se representa por L 1 4. T: Numero de particiones, es decir, de intervalos = 1.

Recordar que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

Aplicando la fórmula del trapecio

& ;'(/0( 1 & ;'(/0(u.u6

� 92 y;'(6/ - ;'(R/z * 9F

12 ;--'\/fg

& '2( - 1/ 0( � 92 y;'1/ - ;'4/z * 9F

12 ;--'\/)R

& '2( - 1/ 0()R

1 32 y3 - 9z 1 3

2 y12z 1 18

Para calcular el error se usa la formula de error correspondiente al método: * :R, ;--'\/

Como la segunda derivada de la función ;'(/ 1 2( - 1 t{ 0, se tiene


& '2( - 1/ 0()R

1 18 * 0 1 18

Por lo tanto el valor exacto de U '2( - 1/ 0()R 1 18

Analizando el resultado de este ejemplo, se nota claramente que al ser la ecuación de primer grado y no existir discrepancia entre la línea del trapecio y la función integral, no existe error, por lo tanto, cualquiera sean los limites de integración el resultado arrojado siempre será exacto, no así para funciones no lineales.

Ejemplo 8.5.Ejemplo 8.5.Ejemplo 8.5.Ejemplo 8.5. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio.

& 'tu vw ( - 2/ 0(R.,6

Solución:Solución:Solución:Solución: Las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

Se halla el valor de 9, 9 1 fQgP 1 fQgP 1 R.,Q6R 1 1.2

Aplicando la fórmula del trapecio: & ;'(/0( 1 & ;'(/0(u.

u6 � 92 y;'(6/ - ;'(R/z * 9F12 ;--'\/f

g

& 'tu vw ( - 2/0( � 1.22 y;'0/ - ;'1.2/zR.,

6Ô 0.6y2 - 10.539844z 1 0.6y12.539844z

& 'tu vw ( - 2/0( �R.,6

7.5239064

Para medir la magnitud de error cometido con este método y en este ejercicio, se puede observar la grafica (8.4.) y se nota claramente que entre la curva de la función evaluada y la recta superior del trapecio existe una diferencia de área muy grande, indicando el error cometido en la operación.

Se calcula el error en base al valor verdadero que es 4.8775562331

Para verificar el grado de error en esta aproximación, se aplican las expresiones matemáticas correspondientes. � 1 |¿À * ¿g| 1 |4.8775562331 * 7.5239064| 1 2.64635

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 2.64635

4.8775562331 1 0.542556533

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.542556533'%/ 1 54.2556533%

Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande, en este caso más del 50%, que es un valor totalmente inconcebible en cálculo numérico, sin embargo el método es válido para funciones con intervalos muy pequeños y funciones lineales.


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

2

4

6

8

10

x

y

En la gráfica (8.4.) se nota la gran diferencia de área entre la función analizada y el trapecio formado sobre la función estudiada.

Fig. 8.4.Fig. 8.4.Fig. 8.4.Fig. 8.4.

Ejemplo 8.6.Ejemplo 8.6.Ejemplo 8.6.Ejemplo 8.6. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio. & 'tu vw ( - 2/ 0(6.,

6

Solución:Solución:Solución:Solución: Las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

Aplicando la fórmula del trapecio:

& ;'(/0( 1 & ;'(/0(u.u6

� 92 y;'(6/ - ;'(R/z * 9F

12 ;--'\/fg

& 'tu vw ( - 2/0( � 0.22 y;'0/ - ;'0.2/z6.,

6Ô 0.1y2 - 2.24759z 1 0.1y4.24759z

& 'tu vw ( - 2/0( �R.,6

0.424759

Observando esta grafica (fig. 8.5) de la función evaluada y el trapecio formado sobre ella, se nota que casi existe una coincidencia perfecta entre la función y la parte superior del trapecio.

El valor verdadero es 0.4230360537

Para verificar el grado de error en esta aproximación, se aplican las expresiones matemáticas correspondientes. � 1 ¿À * ¿g 1 0.4230360537 * 0.424759 1 0.0017229463

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0017229463

0.4230360537 1 0.004072812

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.004072812'%/ 1 0.4072812%

En este ejemplo, el resultado obtenido presenta un error de 0.4%. Este valor puede ser considerado aceptable si no se es muy exigente, pues un valor bueno dependerá siempre de la precisión deseada en el cálculo.


-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

FFFFig. 8.5ig. 8.5ig. 8.5ig. 8.5.... En este ejemplo y el anterior, las funciones analizadas son las mismas, la amplitud de intervalo también es la misma, pero con diferentes subdivisiones en sus respectivos intervalos; se demuestra que para intervalos de pequeña amplitud la integración por el método del trapecio es válida, sin embargo, para intervalos con mayor amplitud es recomendable aplicar otros métodos de integración numérica.

Ejemplo 8.7.Ejemplo 8.7.Ejemplo 8.7.Ejemplo 8.7. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, dividiendo el intervalo en dos. & tu vw ( 0(R.,

6


Se halla el valor de 9: 9 1 L * KT 1 1.2 * 02 1 1.22 1 0.6

Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de 9 hallado, con esto se tiene dos intervalos igualmente espaciados con tres pares de puntos:

(6 (R (, ( 0 0.6 1.2 tu 1 1.8221 33201 vw ( 0 0.6841 2.5722(

tu vw ( 0 1.246578 8.53997( Fig. 8.6.Fig. 8.6.Fig. 8.6.Fig. 8.6.

En base a este cuadro se aplica la fórmula correspondiente al método. En este caso, la formula generalizada del trapecio, pues T \ 1.

& ;'(/0(u.u6

1 92 y;'(6/ - 2^;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/_ - ;'(_/z

& ;'(/0(u.u6

1 92 ^;'(6/ - 2y;'(R/z - ;'(,/_, formula reducida a tres nodos.


& tu vw ( 0(u.u6

1 92 ^;'0/ - 2y;'0.6/z - ;'1.2/_, formula reducida a tres nodos.

& tu vw ( 0(R.,6

1 0.62 ^0 - 2y1.24650z - 8.53997_ 1 0.3^0 - 2.493 - 8.53997_

& tu vw ( 0(R.,6

1 0.3^11.03297_ 1 3.309891

Verificación de errorVerificación de errorVerificación de errorVerificación de error La fórmula para calcular el error en la mayoría de los casos es bastante complicada, pues exige

en todos los casos hallar las derivadas a;,'(/, ;,,'(/, ;,,,'(/, ;�À'(/ : 9K{vK ;À'(/c.

Para calcular el error desde un punto de vista teórico, se parte del valor verdadero del área bajo la curva de la función analizada que es: 2.4775562331 � 1 ¿À * ¿g 1 2.4776 * 3.309681 1 0.832081

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.832081

2.4776 1 0.33584154

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.33584154'%/ 1 33.58%

Ejemplo 8.8.Ejemplo 8.8.Ejemplo 8.8.Ejemplo 8.8. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio dividiéndolo en seis intervalos.

& tu vw ( 0(R.,6


Valor de 9: 9 1 fQgP 1 R.,Q6� 1 R.,� 1 0.2

Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de 9 hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

8@ 8© 8i 8 8j 8Ì 8 ( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 `8 1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201 ab 8 0 0.2027 0.4228 0.6841 1.0296 1.5574 2.5722 `8 ab 8 0 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997 Donde: 9: Longitud de cada intervalo. (6: Limite inferior de la integral, también se representa por K. (P: Limite superior de la integral, también se representa por L.

T: Numero de particiones, es decir, de intervalos.

Recordar siempre que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes. Es más fácil trabajar con datos tabulados. Se muestran los datos en la tabla de abajo.

Aplicando la formulada generalizada del trapecio:


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

& ;'(/0( � 92 y;'(6/ - 2;'(R/ - 2;'(,/ - 2;'(F/-. . -2;'(PQR/ - ;'(P/zu.Éf

u6Ég

& tu vw ( 0( � 0.22 y;'0/ - 2;'0.2/ - 2;'0.4/ - 2;'0.6/ - 2;'0.8/ - 2;'1/ - ;'1.2/zR.,

6

& tu vw ( 0( � 0.1y0 - 2'0.24759/ - 2'0.63073/ - 2'1.24657/ - 2'2.2915/ - 2'4.23347/R.,6 - '8.539844/z

& tu vw ( 0( � 0.1y0 - 0.49518 - 1.26146 - 2.49314 - 4.583 - 8.46694 - 8.539844zR.,6

& tu vw ( 0( � 0.1y25.839564z 1 2.5839564R.,6

Para analizar el error se usa el valor verdadero que es: 2.4775562331

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.7777.... Por definición, error es la diferencia entre el valor verdadero ¿À y una aproximación a este valor verdadero, que es el valor aproximado y se representa por ¿g. � 1 ¿À * ¿g 1 2.4776 * 2.583897 1 0.10636

Por definición el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real ¿Å X 0

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.10636

2.4776 1 0.04292864

El error porcentual se define como el error relativo expresado en tanto por ciento (%).

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.04292864'%/ 1 4.292864%

El ejemplo (8.7.), que evalúa la misma función que este ejercicio (8.8.), se compara y se notan conclusiones interesantes. En el ejemplo (8.7.) con dos intervalos se verificó un error mayor al 33%, mientras que al elevar el intervalo a seis en el ejemplo (8.8.) se redujo el error a solo 4.3%. De esta comparación, de nuevo se enfatiza que con reducidos valores de intervalos se consiguen mejorar la precisión del cálculo.


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Ejemplo 8.9.Ejemplo 8.9.Ejemplo 8.9.Ejemplo 8.9. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, dividiendo la función en seis intervalos. & tu ?~{ ( 0( R.,

6

SolucSolucSolucSolución:ión:ión:ión:

Se halla el valor de h, 9 1 fQgP 1 R.,Q6� R.,� 1 0.2, es el valor del intervalo a tomar.

Se construye una tabla en base a la función, con el intervalo 0.2 hallado, con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

(6 (R (, (F () (7 (�

( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

tu 1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

?~{ ( 1 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624

tu ?~{ ( 1 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032

Se aplica la fórmula del rectángulo

& ;'(/0(u.u6

1 92 y;'(6/ - 2^;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/_ - ;'(�/z

& tu ?~{ ( 0(R.,6

1 0.22 y1 - 2^1.19709 - 1.37409 - 1.50378 - 1.55050 - 1.47598_ - 1.2032z

U tu ?~{ ( 0(R.,6 1 6.,

, y1 - 2^7.10144_ - 1.2032z 1 0.1y1 - 14.20288 - 1.2032z 1 1.640608

& tu ?~{ ( 0(R.,6

1 1.640608

Verificación de errorVerificación de errorVerificación de errorVerificación de error

El valor aproximado hallado es: 1.6406 El valor verdadero es: 1.6488 Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.8888.... � 1 ¿À * ¿g 1 1.6488 * 1.6406 1 0.0082

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0082

1.6488 1 0.0048

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00497'%/ 1 0.497%

Comparando el ejemplo (8.7.) con el ejemplo (8.8.), se nota que en el ejemplo (8.7.) el error es mucho mayor, eso se debe a que la función tangente crece muy rápidamente y el trapecio formado entre la función presenta área mayor; mientras que la función coseno presenta muy poca área entre sus trapecios formados y la curva de la función.


Ejemplo 8.10. Ejemplo 8.10. Ejemplo 8.10. Ejemplo 8.10. Aproximar la integral aplicando la regla del trapecio, para mayor precisión subdividir en cinco intervalos, o sea, T 1 5. & tu7 0(R

6


Se halla el valor de h, 9 1 R Q67 1 R

7 1 0.2, es el valor del intervalo a tomar.

Se construye la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

(6 (R (, (F () (7

8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

`8i 1 1.0408 1.1735 1.4333 1.8965 2.7183

Se aplica la fórmula del rectángulo

& ;'(/0(u.u6

1 92 y;'(6/ - 2^;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/_ - ;'(�/z

& tu7 0(R6

1 0.22 y1 - 2^1.0408 - 1.1735 - 1.4333 - 1.8965_ - 2.7183z

& tu7 0(R6

1 0.22 y1 - 2^5.5441_ - 2.7183z 1 0.1y14.8065z 1 1.48065

& tu7 0(R6

1 1.48065

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error De la fórmula del trapecio generalizada para integración numérica:

�';/ 1 * 'L * K/9,12 ;,,'\/, '\/ U yK, Lz

�ô 1 * 'L * K/9,12 ;,,'\/, '\/ U yK, Lz, ?~T '\/ U y0, 1z : 9 1 1 * 05 1 0.2

;'(/ 1 tu7; ;,'(/ 1 2( tu7; ;,,'(/ 1 4(,tu7 - 2 tu7

;,,'(/ 1 �4(,tu7 - 2 tu7� ] 17

|�ô| 1 'L * K/9,12 |;,,'\/| 1 '1 * 0/'0.2/,12 |17| 1 0.0412 � 17 Ô 0.056 Ô 0.5 1 5 · 10QR

Lo que eventualmente podría garantizar por lo menos una cifra decimal exacta.

El valor de '\/ U y0, 1z, por lo tanto, este valor puede estar comprendido en todo el rango del intervalo. Para intentar evaluar el posible error cometido, se toma el punto en ( que corresponda a la mayor altura, (esto se verifica con la grafica, en este caso ( 1 1) y se aplica ese valor a la segunda derivada de la función y se tiene: ;,,'(/ 1 17

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.4626517459 El valor aproximado del área buscada es: 1.48065


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Comparando los resultados se verifica que, efectivamente, se tiene una cifra decimal exacta entre el valor exacto y el valor aproximado. ObservaciónObservaciónObservaciónObservación La fórmula para hallar el error rara vez se utiliza para tal motivo, pues dicho error no se puede obtener con exactitud, ya que para la evaluación de tal error se debe calcular en algún punto desconocido del intervalo de integración.

La aplicación práctica que se le da a la formula de error es estimar la cantidad de intervalo posible a ser utilizado para lograr una precisión predeterminada deseada.

El termino de error no debe restarse del resultado aproximado obtenido por la aplicación de la regla del trapecio, ya que nunca se conseguirá el resultado exacto, pues el punto \ que genera la igualdad, existe y es único, pero no hay forma de determinarlo.

La aplicación de la fórmula del término del resto es útil cuando se desea obtener un resultado con una precisión prefijada.

Estos cálculos de error que se realizan son puramente teóricos, para demostrar que la precisión no existe en el cálculo de error, pero si se puede tomar una cierta estimación del error cometido.

Al contar con el valor verdadero, se realizan los otros cálculos de error. � 1 ¿À * ¿g 1 1.4626517459 * 1.48065 1 0.017998255 �Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0179982551.4627 1 0.00123

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00123'%/ 1 0.123%

La siguiente grafica (fig. 8.9.) presenta la función y el área estudiada.

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.9999....

Ejemplo 8.11.Ejemplo 8.11.Ejemplo 8.11.Ejemplo 8.11. Evaluar la siguiente integral para T 1 6 por el método del trapecio. & 1( 0()

R


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5

0.5

1

1.5

x

y


Se halla el valor de h: 9 1 ) QR� 1 F

� 1 0.5, es el valor del intervalo a tomar.

Se construye la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.5 hallado.

(6 (R (, (F () (7 (�

( 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1(

1

23

12

25

13

27

14

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.10101010.... Se aplica la fórmula del trapecio

& ;'(/0(u.u6

1 92 ^;'(6/ - 2y;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/z - ;'(P/_ '7/

& ; p1(q 0(u.

u61 9

2 ^;'1/ - 2y;'1.5/ - ;'2/ - ;'2.5/ - ;'3/ - ;'3.5/z - ;'4/_

& 1( 0()

R1 0.5

2 ¶1 - 2 A23 - 12 - 2

5 - 13 - 2

7c - 14L 1 1

4 ¶1 - 2 A15370 c- 1

4L

& 1( 0()

R1 1

4 ¶1 - 15335 - 1

4L 1 14 ¶787

140L 1 787560 1 1.4053

& 1( 0()

R1 1.4053

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error Expresión de error para la forma del trapecio generalizada

�';/ 1 * 'L * K/9,12 ;,,'\/, '\/ U yK, Lz

�ô 1 * 'L * K/9,12 ;,,'\/, '\/ U yK, Lz, ?~T '\/ U y1, 4z : 9 1 4 * 16 1 0.5

;'(/ 1 1( 1 xQR; ;,'(/ 1 *xQ,; ;,,'(/ 1 2 xQF 1 2

xF ;,,'(/ 1 |2 xQF| ] 2, esto se tiene evaluando en ( 1 1, pues presenta el lado mayor.

|�ô| 1 'L * K/9,12 |;,,'\/| 1 '4 * 1/'0.5/,12 |2| 1 0.7512 � 2 Ô 0.125 ] 0.5 1 5 · 10QR

Lo que no garantiza ninguna cifra decimal exacta.

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.3862943611

El valor aproximado del área encontrado es: 1.4053


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

Comparando los resultados se verifica que, efectivamente, no existe ninguna cifra decimal exacta entre el valor exacto y el valor aproximado; sin embargo, el valor hallado presenta una buena aproximación al valor exacto. � 1 ¿À * ¿g 1 1.3863 * 1.4053 1 |*0.019| 1 0.019

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0019

1.3863 * 0.0137

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.0137'%/ 1 1.37%

Ejemplo 8.12.Ejemplo 8.12.Ejemplo 8.12.Ejemplo 8.12. Evaluar la siguiente integral por el método del trapecio para T 1 4

& 2√1 - (, 0(R6


Se tiene el valor de h: 9 1 R Q6) 1 R

) 1 0.25, es el valor del intervalo a tomar.

Construcción de la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.25.

(6 (R (, (F ()

( 0 0.25 0.50 0.75 1.00 2√1 - (, 2

1.940285

1.7889

1.6

1.4142

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11111111.... Se aplica la fórmula del trapecio & ;'(/0(u.u6 1 92 y;'(6/ - 2^;'(R/ - ;'(,/ - S- ;'(PQR/_ - ;'(�/z * 9F12;,,'\/

& 2√1 - (, 0( 1R6

0.252 y2 - 2^;'0.25/ - ;¨'0.5/ - ;'0.75/_ - ;'1/z & 2√1 - (, 0( 1R6

0.252 y2 - 2^1.94 - 1.7889 - 1.60_ - 1.4142z 1 0.125y2 - 2^5.3289_ - 1.4142z

& 2√1 - (, 0(R6 1 1.759


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error �ô 1 G'1 * 0/0.25,

12 G � |2| 1 0.062612 '2/ 1 0.0104 ] 0.05 1 5 · 10Q,

Lo que supone por lo menos una cifra decimal exacta en el resultado encontrado.


El valor aproximado del área encontrada es: 1.759 � 1 ¿À * ¿g 11.762747174*1.759 1 0.003747

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.003747

1.762747174 1 0.0021257

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.0021257'%/ 1 0.212%

Ejemplo 8.13.Ejemplo 8.13.Ejemplo 8.13.Ejemplo 8.13. Hallar el área bajo la curva de la siguiente función, por el método del trapecio dividiendo los intervalos en ocho partes

& Ý(, - 5 0(, T 1 8,6


Valor de h: 9 1 , Q6� 1 ,

� 1 R) 1 0.25.

Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.25.

8@ 8R 8, 8F 8) 8Ì 8� 8� 8�

8 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Ý8i - Ì 1.7

1 1.71707

1.738

1.7718

1.8171

1.8722

1.9354

2.005

2.0804

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.12121212.... Se aplica la fórmula del rectángulo

& ;'(/0(u.u6

1 92 y;'(6/ - 2^;'(R/ - ;'(,/ - S - ;'(PQR/_ - ;'(�/z


& Ý(, - 5 0( 1,6

0.252 y1.71 - 2^1.72 - 1.74 - 1.77 - 1.82 - 1.87 - 1.94 - 2.01_ - 2.08z

& Ý(, - 5 0( 1,6

0.252 y1.71 - 2^12.84657_ - 2.08z 1 0.125y1.71 - 25.69314 - 2.08z

& Ý(, - 5 0( 1,6

0.125y29.48354z 1 3.6854425

& Ý(, - 5 0( 1,6

3.6854425

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error

�ô 1 * 'L * K/9,12 ;,,'\/, '\/ U yK, Lz; ;,,'2/ 1 0.0627734487

El valor de ;,, se obtiene evaluando en ( 1 2, pues presenta el lado mayor.

�ô 1 G'2 * 0/0.25,12 G � |2| 1 0.125

12 '0.06277/ 1 0.0006538 ] 0.005 1 5 · 10QF

Lo que supone por lo menos dos cifras decimales exactas en el resultado encontrado.


El valor aproximado del área encontrada es: 3.6854425

En todo cálculo de aproximación, los valores de ;'(Z/ siempre se truncan y se redondean, esa es la razón por la que los resultados obtenidos presentan a veces mayor error de lo estimado, y a veces, lo opuesto, esto reafirma una vez más la imposibilidad de obtener resultados exactos de funciones no lineales.

El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6863750398 � 1 ¿À * ¿g 1 3.6863750398 * 3.6854425 1 0.00093254

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.00093254

3.6863750398 1 0.00025297

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00025297'%/ 1 0.025297%

El resultado obtenido en este ejercicio es una aproximación muy buena, con un error porcentual muy reducido.

Si se analiza la grafica (fig. 8.12), se entenderá porque sucede esto. El área evaluada presenta un trapecio casi perfecto, pues la curva de la función en el intervalo evaluado presenta poca variación sobre el eje y, o sea, ;'(f/ * ;'(g/ 1 ∆:, en este caso, muy reducido.


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0.5

1

1.5

x

y

d`bþk © e` fg�hiý[

Otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, además de la regla trapezoidal, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre ;'K/ : ;'L/, entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de grado mayor a uno.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

Otra de las fórmulas de Newton-Cotes es la regla de Simpson de (1/3), que proporciona una aproximación más precisa que la regla del trapecio, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva.

La regla de Simpson (1/3) para integración a lo largo de un intervalo cerrado yK, Lz, se realiza particionando el intervalo yK, Lz en número par 2T de sub-intervalos de amplitud 9 igual a

9 1 fQg,P de tal forma que (6 1 K, (,P 1 L. El número de subdivisiones debe ser múltiplo de 2,

pues se necesita de dos sub-intervalos y por lo tanto de tres puntos. Para obtener la ecuación de una parábola se requieren tres puntos, lo cual se logra con dos particiones, por lo cual la T debe de ser par. & ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - ;'(,/z * 9790u7

u6;�À'\/, \ U y(6, (,z

Ejemplo 8.14.Ejemplo 8.14.Ejemplo 8.14.Ejemplo 8.14. Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la siguiente integral.

& tu ?~{ ( 0( R.,6


Se halla el valor de 9 1 L * K2T 1 1.2 * 02 · 1 1 1.22 1 0.6

Construir de la tabla de pares ordenados de la función, con solo tres puntos.

(6 (R (, ( 0 0.6 1.2 tu 1 1.8221 3.3201 ?~{ ( 1 0.8253 0.3624

tu ?~{ ( 1 1.50378 1.2032

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.13131313.... La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones trigonométricas.


Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

& ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - ;'(,/zu7

u6

& tu ?~{ ( 0( = 0.63 y1 - 4'1.50378/ - 1.2032z R.,

6

& tu ?~{ ( 0( = 0.63 y1 - 6.01512 - 1.2032z 1 0.6

3 y8.21832z 1 1.643664R.,6

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error Se realiza este cálculo de error apelando al valor exacto del área de integración buscada. El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273 � 1 ¿À * ¿g 1 1.6487744273 * 1.643664 1 0.00511

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.00511

1.6487744273 1 0.00309927

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00309927'%/ 1 0.309927%

·¸j±» © º¸ ¯´#k¹°µ l¸µ¸�»±´m»º»

La regla (1/3) de Simpson viene dada por la formula:

& ;'(/0( 1 & ;'(/0( -u7

u6& ;'(/0( - S -un

u7& ;'(/0(u7.

u7.o7 u7.

u6

Usando la regla (1/3) de Simpson a lo largo del intervalo y(�, (��,z, � 1 0, 2, … ,2T * 2, se tiene:

& ;'(/0( ≅ 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - ;'(,/z - u7.u6

93 y;'(,/ - 4;'(F/ - ;'()/z - S

- 93 y;'(,PQ,/ - 4;'(,PQR/ - ;'(,P/z

& ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - 2;'(,/ - 4;'(F/ - 2;'()/ - S - 2;'(,PQ,/u7.u6 - 4;'(,PQR/ - ;'(,P/z

Simplificando la expresión se tiene:

& ;'(/0( 1fg

& ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - ;'(P/z -u.

u6293 Ç;'(,Z/PQR

ZÉR - 493 Ç;'(,ZQR/ PZÉR

La siguiente expresión de la regla (1/3) de Simpson, o sea su generalización, es la que se utiliza en la práctica:


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0.5

1

1.5

x

y

& ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - 2;'(,/ - 4;'(F/ - 2;'()/ - S - 2;'(,PQ,/u7.u6 - 4;'(,PQR/ - ;'(,P/z

La expresión de error de la formula (1/3) de Simpson generalizada es dada por:

�ô 1 * 'L * K/9)180 ;�À'\/, (6 ] \ ] (,p

Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.15555.... Usando la regla (1/3) de Simpson generalizada, calcular la siguiente integral, con T 1 3

& tu ?~{ ( 0( R.,6


Valor de h, 9 1 R., Q6,.F 1 R.,


Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

(6 (R (, (F () (7 (�

( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

tu 1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

?~{ ( 1 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624

tu ?~{ ( 1 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032 La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones trigonométricas.

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11114444....


& ;'(/0( 1fg

& ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - ;'(P/z -u.

u6293 Ç;'(,Z/PQR

ZÉR - 493 Ç;'(,ZQR/PZÉR

Cuando T 1 3, la formula queda como sigue:

& ;'(/0( 1fg & ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - ;'(P/z -u.

u6293 Ç;'(,Z/,

ZÉR - 493 Ç;'(,ZQR/FZÉR


& ;'(/0( 1fg & ;'(/0( 1 93 y;'(6/ - ;'(�/z -uq

u6293 y;'(,/ - ;'()/z - 493 y;'(R/ - ;'(F/ - ;'(7/z

& tu ?~{ ( 0( = 0.23 y1 - 1.2032z - 2 � 0.2

3 y1.37409 - 1.55050zR.,6

- 4 � 0.23 y1.19709 - 1.50378 - 1.47598z

& tu ?~{ ( 0( = 115 y2.2032z - 2

15 y2.92459z - 415 y4.17685z R.,

6

& tu ?~{ ( 0( = 0.14688 - 0.389945333 - 1.113826667 1 R.,6

1 1.655092003

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error Se realiza este cálculo de error apelando al valor exacto del área de integración buscada. El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273 � 1 ¿À * ¿g 1 1.6487744273 * 1.655092003 1 0.006317576

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.006317576

1.6487744273 1 0.00383168

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00383168'%/ 1 0.3832%

Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.16666.... Usando la regla (1/3) de Simpson generalizada, calcular la integral:

& tu vw ( 0( R.,6

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se usa la regla de (1/3) de Simpson generalizada con T 1 3

Valor de 9: 9 1 fQg,P 1 R.,Q6� 1 0.2

Tabla de seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

(6 (R (, (F () (7 (� ( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 tu 1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201 vw ( 0 0.2027 0.4228 0.6841 1.0296 1.5574 2.5722

tu vw ( 0 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997 Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson generalizada.

& tu vw ( 0( 1 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - 2;'(,/ - 4;'(F/ - 2;'()/ - S - 2;'(,PQ,/R.,

6 - 4;'(,PQR/ - ;'(,P/z


-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2

4

6

8

10

x

y

& tu vw ( 0( 1 0.23 y0 - 4'0.24758/ - 2'0.63073/ - 4'1.24650/ - 2'2.29137/R.,6 - 4'4.23332/ - '8.53997/z

& tu vw ( 0( 1 115 y0 - 0.99032 - 1.26146 - 4.986 - 4.58274 - 16.93328 - 8.53997z R.,

6

& tu vw ( 0( 1 115 y37.29377z 1 0.066667y37.29377z 1 2.48625 R.,

6

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11115555.... El valor exacto de la función 'tu vw (/ para los límites de integración considerados es: 2.4776 Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error: Es usual emplear el valor absoluto en los cálculos de errores. � 1 ¿À * ¿g 1 2.4776 * 2.48625 1 |*0.00865| 1 0.00865

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.00865

2.4776 1 0.00349

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00349'%/ 1 0.349%

Conclusión: Conclusión: Conclusión: Conclusión: Haciendo una comparación en cuanto a la resolución de este ejercicio por el método de Simpson (1/3) y el método anterior (método del trapecio), se nota que el error ha disminuido sustancialmente, pasando de un error muy grande arrojado en la resolución por el método del trapecio de 4.3% a solo un 0.35% producido por el método de Simpson (1/3), reduciendo el error 12,3 veces.

Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.17777.... Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

& √( 0( R.FR


Valor de h, 9 1 R.F QR,.F 1 6.F



0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

8@ 8© 8i 8 8j 8Ì 8 8 1 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 √8 1 1.02470 1.04881 1.07238 1.09545 1.11803 1.14018

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11116666.... Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson: & √( 1 0.05

3 y1 - 4'1.0247/ - 2'1.0488/ - 4'1.0724/ - 2'1.0955/ - 4'1.1180/ - 1.1402z R.FR

& √( 0( 1 0.016666 y1 - 4.0988 - 2.0976 - 4.2896 - 2.1910 - 4.4720 - 1.1402z R.FR

& √( 1 0.016666 y19.2892z 1 0.32148666 … R.FR

& √( 1 0.3214866 … R.FR

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.32150 Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error: � 1 ¿À * ¿g 1 0.32150 * 0.3214866 … 1 0.0000133 …

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0000133

0.32150 1 0.0000415

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.0000415'%/ 1 0.00415%

Conclusión: Conclusión: Conclusión: Conclusión: En este caso, el error presentado en el cálculo es tan ínfimo, que hasta podría considerarse el resultado hallado como exacto.


-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

y

Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.18888.... Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral: & ?~{ ( 0( 6.�

6


Valor de h, 9 1 6.� Q6,., 1 6.�



8@ 8© 8i 8 8j

8 0 0.2 0.4 0.6 0.8

lýi 8 1 0.98006 0.92106 0.82534 0.69671

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11117777....


& ?~{ ( 0( = 0.23 y1 - 4'0.98006/ - 2'0.92106/ - 4'0.82534/ - 0.69671z 6.�

6

& ?~{ ( 0( = 0.066666 y1 - 3.92024 - 1.84212 - 3.30136 - 0.69671z 6.�6

& ?~{ ( 0( = 0.066666 y10.76043z 1 0.717362 … 6.�6

& ?~{ ( 0( = 0.7173626.�6

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.7174 Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error � 1 ¿À * ¿g 1 0.7174 * 0.717362 1 0.000038

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.000038

0.7174 1 0.00005297

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.00005297'%/ 1 0.005297%

ConclusiónConclusiónConclusiónConclusión El error presentado en este problema es también pequeño, por lo que puede considerarse una buena aproximación al valor verdadero.


-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.5

1

1.5

2

x

y

Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.1Ejemplo 8.19999.... Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral: & ( tu 0( 6.�

6


Valor de h, 9 1 6.� Q6,., 1 6.�



8@ 8© 8i 8 8j

8 0 0.2 0.4 0.6 0.8

`8 1 1.22140 1.48182 1.82212 2.22554

8 `8 0 0.24428 0.59673 1.093271 1.78043

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11118888.... Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

& ( tu 0( = 0.23 y0 - 4'0.24428/ - 2'0.59673/ - 4'1.09327/ - 1.78043z 6.�

6

& ( tu 0( = 0.066666 y0 - 0.97712 - 1.19346 - 4.37308 - 1.78043z 1 0.23 � 8.32409 6.�

6

& ( tu 0( = 0.066666 y8.32409z 1 0.5549393 …6.�6

& ( tu 0( = 0.55493936.�6

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.5548918… Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error:Calculo de error: � 1 ¿À * ¿g 1 0.5548918 * 0.5549393 1 0.0000475

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0000475

0.5548918 1 0.0000856

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.0000856'%/ 1 0.00856%


ConcConcConcConclusiónlusiónlusiónlusión El error presentado en este problema es bastante reducido, por lo que puede considerarse una buena aproximación al valor verdadero.

d`bþk e` fg�hiý[ e` «

La regla de Simpson de (3/8) considera el valor de T 1 3, con el proposito de obtener una formula para integrar ;'(/ entre cuatro puntos consecutivos (6, (R, (,, (F, consistiendo en aproximar la función mediante una cubica. Partiendo de la formula de Lagrange:

;'(/ � '( * (R/'( * (,/'( * (F/'(6 * (R/'(6 * (,/'(6 * (F/ ;'(6/ - '( * (6/'( * (,/'( * (F/

'(R * (6/'(R * (,/'(R * (F/ ;'(R/ -

- '( * (6/'( * (R/'( * (F/'(, * (6/'(, * (R/'(, * (F/ ;'(,/ - '( * (6/'( * (R/'( * (,/

'(F * (6/'(F * (R/'(F * (,/ ;'(F/

De esta expresión inicial se tiene:

& ;'(/0( �u

u6;'(6/

'(6 * (R/'(6 * (,/'(6 * (F/ & '( * (R/'( * (,/'( * (F/0(u

u6

- ;'(R/'(R * (6/'(R * (,/'(R * (F/ & '( * (6/'( * (,/'( * (F/0(u

u6

- ;'(,/'(, * (6/'(, * (R/'(, * (F/ & '( * (6/'( * (R/'( * (F/0(u

u6

- ;'(F/'(F * (6/'(F * (R/'(F * (,/ & '( * (6/'( * (R/'( * (,/0(u

u6

Tomando sustituciones: ( 1 (6 - à9, ?~`~ (� 1 (6 - �9, � 1 1, 2, 3

(F 1 (6 - 39, {� ( 1 (6, {t v�tTt �àt à 1 0 : {� ( 1 (F; tTv~T?t{ (F 1 (6 - à9, (6 - 39 1 (6 - à9, K{� à 1 3 ( 1 (6, 0( 1 90à, ( * (R 1 ( * (6 * 9 1 à9 * 9 1 9'à * 1/, ( * (, 1 ( * (6 * 29 1 à9 * 29 1 9'à * 2/, ( * (F 1 ( * (6 * 39 1 à9 * 39 1 9'à * 3/, : (Z * (ç 1 '[ * é/9

De esto:

& ;'(/0( �u

u6;'(6/

'*9/'*29/'*39/ & 9'à * 1/9'à * 2/9'à * 3/9 0àF6

- ;'(R/'9/'*9/'*29/ & à99'à * 2/9'à * 3/9 0àF

6


- ;'(,/'29/'9/'*9/ & à99'à * 1/9'à * 3/9 0àF

6

- ;'(F/'39/'29/'9/ & à99'à * 1/9'à * 2/9 0àF

6

Luego:

& ;'(/0( �u

u6*9);'(6/

69F & 'àF * 6à, - 11à * 6/0àF6

- *9);'(R/29F & 'àF * 5à, - 6à/0àF

6

- *9);'(,/29F & 'àF * 4à, - 3à/0àF

6

- *9);'(F/69F & 'uF * 3à, - 2à/0àF

6

De esto resulta:

& ;'(/0( �u

u6* 9;'(6/ * 9

6 � 4 - 9;'(R/92 � 4 * 9;'(,/ * 9

2 � 4 - 9;'(F/96 � 4

& ;'(/0( �u

u6 39;'(6/

8 - 99;'(R/8 - 99;'(,/

8 - 39;'(F/8

Al final se tiene:

& ;'(/0( � 398 y;'(6/ - 3;'(R/ - 3;'(,/ - ;'(F/zu

u6

Esta formula se conoce como la Regla de Simpson (3/8) de la fórmula de Newton – Cotres.

La formulade la regla de Simpson (3/8) con la menor particion de sus intervalos igualmente

espaciados de mayor amplitud con 9 1 fQgFP , sin embargo, para mayor precision, normalmente

se realizan subdivisiones mayores de los intervalos de integracion, para lo cual la formula se generaliza de la siguiente forma: & ;'(/0( � 389y;'(6/ - 3;'(R/ - 3;'(,/ - ;'(F/zu.

u6

La formula de error para la regla de Simpson (3/8) es la siguiente: �';/ 1 * 397

80 ;�À'\/, (6 ] \ ] (F


Regla 3/8 de SimpsRegla 3/8 de SimpsRegla 3/8 de SimpsRegla 3/8 de Simpson Generalizada o compuestaon Generalizada o compuestaon Generalizada o compuestaon Generalizada o compuesta

Considerando la partición M 1 ^(6, (R, (,, (F, … , (P_ del intervalo cerrado [a, b], para 9 1 fQgFP ,

con (Z 1 (6 - 9[, [ 1 0, 1, 2, . . . , T.; Aplicando a cada sub-intervalos y(FZQF, (FZz la regla de Simpson 3/8, luego en cada sub-intervalo se tiene:

& ;'(/0( � 398 y;'(FZQF/ - 3;'(FZQ,/ - 3;'(FZQR/ - ;'(FZ/zuI

uIo

De esto se tiene:

& ;'(/0( � Ç 398

PZÉR y;'(FZQF/ - 3;'(FZQ,/ - 3;'(FZQR/ - ;'(FZ/zf

g

& ;'(/0( � 398 y;'(6/ - ;'(F/ - ;'(�/ - S- ;'(FPQF/ - 3;'(R/ - 3;'()/ - 3;'(�/ - Sfg - 3;'(FPQ,/ - 3;'(,/ - 3;'(7/ - 3;'(�/ - S- 3;'(FPQR/ - ;'(F/ - ;'(�/- ;'(¬/ - S- ;'(6FP/z

& ;'(/0( � 398 ¶;'(6/ - ;'(FP/z - 698 y;'(F/ - ;'(�/ - ;'(¬/ - S- ;'(FPQF/zfg - 998 y;'(R/ - ;'()/ - ;'(�/ - S- ;'(FPQ,/z - 998 y;'(,/ - ;'(7/ - ;'(�/- S- 3;'(FPQR/L

Simplificando:

& ;'(/0( � 398 y;'(6/ - ;'(P/z -u.u6

394 Ç;'(FZ/PQRZÉR - 998 Ç;'(FZQ,/ - 998 Ç ;'(FZQR/

PZÉR

PZÉR

Esta fórmula es la regla compuesta o generalizada de método de 3/8 de Simpson.

La formula de error para la regla de Simpson (3/8) es la siguiente: �';/ 1 * 'L * K/9)80 ;�À'\/, (6 ] \ ] (Fp

Ejemplo 8.Ejemplo 8.Ejemplo 8.Ejemplo 8.20202020.... Usando la regla (3/8) de Simpson, calcular la integral:

& (F �T ( 0( ,.,R


Valor de h, 9 1 fQgFP 1 ,.,QR

F�R 1 R.,F 1 0.4 es el valor del intervalo a tomar.


(6 (R (, (F

( 1 1.4 1.8 2.2

(F 1 2.744 5.832 10.648

�T ( 0 0.33647 0.58779 0.78846

(F �T ( 0 0.92327 3.42799 8.39552


-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.11119999.... Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson: & ;'(/0( � 3 � 0.48 y0 - 3 � 0.92327 - 3 � 3.42799 - 8.39552zu.u6

& ;'(/0( � 3 � 0.48 y0 - 2.76981 - 10.28397 - 8.39552z 1 3 � 0.48 � 21.4493 1u.u6 3.217395

El verdadero valor de la integral buscada es: 3.2159216852 � 1 ¿À * ¿g 1 3.2159216852 * 3.217395 1 0.0014733

�Å 1 �¿À 1 ¿À * ¿g¿À 1 0.0014733

3.2159216852 1 0.000458

�% 1 1001 '%/ 1 100 � ¿À * ¿g¿À '%/ 1 100 � 0.000458'%/ 1 0.0458%

Método de BooleMétodo de BooleMétodo de BooleMétodo de Boole La regla de Boole utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

La formula cerrada de Newton-Cotes, en el caso particular en que T 1 4, es llamada la Regla de Boole, y se expresa por la siguiente fórmula:

& ;'(/0( � 2945 y7;'(6/ - 32;'(R/ - 12;'(,/ - 32;'(F/ - 7;'()/zf

g* 89�

945 ;'�/'\/ '10/

Ejemplo 8.2Ejemplo 8.2Ejemplo 8.2Ejemplo 8.21111.... Utilizar las formulas cerradas de Newton – Cotes para aproximar la integral

& (, �T ( 0(R.7R

a) Usar el método tradicional de calculo b) Usar método del trapecio. c) Método de Simpson (1/3). d) Método de Simpson (3/8). e) Método de Boole.


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se presenta la grafica de la función, para facilitar cualquier interpretación teórica.

Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.Fig. 8.20202020....

a) Resolviendo por el método tradicional de cálculo se tiene: & (, �T ( 0(R.7

R 1 )(F9 '3 ln ( * 1/G

R

R.71 0.1922593577

El valor exacto de la integral con diez cifras decimales exacta es: 0.1922593577

b) Aplicando el método del trapecioAplicando el método del trapecioAplicando el método del trapecioAplicando el método del trapecio se tiene:

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 0.52 y;'1/ - ;'1.5/z 1 1

4 y1 ln 1 - '1.5/, ln 1.5z 1 0.2280741233 � 1 ¿À * ¿g 1 |0.1922593577 * 0.2280741233| 1 0.035814765 Ô 3.58%

c) UsanUsanUsanUsando la regla de Simpson (1/3),do la regla de Simpson (1/3),do la regla de Simpson (1/3),do la regla de Simpson (1/3), con 9 1 fQgP 1 R.7QR, 1 R) .

(6 1 1, (R 1 (6 - 9 1 1.25; (, 1 1.5

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 93 y;'(6/ - 4;'(R/ - ;'(,/z 1 112 y;'1/ - 4;'1.25/ - ;'1.5/z

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 112 y1 ln 1 - 4'1.25/, ln 1.25 - '1.5/, ln 1.5z

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 112 y1.394647195 - 0.9122964932z Ô 0.1922453074

� 1 ¿À * ¿g 1 |0.1922593577 * 0.1922453074| 1 0.0000140503 Ô 0.0014%

d) Usando la regla de Simpson (3/8),Usando la regla de Simpson (3/8),Usando la regla de Simpson (3/8),Usando la regla de Simpson (3/8), con 9 1 fQgP 1 R.7QRF 1 R� .

(6 1 1, (R 1 76 ; (, 1 4

3 ; (F 1 1.5

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 116 y;'(6/ - 3;'(R/ - 3;'(,/ - ;'(F/z

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 116 y0 - 0.62944860 - 1.53430438 - 0.91229649z 1 0.19225309

CÁPITULO 8 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 239 � 1 ¿À * ¿g 1 |0.1922593577 * 0.19225309| 1 0.0000062677 Ô 0.000626%

e) Usando la regla de BooleUsando la regla de BooleUsando la regla de BooleUsando la regla de Boole, con 9 1 fQg) 1 R.7QR

) 1 6.7) 1 R

� 1 0.125 .

& (, �T ( 0(R.7R

Ô 2945 y7;'(6/ - 32;'(R/ - 12;'(,/ - 32;'(F/ - 7;'()/z

(6 1 1, (R 1 1.125; (, 1 1.25; (F 1 1.375; () 1 1.5

& (, �T ( 0( Ô 1180 y0 - 4.77021294406 - 4.18394158714 - 19.2664507327 -R.7

R

… - 6.3860754527z 1 0.192259337314 � 1 ¿À * ¿g 1 |0.1922593577 * 0.1922593373| 1 0.0000000204 Ô 0.000002%

Comparando los resultados obtenidos en los métodos aplicados a la resolución de este problema, se nota que el método que presenta menor error es la Regla de Boole, y el que presenta mayor error es la del trapecio.

EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN En todos los casos considerar el valor de [ tal que © n [ n « Los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales. Utiliza el mejor criterio para la elección del valor de [

Ejercicio 8.1.Ejercicio 8.1.Ejercicio 8.1.Ejercicio 8.1. Utiliza la regla del rectángulo para resolver la siguiente integral definida.

& √( 0( 1 ¯°±²³´óóóóµ: 0.6666641R6

Ejercicio 8.2.Ejercicio 8.2.Ejercicio 8.2.Ejercicio 8.2. Utiliza la regla del rectángulo para encontrar el área de la siguiente integral definida.

& {tT ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 0.37033352R.)R

Ejercicio 8.3.Ejercicio 8.3.Ejercicio 8.3.Ejercicio 8.3. Utilizar la fórmula del punto medio para resolver la siguiente integral.

& ( tu 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.6640234R.,6

Ejercicio 8.4.Ejercicio 8.4.Ejercicio 8.4.Ejercicio 8.4. Utilizar la fórmula del punto medio para resolver la siguiente integral.

& Ý(, - 1 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.4823763,R


Regla del TrapecioRegla del TrapecioRegla del TrapecioRegla del Trapecio Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla del Trapecio. Recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de [

Ejercicio 8.5.Ejercicio 8.5.Ejercicio 8.5.Ejercicio 8.5.

& {tT (( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.8921661R

QR


& (, �T ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 5.928007F,

EEEEjercicio 8.7.jercicio 8.7.jercicio 8.7.jercicio 8.7.

& (,tu 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.3649290RQ,


& (, {tT ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 5.8696044r6


& (, {tT ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 4.7280117rr,

EEEEjercicio 8.10.jercicio 8.10.jercicio 8.10.jercicio 8.10.

& 0(√(, - 1 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.8622957r6


& (Q, {tT ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 0.5777350rR


& {tT,( ?~{ ( 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.1931572R.76.7

EjerciciEjerciciEjerciciEjercicio 8.13.o 8.13.o 8.13.o 8.13.

& 0(2 (, * 3 0( 1 ¯°±²³´°µ: 0.5777350R

6


Regla 1/3 de SimpsonRegla 1/3 de SimpsonRegla 1/3 de SimpsonRegla 1/3 de Simpson Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla 1/3 de Simpson Al resolverlos recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de [


& '(, * 3/0(R,76

¯°±²³´°µ: * 3,375


& '(F * 2(/0(RQR

¯°±²³´°µ: 0


& 0((

,R

¯°±²³´°µ: 1,0986


& (Qu ?~{ ( 0(76

¯°±²³´°µ: 37,3541


& (Qu 0(R6

¯°±²³´°µ: 1,2913


& 0(( - 2

6QR

¯°±²³´°µ: 0,6931


& tu70(R6

¯°±²³´°µ: 1,4627


& tu( 0()

, ¯°±²³´°µ: 14,6766


Ejercicio 8Ejercicio 8Ejercicio 8Ejercicio 8.22..22..22..22.

& tu �T ( 0(R,76

¯°±²³´°µ: 13,7251


& 0(3( - 2

R6

¯°±²³´°µ: 0,3054

Regla 3/8 de SimpsonRegla 3/8 de SimpsonRegla 3/8 de SimpsonRegla 3/8 de Simpson Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla 3/8 de Simpson Recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de [


& Ý1 * (F0(R6

1 ¯°±²³´°µ: 0.8413048161


& 11 - (7 0( 1 ¯°±²³´°µ: 0.8883135727 R

6


& esx dx,

R1 ¯°±²³´°µ: 3.0591165396


& eQs7dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.1352572579,R


& ln xx - 1 dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.147220677,

R


& x tgx dx 1 ¯°±²³´°µ: * 6.1839743165)6



& 1ln x dxF

,1 ¯°±²³´°µ: 1.1184248145


& sen x,dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.8281163288π,

6


& cos x,dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.8491394505π,

6


& Ý1 - xF dxR6

1 ¯°±²³´°µ: 0.4166666667


& √sen xdx 1 ¯°±²³´°µ: 1.1981351805π,

6


& Ýx - x, dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.8689194491R6

EjeEjeEjeEjercicio 8.36.rcicio 8.36.rcicio 8.36.rcicio 8.36.

& '9 * x,/RF dx 1 ¯°±²³´°µ: 2.0538063925R6


& Ýtg x dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.7272956821R6


& sen xx dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.9460830704R

6


Ejercicio 8Ejercicio 8Ejercicio 8Ejercicio 8.39..39..39..39.

& 11 - sen, x dx 1 ¯°±²³´°µ: 0.8093528173π

6

Regla de BooleRegla de BooleRegla de BooleRegla de Boole Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla de Boole. Al resolverlos recordar que los resultados se presentan como mínimo con seis decimales.


& tu 0( 1 ¯°±²³´°µ: 6.3890560989,6


& Ý(F * 1 0( 1 ¯°±²³´°µ: 1.5159226962,R


& x,{tT'2(/ 0( 1 ¯°±²³´°µ: 9.8696044011π/,6


& x,{tT'2(/ 0( 1 ¯°±²³´°µ: 0π

6


& '5 - {tT, (/ 0( 1 ¯°±²³´°µ: 17.2787595947π

6


& ln'x, - 1/ dx 1 ¯°±²³´°µ: 5.9844887036 )6

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 245 CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMDERIVACIÓN NUMDERIVACIÓN NUMDERIVACIÓN NUMÉÉÉÉRICARICARICARICA IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

La derivada es de uso común en la matemática y la ingeniería, sin embargo, en la práctica, existen situaciones en que no se conocen las expresiones analíticas de muchas funciones con las que se trabaja, y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos.

En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresión de la función. De esta manera surge la necesidad de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la función en un soporte dado.

Los métodos de derivación numérica desarrollados con el fin de aproximar algún valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas.

La diferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función cuya derivada es difícil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos experimentales.

El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la función en un punto, cuando únicamente se conocen los valores de la función en una colección de puntos (6, (R, (,, … , (P.

Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como se vio, no es necesario que la aproximación describa con fidelidad la función localmente.

Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cual se debe aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, se puede obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí se experimentará con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.

Una fórmula de diferenciación numérica es un procedimiento que permite aproximar la derivada de la función ;'(/ en un punto (�. Utilizando el valor de ;'(/ en otros puntos vecinos (�. Uno de los métodos de aproximar la derivada de una función ;'(/ en un punto (� consiste en usar el desarrollo de Taylor centrado en (�.

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 246

Definición 9.1.Definición 9.1.Definición 9.1.Definición 9.1. La derivación numérica es una técnica del análisis numérico que permite calcular una aproximación a la derivada de una determinada función en un punto, utilizando los valores y propiedades de la misma. ;'(/ Secante ;'(6 + 9/ ;'(6/ (6 '(6 + 9/ Fig. 9.1.Fig. 9.1.Fig. 9.1.Fig. 9.1. Por definición la derivada de una función ;'(/ es: ;,'(/ 1 lim:>6

;'( - 9/ * ;'(/9

Las posibles aproximaciones numéricas de la derivada en un punto que podrían calcularse tomando una sucesión ^9Z_, Tal que ^9Z_ > 0, se tienen las siguientes expresiones.

Diferencia hacia adelante: ;,'(6/ Ô ;'(6 - 9/ * ;'(6/9

Diferencia hacia atrás: ;,'(6/ Ô ;'(6/ * ;'(6 * 9/9

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de las dos diferencias ofrece la mejor aproximación numérica al problema dado. Definición 9.2.Definición 9.2.Definición 9.2.Definición 9.2. Sean (6, (R, … , (P, (P�R puntos distintos en el intervalo yK, Lz y sean ;'(6/, ;'(R/, … , ;'(P/, T - 1 valores de una función : 1 ;'(/ sobre ( 1 (Z , [ 1 0, 1, 2, … , T. Se define:

;y(Zz 1 ;'(Z/, [ 1 0, 1, 2, … , T;

;y(6, (R, … , (Pz 1 ;y(R, (,, … , (Pz * ;y(6, (R, … , (PQRz(P * (6

Donde ;y(6, (R, … , (Pz es la diferencia dividida de orden T de la función ;'(/ sobre los puntos (6, (R, … , (P.

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 247 Usando esta definición se tiene que: ;y(6, (Rz 1 ;y(Rz * ;y(6z(R * (6 ;y(6, (R, (,z 1 ;y(R, (,z * ;y(6, (Rz(, * (6 ;y(6, (R, (,, (Fz 1 ;y(R, (,, (Fz * ;y(6, (R, (,z(F * (6 De la definición se observa que del lado derecho de cada una de las igualdades se debe aplicar sucesivamente la definición de diferencia dividida hasta que los cálculos contengan el valor de la función en los puntos, o sea:

;y(6, (R, (,z 1 ;y(R, (,z * ;y(6, (Rz(, * (6 1 ;'(, * (R)(, * (R * ;'(R * (6)(R * (6(, * (6 Método de Diferencias FinitasMétodo de Diferencias FinitasMétodo de Diferencias FinitasMétodo de Diferencias Finitas Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma ;'( + L/ * ;'( + K/. Si una diferencia finita se divide por (L * K/ se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

El método de diferencias finitas consiste en aproximar la función por polinomios. Las fórmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras: a/ En base al orden de la derivada, obteniéndose ;,'(6), ;,,'(6), ;,,,'(6), … , ;P'(6) b) En base al orden de la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc. c) En base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se emplean puntos antes, después o ambos lados de algún punto de interés.

Existen tres tipos y son: 1/ Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto de interés. 2/ Diferencias hacia atrás, cuando se emplean puntos posteriores al punto de interés. 3/ Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como después del punto de

interés.

Referencias para las fórmulas de diferencias finitas:

(6: Indica el punto de interés, de estudio o de análisis. 9: Espaciamiento constante de la tabla. ;'(6/: Función evaluada en el punto de análisis.

;'(6�R/ 1 ;'(6 - 9/ y ;'(6QR/ 1 ;'(6 * 9/ ;'(6�P/ 1 ;'(6 + T9/ y ;'(6QP/ 1 ;'(6 * T9/


1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos '�/ e '� - 1/ para estimar la derivada. Al término completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Primera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferencia Segunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferencia

;,'(6/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6/9 ;-'(6/ 1 *;'(6 - 29/ - 4;'(6 - 9/ * 3;'(6/

29

EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.1.9.1.9.1.9.1. Sea la función ln (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.

( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,'5/ 1 0.2

;-'(6/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6/9

1 ;'5.1/ * ;'5/0.1 1 1.62924 * 1.60944

0.1 1 0.198

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û0.2 * 0.1980.2 û 1 0.01, �% 1 |�Å � 100%| 1 '0.01/ � 100% 1 1%

La grafica (9.1.) muestra la funcion y su derivada. ;-'(/ ;'(/ 1 ln ( Fig. 9.Fig. 9.Fig. 9.Fig. 9.2222.... EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.2.9.2.9.2.9.2. Sea la función ln (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 249 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,'5/ 1 @.i ;-'(6/ 1 *;'(6 + 29/ - 4;'(6 - 9/ * 3;'(6/29

1 *;'5.2/ - 4;'5.1/ * 3;'5/2'0.1/ ;-'(6/ 1 *1.64866 - 4'1.62924/ * 3'1.60944/0.2 1 *1.64866 - 6.51696 * 4.828320.2 ;-'(6/ 1 0.039980.2 1 @. ©ªªª

�Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.2 * 0.19990.2 û 1 1 � 10Q), �% 1 |1 � 10Q) � 100%| 1 0.01% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: La aproximación lograda presenta errores muy elevados, pues 1% de error, en la primera diferencia hacia adelante es prácticamente intolerable en un cálculo de este tipo. En la segunda diferencia de este mismo método 'diferencias finitas hacia adelante), sin embargo, presenta un error bastante reducido, del 0.01%, que puede eventualmente considerarse un resultado adecuado. Esta situación denota que la segunda diferencia hacia adelante presenta mejor precisión en la obtención de la derivada. Los resultados obtenidos por este método pueden llegar a ser engañosos, debido a la inestabilidad del método, que es totalmente comprensible por la simplicidad de su forma y los parámetros reducidos considerados para el cálculo. Si el resultado procurado necesita de cierta exactitud respecto del valor real, este método no es recomendable, ya que aleatoriamente puede presentar buena precisión en algunos casos, mientras que en otros producir errores fuera del margen deseado de precisión. Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de difdifdifdiferencias finitas hacia atrás erencias finitas hacia atrás erencias finitas hacia atrás erencias finitas hacia atrás Las expresiones matemáticas que definen este método de diferencias finitas hacia atrás se presentan a continuación. Primera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferencia SSSSegunda diferenciaegunda diferenciaegunda diferenciaegunda diferencia ;,'(6/ 1 ;'(6/ * ;'(6 * 9/

9 ;-'(6/ 1 3;'(6/ * 4;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/29

EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.3.9.3.9.3.9.3. Sea la función �T (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atrás. ( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 250 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,'5/ 1 @.i ;-'(6/ 1 ;'(6/ * ;'(6 * 9/

91 ;'5/ * ;'4.9/0.1 1 1.60944 * 1.589220.1 1 @.i@ii

�Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.2 * 0.20220.2 û 1 0.011, �% 1 |�Å � 100%| 1 '0.011/ � 100% 1 ©. ©% EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.4.9.4.9.4.9.4. Sea la función ln (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrás. ( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'() 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,'5/ 1 @.i ;-'(6/ 1 3;'(6/ * 4;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/29

1 3;'5/ * 4;'4.9/ - ;'4.8/2'0.1/ ;,'u6/ 1 3'1.60944/ * 4'1.58922/ - 1.56862/0.2 1 0.040060.2 1 @.i@@

�Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.2 * 0.2003

0.2 û 1 0.0015, �% 1 |0.0015 � 100%| 1 @. ©Ì% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios La aproximación presentada por este método de diferencias finitas hacia atrás presenta resultados muy parecidos al método de diferencias finitas hacia adelante, la segunda diferencia hacia adelante presenta mejor precisión que la primera diferencia. La aplicación de este método presenta la ventaja de su simplicidad, por lo tanto solo será oportuno usarlo si la precisión deseada no es muy rigurosa, ya que la inestabilidad es característica de este método. Si se pretende precisión y exactitud, este método no es el más apropiado. Inestabilidad numérica de las fórmulasInestabilidad numérica de las fórmulasInestabilidad numérica de las fórmulasInestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitasde diferencias finitasde diferencias finitasde diferencias finitas Las formulas presentadas anteriormente, las de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás, son inestables por naturaleza del método, debido a la operación de dividir entre números cercanos a 0, referido al valor de 9 que es normalmente de valor muy pequeño y cercano a cero. Estas fórmulas no son recomendadas en los procesos en que se desean resultados con mucha precisión, pues como se dijo, presentan inestabilidad inherente en la formula, por lo tanto, su uso no es recomendado, sin embargo, para fines didácticos son totalmente aceptables la presentación de estos métodos. La deducción de las fórmulas puede hacerse empleando las fórmulas de interpolación, o directamente la serie de Taylor.


Fórmulas de dFórmulas de dFórmulas de dFórmulas de diferencias centralesiferencias centralesiferencias centralesiferencias centrales Este método de aproximación numérica presenta la característica de que los valores de '( + 9/ y '( * 9/ se sitúan a ambos lados de (, tanto a la derecha como a la izquierda de (. Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden u'vi/ Teorema 9.1.Teorema 9.1.Teorema 9.1.Teorema 9.1. Suponiendo que ; U ëFyK, Lz, '(6 * 9/, '(6 + 9/ U yK, Lz, entonces: ;,'(6/ Ô ;'(6 + 9/ * ;'(6 * 9/29

Además existen \ 1 \(() U yK, Lz, tan que: ; ,'(6/ 1 ;'(6 + 9/ * ;'(6 * 9/29 - ��';,9/ '9.5/ ��';,9/ 1 * 9,;,,,'\/6 1 u'9,/ Este Teorema se presenta sin demostración:28 Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.5555.... Para estudiar un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a ;,(1.3/ utilizando la formula de derivación numérica por diferencia centrada de orden w'9,/ x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

;'(/ 2.5 2.436851 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472 SoluciónSoluciónSoluciónSolución ;,'(6/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/

29

;,'1.3/ 1 ;'1.4/ * ;'1.2/2'0.1/ 1 2.245066 * 2.372895

0.2 1 *0.1278290.2 1 *@. ª©jÌ

El valor exacto de ;'1.3/ 1 *0.639962

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û*0.639962 * '*0.639145/*0.639962 û 1 8.17 � 10Q)

0.639962 1 1.277 � 10QF, �% 1 |�Å � 100%| 1 |1.277 � 10QF � 100%| 1 @. ©i«% 28 La demostración de este teorema se encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis Numérico (pág. 162). Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia


EjemploEjemploEjemploEjemplo 9. 6.9. 6.9. 6.9. 6. Sea la función ln (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia central, o diferencia finita centrada de orden w'9,/. ( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'() 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,'5/ 1 @. i

;-'(6/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/29

1 ;'5.1/ * ;'4.9/2'0.1/ 1 1.62924 * 1.58922

0.2 1 0.040020.2

;,'(/ 1 0.2001

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û0.2 * 0.20010.2 û 1 5 � 10Q), �% 1 |�Å � 100%| 1 @. @Ì%

Ejemplo 9.7. Ejemplo 9.7. Ejemplo 9.7. Ejemplo 9.7. Si ;'(/ 1 ?~{ (, calcular la aproximación de ;,'6/, usando las fórmulas de las diferencias centradas de orden w'9,/ con 9 1 0.1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución

a/ Con La formula de diferencias centradas de orden w'9,/

;,'(6/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/29

;,'6/ 1 ;'6.1/ * ;'5.9/2'0.1/ 1 0.983268 * 0.927478

0.2 1 0.0055790.2 1 0.27895

El valor exacto de ;'(/ 1 ?~{ (, para ;'6/ 1 0.2794154982

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û0.279415 * 0.278950.279415 û 1 1.6642 � 10QF, �% 1 |�Å � 100%| 1 0.166%

Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden Derivación numérica por diferencia centrada de orden u'vj/

Teorema 9.2.Teorema 9.2.Teorema 9.2.Teorema 9.2. Suponiendo que ; U ë7yK, Lz, '(6 * 29/, '(6 * 9/, '(6 - 9/, '(6 - 29/ U yK, Lz, entonces: ;,'(/ Ô *;'(6 - 29/ - 8;'(6 - 9/ * 8;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/

129 '9.6/

Además existe \ 1 \'(6/ U yK, Lz, tal que

;,'(/ Ô *;'(6 - 29/ - 8;'(6 - 9/ * 8;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/129

- ��';,9/; '9.7/

��';,9/ 1 9);7'\/30 1 w'9)/

Este Teorema se presenta sin demostración:29 29 La demostración de este teorema se encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis Numérico (pág. 164). Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia


Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.8888.... Para estudiar un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a ;,'1.3/ utilizando la formula de derivación numérica por diferencia centrada de orden w'9)/ x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 ;(() 2.5 2.436851 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472 SoluciónSoluciónSoluciónSolución

;,'(/ 1 *;'(6 - 29/ - 8;'(6 - 9/ * 8;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/129

;,'(/ 1 *;'1.5/ - 8;'1.4/ * 8;'1.2/ - ;'1.1/12'0.1/

;,'(/ 1 *2.182179 - 8'2.245066/ * 8'2.372895/ - ;'2.436851/1.2

;,'(/ 1 *2.182179 - 17.960528 * 18.98316 - 2.4368511.2 1 *0.76796

1.2 1 *@. ªª� El valor exacto de ;'1.3/ 1 *0.639962

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û*0.639962 * '*0.639967/*0.639962 û 1 5 � 10Q�

0.639962 1 7.813 � 10Q�, �% 1 |�Å � 100%| 1 |1.813 � 10Q� � 100%| 1 @. @@@�«% EjemploEjemploEjemploEjemplo 9. 9.9. 9.9. 9.9. 9. Sea la función ln (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita central, o diferencia finita centrada de orden w'9)/.

;-'(6/ 1 *;'(6�,/ - 8;'(6�R/ * 8;'(6QR/ - ;'(6Q,/129

;-'(6/ 1 *;'5.2/ - 8;'5.1/ * 8;'4.9/ - ;'4.8/12'0.1/

;-'(6/ 1 *1.64866 - 13.03392 * 12.71376 - 1.568621.2 1 0.24012

1.2 1 @. i@@©

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û0.2 * 0.20010.2 û 1 5 � 10Q), �% 1 |5 � 10Q) � 100%| 1 @. @Ì%

Ejemplo 9.10. Ejemplo 9.10. Ejemplo 9.10. Ejemplo 9.10. Si ;'(/ 1 ?~{ (, calcular la aproximación de ;,'6/, usando las fórmulas de las diferencias centradas de orden w'9)/ con 9 1 0.1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución ;,'(/ 1 *;'(6 - 29/ - 8;'(6 - 9/ * 8;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/

129


;,'6/ 1 *;'6.2/ - 8;'6.1/ * 8;'5.9/ - ;'5.8/12'0.1/

;,'6/ 1 *0.996542 - 8'0.983264/ * 8'0.927478/ - 0.8855201.2

;,'6/ 1 *0.996542 - 7.866112 * 7.419824 - 0.8855201.2 1 0.335266

1.2 1 @. i�ª«« El valor exacto de ;'(/ 1 ?~{ (, para ;'6/ 1 0.2794154982 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û0.279415 * 0.279388

0.279415 û 1 G2.7 � 10Q70.279415 G 1 9.663 � 10Q7,

�% 1 |�Å � 100%| 1 �9.663 � 10Q7 � 100%� 1 @. @@ª% ComentariosComentariosComentariosComentarios A primera vista parecería ser que estas formulas de diferencias centrales acercan bastante los

resultados obtenidos al valor verdadero de la derivada de la función buscada, ya que con las diferencias centradas de orden w'9,/ el error producido en el ejemplo es de 0.166%, error que podría considerarse normal o por lo menos aceptable; sin embargo en error producido con la formula de diferencias centradas de orden w'9)/ es aun menor, tan solo de 0.0096%, arrojando una precisión mucho mayor. Entre todas las formulas de diferencias finitas, la que arroja mayor precisión es la fórmula de diferencias centradas de orden w'9)/, por lo menos para hallar la primera derivada de una función ;'(/. Por lo tanto, a modo de conclusión general respecto a estas formulas de diferencias finitas, se debe tener muy en cuenta que cuando se desea precisión, estas formulas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico. Fórmulas de los tres puntosFórmulas de los tres puntosFórmulas de los tres puntosFórmulas de los tres puntos Las formulas de los tres puntos corresponden a los métodos de tres puntos que obtienen las derivadas diferenciando un polinomio interpolante de Lagrange para una función ;'(/. La siguientes corresponden a las fórmulas de los tres puntos

;,'(/ 1 129 y;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/z * 9,;,,,'\R/

3! , \ U y(6 * 9, (6 - 9z ;,'(/ 1 ;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/

29 * 9,;,,,'\R/6 'ª. «/

;,'(6/ 1 1

29 y*3;'(6/ - 4;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/z - ;F'\,/9,3 , \ U y(6, (6 - 29z

;,'(6/ 1 *3;'(6/ - 4;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/

29 - ;F'\,/9,3 'ª. ª/

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 255 Las ecuaciones '9.8/ y '9.9/, 'primera y segunda fórmula de los tres puntos, respectivamente/ son las llamadas fórmulas de los tres puntos de derivación numérica, aun cuando la formula '9.8/ solamente utiliza dos puntos y no aparece en ella el punto central (6. El error presentado en la ecuación '9.8/ es aproximadamente la mitad que en la ecuación '9.9/, esta situación se debe a que en la ecuación '9.8/ se usan datos que están a ambos lados de (6, mientras que en la ecuación '9.9./ se considera solo un lado y se desconoce el valor del otro lado que está fuera del intervalo. La ventaja que presenta la ecuación '9.8/ es su simplicidad, ya que ; solamente se evalúa en dos puntos, mientras que la ecuación '9.9/ necesita tres puntos. Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9.11..11..11..11. Aproximar el valor de la función ;,'3/ si ;'(/ 1 �T( {tT (, utilizando la fórmula '9.8/ de los tres puntos, con 9 1 0.1 Solución:Solución:Solución:Solución: Se parte de la fórmula: ;,'(/ 1 ;'( + 9/ * ;'( * 9/29 ;,'3/ 1 ;'3 - 0.1/ * ;'3 * 0.1/2'0.1/ 1 ;'3.1/ * ;'2.9/0.2 1 ln3.1 � {tT3.1 * ln2.9 � {tT2.90.2 ;,'3/ 1 1.131402� 0.041581 * 1.064712� 0.239249

0.2 1 0.047044 * 0.2547310.2

;,(3) 1 0.2076870.2 1 *©. @«j�

Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ;(() 1 �T( {tT ( es ;,(3) 1 *©. @j@Ì�« � 1 |¿À * ¿g| 1 |*1.040578 – (*1.038437)| 1 2.141 � 10QF 1 0.002141

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û�¿À

û û 0.002141*1.040578û 1 2.0575 � 10QF 1 0.0020575

�% 1 �Å � 100% 1 0.0020575 � 100% 1 @. i% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: La aproximación lograda es bastante buena, pues el error porcentual es solamente del 0.2%, y este valor es aceptable para cualquier cálculo promedio. Además, debe tenerse siempre en cuenta el tipo de cálculo que se realiza y la precisión que se requiera para estimar el error. Ejemplo 9.12.Ejemplo 9.12.Ejemplo 9.12.Ejemplo 9.12. Aproximar el valor de la función ;,(3) si ;(() 1 �T( {tT (, utilizando la fórmula (9.9) de los tres puntos, con 9 1 0.1 Solución:Solución:Solución:Solución: La solución inicia con la formula de los tres puntos (9.9) ;,((6) 1 1

29 y*3;((6) - 4;((6 - 9) * ;((6 - 29)z


;,'3/ 1 10.2 y*3;'3/ - 4;'3 - 0.1/ * ;'3 - 2 � 0.1/z 1 10.2 y*3;'3/ - 4;'3.1/ * ;'3.2/z ;,'3/ 1 10.2 y*3'�T3 � {tT3/ - 4'�T3.1 � {tT3.1/ * '�T3.2 � {tT3.2/z ;,'3/ 1 10.2 y*3'1.09861 � 0.14112/ - 4'1.13140 � 0.04158/ * '1.16315 � '*0.05837/z ;,'3/ 1 10.2 y*3'0.155036/ - 4'0.0470436/ * '*0.067893/z ;,'3/ 1 10.2 y*0.465108 - 0.1881744 - 0.067893z 1 10.2 y*0.2090406z 1 *©. @jÌi@ Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ;'(/ 1 �T( {tT ( es ;,'3/ 1 *1.040578 � 1 |¿À * ¿g| 1 |*1.040578 – '*1.045203/| 1 4.625 � 10QF 1 0.004625 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û 0.004625*1.040578û 1 4.4446 � 10QF 1 0.0044446 �% 1 �Å � 100% 1 0.0044446 � 100% 1 @. jj% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: En este caso, con la aplicación de la formula '9.9) de los tres puntos la aproximación lograda

es de menor precisión que la de '9.8), aun así, sigue siendo bastante buena la aproximación

lograda, pues el error porcentual es de 0.44%.

Comparando los dos ejercicios resueltos se nota claramente que la ecuación '9.8/ presenta menor error, aproximadamente la mitad de error producido por '9.9), lo que se había ya

indicado al definir las dos fórmulas de los tres puntos.

ImporImporImporImportante:tante:tante:tante: Recodar siempre que el error puede ser pequeño o grande dependiendo siempre

de la precisión que se desee al evaluar una determinada función.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 9.13.9.13.9.13.9.13. Aproximar el valor de la función ;,'3/ si ;'(/ 1 �T( vw (, utilizando la fórmula de los tres puntos, con 9 1 0.1 Solución:Solución:Solución:Solución: La solución inicia con la formula de los tres puntos ;,'(6/ 1 129 y;'(6 - 9/ * ;'(6 * 9/z Se parte de la fó rmula: ;,'(/ 1 ;'( + 9/ * ;'( * 9/29 ;,'3/ 1 12 � 0.1 y;'3 - 0.1/ * ;'3 * 0.1/z 1 10.2 y;'3.1/ * ;'2.9/z ;,'3/ 1 10.2 y'�T3.1 � vw 3.1/ * 'ln 2.9 � vw 2.9/z

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 257 ;,'3/ 1 10.2 y'1.131402 � '*0.0416166// * '1.0647107 � '*0.2464053/z ;,'3/ 1 10.2 y*0.0470851 - 0.2623504z 1 5y0.2152653z 1 1.0763265 ;,'3/ 1 1.0763265 Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ;'(/ 1 �T( vw ( es ;,'3/ 1 1.0734200453 � 1 |¿À * ¿g| 1 |1.07342 * 1.0763265/| 1 2.9 � 10QF 1 0.0029 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û 0.00291.07342û 1 2.7 � 10QF 1 0.0027 �% 1 �Å � 100% 1 0.0027 � 100% 1 0.27% EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 9.14. 9.14. 9.14. 9.14. Aproximar el valor de la función ;,'5.7/ si ;'(/ 1 2( ?~{ (, utilizando la fórmula de los tres puntos '9.9/, con 9 1 0.1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución ;,'(6/ 1 *3;'(6/ - 4;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/29 - ;F'\,/9,3 ( 5.7 5.8 5.9 ;'(/ 1 2( cos ( 9.515726 10.272026 10.944245 ;,'5.7/ 1 *3;'5.7/ - 4;'5.8/ * ;'5.9/2'0.1/ 1 *3'9.515726/ - 4'10.272026/ * '10.944245/2'0.1/ ;,'5.7/ 1 , *28.547178 - 41.088104 * 10.9442450.2 1 1.5966810.2 1 �. ª«j@Ì Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ;'(/ 1 2( ?~{ ( es ;,'5.7/ 1 7.947241 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û7.947241 * 7.9834057.947241 û 1 4.55 � 10QF 1 0.00455 �% 1 �Å � 100% 1 0.00455 � 100% 1 @. jÌ%


Fórmula de los cinco puntosFórmula de los cinco puntosFórmula de los cinco puntosFórmula de los cinco puntos Las formulas de los cinco puntos se pueden obtener de manera similar a la de las formulas de los tres puntos. También es posible emplear la extrapolación para lograr derivadas de menor dificultad para estas formulas. Las siguientes corresponden a las fórmulas de los cinco puntos ;,'(6/ 1 1129 y*25;'(6/ - 48;'(6 - 9/ * 36;'(6 - 29/ - 16;'(6 - 39/ * 3;'(6 - 49/z

- ;'7/'\6/9)5 , ;,'(6/ 1 1129 y*3;'(6 * 9/ * 10;'(6/ - 18;'(6 - 9/ * 6;'(6 - 29/ - ;'(6 - 39/z

* ;'7/'\R/9)5 , ;,'(6/ 1 1129 y;'(6 * 29/ * 8;'(6 * 9/ - 8;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/z - ;'7/'\,/9)30 , ;,'(6/ 1 1129 y4;'(6 * 39/ - 6;'(6 - 29/ * 8;'(6 * 9/ - 34;'(6/ - 3;'(6 - 9/ - 34;'(6/z

- ;'7/'\F/9)30 , ;,'(6/ 1 1129 y;'(6 * 49/ * 3;'(6 * 39/ - 4;'(6 * 29/ * 36;'(6 * 9/ - 25;'(6/z

- ;'7/'\)/9)5 , Entre las distintas fórmulas de cinco puntos, las más utilizadas son: ;,'(6) 1 1129 y*25;'(6/ - 48;'(6 - 9/ * 36;'(6 - 29/ - 16;'(6 - 39/ * 3;'(6 - 49/z- ;'7/'\6/9)5 ,

;,'(6/ 1 1129 y;'(6 * 29/ * 8;'(6 * 9/ - 8;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/z - ;'7/'\,/9)30 , EjemplEjemplEjemplEjemploooo 9.15.9.15.9.15.9.15. Aproximar el valor de la función ;,'3/ si ;'(/ 1 �T( {tT (, utilizando la fórmula de los cinco puntos, con 9 1 0.1 Solución:Solución:Solución:Solución: Se inicia el cálculo de la solución partiendo de la formula de los cinco puntos ;,'(6) 1 1129 y;'(6 * 29/ * 8;'(6 * 9/ - 8;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/z ;,'3/ 1 112 � 0.1 y;'3 * 0.2/ * 8;'3 * 0.1/ - 8;'3 - 0.1/ * ;'3 - 0.2/z


;,'3/ 1 11.2 y;'2.8/ * 8;'2.9/ - 8;'3.1/ * ;'3.2/z ;,'3/ 1 11.2 y'�T2.8 � {tT2.8/ * 8'�T2.91 � {tT2.9/ - 8'�T3.1 � {tT3.1/ * '�T3.2 � {tT3.2/z ;,'3/ 1 11.2 y1.029619 � '0.334988/ * 8'1.06471 � 0.239249/ - 8'1.1314 � 0.04158/* '1.16315 � '*0.058374/z ;,'3/ 1 11.2 y'0.34491/ * 8'0.25473/ - 8'0.047044/ * '*0.0678977/z ;,'3/ 1 11.2 y'0.34491/ * 2.03784 - 0.376352 - 0.0678977z ;,'3/ 1 11.2 y1.24868z 1 *1.0405669 Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error:Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ;'(/ 1 �T( {tT ( es ;,'3/ 1 *1.040578 � 1 |¿À * ¿g| 1 |*1.040578 – '*1.0405669/| 1 1.111 � 10Q) 1 0.0001111 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û0.0001111*1.040578û 1 1.06768 � 10Q) 1 0.000106768 �% 1 �Å � 100% 1 0.000106768 � 100% 1 0.0106% Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.Ejemplo 9.16161616.... Aproximar a ;-'4.2/ la función ;'(/ = ln ( vw (, utilizando la fórmula de los cinco puntos, con 9 1 0.1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución ;,'(6/ 1 ;'(6 * 29/ * 8;'(6 * 9/ - 8;'(6 - 9/ * ;'(6 - 29/129

- ;'7/'\,/9)30 , ( 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 ;'(/ 1 �T( vw( 1.605081 2.008577 2.551264 3.334172 4.587527 6.974906 ;,'4.2/ 1 ;'4.0/ * 8;'4.1/ - 8;'4.3/ * ;'4.4/12'0.1/ ;,'4.2/ 1 1.605081 * 8'2.008577/ - 8'3.334172/ * '4.587527/1.2 ;,'4.2/ 1 1.605081 * 16.068616 - 26.673376 * 4.5875271.2 1 7.6223141.2 1 6.351928 El valor verdadero de la derivada de la función ;'(/ 1 �T( vw( es ;,'4.2/ 1 6.393951 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û6.393951 * 6.3519286.393951 û 1 6.5723 � 10QF 1 0.0065723 �% 1 �Å � 100% 1 0.0065723 � 100% 1 0.657%

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 260 CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: La aproximación lograda con la formula de los cinco puntos es excelente, puede notarse en este ejercicio que el error porcentual es de apenas 0.01%, y que la aproximación lograda puede considerarse un valor totalmente valido, demostrando que este método es el mejor que cualquiera de lo empleado anteriormente. Errores de truncamiento y de redondeo.Errores de truncamiento y de redondeo.Errores de truncamiento y de redondeo.Errores de truncamiento y de redondeo. Debido a la naturaleza discreta del computador los resultados numéricos no son exactos y que el error de redondeo está siempre presente en los cálculos. Por ello, cuando se calculan derivadas numéricamente el error en la solución es la suma del error de truncamiento, que proviene de la formula de aproximación, y el de redondeo, que es debido al computador. Ambos errores pueden ser importantes e interesa minimizarlos.

El error de truncamiento puede reducirse disminuyendo el valor de 9 en las formulas, sin embargo, al disminuir 9 se va restando valores de ;'(/ cada vez más próximos y esto se traduce en una mayor influencia del error de redondeo. Por ello, la mejor precisión no se consigue con el valor de 9 más pequeño posible, sino con un valor que sin producir un gran error de redondeo disminuya lo suficiente el error de truncamiento. Derivadas de orden superiorDerivadas de orden superiorDerivadas de orden superiorDerivadas de orden superior El mismo procedimiento que se ha seguido al deducir fórmulas para calcular numéricamente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas de orden superior, partiendo del desarrollo de Taylor. Como ejemplo se presentan las siguientes expresiones: ;'( + 9/ 1 ;'(/ + 9;,'(/ + 9,2! ;,,'(/ - 9F3! ;,,,'(/ - 9)4! ;�À'�R/ ;'( * 9/ 1 ;'(/ * 9;,'(/ - 9,2! ;,,'(/ * 9F3! ;,,,'(/ - 9)4! ;�À'�,/

Sumando las ecuaciones anteriores y despejando se tiene que: ;,,'(/ 1 ;'( - 9/ * 2;'(/ ;́'( * 9/

9, * 9,12 ;�À'�/

Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior. Si bien existen muchas variantes de cada método de integración numérica, aquí se presentan tantas variantes de formulas, pero más bien a modo ilustrativo, para dimensionar mejor el alcance del cálculo numéricos, pues algunas de las formulas presentadas no serán utilizadas, por lo tanto, es mejor pecar por abundancia de formulas y no por deficiencia de las mismas. A continuación se presentar algunas formulas de derivación numérica de orden superior. Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Recordar que: (R 1 (6 + 9, (, 1 (6 + 29; (F 1 (6 + 39; (P 1 (6 + T9 También que: ;6 1 ;'(6/; ;R 1 ;'(R/; ;, 1 ;'(,/; ;P 1 ;'(P/

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 261 Primera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferencia ;,,'(6/ 1 ;'(6�,/ * 2;'(6�R/ - ;'(6/9, 1 ;'(6/ * 2;'(R/ - ;'(,/9,

;---'(6/ 1 ;'(6�F/ * 3;'(6�,/ - 3;'(6�R/ * ;'(6/

9F

;�À'(6/ 1 ;'(6�)/ * 4;'(6�F/ - 6;'(6�,/ * 4;'(6�R/ - ;'(6/9) Segunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferencia ;--'(6/ 1 *;'(6�F/ + 4;'(6�,/ * 5;'(6�R/ - 2;'(6/

9, ;---'(6/ 1 *3;'(6�)/ - 14;'(6�F/ * 24;'(6�,/ - 18;'(6�R/ * 5;'(6/29F ;�À'(6/ 1 *2;'(6�7/ - 11;'(6�)/ * 24;'(6�F/ - 26;'(6�,/ * 14;'(6�R/3;'(6/

9) EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.17.9.17.9.17.9.17. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.

( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,,'5/ 1 *@. @j Calculo de la segunda derivada

;,,'(6/ 1 ;'(6�,/ * 2;'(6�R/ - ;'(6/9, 1 ;'5.2/ * 2;'5.1/ - ;'5/

'0.1/,

;,,'(6/ 1 1.64866 * 2'1.62924/ - 1.609440.01 1 3.8 � 10Q)

0.01 1 *@. @«

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û*0.04 * '*0.038/*0.04 û 1 0.05, �% 1 |�Å � 100%| 1 '0.05/ � 100% 1 5%

EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.18.9.18.9.18.9.18. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 262 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de : ;,,'5/ 1 *@. @j Segunda derivadaSegunda derivadaSegunda derivadaSegunda derivada ;--'(6/ 1 *;'(6�F/ + 4;'(6�,/ * 5;'(6�R/ - 2;'(6/

9, ;--'(6/ 1 *;'5.3/ - 4;'5.2/ * 5;'5.1/ - 2;'5/'0.1/, ;--'(6/ 1 *1.6677 - 4'1.64866/ * 5'1.62924/ - 2'1.60944/0.01 ;,,'u6/ 1 *1.6677 - 6.59464 * 8.1462 - 3.218880.01 1 *3.8 � 10Q)0.01 1 *@. @«

�Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û*0.04 * '*0.038/*0.04 û 1 0.05, �% 1 |0.05 � 100%| 1 Ì% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: La aproximación lograda en los dos casos anteriores presenta errores muy elevados, prácticamente intolerables en un cálculo de este tipo. Estos errores elevados presentados son debidos a la inestabilidad de los métodos empleados. Los resultados obtenidos por este método son engañosos, por la inestabilidad que presentan debido a la simplicidad de su forma y a los parámetros reducidos considerados para el cálculo. Si el resultado procurado necesita de cierta exactitud respecto del valor real, este método no es recomendable, ya que casi aleatoriamente puede presentar buena precisión en algunos casos, mientras que en otros producir errores muy grandes. Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás diferencias finitas hacia atrás diferencias finitas hacia atrás diferencias finitas hacia atrás Primera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferencia ;--'(6/ 1 ;'(6/ * 2;'(6QR/ - ;'(6Q,/

9,

;---'(6/ 1 ;'(6/ * 3;'(6QR/ - 3;'(6Q,/ * ;'(6QF/9F

;�À'(6/ 1 ;'(6/ * 4;'(6QR/ - 6;'(6Q,/ * 4;'(6QF/ - ;'(6Q)/9)

SSSSegunda diferenciaegunda diferenciaegunda diferenciaegunda diferencia ;--'(6/ 1 2;'(6/ * 5;'(6QR/ - 4;'(6Q,/ * ;'(6QF/

9,

;---'(6/ 1 5;'(6/ * 18;'(6QR/ - 24;'(6Q,/ * 14;'(6QF/ - 3;'(6Q)/29F

;�À'(6/ 1 3;'(6/ * 14;'(6QR/ - 26;'(6Q,/ * 24;'(6QF/ - 11;'(6Q)/ * 2;'(6Q7/9)


EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.19.9.19.9.19.9.19. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atrás. ( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'() 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,,'5/ 1 *0.04 DDDDiferencias finitaiferencias finitaiferencias finitaiferencias finitas hacia atrás 'primera diferencia/s hacia atrás 'primera diferencia/s hacia atrás 'primera diferencia/s hacia atrás 'primera diferencia/ Segunda derivadaSegunda derivadaSegunda derivadaSegunda derivada ;--'(6/ 1 ;'(6/ * 2;'(6QR/ + ;'(6Q,/

9, 1 ;'5/ * 2;'4.9/ + ;'4.8/'0.1/, ;--'(6/ 1 1.60944 * 2'1.58922/ - 1.56862

0.011 *3.8 � 10Q)

0.011 *0.038

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û*0.04 * '*0.038/*0.04 û 1 0.05, �% 1 |�Å � 100%| 1 '0.05/ � 100% 1 Ì%

EjemploEjemploEjemploEjemplo 9.20.9.20.9.20.9.20. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrás. ( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'() 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677 Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,,'5/ 1 *0.04

;--'(6/ 1 2;'(6/ * 5;'(6QR/ - 4;'(6Q,/ * ;'(6QF/9, 1 2;'5/ * 5;'4.9/ - 4;'4.8/ * ;'4.7/

'0.1/,

;,,'u6/ 1 2'1.60944/ * 5'1.58922/ - 4'1.56862/ * 1.547560.01 1 *3 � 10Q)

0.001 1 *@. @ �Å 1 û¿À * ¿g

¿Àû 1 û*0.04 * '*0.03/

*0.04 û 1 0.25, �% 1 |0.25 � 100%| 1 iÌ% CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios:::: La aproximación presentada por este método de diferencias hacia atrás presenta resultados muy parecidos al método de diferencias hacia adelante; sin embargo para la segunda derivada se nota que el error producido es del 25%, totalmente intolerable en un cálculo donde normalmente se pretende precisión y exactitud. Los resultados obtenidos por este método son igualmente engañosos, debido también a la inestabilidad del método.


Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de Fórmulas de diferencias finitas centralesdiferencias finitas centralesdiferencias finitas centralesdiferencias finitas centrales Primera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferenciaPrimera diferencia ;--'(6/ 1 ;'(6�R/ * 2;'(6/ - ;'(6QR/

9,

;---'(6/ 1 ;'(6�,/ * 2;'(6�R/ - 2;'(6QR/ * ;'(6Q,/29F

;�À'(6/ 1 ;'(6�,/ * 4;'(6�R/ - 6;'(6/ * 4;'(6QR/ - ;'(6Q,/9) Segunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferenciaSegunda diferencia

;--'(6/ 1 *;'(6�,/ + 16;'(6�R/ * 30;'(6/ - 16;'(6QR/ * ;'(6Q,/129, ;---'(6/ 1 *;'(6�F/ + 8;'(6�,/ * 12;'(6�R/ - 12;'(6QR/ * 8;'(6Q,/ - ;'(6QF/89F ;)'(6/ 1 *;'(6�F/ - 12;'(6�,/ * 39;'(6�R/ - 56;'(6/ * 39;'(6QR/ - 12;'(6Q,/ * ;'(6QF/69) EjemploEjemploEjemploEjemplo 9. 21.9. 21.9. 21.9. 21. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita central.

( 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 ;'(/ 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

Solución:Solución:Solución:Solución: Para ;'(/ 1 �T (. El valor verdadero de ;,,'5/ 1 *@. @j ;--'(6/ 1 ;'(6�R/ * 2;'(6/ - ;'(6QR/

9, 1 ;'5.1/ * 2;'5/ - ;'4.9/'0.1/, ;,,'u6/ 1 1.62924 * 2'1.60944/ - 1.589220.01 1 1.62924 * 3.21888 - 1.589220.01 1 *@.@ji �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û*0.04 * '*0.042/*0.04 û 1 0.05, �% 1 |�Å � 100%| 1 '0.05/ � 100% 1 Ì% EjemploEjemploEjemploEjemplo 9. 29. 29. 29. 22.2.2.2. Sea la función ln (, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 5, en base a la siguiente tabla, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita central.

k/ ;--'(6/ 1 *;'(6�,/ - 16;'(6�R/ * 30;'(6/ - 16;'(6QR/ * ;'(6Q,/129,


;--'(6/ 1 *;'5.2/ - 16;'5.1/ * 30;'5/ - 16;'4.9/ * ;'4.8/12 � '0.1/, ;--'(6/ 1 *1.64866 - 16'1.62924/ * 30'1.60944/ - 16'1.58922/ * '1.56862/0.12

;--'(6/ 1 *1.64866 - 26.06784 * 48.2772 - 25.42752 * 1.568620.12 1 8.8 � 10Q)0.12 1 0.0073 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û*0.04 * 0.0073*0.04 û 1 1.1825, �% 1 |�Å � 100%| 1 ©©«. iÌ% b) Se buscará de nuevo la derivada segunda, pero con un valor de h menor que el anterior, reduciendo dicha amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de 9 = 0.1 a 9 = 0.05

( 4.85 4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15 ;'(/ 1.578979 1.589235 1.599388 1.60944 1.619388 1.62924 1.638997

;--'(6/ = *;'(6�,/ - 16;'(6�R/ * 30;'(6/ - 16;'(6QR/ * ;'(6Q,/

129,

;--'(6/ = *;'5.1/ - 16;'5.05/ * 30;'5.00/ - 16;'4.95/ * ;'4.90/12'0.05/,

;--'(6/ = *1.62924 - 16'1.619388/ * 30'1.60944/ - 16'1.599388/ * ;'1.589235/0.03

;--'(6/ = *1.62924 - 25.9102 * 48.2832 - 25.5902 * 1.5892350.03 =

;--'(6/ = *1.275 � 10QF0.03 = *0.0425

�Å = û¿À * ¿g¿À

û = û*0.04 * '*0.0425/*0.04 û = 0.0625, �% = |�Å � 100%| = 6. iÌ%

CoCoCoComentariosmentariosmentariosmentarios

La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% '118,25%/, razón por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la fórmula empleada sea errónea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantías de buen resultados en el cálculo de diferencias, agregándose a esto la amplitud de h, que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de h a la mitad, el resultado obtenido se acerca bastante al valor verdadero, pues el error porcentual producido es solamente del 6,25%, pero aun así, sigue siendo un error muy grande.

Por lo tanto, a modo de conclusión general respecto a estas formulas de diferencias finitas, cuando se desea precisión, estas formulas de diferencias finitas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico.


Resumen de fórmulas de derivación numéricaResumen de fórmulas de derivación numéricaResumen de fórmulas de derivación numéricaResumen de fórmulas de derivación numérica Fórmulas para calcular derivadas primerasFórmulas para calcular derivadas primerasFórmulas para calcular derivadas primerasFórmulas para calcular derivadas primeras ;,'(6/ Ô ;'(6 + 9/ * ;'(6 * 9/29 - w'9,/ ;,'(/ Ô *;'(6 + 29/ - 8;'(6 - 9/ * 8;'(6 * 9/ - ;'(6 * 29/129 - w'9)/ ;,'(6/ Ô *3;'(6/ - 4;'(R/ * ;'(,/29 ;,'(6/ Ô 1129 y*25;'(6/ - 48;'(R/ * 36;'(,/ - 16;'(F/ * 3;'()/z ;,'(6/ Ô 1129 y;'(Q,/ * 8;'(QR/ - 8;'(R/ * ;'(,/z Formulas para calcular derivadas segundasFormulas para calcular derivadas segundasFormulas para calcular derivadas segundasFormulas para calcular derivadas segundas ;,,'(6/ Ô ;'(6/ * 2;'(R/ - ;'(,/9, - w'9/ ;,,'(6/ Ô ;'(R/ * 2;'(6/ - ;'(QR/9, - w'9,/ ;,,'(6/ Ô *;'(F/ + 4;'(,/ * 5;'(R/ - 2;'(6/9, - w'9,/ ;,,'(6/ Ô *;'(,/ + 16;'(R/ * 30;'(6/ - 16;'(QR/ * ;'(Q,/129, - w'9)/ Formulas para calcular derivadas tFormulas para calcular derivadas tFormulas para calcular derivadas tFormulas para calcular derivadas terceraserceraserceraserceras ;,,,'(6/ Ô ;'(F/ * 3;'(,/ - 3;'(R/ * ;'(6/9F - w'9/ ;,,,'(6/ Ô ;'(,/ * 2;'(R/ - 2;'(QR/ * ;'(Q,/29F - w'9,/ ;,,,'(6/ Ô *;'(F/ + 8;'(,/ * 12;'(R/ - 12;'(QR/ * 8;'(Q,/ - ;'(QF/89F - w'9)/


Formulas pFormulas pFormulas pFormulas para calcular derivadas cuartasara calcular derivadas cuartasara calcular derivadas cuartasara calcular derivadas cuartas ;�À'(6/ Ô ;'()/ * 4;'(F/ - 6;'(,/ * 4;'(R/ - ;'(6/9) - w'9/ ;�À'(6/ Ô ;'(,/ * 4;'(R/ - 6;'(6/ * 4;'(QR/ - ;'(Q,/9) - w'9,/ ;�À'(6/ Ô *;'(F/ + 12;'(,/ * 39;'(R/ - 56;'(6/ * 39;'(QR/ - 12;'(Q,/ * ;'(QF/69) - w'94/ ;---'(6/ Ô *3;'(6�)/ - 14;'(6�F/ * 24;'(6�,/ - 18;'(6�R/ * 5;'(6/29F ;�À'(6/ Ô *2;'(6�7/ - 11;'(6�)/ * 24;'(6�F/ - 26;'(6�,/ * 14;'(6�R/3;'(6/

9) EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1. Sea la función �T ( vw (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 1.2, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante. Solución: Solución: Solución: Solución: 3.5320140921 Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2. Sea la función tu ?~{ (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 0.5, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante. Solución: Solución: Solución: Solución: 0.6564499534 Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3. Sea la función tu, {tT (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 1, con 9 1 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atras. SolSolSolSolución: ución: ución: ución: 6.0434045143


Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4. Completar el siguiente cuadro con las aproximaciones correspondientes, usar la formula de los tres puntos. ( -0.4 -0.2 0.0 0.2 ;'(/ 1.670320046 1.8187307531 2.0 1.8187307531 ;,'(/ Solución: Solución: Solución: Solución: 0.670320046; 0.8187307531; 1; 1.2214027582 Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5. Completar el siguiente cuadro con las aproximaciones correspondientes, usar la formula que mejor se ajuste al problema. ( -2 -1 0 1 2 3 ;'(/ -4 -3 -2 -1 0 1 ;,'(/ Solución: Solución: Solución: Solución: 1; 1 ; 1 ; 1; ;1; 1 Ejercicio 9.6.Ejercicio 9.6.Ejercicio 9.6.Ejercicio 9.6. Sea ;'(/ 1 (F tu, + ?~{ (, para 9 1 0.2. Aproximar ;,'0.65/ y ;,,'0.65/ usando la regla de los tres puntos. Solución: Solución: Solución: Solución: ;,'(/ 111.7287680713; ;,,'(/ 158.5641254214 EjercEjercEjercEjercicio 9.7.icio 9.7.icio 9.7.icio 9.7. Sea ;'(/ 1 2(, {tT (, para 9 1 0.2. Aproximar ;,'1/ y ;,,'1/ usando la regla de los tres puntos. Solución: Solución: Solución: Solución: ;,'(/ 1 4.446488551; ;,,'(/ 1 6.0053604166 Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8. Sea ;'(/ 1 3u cos (. Aproximar ;-'0.8/ usando los datos presentados en la tabla. ( 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ;'(/ 1 1.22089926 1.429344427 1.59552399 1.67782630 1.62090692 Solución: Solución: Solución: Solución: 0.1157259406 Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9. Sea ;'(/ 1 tu �T 2(. Aproximar ;-'0.7/, usar 9 1 0.1 para resolver el problema. Solución: Solución: Solución: Solución: 2.3214516387

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 269 Ejercicio 9.10.Ejercicio 9.10.Ejercicio 9.10.Ejercicio 9.10. Sea ;'(/ 1 2( tu{tT (. Aproximar ;,'(/ : ;,,'(/ , usar 9 1 0.05 para resolver el problema. Solución:Solución:Solución:Solución: ;,'(/ 1 3.8182062862; ;,,'(/ 1 11.8430905524


Sea la función 3 (, tu, calcular la primera y la segunda derivada por métodos numéricos en el

punto ( 1 0.2, con 9 1 0.05, aplicando la formula de diferencias centrales.

Solución: Solución: Solución: Solución: ;,'(/ 1 1.6122516408; ;,,'(/ 1 10.4063514995


Sea la función 3 (, tu, calcular la primera y la segunda derivada por métodos numéricos en el

punto ( 1 0.5, con 9 1 0.1, aplicando las formulas de los tres puntos y luego de los cinco

puntos. Elaborar una conclusión comparativa entre los dos métodos.



Sea la función tu {tT (, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 1.3, con

9 1 0.1, aplicando las formulas de los tres puntos y los cinco puntos para hallar la primera y

segunda derivada.



Sea la función ;'(/ 1 tu,(F, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto ( 1 0.7,

con 9 1 0.05, aplicando la formula de las formulas de diferencias centrales para hallar la

primera y segunda derivada.



Sea ;'(/ 1 (, tu,- vw (, para 9 1 0.1. Aproximar ;,'0.5/ y ;,,'0.5/ usando la formula de

los cinco puntos.

Solución: Solución: Solución: Solución: ;,'(/ 1 2.9034781813 ;,,'(/ 1 7.5178097431


Sea ;'(/ 1 3(, {tT (, para 9 1 0.1. Aproximar ;,'0.8/ y ;,,'0.8/ usando la formula de

diferencias centradas.


CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 270 Ejercicio 9.17.Ejercicio 9.17.Ejercicio 9.17.Ejercicio 9.17. Sea la función ;'(/ 1 7√u7�F . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica más apropiada para aproximar ;,'1.2/ : ;--'1.2/.

( 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 ;'(/ 2.5 2.43585 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472 Solución: Solución: Solución: Solución: ;,(() 1 *0.6087168249; ;,,(() 1 0.1508082224 EjerciEjerciEjerciEjercicio 9.18.cio 9.18.cio 9.18.cio 9.18. Sea la función ;(() 1 2( cos ( . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica más apropiada para aproximar ;,(5.7) : ;--(5.7).

( 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 ;(() 6.854683 7.795368 8.686348 9.51573 10.27203 10.94425 11.52204

Solución: Solución: Solución: Solución: ;,(() 1 7.9472407553; ;,,(() 1 *7.3129835768 Ejercicio 9.19.Ejercicio 9.19.Ejercicio 9.19.Ejercicio 9.19. Sea ;(() 1 7u

(u7�R). Aproximar ;,(0.5) : ;,,(0.5) , usar 9 1 0.1 para resolver el problema, aplicando formula de derivación numérica. Solución: Solución: Solución: Solución: ;,(() 1 2.4; ;,,(() 1 *7.04 Ejercicio 9.20.Ejercicio 9.20.Ejercicio 9.20.Ejercicio 9.20. Sea ;(() 1 R

�5. Aproximar ;,(*2) : ;,,(*2) , usar 9 1 0.2 para resolver el problema.

Solución: Solución: Solución: Solución: ;,(() 1 *7.3890560989; ;,,(() 1 7.3890560989. Ejercicio 9.21.Ejercicio 9.21.Ejercicio 9.21.Ejercicio 9.21. Sea la función ;(() 1 (√( * 2 . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica más apropiada para aproximar ;,(2.6) : ;--(2.6). Solución: Solución: Solución: Solución: ;,(() 1 *1.5061601902; ;,,(() 1 4.8412291828


GGGGráráráráficas de los ejercicios de fijaciónficas de los ejercicios de fijaciónficas de los ejercicios de fijaciónficas de los ejercicios de fijación Las siguientes figuras ilustran las soluciones de los ejercicios de fijación, en cuanto a las representaciones gráficas de las funciones, sus derivadas primeras y segundas. Estas graficas se presentan a modo aclaratorio, pues, al “mirar” la gráfica de la función se tiene una idea más clara del ejercicio analizado. Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1.Ejercicio 9.1. Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2.Ejercicio 9.2. Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3.Ejercicio 9.3.

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4.Ejercicio 9.4. Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5.Ejercicio 9.5. EjerEjerEjerEjercicio 9.6.cicio 9.6.cicio 9.6.cicio 9.6.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Ejercicio 9.7.Ejercicio 9.7.Ejercicio 9.7.Ejercicio 9.7. Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8.Ejercicio 9.8. Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9.Ejercicio 9.9.

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-2

2

4

6

x

y


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

2

4

6

8

10

12

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

2

4

6

8

10

12

x

y

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

5

10

15

20

x

y

CÁPITULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA 272 Ejercicio 9.13.Ejercicio 9.13.Ejercicio 9.13.Ejercicio 9.13. Ejercicio 9.14.Ejercicio 9.14.Ejercicio 9.14.Ejercicio 9.14. Ejercicio 9.15.Ejercicio 9.15.Ejercicio 9.15.Ejercicio 9.15.

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

2

4

6

8

x

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

4

6

8

x

y


-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

12

x

y

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

y

1 2 3 4 5 6 7

-15

-10

-5

5

10

y


-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

CÁPITULO 10 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E.D.O. 273

CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10CAPÍTULO 10 SOLUCIÓN NUMSOLUCIÓN NUMSOLUCIÓN NUMSOLUCIÓN NUMÉÉÉÉRICA RICA RICA RICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción En esta unidad, se hará un breve estudio de los métodos numéricos básicos que se usan para aproximar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que involucra una variable independiente, una variable dependiente y la derivada ó derivadas de esta variable dependiente.

En una ecuación diferencial, la incógnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como función de la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, así como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial, la igualdad que resulta será verdadera. Existen una infinidad de funciones que resuelven una misma ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación: :, 1 :, cuya solución general es: : 1 ? tu, donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.

Las ecuaciones deferenciales del primer orden son del tipo :- 1 ;'(, :/, donde : 1 ;'(, :/ es una función de dos variables.

Cuando se precisa que la curva solución pase por un punto específico, entonces se dice que se trata de una ecuación diferencial con condición inicial dada.

La importancia de los métodos numéricos en las ecuaciones diferenciales, radica en la solución de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por los métodos tradicionales, de ahí la aplicación práctica de los métodos de aproximación. Existen varios métodos de aproximación numérica de ecuaciones diferenciales: � El método de Euler. � El método de Euler mejorado. � Método de Taylor � El método de Runge-Kutta de orden 4. � El método de Adams – Bashforth. � El método de Adams – Moulton � El método de Milne – Simpson, entre otros.

En todos estos métodos se busca aproximar el valor :'(R/ donde (R es un valor cercano a (6, que corresponde a la condición inicial dada. Entre las aplicaciones más simples de las ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden citar los métodos para hallar explícitamente las soluciones de problemas de primer orden de valor inicial, en la práctica pocos de los problemas que se originan del estudio de fenómenos físicos o de ingeniería se pueden resolver exactamente.


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Condiciones Condiciones Condiciones Condiciones inicialesinicialesinicialesiniciales La ecuación diferencial de primer orden con condiciones iniciales dado por: v 0:0v 1 2: 10.1 Separando variables se tiene: 0:

: 1 20vv

Integrando miembro a miembro: ln : 1 2 �T v - ?R 1 2 ln v - ln ? Simpli�icando lo anterior: ln : 1 ln ?v, La solucion de '10.1/ está dada por: :'v/ 1 ?v, 10.2 La ecuación '10.2/ se satisface para cualquier constante ? escogido arbitrariamente. En la práctica, estas formulas explicitas, al ser traducidas como modelo matemático, resulta una ecuación diferencial que involucra la razón de cambio de una función desconocida. La figura '10.1/ muestra la grafica de la ecuación diferencial para algunos valores de ?. ? \ 0 ? ] 0

Fig. 10.1.Fig. 10.1.Fig. 10.1.Fig. 10.1. Las siguientes definiciones se ajustan a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con condiciones iniciales. Definición 10.1.Definición 10.1.Definición 10.1.Definición 10.1. Un problema de primer orden con condiciones iniciales está definida como: :, 1 ;'v, :/ :'v6/ 1 :6 Definición 10.2.Definición 10.2.Definición 10.2.Definición 10.2. Sea :,'v/ 1 ;'v, :/ :'v6/ 1 :6 un p`roblema de primer grado con condiciones iniciales, una solución del problema es una función w'v/ derivable en yv6, vRz tal que: w,'v/ 1 ;'v, w/ w'v6/ 1 :6 ?~T v U yv6, vRz.


Definición 10.3Definición 10.3Definición 10.3Definición 10.3.... Una función ;:A > A se dice Lipschitz continua con constante ; tT (, escribiéndose ; U ö��|'(/ si para toda : en una vecindad de ( se cumple que: |;'(/ * ;':/| n ;|( * :| Definición 10.4Definición 10.4Definición 10.4Definición 10.4.... Una función ;: �, > A,, una función ì 1 }�,Dg n v n L, ? n : n 0~, se dice ; es Lipschitz continua con constante ; en : U ì, si se cumple que: |;'v, :/ * ;'v, :R/| n ;|: * :R| Muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales son definidos en un dominio de Lipschitz.

Un dominio de Lipschitz (o dominio con frontera de Lipschitz) es un dominio en el Espacio Euclidiano cuya frontera es "suficientemente regular" en el sentido que esta puede ser considerada como si fuera la gráfica de una función continua de Lipschitz. El término fue dado por el matemático Alemán Rudolf Lipschitz. ConvergenciaConvergenciaConvergenciaConvergencia Definición 10.5. 'Condición de LpschiDefinición 10.5. 'Condición de LpschiDefinición 10.5. 'Condición de LpschiDefinición 10.5. 'Condición de Lpschitz/ tz/ tz/ tz/ La función w: yK, Lz > A verifica una condición de Lipschitz si existe una constante ; no negativa tal que |w'(/ * w':/| n ;|( * :|, para todo '(, :/ U yK, Lz Definición 10.6. 'Aplicación contractiva/ Definición 10.6. 'Aplicación contractiva/ Definición 10.6. 'Aplicación contractiva/ Definición 10.6. 'Aplicación contractiva/ La función w: yK, Lz > A es contractiva en yK, Lz si verifica una condición de Lipschitz con constante 0 n ; ] 1, si existe una constante ; no negativa tal que:

|w'(/ * w':/| n ;|( * :|, para todo '(, :/ U yK, Lz Lema: 10.1Lema: 10.1Lema: 10.1Lema: 10.1. . . . SSSSi ( m *1 : T m 0, entonces 0 n '1 - (/P n tPu DemostracDemostracDemostracDemostración:ión:ión:ión: Por el teorema de Taylor para tu, alrededor de ( 1 0, con T 1 1,

Se tiene que: tu 1 1 - ( - ;,,'?/2! (,

Como: ;,,'?/ 1 t0 , Se tiene que: tu 1 1 + ( + (,2! t0 , Además: 0 n 1 + ( n 1 + ( + (,2! t0 De modo que: 0 n 1 + ( n tu Como: T m 0 por ultimo: 0 n '1 + (/P n tPu


Lema 10.2.Lema 10.2.Lema 10.2.Lema 10.2.

Sean à, Ö U A�, ^K�_�É6Z una sucesión tal que K6 m * À� y además suponiendo que:

K��R n t'��R/�K� - Ö � 1 0, 1, 2, 3, … , [

�Tv~T?t{: K��R n t'��R/� aK6 - Öàc * Öà

Este lema se presenta sin demostración. 30 Método de EulerMétodo de EulerMétodo de EulerMétodo de Euler Este método no es el más exacto, pero sí el más sencillo, además este método se torna en base para el desarrollo de otros métodos de integración numérica.

El método de Euler está basado en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

El método de Euler se define por la siguiente ecuación:

à��R Ô à� - 9;'v�, à�/, à� 1 :'v�/ � 1 1,2,3,… , T

Otra forma muy utilizada de la formula de Euler es la siguiente:

:P�R Ô :P - 9;'(P, :P/,

Esta fórmula de Euler se usa para aproximar el valor de :'(R/ aplicando sucesivamente desde (6 hasta (R en pasos de longitud 9.

Ejemplo 10.1.Ejemplo 10.1.Ejemplo 10.1.Ejemplo 10.1. Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

:, 1 2(:; :'0/ 1 1

Aproximar :'0.5/

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Esta ecuación puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales, aplicando el método de separación de variables.

Solución AnalíticaSolución AnalíticaSolución AnalíticaSolución Analítica.... 0:0( 1 2(:

0:: 1 2( 0(

& 0:0( 1 & 2( 0(

ln|:| 1 (, - ?

30 Demostración en Velázquez Zapateiro, Jorge (2007). Análisis Numérico. (pág. 244) Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia.


Sustituyendo la condición inicial: ( 1 0 > : 1 1

ln 1 1 0, - ? 0 1 ?

Por lo tanto, la curva solución real está dada: ln : 1 (, t�_ D 1 tu7

y 1 tu7

Luego, el valor real que se pide es: y'0.5/ 1 t'6.7/7 1 1.284025

Solución NuméricaSolución NuméricaSolución NuméricaSolución Numérica

La distancia entre (6 1 0 : (R 1 0.5 es bastante espaciada, para obtener una mejor aproximación esta distancia debe ser fraccionada, se divide en cinco partes y se obtiene un valor de 9 1 0.1

Con esta premisa se obtendrá la aproximación deseada en cinco pasos. Sean los datos: (6 1 0; :6 1 1; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 2(:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, se tiene, en un primer paso: (6 1 0, :6 1 1 ;'(6, :6/ 1 2(: > ;'0, 1/ 1 2 · 0 · 1 1 0 :R 1 :6 - 9;'(6, :6/ 1 1 - 0.1y0z 1 1

Aplicando la formula de Euler en un segundo paso: (R 1 (6 - 9 1 0.1

;'(R, :R/ 1 2(: > ;'0.1, 1/ 1 2 · '0.1/ · 1 1 0,2 :, 1 :R - 9;'(R, :R/ 1 1 - 0.1y0.2z 1 1.02 Aplicando la formula de Euler en un tercer paso: (, 1 (R - 9 1 0.2 ;'(,, :,/ 1 2(: > ;'0.2; 1.02/ 1 2 · '0.2/ · '1.02/ 1 0,408 :, 1 :R - 9;'(R, :R/ 1 1.02 - 0.1y0.408z 1 1.0608 Aplicando la formula de Euler en un cuarto paso: (F 1 (, - 9 1 0.3 ;'(F, :F/ 1 2(: > ;'0.3; 1.0608/ 1 2 · '0.3/ · '1.0608/ 1 0,63648 :F 1 :, - 9;'(,, :,/ 1 1.0608 - 0.1y0.63648z 1 1.124448 Aplicando la formula de Euler en un quinto y último paso: () 1 (F - 9 1 0.4 ;'(), :)/ 1 2(: > ;'0.4; 1.124448/ 1 2 · '0.4/ · '1.124448/ 1 0,8995584

:) 1 :F - 9;'(F, :F/ 1 1.124448 - 0.1y0,8995584z 1 1.2144038


Resumiendo las operaciones anteriores, se tiene la siguiente tabla: T (P :P 0 0 1 1 0.1 1 2 0.2 1.02 3 0.3 1.0608 4 0.4 1.12445 5 0.5 1.2144

Se concluye que por el método de Euler en cinco pasos, las ecuación diferencial :, 1 2(: bajo condición inicial :'0/ 1 1, aproximando a :'0.5/ :'0.5/ Ô 1.2144

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error � 1 |¿À * ¿g| 1 |1.284025 * 1.2144| 1 0.069625 �Å 1 û¿À * ¿g¿À û 1 û�¿Àû û0.0696251.284025û 1 0.054224 �% 1 �Å � 100% 1 0.054224 � 100% 1 5.4% Ejemplo 10.2.Ejemplo 10.2.Ejemplo 10.2.Ejemplo 10.2. Aplicar el método de Euler para aproximar :'1.3/, dada la ecuación diferencial. :, 1 (, - 0.5 :,; :'1/ 1 2 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se divide en tres pasos para conseguir mejor aproximación. Así, se tiene el valor de 9 1 0.1 Aplicamos el método de Euler con los siguientes datos, se tiene: (6 1 1; :6 1 2; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 (, - 0.5 :,

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, se tiene: (6 1 1; :6 1 2 ;'(6, :6/ 1 (, - 0.5 :, > ;'1; 2/ 1 1, - '0.5/2, 1 3

:R 1 :6 + 9;'(6, :6/ 1 2 - 0.1y3z 1 2.3

Aplicando la formula de Euler en un segundo paso: (R 1 (6 + 9 1 1.1

;'(R, :R/ 1 (, - 0.5 :, > ;'1.1; 2.3/ 1 '1.1/, - '0.5/'2.3/, 1 3.855 :, 1 :R + 9;'(R, :R/ 1 2.3 - 0.1y3.855z 1 2.6855

Aplicando la formula de Euler en un tercer paso: (, 1 (R + 9 1 1.2 ;'(,, :,/ 1 (, - 0.5 :, > ;'1.2; 2.6855/ 1 '1.2/, - '0.5/'2.6855/, 1 5.045955

:F 1 :, + 9;'(,, :,/ 1 2.6855 - 0.1y5.045955z 1 3.1901


El resumen de los tres pasos se presenta en la siguiente tabla: T (P :P 0 1 2 1 1.1 2.3 2 1.2 2.6855 3 1.3 3.1901 Se concluye que por el método de Euler, en este caso, en solo tres pasos, las ecuación diferencial :, 1 (, - 0.5 :,, con condición inicial :'1/ 1 2, aproximando a :'1.3/

:'1.3/ Ô 3.1901 Método de Euler mejoradoMétodo de Euler mejoradoMétodo de Euler mejoradoMétodo de Euler mejorado La idea básica es la misma que el método anterior, pero mejora la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La formula de este método es la siguiente:

:P�R 1 :P - 9 J;'(P, :P/ - ;G(P�R, :�P�RI2 K

Donde: :�P�R 1 :P - 9;'(P, :P/

Ejemplo 10.3.Ejemplo 10.3.Ejemplo 10.3.Ejemplo 10.3. Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar :'0.5/ si: :, 1 2(:; :'0/ 1 1

SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se aplica el valor de 9 1 0.1, encontrando la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler, en cada iteración se requiere de dos cálculos en vez de uno

solo: el de :�P primero y posteriormente el de :P .

Se parte de los siguientes datos iniciales:

(6 1 0; :6 1 1; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 2(:

En la primera iteración se tiene:

(R 1 (6 - 9 1 0 - 0.1 1 0.1

:�R 1 :6 - 9 · ;'(6, :6/ 1 1 - 0.1y2'0/'1/z 1 1

;'(6, :6/ 1 2(: > ;'0, 1/ 1 2 · '0/ · '1/ 1 0

;G(R, :�RI 1 2(: > ;'0.1, ; 1/ 1 2 · '0.1/ · '1/ 1 0.2

:R 1 :6 - 9 J;'(6, :6/ - ;G(R, :�RI2 K 1 1 - 0.1 ¶0 - 0.22 L 1 1.01

Haciendo una comparación con el problema (10.1.), se nota que el valor de :�R coincide con el

valor de :R del primer método de Euler, y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular :�, se usará :R y no :�R.


En la segunda iteración se tiene:

(, 1 (R - 9 1 0.1 - 0.1 1 0.2

;'(R, :R/ 1 2(: > ;'0.1; 1.01/ 1 2 · '0.1/ · '1.01/ 1 0.202

:�, 1 :1 - 9 · ;G(1, :1I 1 1.01 - 0.1y0.202z 1 1.0302

;G(,, :�,I 1 2(: > ;'0.2; 1.0302/ 1 2 · '0.2/ · '1.0302/ 1 0.41208

:, 1 :R - 9 J;'(R, :R/ - ;G(,, :�,I2 K 1 1.01 - 0.1 ¶0.202 - 0.412082 L 1 1.040704

En la tercera iteración se tiene:

(F 1 (, - 9 1 0.2 - 0.1 1 0.3

;'(,, :,/ 1 2(: > ;'0.2; 1.040704/ 1 2 · '0.2/ · '1.040704/ 1 0.416282

:�F 1 :2 - 9 · ;G(2, :2I 1 1.040704 - 0.1y0.416282z 1 1.0823322

;G(F, :�FI 1 2(: > ;'0.3; 1.0823322/ 1 2 · '0.3/ · '1.0823322/ 1 0.64939932

:F 1 :, - 9 J;'(,, :,/ - ;G(F, :�FI2 K 1

:F 1 1.040704 - 0.1 ¶0.416282 - 0.649399322 L 1 1.093988

En la cuarta iteración se tiene:

() 1 (F - 9 1 0.3 - 0.1 1 0.4

;'(F, :F/ 1 2(: > ;'0.3; 1.093988/ 1 2 · '0.3/ · '1.093988/ 1 0.6563928

:�) 1 :3 - 9 · ;G(3, :3I 1 1.093988 - 0.1y0.6563928 z 1 1.1596273

;G(), :�)I 1 2(: > ;'0.4; 1.1596273/ 1 2 · '0.4/ · '1.1596273/ 1 0.927702

:) 1 :F - 9 J;'(F, :F/ - ;G(), :�)I2 K 1

:) 1 1.093988 - 0.1 ¶0.6563928 - 0.9277022 L 1 1.17319274

Por último, en la quinta iteración se tiene:

(7 1 () - 9 1 0.4 - 0.1 1 0.5

;'(), :)/ 1 2(: > ;'0.4; 1.17319274/ 1 2 · '0.4/ · '1.17319274/ 1 0.9385542

:�7 1 :4 - 9 · ;G(4, :4I 1 1.17319274 - 0.1y0.9385542 z 1 1.2670482

;G(7, :�7I 1 2(: > ;'0.5; 1.2670482/ 1 2 · '0.5/ · '1.2670482/ 1 1.2670482

:7 1 :) - 9 J;'(), :)/ - ;G(7, :�7I2 K


:7 1 1.17319274 - 0.1 ¶0.9385542 - 1.26704822 L 1 1.28347286

Se resumen los resultados obtenidos en la siguiente tabla:

n (P :P 0 0 1 1 0.1 1.01 2 0.2 1.040704 3 0.3 1.093988 4 0.4 1.173192 5 0.5 1.28347286

Se concluye que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: :'0.5/ 1 1.28347286

Con fines de comparación, se calcula el error producido por este método de Euler mejorado, El valor verdadero de la función analizada es :'0.5/ 1 1.284025, según dato del ejemplo (10.1)

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error � 1 |¿À * ¿g| 1 |1.284025 * 1.28347286 | 1 0.000552 1 '5.52/ · 10Q)

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û�¿À

û û0.0005521.284025û 1 0.00043 1 '4.3/ · 10Q)

�% 1 �Å � 100% 1 0.00043 � 100% 1 0.043%

Se verifica, que con este método de Euler mejorado, se ha obtenido una mejor aproximación, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.043%.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 10.4.10.4.10.4.10.4. Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar :'1.3/ si se tiene:

:, 1 ( * : - 5; coT :'1/ 1 2 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Se parte de los siguientes datos

(6 1 1; :6 1 2; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 ( * : - 5

En la primera iteración se tiene:

(R 1 (6 - 9 1 1 - 0.1 1 1.1

;'(6, :6/ 1 ( * : - 5 > ;'1; 2/ 1 1 * 2 - 5 1 4 :�1 1 :6 - 9 · ;'(6, :6/ 1 2 - 0.1y4z 1 2.4

;G(R, :�RI 1 ( * : - 5 > ;'0.1; 2.4/ 1 1.1 * 2.4 - 5 1 3.7

:R 1 :6 - 9 J;'(6, :6/ - ;G(R, :�RI2 K 1 2 - 0.1 ¶4 - 3.72 L 1 2.385


Las siguientes iteraciones son simplemente repeticiones de esta primera iteración, razón por la cual se omite en este problema, pues el ejemplo anterior describe claramente el proceso realizado en la resolución del ejemplo.

La siguiente tabla arroja el resumen de de los datos obtenidos en este ejemplo:

n (P :P 0 1 2 1 1.1 2.385 2 1.2 2.742925 3 1.3 3.07635

Se concluye que la aproximación buscada es: :'1.3/ Ô 3.07635

Método de Runge Método de Runge Método de Runge Método de Runge –––– KuttaKuttaKuttaKutta

Este método sigue una dirección diferente en comparación a los métodos de Euler. El método de Runge – Kutta está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.

Las siguientes fórmulas expresan el método de Runge – Kutta: :P�R 1 :P - 16 y[R - 2[, - 2[F - [)z '10.5/

Donde: [R 1 9 · ;'(P, :P/

[, 1 9 · ; p(P - 129; :P - 1

2 [Rq

[F 1 9 · ; p(P - 129; :P - 1

2 [,q [) 1 9 · ;'(P - 9; :P - [F/

Estas formulas se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial: :, 1 ;'(, :/; :'(6/ 1 :6

Ejemplo 10.5Ejemplo 10.5Ejemplo 10.5Ejemplo 10.5 Usar el método de Runge-Kutta para aproximar :'0.5/ dada la siguiente ecuación diferencial: :, 1 2(:; :'0/ 1 1 SoluciónSoluciónSoluciónSolución Este ejercicio es el mismo del ejemplo (10.1), su uso se debe a la facilidad de comparación que se logra entre los distintos métodos estudiados.

Sean los datos iniciales: (6 1 0; :6 1 1; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 2(:

Para hallar el valor de :R Se calculan los valores de los distintos [R, [,, [F y [) [R 1 9 · ;'(6, :6/ 1 0.1y2 · 0 · 1z 1 0 [, 1 9 · ; p(6 - 129; :6 - 1

2 [Rq 1 '0.1/ · ;'0.05; 1.5/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.05/'1.5/z 1 0.015

[F 1 9 · ; p(6 - 12 9; :6 - 1

2 [,q 1 '0.1/ · ;'0.05; 1.0075/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.05/'1.0075/z [F 1 0.010075


[) 1 9 · ;'(6 - 9; :6 - [F/ 1 '0.1/ · ;'0.1; 1.010075/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.1/'1.010075/z [) 1 0.0202015 Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta :R 1 :6 - 16 y[R - 2[, - 2[F - [)z :R 1 1 - 16 y0 - 2'0.015/ - 2'0.010075/ - 0.0202015z 1 1 - 0.01172525 1 1.01172525

Por razones prácticas, se redondean algunas cifras.

Una vez encontrado el valor de :R, se realiza el mismo procedimiento para hallar el valor de :,, se procede a la siguiente iteración.

Sean los datos para esta iteración:

(R 1 0.1; :R 1 1.0117; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 2(:

Para hallar el valor de :, Se calculan los valores de los distintos [R, [,, [F y [) [R 1 9 · ;'(R, :R/ 1 0.1y2 · '0.1/ · '1.0117/z 1 0.020234

[, 1 9 · ; p(R - 129; :R - 1

2 [Rq 1 '0.1/ · ;'0.15; 1.022/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.15/'1.022/z [, 1 0.03066

[F 1 9 · ; p(R - 129; :R - 1

2 [,q 1 '0.1/ · ;'0.15; 1.027/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.15/'1.027/z [F 1 0.0308 [) 1 9 · ;'(R - 9; :R - [F/ 1 '0.1/ · ;'0.2; 1.0425/ 1 '0.1/ · y'2 · '0.2/'1.0425/z [) 1 0.0417 Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta para hallar el valor de :,

:, 1 :R - 16 y[R - 2[, - 2[F - [)z

:, 1 1.0117 - 16 y0.020234 - 2'0.03066/ - 2'0.0308/ - 0.0417z

:, 1 1.0117 - 0.03081 1 1.042509

Hasta aquí se lograron obtener los valores de: :R 1 1.01172525; :, 1 1.042509

Este mismo proceso debe seguirse hasta obtener el valor de :7. Resumiendo los cálculos posteriores, se tiene la siguiente tabla de resultados:

n (P :P 0 0 1 1 0.1 1.011725 2 0.2 1.042509 3 0.3 1.09417 4 0.4 1.17351 5 0.5 1.28403


De esta tabla se concluye que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es: :'0.5/ Ô 1.28403

Calculo de errorCalculo de errorCalculo de errorCalculo de error � 1 |¿À * ¿g| 1 |1.284025 * 1.28403 | 1 0.000005 1 '5/ · 10Q�

�Å 1 û¿À * ¿g¿À

û 1 û�¿À

û û0.0000051.284025û 1 0.00000389 1 '3.89/ · 10Q�

�% 1 �Å � 100% 1 0.0000039 � 100% 1 0.00039%

Con este resultado se demuestra que el error se redujo muchísimo, obteniéndose cuatro cifras decimales correctas.

Entre los métodos estudiados hasta ahora, el de Runge - Kutta es la que presenta mayor aproximación, pero en contrapartida, es el método más trabajoso. Ejemplo 10.6.Ejemplo 10.6.Ejemplo 10.6.Ejemplo 10.6. Usando el método de Runge-Kutta, aproximar :'2.2/ dada la ecuación diferencial: :, 1 ( - :; :'2/ 1 4 SoluciónSoluciónSoluciónSolución En este ejercicio se realizaran cálculos un poco más directos, y por lo tanto, no muy detallados como el los ejemplos anteriores.

Tomando 9 1 1, es posible llegar al resultado buscado en dos pasos. Se inicia el calculo con los siguientes datos del problema:

(6 1 2; :6 1 4; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 ( - :; (R 1 (6 - 9 1 2.1

Para hallar el valor de :R Se calculan los valores de los distintos [R, [,, [F y [) [R 1 9 · ;'(6, :6/ 1 0.1y2 - 4z 1 0.6

[, 1 9 · ; p(6 - 12 9; :6 - 1

2 [Rq 1 '0.1/ · '2.05 - 4.3/ 1 0.635

[F 1 9 · ; p(6 - 12 9; :6 - 1

2 [,q 1 '0.1/ · '2.05 - 4.3175/ 1 0.63675 [) 1 9 · ;'(6 - 9; :6 - [F/ 1 '0.1/ · '2.1 - 4.63675/ 1 0.673675 Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta

:R 1 :6 - 16 y[R - 2[, - 2[F - [)z

:R 1 1 - 16 y0.6 - 2'0.635/ - 2'0.63675/ - 0.673675z 1 4 - 0.636195833 1 4.6362

Se procede a la segunda iteración:

Sean los datos para esta iteración:

(R 1 2.1; :R 1 4.6362; 9 1 0.1; ;'(, :/ 1 ( - :; (, 1 (R - 9 1 2.2 Para hallar el valor de :, Se calculan los valores de los distintos [R, [,, [F y [) [R 1 9 · ;'(R, :R/ 1 0.1y2.1 - 4.6362z 1 0.67362


[, 1 9 · ; p(R - 129; :R - 1

2 [Rq 1 '0.1/ · '2.15 - 4.97301/ 1 0.7123

[F 1 9 · ; p(R - 129; :R - 1

2 [,q 1 '0.1/ · '2.15 - 4.99235/ 1 0.71424 [) 1 9 · ;'(R - 9; :R - [F/ 1 '0.1/ · '2.2 - 5.35044/ 1 0.75504 Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta para hallar el valor de :,

:, 1 :R - 16 y[R - 2[, - 2[F - [)z

:, 1 4.6362 - 16 y0.67362 - 2'0.7123/ - 2'0.71424/ - 0.75504z

:, 1 4.6362 - 0.713623 1 5.34982333

Se concluye que el valor buscado es :'2.2/ 1 5.34982333

EJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓNEJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 10.1.Ejercicio 10.1.Ejercicio 10.1.Ejercicio 10.1.

Dada la ecuación diferencial: :, 1 Ý(, - :,; bajo condiciones inciales :'2/ 1 0.5

Usar el método de Euler para aproximar :'2.3/ tomando 9 1 0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'2.3/ Ô 1.16647


Dada la ecuación diferencial: :, 1 ln'( - :/ ; bajo condiciones inciales :'1/ 1 1.5


Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.3333.... Dada la ecuación diferencial: :, 1 2( - : * 3; bajo condiciones inciales :'2/ 1 1

Usar el método de Euler mejorado para aproximar :'2.3/ tomando 9 1 0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'2.3/ Ô 1.79693


Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.4444.... Dada la ecuación diferencial: :, 1 1(, - : ; con: :'3/ 1 2.5

Usar el método de Euler mejorado para aproximar :'3.3/ tomando 9 1 0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'3.3/ Ô 2.52417 Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.5555....

Dada la ecuación diferencial:

:, 1 ln ( -1: ; con: :'4/ 1 5

Usar el método de Runge – Kutta para aproximar :'4.3/ tomando 9 1 0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'4.3/ Ô 5.48415 Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.6666.... Dada la ecuación diferencial:

:, 1 √( - Ý:; con: :'3/ 1 10


2(: - '1 - (,/:, 1 0; con: :'0/ 1 1

Usar el método de Euler para aproximar :'0.6/ tomando 9 1 0.2 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'0.6/ Ô 0.7352941176 Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.8888.... Dada la ecuación diferencial:

2(: - '1 - (,/:, 1 0; con: :'0/ 1 1

Usar el método de Euler mejorado para aproximar :'0.6/ tomando 9 1 0.2 en cada paso del proceso iterativo. Solución:Solución:Solución:Solución: :'0.6/ Ô 0.7352941176


Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.Ejercicio 10.9999.... Dada la ecuación diferencial: 2(: - '1 - (,/:, 1 0; con: :'0/ 1 1


(: - '2 * (,/:, 1 0; con: :'0/ 1 1


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