Gliwice 2006

Metody przybliżonegorozwiązywania równań

różniczkowych zwyczajnych

Gliwice 2006

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

za pomocą szeregów

Metoda współczynników nieoznaczonych

Metoda kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu)

Metoda kolejnych przybliżeń Picarda

metody dyskretne

Metoda łamanych Eulera

Ulepszenia metody Eulera

Wzory Rungego - Kutty

Metody wielokrokowe

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Dyskretne metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Gliwice 2006

Rozpatrujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego wrazz warunkiem początkowym

Zakładamy, że:

( ) ( )0 0' , ,y F x y y x y= =

Funkcja F(x,y) jest ciągła i ograniczona w pewnym obszarze płaskim Ω.

Funkcja F(x,y) spełnia w tym obszarze warunek Lipschitzawzględem zmiennej y, tzn. że istnieje taka liczba K, że dla wszystkich par punktów

należących do obszaru Ω spełniona jest nierówność:

1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y

( ) ( ) ( )1 2 1 2, ,F x y F x y K y y− < −

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Metoda Eulera(metoda łamanych)

Gliwice 2006

Polega na przybliżonym rozwiązaniu równania:

Funkcję F(x, y) traktujemy na odcinku [xi, xi + 1] jako stałą i równą wartości F w punkcie (xi, yi):

( ) [ ]1

1 1 , ( ) di

i

x

i i ix

y x y y F x y x x+

+ += = + ∫

[ ] ( )1

1, ( ) d , ,i

i

x

i i i i i ix

F x y x x h F x y h x x+

+= = −∫

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny w postaci:

dla i = 0, 1, …, n

1 0 0( , ), ( )i i i i iy y h F x y y x y+ = + =

Pochodna y’ została zastąpiona ilorazem różnicowym

1( )i i

i

y yh

+ −

czyli krzywą całkową na odcinku [xi,xi + 1] aproksymuje się odcinkiem stycznej do niej przechodzącej przez punkt (xi, yi).Zwykle przyjmuje się, że

ih const h= =

Rozwiązywanie równań różniczkowych

y

xx0 x1 x3 x5x2 x4

y0

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna metody łamanych Eulera

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Ulepszenia metody łamanych( pierwsze ulepszenie )

Gliwice 2006

Pierwsze ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:

Styczna do łuku A (xi, yi), B (xi + 1, yi + 1) w punkcie o odciętej

x∗ = (xi + xi+ 1)/2 jest równoległa do cięciwy AB .

Rozwiązywanie równań różniczkowych

y

xx0 x1x*

A

B

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna pierwszego ulepszenia metody łamanych Eulera

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:

( )

( )

( )

*1

*

* * *

*1

12

1 ,2

,

i i

i i i

i i

x x x

y y h F x y

m F x y

y y h m

+

+

= +

= +

=

= +

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Ulepszenia metody łamanych( drugie ulepszenie )

Gliwice 2006

Drugie ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:

Współczynnik kierunkowy siecznej AB jest średnią arytmetyczną współczynników kierunkowych stycznych w punktach A i B.

Metoda ta nazywana jest też metodą Eulera – Cauchy’ego.

Rozwiązywanie równań różniczkowych

y

xx0 x*

A

B

Gliwice 2006

Interpretacja geometryczna drugiego ulepszenia metody łamanych Eulera

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:

( )

( )( )

*1

*

* * *

*1

,

,

1 ,2

i i

i i i

i i i i

x x x h

y y h F x y

m F x y

y y h F x y m

+

+

= = +

= +

=

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006

Za pomocą metody Eulera oraz jej ulepszeń rozwiązać równanie

PRZYKŁAD:PRZYKŁAD:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

z warunkiem początkowym

'y x y= +

0 00, 1 ,x y= = przyjmując h = 0.1

Rozwiązanie dla prostej metody Eulera:

Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:

1 0 0( , ), ( ) , 0, 1, ,i i i i iy y h F x y y x y i n+ = + = = …

z którego wynika:

1 0 00.1 ( ), 0, 1i i i iy y x y x y+ = + ⋅ + = =

Gliwice 2006

Obliczamy:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

1 0 1 0 0 00.1 ( ) 1.1x x h y y h x y= + = = + + =

2 1 2 1 1 10.2 ( ) 1.22x x h y y h x y= + = = + + =

3 2 3 2 2 20.3 ( ) 1.362x x h y y h x y= + = = + + =itd.

x0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

= y1

1.1

1.22

1.362

1.528

1.721

1.943

2.197

2.487

2.816

3.187

3.606

4.077

4.605

5.195

5.854

=

0 1 21

3.69

6.39

9.08

11.78

yi

g s( )

xi s,

Gliwice 2006

Dla warunku początkowego:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

obliczamy

pierwszy krok

0 00, 1x y= =

Rozwiązanie dla pierwszego ulepszenia metody Eulera:

* *0 1 0 0 0

* * * *0

1

1

0.11 1( ) 0.05 ( ) 1.052 2

1.1 1.11

x x x y y h x y

m x y y hm

x

y

=

= + = = + + =

= + = = + =

Gliwice 2006

Rozwiązywanie równań różniczkowych

drugi krok

2

2

* *1 2 1 1 1

* * * *1

0.21 1( ) 0.15 ( ) 1.17052 2

1.3205 1.24205

x x x y

x

y

y h x y

m x y y hm

=

= + = = + + =

= + = = + = itd.

0 0.5 1 1.5 21

3.69

6.39

9.08

11.78

y1i

g s( )

x1i s,

x0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

= y11

1.11

1.242

1.398

1.582

1.795

2.041

2.323

2.646

3.012

3.428

3.898

4.428

5.024

5.693

6.443

=

Gliwice 2006

Dla warunku początkowego:

Rozwiązywanie równań różniczkowych

obliczamy

pierwszy krok

0 00, 1x y= =

Rozwiązanie dla drugiego ulepszenia metody Eulera:

* *0 0 0 0

* * * *0 0

1

01

0.1 ( ) 1.111.2 ( ) 1.112

x x h y y h x y

m

x

x y y h x y my

= = + = = + + =

= + = = + + + =

Gliwice 2006

Rozwiązywanie równań różniczkowych

drugi krok

itd.

* *1 1 1 1

* *

2

2* *

1 1 1

0.2 ( ) 1.23111.431 ( ) 1.242052

x x h y y h x y

m x y y h x

x

y y m

= = + = = + + =

= + = = + + + =

Gliwice 2006

Wnioski:

Metoda łamanych (Eulera) jest najprostszą metodąz grupy algorytmów dyskretnych.

Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego. Niestety literatura nie podaje reguł doboru optymalnego kroku całkowania - najczęściej stosuje się „metodę prób”.

Korzystanie z ulepszeń metody łamanych daje wyniki nieporównywalnie lepsze.

Rozwiązywanie równań różniczkowych

Gliwice 2006