1

Dyfuzja w stanie stacjonarnym

Witold Kucza

2

Rozwiązania równ. dyfuzjiRozwiązań równania lub układu równań różniczkowych, w

tym równania dyfuzji, jest nieskończenie wiele, spośród nich wybieramy tylko te spełniające zadane warunki

początkowe i brzegowe.

Warunki początkowe

określają stężenia (temperatury, itp.) dla chwili t = 0.

Dla układu 1-wymiarowego rozciągającego się od x0

do x1

warunki brzegowe

określają stężenia (temperatury) lub strumienie na brzegu układu dla x = x0

oraz x = x1

.

3

Warunki brzegowe (WB)WB Dirichleta

określają wartość

funkcji na brzegu układu dla x = x0

oraz x = x1

Przykładowo: stężenia lub temperatury są stałe na brzegach

lub11

00

),(),(

ctxxcctxxc

====

11

00

),(),(

TtxxTTtxxT

====

WB Neumanna

określają wartość pochodnej funkcji na brzegu

układu dla x = x0

oraz x = x1

Przykładowo: strumienie przez brzegi są zerowe (układ

zamknięty)

0),(0),(

1

0

====

txxJtxxJ

W toku tego wykładu skróty WBD

i WBN

będą się odnosiły do sformułowanych powyżej warunków brzegowych

4

Rozwiązania w stanie stacjonarnymW stanie stacjonarnym, z definicji, zerują się pochodne czasowe: lewe, a zatem, i prawe strony równań ciągłości

Dla geometrii sferycznej:

zJ

yJ

xJ

tc zyx

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−==∂∂ 0

xJ

tc

∂∂

−==∂∂ 0

Dla układu jednowymiarowego:

Dla układu trójwymiarowego: Dla geometrii cylindrycznej:

( )rJr

rtc

∂⋅∂

−==∂∂ 10

( )r

Jrrt

c∂

⋅∂−==

∂∂ 2

2

10

5

Geometria planarna (SS)

D1

c(x)=?

Dane:

Szukane:

x0 x1

c1 J1lubc0 J0lub

xJ

tc

∂∂

−==∂∂ 0

6

0dxd

=J

WD na lewym i prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D =

const

( ) const=xJ

( ) xbxc ⋅+= az warunków brzegowych

( ) xxxcc

xxxcxcxc

01

01

01

0110

−−

+−

⋅−⋅=

dyfuzja zachodzi!

x0

x x1

c(x)

stan stacjonarny

stan początkowy

01

01

xxccDJ

−−

−=

c1

c0

Geometria planarna (SS)

7

0dxd

=J

WN na lewym i prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D > 0

( ) const=xJ

( )( ) 010 =∨= xxxJ( ) 0=xJ

( ) const=xcdla ukł. zamkniętego

( ) ∫ =−

=1

0

)0,(1

01

x

x

dxtxcxx

xc

dyfuzja nie zachodzi!

c(x)

stan stacjonarny

stan początkowyc0

c1

x0

x x1

Geometria planarna (SS)

8

0dxd

=J

WD na lewym i WN na prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D > 0

( ) const=xJ

( ) 01 == xxJ( ) 0=xJ

( ) const=xc

( ) 0cxc =

dyfuzja nie zachodzi!

c(x)

stan stacjonarny

stan początkowy

( ) 00 cxxc == c0

c1

x0

x x1

Geometria planarna (SS)

9

0dxd

=J

WN na lewym i WD na prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D > 0

( ) const=xJ

( ) 00 == xxJ( ) 0=xJ

( ) const=xc

( ) 1cxc =

dyfuzja nie zachodzi!

c(x)

stan stacjonarny

stan początkowy

( ) 11 cxxc == c0

c1

x0

x x1

Geometria planarna (SS)

10

Układy wielowarstwoweDla warunków brzegowych Dirichleta, strumień w układzie

wielowarstwowym jest stały (niezerowy), podobnie jak gęstość prądu w układzie szeregowo połączonych

oporników. Również I prawo

Ficka

jest analogiczne do prawa Ohma

Zatem metody postępowania będą analogiczne!

R2V0 V2

xVJ

∂∂

= σxcDJ

∂∂

−=J oznacza tutaj

strumień ładunku czyli gęstość prądu

c0 c2D1 D2

c1

=?

R1

V1

=?

11

Znane: R1

i R2

oraz napięcie całkowite (V2

-V0

), szukane: V1

Ponieważ oporniki są szeregowo połączone, prąd w obwodzie jest stały, zatem:

R2R1

V0 V1 V2

21

02

1

01

RRVV

RVV

+−

=− ( )02

21

101 VV

RRRVV −+

+=

R2R1

V0V1

V2

Zasada działania potencjometru: płynna zmiana R1

skutkuje płynną zmianą V1

(przy stałym napięciu oraz oporze całkowitym)

Układy wielowarstwowe

12

Układy wielowarstwowe (SS,WBD)

∑=

−

−

−

−

−

=−

−N

n n

nn

n

nn

N

nn

Dxx

Dxx

cccc

1

1

1

0

1

c0 D1 D2

c1

=?

cNDN-1 DN

cN-1

=?c2

=? cN-2

=?

Dane:

Szukane:

x0 x1 x2 xN-2 xN-1 xN

( )∑∑=

−=

− −−=− N

nnn

N

n n

nn ccD

xxJ1

11

1

∑=

−−−

−= N

n n

nn

N

Dxx

ccJ

1

1

0

1

1

−

−

−−

−=nn

nnn xx

ccDJ

strumień w układzie

( )0

1

1

1

1 cc

Dxx

Dxx

cc NN

n n

nn

n

nn

nn −−

−

+=

∑=

−

−

−

wzór rekurencyjny

13

Układ dwuwarstwowy (SS,WBD)

c0 D1 D2

c1

=?

c2Dane:

Szukane:

x0 x1 x2

( )02

2

12

1

01

1

01

01 cc

Dxx

Dxx

Dxx

cc −−

+−

−

+=

( ) ( )( ) ( )012121

012212101 xxDxxD

xxDcxxDcc−+−

−+−=

( )( ) ( )012121

0221

xxDxxDccDDJ

−+−−

−=

14

Przewodzenie ciepła (SS,WBD)

T0 λ1 λ 2

J

T2Dane:

Szukane:

x0 x1 x2

( )( ) ( )012121

0221

xxxxTTJ

−+−−

−=λλ

λλ

xTJ

∂∂

−= λ λ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅KmWStrumień ciepła

15

Przewodzenie ciepła (SS,WBD)

( )( ) ( )012121

0221

xxxxTTJ

−+−−

−=λλ

λλ

xTJ

∂∂

−= λ 6.0=cλ 035.0=PSλ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅KmW

25 cm d

d (cm) Oszczędności %

2 58

5 77

10 87

15 91

20 93

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

J d( )

J 0( )

d

Dotyczy tylko ścian!

16

Geometria cylindryczna (SS)

D1

c(r)=?

Dane:

Szukane:

r0 r1

c1 J1lubc0 J0lub

( )rJr

rtc

∂⋅∂

−==∂∂ 10

17

Geometria cylindryczna (SS)

( ) 0d

d=

⋅rJr

WD na lewym i prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D =

const

Add

=rcr

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

00 ln

rrAcrc

( )

∫∫ =r

r00

dAdrrc

rc

c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−

0

101 ln

rrAcc

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−−

0

1

0

01

0

ln

ln

rrrr

cccrc ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

0

1

01

10

ln

lnln

rr

rrc

rrc

rc

oraz

18

Geometria cylindryczna (SS)WD na lewym i prawym brzegu

r0

r r1

c1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

0

1

01

10

ln

lnln

rr

rrc

rrc

rc

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

0

1

01

lnrrcc

rDrJ

dyfuzja zachodzi, strumień nie jest stały!

stan stacjonarny

stan początkowy

c0

c(r)

19

Geometria cylindryczna (SS)WN na lewym i prawym brzegu

( ) ( ) ∫ =⋅⋅⋅−

=1

0

)0,(212

02

1

r

r

drtrcrxr

rc ππ

Dla mieszanych warunków brzegowych rozwiązania

analogiczne jak dla geometrii planarnej

dyfuzja nie zachodzi!

r0

r r1

c1

stan początkowy

c0

c(r)

WDL+WNP

WNL+WNP

WNL+WDP

20

Geometria sferyczna (SS)

D1

c(r)=?

Dane:

Szukane:

r0 r1

c1 J1lubc0 J0lub

( )r

Jrrt

c∂

⋅∂−==

∂∂ 2

2

10

21

Geometria sferyczna (SS)

( ) 0d

d 2

=⋅

rJr

WD na lewym i prawym brzegu

z I prawa Ficka, dla D =

const

Add2 =

rcr

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

00

11rr

Acrc

( )

∫∫ =r

r2

00

dAdrrc

rc

c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

0101

11rr

Acc

( ) ( )( )10

01

01

0

rrrrrr

cccrc

−−

=−− ( ) ( ) ( )

( )01

011100

rrrrrrcrrrcrc

−−⋅+−⋅

=

oraz

22

Geometria sferyczna (SS)WD na lewym i prawym brzegu

r0

r r1

c1

( )01

012

10

rrcc

rrrDrJ

−−⋅⋅

−=

dyfuzja zachodzi, strumień nie jest stały!

stan stacjonarny

stan początkowy

c0

c(r)

( ) ( ) ( )( )01

011100

rrrrrrcrrrcrc

−−⋅+−⋅

=

23

Geometria sferyczna (SS)WN na lewym i prawym brzegu

( )( ) ∫

=⋅⋅⋅−

=1

0

)0,(4

34

1 2

30

31

r

r

drtrcrxr

rc ππ

Dla mieszanych warunków brzegowych rozwiązania

analogiczne jak dla geometrii planarnej

dyfuzja nie zachodzi!

r0

r r1

c1

stan początkowy

c0

c(r)

WDL+WNP

WNL+WNP

WNL+WDP

24

Ukł. dwuwymiarowy (SS, WBD)

WBD: temperatury na brzegach

T(x,y)=?

Dane:

Szukane:

yJ

xJ

tc yx

∂

∂−

∂∂

−==∂∂ 0

2

2

2

2

0yc

xc

∂∂

−∂∂

−=

Równanie Laplace’a

25

Ukł. dwuwymiarowy (SS, WBD)2

2

2

2

0yc

xc

∂∂

−∂∂

−=

Rozwiązanie numeryczne np. w Excelu, przy użyciu Solvera, zobacz: D.

Bourg, Excel w nauce i technice.

Receptury

1,,1,,1,,1 220 +−+− +−++−= jijijijijiji cccccc

( )1,1,,1,1,40 +−+− +++−= jijijijiji ccccc

Dla kwadratowej płyty, przy D=const: