Mg. Samuel Oporto Díaz

Inferencia en Lógica Proposicional

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Mapa Conceptual del Curso

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Tabla de Contenido1. Inferencia.

2. Reglas de Inferencia

3. Formas Canónicas

4. Probador de Teoremas

5. Ejercicios

6. Anexo

7. Bibliografía

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Objetivos• Exponer los mecanismos de inferencia• Presentar las reglas de inferencia.• Presentar el concepto del probador de Teoremas

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INFERENCIA

¿y ahora qué hago?

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Inferencia• Según la filosofía existen tres modos básicos de

razonamiento:• Deducción. inferencia desde las causas hacia los efectos, o

desde lo universal hacia lo particular.• Inducción. Recorre el camino inverso.• Abducción o retroducción. Relacionado con la génesis de la

hipótesis

Inferencia

Deductiva o analítica

SintéticaInducción

Hipótesis

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Mecanismo de Inferencia• Realiza razonamiento• Verifica la consistencia de una sentencia dada.• Es “completo” si puede encontrar una “prueba” para cada

sentencia que se puede producir .• Es “robusto” si los pasos que se siguen conducen

solamente a sentencias que son consistentes con la base de conocimiento

• Teoría de pruebas: Conjunto de pasos de razonamiento que son “robustos”

Inferencia

• Razonamiento “robusto”, inferencia lógica, deducción• Procedimiento que calcula la validez de sentencias• Una sentencia es valida si y solo si es verdadera para todas

las interpretaciones en todos los mundos posibles (sentencias analíticas, tautologías)

• No hay limite en la complejidad de las sentencias• No importa la interpretación que se este utilizando• Un proceso de inferencia confiable se denomina

demostraciónΔ |=ρ ω

desde Δ se obtiene ωρ : reglas de inferenciaΔ : conjunto de fórmulas bien formadaΩ: teoremas que se pueden deducir desde Δ

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Regla de inferencia• Patrón de inferencias que se presenta constantemente

• Si se prueba su robustez una vez, se puede extender a cualquier caso

• Se utilizan para hacer inferencias sin tener que construir tablas de verdad

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REGLAS DE INFERENCIA

Reglas + ObservacionesReglas + ObservacionesReglas + ObservacionesReglas + Observaciones

Δ |=ρ ω

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Reglas de inferenciaModus Ponens : a b, a

bModus Tollens: a b, -b

-aEliminación-y : a1 a2 …. an

aiIntroducción-y: a1, a2, ….,an

a1 a2 …. anIntroducción-o:_____ai_________

a1 a2 …. an

Eliminación-doble-negación: ~~aa

Resolución Unitaria: a b, ~ba

Resolución: a b, ~b c ~a b, b c a c ~a c

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Ejercicio 1• ¿Cómo se puede demostrar que una nueva regla de

inferencia es válida?

1313/39/39

FORMAS CANONICAS

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Forma Normal Clausal• Un literal es una variable proposicional o una variable

proposicional negada (o sea, con el símbolo ¬ delante).• En el primer caso diremos que es un literal positivo, y, en el

segundo, que es un literal negativo.

• Una cláusula es una sentencia de la forma:

L1 V L2 V Ln

donde los Li son literales y están unidos por disyunciones.

• Una sentencia está en forma clausulada si tiene la forma:

(L11 V L12 V...) Λ (L21 V L22 V..) Λ ...

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Conversión a Forma Clausal

1. Eliminar condicionales y bicondicionales: A B ≡ ¬A V B

A B ≡ (A B) Λ (B A) ≡ (¬A V B) Λ (¬B V A)

2. Introducir negaciones mediante las equivalencias (1) (doble negación), (2) y (3) (de Morgan):

¬(¬A) ≡ A

¬(A V B) ≡ ¬A Λ ¬B

¬(A Λ B) ≡ ¬A V ¬B

4. Distribuir las Λ con la equivalencia:

L1 V (L2 Λ L3) ≡ (L1 V L2) Λ (L1 V L3)

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Ejemplo

• G Λ (R => F)• Paso 1: G Λ (¬R V F)• Paso 2: no es necesario • Paso 3: no es necesario

• ¬(G Λ (R => F)) • Paso 1: ¬(G Λ (¬R V F)) • Paso 2: ¬(G Λ ¬(R Λ ¬F))• ¬G V ¬¬(R Λ ¬F)• ¬G V (R Λ ¬ F)• Paso 3: (¬G V R) Λ (¬G V ¬F)

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Ejercicio 2

Convertir a la FNC las siguientes expresiones:

1. (A Λ (B V C) Λ (EA)) V D

2. [(A(BVE)) Λ (C(DVF))] V [((AVB)E) Λ ((CVD)F)]

3. (A Λ B Λ C Λ D) V (B Λ C Λ D Λ E )

4. S (P (Q V R))

5. (P (Q V R)) Λ (P V Q) Λ R

6. (R V Q V P) (P Λ Q)

7. (R Λ (Q V P)) (P Q)

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PROBADOR DE TEOREMAS

1919/39/39

Probador de Teoremas• Conocido como:

– Refutación.– Demostración por contradicción– Reducción al absurdo

• Consiste en que para demostrar P(x), suponemos que P(x) es falsa (se añade –P(x) a la BD) y se demuestra la contradicción

[BD [BD ΛΛ ¬¬P(x) P(x) Falso] Falso] [BD [BD P(x)] P(x)]

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Ejemplo• Supongamos que tu me quieres, si me quieres entonces

debemos ser fieles, pero no me has sido fiel, por lo tanto no me quieres.

• Supongamos que eres un excelente congresista, si eres un excelente congresista entonces debes plantear leyes de alcance nacional, pero siempre te preocupas de los problemas eventuales, entonces eres un pésimo congresista.

• Si eres un buen hijo, entonces siempre debes de hacerle caso a la mamá, pero nunca le haces caso a la mamá, por lo tanto no eres un buen hijo.

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EJERCICIOS

2222/39/39

Ejercicio 3• Si pedro le apostó a Pittsburg, entonces se gastó el dinero.• Si Pedro se gastó el dinero entonces su esposa no compra

joyas y su esposa pide divorcio.• Si su esposa no compra joyas, entonces los niños no

comen o la esposa está enojada.• Pedro le apostó al Pittsburg .• Los niños comen por lo tanto su esposa está enojada.

2323/39/39

Ejercicio 3• P: Pedro le apostó a Pittsburg• Q: Pedro se gastó el dinero.• R: Su esposa no compra joyas• S: Su esposa pide divorcio• T: Los niños comen• U: Su esposa está enojada

1. PQ2. QR Λ S3. R¬T V U

4. P5. T U

7. Q modus ponens (1, 4)

8. R Λ S modus ponens (2, 7)

9. R y – eliminación (8)

10. ¬T V U modus pones (3, 9)11. T U ley implicación

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Ejercicio 4

Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada:

– Para que el país salga adelante, se requiere de empresas.– Para hacer una empresa se requiere inversión.– Para invertir se requiere dinero– Si tengo una empresa entonces tengo dinero– Si eres peruano no tienes dinero– Si eres extranjero tienes dinero– Soy peruano .– El país no sale adelante

2525/39/39

Ejercicio 5

Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada:

– Si quiero bajar de peso, debo comer a la hora, hacer ejercicio, dormir bien y no ver TV más de 1 hora al día.

– Para dormir bien, debo hacer ejercicios.– Para ver TV 1 hora, debo dormir bien.– Siempre hago ejercicios– No bajo de peso

2626/39/39

Ejercicio 6

Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada:

– Para que la UNI salga adelante se requiere de buenos profesores y de buenos alumnos.

– Los buenos profesores aparecen si hay buenos sueldos, buenos laboratorios y capacitación constante.

– Para tener capacitación constante se requiere buenos profesores.

– Los buenos profesores generan nuevos proyectos

– Los nuevos proyectos generan recursos propios

– Los recursos propios generan buenos sueldos

– Todos los alumnos son buenos

– Hay capacitación constante.

– La UNI sale adelante

2727/39/39

Ejercicio 7

Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada:

– Para terminar la UNI, debo aprobar todos mis cursos.– Para aprobar mis cursos, debo estudiar y ser inteligente.– Para estudiar debo tener dinero y tiempo.– Soy inteligente– Tengo dinero pero no tiempo– Termino la UNI

2828/39/39

Ejercicio 8Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada:

– Si la banda no toca Rock and Roll, o las bebidas no llegan a tiempo, entonces la fiesta se cancela y Alicia está enojada.

– Si la fiesta se cancela entonces hay que regresar el dinero de las entradas.

– No se regresó el dinero de las entradas.– Por lo tanto, la banda toca Rock and Roll.

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Ejercicio 9Dado los siguientes axiomas:

(1). P

(2). (P Q) R(3). (S T) Q(4). T

Probar por refutación: R

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Ejercicio 9Convirtiendo a la forma canónica FNC

(1). P P (2). (P Q) R P Q R(3). (S T) Q S Q(4). T Q(5). T T

Introduciendo la proposición a probar

(6) ¬R

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Ejercicio 9Aplicando reglas de inferencia (resolución)

P Q R R

P Q

T Q

P

Q

T T

nil

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Ejercicio 10• Demostrar que (τΛχ),(τν),(χω) |= (vΛω)

3333/39/39

Ejercicio 101 (τΛχ) Premisa 2 (τ) y-eliminación, línea 1 3 (τv) Premisa 4 (ν) eliminación, 2 y 3 (modus ponens) 5 (χ) Y – eliminación (derecha), línea 1 6 (χω) Premisa 7 (ω) eliminación, 5, 6 (modus ponens) 8 (vΛω) Y - introducción

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Ejercicio 11~S11~S21S12

~B11B21

~B12

R1: ~S11 ~W11 ~W12 ~W21R2: ~S21 ~W11 ~W21 ~W22 ~W31R3: ~S12 ~W11 ~W12 ~W22 ~W13R4: S12 W11 W12 W22 W13

Prueba para encontrar el wumpus:

~S11 y R1 con Modus Ponens (1)(1) con Eliminación-y (2)~S21 y R2 con Modus Ponens (3)S12 y R4 con Modus Ponens (4)Resolución unitaria con (4) y ~W11 (5)Resolución unitaria con (5) y ~W22 (6)Resolución unitaria con (6) y ~W12

1. ~W11 ~W12 ~W212. ~W11, ~W12, ~W213. ~W11 ~W21 ~W22 ~W314. W11 W12 W22 W135. W12 W22 W136. W12 W137. W13

S12 = hedor en [1,2]

3535/39/39

ANEXO

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Forma Normal Conjuntiva• Se supone que todas las disyunciones (V) de la BC se

agrupan en una conjunción (Λ) implícita grande, por lo que a esta forma se le denomina forma normal conjuntiva (CNF), aún cuando cada oración en particular es una disyunción (V)

Forma Normal Conjuntiva

¬P V Q

P

Forma Normal Implicativa

P Q

Verdad P

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Formas Canónicas

• Forma normal conjuntiva (CNF). Disyunción de literales.• Forma normal implicativa (INF). Conjunciones en la

izquierda que implica las disyunciones en el derecho.

• La CNF es más común, pero la INF es más "natural" para el análisis humano.

Original KB CNF INF

x P(x) Q(x)  P(w) Q(w)  P(w) Q(w) 

x P(x) R(x) P(x) R(x) True P(x) R(x)

x Q(x) S(x) Q(y)S(y) Q(y) S(y)

x R(x) S(x) R(z)S(z) R(z) S(z)

A, A B                True A, A B

      B                                 True B

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Bibliografía• AIMA. Capítulo 6, primera edición.• AIMA. Chapter 7, second edition.

3939/39/39

PREGUNTAS