Mühendislik Fakültesi

Elektrik - Elektronik Mühendisliği

KONTROL SİSTEMLERİ LABORATUVARI

DENEY FÖYÜ

Deney Adı

03

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ VE

DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ

Öğrenci Bilgileri Grup No Numara Ad Soyad

Değerlendirme

Tarih Puan

Öğretim Elemanı Grup A Grup B Grup C

Dr. Öğr. Üyesi Kenan GENÇOL

Arş. Gör. Ömer Faruk TOZLU

Dr. Öğr. Üyesi M.Alparslan GÜNGÖR

Arş. Gör. Ömer Faruk TOZLU

Dr. Öğr. Üyesi Serkan DİŞLİTAŞ

Arş. Gör. Ömer Faruk TOZLU

2019 Çorum / Türkiye

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

2/9

A. DENEY TANIMI

Deney No 03

Deney Adı Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deneyin

Amacı

Kontrol sistemlerinin analizinde sıkça kullanılan Laplace dönüşümünü MATLAB ortamında gerçekleştirmek

Diferansiyel denklemleri MATLAB ortamında çözmek

B. ÖN BİLGİLER

Laplace ve diferansiyel denklem çözümleri için MATLAB’ın Symbolic Math Toolbox kütüphanesi kullanılır.

Komut Açıklama

laplace Laplace dönüşümlerinin doğrudan sembolik çözümlerini yapmak mümkündür.

ilaplace Ters Laplace dönüşümlerinin doğrudan sembolik çözümlerini yapmak mümkündür.

residue Bir fonksiyonun kısmi kesirlerinin çarpanları (r), kutupları (p) ve kalanları (k)

hesaplanabilir.

dsolve Diferansiyel denklem çözümü

pretty Denklem düzenleme ve güzelleştirme amacıyla kullanılır.

1) Laplace Dönüşümü

F = laplace(f)

laplace komutu MATLAB ortamında tanımlanmış bir f fonksiyonunun sembolik Laplace

dönüşümünü yapar. Laplace dönüşümünde kullanılan x ve t değişkenleri ile varsa a, b gibi parametrelerin syms

komutu ile önceden tanımlanması gerekir. Laplace dönüşümü sonucunu güzelleştirmek için “pretty” komutu kullanılır.

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

3/9

2) Ters Laplace Dönüşümü

f = ilaplace(F)

ilaplace komutu MATLAB ortamında tanımlanmış bir F fonksiyonunun sembolik ters Laplace dönüşümünü yapar.

Laplace dönüşümünde kullanılan s ve t değişkenleri ile varsa a, b gibi parametrelerin syms

komutu ile önceden tanımlanması gerekir.

3) Kısmi Kesirlere Ayırarak Ters Laplace Dönüşümü

[r p k] = residue(pay, payda)

i. residue komutu ile bir fonksiyonun kısmi kesirlerinin çarpanları(r), kutupları(p) ve kalanları(k) hesaplanabilir. (r, p ve k değişken adlarıdır.).

ii. Kısmi kesirlerin Ters Laplace dönüşümü alınarak toplam fonksiyonun Ters Laplace dönüşümü hesaplanabilir.

Kısmi kesir gösterimi:

𝒃(𝒔)

𝒂(𝒔)=

𝒓𝟏

𝒔 − 𝒑𝟏

+ 𝒓𝟐

𝒔 − 𝒑𝟐

+ ⋯ + 𝒓𝒏

𝒔 − 𝒑𝒏

+ 𝒌(𝒔)

Örnek kısmi kesir gösterimi:

𝑭(𝒔) = −𝟐

𝒔 + 𝟏+

𝟓

𝒔 + 𝟒+ 𝟎

conv conv (convolution) komutu, çarpanlara ayrılmış polinom gösterimler için doğrudan çarpma işlemi yapar.

(s+1)(s-3) = s2 – 2s - 3

conv([1 1],[1 -3])

4) Diferansiyel Denklem Çözümü

dsolve komutu kullanılır.

d/dt ifadesi “ D” ile temsil edilir.

Çözüm fonksiyonunda bir sabit bulunması istenmiyorsa; başlangıç koşulları program içinde

belirtilmelidir. Belirtilmezse çözüm fonksiyonunda C sabitleri yer alır.

Örnek Komut Formatı:

y = dsolve(‘Formatlı Diferansiyel Denklem’, ‘1.BaşlangıçDeğeri=’, ‘2.BaşlangıçDeğeri=’, …)

Örneğin; y’nin 2. türevi için ‘D2y’, 3. türevi için ‘D3y’ yazılmalıdır.

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

4/9

ÖRNEK

01

y’’ – y’ – 2y = 4x2

Yukarıda verilen diferansiyel denklemin çözümünü MATLAB ile yapınız.

% dsolve_01.m - Diferansiyel Denklem Çözümü Uygulaması

clc; % Komut Penceresi Temizle clear; % WorkSpace Temizle syms x % Sembolik Değişken Tanımları

y = dsolve ('D2y – Dy - 2*y = 4*x^2', x) % Dif. Denk. Çöz.

𝒚′ =𝒅𝒚

𝒅𝒙 olduğundan x bağımsız değişkeni dsolve komutu

parametresi olarak belirtilir.

ÖRNEK

02

x’’ + 4x’ + 5 = t Yukarıda verilen diferansiyel denklemi

x(0), x’(0)= -1 başlangıç koşulları için MATLAB ile çözünüz.

% dsolve_02.m - Diferansiyel Denklem Çözümü Uygulaması

clc; % Komut Penceresi Temizle clear; % WorkSpace Temizle syms t % Sembolik Değişken Tanımları

x = dsolve ('D2x + 4*Dx + 5 = t', 'x(0)=0','Dx(0)=-1') % Dif. Denk. Çöz.

pretty(x) % Denklem Güzelleştirme

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

5/9

B. UYGULAMALAR

Uygulama 01 Konu MATLAB / Laplace Dönüşümü

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒆−𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕 − 𝒆−𝟑𝒕𝒔𝒊𝒏𝒕

Yukarıda verilen fonksiyonun Laplace dönüşümünü MATLAB ile yapınız.

MATLAB Kodları

MATLAB Ekran Çıktısı

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

6/9

Uygulama 02 Konu MATLAB / Ters Laplace Dönüşümü

𝑭(𝒔) = 𝒔 + 𝟒

𝒔𝟐 + 𝟓𝒔 + 𝟔

Yukarıda verilen fonksiyonun Ters Laplace dönüşümünü MATLAB ile yapınız.

MATLAB Kodları

MATLAB Ekran Çıktısı

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

7/9

Uygulama 03 Konu MATLAB / Kısmi Kesir Dönüşümü

𝑭(𝒔) = 𝒔 + 𝟒

𝒔𝟐 + 𝟓𝒔 + 𝟔

Yukarıda verilen fonksiyonun Kısmi Kesir dönüşümünü MATLAB ile yapınız.

MATLAB Kodları

MATLAB Ekran Çıktısı

Kısmi Kesirli Denklemi Yazınız:

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

8/9

Uygulama 04 Konu MATLAB / Kısmi Kesir Dönüşümü (conv)

Yukarıda verilen fonksiyonun Kısmi Kesir dönüşümünü MATLAB’ta yapınız.

( conv komutunu kullanarak çarpma, format rat ile kesirli gösterimi sağlayınız.)

MATLAB Kodları

MATLAB Ekran Çıktısı

Kısmi kesir gösterimi:

10 5 4 --------------- - ----------------- + ------------------

9 ( s + 2) 9 ( s - 1 ) 9 ( s + 5 )

EEM - Kontrol Sistemleri Laboratuvarı Deney Föyü

Laplace Dönüşümü ve Diferansiyel Denklem Çözümü

Deney No

03

9/9

Uygulama 05 Konu MATLAB / Diferansiyel Denklem Çözümü

𝒅𝟐𝒚(𝒕)

𝒅𝒕𝟐+

𝟑𝒅𝒚(𝒕)

𝒅𝒕+ 𝟐𝒚(𝒕) = 𝟏 + 𝒕

Yukarıda verilen diferansiyel denklemini y(0) = 0 ve y′(0) = 1 (1. türev) başlangıç koşulları altında MATLAB’ta çözünüz.

MATLAB Kodları

MATLAB Ekran Çıktısı