MIAS 2 - Chap 5 - page 1 V Ondes Lumineuses V.1 Avant propos La lumièreOnde électromagnétique Champ électrique E Champ (ou induction) magnétique B La propagation

MIAS 2 - Chap 5 - page 1

V Ondes Lumineuses

V.1 Avant propos

La lumière Onde électromagnétique

Champ électrique E

Champ (ou induction) magnétique B

La propagation d’une onde lumineuse est donc caractérisée par la propagation d’un champ

électrique et d’un champ magnétique. La théorie régissant cette propagation a été publiée la

première fois par James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 suite à ses travaux à

l’université de Cambridge.

La vérification expérimentale de cette théorie n’a été réalisée qu’en 1888 par Heinrich

HERTZ (1857-1894). Il créa des ondes électromagnétiques à l’aide d’un dispositif électrique.

Bien que ces ondes (Hertziennes, > 1 m) ne soient pas des ondes lumineuses, elles vinrent

confirmer la théorie de Maxwell.


Les champs électriques sont produits par des charges électriques ou des magnétiques variables dans le temps

Les champs magnétiques sont produits par des courants ou des charges électriques en mouvement.

Une charge électrique en mouvement est entouré d’un champ

électrique E et d’un champ magnétique H Si la charge électrique est au repos il n’y a qu’un champ électrique.

Champ électrique

Il traduit la propriété de l’espace autour d’une charge électrique. Le champ électrique est un champ vectoriel. On peut définir en chaque point de l’espace une quantité qui traduit l’action d’une force sur une charge électrique. Cette force s’écrit :

EQF


Généralement, on utilise les lignes de champs pour matérialiser le champ électrique dans l’espace.

La direction des lignes de champ en un point correspond à la direction du champ

ou encore à la direction de la force exercée sur une charge positive. Les lignes de champs sont dirigées d’une charge positive vers une charge négative.

Les lignes de champs ne sont jamais fermées Les lignes de champs ne se coupent jamais

Le champ électrique est irrotationnel

Propriétés :


Champ magnétique

Il traduit la propriété d’une région soumise à une induction magnétique ou densité de flux magnétique B :

- Aimant permanent

- conducteur parcouru par un courant

De même que précédemment, on utilise les lignes de champs pour visualiser le champ magnétique. On prend les conventions suivantes :

La direction des lignes de champ est par convention du pôle nord au

pôle sud. La tangente en un point à une ligne de champ donne la direction que

prendrait un aimant d’essai placé en ce point.

Propriétés :

Les lignes de champs magnétiques sont toujours fermées. Il n’existe pas de

charges libres (monopôle). La densité des lignes de champ magnétiques est une mesure de la densité de flux

magnétique.

BvQF


V.2 Equations de Maxwell dans le vide

tB

E

tE

jB

000

0 E

0 B

ou

ou

ou

ou

Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique

E et magnétique B.

Elles s’écrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique

et une densité de courant j comme suit :

tB

Erot

tE

jBrot

000

0

Ediv

0 Bdiv

0 Permittivité électrique du vide

0 Perméabilité magnétique du vide

Equation de Maxwell-Faraday

Equation de Maxwell-Ampère

Equation de Maxwell-Gauss

Conservation du flux


tB

E

tE

jH

0

D

0 B

On trouve aussi souvent la notation suivante :

En définissant des nouveaux champs :

ED

B

H

Pour le vide :

ED

0

0B

H

0 et 0 sont des constantes.


Si maintenant on se place loin des zones de charges (=0) et des sources de courant (j=0) :

tB

E

tE

B

00

0 E

0 B

Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour

les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par

exemple le rotationnel de la première équation :

Btt

BE

Remarque : Les équations de Maxwell montrent qu’un champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement


Bt

E

A l’aide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire :

tE

B

00

2

2

00 tE

E

Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels :

AAdivgradAAA

. 2

2

2

002

tE

EEdivgradE

0 E

2

2

00 tE

E

On sait que :

On obtient finalement une équation ne contenant que E.

01

2

2

2 tE

CE

Equation de Propagation

Avec 00

1

C


Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B :

Ett

EB

0000

2

2

00 tB

B

2

2

002

tB

BBdivgradB

0 B

2

2

00 tB

B

On sait que :

tB

E

01

2

2

2 tB

CB

Equation de Propagation

Avec 00

1

C


Ces deux équations font du champ électromagnétique une onde. Les champs électrique E et

magnétique B se propagent à la vitesse C.

On va pouvoir donc utiliser les résultats du chapitre III

La constante C est fondamentale en physique. Par

définition du mètre, elle est égale à 299 792 458 m/s.

On prend généralement 300 000 km/s. Elle représente

la limite absolu de la vitesse de déplacement.

V.3 Ondes planes sinusoïdales

En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du

fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme d’ondes

planes harmoniques. Dans le cas d’une onde progressive on écrira :

zzz

yyy

xxx

rktEtzyxE

rktEtzyxE

rktEtzyxE

.cos,,,

.cos,,,

.cos,,,

0

0

0

Avec kC et 00

1

C

Les composantes du champ magnétique sont déterminées à

l’aide des équations de Maxwell.


V.3.1 Relations entre les champs

Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe.

rktjeEtzyxE

.0,,,

Champ E:

avec zj

zyj

yxj

x ueEueEueEE zyx

0000

rktjeBtzyxB

.0,,,

Champ B:

avec zj

zyj

yxj

x ueBueBueBB zyx

0000

Pour les opérateurs de dérivation on a: kjjt

et

Champ véritable = partie réelle

En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient :

0. Ekj

ECj

Bkj

2

0. Bkj

BjEkj

0. Ek

BkC

E

2

Ek

B

0. Bk

Partie réelle uniquement


Les deux champs sont en phaseLes deux champs sont orthogonaux au vecteur d’onde k Onde transversale forme un trièdre directeLes modules des champs sont proportionnels BEk

,,

CB

E

V.3.2 Polarisation

La polarisation définit l’orientation du champ électrique dans le temps.

Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle

On sait que le champ électrique est transversale :

0

cos

cos

0

0

kztE

kztE

E y

x

avec xy


Polarisation rectiligne

C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :

ou

0

Polarisation circulaire

C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :

yx EE 00

2

+ : polarisation droite- : polarisation gauche


V.4 Aspect energétique

La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting :

BE

0

1

S

Sd

.P

Exemple d’une onde plane

0

cos

cos

0

0

yy

xx

kztE

kztE

E

0

cos

cos1

0

0

xx

yy

z kztE

kztE

CCEu

B

et

ukk

avec


Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting

0

cos

cos

0

cos

cos11

0

0

0

0

00xx

yy

yy

xx

kztE

kztE

kztE

kztE

CBE

202

0

0coscos

0

01

yyxx kztEkztEC

zyx ukztEkztEC yx

2222

0

coscos1

00

La moyenne temporelle est égale à :

zz uCE

uC

EEyx

0

2

0

22

200

ou encore zu

BC

0

2

Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales n’interfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes


V.5 Conditions de continuité des ondes électromagnétiques

Milieu 1 Milieu 2

Onde incidente

Onde transmise

Onde réfléchie

Pour établir les expressions entre les différentes ondes (incidente, réfléchie et transmise), il faut écrire les relations de continuité à l’interface

Soit une surface S limitée par un contour rectangulaire C petit.

Milieu 2

Milieu 1 A1

A2 B2

B1

On sait que les équations de Maxwell sont vérifiées de partout, notamment la première :

tB

E


En intégrant sur la surface S : SS

SdtB

SdE

..

En utilisant la formule de Stokes on peut écrire :

S

SdAldA

..

0....... 11222222211111 MAEMAEABEMBEMBEBAEldE nntnnt

C

SC

SdtB

ldE

..

SC

SdBt

ldE

..

ou encore

0 SdSi

0. S

SdB

donc

Finalement 0.. 1121 BAEEldE tt

C

21 tt EE


Un raisonnement analogue sur la deuxième équation de Maxwell

conduit à: tE

B

00

2

2

1

1

tt BB

2121 tt BBSi

La formule d’Ostrogradsky ou de la divergence, nous permet d’ écrire :

VS

dVASdA

. 0.

SV

SdEdVE

Milieu 2

Milieu 1

On considère maintenant la même surface mais avec des cylindres

On sait que : 0 ED : permittivité du milieu


Le vecteur est dirigé suivant la normale à la surface, donc on doit juste tenir compte des composantes normales des champs E.

Sd

2211 nn EE

Le même raisonnement surconduit à :

0 B

21 nn BB

Finalement les 4 équations de continuité sont :

2211 nn EE

21 nn BB

2

2

1

1

tt BB

21 tt EE

21 tt BB

généralement on prend


V.6 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques

On supposera que l’onde est polarisé rectilignement suivant Oy E // Oy

zxktj

i

yxktj

i

ueCE

B

ueEE

1

1

1

0

0

Onde incidente

zxktj

r

r

yxktjr

r

ueC

EB

ueEE

10

1

0

1

Onde réfléchie

zxktj

t

t

yxktjt

t

ueC

EB

ueEE

20

2

0

2

Onde transmise

Milieu 1 Milieu 2

Onde incidente (Ei, Bi)

Onde transmise (Et, Bt)

Onde réfléchie (Er, Br)

x

1, 1

2, 2

k1

Ei

Bi

k2

Et

Bt

k1

Er

Br

0

y

V.6.1 Incidence normale


Equation de continuité en x=0

211

0

0

00

00

C

E

C

E

CE

EEE

tr

trContinuité des composantes tangentielles de E

Continuité des composantes tangentielles de B

Si on utilise les valeur des indices de réfraction des deux milieux :

1

01 C

Cn

2

02 C

Cn et

tr

tr

EnEEn

EEE

00

00

201

0

021

21

021

1

0

0

2

Ennnn

E

Enn

nE

r

t

On peut définir les coefficients de réflexion r et de transmission t :

21

21

0

21

1

0

0

02

nnnn

E

Er

nnn

E

Et

r

t


V.6.2 Incidence quelconque

Considérons un rayon de lumière non polarisée tombant sur l’interface entre deux milieu. Les différents paramètres du problèmes sont :

i : Angle d’incidence

’r : Angle de réflexion

r : Angle de réfraction

D’après la loi de Snell, on peut écrire des relation entre les différents angles:

ri

ri nn

sinsin 21

A tout instant, on peut décomposer l’onde incidente en deux composantes perpendiculaires :

Une dont le champ électrique est contenu dans le plan d’incidence appelée E|| (figure ci-contre)

Une dont le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence appelée E (figure page suivante)

Polarisation parallèle au plan d’incidence


Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence

En utilisant les relations de continuité établies précédemment, il est possible de définir des coefficients de transmission et de réflexion pour les deux polarisation :

021

21

1

21

1

//

//

21

21

21

12

//

//

que supposé aOn

sinsincos2

coscoscos2

cossinsincos2

coscoscos2

sinsin

coscoscoscos

coscoscoscos

ri

ri

ri

i

i

r

riri

ri

ir

i

i

r

ri

ri

ri

ri

i

r

ri

ri

ir

ri

i

r

nnn

EE

t

nnn

EE

t

nnnn

EE

r

tgtg

nnnn

EE

r

0r doncet grand infinimentdevient ur dénominate le,2

Si // ri

L’onde réfléchie est alors totalement polarisée perpendiculairement au plan d’incidence. L’angle d’incidence i correspondant est appelé angle de Brewster.


1

2i

iir

ri

:estBrewster de anglel' Snell, de loi lautilisant en Donc

cos2

sinsin

2 Si

nn

tg

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