MIAS 2 - Chap 5 - page 1
V Ondes Lumineuses
V.1 Avant propos
La lumière Onde électromagnétique
Champ électrique E
Champ (ou induction) magnétique B
La propagation d’une onde lumineuse est donc caractérisée par la propagation d’un champ
électrique et d’un champ magnétique. La théorie régissant cette propagation a été publiée la
première fois par James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 suite à ses travaux à
l’université de Cambridge.
La vérification expérimentale de cette théorie n’a été réalisée qu’en 1888 par Heinrich
HERTZ (1857-1894). Il créa des ondes électromagnétiques à l’aide d’un dispositif électrique.
Bien que ces ondes (Hertziennes, > 1 m) ne soient pas des ondes lumineuses, elles vinrent
confirmer la théorie de Maxwell.
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Les champs électriques sont produits par des charges électriques ou des magnétiques variables dans le temps
Les champs magnétiques sont produits par des courants ou des charges électriques en mouvement.
Une charge électrique en mouvement est entouré d’un champ
électrique E et d’un champ magnétique H Si la charge électrique est au repos il n’y a qu’un champ électrique.
Champ électrique
Il traduit la propriété de l’espace autour d’une charge électrique. Le champ électrique est un champ vectoriel. On peut définir en chaque point de l’espace une quantité qui traduit l’action d’une force sur une charge électrique. Cette force s’écrit :
EQF
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Généralement, on utilise les lignes de champs pour matérialiser le champ électrique dans l’espace.
La direction des lignes de champ en un point correspond à la direction du champ
ou encore à la direction de la force exercée sur une charge positive. Les lignes de champs sont dirigées d’une charge positive vers une charge négative.
Les lignes de champs ne sont jamais fermées Les lignes de champs ne se coupent jamais
Le champ électrique est irrotationnel
Propriétés :
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Champ magnétique
Il traduit la propriété d’une région soumise à une induction magnétique ou densité de flux magnétique B :
- Aimant permanent
- conducteur parcouru par un courant
De même que précédemment, on utilise les lignes de champs pour visualiser le champ magnétique. On prend les conventions suivantes :
La direction des lignes de champ est par convention du pôle nord au
pôle sud. La tangente en un point à une ligne de champ donne la direction que
prendrait un aimant d’essai placé en ce point.
Propriétés :
Les lignes de champs magnétiques sont toujours fermées. Il n’existe pas de
charges libres (monopôle). La densité des lignes de champ magnétiques est une mesure de la densité de flux
magnétique.
BvQF
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V.2 Equations de Maxwell dans le vide
tB
E
tE
jB
000
0 E
0 B
ou
ou
ou
ou
Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique
E et magnétique B.
Elles s’écrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique
et une densité de courant j comme suit :
tB
Erot
tE
jBrot
000
0
Ediv
0 Bdiv
0 Permittivité électrique du vide
0 Perméabilité magnétique du vide
Equation de Maxwell-Faraday
Equation de Maxwell-Ampère
Equation de Maxwell-Gauss
Conservation du flux
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tB
E
tE
jH
0
D
0 B
On trouve aussi souvent la notation suivante :
En définissant des nouveaux champs :
ED
B
H
Pour le vide :
ED
0
0B
H
0 et 0 sont des constantes.
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Si maintenant on se place loin des zones de charges (=0) et des sources de courant (j=0) :
tB
E
tE
B
00
0 E
0 B
Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour
les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par
exemple le rotationnel de la première équation :
Btt
BE
Remarque : Les équations de Maxwell montrent qu’un champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement
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Bt
E
A l’aide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire :
tE
B
00
2
2
00 tE
E
Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels :
AAdivgradAAA
. 2
2
2
002
tE
EEdivgradE
0 E
2
2
00 tE
E
On sait que :
On obtient finalement une équation ne contenant que E.
01
2
2
2 tE
CE
Equation de Propagation
Avec 00
1
C
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Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B :
Ett
EB
0000
2
2
00 tB
B
2
2
002
tB
BBdivgradB
0 B
2
2
00 tB
B
On sait que :
tB
E
01
2
2
2 tB
CB
Equation de Propagation
Avec 00
1
C
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Ces deux équations font du champ électromagnétique une onde. Les champs électrique E et
magnétique B se propagent à la vitesse C.
On va pouvoir donc utiliser les résultats du chapitre III
La constante C est fondamentale en physique. Par
définition du mètre, elle est égale à 299 792 458 m/s.
On prend généralement 300 000 km/s. Elle représente
la limite absolu de la vitesse de déplacement.
V.3 Ondes planes sinusoïdales
En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du
fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme d’ondes
planes harmoniques. Dans le cas d’une onde progressive on écrira :
zzz
yyy
xxx
rktEtzyxE
rktEtzyxE
rktEtzyxE
.cos,,,
.cos,,,
.cos,,,
0
0
0
Avec kC et 00
1
C
Les composantes du champ magnétique sont déterminées à
l’aide des équations de Maxwell.
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V.3.1 Relations entre les champs
Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe.
rktjeEtzyxE
.0,,,
Champ E:
avec zj
zyj
yxj
x ueEueEueEE zyx
0000
rktjeBtzyxB
.0,,,
Champ B:
avec zj
zyj
yxj
x ueBueBueBB zyx
0000
Pour les opérateurs de dérivation on a: kjjt
et
Champ véritable = partie réelle
En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient :
0. Ekj
ECj
Bkj
2
0. Bkj
BjEkj
0. Ek
BkC
E
2
Ek
B
0. Bk
Partie réelle uniquement
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Les deux champs sont en phaseLes deux champs sont orthogonaux au vecteur d’onde k Onde transversale forme un trièdre directeLes modules des champs sont proportionnels BEk
,,
CB
E
V.3.2 Polarisation
La polarisation définit l’orientation du champ électrique dans le temps.
Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle
On sait que le champ électrique est transversale :
0
cos
cos
0
0
kztE
kztE
E y
x
avec xy
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Polarisation rectiligne
C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :
ou
0
Polarisation circulaire
C’est un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici :
yx EE 00
2
+ : polarisation droite- : polarisation gauche
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V.4 Aspect energétique
La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting :
BE
0
1
S
Sd
.P
Exemple d’une onde plane
0
cos
cos
0
0
yy
xx
kztE
kztE
E
0
cos
cos1
0
0
xx
yy
z kztE
kztE
CCEu
B
et
ukk
avec
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Déterminons maintenant l’expression du vecteur de Poynting
0
cos
cos
0
cos
cos11
0
0
0
0
00xx
yy
yy
xx
kztE
kztE
kztE
kztE
CBE
202
0
0coscos
0
01
yyxx kztEkztEC
zyx ukztEkztEC yx
2222
0
coscos1
00
La moyenne temporelle est égale à :
zz uCE
uC
EEyx
0
2
0
22
200
ou encore zu
BC
0
2
Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales n’interfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes
MIAS 2 - Chap 5 - page 16
V.5 Conditions de continuité des ondes électromagnétiques
Milieu 1 Milieu 2
Onde incidente
Onde transmise
Onde réfléchie
Pour établir les expressions entre les différentes ondes (incidente, réfléchie et transmise), il faut écrire les relations de continuité à l’interface
Soit une surface S limitée par un contour rectangulaire C petit.
Milieu 2
Milieu 1 A1
A2 B2
B1
On sait que les équations de Maxwell sont vérifiées de partout, notamment la première :
tB
E
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En intégrant sur la surface S : SS
SdtB
SdE
..
En utilisant la formule de Stokes on peut écrire :
S
SdAldA
..
0....... 11222222211111 MAEMAEABEMBEMBEBAEldE nntnnt
C
SC
SdtB
ldE
..
SC
SdBt
ldE
..
ou encore
0 SdSi
0. S
SdB
donc
Finalement 0.. 1121 BAEEldE tt
C
21 tt EE
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Un raisonnement analogue sur la deuxième équation de Maxwell
conduit à: tE
B
00
2
2
1
1
tt BB
2121 tt BBSi
La formule d’Ostrogradsky ou de la divergence, nous permet d’ écrire :
VS
dVASdA
. 0.
SV
SdEdVE
Milieu 2
Milieu 1
On considère maintenant la même surface mais avec des cylindres
On sait que : 0 ED : permittivité du milieu
MIAS 2 - Chap 5 - page 19
Le vecteur est dirigé suivant la normale à la surface, donc on doit juste tenir compte des composantes normales des champs E.
Sd
2211 nn EE
Le même raisonnement surconduit à :
0 B
21 nn BB
Finalement les 4 équations de continuité sont :
2211 nn EE
21 nn BB
2
2
1
1
tt BB
21 tt EE
21 tt BB
généralement on prend
MIAS 2 - Chap 5 - page 20
V.6 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques
On supposera que l’onde est polarisé rectilignement suivant Oy E // Oy
zxktj
i
yxktj
i
ueCE
B
ueEE
1
1
1
0
0
Onde incidente
zxktj
r
r
yxktjr
r
ueC
EB
ueEE
10
1
0
1
Onde réfléchie
zxktj
t
t
yxktjt
t
ueC
EB
ueEE
20
2
0
2
Onde transmise
Milieu 1 Milieu 2
Onde incidente (Ei, Bi)
Onde transmise (Et, Bt)
Onde réfléchie (Er, Br)
x
1, 1
2, 2
k1
Ei
Bi
k2
Et
Bt
k1
Er
Br
0
y
V.6.1 Incidence normale
MIAS 2 - Chap 5 - page 21
Equation de continuité en x=0
211
0
0
00
00
C
E
C
E
CE
EEE
tr
trContinuité des composantes tangentielles de E
Continuité des composantes tangentielles de B
Si on utilise les valeur des indices de réfraction des deux milieux :
1
01 C
Cn
2
02 C
Cn et
tr
tr
EnEEn
EEE
00
00
201
0
021
21
021
1
0
0
2
Ennnn
E
Enn
nE
r
t
On peut définir les coefficients de réflexion r et de transmission t :
21
21
0
21
1
0
0
02
nnnn
E
Er
nnn
E
Et
r
t
MIAS 2 - Chap 5 - page 22
V.6.2 Incidence quelconque
Considérons un rayon de lumière non polarisée tombant sur l’interface entre deux milieu. Les différents paramètres du problèmes sont :
i : Angle d’incidence
’r : Angle de réflexion
r : Angle de réfraction
D’après la loi de Snell, on peut écrire des relation entre les différents angles:
ri
ri nn
sinsin 21
A tout instant, on peut décomposer l’onde incidente en deux composantes perpendiculaires :
Une dont le champ électrique est contenu dans le plan d’incidence appelée E|| (figure ci-contre)
Une dont le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence appelée E (figure page suivante)
Polarisation parallèle au plan d’incidence
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Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence
En utilisant les relations de continuité établies précédemment, il est possible de définir des coefficients de transmission et de réflexion pour les deux polarisation :
021
21
1
21
1
//
//
21
21
21
12
//
//
que supposé aOn
sinsincos2
coscoscos2
cossinsincos2
coscoscos2
sinsin
coscoscoscos
coscoscoscos
ri
ri
ri
i
i
r
riri
ri
ir
i
i
r
ri
ri
ri
ri
i
r
ri
ri
ir
ri
i
r
nnn
EE
t
nnn
EE
t
nnnn
EE
r
tgtg
nnnn
EE
r
0r doncet grand infinimentdevient ur dénominate le,2
Si // ri
L’onde réfléchie est alors totalement polarisée perpendiculairement au plan d’incidence. L’angle d’incidence i correspondant est appelé angle de Brewster.
MIAS 2 - Chap 5 - page 24
1
2i
iir
ri
:estBrewster de anglel' Snell, de loi lautilisant en Donc
cos2
sinsin
2 Si
nn
tg
Recommended