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Microeconomía Avanzada I – Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci

APENDICE MATEMÁTICO

Extremos de una función:

Máximo, mínimo, cotas, supremo e ínfimo

Definiciones:

Decimos que D ∩ R es un conjunto acotado superiormente ↔ З k, k Є R / para todo x Є D se cumple que x ≤ k. → k se denomina cota superior del conjunto D.

Decimos que D ∩ R es un conjunto acotado inferiormente ↔ З h, h Є R / para todo x Є D se cumple que h ≤ x. → h se denomina cota inferior del conjunto D.

Definiciones: Supremo e ínfimo

Decimos que k es el supremo ( o extremo superior) del conjunto D ∩ R ↔ k es cota superior del conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / k – δ < x ≤ k.

Decimos que h es el ínfimo ( o extremo inferior) del conjunto D ∩ R ↔ h es cota inferior del conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / h ≤ x < h + δ.

Definiciones: (Máximo i mínimo de un conjunto)

Decimos que el conjunto D tiene un máximo (mínimo) ↔ З una cota superior (inferior) del conjunto D que pertenece al conjunto D

Máximo y mínimo de una función en un conjunto que pertenece a Rd

Definiciones: (Máximo de una función en un conjunto)

Sea ƒ : A ∩ = Rd → R / C A, diremos que el real M es el máximo de la función ƒ en el conjunto C, ↔ З un xM Є C / ƒ(xM) = M y M ≥ f(x) para todo x Є C

Esto significa que el conjunto de reales ƒ(C) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un máximo.

Definiciones: (mínimo de una función en un conjunto)

Sea ƒ : A ∩ = Rd → R / C A, diremos que el real m es el mínimo de la función ƒ en el conjunto C, ↔ З un xm Є C / ƒ(xm) = m y m ≤ f(x) para todo x Є C

Esto significa que el conjunto de reales ƒ(C) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un mínimo


Ejemplo:

Sea: ƒ : A ∩ = R2 → R / ƒ(x, y) = x2 + y2 . Hallar, si З máximo y mínimo de ƒ en R2.

1º – Observar que ƒ(x, y) = x2 + y2 ≥ 0 . Para todo (x,y) Є R2 , luego 0 = ƒ(0, 0) = mín.R

2 ƒ.

2º – Observar que ƒ (R2 ) = [0,∞) por lo que el mín.R

2 ƒ = mín. ƒ (R2 ) = 0

3º – En esta función no existe máx.ƒ (R2 ) pues el conjunto ƒ (R2 ) no tiene máximo.

Definiciones: Conjuntos de nivel

Se considera la función ƒ: A ∩ Rd → R , llamamos conjunto de nivel α Є R de la función ƒ, al conjunto C ƒ, α = { x Є A: ƒ(x)= α } ; o sea, que C ƒ, α se compone de todos los puntos del dominio de ƒ donde la función ƒ alcanza el valor α.

Ejemplo:Sea ƒ: R2 → R / ƒ(x, y) = – x + y. Hallar el conjunto de nivel α de ƒ para cada α Є R.

Primero, planteamos el conjunto:C ƒ, α = { (x,y) Є R2: ƒ(x,y) = α } = { (x,y) Є R2: – x + y = α}

Entonces, para cada α Є R, el conjunto de nivel α de ƒ es una recta de coeficiente angular 1 que corta al eje vertical en y = α

Por ejemplo:C ƒ, 0 = { (x,y) Є R2: ƒ(x,y) = 0 } = { (x,y) Є R2: – x + y = 0} conjunto de nivel 0 de ƒC ƒ, 1 = { (x,y) Є R2: ƒ(x,y) = 1 } = { (x,y) Є R2: – x + y = 1} conjunto de nivel 1 de ƒ

Y-x=0 = z

z = 1z = 2

z = - 1


Continuidad de una función:Definición: Función continua en un punto.

Decimos que ƒ: R2 → R es continua en (a.b) Є Dom (ƒ) sii dado ε > 0, cualquiera, З δ > 0 / sii (x,y)Є [B((a,b),δ) ∩ Dom( ƒ )] → ƒ(x,y) Є [ƒ (a,b) – ε , ƒ (a,b) + ε ] → B(ƒ(a,b),ε)

Ejemplo: Sea ƒ: R2 → R /

xy 2 (x,y) ≠ (0,0) ƒ(x, y) = x2+y4 Estudiar si es continua en (0,0)

0 (x,y) = (0,0)

Cuando hay un punto de discontinuidad,podemos intentar ver que pasa si nos acercamos a la función por diferentes caminos.

R| y=0 con x → 0+

R| x=0 con y → 0+

R 1: y =x con x → 0

R m: y = mx con x → 0

Veamos que:

ƒ| R y=0 : ƒ(x, 0) = x0 2 = 0 = 0 → 0 = ƒ(0, 0) x2+04 x2

ƒ| R x=0 : ƒ(0, y) = 0y 2 = 0 = 0 → 0 = ƒ(0, 0) 02+y4 y4

ƒ| R 1 : ƒ(x, y) = ƒ(x, x) = xx 2 = x 3 = x = 0 → 0 = ƒ(0, 0) x2+x4 x2(1+ x2 ) (1+ x2 ) (1+0)

ƒ| R m : ƒ(x, y) = ƒ(x,mx) = x(mx) 2 = m 2 x 3 = m 2 x = → 0 = ƒ(0, 0) x2+(mx)4 x2(1+ m4x2 ) (1+ m4x2 )

Deberíamos probar otro tipo de acercamiento al punto: Tomemos R 3: y = x1/2 ; y2 = x con x → 0

ƒ| R m : ƒ(x, y) = ƒ(x,√x) = x(√x) 2 = x 2 = 1 ≠ 0 Con esto alcanza para decir que la x2+(√x)4 2x2 2 función no es continua en el punto (0,0),

porque existe al menos un camino, por el cual no tiende a 0.

R1:y = x

Rm:y = mx


Extremos Absolutos:Teorema de Weierstrass

Decimos que ƒ:A → R, Dom (ƒ) = A ∩ R2 :

i) tiene un máximo absoluto en (a,b) si se cumple que ƒ (x,y) ≤ ƒ (a,b), para todo (x,y) Є A.ii) tiene un mínimo absoluto en (c,d) si se cumple que ƒ (c,d) ≤ ƒ (x,y), para todo (x,y) Є A.

Definiciones: (Conjuntos acotados en Rd)Diremos que C ∩ Rd es un conjunto acotado ↔ k > 0 / cualquiera sea x Є C se cumple que

║x║ ≤ kTambién se puede afirmar que C ∩ Rd es un conjunto acotado ↔ З B(0,δ) / C ∩ B(0,δ) .

Teorema de Wierstrass:

Si ƒ: C ∩ Rd, con D = Dom ( ƒ ) es cerrado, acotado (Compacto) y la función ƒ es contínua en C, entonces,

Existen máximos y mínimos en el dominio C = Dom ( ƒ) ( ƒ en C tiene máximo y mínimo )Lema: con igual Hipótesis concluimos que f acotada en C.

Ejemplo: abstracto, en R2.

(a,b)

z=f(x,y)


Ejemplo: Sea ƒ: R2 → R / ƒ(x, y) = x2 + y2 . Hallar si existen máximo y mínimo de ƒ en C={ (x,y) Є R2 : x2 + y2 ≤ 1 } = B‾

(0,1)

Entonces, aquí vemos que la función es continua en R2, en particular es continua en C que es un conjunto compacto (cerrado y acotado). El teorema de Weierstrass nos asegura que, aquí, existen un máximo y un mínimo de ƒ en C.

Observemos que: 0 ≤ ƒ(x, y) = x2 + y2 ≤ 1 para todo (x,y) Є C.De aquí se concluye que 0 = ƒ(0, 0) = mín.Cƒ y 1 = máx. Cƒ . El valor máximo de ƒ se alcanza en todos los puntos de la frontera del conjunto C.

Cuando una función es diferenciable:

Definiciones:

Una función ƒ (x,y) se dice diferenciable en (a,b) sii existen dos reales A,B Є R /ƒ (x,y) = ƒ (a,b) + A (x – a) + B(y – b) + R(x, y) y además

lím R(x,y) = 0 (x,y) → (a,b) ║(x-a),(y-b)║

Teorema:H) ƒ es diferenciable en (a,b)

T) i) ƒ es continua en (a,b)

ii) З las derivadas parciales y son: D1 ƒ(a,b) = AD2 ƒ(a,b) = B

iii) З las derivadas direccionales y vale Dμƒ(a,b) = D ƒ(a,b) μ

Recordar que:

Una función es diferenciable entonces es continuaSi una función NO es continua entonces, no es diferenciable!!! Importante: que una función continua no implica la diferenciabilidad

Es condicion suficiente de diferenciabilidad:Sea ƒ / З las Di ƒ (x,y) para todo (x,y) Є B((a,b),δ) y además dichas derivadas parciales son continuas en (a,b) → ƒ es diferenciable en (a,b)Esta condición, es suficiente, pero no es necesaria. Existen funciones derivables con derivadas parciales discontínuas.

Sup z=1


Extremos en funciones de Varias Variables:Definiciones:Decimos que ƒ: D ∩ R2 : → R, tiene:

i) tiene un Máximo Absoluto (MA) en (a,b) sii ƒ (x,y) ≤ ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D.ii) tiene un mínimo Absoluto (mA) en (a,b) sii ƒ (x,y) ≥ ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D.iii) tiene un Máximo Relativo (MR) en (c,d) sii ƒ (x,y) ≤ ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B((c,d),δ)

iii) tiene un mínimo Relativo (mR) en (c,d) sii ƒ (x,y) ≥ ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B((c,d),δ).

Definición:Llamamos puntos estacionarios (P.E.) a aquellos puntos donde el gradiente es nulo.

Definición:Si en un punto no existe alguna de las derivadas parciales y las que existen son nulas, ese

punto se llama punto crítico (P.C)

Definición:Decimos que (a,b) es un punto de silla, si Diƒ (a,b) = 0 para todo i

Existen ƒ (x',y') ≤ ƒ (a,b) y ƒ (x'',y'') ≥ ƒ (a,b) con (x',y'),(x'',y'') Є B((a,b),δ)

Ejemplo: ƒ (x,y) = x2y (8 – x – y ) Estudiar extremos

1º - buscamos puntos de no existencia, en este caso, no existen puntos críticos, porque la función es pólinómica, por lo que existen infinitas derivadas parciales. La función es contínua.

2º - buscamos puntos estacionarios de la función:Esto es Jƒ (x,y) = σ

Dxƒ (x,y) = [ 8x2y – x3y – x2y2 ]'x = 16xy – 3x2y – 2xy2 = 0 (1)

Dyƒ (x,y) = [ 8x2y – x3y – x2y2 ]'y = 8x2 – x3 – 2 x2y = 0 (2)

En (1), xy( 16 – 3x – 2y) = 0 : Posibles sol: x = 0; y = 0 ; 3x+2y = 16

En (2), x2 ( 8 – x – 2 y) = 0 : Posibles sol: x = 0; x + 2y = 8

Nuestros puntos estacionarios serán:

x = 0, x = 0 Eje Oyx = 0, x + 2y = 8 (0,4) Є eje Oyy = 0, x = 0 (0,0) Є eje Oyy = 0, x + 2 y = 8 (8,0)3x+2y = 16 ; x= 0 (0,8)3x+2y = 16 ; x + 2 y = 8 (4,2)

Todos estos puntos, son candidatos a extremos: todos los (0,y) Є eje Oy( 8 , 0 )( 4 , 2 )

Ahora planteamos el signo de la función: ƒ (x,y) = x2y (8 – x – y )


De los candidatos, vemos pto (8,0) es un punto silla, por lo que no será no máximo ni minimo.El punto (4,2) queda en el interior del área triangular positivaLlamemos T a este triángulo, es un conjunto cerrado y acotado y f es polinómica y contínua, por lo cual por Weierstrass, existe un máximo o un mínimo absoluto en T.

Como el área es positiva, por lo tanto, los valores al interior de T son mayores que en su frontera, donde los valores son 0, en el punto (4,2) encontramos un máximo absoluto en T.

Si observamos detenidamente el dibujo del signo de f, podremos ver que, para los puntos estacionarios que teníamos, obtenemos la siguiente información:

Ptos. (8,0); (0,0) ; (0,8) = punto sillaEstacionarios (4,2) = Máximo Relativo, Máximo absoluto en T

(0,y) = con y < 0 , y > 8 tenémos Máximos relativoscon y Є ( 0 , 8 ) obtenemos mínimos relativos.

T

Microeconomía Avanzada I – Tania Larrainci – Apendices Matemáticos (Parte II)

Extremos condicionados (restricciones de igualdad)

Consideramos:

ƒ : A ∩ = Rd → R y el conjunto S ∩ A, donde se quieren determinar los máximos i mínimos relativos de la restricción ƒ|s

Sean las funciones g: A ∩ = Rd → Rm con m<d siendo gi las funciones componentes.El conjunto S = {x Є A/ gi(x) = 0 } que se puede expresar también como: S = { x Є A / gi = 0}S = { x Є A / gi = 0 } siendo gi las funciones de restricción.

Busquemos los extremos relativos de la restricción de ƒ en el conjunto S.

Teorema: Sean las funciones ƒ: A ∩ = R2 → R, g : A ∩ = R2 → R de clase C1 en una bola B(a,b),r / g(a,b)=0, D2g(a,b) = 0. Se sabe que la restricción de ƒ al conjunto S = {(x,y) Є A / g(x,y)=0} tiene un extremo relativo en (a,b) (diremos que ƒ tiene en (a,b) un extremo relativo condicionado por S ), entonces, З λ Є R / F:F(x,y) = ƒ(x,y) + g(x,y) tiene un punto estacionario en (a,b)

OBSERVACIONES:● El λ ! (es único) y se denomina multiplicador de Lagrange.● La función F λ se le llama Función Lagrangiana.● Este teorema, nos plantea una condición necesaria, para la existencia de puntos ó conjuntos

candidatos a extremos relativos.

Los candidatos a extremos son, los puntos que verifican:Jƒ (x,y) + λ Jg(x,y) = (0,0)g(x,y) = 0

Ejemplo: Sea ƒ: ƒ(x,y) = x2 + (y-1)2 con S = {(x,y) Є R2 / 4 y -x2 = 0}

Lo primero es visualizar que es: x2 + (y-1)2 = z.= r2

Es una circunferencia, de centro (0,1) y radio √z.Lo que también puede interpretarse como la distancia (z),del puto (0,1) al conjunto S.

Gráficamente:

g(x,y) = 4 y -x2 = 0 que es: y = x2 /4parábola con vertice en (0,0)

Entonces, si lo que intentamos es hallar el mínimo de la distancia del punto (0,1) a S, buscamos los candidatos a extremo, utilizando el teorema anterior:

Dx ƒ(x,y) + λ gx(x,y) = 2 x + λ (-2x) = 0 (1)Dy ƒ(x,y) + λ gy(x,y) = 2( y – 1) + λ (4) = 0 (2)g(x,y) = 4 y -x2 = 0 (3)

De (1) despejando: 2 x = 2x λ → 2x / 2x = 1 = λDe (2) sustituyo λ= 1 → 2( y – 1) + 1 (4) = 2y – 2 +4= 2 y +2 = 0 → y = - 1 De (3), sustituyo y = -1 → - 4 – x2 = 0 → - 4 = x2 → imposible x2 > 0 para todo x


Nos queda ver que pasa cuando la función g(x,y)=0, esto es en (0,0), vemos que el valor de ƒ(x,y)=1. Entonces verificamos que 1, es la distancia mínima de ƒ(x,y) a S.Existe otra manera de visualizar el mismo resultado, que consiste en extraer una relación entre x e y del conjunto S. De manera tal que a través del teorema de la función implicita se susttuyen los valores y se realiza el estudio de una función φ(x) de manera tal, que cuando φ(x) = 0, se encuentra la distancia mínima.

Extremos condicionados: (Con restricciones de desigualdad)

Sea ƒ : A ∩ = Rd → R, g: A ∩ = Rd → Rm siendo gi las funciones componentes de g y el conjunto S ∩ A, S = {x Є A/ gi(x) ≤ 0 }; pudiéndose expresar S de diferentes maneras.Notación:S = ∩i=1

i=m {x Є A/ gi(x) ≤ 0 } o S = {x Є A/ g1(x) ≤ 0, g2(x) ≤ 0, ... , gm(x) ≤ 0 }

El Problema se plantea como, encontrar el mínimo (absoluto) de la función ƒ en S. Que puede existir o no. Sii existe, será xˆ Є S, óptimo / ƒ(xˆ) ≤ ƒ(x), para todo x Є S.El Problema se plantea:

(P) mín ƒ(x) ó (P) mín ƒ(x) x Є S. g(x) ≤ 0 , para todo x Є A

Si quisiéramos hallar un máximo, tan sólo basta con dar vuelta el signo de la función.

Cómo se procede:

Se construye una familia de funciones que se llaman funciones de Lagrange / (Fλ) 0 ≤ λ con λ Є Rm

y Fλ:Fλ(x) = ƒ(x) + λtr g(x) entonces, 0≤ λ, con λ Є Rm decimos que las componentes de dicho vector son no negativas.Plantemos:

Fλ:Fλ(x) = ƒ(x) + 1∑m λi gi(x)

Entonces, es condición suficiente para la existencia de óptimo:Teorema:H) З λ ≥ 0 / xλ es óptimo de Pλ

gi(x) ≤ 0 ; λi gi(xλ) = 0 xλ Є Ccon i = 1,2, ... , m.

T) xλ es óptimo de Pλ .

Sabremos que P será convexo, si f, gi son convexas. En este caso, sabemos que si xλ es óptimo de Pλ

Entonces, xλ es un punto estacionario y por lo tanto JFλ (xλ) = 0

Ejemplo: Se ve en el ejemplo siguiente.


Condiciones de Kuhn-Tucker Asociadas al problema (P)

Sean ƒ : A ∩ = Rd → R, diferenciable en el abierto A.Las condiciones de K-T asociadas a P son:

K-T = Jƒ(x) + 1∑m λi Jgi(x) = 0λi gi(x) = 0 para i = 1,2, ... ,m ; x Є Agi(x) ≤ 0 con i = 1,2, ... , m.0 ≤ λi

Si se agrega la hipótesis de que las funciones son convexas, → para todo (x,λ) que verifica K-T, xλ

es óptimo de P.

En el caso convexo, las condiciones de K-T son suficientes para la existencia de un óptimo:

Ejemplo: P mín ƒ(x2 + y2 )s.a.2 – x – y ≤ 0

Veamos que minimizar ƒ, equivale a hallar lamínima distancia de ƒ(x,y) restringida al conjunto S.Aquí, S tiene una restricción, que es 2 – x – y ≤ 0

Si planteamos el problema según K – T, nos quedaría:

mín x2 + y2

P 2 – x – y ≤ 0 - x ≤ 0

– y ≤ 0–

La primera restricción nos ubica sobre la recta.Las tercera y cuarta restricción, nos ubican en el 1er cuadrante.

Hora planteamos las condiciones de K – T:

Fλ: Fλ = (x2 + y2) + λ1(2 – x – y ) + λ2 ( – x ) + λ3 (– y)

Planteamos:δ Fλ = 0 → 2 x – λ1 - λ2 = 0 δ xδ Fλ = 0 → 2 y – λ1 - λ3 = 0 δ yδ Fλ = 0 → 2 – x – y = 0 δ λ

x + y > 2


Ahora plantemos todas las condiciones:Veamos:

2 x – λ1 – λ2 = 0 → 2 x – λ2 = λ1 de aquí, 2 x – λ2 = 2 y – λ3 ?2 y – λ1 – λ3 = 0 → 2 y – λ3 = λ1

λ1(2 – x – y ) = 0 → 2 – x – y = 0 → x = 1λ2 ( – x ) = 0 → x = 0 y = 1 Ahora se prueba si (1,1) λ3 (– y) = 0 → y = 0 verifica K-T , en las condicionescon λi > 0 para todo i antes planteadas.(x,y) Є S

Entonces:2.1 – λ1 – 0 = 0 → λ1 = 22 1 – λ1 – 0 = 00 ( - 1) = 0 y cumple con λi > 0 para todo i ; (x,y) Є S0 ( -1 ) = 02 ( 2 – 1 – 1 ) = 0

Entonces, (1,1) es el punto que optimiza la distancia mínima a S.

En un punto regular, K – T es necesario.

Definiciones:Se llama restricción activa o saturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple

gi(a) = 0.

Se llama restricción inactiva o insaturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple gi(a) ≤ 0.

Si Ia = {conjunto de los índices de restricciones saturadas}, entonces, decimos que a es un punto regular de S sii Jgi(a) / i Є Ia es L.I.

Ejemplo: Si tomamos un conjunto S = { (x,y) Є R2 / 0 ≤ y, x3– y ≤ 0, – x – y – 2 ≤ 0}

Si observamos el dibujo, podemos ver, que en el punto (0,0) hay dos restricciones activas y una que no lo es.

En los puntos donde las dos restriciones son activaslos Jacobianos o gradientes de la función, son L.D.De ahí, se concluye que el punto no es un punto regular de las restricciones.

Ahora, si tomamos el punto (-1,0), vemos que hay una única restricción activa, de donde se concluye que es puntoregular de la restricciones de S.

Ahora tomamoes el punto (-2,0) por donde pasan dos restricciones, pero al calcular los gradientes y evaluarlos en dicho punto, descubrimos que son linealmente independientes, por lo que el punto es un punto reglar de las restricciones de S.

0 < y


Teorema:Sea ƒ : A ∩ = Rd → R, g: A ∩ = Rd → Rm diferenciables, con S = {x Є A/ gi(x) ≤ 0 } y

x^ es óptimo de (P) { mín ƒ(x) con x Є S , un punto regular de las restricciones de S, entonces, x^ verifica las condiciones de K-T asociadas al problema P.

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MATRICES. PROPIEDADES – OPERACIONES CON MATRICES. NOTACION MATRICIAL.

Definición: Sea Amxn / A= (aij)mn y se escribe como:

Y Amxn cumple las propiedades :1) asociativa respecto a la suma y la multiplicación.2) Conmutativa respecto a la suma y la multiplicación.3) Distributiva respecto a la suma por la derecha (o por la izquierda)

1) nos dice que si existen dos matrices A y B, del mismo orden, sus miembros se suman uno a uno:

la multiplicación se da con Amxn y Bnxp :

2) A + B = B + AA B ≠ B A

3) (A + B) C = AC + AB ≠ CA + BA ≠ AB + ACA ( B + C) = AB + AC( ABC) = (AB) C = A (BC)

11 1 11 1 11 11 1 1

1 1 1 1

n n n n

m mn m mn m m mn mn

a a b b a b a b

a a b b a b a b

+ + + = + +

K K KM O M M O M M O ML L L

11 1

1

p

n np

b b

b b

KM O ML

11 1

1

n

m mn

a a

a a

KM O ML = C

m x p = ( a

i1b

1j)mxp

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Ahora con esta notación, se puede escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial.

Si partimos del siguiente sistema:

Recordando que al sumar una componente escalar ( que es como tener una matriz 1 x 1), obtenemos el siguiente resultado:

Aplicando álgebra de matrices a nuestro anterior sistema, obtenemos:

nos queda el sistema resumido a la siguiente expresión:

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