Microeconomia 1 - Teoria da Firma · Microeconomia 1 - Teoria da Firma Rodrigo Nobre Fernandez Pelotas, 2015 ... 3 A despesa da ﬁrma e o custo dos fatores que usa-se na produc¸´

Microeconomia 1 - Teoria da Firma

Rodrigo Nobre Fernandez

Pelotas, 2015

DECON/UFPEL Rodrigo Nobre Fernandez Microeconomia 1 / 37

Conjunto de Possibilidade de Producao

1 Uma firma e uma entidade que transforma insumos em produtos, pormeio de uma tecnologia de producao.



1 Normalmente, agregamos insumos de producao em alguns poucosfatores, como trabalho, capital e terra.

2 Capital, por exemplo, se refere a um insumo agregado, que inclui tantocapital financeiro (depositos em um banco que a firma tem, etc) comocapital fısico (maquinas, tratores, ferramentas,etc).

3 O modo mais simples de representar a tecnologia de uma firma e pormeio do conjunto de possibilidade producao (CPP), definido como oconjunto de todas as combinacoes de insumos e produtos disponıveispara a firma.



1 Vamos denotar o CPP de uma firma por Y⊂ Rm, onde m e a quantidadetotal de bens e servicos considerados na analise.

2 Um vetor y ∈ Y e chamado de plano de producao.

3 A convencao usada e que se o bem i e um insumo lıquido da firma (isto ea firma usa mais desse recurso do que e capaz de produzir), acoordenada i de y e negativa yi < 0.

4 Se o bem i e um produto lıquido da firma, ( a firma produz mais dessebem do que consome no processo produtivo), entao a coordenada i de ye positiva.


Conjunto de Possibilidade de Producao1 Logo, o conjunto de possibilidade de producao de uma firma e composto

por listas de bens que descrevem o que pode ser produzido(coordenadas positivas) e o que e necessario para essa producao(coordenadas negativas).

2 A figura abaixo ilustra um exemplo desse conjunto para o caso deapenas um insumo (ou fator de producao), denotado por x1 e um produto(ou bem final), denotado por x2.



Existem diversas hipoteses que podem ser feitas a respeito do conjuntode possibilidade de producao. Cada hipotese esta associada a umarestricao diferente sobre a tecnologia da firma.

O conjunto de producao nao pode ser vazio. Y 6= /0

A empresa pode nao produzir nada. 0 ∈ Y

O CPP e fechado, compacto e convexo (hipoteses de regularidade).



1 Nao e possıvel produzir sem insumos.

2 Se y ∈ Y, entao ∀y≤ y, y ∈ Y: se uma dada quantidade de insumos esuficiente para produzir uma determinada quantidade de bens finais,entao uma quantidade maior desses insumos e capaz de produzir essamesma quantidade de bens finais. Esta hipotese e valida caso a firmapossa descartar insumos sem custo algum. Por isso, ela tem o nome dehipotese de descarte livre.



E impossıvel fazer engenharia reversa, com o que ja foi produzido.y ∈ Y,y 6= 0, entao−y /∈ Y

Se y ∈ Y, entao ty ∈ Y∀ t ∈ [0,1]. Qualquer plano de producao pode serreduzido de forma proporcional. Nesse caso dizemos que a tecnologiaapresenta retornos decrescentes de escala;

Se y ∈ Y, entao ty ∈ Y∀ t > 1. Qualquer plano de producao pode seraumentada de forma proporcional. Nesse caso dizemos que a tecnologiaapresenta retornos crescentes de escala;



Se y ∈ Y, entao ty ∈ Y∀ t≥ 0. Qualquer plano de producao pode serreplicada sem problemas de divisibilidade. Nesse caso dizemos que atecnologia apresenta retornos constantes de escala;

Y+Y⊂ Y:(aditividade)Se y e um plano de producao, entao ky parak=1,...,n e tambem um plano de producao. Entao, planos de producaopodem ser replicados.


Funcao de Producao

1 Se a firma produz apenas um bem, a fronteira do CPP descreve o nıvelde producao tecnologicamente eficiente, em que nao ocorremdesperdıcios.

2 Essa fronteira pode ser descrita por uma funcao de producao.

3 Suponha que a firma utiliza n insumos x1, ...,xn. A funcao de producao erepresentada por:

y = f (x1, ...,xn)


Funcao de Producao

1 Uma isoquanta descreve essas combinacoes de insumos que produzema mesma quantidade do bem final.

2 Uma isoquanta pode ser definida, em termos da funcao de producaocomo:

Q(y) ={(x1,x2) ∈ R2

+; f (x1,x2) = y}


Funcao de Producao

1 Em algumas situacoes, vamos supor que a funcao de producao satisfazas seguintes propriedades:

2 f (0,0) = 0; nao produz nada;

3 Contınua;

4 Estritamente crescente em xi;

5 Quaseconcava;


Produto Marginal

1 Em algumas situacoes, vamos supor que a funcao de producao satisfazas seguintes propriedades:

2

PMi (x) =∂ f (x)

∂xi= fi (x) i=1,...,n

3 A lei do produto marginal decrescente (ou lei do rendimento marginaldecrescente) diz que o produto marginal de qualquer insumo decresce amedida que usamos mais desse insumo, mantendo o uso dos outrosinsumos inalterado.


Taxa Tecnica de Substituicao

1 A taxa tecnica de substituicao (TTS) entre dois insumos mede o quanto afirma deve abrir mao de um desses insumos e acrescentar do outroinsumo para continuar produzindo a mesma quantidade do bem final.

2

TTS12 =f1 (x1,x2)

f2 (x1,x2)onde:

∂ f (x1,x2)

∂xi


Exemplos: Complementos Perfeitos1 Proporcoes fixas: Uma tecnologia de proporcoes fixas exige que para se

produzir uma certa quantidade do bem final, os fatores sejam usados emproporcoes fixas. Portanto, nao existe nenhum grau de substituicao entreos fatores.

2

y = f (min{ax1,bx2})


Exemplos: Substitutos Perfeitos

1 Nesse tipo de tecnologia, os fatores de producao podem serperfeitamente substituıdos pelo outro, para qualquer nıvel de producao.

2

y = f (ax1 +bx2)


Exemplos: Cobb-Douglas

1 Nesse tipo de tecnologia, os fatores de producao podem ser substituıdosum pelo outro,mas nao de forma perfeita. Portanto, existe algum grau desubstituicao entre os fatores.

2

y = f (x1,x2) = Axα

1 x1−α

2


Elasticidade de Substituicao

1 A elasticidade de substituicao e a medida de curvatura da isoquanta.Para o caso de dois insumos:

2

σ12 =dln(

x2x1

)dln(∣∣TTS1,2

∣∣) = dln(

x2x1

)dln(

f1f2

) =

(f1f2

)d(

x2x1

)(

x2x1

)d(

f1f2

)



Vamos estudar o caso da funcao CES:

f (x1,x2) =(xρ

1 +xρ

2) 1

ρ

fi (x1,x2) =(xρ

1 +xρ

2) 1

ρ−1 xρ−1

i

|TMS12 (x1,x2)|=f1 (x1,x2)

f2 (x1,x2)=

(x2

x1

)1−ρ

⇒ (1−ρ) ln(

x2

x1

)=(1−ρ) ln

(f1 (x1,x2)

f2 (x1,x2)

)

σ12 =dln(

x2x1

)(1−ρ)dln

(x2x1

) =1

1−ρ



As seguintes funcoes sao casos especiais da funcao CES:1

limρ→0

(xρ

1 +xρ

2) 1

ρ = xα

1 x1−α

2 , limρ→0

σ12 = 1

2

limρ→1

(xρ

1 +xρ

2) 1

ρ = x1 +x2, limρ→1

σ12 =+∞

3

limρ→−∞

(xρ

1 +xρ

2) 1

ρ = min{x1,x2} , limρ→−∞

σ12 = 0



1 As seguintes funcoes sao casos especiais da funcao CES:


Retornos de Escala


Curto e Longo Prazo

1 No curto prazo, alguns dos insumos utilizados para a producao sao fixos.

2 No longo prazo e possıvel reajustar todos os fatores de producao.

3 O aluguel de uma firma e fixo no curto, mas pode ser variavel no longoprazo.


Custos

1 Custo economico ou custo de oportunidade.

2 Custo contabil (custo registrado)

3 Custo financeiro (custo de mercado).

4 Custos implıcitos: sao os custos que nao sao explicitamentecontabilizados pelo agente economico. Um exemplo corriqueiro de custoimplıcito em pequenas empresas e o custo de oportunidade de trabalhodo dono da empresa.

5 Na presenca de externalidades, os custos economicos verdadeiros(sociais) nao coincidem com os custos que o produtor enfrenta (custosprivados). Por exemplo, a producao de eletricidade com base em plantastermeletricas produz efeitos negativos ao meio ambiente, que podemnao ser levados em conta pela empresa na sua decisao de producao.


Lucro da Firma

1 O lucro de uma empresa e a diferenca entre a receita gerada pela vendada sua producao menos os custos dos fatores usados nessa producao.

2

R = py = pf (x1,x2)

3 A despesa da firma e o custo dos fatores que usa-se na producao dey = f (x1,x2). Se a firma compra os fatores de producao em um mercadocompetitivo, aos precos w1 e w2, entao a despesa (D) da firma e:

4

D = w1x1 +w2x2

5 Suporemos que a firma e competitiva, isto e, esta inserida em ummercado competitivo. Entao a mesma e tomadora de precos.


Lucro da Firma

1 A quantidade de insumos que maximiza o lucro, deve ser igual adiferenca entre as receitas e as despesas da firma:

2

maxx1,x2

= Π = pf (x1,x2)− (w1x1 +w2x2)

3 As CPOs sao:pfi (x∗1,x

∗2) = wi

4 Em resumo, o valor do produto marginal de um insumo deve ser igual aoseu custo marginal.


Demandas por Insumos e Oferta da Firma

1 Ao resolvermos as CPOs do problema de maximizacao de lucros,encontramos as quantidades de insumos otimas como funcoes dosprecos: x∗i = xi (p,w1,w2)

2 Se substituirmos essas demandas na funcao de producao da firma,encontramos a funcao de oferta, ou oferta otima da firma:y∗ = y(p,w1,w2)

3 Em resumo, o valor do produto marginal de um insumo deve ser igual aoseu custo marginal.



Se a firma possuir retornos constantes de escala, ela podera multiplicarinfinitamente seu lucro, ja que a mesma podera replicar a sua escala deproducao.

Se a firma possui retornos crescentes de escalas, aumentar a producaofaz com que o aumento dos lucros seja mais do que proporcional aoaumento na escala produtiva.

Em ambos os casos, sera impossıvel determinar as escolhas otimas dafirma analisando seu problema de maximizacao isoladamente. Algumarestricao externa deve ser levada em conta, tais como quantidades deinsumos limitadas ou restricoes de mercado competitivo ou de demandade mercado decrescente no preco do bem.



No caso de mercado competitivos os lucros economicos positivos decurto prazo acarretarao na entrada de novos competidores e acompeticao fara com que o lucro tenda a zero.

No caso de retornos crescentes de escala, se configura uma situacao demonopolio natural, onde a existencia de uma unica firma provendo todomercado e o mais economico, devido aos retornos crescentes de escalana producao.


Propriedades da Funcao de Lucro

1 Seja Π = py∗ (p,w1,w2)−(w1x∗1 (p,w1,w2)+w2x∗2 (p,w1,w2)

)Crescente em p;

Nao crescente em wi;

Homogenea de grau 1 nos precos (p,w1,w2);

Convexa nos precos (p,w1,w2);

Lema de Hotelling: ∂Π(p,w1,w2)∂p = y(p,w1,w2) e − ∂Π(p,w1,w2)

∂wi= xi (p,w1,w2)


Propriedades das Demandas e Ofertas Otimas

1 Homogeneas de grau zero;

2 Um aumento no preco de um insumo diminui a demanda por esseinsumo e um aumento no preco do produto aumenta a sua oferta:

3

∂y(p,w1,w2)

∂p≥ 0 e

∂xi (p,w1,w2)

∂wi≤ 0

4 Os efeitos preco cruzados sao iguais para os insumos:

∂x1 (p,w1,w2)

∂w2=

∂x2 (p,w1,w2)

∂w1


Analise de Curto Prazo

1 Suponha que existam apenas dois fatores de producao e que a firmapode somente ajustar um desses fatores.

2 Se a escolha otima do insumo variavel da firma e x∗1e a escolha otima deproducao e y∗, podemos calcular as retas de isolucro, combinacoes entrenıveis otimos de insumo variavel e de producao que resultam no mesmolucro:

Π0 = {(x∗1,y∗) , tal que py∗−w1x∗1−w2x2 = π0}3 Podemos escrever uma reta de isolucro como:4

y∗ =π0

p+

w1

px∗1 +

w2

px2


Analise de Curto Prazo


Princıpio de LeChatelier

1 O princıpio de LeChatelier diz que um ajuste na producao da firmadevido a uma alteracao no preco do produto e sempre maior no longoprazo do que no curto prazo.

2

∂y∗LP∂p≥

∂y∗CP∂p


Lucratividade Revelada

1 A ideia da lucratividade revelada e semelhante a ideia da preferenciarevelada: observando o comportamento da firma podemos testar seessas escolhas sao consistentes com o comportamento maximizador delucros.

2 Suponha que observamos duas escolhas de producao da firma, feitasem dois perıodos onde os precos mudaram. No perıodo t, o nıvel deprecos era

(pt,wt

1,wt2)

e a escolha de producao foi(yt,xt

1,xt2).

3 No perıodo s, o nıvel de precos era(ps,ws

1,ws2)

e a escolha de producaofoi(ys,xs

1,xs2).



Entao as seguintes relacoes devem ser validas se a firma maximiza oslucros:

ptyt−wt1xt

1−wt2xt

2 ≥ ptys−wt1xs

1−wt2xs

2

psys−ws1xs

1−ws2xs

2 ≥ psyt−ws1xt

1−ws2xt

2

1 Dizemos que a firma satisfaz o Axioma da Maximizacao de Lucros (AML)se as duas desigualdades acima forem validas para cada par deobservacoes coletado.

2 Multiplique a segunda desigualdade por -1 e some essa novadesigualdade a primeira obtendo:

ptyt−wt1xt

1−wt2xt

2−psyt +ws1xt

1 +ws2xt

2 ≥ptys−wt

1xs1−wt

2xs2−psys +ws

1xs1 +ws

2xs2



Reagrupando os termos:(pt−ps)yt−

(wt

1−ws1)

xt1−(wt

2−ws2)

xt2 ≥(

pt−ps)ys−(wt

1−ws1)

xs1−(wt

2−ws2)

xs2(

pt−ps)yt−(wt

1−ws1)

xt1−(wt

2−ws2)

xt2

−(pt−ps)ys +

(wt

1−ws1)

xs1 +(wt

2−ws2)

xs2 ≥ 0(

pt−ps)(yt−ys)− (wt1−ws

1)(

xt1−xs

1)−(wt

2−ws2)(

xt2−xs

2)≥ 0

∆p∆y−∆w1∆x1−∆w2∆x2 ≥ 0

A variacao no preco final multiplicada pela variacao na producaosubtraıda de todas as variacoes nos precos de cada insumomultiplicadas pelas variacoes nas quantidades dos insumos nao podemser negativas.


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