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CAPÍTULO 1
NOÇÕES MATEMÁTICAS PRELIMINARES
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1.1 INTRODUÇÃO
• serão vistos aqui noções de cálculo que serão amplamente utilizadas neste nos capítulos vindouros:
– gradiente, divergente, rotacional;
– circulação;– Teorema da divergência;
– Teorema de Stokes.
• conceitos tidos como conhecidos:
– derivação, integração, diferenciação;
– noções elementares de cálculo vetorial.
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1.2 CARÁTER VETORIAL **
Muitas grandezas físicas possuem um caráter vetorial, como por ex:
» velocidade;
» deslocamento;
» força;
» aceleração;
» campo elétrico, magnético;
» etc.
junto às quais estão associadas as noções de direção e sentido.
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já outras grandezas dissociadas destas noções são tidas como escalares:
• massa;
• distância;
• temperatura;
• entropia;
• potencial elétrico, etc.
Campo é uma função que especifica uma grandeza particular, escalar ou vetorial, em algum lugar do espaço.
Campo vetorial:
• velocidade de um gás
num tubo;
• força gravitacional de
um corpo no espaço;
• velocidade do pingos
da chuva;
• campos elétricos e
magnéticos em uma
dada região, etc.
Campo escalar:
• distribuição de
temperatura em uma
sala;
• intensidade de som em
um teatro;
• potencial elétrico em
uma região, etc.
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Exercício: desenhar os campos de vetores:
a) F = x ax + y a y
b) G = (-y ax + x a y) / (x2 + y2)1/2
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1.3 DERIVAÇÃO VETORIAL
1.3.1 Notações Básicas
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1.3.1 O operador nabla
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9
1.3.2 Gradiente, Divergente e Rotacional através de
Atividade: vamos calcular estas 3 expressões, que são as definições algébricas de divergente, rotacional e gradiente.
= Laplaciano do escalar U
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Ilustração de Divergente e Rotacional de um campo de vetores em um ponto P:
div > 0
P PP
P
div < 0
div = 0
rot = 0 rot = 0
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1.4 O Gradiente
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Pela noção de produto escalar, nota-se que os vetores gradU e dM são ortogonais, mas resta encontrar o sentido de gradU.
(1.5)
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Suponhamos que o deslocamento de M a M’ seja na direção dos U crescentes, conforme a Fig. 1.2, onde U2 > U1
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Resumindo o conceito de Gradiente:
o Gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a máxima taxa de crescimento desta função escalar. (ou seja aponta para o máximo crescimento da função e éperpendicular à superfície no ponto)
Exemplo prático: capacitor++++++++++++++++
---------------------------
E
V = 10
V = 0
grad V = - Eou
V = - E
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1.5 DivergenteO divergente de um vetor mede a variação do fluxo deste vetor.
E
E
E E o campo elétrico é divergente
H o campo magnético não é divergente
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1.5.1 Fluxo de um vetor qualquer A
é a quantidade do vetor A que passa por uma determinada superfície.
por ex. uma superfície dS:
dΦΦΦΦ = A. dS = A dS cosθ
dSA
A
dS
θθθθ
Convenciona-se dS sempre apontando para fora e perpendicular a uma superfície fechada.
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1.5.2 Teorema da Divergência
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1.5.3 Fluxo ConservativoSeja um tubo de fluxo tal que o campo de vetores A seja tangente às
paredes laterais do tubo:
portanto, o fluxo total será:
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21
Resumindo o conceito de Divergente:
O Divergente de um vetor, mede a variação do fluxo deste vetor.
divA > 0, existe uma fonte de A
divA < 0, existe um sorvedouro de A
divA = 0, fluxo entra = fluxo que sai (fluxo conservativo)
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1.5.4 Exemplos de divergente1-
23
2-
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25
1.6 Rotacional1.6.1 Circulação de um vetor
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1.6.2 O Teorema de Stokes
malha
equivalente
A
dS
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1.6.3 Exemplo de rotacional
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30
1.7 Operadores de 2ª ordem
rot div A (1.21a)
Quais das combinações acima são iguais a zero e quais que não podem existir?
Vamos calcular:
div grad U = = ∆∆∆∆ U
que é o Laplaciano escalar de U.
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32
OBS -