Naziv djela: MATEMATIKA ZA EKONOMISTE Autor: Dr. Lejla Smajlovi Izdava: Ekonomski fakultet Sarajevo Izdavaka djelatnost fakulteta Glavni urednik: Dekan Prof. dr. Veljko Trivun Recenzenti: Prof. dr. Mirjana Malenica Prof. dr. Devad Zei Tira: 300 Godina izdanja: 2010. tampa: Premier Febeco d.o.o. CIP Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 51(075.8) SMAJLOVI, Lejla Matematika za ekonomiste / Lejla Smajlovi. - Sarajevo : Ekonomski fakultet, 2010. - 372 str. : graf. prikazi ; 24 cm Bibliografija: str. 371-372. ISBN 978-9958-25-043-9 COBISS.BH-ID 18307846 Dr. Lejla Smajlovi MATEMATIKA ZA EKONOMISTE Sarajevo, 2010. 5 Predgovor Jezik matematike je univerzalan jezik koji izmeu ostaloga slui i za opisivanje i analizu velikog broja ekonomskih pojava. Zbog toga je ovladavanje osnovnim pojmovima linearne algebre, diferencijalnog i integralnog rauna funkcija jedne i vie realnih varijabli potrebno za razumijevanje ne samo metoda kvantitativne ekonomske analize nego i mnogih drugih savremenih ekonomskih teorija. Kurs Matematika za ekonomiste koji studenti Ekonomskog fakulteta pohaaju tokom svog prvog semestra je namijenjen savladavanju osnovnih matematikih alata koji se koriste u ekonomiji. U okviru kursa predvieno je da studenti razumiju i usvoje osnovne matematike principe linearne algebre, diferencijalnog rauna funkcija jedne i vie realnih varijabli, integralnog rauna funkcija jedne realne varijable, te da razumiju pojam obine diferencijalne jednaine prvog i drugog reda i usvoje nain rjeavanja nekih najjednostavnijih oblika diferencijalnih jednaina. Obzirom da se radi o predmetu namijenjenom buduim ekonomistima posebna panja je posveena primjenama opisanog matematikog alata u ekonomiji. Knjiga Matematika za ekonomiste je udbenik za istoimeni predmet na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Svi sadraji predvieni nastavnim planom i programom ovog predmeta su obraeni u knjizi. Van okvira nastavnog plana i programa izlazi jedino Odjeljak 1.9. koji ini prirodnu cjelinu Poglavlja 1. i u njemu je obraen matematiki alat nuan za razumijevanje naprednijih tehnika optimizacije s kojima e se neki studenti sresti na poslijediplomskom studiju. Udbenik je rezultat je dugogodinjeg iskustva u nastavi na predmetu Matematika za ekonomiste. Metodologija pisanja knjige je usklaena sa osnovnim ciljem predmeta Matematika za ekonomiste: pribliiti studentu osnovne matematike pojmove, objasniti njihovu meuzavisnost i pokazati kako se oni primjenjuju u ekonomiji. Kako bi pojednostavila jezik kojim je knjiga pisana i pribliila ga studentima, nuno je bilo napraviti kompromis izmeu matematike strogosti s jedne strane i elje da se na to jednostavniji i krai nain objasne neki matematiki pojmovi i njihova primjena u ekonomiji. Zbog toga knjiga sadri veliki broj definicija osnovnih 6 matematikih pojmova, kao i veliki broj primjera, a teoreme u knjizi su navedene bez dokaza. U nekoliko sluajeva, navedene su opisne definicije nekih matematikih pojmova (kao, na primjer pojam determinante kvadratne matrice) koje nisu strogo matematiki precizne ali slue kao ilustrativan opis pojma. Nadam se da e ova knjiga koristiti studentima pri savladavanju predmeta Matematika za ekonomiste kao i drugih predmeta s kojima e se susretati tokom studija. Sarajevo, septembar 2010. godine Prof. dr. Lejla Smajlovi SADRAJ 1. Osnove linearne algebre ............................................................... 13 1.1. Pojam vektorskog prostora ..... 14 1.2. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora ........................... 17 1.3. Baza i dimenzija vektorskog prostora. Podprostor vektorskog prostora ............................................................ 20 1.4. Linearna preslikavanja. Matrica linearnog preslikavanja ......................................... 25 1.5. Pojam realne matrice i osnovne operacije s matricama ......................................................... 29 1.6. Kompozicija linearnih preslikavanja. Mnoenje matrica ... 33 1.7. Osobine mnoenja matrica. Jedinina matrica. Transponovana matrica .... 36 1.8. Pojam determinante kvadratne matrice. Izraunavanje determinanti reda dva i tri ........................... 41 1.9. Osobine determinanti .......................................................... 43 1.10. Minor i kofaktor kvadratne matrice. Laplaceovo pravilo o razvoju determinante ....................... 46 8 1.11. Pojam inverzne matrice i nain njenog izraunavanja .......................................................... 50 1.12. Linearne matrine jednaine ............................................... 54 1.13. Rang matrice. Metod odreivanja ranga matrice ................ 61 1.14. Pojam sistema od n linearnih jednaina sa m nepoznatih. Rjeavanje sistema jednaina pomou matrica .................. 69 1.15. Gaussova metoda rjeavanja sistema jednaina ................. 75 1.16. Kronecker Capelliev stav ................................................ 81 1.17. Kramerova metoda za rjeavanje sistema od n jednaina sa n nepoznatih .................................................. 88 1.18. Rjeavanje homogenih sistema jednaina .......................... 93 1.19. Metriki i normirani prostori .............................................. 97 2. Realne funkcije jedne realne varijable ..................................... 105 2.1. Pojam realne funkcije jedne realne varijable. Nain zadavanja i oblast definisanosti funkcije. Inverzna funkcija. Monotone, parne i neparne funkcije .................. 105 2.2. Granina vrijednost funkcije ............................................ 111 2.3. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija ..... 119 2.4. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska funkcija ..................................................... 123 2.4.I. Stepena funkcija ................................................... 123 2.4.II. Eksponencijalna funkcija ...................................... 128 2.4.III. Logaritamska funkcija .......................................... 128 9 2.5. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko znaenje izvoda funkcije ................................................................. 129 2.6. Pravila diferenciranja. Izvodi elementarnih funkcija ....... 133 2.7. Pojam diferencijala funkcije i njegovo geometrijsko znaenje ...................................................... 140 2.8. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna (granina) funkcija. Koeficijent elastinosti ...................................... 143 2.9. Izvodi i diferencijali vieg reda realne funkcije jedne realne varijable ................................................................ 153 2.10. Teoreme o srednjoj vrijednosti. Taylorova formula ...... 155 2.11. L'Hopitalovo pravilo ......................................................... 160 2.12. Lokalni ekstrem realne funkcije jedne realne varijable. Potrebni i dovoljni uslovi za lokalni ekstrem ................... 166 2.13. Odreivanje ekstremnih vrijednosti ekonomskih funkcija ........................................................ 173 2.14. Konveksne i konkavne funkcije. Veza sa krivom indiferencije ...................................................................... 177 2.15. Asimptote krivih linija ...................................................... 187 2.16. Crtanje grafika funkcija pomou karakteristinih taaka ...................................................... 192 10 3. Realne funkcije dvije i vie realnih varijabli ........................... 203 3.1. Pojam realne funkcije dvije i vie realnih varijabli. Oblast definisanosti i grafik realne funkcije dvije realne varijable ................................................................. 203 3.2. Nivo linije realne funkcije dvije realne varijable. Izokvanta i kriva indiferencije .......................................... 206 3.3. Pojam parcijalnog izvoda prvog reda funkcije dvije i vie realnih varijabli. Geometrijsko znaenje parcijalnog izvoda ............................................................ 209 3.4. Znaenje parcijalnog izvoda funkcije vie varijabli u ekonomiji ....................................................................... 213 3.5. Diferencijal prvog reda funkcije dvije i vie varijabli ...... 220 3.6. Primjena diferencijala prvog reda funkcije dvije varijable u ekonomiji ........................................................ 224 3.7. Izvodi i diferencijali vieg reda funkcije dvije i vie varijabli ................................................................... 229 3.8. Lokalni ekstrem funkcije dvije varijable .......................... 234 3.9. Uslovni (vezani) ekstrem funkcije dvije varijable ............ 243 3.10. Lokalni ekstrem realne funkcije tri i vie realnih varijabli ................................................................. 258 3.11. Homogene funkcije i CES funkcije .................................. 263 11 4. Integralni raun .......................................................................... 271 4.1. Definicija i osnovne osobine neodreenog integrala. Tablica osnovnih integrala ............................................... 271 4.2. Metoda smjene (substitucije) za izraunavanje neodreenog integrala ...................................................... 274 4.3. Metoda parcijalne integracije ........................................... 280 4.4. Integracija racionalnih funkcija ........................................ 284 4.5. Integracija nekih iracionalnih funkcija ............................. 294 4.5.I Integral oblika 1 2 1 2 , , ,... r r R x ax b s ax b s dx cx d cx d . + + . . . . . . . . . + . . + . . . . . . . . . . 294 4.5.II. Integral oblika 2 dx mx + px + q . .. 298 4.5.III. Integral oblika ( ) 2n P x ax + bx + c . ... 300 4.6. Primjena neodreenog integrala u ekonomiji ................... 306 4.7. Pojam odreenog integrala i njegove osobine. Veza odreenog i neodreenog integrala . 313 4.8. Metode integracije u odreenom integralu ....................... 316 4.8.I. Metoda smjene u odreenom integralu ........ 316 4.8.II. Metoda parcijalne integracije u odreenom integralu ............................................. 318 4.9. Primjena odreenog integrala za izraunavanje povrine likova u ravni ..................................................... 320 4.10. Primjena odreenog integrala u ekonomiji ....................... 325 12 4.11. Nesvojstveni integral ........................................................ 327 4.11.I. Integrali sa beskonanim granicama ..................... 328 4.11.II. Integral neograniene funkcije ............................. 332 5. Diferencijalne jednaine .................................................................... 337 5.1. Pojam diferencijalne jednaine. Diferencijalne jednaine sa razdvojenim promjenljivim .............................................. 337 5.2. Homogene diferencijalne jednaine prvog reda ............... 341 5.3. Linearne diferencijalne jednaine prvog reda .................. 344 5.4. Bernoullieva diferencijalna jednaina .............................. 348 5.5. Primjena diferencijalnih jednaina u ekonomiji ............... 353 5.6. Diferencijalne jednaine drugog reda sa konstantnim koeficijentima .............................................. 358 LITERATURA ....................................................................................... 371 1. Osnove linearne algebre Pri izuavanju ponaanja nekog ekonomskog modela u odreenom vremenskom trenutku posmatraju se varijable koje nam karakteriu model i uoava se njihova meuzavisnost. Na primjer, ukoliko posmatramo neki od modela nacionalnog dohotka, varijable koje posmatramo mogu biti nacionalni dohodak, investicije, vladina potronja, potronja, ukupni porezi, stopa poreza na dohodak i druge. Na osnovu empirijskih prouavanja i ekonomskih pretpostavki modela veza izmeu varijabli iskazuje se jednainama veze. Za jednaine veze moemo pretpostaviti da su linearne, jer se mogu odreenim matematskim metodama (za date okvirne vrijednosti varijabli) linearizirati. Na taj nain model je okarakterisan sistemom linearnih jednaina. Rjeenje tog sistema linearnih jednaina je tzv. ekvilibrium ili ravnoteni poloaj modela. On je predstavljen onim vrijednostima varijabli u kojima model ne tei ka promjeni. Odrediti ekvilibrium modela znai rijeiti sistem linearnih jednaina, a to se ini upravo metodama linearne algebre koje emo u daljem upoznati. Osim jednostavne primjene na rjeavanje sistema linearnih jednaina, linearna algebra ima i druge, iroke primjene u ekonomiji. Najea primjena linearne algebre jeste pri ispitivanju stacionarnog ponaanja ekonomskih modela i odreivanju ekvilibriuma tog modela razliitim metodama optimizacije, nalaenjem fiksne take odreenog linearnog preslikavanja, metodama linearnog programiranja i drugim. Moemo rei da se linearna algebra primjenjuje za ispitivanje tzv. stacionarnog ponaanja ekonomskog modela, odnosno ponaanja u fiksiranom trenutku vremena, dok se za ispitivanje dinamike modela (odnosno njegove promjene tokom vremena) koristi diferencijalni i integralni raun, o kome emo govoriti neto kasnije. Mi emo u ovom poglavlju uvesti pojmove neophodne za razumijevanje osnovnih matematskih metoda za ispitivanje stacionarnog ponaanja ekonomskog modela. To su pojam vektorskog prostora, baze i dimenzije vektorskog prostora, linearnog preslikavanja konanodimenzionalnih vektorskih prostora, pojam matrice linearnog preslikavanja, osnovne operacije s matricama, pojam ranga matrice i nain njegovog odreivanja. Zatim emo dati osnovne metode za rjeavanje sistema linearnih jednaina. Matematika za ekonomiste 14 Na kraju, napomenimo da je za razumijevanje metoda optimizacije i metoda fiksne take potrebno poznavati osobine metrikih i normiranih prostora, koji izlaze izvan okvira kursa Matematike za ekonomiste. Potpunosti radi, izloit emo ih na kraju ovog poglavlja. 1.1. Pojam vektorskog prostora Vektorski prostor je jedan od osnovnih objekata izuavanja linearne algebre. Opta definicija vektorskog prostora nad odreenim poljem je veoma apstraktna. S obzirom da se u primjenama javljaju polja realnih i kompleksnih bojeva, mi emo dati definiciju vektorskog prostora nad poljem realnih, odnosno kompleksnih brojeva. U daljem emo skup realnih brojeva oznaavati sa .. , a skup kompleksnih brojeva sa .. . Na skupovima .. i .. definisane su operacije sabiranja i mnoenja, pri emu su ove operacije asocijativne i komutativne, sabiranje ima neutralan element 0 , dok je neutralan element za mnoenje broj 1. (To znai da za svaki element a . ..,.. vrijedi a+0= a , odnosno a1= a ). Takoer, svaki element a . ..,.., razliit od nule ima inverzni element u odnosu na sabiranje i mnoenje. Inverzni element od a u odnosu na sabiranje je element -a (jer je a+(-a)= 0 ), dok je inverzni element od a u odnosu na mnoenje a 1 1a - = (jer je a a 1 a 1 1 a - = = ). Poznato nam je i da je operacija mnoenja distributivna prema sabiranju, tj. vrijedi relacija (a+b)c = ac+bc , za sve a,b,c . ..,... Navedene osobine nam govore da, matematikim jezikom reeno, skupovi .. i .. ine polje u odnosu na operacije sabiranja i mnoenja. Primijetimo da operacije sabiranja i mnoenja na .. ili .. moemo posmatrati kao preslikavanje koje ureenom paru realnih ili kompleksnih brojeva pridruuje neki realan ili kompleksan broj. To moemo zapisati i kao +:...... (ili +:......), odnosno i:...... (ili i:...... ). Kaemo da su mnoenje i sabiranje unutranje operacije na .. ili .. jer parovima realnih ili kompleksnih brojeva pridruuju realne, odnosno kompleksne brojeve. 1. Osnove linearne algebre 15 Definicija 1.1.1. (vektorskog prostora) Skup V je vektorski prostor nad poljem .. ( .. ) ukoliko vrijede slijedee osobine: 1. Na V je definisana unutranja operacija sabiranja +V :VV V sa slijedeim osobinama: a) ( ) ( ) V V V V a+ b+ c = a+ b + c , za sve a,b,c .V (asocijativnost) b) V V a+ b=b+ a , za sve a,b .V (komutativnost) c) Postoji element 0V sa osobinom 0 V a+ = a , za sve a .V (neutralni element) d) Za sve a .V , 0V a . postoji element a .V sa osobinom 0 V V a+ a = . Element a zovemo inverzom od a u odnosu na sabiranje u V i piemo V a =- a . 2. Na V je definisana vanjska operacija mnoenja elemenata iz V skalarima iz .. (.. ), tj. operacija : V ..V V ( : V ..V V ) sa osobinama: a) ( ) V V V V V . a+ b =. a+ . b , za sve a,b .V i . . .. (. ...) b) ( ) ( ) V V V . a =. a , za sve a .V i ., . .. (., ... ) . Napomenimo da ovdje oznaava klasino mnoenje u .. ( .. ). c) ( )V V V V .+ a =. a+ a , za sve a .V i ., . .. (., ... ) . Napomenimo da ovdje + oznaava klasino sabiranje u .. ( .. ). d) 1 V a = a , za sve a .V . Ukoliko su ispunjene sve navedene osobine i elimo naglasiti o kojim operacijama sabiranja i mnoenja skalarom u V je rije, kaemo i da je ( , , ) V V V + vektorski prostor. Elemente vektorskog prostora V zovemo vektorima i oznaavamo sa a,b,c,.., x, y, z . Elemente skupa .. (..) zovemo skalarima i oznaavamo slovima grkog alfabeta .,,.,.,...,.,,.... Ako je V vektorski prostor Matematika za ekonomiste 16 nad .. kaemo jo i da je V realan vektorski prostor. Ukoliko je to vektorski prostor nad .. kaemo da je kompleksan vektorski prostor. Primjer 1.1.2. Ako sa V oznaimo skup vektora u ravni, pri emu sabiranje dva vektora definiemo pomou pravila paralelograma, tada e skup V u odnosu na ovako definisanu operaciju sabiranja zadovoljavati sve osobine navedene u uslovu 1. Definicije 1.1.1. Ako proizvod vektora x i realnog broja . definiemo kao vektor iji intenzitet je jednak proizvodu broja . i intenziteta vektora x , pravac mu je jednak pravcu vektora x , a smjer je jednak smjeru vektora x , ako je .>0 , odnosno suprotan smjeru vektora x ako je . j ili za sve i< j . U prvom sluaju, kaemo da je A gornja trougaona matrica, a u drugom sluaju kaemo da je A donja trougaona matrica. Ako je matrica A dijagonalna, tada je ona i gornja i donja trougaona matrica. Primjer 1.7.10. Matrica 12 0 0 0 5 2 0 0 0 7 1 0 6 /7 0 0 3 A .. .... ... - .. =.. .. . .... ..... - .... je donja trougaona matrica. Matrica 11 0 34 0 0 2 0 3/5 0 0 12 0 0 0 0 8 A .. .... ... - .. =.. .. .. - .... ..... ... je gornja trougaona matrica. 1. Osnove linearne algebre 41 1.8. Pojam determinante kvadratne matrice. Izraunavanje determinanti reda dva i tri. U prethodnom odjeljku smo vidjeli da mnoenje kvadratnih matrica ima osobine sline osobinama mnoenja realnih brojeva (osim komutativnosti). Jedna od tih osobina jeste egzistencija jedinine matrice n E sa osobinom da je A En = En A = A , za sve A...nxn . Kako u skupu realnih brojeva svaki realan broj a , a . 0 ima svoj inverzni element a-1 u odnosu na mnoenje, odnosno element za koji vrijedi jednakost a a-1 = a-1 a =1, postavlja se pitanje da li slina osobina vrijedi za sve matrice A...nxn , A . O . Dakle, postavlja se pitanje za koje matrice A...nxn postoji matrica A-1 ...nxn takva da vrijedi 1 1 n A A- = A- A = E . Odgovor na to pitanje e nam dati determinanta matrice. Stroga definicija determinante matrice je matematiki dosta zahtjevna i pretpostavlja poznavanje pojmova permutacije i parnosti permutacije, stoga je u ovoj knjizi neemo navoditi. Definicija 1.8.1. (opisna definicija determinante matrice) Determinanta kvadratne matrice A...nxn je realan broj pridruen toj matrici. Oznaavat emo ga sa det A ili A . Napomenimo da se determinanta pridruuje iskljuivo kvadratnoj matrici. Ukoliko je matrica formata nxn , za determinantu pridruenu toj matrici kaemo da je reda n . Determinanta reda jedan je realan broj. Determinante reda dva i tri mogue je izraunati na jednostavan nain, dok je raunanje determinanti vieg reda mnogo sloenije, ali se, kao to emo u nastavku vidjeti moe svesti na izraunavanje determinanti nieg reda. Kao prvo, objasnit emo kako izraunati determinante reda dva i tri. Neka je A ac db = . . . . . . proizvoljna matrica formata 2x2. Po definiciji je Matematika za ekonomiste 42 det A = ac db = ad - cb . Dakle, determinanta reda 2 se izraunava tako to se od proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali te determinante. Primjer 1.8.2. Izraunajmo determinantu matrice 3 2 A 4 3 = . - . . . . .. Imamo: det A = 34 -32 = 33- 4(-2) = 9 + 8 =17 . Neka je sada 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c A a b c a b c . . = . . . . . . proizvoljna matrica formata 3x3. Determinantu matrice A moemo izraunati na slijedei nain: Kao prvo, s desne strane determinante dopiemo prve dvije kolone matrice A . Zatim mnoimo elemente na tri glavne dijagonale, saberemo ih i od njih oduzmemo zbir proizvoda elemenata sa sporedne dijagonale. Imamo: ( )( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 3 det a b c a b A a b c a b abc bca cab abc bca cab a b c a b = = + + - + + . Postoje i drugi naini izraunavanja determinanti treeg reda, kao to je pravilo trougla i druga, koja neemo ovdje navoditi. Primjer 1.8.3. Izraunajmo determinantu matrice 1 2 0 2 3 1 0 2 1 A . . = .- . . - . . .. 1. Osnove linearne algebre 43 Imamo: ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) 1 2 0 1 2 det 2 3 1 2 3 0 2 1 0 2 1 3 1 2 1 0 0 2 2 0 3 0 2 1 1 1 2 2 3 2 4 9. A= - - = - = - + + - - + + - - = = - - - = - 1.9. Osobine determinanti U prethodnom primjeru uoili smo da ukoliko u determinanti postoji dosta nula, lake je izraunati njenu vrijednost. Sada emo navesti neke osobine determinanti, pomou kojih ih je jednostavnije izraunavati. Ove osobine neemo dokazivati. 1. Za svaku kvadratnu matricu A je det A = det AT . 2. Ako su u matrici A elementi jedne vrste ili kolone jednaki ili proporcionalni elementima druge vrste ili kolone, determinanta je jednaka nuli. Specijalno, ukoliko su elementi jedne vrste ili kolone determinante svi jednaki nuli, vrijednost determinante je nula. 3. Determinanta se mnoi (dijeli) brojem razliitim od nule tako da se elementi jedne vrste ili kolone determinante pomnoe (podijele) tim brojem. 4. Ako dvije vrste ili kolone determinante zamijene mjesta, determinanta mijenja predznak. 5. Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko elementima jedne vrste ili kolone dodamo odgovarajue elemente druge vrste ili kolone prethodno pomnoene nekim realnim brojem. 6. Za kvadratne matrice A i B istog formata je det ( A B) = det Adet B . 7. Determinanta trougaone matrice (time i dijagonalne matrice) jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali te matrice. U slijedea dva primjera pokazat emo kako se primjenjuju osobine determinanti. Matematika za ekonomiste 44 Primjer 1.9.1. Izraunajmo determinantu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D = . Pri izraunavanju ove determinante koristit emo se osobinom 5. kako bismo u prvoj vrsti determinante dobili nule. Kako bismo umjesto broja 2 u prvoj vrsti i drugoj koloni dobili nulu, prvu kolonu determinante pomnoit emo sa (-2) i dodati drugoj koloni determinante. Analogno, prvu kolonu determinante pomnoit emo sa (-3) i dodati treoj koloni kako bismo u prvoj vrsti i treoj koloni dobili broj 0, umjesto broja 3. Imamo: 1 0 0 4 5 4 8 8 9 8 16 12 13 12 24 16 D = -- -- - - . Kako su elementi druge kolone determinante D proporcionalni elementima tree kolone te determinante, to je, na osnovu osobine 2. vrijednost determinante D jednaka nuli. Primjer 1.9.2. Izraunajmo determinantu a b c d D a b c d a b c d a b c d - = - - - - -- . Kao prvo, iskoristit emo osobinu 3. da bismo iz prve kolone izluili zajedniki faktor a , iz druge kolone faktor b , iz tree kolone faktor c i iz etvrte kolone faktor d . Imamo: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D abcd - = - - - - -- . Sabiranjem prve i etvrte kolone determinante, zakljuujemo da je 1 1 1 0 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 0 D abcd - = - - = - , 1. Osnove linearne algebre 45 na osnovu osobine 2. Primjer 1.9.3. Izraunajmo determinantu 1 0 0 0 5 4 0 0 4 8 1 0 13 12 14 10 D = -- - - - . Posmatrana determinanta je determinanta gornje trougaone matrice, pa je njena vrijednost, na osnovu osobine 7. jednaka proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali matrice. Dakle, D =1(-4) (-1) 10 = 40 . Primjer 1.9.4. Odredimo sva rjeenja jednaine D(x)=0, pri emu je 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 4 1 1 1 1 6 x D x x x - = - - . Kako bismo jednostavnije izraunali determinantu D(x) , od druge, tree i etvrte vrste determinante oduzet emo prvu vrstu. Imamo 1 1 1 1 0 1 1 0 ( ) 0 0 3 0 0 0 0 5 x D x x x - = - - . Sada uoavamo da je determinanta D(x) zapravo determinanta gornje trougaone matrice, pa je jednaka proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali te matrice. Dakle, D(x)=1(1-x)(3-x) (5-x) , pa je D(x)=0 , kada je x =1, x =3 ili x =5 . Dakle, skup rjeenja date jednaine je {1,3,5}. Matematika za ekonomiste 46 1.10. Minor i kofaktor kvadratne matrice. Laplaceovo pravilo o razvoju determinante. Do sada smo vidjeli kako izraunati determinantu drugog i treeg reda. Na alost, ne postoji tako jednostavan nain za izraunavanje determinanti etvrtog i vieg reda. Za to e nam posluiti Laplaceovo pravilo o razvoju determinante koje e nam govoriti o tome kako determinantu reda n prikazati kao sumu determinanti reda n -1. Na taj nain, na primjer moemo determinantu reda 4 prikazati kao sumu determinanti reda 3 koje znamo izraunati. Analogno, determinantu reda 5 moemo prikazati kao sumu determinanti reda 4, koje izraavamo kao sumu determinanti reda 3, itd... Prije toga, uvest emo pojam minora i kofaktora kvadratne matrice koji su znaajni ne samo za formulaciju Laplaceovog pravila o razvoju determinante, nego i za izraunavanje inverzne matrice, koje emo objasniti u narednom odjeljku ovog udbenika. Definicija 1.10.1. (minora i kofaktora kvadratne matrice) Neka je data kvadratna matrica ( ) ij nxn A = a i neka je 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... : : ... : ... : ... ... : : ... : ... : ... ... j n j n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a D a a a a a a a a = determinanta matrice A . Uoimo element ij a determinante D. On se nalazi u i -toj vrsti i j -toj koloni. Kada iz determinante D izostavimo i -tu vrstu i j -tu kolonu, ostali elementi determinante D formiraju novu determinantu reda (n -1). Tako dobijenu determinantu zovemo minorom ili subdeterminantom elementa ij a i oznaavamo je sa ij M . Determinanta D ima tano nxn = n2 minora, jer svakom elementu determinante odgovara po jedan minor. 1. Osnove linearne algebre 47 Broj ( ) 1 i j ij ij A M+ = - zovemo kofaktorom ili algebarskim komplementom elementa ij a determinante D, odnosno matrice A . Primjer 1.10.2. Odredimo minore 22 M i 13 M , te kofaktore 32 A i 11 A determinante 1 2 0 2 3 1 0 2 1 D = - - . Minor 22 M jednak je determinanti koju dobijemo kada iz determinante D izostavimo drugu vrstu i drugu kolonu. Dakle, ( ) 22 1 0 M = 0 -1 =1 -1 - 00 = -1. Analogno, minor 13 M jednak je determinanti koju dobijemo kada iz D izbacimo prvu vrstu i treu kolonu. Dakle, 13 2 3 4 0 4 M 0 2 = - = - - = - . Po definiciji kofaktora je ( ) ( ) ( )( ) 3 2 32 32 1 1 1 0 1 1 0 1 A M 2 1 + = - = - - = - - = - . Analogno je ( ) ( ) 1 1 11 1 3 1 1 3 2 5 A 2 1 + = - - = - - = - . Primjer 1.10.3. Odredimo kofaktore 21 A i 44 A matrice 1 1 2 1 2 2 1 0 3 0 1 0 1 0 3 1 A . - . . - . =. . . . . .. Imamo: ( ) ( ) ( ) 2 1 21 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 3 1 A + - = - = - - = . Matematika za ekonomiste 48 Analogno je 4 4 44 1 1 1 ( 1) 2 2 0 6 3 0 0 A + - = - =- . Sada emo (bez dokaza) navesti Laplaceovo pravilo o razvoju determinante: Teorema 1.10.4. Vrijednost determinante D reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste ili kolone te determinante i njima odgovarajuih kofaktora. Drugim rijeima, 1 1 n n ij ij ij ij i j D a A a A = = =. =. , za proizvoljne i, j .{1,..., n}. Dakle, determinantu moemo razviti po proizvoljnoj vrsti ili koloni. Kako se kofaktori (tj. determinante reda n -1) mnoe s odgovarajuim elementima, za razvoj determinante uzet emo onu vrstu ili kolonu u kojoj ima najvie nula. Korisno je i posluiti se osobinama determinanti kako bismo dobili vrstu ili kolonu sa "puno" nula. Mogue je, ukoliko je determinanta reda n pomou osobina determinanti, datu determinantu transformisati u determinantu koja u jednoj vrsti ili koloni ima (n-1) nula, a zatim primijeniti Laplaceovo pravilo na tu vrstu ili kolonu. Na taj nain, izraunavanje determinante reda n svodimo na izraunavanje determinante reda (n-1) . Primjer 1.10.5. Determinantu matrice 1 1 2 1 2 2 1 0 3 0 1 0 1 0 3 1 A . - . . - . =. . . . . . iz prethodnog primjera najjednostavnije je razviti po treoj vrsti, drugoj ili etvrtoj koloni (jer u njima imamo po dvije nule). Pokaimo kako se izraunava determinanta razvojem po etvrtoj koloni. Imamo: 1. Osnove linearne algebre 49 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 24 34 44 1 4 4 4 1 1 2 1 det 2 2 1 0 1 0 0 1 3 0 1 0 1 0 3 1 2 2 1 1 1 2 1 1 3 0 1 1 1 2 2 1 1 16 1 5 16 5 11. 1 0 3 3 0 1 A A A AA + + - = - = + + + = - - = - + - - = - - + - = - = Pokaimo kako determinantu razviti po treoj vrsti. Imamo: ( ) ( ) 31 32 33 34 3 1 3 3 1 1 2 1 det 2 2 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 1 0 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 0 1 1 2 2 0 3 1 3 1 1 2 9 2 11. 0 3 1 1 0 1 A A AA A + + - = - = + + + = - - = - - + - = + = + = Za vjebu, izraunajte determinantu matrice A razvijajui je po drugoj koloni. Koristei se osobinama determinanti, vrlo jednostavno je mogue postii da u etvrtoj koloni posmatrane determinante imamo tri nule. Naime, oduzimajui etvrtu vrstu determinante od prve, dobijamo da je 1 1 2 1 0 1 1 0 det 2 2 1 0 2 2 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 1 0 3 1 1 0 3 1 A - -- = - = - . Sada je najjednostavnije razviti determinantu po etvrtoj koloni i dobiti 4 4 0 1 1 0 1 1 det 1 ( 1) 2 2 1 2 2 1 3 0 1 3 0 1 A + - - - - = - - = - . Posljednju determinantu takoer moemo izraunata Laplaceovim pravilom o razvoju, tako to u prvoj vrsti, oduzimanjem druge i tree kolone determinante dobijemo dvije nule. Dakle Matematika za ekonomiste 50 1 3 0 0 1 det 2 3 1 ( 1) ( 1) 2 3 ( 1) ( 2 9) 11 3 1 1 3 1 A + - = - = - - - = - - - = - . Ovim smo pokazali kako, pomou osobina determinanti i Laplaceovog pravila o razvoju, izraunavanje determinante reda etiri svesti na izraunavanje determinante reda tri, a zatim na izraunavanje determinante reda dva. 1.11. Pojam inverzne matrice i nain njenog izraunavanja. U ovom paragrafu emo dati odgovor na pitanje koje kvadratne matrice imaju inverzni element u odnosu na mnoenje matrica, odnosno na pitanje za koje matrice A...nxn postoji matrica A-1 ...nxn takva da vrijedi 1 1 n A A- = A- A = E . Kao prvo, dat emo definiciju adjungovane matrice. Definicija 1.11.1 (adjungovane matrice) Neka je data matrica ( ) ij nxn A = a . Za matricu * ( )T ij A = A kaemo da je adjungovana matrica matrice A . Dakle, elementi adjungovane matrice dobiju se tako to za svaki od elemenata ij a matrice A naemo njegov kofaktor ij A , te kofaktore sloimo u matricu, a zatim tako dobijenu matricu transponujemo. Primjer 1.11.2. Odredimo determinantu i adjungovanu matricu matrice 1 2 A 0 3 = . . . . . ., a zatim naimo proizvod A A* . Imamo: 1 2 det 3 0 3 A= A= = . Kofaktori matrice A su 1 1 11 A =(-1) + 3=3, 1 2 12 A =(-1) + 0=0 , 2 1 21 A =(-1) + 2=-2 , 2 2 22 A =(-1) + 1=1. 1. Osnove linearne algebre 51 pa je * 3 0 3 2 2 1 0 1 T A .. .. .. - .. =.. ... =.. ... ..- . .. .. Odredimo jo proizvod A A* . Imamo * 2 2 1 2 3 2 3 0 3 det A A 0 3 0 1 0 3 E A E = . . . - . = . . = = . . . . . . . . . . . . . Ovaj rezultat nismo dobili sluajno. Naime, moe se pokazati da vrijedi slijedei teorem. Teorem 1.11.3. Neka je A kvadratna matrica reda n i A* njoj adjungovana matrica. Tada vrijedi * * det n A A = A A = A E . (1.11.1) Sada emo dati definiciju inverzne matrice Definicija 1.11.4. (inverzne matrice) Za matricu A kaemo da je invertibilna ili regularna matrica ukoliko postoji matrica A-1 takva da vrijedi 1 1 n A A- = A- A = E . (1.11.2) Matricu A-1 za koju vrijedi relacija (1.11.2) zovemo inverznom matricom matrice A . Oigledno je da postoji veza izmeu relacija (1.11.1) i (1.11.2), odnosno izmeu adjungovane matrice i inverzne matrice matrice A . Ukoliko je det A = 0 , tada je, na osnovu relacije (1.11.1) A A* = A* A = O (Ovdje nam O oznaava nula-matricu), pa matrica A nema inverznu matricu (takva matrica zove se singularna matrica). Ukoliko je det A . 0 , matrica je regularna, jer iz relacije (1.11.1), nakon dijeljenja sa det A . 0 (uslov da je determinanta razliita od nule bio nam je potreban kako bismo podijelili sa brojem det A) dobijamo 1 * 1 * det det n A A A A E A A . . = . . = . . . . . . . . . Dakle, ukoliko je det A . 0 , matrica je invertibilna i vrijedi Matematika za ekonomiste 52 1 1 * det A A A - = . (1.11.3) Relacija (1.11.3) nam govori o tome kako izraunati inverznu matricu date matrice (ukoliko ona postoji). Neka je data matrica ( ) ij nxn A = a . Inverznu matricu matrice A odreujemo na slijedei nain: 1. Izraunamo determinantu det A matrice A . Ukoliko je det A = 0 , matrica nema inverzne, pa je ne moemo ni izraunati. Ukoliko je det A . 0 , matrica ima inverznu, pa prelazimo na slijedei korak. 2. Odredimo kofaktore ij A svih elemenata ij a matrice A . 3. Formiramo matricu kofaktora, pa je transponujemo. Na taj nain smo dobili matricu * ( )T ij A = A . 4. Pomnoimo matricu A* sa 1 det A . Na taj nain smo dobili matricu 1 1 * det A AA - = . Primjer 1.11.5. Ispitajmo da li matrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A . . . . =. . . . . . ima inverznu matricu i ukoliko ima odredimo je. U Primjeru 1.9.1. smo vidjeli da je D = det A = 0, pa data matrica nema inverznu. Primjer 1.11.6. Ispitajmo da li matrica 1 2 0 2 3 1 0 2 1 A . . = .- . . - . . . ima inverznu matricu i ukoliko ima odredimo je. Izraunajmo determinantu matrice. U Primjeru 1.8.3. smo vidjeli da je det A = -9 . 0 , pa data matrica ima inverznu. Sad prelazimo na slijedei korak, a to je izraunavanje kofaktora svih elemenata matrice A . Imamo: 1. Osnove linearne algebre 53 ( ) ( ) 1 1 11 1 3 1 1 3 2 5 A 2 1 + = - - = - - = - ( ) ( ) ( ) 1 2 12 1 2 1 1 2 0 2 A 0 1 = - + - = - - = - - , ( ) ( ) 1 3 13 1 2 3 1 4 0 4 A 0 2 = - + - = - - = - , ( ) ( ) ( ) 2 1 21 1 2 0 1 2 0 2 A 2 1 + = - - = - - - = , ( ) ( ) 2 2 22 1 1 0 1 1 0 1 A 0 1 + = - - = - - = - , ( ) ( ) ( ) 2 3 23 1 1 2 1 2 0 2 A 0 2 + = - = - - =- , ( ) ( ) 3 1 31 1 2 0 1 2 0 2 A 3 1 + = - = - = , ( ) ( ) ( ) 3 2 32 1 1 0 1 1 0 1 A 2 1 + = - - = - - = - , ( )3 3 ( ( )) 33 1 1 2 1 3 4 3 4 7 A 2 3 + = - - = - - = + = . Dobijene kofaktore sloit emo u matricu: 5 2 4 2 1 2 2 1 7 .- - - . . - - . . - . . ., koju emo transponovati da bismo dobili * 5 2 4 5 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 7 4 2 7 T A .- - - . . - . = . - - . = . - - - . . - . . - - . . . . .. Sada je Matematika za ekonomiste 54 1 1 5 2 2 1 5 2 2 5/ 9 2 / 9 2 / 9 2 1 1 2 1 1 2/9 1/9 1/9 9 4 2 7 9 4 2 7 4 / 9 2 / 9 7 / 9 A- . - . . - - . . - - . = .- - - . = . . = . . - .- - . . - . . - . . . . . . .. Provjerimo, na kraju da li je na rezultat taan. Da bismo to uradili trebamo pomnoiti matrice A i A-1 i vidjeti da li je njihov proizvod matrica 3 E . Imamo: 1 3 1 2 0 1 5 2 2 2 3 1 2 1 1 0 2 1 9 4 2 7 1 1 2 0 5 2 2 1 9 0 0 = 2 3 1 2 1 1 0 9 0 . 9 0 2 1 4 2 7 9 0 0 9 A A E - . . . - - . = .- . . . = . - . . - . . . . . . . . - - . . . .- . . . = . . = . - . . - . . . . .. . . . Dakle, matrica A-1 je zaista inverzna matrica matrice A . Za samostalan rad moete provjeriti da je 1 3 A- A = E . Na kraju ovog odjeljka, navest emo tri osobine inverzne matrice koje su nam potrebne pri rjeavanju matrinih jednaina. 1. Ako je A invertibilna matrica, tada je i A-1 takoer invertibilna i vrijedi ( )A 1 1 A - - = . 2. Ako su A i B invertibilne matrice, tada je i A B takoer invertibilna matrica i vrijedi ( )A B 1 B 1 A 1 - = - - . 3. Ako je A invertibilna matrica, tada je i AT takoer invertibilna i vrijedi ( ) ( ) AT 1 A 1 T - = - . 1.12. Linearne matrine jednaine Definicija 1.12.1. (linearne matrine jednaine) Jednaine oblika A+ X = B , A X = B i slino u kojima je nepoznata varijabla X matrica, koja se javlja na prvi stepen, pri emu smatramo da su matrice odgovarajuih formata, nazivaju se linearne matrine jednaine. 1. Osnove linearne algebre 55 Oigledno je da matrina jednaina A+ X = B , za matrice A, B formata m x n ima jedinstveno rjeenje, matricu X = B - A . Meutim, to nije sluaj sa jednainom A X = B ili jednainom Y A = B , pri emu pretpostavljamo da su matrice odgovarajuih formata. Ukoliko je matrica A kvadratna i invertibilna (napomenimo da samo za kvadratnu matricu moemo govoriti o invertibilnosti) tada gornje jednaine imaju jedinstveno rjeenje X = A-1 B odnosno Y = B A-1 . Pri rjeavanju ovakvih jednaina potrebno je voditi rauna o tome s koje strane matrica A mnoi nepoznatu X , odnosno Y , jer mnoenje matrica nije komutativno. Jednaine A X = B i Y A = B mogu imati rjeenje i u sluaju da matrica A nije kvadratna matrica, kao i u sluaju da matrica A jeste kvadratna ali nije invertibilna. U tom sluaju jednaina moe imati i beskonano mnogo rjeenja. Takoer, moe se dogoditi da u ovom sluaju jednaine nemaju rjeenja. Sada emo na nekoliko primjera pokazati kako rjeavati matrine jednaine. Primjer 1.12.2. Rijeimo matrinu jednainu AX -1 + X -1 = B , gdje je 1 2 3 4 A . . =. . . . i 1 0 1 2 B .- . = . . .- . . Datu jednainu moemo rijeiti na dva naina. I nain. Moemo izluiti zajedniki faktor X -1 sa desne strane kako bismo dobili jednainu ( ) 1 2 A+ E X - = B . (1.12.1) Sada izraunamo determinantu matrice 2 1 2 1 0 2 2 3 4 0 1 3 5 A E .. .. .. .. .. .. + =.. ...+.. ...=.. ... .. . .. . .. . . Lako se uvjeravamo da je 2 det(A+E )=10-6= 4 , pa data matrica ima inverznu matricu. Jednainu (1.12.1) moemo pomnoiti sa 1 2 (A+E )- , s lijeve strane, kako bismo dobili matricu X -1 s lijeve strane jednakosti. Imamo Matematika za ekonomiste 56 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 A E A E X A E B + - + - = + - , pa kako je ( ) ( ) 1 2 2 2 A E A E E - + + = , dobijamo ( )1 1 2 X A E B - = + - . (1.12.2) S obzirom da je det B =-2 , matrica B je takoer invertibilna, pa iz (1.12.2) imamo: ( ) (( ) ) 1 1 1 1 2 X A E B -- - = + - , odakle, imajui u vidu osobine inverzne matrice dobijamo 1 ( ) 2 X = B- A+E . Sada je potrebno izraunati B-1 . S obzirom da je det B =-2 , trebamo jo odrediti adjungovanu matricu B* . Imamo: 11 B = 2 , 12 B =1, 21 B =0 i 22 B =-1, pa je * 2 1 2 0 0 1 1 1 T B . . . . = . . = . . . - . . - . , odakle je 1 1 2 0 2 1 1 B- .. ..=- .. ... .. - .. Sada je 1 2 0 2 2 1 4 4 2 2 2 1 1 3 5 2 1 3 1/ 2 3/ 2 X .. .. .. .. .. .. ..- - .. =- .. ..... ...=- .. ...=.. ... .. - . .. . ..- - . .. . . II nain. Kako polaznu jednainu ne bismo morali invertovati, moemo je kao prvo pomnoiti sa X , sa desne strane. Na taj nain dobijamo jednainu 2 A+ E = BX , iz koje, nakon mnoenja sa B-1 sa lijeve strane odmah zakljuujemo da je 1 ( ) 2 X = B- A+E . Primjer 1.12.3. Rijeimo matrinu jednainu ( )1 2 M X E N M N - + = + , za 1 1 0 2 M . . =. . . . i 1 1 2 0 N . - . =. . . .. 1. Osnove linearne algebre 57 Kako bismo rijeili ovu jednainu, izraunat emo detM i det N , da bismo utvrdili da li moemo pomnoiti jednainu sa lijeve strane sa M-1 i sa desne strane sa N-1 . Lako se uvjeravamo da je detM =det N = 2 , pa su matrice M i N invertibilne. Mnoenjem jednaine sa M-1 sa lijeve strane dobijamo ekvivalentnu jednainu ( )1 1 2 2 X E N E M N + - = + - , odakle, mnoenjem sa N-1 sa desne strane dolazimo do jednaine ( )1 1 1 2 X E N M + - = - + - . (1.12.3) Sada emo izraunati zbir N-1+M-1 , kako bismo zakljuili da li ova matrica ima inverznu. Imamo 1 1 2 1 2 0 1 M- . - . = . . . ., 1 1 0 1 2 2 1 N- . . = . . .- . , pa je 1 1 1 2 0 1 0 2 2 2 1 1 N- M- .. .. .. .. + = .. ...=.. ... ..- . ..- .. Kako je det(N-1+M-1)=1, matrica N-1+M-1 ima inverznu, pa invertovanjem jednaine (1.12.3) dobijamo ( )1 1 1 2 X E M N + = - + - - , odnosno ( ) 1 1 1 2 X M N E = - + - - - . Lako se uvjeravamo da je ( )1 1 1 1 0 1 1 N M - - - .. ..+ =.. ... .. ., pa je 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 X .. .. .. .. .. .. =.. ...-.. ...=.. ... .. . .. . .. . . Primjer 1.12.4. Rijeimo matrinu jednainu Matematika za ekonomiste 58 3 1 2 1 2 2 0 0 1 0 1 1 1 3 0 0 4 0 0 X E .. .. ..- .. .. .. .. .. . - .. . - ..= .. .. .. .. .. ... .. ... . Stavimo 1 2 1 0 1 0 3 0 0 A .. .... ..=. - .. . . . .... .. i 2 2 0 1 1 1 4 0 0 B ..- .... ..=. - .. . . . .... ... Kao prvo, izraunat emo det A i det B , kako bi utvrdili da li su matrice A i B invertibilne. Lako se vidi da je det A=3 i det B =8, pa su matrice invertibilne, to nam omoguava da jednainu 3 A X B = E pomnoimo sa lijeve strane sa A-1 , a zatim sa desne strane sa B-1 , kako bi dobili da je X = A-1B-1 . Kako bismo izbjegli izraunavanje dvije inverzne matrice, sjetit emo se da je ( ) A 1B 1 BA 1 - - = - , pa emo izraunati proizvod C = BA , a zatim X =C-1 . Imamo: 2 2 0 1 2 1 2 6 2 1 1 1 0 1 0 4 3 1 4 0 0 3 0 0 4 8 4 C ..- .. .. .. ..- - - .. .. .. .. .. .. .. =. - ... - ..=. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... . Znamo da je detC = det Bdet A= 24 , pa trebamo jo odrediti C* . Imamo: 11 C = 4 , 12 C =-12, 13 C = 20 , 21 C =8, 22 C = 0 , 23 C =-8 , 31 C =0 , 32 C =-6 , 33 C =18 , pa je * 4 12 20 4 8 0 8 0 8 12 0 6 0 6 18 20 8 18 T C .. - .. .. .. .. .. .. .. =. - .. =.- - .. .. .. .. .. .. - ... .. - ... . Dakle, 1 4 8 0 1 12 0 6 24 20 8 18 X C- .. .... ..= = .- - .. . . . .... - ... 1. Osnove linearne algebre 59 Objasnimo sada kako pomou matrica moemo zapisati operacije sa vektorima, te kako matrice moemo koristiti za rjeavanje nekih zadataka sa vektorima iz ..n . U Primjeru 1.2.3. smo vidjeli da su vektori 1 a = (1, 2,7) , 2 a = (2,3,5) i 3 a =(3,1,1) linearno nezavisni elementi prostora ..3 . Vektore 1 a , 2 a i 3 a moemo posmatrati kao vektor vrste, ali i kao vektor kolone 1 1 (1, 2, 7) 27 a T .. .... ..= =. .. . . . .... .. , 2 2 (2,3,5) 35 a T .. .... ..= =. .. . . . .... .. i 3 3 (3,1,1) 11 a T .. .... ..= =. .. . . . .... .. . Ukoliko ih posmatramo kao vektor kolone, tada na veoma jednostavan nain moemo zapisati proizvoljnu linearnu kombinaciju ovih vektora. Naime, tada je, za proizvoljne skalare . , i . zadovoljena slijedea relacija: 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 7 5 1 7 5 7 5 1 . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. + + .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..+ . ..+ . ..=. + + ..=. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. + + ... .. ... .. ... Dakle, linearnu kombinaciju vektora (zapisanih kao vektor kolone) moemo napisati kao proizvod matrice ije kolone su upravo zadani vektori sa vektor kolonom skalara. Ukoliko vektore zapisujemo kao vektor vrste, tada je lako vidjeti da vrijedi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 7 2 3 5 3 1 1 2 3 1 7 5 1 . . . . .. .... ... + + = .. .. . .... .. . Primjer 1.12.5. Trojke vektora { } 1 2 3 a ,a , a i { } 1 2 3 b ,b ,b ine bazu vektorskog prostora ..3 . Njihove koordinate u kanonskoj bazi prostora ..3 su ( ) 1 a = 1,1, 2 , ( ) 2 a = 2,3,-1 , ( ) 3 a = -1,0,1 , ( ) 1 b = 1,0,0 , ( ) 2 b = 2, 2,1 i ( ) 3 b = 3,3, 2 . Dat je vektor 1 2 3 c = a -2a +a . Odredimo koordinate vektora c u odnosu na bazu { } 1 2 3 b ,b ,b . Ako sa ., i . oznaimo koordinate Matematika za ekonomiste 60 vektora c u odnosu na bazu {b1,b2 ,b3} , tada na osnovu prethodnih razmatranja imamo: 1. 1 2 1 1 1 3 0 2 2 1 1 1 c .. - .. .. .. .. .. .. .. =. ...- .. .. .. .. .. .. - ... .. ... , na osnovu reprezentacije u bazi { } 1 2 3 a ,a , a 2. 1 2 3 0 2 3 0 1 2 c .. .. .. .. .. .. .. .. .. =. ... .. .. .. .. .. .. ... .. ..., na osnovu reprezentacije u bazi { } 1 2 3 b ,b ,b . Sada dolazimo do matrine jednaine 1 2 3 1 2 1 1 0 2 3 1 3 0 2 0 1 2 2 1 1 1 .. .. .. .. .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... ..=. ...- .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. - ... .. ... , ije rjeenje je 1 1 2 3 1 2 1 1 0 2 3 1 3 0 2 0 1 2 2 1 1 1 .. - .. .. .. .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..=. .. . ...- .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. - ... .. ... . Matrica na lijevoj strani sigurno ima inverznu, jer je { } 1 2 3 b ,b ,b baza prostora ..3 . Oznaimo tu matricu sa A . Lako se vidi da je det A=1, pa nakon izraunavanja kofaktora matrice A zakljuujemo da je 1 1 1 0 0 2 3 0 1 2 A- .. - .... ..=. - .. . . . .... - .., pa je, zbog 1 2 1 1 4 1 3 0 2 5 2 1 1 1 5 .. - .. .. .. ..- .. .. .. .. .. .. .. . ...- ..=.- .. .. .. .. .. .. .. .. - ... .. ... .. ... 1 1 0 4 1 0 2 3 5 25 0 1 2 5 15 .. .. .. .. - .. ..- .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..=. - ...- ..=.- .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. - ... .. ... .. ... . 1. Osnove linearne algebre 61 Primjer 1.12.6. Vektori a =(1, 2,5), b=(-1,0,3) i c =(1,3,0) ine bazu vektorskog prostora ..3 . Odredimo koordinate vektora x =(2, 2, 2) u toj bazi. Postupajui analogno kao u prethodnom primjeru, oznaavajui sa . , i . koordinate vektora x u bazi {a,b,c} dobijamo jednainu 1 1 1 2 2 0 3 2 5 3 0 2 .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... ..=. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... , odakle je 1 1 1 1 2 2 0 3 2 5 3 0 2 .. - .. .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..=. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .... Nakon to odredimo inverznu matricu, lako se vidi da je 11 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..=.- .. .. .. .. .. .. ... .. ... . 1.13. Rang matrice. Metod odreivanja ranga matrice. Neka je 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... nn m m mn a a a A a a a a a a . . . . =. . . . . . proizvoljna matrica formata mxn . Ukoliko ta matrica nije kvadratna, ne moemo izraunati njenu determinantu. Meutim, od kolona i vrsta matrice A mogue je formirati submatrice matrice A koje su kvadratne. Ako je B submatrica matrice A formata rxr kaemo da je ta submatrica reda r . Ukoliko je, npr. m < n , tada je m najvei red kvadratne submatrice koju je mogue formirati pomou kolona matrice A . Ukoliko je matrica A kvadratna, tada je sama matrica A svoja submatrica (reda m = n ) , a mogue je formirati i submatrice reda n -1, one reda n - 2 , itd. Matematika za ekonomiste 62 Nakon to formiramo kvadratne submatrice matrice A moemo izraunati njihove determinante. Vrijednost determinante submatrice moe biti razliita od nule ili jednaka nuli. Definicija 1.13.1. (ranga matrice) Red submatrice najveeg mogueg reda, ija determinanta je razliita od nule zovemo rangom matrice A . Primjer 1.13.2. U Primjeru 1.8.3. smo vidjeli da je determinanta matrice 1 2 0 2 3 1 0 2 1 A . . = . - . . - . . . jednaka -9 , pa je rang te matrice jednak 3, poto je to red determinante matrice A koja je razliita od nule. (u ovom sluaju, tri je najvei mogui rang matrice). Primjer 1.13.3. Determinanta matrice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A . . . . =. . . . . . jednaka je nuli, to znai da je red matrice A manji od 4, odnosno moe biti najvie 3. Da bismo ustanovili da li je red matrice jednak 3 ili je manji, po definiciji morali bismo formirati sve submatrice matrice A reda 3 (to bi zapravo bili minori elemenata matrice A , njih 16) i vidjeti da li meu njima postoji neka koja je razliita od nule. Ukoliko postoji, tada bi rang matrice bio jednak 3. Meutim, ukoliko je svih 16 determinanti reda 3 jednako nuli, tada bismo morali izraunavati determinante reda 2. Vidimo da je ovakav nain odreivanja ranga matrice veoma komplikovan. Zbog toga emo uvesti pojam ranga vrsta i ranga kolona matrice i objasniti kako se na mnogo elegantniji nain moe odreivati rang matrice. Svaka matrica 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... nn m m mn a a a A a a a a a a . . . . =. . . . . . formata mn se sastoji od m vrsta i n kolona. Vrste matrice A moemo posmatrati kao ureene n -torke realnih brojeva i samim tim, kao elemente vektorskog prostora ..n (dimenzije n ). Analogno, kolone matrice A moemo smatrati kao ureene m -torke realnih brojeva, odnosno kao elemente vektorskog prostora ..m 1. Osnove linearne algebre 63 (dimenzije m ). Dakle, vrste matrice A moemo posmatrati kao m vektora u prostoru ..n , dok kolone matrice A moemo posmatrati kao n vektora u prostoru ..m . Definicija 1.13.4. (ranga vrsta i ranga kolona matrice) Rang vrsta matrice ( ) ij m n A a = jednak je broju linearno nezavisnih vrsta matrice A (posmatranih kao elemenata vektorskog prostora ..n ). Rang kolona matrice ( ) ij m n A a = jednak je broju linearno nezavisnih kolona matrice A (posmatranih kao elemenata vektorskog prostora ..m ). Moe se pokazati da vrijedi slijedei teorem. Teorem 1.13.5. Rang vrsta ( ) ij m n A a = jednak je rangu kolona matrice A i jednak je rangu matrice A (u smislu Definicije 1.13.1.). Na osnovu prethodnog teorema, moe se pokazati da postoje odreene transformacije nad vrstama ili kolonama matrice A koje ne mijenjaju njen rang. Takve transformacije zovemo elementarnim transformacijama nad matricom. To su slijedee transformacije: 1. Meusobna zamjena mjesta dvije vrste ili kolone matrice. 2. Mnoenje elemenata bilo koje vrste ili kolone matrice realnim brojem, razliitim od nule. 3. Sabiranje elemenata jedne vrste ili kolone matrice sa odgovarajuim elementima druge vrste ili kolone matrice, prethodno pomnoenim nekim brojem. Matrice koje se mogu transformisati iz jedne u drugu elementarnim transformacijama zovemo ekvivalentne matrice. Ekvivalentne matrice imaju isti rang. Ako su A i B ekvivalentne matrice, piemo A ~ B . Svaku matricu moemo elementarnim transformacijama svesti na tzv. "trapezni" oblik pomou kojeg je lako odrediti rang. Trapezni oblik matrice je onaj u kojem su svi elementi matrice ij a za koje je i> j jednaki nuli. Rang trapezne matrice jednak je broju vrsta te matrice koje nisu sastavljene od svih nula. Matematika za ekonomiste 64 Metod odreivanja ranga (tanije, ranga vrsta) matrice pomou elementarnih transformacija nad vrstama te matrice pokazat emo na slijedeim primjerima. Primjer 1.13.6. Odredimo rang matrice 1 2 0 2 1 3 1 3 1 1 0 2 2 4 1 13 A . - . .- . = . - - . . - . . .. Data matrica je formata 4x4 pa je njen maksimalan mogui rang jednak 4. Pri odreivanju ranga koristit emo se elementarnim transformacijama nad vrstama matrice na slijedei nain: U prvoj koloni matrice A , u drugoj, treoj i etvrtoj vrsti trebamo dobiti nule. To emo uraditi transformacijama nad vrstama. Prvu vrstu emo prepisati; zatim emo drugu vrstu sabrati s prvom i dobiti matricu 1 2 0 2 0 1 1 5 1 1 0 2 2 4 1 13 . - . . . . - - . . - . . .. Zatim emo od prve vrste oduzeti treu vrstu i dobiti matricu 1 2 0 2 0 1 1 5 0 1 0 4 2 4 1 13 . - . . . . - . . - . . .. Na kraju, od etvrte vrste emo oduzeti prvu vrstu pomnoenu sa 2 i dobiti 1 2 0 2 0 1 1 5 0 1 0 4 0 0 1 9 . - . . . . - . . . . .. Sada kada smo u prvoj koloni dobili nule ispod elementa 1, trebamo dobiti nule u treoj i etvrtoj vrsti druge kolone. Prvu i drugu vrstu emo prepisati. Ostalo je samo da saberemo treu vrstu s drugom, jer u etvrtoj vrsti ve imamo nulu gdje nam je potrebna. Dobijamo matricu 1. Osnove linearne algebre 65 1 2 0 2 0 1 1 5 0 0 1 9 0 0 1 9 . - . . . . . . . . .. Na kraju, potrebno je u treoj koloni dobiti nulu u etvrtoj vrsti. To emo uiniti tako to prve tri vrste prepiemo, a od etvrte vrste oduzmemo treu. Na taj nain dobijamo trapeznu matricu 1 2 0 2 0 1 1 5 0 0 1 9 0 0 0 0 . - . . . . . . . . .. Sada smo zavrili sa elementarnim transformacijama nad matricom A , jer smo dobili trapeznu matricu (ispod elemenata glavne dijagonale matrice su sve nule). Pogledajmo sada koliko ova matrica ima vrsta koje nisu sastavljene od svih nula. Vidimo da ih ima 3. Dakle, rang matrice A jednak je 3. Primjer 1.13.7. U zavisnosti od realnih parametara a i b odredimo rang matrice 1 3 1 1 2 6 3 4 6 2 A a b . - . = . - - . . - . . .. Kao prvo, zamijenit emo mjesta kolonama matrice A , kako bi se parametri a i b nali u treoj i etvrtoj koloni. Dobijamo ekvivalentnu matricu 1 1 1 3 4 3 2 6 2 6 a b . - . .- - . .- . . .. Sada je potrebno dobiti nule na drugom i treem mjestu u prvoj koloni. To emo uiniti tako to emo prvu vrstu prepisati, zatim od druge vrste oduzeti prvu vrstu pomnoenu sa 4, te od tree vrste oduzeti prvu vrstu pomnoenu sa 2 (ovdje smo uradili dva koraka odjednom). Dobijamo matricu 1 1 1 3 0 7 2 6 0 4 a 2 b 6 .- . . - - - . . - - . . .. Matematika za ekonomiste 66 Sada emo drugu vrstu pomnoiti sa 1/7 i dobiti matricu 1 1 1 3 0 1 2/7 6/7 0 4 a 2 b 6 .- . . - - - . . - - . . .. Na kraju, potrebno je dobiti nulu na treem mjestu u drugoj koloni. To emo uiniti tako to emo drugu vrstu prepisati, a zatim treu vrstu sabrati sa drugom vrstom pomnoenom sa 4. Dobijamo trapeznu matricu 1 1 1 3 0 1 2/7 6/7 0 0 a 22 / 7 b 66 / 7 .- . . - - - . . - - . . .. Ukoliko je a - 22 / 7 . 0 (tj. a . 22 / 7 ) ili b - 66 / 7 . 0 (tj. b . 66 / 7 ), tada je trea vrsta dobijene trapezne matrice razliita od svih nula, pa je u tom sluaju rang matrice A jednak 3. Ukoliko je a = 22 / 7 i b = 66 / 7 , tada se trea vrsta trapezne matrice sastoji od svih nula, pa je rang matrice A u tom sluaju jednak 2. Primjer 1.13.8. Odredimo parametar k tako da matrica 3 1 1 4 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 k A .. .... ... .. =.. .. . .... ..... .... ima najmanji mogui rang. S obzirom da se parametar k nalazi u prvoj koloni, zamijenit emo mjesta kolonama, tako da se parametar pojavljuje u posljednjoj (etvrtoj) koloni. Zgodno je i imati broj jedan u prvoj vrsti i prvoj koloni, pa emo drugu kolonu pisati kao prvu, treu kao drugu, etvrtu kolonu kao treu i na kraju, prvu kolonu kao etvrtu. Matrica A je ekvivalentna matrici 1 1 4 3 4 10 1 7 17 3 1 2 4 3 2k .. .... ... .. .. .. . .... ..... .... . Kako bismo u prvoj koloni ispod jedinice dobili sve nule, prvu vrstu gornje matrice emo prepisati, od druge vrste emo oduzeti prvu vrstu pomnoenu 1. Osnove linearne algebre 67 sa etiri, od tree vrste emo oduzeti prvu vrstu pomnoenu sa sedam i od etvrte vrste emo oduzeti prvu vrstu pomnoenu da dva. Dolazimo do ekvivalentne matrice 1 1 4 3 0 6 15 12 0 10 25 20 0 2 5 4 k .. .... ... - - .. .. .. .. - - .... ..... - - .... Sada emo zamijeniti mjesta druge i etvrte vrste kako bismo lake odredili rang. Dolazimo do matrice 1 1 4 3 0 2 5 4 0 10 25 20 0 6 15 k 12 .. .... ... - - .. .. .. .. - - .... ..... - - .... Kako bismo u drugoj koloni dobili nule na treem i etvrtom mjestu, prve dvije vrste matrice emo prepisati, od tree vrste emo oduzeti drugu vrstu pomnoenu sa 5, a od etvrte vrste emo oduzeti drugu vrstu pomnoenu sa tri. Dolazimo do matrice 1 1 4 3 0 2 5 4 0 0 0 0 0 0 0 k .. .... ... - - .. .. .. . ... . .. .. ... .... Sada je lako vidjeti da je najmanji mogui rang matrice A jednak dva, ukoliko je k = 0 . Za k . 0 , rang matrice A jednak je tri. Imajui u vidu definiciju ranga matrice, vidimo da rang matrice moemo koristiti da bi utvrdili koliko u nekom skupu vektora iz ..n imamo linearno nezavisnih vektora i specijalno, da li neki skup od n vektora ini bazu prostora ..n . Naime, kako bismo odredili koliko imamo linearno nezavisnih vektora, formiramo matricu ije vrste (ili kolone) su dati vektori, a zatim odredimo rang te matrice. S obzirom da je rang matrice jednak rangu vrsta (odnosno rangu kolona) zakljuujemo da je broj linearno nezavisnih vektora upravo jednak rangu formirane matrice. Matematika za ekonomiste 68 Primjer 1.13.9. Odredimo vrijednost parametra k tako da vektori a1 =(1,1,-3,1) , ( ) 2 a = 2,1,1, 2 , ( ) 3 a = -1, 2, k,3 i ( ) 4 a = 1, 4, 4k,1-2k ine bazu vektorskog prostora ..4 . Kako bi dati vektori inili bazu, s obzirom da ih ima etiri (to je dimenzija prostora ..4 ) potrebno je i dovoljno da budu linearno nezavisni. To znai da rang matrice 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 3 1 4 4 1 2 A kk k .. - .... ...- .. =.. .. ..- .... ..... - ... ije vrste su dati vektori treba biti jednak etiri. Sada emo vriti elementarne transformacije nad matricom A . Kao prvo, potrebno je u prvoj koloni, na drugom, treem i etvrtom mjestu dobiti nule. To emo uiniti tako to emo prvu vrstu prepisati, drugu vrstu sabrati sa prvom pomnoenom sa dva, treu vrstu sabrati sa prvom i od etvrte vrste oduzeti prvu. Dolazimo do ekvivalentne matrice 1 1 3 1 0 3 5 4 0 3 3 4 0 3 4 3 2 A kk k .. - .... ... - .. =.. .. .. - .... ..... + - ... . U slijedeem koraku emo prepisati prvu i drugu vrstu, te od tree i etvrte vrste oduzeti drugu vrstu i doi do matrice 1 1 3 1 1 1 3 1 0 3 5 4 0 3 5 4 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4 8 2 4 0 0 4( 2) 2( 2) k k k k k k .. - .. .. - .. .. .. .. .. . - .. . - .. .. ..=.. .. .. + .. .. + .. .. .. .. .. ... + - - ... ... + - + ... . Sada se uvjeravamo da je za k .-2 rang matrice A jednak etiri, dok je za k =-2 taj rang jednak dva. Dakle, za k .-2 skup vektora { } 1 2 3 4 a ,a , a , a ini bazu prostora ..4 . 1. Osnove linearne algebre 69 Primjer 1.13.10. Ispitati za koju vrijednost parametra k vektori v1 = a-2b+3c , 2 v =-a+b-2c i 3v = a+c ine bazu vektorskog prostora ..3 , ako je a =(-1, k,-1), b=(2, 2,0), c =(1, k,1) . Kao prvo, uvrstit emo vektore a , b i c , kako bismo odredili 1 v , 2 v i 3 v . Lako se vidi da je ( ) 1 v = -2, 4k-4, 2 , ( ) 2 v = 1, 2-3k,-1 i ( ) 3 v = 0, 2k,0 . Sada emo formirati matricu od vektora 1 v , 2 v i 3 v i odrediti njen rang. Imamo: 2 4 4 2 1 2 2 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 2 0 0 2 0 k k A k k k k ..- - .. ..- - .. .. .. .. .. =. - - .. . - - .. .. .. .. .. .. ... .. ... ~ ~ 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 k k k k k ..- - .. ..- - .. .. .. .. .. . - .. . - .. .. .. .. .. .. ... .. ... ~ ~ Vidimo da je najvei mogui rang matrice A jednak dva, za k . 0 , pa niti za jedno k ovaj rang ne moe biti tri. To znai da ne postoji vrijednost parametra k za koju bi vektori 1 v , 2 v i 3 v inili bazu prostora ..3 . 1.14. Pojam sistema od m linearnih jednaina sa n nepoznatih. Rjeavanje sistema jednaina pomou matrica. U uvodnom dijelu ovog poglavlja istaknuli smo da su sistemi linearnih jednaina jako bitni za odreivanje ravnotenog stanja, odnosno ekvilibriuma ekonomskih modela. U ovom odjeljku emo dati matematiku definiciju od m linearnih jednaina sa n nepoznatih, obrazloiti kako sistem jednaina zapisati u matrinom obliku i objasniti u kojim je sluajevima mogue nai jedinstveno rjeenje sistema pomou matrica. Definicija 1.14.1. (sistema od m linearnih jednaina sa n nepoznatih) Sistem od m linearnih jednaina sa n nepoznatih 1 2 , ,..., n x x x je skup jednaina oblika Matematika za ekonomiste 70 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mnn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = .. , (1.14.1) gdje su aij ,bi , i =1,...,m , j =1,...,n elementi polja realnih ili kompleksnih brojeva. Mi emo u daljem smatrati da su ij a elementi polja realnih brojeva. Brojevi ij a su koeficijenti uz nepoznate, a i b su slobodni lanovi. Ako je u sistemu (1.14.1) barem jedno 0 i b . sistem je nehomogen. Ako je 1 2 ... 0 m b = b = = b = sistem (1.14.1) je homogen sistem. Sistem (1.14.1) je saglasan ako postoji n-torka brojeva ( ) 1 2 , ,..., n . . . koje zadovoljavaju taj sistem. Kaemo jo da tad sistem ima rjeenje, a ureenu n-torku ( ) 1 2 , ,..., n . . . zovemo rjeenje sistema. Sistem (1.14.1) moe: a) imati jedinstveno rjeenje tad kaemo da je sistem odreen; b) imati beskonano mnogo rjeenja tada je sistem neodreen (u oba sluaja a) i b) sistem je saglasan); c) nemati rjeenja tada sistem nije saglasan, za sistem kaemo da je protivrjean. Rijeiti sistem znai nai sve n-torke brojeva koje su rjeenje sistema ili ustanoviti da sistem nema rjeenja. Dva sistema jednaina su ekvivalentna ako imaju isti skup rjeenja. Pri rjeavanju sistema linearnih jednaina, uobiajeno je nad tim sistemom vriti takozvane elementarne transformacije. To su transformacije koje dati sistem prevode u ekvivalentan sistem, a sastoje se od 1) zamjene mjesta bilo koje dvije jednaine sistema; 2) mnoenja proizvoljne jednaine sistema nekim brojem k . 0 ; 3) sabiranja dvije jednaine sistema (prethodno pomnoene nekim brojem k . 0 ). 1. Osnove linearne algebre 71 Matrice moemo koristiti pri rjeavanju sistema jednaina na razliite naine. Prije svega, svaki sistem jednaina moe se napisati u matrinom obliku. Ukoliko je ( ) ij m n A a = matrica sastavljena od koeficijenata uz nepoznate, tu matricu zovemo matrica sistema. Vektor kolona B = (bi ) formata m1 zove se kolona slobodnih lanova, dok je vektor kolona ( ) i X = x formata n1 kolona sa nepoznatim. Uz navedene oznake, sistem jednaina (1.14.1) moemo napisati kao matrinu jednainu A X = B. Ukoliko je matrica A kvadratna, to jest, broj nepoznatih u sistemu je jednak broju jednaina, i ukoliko je det A . 0 (matrica A je regularna) tada sistem jednaina (1.14.1) ima jedinstveno rjeenje, dato sa X = A-1B . Ukoliko matrica sistema nije kvadratna, tada sistem (1.14.1) ne moe imati jedinstveno rjeenje. Moe imati ili beskonano mnogo rjeenja ili nemati rjeenja, to je mnogo jednostavnije utvrditi pomou Kronecker-Capellievog metoda za rjeavanje sistema o kome emo vie rei neto kasnije. Na osnovu reenog, lako je zakljuiti da je matrina metoda za rjeavanje jednaina pogodna za sluaj kada je matrica sistema regularna kvadratna matrica (to je est sluaj kada rjeavamo konkretan ekonomski problem) i u tom sluaju rjeenje sistema se trai tako to se nae inverzna matrica matrice sistema i pomnoi sa lijeve strane sa vektor kolonom slobodnih lanova. Ova metoda je naroito pogodna za rjeavanje sistema jednaina u kojim se javljaju mnogi parametri, to je veoma est sluaj u ekonomskim primjenama. Primjer 1.14.2. Dat je sistem jednaina 2 6 2 3 9 2 12 x y x y z y z . + = .... - + + = ... - = ... . Zapiimo dati sistem u obliku matrine jednaine, a zatim ispitajmo da li je sistem odreen i naimo jedinstveno rjeenje tog sistema, ukoliko takvo postoji. Matematika za ekonomiste 72 Matrica sistema je matrica 1 2 0 2 3 1 0 2 1 A .. .... ..=.- .. . . . .... - ... Vektor kolona nepoznatih je x X yz .. .... ..=. .. . . . .... .. , dok je vektor kolona slobodnih lanova jednaka 69 12 B .. .... ..=. .. . . . .... ... Sistem je sada oblika A X = B. Da bismo odredili da li je sistem odreen, nai emo determinantu matrice A sistema. Ukoliko je ona razliita od nule, sistem e imati jedinstveno rjeenje X = A-1 B . Matricu A ve smo posmatrali u Primjeru 1.11.6. kada smo vidjeli da je det A=-9. 0, te da je 1 1 5 2 2 1 5 2 2 2 1 1 2 1 1 9 4 2 7 9 4 2 7 A- . - . . - - . = .- - - . = . . - .- - . . - . . . . .. Sada je 1 5 2 2 6 12 4/3 1 2 1 1 9 1 33 11/ 3 9 9 4 2 7 12 42 14/3 x X y A B z - .. .. .. - - .. .. .. ..- .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. =. ..= = . ... ..= . ..=. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. - ... .. ... ..- ... ..- .... Dakle, rjeenja jednaine su x =-4 / 3 , y =11/ 3 i z =-14 / 3. Pogledajmo na primjeru modela nacionalnog dohotka kako se primjenjuje matrina metoda rjeavanja sistema jednaina. Primjer 1.14.3. Posmatrat emo model nacionalnog dohotka oblika ( ) 0 0 Y C I G C a b Y T T d tY = + + = + - = + , (1.14.2) Gdje je Y varijabla nacionalnog dohotka, C varijabla ukupne potronje i T varijabla poreza. 0 I predstavlja nivo investicija, 0 G vladinu potronju (koje su nam poznate veliine), a i d su pozitivni parametri, parametar b prima vrijednosti iz intervala (0,1) , dok je t.(0,1) stopa poreza na dohodak (jednaka je postotku poreza na dohodak podijeljenim sa 100). 1. Osnove linearne algebre 73 Ovaj model je jedan od najeih stacionarnih modela nacionalnog dohotka. Sa (1.14.2) je zapravo dat sistem od tri jednaine sa tri nepoznate: Y , C i T . Rjeavanjem ovog sistema jednaina odredit emo ekvilibrium sistema: to je trojka Y,C,T . Kao prvo sistem emo napisati u neto drugaijem (kanonskom) obliku: 0 0 Y C I G bY C bT a tY T d - = + - + + = - + = , a zatim u obliku slijedee matrine jednaine: 1 1 0 0 0 10 1 Y I G b b C a t T d. - . . . . + . .- . . . = . . . - . . . . . . .. . . .. Kako je 1 1 0 det 1 1 0 0 1 b b bt b t . - . .- . = + - > . - . . . , jer je 1- b > 0 , poto je 0 < b 0 , to je matrica 1 1 0 10 1 A b b t . - . = .- . . - . . . posmatranog sistema invertibilna, pa sistem ima jedinstveno rjeenje oblika 1 1 1 0 0 0 10 1 Y I G C b b a T t d . . . - .- . + . . . = .- . . . . . . . . . .. .. . - . . . . Kako bi nali rjeenje sistema potrebno je odrediti inverznu matricu matrice A . Naimo odgovarajue kofaktore. Imamo: ( )1 1 11 1 1 1 0 1A b + = - = , ( ) ( )( ) ( ) 1 2 12 1 1 1 1 A b b b bt b t t = - + - = - - + = - - , Matematika za ekonomiste 74 ( )1 3 13 1 10 A b t t = - + - = - , ( ) ( )( ) 2 1 21 1 1 0 1 1 1 A 0 1 = - + - = - - = , ( )2 2 22 1 1 0 1 A t 1 + = - - = , ( ) ( )( ) 2 3 23 1 1 1 1 A t 0 t t = - + - - = - - = - , ( )3 1 31 1 1 0 A 1 b b = - + - = - , ( ) ( )( ) 3 2 32 A 1 1 0 1 b b b b + = - - = - = - , ( )3 3 33 1 1 1 1 A b 1 b = - + - = - - . Sada formirajmo matricu kofaktora i odredimo adjungovanu matricu. Imamo ( ) * ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T b t t b A t bt b b b b t t b . - . . - . = . . = . - - . .- - - . . - . . . . . , odakle je 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 b A b t b b bt t t b - . - . = . - - . - + . - . . .. Sada je ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 Y b I G C b t b a T b bt t t b d I G a bd b t I G a bd b bt t I G at d b . . . - . . + . . . = . - - . . . . . - + . . . . . . . - . . . . . . + + - . = . - + + - . - + .. .. . + + + - . Dakle, ekvilibrium modela se dostie kada je 0 0 1 Y I G a bd b bt = + + - - + , ( )( ) 0 0 1 1 b t I G a bd C b bt - + + - = - + , 1. Osnove linearne algebre 75 ( ) ( ) 0 0 1 1 t I G at d b T b bt + + + - = - + . Kao to vidimo, matrini metod rjeavanja sistema jednaina je veoma pogodan za sisteme jednaina kod kojih imamo mnogo parametara. 1.15. Gaussova metoda rjeavanja sistema jednaina. Gaussova metoda rjeavanja sistema jednaina jo se zove Gaussova metoda eliminacije a sastoji se u tome da se sistem jednaina elementarnim transformacijama svede na trougaoni oblik ukoliko je m = n , odnosno na trapezni oblik ako je m . n . Kao prvo, sistem se, eventualnom zamjenom jednaina svede na oblik u kojem je prva jednaina najjednostavnija. Zatim se prva jednaina prepie, te se elementarnim transformacijama jednaina sistema iz preostalih jednaina eliminira prva nepoznata. Zatim se prve dvije jednaine sistema prepiu te se elementarnim transformacijama iz preostalih jednaina eliminira i druga nepoznata. Dakle, u k -tom koraku prepiemo prvih k jednaina, a iz preostalih m- k jednaina eliminiramo nepoznatu k 1 x + . Postupak zavravamo nakon (m-1) koraka. Zatim kreemo od posljednje jednaine sistema i izraunavamo posljednju nepoznatu (ukoliko je sistem odreen) ili jednu nepoznatu izraavamo pomou ostalih nepoznatih u posljednjoj jednaini. Ovu vrijednost uvrtavamo u pretposljednju jednainu, itd Gaussov metod emo objasniti na slijedea dva primjera. Primjer 1.15.1. Rijeimo sistem: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 2 2 7 3 42 x x x x x x x x x x x x x x x x - + - = - + + = + - - =- + + + = Prvo emo promijeniti redoslijed jednaina tako da e etvrta jednaina, koja je najjednostavnijeg oblika, postati prva, i dobiti ekvivalentan sistem Matematika za ekonomiste 76 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 1 2 2 7 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = - + - = - + + = + - - =- . U narednom koraku emo prvu jednainu sistema prepisati a iz naredne tri jednaine eliminisati nepoznatu 1 x . Iz druge jednaine eliminiemo nepoznatu 1 x tako to emo od prve jednaine oduzeti drugu jednainu. Slino, nepoznatu 1 x eliminiemo iz tree jednaine sistema tako to emo od te jednaine oduzeti prvu jednainu, pomnoenu sa dva. Na kraju, 1 x eliminiemo iz etvrte jednaine tako to emo od prve jednaine oduzeti etvrtu. Dolazimo do ekvivalentnog sistema 1 2 3 4 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 2 1 3 3 2 2 2 6 x x x x x x x x x x x x + + + = - + = - - = - + + = , u kojem je eliminisana nepoznata 1 x iz svih jednaina sistema, osim prve. (Primijetimo da smo se pri svim transformacijama u prvom koraku posluili prvom jednainom sistema.) U drugom koraku emo eliminisati nepoznatu 2 x iz tree i etvrte jednaine sistema. To emo uiniti tako to emo prve dvije jednaine prepisati, treu jednainu sabrati sa drugom i etvrtoj jednaini pomnoenoj sa tri dodati drugu jednainu pomnoenu sa dva. Dolazimo do sistema 1 2 3 4 2 3 4 3 4 3 4 2 3 2 2 1 3 2 4 2 10 20 x x x x x x x x x x x + + + = - + = - + = + = . Na kraju, eliminirat emo nepoznatu 3 x iz etvrte, posljednje jednaine sistema. Prve tri jednaine sistema emo prepisati, te emo etvrtu jednainu pomnoiti sa tri i sabrati je sa treom jednainom pomnoenom sa dva. Ovo je ujedno bio i posljednji korak, nakon kojeg dolazimo do konane (trougaone) forme sistema 1. Osnove linearne algebre 77 1 2 3 4 2 3 4 3 44 2 3 2 2 1 3 2 4 34 68 x x x x x x x x xx + + + = - + = - + == . Sada kreemo od posljednje jednaine sistema, iz koje imamo da je x4 = 2 . Zatim dobijenu vrijednost nepoznate 4 x uvrtavamo u treu jednainu sistema, odakle je: 3 -3x + 22 = 4 , pa zakljuujemo da je 3 x = 0 . Uvrtavajui te dvije vrijednosti u drugu jednainu dolazimo do jednaine 2 3x - 20 + 2 2 =1, odakle je 2 3x = -3 to jest 2 x = -1. Konano, uvrtavajui tri dobijene vrijednosti u prvu jednainu sistema lako izraunavamo da je 1 x =1. Na ovaj nain smo dobili da je ureena etvorka (1,-1,0, 2) rjeenje polaznog sistema. Primijetimo da su transformacije koje smo vrili nad jednainama sistema primjenom Gaussove metode za rjeavanje sistema jednaina jednake elementarnim transformacijama koje smo vrili nad vrstama matrice pri odreivanju njenog ranga. Imajui u vidu da svakom sistemu linearnih jednaina moemo pridruiti njegovu matricu, sada emo pokazati kako, pomou transformacija nad tzv. proirenom matricom sistema, neto jednostavnije primijeniti Gaussovu metodu za rjeavanje sistema jednaina. Ako je A matrica sistema i B vektor kolona sastavljena od slobodnih lanova, tada se matrica koju dobijemo proirivanjem matrice A kolonom B zove proirena matrica sistema i oznaava sa p A . Dakle, ( ) pA = A B . Uspravna crta koju smo stavili unutar matrice p A slui kako bi odvojili matricu sistema od kolone slobodnih lanova. Ona nam govori da pri vrenju elementarnih transformacija nad matricom p A (kako bi odredili njen rang) moemo mijenjati mjesta kolonama matrice A , ali kolone matrice A ne moemo zamijeniti sa kolonom slobodnih lanova. Matematika za ekonomiste 78 U prethodnom primjeru je ( ) 1 2 3 11 2 1 1 2 7 1 3 1 1 4 1 1 1 1 2 pA AB . - - . . - . = = . - - - . . . . ., Nakon prvog koraka, odnosno zamjene mjesta prve i etvrte jednaine (odnosno prve i etvrte vrste matrice p A ) dolazimo do ekvivalentne matrice 1 1 1 1 2 2 1 1 2 7 1 3 1 1 4 1 2 3 11 . . . - . . - - - . . - - . . .. Zatim vrimo transformacije nad vrstama matrice p A , kako bi u prvoj koloni ispod elementa 1 dobili sve nule. Ove transformacije jednake su gore opisanim transformacijama nad jednainama sistema. Nakon ovog koraka dobijamo ekvivalentnu matricu 1 1 1 12 0 3 2 21 0 3 1 03 0 2 2 26 . . . - . . - - . . - . . .. Zatim prepiemo prve dvije vrste i vrimo elementarne transformacije kako bi u drugoj koloni dobili nule ispod broja 3. Na gore opisani nain dolazimo do matrice 1 1 1 1 2 0 3 2 2 1 0 0 3 2 4 0 0 2 1020 . . . - . . - . . . . .. Na kraju, prepiemo prve tri vrste i transformacijama nad etvrtom dobijamo ekvivalentu matricu 1. Osnove linearne algebre 79 1 1 1 1 2 0 3 2 2 1 0 0 3 2 4 0 0 0 3468 . . . - . . - . . . . .. Imajui u vidu da poredak kolona proirene matrice nismo mijenjali, prva kolona odgovara nepoznatoj 1 x , druga kolona nepoznatoj 2 x , trea kolona nepoznatoj 3 x i etvrta kolona nepoznatoj 4 x . To znai da posljednjoj (etvrtoj) vrsti dobijene matrice odgovara jednaina 4 34x = 68 , odakle je 4 x = 2 . Treoj vrsti gornje matrice odgovara jednaina 3 2 -3x + 2x = 4 , odakle je 3 x = 0 . Nastavljajui ovako dalje dolazimo do etvorke (1,-1,0, 2) koja je rjeenje datog sistema. Primjer 1.15.2. Rijeimo sistem: 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2 3 2 5 2 2 6 5 3 2 12 5 12 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = - + + - =- + - + + = - + + - - = . Primijetimo da u ovom sistemu imamo etiri jednaine sa pet nepoznatih (tj. m = 4 i n = 5), pa odmah moemo zakljuiti da sistem ne moe imati jedinstveno rjeenje. Ovaj sistem emo rijeiti pomou elementarnih transformacija nad vrstama proirene matrice, kao u prethodnom primjeru. U ovom sluaju, proirena matrica je oblika ( ) 1 2 3 2 1 3 2 0 1 1 5 2 1 2 1 6 5 3 1 2 12 5 12 1 pA AB . . . - - - . = = . - . . - - - . . .. U prvom koraku emo prvu vrstu matrice prepisati, drugu vrstu emo sabrati sa prvom vrstom, pomnoenom sa dva, od prve vrste emo oduzeti treu, a etvrtoj vrsti emo dodati prvu vrstu. Dobijamo ekvivalentnu matricu: Matematika za ekonomiste 80 1 2 3 2 1 3 0 4 7 5 3 4 0 0 4 4 4 0 0 4 15 3 114 . . . - . . - - . . - - . . .. Ako treu vrstu podijelimo sa etiri i od etvrte vrste oduzmemo drugu dobijamo matricu: 1 2 3 2 1 3 0 4 7 5 34 0 0 1 1 10 0 0 8 8 80 . . . - . . - - . . - - . . .. Konano, oduzimajui od etvrte vrste treu pomnoenu sa osam dolazimo do konanog (trapeznog) oblika: 1 2 3 2 1 3 0 4 7 5 34 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 . . . - . . - - . . . . .. Ova matrica predstavlja sljedei sistem jednaina: 1 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 2 3 2 3 4 7 5 3 40 x x x x x x x x x x x x + + + + = + + - = - - = . Na kraju metoda eliminacije doli smo do sistema od tri jednaine sa pet nepoznatih, to znai da sistem nee imati jedinstveno rjeenje, nego e imati beskonano mnogo rjeenja, pri emu e dvije nepoznate biti proizvoljne, a ostale emo izraziti pomou te dvije nepoznate. Na osnovu oblika posljednje, najjednostavnije jednaine vidimo da e dvije nepoznate pomou kojih emo izraavati ostale biti 4 x i 5 x . Iz tree jednaine dobijamo: 3 4 5 x = x + x , pa uvrtavajui to u drugu jednainu imamo: 2 4 5 4 5 4x + 7x + 7x + 5x -3x = 4 , odakle je 2 4 5 4x = 4 -12x - 4x , to znai da je 2 4 5 x =1-3x - x . Konano, uvrtavajui dvije dobijene vrijednosti u prvu jednainu dobijamo: 1. Osnove linearne algebre 81 x1 + 2 - 6x4 - 2x5 + 3x4 + 3x5 + 2x4 + x5 = 3 odakle imamo 1 4 5 x =1+ x - 2x . Dakle, dobili smo da je rjeenje polaznog sistema svaka ureena petorka ( ) 4 5 4 5 4 5 4 5 1+ x - 2x ,1- 3x - x , x + x , x , x , gdje su 4 x i 5 x proizvoljni. Mogli smo staviti daje, npr. 4 x = u i 5 x = v , gdje su u i v neki proizvoljni realni brojevi. Tada bismo (beskonano mnogo) rjeenja naeg sistema mogli napisati u obliku petorke (1+ u - 2v,1- 3u - v,u + v,u,v) , za proizvoljne u,v.... Napomenimo jo jednom da je u ovom sluaju sistem saglasan ali neodreen (sistem ima beskonano mnogo rjeenja). 1.16. Kronecker Capelliev stav Do sada smo vidjeli kako se matrice koriste pri rjeavanju kvadratnih sistema jednaina (onih sistema koji imaju isti broj jednaina i nepoznatih). Vidjeli smo i kako Gaussovom metodom rjeavati sisteme koji nisu kvadratni. Meutim, pri obrazlaganju Gaussovog metoda, nismo pojasnili na koji nain zakljuiti da li je neki sistem jednaina saglasan ili ne i ukoliko je saglasan da li ima jedno ili beskonano mnogo rjeenja. Kronecker-Capelliev stav e nam dati potreban i dovoljan uslov da sistem od m jednaina sa n nepoznatih bude saglasan, kao i potreban i dovoljan uslov da, u sluaju saglasnosti, sistem bude odreen. Kronecker-Capelliev stav moemo svakako koristiti i pri rjeavanju kvadratnih sistema, s tim to je prednost metoda u tome to se moe koristiti i za rjeavanje sistema koji nisu kvadratni. Posmatrajmo sistem 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mnn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = .. , (1.16.1) gdje su , ij i a b elementi polja realnih brojeva i neka je Matematika za ekonomiste 82 ( ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... nn p m m mn m a a a b A A B a a a ba a a b . . . . = =. . . . . . .. proirena matrica sistema. Vrijedi slijedei teorem. Teorem 1.16.1. (Kronecker-Capelliev stav). Sistem (1.16.1) je saglasan (dakle, ima jedno ili beskonano mnogo rjeenja) ako i samo ako je p rangA = r = rangA . Pri tome vrijedi (u sluaju saglasnosti): a) ako je r = n , sistem je odreen (ima jedinstveno rjeenje); b) ako je r < n , sistem je neodreen (ima beskonano mnogo rjeenja), pri emu se n - r = l nepoznatih moe uzeti proizvoljno. Na osnovu Kronecker-Capellievog stava zakljuujemo da sistem nema rjeenja ukoliko je rang matrice sistema manji od ranga proirene matrice sistema. U svakom sluaju, rang matrice sistema ne moe biti vei od ranga proirene matrice sistema. Primjer 1.16.2. Primijenimo Kronecker-Capelliev stav na rjeavanje sistema iz Primjera 1.15.2 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2 3 2 5 2 2 6 5 3 2 12 5 12 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = - + + - =- + - + + = - + + - - = . Elementarnim transformacijama nad proirenom matricom sistema doli smo do ekvivalentne matrice 1 2 3 2 1 3 0 4 7 5 34 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 . . . - . . - - . . . . .. 1. Osnove linearne algebre 83 Vidimo da je rangA = rangAp = 3 pa je sistem saglasan, na osnovu Kronecker-Capellievog stava. Kako je r = 3 < 5 = n , to je 2 = 5 - 3 nepoznatih proizvoljno (u Primjeru 1.15.2. to su bile nepoznate 4 x i 5 x ). Primjer 1.16.3. U zavisnosti od realnog parametra a rijeimo i diskutujmo rjeenja sistema jednaina (1 ) 2 (1 ) 0 x y z a x a y z a x y a z + + = + + + = + + + = Prije nego ponemo rjeavati ovaj sistem, sjetimo se da rijeiti sistem znai nai sva njegova rjeenja, u sluaju kada je on saglasan ili konstatovati da rjeenja nema. Proirena matrica sistema je 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 p a A a a a . . . . = . + . . + . . .. Prvu vrstu emo prepisati, a zatim od druge i tree vrste oduzeti prvu kako di dobili ekvivalentnu matricu 1 1 1 0 0 0 0 a a a a a . . . . . . . - . . .. Ova matrica je trapeznog oblika pa moemo odrediti rangA i p rangA . (Rang matrice A jednak je broju vrsta matrice formata 33 koja se nalazi lijevo od uspravne crte, koje su razliite od svih nula). Vidimo da trebamo posmatrati dva sluaja 1. Ukoliko je a . 0 , tada je 3 p rangA = rangA = , pa je sistem saglasan i odreen (jer je 3 ujedno i broj nepoznatih). Sada trebamo izraunati nepoznate. Iz posljednje vrste matrice je (imajui u vidu da prva kolona odgovara nepoznatoj x , druga kolona nepoznatoj y a trea kolona nepoznatoj z ) az = -a , odakle, nakon dijeljenja sa a . 0 dobijamo z = -1. Matematika za ekonomiste 84 Iz druge vrste je ay = a , odakle je y =1. Iz prve jednaine je x + y + z = a , odnosno x +1-1 = a , pa je x = a . Dakle, u sluaju da je a . 0 rjeenje sistema je ureena trojka (a,1,-1). 2. Ukoliko je a = 0 , tada je 1 p rangA = rangA = , pa je sistem takoer saglasan, ali je u ovom sluaju neodreen (jer je rang manji od broja nepoznatih) pri emu 2 = 3-1 nepoznate moemo uzeti proizvoljno. Proirena matrica sistema je u ovom sluaju ekvivalentna matrici 1 1 10 0 0 00 0 0 00 . . . . . . . . . ., pa nepoznate y i z moemo uzeti proizvoljne. Iz prve jednaine je x + y + z = 0 , odakle je x = -y - z . Dakle, u ovom sluaju rjeenje sistema je ureena trojka (-y - z, y, z), pri emu su y, z... proizvoljni. Primjer 1.16.4. U zavisnosti od realnog parametra a rijeimo i diskutujmo rjeenja sistema jednaina 2 1 x y az a x ay z a ax y z + + = + + = + + = Proirena matrica sistema je 1 1 2 1 1 1 1 1 p a a A a a a. . . . =. . . . . .. Prvu vrstu emo prepisati, a zatim od druge vrste oduzeti prvu i od tree vrste oduzeti prvu pomnoenu sa a kako di dobili ekvivalentnu matricu 2 2 3 1 1 0 1 1 (1 ) 0 1 1 1 a a a aa a a a a . . . . . - - - . . - - - . . .. 1. Osnove linearne algebre 85 Sabiranjem druge i tree vrste dolazimo do ekvivalentne matrice trapeznog oblika 2 2 3 2 1 1 0 1 1 (1 ) 0 0 2 1 a a a a a a a a a a a . . . . . - - - . . - - - + - . . .. Primijetimo jo da je 2 - a - a2 = (1- a)(a + 2) , te da je ( )( )1- a3 + a - a2 = 1- a a +1 2 . Kao to vidimo, rang matrice A sistema zavisi od a -1, 1- a , te od (1- a)(a + 2). Zbog toga imamo slijedee tri mogunosti: 1. Ako je 1- a . 0 i a + 2 . 0 , odnosno a .1 i a . -2 tada je 3 p rangA = rangA = , pa je sistem saglasan i ima jedinstveno rjeenje. U tom sluaju drugu i treu vrstu proirene matrice sistema moemo podijeliti sa (1- a) , kako bismo jednostavnije odredili rjeenje sistema. Proirena matrica sistema u ovom sluaju je ekvivalentna matrici 2 2 1 1 0 1 1 0 0 2( 1) a aa a a . . . . . - . . + + . . . Iz posljednje vrste je (a + 2)z = (a +1)2 , odakle, nakon dijeljenja sa a + 2 . 0 dobijamo ( 1)2 2 z aa= ++ . Iz druge vrste je -y + z = a , odakle je 1 2 y z a a = - = + . Konano, iz prve vrste je x + y + az = a2 , pa je ( )2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a x a y az a a a a a + + - - - - + = - - = - - = =- + + + + Matematika za ekonomiste 86 Dakle, u sluaju da je a .1 i a . -2 sistem je odreen i njegovo rjeenje je ureena trojka 1 1 ( 1)2 , , 2 2 2 a a a a a . + + . . - . . + + + . . 2. Ukoliko je a =1, proirena matrica sistema je ekvivalentna matrici 1 1 11 0 0 00 0 0 00 . . . . . . . . . ., pa je, u ovom sluaju 1 p rangA = rangA = . Dakle, sistem je saglasan, ima beskonano mnogo rjeenja i 2 = 3-1 nepoznate moemo uzeti proizvoljne. Za proizvoljne emo uzeti nepoznate y i z , a iz prve jednaine emo izraziti x , kao x =1- y - z . Dakle, za a =1 rjeenje sistema je svaka trojka brojeva (1- y - z, y, z) , gdje su y, z... proizvoljni. 3. Ukoliko je a = -2 , tada je proirena matrica sistema ekvivalentna matrici 1 1 2 4 0 3 3 6 0 0 0 3 . - . . . . - - . . . . .. Sada je rangA = 2 , te 3 p rangA = . Kako su ovi rangovi razliiti, sistem u sluaju a = -2 nema rjeenje. S obzirom da je ovaj primjer bio neto dui, rezimirajmo na kraju, sve tri posmatrane mogunosti: Ukoliko je a .1 i a . -2 , sistem ima jedinstveno rjeenje, ureenu trojku 1 1 ( 1)2 , , 2 2 2 a a a a a . + + . . - . . + + + . . Ukoliko je a = -1, sistem ima beskonano mnogo rjeenja; to je svaka trojka brojeva (1- y - z, y, z) , gdje su y, z... proizvoljni. Ukoliko je a = -2 sistem nema rjeenja. 1. Osnove linearne algebre 87 Primjer 1.16.5. Odredimo vrijednost realnog parametra k za koju sistem 2 3 5 4 5 14 3 7 7 9 16 6 2 38 x y z u x y z u x y z u k x y z u - + - = + - - = - + - = + - + = ima rjeenje i u tom sluaju naimo to rjeenje. Proirena matrica sistema je oblika 2 1 3 54 1 5 1 114 1 5 1 114 2 1 3 5 4 3 7 7 9 3 7 7 9 1 16 6 2 38 1 16 6 2 38 k k . - - . . - - . . .. . . - - . . - - . . - - . . - - . .. .. .. .. . - . . - . ~ . Prvu vrstu emo prepisati, pa emo od druge vrste oduzeti prvu pomnoenu sa dva, zatim emo od tree vrste oduzeti prvu pomnoenu sa tri, te od etvrte vrste oduzeti prvu vrstu, kako bi dobili ekvivalentnu matricu 1 5 1 1 14 0 11 5 3 24 0 22 10 6 42 0 11 5 3 24 k . - - . . . . - - - . . - - - . .. .. . - . . Prvu i drugu vrstu emo prepisati, a zatim emo od tree vrste oduzeti drugu pomnoenu sa dva, te etvrtu vrstu sabrati sa drugom. Dolazimo do matrice 1 5 1 1 14 0 11 5 3 24 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 k . - - . . . . - - - . . + . .. .. . .. Sada vidimo da je, neovisno od parametra k rang matrice A sistema jednak 2. Rang proirene matrice moe biti jednak 3, u sluaju da je k . -6 i 2, u sluaju da je k = -6 . S obzirom da je sistem saglasan ako i samo ako je p rangA = rangA , to e sistem biti saglasan samo kada je k = -6 , u kom Matematika za ekonomiste 88 sluaju je rangA = rangAp = 2, pa sistem ima beskonano mnogo rjeenja, pri emu su 2 = 4 - 2 nepoznate proizvoljne. Za k = -6 proirena matrica sistema je ekvivalentna matrici 1 5 1 114 0 11 5 3 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . - - . . . . - - - . . . .. .. . .. Vidimo da moemo nepoznate z i u uzeti za proizvoljne, dok emo y i x izraziti iz druge, odnosno prve jednaine. Iz druge vrste proirene matrice sistema je -11y + 5z -3u = -24 , odakle je 1 (5 3 24) 11 y = z - u + . Iz prve vrste je x + 5y - z - u =14 , odakle je 14 5 (5 3 24) 2 ( 7 13 17) 11 11 x = + z + u - z - u + = - z + u + . Dakle, sistem je saglasan za k = -6 i u tom sluaju ima beskonano mnogo rjeenja. To su sve ureene etvorke oblika 2 ( 7 13 17), 1 (5 3 24), , 11 11 .. - z + u + z - u + z u .. . ., gdje su z,u... proizvoljni. 1.17. Kramerova metoda za rjeavanje sistema od n jednaina sa n nepoznatih. Specijalan sluaj sistema (1.16.1), kad je m = n , tj. kada je sistem jednaina kvadratnog oblika moe se rjeavati tzv. Kramerovom metodom ili metodom determinanti. U ovom sluaju matrica sistema A je kvadratna matrica i moemo izraunati njenu determinantu 11 12 1 21 22 2 1 2 ... det ... ... nn n n nn a a a D A a a a a a a = = .. , 1. Osnove linearne algebre 89 koju nazivamo determinanta sistema. Sa k D oznaimo determinantu dobijenu tako to u determinanti D elemente k - te kolone zamijenimo kolonom slobodnih lanova sistema. Tada vrijedi slijedei teorem. Teorem 1.17.1. (Kramerov teorem). Pretpostavimo da je u sistemu (1.16.1.) m = n . 1) Ako je determinanta sistema D . 0 sistem (1.16.1) ima jedinstveno rjeenje, n-torku ( ) 1 2 , ,..., n x x x , gdje je k k x DD = . Dakle, u ovom sluaju sistem je odreen; 2) ako je D = 0 i barem jedna od determinanti 0 k D . , tada je sistem protivrjean (odnosno, nema rjeenja) 3) ako je D = 0 i 1 2 ... 0 n D = D = = D = (odnosno sve determinante k D su jednake nuli) tada je a) sistem neodreen ako je bar jedna subdeterminanta reda n -1 determinante D razliita od nule; b) ako je svaka subdeterminanta reda n -1 determinante D jednaka nuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n -1 determinanti k D razliita od nule, sistem je protivrjean; c) ako je svaka subdeterminanta reda n -1 svih determinanti k D jednaka nuli nastavljamo postupak pod a), b) i c) za subdeterminante jednog reda manje. Oigledno je da je ispitivanje saglasnosti sistema u sluaju 3. Kramerovom metodom veoma komplikovano, jer je potrebno izraunati subdeterminante reda n -1 determinante D , moda i sve njih (ima ih n2 ), pa zatim subdeterminante determinanti k D , itd. U ovom sluaju je mnogo efikasnije koristiti neku drugu metodu za ispitivanje saglasnosti sistema. Meutim, Kramerova metoda ima i svojih prednosti. Naime, ukoliko je determinanta sistema razliita od nule, nakon izraunavanja determinanti k D , odmah imamo rjeenje sistema. Matematika za ekonomiste 90 Kramerova metoda se moe efikasno primijeniti na sisteme reda dva i tri, dok je rjeavanje sistema vieg reda mnogo sloenije, jer zahtijeva izraunavanje velikog broja determinanti reda etiri ili vieg. Primjer 1.17.2. Kramerovom metodom rijeimo sistem jednaina ( 1) 0 ( 1) 1 1 m x z m x my z y mz - + = + - - =- + = , i diskutujmo njegova rjeenja u zavisnosti od realnog parametra m . (To znai da emo za sve vrijednosti parametra m nai rjeenja sistema ili konstatovati da tih rjeenja nema.) Izraunajmo, kao prvo, determinantu sistema i determinante pridruene nepoznatim. Imamo: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 2 10 0 1 0 1 0 1 m m m D m m m m m m m m - - - = + - - = - = - ( ) ( )( ) 1 0 1 2 0 ( 1) 2 1 2 0 1 mm m mmm mm m m - = =- --=- + -. Analogno je 0 0 1 1 1 1 1 1 xD m m m = - - - = - , ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 3 0 1 0 1 ym m D m m m m m mm m m - - = + - - = + - = - . - - + . = - - . . ( )2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 z m D m m m - = + - - =- - . Posmatrat emo etiri sluaja: 1. Osnove linearne algebre 91 1. Ako je D = -m(m+1)(m- 2) . 0 , odnosno m.{-1,0, 2} sistem ima jedinstveno rjeenje. Ono je dato sa 1 ( 2)( 1) x x D m D mm m = = -- + , 3 ( 2)( 1) y D m y D m m= = - - + , ( 1)2 ( 2)( 1) zz D m D mm m = = - - + . Dakle, ukoliko m.{-1,0, 2} rjeenje sistema je ureena trojka 1 3 ( 1)2 , , ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1) m m m m m m m m m m m . - - - . . - + - + - + . . .. 2. Ako je m = -1, tada je D = 0 , ali je 2 0 x D = - . , pa sistem nema rjeenja. 3. Ako je m = 0 , tada je D = 0 , ali je 1 0 x D = - . , pa sistem nema rjeenja. 4. Ako je m = 2 , tada je D = 0 , ali je 1 0 x D = . , pa sistem nema rjeenja. Rezimirajmo: Posmatrani sistem ima jedinstveno rjeenje ako i samo ako m.{-1,0, 2} . U ostalim sluajevima sistem nema rjeenja. Primjer 1.17.3. Kramerovom metodom rijeimo sistem jednaina ( ) ( ) ( ) 2 3 8 2 3 4 12 3 6 5 7 20 x y m z x y m z x m y z + - + = + - + = + + - = , i diskutujmo njegova rjeenja u zavisnosti od realnog parametra m . Kao prvo, izraunat emo determinantu sistema i determinante pridruene nepoznatim. Imamo: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 4 2 3 7 3 6 5 7 m D m mm m - + = -+ =- + + - , ( ) ( ) ( ) 8 2 3 12 3 4 24 1 20 6 5 7 x m D m mm m - + = -+=- + + - , Matematika za ekonomiste 92 ( ) ( ) 1 8 3 2 12 4 8 3 20 7 y m D m m - + = - + =- - , 1 2 8 2 3 12 24 3 6 5 20 zD m m = = + . Sada posmatramo slijedea dva sluaja. 1. Ukoliko je D . 0 , odnosno -2m(3m + 7) . 0 , sistem ima jedinstveno rjeenje. Dakle, za m . 0 i 73 m . - sistem ima jedinstveno rjeenje. Ono je dato sa: ( ) ( ) 24 1 1 12 2 3 7 3 7 x D m m m x D m m m - + + = = = - + + , ( ) 8 4 2 3 7 3 7 y D m y D m m m = = - = - + + , ( ) 24 12 2 3 7 3 7 zz D m D m m m= = = - - + + , dakle, rjeenje je ureena trojka 12 1 , 4 , 12 3 7 3 7 3 7 mm m m . + - . . + + + . . .. 2. Ukoliko je D = 0 , tada je ili m = 0 ili je 73 m = - , pa imamo slijedea dva podsluaja: a) Ako je m = 0 , tada je 0 x y z D = D = D = D = , pa bi prema Kramerovom pravilu trebali za m = 0 odreivati subdeterminante. Meutim, jednostavnije je uvrstiti vrijednost parametra m = 0 u sistem i rijeiti taj sistem nekom drugom metodom (npr. Gaussovom). Za m = 0 na sistem postaje: 2 3 8 2 3 4 12 3 5 7 20 x y z x y z x y z + - = + - = + - = . Nakon mnoenja prve jednaine sa -2 i -3, te njenog sabiranja sa drugom i treom jednainom, sistem postaje: 1. Osnove linearne algebre 93 2 3 8 2 4 2 4 x y z y z y z + - = - + =- - + =- . Kako su dvije posljednje jednaine u sistemu jednake, sistem je neodreen, ima beskonano mnogo rjeenja i svodi se na sistem 2 3 8 2 4 x y z y z + - = - + =- kod kojeg moemo jednu nepoznatu, na primjer z uzeti za proizvoljnu. Sada je y = 2z + 4 , pa uvrtavanjem u prvu jednainu dobijamo da je x = -z . Dakle, u sluaju da je m = 0 sistem je neodreen i njegovo rjeenje je trojka (-z,2z + 4, z) , gdje je z proizvoljno. b) Ostalo je da pogledamo ta se dogaa sa sistemom kada je 73 m = - . Tada je, oigledno, 0 x D . , pa je sistem, na osnovu Kramerove teoreme protivrjean, odnosno nema rjeenja. 1.18. Rjeavanje homogenih sistema jednaina Homogeni sistem od m jednaina sa n nepoznatih je sistem oblika 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ... 0 n n n n m m mnn a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = .. Svaki homogeni sistem je saglasan, jer ima tzv. trivijalno rjeenje 1 2 ... 0 n x = x = = x = . Dakle, u sluaju homogenog sistema nema potrebe ispitivati da li je sistem saglasan jer je to sigurno tano. Od interesa je, zbog toga, ispitati da li taj sistem ima netrivijalna rjeenja, odnosno rjeenja razliita od trivijalnog. U tom sluaju mora biti neodreen i imati beskonano mnogo rjeenja. Kao posljedicu Kramerove i Kronecker- Matematika za ekonomiste 94 Capellieve teoreme dat emo odgovor na to pitanje u sluaju m = n (Kramer) i m . n (Kronecker Capelli). Teorem 1.18.1. Homogeni sistem n - tog reda ima netrivijalno rjeenje ako i samo ako je D = 0 . Teorem 1.18.2. Homogeni sistem ima netrivijalno rjeenje ako i samo ako je rangA < n . Drugim rijeima, homogen sistem ima netrivijalno rjeenja onda kada je rang matrice sistema manji od broja nepoznatih. Primjer 1.18.3. Pogledajmo za koje vrijednosti realnog parametra a sis